77
UNIVERSITATEA „PETRE ANDREI” DIN IAŞI Facultatea de Economie MATEMATICI SUPERIOARE APLICATE ÎN ECONOMIE (Note de curs) Acad. Radu Miron – profesor emerit U.P.A. Prof.univ.dr. Vasile Tamaş – profesor emerit U.P.A. Prof.univ.dr. Bogdan Andronic Iaşi - 2006

Curs Matematica Final Anul I

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Curs Matematica Final Anul I

Citation preview

Page 1: Curs Matematica Final Anul I

1

UNIVERSITATEA „PETRE ANDREI” DIN IAŞI

Facultatea de Economie

MATEMATICI SUPERIOARE

APLICATE ÎN ECONOMIE (Note de curs)

Acad. Radu Miron – profesor emerit U.P.A.

Prof.univ.dr. Vasile Tamaş – profesor emerit U.P.A.

Prof.univ.dr. Bogdan Andronic

Iaşi - 2006

Page 2: Curs Matematica Final Anul I

2

Introducere

Implementarea Procesului Bologna la Facultatea de economie a impus o

radicală restructurare a planurilor de învăţământ şi a programelor analitice. În consens

cu aceste schimbări am considerat de mare utilitate elaborarea unor materiale

bibliografice actualizate. Această acţiune este de fapt o continuare firească a unei

preocupări recunoscute de sprijinire a studenţilor în efortul lor de însuşire a

cunoştinţelor necesare unui viitor economist.

Prezentele note de curs au la bază cărţile apărute în anii din urmă la

Universitatea „Petre Andrei” şi au fost scrise de profesori ai universităţii.

Pentru o informare completă recomandăm:

1. V. Tamaş, Lecţii de calcul economic. Editura Universităţii „Al.I. Cuza”,

Iaşi, 1970.

2. V. Tamaş, Lecţii de programare matematică, Iaşi, 1975.

3. V. Tamaş şi colectiv, Matematici generale pentru economişti, Editura

Graphix, Iaşi, 1993.

4. V. Tamaş şi colectiv, Modele matematice în economie, Iaşi, Editura

Graphix, Iaşi, 1995.

5. V. Tamaş, Matematică pentru studenţii economişti, Editura Junimea, Iaşi,

2001.

Page 3: Curs Matematica Final Anul I

3

CAPITOLUL 1

ELEMENTE DE ALGEBRĂ

1.1. Spaţii vectoriale (spaţii liniare)

Fie S≠Ø şi k un corp comutativ.

Definiţia 1.1.

Spunem că S este un k-spaţiu vectorial dacă pe S este definită o operaţie

internă binară notată + faţă de care este grup şi există o operaţie externă, prin care ( )∀

aœk şi u∈S îi asociem elementul αu din S şi care îndeplineşte condiţiile:

1. a(u+v)= au+av

2. (a+b)u=au+bu

3. a(bu)=(ab)u

4. 1μu=u

pentru 1, a, b, ... din k şi u, v, ... din S.

Elementele lui S se numesc vectori în operaţia din S adunarea vectorilor.

Operaţia externă se numeşte produs cu scalari. Elementul nul din S şi ele-

mentul nul din k le notăm cu 0.

Consecinţe:

1. Dacă S este k – spaţiu atunci (S, +) este grup abelian.

Într-adevăr fie u, v∈S. Putem scrie:

(u+v)+(u+v)=2(u+v)=2u+2v=u+u+v+v

Ţinând cont că S este grup se obţine:

v+u=u+v

pentru orice u, v∈ S.

Page 4: Curs Matematica Final Anul I

4

2. Dacă au=0 atunci a=0 sau u=0.

Mai întâi observăm că 0u=(0+0)u=0u+0u şi deci 0u=0. Apoi a0=a(0+0)=

a0+a0 şi deci şi a0=0.

Pentru partea a doua avem: au=0. Dacă a∫0 rezultă că există a-1∈k deci

a-1(au)=1μu=u. Adică u=0.

3. ( )∀ a∈k şi u∈S avem:

(-a)u=a(-u)=-(au)

(-a)(-u)=au

Într-adevăr 0u=0⇒[a+(-a)]u=au+[(-a)u]=0. Dar au+(-(au))=0 şi deci (-a)u=

=-au. Pentru partea a doua avem:

(-a)(-u)=-(a(-u))=-(-au)=au

4. ( )∀ a, b∈k şi u, v∈S avem:

(a-b)u=au-bu

a(u-v)=au-av

Având în vedere precedentele putem scrie succesiv:

(a-b)u=au+(-b)u=au+(-(bu))=au-bu

a(u-v)=au+a(-v)=au+(-(av))=au-av

5. Dacă a, a1, a2, ..., an∈k, u, v1, v2, ..., vm∈S şi n, m∈N au loc relaţiile:

(a1+ ...+an)u=a1u+...+anu

a(u1+...+um)=au1+...+aum

(a1+...+an)(u1+...+um)= a1u1+...+anum

Aceste relaţii se scriu prescurtat:

( ) ( )∑ ∑=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛∑

= ===

n

1i

m

1jj

m

1jji

n

1ii uu,uu αααα

∑ ∑=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑⎟⎠⎞⎜

⎝⎛∑

= ===

n

1i

m

1jji

m

1jj

n

1ii uu αα

Page 5: Curs Matematica Final Anul I

5

Toate aceste trei relaţii se demonstrează cu uşurinţă folosindu-se metoda

inducţiei complete.

Exemple:

1. Mulţimea Mnxm( ) este un -spaţiu vectorial în raport cu operaţiile

obişnuite.

2. Mulţimea k[X] a polinoamelor cu coeficienţii din k este un k-spaţiu. Pentru

k= , , se obţin spaţii deosebit de interesante.

3. Mulţimea kn=k×k×...×k este un k-spaţiu dacă (a1, ..., an)+(b1+...+bn)=(a1

+b1, ..., an +bn) şi a(a1, ..., an)=(aa1, ..., aan).

În particular pentru k= sau k= se obţin spaţiile n, n. Trebuie să observăm

că avem kn=M1×n(k) şi deci putem spune că elementele acestor spaţii sunt matrici cu o

linie şi n coloane.

4. Spaţiul nul. Dacă notăm cu O mulţimea cu un singur element notat cu 0

atunci definind 0+0=0 şi ( )∀ a∈k, aμ0=0 putem spune că O este k-spaţiu.

Acest spaţiu se numeşte spaţiu nul.

Atenţie, spaţiul nul are elemente.

5. Orice corp k poate fi interpretat ca un k-spaţiu vectorial în raport cu

adunarea şi înmulţirea lui k.

1.2. Subspaţii liniare

Definiţia 1.2.

O submulţime nevidă din k-spaţiul S se numeşte k-subspaţiu vectorial (sau

simplu subspaţiu) dacă este k-spaţiu în raport cu operaţiile induse.

Teorema 1.1.

Fie S1∫Ø, S1⊆S. Următoarele afirmaţii sunt echivalente:

(1) S1 subspaţiu în S;

(2) ( )∀ u, v∈S1, ( )∀ a∈k⇒u-v∈S1, au∈S1;

(3) ( )∀ u, v∈S1, ( )∀ u+v∈S1, au∈S1;

(4) ( )∀ u, v∈S1, ( )∀ a, b∈k⇒au+bv∈S1.

Page 6: Curs Matematica Final Anul I

6

Demonstraţie: Să arătăm că (1)⇔(2).

Dacă S1 subspaţiu în S⇒S1 subgrup în grupul S şi deci ( )∀ u, v∈S1⇒u-v∈S1 şi

de asemenea evident şi au∈S1 pentru orice a∈k. Reciproc: O submulţime S1∫Ø cu

proprietatea (2) este evident subgrup în grupul aditiv (S, +) stabilă la operaţia externă.

Restul axiomelor din definiţie se verifică cu uşurinţă. Analog se justifică şi cu

celelalte echivalenţă.

Observaţie: O şi S sunt subspaţii în k-spaţiul S şi se numesc subspaţii improprii sau

subspaţii banale. Un interes deosebit prezintă subspaţiile nebanale.

Exemple:

1. kn[X] este subspaţiu în k[X].

2. Fie u1, u2, …, un vectori din k-spaţiu S.

Definiţia 1.3.

Vectorul uœS este o combinaţie liniară de vectori u1, u2, ..., un dacă există a1,

α2, ..., αnœk astfel încât u se poate scrie în forma:

u=α1u1+α2u2+...+αnun

Să notăm mulţimea combinaţiilor liniare de u1, u2,..., un cu simbolul <u1, u2,...,

un>.

Mulţimea <u1, u2,..., un> este un subspaţiu liniar în S numit subspaţiul generat

de u1,..., un iar fiecare ui se numeşte generator.

Justificarea afirmaţiei rezultă imediat din faptul că are loc T 1.1 cazul (3). De

aici se obţine o sursă foarte importantă de subspaţii ale unui spaţiu dat (dacă acestea

există). Se spune că spaţiul S este finit generat dacă există o submulţime finită de

vectori aşa fel încât subspaţiul generat de ei să fie chiar spaţiul S.

În toate consideraţiile care urmează vom admite să spaţiile respective sunt finit

generate. Dacă S1, S2 sunt subspaţii ale spaţiului S atunci în multe cazuri se pune

problema operaţiilor cu ele.

Definiţia 1.4.

a) Se numeşte intersecţia subspaţiilor S1 şi S2 mulţimea:

S3=S1…S2

b) Se numeşte suma subspaţiilor S1 şi S2 mulţimea:

Page 7: Curs Matematica Final Anul I

7

S4=S1+S2={xœS/x=x1+x2, x1œS1, x2œS2}

Teorema 1.2.

Intersecţia şi suma a două subspaţii este tot un subspaţiu în S.

Demonstraţie: Observăm că S3 şi S4 sunt mulţimi nevide deoarece măcar vectorul

nul, care face parte din toate subspaţiile, face parte şi din S3 şi din S4.

Fie u, vœS3 şi a, bœk fl auœS1, auœS2 şi analog bvœS1, S2 şi deci deoarece S1,

S2 subspaţii conform T 1.1. şi au+bvœS1, S2 adică au+bvœS3.

Pentru S4 procedăm astfel. Luăm u, vœS4 atunci există u1, v1œS4 şi u2, v2œS2

astfel încât u=u1+v1 şi v=u2+v2. În acest caz pentru orice a, bœk avem:

au+bv=a(u1+v1)+b(u2+v2)=(au+bv1)(au2+bv2)=u3+v3

unde u3œS1, v3œS2.

Deci au+bvœS4 şi conform T 1.1 punctul (4) S4 este subspaţiu.

1.3. Dependenţă liniară, baze, coordonate

Să revenim acum din nou la familii de vectori.

Definiţia 1.5.

Fie u1, u2,..., unœS

a) O relaţie de forma (1) a1u1+a2u2+...+anun=0, aiœk se numeşte relaţie de

dependenţă liniară.

b) Mulţimea u1,..., un este liniar dependentă dacă (1) are loc cu măcar un ai∫0.

c) Vectorii u1,..., un se numesc liniari independenţi dacă relaţia (1) are loc

numai dacă toţi ai=0.

Consecinţe:

1) Vectorul nul este totdeauna liniar dependent deoarece 1μ0=0

2) Orice vector u∫0 este liniar independent deoarece

au=0 şi u∫0 fl a =0

3) O familie (o mulţime) de vectori din S care conţine o submulţime liniar

dependentă este liniar dependentă. În adevăr fie u1,..., un cu u1,..., um (m<n) liniar

dependentă. Atunci a1u1+...+amum=0 are loc cu măcar un ai∫0. Această relaţie o

putem scrie a1u1+...+amum+0um+1+...+0um=0 relaţie care arată liniara dependenţă a

Page 8: Curs Matematica Final Anul I

8

vectorilor u1,..., un. Urmează, de asemenea, că orice familie de vectori care conţin

vectorul nul este liniar dependentă.

4) Vectorii u1,...,un, n>1 sunt liniar dependenţi dacă şi numai dacă unul dintre

ei se exprimă ca o combinaţie liniară de ceilalţi. În adevăr dacă u1,...,un sunt liniar

independenţi atunci a1u1+a2u2+...+anun=0 are loc cu măcar un ai∫0. Fie de exemplu

an∫0. Atunci 1nn

1n2

n

21

n

1n u...uuu −

−−−−−=αα

αα

αα adică unœ<u1, u2,..., un-1>.

Reciproc:

Dacă ui=a1u1+...+ai-1ui-1+ai+1ui+1+...+anun avem a1u1+...+ai-1ui-1+(-1)ui+ai+1

ui+1+...+anun=0. De aici urmează evident că u1,..., un liniar dependenţi.

5) Dacă mulţimea de vectori {u1,..., un} este liniar independentă atunci orice

submulţime a ei conţine tot vectori independenţi. În adevăr fie vectorii u1,..., um (m<n)

liniar dependenţi. Atunci există relaţia a1u1+...+amum=0 cu măcar ai∫0. Această

relaţie se mai poate scrie:

a1u1+a2u2+...+amum+0um+1+...+0un=0

De aici rezultă u1,..., un liniar dependenţi în contradicţie cu ipoteza.

Definiţia 1.6.

Un sistem (o mulţime) de vectori u1,..., un din spaţiul S se numeşte bază dacă:

1) u1,..., un sunt liniar independenţi

2) <u1,..., un>=S

Existenţa unei baze într-un spaţiu finit generat o presupunem fără demonstraţie.

Fie u1,..., un o bază în k-spaţiu S şi uœS atunci u, u1, u2,..., un sunt liniar

dependenţi şi deci avem:

(2) u=a1u1+...+anun

Vom arăta acum că scalarii a1,..., an sunt unici. În adevăr presupunem prin re-

ducere la absurd că u=b1u1+b2u2+...+bnun. Atunci, prin scădere sau egalare, obţinem:

(b1-a1)u1+(b2-a2)u2+...+(bn-an)un=0

Cum vectorii u1,..., un sunt liniar independenţi urmează că b1=a1, b2=a2,...,

bn=an.

Definiţia 1.7.

Scalarii a1, a2,..., an unic determinaţi se numesc coordonatele vectorului u în

baza u1,..., un, iar expresia (2) dezvoltarea vectorului u în baza respectivă.

Page 9: Curs Matematica Final Anul I

9

Vrem acum să arătăm că toate bazele din spaţiul S au acelaşi număr de vectori.

În acest scop vom da o teoremă cunoscută sun numele de teorema înlocuirii sau

teorema lui Steiniz.

Teorema 1.3.

Fie u1,..., um şi v1,..., vn vectori din k-spaţiul S, care îndeplinesc condiţiile:

1) u1,..., um liniari independenţi,

2) uiœ<v1, v2,…, vn> m,1i = .

În aceste condiţii:

a) m§n

b) <v1,..., vm, vm+1,..., vn>=<u1,..., um, vm+1,..., vn> (eventual după o renumero-

tare a vectorilor v1,…, vn).

Demonstraţia poate fi găsită în Matematica pentru studenţii economişti de

Vasile Tamaş.

Consecinţă: Dacă u1,..., um şi v1,..., vm sunt două baze atunci conform teoremei

1.3. rezultă m§n şi apoi n§m şi deci m=n. Aşadar oricare două baze au acelaşi număr

de vectori.

Definiţia 1.8.

Numărul vectorilor dintr-o bază se numeşte dimensiunea spaţiului peste corpul

k şi se notează dim S.

Într-un spaţiu liniar de dimensiune finită, orice familie de vectori liniar

independenţi poate fi completată până la o bază.

Să considerăm acum spaţiul S de dimensiune n şi u1, u2,..., un o bază.

Admitem că o anume problemă impune folosirea unei noi baze formată din

vectori v1, v2,..., vn. Dorim să vedem cum se schimbă coordonatele unui vector

oarecare x când se face trecerea la noua bază.

Fie x=b1u1+b2u2+...+bnun şi x=x1v1+x2v2+...+xnvn. În baza u1,..., un vom avea:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

+++=

+++=+++=

nnn22n11nn

nn22221212

nn12121111

u...uuv..............................................

u...uuvu...uuv

ααα

αααααα

Page 10: Curs Matematica Final Anul I

10

Aceste relaţii determină matricea:

⎟⎟⎟

⎜⎜⎜

⎛=

nn1n1n

n12111

........................

Aααα

ααα

numită matricea schimbării de bază.

Observaţie: Matricea schimbării de bază este o matrice nedegenerată.

Justificarea se realizează astfel: det A=0 înseamnă că între liniile A există o

combinaţie care să dea ultima linie. Deci ln=c1l1+c2l2+...+cn-1ln-1. Aceasta însă arată că

vn=c1v1+...+cn-1vn adică vectorii v1,..., vn ar fi dependenţi, fapt care contrazice ipoteza.

Pentru a găsi formulele de transformare ale coordonatelor înlocuim expresiile

vectorilor v1,..., vn în dezvoltarea vectorului x. După calcule se obţin:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=+++

=+++=+++

nnnn2n21n1

2n2n222112

1n1n221111

bx...xx...............................................

bx...xxbx...xx

ααα

αααααα

Formulele căutate se obţin după rezolvarea acestui sistem care este un sistem

Cramer. Deosebit de important pentru cele ce urmează este cazul în care cele două

baze diferă între ele printr-un singur vector.

Să ne ocupăm mai îndeaproape de acest caz. Fie deci u1,..., un baza iniţială şi

u1,..., un-1, v noua bază şi x=b1u1+b2u2+...+bnun şi x=x1u1+x2u2+...+xn-1un-1+xnv.

Urmând o cale analoagă cu cea generală avem:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

+++==

=

−−

nn2211

1n1n

11

u...uuvuu

..........uu

ααα

Matricea schimbării de bază va fi:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

=

n21 ..................

0...100...01

A

ααα

Din det A∫0 fl an∫0.

