Curs Geometrie Descriptiva Anul 1 CCIA

A.I. DEFINIŢIE, ELEMENTELE PROIECŢIEI, CLASIFICARE

3

DEFINIŢIE

Proiecţia unui obiect este imaginea sa pe un ecran obţinută prin incidenţa cu ecranul a

unor raze (proiectante) ce descriu conturul obiectului.

1E

proiectia[P]

V

E

[P]

1

proiectia

ELEMENTELE PROIECŢIEI

Sunt:

1. obiectul (elementul) de proiectat;

2. ’’planul de proiecţie’’, [P], pe care se proiectează obiectul;

3. ’’proiectanta’’, E , ce trece printr-un punct al obiectului şi intersectează planul

de proiecţie [P];

4. ’’centrul de proiecţie’’, V, în care se intersectează (converg) proiectantele;

5. ’’proiecţia’’ obiectului, imaginea pe ecran obţinută prin procedura descrisă la

I.1.


4

CLASIFICARE

După V

1. Proiecţia conică 2. Proiecţia cilindrică V = ∞

1. PROIECŢIA CONICĂ (CENTRALĂ)

A

B

ME

E

a

b

m

E ma

b

[P]

Fig.1

Ea ∩ Eb ∩ … ∩ Em = V

2. PROIECŢIA CILINDRICĂ (PARALELĂ)

A

B

M

E

E

E

a

b

m

ma

b

[P]

Fig.2

V = ⇒ Ea || Eb || … || Em || ∆

Unde ∆ = direcţia de proiecţie


5

CAZURI PARTICULARE

1. Proiecţia cilindrică este caz particular al proiecţiei conice şi anume cazul în care

distanţa dintre V şi P este egală cu ∞.

Dacă Ea ∩ Eb ∩ … ∩ Em = V = ∞ ⇒ Ea || Eb || … || Em || ∆

(drepte paralele se intersectează la infinit)

2. Proiecţia ortogonală este caz particular al proiecţiei cilindrice şi caz dublu particular al

celei conice

( Ea , Eb , …, Em are două particularităţi faţă de proiecţia conică prima fiind cea

descrisă la punctul 1, de mai sus)

Ea || Eb || … || Em (vezi PROIECŢIA CILINDRICĂ, Fig.2 )

şi Ea ⊥ [P], …, Em ⊥ [P] (Fig.3)

A

B

M

E

E

E

a

b

m

m

a

b

[P]

Fig..3

A.II. PROIECŢIA ELEMENTELOR GEOMETRICE

6

II. PROIECŢIA ELEMENTELOR GEOMETRICE

II.1. PROIECŢIA PUNCTULUI

DEFINIŢIE

1. Proiecţia conică a punctului este imaginea punctului din spaţiu M, pe planul de

proiecţie [P] aflată la intersecţia cu [P] a proiectantei E = VM .

E = VM ; E ∩ [P] = m = proiecţia M pe [P].

V

M

E

m

[P]

Fig.4

DEFINIŢIE

2. Proiecţia cilindrică a punctului este imaginea punctului din spaţiu M, pe planul de

proiecţie [P], aflată la intersecţia [P] cu proiecnta E || ∆.

E || ∆, E ∩ [P] = m = proiecţia M pe [P]

M

E

m

[P]

Fig.5


7

Fie M ≠ N

V

M N

E

m

n

E nm

[P]

Fig.6 Proiecţia conică a mai multor puncte

M

NE

E

m

n

n

m

[P]

Fig.7 Proiecţia cilindrică a mai multor puncte


8

OBSERVAŢII: Relaţia dintre M şi N nu este biunivocă, adică:

1. Un punct M poate avea mai multe proiecţii m0 ≠ m1 ≠ … ≠ mn, dacă diferă V, în cazul

proiecţiei conice sau ∆ în cazul proiecţiei cilindrice.

V

M

E

m

m

[P]

V

n

o

no

o En

Fig.8 Proiecţia conică

M

E

m

m

[P]n

o

o Enon

Fig.9 Proiecţia cilindrică

2. Unei proiecţii m îi pot corespunde mai multe puncte din spaţiu M0 ≠ M1 ≠ … ≠ Mn

aflat pe aceeaşi proiectantă E = VM atât în cazul proiecţiei conice cât şi în cazul

proiecţiei cilindrice.

M

E

m

[P]

M

M

0

1

n


M

E

m

[P]

M

M

0

1

n



9

CAZURI PARTICULARE

1. M = m dacă M ∈∈∈∈ [P]

M

E

[P]

=m

Fig.12 Proiecţie conică

M

E

[P]

=m

Fig.13 Proiecţie cilindrică

2. m = ∞∞∞∞ dacă E |||||||| [P]

M

[P]

EV


E = VM || [P] ⇒ E [P]

E = VM ∩ [P] = m (vezi II.1, PROIECŢIA PUNCTULUI Fig.4)

⇓

m = ∞

M

[P]

E


E || ∆ || [P] ⇒ E [P]

E ∩ [P] = m (vezi II.1, PROIECŢIA PUNCTULUI Fig.5)

⇓

m = ∞


10

II.2. PROIECŢIA DREPTEI

Elementele care determină o dreaptă D sunt:

• Două puncte M ≠ N sau

• Un punct M prin care trece dreapta M ∈ D şi direcţia ei.

DEFINIŢIE

Proiecţia dreptei este imaginea dreptei din spaţiu D pe planul de proiecţie [P], obţinută

prin proiectarea separată a două puncte M ≠ N care M ∈ D şi N ∈ D după procedeul

descris la II.1 PROIECŢIA PUNCTULUI.

M N

E

m

n

E nm

[P]

D

d

Fig.16 Proiecţia conică a dreptei

M

N

E

E

m

n

n

m

[P]

D

d

Fig.17 Proiecţia cilindrică a dreptei

MN = D ⇒ mn = d adică d = proiecţia dreptei D pe planul [P].


11

CAZURI PARTICULARE

1. d = punct

• dacă în proiecţia conică V ∈∈∈∈ D şi D [P] sau

• dacă ∆ D în proiecţie cilindrică.

M

E =E =E

m=n=d[P]

N

D

m n


DEMONSTRAŢIE

Fie M ≠ N, MN = D şi proiectantele Em = VM = Vm (V, M, m = colineare)

En = VN = Vn (V, N, n = colineare)

(vezi Fig.16)

Dacă V ∈ D = MN ⇒ V, M, N = colineare, dar

V, M, m = colineare

V, N, n = colineare

(vezi fig. 1)

adică Vm ≡ VM ≡ VN ≡ Vn

sau Em = En = E

dar Em ∩ [P] = m

En ∩ [P] = n

⇓

m = n = mn = d

sau d = punct


12

M

E =E =E

m=n=d[P]

N

D

m n

Fig.19 Proiecţie cilindrică

DEMONSTRAŢIE

Fie M ≠ N, MN = D şi D ∆

M ∈ Em ∆ (vezi Fig.17)

M ∈ D ∆

⇓

Em ≡ D (printr-un punct M se poate duce numai o singură paralelă la ∆ )

N ∈ En ∆

N ∈ D ∆

⇓

En ≡ D

⇒ Em ≡ En ≡ E ≡ D

dar Em ∩ [P] = m

En ∩ [P] = n

⇓

D ∩ [P] = m = n ≡ mn ≡ d

sau d = punct


13

2. d = ∞ dacă în cazul anterior, D [P]

Proiecţia conică

din cazul particular anterior V ∈ D

M

[P]

EVN

D

Fig.20

⇒ V, M, N coliniare

⇒ E ≡ D (vezi cazul anterior)

şi D [P] (condiţie a acestui caz)

⇓

E [P] sau E [P]

E ∩ [P] = m ≡ n = d (vezi cazul anterior)

⇓

m = n ≡ mn ≡ d = ∞

Proiecţia cilindrică

M

[P]

E

N

D

Fig.21

D ∆

⇒ E ≡ D (vezi cazul anterior)

şi D [P] (condiţie în acest caz)

⇓

E [P] sau E [P]

E ∩ [P] = m ≡ n = d (vezi cazul anterior)

⇓

m ≡ n = mn = d = ∞


14

3. Punct de dispariţie este punctul de pe D care nu are proiecţie pe proiecţia dreptei d ,

sau ∃∃∃∃ M ∈∈∈∈ D pentru care m ∈∈∈∈ d , dacă Em [P].

Proiecţia conică

M

[P]

EV

D

d

m

Fig.22

M ∈ D ; dacă Em = VM [P] ⇒ m = ∞

V ∉ D ⇒ ∃ d ∈ [P]

⇓

m ∉ [P]

OBSERVAŢIE: Cazul este diferit de cazul particular 2 pentru care VM [P],

dar V ∈ D .


M

[P]

E

D

N

E

m

n

Fig.23

Em ∆ [P] sau Em [P]

Em ∩ [P] = m = ∞

En ∆ [P] sau En [P]

En ∩ [P] = n = ∞

⇓

mn = d = ∞

Concluzie: Dacă ∆ [P], atunci nici un punct de pe dreaptă nu are proiecţie pe [P]

sau: mn = d pentru ∆ [P].

OBSERVAŢII:

• Cazul particular 2 este un caz particular al celui de mai sus:

Dacă ∆ [P], atunci d = ∞ pentru orice poziţie a dreptei D , inclusiv

D [P].

• Nu există punct de dispariţie în proiecţia cilindrică.


15

4. Punct de fugă este proiecţia de pe proiecţia dreptei d a unui punct inexistent.

sau: ∃∃∃∃ n ∈∈∈∈ d pentru care N ∈∈∈∈ D , dacă En D .

Proiecţia conică

[P]

E

V

D

d

n

n

Fig.24

En = Vn ∩ D = N ∈ D (vezi IV.2, Proiecţia conică a dreptei Fig.16)

Vn D

⇓

Vn D ⇒ N ∈ D


En E ∆

dacă E ∆ D ⇒ cazul particular 1.

OBSERVAŢIE: Nu există punct de fugă în proiecţie cilindrică.

II.3. PROIECŢIA PLANULUI

Proiecţia planului se poate face numai prin proiectarea elementelor geometrice care îl

determină, respectiv puncte sau drepte (vezi cap. II.1., II.2.).

A.III. PLANUL PROIECTANT

16

III. PLANUL PROIECTANT

DEFINIŢIE: Planul proiectant [Q] al unei drepte D este planul determinat de

proiectantele punctelor dreptei.

Sau: Fie A ≠ B; AB = D ; [Q] = Ea + Eb

Proiecţia conică

V

A B

E

a

b

E ba

[P]

D

d

[Q]

Fig.44

[Q] = Ea + Eb

unde Ea ∩ Eb = V


A

B

E

E

a

b

b

a

[P]

D

d

[Q]

Fig.45

[Q] = Ea + Eb

unde Ea Eb ∆

a = Ea ∩ [P]

b = Eb ∩ [P]

⇓

a ∈ [P] b ∈ [P]

dar a ∈ Ea ⇒ a ∈ [Q]

b ∈ Eb ⇒ b ∈ [Q]

ab = d = [Q] ∩ [P]


17

Concluzii:

1. Planul proiectant [Q] al unei drepte D include dreapta şi intersectează

planul de proiecţie [P] după proiecţia d a dreptei.

[Q] ⊃⊃⊃⊃ D; [Q] ∩∩∩∩ [P] = d

2. Planul de proiecţie [Q] al unei drepte D este determinat de dreapta D şi de

proiecţia ei d .

[Q] = D + d

Consecinţe:

1. Toate dreptele din planul proiectant [Q] al unei drepte D au aceeaşi proiecţie

d pe [P].

sau, ∀∀∀∀ D ∈∈∈∈ [Q] ∃∃∃∃ aceeaşi d = [Q] ∩∩∩∩ [P].

Proiecţie conică

VE

a

b

E ba

[P]

D

d

[Q]

AB

A

A

B

B

D

D

n

00

n n

0

Fig.46


A

B

E E

a

b

ba

[P]

D

d

[Q]

A BD

000

AB

Dn n

n

Fig.47

[Q] = Ea + Eb

A0, A1, …, An ∈ Ea ∈ [Q]; Ea ∩ [P] = a

B0, B1, …, Bn ∈ Eb ∈ [Q]; Eb ∩ [P] = b

⇓

a = proiecţia punctelor A0, A1, …, An

b = proiecţia punctelor B0, B1, …, Bn

Dacă 0A 0B = 0D , AB = D , …, nA nB = nD

0D , 1D , …, nD ∈ [Q]

[Q] ∩ [P] = ab = d

Privitor la consecinţa 1:


18

� în proiecţia conică pentru ∀ V1 ≠ V şi V1 ∈ [Q] demonstraţia anterioară rămâne

valabilă.

[P]

D

d

[Q]

A

B

V

V

b

E a E b

E a1

E b1

b

aa

11

1

d

1

Fig.48

1Ea ∈ [Q] şi 1Eb ∈ [Q] ⇒ [Q] = 1Ea + 1Eb

� în proiecţia cilindrică pentru ∀ 1∆ ≠ ∆ şi 1∆ [Q], demonstraţia de mai sus

rămâne valabilă.

A

B

a

b

[P]

D

d

[Q]

Ea

Ea1 Eb1Eb

1

db

a1

1

1

Fig.49

1Ea ∈ [Q] şi 1Eb ∈ [Q] ⇒ [Q] = 1Ea + 1Eb


19

2. Toate punctele din planul proiectant [Q] al unei drepte D au proiecţia pe

proiecţia d a dreptei,

sau, ∀∀∀∀ M ∈∈∈∈ [Q] ⇒⇒⇒⇒ m ∈∈∈∈ d unde d = [Q] ∩∩∩∩ [P].

Proiecţia conică

M

[P]

d

[Q]

Em

m

V

Fig.50


M

[P]

d

[Q]

Em

m

Fig.51

Em ∩ [P] = m

[Q] ∩ [P] = d

Em ∈ [Q]

⇓

m ∈ d

Privitor la consecinţa 2, relaţia [Q] ⇔ D nu este biunivocă, adică,

� pentru un [Q] ∃ mai multe D ∈ [Q] care satisfac condiţia

[Q] ∩ [P] = d .

� pentru o dreaptă D ∃ mai multe [Q], în funcţie de poziţia planului de proiecţie

[P].

A.IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

20

IV. INVARIANŢII PROIECŢIILOR

DEFINIŢIE Invarianţii sunt relaţii care nu se schimbă prin proiecţie (valabile atât pentru punctele din spaţiu, cât şi pentru proiecţii).

IV.1 APARTENENŢA

IV.2 COLINIARITATEA

IV.3 RAPORTUL SIMPLU A TREI PUNCTE COLINEARE

IV.4 BIRAPORTUL A PATRU PUNCTE COLINEARE

IV.5 PARALELISMUL

IV.6 CONCURENŢA

IV.7 MĂRIMEA UNUI SEGMENT DE DREAPTĂ

IV.8 UNGHIUL DINTRE DOUĂ DREPTE

IV.1 APARTENENŢA

Pentru ∀∀∀∀ M ∈∈∈∈ D ⇒⇒⇒⇒ m ∈∈∈∈ d .

IV.2 COLINIARITATEA

Dacă A + B = D şi M ∈ D , adică A, B, M = colineare ⇒ m ∈ ab = d , adică a, b, m = colineare.

Fie [Q] planul proiectant al D faţă de [P]. Pentru (∀) M ∈ D , adică M ∈ [Q] ⇒ m ∈ d (vezi III. PLANUL PROIECTANT, consecinţa nr.2).


21

IV.3 RAPORTUL SIMPLU A TREI PUNCTE COLINEARE

Dacă A ≠ B ≠ C şi A + B + C = D , atunci AB

AC =

ab

ac.

Proiecţia conică

VE

ac

E b

a

[P]

D

d b

E c

A

C

C1B

B1

Fig.52

Fie a 11CB BC , în ∆ acC1

B1b ∩ C1c = V ⇒ B1b C1c, nu se poate aplica teorema lui Thales în ∆ acC1.


E

ac

E b

a

[P]

D

d b

E c

A

C

C1B

B1

Fig.53

Fie a 11CB BC , în ∆ acC1

B1b C1c


22

conform teoremei lui Thales 1

1

aB

aC =

ab

ac şi

AB aB1 AC aC1 Aa Bb Aa Cc ⇓ ⇓ aB1 = AB aC1 = AC

înlocuim în raportul de mai sus ⇒ AB

AC =

ab

ac.

Concluzie: Raportul a trei puncte colineare se păstrează şi în proiecţie numai pentru

proiecţia cilindrică. sau Raportul simplu este invariant în proiecţia cilindrică.

Raportul simplu nu este invariant în proiecţia conică. OBSERVATII:

1. Dacă un segment de dreaptă se împarte într-un număr de părţi egale, atunci şi proiecţia lui va fi împărţită în acelaşi număr de segmente egale între ele (dar diferite ca mărime de cele din spaţiu). Adică Dacă AB = BC = CD = …=etc. şi A, B, C, D…etc. colineare⇒

⇒ ab = bc = cd = …=etc. unde a, b, c, d,…etc. colineare, dar ab ≠ AB , bc ≠ BC , cd ≠ CD ,…etc.

2. Dacă un segment de dreaptă se împarte într-un număr de segmente, astfel încât unul dintre acestea este un anumit multiplu al altuia, atunci şi proiecţia subsegmentului va fi acelaşi multiplu faţă de proiecţia celuilalt sau, Exemplu: Dacă AB = k BC , A, B, C colineare

atunci ab = kbc , unde a, b, c colineare,

dar AB ≠ ab , şi AB ≠ kbc BC ≠ bc , ab ≠ k BC .


23

IV.4 BIRAPORTUL A PATRU PUNCTE COLINEARE

Fie A ≠ B ≠ C ≠ D, A, B, C, D = colineare ⇒⇒⇒⇒

⇒⇒⇒⇒

BD

ADBC

AC

=

bd

adbc

ac

, unde a, b, c, d = proiecţiile punctelor A, B, C şi D.

Proiecţie conică E

bd

E b

a

[P]

D

dc

E c

CA B

D

a

E d

Fig.54

DEMONSTRAŢIE: Fie A, B, C = colineare, V ∉ AC şi AM BV .

V

CA B

Fig.55

În ∆ACM BC

AC =

BV

AM (conform teoremei lui Thales).

Fie A, B, D = colineare, V ∉ AD şi AN BV .

V

A B

Fig.56

În ∆ADN BD

AD =

BV

AN (conform teoremei lui Thales).

⇓

BD

ADBC

AC

= BV

AM x

AN

BV =

AN

AM.

Fie a, b, c = colineare, V ∉ ac şi am bV .


24

V

bc Fig.57

În ∆acm bc

ac =

bV

am (conform teoremei lui Thales).

Fie a, b, d = colineare, V ∉ ad şi an bV .

V

bd

Fig.58

În ∆adn bd

ad =

bV

an (conform teoremei lui Thales).

⇓

bd

adbc

ac

= bV

am x

an

bV =

an

am.

AM am BV

V

bd

dc

CA B

D

MN

n

Fig.59


25

V

A

MN

n

Fig.60

În ∆Vam AM

am =

AV

aV

În ∆Van AN

an =

AV

aV (conform teoremei lui Thales).

⇓

AM

am =

AN

an sau

an

am =

AN

AM ⇒

BD

ADBC

AC

= AN

AM =

an

am =

bd

adbc

ac

;

BD

ADBC

AC

=

bd

adbc

ac

.

Proiecţie cilindrică

Fig.61 DEMONSTRAŢIE

Dacă A, B, C colineare ⇒ BC

AC =

bc

ac (vezi Raportul simplu a trei puncte).

Dacă A, B, D colineare ⇒ BD

AD =

bd

ad (vezi Raportul simplu a trei puncte).

⇓

BD

ADBC

AC

=

bd

adbc

ac

Concluzie: Biraportul a patru puncte colineare este un invariant al proiecţiei conice. Pentru proiecţia cilindrică biraportul se reduce la raportul simplu a trei puncte colineare.

E

ad

Ec

a

[P]

D

dc

Ed

A

D

B

b

Eb

C


26

IV.5 PARALELISMUL Proiecţia conică

[P]

E

V

D1

d1

1

f1[P]

D

d

E2

2

2

f2

Fig.62 Fig.63

Fie f1 = punct de fugă pentru 1D şi, 1E proiectanta paralelă 1D . Fie f2 = punct de fugă pentru 2D şi, 2E proiectanta paralelă 2D .

1D 2D V ∈ 1E 1D , V ∈ 2E 2D , dar printr-un punct V se poate duce o singură dreaptă E 1D 2D ⇒

⇒ 1E ≡ 2E ≡ E

şi f1 ∈ 1E

f2 ∈ 2E ⇒ f1 ≡ f2 ≡ f

şi f1 ∈ 1d

f2 ∈ 2d ⇒ f ∈ 1d

f ∈ 2d ⇒ 1d ∩ 2d = f

Dacă 1D 2D , 1d ∩∩∩∩ 2d = f în proiecţia conică.

f[P]

D

d

2

D1

2

d1

E

Fig.64


27


[P]

E1

D1

d1

[Q ]1 E2

D2

d2

[Q ]2

Fig.65

Fie 1E = o proiectantă a dreptei 1D ; 1E ∆ .

Fie 2E = o proiectantă a dreptei 2D ; 2E ∆ .

[Q1] = 1D + 1E

[Q2] = 2D + 2E ⇒ [Q1] [Q1] şi 1D 2D

1E 2E ⇒ 1d 2d , conform teoremei demonstrate la pag.30 şi [Q1] ∩ [P] = 1d

[Q2] ∩ [P] = 2d

Dacă 1D 2D , atunci 1d 2d în proiecţia cilindrică.

Concluzie: Dacă două drepte sunt paralele 1D 2D , proiecţiile lor sunt paralele de

asemenea 1d 2d în proiecţia cilindrică. Paralelismul este invariant în proiecţia cilindrică. Paralelismul nu este invariant în proiecţia conică.

IV.6 CONCURENŢA Dacă 1D ∩∩∩∩ 2D = M ⇒⇒⇒⇒ 1d ∩∩∩∩ 2d = m

sau, M ∈ 1D ⇒ m ∈ 1d (vezi invariantul nr.1 – apartenenţa)

M ∈ 2D ⇒ m ∈ 2d

⇒ m = 1d ∩ 2d Concluzie : Două drepte concurente au proiecţiile concurente.

Concurenţa este un invariant atât în proiecţia conică cât şi în proiecţia cilindrică.


