-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
1/76
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
2/76
eJerlnu slncrqe^olnv
eerezrler3eds el uJelur
zn
]d
srnc
o
=
m
f
5'
o
o
VY
=o
slrqouolne ep reierd e eJenle^e ep elilJelu3
elerceds
uJ oltqouolne
ep
ee3
ul
s
lelaueo
ul
ununq
ep
etisnpord
uI
pJofeu
PiueuodLu
o e]seoce aJV
eJallnu elnslqe^olnv
eerezrler9ads el
uJelur
zn
lo
srnc
un
'ereu,.,n
uud
'e1se
1s
snpor5tll;ll
i""3tTt'J'if'?
3:?Yrifl?f
lll?ilui
o
'Arlelrluec
Jeop
psucsep
u
eleod
alelrlrqeqoJd
F3
rs
elrnqrrlsrp
esrlsesols
'elelueprsge
eznec
ep eleznec
u
lod
elueurue^e
esJe^rp
Pc lnldeJ
'eleJsplsuoc
ul
el
InueruJsl
eslellllqeqold
tr
Eun
tnduttr
u E npow
ep
elep areu",pr,frYiif
,7jy' 3f
::;: tll
os
nu
?s
snpoJd
un
e3
ealewtqeqoJd
elso
eapililqeu:eletlllqeqold
3p relec e eJepurlxe
o
plurzsjder
elellllqeu
nJlued
PcruLlel
etirut;ec
3
'o;euoriounJ
ep
elrirpuoo
eleol
ul
rS
lueuou
e3uo uJ
'ps
ericunl et5aurldepul oJee
snpord
un
elss
llqe1;
elJeoJ snpotd
un
tr
'snpord
Inun eelelrleuoricunl
erdsep utqJon
pugc
tcunle
lerceds
ul
' z
no
E
ep
1nleqrull
ulp
eyed
eceJ
ole]lllqelJ ep
Inueuilel
n
L
eelellllqel}
also
03
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
3/76
Cum se
reflectd
cerin[a de
fiabilitate
in
politica
com
pan
i i lor
prod
ucdtoa re?
q;
170
e
160
g'q
15s
4 ,4fr
s r+u
a
s^
13t)
9?
-
i 1',n
vi
t
b.:
11G
9
oA
100
; tiH so
.='E
9 an
,t^)
o=E
ro
lEgI
co
-vqft
c.\
(.).:
tn
-#r
-cgJU
trF"
ta
an
An
U
1gg8
19S$
2*n0 20*1
?S02 2003 2005
Cauzele
cregterii
"callback"
?
Curs
pt
uz
intern la specializarea
Autovehicule Rutiere
METODELEL FIABILITATII
APLICATE
PE DURATA
CICLULUI
DE
VIATA A
AUTOMOBILULUI
RECICLA
RE
r@t@lffil
ffiMH
Curs
pt
uz
intern la specializarea
Autovehicule
Rutiere
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
4/76
ererlnu eln3rL{a^o}nv
esj?zrlersods el ulalur
zn
ld
srnc
o
o
a
4
o-
o
+
o
o
auYJlaloud
f
#'afit
F
f
6*"*,t
**'t.
$ L"*
If,IOZIA[U
-
UOTEJSAdEC
\tliSEJEA
INNI1JY
-
UOTEJJSdEC
VETIINEATUd
srarlnu elncrqe^olnv
eaJezrlBrcods el uJelur
zn
ld
sJnc
(
roluolp.rpdr-unc
)
oJcru
rs
oJcrur
d4
ep
oJ?,r\uos'rJozues'elelJelelu
'ecruo4cele 'ectuecary
snpord
/
rualsrs
6
ry
L.
lllpllllqelJ
re
Pluonuu
op
ilrolsBl
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
5/76
Elementele
sistemului de
asigurare
a fiabilite[ii
produselor
ASIGI'RAREA
FIABILITATII
PRoDUSELoR
CONSTRUCTIV:
ehnologie
de fabricalie
optiml,
inaltd
calitate
gi
complexitate
ANALITIC:
inarea
gi
/ sau
prediclie
fiabilitatea
in tehnici de
fiabilitate
urmati de optimizare.
nte:
-predicfia
de fiabilitate;
-deteclia
punctelor
slabe
produs;
-realizarea
de
studii comparative
ificatii
tehnice complete
gi
alcule exacte
gi
complete;
tabilirea
unui
normativ
de
icalie
complet;
este derulate
pe
etapele de
ANTITATIV
lculul predicliei
de
fiabilitate;
inarea
ratei
de defectare;
iza
probabilisticS
de
iabilitate;
Itarea instrumentelor de
iclie
gi
analizd
iza
sistematici
a
efectului
gi
a
ieqirilor
din funcfiune;
iza defectelor
prin prisma
Itat1l
tarea instrumentelor de
izd
qi
comparare
(]
curs
pt
uz
Intem la
spectalrzarea
Autovehicule Rutiere
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
6/76
Culegerea
datelor
gi
specifice
prelucririi
valori,
in
nofiuni
de
primare
a
fiabilitate
statistici
girului
de
CURS
2
Universitatea
Tehnici din Cluj
-
Napoca
2013
M
rb
Cum determin dm
FIABTLITATEA
unui
sistem
?
Cum
luim
decizia corecti:
?
APT
pentru
funcfionare
INAPT
Care este
san.ga
(probabilitatea)
""?"tem
si se
defec
tezecdt
mai
pu{in
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
7/76
A. Indicatorii
statistici ai tendinfei
de
grupare
Exprimd tendin{a oricdrui
gir
de valori de
a
converge
spre o
limita
interioard
inclusd in intervalul de
date
MEDIA
DE
SONDAJ
-
Um,'
Reprezintd
valoarea
din
girul
de
date
spre care
tind
crescdtor sau descrescdtor
toate
valorile
din
gir.
Se determind cu
relalia:
1\a
m-;**,
n esfe
numdrul
de
valori
din
gir;
x,valori
din
Sirul
de date
DETERMTNAREA GRUPET
DE |ND|CATORT STATTSTICI
CU EXCEPTIA MEDtEt
DE
soNDAJ, NECESITA ORDONAREA
gtRULU
DE
DATE
fN
OnOnte
CneSCArOene
MEDIANA
DE
SONDAJ
-
"Me"
Reprezintd
valoarea
din
girut
ordonat
de
date care subdivide
acest
gir
in
doud
subgirurii
avdnd
acelagi numdr de
valori incluse
gi
care tind
crescdtor,
sau
descrescdtor
spre mediand
Se determind
functie de numdrul de date
impar
sau
par
al
girului
cu
relaliile:
Mu=
Mu
=
/\
t
1l
I
,l
*v*
*L*,
I
-\
2 2^)
X
n+I
pentru
gir
impar
de
valori
2
pentru
gir
par
de
valori
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
8/76
MODUL
DE
SONDAJ
-
"Mo"
Este
indicatorul
care aratd
concludenla
observaliei efectuate,
prin
legdtura
pe
care
o stabilegte
intre indicatorii
grupdrii:
m
gi
Me
Se
determind cu relalia:
Mo:m+3(M"-m)
ii
exemptul
anattizat"
intaarea
medianei'
de'''
I
sondai este: 14
autov. / interval.
.
:
-
:-f:II-:::
-:
VALOAREA
CENTRALA A
$lRULUl
-
x"
Sfab/egfe legdtura
intre
girul
ordonat de
valori
gi
valoarea
cea mai
probabil
situatd
ca
mijloc al
intervaluluidefinit de
girul
de date.
Se determind cu
relatia:
(t*u*
*
x*i,r)
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
9/76
B. Indicatorii
tendinlei de dispersie
a datelor
Aratd in ce mdsurd valorile din
girul
de date au un caracter divergent, exprimdnd tendinta
de
a
se
distribui
aleatorin
intervalul
din care
girul
ia
valoi.
ABATEREA MEDIE
PATANNCA.
O
-
Se
determind cu relatia
l1
/r /
\2
o
-
1/-
(*x,
-
t?t
)-
\n
D'SPERSTA
$|RULU
DE DATE
-
D
-
D_
AMPLITUDINEA
9.IRULUI
-
A
.
(*,-m),
=o,
n
a- x^u*
-
x^rn
G.
Grupa
indicatorilor
statistici
compugi
Exprimd tendinle
ale
girului
de date
gi
permit
incadrarea
in legi de reparti,tie care
mode leazd fen
ome
n
u
I a n al izat.
COEFCIENTUL
DE
VARIATIE
AL
$IRULUI-
Cv
-
C,
Aratd
in ce mdsurd evolutia
fenomenului
analizat
poate
fi
aproximat
cu
legea de
repariilie
normald
m
MOMENTUL
DE
SONDAJ
DE
ORDIN
r
-
Mr
1
sa -.
Aratd
tendinla
girutui
de
a
rdspunde unei
legi de
M,"
nE
o
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
10/76
GRUPAREA
IN
CLASE DE
REPATITIE
Exista
situalii tn care
girul
de
valori
de date
nu
oferd informalii
relevatnte
exhaustive
pentru
a
asigura
o
interpretare
completd
a
datelor de
trafic.
in
aceste situalii valorile din
gir
sunt
prelucrate
statistic, fiind tuate in
considerare tendinlele pe care le exprimd
Este in
general
cazul
unui
gir
de date care conline
pesfe
4A
-
50
de
valori.
lnterval
de
observare
--
24>
Xmin
lnterval de observare
Cazuri
observate
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
11/76
Tehnica
grupdrii
fn clase
$irul
de obsrevalii
conline
"n
valorix;
1.