Deci, în general, vectorul v poate înlocui vectorul ui din bază dacă coordonate

ai∫0. Sistemul de ecuaţii va avea forma:

Page 11: Curs Matematica Final Anul I

11

⎪⎪⎪

⎪⎪⎪

==+

=+=+

−−−

nnn

1nn1n1n

2n22

1n11

bxbxx

......................bxxbxx

αα

αα

De aici obţinem:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

−=

−=

−=

−=

−−−

n

nnnn

n

n1n1n1n

n

n222

n

n111

bbx

bbx

.........................

bbx

bbx

αα

αα

αα

αα

Formulele găsite permit obţinerea unui algoritm foarte comod de calcul ale

coordonatelor la o schimbare de bază. În unele cărţi aceste formule sunt numite

„regula dreptunghiului”. Schimbarea se va face înlocuind numai câte un vector.

Formăm un tabel cu coordonatele tuturor vectorilor consideraţi, notând atât

coordonatele iniţiale cât şi cele finale.

Baza u1 u2 ... un-1 un v u u1 1 0 ... 0 0 a1 b1 u2 0 1 ... 0 0 a2 b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

un-1 0 0 ... 1 0 an-1 bn-1 un 0 0 ... 0 1 an bn

u1 1 0 ... 0 0 n

n11

bbα

α−

u2 0 1 ... 0 0 n

n22

bbα

α−

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

un-1 0 0 ... 1 0 n

n1n1n

bbα

α −− −

v 0 0 ... 0 1

1 n

nbα

Page 12: Curs Matematica Final Anul I

12

Trecerea de la partea I-a la a II-a se poate realiza prin următoarele două reguli

simple:

a) Linia vectorului care vine în bază se obţine din linia vectorului care pleacă

împărţită la an (pivot).

b) Celelalte linii se obţin din vechile linii înmulţite cu câte un scalar astfel ales

încât pe coloana pivotului să se obţină de zero (în afara pivotului).

Exemplu:

Baza u1 u2 u3 v u u1 1 0 0 5 u2 0 1 0 -2 1 u3 0 0 1 4 -3

v 31 0 0 1

35

u2 32 1 0 0

313

uv 34

− 0 1 0 329

Am adus în bază în locul lui u1 vectorul v. În baza v, u0, u3 vectorul u se scrie:

32 329

313

35 uuvu −+= .

Observaţii:

1. Spaţiul n are dimensiunea n iar vectorii:

)1,...,0,0(.......................)0,...,1,0()0,...,0,1(

2

1

=

==

ne

ee

formează o bază numită bază canonică. Dacă xœ n şi x=(a1, a2,..., an) atunci:

x=a1e1+a2e2+...+anen

Prin urmare în baza canonică coordonatele vectorului x sunt egale cu

componentele de acelaşi nume. Această particularitate este foarte importantă şi

folosită în foarte multe cazuri teoretice sau practice.

2. Fie vectorii ui=(ai1, ai2,..., ain) din n pentru mi ,1= şi matricea:

Page 13: Curs Matematica Final Anul I

13

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜

=

mn2m1m

n22221

n11211

m

2

1

a...aa...................

a...aaa...aa

u...uu

A

asociată lor. Sistemul de vectori u1, u2,..., um este: liniar dependent dacă rang A<m şi

liniar independent dacă rang A=m.

1.4. Sisteme de ecuaţii liniare

Scopul acestui paragraf este de a completa cunoştinţele despre sisteme

căpătate în liceu. Datorită acestei intenţii nu am mai reluat chestiunile învăţate, în

clasa a XI-a de liceu.

A) Sisteme descrise vectorial.

Aşa cum ştim forma generală a unui sistem de ecuaţii liniare este:

(1) ij

mnmn22m11m

2nn2222121

1nn1212111

bxa...xaxa............................................bxa...xaxabxa...xaxa

α

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=+++

=+++=+++

œ

Să convenim să notăm cu A – matricea sistemului, B – matricea extinsă, P1,

P2,..., Pn coloanele matricii A şi P0 coloana termenilor liberi.

Sistemul considerat se scrie evident:

(2) AX=P0

sau (3) x1P1+x2P2+...+xnPn=P0.

unde

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=

n

2

1

x...xx

X

Uneori x=(x1, x2,..., xn).

Dacă P0=0 sistemul se numeşte omogen.

Page 14: Curs Matematica Final Anul I

14

Definiţia 1.9.

a) Se numeşte soluţie a sistemului de ecuaţii orice vector Xœ n care verifică

sistemul.

b) Un sistem care are măcar o soluţie se numeşte compatibil.

Lemă. Dacă un sistem are două soluţii X1, X2 atunci are o infinitate de soluţii.

Demonstraţie:

Avem AX1=P0, AX2=P0. Fie Y=lX1+(1-l)X2, lœ . Atunci putem scrie:

AY=A[lX1+(1-l)X2]=lAX1+(1-l)AX2=lP0+(1-l)P0=P0

Deci Y este tot soluţie.

Această observaţie permite clasificarea sistemelor compatibile în două tipuri:

a) Sisteme compatibile cu soluţie unică – sisteme determinate.

b) Sistem compatibil cu măcar două soluţii numit compatibil neterminat.

Teorema 1.4. (Teorema generală de compatibilitate)

Condiţia necesară şi suficientă ca sistemul (3) să fie compatibil este ca

P0œ<P1, P2,…, Pn>.

Demonstraţie:

Condiţia este necesară. Dacă sistemul este compatibil şi X=(a1, a2,..., an) este

o soluţie putem scrie:

P0=a1P1+a2P2+...+anPn adică P0œ<P1, P2,..., Pn>.

Condiţia este suficientă: Dacă P0œ<P1, P2,..., Pn> Ø există a1, a2,..., an aşa

încât a1P1+...+anPn=P0 adică X=(a1, a2,..., an) este o soluţie.

Observaţie: Teorema 1.4. este echivalentă cu teorema lui Kronecker-Capelli sau

teorema Rouché întâlnite în manualele de liceu.

Să observăm că de fiecare sistem se poate ataşa cu uşurinţă un sistem omogen

ignorând termenii liberi. Se obţin:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=+++

=+++=+++

0xa...xaxa...........................................0xa...xaxa0xa...xaxa

)'1(

nmn22m11m

nn2222121

nn1212111

0AX)'2( =

Page 15: Curs Matematica Final Anul I

15

0...)'3( 2211 =+++ nnPxPxPx

Teorema 1.5.

Orice sistem omogen este compatibil şi are şi soluţii cu componente nenule

dacă şi numai dacă rA<n.

Demonstraţie:

Pentru prima parte este suficient să observăm că x1=x2=...=xn=0 este soluţie.

Pentru a fi nedeterminat trebuie ca măcar o necunoscută să fie secundară deci rangul

matricei să fie mai mic decât n.

Teorema 1.6.

Mulţimea soluţiilor unui sistem omogen formează un subspaţiu liniar în n de

dimensiune n-r unde r =rA.

Demonstraţie:

Fie X1 şi X2 două soluţii. Atunci X1+X2 şi aX1 cu aœ sunt tot soluţii. În

adevăr A(X1+X2)=AX1+AX2=0+0=0 şi A(aX1)=a(AX1)=a0=0.

Să găsim dimensiunea şi o bază în acest spaţiu liniar de soluţii.

Admitem că rA=r şi că:

rr1r

r111

a...a.............a...a

este determinantul principal. Atunci pentru rezolvare vom opri numai ecuaţiile

principale pe care le vom scrie în forma:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

−−−=+++

−−−=+++

−−−=+++

++

++

++

nrn1r1r,rrrr22r11r

nn21r1r,2rr2222121

nn11r1r,1rr1212111

xa...xaxa...xaxa..........................................................................

xa...xaxa...xaxaxa...xaxa...xaxa

Rezolvând acest sistem, în ipoteza xr+1,..., xn cunoscute vom obţine nişte

expresii de forma:

Page 16: Curs Matematica Final Anul I

16

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

+++=

+++=

+++=

−++

−++

−++

nnr,r2r2r1r1rr

nnr,22r221r212

nnr,12r121r111

xb...xbxbx...................................................xb...xbxbxxb...xbxbx

Pentru a obţine diverse soluţii particulare vom da necunoscutelor secundare

valori după voie. Să facem pe rând câte una din ele egale cu 1 şi restul zero vom

obţine:

x1 x2 ... xr xr+1 xr+2 ... xn b11 b21 ... br1 1 0 ... 0 b21 b22 ... br2 0 1 ... 0 ... ... ... ... ... ... ... ...

b1,n-r b2,n-r ... br,n-r 0 0 ... 1

Se obţin n-r soluţii pe care le notăm ci X1, X2,..., Xn-r având componentele

înregistrate pe linie.

După cum se poate verifica imediat aceşti vectori sunt liniar independenţi şi

dacă X=(a1, a2,..., an) este o soluţie oarecare atunci X=ar+1X1+ar+2X2+...+anXn-r. Prin

urmare vectorii X1, X2,..., Xn-r generează spaţiul soluţiilor şi este numită, prin tradiţie,

sistem fundamental de soluţii.

Deoarece problema dependenţei sau independenţei liniare a unui sistem de m

vectori din n este strâns legată de existenţa soluţiilor nebanale ale unui sistem

omogen putem concluziona: dacă m>n vectorii sunt liniari dependenţi, dacă m§n

atunci vectorii sunt independenţi dacă şi numai dacă rangul matricii componentelor

lor este egal cu numărul vectorilor.

Metoda eliminării complete

Metoda lui Gauss (a „eliminării complete”) pentru rezolvarea sistemelor

liniare este dintre cele mai avantajoase din punct de vedere practic. Să considerăm

sistemul (S) alcătuit din m ecuaţii liniare:

(Ei) ai1x1+ai2x2+...+ainxn=b1

în necunoscutele x1, x2,..., xn.

Renumerotând eventual ecuaţiile (Ei) putem admite că are loc a11∫0.

Amplificând succesiv (E1) cu factori convenabili aleşi şi scăzând din ecuaţiile

(Ei) cu i∫1 ne putem asigura că x1 nu mai figurează în celelalte ecuaţii. Deşi

coeficienţii iniţiali s-au modificat vom păstra aceleaşi notaţii ca la început.

Page 17: Curs Matematica Final Anul I

17

Renumerotând eventual ecuaţiile (Ei) cu m,2i = putem admite că are loc

a22∫0. Amplificând succesiv (E2) cu factori convenabil aleşi putem face să dispară

necunoscuta x2 atât din ecuaţiile (Ei) cu i >2 dar şi din ecuaţia (E1). (Ultima operaţie

reluată şi pentru variabilele x3,..., xr justifică adjectivul „complet” din denumirea

metodei.

Să admitem că am reluat ultima etapă şi pentru x3,..., xk-1. În încercarea de a

relua operaţia pentru variabila xk putem constata că în ecuaţiile (Ek), (Ek+1),..., (Em) nu

mai figurează variabila xk. Altfel spus, pentru coeficienţii actualizaţi are loc:

(*) aik=0 pentru i¥k

În această situaţie vom face operaţia mai sus descrisă la variabila x2 pentru

variabila xh cu h>k, desigur în ipoteza că ecuaţiile (Ei) cu m,ki = mai conţin măcar o

variabilă xh. Operaţia va fi încheiată când:

- nu mai avem variabile xh de luat în consideraţie, sau

- nu mai avem ecuaţii care să permită eliminarea unei noi variabile.

Putem rezuma rezultatul acestor operaţii de „reducere” sau „eliminare”

considerând că după eventuale renumerotări ale necunoscutelor xi prin yi şi renotări de

coeficienţi sistemul se prezintă sub forma:

(E1) d1y1+ +c11yr+1+...+c1pyn=e1

(E2) d2y2+ +c21yr+1+...+c2pyn=e2

................................................................

dryr +crpyr+1+...+crpyn=er

................................................................0=fr+1

................................................................

(Em) ................................................................0=fm

Concluziile sunt acum imediate:

(a) Dacă există cel puţin un indice j încât fj∫0 sistemul este incompatibil.

(b) Dacă fr+1=fr+2=...=fm=0 sistemul este compatibil cu subcazurile:

(b1) Dacă r =n soluţia este unică, dată de zi=ei:di pentru r,1i = .

(b2) Dacă r <n, se pot da valori arbitrare variabilelor zi cu j >r, celelalte fiind

unic precizate de ecuaţiile (Ei) cu r,1i = .

Succesiunea operaţiilor mai sus descrise se realizează grafic simplu şi clar

folosind în locul ecuaţiilor tablouri de coeficienţi. Spre a preîntâmpina confuzii

Page 18: Curs Matematica Final Anul I

18

tablourile conţin o primă linie cu indicele variabilei corespunzătoare. Vom prezenta o

astfel de succesiune de tablouri pentru a rezolva efectiv următoarea problemă.

Să se precizeze pentru ce valori ale parametrului real m sistemul:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

+=+−+++−=−+−−+−

=+++++=+−+++

m213x9xx2x6x9x4x4x14x8x2x3x

16x6xx5x6x13x5x3x2x4x3x

654321

654321

65321

653321

este compatibil şi, pentru aceste valori ale lui m să i se indice soluţia generală.

Tablourile sunt succesiunea lor:

(T1)

1 2 3 4 5 6 1 3 4 2 -3 5 13 1 6 5 0 1 6 16 -1 3 -2 -8 14 -4 -4 1 9 6 2 -1 9 13+2m

(T2)

1 2 3 4 5 6 1 3 4 2 -3 5 13 0 3 1 -2 4 1 3 0 6 2 -6 11 1 9 0 6 2 0 2 4 2m

(T3)

1 2 3 4 5 6 1 0 3 4 -7 4 10 0 3 1 -2 4 1 3 0 0 0 -2 3 -1 3 0 0 0 2 -3 1 m-3

(T4)

1 2 3 4 5 6 1 0 0 3 -1 2 16 0 3 0 1 1 2 0 0 0 -2 0 3 -1 3 0 0 0 0 0 0 m

Concluzii:

Sistemul este compatibil dacă (şi numai dacă) m=0. Pentru soluţia generală x3,

x5, x6 pot lua valori arbitrare şi:

Page 19: Curs Matematica Final Anul I

19

6531 x2xx316x −+−=

)x2xx(31x 6532 ++−=

)3xx3(21x 654 −−=

Exerciţii.

1. Fie }Qc,b,a/3c2ba{S ∈++= . Să se arate că S este Q – spaţiu liniar.

Daţi exemplu de subspaţii ale lui S.

2. În spaţiul vectorial k[x] precizaţi care dintre următoarele condiţii asupra

polinoamelor P conduce la subspaţii: grad P=n, grad P§n, grad P¥n, unde nœ şi n

este fixat.

3. Care din spaţiile vectoriale din exemplele de mai sus este finit generat?

4. Se dau vectorii u1=(1,0,3), u2=(2,1,-1), u3=(0,3,1). Precizaţi vectorul

u4=3u1+2u2-u3. Se pot preciza coordonatele lui u3 în baza u1, u2, u4?

5. Se dau vectorii: u1=(1,2,3), u2=(3,-1,2), u3=(0,0,0), u4=(4,1,5), u5=(5,3,8),

u6=(6,5,11).

Să se aleagă dintre ei un număr maxim de vectori independenţi şi să se

exprime ceilalţi drept combinaţii liniare de cei aleşi.

6. Fie A=X2-3X+1, B=X2+5X-3, C=X2+X-1 elemente din [X]. Să se spună

dacă sunt sau nu liniar independente.

7. În 3 se consideră vectorii v1=(0,1,-1), v2=(1,1,2), v3=(1,3,1), v=(2,10,-1).

a) Să se arate că v1, v2, v3 formează o bază în 3;

b) Să se afle coordonatele lui v în această bază.

Page 20: Curs Matematica Final Anul I

20

CAPITOLUL 2

PROGRAMARE LINIARĂ

INTRODUCERE Aplicaţii tot mai numeroase ale matematicii în cele mai variate domenii ale

activităţii umane a impus tot mai mult necesitatea unor lecţii de programare

matematică pentru studenţii economişti.

După cum se ştie una dintre aplicaţiile cele mai importante ale metodelor

matematice este contribuţia lor la soluţionarea unor importante probleme economice.

În acest sens problemele de optimizare ocupă un loc din cele mai importante.

Pregătirea teoretică serioasă pe care o capătă studenţii în primii ani fac

posibilă abordarea celor mai dificile probleme ridicate de activitatea economică,

problemele de optimizare.

Printre problemele de optimizare un loc de seamă îl ocupă problemele de

programare matematică. Problema găsirii celui mai convenabil plan de folosire a

resurselor, prin care cu cheltuieli minime să se obţină realizarea unor anumite

obiective, este o problemă cheie a economiei. Majoritatea problemelor de planificare

admit un număr foarte mare de soluţii din care apoi se alege o variantă optimă. De

aceea este necesară găsirea unui procedeu de a afla varianta căutată fără a le

determina pe toate.

Rezolvarea unei astfel de probleme constituie obiectivul programării

matematice. Putem spune, deci, că programarea matematică este o ramură a

matematicii formată din totalitatea principiilor şi metodelor care permit optimizarea

(minimizarea sau maximizarea) unei funcţii în anumite condiţii.

Modelul general al unei probleme de programare matematică este deci: să se

determine valorile necunoscutelor: x1, x2,..., xn, astfel încât funcţia f(x1, x2,..., xn)

Page 21: Curs Matematica Final Anul I

21

numită funcţia obiectiv sau funcţia de eficienţă să-şi atingă valoarea optimă şi în plus

x1, x2,..., xn, să îndeplinească şi nişte restricţii de forma:

F1(x1, x2,..., xn)≷b1

F2(x1, x2,..., xn)≷b2

...............................

Fm(x1, x2,..., xn)≷bm

şi încă x1¥0, x1¥0,..., x1¥0.

