2. PROPRIETĂŢILE FLUIDELOR 2.1. Clasificarea fluidelor Fluidele sunt corpurile care-şi schimbă forma fără a opune rezistenţe apreciabile la deformarea lor. Ele se împart în lichide şi gaze. Lichidele iau forma vaselor în care sunt puse, prezintă suprafaţă liberă şi sunt fluide foarte puţin compresibile. Gazele sunt fluide cu compresibilitate mare şi se caracterizează prin absenţa forţelor de coeziune, ceea ce le face să ocupe întregul volum disponibil. Fluidele pot fi monofazice sau multifazice, după cum sunt formate dintr-o singură fază sau din mai multe faze. Fluidele monofazice sunt fluide omogene, în timp ce fluidele multifazice pot fi pseudoomogene (cu comportare similară celei a fluidelor omogene) sau eterogene. Un fluid multifazic poate fi bifazic sau trifazic, cele trei faze fiind gazoasă, lichidă şi solidă. Fluidele bifazice pot fi, deci, de următoarele patru tipuri: gaz – lichid, lichid – lichid, gaz – solid sau lichid – solid. Lichidele şi gazele pot fi monocomponente sau multicomponente, după cum sunt formate dintr-o singură substanţă chimică, respectiv din mai multe substanţe. Pe de altă parte, două sau mai multe lichide aflate în contact pot fi miscibile sau nemiscibile, după cum se amestecă între ele fără a se forma interfeţe, respectiv rămân separate de interfeţe. Fluidele bifazice, reprezentate prin cele patru tipuri enumerate anterior, pot fi grupate în: a) dispersii fine, constând fie din bule mici de gaz, picături de lichid nemiscibil sau particule solide dispersate, mai mult sau mai puţin uniform, într-o fază lichidă continuă, fie din picături mici de lichid sau particule solide fine dispersate într-o fază gazoasă continuă1; b) dispersii grosiere, formate fie din bule mari de gaz, picături mari de lichid nemiscibil sau particule solide mari dispersate în faza lichidă continuă, fie din picături mari de lichid sau particule solide mari dispersate într-o fază gazoasă continuă; c) macroamestecuri, constituite din spume sau amestecuri puternic turbulente ale unui gaz cu un lichid sau a două lichide imiscibile, în condiţiile în care nici una din faze nu este continuă; d) fluide stratificate, constituite din amestecuri gaz–lichid sau lichid–lichid (nemiscibile), în condiţiile în care ambele faze sunt continue. Dispersiile în cadrul cărora particulele fazei discontinue sunt suficient de fine (având dimensiuni sub 1 μm) pot fi stabile fie sub acţiunea mişcării browniene sau a sarcinilor electrostatice, în absenţa mişcărilor turbulente, fie ca urmare a proprietăţilor de consistenţă ridicată sau specială a fazei continue. Aceste suspensii pot fi considerate pseudoomogene, iar comportarea lor la curgere poate fi inclusă în aceea a fluidelor monofazice. Dispersiile de fineţe moderată, care nu sunt stabile în repaus sau în mişcare laminară, dar care pot fi menţinute în stare de dispersie aproape uniformă în condiţii de mişcare turbulentă, pot fi incluse în domeniul comportării fluidelor monofazice aflate în mişcare turbulentă. Fluidele omogene sau fluidele pseudoomogene cu comportare similară acestora se clasifică, în funcţie de comportarea lor la curgere, în fluide vâscoase şi fluide vâscoelastice. Fluidele vâscoase pot avea, în cadrul mişcării lor, o comportare independentă sau dependentă de timp. Fluidele independente de timp care, în stare de repaus, prezintă tensiuni tangenţiale nule, iar în stare de mişcare laminară au tensiunile tangenţiale proporţionale cu gradientul vitezei se numesc fluide newtoniene. Restul fluidelor vâscoase şi vâscoelastice se numesc fluide nenewtoniene şi sunt clasificate ca în tabelul 2.1. Studiul fluidelor nenewtoniene constituie obiectul reologiei. Hidraulica se ocupă îndeosebi de fluidele newtoniene, ale căror principale proprietăţi sunt densitatea, vâscozitatea, compresibilitatea şi tensiunea interfacială. 2.2. Densitatea şi greutatea specifică Densitatea sau masa specifică ρ a unui fluid este, prin definiţie, raportul dintre masa m a fluidului şi volumul V ocupat de acesta, adică ,Vm=ρ (2.1)

Densitatea are formula dimensională ML–3 şi unităţile de măsură: kg/m3 în SI, g/cm3 în sistemul CGS şi kgf·s2/m4 în sistemul MKfS. Inversul densităţii, vs = 1/ρ, se numeşte volum specific. Greutatea specifică, notată cu γ, este definită ca raportul dintre greutatea G a fluidului şi volumul V ocupat de acesta, adică ,VG=γ (2.2) are expresia dimensională ML–2T–2 şi se măsoară în N/m3 în SI, dyn/cm3 în sistemul CGS, respectiv kgf/m3 în sistemul MKfS.