Determinarea
amplitudinii
"a"
interualului de
valori:
./\
x_in
-
mln(x,
/
/ \
a:
x^u*
-x_in
x^u*
-
max(x;
I
2. Determinarea numdrului
de
clase "K'l
k
-
1+
3,322.1efu)
n
Numdrul
de
clase va
fi
partea
intreagd
a valorii k ob,tinute din calcul,adicd
:
-:-ryL/-
a
-
/-
\
{j*
k-
In\k)
3. Determinarea
amplitudinei"d" unei
clase de
repartifie:
,Q
d--
k
4.
Determinarea
limitelor
specifice
unei
clase
de
ordin
j
:
t ^r:x-in
+d.(j-1)
;
jF..k]
7i
:
-r-
, J
-'
osup ,fmin+A'J;
5.
Valoarea
centrald
a
fiecdrei
ctase
l/
este:
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
12/76
Atribuirea numdrului
de
"q"
valori
fn
fiecare
clasd
va respecta
egalitatea:
v
F
.=
S
=
lrrot
I
"rp1
#.
l,^
N
umdrul observatiilor
i
k
Zq,
j=1
Graficutfrecven{ei de
aparilie
in clase asociat
obserualiei
propuse
esfe
:
o
n6
.S
'tC
i4
X
=^
JJ
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
13/76
Frecvenle caracteristice
utilizate
Tn evaluarea
traficului
rutier
1.
Frecvenla
de
aparilie
tn
clase
2.
Frecventa relativd
de
aparilie
in
clase:
{
Ji
Q1
Qi
frj
k
Zq,
j
=l'
n
3.
Frecvenla
cumulatd
de
apari(ie in clase
de reparti{ie
r
ftj-IQi,
j=I
r
Zr'
j=I
k
Zr'
j=1
r
elt
..kl
4.
Frecventa
cumulatd relativd
de
aparilie
in
clase
de repartilie
ft,
j:
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
14/76
Aplicalie
Prelucrarea
primard
a unei
fige
de
statistici
gi
irasarea
histogramei
autovehiculelor
pe
o arterd urbani.
observare
intocmiti
pentru
evaluarea
de repartitie
pentru
succesiunea
qJ
.=
F
.ul
X
=
.c
E
_9
=
-c
o
o
$
E
f
z
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
4.4
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
1.0
0.0
n
^
.n
15
Ordinul oe marime al inrervalului de ob
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
15/76
FIABILITATE,A
AUTOVEHICULELOR
CURS
3
INDICATORII DE
FIABILITATE
13.04.2013
Curs AR
2013
uz
intern
CUM
APRECIEM CALITATIV
UN
AUTOVEHICUL:
es/e acesta
fiabil ?
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
16/76
Instrumentul de operare
care asigurd cuantificarea
noliunilor exprimate
calitativ,
din
punct
de
vedere
al
fiabilititii,
este
reprezentat
de
indicatorii
de
fiabilitate.
I
ndicatorul
de
fiabilitate
reprezintd
caracteristica
misurabild,
asociatd
Specific
indicatorilor de
fiabilitate
este
faptul ci acestora
le sunt
asociate vaiori
numerice, adimensionale
sau dimensionale,
avdnd
un
caracter
probabilistic.
Determinarea
indicatorilor de
fiabilitate
este
posibili
parametril
o r de
fi
abi
I itate
Parametrul
de
fiabilitate reprezintd
caracteristica
tehnicd
a
intermediul cireia
se
poate
evalua
starea
de
fiabilitate.
prin
intermediul
Sisfemu/
-
in inleles
fiabilistic, reprezintd
un
tot unitar,
proiectat
in scopul
executdrii
unei sarcini
funcfionale
sau
a unui
ansamblu complex
de sarcini
funclionale
gi
care este evaluat
global,
prin
prisma
capacitSlii
de
a-gi
realiza
sarcina,
sau
complexul
de
sarcini.
Pdr.ti
componente
ale
unui
subsrsfem
care
sunt intr-o
relalie
de
interdependendd
in
asigurarea
unei
func{ii,
(sunt
in angrenare,
participd
Ia
real iza
rea
un u
i
c
i rc uit
echipamente
S,u,ban,Sa,m,blu,11l
,
,',,.,,:,:,,.,:,,,a,,, ,.,
:
,
:
,,
:
Subahsamblu 1:2
Subansamblu 1n
Piesa
(reperul
tehnic)
SISTE.M
,,:
,'
in
amblu 21
SUbansamblu",22
,,,,,,,'
,,,, ,,
',,:
,
'
: I
Su,bansamblu
2n
::::",:::,:
'
:",",
:
:::
::::::::::
:
:
Subansan:b:lU k1
Subansamblu
k2
a
SUBSISTEM 1 SUBSISTEM
K
UBSISTEM
2
execute
Subansamblu
o e t a
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
17/76
Sunt doud categorii
de
indicatori
prin
intermediul
cdrora
se realizeazd
aprecierea
calitativd
a
fiabilitdfii
autovehicu lelor:
/indicatorii
de
fiabilitate
ai elementelor
nereparabile (indicatorii
generali
de
fiabilitate);
/
indicatorii
de
fiabilitate ai
elementelor
reparabile.
Funclia
de
reparti{ie
a
timpului
de
func[ionare
(utilizare)
F(t):
Expiimd
probabilitat'ea
de defectare a unui
produs
in intervalul
de timp
(0,
t),
supus
analizei
-
defectul
apare
la momentul
f,
inclus
in iniervalul
de
observare:
tr(t\
-
D(T
-z
+\
t
f
\t
\t)
Valoarea
teoreticd a indicatorului funclie de repartilie
a
timpului
de
func{ionare,
se
determind
cu
relatia:
F
(t) -
tv(0)
-
r/(rt
w(0)
N(0) reprezintd
numdrul
total
de
produse;
N(f) este
numdrul
de
produse
in stare de
bund funclionare la momentul f al
determindrii.
Exemplu
Se considerd un lot de 35 de
pompe
de apa care echipeazd
un model
de
autoturism,
pentru
care
s-a
efectuat
o analizd de
fiabilitate
pe
baza
comportdrii
in
condi,tii normale
de exploatare.
Pe
parcursul
monitorizdrii s-a inregistrat
momentul
p1na
la
apari{ia
primei
defecliuni
(tabelul
urmdtor).
Obiectivul
testului
a
fost: determinarea
indicatorilor
generali
de fiabilitate.
Nr.
oos.
Moment
cidere
Nr.
obs.
Moment
cddere
Nr.
obs.
Moment
cidere
Nr.
obs.
Moment cddere
1
120
10
440
19
ozJ
29
819
2
142
44
tt
445
20
667
ZY
885
145
12
455
21
680
30
RO4
A
-
165
13
470
22
24
1.01E+03
zt3
14
490
23
714
JZ
1.12E+03
o
228
15
562
24
724
1 .'19E+03
7
344
16
30/
25
788
34
1.20E+03
6
JO3
.1
7
588
26
799
35
1.44E+43
t
414
4P
oul
27
814
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
18/76
Valoare centrald
interval
Iore]
Frecvenla absolutd
de
aparilie
a
defectelor
Frecvenla
cumulatd
de
aparilie
a
defectelor
230
6 6
450 14
14
670 24
24
890
31
31
1.11*10^3
34 34
1
.33*10^3
35 35
Frecventa de aparilie a defectelor
1
-
,
C)
H d6+.
.*
ulr
I
()+
(.)
,$)
C)
5oo
1x103
i.5x1o3
l.j
interval
de
observare
[ore]
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
19/76
c.l
N
()
;
l-r
C)
larrm.
d
olL
cg
,l if.
.
*'-1
rY
-
-
O.
+a
c
C)
()
.
l-.
valoare
centrala
[ore]
Densitatea
de
probabilitate
a
timpului
de func(ionare
f(t)
Reprezintd limita raportului dintre
probabilitatea
de
defectare
in intervalul
(t,
t+Ot)
gi
mirimea intervalului. cAnd L,t *
0:
f(t)-rr@.
Lt--+O
A,
t
Valoarea
teoreticd
a
densitdlii de
probabilitate
a
timputui
de
funclionare
se
determini
cu
relatia:
"f
(t,t+Lt)-
IV(t)
IV(t+Lt)
Lr.Iv(0)
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
20/76
,
_?
1{vln
"
()
li
;r:
E
l.25xlo-r
E
;
q
l-rn
d
*
dens;
7.5x10-
Xrri
t+
t
)XIU
c.)
b3
'E
2.5x10-
at
C)
0 250 500 750
1x103
1.25x103 1.5x103
lq
interval
central
de observare
[ore]
Func{ia de
fiabilitate
R(t)
Probabilitatea
de
functionare fdri defecliuni
a
produsului,
in intervalul analizat
(0,
0
R(/)
-
P(T
>
r)
,
Defecfiunea apare dupd expirarea timpului
de
supraveghere
a
produsului,
indiferent
de
mdrimea
intervalului.