28

IV.7 MĂRIMEA UNUI SEGMENT DE DREAPTĂ

Proiecţie conică Proiecţie cilindrică

a[P]

d b=

=

=

B

nA

A1

B

b[P]

a

=

=

n

1

Ea bE

A

A

Fig.66 Fig.67

Fie segmentul AB, A mobil pe proiectantă, B fix. Considerăm arcul de cerc cu centrul în B şi r = ab. Pentru A ≡ A1 1BA = ab (mărimea proiecţiei = mărimea segmentului) Pentru A ≡ An nBA = ab (mărimea proiecţiei = mărimea segmentului) Dacă A ∈ (A1, An), AB < ab.

Dacă A ∈ (∞, A1) sau (An, a], AB > ab.

OBSERVAŢIE: În cazul proiecţiei cilindrice Ana Bb ∆ , dacă A ≡ An, nBA

ab ⇒ AB = ab.

sau: dacă segmentul este paralel cu proiecţia sa, mărimile lor sunt egale.

Dacă, în proiecţia cilindrică ∆ ⊥ [P], (Fig.3) A ≡ A1 ≡ An ⇒ ⇒ ∃ o singură poziţie A pentru care AB = ab,

anume 1BA ab.

Pentru ∀ A ≠ A1, AB > ab.

B

b

[P]

A = An

a

==

Fig.68

Concluzie: Mărimea unui segment se modifică prin proiecţie, deci nu este un invariant.


29

IV.8 UNGHIUL DINTRE DOUĂ DREPTE


V

ac

[P]

B

bA

C[Q ]2

β°

E a E b

E c[Q ]1

ac

[P]

B

bAC

[Q ]2

β°

[Q ]1

α° α°

Fig.69a Fig.69b

Mărimea unghiului în proiecţie poate fi 00 sau 1800 dacă planele proiectante ale laturilor sale coincid, [Q1] ≡ [Q2]. β = 00


bc

[P]

A

a

B C

E b

E a E c

[Q]

b[P]

A

a

B

C

[Q]

c

β =

0°

α°

β°

α°

Fig.70a Fig.70b

β = 1800 Proiecţie conică Proiecţie cilindrică

ac

[P]

B

b

AC

[Q]

β = 180°

V

ac

[P]

B

b

A C

E b

E aE c

[Q]

β = 180°

α° α°

Fig.71a Fig.71b

OBSERVAŢIE: Mărimea unghiului se păstrează în proiecţie, dacă planul determinat de laturile unghiului este paralel cu planul de proiecţie.

sau α̂ ≡ β̂ dacă [AB + BC] [P].


30


V

ac

[P]

B

bA

C

E a E b

E c

[Q]

ac

[P]

B

b

AC

[Q ]

[R]

[R]

Fig.72a Fig.72b

Teoremă : Două plane paralele se intersectează cu un al treilea plan după drepte paralele. Demonstraţie: Numim [A, B, C] = [R], [a, b, c] = [P] şi [V, a, b] = [Q]

[R] ∩ [Q] = AB

[P] ∩ [Q] = ab

Presupunem că AB ∩ ab = I ⇒ I ∈ AB ∈ [R]

I ∈ ab ∈ [P] ⇓

I = [P] ∩ [R], adică [P] [R]⇒ AB ab Conform teoremei de mai sus BC bc

AC ac ⇓ ∠ ABC = ∠ abc ∆ ABC ~ ∆ abc ⇒ ∠ BCA = ∠ bca

∠ CAB = ∠ cab


31

TEOREMA UNGHIULUI DREPT Dacă în proiecţia cilindrică ∆ ⊥ [P], atunci unghiul îşi păstrează mărimea în proiecţie dacă numai una din laturile sale este paralelă cu [P]. sau, dacă E ⊥ [P] şi D ⊥⊥⊥⊥ 1D ; 1D [P]

atunci d ⊥⊥⊥⊥ 1d

M

m

[P]

D

d

D1

d1

Em

[Q]

Fig.73

Fie [Q] = planul proiectant al D faţă de [P] ⇒ [Q] = [ D + d ] şi E ∈ [Q]

1D ⊥ D

D ∈ [Q] ⇒ 1D ⊥ [Q]

1d 1D ⇒ 1d ⊥ [Q]

⇒ d ⊥ 1d .

d = [Q] ∩ [P] ⇒ d ∈ [Q]

Concluzie: Mărimea unghiului dintre două drepte se modifică prin proiecţie, deci nu

constituie un invariant.

B.I. SISTEMUL DE REFERINŢĂ

35

I. SISTEM DE REFERINŢĂ PLANE DE PROIECŢIE Sistemul de referinţă este format din trei plane, dupa cum urmează:

� Unul, considerat orizontal notat [H]. � Alte două, considerate verticale, deci perpendiculare pe [H], dar şi

perpendiculare între ele, notate [V] şi [W]. Cele trei plane se numesc’’PLANE DE PROIECŢIE’’ şi anume:

� [H] = planul orizontal de proiecţie � [V] = planul vertical de proiecţie � [W] = planul lateral de proiecţie

Relaţia dintre ele este: [H] ⊥ [V]

[V] ⊥ [W] [W] ⊥ [H]

Fiecare plan este deci, ⊥ pe celelalte două. Pentru denumirea planelor de proiecţie se folosesc numai majuscule.

[H]

[W][V]

z

x

o

y

Fig.I.1


36

AXELE SISTEMULUI DE REFERINŢĂ Planele de proiecţie se intersectează după drepte numite axe. Axele au o orientare şi un punct de unde se începe măsurarea distanţelor, numit origine şi notat O. Axele sunt:

� [H] ∩ [V] = OX � [H] ∩ [W] = OY � [V] ∩ [W] = OZ

[H]

[V]

[H]

[W] [W][V]

o

x

o

y

o

z

Fig.I.2a Fig.I.2b Fig.I.2c

Cele trei axe se intersectează în punctul O: OX ∩ OY ∩ OZ = O

[H]

[W][V]

z

x

o

y

Fig.I.3

În consecinţă fiecare este delimitat de două axe, astfel: � [H] = OX + OY � [V] = OX + OZ � [W] = OY + OZ şi O ∈ [H], [V] şi [W] simultan.

OBSERVAŢIE: Datorită poziţiei relative a planelor de proiecţie, fiecare axă este perpendiculară pe câte un plan de proiecţie:

� OX ⊥ [W] � OY ⊥ [V] � OZ ⊥ [H]

Considerăm axele OX, OY, OZ definite anterior ca având sensul + (vezi Fig.I.3).


37

În consecinţă, sensul − al axelor va fi în direcţie opusă, începând din O şi pe aceeaşi dreaptă, suport a axei respective. Pentru simplificare se va considera doar sensul + al axei Ox.

+z

+y

-y

x

-z

o

Fig.I.4

SEMIPLANELE DE PROIECŢIE Axele din figura de mai sus delimitează următoarele semiplane de proiecţie:

[H ]

4[W ][V ]I

A

P[H ]

[W ]3

[V ]S

2[W ]

[W ]1

+z

+y

-z

o

x

-y

Fig.I.5

[HA] = orizontal anterior [HP] = orizontal posterior [VS] = vertical superior [VI] = vertical inferior [W1] = lateral 1 [W2] = lateral 2 [W3] = lateral 3 [W4] = lateral 4


38

PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PLANELOR DE PROIECŢIE

În figura I.3, vom privi fiecare plan de proiecţie pe rând, frontal, după o direcţie perpendiculară pe [H], [V] sau respectiv[W].

[H]

[V] [W]

[H]

[W][V]

z

x o

z z

x

o o

yo

x

o

z

y

x o

y

y

Fig.I.6

Să alăturăm planele de proiecţie din fig.I.6 de-a lungul axelor comune planelor de proiecţie:

[V] [W]

[H]

z z

yx

x

y

o

Fig.I.7


39

Dacă axele comune se desenează o singura dată figura devine:

[V] [W]

[H]

z

x

y

o y

Fig.I.8

În mod uzual se desenează doar axele fără a se delimita şi nota planele de proiecţie.

x

y

o y

Fig.I.9

În final, aceasta este reprezentarea sistemului de referinţă.


40

Revenind la reprezentarea sistemului de referinţă ca în Fig.I.9 şi considerând sensul – al axelor, sistemul devine:

+z, -y

+y, -z

+yx, -y o

Fig.I.10

Să identificăm în Fig.I.5 planele de proiecţie după delimitarea lor de către axe: [HA] = +OX şi +OY; [HP] = +OX şi -OY; [Vs] = +OX şi +OZ; [VI] = +OX şi –OZ; [W1] = +OY şi +OZ; [W2] = -OY şi +OZ; [W3] = -OY şi +OZ şi [W4] = +OY şi –OZ.

S P[V ] = [H ] == [W ]2

I A[V ] = [H ] == [W ]3

[W ]1

[W ]4

+z, -y

+y, -z

x, -yx, -y o

Fig.I.11

Constatăm că planul [H] se extinde deasupra axei OX cu semiplanul [HP], iar planul [V] se extinde sub axa OX cu semiplanul [VI], în zona din stânga axei verticale. Planul [W1] se extinde cu [W2], [W3], [W4], şi se suprapune cu planul desenului. OBSERVAŢIE: Sistemul de referinţă se poate reduce la două plane şi anume [H] şi [V].

+y


41

S P

[V ] = [H ]I A

[V ] = [H ]+z, -y

+y, -z

x, -y o x o

+z, -y

+y, -z Fig.I.12

În cazul în care se foloseşte sistemul de referinţă complet se obţine o „triplă proiecţie ortogonală”, iar dacă se utilizează sistemul simplificat, din Fig.I.12 o „dublă proiecţie”. Proiecţia unui obiect se poate obţine urmând una dintre următoarele trei metode de reprezentare, clasificate după felul în care sistemul de referinţă la rândul lui se proiectează pe planul desenului [T]:

� „AXONOMETRIE”, În cazul în care sistemul de referinţă se proiectează conic sau cilindric:

Z

X

O

Y

V

E o

E x

E y

Ez

Z

X

O

Y

E o

E x

E yEz

[T] [T]

[H]

[W][V]

[H]

[W][V]

z

x

y

z

x

yo o

Fig.I.13

Axonometria cilindrică se mai numeşte şi „perspectivă paralelă”. � „PROIECŢIE ORTOGONALĂ”, dacă fiecare plan de proiecţie se proiectează

ortogonal pe planul desenului, planele fiind alăturate de-a lungul axelor comune (vezi Fig.I.8). Dubla proiecţie ortogonală face obiectul Geometriei Descriptive. În acest caz desenul proiecţiilor se numeşte „EPURĂ”.

� „PROIECŢIA COTATĂ” dacă se utilizează proiecţia ortogonală pe desen, numai a planului orizontal [H], în timp ce coordonata c (cota) care dă distanţa faţă de [H] se notează numeric lângă punctul denumit literar, cu majusculă.

A(25)

[H]

A(25)

Fig.I.14a Fig.I.14b

B.II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

42

B.II. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A

ELEMENTELOR GEOMETRICE

B.II. 1. PROIECŢIA PUNCTULUI

B.II. 2. PROIECŢIA DREPTEI

B.II. 3. PROIECŢIA PLANULUI

OBSERVAŢIE : Capitolul II.3 face obiectul volumului II.


43

II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI DEFINIŢIE Proiecţia unui punct este o imagine a sa pe planul de proiecţie (vezi A. PROIECŢII, I. DEFINIŢIE) . În cazul de faţă, folosind un sistem de referinţă format din trei plane de proiecţie, vom avea trei proiecţii ale punctului, câte una pe fiecare plan de proiecţie. Dacă M este un punct oarecare din spaţiu atunci proiecţiile lui vor fi:

m = proiecţia orizontală a lui M pe planul de proiecţie [H] m’ = proiecţia verticală a lui M pe planul de proiecţie [V] m’’ = proiecţie laterală a lui M pe planul de proiecţie [W]

[W ]1

O

m''

M

E3

[H ]A

m

M

E1

m'

ME2

[V ]S

O

O

Fig.II.1.1a

[H ]

m

A

m'

x

[V ]S

OM

E1

E23E

z

y

[W ]m'' 1

Fig.II.1.1b

OBSERVAŢIE: Proiecţiile punctului se notează cu litere mici. Datorită faptului că în proiecţia cilindrică ortogonală proiectantele sunt perpendiculare pe planele de proiecţie, avem: E1 = proiectantă faţă de [H] ⇒ E1 ⊥ [H]⇒ E1 OZ E2 = proiectantă faţă de [V] ⇒ E2 ⊥ [V] ⇒ E2 OY E3 = proiectantă faţă de [W] ⇒ E3 ⊥ [W]⇒ E3 OX


44

COORDONATELE PUNCTULUI

Mărimea distanţei de la M la un plan de proiecţie se numeşte COORDONATĂ. Pentru a fixa punctul M în spaţiu trebuie să precizăm distanţa dintre punct şi fiecare plan de proiecţie. Fie a = distanţa de la M la [W]

b = distanţa de la M la [V] c = distanţa de la M la [H]

Proiectantele fiind perpendiculare pe planele de proiecţie, rezultă că mărimea distanţelor (coordonatelor) se măsoară pe proiectante. Cele trei coordonate se notează în ordine alfabetică, în interiorul unor paranteze ce succed punctul şi, reprezintă distanţa de la punct la planele de proiecţie, în ordinea invers alfabetică a acestora.

M( a, b, c) ↓ ↓ ↓

de la M la [W] de la M la [V] de la M la [H] Coordonatele se masoară în aceeaşi unitate de lungime.

[H ]A

[W ]1[V ]S

m'm''

m

ME3E2

E1

b

a

c

z

x y

o

Fig.II.1.2


45

Pararelele la axe duse prin capetele segmentelor a, b, c formează împreună cu acestea un paralelipiped unde M este simetricul punctului O.

[H ]A

[W ]1[V ]S

m'm''

m

M

ab

c

ab

c

z

x

o

y

Fig.II.1.3

În consecinţă, coordonatele se regăsesc şi pe axe, ca laturi egale în paralelipiped, adică: a pe OX, b pe OY, c pe OZ. OBSERVAŢIE: Coordonatele se măsoară pe axe, în ordine alfabetică a axelor. Coordonatele se mai numesc: a = „abscisă” b = „depărtare” c = „cotă”.

REPREZENTAREA PUNCTULUI ŞI A PROIECŢIILOR LUI

Fie M(a, b, c). Etapele reprezentării punctului M şi a proiecţiilor pe cele trei axe ale sistemului de referinţă sunt:

1. Măsurarea coordonatelor Se măsoară a, b şi c pe axe, începând din O, în ordine alfabetică a axelor, adică: a pe OX, b pe OY, c pe OZ.

[H ]A

[W ]1[V ]S

ab

c

z

x

o

y

Fig.II.1.4


46

2. Aflarea proiecţiilor Se fixează proiecţiile punctului pe fiecare plan de proiecţie, la intersecţia dintre paralelele duse prin capetele segmentelor a, b, c la axele ce delimitează fiecare plan, după cum urmeză: pentru m = proiecţia pe [H], se duc prin capetele segmentelor a şi b paralele la OX şi OY, axele ce delimitează [H] şi se intersectează,

[H ]A

m

ab

x

o

y

Fig.II.1.5a

pentru m’ = proiecţia pe [V], se duc prin capetele segmentelor a şi c paralele la OX şi OZ, axele ce delimitează [V] şi se intersectează,

a

c

[V ]S

m'

z

x

o

Fig.II.1.5b

pentru m’’ = proiecţia pe [W], se duc prin capetele segmentelor b şi c paralele la OY şi OZ, axele ce delimitează [W] şi se intersectează.


47

[W ]1m''

b

z

o

y

Fig.II.1.5c

[H ]A

[W ]1[V ]S

m'm''

m

a

b

cz

x

o

y

Fig.II.1.5d

3. Aflarea punctului M Se află punctul M ducând din fiecare proiecţie o paralelă la axa perpendiculară pe respectivul plan de proiecţie şi se intersectează.


48

m ∈ [H] şi OZ ⊥ [H] ⇒ din m paralelă la OZ

[H ]A

m

para

lelã

cu

OZ

z

x

o

y

Fig.II.1.6a

m’ ∈ [V] şi OY ⊥ [V] ⇒ din m’ paralelă la OY

[V ]S

m' paralelã cu OY

z

x

o

y

Fig.II.1.6b

m’’ ∈ [W] şi OX ⊥ [W] ⇒ din m’’ paralelă la OX

[W ]1m''

paralelã cu OX

z

x

o

y

Fig.II.1.6c


49

Cele trei paralele se intersectează în M.

[H ]A

[W ]1[V ]S

m'm''

m

M

para

lelã

cu

OZ

paralelã cu OX

paralelã cu OY

x

z

o

y

Fig.II.1.7

Etapele 1 + 2 + 3 ⇒ M

[H ]A

[W ]1[V ]S

m'm''

m

M

ab

c

z

x

o

y

Fig.II.1.8

Să reluăm procedura de la pag.38, Fig.I.6 având în vedere punctul M şi proiecţiile lui.


50

[H]

O

[V]

O O

[W]

ZZ

[H]

[W][V]

m

a

b

m'

a

m''

b

cc

ME2 M

E3

M

E1

m'

ca

m

m''

c

b

a

b

z

x o

x

z zz

yoo

o

x

x o

y

y

y

Fig.II.1.9

[V] [W]

[H]

m'

c

m''

c

m

aa

b

b

z z

o

x

x

y

y

Fig.II.1.10


51

[V] [W]

[H]

m'

m

m''

b

c

a

b

z

ox

y

y

Fig.II.1.11 (vezi Fig.I.8)

m'

m

m''

a b

bc

x

y

o y

Fig.II.1.12


52

În ce priveşte coordonatele de pe axe se observă următoarele egalităţi:

m'

m

m''

a b

bc

bc c

x o

y

y

Fig.II.1.13

Coordonatele se pot deci aşeza ca în figura de mai jos:

m'

m

m''

a b

bc

z

x

y

o y

Fig.II.1.14

Rezultă următoarea regulă de poziţionare a proiecţiilor m şi m’ în sistemul de axe descris anterior:

1. Se măsoară a pe OX din O spre stânga. 2. Se trasează o linie verticală (⊥ OX). 3. Se măsoară b de la OX în jos ⇒ m 4. Se măsoară c de la OX în sus ⇒ m’.

Etapele 1 ÷ 4 stânga → jos → sus

⇓ ⇓ m m’


53

OBSERVAŢIE: Regula de mai sus este valabilă numai pentru coordonatele b şi c pozitive. Dacă b sau c sunt negative atunci ele se măsoară pe aceeaşi dreaptă suport în sens opus începând tot de la axa OX.

m'

m

a la stânga

b jo

sc

sus

y

x o y

Fig.II.1.15

Pentru m’’ se vor urma următoarele etape: 1. Se trasează din m o linie orizontală până la intersecţia cu axa verticală. 2. Se trasează, din acest punct, un sfert de cerc în sens trigonometric. 3. Se trasează din acest punct, o linie verticală de mărimea cotei c. La

capătul ei se găseşte m’’ (m’ şi m’’ se găsesc pe aceeaşi linie orizontală).

m'

m

m''

senstrigonometric

o

y

x y

Fig.II.1.16

OBSERVAŢIE: 1. Regula pentru reprezentarea proiecţiei laterale m’’ este valabilă indiferent

de semnul coordonatelor b şi c ale punctului. 2. Având în vedere poziţia planelor de proiecţie faţă de axe din figura I.11

pag.40 rezultă că proiecţiile orizontală m şi verticală m’ pot ocupa orice poziţii deasupra sau sub axa OX, dar numai în stânga punctului O, în timp ce proiecţia laterală m’’ poate să apară în orice loc în raport cu axele sistemului de referinţă.


54

TRIEDRE ŞI OCTANŢI Cele trei plane de proiecţie împart spaţiul în opt zone numite „TRIEDRE”. Ne vom referi numai la spaţiul din faţa planului lateral [W], adică numai punctele din spaţiu cu abscisa mai mare ca 0. Acest spaţiu este împărţit în patru triedre, numerotate de la 1 la 4, în sens trigonometric, primul fiind cel delimitat de axe cu sens pozitiv.

+y

-y

[H ]x

4[W ][V ]I

-z

A

P[H ]

[W ]3

[V ]S

2[W ]

+z

[W ]

o

1TRIEDRUL 1

TRIEDRUL 2

TRIEDRUL 3

TRIEDRUL 4

Fig.II.1.17 Privit în lungul axei OX, sistemul devine:

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ] S[V ]

1T

[W ]1

2T

3T 4T

ox-y +y

Fig.II.1.18

PLANE BISECTOARE Numim plane bisectoare, planele care fac un unghi diedru identic atât cu [H], cât şi cu [V]. Ştiind că [H] ⊥ [V], planele bisectoare fac un unghi diedru egal cu 450 cu [H] şi cu [V] (vezi Fig.II.1.19).

II.1 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A PUNCTULUI

55

Planul bisector care trece prin triedru 1 (şi în prelungire prin triedrul 3) este numit „Bisectorul 1”, iar planul bisector care trece prin triedru 2 (şi în prelungire prin triedrul 4) este numit „Bisectorul 2”.

[H ]A

P[H ]

[V ]S

2[W ]

[W ]1

[W ]4

3[W ]

[V ]S

[B ]2

[B ]1

+z

+y

-z

x

-y

o

Fig.II.1.19

Privit în lungul axei OX sistemul de referinţă din Fig.II.1.19 devine:

-z

3[W ]I[V ]

[H ]P-y ox

[W ]4

A[H ] +y

+z

2[W ]S[V ]

1T[W ]1

2T

T T

[B ]1

[B ]2

45°

45°45°

3 4

Fig.II.1.20


56

Cele două plane bisectoare împart spaţiul în opt zone numite „OCTANŢI”, numerotate de la 1 la 8 în sens trigonometric, începând cu triedrul 1, de la planul [HA]. (vezi Fig.II.1.21)

-z

3[W ]I[V ]

[H ]P-y ox

[W ]4

A[H ] +y

+z

2[W ]S[V ]

1T[W ]1

2T

T T

[B ]1

[B ]2

O1

O2O3

O4

O5

O7O6

O8

3 4

Fig.II.1.21 Fie punctul M(a, b, c) şi proiecţiile sale pe planele de proiecţie m, m’, m’’.