1 Exemple (în ordinea din text): spume, emulsii, suspensii, ceaţă. fum

14 Capitolul 2. Proprietăţile fluidelor Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

Legea a doua a mecanicii clasice leagă greutatea specifică şi densitatea prin relaţia ,gρ=γ (2.3) unde g este acceleraţia gravitaţională, cu valoarea standard 9,80665 m/s2. Pentru latitudinea Bucureştiului, g = 9,806 m/s2, valoare recomandată pentru aplicaţiile numerice. 2.2.1. Densitatea fluidelor monocomponente Ecuaţia care corelează parametrii de stare ai unui fluid (presiune, volum sau densitate şi temperatură) se numeşte ecuaţie de stare. Cea mai simplă şi cunoscută ecuaţie de stare generală este cea propusă de VAN DER WAALS (1873), care are forma

( ) ,2 TRbvvap usmsm

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ (2.4)

unde

,64

27 22

cr

cru

pTRa = (2.5)

,8 cr

cru

pTRb = (2.6)

p este presiunea, vsm – volumul molar, T – temperatura absolută, Ru = 8.314,3 J/(kmol·K) – constanta universală a gazelor, Tcr – temperatura critică, pcr – presiunea critică, Această ecuaţie reproduce cu aproximaţie comportarea fluidelor monocomponente, dar nu este aplicabilă în zona bifazică şi nu dă rezultate bune în zona lichidului sau lângă zona bifazică. Dintre ecuaţiile de stare cu aplicabilitate generală şi având doi parametri, ecuaţia lui REDLICH şi KWONG (1949) este cea mai frecvent folosită. Ea are forma

( )

( ) ,11

5,01 TRbv

bvvTap usm

smsm=−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++ (2.7)

unde

,7248,0 5,22

1cr

cru

pTRa = .0867,0

1cr

cru

pTRb = (2.8)

Tabelul 2.1

Fluide multifazice (gaz-lichid, lichid-lichid, gaz-solid, lichid-solid)

Fluide monofazice Dispersii fine Dispersii

grosiere Macro-

amestecuri Fluide

stratificate

Fluide pseudoomogene

Fluide omogene Mişcare laminară sau

turbulentă

Mişcare exclusiv

turbulentă

Fluide eterogene

Fluide newtoniene

Fluide pseudoplastice

Fluide dilatante

Fluide binghamiene

Flui

de in

depe

nden

te d

e tim

p

Fluide reţinătoare pseudoplastice sau

dilatante

Fluide tixotropice

Flui

de v

âsco

ase

Flui

de d

epen

-de

nte

de ti

mp

Fluide reopectice

vâsc

o-el

astic

e

Multe forme

Flui

de n

enew

toni

ene

Fluide cu comportare multifazică

Mecanica fluidelor 15 Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

La fel ca şi ecuaţia VAN DER WAALS, ecuaţia REDLICH – KWONG nu este aplicabilă în zona bifazică şi dă aproximaţii grosiere în zona lichidului. KENNEDY şi BHAGIA (1969) au exprimat constantele REDLICH – KWONG (pentru substanţe individuale) ca funcţii empirice de temperatură şi au arătat că densitatea acelor substanţe pure poate fi determinata cu o eroare de numai 0,25 procente. Ecuaţiile de stare cu mai mult de doi parametri caracteristici ai fluidului sunt mai exacte, dar utilizarea lor este limitată la puţinele fluide pentru care sunt determinaţi aceşti parametri. Cele mai cunoscute ecuaţii de acest tip sunt ecuaţia lui BEATTIE şi BRIDGEMAN (1927), care are cinci parametri, şi ecuaţia BENNEDICT, WEBB şi RUBIN (1940), bazată pe opt parametri caracteristici ai fluidului. În zona gazului aflat la presiune mică sau destul de departe de frontiera zonei bifazice se poate aplica, cu rezultate bune pentru calcule inginereşti, legea gazelor perfecte, ,TRvp s = (2.9) unde: vs = 1/ρ este volumul specific, R = Ru/Mm – constanta gazului, iar Mm – masa molară. O aplicabilitate mai generală în zona gazului şi în apropierea frontierei zonei bifazice o are legea gazelor reale ,TRZvp s = (2.10) unde Z este factorul de abatere de la legea gazelor perfecte. Pentru determinarea factorului de abatere s-au făcut multe încercări de stabilire a unei corelaţii bazate pe valorile lui Z calculate din relaţia (2.10) cu ajutorul datelor experimentale. În acest sens au fost elaborate metode bazate pe principiul stărilor corespondente, conform căruia toate fluidele se comportă în mod similar la aceleaşi raţii ale presiunilor şi temperaturilor critice. Cea mai simplă corelaţie bazată pe conceptul stărilor corespondente are forma ( ) ,, rdrd TpfZ = (2.11) unde presiunea redusă şi temperatura redusă sunt definite astfel: prd = p/pcr, Trd = T/Tcr. Această corelaţie a fost prezentată grafic de către STANDING şi KATZ (1942) pentru o serie de gaze. De atunci au fost publicate noi date, care au îmbunătăţit precizia rezultatelor. Diagrama lui VISVANATH şi SU (1965), prezentată în figura 2.1, este, probabil, cea mai bună corelaţie general aplicabilă de acest tip, disponibilă pentru gaze pure. Factorul de abatere citit din această diagramă pentru gaze obişnuite, altele decât hidrogen, dioxid de sulf şi hidrogen sulfurat, prezintă o eroare cuprinsă între 2 şi 10 procente. Deşi corelaţiile factorului de abatere de tipul (2.10) sunt foarte utile, iar pentru gaze nepolare cu structură moleculară simplă sunt destul de precise, pentru extinderea aplicării lor şi pentru obţinerea unor rezultate cu precizie mărită s-a propus să se ia în consideraţie şi alte variabile în afară de presiunea şi temperatura redusă. În acest sens, s-a considerat ca variabilă adiţională factorul de abatere Zc în punctul critic (care variază de la 0,23 pentru abur la 0,304 pentru hidrogen, în timp ce diagrama din figura 2.1 corespunde lui Zc = 0,28) şi s-au obţinut corelaţii care dau valori îmbunătăţite în vecinătatea punctului critic, fără a avea însă caracter de generalitate. O altă corelaţie, legată mai direct de comportarea moleculelor de fluid, are la bază factorul de acentricitate, care reprezintă o măsură a abaterii forţelor intermoleculare faţă de cazul gazului perfect şi este definit astfel ,1lg −−=ω vrp (2.12) unde pvr este presiunea de vapori redusă corespunzătoare unei temperaturi reduse egală cu 0,7. Această relaţie se bazează pe observaţia că, în cazul gazelor simple ca argon, neon, kripton şi metan, pvr este apropiat de valoarea 0,1, ceea ce corespunde lui ω = 0. Pentru multe alte fluide, ω variază între 0 şi 0,4. În absenţa presiunii de vapori, valoarea lui ω poate fi determinată din relaţia aproximativă .5,126375,3 cZ−=ω (2.13) În cazul gazelor simple, factorul de abatere de la legea gazelor perfecte este funcţie numai de presiunea redusă şi temperatura redusă. Pentru gaze mai complexe, Z are expresia