Teoria fiabilitiiii, in acord cu axiomele
generale
de
probabilitate,
nu exclude
aparilia
defec(iunii,
dar
poate
limita
un
iniervalin afara
ciruia
orice eveniment este
posibil.
tv(t)
R(t)-
rv(0)
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
21/76
Lo
I
t-a
fr
fub:
o
+
500
1x103
ltj
Interval
central de
observare
[ore]
C.,
l:-
C)
p
d
0.833
0.66
750
l.j
lnterval central
de observare
[ore]
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
22/76
Rata
(intensitatea)
de
defectare z(t)
reprezintd limita raporlului
dintre
probabilitatea
de
defectare
in
intervalul
(t,
t
+
Ot),
condilionat de
buna
funclionare
in intervalul
(0,
t)
gi
mirimea intervalului
Ot
z(t
):
li$
Valoarea
teoretici
a
funcliei
z(t)
se determind
cu
relafia:
z(t,t+
Lt
)
-
I{(t
)
-
I{(t+Lt)
Lt
I,{(t)
0.01
#
o.or
c)
g
g,
x10
ozj
. t
-:-
E
6x1o-
E
(.)
S
3x10-
2oo
400 600 800
1x103 1.2x103
lg
Interval
de observare
[ore]
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
23/76
Erori
aleatoare
de eremplu,
cauzate
de egec.
operalional,
lipsa
unui
mediu de
lucru
cural,
egec
intrelinere.
Defecte de
imbitr0nire
de exemplu,
oboseald,
uzurd
material,
-:+:---
Pr
r rrl rg)
Defecte timpurii
fect de asamblare.
r-icfia
de egec,
regit
materiale,
C)
-
.(J
E
studii
practice,
control
pilot pe
serie
limitatd,
de
produclie
gi
controlul calitdtii
Durata
ae
viala
funclionarea
corecta,
i^+--fi
-
-.a
llLl. lrtLr
lt
utilizarea
corecti
9i
aplicare
tehnici de
ht.na nranfini
uurrv
lJrs r,vr
alcule
de
fiabilitate,
studii
practice
f
A.
Defectare
predictibili,
caracteristic
motoarelor
cu
aburi
gi
MAS
de
generalie
pdnd
Tn ani
1970.
B. Defectare
predictibili,
caracteristic
motoarelor
Diesel de
generalie
pdna
in
ani
1975,
pompe
de
apd
auto,
transmisii
cu
curele.
C. Defectare predictibild, caracteristic caroseriilor
auto,
anvelopelor
auto
gi
avioane.
D.
Defectare
aleatorie, caracteristic
elementelor
mecan
ismelor
de
distributie.
E.
Defectare
aleatorie, caracteristic
elementelor
de
etangare
de
la
sisteme
de
inalti
presiune
E.
Defectare aleatorie, caracteristic
echipamentelor
hard
din componenla
computerelor
de
bord
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
24/76
Media
timpului
de
func{ionare
Reprezintd valoarea medie Tnregistrati
in
func{ionarea
Tntregului
egantion
de
produse
supuse testdrii.
Funcfie
de
regimul
de defectare
gi/sau
utilizare.a
produselor
se
identifici:
MTTF
Mean
Times To
Failure
MTTFF
Mean
Times
to
The First
Failure
MTBF
Mean
Times Between
Failures
jl'srrF
:
e{z}:
-{
t
f{t$u
:
_{.
*{.u.Mu
MTBF
f
(t
)
dr
Pentru
determinarea valorii teoretice a
mediei
timpului
de
funcfionare,
se
va
utiliza
relalia
m:
rv(0)
I
:
lt
a
N(0)
M??F
I
sfr,fi** 1G*,S*&
1sfi.0&*
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
25/76
Dispeirsia
timpului
de
funclionare D
Reprezinti momentul
centrat de
or:dinul
2
al
timpului
de
funclionare:
co
nl,'2
u:
|
(t-m)-
J(t)
dt.
J
0
Valoarea
teoretici a
dispersiei se obtine cu relatia
D_
N(0)
t-
a- I
Abaterea
medie
pdtraticd
a timpului
de
func{ionare
o
Este
parametrul
care aldturi de
MTBF
constituie
criterii
de apreciere a
legilor
de
distributie
in
evaluarea
fiabilitilii,
exprimdnd
arealul de rdspdndire
a
abaterilor
determinate
^{(0)
o:
^l'n,
J-o
-
,
'
t
t
llo
Valoarea teoreticd se
determini
cu
relatia
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
26/76
Indicatorii de
fiabilitate ai elementelor reparabile
in componenla timpului
total care
caracterizeazd viala
unui autovehicul, vor
alterna
perioade
specifice funcliondrii
gi
activitalii
de
repunere
in siare de
functionare
(reparare)
>r
Coeficientul de dispanibilitate
A
reprezinti
raportul
dintre
media
timpului
de
funclionare
gi
valoarea
medie
a
unui
ciclu
funclionare
-
reparare
Funcqia de repartigie a timpului de reparare
Fnr(t)'.
reprezintd
probabililatea
ca
un
produs
sd
fie reparat intr-un interval de timp
de
mdrime
t:
Fruo
=
P(Trro
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
27/76
Numdrul
mediu
al intrdritor in
func1iune in intervatut
{0,
t),
Hr(t): reprezintd
valoarea
medie
a
intrdrilor
in functiune
pentru
dispozitivul
verificat:
H
2(r)
-
M
(N
r,),
unde.
N^reprezinti numdrul
intrdrilor
?n funqiune
in
intervalul
(0,
t)
Numdrul
mediu
al defectdrilor fn intervalul
(0,
t), Hr(t):
reprezinti valoarea
medie
a
defectdrilor
pentru
dispozitivul
verificat:
Ht(t)
-
M(IVrt),
N.
,
reprezintd
numdrul
iegirilor
din
funqiune
(defectirilor)
in
intervalul
(0,
t).
Densitatea
intrdrilortn funcliune hr(t).'reprezintd limita
raportului
dintre
probabilitatea
a
uneia
sau mai multor
intririin
funcliune in
intervalul
(t,
t+ t)
qi
mdrimea
intervalului:
h:(r):
muJiM
Densitatea
defectdrilor hr(t): reprezintd limita raportului
dintre
probabilitatea
a
uneia
sau mai
multor
defectiri
in intervalul
(t,
t+
t)
9i
marimea
intervalului:
ht(t)
:n^@
Ar-+0
L
t
Disponibilitatea
A(t)'.
reprezintd
probabilitatea
ca
produsul
sd fie
in
stare
de
functionare
la
momentul
t:
A(t
)
:
R(r
)
+
ltr,(r)
(
I
-F,,p
(
t
-
r
) )
dr
unde 6
reprezintd
timpul
caracteristic
reparafiilor,
raportat
la durata de
viald a
dispozitivului,
cu
condilia
ca acesta
sd fie
nou
la
momentul
t
:
0.
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
28/76
Coeficientul de disponibilitate A'.
reprezinti
raportul
dintre
media
timpului
de
funclionare
gi
valoarea
medie
a unui
ciclu
functionare
-
reparare:
/m
-L
lTlrep
-r
m
m,"o
este media timpului de
reparare;
m
-
media
timpului
de func[ionare.
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
29/76
Noliuni
de teoria
probabi
utilizate
Tn
fiabi
itetii
tate
Curs 4
Bibliografie:
L
Cordog,
N., Filip,
N.
Fiabilitatea autovehiculelor.Ed.
Todesco,
Cluj-Napoca,
2000;
z. Mihoc,
G., Micu, N.
Elemente
de
teoria
probabilitdlilor
gi
statisticd. Ed. D.P., Bucuregti,
1971.
3 Trandafir, R. Introducere in teoria
probabilitililor.
Ed.
Albatros,
1979.
oat
aaaN
OOs-\N
asN
;
N,
'l:,lti
,'.i:;'
1N
",7
'11"'
aaa
oaa
$
aaNs
OSS',
SS:'
,,,
S;
:',:
Definitii
gi
notiuni
o
o
de
bazd
evenimenf
-
orice
rezultat al unui
experiment;
variabile
aleatoare
-
variabile
ce
pot
lua
o
valoare oarecare
dintr-un
ansamblu
determinat
de
valori
qi
cu care
este
asociatd o repartilie de
probabilitate
;
variabile aleatoare discrete
-
evenimentul
nu
poate
lua
decit
valori individuale;
variabile
aleatoare
continue
-
sunt
alocate toate valorile
unui
interval finit;
probd
-
rezultatul unui
eveniment;
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
30/76
Evenimente
caracteristice
teoriei
probabilitdfilor
Eveniment elementar
-
rezultatul unui singur
experiment
;
Daci
notdm
cu:
K
-
mullimea tuturor evenimentelor asociate
unui
experiment;
T
-
funclia
care declangeazd experimentul;
0
-
evenimentul nu are
loc;
7
-
evenimentul se
produce.
y
: K +
[0,1J;
Eveniment sigur o.'care se
realizeazi intotdeauna
Evenimentul contrar al unui
eveniment
Ca
aaa
ooa
8,
e
as6li
O&S
air
/&
Wi
+ii
''j./.1
,,
SS
;:-rtr ll
Prabahilitatea:
reprezintd
o
no{iune
fundamentald
gi
este
definitd
ca
fiind:
gansa
ca
un
experiment
si
aibi un rezultat
favorabil. Astfel,
daci
un experiment este
efectuat de lf
ori,
constatindu-se
n rezultate favorabile
pentru
un eveniment
A
favorabil,
probabilitatea
de realizare a
acestuia este:
P(A)
-
n
t/
Aplicatie
Dintr-un lot de 50 de
autavehicule
Logan
livrate
concomitent,
gtiind
cd
in acel an s-au
livrat in total
in
lard
5000
autovehicule de acelagi
tip, iar in
circulafr'e
se
afld
un numdr total de 50000 asemenea
autovehicule,
fiind
la volanul unuia
din
acestea,
sd se determine:
a)
pirobabilitatea
de
a intillni un autovehicul
din
acelagi
lot;
b)
probabilitatea
de
a'intdlni
un
autavehicul
avilnd
acelagi
an
de
fabrica{ie.
aaa
atl#
a3s+;
O
f;:
S.l'=
Si F
=:ill
#\ I *.,,:i
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
31/76
Algoritmul
rezolvdrii
Se noteazd:
A
probabilitatea
de a int1lni
un
autovehicul din acelagi lot
B
probabilitatea
de a
int1lni
un autovehicul
din
acelagi an de
fabrica(ie.