După forma funcţiilor ƒ şi F1, F2,..., Fm problemele de programare matematică

s-au împărţit în clase, fiecare clasă având nu numai particularităţi în formulare ci şi în

ce priveşte instrumentul matematic folosit.

Dacă ƒ şi F1, F2,..., Fm sunt funcţii liniare, programarea se numeşte liniară. În

caz contrar problemele sunt programare neliniară.

2.1. FORMULAREA PROBLEMEI

Din cele precedente urmează că problema generală a programării liniare se

prezintă sub forma:

Să se determine necunoscutele x1, x2,..., xn aşa încât acestea să satisfacă la

relaţii de forma:

a11x1+a12x2+...+a1nxn≷b1

(1) a21x1+a22x2+...+a2nxn≷b2

.......................................

am1x1+am2x2+...+amnxn≷bm

(2) x1¥0, x1¥0,..., x1¥0 şi pentru care

(3) f(x1,...,xn)=c1x1+c2x2+...+cnxn=optim

(maxim sau minim)

Observaţie. Vom conveni notaţia f(x1,...,xn)=f (X)

Pe scurt obiectivul problemelor de programare liniară este de a găsi extremul

funcţiei obiectiv (de eficienţă) f pe mulţimea soluţiilor nenegative ale sistemului (1).

Problema determinării unui extrem supus la restricţii pentru o funcţie de mai

multe variabile nu este nouă.

Page 22: Curs Matematica Final Anul I

22

Noutatea programării liniare constă în aceea că ea pune la îndemâna celor

interesaţi metode iterative care, eventual programate la calculator, ne dau răspuns la

existenţa sau neexistenţa soluţiei şi la determinarea efectivă a ei.

Pentru simplificarea prezentării materialului în cele ce urmează vom avea în

vedere următoarele consideraţii:

1. Datorită faptului că orice inegalitate poate fi transformată în egalitate prin

adăugarea sau scăderea unei necunoscute nenegative convenabil alese în condiţiile (1)

vom folosi numai egalităţi.

În adevăr ecuaţia: ai1x1+ai2x2+...+ainxn≷bi se scrie:

ai1x1+ai2x2+...+ainxn≤yi=bi cu yi¥0

Variabilele yi le numim variabile de echilibrare.

2. Din modalităţile variate de scriere ale unui sistem obţinem diferite moduri

de scriere pentru problema de programare liniară.

a) Notând cu A matricea coeficienţilor sistemului (1), cu X vectorul coloană de

componente x1, x2,..., xn, P0 vectorul coloană de componente b1, b2,..., bm şi cu c=(c1,

c2,..., cn) problema generală a programării biniare se enunţă: să se determine vectorul

X care să satisfacă:

(1’) AX=P0

(2’) X¥0

(3’) şi pentru care f(X)=cX= optim

b) Notând cu:

Pj

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

=

mj

j2

j1

a..

a

a

j=1, 2,..., n

problema generală a programării liniare se enunţă: să se determine vectorul X ale

cărui componente să îndeplinească condiţiile:

(1’’) x1P1+x2P2+...+xnPn=P0

(2’’) X¥0

(3’’) f(X)=cX=optim

Aceasta se numeşte forma vectorială de prezentare a problemei de programare

liniară.

Page 23: Curs Matematica Final Anul I

23

3. Orice problemă de programare poate fi considerată de minimizare, fiindcă

dacă s-ar cere maximizarea funcţiei f, atunci egalitatea max f = -min(-f) ne-ar permite

să o înlocuim cu una de minimizare.

O problemă de programare prezentată în forma:

AX=P0

X¥0, P0¥0

şi să se minimizeze: f(X)=cX spunem că este sub forma standard.

Dacă problema se prezintă sub forma:

AX§P0

X¥0

şi să se minimizeze f(X)=cX spunem că este sub forma canonică.

Este evident că orice problemă se poate prezenta sub forma standard sau

canonică folosindu-se transformări din cele mai simple, parte din ele deja amintite.

4. Convenim de asemenea în cele ce urmează că toţi termenii liberi

(componentele lui P0) sunt nenegativi, că m<n şi că rangul matricii A este egal cu m.

Aceste cerinţe se pot realiza uşor: prima prin înmulţirea ecuaţiei respective cu

–1, iar ultima dacă nu ar fi îndeplinită şi rA<m atunci ar rezulta că m-rA ecuaţii sunt

dependente de celelalte şi deci pot fi eliminate (evident, în cazul rA=rB, unde B este

matricea lărgită a sistemului (1)).

Definiţia 1. Un vector XœRn care satisface sistemul (1) şi condiţiile (2) se

numeşte soluţie posibilă, sau soluţie admisibilă a problemei de programare liniară.

Uneori o astfel de soluţie se mai numeşte pe scurt program.

Definiţia 2. O soluţie posibilă este de bază dacă vectorii Pj din (1’’) corespun-

zători componentelor lui X diferite de zero sunt liniar independenţi.

Din definiţia soluţiei posibile de bază rezultă imediat că numărul compo-

nentelor pozitive ale acestuia nu poate fi mai mare decât m (vectorii Pj fiind vectori

din Rm).

Dacă soluţia posibilă de bază are exact m componente nenule vom spune că

este nedegenerată şi degenerată în caz contrar.

Soluţia X pentru care funcţia f capătă valoarea minimă sau maximă o numim

soluţie optimală.

În scopul prezentării teoremei fundamentale a programării liniare amintim

câteva elemente legate de mulţimi convexe de vectori dintr-un spaţiu liniar S peste un

corp numeric K.

Page 24: Curs Matematica Final Anul I

24

Fie vectorii v1, v2,..., vmœS. Se numeşte combinaţie liniară convexă a acestor

vectori o combinaţie liniară:

v=a1v1+a2v2+...+amvm

ai¥0, mi ,1= şi a1+a2+...+am=1

Evident că în cazul în care avem numai doi vectori v1 şi v2 atunci orice combi-

naţie convexă a lor se poate scrie în forma:

av1+(1-a)v2 cu 0§a§1

O mulţime M de vectori din spaţiul S se numeşte mulţime convexă dacă odată

cu oricare doi vectori v1 şi v2, M conţine şi orice combinaţie convexă a lor.

Dacă M este o mulţime convexă din spaţiul S atunci elementele sale se pot

clasifica în două: vectori interiori şi vârfuri.

Se spune că vœM este interior dacă există cel puţin doi vectori v1, v2œM aşa

încât v=av1+(1-a)v2, 0<a<1. Elementele lui M care nu sunt interioare le vom numi

vârfuri sau puncte de extrem. Orice punct interior se exprimă ca o combinaţie liniară

convexă de un număr finit de puncte extreme. (Spaţiile de care ne ocupăm sunt de

dimensiune finită).

Aceste câteva elemente legate de convexitate ne sunt suficiente pentru a

evidenţia unele proprietăţi ale mulţimii soluţiilor posibile ale unei probleme de

programare liniară.

Propoziţia 1. Mulţimea soluţiilor posibile ale unei probleme de programare

liniară este o mulţime convexă.

Demonstraţie: Orice soluţie este un vector X din Rn. Fie M mulţimea solu-

ţiilor posibile şi X1, X2œM deci:

AX1=P0 X1¥0

AX2=P0 X2¥0

Fie X3=aX1+(1-a)X2 cu 0§a§1

Din X1¥0 şi a¥0 rezultă aX1¥0 şi la fel

X2¥0 şi (1-a)¥0 rezultă (1-a)X2¥0 şi deci X3¥0.

Pe de altă parte X3 este un element din M pentru că:

AX3=A[aX1+(1-a)X2]=aAX1+(1-a)AX2=aP0+(1-a)P0=P0

Propoziţia 2. Dacă forma liniară a unei probleme de programare liniară îşi

atinge minimul atunci forma ia valoarea minimă şi într-un vârf al lui M. Dacă forma

Page 25: Curs Matematica Final Anul I

25

liniară capătă valoarea minimă în mai multe puncte extreme atunci capătă aceeaşi

valoare în orice combinaţie convexă a lor.

Demonstraţie. Fie X0 o soluţie optimală adică f(X0)=min f(X); XœM.

Dacă X0 este vârf demonstraţia este încheiată. Presupunem că este interior.

Atunci există în M elementele extreme X1, X2,..., Xp aşa încât:

X0=a1X1+a2X2+...+apXp cu 0§a§1 şi

a1+a2+...+ap=1

Pe de altă f(X0)§f(X) pentru orice XœM.

Din expresia lui X0 rezultă că putem scrie:

f(X0)=f(a1X1+a2X2+...+apXp)=a1f(X1)+a2f(X2)+...+apf(Xp)

Fie XK vârful pentru care f(XK)=min f(Xi), pi ,1= . Punând în locul tuturor

f(X1),..., f(Xp) pe f(XK) şi având în vedere că ai¥0 rezultă:

f(X0)¥a1f(XK)+ a2f(XK)+...+ apf(XK)=f(XK)(a1+a2+...+ap)=f(XK)

Deci avem f(X0)¥f(XK). Dar f(X0)§f(XK) prin urmare: f(X0)=f(XK).

Deci dacă forma liniară are un minim există şi un vârf în care forma ia de

asemenea valoarea minimă.

Pentru a demonstra partea a doua să presupunem că X1,..., Xm sunt vârfurile în

care forma liniară f ia valoarea minimă deci:

f(X1)= f(X2)=...= f(Xm)=minim

Fie X o combinaţie convexă oarecare a lor X=a1X1+...+amXm, cu 0§ai§1 şi

∑ ==

m

ii

11α .

Atunci f(X)= f(a1X1+...+amXm)= f(X1)(a1+...+am)=f(X1)

De aici urmează o determinare a soluţiei optime se poate face limitându-ne la

examinarea valorilor formei f în vârfurile mulţimii M.

Teorema fundamentală a programării liniare

Dacă o problemă de programare liniară admite o soluţie optimală, atunci admite

o soluţie optimală de bază.

Demonstraţie. Vom demonstra teorema arătând că orice soluţie posibilă de

bază este un vârf în M şi reciproc.

Fie X=(x1, x2,..., xK, 0...0) o soluţie posibilă de bază a problemei de programare

liniară. Să arătăm că X este vârf în M.

Page 26: Curs Matematica Final Anul I

26

Din X soluţie posibilă de bază urmează că:

x1P1+x2P2+...+xkPk=P0, k§m

x1>0, x2>0,..., xk>0

şi P1, P2,..., Pk liniar independenţi.

Presupunem că X nu este vârf, atunci există X1, X2œM aşa încât:

X=aX1+(1-a)X2, cu 0<a<1

Din faptul că X este o soluţie cu ultimele n-k componente egale cu zero şi

0<a<1 rezultă că vectorii X1 şi X2 trebuie de asemenea să aibă ultimele n-k compo-

nente nule, deci:

X1= ( )0...0,,...,, 112

11 kxxx

X2= ( )0...0,,...,, 222

21 kxxx

Din X1, X2œM rezultă: 11x P1+ 1

2x P2+...+ 1kx Pk=P0

21x P1+ 2

1x P2+...+ 2kx Pk=P0

Dar P1, P2,..., Pk sunt liniar independenţi şi am ajuns la situaţia când P0 s-ar

putea descompune în raport cu ei în două moduri diferite. Absurditatea justifică prima

parte a teoremei.

Pentru partea a doua să luăm un vârf în M şi să arătăm că vectorii sunt liniar

independenţi. Din X soluţie posibilă urmează:

x1P1+x2P2+...+xkPk=P0

Înmulţind această egalitate cu un număr oarecare θ şi adunând şi scăzând din

expresia lui P0 se obţine:

(x1+θd1)P1+(x2+θd2)P2+...+(xk+θdk)Pk=P0

(x1-θd1)P1+(x2-θd2)P2+...+(xk-θdk)Pk=P0

Alegându-l pe θ suficient de mic şi având în vedere că xi>0, ki ,1= rezultă

imediat că:

X1=(x1+θd1, x2+θd2,..., xk+θdk, 0...0)

X2=(x1-θd1, x2-θd2,..., xk-θdk, 0...0)

sunt soluţii posibile, adică X1, X2œM. Dacă θ este astfel ales, atunci este uşor de

observat că 21 21

21 XXX += , adică X este un element interior lui M contrar ipotezei.

Page 27: Curs Matematica Final Anul I

27

Prin urmare şi a doua parte este demonstrată. Demonstraţia teoremei se încheie dacă

avem în vedere Propoziţia 2 de mai sus.

Din teorema fundamentală urmează că:

1. – O soluţie optimală se găseşte printre soluţiile de bază.

2. – Fiecărui punct de extrem din M îi corespunde un sistem de m vectori liniar

independenţi dintre vectorii P1, P2,…, Pn.

În adevăr, din teorema fundamentală există k≤m asemenea vectori.

Dacă k=m consecinţa este justificată. Presupunem k<m şi că există r-k vectori

aşa încât P1,…, Pk, Pk+1,…, Pr să fie liniar independenţi şi să formeze o bază în m cu

r<m. Acest lucru ar contrazice faptul că rangul matricii A este m deci r=m.

3. – O problemă de programare liniară are cel mult mnC soluţii posibile de

bază.

Observaţia este imediată dacă avem în vedere observaţia 2) şi faptul că nu

orice sistem de m vectori din cei n vectori P1,…, Pn sunt liniar independenţi acesta

reduce cercetarea mulţimii infinite de soluţii la cercetarea unei mulţimi finite.

2.2. MODELAREA UNOR PROBLEME PRACTICE

1. Problema planificării producţiei unei întreprinderi.

Presupunem că o anumită întreprindere dispune de resursele R1, R2,…, Rm

care sunt limitate de numerele b1, b2,…, bm. În procesul de producţie trebuie să se

realizeze produsele P1, P2,…, Pn. Cunoscându-se consumurile aij din resursa Ri pentru

o unitate finită din produsul Pj, precum şi valoarea cheltuielilor totale pe unitatea de

produs finit din fiecare articol se cere: cât trebuie planificat din fiecare produs pentru

ca în limita resurselor disponibile să se realizeze o producţie cu un cost minim.

Datele problemei le putem prezenta într-un tabel de forma:

ProduseResurse P1 … Pj … Pn

R1 a11 … a1j … a1n b1 … … … … … Ri ai1 … aij … ain bi … … … … … Rm am1 … amj … amn bm Cheltuieli c1 … cj … cn - Plan x1 … xj … xn -

Page 28: Curs Matematica Final Anul I

28

Impunând condiţia ca procesul de producţie să se desfăşoare numai în limitele

resurselor, o analiză sumară a consumurilor ne arată că trebuie să satisfacă condiţiile:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

≤+++

≤+++≤+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

............................................

......

2211

22222121

11212111

Apoi natura concretă a datelor problemei ne arată că:

x1¥0, x2¥0,…, xn¥0

În plus, cantităţile x1, x2,…, xn trebuie în aşa fel planificate încât costul total al

producţiei să fie minim adică:

f=c1x1+c2x2+…+cnxn=minim

Planul optimal care se determină rezolvând această problemă se mai numeşte

şi planul sortimentului optim.

2. Problema nutriţiei (Problema dietei, problema amestecului, etc.).

Această problemă constă în următoarele: ştiind că o alimentaţie raţională

trebuie să conţină anumite cantităţi din diferite substanţe şi că acestea se găsesc în

anumite proporţii în diferite alimente de preţuri cunoscute se cere să se stabilească o

dietă corespunzătoare şi totodată să fie cât mai ieftină.

Fie substanţele S1, S2,…, Sm care trebuie să intre în compunerea hranei şi A1,

A2,…, An de care dispunem.

Substanţele amintite se mai numesc şi principii nutritive.

Fie bi cantitatea minimă din substanţa Si care trebuie conţinută în raţia zilnică,

ck preţul unei unităţi din alimentul Ak şi aik cantitatea (numărul de unităţi) din

substanţa Si care se găseşte într-o unitate din alimentul Ak.

Notând cu x1, x2,…, xn cantităţile din alimentele A1, A2,…, An folosite pentru

întocmirea raţiei, aceasta va conţine:

a11x1+a12x2+…+a1nxn unităţi din substanţa S1

Această cantitate trebuie să fie cel puţin egală cu b1, deci:

a11x1+a12x2+…+a1nxn¥b1

Analog găsim următorul sistem de condiţii:

Page 29: Curs Matematica Final Anul I

29

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

≥+++

≥+++≥+++

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

............................................

......

2211

22222121

11212111

La acestea trebuie să adăugăm condiţiile:

x1¥0, x2¥0,…, xn¥0

Având în vedere preţurile alimentelor, funcţia care exprimă costul va fi:

f=c1x1+c2x2+…+cnxn

Pentru f trebuie să găsim valoarea minimă în condiţiile de mai sus.

Importanţa problemei constă în faptul că ea îşi găseşte aplicaţii în industria

petrolieră (amestecuri de benzine şi uleiuri), în industria alimentară (sortimente de

îngheţată, lichioruri, etc.), în industria farmaceutică ş.a..

3. Problema transporturilor

Presupunem că o anumită marfă depozitată în depozitele D1, D2,…, Dm trebuie

transportată toată la nişte centre de consum C1, C2,…, Cn. Fie d1, d2,…, dm capacităţile

depozitelor (pe care le presupunem pline) şi c1, c2,…, cn capacităţile centrelor de

consum (presupuse goale).

Cunoscând cij costul transporturilor pe unitatea de produs de la depozitul Di la

centrul Cj se cere să facem o astfel de repartiţie a mărfii încât costul de transport să fie

minim. Datele unei probleme de transport le putem prezenta prin tabelul:

D C C1 … Cj … Cn

D1 c11 x11

… cij x1-j

… c1n x1n

d1

… … … …

Di ci1 xi1

… cij xij

… cin xin

di

… … … …

Dm cm1 xm1

… cmj xmj

… cmn xmn

dm

c1 .. cj … cn

Presupunem mai întâi că d1+d2+…+dm=c1+c2+…+cn şi în acest caz vom spune

că problema este echilibrată.