,)1()0( ZZZ += (2.14) unde Z(0) este factorul de abatere pentru gaze simple, prezentat în figura 2.2, iar Z(1) este factorul de corecţie dat în figura 2.3.

Figura 2.1 Variaţia factorului de abatere Z pentru gaze pure

Figura 2.2. Variaţia factorului de abatere Z(0) pentru gaze pure

16 Capitolul 2. Proprietăţile fluidelor Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

Deşi lichidele sunt mult mai puţin sensibile la variaţia presiunii decât gazele, densitatea lor şi variaţia acesteia cu temperatura sunt dependente de structura moleculară. Densitatea hidrocarburilor lichide poate fi determinată din ecuaţia VAN DER WAALS, modificată de ALANI şi KENNEDY (1960) prin definirea constantelor a şi b sub forma

,/kmol)Pa(m,e61,36 23TnKa = (2.15)

( ) ,/kmolm,0624,0 3CTmb += (2.16)

unde parametrii K, n, m şi C sunt prezentaţi pentru o serie de hidrocarburi în anexa 1. Densitatea hidrocarburilor lichide saturate rezultă din relaţia lui BRADFORD şi THODOS, exprimată astfel ( ) ( ) ( )[ ] ,1111 2 n

rrrcls TcTbTa −+−+−+ρ=ρ (2.17) unde ρc este densitatea în punctul critic, iar parametrii a, b, c şi n au expresiile n = 0,16 + 0,586 Zc , (2.18)

c = 2,785 – 3,544 Zc , (2.19)

a = 2,924 – 7,34 Zc , (2.20)

b = c – a – 1 . (2.21)

Densitatea lichidelor la temperatură constantă se exprimă, în mod obişnuit, în funcţie de coeficientul de compresibilitate β, definit astfel

,1

TpV

V ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡∂∂

−=β (2.22)

unde indicele T indică un proces izoterm, iar semnul minus a fost introdus deoarece factorul pV ∂∂ este negativ (volumul scade odată cu creşterea presiunii). Dacă se admite β constant, relaţia (2.22) scrisă sub forma

,dd1

pρ

ρ=β (2.23)

duce, după integrare, la formula ( ) ,e 0

0pp−βρ=ρ (2.24)

care este cunoscută sub numele de ecuaţia de stare a lichidelor compresibile şi poate fi aproximată, reţinând doar primii doi termeni din dezvoltarea în serie a exponenţialei, astfel ( )[ ] .1 00 pp −β−ρ=ρ (2.25)

2.2.2. Densitatea fluidelor multicomponente Există puţine corelaţii destinate determinării densităţii fluidelor multicomponente, independent de starea lichidă sau gazoasă a acestora. Una dintre aceste corelaţii este cea a lui KENNEDY şi BHAGIA (1969), obţinută prin extinderea ecuaţiei (2.7) la cazul fluidelor gaze–condensat din cadrul zăcămintelor de hidrocarburi. Comportarea densităţii gazelor multicomponente este similară cu aceea a gazelor monocomponente, dar prezintă un grad sporit de complexitate. În acest sens, pentru determinarea densităţii gazelor multicomponente se poate folosi relaţia (2.10), pentru care factorul de abatere se obţine, conform propunerii lui KAY (1936), în funcţie de presiunea pseudoredusă şi temperatura pseudoredusă definite astfel ,pcpr ppp = (2.26)

,pcpr TTT = (2.27)

unde:

∑=

=n

iicrmipc pnp

1

, ∑=

=n

iicrmipc TnT

1

sunt presiunea, respectiv temperatura pseudocritice, nmi – fracţia molară a componentului i din gaze; pcr i, Tcr i – presiunea critică şi temperatura critică ale acestuia. Valoarea lui Z corespunzătoare lui ppr şi Tpr calculate cu relaţiile (2.26) şi (2.27) se citeşte din figura 2.1. Pentru amestecurile de gaze naturale constituite din hidrocarburi parafinice lipsite de dioxid de carbon şi hidrogen sulfurat se foloseşte, în mod frecvent în industria de petrol, diagrama lui STANDING şi KATZ (1942), prezentată în figura 2.4.