P(A)
=
(50
-
1)
/
(50000
-1)
=
9,8.
10-4
P(B)
=
(5000
-
1
)
/
(50000
-
1
)
=
0,09998
aaa
fffsN
a a.\\
\\\
a,Ss\,
tS
*S
:i
s:
:
Even i
m
ent
p
ro
bahi
I
isti
e.
ConsiderAnd un set de observatii
gi
P
probabilitatea
asociatd
fiecirui
eveniment A cu urmatoarele
proprietili:
P(o)
-r;
P(A+B)
-P(A)+P(AB),
daci:
A'B:0
Teo rem
a
p
robab i I itdli i total e
:
Este una
din teoremele
de bazd
in
determindrile
de
fiabilitate, constituind
punctul
de
plecare
Tn
determinarea
indicatorilor de
fiabilitate
9i
mentenabilitate.
Dacd evenimentele
Ai
sunt
o desfacere
a evenimentului
sigur
gi
daci
B
este
un
eveniment
oarecare
al cAmpului
de
evenimente,
atunci:
RRR
P(B)
:
P
(
Ar).
P
f
L)
r
P(
Az).
P(
L
)
+
...+ P(
Ai).
P(
L
)
-
...;
aaa
aooN
O'N
N
a
:.\\
N
\\\.t-
ti'
I
At
Az
A;
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
32/76
Teorema
(legea)
lui
Bayes
Formula
lui
Bayes
se considerd a
fi
derivatd din teorema
probabilitilii
iotale sub forma enunlului de
proprietdli
ale acesteia:
P(
A)'Pf
lt
Ai
P(B)
aoa
aOer
OOisS
lD
//+i.:
li:::
;
iLk'
+
:
P(4):
B'
Formula
lui Bayes este un instrument frecvent utilizat, fiind
derivat
din
teorema
probabilititii
totale, agreatd
atAt in determindrile
de calitate
(AQL,
AOM) cAt
gi
Tn
teoria fiabilititii,
Tn
aprecierea evenimentelor
aleatoare.
Se
va
putea
observa
la
aprofundarea elementelor de teoria fiabilitdtii
ca sunt
indlcatori care se determind
strict
prin aplicarea acesteia.
in
cazul
repartiliilor
discrete,
relalia
de
probabilitate
datd
de aceasti
formuld
asigurd
succesu
I
determi nirii even imentu lui
probabi
L
Exemplu
1.
Un cablu de acceleralie se
poate
achiziliona
de la
trei intreprinderi
producdtoare.
in
urma unui
control de
calitate
efectuat
prin
sondaj,
pe
loturialese aleator, s-a
consfat cd doud fabrici au
produs
90 de caburi bune
gi
cite
4 defecte, iar cea de a treia
a
lnregistrat numai 3 cabluri defecte
la 100 de cabluri
produse.
Sd se determine
:
a)
probabilitatea
ca un
cablu
ales
la intdmplare
provenit
de
la
cele
trei
fabrici sd fie defect;
b)
probabilitatea
ca
piesa
defectd sd
provind
de la cea de a
treia
fabricd.
Rezolvare:
Esfe deci cazul unui
cdmp de evenimente
incampatibile
doud cdte doud,
provenite
dintr-o
mul,time numdrabrTa.
Sa
considerdm, deoarece
primii
doi
fabricanli au aceeagi caracteristicd
referitor
la
numdrul
pieselor
defecte din
lot, cd
problema
se
poate
simplifica
lu1tnd
in
studiu doar cele doud tipuri
distincte
privind
structura
calitativd
a
pieselor.
coo
cae#
a
a,qi
+
l|
ij;
t :=
=
a.::
,=,::::
,
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
33/76
Astfel se considerd:
-
fabricile cu structurd
de
produclie
de tip
A realizand
cdte 90
cabluri bune
gi
4 defecte;
- structura de
produclie
de tip B, in care
s-a
constatat un
numdr
de
3
cabluri
defecte dintr-un
total
de
100 buc.
aaa
taf.s
..iNN
f
.,\-j\
\S
:::i
'$\\
:;r'::
Pentru
a afla
probabilitatea
totala
se impune efectuarea unor calcule
preliminare
in scopul determindrii numdrului total al egantioanelor
provenite
din cele trei fabrici
gi
in continuare determinarea apoftului
fiecdrui
producdtor
la numdrul total de
rebuturi din
egantioanele
caracteristice.
Aplicand rela{ia
probabilitd{ii
totale, se
ob,tine
probabilitatea
ca
un
produs
verificat la intimplare
sd fie defect:
RRR
P(Bl
:
P(Ar).P
(:-t*
P(
Az).P(L)+...+
P(
Ai).P(a)-...;
At
Az
Ai
4q0
3
97
P(A):
94 194
r00 194
La
punctul
b),
se solicitd
determinarea
provenientei
unui rebut
dintr-un
anumit
egantion.
in
acest
scop
se
aplicd direct
teorema lui Bayes
gi
se ob,tine:
orA,r-
l _/-
P(
a).rf
al
Ai
B',
P(B)
397
p(4):
100
197
:
0,42
'
A'
0.035
aao
oaa
s
aaNs
aSS,'r,
SS,;.,
,,,,
$$i,.
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
34/76
aaa
ata
aa&&
a;:
C&&z:it;
#&:==:.
#
S
;,i,zu,
,,..
+
#.t.='
::.
Exemplu:
Care este
probabilitatea
ca circuland
pe
un
drum
public
sd
rdmin Tn
pani
datoriti
unei
explozii de anvelope
pe puntea
fald,
Este cunoscut
ce75%
din exploziile
de anvelope
se
produc
pe
puntea
fald.
Explozia de anvelope in
general
reprezintd
5o/o
din cauza
penelor
de vehicule.
in
gener,al pe
drumurile
publice
rdmin in
pani
3% din totalul
celor aflate
in
trafic.
R
P(A)
=
0,03
,
P(
A,)'
P(
,
)
P(B/A) =
0.75
Pf
4l:
;.;,
A'
;
P(B/C(A)
=
0,05
'
B'
P(B)
p.=
(o'03'o'7n
=a317
(.03.0.7s +
0.050.97)
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
35/76
LEGILE DE DISTRIBUTIE
UTILIZATE
TN
TEORTA FrABrLrrATrr
AUTOVEHICULET-OR
copyright
@
2013
C/asificare:
Legi
de distribu{ie
pentru
variabile
aleatoare
discrete:
tr Distributia binomiali;
tr Distribulia
polinomiali;
tr Distribulia Poisson
(Legea
evenimentelor
rare);
Legi
de distribulie
pentru
variabile aleatoare
continue:
tr Distribulia uniformS;
tr Distribulia
exponenliald;
tr Distribulia
normali
gi
lognormald,
tr
Distribulia
Weibull;
E Distribulia Gamma;
tr
Distributia Student.
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
36/76
Distribu[ia
binomialS
Repartilia a
fost
studiatd
de
J. Bernoulli,
care a dat
gi
prima
schemd de
realizare
a acesteia:
Ludnd
in
considerare o
succesiune
de
extraclii
independente dintr-o
urnd
care
conline
A
bile
albe gi
B
bile
negre,
iar
dupd fiecare extraclie
bila
fiind
reintrodusd
in
urnd, s-a studiat
probabilitatea
ca
Tn
mod
aleator
sd se extragd o
bili
alb6,
respectiv una
negri.
Probabilitatea
p
de a
extrage o
bild albi va fi
constantd
gi
egald
cu:
P--A(A+B);
Probabilitatea
contrarie
q
de a
extrage
o bild neagr6,
va
fi
de asemeni
constantd
qi
egald
cu :
q:B/(A+B);
astfel
cd
suma
celor
doud evenimente
va
fi:
p*q:1
Legea de repartilie binomiali
se utilizeazd la studiul distributiei
erorilor
de misurare,
la
analiza
comportdrii aparatelor
gi
tl
fiecare
incercare sd formeze
un set complet de
evenimente
compatibile
qi
incompatibile,
adtcd"
sd
existe
numai
doui
rczultate
posibile;
tl
probabilitatea
de
aparilie
a unui
fenomen
la fiecare
incercare
s5.
fie constanta
qi
egald cu
p,
caz
in care
probabilitatea
evenimentului
contrar
q
va
fi:
Pc,n:1-P-q;
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
37/76
Daci
p
reprezintd
probabilitatea
de bund
func{ionare,
q
va fi
probabilitatea
de aparilie a defecliunilor.