Din enunţul problemei rezultă imediat că:

Page 30: Curs Matematica Final Anul I

30

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=+++

=+++=+++

mmnmm

n

n

dxxx

dxxxdxxx

...................................

......

21

222221

111211

Având în vedere că şi centrele au capacităţi limitate rezultă că au loc şi

următoarele relaţii:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=+++

=+++=+++

nmnnn

m

m

cxxx

cxxxcxxx

...................................

......

21

222212

112111

Numerele xij reprezentând mărimi concrete nu pot fi decât numere nenegative

adică:

xij¥0, mi ,1= , nj ,1=

Funcţia de minimizat care este preţul de transport are evident expresia:

∑∑= =

=m

i

n

jijij xcP

1 1

Dacă problema de transport nu este echilibrată atunci echilibrarea se face

relativ uşor prin introducerea unui centru sau depozit fictiv. Astfel dacă de exemplu

d1+…+dm<c1+…+cn adică în depozite avem mărfuri în cantitate mai mică decât

cererea, atunci introducem un nou depozit fictiv Dm+1 care să aibă capacitatea dm+1 aşa

încât:

dm+1=(c1+c2+…+cn)-(d1+d2+…+dm)

În acest caz vom presupune că preţurile de transport de la acest depozit la

fiecare centru se iau egale cu zero. Celălalt caz în care d1+d2+…+dm>c1+c2+…+cn se

tratează într-o manieră analoagă. Din acest motiv se tratează de obicei cazul

echilibrat.

2.3. ALGORITMUL SIMPLEX PRIMAL

Algoritmul simplex, în oricare dintre variantele sale este o schemă de calcul

care permite trecerea de la o soluţie de bază la o soluţie de bază mai „bună” fără a fi

necesară cercetarea tuturor soluţiilor.

În principiu algoritmul simplex porneşte de la o soluţie de bază care este

testată pe baza unui criteriu de optimalitate dacă este soluţia căutată sau nu. În cazul

Page 31: Curs Matematica Final Anul I

31

când această soluţie nu este soluţia căutată se trece la o soluţie mai convenabilă pe

care din nou o verificăm ş.a.m.d.. După un număr finit de paşi (mulţimea soluţiilor de

bază fiind finită) ajungem fie la soluţia optimă, dacă aceasta există, fie suntem în

măsură să afirmăm că o astfel de soluţie nu există.

Să presupunem că este cunoscută soluţia posibilă de bază corespunzătoare

primilor vectori Pj. Soluţia are prin urmare forma:

(1) X=(x1, x2, x3,…, xm, 0…0)

Atunci din faptul că X este soluţie urmează:

(2) x1P1+x2P2+…+xmPm=P0 xi>0

Să încercăm să determinăm o nouă soluţie pe baza soluţiei date. Admitem că

toţi vectorii P1, P2,…, Pn au fost exprimaţi în baza P1, P2,…, Pm cu alte cuvinte

presupunem că sistemul de restricţii are de la început forma explicită:

⎪⎪

⎪⎪

=+++

=+++

=+++

++

++

++

mnmnmmmm

nnmm

nnmm

bxaxax

bxaxaxbxaxax

..............................................

......

11,

2211,22

1111,11

Aceasta implică evident că x1=b1,…, xm=bm, xm+1=…=xn=0

Din cele presupuse rezultă că putem scrie:

(3) a1jP1+ a2jP2+…+ amjPm=Pj, j=m+1, m+2,…, n

Presupunem că vectorul Pk cu indicele k fixat trebuie să intre în bază. Ce

condiţii trebuie ca în soluţie pe locul k să apară o cantitate oarecare θ >0.

Acest lucru se realizează uşor astfel, din:

b1P1+b2P2+…+bmPm=P0

scădem θPk şi obţinem:

(4) (b1-θa1k)P1+(b2-θa2k)P2+…+(bm-θamk)Pm+θPk=P0

Din (4) urmează vectorul

X’=(b1-θa1k, b2-θa2k,…, bm-θamk, 0,..., θ,..., 0) este o soluţie a sistemului de

restricţii din problemă. Pentru a fi o soluţie posibilă a problemei de programare

trebuie ca X’ să aibă toate componentele pozitive sau nule. Deci:

(5)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

≥−

≥−≥−

0...................

00

22

11

mkm

k

k

ab

abab

θ

θθ

Page 32: Curs Matematica Final Anul I

32

Se pot întâmpla două situaţii:

a) toate cantităţile a1k, a2k,…, amk§0; atunci relaţiile (5) au loc pentru orice

θ >0.

b) există măcar un i pentru care aik>0, atunci relaţia

bi-θaik>0 care se mai scrie:

0≥⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−θ

ik

iik a

ba are loc numai dacă ik

i

ab

≤θ

Dacă ar exista mai mulţi indici pentru aik>0 ar trebui evident ca θ să fie mai

mic decât cel mai mic dintre rapoartele ik

i

ab pentru ca (5) să aibă loc.

Pe de altă parte să observăm că X’ este o soluţie cu m+1 componente, deci ea

nu poate fi de bază decât dacă θ va lua chiar valoarea:

lk

l

ik

i

ai ab

ab

ik

==≥0/

minθ

Dacă lk

l

ab

=θ măcar componenta cu indicele 1 se anulează şi toate celelalte,

care nu se anulează, rămân pozitive şi deci X’ în acest caz este o nouă soluţie posibilă

de bază.

Rezultă deci că:

1. Pentru ca un vector Pk să poată înlocui un vector din bază trebuie să aibă şi

componente pozitive.

2. Vectorul Pl care trebuie înlocuit de Pk este acela pentru care:

ik

i

ailk

l

ab

ab

ik 0/min

=

Am obţinut o regulă după care facem eliminarea din bază. Această regulă o

vom numi criteriul de eliminare.

Vrem în continuare să găsim criteriul după care vom alege vectorul care

urmează să intre în noua bază, adică criteriul de intrare.

Dintre vectorii din afara bazei trebuie să alegem unul pentru care noua soluţie

să dea pentru forma liniară o valoare mai mică (deoarece ne ocupăm de probleme de

minimizare) şi dacă avem mai multe posibilităţi s-o alegem pe cea mai avantajoasă. În

acest scop să vedem valoarea formei f pentru soluţiile X şi X’ şi să le comparăm.

Avem:

Page 33: Curs Matematica Final Anul I

33

f(X)=c1b1+ c2b2+…+ cmbm

f(X’)=c1(b1-θa1k)+c2(b2-θa2k)+…+cm(bm-θamk)+θck=(c1b1+c2b2+…+cmbm)-

(c1a1k+c2a2k+…+cmamk)θ+θck

Notând zk=c1a1k+c2a2k+…+cmamk putem scrie:

(6) f(X’)=f(X)-θ (zk-ck)

Putem avea două situaţii:

a) Pentru orice k, zk-ck§0 atunci f(X’)¥f(X) şi deci nu putem găsi o soluţie de

bază în care forma f să aibă o valoare mai mică. Aceasta este echivalent cu a spune că

soluţia X este soluţie optimă. Aşadar criteriul de optimalitate s-ar putea formula astfel:

Dacă pentru o soluţie X toate diferenţele zk-ck sunt mai mici sau egale cu zero, soluţia

este optimă.

b) Există indici k pentru care zk-ck>0 atunci evident că valoarea formei f poate

fi micşorată şi dacă vom lua vectorul Ph pentru care: (zh-ch)=max(zk-ck) vom obţine

micşorarea cea mai mare.

În felul acesta am pus în evidenţă şi criteriul după care alegem vectorul care

urmează să fie introdus în bază – criteriul de intrare. Mai trebuie să clarificăm puţin

situaţia în care pentru un vector Pk dintre cei din afara bazei, zk-ck>0 dar toţi aik

mi ,1= sunt negativi.

În acest caz, pe de o parte X’ este o soluţie cu m+1 componente nenegative

pentru orice θ >0, iar din (6) se constată că atunci când θ creşte valoarea lui f poate fi

făcută oricât de mică, deci problema nu are un minim finit. Se spune că, în acest caz,

problema are optim infinit. Cele de mai sus conduc la următorul algoritm de rezolvare

a unei probleme de programare liniară cunoscut sub denumirea de algoritm simplex

primal.

1. Determinăm o soluţie de pornire.

2. Calculăm diferenţele zk-ck şi aplicăm criteriul de optimalitate.

a) dacă toate diferenţele zk-ck§0 soluţia este optimă şi STOP.

b) există diferenţe zk-ck¥0, atunci verificăm dacă nu cumva Pk respectivi au

componentele toate negative sau zero.

- Dacă „da” atunci problema are optim infinit şi STOP.

- Dacă „nu” atunci la 3).

3. Aplicăm criteriul de intrare luând max(zk-ck)=zh-ch şi determinăm vectorul

Ph care urmează să intre în bază.

Page 34: Curs Matematica Final Anul I

34

4. Aplicăm criteriul de eliminare luând

jh

j

ih

i

ai ab

ab

ih

=≥0/

min

Şi determinăm vectorul Pj care trebuie eliminat din bază.

5. Facem schimbarea de bază, obţinem noua soluţie şi trecem din nou la 2.

Datele unei probleme de programare liniară se sistematizează într-un tabel,

numit tabel simplex care are forma:

c1 c2 … c1 … ch … cn Baza cb P0 P1 P2 … P1 … Ph … Pn P1 c1 b1 1 0 … 0 … a1h … a1n P2 c2 b2 0 1 … 0 … a2h … a2n : : : : : : : : : : : : : : : :

P1 c1 b1 0 0 … 1 … a1h … a1n : : : : : … : : : : : : : : … : : :

Pm cm bm 0 0 … 0 … amh … amn zk-ck - f(X) 0 0 … 0 zh-ch … zn-cn

Observaţii:

1) Elementele de pe linia zk-ck se obţin foarte simplu înmulţind coloana cb cu

coloanele care urmează şi scăzând coeficientul ci care se găseşte scris la capătul de

sus al coloanei.

2) Presupunem cunoscute diferenţele zk-ck şi vrem să găsim un procedeu

pentru a determina noile diferenţe z’k-ck de la etapa (iteraţia) următoare:

c1, c2,…, c1-1, ck, c1+1,…, cm

iar pe coloana lui Pk elementele:

a’1k, a’2k,…, a’1-1,k, a’1,k,…, a’m,k

Deci z’k-ck=c1a’1k+c2a’2k+…+c1-1a’1-1,k+cha’1,k+…+c’ma’m,k-ck

Dar mhlh

lkmkmk

lh

lkkh

lh

lkkk a

aaaa

aaaa

aaaa −==−= ',...,'...,' 11,1,1 şi prin urmare:

z’k-ck=(c1aik+…+cmamk-ck)-c1ak-lh

lk

aa (c1a1h+…+cmamh)+c1

lh

lk

aa a1h+

lh

lk

aa ch

De unde:

z’k-ck=(zk-ck)- lh

lk

aa (zh-ch)

Page 35: Curs Matematica Final Anul I

35

Această relaţie ne arată că noile diferenţe (linia diferenţelor) se calculează

exact după aceeaşi regulă ca şi restul elementelor din tabelul simplex.

Pentru exemplificare să considerăm problema:

Să se minimizeze f(X)=2x1+x2-5x3-4x4 în condiţiile

⎩⎨⎧

=++=−+363

432

431

xxxxxx

şi x1¥0, x2¥0, x3¥0, x4¥0

Formăm tabelul simplex

2 1 -5 -4 Baza cb P0 P1 P2 P3 P4 P1 2 6 4 1 3 -1 P2 1 3 0 1 1 1 zj-ci - 15 0 0 12 3 P3 -5 2 1/3 0 1 -1/3 P2 1 1 -1/3 1 0 4/3 zj-ci - -9 -4 0 0 7 P3 -5 9/4 1/4 1/4 1 0 P4 -4 3/4 -1/4 3/4 0 1 zj-ci - -57/4 -9/4 -21/4 0 0

Soluţia optimală va fi x1=x2=0, x3=9/4, x4=3/4, iar min f=-57/4.

Mai rămâne de văzut cum putem determina o soluţie de pornire în cazul

general. Aşa cum am văzut cunoaşterea unei soluţii de bază de pornire echivalează cu

faptul că sistemul de restricţii în care toţi termenii sunt nenegativi este explicitar. Dar

o astfel de condiţie, în general, nu este îndeplinită.

Problema explicitării sau a determinării unui program iniţial fără a utiliza

decât transformări elementare se poate rezolva folosind metoda necunoscutelor

artificiale sau a necunoscutelor auxiliare.

Această metodă constă în a crea în mod artificial un program de bază de

pornire pentru o problemă de programare strâns legată de problema dată.

Dacă toţi termenii liberi sunt nenegativi se adaugă la fiecare ecuaţie câte o

necunoscută artificială astfel încât în matricea obţinută din matricea A să se formeze

submatricea unitate de ordinul m.

Dacă presupunem că erau necesare m noi necunoscute artificiale sistemul de

restricţii devine:

Page 36: Curs Matematica Final Anul I

36

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=++++

=++++=++++

+

+

+

mmnnmnmm

nnn

nnn

bxxaxaxa

bxxaxaxabxxaxaxa

........................................................

......

2211

222222121

111212111

Se obţine în felul acesta o nouă problemă de programare pe care o numim de

obicei problemă extinsă. Această problemă are drept soluţie admisibilă de bază

x1=x2=...=xn=0, xm+1=b1,..., xn+m=bm.

Cele două probleme sunt strâns legate în sensul că orice soluţie a problemei

extinse în care necunoscutele artificiale sunt zero este o soluţie a problemei iniţiale.

Rezultă deci că pentru a avea soluţie de pornire pentru rezolvarea problemei iniţiale

este necesar să căutăm, să găsim, o soluţie a problemei extinse cu ultimele

componente (cele artificiale) nule.

Acest lucru se poate realiza în două moduri prin:

1) metoda penalizărilor;

2) metoda celor două faze.

1. Metoda penalizărilor.

În acest caz funcţia obiectiv iniţială este înlocuită cu o nouă funcţie de forma:

f1=c1x1+c1x2+...+cnxn+Mxn+1+...+Mxn+m

cu M >0 şi oricât de mare vrem.

Problemei extinse cu această nouă funcţie de optimizat îi aplicăm algoritmul

simplex primal în scopul găsirii unei soluţii cu componentele artificiale nule.

Aplicarea algoritmului ne conduce la una din situaţiile:

a) Ajungem la o soluţie de forma căutată. Dacă aceasta nu este soluţie

optimală pentru problema iniţială aplicăm în continuare algoritmul până la rezolvarea

completă.

b) Baza conţine vectori artificiali dar valorile corespunzătoare ale

necunoscutelor artificiale sunt zero şi coeficienţii lui M din diferenţele zk-ck sunt

negativi sau nuli. Atunci programul respectiv este un program degenerat al problemei

iniţiale.

c) Baza conţine măcar o variabilă artificială strict pozitivă şi coeficienţii lui M

din diferenţele zk-ck sunt negativi: în acest caz problema iniţială nu are soluţii.

Exemplu. Să se minimizeze f(X)=12x1+3x2-x3-3x4 în condiţiile

Page 37: Curs Matematica Final Anul I

37

⎩⎨⎧

=−++=+−+

17231432

4321

4321

xxxxxxxx

xi¥0, 4,1=i

12 3 -1 -3 M M Baza C P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P5 M 14 2 1 -1 3 1 0 P6 M 17 1 1 3 -2 0 1 zk-ck - 31M 3M-12 2M-3 2M+1 M+3 0 0 P1 12 7 1 1/2 -1/2 3/2 0 P6 M 10 0 1/2 7/2 -7/2 1 zk-ck - M/3+3 7M/2-5 -7M/2 10M+ 0 0 84 +21 P1 12 59/7 1 4/7 0 1 P3 -1 20/7 0 1/7 1 -1 zk-ck - 688/7 0 26/7 0 16

Până la această etapă am determinat o soluţie, a problemei extinse, cu toate

componentele artificiale nule. Această soluţie însă nu este optimală pentru problema

iniţială. Continuând aplicarea algoritmului, după o iteraţie se obţine şi soluţia optimă:

x1=59/7, x2=79/7, x3=x4=0, min f=-256/7.

2. Metoda celor două faze.

În această metodă problema se rezolvă în două faze distincte. Prima fază ne

permite să determinăm dacă există o soluţie şi în caz afirmativ să calculăm una, iar a

doua ne conduce pornind de la soluţia găsită la soluţia optimală.

Faza I. Se introduce pe lângă funcţia f şi o a doua funcţie:

g=xn+1+xn+2+...+xn+m

căreia i se caută minimul în condiţiile problemei extinse. Evident că determinarea unei

soluţii a problemei iniţiale echivalează cu găsirea unei soluţii pentru problema extinsă

pentru care min g=0.

Aplicând algoritmul simplex primal, problemei extinse cu funcţia de optimizat

g se ajunge la una din situaţiile:

a) min g=0 şi nici un vector artificial nu figurează în bază. Atunci soluţia

găsită este soluţia de bază de pornire pentru problema iniţială şi se trece la faza a

doua.

Page 38: Curs Matematica Final Anul I

38

b) min g=0 dar baza conţine un vector artificial; atunci problema iniţială are

soluţii degenerate.

c) min g∫0; atunci problema iniţială nu are soluţii.

În cazurile a) şi b) se trece la Faza a II-a în care se optimizează f pornind de la

soluţia obţinută.

