Curs Matematica Si Statistica

Embed Size (px)

Text of Curs Matematica Si Statistica

  • 3

    Cuprins Cursul 1 FUNCII REALE DE O VARIABIL REAL 5

    Cursul 2 IRURI I SERII DE NUMERE REALE 13

    Cursul 3 FUNCII REALE DE MAI MULTE VARIABILE

    REALE

    21

    Cursul 4 ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL I 35

    Cursul 5 ECUAII DIFERENIALE DE ORDIN SUPERIOR 43

    Cursul 6 SISTEME DE COORDONATE N PLAN 53

    Cursul 7 ALGEBR VECTORIAL 57

    Cursul 8 DREAPTA I PLANUL N SPAIU 65

    Cursul 9 CALCUL INTEGRAL (I) 79

    Cursul 10 CALCUL INTEGRAL (II) 85

    Cursul 11 EVENIMENTE. PROBABILITI 93

    Cursul 12 VARIABILE ALEATOARE 99

    Cursul 13 PRELUCRAREA STATISTIC A DATELOR

    EXPERIMENTALE

    111

    Cursul 14 TEORIA SELECIEI 127

    Bibliografie 137

  • 4

  • 5

    Cursul 1

    FUNCII REALE DE O VARIABIL REAL

    Cuvinte cheie: Derivata i difereniala, Formulele lui Taylor i Mac-Laurin

    FUNCII REALE DE O VARIABIL REAL

    A.

    Derivata i difereniala de ordinul I i superior pentru funcii reale de o

    variabil real. Formulele lui Taylor i Mac-Laurin

    Funcii derivabile

    Definiie Fie f: IR o funcie real definit pe un interval din R i x0I. Funcia

    f este derivabil n x0 dac raportul ( ) ( )

    0

    0

    xxxfxf

    -- are n x0 limit finit. Aceast

    limit se numete derivata funciei n punctul x0 i avem notaia:

    ( ) ( ) ( )0

    0

    xx0 xxxfxflimxf

    0 --

    =

    Observaie Pentru f '(x0) mai avem urmtoarele notaii:

    dx)x(df 0 , Df(x0), fx(x0).

    Teorem Dac f : IR este derivabil n x0I atunci ea este continu n x0.

    Demonstraie Avem egalitatea :

    f (x) = f (x0) + ( ) ( )

    0

    0

    xxxfxf

    -- (x-x0)

    n care aplicm limx x 0

    , " xI, x x0 i avem:

    )x(f)x(flim 0xx 0=

    deoarece f'(x0)(x-x0) x x 0 0,

    deci funcia f este continu n x0I.

  • 6

    Operaii cu funcii derivabile

    Teorem Dac f,g:IR sunt derivabile n x0I atunci i suma f + g este

    derivabil n x0I i " xI avem relaia:

    [ ]f x g x( ) ( )+ ' x = x0 = f'(x0) + g'(x0) Teorem Dac f, g sunt derivabile n x0I, atunci fg este derivabil n x0I i

    avem pentru xI, [ ] 0xx)x(g)x(f = = f ' (x0)g(x0) + f(x0)g'(x0)

    Demonstraie Fie h(x) = f(x) g(x). Avem:

    =--

    +--

    =

    =-

    -=

    --

    =

    )x(fxx

    )x(g)x(glim)x(g

    xx)x(f)x(f

    lim

    xx)x(g)x(f)x(g)x(flim

    xx)x(h)x(hlim)x(h

    00

    0

    xx0

    0

    xx

    0

    00

    xx0

    0

    xx0

    00

    00

    = f '(x0)g(x0) + f(x0)g '(x0)

    rezultat obinut adunnd i scznd f(x0) g(x). Generalizarea este urmtoarea :

    [ ])x(f).....x(f)x(f n21 'x=x0 =k

    n

    =

    1f1(x0)...fk-1(x0)f 'k(x0)fk+1(x0)...fn(x0)

    Teorem Dac f,g sunt derivabile n x0I i g(x0)0 atunci:

    )x(g

    )x(g)x(f)x(g)x(f)x(g)x(f

    02

    0000'

    xx 0

    -=

    =

    Derivatele funciilor elementare

    a) f(x) = c (constant). Folosind definiia, pentru x0R i x x0 vom

    avea:

    =-

    =--

    =--

    =

    0xx

    0xxcc

    xx)x(f)x(flim)x(f

    000

    0

    xx0 0 f '(x) = 0, " xR

    b) f(x) = xn, xR, nN, x0R

    0

    2n0

    1n0

    xx0

    n0

    n

    xx0

    0

    xx0 xx)xxx)(xx(

    limxxxx

    limxx

    )x(f)x(flim)x(f

    000 -++-

    =--

    =--

    =--

    K

  • 7

    = limx x 0

    (xn-1+ xoxn-2 +... +xx0 2n- + x0 1n- ) = n x0 1n-

    n consecin f' (x) = nxn-1, " xR.

    c) f(x) = cos x

    00

    0

    0

    xx0

    00

    xx

    0

    0

    xx0

    0

    xx0

    xsin2xx

    sin

    2xx2xxsin

    limxx

    2xxsin

    2xxsin2

    lim

    xx)xcos()xcos(lim

    xx)x(f)x(flim)x(f

    00

    00

    -=+

    -

    -

    -=-

    +--

    =

    =--

    =--

    =

    n consecin (cos x)' = -sin x.

    Difereniala

    Dac f:IR, x0I, deoarece

    )x(fxx

    )x(f)x(flim 00

    0

    xx 0=

    --

    vom putea scrie egalitatea )x()x(fxx

    )x(f)x(f0

    0

    0 a+=-- cu 0)x(lim

    0xx=a

    ;

    egalitatea se mai scrie:

    f(x) - f(x0) = (f '(x0) +a(x)) (x -x0) sau

    f(x) - f(x0) = f '(x0) (x-x0) + a(x) (x-x0) deci

    putem scrie f(x) - f(x0) @ f '(x0) (x-x0) i dac notm x - x0 = h sau x = x0 + h

    vom avea

    f(x0 + h) - f(x0) @ hf '(x0).

    Definiie Funcia hf '(x0) care este o funcie liniar de h, se numete difereniala

    funciei f n x0 i se noteaz df(x0) = hf '(x0), sau putem scrie

    df(x) = hf '(x); " xR.

    Regulile de difereniere sunt la fel ca i regulile de derivare, dar mai nti facem:

  • 8

    Observaie Dac f(x) = x; avem df(x) = h1 = dx, deci h = dx, n consecin

    df(x) = f '(x)dx

    d (fg) = df dg

    d (fg) = g df + f dg

    2gfdggdf

    gfd -=

    iar pentru funcia compus f(u(x)) avem

    d(u(x)) = (f (u(x)))'dx = f '(u)u'(x)dx = =f '(u)du.

    Demonstrm pentru raportul f/g i vom avea

    d (fg-1)(x) = (fg-1(x))'dx =

    =f '(x)g-1(x)dx - f(x) g-2(x) g '(x)dx = [g(x) df(x) - f(x) dg(x)]/g2(x)

    Formula lui Leibniz

    Teorem Dac f, g derivabile de n ori pe I atuci fg derivabil de n ori pe I i

    vom avea

    (f.g)(n) ==

    -n

    0k

    )k()kn(kn gfC

    numit formula lui Leibniz.

    Demonstraie Demonstraia o facem prin inducia dup nR. Deci pentru n = 1

    avem :

    ( ) gfCgfC'gf 1101 += deci (fg)' = f 'g + fg '

    Presupunem formula adevrat pentru n-1 i avem:

    (fg)(n-1) = C 0 1n- f(n-1)g + C 1 1n- f

    (n-2)g'+...+C 1n 1n-- fg(n-1)

    relaie pe care dac o derivm o dat va rezulta:

  • 9

    ( )

    =

    ---

    -

    --

    ---

    --

    --

    --

    --

    --

    ---

    =+++=

    =++++=

    =++++=

    =++++=

    n

    0k

    )k()kn(kn

    )2n(21n

    )1n(1n

    )n(

    )2n(11n

    )1n(11n

    01n

    )n(

    )2n(11n

    )1n(11n

    )1n(01n

    )n(

    )2n(11n

    )1n(11n

    )1n(01n

    )n(01n

    )n(

    gfC...gfCgfCgf

    ...gfCgf)CC(gf

    ...gfCgfCgfCgf...gfCgfCgfCgfCgf

    am inut cont de formula: kn1k 1nk 1n CCC =+ --- i deci: 1n1 1n0 1n CCC =+ -- etc.