[H ]A

[V ]S

[W ]1

[B ]1

Mm''

m

m'

[V ]I

[W ]4

[B ]2

[W ]3

[H ]P

[W ]2+z

-z

+yx

o

-y

Fig.II.1.22


57

Privită în lungul axei OX fig.II.1.22 devine:

3[W ]I[V ]

[H ]P-y OX

[W ]4

A[H ] +y

+z

2[W ]S[V ]

1

[W ]1

2

T T

[B ]1

[B ]2

m

m' m''M=

3 4

Fig.II.1.23 Se observă că, în această aşezare a sistemului de referinţă (Fig.II.1.23) M ≡ m’’. Rezultă că, pentru a preciza poziţia punctului M în sistem (faţă de planele de proiecţie şi de planele bisectoare) este suficient să studiem poziţia proiecţiei m’’. Să desprindem din fig.II.1.23 planul [W].

3[W ]

-y ox

[W ]4

+y

+z

2[W ]

1T[W ]1

2T

T T

[B ]2

m''U[W

]=B2

w[B

]1

U[W]=

B 1w

45° 45°

3 4 Fig.II.1.24

Fie sistemul de referinţă complet, descris anterior (vezi Fig.I.1.11):

m''

S P[V ] = [H ] == [W ]2

I A[V ] = [H ] == [W ]3

[W ]1

[W ]4

m'

m

+z, -y

+y, -z

x, -yx, -y o

Fig.II.1.25


58

Să desprindem din fig.II.1.25 planul [W].

[W ]1

[W ]4

[W ]2

[W ]3

m''

+z

-z

+y-y o

Fig.II.1.26

Se observă similitudinea dintre fig.II.1.24 şi fig.II.1.26. Deci, afirmaţia anterioară, anume că m’’ ne arată poziţia punctului M faţă de planele de sistemului este valabilă şi în cazul aşezării axelor ca în fig.II.1.25. Pentru ca fig.II.1.26 să fie identică cu fig.II.1.24 ,fig.II.1.26 trebuie completată cu B W

1

şi B W2 .

[W ]1

[W ]4

[W ]2

[W ]3

m''

B2

wB1w

45° 45°

+z

-z

+y-y o

Fig.II.1.27

În concluzie, poziţia punctului M se stabileşte comparând poziţia proiecţiei m’’ cu orientarea triedrelor şi octanţilor (fig.II.1.21). OBSERVAŢIE: m’’ se găseşte la intersecţia paralelelor duse prin capetele segmentelor de mărime b şi c, cu semnele lor, aşezat pe axele OY şi OZ.


59

OBSERVAŢIE: În cazul în care M se proiectează numai pe [H] şi [V] (m şi m’) poziţia sa se poate afla numai studiind semnul coordonatelor b şi c (pentru triedre) şi măsura coordonatelor b şi c (pentru octanţi):

OCTANTUL 1 b > c TRIEDRUL 1 b > 0 c > 0 OCTANTUL 2 b < c

OCTANTUL 3 b < c TRIEDRUL 2 b < 0 c > 0 OCTANTUL 4 b > c

OCTANTUL 5 b > c TRIEDRUL 3 b < 0 c < 0 OCTANTUL 6 b < c

OCTANTUL 7 b < c TRIEDRUL 4 b > 0 c < 0 OCTANTUL 8 b > c

B.II.1 PROIECTIA ORTOGONALA A PUNCTULUI

60

PUNCTE PARTICULARE Aparţin unuia dintre planele de proiecţie.

DENUMIRE

Dacă un punct aparţine unui plan de proiecţie va fi numit cu aceeaşi literă cu care

numim respectivul planul de proiecţie.

1. H ∈ [H] 2. V ∈ [V] 3. W ∈ [W].

1. H COORDONATE Pentru ∀ H ∈ [H] ⇒ Distanţa de la H la [H] are valoarea zero. H (a, b, 0)

3hH=

I[V ]

A[H ]

[W ]4

P

c=0[H ]

[W ]

a bh'

S[V ]

2[W ]

h''

1[W ]

+z

-z

+y

o

x

-y

Fig.II.1.28a. Proiecţia punctului H

h''

h

c=0

b

h' a

b

h

h'

b

c=0

ax o y

y

x

y

o

Fig.II.1.28b Triplă proiecţie ortogonala Fig.II.1.28c Dublă proiecţie ortogonala


61

DISCUŢIE ASUPRA POZIŢIEI PUNCTULUI H FAŢĂ DE PLANELE DE PROIECŢIE

Fie H1 (a, +b, 0); a>0

3hH =X

[V ]I4[W ]

1[H ]

1

A

I[V ]3[W ] [W ]4

4T

+b

H =P[H ] A1 1h ''[H ]

P[H ]

c=0

h '1a

[W ]

1

+bh ''

S[V ][W ]1

2[W ]

2[W ] S[V ]

1h

1T[W ]1

h ''

+b

h '1

+b

a c=0

1+z

-z

+y

o

x

z

y

o

-y +y

+z

-z

ox

y

-y

Fig.II.1.29a Fig.II.1.29b Tripla proiecţie ortogonală

Fig.II.1.29c Vedere în lungul axei OX Concluzie: H1 ∈ [HA], unde HA delimitează triedrele 1 şi 4 ⇒ H1 ∈ T1 şi H1 ∈ T4

Fie H2 (a, -b, 0); a>0

3

[V ] [W ]I4

A[H ]

4[W ][V ]I[W ]3

4T

[H ]A

-bh ''H = 22[H ]P

-b

[V ]S

2H =h 2

P[H ]

[W ]

2h ''

c=0

a

2h '

[W ]1

[W ]2

[W ]1[W ]2 [V ]S1T

2h

h ''2a

-b

2h '

c=0

+z

-z

+y

-y

o

x

z

y

x o

+z

+y

-z

-y ox

y


Fig.II.1.30c Vedere în lungul axei OX Concluzie: H2 ∈ [HP], unde HP delimitează triedrele 2 şi 3 ⇒ H2 ∈ T2 şi H2 ∈ T3

OBSERVAŢIE: Pentru ∀ H ≡ h, iar h’ şi h’’ ∈ axelor


62

2. V COORDONATE ∀ V ∈ [V] ⇒ Distanţa de la V la [V] are valoarea zero.V (a, 0, c)

P[H ]

b=0

[V ]I

3

A[H ]

[W ]

av

4[W ]

V=v'S[V ] v''

c

2[W ]

1[W ]

+z

-z

o

-y

x

Fig.II.1.31a Proiecţia punctului V

b=0

c

va

b=0v

c

a

v' v'' v'

y

ox x

y

oy

Fig.II.1.31b Triplă proiecţie ortogonală Fig.II.1.31c Dublă proiecţie ortogonală


63

DISCUŢIE ASUPRA POZIŢIEI PUNCTULUI V FAŢĂ DE PLANELE DE PROIECŢIE

Fie V1 (a, 0, +c); a>0

P[H ]

I[V ] 4[W ]

3

[H ]A

1[W ]

va b=0

[V ]I[W ]3 4[W ]

V =

P[H ]

1

+c

[W ]22T

[V ]S

v ''1

[H ]A

1[W ]T1

v ''1v '1V =

[V ]S

+c

1 [W ]1

[W ]2

+c

1vb=0

a

1v ' 1v ''

+z

-z

+y

o

-y +y

-z

+z

ox

y

z

x o y

-y

x


Fig.II.1.32c Vedere în lungul axei OX Concluzie ⇒ V1 ∈ [VS], unde VS delimitează triedrele 1 şi 2 ⇒ V1 ∈ T1 şi V1 ∈ T2

Fie V2 (a, 0, -c); a>0

[H ]P

+y

[V ]I [W ]4

-z

v ''[H ]A3

22V =v 'x

2

-c

2v

[W ]

a b=0o

V =

I[V ]

-z3[W ]

3T

-c

[W ]4

4T

22 v ''

[V ]S

+z

[H ]-y oxP

2[W ]

+y

[W ]1

-y[V ]S [W ]1

2[W ]

+z

b=0v yox

2v ''

y

2v '

2 a

-c

z

[H ]A


Fig.II.1.33c Vedere în lungul axei OX Concluzie ⇒ V2 ∈ [VI], unde VI delimitează triedrele 3 şi 4 ⇒ V2 ∈ T3 şi V2 ∈ T4

OBSERVAŢIE: V ≡ v’, iar v şi v’’ ∈ axelor


64

3. W

COORDONATE ∀ W ∈ [W] ⇒ Distanţa de la W la [W] are valoarea zero. W (0, b, c)

[H ]

I[V ]

A

a=0

[W ]3

b

[H ]P

[V ]S

c

w'

[W ]4

[W ]1

w

W=w''

[W ]2

+z

-z

+y

o

x

-y

Fig.II.1.34a Proiecţia punctului W

a=0

b

w

w'

c

w''

a=0

b

w

c

w'

y

yox x o

y

Fig.II.34b Triplă proiecţie ortogonală Fig.II.1.34c Dublă proiecţie ortogonală


65

DISCUŢIE ASUPRA POZIŢIEI PUNCTULUI W FAŢĂ DE PLANELE DE PROIECŢIE

Fie W1 (0, +b, +c);

[H ]

4[W ][V ]I

A

P[H ]

[W ]a=0

[W ]3

1

1

w+b

w '[V ]S

+c 1W = 1w ''

1

2[W ]

+c

3[W ] I[V ]

[H ]P +b

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]w ''1W =1

1T[W ]1

w ''w '

a=0

w 1

+b

1

+c

1

+z

-z

+y

o

x

+z

+y-y

-z

ox

y

x

z

o y

-y


Fig.II.1.35c Vedere în lungul axei OX Concluzie ⇒ W1 ∈ T1

Fie W2 (0, -b, +c);

[H ]

[W ]I[V ]4

A

P[H ]

a=0

3[W ]

2wS[V ]-b

21[W ]

w '

+c

[W ]2

22W =w ''

+c

[V ][W ]3

P[H ] -b

4[W ]I

[H ]A

[V ]2T

22W =w ''[W ]2

T1[W ]1S

w '' w 'w

+c

a=0

2

-b

22

+z

-z

+y

-y

o

x

+z

-z

+y-y ox

y

z

x o y




66

Fie W3 (0, -b, -c);

3[W ]

I[V ]4[W ]-z

x3w '

-y

[H ]P

-b

a=033W =w '' o-c

3w S[V ][W ]1

[W ]2

+z

w ''W = [W ][V ][W ]

T3

3 33

4T4I

-z

[W ]2 S 1[W ]

+y

oxP-y -b

-c

[H ] +y[H ]A

w '

[V ]

w ''3

+z

3

y

z

w

o

-b

x

-c

a=0 y

3

[H ]A



Fie W4 (0, +b, -c);

I[V ]4[W ]

[V ][W ]3

3TI

-c

[W ]

4T4

44 w ''W =

[H ]P

[H ]3[W ] -c

A4w '

44W =w ''

a=0

4w+b

S[V ][W ]1

[W ]2

2 S

P[H ] +b

[W ] [V ] 1

[H ]A

[W ]

w 4w '4

-c +b

a=0

w ''4

+z

-z

+y

-y

x

o

ox-y +y

-z

+z

y

x

z

o y



OBSERVAŢIE: W ≡ w’’, iar w şi w’ ∈ axelor


67

CONCLUZIE

Un punct care aparţine unui plan de proiecţie are proiecţiile pe planele cărora nu le

aparţine, pe axe, iar proiecţia pe planul căruia îi aparţine, în cuprinsul acestuia şi în

aceeaşi poziţie cu punctul din spaţiu.

H ∈ [H] ⇒ H ≡ h; h’ şi h’’∈ axelor.

V ∈ [V] ⇒ V ≡ v’; v şi v’’ ∈ axelor.

W ∈ [W] ⇒ W ≡ w’’; w şi w’ ∈ axelor.

II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

II.2.1 REPREZENTAREA DREPTEI

II.2.2 URMELE DREPTEI

II.2.3 STUDIUL DREPTEI II.2.3.1 URMELE DREPTEI II.2.3.2 ANALIZA TRIEDRELOR PARCURSE DE DREAPTĂ II.2.3.3 STABILIREA PUNCTELOR DE INTERSECŢIE CU PLANELE

BISECTOARE II.2.3.4 ANALIZA OCTANŢILOR PARCURŞI DE DREAPTĂ II.2.3.5 ETAPELE STABILIRII TRASEULUI UNEI DREPTE.

RECAPITULARE

II.2.4 DREPTE PARTICULARE II.2.4.1 DREPTE PARALELE CU PLANELE DE PROIECŢIE II.2.4.2 DREPTE PERPENDICULARE PE PLANELE DE PROIECŢIE II.2.4.3 DREPTE ÎN PLANELE BISECTOARE II.2.4.4 DREPTE ÎN PLANELE DE PROIECŢIE

II.2.5 POZIŢIA RELATIVĂ A DOUĂ DREPTE II.2.5.1 DREPTE PARALELE II.2.5.2 DREPTE CONCURENTE II.2.5.3 DREPTE DISJUNCTE

II.2.6 MĂRIMEA UNUI SEGMENT DE DREAPTĂ

II.2.7 UNGHIURILE DINTRE DREAPTĂ ŞI PLANELE DE

PROIECŢIE

B.II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

68

B.II.2.1 REPREZENTAREA DREPTEI DEFINIŢIE: Dreapta este un element liniar determinat de:

• două puncte sau • un punct şi o direcţie.

DREAPTA DETERMINATĂ DE DOUĂ PUNCTE Fie M ≠ N; M şi N = puncte oarecare M + N = D

[H]

n

[V] [W]

N

n'n''

[H]

m'

[V] [W]

Mm''

mx x

zz

o o

y y

Fig.II.2.1 Fig.II.2.2


69

d'

[H]

D

d

n

m'

d''[V] [W]

M

N

n'

m''

n''

m

z

x

o

y

Fig.II.2.3 (Fig.II.2.1 + Fig.II.2.2)

d

d' d''

m'

n'

m''

n''

n

m d

d'

m'

n'

n

m

z z

y

y

y

x xo o

Fig.II.2.4a Triplă proiecţie ortogonală Fig.II.2.4b Dublă proiecţie ortogonală

OBSERVAŢIE : Dacă M + N = D ⇒ M ∈ D şi N ∈ D

⇓

m ∈ d n ∈ d

m’ ∈ 'd n’ ∈ 'd

m’’∈ ''d n’’∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - Apartenenţa” )


70

Fie H ≠ V; H + V = D unde H ∈ [H] V ∈ [V] (vezi II.1 Puncte particulare).

[H]

[V] [W]

V=

[H]

[V] [W]

H=

z z

xx

o o

v

v'

v''

h

h'

h''

y y


d'

[H]

D

d

d''

[V] [W]

H=

h'

v''

h''v

V=

h

v'

x

o

y


d'

h'

v' v''

h''v

h

d''

d

d'

h'

v'

v

h

d

z z

y y

o ox xy

Fig.II.2.8a Triplă proiecţie ortogonală Fig.II.2.8b Dublă proiecţie ortogonală OBSERVAŢIE : Dacă H + V = D ⇒ H ∈ D şi V ∈ D

⇓

h ∈ d v ∈ d

h’ ∈ 'd v’ ∈ 'd

h’’∈ ''d v’’∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - Apartenenţa” )


71

Fie H ≠ W; H + W = D unde H ∈ [H] W ∈ [W] (vezi II.1 Puncte particulare).

[H]

[V] [W]W=

[H]

[V] [W]

H=

z z

x xy

oo

w

w''

w'

h''

h

h'


d'

[H]

D

d

d''

[V] [W]

H=

h'

w'

w

h''

W=

h

w''

x

o

y

Fig.II.2.11(Fig.II.2.9 + Fig.II.2.10)

d''

w''

h

w'

h' h''

w

d'

d

h

w'

h'

w

d'

d

z z

x xy

y y

o o

Fig.II.2.12a Triplă proiecţie ortogonală Fig.II.2.12bDublă proiecţie ortogonală OBSERVAŢIE : Dacă H + W = D ⇒ H ∈ D şi W ∈ D

⇓

h ∈ d w ∈ d

h’ ∈ 'd w’ ∈ 'd

h’’∈ ''d w’’∈ ''d (vezi capitolul „A IV Invarianţii proiecţiilor - Apartenenţa” )


72

Fie V ≠ W; V + W = D unde V ∈ [V] W ∈ [W] (vezi II.1 Puncte particulare).

x

[H]

o

z

y

[V] [W]

W=w''

w

w'

x

[H]

o

z

y

[V] [W]

v

v''

v'V=


x

d'

[H]

D

o

y

d''[V] [W]

d

W=w''

V=v'

w

v

v''

w'


v''

d''d'

d

v'

v

w''w'

w

d'

d

v'

v

w'

w

z z

x xy

yy

o o

Fig.II.2.16a Triplă proiecţie ortogonală Fig.II.2.16b Dublă proiecţie ortogonală OBSERVAŢIE : Dacă V + W = D ⇒ V ∈ D şi W ∈ D

⇓

v ∈ d w ∈ d

v’ ∈ 'd w’ ∈ 'd

v’’∈ ''d w’’∈ ''d (vezi capitolul „A IV Invarianţii proiecţiilor - Apartenenţa” )


73

DREAPTA DETERMINATĂ DE UN PUNCT ŞI O DIRECŢIE

• D ⊃ M ⇒ m ∈ d , m’ ∈ 'd , m’’∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

• şi D || E (vezi II.2.5 Poziţia relativă a două drepte)

sau D || [P] unde [P] = [H] sau [V] sau [W] (vezi II.2.4 Drepte particulare)

sau unde [P] = oarecare (vezi Poziţia dintre dreaptă şi plan – volumul II). B.II.2.2 URMELE DREPTEI DEFINIŢIE: Numim „urmele dreptei” punctele de intersecţie ale dreptei cu planele de proiecţie.

D ∩∩∩∩ [H] = H D ∩∩∩∩ [V] = V

D ∩∩∩∩ [W] = W ⇓

[H]

[V] [W]

H=[H]

[V] [W]

[H]

[V] [W]

V=

W=

x x x

o o o

zzz

y y y

v''

v'

h''

h

h' w

w''

v

w'

H ∈ [H] V ∈ [V] W ∈ [W] Fig.II.2.17

(vezi II.1 Puncte particulare). OBSERVAŢIE: Coordonatele punctelor H, V şi W din figura de mai sus au valori pozitive.


74

URMA ORIZONTALĂ A DREPTEI D D ∩ [H] = H

d'

[H]

D

d

d''

[V] [W]

H=

h'

h''

h

z

o

x y

Fig.II.2.18

h ∈ d

Dacă H ∈ D ⇒⇒⇒⇒ h’ ∈ 'd

h’’∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓

H ∈ D ; h ∈ d şi H ≡ h (vezi Fig.II.2.17) ⇓

h ≡≡≡≡ H = D ∩∩∩∩ d h’ ∈ OX (vezi Fig.II.2.17) h’’ ∈ OY (vezi Fig.II.2.17)

h’ ∈ 'd h’’ ∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓ ⇓

h’ = 'd ∩∩∩∩ OX h’’ = ''d ∩∩∩∩ OY şi h ∈ d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

d'

h' h''

h

d''

d

d'

h'

h

d

z z

y

y y

xx o o



75

URMA VERTICALĂ A DREPTEI D D ∩ [V] = V

d'

[H]

D

d

d''

[V] [W]

v''

v

V=v'

z

o

x y

Fig.II.2.20

v ∈ d

Dacă V ∈ D ⇒⇒⇒⇒ v’ ∈ 'd

v’’∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓

V ∈ D ; v’ ∈ 'd şi V ≡ v’ (vezi Fig.II.2.17) ⇓

v’ ≡≡≡≡ V = D ∩∩∩∩ 'd v ∈ OX v’’ ∈ OZ (vezi Fig.II.2.17)

v ∈ d v’’ ∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓ ⇓

v = d ∩∩∩∩ OX v’’ = ''d ∩∩∩∩ OZ

şi v’ ∈ 'd (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

d'

v' v''

v

d''

d

d'

v'

vd

z z

o oy

y y

xx



76

URMA LATERALĂ A DREPTEI D D ∩ [W] = W

d'

[H]D

d

d''

[V]

[W]

w

W=w''

w'

o

+y

x

+z

-y

Fig.II.2.22

w ∈ d

Dacă W ∈ D ⇒⇒⇒⇒ w’ ∈ 'd

w’’∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓

W ∈ D ; w’’∈ ''d şi W ≡ w’’ (vezi Fig.II.2.17) ⇓

w’’ ≡≡≡≡ W = D ∩∩∩∩ ''d w ∈ OY w’ ∈ OZ (vezi Fig.II.2.17)

w ∈ d w’ ∈ 'd (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) ⇓ ⇓

w = d ∩∩∩∩ OY w’ = 'd ∩∩∩∩ OZ

şi w’’ ∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

d' d''

d

w'' w'

wd'

d

w

w'z z

o oxx y

y y Fig.II.2.23a Triplă proiecţie ortogonală Fig.II.2.23b Dublă proiecţie ortogonală


77

d'

[H]D

d

d''

[V]

[W]

H=

h'

v''

h''v

V=

h

v'

w

W=w''

w'

+y

x

o

-y

z

Fig.II.2.24

d'

h'

v' v''

h''

h

d''

d

w'' w'

wd'

h'

v'

v

h

d

w

v

w'z z

y y

xx o oy



78

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D

V

T3 4T

H

W

+z

-z

+y-y ox

Fig.II.2.26 Vedere în lungul axei OX

OBSERVAŢII: 1. Lungimea unei drepte este infinită.

Dacă vom considera şi spaţiul de dincolo de planul lateral de proiecţie [W], adică –OX, afirmaţia de mai sus este valabilă. Dacă vom considera numai +OX, atunci [W] limitează toate dreptele D [W]. Dreptele devin semidrepte, limitate de punctul W = D ∩ [W].

2. O dreaptă D intersectează un plan într-un singur punct. ⇒ ∃ H (unic), H = D ∩ [H], ∃ V (unic), V = D ∩ [V], ∃ W (unic), W = D ∩ [W]. şi H = ∞ dacă D [H], V = ∞ dacă D [V], W = ∞ dacă D [W].