Numdrul
de
repetdri
a evenimentului
A
va fi
"n",
variabild
discretd, care
poate
lua k valori, cu repartilia de
probabilitate:
P(A: k):
c ,
po
q''o
:
"#-.
po
.
q''o
;
unde
p
esfe
probabilitatea
de
succes
a
evenirnentului
g
esfe
probabilitatea
de
e$ec
a experimentului
k
indicd
de cdte ori evenimentul A apare
(mai
exact
(
indicd
de c6te
ori apare
evenimentul A,).
n
este numirul
total de evenimente
(experimente)
Expresia
funcliei de
repartigie
este:
n
F(k):i.
. l' .,,
pk
q-,
k
'
-k (n_k)
r
'
k:u
I
nd icatorii
ca
racte
ristici
su
nt:
Funcjia de repartilre F(t):
n
"-l
S n k , n-k
f(k): P"
q
k=0''
I
'
Valoarea medie a variabilei:
rn
-
l,t[
fx
:
k
J
:Zki
pi
=
,1,U,
Ch,
pu'
qln'n'
;
Modul
de sondaj:
n'p-q
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
38/76
Dispersia:
D[X]
:M[X'-M(X)] :Zl\-t(*n"''''n'p
)''po:
n'
p'(l
-
p)
Abaterea medie
pdtr
atic6:
I
I
o':D"[xJ:4n'p'q
Aplica(ia 1
Se considerd
sistemul de monitorizare
a
conlinutului de
oxigen
din
gazele
de
evacuare
bu doui
sonde de oxigen
montate
una
in
amonte
gi
cealalti
in aval
de
catalizator.
Sd se
determine
care
este
probabilitatea
ca
sistemul
si
funclioneze
cu ambele
sonde
in stare
de
funcliune,
daci
probabilitate
de defectare
a
sondei de
oxigen
este
0,1.
Rezolvare:
1 . Pa
rticu
I
arizarea
pa
ra m
etri
lo
r
ca
racteristici
:
(
n
-k
)
pk
q-n
k
n=2
p=0.1
deci
q
=9.9
x reprezintd
numirul
de
defecte
admis,
in
acest
caz
fiind
:
0
n
t-
-k
:u
n
F(k)
:
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
39/76
Daci
se fac ?nlocuirile
nurnerice
in ecualie
va
rezulta:
r(*)
=
=]---.(o.r)'
.(o.r)'-o
-
0 .(2
-
o)
:3(r)
(o.q)'=0.81
Aplicatia
2
Se considerd un
motor
in
patru
cilindrii.
Sd
se
determine care este
probbbilitatea
ca
sistemul
si
funclioneze cu doi cilindri
defecli, dacd
probabilitate
de
defectare
a
oricirui cilindru este
0.05.
Rezolvare:
1
. Particu
I
arizarea
parametri
lor ca
racteristici
:
, S
n
k
-
L
t(k):lt
t
rr-t
1,
P"
q-"
n
k:U
\
/
n=4
P=0.05
deci q
=0.95
x reprezinti numdrul
de
defecte
admis,
in acest cazfiind
:2
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
40/76
Aplicafia
3:
Se
experimenteazd I0 elemente
,
la care
pot
sd apard 0, I, 2, ..,10
defectdri.
Sd se
calculeze
repartilia
de
probabilitate P
(X:k),
valoarea
medie
MIXJ,
dispersie
D[X]
Si
abaterea
medie
pdtraticd
tn urmdtoarele
trei cazuri
considerate
:
a)
P
:
o.I;
b
P:
0.2;
c
P:0,5;
d)
p:0.75;
e)
p:
0,85.
Si se
traseze
gi
reprezentdrile
grafice
P[X]
pentru
cele
trei
cazuri cu
indicarea
valorii
medii, modului
gi
medianei.
Rezolvare:
F
pentru
determtnarea
repartrtiei
este
necesar
calculul
in
prealabil
al
combindrilor
C,,o;
F
probabilitatea
contrade
se
va
determina
pentru
fiecare
din
cele
5 cantri
luate
in
studiu;
F
datele
oblinute
prin
calcul
se
prezinta
in tabelul
aldturat:
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
41/76
1
10
0,387
0,268
9,7
.
0,019
0,a27
2,4 .
6,4.1t4
1,9.1t3
4,1
.10-4 2,6.10-6
3,9.10-8
10
-5
5,0
,
1A
;7
.8,3
10
-e
10-6 7,5.1o-e
1,4.10-e
1.6
.
105
819
:
1t5
5,1
3,3
. 1t7
3,5
. 1A6 5,0 .
10-3 2,8 . 10 3,2.
lA
1o-3
1,1.10-5
1,4.10-7
10
-B
1
,0
. 10
-n
,2,4
,
10
-11
10-s
9,4
. 1O-rt 2,6 . 10-12
245
120
4
5
6
210
252
210 5,3.,10-s
1,2.1C7
4,3.1t7
9,4.10-e 2,0.10-10
7
120
845
t,7t ):'ltlt
3,-1
,1tn
3,0,.
9,6
. 10-1
8,5
10
-11
1,9 .
10
1,1
.10-14
1,9.1e12
1,0.10-to
7,8.10-12 2,4.10-13
Nr.
defectdri
r
k
kun
p=0.1
n:0 )
r
p:0,5
p=4,75 p=0,85
1A
ry|-
modul
D 0,8
0.848
0,1
1,2
,
4,5
7,25 8,35
1,581
1,369
1,275
1
,129
F(r)
0.4
0.3
0;2
0.1
0
N
P:0,1
r
p:0.2
P=0,1
124
6
81
Numar defecte
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
42/76
Aplicalia
4
Se considerd
un
eSantionfonnat din
l7
autovehicule
ce
ur"meazd
sd
tr"eacd
printr-o
interseclie semaforizatd.
Sd
se
determine care
este
probabilitatea
de trecere
prin
interseclie a 0, 2, 5, 7, 9, I
I,
l 5
Si
17 autovehicule, cunoscdnd cdfunclia ce
guverneazd
aceastd
probabilitate poate
lua
valori: I/B;
3/B;
l/2; 5/B
Si
7/8.
Comentariu
$i
rezolvare.
in
enunlul
aplicaliei,
s-a
utilizat nofiunea
de
functie
de
probabilitate,
care
in fapt
reprezintd
funcfia empiricd care
poate
guverna
rata de
succes
a
evenimentelor
(posibilitatea
de
trecere
prin
interseclie
a
numdrului
de
autovehicule considerat).
Explicit
se
pune problema
densitdfii
de
probabilitate
a
ratei de succes a evenimentului:
prin
intersec{ie
trec,
0,2
.. 17
autovehicule dacd
func{ia
empiricd
ce
declangeazd evenimentul
este: 118
..718.
Se
mentioneazi
cd
valorile
acestei
funclii sunt cuprinse
in
intervalul 0 .. 1
Densitatea
de
probabilitate
a ratei de succes f(t)
Probabilitatea
de trecere
Numdr de
treceri
1/8 3/8
1/2
5/8 7/8
a 0.10
3.389*10-4
7.629*10-6
5.734*10-8
0.00
2
0.29
0.02
1 .037.10-3 2.166.1
0-5
2.959.10-
12
5
0.04 0.16
0.05
4.563*10-3 4.618*10-8
7
2.439"103
0.18
0.15 0.04
7.112*10'6
9
6.223*10-5 0.08
0.19 0.14
4.356*10-4
11
6.466*10-7
4.02
0.09 o.2a
0.01
15
2.959*10-12
2.166.1 0-5
1 .037.10-3 0.42 0.29
17
0.00
5.734*1A
8
7.629*10'6 3.388*10-4 0.10
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
43/76
L
a
6,)
q)
o
p.
'1-
t
-^
.^
{A
r"
p..
r\n
p.
i\.
A
=-,-0.
H
Ef
F:1/8
51015
ki
Valorile k
oo
F:3/8 0.o
F:1/2
A..1
F:5/8
t'*
F:7/8
Varialia indiCatoi-lui
densitate de
probabilitate
Aplicatie
Se
considerd
un
nod divizor de
trafic
(fig.
2.12), in care se
efectueazd
o observalie
discretd
qi
prin
care intr-ttn interval
caracteristic,
sosesc fn
pluton
20 de
autovehicule. Admildnd
valorile
funcliei
empirice acceptate
pentru prognoza
incdrcdrii
arterelor divizoare de trafic
marcate
fn
figttra
menlionatd,
sd se
determine
probabilitatea
de succes
a uruti numdr
de
treceri
pe
arterele
I, il, III
qi
IV,
astfel:
artera
I
-
B vehicule, artera
II
-
5
vehicule, artera
III
-
3 vehicule
Si
artera
II/
-
4 vehicule.