Reluăm exemplul precedent

Faza I

0 0 0 0 1 1 Baza Cb P0 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P5 1 14 2 1 -1 3 1 0 P6 1 17 1 1 3 -2 0 1 zk-ck - 31 3 2 2 1 0 0 P1 0 7 1 1/2 -1/2 3/2 0 P6 1 10 0 1/2 7/2 -7/2 1 zk-ck - 10 0 1/2 7/2 -7/2 0 P1 0 59/7 1 4/7 0 1 P3 0 20/7 0 1/7 1 -1 zk-ck - 0 0 0 0 0

Obţinând pe linia zk-ck toate elementele egale cu zero am obţinut soluţia de

pornire căutată x1=59/7, x3=20/7, x2=x4=0.

Cu această soluţie problema propusă şi numai după o iteraţie se ajunge la

soluţia optimală.

2.5. PROBLEMA TRANSPORTURILOR

Problema transporturilor este un caz particular de problemă de programare

liniară. Aceste probleme constituie însă un grup aparte de probleme de programare dar

fiind specificul lor: matricea coeficienţilor având dimensiuni relativ mari şi fiind

partiţionată în submatrici. Specificul, matrice cu o structură foarte simplă, a condus la

procedee foarte simple de rezolvat.

Aşa cum am mai spus modelul matematic al unei probleme echilibrate este:

Tcdn

jj

m

ii =∑=∑

== 11

0,,1;,1,,1

11

≥==∑=∑==

ij

m

ij

n

jij xnjmicdx

Page 39: Curs Matematica Final Anul I

39

şi P(X)= min1 1

=∑ ∑= =

m

i

n

jijij xc

Am folosit notaţiile anterioare.

Pentru problemele de transport avem teorema următoare:

Teoremă. O problemă de transport are întotdeauna o soluţie şi o soluţie

posibilă de bază are cel mult m+n-1 componente nenule.

Demonstraţie. Prima parte a teoremei rezultă observând că mărimile

Tcd

y jiij = mi ,1= ; mj ,1= verifică sistemul de restricţii.

Pentru partea a doua observăm că oricare dintre ecuaţiile funcţionale este o

combinaţie a celorlalte şi deci poate fi lăsată la o parte. Cum numărul componentelor

nenule ale unei soluţii posibile de bază este cel mult numărul ecuaţiilor, urmează că o

asemenea soluţie are cel mult m+n-1 componente nenule şi deci demonstraţia este

terminată.

Din această teoremă rezultă că pentru problemele de transport problema

existenţei soluţiei optimale nu se pune şi aceasta s-ar putea găsi prin una dintre

variantele algoritmului simplex cunoscute. Dimensiunile mari ale bazei precum şi

structura simplă a matricii coeficienţilor au impus căutarea unor metode specifice.

În principiu rezolvarea unei probleme de transport se face ca de obicei: se

determină o soluţie de pornire şi din aceasta se construieşte un şir de soluţii din ce în

ce mai „bune” până se ajunge la soluţia optimală. În scopul determinării criteriilor

necesare precum şi procedeelor de lucru vom urmări în continuare următoarele

obiective:

1. Determinarea unei soluţii de pornire.

2. Algoritmi de optimizare a soluţiei.

3. Rezolvarea unor probleme de transport speciale.

1. Determinarea unei soluţii de pornire.

Pentru determinarea soluţiei iniţiale există mai multe metode practice:

a) Metoda colţului de Nord-Vest sau metoda diagonalei.

În principiu această metodă constă în următoarele: se începe cu primul depozit

şi se repartizează marfă primului centru; dacă primul centru poate primi toată marfa

din depozitul întâi, în continuare se trece la depozitul doi pentru completarea

necesarului din c1 ş.a.m.d.; dacă primul centru nu poate primi toată marfa din

depozitul D1 atunci cu cantitatea rămasă se trece la centrul următor ş.a.m.d..

Page 40: Curs Matematica Final Anul I

40

Totdeauna se are în vedere ca să nu părăsim un depozit până nu este epuizat şi nici un

centru până nu este completat.

Exemplu.

C D C1 C2 C3 C4

D1 5

25 3 1 2 25

D2 2

4 3

171

244 45

D3 1 5 1

186

22 40

29 17 42 22

b) Metoda costurilor minime.

Această metodă are trei variante: metoda minimului pe linie, metoda

minimului pe coloană şi metoda minimului pe tabel.

Metoda precedentă, a diagonalei, ne arată pas cu pas cum trebuie găsite

componentele xij ale soluţiei căutate. În cazul metodelor de faţă se dă tot o metodă de

a găsi componentele xij ale soluţiei căutate. Astfel în primul pas se determină chk=min

cij şi se ia xhk=min (ah, bk) apoi cu restul preţurilor cij rămase se procedează analog

după ce am modificat corespunzător disponibilităţile din depozite şi cererile de la

centru. Evident că dacă min cij se realizează pentru mai multe perechi de indici acestea

le vom lua pe rând, după voie. Reluând exemplul precedent obţinem:

C D C1 C2 C3 C4

D1 5

3

11

22

22 25

D2 2

29 3

161 4 45

D3 1 5 1

406

40

29 17 42 22

Dacă njmi ,1,1 == în calculul minimului obţinem metoda minimului pe

tabel. Dacă îl fixăm pe i şi calculăm cik=min cij obţinem metoda minimului pe linie,

fixându-l pe j se obţine metoda minimului pe coloană. Aceste metode dau soluţii

avantajoase din puncte de vedere diferite. De exemplu: dacă costul transportului este

Page 41: Curs Matematica Final Anul I

41

suportat de depozite metoda minimului pe linie va fi cea la care se ajunge, iar dacă

costul transportului este suportat de centrele de consum se ajunge la metoda

minimului pe coloane ş.a.m.d..

Metoda minimului pe linie sau coloană evident dau alte soluţii. De exemplu

metoda minimului pe linie dă:

C D C1 C2 C3 C4

D1 5

3 1

252 25

D2 2

28 3 1

174 45

D3 1

1 5

171 6

22 40

29 17 42 22

2. Algoritm de optimizare a soluţiei

O examinare atentă a algoritmului simplex primal aplicat acestor probleme ne

pune în evidenţă o serie de particularităţi care ne ajută să formulăm noul algoritm.

Presupunem că X este o soluţie posibilă de bază nedegenerată (adică cu n+m-1

componente nenule). Dorim să construim o nouă soluţie X’ care să fie mai „bună”

decât soluţia X, adică pentru care preţul să fie mai mic. Vom urmări ca X’ să fie tot o

soluţie posibilă de bază fiindcă soluţia optimală se găseşte printre acestea. În acest

scop vom proceda în felul următor: consider o componentă xij care este nulă în X.

Dorim ca pe locul (ij) să apară o anumită valoare nenulă θ. Acest lucru va fi posibil

dacă θ >0 pentru a putea fi un xij, apoi dacă vom putea modifica vechile componente

din X aşa încât vectorul X’ să fie soluţie a sistemului de restricţii. Transformările de

care spunem trebuie făcute în aşa fel încât noile componente să fie nenegative.

Rezultă deci că pe linia i şi pe coloana j două componente ale lui X trebuie micşorate

cu θ şi pentru ca să avem tot soluţie va trebui să modificăm încă două componente

care vor trebui mărite cu θ.

Aceste modificări vor înceta numai atunci când cele două elemente care

urmează a fi schimbate coincid. Unind componentele modificate care se găsesc pe

aceeaşi linie sau coloană se obţine o figură geometrică numită ciclu. În felul acesta

rezultă clar că modificările nu se pot face decât după un ciclu. Existenţa şi unicitatea

unui asemenea ciclu pentru componenta xij=θ din X se poate arăta uşor făcând un

Page 42: Curs Matematica Final Anul I

42

raţionament similar cu acela de la trecerea de la o soluţie la alta în cadrul algoritmului

simplex primal. În ipoteza că am pus deja în evidenţă ciclul urmează că în unele

vârfuri θ se adună şi în altele se scade. Pentru ca X’ să fie tot soluţie trebuie ca θ să fie

mai mic decât toate componentele soluţiei situate în vârfurile ciclului în care se scade.

Pentru ca X’ să aibă exact n+m-1 componente nenule va trebui ca θ =min xij, xij fiind

componentele lui X din care θ se scade. Pentru a ne realiza şi cerinţa ca X’ să fie mai

bună decât X va trebui să evaluăm noul preţ de transport. În acest scop observăm că

pentru componentele nemodificate preţurile rămân aceleaşi. Dacă xij devine xij+0

atunci preţul creşte cu θ cij, dacă însă devine xij-θ atunci preţul scade cu θ cij deci:

(1) P(X’)=P(X)+θδij

unde δij este un număr care se obţine făcând suma algebrică a preţurilor din vârfurile

ciclului, acestea fiind luate cu plus dacă θ se adună şi cu minus dacă θ se scade.

Am notat δij suma obţinută pentru ciclul obţinut pornind de la componenta

nulă xij.

Din discuţia făcută rezultă imediat cele trei criterii necesare algoritmului

simplex adaptat.

1. Soluţia X este optimală dacă pentru toţi xij=0, δ¥0;

2. Componenta xij=0 devine egală cu θ (intră în bază) dacă δ=min δhk;

3. Componenta xij>0 devine egală cu zero (este eliminată din bază) dacă

θ=min xij unde xij sunt componentele lui X din vârfurile ciclului din care θ se scade.

Aceste trei criterii ne permit să dăm următorul algoritm:

1. Determinăm o soluţie nedegenerată de pornire X.

2. Pentru xij=0 calculăm δij şi aplicăm criteriul de optimalitate.

a) Dacă toţi δij¥0 soluţia X este optimală şi STOP.

b) Dacă există δij<0 trecem la 3.

3. Alegem δhk=min δij şi determinăm locul (h, k) unde trebuie plasat θ.

4. Formăm ciclul, aflăm valoarea lui θ şi găsim care componentă se va anula.

Calculăm componentele noii soluţii şi trecem la 2. Reluăm problema din exemplul

precedent în care soluţia o determinăm după metoda minimului pe tabel.

Page 43: Curs Matematica Final Anul I

43

C D C1 C2 C3 C4

D1 5

3 1

252 25

D2 2

3

171

174

11 45

D3 1

29 5 1 6

11 40

29 17 42 22

Calculăm δij

δ11=5-1+6-4+1-1=6

δ12=3-3+1-1=0 ş.a.m.d.

Obţinem:

δ11=6, δ12=0, δ13=-2, δ21=3, δ32=0, δ33=-2.

Alegem δhk=δ14=-2 şi deci x14=θ

Pentru această primă soluţie X1

P(X1)=25+51+17+44+29+66=232

Pentru a găsi noua soluţie X2, formăm ciclul corespunzător

25-θ θ

17+θ 11-θ

De aici obţinem θ=11

Noua soluţie X2 va fi:

C D C1 C2 C3 C4

D1 5

3 1

142

11 25

D2 2

3

171

284

45

D3 1

29 5 1 6

11 40

29 17 42 22

Preţul corespunzător lui X2 va fi:

P(X2)=232-2μ11=210

Cu X2 reluăm ciclul de calcule. Calculăm δij.

Page 44: Curs Matematica Final Anul I

44

δ11=8, δ12=0, δ21=5, δ24=7, δ32=-2, δ33=-4.

Trebuie ca x33=θ.

Formăm ciclul:

14-θ 11+θ

θ 11-θ

Aceasta dă evident θ=11.

Prin urmare noul preţ va fi:

P(X3)=210-44=166

Soluţia X3 va fi dată de:

C D C1 C2 C3 C4

D1 5

3 1

32

22 25

D2 2

3

171

284

45

D3 1

29 5 1

116

40

29 17 42 22

Calculând cantităţile δij avem:

δ11=4, δ12=0, δ21=1, δ24=2, δ32=2, δ34=4 şi deci conform criteriului de

oportunitate X3 este soluţie optimală şi preţul minim este 166.

Exerciţii.

1. Să se minimizeze f(X)=3x1+4x2 în condiţiile:

⎪⎩

⎪⎨

≤+≤≤

972

21

2

1

xxxx

x1, x2¥0

2. Să se minimizeze f(X)=x1+x2+x3-x4 în condiţiile:

⎩⎨⎧

−≤−+−≤+−+

442823

5321

4321

xxxxxxxx

x1, x2, x3, x4, x5¥0

3. Să se maximizeze f(X)=-3x1+x2-5x3 în condiţiile:

Page 45: Curs Matematica Final Anul I

45

⎪⎩

⎪⎨

−≥−≤+≤+

31210

31

32

21

xxxxxx

x1, x2, x3¥0

4. Să se maximizeze f(X)=x1-10x2-6x3+x4 în condiţiile:

⎪⎩

⎪⎨

=−−+=++−

−=−+−

6325322

4

4321

4321

4321

xxxxxxxx

xxxx

x1, x2, x3, x4¥0

5. Să se maximizeze f(X)=5x1+2x2-x3+x4 în condiţiile:

⎪⎩

⎪⎨

=++−≥++

≤−+

10262

8

431

432

431

xxxxxx

xxx

x1, x2, x3, x4¥0

6. Să se determine măcar patru soluţii de bază pentru problema de transport:

C D C1 C2 C3 C4

D1 1

2 1 3

32

D2 2

3 2 4

40

D3 3

5 4 5

60

19 37 45 62 7. Să se determine o soluţie optimală problemei:

C D C1 C2 C3

D1 2 3 1 25

D2 3 1 2 30

D3 1 1 1 40

D4 1

2 3 35

27 44 50

8. Să se rezolve problema de transport:

Page 46: Curs Matematica Final Anul I

46

C D C1 C2 C3 C4

D1 5

7 6 4

40

D2 8

1 2 7

60

D3 4

10 9 11

80

20 20 40 100

Page 47: Curs Matematica Final Anul I

47

CAPITOLUL 3

ELEMENTE DE ANALIZĂ MATEMATICĂ

3.1. Serii numerice

Fie şirul de numere reale:

(1) a1, a2, a3,..., an,...

Definiţia 1.

Se numeşte serie suma infinită

(2) a1+a2+a3+...+an+...

an se numeşte termenul general iar suma se mai prezintă şi în forma:

(3) ∑∞

=1nna

Dată seria (2) sau (3) se formează şirul:

(4) A1=a1, A2=a1+a2,...., An=a1+a2+...+an,...

numit şirul sumelor parţiale.

Definiţia 2.

Dacă AAnn=

∞→lim (A finit sau nu) se spune că seria are limita A.

Dacă A este număr finit se spune că seria converge iar dacă A este un număr

infinit se spune că seria diverge. Numărul A se numeşte suma seriei.

În legătură cu seriile se pun două probleme:

a) Să se cerceteze dacă seria este sau nu convergentă (să se stabilească natura

seriei).

b) În caz de convergenţă să se calculeze suma.

Exemple.

1. O serie cunoscută deja este seria geometrică cu raţia q∫1.

a+aq+ag2+...+aqn-1+...

Page 48: Curs Matematica Final Anul I

48

Se ştie că q

aqaSn

n −−

=1

Dacă |q|<1 atunci q

aSnn −=

∞→ 1lim adică serie convergentă.

Dacă |q|¥1 seria diverge.

Pentru a=1, q=-1 progresia dă 1-1+1-1+... cu sume parţiale 0 sau 1 deci caz în

care suma nu există.

2. Seria cu !

1...!1

11n

An +++= aşa cum s-a văzut în liceu este convergentă şi

e!n

111n

=∑+∞

=.

Proprietăţi.

1. Dacă într-o serie lăsăm la o parte un număr finit de termeni seria obţinută

are aceeaşi natură ca şi seria iniţială.

În adevăr să lăsăm la o parte din (2) primii m termeni.

Rămâne:

(5) ∑=++++∞

+=+++

1mnnkm2m1m a...a...aa

Să notăm cu Sk=am+1+...+am+k cu m fixat mai înainte. Evident că Am+k=Am+Sk,

şi deci Sk=Am+k-Am. Trecând la limită obţinem S=A-Am şi deci (5) converge şi are suma

A-Am.

Să presupunem acum că (5) converge şi SSk → , atunci avem S=A-Am şi deci

A=S+Am.

Dacă notăm cu am=A-Am constatăm că pentru .0,m m →∞→ α

Observaţii.

1. Seria (5) se numeşte serie rest iar am rest.

2. Putem enunţa proprietatea: dacă (2) converge atunci restul tinde la zero.

3. Dacă termenii seriei convergente (2) se înmulţesc cu acelaşi factor a, a∫0

se obţine o serie convergentă şi suma ei este aA.

4. Fie ⎩⎨⎧

++++=++++=...b...bbB...a...aaA

n21

n21 şi a, bœR atunci seria ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ∑+⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∑

=

= 1nn

1nn ba βα

este tot convergentă. Notând cu An, Bn, Cn sumele parţiale putem scrie:

Page 49: Curs Matematica Final Anul I

49

Cn=(aa1+bb1)+...+(aan+bbn)=aAn+bBn şi deci ∞→n

lim Cn=aA+bB.

5. Din relaţia an=An-An-1, rezultă ∞→n

lim an=0. Condiţia nu este suficientă. În

adevăr fie ∑∞

=1n n1 avem evident 0

n1

→ şi totuşi din faptul că 1+2

1 +3

1 +...+n

1 >

> nn

1n = rezultă evident că seria diverge.

O altă serie cu o proprietate asemănătoare şi în acelaşi timp deosebit de

importantă este seria armonică.

Aceasta este ...n1...

31

211

n1

1n+++++=∑

=.

Denumirea vine de la faptul că orice termen este media armonică a termenilor

vecini.

Se mai observă de asemenea că:

21

n21n

1n21...

1n1

n1

=>−

+++

+

şi deci grupând termenii câte 1, 2, 4, 8, ... se obţine:

31

21,1 + ;

71

61

51

41

+++ ;...

Deoarece fiecare sumă este mai mare decât 1/2 rezultă că suma seriei este

nemărginită şi deci rezultă că seria armonică este divergentă.

Profităm de prilej pentru a prezenta o serie cunoscută sub numele de serie

armonică generalizată.

...n1...