79

B.II.2.3 STUDIUL DREPTEI DEFINŢIE : Studiul dreptei se referă la analiza traseului dreptei, cu precizarea triedrelor şi octanţilor prin care trece dreapta. II.2.3.1 STABILIREA URMELOR DREPTEI Pentru precizarea triedrelor prin care trece dreapta se vor afla mai întâi urma orizontală (H) şi verticală (V) ale dreptei D .

d'

[H]

D

d

d''

[V] [W]

H=

h'

v''

h''v

V=

h

v'

z

x

o

y

Fig.II.2.27

d'

h'

v' v''

h''v

h

d''

d

d'

h'

v'

v

h

d

z z

y

y y

xx o o


Dacă d , 'd , ''d sunt deja determinate (trasate), atunci: h’ = 'd ∩∩∩∩ OX şi v = d ∩∩∩∩ OX h’’ = ''d ∩∩∩∩ OY v’’= ''d ∩∩∩∩ OZ (vezi II.2.2 Urmele Dreptei)


80

II.2.3.2 ANALIZA TRIEDRELR PARCURSE DE D

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D

V

T3 4T

H

+z

-z

+y-y ox


OBSERVAŢII: 1. H ∈ [H]. Dacă H ∈ D , atunci H este punctul unde D trece dintr-un triedru în

altul, vecin. 2. V ∈ [V]. Dacă V ∈ D , atunci V este punctul unde D trece dintr-un triedru în altul,

vecin. 3. Din observaţiile 1 şi 2 ⇒ H şi V delimitează triedrele parcurse de D . 4. Din observaţiile 1 şi 2 ⇒ între H şi V, D trece printr-un singur diedru. 5. Din observaţiile 1 şi 2 ⇒ dincolo de H şi V, D intră în triedrele alăturate celui

dintre H şi V. 6. Nu este necesar să se afle W = D ∩ [W] pentru că W nu ajută la stablirea

triedrelor parcurse de D . Concluzii: 1. O dreaptă D ( D [V] şi D [H]) trece prin TREI TRIEDRE ALĂTURATE

(vecine). 2. Dacă D ar trece prin toate cele patru triedre, D ar trebui să intersecteze de două

ori [V] (şi o singură dată [H]) sau de două ori [H] (şi o singură dată [V]), ceea ce este imposibil (vezi obs. Nr.2 „urmele dreptei”).


81

II.2.3.2a ANALIZA TRIEDRELOR PARCURSE DE D ÎN TRIPLĂ PROIECŢIE

-z

3[W ] I[V ]

[H ]P-y ox

[W ]4

A[H ] +y

+z

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D=

T3 4T

H=

V=

h=h''

v'=v''

d''d'

h'=v d


OBSERVAŢII: 1. În aşezarea axelor de mai sus, unele proiecţii sunt confundate, deşi sunt distincte

în realitate (v’ = v’’, h = v, h = h’’). 2. Analog ''d ≡ D (disticte în realitate, vezi fig.II.2.24). 3. Dacă, analizând proiecţia laterală a unui punct (m’’) putem preciza triedrul în

care se găseşte punctul M (vezi proiecţiile punctului), analog, analizând traseul

proiecţiei laterale ''d a unei drepte D , putem preciza triedrele prin care trece

dreapta D . Concluzie: În triplă proiecţie stabilirea triedrelor prin care trece D se face urmărind traseul proiecţiei laterale ''d . Triedrele se vor marca pe o linie paralelă cu ''d , fiind delimitate de linii perpendiculare pe aceasta, din proiecţiile laterale ale urmelor (h’’ şi v’’).


82

d'

[H]

D

d

d''

[V] [W]

H=

h'

v''

h''v

V=

h

v'

T2

1T

4T

z

x

o

y

Fig.II.2.31

d'

h'

v'v''

h''v

h

d''

d

4T

1T

2

z

o

y

yx

Fig.II.2.32


83

II.2.3.2b ANALIZA TRIEDRELOR PARCURSE DE D ÎN DUBLĂ PROIECŢIE OBSERVAŢII: 1. Numai utilizând ''d , putem preciza direct traseul dreptei D în triplă proiecţie. 2. În cazul dublei proiecţii, unde avem la dispoziţie d şi 'd se pot stabili doar

limitele triedrelor şi anume, urma orizontală H şi verticală V. 3. Pentru a afla în ce triedru se află D în intervalul (H…V) se studiază semnul + sau

– al coordonatelor b şi c ale unui punct oarecare de pe dreaptă, din acest interval. Triedrele se vor marca pe o linie paralelă la OX, fiind delimitate de linii perpendiculare pe aceasta, din proiecţiile punctelor H şi V.

d'

h'

h

p

m

m'

v'p'

n

v

b >

0N

c <

0N

c >

0M

b >

0M

c >

0P

b <

0P

1T 2T4T

d

n'

z

o

y

x

Fig.II.2.33

• Fie M ∈ D , M între H şi V.

Dacă ∀M ∈ D , M ∈ (H…V), cM > 0 şi bM > 0 ⇒ intervalul (H…V) este T1. • Fie N ∈ D , N lateral faţă de H.

Dacă ∀N ∈ D , N ∈ (∞…H), cN < 0 şi bN > 0 ⇒ intervalul (∞…H) este T4. • Fie P ∈ D , P lateral faţă de V.

Dacă ∀P ∈ D , P ∈ (V…∞), cP > 0 şi bP < 0 ⇒ intervalul (V…∞) este T2. OBSERVAŢIE: Este suficient să se stabilească în modul de mai sus numai două din cele trei triedre prin care trece dreapta, anume triedrul dintre H şi V, şi unul dintre cele laterale, avându-se în vedere ca triedrele sunt vecine.


84

II.2.3.3 STABILIREA PUNCTELOR DE INTERSECŢIE CU PLANELE BISECTOARE II.2.3.3.a B1

• Fie B1 ∈ [B1]. Pentru (∀)B1, b = c, b şi c au simultan acelaşi semn.

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

T3 4T

B , b ''1 1

B , b ''1 1

+b

+b-b

-b+

c

+c

-c-c[B

],B

11W

[B ],

B1

1W

45°

ox, o+y-y

Fig.II.2.34a

Fig.II.2.34b

[H]

[V]

[W]

[H]

bise

ctoa

rea

ungh

iulu

i -Y

O-Z

bise

ctoa

rea

ungh

iulu

i +ZO

+Y

b''1

b''1

-b

-c

-b = -c

+b

+c

+b = +c

+z

-z

+y

-yx

o

+b se măsoară pe +OY, +c se măsoară pe +OZ ⇒ b1’’ se va găsi pe bisectoarea unghiului +ZO+Y

-b se măsoară pe -OY, -c se măsoară pe -OZ ⇒ b1’’ se va găsi pe bisectoarea unghiului -ZO-Y

Dacă B1 ∈ D ⇒ b1’’ ∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

⇒ b1’’ ∈ bisectoarea unghiului ZOY, -ZO-Y. b1’’ ∈ ''d ⇓ b1’’ = ''d ∩ bisectoarea unghiului ZOY, -ZO-Y.


85

[H]

[V]

[W]

[H]

bise

ctoa

rea

ungh

iulu

i -Y

O-Z

bise

ctoa

rea

ungh

iulu

i +ZO

+Y

b''1

b''1

-b

-c

-b = -c

+b

+c

d''

d''

1

2

+b = +c

+z

-z

x

+y

-y

o

Fig.II.2.35

O

+z(-y)

+y(-z)

d''

o

+z(-y)

+y(-z)

d''

1

2sau

bise

ctoar

ea

ungh

iulu

i -YO-Z

bisec

toarea

ungh

iului

+ZO+Y

1b''

1b''

x(-y) x(-y)+y +y

Fig.II.2.36

OBSERVAŢIE: În tripla proiecţie unghiul ZOY = 900, bisectoarea unghiului este o direcţie înclinată la 450 faţă de OY (axa orizontală) şi OZ (axa verticală). (planul lateral în triplă proiecţie este determinat de axele OY orizontală şi OZ verticală)


86

DETERMINAREA PROIECŢIILOR PUNCTULUI B1 • +b = +c

[H]

[V][W]

d'D

d

B

d''

b' b''

b

11

1

1

bisecto

area

unghiului +ZO+Y

+z

o

x

Fig.II.2.37

OBSERVAŢIE: - prima proiecţie determinată este b1’’ (vezi pag. 85); - B1 = D ∩ paralela la OX din b1’’; - b1’ = 'd ∩ paralela la OY din B1; - b1 = d ∩ paralela la OZ din B1.

d' d''

d

b''1b'1

b1

+c

+b

bisec

toare

a

ungh

iului

+ZO+Y

+z(-y)

+y(-z)

yxo

Fig.II.2.38 Triplă proiecţie

OBSERVAŢIE:

- prima proiecţie determinată este b1’’ (vezi pag.85); - b1’ = 'd ∩ paralela la OX din b1’’; - b1 ∈ d .


87

• -b = -c

[H]

[V]

[W]

d'

D

d

B

d''

b'b''

b

1

1

1

1

bise

ctoa

rea

ungh

iulu

i -Y

O-Z

[W]

[W]

[H]

[V]

+z

-z

x

+y

-y

o

Fig.II.2.39

OBSERVAŢIE: - prima proiecţie determinată este b1’’ (vezi pag.85); - B1 = D ∩ paralela la OX din b1’’; - b1’ = 'd ∩ paralela la OY din B1; - b1 = d ∩ paralela la OZ din B1.

d''b''1

-b-c

d'

d

b'1

b1z(-y)

y(-z)

yo

x(-y)


OBSERVAŢIE:

- prima proiecţie determinată este b1’’ (vezi pag.85); - b1’ = 'd ∩ paralela la OX din b1’’; - b1 ∈ d .


88

DETERMINAREA PROIECŢIILOR PUNCTULUI B1 ÎN DUBLĂ PROIECŢIE Pentru determinarea proiecţiilor punctului B1 în dublă proiecţie ortogonală se trasează simetrica uneia dintre proiecţiile dreptei faţă de OX. Fie 'd proiecţia a cărei simetrică se va trasa.

d'

h'

v'

vsim

etrica proiecþiei d'

faþã de OX

b'1

b1

+c

+b

=

=

+b = +cb > 0, c > 0

z

y

ox

Fig.II.2.41

x o

+z(-y)

+y(-z)

d'

h' v

v'

simetr

ica p

roiec

þiei d

'

faþã

de O

X

b1

b'1

=

=

-b = -cb < 0, c < 0

-c-b

Fig.II.2.42


89

sau Fie d proiecţia a cărei simetrică se va trasa.

d

h' v

simetrica proiecþiei d

faþã de OX

b'1

b1

+c

+b

=

=

+b = +cb > 0, c > 0

h

+z

ox

Fig.II.2.43

-b = -cb < 0, c < 0

d

h' v

simetr

ica pr

oiec

þiei d

faþã

de O

X

b1

b'1

-b-c

h

ox

Fig.II.2.44


90

Pentru ∀B1, cu b1’ ∈ 'd şi b1 ∈ liniei simetrice a proiecţiei 'd faţă de OX, sau b1 ∈ d şi b1’

∈ liniei simetrice a proiecţiei d faţă de OX, b = c; b şi c au simultan acelaşi semn (vezi Fig.II.2.38 şi Fig.II.2.40).

Dacă B1 ∈ D ⇒ b1 ∈ d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - Apartenenţa” ) Dacă B1 ∈ [B1] ⇒ b1’ ∈ 'd şi b1 ∈ liniei simetrice a proiecţiei 'd faţă de OX (vezi pag.88) ⇓ b1 = d ∩∩∩∩ simetrica proiecţiei 'd faţă de OX

d'h'

v'

v

h

d

simetrica proiecþiei d'

faþã de OX

b'1

b1

+c

+b

=

=

+b = +cb > 0, c > 0

z

y

ox

Fig.II.2.45

x o

+z(-y)

+y(-z)

d'

h' v

v'

simetr

ica p

roiec

þiei d

'

faþã

de O

X

b1

b'1

=

=

-b = -cb < 0, c < 0

hd

-c-b

Fig.II.2.46


91

Dacă B1 ∈ D ⇒ b1’ ∈ 'd (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” ) Dacă B1 ∈ [B1] ⇒ b1 ∈ d şi b1’ ∈ liniei simetrice a proiecţiei d faţă de OX (vezi pag.89) ⇓ b1’ = 'd ∩∩∩∩ simetrica proiecţiei d faţă de OX

d

v


faþã de OX

b'1

b1

+c

+b

=

=

+b = +cb > 0, c > 0

h

v

h'd'

+z

+y

ox

Fig.II.2.47

-b = -cb < 0, c < 0

d

v

simet

rica p

roiec

þiei d

'

faþã

de O

X

b1

b'1

-b-c

h

v'd'

h'

+z

+y

ox

Fig.II.2.48

OBSERVAŢIE: Nu este necesar să se traseze două linii simetrice faţă de OX, una simetrica proiecţiei d iar cealaltă simetrica proiecţiei 'd , deoarece se obţine acelaşi rezultat în ambele cazuri (proiecţiile punctului B1 sunt unice pentru o dreaptă D dată). În concluzie se va

trasa fie simetrica lui d faţă de OX, fie a lui 'd faţă de OX.


92

II.3.3.b B2 • Fie B2 ∈ [B2]. Pentru ∀B2, b = c, b şi c au semne diferite.

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

T3 4T

B , b ''2 2

B , b ''2 2

-b

-b

+c

+c

-c

[B ],B2

+b

+b

-c

2W

45°

ox, o+y-y

Fig.II.2.49a

Fig.II.2.49b

x

[H]

+z

+y

[V]

[W]

o

-y

[H]

-z

bisectoareaunghiului -yoz

b''2

b''2

-b

+b

+c

=

=

=

=

-c

bisectoareaunghiului yo-z

-b = +c

+b = -c

-b se măsoară pe -OY, +c se măsoară pe +OZ ⇒ b2’’ se va găsi pe bisectoarea unghiului +ZO-Y +b se măsoară pe +OY, -c se măsoară pe -OZ ⇒ b2’’ se va găsi pe bisectoarea unghiului –ZO+Y Dacă B2 ∈ D ⇒ b2’’ ∈ ''d (vezi „A IV Invarianţii proiecţiilor - apartenenţa” )

⇒ b2’’ ∈ bisectoarea unghiului +ZO-Y = -ZO+Y b2’’ ∈ ''d ⇓ b2’’ = ''d ∩ bisectoarea unghiului +ZO-Y = -ZO+Y


93

x

[H]

+z

+y

[V]

[W]

o

-y

[H]

-z

bisectoareaunghiului +zo-y

b''2

b''2

-b

+b

+c

=

=

=

=

-c

d''

d''

1

2

bisectoareaunghiului -zoy

-b = +c

+b = -c

Fig.II.2.50

d''

d''

1

2

sau

bisectoarea

unghiului -YO+Z

bisectoarea

unghiului -ZO+Y

2b''

2b''

+z(-y)

+y(-z)

yox(-y) x(-y) o

+z(-y)

y

+y(-z)

Fig.II.2.51 OBSERVAŢIE: În tripla proiecţie unghiul +ZO-Y = -ZO+Y = 900, bisectoarea unghiului este o direcţie înclinată la 450 faţă de OY (axa orizontală) şi OZ (axa verticală). (planul lateral în triplă proiecţie este determinat de axele OY orizontală şi OZ verticală)


94

DETERMINAREA PROIECŢIILOR PUNCTULUI B2 • -b = +c

[H]

[V][W]

d''

Dd

B

d'

b'2

2

2

bisectoarea

unghiului +ZO-Y

[W]

[H]

[V]

b''

b

2

+z

o

-z

+y

x-y

Fig.II.2.52

OBSERVAŢIE: - prima proiecţie determinată este b2’’ (vezi pag.93); - B2 = D ∩ paralela la OX din b2’’; - b2’ = 'd ∩ paralela la OY din B2; - b2 = d ∩ paralela la OZ din B2.

x(-y) o y

y(-z)

d''b''2b' =b 2

+c=

-b

2

dd'

bisectoarea

unghiului +zo-y

+z(-y)


OBSERVAŢIE:

- prima proiecţie determinată este b2’’ (vezi pag. 93); - b2’ = 'd ∩ paralela la OX din b2’’; - b2 ∈ d .


95

• +b = -c

[H]

[V]d'

D

d

B

d''

b''b'

b

2 2

2

bisectoarea

unghiului +YO

-Z[W]

[V]

[W]

[W]

[H]

2

+z

-z

o

+y

-y

x

Fig.II.2.54

OBSERVAŢIE: - prima proiecţie determinată este b2’’ (vezi pag. 93); - B2 = D ∩ paralela la OX din b2’’; - b2’ = 'd ∩ paralela la OY din B2; - b2 = d ∩ paralela la OZ din B2.

b' =b 2 2d

-c=

+bd'

b''2bisectoarea

d''x(-y)

z(-y)

y(-z)

o y

unghiului +yo-z


OBSERVAŢIE: - prima proiecţie determinată este b2’’ (vezi pag. 93); - b2’ = 'd ∩ paralela la OX din b2’’; - b2 ∈ d .


96

DETERMINAREA PROIECŢIILOR PUNCTULUI B2 ÎN DUBLĂ PROIECŢIE Pentru ∀B2 ∈ [B2] ⇒ b2 ≡ b2’ Dacă b2 ∈ d , b2’ ∈ 'd şi b2 ≡ b2’

⇓ b2 ≡≡≡≡ b2’ ≡≡≡≡ d ∩∩∩∩ 'd

-b = +c

b' =b 2

+c=

-b

2

dd'

z

o

y

x

Fig.II.2.56

+b = -c

b' =b 2

-c=

+b

2d d'

z

o

y

x

Fig.II.2.57


97

II.2.3.4 ANALIZA OCTANŢILOR PARCURŞI DE D Vederi în lungul axei OX

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D

T3 4T

H

B

B

V

1[B ]

2[B ]

2

1

O2

O1

O8

O7

O3

+z

-z

ox-y +y

Fig.II.2.58

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D

T3 4T

H

B

B

V

1[B ]

2[B

]2

1

O3

O4

O5

O6

O2

+z

-z

ox +y-y

Fig.II.2.59


98

OBSERVAŢII:

1. B1 ∈ [B1]. Dacă B1 ∈ D , atunci B1 este punctul unde D trece dintr-un octant în altul, vecin, ambii ai aceluiaşi triedru.

2. B2 ∈ [B2]. Dacă B2 ∈ D , atunci B2 este punctul unde D trece dintr-un octant în altul, vecin, ambii ai aceluiaşi triedru.

3. Din observaţiile 1 şi 2 ⇒ B1 şi B2 delimitează octanţii prin care trece D . 4. ⇒ între H şi B1 şi respectiv V şi B1 sau

între H şi B2 şi respectiv V şi B2, D parcurge un singur octant.

5. ⇒ între H şi V, D străbate doi octanţi ai aceluiaşi triedru.

6. ⇒ în triedrele în care D nu∩ [B1] şi respectiv D nu∩ [B2], D parcurge un singur octant.

Concluzii:

1. O dreaptă D ( D ∩ [V], D ∩ [H], D ∩ [B1], D ∩ [B2]) trece prin cinci octanţi vecini (alăturaţi).

2. O dreaptă intersectează un plan o singură dată

⇒ ∃B1 = unic, B1 = D ∩ [B1], B1 ∈ T1 sau B1 ∈ T3

∃B2 = unic, B2 = D ∩ [B2], B2 ∈ T2 sau B2 ∈ T4.

3. Dacă B1 = D ∩ [B1], B1 ∈ T1 ⇒ D parcurge O1 şi O2.

Dacă B1 = D ∩ [B1], B1 ∈ T3 ⇒ D parcurge O5 şi O6.




99

II.2.3.4.a ANALIZA OCTANŢILOR PARCURŞI DE D ŞI STABILIREA TRASEULUI DREPTEI D ÎN TRIPLĂ PROIECŢIE

H=

h'h''

v

V=

h

v'

[H]

[V]

[W]

d''

D

d

d'

1

bisecto

area

unghiului +ZO+Y

b''

b

1

Bb'11

B2

b'2

[V]

[W]

[W]

b''2

b2

[H]

1Tv''

bisectoarea

unghiului -ZO+Y

4T

2T

7O

8O

1O

2O

3O

+z

-z

+y

o

x

Fig.II.2.60

1. În triplă proiecţie stabilirea octanţilor prin care trece dreapta D se face urmărind

traseul proiecţiei laterale ''d (vezi Obs.2 pag.81). 2. Analog cu triedrele, octanţii se vor marca pe o linie paralelă cu ''d , delimitată

de linii perpendiculare pe aceasta, din proiecţiile laterale ale punctelor care delimitează octanţii (H, V, B1, B2).

3. Dacă triedrele parcurse de D au fost deja stabilite, este suficient să se determine un

singur octant, în funcţie de triedrul în care se află şi de triedrul vecin (ex.: O1, vezi Fig. de mai sus). Ceilalţi 4 octanţi se vor denumi în ordine, fiind vecini cu acesta.


100

d'

h'

v' v''

h''v

h

d

b''

b''

d''

b =b'

b'

b

1

1

2 2

1

2

1T

4T

2T

2O

1O

8O

7O

3O

bisec

toare

a

ungh

iului

+ZO+Y

bisectoarea

z

o

y

yx


II.2.3.4.b ANALIZA OCTANŢILOR PARCURŞI DE D ŞI STABILIREA TRASEULUI DREPTEI D ÎN DUBLĂ PROIECŢIE

d'

h'

v'

v

h

d

b =b'

b'

b

1

1

2 2


faþã de OX

2O1O8O7O 3O

2T1T4T

z

o

y

x

Fig.II.2.62 Dublă proiecţie

• Pentru stabilirea proiecţiilor punctelor B1 şi B2 vezi pag. 88, 89, 90, 91 şi 96. • Pentru stabilirea octanţilor parcurşi de D vezi pag. 98, pct.3. • Octanţii se vor marca pe o linie paralelă la OX, delimitată de linii perpendiculare pe

aceasta, din proiecţiile punctelor care delimitează octanţii (H, V, B1, B2).


101

II.2.3.5 ETAPELE STABILIRII TRASEULUI UNEI DREPTE D . RECAPITULARE

Fie M ≠ N, M şi N = oarecare, M + N = D 1. Reprezentarea proiecţiilor punctelor

M şi N

n

n' n''

m

m' m''

y

yox

2. Reprezentarea proiecţiilor dreptei

D :

m + n = d

m’ + n’ = 'd

m’’+ n’’= ''d

d'

d

d''

n

n' n''

m

m' m''

o

y

yx

3. Determinarea urmelor H şi V ale

dreptei D .

d'

h'

v' v''

h''

h

d

d''

v

z

y

y

ox

4. Stabilirea triedrelor parcurse de

dreapta D .

d'

h'

v' v''

h''

h

d

d''1T

4T

2T

v

z

o

y

yx

5. Aflarea punctelor de intersecţie ale

dreptei D cu [B1] şi [B2].

d'

h'

v' v''

h''v

h

d

b''

b''

d''

b =b'

b'

b

1

1

2 2

1

2

z

o

y

yx

6. Stabilirea octanţilor prin care trece

dreapta D .

d'

h'

v' v''

h''v

h

d

b''

b''d''

b =b'

b'

b

1

1

2 2

1

2

1T

4T

2T

2O

1O

8O

7O

3O

bisec

toarea

ungh

iului

+ZO+Y

bisectoarea

unghiului -ZO+Y

z

o

y

yx


102


102

II.2.4 DREPTE PARTICULARE

DEFINIŢIE: O dreaptă este particulară dacă este paralelă cu sau perpendiculară pe

unul din planele de proiecţie.