Figura 2.3 Variaţia corecţiei factorului de abatere Z(1)

pentru gaze pure

Mecanica fluidelor 17 Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

Pentru lichidele multicomponente, ca şi în cazul gazelor, relaţia dintre densitate şi structura moleculară, precum şi dependenţa densităţii de presiune şi temperatură au o complexitate sporită faţă de cazul lichidelor monocomponente. Ecuaţiile de stare pentru amestecurile lichide pot fi folosite în acelaşi mod în care au fost folosite pentru gazele multicomponente. Coeficienţii acestor ecuaţii se determină din coeficienţii componenţilor puri. Pentru sistemele de hidrocarburi lichide se poate folosi metoda ALANI – KENNEDY, înlocuind relaţiile (2.15) şi (2.16) cu ecuaţiile

,1

∑=

=n

iimi ana (2.28)

,1

∑=

=n

iimi bnb (2.29)

,e61,36* Tn

iiiKa = (2.30)

( ) ,0624,0 iii CTmb += (2.31) cu nmi — fracţiile molare ale componenţilor şi Ki,

*in , mi şi Ci având valorile prezentate în anexa 1

pentru o serie de componenţi puri. 2.3. Vâscozitatea Vâscozitatea este proprietatea fluidelor de a opune rezistenţă la deformarea (mişcarea) lor. Într-un lichid aflat în mişcare apar, pe lângă eforturile normale, eforturi tangenţiale, care se manifestă prin forţe de frecare internă, având tendinţa să frâneze mişcarea şi să împiedice deplasările lichidului, adică să se opună deformaţiilor. Vâscozitatea este caracterizată cantitativ prin coeficientul pus în evidenţă de NEWTON în expresia efortului tangenţial ce apare la mişcarea laminară între două plăci plane paralele. Considerând două plane P şi P’ ale mişcării laminare a unui fluid între două plăci plane paralele distanţate cu dy şi având vitezele de mişcare v, respectiv v + dv, NEWTON a arătat că, între două suprafeţe de arii egale, situate în planele P şi P’, acţionează o forţă tangenţială proporţională cu aria A, cu diferenţa de viteză dv şi invers proporţională cu distanţa dy, adică

,ddyvAF μ= (2.32)

iar efortul unitar tangenţial corespunzător este dat de relaţia

,ddyv

μ=τ (2.33)

unde μ este o constantă de proporţionalitate caracteristică fluidului la presiune şi temperatură date, numită coeficient de vâscozitate dinamică (sau, pe scurt, vâscozitate dinamică), iar dv/dy este modulul gradientului de viteză pe normala y la direcţia mişcării. Comportarea reologică a fluidului newtonian este aşadar definită de o singură constantă de proporţionalitate care caracterizează frecarea internă a particulelor de fluid aflate în mişcare. Vâscozitatea dinamică are dimensiunile ML–1T–1 şi se exprimă în N·s/m2 în SI, în kgf·s/m2 în CGS şi în P (poise = dyn·s/cm2) în MKfS. Vâscozitatea cinematică ν este definită prin relaţia ρμ=ν (2.34) şi are unităţile de măsură m2/s în SI şi în MKfS, respectiv St (stokes = cm2/s) în sistemul CGS. Numele de vâscozitate cinematică indică absenţa din definiţia ei a mărimilor fizice de natură dinamică (masă, forţă etc.). 2.4. Compresibilitatea Proprietatea corpurilor manifestată prin micşorarea volumului lor sub acţiunea forţelor exterioare de compresiune se numeşte compresibilitate. Ea este caracterizată cantitativ prin coeficientul de compresibilitate β, care, potrivit relaţiei de definiţie (2.22), are dimensiunile M–1LT2 şi unităţile de măsură Pa–1 = m2/N în SI, cm2/dyn în sistemul CGS şi m2/kgf în sistemul MKfS.

Figura 2.4. Variaţia factorului de abatere Z pentru gaze naturale

22 Capitolul 3. Statica fluidelor Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

021 =+ dd FFrr

(3.5) şi relaţia (3.2) se reduce la forma ( ) ( ) ,0=++++ mccbmaa FFFFF

rrrrr (3.6)

unde maFr

şi mcFr

sunt componentele forţei masice mFr

pe direcţiile forţelor aFr

şi cFr

, ale căror suporturi sunt concurente (figura 3.3).