31

211

n1

sss1n

s +++++=∑∞

= unde sœR.

Dacă s=1 se obţine seria armonică prezentată mai înainte. Are loc afirmaţia:

pentru s<1 seria diverge iar pentru s>1 seria converge.

În adevăr s<1 termenii seriei armonice generalizate sunt mai mari decât

termenii corespunzători ai seriei armonice ei prin urmare şirul sumelor este nemărginit

şi deci seria diverge.

Pentru s>1 să punem s=1+t, t>0.

Şi în cazul acestei serii se poate observa că:

tssss n1

n1n

)1n2(1...

)1n(1

n1

=<+

+++

+

Făcând grupări asemănătoare ce cele precedente se obţin sumele:

Page 50: Curs Matematica Final Anul I

50

...;71

61

51

41;

31

21,1 ssssss ++++

Cum fiecare grupă, exceptând-o pe prima, este mai mică decât ...21

41,

21

t2tt =

rezultă evident că suma seriei armonice generalizate este mai mică decât:

t

t2t

211

11...21

211

−+=+++

şi deci seria converge.

Definiţia 3.

Seria (A) ...a...aaa n211n

n ++++=∑∞

= este serie cu termeni pozitivi dacă an¥0

pentru n=1, 2, ....

În cazul seriei cu termeni pozitivi şirul sumelor parţiale este monoton

nedescrescător deoarece An+1=An+an+1¥An.

Rezultă deci că seria (A) este convergentă şi suma va fi finită dacă şirul An este

mărginit superior.

Problema precizării naturii unei serii cu termeni pozitivi poate fi soluţionată

dacă vom indica procedee care să asigure mărginirea de care am vorbit.

În acest sens mai întâi vom prezenta câteva teoreme numite teoreme de

comparaţie şi apoi unele condiţii suficiente (numite şi criterii) de convergenţă.

Teorema 1. (Prima teoremă de comparaţie)

Fie seriile cu termeni pozitivi (A) ∑∞

=1nna şi (B) ∑

=1nnb .

Dacă începând cu un anumit rang fiecare termen al seriei (A) este mai mic

decât termenul corespunzător al seriei (B) atunci din convergenţa seriei (B) rezultă

convergenţa seriei (A) sau din divergenţa seriei (A) rezultă divergenţa seriei (B).

Demonstraţie: Putem presupune că an§bn pentru n=1, 2,... deoarece lăsând la

o parte un număr finit de termeni natura seriei se conservă. Fie din nou An, Bn sumele

parţiale corespunzătoare. Avem deci An§Bn.

Prin urmare dacă BnöB rezultă că An<B şi deci şirul sumelor parţiale este

mărginit adică seria (A) converge.

Se observă de asemenea că nemărginirea lui An implică nemărginirea lui Bn

adică divergenţa seriei (A) implică şi divergenţa seriei (B).

Page 51: Curs Matematica Final Anul I

51

Teorema 2. (Teorema a doua de comparaţie)

Dacă există kbalim

n

n

n=

∞→, 0<k<¶ atunci din convergenţa seriei (B) pentru k<¶

urmează convergenţa seriei (A), iar din divergenţa seriei (A) pentru k>0 rezultă

divergenţa seriei (B).

Demonstraţie: Să presupunem că seria (B) converge şi fie k finit. Fie ε >0.

Atunci pentru n suficient de mare avem ε+< kba

n

n şi deci an<(k+ε)bn. Convergenţa

seriei (B) implică convergenţa serie ∑ + nb)k( ε . Urmează că din convergenţa seriei

(B) rezultă mărginirea şirului An şi deci convergenţa seriei (A).

Partea a doua rezultă imediat prin reducere la absurd.

Teorema 3. (Teorema a treia de comparaţie)

Dacă de la un anumit indice n este îndeplinită inegalitatea n

1n

n

1n

bb

aa ++ ≤ atunci

convergenţa seriei (B) asigură convergenţa seriei (A) iar divergenţa seriei (A)

divergenţa seriei (B).

Demonstraţie: Admitem, din, nou, că relaţia din enunţ are loc pentru n=1, 2,

.... Putem scrie:

1n

n

1n

n

2

3

2

3

1

2

1

2

bb

aa...

bb

aa,

bb

aa

−−

≤≤≤

Prin înmulţirea membru cu membru se obţine 1

n

1

n

bb

aa

≤ sau n1

1n b

baa ≤ pentru

n=1, 2, 3,....

Convergenţa seriei (B) asigură convergenţa seriei ∑∞

=1nn

1

1 bba şi prin urmare şi

seria ∑∞

=1nna , este convergentă şi analog şi partea a doua.

Alegând convenabil seriile (A) sau (B) se obţin condiţii suficiente de

convergenţă numite criterii de convergenţă.

Reamintim că seria geometrică ∑∞

=1n

nq este convergentă pentru 0<q<1 iar pentru

q=1 divergentă.

Să folosim drept serie (B) seria geometrică. Vom obţine criteriul lui Cauchy

sau criteriul rădăcinii. Fie nnn ac = .

Page 52: Curs Matematica Final Anul I

52

Teorema 4.

Dacă de la un n suficient de mare cn§q unde 0<q<1 atunci seria (A) converge

iar dacă cn>1 seria (A) diverge.

Demonstraţie: Condiţia cn§qïan§qn şi deci teorema 3) asigură convergenţa

seriei (A).

Partea a doua asigură an¥1 şi deci comparând cu Ê1 rezultă divergenţa seriei

(A).

Observaţie. Dacă cclim nn=

∞→(finită sau nu) se poate obţine forma limită a

criteriului rădăcinii. Dacă c<1 seria (A) converge, dacă c>1 seria diverge iar dacă c=1

nu putem decide (se spune că avem situaţia de dubiu).

Comparând tot cu seria geometrică dar folosind teorema 3) se obţine criteriul

lui D’Alembert sau criteriul raportului.

Teorema 5.

Fie n

1nn a

ad += . Dacă pentru n suficient de mare dn§q, 0<q<1 atunci (A)

converge iar dacă dn¥1 urmează că seria (A) diverge.

Demonstraţie: În adevăr dacă bn=qn din teorema 3) rezultă imediat concluzia:

Observaţie: În forma limită: fie ddlim nn=

∞→

Dacă d<1 seria (A) converge, dacă d>1 seria (A) diverge iar pentru d=1 avem

caz de dubiu.

Un criteriu cu putere mai mare în privinţa înlăturării dubiului este criteriul lui

Raabe.

Teorema 6.

Fie ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= +

n

1nn a

a1nr

Dacă pentru n suficient de mare rn¥1, r>1 atunci seria (A) converge iar dacă

r<1 seria (A) diverge. Dacă r=1 dubiu.

Demonstraţia se găseşte în manualele indicate.

Observaţie: Pentru a obţine forma limită fie rrlim nn=

∞→.

Dacă r>1 seria (A) converge, dacă r<1 seria diverge iar dacă r=1 este dubiu.

Exemple:

Să se precizeze natura seriilor:

Page 53: Curs Matematica Final Anul I

53

1. ∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=1n

n2

n11

Aplicăm criteriul lui Cauchy 1e1clim,

n11c nn

n

n <=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

∞→ deci seria este

convergentă.

2. ∑∞

=1n

n

!nx (x>0)

Folosind criteriul lui D’Alembert 0dlim,1n

xa

ad nnn

1nn =

+==

∞→

+ şi deci (∀ ) x

seria converge.

3. ∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∞

=1n

n

nx!n , (x>0). Acum nn

n11

xd⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= şi exd =

Prin urmare:

1. dacă x<eïd<1 şi seria converge;

2. dacă x>eïd>1 seria diverge şi

3. dacă x=e caz de dubiu.

4. 1n2

1!!n2

!)!1n2(11n +

×∑−

+∞

=

Aplicând criteriul lui D’Alembert )1n2(n2

)1n2(d2

n +−

= rezultă d=1 şi deci dubiu.

Să aplicăm şi criteriul lui Raabe.

123r,

)1n2(21n6

)1n2(n2)1n2(1nr n

2

n >→+−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−=

şi deci seria este convergentă.

Nu toate seriile sunt cu termeni pozitivi. Seriile cu termenii pozitivi şi negativi

se numesc serii cu termeni oarecare iar seria a1-a2+a3-a4+...+(-1)n-1an+... (cu toţi ai>0)

se numeşte serie alternantă.

Pentru astfel de serii consideraţiile de mai sus nu mai sunt valabile (şirul

seriilor parţiale nu mai este, în general, monoton crescător).

Pentru serii cu termen oarecare are loc criteriul general de convergenţă a lui

Cauchy).

Page 54: Curs Matematica Final Anul I

54

Teorema 7.

Condiţia necesară şi suficientă ca seria (A) să conveargă este ca pentru orice

ε>0 să existe N aşa încât pentru n>N.

ε<++=− +++ mn1nnmn a...aAA

să aibă loc pentru orice m=1, 2, 3, ...

Rezultă de aici că ε<+1na adică an+1ö0 când nö¶.

Acest criteriu general este nepractic.

Un pas în rezolvarea problemei determinării naturii unei serii oarecare îl face

teorema următoare:

Teorema 8.

Dacă ∑∞

=1nna este convergentă atunci ∑

=1nna este convergentă.

Demonstraţie: Să folosim criteriul general de convergenţă a lui Cauchy. Fie

ε>0 şi ∑∞

=1nna convergentă; atunci n>N şi m=1, 2, 3,... avem ε<++ ++ mn1n a...a sau

ε<++<++ ++++ mn1nmn1n a....aa...a pentru n>N şi m=1, 2, ... şi deci ∑∞

=1nna este

convergentă.

Definiţia 4.

Seria ∑∞

=1nna pentru care seria ∑

=1nna este convergentă se numeşte absolut

convergentă.

Pentru seriile cu termeni oarecare în cazul în care ∑∞

=1nna este convergentă iar

seria modulelor termenilor este divergentă se spune că seri ∑∞

=1nna este serie

semiconvergentă.

Iată un exemplu:

...51

41

31

21

11

−+−+−

este o serie convergentă în timp ce seria modulelor termenilor este o serie divergentă.

Teorema 9.

Dacă 0alim nn=

∞→ şi ...aa 21 > atunci seria este convergentă. (Fără

demonstraţie).

Page 55: Curs Matematica Final Anul I

55

3.2. SERII DE FUNCŢII

Definiţia 5.

O serie de forma:

(1) ∑ ∈+++=∞

=0n

nn10

nn xa...xaaxa se numeşte serie de puteri (serie întreagă).

Numerele an se numesc coeficienţii seriei. Pentru anumite valori particulare ale lui x

se obţin serii numerice care pot fi convergente sau nu.

Mulţimea valorilor lui x în care seria considerată este convergentă se numeşte

domeniul de convergenţă al seriei. Acest domeniu poate fi finit sau nu. Pentru

determinarea acestui domeniu esenţială este:

Teorema 10.

Dacă există un număr A şi un x0 aşa fel ca Axa n0n < pentru orice n, atunci

seria ∑∞

=0n

nn xa este absolut convergentă pentru toate valorile lui x care verifică relaţia:

0xx <

Demonstraţie: Din convergenţa serie (1) pentru x0 urmează că orice sumă

parţială este mărginită şi deci şi Axa n0n < pentru un A oarecare. Fie x aşa fel ca

0xx < .

Putem scrie:

...xa...xaaxa nn10

0n

nn ++++=∑

=

iar n

0

n0n

nn x

xxaxa = şi termenii sunt mai mici ca

termenii corespunzători ai progresiei geometrice cu raţia 1xx

0

< . Convergenţa seriei

geometrice asigură seriei (1) absoluta convergenţă în x<x0.

Condiţia 0xx < echivalentă cu 00 xxx <<− arată că în general domeniul

de convergenţă este un interval cu centrul în origine şi deci are forma (-R, R). Pentru

x=≤R seria poate converge sau nu, iar pentru Rx > seria este divergentă. Numărul R

astfel definit se numeşte raza de convergenţă a seriei (1).

Observaţie: Termenul „rază” se justifică suplimentar în cazul în care x şi

eventual an sunt numere complexe. Consideraţii analoge asigură convergenţa pentru

Page 56: Curs Matematica Final Anul I

56

Rx < şi divergenţă pentru Rx > , cazurile de dubiu şi cele de „semi-convergenţă”

survenind când numărul complex x se plasează pe un cerc de rază R.

Pentru calculul razei de convergenţă observăm că aplicând criteriile lui

D’Alembert sau Cauchy se obţine:

nnn

alim1R

∞→

= sau 1n

n

n aalimR+

∞→=

Exemple.

Seria ∑∞

=0n

nx are raza de convergenţă R=1 şi deci intervalul de convergenţă (-1,

1), iar seria ∑∞

=0n

n

!nx are raza infinită şi deci este convergentă pe toată axa reală. Aflăm

de asemenea că ∑∞

=0n

nx!n are raza de convergenţă egală cu zero.

Dată o serie de puteri se pune în evidenţă posibilitatea definirii unei funcţii

definită pe domeniul de convergenţă şi cu valori în R. Se obişnuieşte să se spună că

această funcţie este suma seriei (1). Pentru a putea prezenta proprietăţi ale acestei

funcţii vom pune problema într-un cadru mult mai general.

În acest scop vom considera şirul de funcţii reale f1, f2,…, fn,… toate definite

pe domeniul D cu valori în R şi vom admite că pentru orice xœD şirul:

(2) f1(x), f2(x),…, fn(x),… are limită. Obţinem astfel o funcţie f: DöR pe care

o vom numi funcţia limită şi vom scrie:

(3) f(x)= )x(flim nn ∞→

Mai mult deci, dacă avem şirul de funcţii u1, u2,…, un,… suntem conduşi la

considerarea seriei:

(4) ∑∞

=

++++=1n

n21n ...)x(u...)x(u)x(u)x(u cu sumele parţiale date de fn(x)=

=u1(x)+u2(x)+…+un(x).

Dacă admitem că seria (4) converge în orice x din domeniul D de definiţie al

funcţiilor u1,…, un se obţine de fapt funcţia din (3).

De obicei interesează dacă anumite proprietăţi ale funcţiei f1, f2,… se transmit

funcţiei f.

Page 57: Curs Matematica Final Anul I

57

Definiţia 6.

Dacă:

1. Şirul (2) are în domeniu D limita f(x).

2. Pentru fiecare ε>0 există N(ε) astfel încât pentru n>N(ε), ε<− )x(f)x(fn

să aibă loc pentru orice xœD. Vom spune că (2) converge uniform la f(x).

Exemplu.

Orice serie de puteri este uniform convergentă pe intervalul său de

convergenţă.

În adevăr: să notăm cu rn(x)=an+1xn+1+a2xn+2+… expresie numită restul seriei.

Fie ε>0 şi x un punct oarecare din intervalul de convergenţă (-R, R). Să arătăm

că putem determina un rang N(ε) independent de x, aşa fel ca pentru x>N(ε) restul

seriei să îndeplinească condiţia:

ε<+= ++ ...xa)x(r 1n

1nn

Să alegem un x0 din (-R, R) aşa fel ca:

Rxx 0 <<

Din convergenţa seriei ∑∞

=0n

n0n xa în (-R, R) restul rn(x0) îndeplineşte condiţia:

ε<+= ++ ...xa)x(r 1n

01n0n începând cu un anumit rang n>N(ε).

Dar n0n

nn xaxa < aşa că putem scrie ε<)x(rn de la rang n>N(ε) oricare ar fi

xœ(-R, R).

Teorema 11.

Dacă u1, u2, u3,…, un … sunt definite şi continui pe [a, b] şi seria (2) converge

uniform la f atunci şi f este continuă pe [a, b].

Demonstraţie: Fie x0œ[a, b] atunci din f(x)=fn(x)+rn(x) rezultă că f(x0)=

=fn(x0)+rn(x0). De aici decurge:

)x(r)x(r)x(f)x(f)x(f)x(f 0nn0nn0 ++−≤−

Fie ε>0, se poate fixa n aşa încât 3

)x(rnε

< (∀ ) xœD.

Atunci din continuitatea funcţiei fn rezultă că dacă δ<− 0xx decurge

3)x(f)x(f 0nn

ε<− şi deci în concluzie ε<− )x(f)x(f 0 , adică tocmai teorema.

Page 58: Curs Matematica Final Anul I

58

Consecinţă: Dacă f este suma seriei ∑∞

=0n

nn xa unde xœ(-R, R), f este o funcţie

continuă.

Au de asemenea loc următoarele afirmaţii:

Teorema 12.

a) Dacă nnxxculim

0

=→

, n=1, 2,…, şi (2) converge uniform la f, atunci cclim nx=

∞→

şi c)x(flim0xx

=→

.

b) Dacă un, n=1, 2, 3,… este continuă pe [a, b] şi (2) converge uniform la f

atunci are loc:

∫ ∫ ∫ ++=b

a

b

a

b

a21 ...dx)x(udx)x(udx)x(f

c) Dacă un, n=1, 2,… sunt definite pe [a, b] şi există derivatele un’(x) şi (2)

converge uniform la f atunci:

∑∞

=

=1n

n )x('f)x('u

Consecinţă: O serie de puteri se poate deriva termen cu termen şi seria

obţinută este convergentă şi aceeaşi rază de convergenţă.

Observaţie: Fie seria f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn+….

Conform consecinţei precedente putem deriva termen cu termen şi vom obţine

serii noi cu aceeaşi rază de convergenţă.

Procedând astfel obţinem:

f’(x)=a1+2a2x+…

f’’(x)=2a2+…

De unde făcând x=0:

f(0)=a0, f’(x)=a1, f’’(x)=2a2…

şi deci f se scrie:

(5) ...)0(f!n

x...)0(''f!2

x)0('f!1x)0(f)x(f )n(

n2

+++++=

numită seria lui Mac-Laurin. Deci o funcţie f indefinită derivabilă se dezvoltă în serie

de puteri după formula lui Mac-Laurin.