Consecinţă: Există trei categorii de drepte paralele cu unul dintre planele de proiecţie

şi trei categorii perpendiculare pe unul dintre acestea.

II.2.4.1 DREPTE PARALELE CU UN PLAN DE PROIECŢIE

1. 1D

DENUMIRE : ORIZONTALĂ

POZIŢIE: 1D |||||||| [H]

Consecinţă : Toate punctele de pe dreaptă se găsesc la aceeaşi distanţă faţă de

[H].

sau ∀∀∀∀ M ∈∈∈∈ 1D ⇒⇒⇒⇒ c = constant

COORDONATELE a două puncte de pe dreaptă M ≠ N, M ∈ 1D şi N ∈

1D , sunt

următoarele: M (a, b, c)

N (a1, b1, c).

[H ]A

[W ]1[V ]S

n'

n''

n

N

=c

=c

[H ]A

[W ]1[V ]S m'

m''

m

M

=c

=c

=c

=c

z z

o o

y yxx

Fig.II.2.63

Mm’’ ≠ Nn’’

Mm’ ≠ Nn’

Mm = Nn = c

M + N = 1D


103

[H ]A

[W ]1[V ]S

D1

d''d'

1

11

d

n'

m'

m''

n''

nm

NM

=c

=c=c

=c

z

x

o

y

Fig.II.2.64

PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

Triplă proiecţie Dublă proiecţie

c

m''n''m'n'

n

m

d''1

= = = =

m'n'

n

m

d'1

d1

= =c c

d'1

d1

c c c

z

x x

z

o

yy

o y

Fig.II.2.65


104

DETERMINAREA URMELOR DREPTEI

[H ]A

[W ]1[V ]S

D1

d''d'

1

11

V=W=

v'' w'

v

w

v'w''

=c

d

=c

z

x

o

y

Fig.II.2.66

1D = V + W

1d = v + w

1'd = v’ + w’

1''d = v’’ + w’’

Triplă proiecţie ortogonală Dublă proiecţie ortogonală

c

w''v'

v

w

d''1

= =

d'1

d1

c

v''w'

c

v'

v

=

d'1

d1

z z

ox

y

x o

y

y

Fig.II.2.67

URMELE DREPTEI 1D

1. 1D || [H] ⇒ 1D [H] ⇒ H ∈ 1D

2. 1D ∩ [V] = V

V ≡ v’ = 1D ∩ 1'd

v = 1d ∩ OX

v’’ = 1''d ∩ OZ

(vezi II.2.3.1, Urmele dreptei, Fig.II.2.20 şi II.2.21)

3. 1D ∩ [W] = W

W ≡ w’’ = 1D ∩

1''d

w = 1d ∩ OY

w’ = 1'd ∩ OZ

(vezi II.2.3.11 Urmele dreptei, Fig.II.2.22 şi II.2.23)


105

STUDIUL DREPTEI ORIZONTALE

1. c > 0

OBSERVAŢIE: Există două posibile trasee diferite pentru 1D (c > 0), în funcţie

de poziţia punctului W, şi anume dacă:

W ∈ [W1] (vezi Fig.II.2.68 )

W ∈ [W2] (vezi Fig.II.2.69 ).

[H ]

4[W ][V ]I

A

P[H ]

[W ]3

[V ]S

2[W ]

[W ]1D1

d''d'1

1V=W=

v''w'

v

w

v'w''

=

c >

0

=

c >

0

d1

+z

-z

+y

-y

o

x

Fig.II.2.68

2[W ]

P[H ]

[H ]A

[W ]1

[W ]3

4[W ]

[V ]S

[V ]I

D1

d'' d'11 V=

W=

v''w'

v

w

v'w''

=

c >

0

=

c >

0

d1

+z

-z

x-y

o

+y

Fig.II.2.69


106

Vedere în lungul axei OX

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D1V

c >

0

T3 4T-z

+yox-y

Fig.II.2.70

OBSERVAŢIE: 1. Traseele dreptelor din figurile anterioare se suprapun.

2. Pentru ∀ poziţie a punctului W (W ∈ [W1] sau W ∈ [W2]) 1D

trece prin aceleaşi triedre.


107

W ∈ [W1]

Triplă proiecţie

O

c >

0

w''v' d''1d' =d''1

d1

=

v''w'

c >

0=

c >

0=

1

v

w

T2 T1

+y(-z)

+yx(-y)

Fig.II.2.71

W ∈ [W1]

Dublă proiecţie

v'

v

m' n'

n

c =

ct.

> 0=

T2 T1

d' 1

d1

b <

0

b

> 0

c =

ct.

> 0=

c =

ct.

> 0=

m

n

z

o

y

x

Fig.II.2.72

M ∈ 1D M(aM, bM, c) unde bM < 0 ⇒ M ∈ Triedrului 2

N ∈ 1D N(aN, bN, c) unde bN > 0 ⇒ N ∈ Triedrului 1


108

W ∈ [W2]

Triplă proiecţie

d'' 1d' 1= d'' 1 w'' v'

w

v

d1

w'

c >

0=

v''

c >

0=

T2 T1

+y(-z)

+yox(-y)

Fig.II.2.73

W ∈ [W2]

Dublă proiecţie

+y(-z)

ox(-y)

d' 1 v'

c >

0=

T Td 1

m' n'

n

v

m

b

<0

n

b

>0

m

1 2

Fig.II.2.74

M ∈ 1D M(aM, bM, c) unde bM > 0 ⇒ M ∈ Triedrului 1

N ∈ 1D N (aN, bN, c) unde bN < 0 ⇒ N ∈ Triedrului 2

Concluzie: Dacă ∀ M ∈ 1D orizontală, c > 0 ⇒

1D ∈ T1 şi 1D ∈ T2 .


109

2. c < 0

OBSERVAŢIE: Există două posibile trasee diferite pentru 1D (c < 0), în funcţie de

poziţia punctului W, şi anume dacă

W ∈ [W3] (vezi Fig.II.2.75)

W ∈ [W4] (vezi Fig.II.2.76).

[W ]1

2[W ][V ]S

[H ]A

P[H ]

3[W ][V ]I

[W ]4

D1d'' d'11 V=

W=

v''w'

v

w

v'w''

d1

+z

-z

-y

+y

o

x

Fig.II.2.75

[H ]

4[W ][V ]I

A

P[H ]

[W ]3

[V ]S

2[W ]

[W ]1

D1

d'

d1

1

V= W=

v''w'

v

w

v' w''

=c

=cd''1

+z

-z

+y

-y

o

x

Fig.II.2.76


110


3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D1V

=

c <

0

T3 4T

+z

-z

ox +y-y

Fig.II.2.77





111

W ∈ [W3]

Triplă proiecţie

w'' v'

d''1d' =d''1

d1

v''w'

c >

0=1

v

w

T3 T4c

> 0=

+z(-y)

+y(-z)

o +yx(-y)

Fig.II.2.78

W ∈ [W3]

Dublă proiecţie

v'

d' 1

d1

v

T4 T3

c >

0=

n'm'

m

n

b

<0

b >

0m

n+z(-y)

o

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.79

M ∈ 1D M(aM, bM, c) unde bM > 0 ⇒ M ∈ Triedrului 4

N ∈ 1D N(aN, bN, c) unde bN < 0 ⇒ N ∈ Tiedrului 3


112

W ∈ [W4]

Triplă proiecţie

w''

v'

d''1d' =d''1

d1

v''w'

c >

0=

1

v

w

T3 T4

c >

0=

+y(-z)

+yx(-y) o

Fig.II.2.80

W ∈ [W4]

Dublă proiecţie

n

v'

d' 1

v

T3 T4

c <

0

=

d1

m

m'n'

n

b <

0

b

>0

m

+y(-z)

ox(-y)

Fig.II.2.81

M ∈ 1D M(aM, bM, c) unde bM < 0 ⇒ M ∈ Triedrului 3

N ∈ 1D N(aN, bN, c) unde bN > 0 ⇒ N ∈ Triedrului 4

Concluzie: Dacă ∀ M ∈ 1D orizontală, c < 0 ⇒ 1D ∈ T3 şi 1D ∈ T4..


113

2. 2D

DENUMIRE : FRONTALĂ

POZIŢIE: 2D |||||||| [V]

Consecinţă : Toate punctele de pe dreaptă se găsesc la aceeaşi distanţă faţă de

[V].

sau ∀∀∀∀ M ∈∈∈∈ 2D ⇒⇒⇒⇒ b = constant

COORDONATELE a două puncte de pe dreaptă M ≠ N, M ∈ 2D şi N ∈ 2D ,

sunt următoarele: M (a, b, c)

N (a1, b, c1).

[H ]A

[W ]1[V ]S

M

m

m''

m'

=b

=b

[H ]A

[W ]1[V ]S

N

n

n''n' =b

=b

=b

=b

z

x x

oo

y y

z

Fig.II.2.82

Mm’’ ≠ Nn’’

Mm’ = Nn’ = b

Mm ≠ Nn

M + N = 2D


114

[H ]A

[W ]1[V ]S

D2

d

d'

2

2

2

d''M

N

n

m

n''

m''

m'

n' =b

=b

=b

=b

z

x

o

y

Fig.II.2.83



m'

n'

n

b=

d'2

d2

d''2

b=

m''

m

b=

m'

n'

n

b=

d'2

d2

m

b=

n''

z

x o

y

y x

z

o

y

Fig.II.2.84


115


[H ]A

[W ]1[V ]S

D2

d

d'

2

2

2

H=

W=

w'

h' w

h

w''

d''

=b=b

h''

z

x

o

y

Fig.II.2.85

2D = H + W

2d = h + w

2'd = h’ + w’

2''d = h’’+ w’’


b

w''

h'

h

=

d'2

d2

w'

d''2

h''

w

b=

b

h'

h

=

d'2

d2

z

x

y

o x

z

y

oy

Fig.II.2.86

URMELE DREPTEI

1. 2D ∩ [H] = H

H ≡ h = 2D ∩ 2d

h’ = 2'd ∩ OX

h’’ = 2''d ∩ OY


2. 2D || [V] ⇒ 2D [V] ⇒ V ∈ 2D

3. 2D ∩ [W] = W

W ≡ w’’ = 2D ∩ 2''d

w = 2d ∩ OY

w’ = 2'd ∩ OZ

(vezi II.2.3.1, Urmele dreptei, Fig.II.2.22 şi II.2.23).


116

STUDIUL DREPTEI FRONTALE

1. b > 0

OBSERVAŢIE: Există două posibile trasee diferite pentru 2D (b > 0), în funcţie

de poziţia punctului W, şi anume dacă:


W ∈ [W4] (vezi Fig.II.2.88).

[H ]X

4[W ][V ]I

A

P[H ]

[W ]3

[V ]S

2[W ]

[W ]1

D2 d''

d'2

2

H=

w'

h' w

h

=b > 0

d2

W=w''

h''

=b > 0

+z

-z

+y

o

-y

Fig.II.2.87

[H ]X

4[W ][V ]I

A

P[H ]

[W ]3

[V ]S

2[W ]

[W ]1D2

d''

d'2

2

H=

h'

wh

=b > 0 d2

W=w''

h''

w'

+z

-z

+y

-y

o

Fig.II.2.88


117


3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D2

Hb >0

T3 4T

+z

-z

ox-y +y

Fig.II.2.89





118

W ∈ [W1]

Triplă proiecţie

b >

0

w''

h'

h

=

d'2

d2

w'

d''2

h''

w

b > 0=

T4

T1

b >

0=

+z(-y)

+y(-z)

ox(-y) +y

Fig.II.2.90

W ∈ [W1]

Dublă proiecţie

b =

ct.

> 0

h'

=

d'2

d2

n'

n

m'

c <

0m

c

> 0

n

h

m

T1T4

o

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.91

M ∈ 2D M(aM, b, cM) unde cM < 0 ⇒ M ∈ Triedrului 4.

N ∈ 2D N(aN, b, cN) unde cN > 0 ⇒ N ∈ Triedrului 1


119

W ∈ [W4]

Triplă proiecţie

b >

0w''

h'

h

=

d'2

w'

d''2

h''

w

b > 0=

T4

T1

b >

0=

d2

+z(-y)

+y(-z)

ox(-y) +y

Fig.II.2.92

W ∈ [W4]

Dublă proiecţie

T1 T4

b =

ct.

> 0

h'

=

d'2

d2

m'

n'

h nm

c

> 0

c <

0

m

n+z(-y)

o

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.93

M ∈ 2D M(aM, b, cM) unde cM > 0 ⇒ M ∈ Triedrului 1

N ∈ 2D N (aN, b, cN) unde cN < 0 ⇒ N ∈ Triedrului 4

Concluzie: Dacă ∀ M ∈ 2D frontală b > 0 ⇒

2D ∈ T1 şi 2D ∈ T4 .


120

2. b < 0

OBSERVAŢIE: Există două posibile trasee diferite pentru 2D (b < 0), în funcţie

de poziţia punctului W, şi anume dacă


W ∈ [W3] (vezi Fig.II.2.95).

2[W ]

P[H ]

[H ]A

[W ]1

[W ]3

4[W ]

[V ]S

[V ]I

D2d''

d'2

2

H=

W=

w

w'

h'h''

h

w''

=b < 0d2

=b < 0

+z

-z

x-y

o

+y

Fig.II.2.94

2[W ]

P[H ]

[H ]A

[W ]1

[W ]3

4[W ]

[V ]S

[V ]I

D2

d'' d'22

H=

W=

wh'h''

h

w''

=b < 0d2

w'

=b < 0

+z

-z

x

o

-y

+y

Fig.II.2.95


121


3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D2

H

=

b < 0

T3 4T

+z

-z

ox +y-y

Fig.II.2.96





122

W ∈ [W2]

Triplă proiecţie

d'' 2

w'' w'

w

b <

0

= b <

0

=

d' 2

d2 h

h' h''

T3

T2

+y(-z)

o +yx(-y)

Fig.II.2.97

W ∈ [W2]

Dublă proiecţie

b=

ct.<

0

=

d' 2

d2 h

h'

n

n' m

m'

c

< 0

c

> 0

n

m

T3 T2

o

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.98

M ∈ 2D M(aM, b, cM) unde cM < 0 ⇒ M ∈ Triedrului 3

N ∈ 2D N(aN, b, cN) unde cN > 0 ⇒ N ∈ Triedrului 2


123

W ∈ [W3]

Triplă proiecţie

d'' 2

w'' w'

w

b <

0

=

d' 2

h

h' h''

T3

T2d2

b <

0

=o +y

+y(-z)

x(-y)

+z(-y)

Fig.II.2.99

W ∈ [W3]

Dublă proiecţie

b=

ct.<

0

=

d' 2

h

h'

n

n'

m

m'

d2

c

> 0

c

< 0

n

m

T2 T3

o

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.100

M ∈ 2D M(aM, b, cM) unde cM > 0 ⇒ M ∈ Triedrului 2

N ∈ 2D N(aN, b, cN) unde cN < 0 ⇒ N ∈ Tiedrului 3

Concluzie: Dacă ∀ M ∈ 2D frontală b < 0 ⇒ 2D ∈ T2 şi 2D ∈ T3.


124

3. 3D

DENUMIRE : DE PROFIL

POZIŢIE: 3D |||||||| [W]

Consecinţă : Toate punctele de pe dreaptă se găsesc la aceeaşi distanţă faţă de [W].

sau ∀∀∀∀ M ∈∈∈∈ 3D ⇒⇒⇒⇒ a = constant

COORDONATELE a două puncte de pe dreaptă cu M ≠ N, M ∈ 3D şi N ∈ 3D ,


N (a, b1, c1).

[H ]A

[W ]1[V ]S

ZZ

=a

N

n''n'

n

[H ]A

[W ]1[V ]S

M

m''

m'

m

=a

=a

=a

=a=a

z

xx

oo

y

Fig.II.2.101

Mm’’ = Nn’’ = a

Mm’ ≠ Nn’

Mm ≠ Nn

M + N = 3D


125

[H ]A

[W ]1[V ]S

D3

d

d'3

3

3

d''

=a

N

M

n''

m''

m'

n'

m

n

=a

x

o

y

z

Fig.II.2.102



d''3

a=

m''

n''

m'

n'

d'3

m

n

d3

a=

m'

n'

d'3

m

n

d3

x o y

y

x o

y Fig.II.2.102


126


[H ]A

[W ]1[V ]S

D3

d

d'

3

3

3

H=

h'

h

d''

=a

h''

V=v'

v''

v

=a

z

x

o

y

Fig.II.2.104

3D = H + V

3d = h + v

3'd = h’ + v’

3''d = h’’ + v’’


d''3

a=

v''

h''

v'

d'3

h

d3

v h' a=

v' ?

d'3

d3

v h'

h ?

z

ox y x

z

o

yy Fig.II.2.105

OBSERVAŢIE: În dubla proiecţie ortogonală nu se pot determina ambele proiecţii ale umelor H şi V, din cauza traseului proiecţiilor dreptei 3d ≡ 3'd ≡ linia de

ordine a punctelor H şi V. (perpendiculară pe OX). Pentru determinarea proiecţiilor urmelor H şi V este necesară TRIPLA PROIECŢIE ORTOGONALĂ.

URMELE DREPTEI

1. 3D ∩ [H] = H 2. 3D ∩ [V] = V

H ≡ h = 3D ∩ 3d V ≡ v’ = 3D ∩ 3'd

h’ = 3'd ∩ OX v = 3d ∩ OX

h’’ = 3''d ∩ OY v’’ = 3''d ∩ OZ

(vezi II.2.3.1, Urmele dreptei, (vezi II.2.3.1, Urmele dreptei,

Fig.II.2.18 şi II.2.19) Fig.II.2.20 şi II.2.21)

3. 3D || [W] ⇒ 3D [W] ⇒ W ∈ 3D


127

STUDIUL DREPTEI DE PROFIL

1. c > 0

OBSERVAŢIE: Există două posibile trasee diferite pentru 3D (cV > 0), în funcţie

de poziţia punctului H, şi anume dacă: H ∈ [HA] ⇒ b > 0 (vezi Fig.II.2.106) H ∈ [HP] ⇒ b < 0 (vezi Fig.II.2.107).

[H ]

4[W ][V ]I

A

P[H ]

[W ]3

[V ]S

2[W ]

[W ]1

D3

d''d'3

3

H=

v''

h'

h

d3

V=v'

h''v

=a

=a

+z

-z

+y

-y

o

x

Fig.II.2.106

2[W ]

P[H ]

[H ]A

[W ]1

[W ]3

4[W ]

[V ]S

[V ]I

O

D3

d'' d'33

H=

V=

vh'

h''

h

v'

d3

v''

=a

=a

+z

-z

x-y

+y

Fig.II.2.107


128

Vederi în lungul axei OX

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D3

Hb >0

T3 4T

V

c >

0

+z

-z

ox +y-y

Fig.II.2.108

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D3

H =b < 0

T3 4T

V

c >

0

+z

ox-y +y

Fig.II.2.109

OBSERVAŢII: 1. Traseele dreptelor din figurile anterioare NU se suprapun. 2. Dacă b > 0, 3D străbate, în ordine, triedrele 2, 1, 4.

3. Dacă b < 0, 3D străbate, în ordine, triedrele 1, 2, 3.


129

H ∈ [HA]

Triplă proiecţie

d''3

a=

v''

h''

v'

d'3

h

d3

v h' 4T

1T

2

c >

0b >

0

+z(-y)

+y(-z)

o yx(-y)

Fig.II.2.110

H ∈ [HA]

Dublă proiecţie

a=

v' ?

d'3

d3

v h'

h ?

+z(-y)

o

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.111


130

H ∈ [HP]

Triplă proiecţie

a=

v''

h''

v'

h

v h'c

> 0

d''3

b <

0

d =d'3 3

2T

1T

3T

+y(-z)

o yx(-y)

Fig.II.2.112

H ∈ [HP]

Dublă proiecţie

a=

v' ?

v h'

d =d'3 3

h ?

+z(-y)

+y(-z)

ox(-y)

Fig.II.2.113

OBSERVAŢIE: În dubla proiecţie ortogonală proiecţia urmelor H şi V fiind nedeterminată (vezi Observaţie pag.126) nu se pot preciza triedrele prin care trece dreapta 3D .

În concluzie, dubla proiecţie ortogonală a dreptei 3D este irelevantă.


131

2. c < 0

OBSERVAŢIE: Există două posibile trasee diferite pentru 3D (cV < 0), în funcţie

de poziţia punctului H, şi anume dacă H ∈ [HA] ⇒ b > 0 (vezi Fig.II.2.114)

H ∈ [HP] ⇒ b < 0 (vezi Fig.II.2.115).

[H ]

X

4[W ]

[V ]I

A

P[H ]

[W ]3

[V ]S

2[W ]

[W ]1

D3d''d'3 3

H=

h'

h

d3

h''v =a

v''

V=v'

=a

+z

-z

+y

o

-y

Fig.II.2.114

2[W ]

P[H ]

[H ]A

[W ]1

[W ]3

4[W ]

[V ]S

[V ]I

D3d''

d'3

3

H=

V=

v h'h''

v'

d3

v''

=a

=a

h

+z

-z

x

o

-y

+y

Fig.II.2.115


132

Vederi în lungul axei OX

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D3

H

b > 0

T3 4T

V

c <

0

+z

ox +y-y

Fig.II.2.116

3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D3

H =b < 0

T3 4T

V

c <

0

+z

-z

ox +y-y

Fig.II.2.117

OBSERVAŢII:

1. Traseele dreptelor din figurile anterioare NU se suprapun. 2. Dacă b > 0, 3D străbate, în ordine, triedrele 1, 4, 3.

3. Dacă b < 0, 3D străbate, în ordine, triedrele 2, 3, 4.


133

H ∈ [HA]

Triplă proiecţie

o ya=

v''

h''

v'

h

v h'

+y(-z)

x(-y)

d''3d =d'3 3

4T

1T

c <

0

T3

Fig.II.2.118

H ∈ [HA]

Dublă proiecţie

a=

v'?

h ?

v h'

d =d'3 3

+z(-y)

+y(-z)

ox(-y)

Fig.II.2.119


134

H ∈ [HP]

Triplă proiecţie

d''3

a=v''

h''

d'3

d3

v h'

v'

h

c <

0b

< 0

4T

3T

2T

o

+y(-z)

x(-y) y

Fig.II.2.120

H ∈ [HP]

Dublă proiecţie

a=

v'?

h ?

v h'

d =d'3 3

o

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.121

OBSERVAŢIE: În dubla proiecţie ortogonală proiecţia urmelor H şi V fiind nedeterminată (vezi Observaţie pag.126) nu se pot preciza triedrele prin care trece dreapta 3D .