Pentru
probabilitdlile
determinate
sd se
calculeze
valorile
medii
Si
mofuil de sondai caracteristic.
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
44/76
Schifa
nodului
divizor de trafic
ai
funcliile
asociate
celor
patru
direclii de deplasare.
-r*ns'u1
{ip
d*plasare
t* F
,A$
t',./*l'rinb:s.
r1,{r-r
r-
-r
,-.
h t^
t--
r
1l
Ht tIt
U
l\
il_
l:lt-*i":,J
*'t,+-1
ft
it'l'ir
Ll
tJiq:3tjTg5T
5
Fjil
5.F;lt:]
'1,
1:tf,.l f
l_:i
tl 5
tl,:: LI.',l i?t_ltililiii
,4
Fi?
4,4r,'l
:*
1 f-r
ilt
3
t-i
'1f
r:1f::4u:ri4B
T.TJ
i,rtrLl 3.7*
1 [t'r
IT
4
r.J,13
t]
14i-rLiti4,$45
l.T:-1
?
fir-l
1
.3*
1
l-3
Se observd
cd
referirea valorile
medii
se
face
raportat
la
unitali
de
mdsurd exprimate
in vehicule
pi
interval de observare.
Mdrimea
intervalului de observare
insd nefiind
o valoare
absolut
necesard
in
caztlJ variabilelor
aleatoare
discrete
poate
sd
lipseascd
gi
in
acest
cazrezultatul
este
intrinsec,
frrd
insa
a exista
posibilitatea
generali zdrri temporal
e
a
val
oril
or
calculate.
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
45/76
Repartl{ia
pol
i
nom
iali
Reprezintd
o
generaltzare
a
reparti{iei
binomiale,
fiind
specificd studiului
fiabilitalii
mijloacelor
de
mdsurd
gi
control.
in
acest
caz
se
introduce
vectorul m
-
dimensional
cu
repartilra
k,, k2, .,k*.
Expresia generald,
a
probabilitdlii
este:
Pn(kt,k2,..,kr,):
.
,
-
,' a ,
po,' p|t pn:;
kt
kz
k*
Repartifia
Poisson
(
legea
evenimentelor
rare
)
in
teoria
probabilitafllor
gi
statisticd,
Legea
Poisson
de
distribu{ie
este o
distribu}ie
de
probabilitate
discretd
care
exprimd
probabilitatea
de
aparilie
a
unui
anumit
numdr
de
evenimente
care au
loc
intr-un
interval
fix
de
timp
gi
/
sau spaliu
?n
cazul
in
care
aceste
evenimente
apat
cu o
ratd
medie cunoscuta
qi
independent de timp
de la
ultimul
eveniment.
(Distribu{ia
Poisson
poate
fi,
de
asemenea,
utilizatd,
pentru
evaluarea
prob
ablld a
evenimentelor
specifice
unor
alte
intervale, cum
ar
ft
distanta,
zond,
sau
de
volum.)
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
46/76
Reparti{ia Poisson
(
legea
eYenimentelor
rare
)
Este
caracteristicd
repartifiei
unor evenimente
cu
ratd
de
frecvenld
redusd
ca
de
exemplu:
producerea accidentelor,
defecliuni de
magini
gi
instalalli,
aparilta
unor
piese
necorespunzdtoare
?ntr-un
lot
de
piese
foarte bune.
Rep
artif
i
a
e
ste
car
actenzatl,
prin
faptul
cd defecf
iuni
I e
care
apar sunt extrem de
rare, astfel cb
funclia
de
defectare are
valori:
F(t)
a
0,1
qi
este
aceeaqi
pe
orice
interval
din
durata de
exploat
ar
e
a
produsului.
Acest fapt
se
transpune
sub
forma
matem
aticd,:
m
:
n'p
-
7
Domenii de aphcare
a
distribuliei
Poisson
Sistemul electric
de exemplu: apeluri telefonice
care sosesc
Tntr-un
sistem.
Astronomie exemplu:
fotonii care
ajung
la
un
telescop.
Biologie de exemplu:
numdrul
de
muta{ii
pe
o
componenta
a
ADN-ului
pe
unitate de timp.
Management. clien{ii
care
sosesc la un contor
sau Call
Center.
Ingineria
Transporturilor: autovehicule care
ajung
la un semafor.
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
47/76
Dacd,
numdrul
de aparilii
(evenimente)
agteptate
intr-un
anumit interval
de timp
este
1",
exact k
evenimente
(k
fiind
un
:
0,
1,2,...)
este
egald cu:
f
{e;
"U
Unde:
k
este numdrul
de aparilii
ale
unui
eveniment;
)"
este
un
numdr
real
pozitiv
,
egal
cu
numdrul aqteptat
de
aparilii in intervalul
dat.
De
exemplu,
in
cantl
in
care
evenimentele
se
petrec,
in
medie,
de
4
ori
pe
minut,
?n
canil in
care se doregte
determinarea
probabilitaJii
apariliei
unui
eveniment
de
k
ori
?ntr-un
interval de
10
minute, s-ar
folosi
o
distribu{ie
Poisson
ca
modelul
cu
l,
:
10
x
4: 40
.
afunci
probabilitatea
cd sunt
numdr
intreg non-negativ,
k
frf
:*
Densitatea de
probabilitate
in aparilia evenimentului exprimi
qansa
incidenpi
Tntr-
un
interval
de
timp caracteristic sau
raportat la
un
eqantion
reprezentativ
qi
este
datd
de
relatia:
.tk
"/,
r\
/L
-)
J\K
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
48/76
Aplicalia 1
Se consrderd
abservarea
cu
echipament radar
a
regimului
de
vitezd
pe
o
afterd
urband.
Consider1nd
rezultatele inregistrate,
grupate
in
intervale de
viteze conform
tabelului aldturat, sd se
determine
probabilitatea
ca
viteza
legala admisd sd
fie
depdgita
cu:
10,
20,
30, 4a
gi
50
km/h.
Repartiyia
statistica
a
vitezelor
obseruate.
lnterval
de viteze
Ikm/h]
20
20
30
30
40
40
50
50
60
60
70
70
80
80
90
90
100
Nr.
vehicule
incadrate
z
?o
32
41
77
37
14
1
2
Comentariu
9i
rezolvare
Tn scopul rezolvdrii acestei aplicalii, se
impune
in
prealabil
reducerea
ei
Ia
o
problemd
de
tip
probabilistic.
in acest scop,
vom
considera o ierarhizare
a
evenimentelor
k funclie
de
gradul
de
risc
pe
care
il
reprezintd.
Astfel, deplasarea sub
limita
de
vitezd admisi
va
fi
considerat eveniment de
rang
0,
iar
depdgirea
acesteia cu intervale de cdte
10 km/h
vor
constitui evenimente de
rang
1..6
lnterval
de
viteze
[km/h]
50
50-60
60 70
70-80
80-90
90
-
100
k
0
1
2
3
4
5
Nr.
vehicule
incadrate
/Vk
94 77
37
14 1 2
Utilizdnd
noul
tablou de date
rezultate
in
urma
reordonirii
acestora
pentru
a
rispunde cerinlei statistice
9i
de
probabilitate,
se determind
cu
relafia:
1
K"*
r
I
F,
4--
)
K'rtp
l\r
-
=V
Valoarea
parametrului
caracieristic
A=0.
1 92
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
49/76
Se calcule
azd
valorlle
indicatorilor
de distributie.
rezultatete
obtinute
fiind
prezentate
in
tabelul:
k
f(k,
,1)
P(k,
A)
0
0.147
ai47
1
0.281
0.428
2
0.27 0.698
3
0.1
73
0.871
4
0.083 0.954
5
0.032 0.986
50 60
70 80
dom
eniul de viteze
[kmih]
lndicatorii
reoartitiei Potsson.
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
50/76
LEGI
DE
DISTRIBUTIE
PENTRU
VARIABILE
ALEATOARE
CONTINUE
DISTRIBUTIA
UNIFORMA
Repartilia
uniformi
a
unei
variabile
aleatoare
X
se
caracterizeazd
prin
faptul
ci
toate
valorile variabilei sunt echiprobabile.
Daci
variabila
aleatoare
X
pe
intevalul
la,
b]
are
aceasti
caracteristicS, atunci
repartilia
densit5fii de
probabilitate
va fi:
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
51/76
la,
bJ;
pe
I
I
)
intervalul
I
f&)'
.Funcli
Dl
este
FIX
Graficul
densitdfii de
probabilitate
al
funcliei
este
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
52/76
.,.,*|
Principalii
indicatori
statistici
sunt:
H'
'
r
Media
teoreticS:
MN
-
f"*.
f(x),-dx
-
f"+4i
:
D-A
2tb
xl,-
a+b
2.(b-a)
2'
Dispersia:
Dtxl
-
M[x -M(n]
_
("-b)'.
12
'
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
53/76
Repa
rtitia
exponenfia
li
Distribulia
exponenliala este frecvent
utilizati in
determindrile
de fiabilitate
datoritd
faptului
cd exprimd
o
lege
simpla
gi
perform
arfid,
in
calculul
matematic.