    Formulele lui Taylor i Mac-Laurin

    Fie f: IR derivabil de n ori n aI, pentru aceast funcie definim

    polinomul lui Taylor:

    )a(f!n

    )ax()a(f!1ax)a(f)x(T )n(

    n

    n-

    ++-

    += K

    gradul polinomului fiind n.

    Notm Rn(x) = f(x) -Tn(x) i vom avea

    f(x) = Tn(x)+Rn(x) numit formula lui Taylor pentru funcia f n punctul

    aI, unde Rn(x) = )()!1()( 1

    x+

    - + fn

    ax n cu x(a, x), x = a + q(x-a), q(0,1) i f

    derivabil de n+1 ori pe I. Dac a = 0 vom avea:

    )()!1(

    )0(!

    )0(!1

    )0()( )1(1

    )( xfnxf

    nxfxfxf n

    nn

    n

    q+

    ++++= ++

    K

    numit formula lui Mac Laurin.

    Aceste formule au aplicaii la aproximarea funciilor sau la calculul unor

    limite de funcii cu nedeterminri.

    B.

    1. S se calculeze derivata funciei ( )xx3x2)x(f

    2

    += .

  • 10

    Rezolvare Pentru nceput vom studia derivabilitatea funciei. Observm c este

    suficient s studiem derivabilitatea funciei xx)x(g 2= n origine.

    0xxlimxxlim0x0x

    0x0x

    == >+

    >+

    +++

    ++ pp

    ppn

    ppnnn

    K

    pentru p n condiia din Criteriul lui Cauchy nu este ndeplinit i deci irul (an)

    nu este convergent.

    2. Fie

    =a

    1n n1 seria armonic generalizat. S se studieze natura sa, utiliznd

    criteriul monotoniei.

    Rezolvare S artm c pentru a > 1 irul sumelor pariale este mrginit deci

    convergent i n acest caz seria este convergent.

    Deci:

    =+++++=

    =

    ...1...31

    2111

    1aaaa nnn

    ...)12(

    1)12(

    1)2(

    1...71

    61

    51

    41

    31

    211 1 +

    -

    ++

    +++

    ++++

    ++= + aaaaaaaaa mmm

    Fie sp cu p = 2m+1 1. Vom avea:

    M

    211

    12

    12

    12

    12

    11)2(

    2)2(

    2221s

    10m

    )1(m

    )1(m)1(21m

    m

    2

    2

    p

    =-

    = 1 i

    divergent pentru a1.

  • 19

    2. Folosind criteriul I al comparaiei s se arate c seria 1

    1nn a=

    este divergent

    pentru a < 1.

    Rezolvare Deoarece nn11

    >a

    deci n > na i a < 1, tiind c 1

    1nn=

    este divergent,

    rezult c

    =1

    1n na

    este divergent conform cazului b) din criteriul I al comparaiei

    i n concluzie seria

    =1

    1n na

    este divergent pentru a 1 i convergent pentru

    a > 1.

    3. S se afle raza de convergen al seriilor de puteri

    a) ( )-

    =

    11

    n n

    n

    xn!

    .

    Rezolvare ( )

    ( )nn

    n n

    n n

    n nn

    aa

    xn

    nx

    nnx +

    + +

    =-

    +

    -=

    +=lim lim lim

    11 1

    1 11

    11

    b) xn

    n

    n

    =

    1

    Rezolvare Ra x

    n

    nxn

    nn n n

    nn

    = =

    = =

    lim lim lim1 1

    4. Fie seria s1= ( )- ++

    =

    1 11

    0

    nn

    n

    xn . S se arate c raza sa coincide cu raza seriei s2

    format cu derivatele seriei date.

    Rezolvare R1 = lim lim( )( )n

    n

    n n

    n

    na

    an

    n +

    -=

    --

    +=

    1

    111

    11 i

    s2(x) = ( )-=

    10

    n n

    nx cu R2 = R1)1(

    )1(lim 1nn

    n==