În concluzie, dubla proiecţie ortogonală a dreptei 3D este irelevantă.

Concluzie finală referitoare la dreptele particulare 1D , 2D , 3D :

Dacă o dreaptă este paralelă cu unul dintre planele de proiecţie, ea are proiecţiile, pe celelalte plane cu care nu este paralelă, paralele cu axele de proiecţie.


135

II.2.4.2 DREPTE PERPENDICULARE PE UN PLAN DE PROIECŢIE

OBSERVAŢIE: Dacă o dreaptă este perpendiculară pe unul dintre planele de

proiecţie, ea este paralelă cu celelalte două.

⇒ 4D ⊥ [H] ⇒ 4D [V]

4D [W]

5D ⊥ [V] ⇒ 5D [H]

5D [W]

6D ⊥ [W] ⇒ 6D [H]

6D [V]

4. 4D

DENUMIRE : VERTICALĂ

POZIŢIE: 4D ⊥⊥⊥⊥ [H]

Consecinţe : 4D [V] ⇒ 4D = frontală (vezi 2D )

4D [W] ⇒ 4D = de profil (vezi 3D ).

adică : Toate punctele de pe dreaptă se găsesc la o aceeaşi distanţă faţă

de [V] şi la o alta, faţă de [W]

sau ∀∀∀∀ M ∈∈∈∈ 4D ⇒⇒⇒⇒ b = ct. (vezi 2D )

a = ct. (vezi 3D ).

COORDONATELE a două puncte de pe dreaptă M ≠ N, M ∈ 4D şi N ∈ 4D , sunt


N (a, b, c1).

[H ]A

[W ]1[V ]S

=a

m

M

m''m'

=b

[H ]A

[W ]1[V ]S

n

n''n'

=b =a

N

z z

o

xx

o

y y

Fig.II.2.122

Mm ≠ Nn

Mm’ = Nn’ = b

Mm’’ = Nn’’ = a

M + N = 4D


136

[H ]A

[W ]1[V ]S

D4

d'

4

4

4

d''

=a

m=n=d

M

m''

m'

=b

n''

n'

=b

=a

N

z

o

x y

Fig.II.2.123



b=

d'4

4

d''4

a=

m=n=d

m''

n''

m'

n'

Y

b=

d'4

4

a=

m=n=d

m'

n'

z z

y

o x ox y

Fig.II.2.124


137


[H ]A

[W ]1[V ]S

D4

d'4

4

4H=

h'

d''

=b h''

=a

h=d

x

o

z

y

Fig.II.2.125


y

ox

b

z

yh'

=

d'4

4

d''4

h''a=

h=d

y

ox

b

z

h'

=

d'4

4

a=

h=d

Fig.II.2.126

URMELE DREPTEI

1. 4D ∩ [H] = H

H ≡ h = 4D ∩ 4d

h’ = 4'd ∩ OX

h’’ = 4''d ∩ OY


2. 4D || [V] ⇒

4D [V] ⇒ V ∈ 4D

3. 4D || [W] ⇒ 4D [W] ⇒ W ∈ 4D


138

STUDIUL DREPTEI VERTICALE

OBSERVAŢIE: Există două posibile trasee diferite pentru 4D , în funcţie de

poziţia punctului H, şi anume dacă:

H ∈ [HA] ⇒ b > 0 (vezi Fig.II.2.127)

H ∈ [HP] ⇒ b < 0 (vezi Fig.II.2.131).

1. b > 0

[H ]

4[W ][V ]I

A

P[H ]

[W ]3

[V ]S

2[W ]

[W ]1D4

d''

d'4

4

h'

=b > 0 h''

4H=h=d=a

+z

-z

+y

o

_y

x

Fig.II.2.127


3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D4

Hb >0

T3 4T

+z

-z

+yox-y

Fig.II.2.128

OBSERVAŢIE: Dacă b > 0, 4D străbate triedrele 1 şi 4.


139

H ∈ [HA]

Triplă proiecţie

b >

0

h'

=

d'4

4

d''4

h''a=

h=d

T4

T1

+z(-y)

+y(-z)

o +yx(-y)

Fig.II.2.129

H ∈ [HA]

Dublă proiecţie

b >

0

h'

=

d'4

4

a=

h=d

+z(-y)

o

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.130

OBSERVAŢIE: Având în vedere că traseul dreptei de mai sus este perpendicular pe

OX, marcarea triedrelor şi octanţilor prin care trece dreapta nu se poate face pe o

linie paralelă cu OX, deoarece la dreapta şi la stânga urmei H nu există nici un

segment care să aparţină dreptei 4D . (vezi Fig.II.2.33 şi II.2.62)


140

2. b < 0

2[W ]

P[H ]

[H ]A

[W ]1

[W ]3

4[W ]

[V ]S

[V ]I

=b < 0

D4 d''d'4 4

h' =ah''

4H=h=d

+z

o

-z

x-y

+y

Fig.II.2.131


3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D4

H

=

b < 0

T3 4T

+z

ox +y

Fig.II.2.132

OBSERVAŢIE: Dacă b < 0, 4D străbate triedrele 2 şi 3.


141

H ∈ [HP]

Triplă proiecţie

b <

0

h'=

d'4

4

d''4

h''

h=d

T3

T2a

+y(-z)

o +yx(-y)

Fig.II.2.132

H ∈ [HP]

Dublă proiecţie

b <

0

h'=

d'4

4h=d

a o

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.133



linie paralelă cu OX, deoarece la dreapta şi la stânga urmei H nu există nici un



142

5. 5D

DENUMIRE : DE CAPĂT

POZIŢIE: 5D ⊥⊥⊥⊥ [V]

Consecinţe : 5D [H] ⇒ 5D =orizontală (vezi 1D )

5D [W] ⇒ 5D = de profil (vezi 3D ).

adică : Toate punctele de pe dreaptă se găsesc la o aceeaşi

distanţă faţă de [H] şi la o alta, faţă de [W]

sau ∀∀∀∀ M ∈∈∈∈ 5D ⇒⇒⇒⇒ c = ct. (vezi 1D )

a = ct. (vezi 3D ).

COORDONATELE a două puncte de pe dreaptă cu M ≠ N, M ∈ 5D şi N ∈ 5D ,


N (a, b1, c).

[H ]A

[W ]1[V ]S n'

N

n''

n

[H ]A

[W ]1[V ]S

=c

aM

m''

m

m' =

a=

=c

z z

oo

y yx x

Fig.II.2.134

Mm = Nn = c

Mm’ ≠ Nn’

Mm’’ = Nn’’ = a

M + N = 5D


143

[H ]A

[W ]1[V ]S

D5

d''

5

5

d

5

a

m'=n'=d'

N

n''

M

m''

n

m

=c=c

=

z

o

x y

Fig.II.2.135



c

d5

5 m''

a=

m'=n'=d' 5d'' n''

m

n

c

d5

5

a=

m'=n'=d'

m

n

z z

oxx

y y

o y

Fig.II.2.136


144


[H ]A

[W ]1[V ]S

D5

d''

5

5

v''

v

d

=c

5V=a

v'=d' =

z

x

o

y

Fig.II.2.137


c

v

d5

5 v''

a=

v'=d' 5d''

c

v

d5

5

a=

v'=d'

z z

o

y

xyx o

y Fig.II.2.138

URMELE DREPTEI

1. 5D || [H] ⇒ 5D [H] ⇒ H ∈ 5D

2. 5D ∩ [V] = V

V ≡ v’ = 5D ∩ 5'd

v = 5d ∩ OX

v’’ = 5''d ∩ OZ


3. 5D || [W] ⇒ 5D [W] ⇒ W ∈ 5D


145

STUDIUL DREPTEI DE CAPĂT

OBSERVAŢIE: Există două posibile trasee diferite pentru 5D , în funcţie de

poziţia punctului V, şi anume dacă:

V ∈ [VS] ⇒ c > 0 (vezi Fig.II.2.139)

V ∈ [VI] ⇒ c < 0 (vezi Fig.II.2.143).

1. c > 0

[H ]

4[W ][V ]I

A

P[H ]

[W ]3

[V ]S

2[W ]

[W ]1

D5

d''

d5

5

v

=

c >

0

v''5V=v'=d'

a

+z

-z

+y

-y

0

x

Fig.II.2.139


3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D5V

c >

0

T3 4T

+z

-z

+yox-y

Fig.II.2.140

OBSERVAŢIE: Dacă c > 0, 5D străbate triedrele 1 şi 2.


146

V ∈ [VS]

Triplă proiecţie

c >

0

v

d5

5 v''

a=

v'=d' 5d''

T2 T1

+z(-y)

+y(-z)

+yx(-y) o

Fig.II.2.141

V [VS]

Dublă proiecţie

v

d5

5

a=

v'=d'

c >

0

o

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.142



linie paralelă cu OX, deoarece la dreapta şi la stânga urmei V nu există nici un



147

2. c < 0

[H ]

4[W ]

[V ]I

A

P[H ]

[W ]3

[V ]S

2[W ]

[W ]1

D5

d''

d5

5

v

=c <

0

v''

5V=v'=d'

a

+z

-z

+y

-y

o

x

Fig.II.2.143


3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

D5V

=

c <

0

T3 4T

+z

ox +y

Fig.II.2.144

OBSERVAŢIE: Dacă c < 0, 5D străbate triedrele 3 şi 4.


148

V ∈ [VI]

Triplă proiecţie

c <

0

v

d5

5v''

a=

v'=d'5d''

T2 T1

+z(-y)

+y

+y(-z)

ox(-y)

Fig.II.2.145

V ∈ [VI]

Dublă proiecţie

c <

0

v

d5

5

a=

v'=d'

+z(-y)

o

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.146



linie paralelă cu OX, deoarece la dreapta şi la stânga urmei V nu există nici un



149

6. 6D

DENUMIRE : FRONTO - ORIZONTALA

POZIŢIE: 6D ⊥ [W]

Consecinţe : 6D [H] ⇒ 6D = orizontală (vezi 1D )

6D [V] ⇒ 6D = frontală (vezi 2D ).

adică : Toate punctele de pe dreaptă se găsesc la o aceeaşi distanţă faţă

de [H] şi la o alta, faţă de [V]

sau ∀∀∀∀ M ∈∈∈∈ 6D ⇒⇒⇒⇒ c = ct. (vezi 1D )

b = ct. (vezi 2D ).

COORDONATELE a două puncte de pe dreaptă M ≠ N, M ∈ 6D şi N ∈ 6D , sunt


N (a1, b, c).

[H ]A

[W ]1[V ]S

bn''

N

n'

n

=

c

[H ]A

[W ]1[V ]S

=

c

m''

M

m'

m

b=

=

z z

o

xx

o

yy

Fig.II.2.147

Mm = Nn = c

Mm’ = Nn’ = b

Mm’’ ≠ Nn’’

M + N = 6D


150

[H ]A

[W ]1[V ]S

D6

6d=

c

6b m''=n''=d''6d'

M

m'

m

N

n'

n

=

c

b=

=

z

o

x y

Fig.II.2.148



d'6

b=

b= b=

m' n'

d6

m n

m''=n''=d''6

c c

d'6

b= b=

m' n'

d6

m n

c c

= = = =

z

o

y

x o

z

y

x y

Fig.II.2.149


151


[H ]A

[W ]1[V ]S

D6

6

w'

w

d

=c

6W=

b

w''=d''6d'

=

z

o

x y

Fig.II.2.150


b

w''=d''

=

d'6

d6

w' 6

w

b=

c

b=

d'6

d6

c

= =

z

o

y

x o

z

x y

Fig.II.2.151

URMELE DREPTEI

1. 6D || [H] ⇒ 6D [H] ⇒ H ∈ 6D

2. 6D || [V] ⇒ 6D [V] ⇒ V ∈ 6D

3. 6D ∩ [W] = W

W ≡ w’’ = 6D ∩ 6''d

w = 6d ∩ OY

w’ = 6'd ∩ OZ



152

STUDIUL DREPTEI FRONTO-ORIZONTALE

OBSERVAŢIE: Există patru posibile trasee diferite pentru 6D , în funcţie de

poziţia punctului W, şi anume dacă:

W ∈ [W1] ⇒ b > 0, c > 0 (vezi Fig.II.2.152)

W ∈ [W2] ⇒ b < 0, c > 0 (vezi Fig.II.2.156)

W ∈ [W3] ⇒ b < 0, c < 0 (vezi Fig.II.2.160)

W ∈ [W4] ⇒ b > 0, c < 0 (vezi Fig.II.2.164).

1. b > 0, c > 0

[H ]

4[W ][V ]I

A

P[H ]

[W ]3

[V ]S

2[W ]

[W ]1

=

c >

0

D6

6

w'

wd

b > 06d'6W=w''=d''

=

+z

+y

o

-z

x

-y

Fig.II.2.152


3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

W=D6

c >

0

T3 4T

b >0

+z

ox

-z

-y +y

Fig.II.2.13

OBSERVAŢIE: Dacă b > 0 şi c > 0, 6D se găseşte exclusiv în triedrul 1.


153

W ∈ [W1]

Triplă proiecţie

b >

0

w''=d''

=

d'6

d6

w' 6

w

b > 0=

c >

0 T1=

+z(-y)

o

+y(-z)

+yx(-y)

Fig.II.2.154

W ∈ [W1]

Dublă proiecţie

b >

0c

>

0

d'6

d6

m'

m

T1

+z(-y)

o

+y(-z)

x(-y)

MM

Fig.II.2.155

Concluzie: Dacă ∀ M ∈ 6D = fronto-orizotală

b > 0 şi c > 0 ⇒ 6D ∈ T1.


154

2. b < 0, c > 0

2[W ]

P[H ]

[H ]A

[W ]1

[W ]3

4[W ]

[V ]S

[V ]I

D6

6d

6d'

=

c>0

w

w'6W=w''=d'' b<0=

+z

-z

x

o

-y

+y

Fig.II.2.156


3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

W=D6

c >

0

T3 4T

b < 0

+z

-z

ox +y-y

Fig.II.2.157

OBSERVAŢIE: Dacă b < 0 şi c > 0, 6D se găseşte exclusiv în triedrul 2.


155

W ∈ [W2]

Triplă proiecţie

w''=d''d'6

d6

w'6

c >

0

T2 w

b <

0

=

+z(-y)

o +y

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.158

W ∈ [W2]

Dublă proiecţie ortogonală

b <

0

d'6

d6

T2 m'

c

> 0m

m

m

+z(-y)

o

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.159


b < 0 şi c > 0 ⇒ 6D ∈ T2.


156

3. b < 0, c < 0

2[W ]

P[H ]

[H ]A

[W ]1

[W ]3

4[W ]

[V ]S

[V ]I

D6

6d

6d'=c<

0w

w'

6W=w''=d''

b<0

=

+z

-z

o

x-y

+y

Fig.II.2.160


3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

W=D6

c <

0

T3 4T

b < 0

+z

ox

-z

+y-y

Fig.II.2.161

OBSERVAŢIE: Dacă b < 0 şi c < 0, 6D se găseşte exclusiv în triedrul 3.


157

W ∈ [W3]

Triplă proiecţie

w''=d''

d'6

d6

6

T3

b <

0

=

c <

0

w'

w

=

+z(-y)

+yo

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.162

W ∈ [W3]

Dublă proiecţie

b <

0c

<

0

d'6

d6

T3

m'

m

mm

+z(-y)

o

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.163


b < 0 şi c < 0 ⇒ 6D ∈ T3.


158

4. b > 0, c < 0

[H ]

4[W ]

[V ]I

A

P[H ]

[W ]3

[V ]S

2[W ]

[W ]1

D6

6

w'

w

d

b > 06d'

6W=w''=d''

=

c <

0

=

+z

-z

o

+y

-y

x

Fig.II.2.164


3[W ] I[V ]

[H ]P

[W ]4

A[H ]

2[W ]T2

S[V ]1T

[W ]1

W=D6

c <

0

T3 4T

b > 0

+z

-z

ox +y-y

Fig.II.2.165

OBSERVAŢIE: Dacă b > 0 şi c < 0, 6D se găseşte exclusiv în triedrul 4.


159

W ∈ [W4]

Triplă proiecţie

w''=d''d'6

d6

w'6

b > 0=c

< 0

T4

w

b >

0=

+y

+y(-z)

ox(-y)

Fig.II.2.166

W ∈ [W4]

Dublă proiecţie ortogonală

b >

0

d'6

d6

T4

m'

m

c <

0

m

m

+z(-y)

o

+y(-z)

x(-y)

Fig.II.2.167


b > 0 şi c < 0 ⇒ 6D ∈ T4.

Concluzie finală referitore la dreptele perpendiculare pe planele de proiecţie: Dacă o dreaptă este perpendiculară pe unul dintre planele de proiecţie, are

proiecţia pe acel plan un punct, iar celelalte proiecţii paralele cu axele.


160

TABEL RECAPITULATIV CU DREPTELE PARTICULARE:

1. 1D || [H]

orizontală pag.102

d''1d'1

d1

d'1

d1

y

x o

y

ox y

2. 2D || [V]

frontală pag.113

d''2d'2

d2

d'2

d2

y

o x o

y

yx

3. 3D || [W]

de profil

pag.124

d''3d'3

d3

d'3

d3

y

o o

y

x y x

4. 4D ⊥ [H]

verticală pag.135

d''4d'4

d4

d'4

d4

z

y

o x o

z

y

yx

5. 5D ⊥ [V]

de capăt pag.142

d''5d'5

d5

d'5

d5

y

o x o

y

x y

6. 6D ⊥ [W]

fronto-orizontală pag.149

d''6d'6

d6

d'6

d6

y

o x o

y

yx

OBSERVAŢIE: Toate proiecţiile din prezentul tabel sunt trasate în triedrul 1

(pentru sensul pozitiv al axelor OX, OY şi OZ).Pentru urmele

dreptei se va consulta fiecare caz în parte.


161

PUNCTE PE DREPTELE PARTICULARE

1. ∀ M ∈ 1D ⇒ c = ct.

d''1d'1

d1

d'1

d1

c =

ct.

m''m'

m

=

c =

ct.

m'

m

=

y

o x o

y

x y

2. ∀ M ∈ 2D ⇒ b = ct.

d''2d'2

d2

m''

b =

ct.

m'

m

=

d'2

d2b =

ct.

m'

m

=

z

o

y

x

z

o

y

x y

3. ∀ M ∈ 3D ⇒ a = ct.

d''3d'3

d3

d'3

d3

m''m'

m a = ct.=

m'

m

a = ct.=

y

o x o

y

x y

4. ∀ M ∈ 4D ⇒ a = ct.

b = ct

d''4d'4

m = d4

d'4

4

m''m'

m = d

m'

b =

ct.

=

b =

ct.

=

a = ct. a = ct.

= =

o

y

x o

y

yx

5. ∀ M ∈ 5D ⇒ a = ct.

c = ct

z z

y y

x xy oo

d''5m' = d'5

d5

m''

m

a = ct.

m' = d'5

d5

m

a = ct.= =

= =c =

ct.

c =

ct.

6. ∀ M ∈ 6D ⇒ b = ct.

c = ct.

m'' = d''6d'6

d6

d'6

d6

m'

m

b =

ct.

=

c =

ct.

m'

m

b =

ct.

=

c =

ct.

= =o

y

x o

y

yx

OBSERVAŢIE: ∀ M ∈ 4D , sau 5D , sau 6D are proiecţia pe planul pe care

dreapta este perpendiculară confundată cu proiecţia dreptei pe

respectivul plan, aceasta fiind un punct (vezi concluzia pag.159), adică:

dacă M ∈ 4D ⊥ [H] ⇒ m ≡ 4d , unde 4d este un punct;

dacă M ∈ 5D ⊥ [V] ⇒ m’ ≡ 5'd , unde 5'd este un punct;

dacă M ∈ 6D ⊥ [W] ⇒ m’’ ≡ 6''d , unde 6''d este un punct.

Toate punctele M de mai sus au coordonatele pozitive.

B.II.2 PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

162

II.4.3 DREPTE DIN PLANELE DE PROIECŢIE

I. DREPTE CE APARŢIN UNUI PLAN DE PROIECŢIE

1. D ∈∈∈∈ [H]

2. D ∈∈∈∈ [V]

3. D ∈∈∈∈ [W]

II. DREPTE CE APARŢIN AMBELOR PLANE DE PROIECŢIE

1. D ∈∈∈∈ [V] şi D ∈∈∈∈ [W]

2. D ∈∈∈∈ [H] şi D ∈∈∈∈ [W]

3. D ∈∈∈∈ [H] şi D ∈∈∈∈ [V]


163

I. DREPTE CE APARŢIN UNUI PLAN DE PROIECŢIE

1. D ∈∈∈∈ [H]

Fie H ∈ [H] (vezi II.1 Proiecţia ortogonală a punctului. Puncte particulare)

x y

y

Ox

z

y

h

h' h''

H

h'h''

[H ]A

[W ]1[V ]S

O

=h


şi H1 ≠ H2; H1 ∈ [H], H2 ∈ [H], H1 + H2 = D

x y

y

Ox

z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

O O

h

h' h''

h

h' h''1 2 1 2

1

2

d'

d

d''

H =h11 H =h22

h'1h''1

h''2

h'2d'

=dd''

D


Observaţie: Dacă pentru ∀ H ∈ [H], H ≡ h, iar h’şi h’’ se află pe axe

(vezi II.1 Proiecţia ortogonală a punctului. Puncte particulare);

analog, ∀∀∀∀ D ∈∈∈∈ [H], D ≡≡≡≡ d , iar 'd şi ''d se află pe axe.


164

Fie 1D [H] (vezi II.2.4 Drepte particulare)

z

x y

y

Ox

z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

OO

d'

d

d'

d

d''

D

1

1

1

1

1

1

d''1

=c=ct

.

=c=ct

. =c=ct

.

=c=ct

.