Prisma are dimensiunile a, b, c, d infinitezimale, iar în procesul de trecere la limită pentru definirea tensiunilor punctiforme ele vor tinde către zero. Ca urmare, în relaţia (3.5) s-a putut admite aproximaţia că forţa masică (figura 3.3) este concurentă cu aF

r şi cF

r. În aceste

condiţii, poligonul forţelor se reduce la figura 3.4. Triunghiurile A1B1C1 (v. figura 3.2) şi LMN (v. figura 3.4) sunt asemenea, având laturile perpendiculare între ele. Condiţia de proporţionalitate a laturilor acestor triunghiuri,

exprimată sub forma

,cFF

bF

aFF mccbmaa +

==− (3.7)

unde ,cos,cos cmmcamma AVFAVF αΔρ=αΔρ= (3.8)

cu Am – acceleraţia câmpului forţelor masice, ΔV – volumul prismei, αa, αc – unghiurile făcute de mFr

cu aFr

respectiv

cFr

, duce, după amplificare cu 1/d şi trecere la limită, la

.limlimlimlimlim00000 dc

Fdc

Fdb

Fda

Fda

F mc

V

c

V

b

V

ma

V

a

V →Δ→Δ→Δ→Δ→Δ+==− (3.9)

Deoarece, în baza relaţiilor (3.8), limitele componentelor forţelor masice sunt nule, ecuaţiile (3.9) se reduc, în conformitate cu expresia (3.1), la pa = pb = pc , (3.10) ceea ce arată că în centrul prismei, pe cele trei direcţii normale la feţele acesteia, există tensiuni având mărimi egale între ele. Întrucât prisma poate avea orice orientare în spaţiu, menţinându-şi însă poziţia centrului de greutate, rezultă că în centrul ei de greutate acţionează tensiuni dezvoltate în toate direcţiile, având aceeaşi intensitate. Reprezentând grafic aceste tensiuni se obţine o sferă de rază egală cu presiunea în acel punct.

3.2. Ecuaţia microscopică a echilibrului static al fluidelor Se consideră un element de volum de formă paralelipipedică (figura 3.5), cu dimensiunile infinitezimale dx, dy, dz raportate la un sistem de axe carteziene paralele cu muchiile sale, detaşat din domeniul ocupat de un fluid aflat în repaus. Se introduc forţele de legătură xF1d

r, xF2d

r, yF1d

r, yF2d

r,

zF1dr

, zF2dr

în centrele celor şase feţe, precum şi forţa masică mFr

d , care este singura forţă exterioară, cu punctul de aplicaţie în centrul M al elementului. Condiţia de echilibru static al fluidului din volumul de control se exprimă prin relaţia .0ddddddd 212121 =++++++ mzzyyxx FFFFFFF

rrrrrrr (3.11)

Având în vedere că presiunea este o funcţie continuă în domeniul ocupat de fluid şi notând cu p valoarea presiunii în punctul D, forţele de legătură (care sunt rezultantele forţelor de presiune pe cele şase feţe ale paralelipipedului) şi forţa masică (definită de acceleraţia mA

r) au expresiile

,dddd,ddd 21 zyxxppiFzypiF xx ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−==rrrr

,dddd,ddd 21 zxyyppjFzxpjF yy ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+−==rrrr

(3.12)

,dddd,ddd 21 yxzzppkFyxpkF zz ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+−==rrrr

.dddd zyxAF mm ρ=rr

(3.13)

Figura 3.3 Descompunerea forţei masice Figura 3.4 Poligonul forţelor după suporturile forţelor aF

r şi cF

r

Figura 3.5. Domeniu paralelipipedic elementar

detaşat dintr-un fluid aflat în repaus

Mecanica fluidelor 23 Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

Se introduc expresiile (3.12) şi (3.13) în relaţia (3.11), se reduc termenii asemenea şi se simplifică cu ρ dx dy dz, rezultând egalitatea

,0=ρ+∂∂

−∂∂

−∂∂

− mAzpk

ypj

xpi

rrrr

care poate fi scrisă sub forma

,01=∇

ρ− pAm

r (3.14)

şi reprezintă ecuaţia microscopică a echilibrului static al fluidelor, unde ∇ este operatorul lui HAMILTON, definit în coordonate carteziene (pe baza versorilor i

r, jr

, kr

ai axelor Ox, Oy, Oz) astfel

.z

ky

jx

i∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇rrr

(3.15)

Exprimând acceleraţia mAr

a câmpului forţelor masice prin proiecţiile sale X, Y, Z pe cele trei axe carteziene, adică

,ZkYjXiAm

rrrr++= (3.16)

ecuaţia vectorială (3.14) este echivalentă cu următoarele trei ecuaţii scalare:

,1,1,1zpZ

ypY

xpX

∂∂

ρ=

∂∂

ρ=

∂∂

ρ= (3.17)

cunoscute sub numele de ecuaţiile lui EULER din statica fluidelor. 3.3. Legea variaţiei presiunii într-un fluid aflat în repaus Dacă se cunosc componentele X, Y, Z ale acceleraţiei câmpului forţelor masice, din ecuaţiile (3.17) se obţin expresiile derivatelor parţiale ale presiunii, care, introduse în diferenţiala presiunii

zzpy

ypx

xpp dddd

∂∂

+∂∂

+∂∂

= (3.18)

conduc la ecuaţia ( ) ,dddd zZyYxXp ++ρ= (3.19) al cărei membru drept este o diferenţială totală exactă dacă există o funcţie F(x, y, z) astfel încât să avem egalitatea