Definiţia 7.

O funcţie care admite o dezvoltare în serie de puteri se numeşte funcţie

analitică.

Page 59: Curs Matematica Final Anul I

59

În practică alături de seria Mac-Laurin este folosită frecvent o serie care o

generalizează numită seria lui Taylor.

Vom prezenta mai întâi formula lui Taylor pentru un polinom de gradul n (mai

precis funcţia polinomială ataşată).

Fie f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn. Dorim să găsim coeficienţii A0, A1,…, An aşa

ca:

f(x)=A0+A1(x-x0)+A2(x-x0)2+…+An(x-x0)n unde x0 este o valoare reală fixată.

Evident f(x0)=A0, f’(x0)=A1, f’’(x0)=2A2,…, f(n)(x0)=n!An

Prin urmare avem:

(6) )x(r)xx(!n

)x(f...)xx(!1

)x('f)x(f)x(f nn

00

)n(

00

0 +−++−+=

numită formula lui Taylor pentru funcţia f în jurul lui x0.

Observaţii:

1. Dacă x0=0 din (6) se găseşte (5).

2. Restul rn(x) are diverse expresii şi are importanţă esenţială în calculul

valorii f în punctul x.

O expresie des întâlnită pentru rest este formula lui Lagrange:

1n)1n(

n x)!1n(

)x(f)x(r ++

=θ θœ(0, 1)

3. Dacă în (6) omitem rn se obţine o serie de forma:

∑∞

=

−0n

n0n )xx(a ,

!n)x(fa 0

)n(

n = numită serie Taylor.

Fiind tot o serie de puteri înseamnă că şi aici se pune problema determinării

razei de convergenţă.

Raţionând analog ca mai sus asupra seriei:

|C0|+|C1||x-a|+|C2||x-a|2+…+|Cn||x-a|n+…

se obţine R şi deci convergenţa va fi asigurată pentru |x-a|<R adică a-R<x<a+R şi deci

în acest caz domeniul de convergenţă este de forma: (a-R, a+R).

De exemplu, fie ∑∞

=

+

1nn

n

2n)1x( . Obţinem

21x

uu

limn

1n

n

+=+

∞→ şi deci seria

converge pentru 12

1x<

+ de unde –3<x<1.

Exemple de funcţii dezvoltate în serii de puteri.

Page 60: Curs Matematica Final Anul I

60

1) Rx...!n

x...!2

x!1x1e

n2x ∈++++=

2) 1x...x...xx1x1

1 n2 <+++++=−

3) 1x...nx)1(...

3x

2xx)x1ln(

n1n

32

<+−+−+−=+ −

4) Rx...x)1n2(

1)1(...x!5

1x!3

1xxsin 1n21n253 ∈++

−+++−= ++

5) Rx...x)!n2(

1)1(...x!4

1x!2

11xcos n2n242 ∈+−+++−=

3.3. FUNCŢII DE MAI MULTE VARIABILE

1. Generalităţi

Foarte multe probleme practice şi mai ales din domeniul cercetării economice

şi sociale impun folosirea unor funcţii care depind de mai multe variabile. Funcţiile de

mai multe variabile se definesc analog cu funcţiile de o variabilă. Fie DÕRn. Orice

aplicaţie f: DöR se numeşte funcţie de n variabile. Vom nota ca de obicei imaginea

punctului (x1, x2,…, xn) prin f(x1, x2,…, xn), iar mulţimea D o vom numi domeniul de

definiţie.

Observaţie: Pentru înţelegerea celor ce urmează precizăm că domeniul D din

Rn poate fi dat în foarte multe moduri în funcţie de n şi de problemă. De cele mai

multe ori mulţimile de puncte se dau prin punctele unui paralipiped dreptunghic dat

prin condiţii de forma:

a1§x1§b1, a2§x2§b2,…, an§xn§bn

Pentru n=2 se obţine dreptunghiul; n=3 paralipipedul dreptunghic ş.a.m.d..

Dacă se exclud egalităţile se obţin domeniile deschise, analoagele intervalelor

deschise.

Pentru n=2 domeniul deschis se poate da prin a<x<b, c<y<d.

Numind vecinătatea unui punct n0(x10, x2

0,…, xn0) orice paralelipiped deschis

rezultă că o vecinătate simetrică sau cub se poate descrie prin: x10-δ<x1

0<x10+δ,…, xn

0-

δ<xn0<xn+δ (δ>0). Un punct M cu coordonatele satisfăcând condiţiile precedente se

numeşte punct interior vecinătăţii.

Domeniile şi vecinătăţile pot fi descrise şi cu ajutorul sferei n – dimensionale.

Page 61: Curs Matematica Final Anul I

61

Dacă punctul (x1, x2,…, xn) îl notăm cu M atunci z=f(x1,…, xn) se notează cu

z=f(M) numindu-se chiar funcţie de punct.

Definiţia 8.

Se spune că funcţia f(x1,…, xn)=f(M) are limita A pentru cazul în care M tinde

la M0(a1,…, an) dacă oricum am alege M1, M2,…, Mp,… (Mi∫M0) un şir de puncte

care să conveargă la M0 şirul f(M1), f(M2),…, f(Mp),… converge la A.

Acest fapt se notează prin:

)M(flimA0MM→

= sau )x,...,x(flimA n1

ax........

ax

nn

1

→=

Deci pentru cazul a două variabile dată funcţia z=f(x, y) spunem că f(x, y) tinde

către o limită A, dacă pentru orice număr pozitiv ε, oricât de mic, putem determina un

număr δ, astfel încât pentru |x-a|<δ, |y-b|<δ să rezulte:

|f(x, y)-A|<ε

Vom nota ca şi mai sus prin A)y,x(flimbyax

=→→

Definiţia 9.

Se spune că funcţia z=f(M) este continuă în punctul M0 din D dacă:

)M(f)M(flim 0MM 0

=→

Observaţie: Atunci când scriem )b,a(f)y,x(flimbyax

=→→

vom considera că x şi y

tind independent unul de altul la a, b. Acest fapt este valabil în general.

Această observaţie se impune deoarece dacă îl fixăm pe y şi facem xöa

obţinem )y()y,x(flimax

ϕ=→

. Făcând apoi yöb se obţine )y,x(flimlim))y((limaxbyby →→→

=ϕ .

Analog putem obţine )y,x(flimlimbyax →→

. Asemenea limite se numesc limite iterate

(repetate) pe când cealaltă se numeşte limită dublă (globală).

În general limitele iterate nu sunt egale şi chiar dacă ar fi limita globală poate

nici să nu existe.

Are loc afirmaţia: dacă există limita globală )y,x(flimAbyax

→→

= şi pentru orice y

există limita în raport cu x, )y,x(flim)y(ax→

=ϕ atunci există limita iterată:

)y,x(flimlim))y((limaxbyby →→→

şi este egală cu limita globală.

Page 62: Curs Matematica Final Anul I

62

Teorema 13.

Dacă z=f(x, y) este continuă atunci ea este continuă în raport cu fiecare

variabilă separat.

Demonstraţie: Considerăm cazul n=2. Dacă funcţia este continuă în (a, b)

atunci făcând y=b avem:

)b,a(f)b,x(flimax

=→

şi făcând x=a

)b,a(f)y,a(flimby

=→

.

Reciproc nu este adevărat. O funcţie continuă separat în raport cu x şi separat

în raport cu y nu este continuă ca funcţie de două variabile.

Aşa de exemplu: yxyx)y,x(f

+−

= este continuă ca funcţie de x în origine şi

1)y,x(flim0x

−=→

. Ca funcţie de y de asemenea şi 1)y,x(flim0x

=→

pe când în (0, 0)

f(x, y) nu există.

2. Derivate parţiale. Extreme.

Proprietăţile învăţate la funcţiile de o variabilă se extind la cazul a n –

variabile considerând formulări adecvate. Această analogie ne sugerează să punem şi

problema derivării.

Fie z=f(x, y) definită pe (D), ⎩⎨⎧

≤≤≤≤

11

11

byabxa

şi (a, b)œD.

Dacă privim y ca o constantă sau facem y=b, z devine o funcţie de o singură

variabilă. Derivata acesteia dacă există în x=a se numeşte derivata parţială în raport cu

x a funcţiei f(x, y) în (a, b).

Se notează cu xf∂∂ . Dacă xœ[a1, b1] şi x

f∂∂ există pentru orice x se obţine o

nouă funcţie, funcţia derivată parţială de ordinul unu în raport cu x.

Analog se poate proceda şi cu y.

Exemple:

Să se calculeze derivatele parţiale pentru:

1) f(x, y)=3axy-x3-y3,

2x3ay3xf

−=∂∂

2y3ax3yf

−=∂∂

Page 63: Curs Matematica Final Anul I

63

2) 22

2

yxyx)y,x(f

+= ,

222

3

)yx(xy2

xf

+=

∂∂

222

222

)yx()yx(x

yf

+−

=∂∂

Pentru n=3, 4,… raţionându-se la fel se obţin derivate parţiale în raport cu

fiecare variabilă.

Derivatele parţiale fiind şi ele funcţii de mai multe variabile se pot defini

derivatele lor parţiale (dacă există). Se obţin astfel derivate parţiale de ordinul doi ale

funcţiei iniţiale iar derivarea lor ne va conduce la derivate parţiale de ordinul trei

ş.a.m.d.. Derivatele parţiale de ordin superior se obţin pe o cale inductivă

asemănătoare cu situaţia de la funcţiile de o singură variabilă.

Se obţin deci xyf,

yxf,

yf,

xf 22

2

2

2

2

∂∂∂

∂∂∂

∂∂

∂∂ . Ultimele două se numesc şi derivate

parţiale mixte. În general derivatele parţiale mixte nu coincid, egalitatea lor are loc

numai dacă acestea sunt continue ca funcţii de x şi y.

Fie f:(a, b)öR o funcţie derivabilă în x0œ(a, b).

După cum ştim urmărind să evaluăm creşterea unei funcţii f, de o variabilă am

fost conduşi la:

f(x)-f(x0)@(x-x0)f’(x0)

Adică în vecinătatea lui x0 Df@f’(x0) Dx unde Df=f(x)-f(x0) şi Dx=x-x0.

Am numit diferenţiala lui f în x0 aplicaţia T: RöR, T(h)=f’(x0)h. De obicei

aplicaţia T se notează df(x0). Prin urmare avem df(x0)(h)=f’(x0)h. Deoarece pentru

f(x)=x, f’(x0)=1 şi dx(x0)(h)=h pentru hœR rezultă:

df(x0)=f’(x0)μdx(x0)

Dacă f este derivabilă în orice x0œ(a, b) relaţia precedentă se scrie:

df=f’(x)μdx.

Dacă revenim la variaţia funcţiei f obţinem:

Df@f’(x0)μdx=df(x0)(Dx)

din care constatăm că diferenţa lui f aproximează variaţia lui f. Pentru cazul mai

multor variabile (de exemplu două) z=f(x, y) se introduce noţiunea de diferenţială

totală.

Page 64: Curs Matematica Final Anul I

64

Definiţia 10.

Se numeşte diferenţială totală a funcţiei f expresia:

dyyfdx

xfdz

∂∂

+∂∂

=

Pentru trei variabile expresia corespunzătoare este asemănătoare. Ca şi la

funcţiile de o variabilă şi în cazul general al mai multor variabile diferenţiala totală se

poate folosi la aproximarea variaţiei funcţiei atunci când se trece de la un punct la un

punct vecin. Facem observaţia că dz este tot o funcţie de variabile x, y şi deci iarăşi ne

pune problema diferenţialei totale numită diferenţială totală de ordinul doi.

Presupunând existenţa derivatelor parţiale secunde şi egalitatea celor mixte avem:

22

222

2

2

2

222

2

2

2

dyy

fdxdyyxf2dx

xf

dydyy

fdxxyfdxdy

yxfdx

xf

dyyfddx

xfddy

yfdx

xfd)dz(dzd

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

∂+⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

∂+

∂∂

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

==

Inductiv putem defini dnz=d(dn-1z).

Observaţie: Se convine ca f din expresia diferenţialei de ordinul I să se scrie

în afara unei paranteze obţinându-se un binom formal care apoi se comportă chiar ca

un binom la diferite puteri. Avem:

fdyy

dxx

dz ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

Atunci: fdyy

dxx

zd)2(

2⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

=

O formă analoagă întâlnim la 3, 4,…, n variabile. Dacă (x, y) este dintr-o

vecinătate a lui (a, b) atunci are loc egalitatea:

...)b,a(fd!n

1...)b,a(fd!2

1)b,a(df)b,a(f)y,x(f n2 +++++=

cunoscută sub numele de formula lui Taylor pentru funcţii de mai multe variabile.

(Fără demonstraţie).

Definiţia 11.

Se spune că punctul M0(x0, y0) este un punct de extrem pentru funcţia z=f(x, y)

dacă pentru o întreagă vecinătate a lui M0 diferenţa f(x, y)-f(x0, y0) îşi păstrează un

Page 65: Curs Matematica Final Anul I

65

semn constant. Dacă f(x, y)-f(x0, y0)¥0 extremul se numeşte punct de minim, iar dacă

f(x, y)-f(x0, y0)§0 extremul se numeşte punct de maxim.

Teorema 14.

Dacă funcţia f(x, y) are un maxim sau minim în M0 acelaşi lucru este adevărat

şi pentru funcţia f(x0, y), f(x, y0).

Demonstraţie: Din f(x, y)-f(x0, y0)¥0 pentru orice M(x, y) din vecinătatea lui

M0(x0, y0) rezultă f(x, y0)-f(x0, y0)¥0 şi analog f(x0, y)-f(x0, y0)¥0 şi deci M0 este extrem

de acelaşi fel pentru funcţiile de o variabilă obţinute.

Consecinţă: În conformitate cu teorema lui Femat rezultă:

0)y,x(xf

00 =∂∂ şi 0)y,x(

yf

00 =∂∂

Anularea derivatelor parţiale de ordinul I într-un punct (x0, y0) reprezintă

condiţiile necesare dar nu şi suficiente de extrem.

Ca şi la funcţiile de o variabilă soluţiile sistemului format din anularea

derivatelor parţiale de ordinul I le vom numi puncte critice.

Să notăm cu 2

22

2

2

yfC,

yxfB,

xfA

∂∂

=∂∂

∂=

∂∂

= în (x0, y0)

Teorema 15.

Condiţia suficientă ca un punct critic să fie punct de extrem este ca B2-AC<0.

Dacă A<0 (C<0) punctul este de maxim iar dacă A>0 (C>0) punctul este de minim.

Demonstraţie: Fie M0(x0, y0) un punct critic. Urmează că (x0, y0) este soluţie

pentru sistemul:

0xf=

∂∂ 0

yf=

∂∂

Pentru M0 formula lui Taylor se scrie:

...)y,x(fd!2

1)y,x(df)y,x(f)y,x(f 002

0000 +++=

Deci ...)y,x(fd!2

1)y,x(df)y,x(f)y,x(f 002

0000 ++=−

Dar 0dy)y,x(yfdx)y,x(

xf)y,x(df 000000 =

∂∂

+∂∂

= . Deci rămâne:

...)y,x(fd!3

1)y,x(fd!2

1)y,x(f)y,x(f 003

002

00 ++=−

Semnul diferenţei va fi dat de semnul termenului d2f(x0, y0).

Page 66: Curs Matematica Final Anul I

66

Dar:

22

222

2

2

002 dy

ffdxdy

yxf2dx

xf)y,x(fd

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

= şi deci:

22

222

2

2

002 dy

ffdxdy

yxf2dx

xf)y,x(fd

∂∂

+∂∂

∂+

∂∂

=

sau [ ]CBt2Atdy)y,x(fd 2200

2 ++= unde dydxt =

Dacă B2-AC<0 rezultă că trinomul din paranteză are rădăcini complexe şi deci

pentru orice t are semnul lui A şi deci concluzia din teoremă.

Observaţii:

1) Dacă dădeam factor pe dx2, rolul lui A era preluat de C.

2) A şi C au acelaşi semn deoarece B2-AC<0öB2<AC adică AC>0.

3) Dacă B2-AC>0 trinomul îşi schimbă semnul deci M0 nu este extrem.

4) Dacă B2-AC=0 nu putem decide (avem caz de dubiu).

Exemplu:

Fie z=x3+3xy3-15x-12y. Să se afle extremele lui z.

Formăm sistemul 0xz=

∂∂ , 0

yz=

∂∂ . Se obţine:

⎩⎨⎧

=−=−+

02xy05yx 22

cu soluţiile (1, 2), (2, 1), (-1, -2), (-2, -1).

Făcând derivatele secunde şi calculând A, B, C aflăm că primul punct nu este

punct de extrem, al doilea este minim şi ultimul punct de maxim.

Evident că teorema 15 are loc numai pentru două variabile. Pentru mai multe

variabile termenul din paranteză care decide semnul diferenţei nu mai este un trinom

ci un polinom care duce la studiul unor forme pătratice. Deci dacă forma pătratică

obţinută este pozitiv definită punctul critic este extrem, dacă este negativ definită este

extrem iar când nu este definită punctul nu este de extrem.

3. Metoda celor mai mici pătrate.

În numeroase cazuri suntem conduşi la situaţii în care trebuie să stabilim

corelaţia (legitatea) între două mulţimi de date care reprezintă cauze şi efecte într-un

anume cadru.