1D 1d ,

1'd OX,

1''d OY,

la distanţa c = ct. de axe.

Dacă c = ct. = 0, 1D devine:

z

x y

y

Ox

z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

O Od'

d

d'

=d

d''

D

1

1

1

1

1

1

d''1


Concluzie: Dacă D ∈∈∈∈ [H], atunci ea este o dreaptă particulară, şi anume,

o orizontală D ≡≡≡≡ 1D , pentru care c = ct. = 0.

Proiecţiile dreptei vor avea acelaşi traseu cu ale oricărei orizontale, dar

la distanţa c = 0 faţă de axe, adică:

∀∀∀∀ 1D ∈∈∈∈ [H], 1D ≡≡≡≡ 1d , iar 1'd şi 1''d se află pe axe.


165

Urmele dreptei 1D (c = 0)

z

x y

y

x

z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

O Od'

d

d'

=d

d''

D

1

1

1

1

1

1

d''1

=v'=vV=w''=wW

w'=v'' v=v' w'=v'' w''

w


H: 1D ∈ [H], dar 1D [H], pentru că are o infinitate de puncte comune cu [H],

(Intersecţia unei drepte cu un plan este un punct şi nu o infinitate de puncte)

⇒⇒⇒⇒ H ∈∈∈∈ 1D .

V: 1d ∩ OX = v, V ≡≡≡≡ v’ şi v’v = c (vezi II.2.4 Drepte particulare 1D )

Dar c = 0 ⇒⇒⇒⇒ V = v’ = v.

W: 1d ∩ OY = w; W ≡ w’’ şi w’’w = c (vezi II.2.4 Drepte particulare 1D )

Dar c = 0 ⇒⇒⇒⇒ W = w’’ = w.


166

2. D ∈∈∈∈ [V]

Fie V ∈ [V] (vezi II.1 Proiecţia ortogonală a punctului. Puncte particulare)

z

x y

y

x

z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

O

O

V =v'

v

v''

v

v' v''


şi V1 ≠ V2; V1 ∈ [V], V2 ∈ [V], V1 + V2 = D

z

x y

y

x

z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

o

o

d'

dd

=d'

d''

D2

2

2

2

2

2

d''2V =v'11

V =v'22

v2 v1

v''1

v''2

v1 v2

v''2

v''1

v'2

v'1


Observaţie: Dacă pentru ∀V ∈ [V], V ≡ v’, iar v şi v’’ se află pe axe

(vezi II.1 Proiecţia ortogonală a punctului. Puncte particulare)

analog, ∀∀∀∀ D ∈∈∈∈ [V], D ≡≡≡≡ 'd , iar d şi ''d se află pe axe.


167

Fie 2D [V] (vezi II.2.4 Drepte particulare)

z

x y

y

x

z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

o

od

d'

d''D2

2

2

2

d''2

=

b=ct.

=

b=ct.

d'2

d2=b

=ct

.

=b=

ct. =b=ct.


2D 2'd ,

2d OX,

2''d OZ,

la distanţa b = ct. de axe.

Dacă b = ct. = 0, 2D devine:

z

x y

y

x

Z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

o

o

d'

dd

=d'd''

D2

2

2

2

2

2

d''2


Concluzie: Dacă D ∈∈∈∈ [V], atunci ea este o dreaptă particulară, şi anume,

o frontală D ≡≡≡≡ 2D , pentru care b = ct. = 0.

Proiecţiile dreptei vor avea acelaşi traseu cu ale oricărei frontale, dar la

distanţa b = 0 faţă de axe, adică:

∀∀∀∀ 2D ∈∈∈∈ [V], 2D ≡≡≡≡ 2'd , iar 2d şi 2''d se află pe axe.


168

Urmele dreptei 2D (b = 0)

z

x y

y

x

z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

o

o

d'

dd

=d'd''

D2

2

2

2

2

2

d''2

=h'=hH

h=h'

=w''=w'W

w'=w''

w=h''

w=h''


H: 2'd ∩ OX = h’, H ≡≡≡≡ h şi h’h = c (vezi II.2.4 Drepte particulare

2D )

Dar b = 0 ⇒⇒⇒⇒ H = h’ = h.

V: 2D ∈ [V], dar 2D [V], pentru că are o infinitate de puncte comune cu [V],


⇒⇒⇒⇒ V ∈∈∈∈ 2D .

W: 2'd ∩ OZ = w’; W ≡ w’’ şi w’’w’ = b (vezi II.2.4 Drepte particulare 2D )

Dar b = 0 ⇒⇒⇒⇒ W = w’’ = w’.


169

3. D ∈∈∈∈ [W]

Fie W ∈ [W] (vezi II.1 Proiecţia ortogonală a punctului. Puncte particulare)

z

x y

y

x

z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

O

O

W=w"

w

w'

w

w' w"


şi W1 ≠ W2; W1 ∈ [W], W2 ∈ [W], W1 + W2 = D

z

x y

y

x

z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

o

o

d'

w'2

w'1

w'2

w'1

w1

w2

d

=d"D

W=w"11

W =w"22d''

d

w2

w1

w"2

w"1

d'


Observaţie: Dacă pentru ∀ W ∈ [W], W ≡ w’’, iar w şi w’ se află pe axe

(vezi II.1 Proiecţia ortogonală a punctului. Puncte particulare)

analog, ∀∀∀∀ D ∈∈∈∈ [W], D ≡≡≡≡ ''d , iar 'd şi d se află pe axe.


170

Fie 3D [W] (vezi II.2.4 Drepte particulare)

z

x y

y

x

z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

o

od

d'd"D 3

3

3

3

=a=ct.

=a=ct.

d"3d'3

d3

=

a=ct.

=

a=ct.

=


3D 3''d ,

3d OY,

3'd OZ,

la distanţa a = ct. de axe.

Dacă a = ct. = 0, 3D devine:

z

x y

y

x

z

[H ]A

[W ]1[V ]S

o

od

d'

=d"D 3

3

3

3

d"3d'3

d3

y


Concluzie: Dacă 3D ∈∈∈∈ [W], atunci ea este o dreaptă particulară, şi anume,

o dreptă de profil D ≡≡≡≡ 3D , pentru care a = ct. = 0.

Proiecţiile dreptei vor avea acelaşi traseu cu ale oricărei drepte de

profil, dar la distanţa a = 0 faţă de axe, adică:

∀∀∀∀ 3D ∈∈∈∈ [W], 3D ≡≡≡≡ 3''d , iar 3d şi 3'd se află pe axe.


171

Urmele dreptei 3D (a = 0)

z

x y

y

x

z

[H ]A

[W ]1[V ]S

o

od

d'

=d"D 3

3

3

3

d"3d'3

d3H =h=h"

h

h" y

V =v"=v'

h'=vv"=v'

h'=v


H: 3''d ∩ OY = h’’, H ≡≡≡≡ h şi hh’’ = a (vezi II.2.4 Drepte particulare 3D )

Dar a = 0 ⇒⇒⇒⇒ H = h = h’’.

V: 3''d ∩ OZ = v’’; V ≡ v’ şi v’v’’ = a (vezi II.2.4 Drepte particulare 3D )

Dar a = 0 ⇒⇒⇒⇒ V = v’ = v’’.

W: 3D ∈ [W], dar 3D [W], pentru că are o infinitate de puncte comune cu [W],


⇒⇒⇒⇒ W ∈∈∈∈ 3D .


172

INTERSECŢIA DREPTELOR DIN PLANELE DE PROIECŢIE

1. 1D ∩ 2D ,

unde 1D ⊂ [H] şi 2D ⊂ [V] (vezi II.2.4.3 Drepte Particulare în planele de

proiecţie)

Dacă 1D ⊂ [H], 2D ⊂ [V] şi 1D ∩ 2D = I1

⇓ ⇓

I1 ∈ [H] I1 ∈ [V] ⇒ I1 = [H] ∩ [V]

⇓ ⇓

i1’∈ Ox i1 ∈ Ox (vezi II.1 Proiecţia ortogonală a

punctului. Puncte particulare)

⇓

I1 ≡ i1’ ≡ i1 şi I1, i1’, i1 ∈ Ox

z

x y

y

x

z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

OO

d'

d

d"

=d

d''

D

1

1

2

1

2

1

d''1=d'D 22

d' =d1 2

=i =i'I 1 11

=i"1 d' =d1 2

d"2

i=i' i"


i1 = 1d ∩ 2d , i1 ∈ Ox

i1’ = 1'd ∩ 2'd , i1’ ∈ Ox

i1’’ = 1''d ∩

2''d , i1’’ = O


173

2. 1D ∩ 3D ,

unde 1D ⊂ [H] şi 3D ⊂ [W] (vezi II.2.4.3)

Dacă 1D ⊂ [H], 3D ⊂ [W] şi 1D ∩ 3D = I2

⇓ ⇓

I2 ∈ [H] I2 ∈ [W] ⇒ I2 = [H] ∩ [W]

⇓ ⇓

i2’’∈ Oy i2 ∈ Oy

⇓

I2 ≡ i2’’ ≡ i2 şi I2, i2’’, i2 ∈ Oy z

x y

y

x

z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

O

d'

=dD 1

3

1

=d"D 33

d'1 =i =i"I 2 22

i' =2

d" =d1 3

d"3d'1

d1d3

d"1

d'3

i2

Oi' =2

i"2


i2 = 1d ∩ 3d , i2 ∈ Oy

i2’ = 1'd ∩ 3'd , i2’ = O

i2’’ = 1''d ∩ 3''d , i2’’ ∈ Oy

3. 2D ∩ 3D ,

unde 2D ⊂ [V] şi 3D ⊂ [W] (vezi II.2.4.3)

Dacă 2D ⊂ [V], 3D ⊂ [W] şi 2D ∩ 3D = I3

⇓ ⇓

I3 ∈ [V] I3 ∈ [W] ⇒ I3 = [V] ∩ [W] ⇒ I3 ∈ Oz

⇓ ⇓

i3’’∈ Oz i3’ ∈ Oz (vezi II.1 Puncte particulare)

⇓

I3 ≡ i3’ ≡ i3’’ şi I3, i3’, i3’’ ∈ Oz

z

x y

y

x

z

y

[H ]A

[W ]1[V ]S

O

=d"D 33

d2

=i'=i"I 3 33

i =3

d" =d'2 3d"3d'2

d2d3

Oi =3

=d'D 22

d3

d" =d'2 3

i' =i"3 3


i3 = 2d ∩ 3d , i3 = O

i3’ = 2'd ∩ 3'd , i3’ ∈ Oz

i3’’ = 2''d ∩ 3''d , i3’’ ∈ Oz


174

II. DREPTE CE APARŢIN AMBELOR PLANE DE

PROIECŢIE

Observaţie: 1. O dreaptă aparţine atât unui plan, cât şi unui al doilea, dacă este

dreapta lor de intersecţie.

sau: dacă D = [P1] ∩ [P2], atunci D ∈ [P1] şi D ∈ [P2].

2. O dreaptă aparţine unui număr n de plane, dacă planele trec toate

prin această dreaptă.

sau: dacă D = [P1] ∩ [P2] ∩ … ∩ [Pn], atunci D ∈ [P1], D ∈ [P2],

… D ∈ [Pn].

[P ]1

[P ]2

[P ]4

D

Fig.II.2.205

3. Dacă D este dreapta de intersecţie dintre două plane, nu există un al

treilea plan perpendicular pe celelalte două, căruia dreapta D să îi

aparţină.

sau: dacă D =[P1] ∩ [P2] şi [P3] ⊥ [P1], şi [P3] ⊥ [P2], atunci D ∉

[P3] .

Consecinţă: Nu ∃ D , astfel încât D ∈∈∈∈ [H], D ∈∈∈∈ [V] şi D ∈∈∈∈ [W],

simultan.


175

1. D ∈∈∈∈ [V] şi D ∈∈∈∈ [W]

D ∈ [V] şi D ∈ [W]

⇓

D ∈ [V] ∩ [W] = Oz

Oz ⊥ [H] ⇒ D ≡≡≡≡ 4D ⊥ [H] = o dreaptă verticală (vezi II.2.4 Drepte particulare).

Pentru ∀ M ∈ 4D verticală b = ct. şi a = ct. (vezi II.2.4 Drepte particulare).

⇒ ∀ I ∈ Oz, b = ct. = 0 şi a = ct. = 0.

z

x y

[H ]A

[W ]1[V ]S

O

d

d'd''

D 44

4

4

=b=ct.

M

m' m"

=m

-

a=ct.

b=ct.

-

a=ct.

=

z

x y

[H ]A

[W ]1[V ]S

Od

d' = =d''D 44

4

4

I

=i=

=i'=i"

b=0;a=0


dacă 4D ≡≡≡≡ Oz ⇒ 4D ≡≡≡≡ 4'd ≡≡≡≡ 4''d

4D (= Oz) ∩ [H] = O (originea) = 4d

pentru ∀ I ∈ 4D i’ ∈ 4'd

i’’∈ 4''d

i ∈ 4d (vezi A.IV Invarianţii proiecţiei Apartenenţa)

⇓

I ≡ i’ ≡ i’’, i = O (originea axelor).


176

Urmele dreptei 4D ( 4D = [V] ∩ [W] )

z

x y

[H ]A

[W ]1[V ]S

Od

d' = =d''D 44

4

4

=H =h=h'=h"

Fig.II.2.208

H: 4D ⊥ [H] = verticală (vezi II.2.4 Drepte particulare 4D )

4D ∩ [H] = H = h, hh’ = b, hh’’ = a

dar, b = 0, a = 0 ⇒⇒⇒⇒ H = h = h’ = h’’ = O (originea axelor).

V: 4D ∈ [V] ⇒⇒⇒⇒ V ∈∈∈∈ 4D .

(vezi II.2.4.3 Dreptele din planele de proiecţie, Urmele dreptelor 1D , 2D , 3D )

W: 4D ∈ [W] ⇒⇒⇒⇒ W ∈∈∈∈ 4D .


2. D ∈∈∈∈ [H] şi D ∈∈∈∈ [W]

D ∈ [H] şi D ∈ [W]

⇓

D = [H] ∩ [W] = Oy

Oy ⊥ [V] ⇒ D ≡≡≡≡ 5D ⊥ [V] = o dreaptă de capăt (vezi II.2.4 Drepte particulare).

Pentru ∀ M ∈ 5D de capăt a = ct. şi c = ct. (vezi II.2.4 Drepte particulare).

⇒ ∀ I ∈ Oy, a = ct. = 0 şi c = ct. = 0.


177

z

x y

[H ]A

[W ]1[V ]S

O

d

d'd''

D

5

5

5

5=

c=ct

.

M

=m' m"

m-

a=ct.

=

-

z

x y

[H ]A

[W ]1[V ]S

O=d =d"d' D5 55

a=0;c=0

5=i'

=i=i"I


dacă 5D ≡≡≡≡ Oy ⇒ 5D ≡≡≡≡ 5d ≡≡≡≡ 5''d

5D (= Oy) ∩ [V] = O (originea) = 5'd

pentru ∀ I ∈ 5D i’ ∈ 5'd

i’’∈ 5''d

i ∈ 5d (vezi A.IV Invarianţii proiecţiei Apartenenţa)

⇓

I ≡ i ≡ i’’, i’ = O (originea axelor).

Urmele dreptei 5D ( 5D = [H] ∩ [W])

z

x

[H ]A

[W ]1[V ]S

O=d =d"

d' =D5

55 5=v=v'=v"V

Fig.II.2.211


178

H: 5D ∈ [H] ⇒⇒⇒⇒ H ∈∈∈∈ 5D .


V: 5D ⊥ [V] = de capăt (vezi II.2.4 Drepte particulare 5D )

5D ∩ [V] = V = v’, vv’ = c, vv’’ = a

dar, c = 0, a = 0 ⇒⇒⇒⇒ V = v’ = v = v’’ = O (originea axelor).

W: 5D ∈ [W] ⇒⇒⇒⇒ W ∈∈∈∈ 5D .


3. D ∈∈∈∈ [H] şi D ∈∈∈∈ [V]

D ∈ [H] şi D ∈ [V]

⇓

D = [H] ∩ [V] = Ox

Ox ⊥ [W] ⇒ D ≡≡≡≡ 6D ⊥ [W] = o dreaptă fronto-orizontală

(vezi II.2.4 Drepte particulare).

Pentru ∀ M ∈ 6D fronto-orizontală b = ct. şi c = ct. (vezi II.2.4 Drepte particulare).

⇒ ∀ I ∈ Ox, b = ct. = 0 şi c = ct. = 0.

z

x y

[H ]A

[W ]1[V ]S

O

d

d'

d''D6

6

6

6

-

c=ct

.

Mm'

m

-

=m"

=b=ct.

=

z

x y

[H ]A

[W ]1[V ]S

O=d =d' d''

D 666

I=i=i'

=i"6

b=0;c=0



179

dacă 6D ≡≡≡≡ Ox ⇒ 6D ≡≡≡≡ 6d ≡≡≡≡ 6'd

6D (= Ox) ∩ [W] = O (originea) = 6''d

pentru ∀ I ∈ 6D i ∈ 6d

i’ ∈ 6'd

i’’∈ 6''d (vezi A.IV Invarianţii proiecţiei Apartenenţa)

⇓

I ≡ i ≡ i’, i’’ = O (originea axelor).

Urmele dreptei 6D ( 6D = [H] ∩ [V])

z

x y

[H ]A

[W ]1[V ]S

O=d =d' d'' =D 666

=w=w'=w"6

W

Fig.II.2.214

H: 6D ∈ [H] ⇒⇒⇒⇒ H ∈∈∈∈ 6D .


V: 6D ∈ [V] ⇒⇒⇒⇒ V ∈∈∈∈ 6D .


W: 6D ⊥ [W] = fronto - orizontală (vezi II.2.4 Drepte particulare 6D )

6D ∩ [W] = W = w’’, w’’w’ = b, w’’w = c

dar, b = 0, c = 0 ⇒⇒⇒⇒ W = w’’ = w’ = w = O (originea axelor).

Observaţie: Analiza dreptelor din planele de proiecţie (1D ,

2D , 3D , 4D , 5D , 6D ) s-a

făcut pentru sensul pozitiv al axelor Ox, Oy, Oz.


180

II.2.4.4 DREPTE DIN PLANELE BISECTOARE

1. D ∈∈∈∈ [B1]

Fie M ≠ N, M + N = D , D ∈ [B1], M ∈ T1, N ∈ T3

Dacă M ∈ [B1], M ∈ T1 ⇒ bM > 0 = cM > 0.

Dacă N ∈ [B1], N ∈ T3 ⇒ bN < 0 = cN < 0.

x

N

[H ]Pn d

-y

d"D

[V ]I

n'

n''

d'

-z

[W ]4

h=h'v=v'

H=V=

[H ]A

m

O

d +y

1

[V ]S

d'

Mm'

[W ]2+z

[W ]

m''

Fig.II.2.215


181



b

>0

Mc

>

0M

h=h'=v=v'

n'

d

nd'

x c <

0N

c <

0N

n'n"

y

m

m"

o=h"=v"

m'

n

xy c <

0c

<0

NN

b

>0

M

y

m

d

d'

c

>0

h=h'=v=v'

M

o

m'

z z

d"

Fig.II.2.216a Fig.II.2.216b


+ZT T

D

3T3[W ]

2

-Y

=

Mc

>

0

[H ]P

2[W ]b >0M=

Nc

>

0

[W ][V ]I

b >0

-

N N

4

T4

[W ]

[H ]AOX

-

[V ]S

+Y

1

1

M

Fig.II.2.217


182

2. D ∈∈∈∈ [B2]

Fie M ≠ N, M + N = D , D ∈ [B2], M ∈ T2, N ∈ T4

Dacă M ∈ [B2], M ∈ T2 ⇒ bM < 0 = cM > 0.

Dacă N ∈ [B2], N ∈ T4 ⇒ bN > 0 = cN < 0.

-z

v=v'h=h'

n'

[W ]

-ym

[V ]I

[H ]P

V=H=

M

O

m''m'

2[W ]

+z

[V ]S

n'N

[H ]n A

+y

1[W ]

d

d'

d"

3

D

Fig.II.2.218


183



c

>0

=b

<

0M

h=h'=v=v'

n=n'

d'=dx

n"

y

m"

d''

O=h"=v"

m=m'

xy

y

O

M

c

<0

=b

>

0N

N

m=m'

M

c

<0

=b

>

0

n=n'

N

c

>0

=b

<

0

h=h'=v=v'

M

d'=d

N

O



+ZT T

D

3T3[W ]

2

-Y

=

Mc

>

0

[H ]P

2[W ]b >0M=

Nc

>

0

[W ][V ]I

b >0

-

N N

4

T4

[W ]

[H ]AOX

-

[V ]S

+Y

1

1M

Fig.II.2.220


184

OBSERVAŢII: 1. Dacă D ∈ [B1], sau D ∈ [B2], atunci D ∩∩∩∩ ox.

Pentru ∀ M ∈ D , bM = cM.

Dacă bM = 0 ⇒ M ∈ [V]

⇒ M ∈ [H] ∩ [V] = ox

Dacă cM = 0 ⇒ M ∈ [H]

M ∈ D ,

⇒ M ∈ D ∩ ox.

M ∈ ox

2. Dacă D ∈ [B1], sau D ∈ [B2], atunci H ≡≡≡≡ V ≡≡≡≡ D ∩∩∩∩ ox.

Fie M = D ∩ ox ⇒ M ∈ ox ⇒ M ∈ [H] ⇒ M ≡ H.

M ∈ [V] ⇒ M ≡ V.

H ≡ V ≡ D ∩ ox.

Consecinţă: h’ = h = H = V = v’ = v

Dacă H ≡ V ⇒ bH = 0 ⇒ h = h’

cV = 0 ⇒ v = v’.

3. (referitor la tripla şi dubla proiecţie ortogonală).

Dacă pentru ∀ M ∈ D , unde D ∈ [B1], bM = cM, bM şi cM au

acelaşi semn simultan, atunci d şi 'd sunt simetrice faţă de ox.


Dacă pentru ∀ M ∈ D , unde D ∈ [B2], bM = cM, bM şi cM au

semne diferite, atunci m = m’, şi în consecinţă d = 'd .