.,,zFZ

yFY

xFX

∂∂

=ρ∂∂

=ρ∂∂

=ρ

În acest caz, forţa masică derivă dintr-un potenţial de forţe U = –F, iar ecuaţia (3.19) se reduce la forma dp = dF , (3.20) care integrată dă relaţia p = F + C1 , (3.21) unde C1 este constanta de integrare egală cu presiunea p1 corespunzătoare absenţei forţelor masice. Când fluidul este incompresibil, membrul drept al ecuaţiei (3.19) este o diferenţială totală exactă dacă acceleraţia

mAr

derivă dintr-un potenţial U* = –Γa , adică

,,,z

Zy

Yx

X aaa

∂Γ∂

=∂Γ∂

=∂Γ∂

= (3.22)

ceea ce duce la ,dd ap Γρ= (3.23) sau .Cp a +Γρ= (3.24)

În câmpul gravitaţional terestru, alegând axa Oz verticală ascendentă, componentele acceleraţiei mAr

a câmpului

forţelor masice sunt X = 0, Y = 0, Z = –g, deci gkAm

rr−= , dΓa = –g dz, Γa = –g z, iar relaţia (3.24) devine

p = C – ρ g z , (3.25) cunoscută sub numele de ecuaţia fundamentală a hidrostaticii. 3.3.1. Legea variaţiei presiunii într-un gaz aflat în repaus în câmpul gravitaţional terestru Ecuaţia (3.19) se reduce, în câmp gravitaţional, la egalitatea dp = –ρ g dz . (3.26) Dacă se admite că gazul este perfect şi suferă o transformare izotermă (T = const.), din ecuaţia de stare (2.9) se poate exprima densitatea sub forma

,pTR

M

u

m=ρ (3.27)

24 Capitolul 3. Statica fluidelor Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

care se înlocuieşte în ecuaţia (3.26), rezultând expresia

,dd zpTRgMp

u

m−=

în care se separă variabilele şi se integrează astfel

,dd zTRgM

pp

u

m−= ,dd

11

∫∫ −=z

zu

mp

p

zTRgM

pp ( ) ,ln 1

1zz

TRgM

pp

u

m −−=

obţinându-se legea variaţiei presiunii sub forma

( )

,e1

1

zzTRgM

u

m

pp−−

= (3.28) unde p1 este presiunea la cota de referinţă z1. Formula (3.28) permite calculul presiunii statice sau dinamice la adâncimea de fixare a garniturii de ţevi de extracţie într-o sondă de gaze, când se cunoaşte presiunea p1 citită la manometrul montat la coloană. Temperatura în sondă fiind variabilă cu adâncimea, relaţia (3.28) se foloseşte pe tronsoane pe care variaţia de temperatură este neglijabilă sau se poate aproxima printr-o valoare medie constantă. În cazul aerului atmosferic, dacă se introduce, pe baza ecuaţiei (3.27), notaţia

,0

00 gM

TRg

pHma

u=ρ

= (3.29)

relaţia (3.28) poate fi scrisă sub forma

,e 0

1

1H

zz

pp−

−= (3.30)

unde Mma = 28,9 kg/kmol este masa molară a aerului, p0 = 101.325 Pa – presiunea atmosferică normală, iar ρ0 = 1,289 kg/m3 – densitatea aerului în condiţii normale. Ecuaţia (3.30) se numeşte formula barometrică. 3.3.2. Presiunea într-un fluid aflat în repaus în absenţa forţelor masice Dacă forţele masice lipsesc sau sunt neglijabile, se poate scrie X = Y = Z = 0 şi, din ecuaţia (3.19), rezultă 0d =p (3.31) sau, după integrare, ,.const== ipp (3.32) ceea ce arată că presiunea este constantă în domeniul ocupat de fluid şi are valoarea iniţială pi. Această situaţie se întâlneşte în cazul fluidelor aflate în stare de imponderabilitate sau în cazul gazelor care ocupă înălţimi relativ mici. Astfel, presiunea gazului aflat în repaus într-un recipient are, practic, aceeaşi valoare în orice punct al domeniului ocupat de gaz, întrucât argumentul exponenţialei din formula (3.28) este neglijabil când z – z1 are valori mici. Pe de altă parte, pentru valori mici ale argumentului, exponenţiala din relaţia (3.28) poate fi aproximată prin primii doi termeni din dezvoltarea în scrie şi relaţia (3.28) devine

( ) .1 11 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−= zz

TRgMpp

u

m (3.33)