Este
denimutd
gi
"legea
de
distribulie
cu
un
parametru"
r
Parametrul
caracteristic este mediu
ststisticd
de
sonduj,
regdsitd
in
relaliile
de
determinare
a
indicatorilor
caracteristic
r
ca
inversd u mediei,
notat[ cu :rl
1
/t
--
l']'l
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
54/76
I
,,'fu
Indicatorii caracteristici
sunt:
r
Densitatea
de
probabilitate
atimpului de
funclionare:
f(t)
:
7'e^';
7>
o;
Reprezentarca
grafrcd
a
varialiei
fiind:
indicatorului
f(x)
n
"X
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
55/76
Indicatorul
forma:
funclia
de
fiabilitate
este
de
R(/)
-
e
1
t
n
-/Lt
-Y
0.8
u.b
R(x)
particulanzeazd,
aceastd
lege
de
distribufie
z(t)
-
f
(t)
_
1
-7
Indicatorul
"F&ta
de defectare"
R(/)
Functia ratd a defectdrilor
constitue elementul caracteristic
al acestei
legi
de distribufie,
caracterizatddin acest
punct
.
de vedere ca
fiind:
funcliu
cu
ratd
de
defeetare constsntd
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
56/76
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
57/76
+-5
ed,
*
ry
Algoritm
de
rezolvare
Exprimarea
pa
ra m
etru
/u
i
ca
ra
cteristic
I
fn
unitdli
de
mdsurd
corespunzdtoare:
,L
-
4.
I0-'
ldefecte
I
kml
Calculul
indicatorilor
de
fiabilitate
corespunzdtor
punctelor
de analizd, fn
interual
de
5000
km;
Rezultatele
obeinute
se
prezintd
fn
tabel:
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
58/76
Graficul de
variatie
calculafi:
o
\.
:
-r-
05
^l
E
al
indicatorilor
de
fiabilitate
,--O'O'
l1,
-v
/?\'
'
v
(.
)
t,)
4
0
1.10
'
rot,
+
R(t)
o-o
F(t)
JJJ
2.10 3.10
4.10'
t.
1
parcurs
realizat
[km]
4
5.10'
:l
6.10'
.o.tou,
AplEca$ie 2
r
Studiul
unui
egantion de
pistoane,
la
momentul
t
:
10000
km,
din perioada
viefii
utile, a dus
la
determinarea
valorri
empince a
funclrei
de
fiabilitate
:
R(t)
:
0,622,
r
Sd
se
determine
rata
cdderrlor
gi
medra
timpului de
funclronare
caracteristtce
populaliei
din
care
a
provenit
egantionul.
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
59/76
ffi,
J
@
Algoritm
de
rezolvare
Din
relafia
de
determinare a
funcliei
de
frabilitate,
se
determind
parametrul
caracteristic
fr:
1-
lnR(r)
t
se
obfine
pentru
fr
valoarea
de:
4-748
lt5
fdef/kmfl,
care
reprezintd
gi
rata cdderrlor z(t).
pentru
media trmpului
de
funceionare,
se obeine
valoarea
de
:21060
[km/
Aplicafie 3
Cate
este
probabllitatea
de
supraviefuire
a
unui
egantion
de
100
unitali
supuse
observirii,
dacd
media
timpului
de
funcfionare
intre
rcparalii este
de 80
unit[1i?
Dar
dacd. se
alege
intervalul
de observare
in
limitele:2AA
-
300
unitd1i,
s[
se determine
valoare
indicatorului ratd de
defectare: z(t).
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
60/76
.ffi
=L
@
Algoritm
de
rezolvare
*
Probabilitatea
de supravietuire,
identificatb
prin
indicatorul
functie
de
fiabilitate,
este:
_r
ro0
l
R(l00):e'80
I
-
0'2865
Probabilitatea
de
supravieluire
pentru
intervalul
de observare
200
-
300 unitEti
va
fi:
R(3oo,2oo)
-
g=P
-
"_#
:0.2865
n(200) e- vu/6u
Care
va
fi
valoarea
ratei
de
defectare
z{A=
l/SC}
=
0.125
[deffunit.]
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
61/76
istribulia normal5
gi
lognormal5
u{ia
poartd
denumirea de Gausfi
}
-
Laplace[ll
in memoria
marilor
au
pus
demonstrat
aplicabilitatea acesteia
pentru determinarea
erorilor
de
misurare.
In
exprimarea
uzuali
mai
poate
fi
intAlniti
sub denumirea
de,,clopotul
lui
Gauss", datoriti formei
caracteristice
a
variatiei
densitdtii de
probabilitate.
[J
Johann
Carl
Friedrich
Gauss
(1777-
1855),
matematician
gerrnan.
p|
Pierre-Simon, marquis
de
Laplace
(1749
-1827),
matematician
9i
astronom francez.
Este
caracterizati
prin
doi
parametrii
statistici
determinan{i
pentru
aceasti
distribu ie:
parametrul
de localizare:
I/
gi
care
reprezintd
din
punct
de
vedere
statistic
media
de sondaj,
asociati
fenomenului analizat;
parametrul
de scari
(de
scari
-
scalare):
o, care
este din
punct
de vedere
statistic abaterea
medie
pitraticd
(deviafia
standard)
a
girului
de date
asociat fenomenului analizat.
densitate de
probabilitate
a evenimentului,
f(p
(m),o,x),
',
-6-P)'
^
t
r
-l
l(u,o,x)- _e
-'a
o
.\l
/..8
4
I.
\l?
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
62/76
Pentru
definirea functiei cumulative de
distributie
a evenimentelor
probabile,
se utilizeazd
expresia
integralei
Laplace,
care
permite
normarea
ncliilor caracteristice
pentru
distribu{ia
normalS
,/6)=
J#
"-T,',',
Distribufia
cumutativi
specificd
reparti[iei
normale
se determind cu ajutorul
integralei
Laplace, utilizAnd relalia
r-l.\
-
^(
'-
*)
r\t)=al-l
\o)
r
_t"-+,J'
F{r =-L [u-F.r,
""
tr
5V
-'
lT
'D
{n
u.b
r
*.S
.:-
il-4
s.t
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
63/76
Functia
de
fiabilitate
R(t)
n(t,rn,o):
.'{
lr
.---,",,,,**,-*----,
t Jr
:'L
,?
r-l.i-.:
''
rl-
t
a(
m-r)
\6 /
r,i,
il-
_r'.1r
rl-
.a
i :-r, i'
:1.-* 3
:t-:
{f T
;t
.t
fl
u.s
*.fl
nn
u.d
fi
Af
+*ll 6
r
U:U,.J
*-x
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
64/76
Rata de defectare:
m=Me=MO=2t5
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I
n
+
L
ti
Aplicafie:
Si se calculeze
gi
sd se reprezinte
grafic
indicatorii de fiabilitate ai unei
distribulii normale
dacd se cunosc:
media timpului
de
funclionare 21.000
ore, abaterea medie
pdtraticd'.42A0
ore.
Intervalul
de
reprezentare: 5000-
40000 ore
Distribulia Log-normali
itatea de
probabilitate
a
evenimentelor
,
_(,r(.rFr,
):
f(*.n,o)
=
---),-'e
2'o:
x'o12'tr
Media
de
repartifie
lognormali,
se
determini
cu
relalia
o2
/t+
^
m--g
'
,
Mediana repartifiei
este de
forma:
r.t
U
LVLe
-
e'
Modul de repartifie
fiind in acest
caz
I r u-o2
tvto
-
e'
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
65/76
f
8.
1
= I
,-:.----.-*
'#
I f+
*'T.(Ttrj.3E
{s
E{r}
trtr -1-"r{r}
3.{r
}
*
.f"t/
l
e{ri
Spre deosebire
de
cazul
distribuliei
normale,
pentru
distribulia
log normald
se
pot
identifica
varialii ale indicatorului
densitate
de
probabilitate
care
apr{pie interpretarea
varialiei indicatorilor
de
alte distributii.
Aplicalie MathCAD
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
66/76
Distribulia Weibull
Legea
de distribulie
Weibull
are
o
aplicabilitate
deosebiti
in
determinirile
de
fiabilitate, fiind
propice
utilizarea
acesteia
in
caracterizarea oricbrei
perioade
caracteristice
din
viata
produsului.
Este
utilizati cu
prioritate
in aprecierea
distributiei uzurii
elementelor autovehiculului
(rulmenti,
arbori
cotili,
pistoane,
etc,),
subansamble
gi
ansamblul
general
a
utoveh
icu | .
Constituie
un
instrument
puternic,
cu caracter
general
in
aprecierea cdderilor
provocate
de
evenimente a
cEror
repetabilitate
poate
fi
gestionat5
in
secvente
de
timp
De la 1930 la 1950
W. Weibull
O
efecWD\A6wdlldlferL\H cu
privire
la oboseal5,
in
care
el
gi-a
dat
seama
ci
nu
a putut
descrie
comportamentul
rezultat al
egecului
(iegirea
din
uz,
defectarea
la
oboseald)
cu
distributiile
cunoscute de
p6ni
atunci.
Prin urmare,
el
insugi a
incercat
sE
dezvolte
o
distribulie universalS,
pe
care
el
a
publicat
in
detaliu
in 1951.
Distribulia
Weibull
esW
cDrDcwrlzO\d
in
teoria
probabilitbtilor
ca
o
distributie
asimptoticd a extremelor.