Dacă pentru ∀ D ∈ [B1] şi ∀ D ∈ [B2], H ≡ V ⇒ h’’ ≡ v’’.

h’’∈ oy

⇒ h’’ ≡ v’’ = oy ∩ oz = o.

v’’∈ oz

h’’ ≡ v’’ ∈ "d ⇒ "d ⊃ o


185

II.2.5 POZIŢIA RELATIVĂ A DOUĂ DREPTE

Două drepte pot fi:

II.2.5.1 PARALELE

II.2.5.2 CONCURENTE

II.2.5.3 DISJUNCTE una faţă de cealaltă. OBSERVAŢIE: Un caz particular al dreptelor concurente este cazul dreptelor perpendiculare între ele (vezi A.IV.8 – Teorema unghiului drept).

II.2.5.1 DREPTE PARALELE

Două drepte paralele ( D şi E ) au proiecţiile pe acelaşi plan, paralele (vezi A.IV.5 –

Paralelismul).

sau dacă D E ⇒ d e

'd 'e

''d ''e

[H ]A

[W ]1[V ]S

d''

e

ED

e''

d

d' e'

z

x

o

y

Fig.II.2.221

Proiecţia ortogonală a două drepte paralele


d''e''e'd'

de

e'd'

de

z

xox o

z

y y

y



186

II.2.5.2 DREPTE CONCURENTE

2. D ∩ E = M

sau două drepte concurente ( D ∩ E ) au proiecţiile pe acelaşi plan

concurente.

Dacă D ∩ E = M ⇒ d ∩ e = m

'd ∩ 'e = m’

''d ∩ ''e = m’’

(vezi A.IV.6 – Concurenţa).

[H ]A

[W ]1[V ]S

d''

d'

e'e''

e

d

E

D

m'

m''

m

M

z

o

x

Fig.II.2.223

Proiecţia ortogonală a două drepte concurente


d'' e''e'd'

d e

m''m'

m

e'd'

d e

m'

m

yox x o



187

3. D ⊥ E , unde E reprezintă 1D , 2D , 3D (teorema unghiului drept).

� D ⊥ 1D , 1D = orizontală

[H ]A

[W ]1[V ]S

D1

1

O

d

d''1d'1

d1

D

d

[Q ]H

d'

d

d''

m''m'

m

m

M

xy

x

z

o y

y


Dacă D ⊥ 1D ( 1D [H]) şi D ∩ 1D = M

⇒ d ⊥ 1d ( d ∩

1d = m)

� D ⊥ 2D ,

2D = frontală

[H ]A

[W ]1[V ]S

D2

2

X

Z

Y

Z

X

O

Y

d'

Y

OX

Z

Y

d''2

d'2

d2

[Q ]V

d'

d

m''

d'D

m'

M

m'

m

d''


Dacă D ⊥ 2D ( 2D [V]) şi D ∩ 2D = M

⇒ 'd ⊥ 2'd ( 'd ∩

2'd = m’)


188

� D ⊥ 3D , 3D = de profil

[H ]A

[W ]1[V ]S

D3

3d''

D

[Q ]W

M

d''

m''

O

d''3

d3

m''m'

d''

m

d'

d

d'3

z

x

o x

y

z

y

y


Dacă D ⊥ 3D ( 3D [W]) şi D ∩ 3D = M

⇒ ''d ⊥ 3''d ( ''d ∩ 3''d = m’’)

OBSERVATIE (valabilă pentru dubla şi tripla proiecţie): Dacă o dreaptă este paralelă cu un singur plan de proiecţie atunci se poate ridica o perpendiculară dintr-un punct al proiecţiei înclinate faţă de axe.

4. D ⊥ E , unde E reprezintă 4D , 5D , 6D (teorema unghiului drept).

OBSERVAŢIE: Dacă D ⊥ 4D = verticală ⇒ D ≡ 1D = orizontală

D ⊥ 5D = de capăt ⇒ D ≡ 2D = frontală

D ⊥ 6D = fronto-orizontală ⇒ D ≡ 3D = de profil

� D ⊥ 4D , 4D = verticală

[H ]A

[W ]1[V ]S

D4

4

x

o

y

d''

y

ox

z

y

d''1d'1

d1

[Q ]=[Q ]V

m''m'

M

4d'

D1

m'm''

4d = m

W

4d = m

4d''4d'1d'

1d''

1d


Dacă D ⊥ 4D ( 4D ⊥ [H]) şi D ∩ 4D = M

⇒ 4D [V] ⇒ 'd ⊥ 4'd ( 'd ∩ 4'd = m’)

⇒ 4D [W] ⇒ ''d ⊥ 4''d ( ''d ∩ 4''d = m’’)


189

� D ⊥ 5D , 5D = de capăt

[H ]A

[W ]1[V ]S

D5d'2

d2

M

m

5d' = m' D2

2d

2d''

5d

5d''m''

m

5d' = m' m''

d5

5d''

d''2

[Q ]=[Q ]H W

2d

z

z

y

x oo

x y

y


Dacă D ⊥ 5D ( 5D ⊥ [V]) şi D ∩ 5D = M

⇒ 5D [H] ⇒ d ⊥ 5d ( d ∩ 5d = m)

⇒ 5D [W] ⇒ ''d ⊥ 5''d ( ''d ∩ 5''d = m’’)

� D ⊥ 6D = M ⇒ M ∈ 6D = fronto-orizontală

[H ]A

[W ]1[V ]S

D3

z

x

o

y

M

y

ox

z

y

d''3

D6

m'

6d'' = m''

6d'

6d[Q ]=[Q ]H V

d'3

d3

6d'' = m''m'

m

6d'

6d

3d

3

3

d'

d"

m


Dacă D ⊥ 6D ( 6D ⊥ [W]) şi D ∩ 6D = M

⇒ 6D [H] ⇒d ⊥ 6d ( d ∩ 6d = m)

⇒ 6D [V] ⇒ 'd ⊥ 6'd ( 'd ∩ 6'd = m’).

OBSERVAŢIE (valabilă pentru dubla şi tripla proiecţie): Dacă o dreaptă este paralelă cu două plane de proiecţie, atunci se poate ridica o perpendiculară dintr-un punct al oricărei proiecţii paralele cu axele. În cazurile de mai sus, nu se pot ridica perpendiculare pe acele proiecţii ale dreptelor reprezentate ca punct.


190

Concluzie: Unghiul drept se proiectează în adevărată mărime (900) pe planul cu care una dintre laturile sale este paralelă. TEOREMA UNGHIULUI DREPT

1. D ⊥ 1D ,

1D orizontală

d''1d'1

d1

d'

d

d''

m''m'

m

z

ox

y

y

2. D ⊥ 2D ,

2D frontală

d''2

d'2

d2

d'

d

m''m'

m

d''

z

o

y

x y

3. D ⊥ 3D ,

3D de profil

d''3

d3

m''m'

d''

m

d'

d

d'3

z

o

y

x y

4. D ⊥ 4D ,

4D verticală

d''d'

d

m''m'

4d = m

4d''4d'

z

y

ox y

5. D ⊥ 5D ,

5D de capăt

d'

d m

5d' = m' m''

d5

5d''

d''

z

o

y

x y

6. D ⊥ 6D ,

6D fronto-

orizontală

d''d'

d

d'' = m''m'

m

6d'

6d

6

z

o

y

x y


191

II.2.5.3 DREPTE DISJUNCTE

D E

Fie M ∈ D şi N ∈ E ( D E ).

Dacă am = an şi bm = bn (cm ≠ cn) ⇒ m ≡ n.

Proiecţia a două drepte disjuncte cu m ≡ n

[H ]A

[W ]1[V ]S

z

x

o

y

e'

e

m'

m''

M

e''

n'

n''

m=n

d''

d

d'

N

DE

Fig.II.2.237


m'

n'

m=n

n''

m''

e''d''e'

d'

d

ea = a

b =

b

mn

mn

m'

n'

m=n

e'

d'

d

ea = amn

b =

b m

nz

y

x x

y

z

y



192


Dacă am = an şi cm = cn (bm ≠ bn) ⇒ m’ ≡ n’.

Proiecţia a două drepte disjuncte cu m’ ≡ n’

[H ]A

[W ]1[V ]S

x

o

y

e'

e

m

M

e''

n

n''

d''

d

d'

N

m''

E D

m'=n'

Fig.II.2.239


m' = n'

e''d''e'd'

d

ea = amn

mn

e'

d'

d

e

m

n

m'' n''

c =

c

m' = n'

a = amn

mn

m

n

c =

c

z

x y x

z

y y



193


Dacă bm = bn şi cm = cn (am ≠ an) ⇒ m’’ ≡ n’’.

Proiecţia a două drepte disjuncte cu m’’ ≡ n’’

[H ]A

[W ]1[V ]S

x

o

y

e'

em

M

n

m''=n''

d''

dd'

N

n'

m'

e''

D

E

Fig.II.2.241


m'' = n''n'm'

mn

e''d''e'd'

d

e

c =

c

b

= b

mn

mn

n'm'

mn

e'd'

d

e

c =

c

b

= b

mn

mn

z

x

y

x

z

y

y


OBSERVAŢI: m’’ = "d ∩ "e nu este vizibil în proieţie ortogonală.


194

II.2.6 MĂRIMEA UNUI SEGMENT DE DREAPTĂ

Fie M ≠≠≠≠ N, M ∈∈∈∈ D ; N ∈∈∈∈ D .

1. D oarecare Mărimea unui segment de dreaptă oarecare nu se păstrează prin proiecţie (vezi A.IV.7 Mărimea unui segment de dreaptă). mărimea MN ≠≠≠≠ mărimea mn mărimea MN ≠≠≠≠ mărimea ''nm mărimea MN ≠≠≠≠ mărimea '''' nm

c|

E

[H]

[V] [W]

N

n

M

m

M

N

|

m

En

m

cm

c n cn

axa

de ro

tatie

|

|

[Q]

z

x

o

y

Fig.II.2.243

Mm = mE ⊥ [H]

mE ⊥ mn ∈ [H] (unghiul Mmn = 900) Nn = nE ⊥ [H]

nE ⊥ mn ∈ [H] (unghiul Nnm = 900) MN + mn = [Q] (vezi A.III - Planul proiectant) MN ∈ [Q] mn ∈ [Q] ⇓ M, N, m, n = coplanare MNnm = trapez dreptunghic în n şi m.

Se roteşte trapezul MNnm în jurul axei mn până când MNnm ∈ [H] ⇒ MNnm ≡ nm M N .


195

m'

n'

n

m|

MN |

c m

c n

cm

cn

marimea MN

z

o

y

x

m'

n'

n

m

|

MN |

c m

c n

cn M

|

1

==

mc

nc

z

o

y

x


Procedeul de mai sus, de aflare a mărimii unui segment oarecare MN se numeşte „regula trapezului”.

În trapezul nm M N , n N m M (Fig.II.2.244b). Fie nM1 M N ⇓ n N = 1M M = cn

n 1M = M N = MN

şi m 1M = m M - 1M M = cm – cn. În consecinţă, fig.II.2.244a se poate înlocui cu următoarea:

m'

n'

n

m

c n

M

|

1

c -cm

n

nm

mc

cc

-cn

marimea MN

z

o

y

x

Fig.II.2.245

Procedeul de mai sus, de aflare a mărimii unui segment oarecare MN , se numeşte „regula triunghiului”.


196

OBSERVAŢIE: Pentru aflarea mărimii segmentului MN se poate folosi proiecţia segmentului MN pe orice plan de proiecţie.

[H]

O

[V] [W]

|

N

n'M

m'

M

N

|bn

de ro

tatie

bm

En

bn

Em

bm |

| [Q]

z

x y

Fig.II.2.246

Mm’ = mE ⊥ [V]

mE ⊥ ''nm ∈ [V] (unghiul Mm’n’ = 900)

Nn’ = nE ⊥ [V]

nE ⊥ ''nm ∈ [V] (unghiul Nn’m’ = 900) MN + m’n’ = [Q] (vezi A.III - Planul proiectant) MN ∈ [Q] m’n’ ∈ [Q] ⇓ M, N, m’, n’ = coplanare MNn’m’ = trapez dreptunghic în n’ şi m’.

Se roteşte trapezul MNn’m’ în jurul axei m’n’ până când MNn’m’ ∈ [V] ⇒ MNn’m’ ≡ n’m’ M N .


197

m'

n'

|

M

N

|b m

b n

bm

bn

m

n

mar

imea

MN

z

o

y

x

Fig.II.2.247a ,,regula trapezului”

m'

n'

M

|

b

b

m

n

mar

imea

MN

b -bm

n

1

m

m-

nbb

== n

z

ox

Fig.II.2.247b „regula triunghiului”


198

[H]

[V] [W]

|

N

n''

M

m''

M

N

|

axa

a m

En

amEm

|

|an

a n

[Q]

z

x y

Fig.II.2.248

Mm’’ = mE ⊥ [W]

mE ⊥ '''' nm ∈ [W] (unghiul Mm’’n’’ = 900) Nn’’ = nE ⊥ [W]

nE ⊥ '''' nm ∈ [W] (unghiul Nn’’m’’ = 900) MN + m’’n’’ = [Q] (vezi A.III - Planul proiectant) MN ∈ [Q] m’’n’’ ∈ [Q] ⇓ M, N, m’’, n’’ = coplanare MNn’’m’’ = trapez dreptunghic în n’’ şi m’’.

Se roteşte trapezul MNn’’m’’ în jurul axei m’’n’’ până când MNn’’m’’ ∈ [W] ⇒ MNn’’m’’ ≡ n’’m’’ M N .


199

m'

n'

|

M

N

|

c m

m''

n''

m

n

m

m- n

a

aaa

am

an

mar

imea

MN

n'

z

o

y

x y

Fig.II.2.249a „regula trapezului”

m'

n'

M|

c m

m''

n''

n

m

n

m

m- n

a

aaa

mar

imea

MN

1m- na

a

z

y

ox y

Fig.II.2.249b „regula triunghiului”


200

2. D particulară

� M, N ∈ 1D = orizontală

[H]

[Q]

O

[V] [W]

m

MN

nc

= c

nc =

cm

z

x y

Fig.II.2.250

x

y

z

o

|

M

N

|

m''

n

m

n''n'm'

c

cmarimea MN

x

y

z

o

m''

n

m

n''n'm'

marimea MN

y y

|

M

N

|

mc -c =0n



201

� M, N ∈ 2D = frontală

x

z

O

[H]

y

[V] [W]

M

N

[Q]

b = bm

b = bn

n'

m'

Fig.II.2.252

x

y

z

o

M

N

|

m''

n''n'

m'y

b

b

marimea MN

m n

x

y

z

o

|

M

N

|

m''

n''n'

m'y

marimea MN

m n

mb -b =0n



202

� M, N ∈ 3D = de profil

O

[H]

[V] [W]

M

N

m''

n''

[Q]

a = a

m

a = a

n

z

x y

Fig.II.2.254

y

z

o

|

M

N

|

m''

n''

m'

y

m

n

n'

a

a

marimea MN

x

y

z

o

|M

N

|

m''

n''

m'

y

m

n

n'

marimea MN

ma -a =0n


OBSERVAŢIE: (valabilă pentru tripla şi dubla proiecţie) Mărimea unui segment paralel cu un singur plan de proiecţie ( MN ∈ 1D sau MN ∈

2D sau MN ∈ 3D ) se citeşte pe proiecţia înclinată (faţă de axe).


203

� M, N ∈ 4D = verticală

O

[H]

[V]

[W]

[Q ][Q ] wv

M

N

m = n

m''

m'

n''n'

a = a

m

b = bm

a = a

n

b = bn

z

x y

Fig.II.2.256

m''

b

a

M

|a

a

b

b n''

m'

n'

m = n

N

|

M

|

N

|

m''

b

a

M

|n''

m'

n'

m = n

M

|

N

|m

arim

ea M

N

mar

imea

MN

N|

mar

imea

MN

mar

imea

MN

y

x yo

y

o yx



204

� M, N ∈ 5D = de capăt

O

[H]

[V] [W]

M

N

n''

n' = m'm''

n

a = a

n

m

a = a

m

c =

cn

c =

cm

[Q ]w

[Q ] h

z

x y

Fig.II.2.258

n''

m

n

m' = n'

M

|

N

|

c

c

mar

imea

MN

aa

marimea MN

M

|

N

|

m'' n''

m

n

m' = n'

M

|

N

|m

arim

ea M

N

marimea MN

M

|

N

|

m''

z

o

y

x o

z

y

x y y



205

� M, N ∈ 6D = fronto-orizontală

O

[H]

[V] [W]

M

Nn'' = m''

n

b = bn

m

c =

cn

c =

cm

[Q ]v

[Q ] h

n'

m'b = bm

z

x y

Fig.II.2.260

x

y

z

o

m'' = n''

b b

c c

mãrimea MN

mãrimea MN

N

|

M

|

N

|

M

|

m'

m n

y x

y

z

o

mãrimea MN

mãrimea MN

N|

M

|

N

|

M

|

m'

m n

y

n' n'


OBSERVAŢIE: (valabilă pentru tripla şi dubla proiecţie)

a. Mărimea unui segment paralel cu două plane de proiecţie se citeşte pe

ambele proiecţii paralele cu axele; b. În cazurile de la pagina 203, 204 şi 205, nu se poate citi mărimea unui

segment pe acea proiecţie a dreptei reprezentată ca punct. Concluzie: Mărimea unui segment de dreaptă paralelă cu un plan de proiecţie se

citeşte pe proiecţia dreptei pe acel plan.


206

sau

dacă MN [H] ⇒ mărimea MN ≡ mărimea mn

MN [V] ⇒ mărimea MN ≡ mărimea m’n’

MN [W] ⇒ mărimea MN ≡ mărimea m’’n’’

Dacă MN ⊥ [H] ⇒ MN [V] ⇒ mărimea MN ≡ mărimea m’n’

MN [W] ⇒ mărimea MN ≡ mărimea m’’n’’

MN ⊥ [V] ⇒ MN [H] ⇒ mărimea MN ≡ mărimea mn

MN [W] ⇒ mărimea MN ≡ mărimea m”n”

MN ⊥ [W] ⇒ MN [H] ⇒ mărimea MN ≡ mărimea mn

MN [V] ⇒ mărimea MN ≡ mărimea m’n’


207

MĂRIMEA SEGMENTULUI MN, dacă MN este: 1. orizontal

m''

n

m

n''n'm'

marimea MN

ox

y

y

2. frontal

x

y

om''

n''n'

m'y

marimea MN

m n

3. de profil

x

y

o y

m

n

n'

m' m'' marimea MN

n''

4. vertical

x

y

z

o yn''

m''m'

n'

m = n

mar

imea

MN

mar

imea

MN

5. de capăt

mar

imea

MN

x

m' = n'

yo

n

m

y

m'' n''

z marimea MN

6. fronto-orizontal

mãrimea MN

mãrimea MN

m

x

m'

yn

o

y

m'' = n''n'

II.2. PROIECŢIA ORTOGONALĂ A DREPTEI

208

II.2.7 UNGHIUL DREPTEI CU PLANELE DE PROIECŢIE

Definiţie:

P

D

|

α P

[P]d

Fig.

Fie D şi [P], D ∉ [P]. Numim αP unghiul dintre α şi [P], dacă αP este cel mai mic unghi dintre D şi d , unde d ∈ [P] şi D ∩ d = P. Teoremă:

P

D

|

αP

[P]d

M

m

Fig.II.2.263

Dacă, în figura anterioară luăm M ∈ D şi m ∈ d , αP = minim pentru Mm ⊥ [P] ( Mm ⊥ d ). Demonstraţie:

P

D

|

α

[P]

d

M

m

d1

α1

[P]

M

md1

m1

[Q]


Fie m1 ∈ [P], Mm1 ⊥ 1d .

Conform teoremei reciproce a celor trei perpendiculare, dacă Mm1 ⊥

1d şi Mm ⊥ d ⇒ mm1 ⊥ 1d (Fig.II.2…..)

Demonstraţie : [Q] = Mm + Mm1 1d ⊥ Mm1

1d ∈ [P], Mm ⊥ [P] ⇒ 1d ⊥ Mm ⇒

1d ⊥ mm1 (mm1 ∈ [P]) (vezi Fig.II.2…..)


209

[P]

m

m1

[Q]

P d1

d

Fig.II.2.266

În ∆ Pmm1 Pm > Pm1

În fig.II.2…. ∆MPm cosα = MP

Pm

∆MPm1 cosα1 = MP

Pm1 ⇒ cosα > cosα1 ⇒ α1 > α

sau pentru Mm ⊥ [P] ⇒ α = minim = αP, unghiul dintre D şi [P]. Dacă Mm ⊥ [P] ⇒ Pm = d = proiecţia ortogonală a D pe [P] şi Mm = distanţa de la un punct al dreptei la planul de proiecţie [P]. Înlocuind [P] cu [H], [V] şi [W], pe rând, obţinem : αH = unghiul dintre D şi [H] este unghiul dintre D şi d , d = proiecţia orizontală a D pe [H]. αV = unghiul dintre D şi [V] este unghiul dintre D şi 'd ,

'd = proiecţia orizontală a D pe [V]. αW = unghiul dintre D şi [W] este unghiul dintre D şi "d ,

"d = proiecţia orizontală a D pe [W]. Concluzie : Unghiul dintre o dreaptă D şi un plan de proiecţie este unghiul dintre D şi proiecţia sa ortogonală pe respectivul plan.


210

c

x

[H]

O

z

y

[V] [W]

M

m

N

n

n

cn

c

-c

mn

D

dH= h

N1

H

H

Fig.II.2.272

MN = 1mN

x

[H]

O

z

y

[V] [W]

M

m'N

n' b -b n

D

d'

V= v'

m

b n

b m

V

V

N1

Fig.II.2.273

MN = 1' Nm


211

D

x

[H]

O

z

y

[V] [W]

M

N

d"

m"

n"

W= w''

a -a n

mam

a n

W

W

M1

Fig.II.2.274

MN = 1"Mn

x

y

z

OOm'

n'

m''

m

y

n

n"

mãrim

ea MN

mãr

imea

MN

mãrim

ea MN

b -b

a -a

c -

c

c -

c

b -b

a -a MN

M N

M

NM

NM

N

M

N

H

V

W

Fig.II.2.275

Concluzie: Unghiul dintre o dreaptă D şi un plan de proiecţie se citeşte între

proiecţia dreptei D pe respectivul plan şi adevărata mărime a unui

segment MN ⊂∈ D , determinată cu ajutorul aceleiaşi proiecţii, sau,

αH este unghiul dintre d şi mărimea segmentului MN ⊂∈ D ,

αV este unghiul dintre 'd şi mărimea segmentului MN ⊂∈ D ,

αW este unghiul dintre "d şi mărimea segmentului MN ⊂∈ D .

Documents

Curs Geometrie Descriptiva Anul 1 CCIA