Punând condiţiile: z1 = 0, p1 = pg şi M g/(Ru T) = ρg g/pg, ecuaţia (3.33) capătă forma p = pg – ρg g z , (3.34) care arată că, în cazul când gazul ocupă înălţimi mici, variaţia densităţii gazului cu înălţimea poate fi neglijată, iar termenul ρg g z este şi el neglijabil faţă de valoarea pg a presiunii gazului din recipient. 3.3.3. Legea variaţiei presiunii într-un lichid aflat în repaus în câmpul gravitaţional terestru Considerând că lichidul este incompresibil (ρ = const.), prin integrarea ecuaţiei diferenţiale a presiunii (3.26) rezultă relaţia ,azgp +ρ−= (3.35) care arată că orice plan orizontal (z = const.) dintr-un lichid aflat în repaus este o suprafaţă izobară (p = const.). Planul orizontal de cotă z = z0 în care presiunea este egală cu presiunea atmosferică p0 se numeşte planul suprafeţei libere a lichidului. Forma plan–orizontală a suprafeţelor izobare corespunde condiţiei de ortogonalitate a forţelor gravitaţionale, dirijate după verticala locului, cu suprafeţele echipotenţiale. Ca urmare, suprafeţele libere de dimensiuni mari (aparţinând mărilor sau oceanelor) au forma scoarţei terestre (geoidală), care numai pentru întinderi relativ mici se confundă cu forma plană. Punând ecuaţiei (3.35) condiţia la limită p = p0 la z = z0, se obţine pentru constanta de integrare expresia

00 zgpa ρ+= şi ecuaţia (3.35) devine ( ) .00 zzgpp −ρ+= (3.36)

Mecanica fluidelor 25 Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

Dacă se consideră originea axei Oz la suprafaţa liberă a lichidului din vas, z0 = 0 şi ecuaţia (3.36) se identifică formal cu ecuaţia (3.34), cu deosebirea că, ρ fiind mult mai mare decât ρg, termenul ρ g z nu mai este neglijabil în raport cu presiunea p0 de la suprafaţa de separaţie gaz–lichid. Notând cu h adâncimea la care se găseşte un punct oarecare în masa lichidului, se constată (figura 3.6) că z0 – z = h şi ecuaţia (3.36) ia forma .0 hgpp ρ+= (3.37) Ecuaţiile (3.36) şi (3.37) exprimă legea hidrostaticii, care arată că presiunea absolută într-un lichid aflat în repaus în câmp gravitaţional creşte direct proporţional cu adâncimea, iar valoarea presiunii p0 de la suprafaţa de separaţie gaz–lichid se transmite în întreaga masă a lichidului cu aceeaşi intensitate (principiul lui PASCAL). Presiunea într-un fluid este o presiune absolută p sau relativă pr după cum ea include sau nu valoarea presiunii atmosferice p0 = 101.325 Pa = 760 mm Hg 2 = 1,033 kgf/cm2 = 1,033 at 3 = 1 atm 4. Se numeşte presiune relativă valoarea presiunii măsurate de la suprafaţa liberă a lichidului, adică .hgpr ρ= (3.38) Astfel, ecuaţia (3.37) devine .0 rppp += (3.39) Notând cu h0 înălţimea coloanei de lichid echivalentă presiunii atmosferice (figura 3.6) şi cu H suma dintre înălţimea h0 Şi sarcina hidraulică relativă h, relaţia (3.39) devine .Hgp ρ= (3.40) Ecuaţiile (3.39) şi (3.40) definesc două drepte care trec prin origine, dar fiecare dreaptă îşi are originea ei. Planul orizontal care conţine originea Oa se numeşte planul sarcinilor absolute, iar cel care conţine originea Or coincide ca suprafaţa liberă şi reprezintă planul sarcinilor relative. Când presiunea absolută este mai mică decât presiunea atmosferică, presiunea relativă are valoarea negativă. Valoarea absolută a presiunii relative negative se numeşte presiune de vacuum: rvac pp = când pr < 0 , (3.41) sau pvac = p0 – p când p < p0 . (3.42) Presiunea de vacuum se exprimă, de obicei, prin înălţime coloană de lichid echivalentă:

,00

γ−

=ρ

−=

ppg

pphvac când p < p0 , (3.43)

unde γ = ρ g este greutatea specifică a lichidului de referinţă (mercur sau apă).

3.4. Forţe de presiune pe suprafeţe În fiecare punct al peretelui unui vas în care se află un fluid în repaus acţionează o forţă de presiune elementară, având direcţia normalei la perete, sensul de la fluid spre perete şi mărimea egală cu produsul dintre presiunea relativă şi aria elementului de suprafaţă. Prin integrarea acestui sistem de forţe distribuite se obţin fie o forţă rezultantă, când suprafaţa este plană sau curbă cu simetrie axială ori centrală, fie două forţe situate în plane diferite, în cazul suprafeţelor curbe oarecare.

3.4.1. Forţe de presiune pe o suprafaţă plană 3.4.1.1. Forţa de presiune pe o suprafaţă plană aflată în contact cu un lichid în repaus Se consideră un capac plan care acoperă o deschidere de formă oarecare practicată în peretele plan înclinat al unui vas deschis (figura 3.7). Vasul este plin cu lichid aflat în repaus, în contact cu aerul atmosferic. Se cere să se determinăm forţa de presiune exercitată de lichid asupra capacului, în funcţie de densitatea ρ a lichidului, aria A a capacului şi poziţia G a centrului de greutate al acestuia, definită prin coordonatele xG, yG. Considerând un element de suprafaţă cu aria dA, forţa elementară de presiune are modulul ,dd ApF rp = (3.44) unde pr este presiunea relativă. Înlocuind pr conform ecuaţiei (3.38) şi observând că