Fie datele:

Page 67: Curs Matematica Final Anul I

67

x x1 x2… xn y y1 y2… yn

Admitem că funcţia căutată este de forma y=ax+b cu a, b necunoscuţi. Să

notăm cu baxy ii += şi cu iii yy −=ε . Numind εi – erorile datorate unor cauze

întâmplătoare putem spune că dorim a, b aşa fel ca erorile să fie cât mai mici. Practica

arată că acest lucru se realizează atunci când suma pătratelor erorilor este cât mai

mică. Fiind pozitive suma va fi minimă când pătratele vor fi cele mai mici. Deci aşa

se justifică numele metodei. Deci urmărim .minn

1i

2i =∑

=

ε Înlocuind se obţine:

( ) .minybax)b,a(En

1i

2ii =−+=∑

=

Formând sistemul:

0aE=

∂∂ , 0

bE=

∂∂

obţinem:

( )

( )⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=−+

=−+

∑∞

=

=

1iii

n

1iiii

2i

0ybax

0yxbxax

sau

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎞⎜⎝

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎞⎜⎝

∑∑∑

∑∑∑

===

===

n

1ii

n

1i

n

1ii

n

1iii

n

1ii

n

1i

2i

yb1ax

yxbxax

Acest sistem ne dă a, b şi deci funcţia dorită. Dacă y=ax2+bx+c se procedează

pe o cale asemănătoare. În primul caz se mai spune că se face ajustarea datelor cu

ajutorul unei drepte iar al doilea cu ajutorul unei parabole.

Exemplu:

Să se facă ajustarea liniară a datelor:

x 0 1 2 3 4 5 y -4 -1 2 2 6 7

Page 68: Curs Matematica Final Anul I

68

Vom aşeza datele pe coloane deoarece oferă avantaje:

xi yi xi2 xiyi

0 -4 0 0 1 -1 1 -1 2 2 4 4 3 2 9 6 4 6 16 24 5 7 25 35 15 12 55 68

În partea de jos sunt trecute sumele necesare. Sistemul va fi:

⎩⎨⎧

=+=+12b6a1568b15a55

cu soluţia 724b

3576a −== . Deci legătura căutată este dată de:

724x

3576y −=

3.4. ECUAŢII DIFERENŢIALE

Sunt foarte numeroase situaţiile când studiul unor probleme matematice,

economice, biologice, mecanice etc. ne conduce la rezolvarea unor ecuaţii în care

necunoscuta este o funcţie. O astfel de ecuaţie se numeşte ecuaţie funcţională. O

categorie aparte de ecuaţii funcţionale o constituie acele ecuaţii funcţionale în care

apar şi unele derivate ale funcţiei necunoscute, ecuaţii care se numesc ecuaţii

diferenţiale.

Prezentăm în continuare două exemple.

I. Modelul matematic al creşterii populaţiei.

Să considerăm populaţia unei specii, populaţiei la care nu se înregistrează nici

imigrări, nici emigrări. Dorim să punem în evidenţă o funcţie care, în raport cu timpul,

să descrie variaţia numărului de indivizi ai populaţiei. Fie y=f(t) această funcţie, ale

cărei valori reprezintă numărul de indivizi din colectivitate la momentul t. Având în

vedere interpretarea derivatei întâi a unei funcţii, urmează că derivata întâi a funcţiei f

în raport cu t (notată tot y’=f’(t)) ne oferă viteza de creştere a populaţiei. Pe de altă

parte însă, această viteză de creştere este, de fapt, tocmai diferenţa dintre rata

natalităţii şi rata mortalităţii, diferenţă care se poate admite că este proporţională cu

Page 69: Curs Matematica Final Anul I

69

numărul indivizilor populaţiei, adică cu f(t). Prin urmare, funcţia căutată verifică o

condiţie de forma:

(*) y’=ky

unde k este constanta de proporţionalitate.

Aşadar, modelul matematic pe care l-am găsit este caracterizat de o ecuaţie

care conţine atât funcţia necunoscută y, cât şi prima sa derivată y’.

Din (*) obţinem kydtdy

= sau kdty

dy= , unde obţinem mai departe:

ln y=kt+c¨y(t)=ekt+c¨y(t)=ecekt

care nu este altceva decât legea lui Malthus de creştere a populaţiei.

II. Dobânda simplă continuă.

Orice proces economic antrenează numeroase fenomene, unele dintre ele

putând fi exprimate sub aspect cantitativ, valoric, prin utilizarea sumelor de bani. De

exemplu, procesul de producţie dintr-o unitate economică se poate urmări cu ajutorul

valorii realizate într-o anumită perioadă. Orice fenomen care se desfăşoară în timp şi

se exprimă în bani poartă numele de operaţie financiară, cantitatea de bani care

intervine în operaţia financiară respectivă numindu-se sumă. Dar este evident, pe de

altă parte, că suma intrată într-o operaţie financiară variază în timpul desfăşurării,

evoluţiei, fenomenului economic respectiv. Variaţia unei sume de bani într-un interval

de timp se numeşte dobândă, operaţia financiară respectivă numindu-se operaţie de

dobândă. Dacă se notează dobânda cu D, suma iniţială cu s, iar timpul cu t, modelul

matematic al reproducţiei simple ne arată că D=kst, factorul de proporţionalitate k

determinându-se imediat dacă luăm s=1, t=1. Obţinem deci k=D=constant, adică

factorul de proporţionalitate este dobânda sumei de o unitate bănească într-o unitate

de timp.

În practică se ia t=1 an, situaţie în care factorul de proporţionalitate se notează

cu i şi se numeşte dobândă unitară anuală, lucrându-se cu relaţia D=ist.

Aplicarea practică a operaţiei de dobândă simplă asupra sumei s este legată de

unitatea de timp, dobânda calculându-se la sfârşitul perioadei. O analiză atentă a

fenomenului ne arată însă că variaţia sumei nu are loc, de fapt, în mod discontinuu, şi

deci D este o funcţie de timpul t: D(t).

Pentru o variaţie infinitezimală a timpului obţinem deci:

(**) dD(t)=ksdt

Page 70: Curs Matematica Final Anul I

70

(unde df notează diferenţiala funcţiei f, relaţia (**) fiind o ecuaţie în care necunoscuta

este funcţia D(t), şi care intervine în ecuaţie prin intermediul diferenţialei sale.

Definiţia 15.

O ecuaţie care în afara variabilei independente conţine şi o funcţie necuno-

scută şi derivate ale sale se numeşte ecuaţie diferenţială. De exemplu y’=x, y’’=0, etc..

A rezolva e ecuaţie diferenţială, înseamnă a găsi toate funcţiile y=f(x) care

satisfac ecuaţia dată.

Pentru primul exemplu C2xy

2

+= reprezintă mulţimea tuturor soluţiilor.

Soluţia indicată se numeşte soluţia generală. Dacă fixăm o valoare pentru C,

de exemplu C=0, vom obţine 2xy

2

= numită soluţie particulară.

În concluzie, ecuaţia diferenţială are forma F(x, y, y’,..., y(n))=0. Ordinul

maxim al derivatei care intervine în ecuaţie se numeşte ordinul ecuaţiei.

Ecuaţiile din exemplu au ordinul unu respectiv ordinul doi.

Să ne ocupăm puţin de ecuaţii diferenţiale de ordinul unu.

Forma generală a unei astfel de ecuaţii este:

(1) F(x, y, y’)=0 sau

(2) y’=f(x, y)

Dacă în (2) funcţia f nu depinde de y ecuaţia devine y’=f(x).

În acest caz determinarea soluţiilor ecuaţiei este de fapt problema

fundamentală a calculului integral, adică:

∫ +== c)x(dx)x(fy ϕ

unde j este o primitivă.

Deoarece rezolvarea unei ecuaţii diferenţiale, în general, presupune una sau

mai multe operaţii de integrare vom spune că integrăm ecuaţia diferenţială.

Aşa cum am văzut soluţia generală va conţine una sau mai multe constante.

Fiecare integrare va duce o nouă constantă şi evident că numărul lor este egal

cu ordinul ecuaţiei. De exemplu y’’=2 ne dă y’=2x+c1 şi apoi y=x2+c1x+c2.

Există câteva tipuri de ecuaţii care se pot integra cu uşurinţă.

1) Ecuaţii cu variabile separabile

Admitem că (2) f(x, y)=f1(x)μf2(y) adică y’=f1(x) μf2(y)

Dacă avem în vedere că dxdy'y = obţinem

dxdy = f1(x)μf2(y)

Page 71: Curs Matematica Final Anul I

71

De aici: dx)x(f)y(f

dy1

2

=

Constatăm că am reuşit să separăm variabilele y şi x.

De aici integrarea se face membru cu membri, după care se află y.

Observaţie:

O ecuaţie de forma:

(3) P(x, y)dx+Q(x, y)dy=0

este şi ea în anumite cazuri cu variabile separabile.

În adevăr, dacă P(x, y)=P1(x)μP2(y) şi Q(x, y)=Q1(x)μQ2(y) obţinem imediat:

dx)x(Q)x(Pdy

)y(P)y(Q

1

1

2

2 −=

adică variabilele s-au separat.

Este normal ca o ecuaţie să se numească cu variabile separabile dacă este ca

cele din formulele (2), (3) de mai înainte.

Exemple:

1) xy'y = . Avem

xy

dxdy

= sau x

dxy

dy= , ln|x|=ln|x|+c1

Dacă c1=ln c obţinem |y|=c|x|.

2) Ecuaţia xyy’=1-x2 se scrie

dxxx1ydy

2−=

adică variabilele independente s-au separat.

În continuare:

∫ ∫ +−

= Cdxxx1ydy

2

2) Ecuaţii omogene.

Se spune că o ecuaţie de ordinul I este omogenă dacă se poate scrie în forma:

(4) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyf'y

Metoda de rezolvare constă în schimbarea funcţiei necunoscute y cu una nouă

dată de relaţia:

(5) txy= sau y=tx

De aici obţinem y’=t+t’x.

Page 72: Curs Matematica Final Anul I

72

Înlocuind în (4) obţinem:

t+t’x=f(t)

Aceasta este o ecuaţie cu variabile separabile. În adevăr avem:

t’x=f(t)-t sau t)t(fxdxdt

−= care dă:

(6) x

dxt)t(f

dt=

Din (6) aflăm t şi apoi y=tx.

Exemplu: xy’=x+y

Împărţind cu x obţinem xy1'y += . Deci este omogenă. Să schimbăm funcţia y

cu t prin txy= sau y=txöy’=t+xt’. Avem t+xt’=1+t sau xt’=1.

Această ecuaţie cu variabile separabile se scrie dxx1dt = şi deci:

t=ln|x|+ln c

t=ln c|x| şi deci y=x ln c|x|.

3) Ecuaţii diferenţiale reductibile la ecuaţii omogene

Să considerăm o ecuaţie de forma:

(7) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=pnymxcbyaxf'y cu c, p∫0

Cazul 1. Sistemul ⎩⎨⎧

=++=++

0pnymx0cbyax

are soluţie unică (x0, y0).

Atunci (8) ⎩⎨⎧

=++=++

0pnymx0cbyax

00

00

Schimbăm şi variabila x şi funcţia y prin relaţiile:

(9) ⎩⎨⎧

+=+=

0

0

yvyxux

Relaţii (8) dau: y’=v’ şi deci din:

( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛++++++++

=pyvnxumcyvbxuaf'v

00

00

Dacă avem în vedere (8) rămâne:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

=nvmubvauf'v

Page 73: Curs Matematica Final Anul I

73

În membrul doi sub f împărţim cu u şi avem:

⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜

+

+=

uvnmuvba

f'v

Aceasta arată că am ajuns la o ecuaţie omogenă care se integrează ca mai

înainte.

Cazul 2. Sistemul considerat nu este compatibil determinat.

Atunci 0nmba

= şi a=mk, b=nk.

Înlocuind în (7) obţinem:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=pnymxcnkymkxf'y sau

(10) ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=pnymx

cnymxkf'y

Suntem conduşi să considerăm o funcţie nouă prin u=mx+ny.

Ea ne dă u’=m+ny sau n

m'u'y −= .

Înlocuind în (10) obţinem:

)u(gpuckuf

nm'u

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

=−

Aceasta este ecuaţia cu variabile separabile deoarece se scrie: u’=m+ng(u) sau

dx)u(ngm

du=

+ care se integrează obişnuit şi ne dă u şi din relaţia de schimbare se

obţine z.

4) Ecuaţia diferenţială de ordinul I

O astfel de ecuaţie are forma:

(11) y’+P(x)y=Q(x)

În cazul în care Q(x)=0 se obţine o ecuaţie omogenă (fără termen liber)

ataşată.

Integrarea ecuaţie (11) se poate face cu ajutorul ecuaţiei omogene:

(12) y’+P(x)=0

Aceasta se scrie:

Page 74: Curs Matematica Final Anul I

74

dxdy =-P(x) sau

ydy = -P(x)dx

care are variabilele separate şi ne dă ∫ +−= clndx)x(Pyln sau ∫=− dx)x(P

cey .

În ce le din urmă vom admite că y>0 şi formula devine:

(13) ∫=− dx)x(P

cey

Aceasta este soluţie generală a ecuaţiei (12).

Pentru a integra ecuaţia (11) căutăm o soluţie de forma:

(14) ( ) ∫=− dx)x(P

excy

unde c este o funcţie ce urmează a fi determinată.

Derivând (14) obţinem:

( ) ( ) ( ) ∫−∫=−− dx)x(Pdx)x(P

excxPex'c'y

Înlocuind în (11) avem:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )x(QexcxPexcxPex'cdx)x(Pdx)x(Pdx)x(P=∫+∫−∫ −−−

sau

( ) )x(Qex'cdx)x(P=∫−

Aceasta are variabilele separabile şi ne dă:

( ) ( ) 1dx)x(P cdxexQxc +∫∫=

Cu aceasta avem soluţia generală a ecuaţiei (11) dacă înlocuim în (14).

Exemplu:

Să se integreze: 0y,xxy'y 2 >=+

Considerăm ecuaţia omogenă ataşată: 0xy'y =+ sau

xy

dxdy

−= sau x

dxy

dy−= .

Obţinem clnxlnyln +−= sau xcy = .

Pentru ecuaţia dată încercăm o soluţie de forma ( )xxcy = .

Derivând avem:

( ) ( )2x

xcxx'c'y −=

Înlocuind în ecuaţia propusă se ajunge la c’(x)=x3 care dă:

Page 75: Curs Matematica Final Anul I

75

( ) 1

4

c4xxc +=

aşa dar soluţia generală este:

xc

4xy 1

3

+=

5) Ecuaţia lui Bernoulli

Această ecuaţie are forma:

(15) y’+P(x)y=Q(x)ya unde aœR\{0,1}

pentru a=0, 1 se obţin ecuaţii cunoscute.

Împărţind (15) cu ya obţinem:

)x(Qy

)x(Py

'y1 =+ −αα

Să considerăm o funcţie nouă dată de:

u=y1-a

Aceasta dă:

u’=(1-a)y-aμy’

Prin înlocuire mai sus avem:

)x(Qu)x(P1

'u=+

−α

Am ajuns la o ecuaţie liniară neomogenă care este cunoscută.

6) Ecuaţia diferenţială de ordinul doi cu coeficienţi constanţi

O astfel de ecuaţie are forma:

(16) y’’+py’+qy=f(x)

Dacă f(x) ecuaţia se numeşte omogenă şi neomogenă în caz contrar.

Şi aici se porneşte de la ecuaţia omogenă (17) y’’+py’+qy=0.

Pentru rezolvare se pleacă de la observaţia că mulţimea soluţiilor ecuaţiei (17)

este un subspaţiu liniar de dimensiunea doi în mulţimea funcţiilor derivabile.

Pentru a găsi soluţia generală este suficient să indicăm o bază. Pentru a găsi o

astfel de bază se procedează astfel. Presupunem că soluţia ecuaţiei (17) este forma

y=erx cu rœR. Atunci y’=rerx, y’’=r2erx.

Înlocuind în (17) obţinem:

erx[r2+pr+q]=0

Deci soluţia de mai sus trebuie să aibă r o rădăcină a ecuaţiei.

r2+pr+q=0

Page 76: Curs Matematica Final Anul I

76

Deosebim trei cazuri:

1) Ecuaţia are rădăcini distincte r1, r2 atunci se obţin xr1

1ey = , xr2

2ey = care

sunt independente. Deci soluţia generală este: xr

2xr

121 ececy += c1, c2œR

2) Ecuaţia are rădăcinile r1, r1. În acest caz xr1

1ey = , xr2

1xey =

3) În fine, dacă rădăcinile sunt complexe r1=a+ib, r2=a-ib, atunci baza este

formată din:

y1=eaxcos bx şi y2=eaxsin bx

Rezolvarea ecuaţiei neomogene se face numai în cazuri speciale ale funcţie f.

Exerciţii:

1) Precizaţi natura seriilor:

a) ( )∑−∞

=1nn

2

1n2 b) ∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−∞

=1n

n

1n21n c) 0a

n!na

1nn

n

>∑∞

=

2) Să se dezvolte 2x3x

1)x(f n +−= după puterile lui x+3.

3) Să se precizeze domeniul de convergenţă pentru seriile:

a) ∑∞

=1nnx!n

1 b) ∑+

=1n

nx2n

n2 c) ( )( )∑

+−∞

=1nn

n

21n22x

4) Să se afle extremele funcţiilor:

a) z=(x-1)2+2y2

b) z=x2+xy+y2-2x-y

c) z=x4+y4-2x2+4xy-2y2

5) Folosind metoda celor mici pătrate să se stabilească corelaţia dintre datele:

a)

x -2 0 1 3 4 y 1 2 3 4 5

b)

x 1 2 3 4 5 y 7 1 1 2 5

6) Să se integreze ecuaţiile diferenţiale:

a) x2(y-1)y’+(x-1)y=0

b) xy’=xex+y+x

c) (2x+3y+1)y’+(x+2y-5)=0

Page 77: Curs Matematica Final Anul I

77

d) 1xy'y −=

e) xxy

dxdy

=−

f) 2xy y’-y2+x=0

g) y’’-5y’+6y=0

h) y’’-4y’+4y=0

i) y’’+4y’+13y=0