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
67/76
Este
caracterizatd
prin
trei
parametrii
care
determini
variatia
indicatorilor
de
fiabilitate
a,
-
parametrul de
localkare
(pozi;ie)
sau
al
originii de timp,
caracterizat
prin
a
>
tgi
se exprim5
in
unitili
de
timp sau
de
parcurs;
P
-
parametrul
de
formd,
de tip
adimensional,
caracterizatprin
p
>
q
ry
-
parametrul
de
scard, exprimat in
unitbti
de
timp sau
de
parcurs gi
caracterizat
prin
ry
>
0
;
Indicatorii
de
fiabilitate
caracteristici
sunt:
-
fundia de
fiabilitate
R(t)
-(tJ)P
e77,
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
68/76
indicatorii de
fiabilitate
caracteristici
.1
,
R,
--
^
g
r.l
=
""'
;
a
l.+
R-
I,:
-l
-1.3:
.t0
-,
Di
l
.-1
0t
-10
-
5.10 6.10
I
L
a
\rariabrla
de
timp
Ikml
beta
=
0.5
beta
=
i
beta:
1-5
beta:2
beta
=
3
t'
.1O
I
Indicatorii
de
fiabilitate caracteristici
-
functia
de
repartitie
a
timpului
de
functionare
F(t)-
.t-d n
-(
),
erl
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
69/76
Indicatorii
de
fiabilitate caracteristici
functia
densitate de
probabilitate
a
timpului
de
functionare
f(t)
-
Efa)o-'.n-'nf
";
ryrl
Indicatorii
de
fiabilitate
caracteristici
I.J
I
nf
U.LT
[.ri
[.4
tj.1
l
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
70/76
Distributia
Weibull
permite
modelarea
completd a comportirii sistemelor
(inclusiv
autovehicul), in intreaga
durati
de via 5.
Distribulia
Gamma
-
generDlizUtd
Reprezintd
o
distribulie specifici
variabilelor
aleatoare
continue,
cu
aplicabilitate
semnificativi
in dezvoltarea
aplicatiilor referitoare
la teoria
agteptirii,
sau
in
cazul analizei
proceselor,
dezvoltate
pe criterii
statistice.
Este
caracterizati de
prezen(a
a doi
parametrii
ce definesc aceasti distributie:
o
-
parametrul
de
formd care
permite
identificarea varialiei
indicatorilor
de
probabilitate
caracteristici
gi
valorile
acestui
parametru pot
duce
la
asocierea acestei distribulii cu
cea exponenliali,
sau Weibull
sau
in
unele
cazuri
(mai
rar) distribulia
normald;
B
-
parametrul
de scard,
ce determind
domeniul de
valori a indicatorilor
identificati.;
in
mod curent
valoarea acestui
parametru
duce
la
apropierea
distributiei de cea exponenliald.
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
71/76
Este
generatd
prin
intermediul funcliei Gamma,
caracterizati
prin
intermediul
relatiei:
I
I
f(x)=
l*r'-,
.e
,
dt
,
%n
.'..=..,
w
Funclia
prezinti
citeva
caracteristici ce
sunt valorificate
in
dezvoltarea
distribuliei
de tip Gamma.
r("
*
1)
=,
-
n
.
("
-1)
("
-
z)...2.
t.
r(o)-
r
/r \
*,.
I
l*l-^fn
-
le-"'du
\L/
_;
Densitatea
de
probabilitate pentru distribufia
Gamma
se
determini
cu relatia
.f(*,o,f)=
*"-1
x>0.
a
"-9'x
-rw
t/\
I flx,G, P)
-
0
Distributia cumulativi este
dati
de
relatia
Flx,a,B)=
I
I
I
ttll
I'et, b2,b
i
i,e2.'F2.0
r
1e3,'b2,0
-I--
i,e5,'F1,0
i
1cA,'F0|5
i
T----=-
-1--
-t-
-
ltll
lltl
llrr
lltl
+---r--n---+--
lltl
ilil'
lltl
i---i---l---i*'"
lillo'u
"_t::.=1.**1_
lo,
I
--t---
I
I
I
I
-+---
I
I
I
I
_J__-
I
I
I
I
I
I
tr-
I
I
I
l
t--
I
I
I
I
F_
I
I
I
I
t--
I
I
I
I
-T---
I
I
I
I
-T---
I
I
I
'l
f
1----
\l
+.1
n
:$r,--
I
I
I
I
--t--
I
I
I
I
-1--
I
I
I
I
T_
I
I
I
I
t--
I
I
I
I
t--
1
.i
1
1
-.-.-..,{.5
=
$.&
-
-
-t-.
-
-
-ttot -
'""
i,r'
---l-f -l--"7't
---F---i-l.i'-
--='i----i-lJ-1"{
it
I
-r--i-l'-l
-T---.]----T-
--T---
ltll
--f ---+---+---+---+---
tttttl
---
1-
---1----1- ---
t
---t-
-
-t--*
tttl
ttltl
ltllttl
--
l-
- -
|
-
- -
t--
-T---1----T --
-
1
--
-
lrtttll
F-
--t--*-'. -*
-r----t---t---f---+
---
|
1 I I I l
]
I I
:
rlltttl.l
- -
tr
-
-
-
T
-
- -
r
-
-
-
r -
-
-
r
-
- -
T
-
- -
T
-
- -
T
-
-
-
ttttl,l tl
l*.t"
t
".-t'
i
fr---,i----1
l'
.,'
I
"r''l
t-='--r{--l
t,t:
J"
I
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
72/76
Media
agteptbrii
evenimentului:
m-a/F
Modul
de
varia\ie: uo
-
(a-t)
F
Aplicatie:
Un
sistem
mecanic
urmeaz5
o
lege
de
defectare
de
tip
Gamma,
avdnd
parametrii:
a
=
3
gi
UF
=
120.
Si
se
determine
fiabilitatea
sistemului
corespunzbtor
functionirii
pe
durata
de 280
ore.
r
l,$fi
ir
-l*{}
:
i t..r i
.Rrl${-}t
=
*6
I--#---
=
("}..$51
t-*
l:
={.
n
'
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
73/76
Distribulia
Student
(T)
in
probabilitate
gi
statisticd, Distribulia
Student
(sau
pur
gi
simplu,
distributia t)
este
o
familie de
distribulii
de
probabilitate
continue,
care apare
atunci
c6nd
estimarea
medie
a
populatiei
este de tip
normal,
in
situatiile
in
care
dimensiunea egantionului este micd
9i
abaterea
populatiei
standard
este
necunoscutE.
Aceasta
joacE
un rol intr-o serie
de
analize
pe
scard
la196
utilizate in
statistici
,
Permite
constructie de
intervale
de
?ncredere
9i
este
utilizatd
in
analiza
prin
intermediul regresiilor
liniare.
Distributia
T-
este sip
etrici
gi
in formd
de
clopot, cum
ar
fi
distributia
normal5, dar este
mai extins5,
ceea
ce
inseamn5
cH
este
mult
mai
predispusi
la
producerea
de
valori,
care
sunt departe de
media statisticS.
Acest
lucru il
face
util
pentru
intelegerea
comportamentului statistic
a anumitor
tipuri
de
raporturi
de
cantitbti aleatorii.
Student este un
caz
special
de
distributie hiperbolici
genera
lizat5
.
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
74/76
probabilitate
{'*
5)-%r
f{#}
'',ffig'{$}
v reprezinti nr
de
grade
de
libertate
gi
Ptudent
se
determind
cu
relatia:
??
I
{rn
-
Jf}"
:t'
t:
Ft
pt
repartitia
fr.4.ft
*"35
fr"3&
&.?5
r
fr.3ft
s.3.5
tr"1&
fi"#5
fr.fi*
"'"'-
df
=
1
*
df*Z
'""-
df=
5
*
df=o
fi.8
1f\
-L .lJ
s'"*
-4
a
*"$
vt
}'(
&
o.+
-3S
X
*.*
as
-
J.
{-t
X
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
75/76
Distribulia
Pareto
Distributia
Pareto
a
fost initial dezvoltat
pentru
a
descrie
modelul
veniturilor
intr-o
populatie.
Fenomene
cum ar
fi
mbrimea
populatlei
oragului,
fluctuatiile
de
pret pe
actiuni,
gi
venituri
personale
au
distribulli
cu
cozi
foarte lungi.
Analiza
Pareto
este
o
tehnici statisticb
?n
luarea
deciziilor, care este
folosit5
pentru
selectarea unui
numSr
limitat
de
sarcini care
produc
un
efect
global semnificativ.
Se
folosegte
principiul
Pareto
-
ideea c5,
prin
rezolvarea a
20olo
din
problemele
locului
de
munce, 80%
din reugita
acfiunii
poate
fi
generatb.
Sau,
in
termeni
de
irnbun5t5tire a
calititii,
o mare majoritate de
probleme
(80%)
sunt
produse
de c6teva cauze cheie
(20o/o).
Aceasta
tehnica
ajuta
la
identificarea de 20o/o
din
cauze care
trebuie
sd
fie
abordate
pentru
a
rezolva
80%
din
probleme.
2
dat5
ce
20o/o
din cauze
sunt
identificate,
se trece
la
analiza cauzelor
prin
modele specifice de management.
-
8/10/2019 Curs FTA Partea I
76/76
Densitatea
de
probabilitate
a distributiei
Pareto,
este data
f*{*}