α= sinyh ,

2 mm Hg este simbolul unităţii de măsură a presiunii „milimetri coloană de mercur” 3 1 kgf/cm2 = 1 at (atmosfera tehnică, unitate de măsură a presiunii egală cu presiunea exercitată de o coloană de apă cu înălţimea de 10 m) 4 1 atm = 1,01325·105 Pa; atmosfera fizică este unitatea de măsură a presiunii egală cu valoarea p0 a presiunii atmosferice normale

Figura 3.6. Variaţia presiunii absolute şi relative

într-un lichid aflat în repaus în câmpul gravitaţional

Figura 3.7. Schema determinării forţei de presiune

exercitate de un lichid in repaus asupra unei suprafeţe plane

Mecanica fluidelor 33 Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

3.6. Un vas cilindric vertical deschis (figura 3.22), cu diametrul d = 20 cm şi înălţimea h = 40 cm, conţine lichid pe înălţimea de repaus h1 = 30 cm şi se roteşte uniform în jurul axei sale de simetrie. Se cere să se determine următoarele: a) turaţia n1 la care suprafaţa liberă a lichidului atinge limita superioară a vasului; b) turaţia n2 la care suprafaţa liberă a lichidului atinge fundul vasului, precum şi înălţimea h2 a lichidului din vas după oprire. Rezolvare. a) Fie A un punct de pe gura vasului, care aparţine suprafeţei libere (figura 3.23), deci coordonatele sale (R = d/2, z = h) satisfac ecuaţia suprafeţei libere (3.73), care devine

( ).

88

011

221

01 dzhg

gdzh

−=ω⇒

ω+=

Pentru aflarea expresiei cotei vârfului paraboloidului z01 se egalează volumul de lichid din vas în repaus cu cel din timpul rotirii uniforme cu turaţia n1:

( ) .242

144 10101

22

1

2

1 hhzzhdhdhdV −=⇒−π

−π

=π

=

Relaţia dintre viteza unghiulară şi turaţie este

.30πω

=n

Cu datele problemei se obţin valorile ( )

.ture/min12,189805,1930,rad/s805,192,0

2,04,0806,98,m2,04,03,02 1101 =

π⋅

==−⋅

=ω=−⋅= nz

b) Când paraboloidul suprafeţei libere atinge baza vasului, punctul A continuă să aparţină suprafeţei libere şi, în plus, z02 = 0, deci ecuaţia (3.73) ia forma

.8

8 2

222

dhg

gdh =ω⇒

ω=

Dacă se egalează volumul de lichid din vas în timpul rotirii uniforme cu turaţia n2 cu cel de după oprire, se află expresia cotei h2:

.2/442

14 22

222

2 hhhdhdhdV =⇒π

=π

−π

=

Valorile numerice sunt:

.m2,02/4,0,ture/min46,267008,2830,rad/s008,282,0

4,0806,98222 ===

π⋅

==⋅⋅

=ω hn

3.6.2. Probleme propuse 3.7. La un rezervor, care conţine apă şi aer, este racordat un manometru, format din două tuburi în formă de U, cuplate în serie (figura 3.24). Cunoscând: h1 = 200 cm, h2 = 70 cm, h3 = 180 cm, h4 = 50 cm, h5 = 240 cm, ρa = 1 kg/dm3, ρm = 13,6 kg/dm3, se cer valorile absolută şi relativă ale presiunii aerului din rezervor. 3.8. Sistemul din figura 3.25 conţine trei lichide nemiscibile, cu densităţile: ρ1 = 780 kg/m3, ρ2 = 900 kg/m3, ρ3 = 860 kg/m3, şi un gaz. Cunoscând: R = 5 cm, d = 4 cm, h1 = 24 cm, h2 = 16 cm, h3 = 8 cm, h4 = 12 cm şi presiunea pm = 2,4 bar, se cere să se determine:

a) presiunea relativă a gazului; b) modulul forţei F

r care acţionează asupra pistonului.

3.9. Să se calculeze valorile absolute şi relative ale presiunilor din centrele A şi B ale rezervoarelor sferice din figura 3.26, cunoscând: h1 = 1 m, h2 = 1,8 m, h3 = 1,5 m, h4 = 1,2

m, h5 = 0,8 m, ρ1 = 1,05 kg/dm3, ρ2 = 1 kg/dm3, ρ3 = 1,1 kg/dm3, ρ4 = 1,2 kg/dm3, d = 5 cm şi F = 5 kgf. 3.10. Să se calculeze înălţimea de vacuum, exprimată în mm Hg şi în mm H2O, din camera cu aer K, pusă în comunicaţie cu manometrul cu doi cilindri din figura 3.27, care conţine volume egale de apă cu densitatea ρa = 1.000 kg/m3 şi ulei cu densitatea ρu = 920 kg/m3. Se mai cunosc: D = 40 mm, d = 4 mm şi h = 300 mm. 3.11. Gura de evacuare a apei, prevăzută în peretele lateral al barajului din figura 3.28, este obturată de un stăvilar plan, cu dimensiunile b = 2,5 m, h = 2 m şi c = 0,3 m, care se poate deplasa pe peretele barajului sub acţiunea forţei T

r. Ştiind că: α = 70°, ρ = 103 kg/m3, sarcina hidraulică la baza gurii de evacuare H = 20 m, greutatea stăvilarului G = 2,2

tf şi coeficientul de frecare dintre stăvilar şi peretele barajului μ = 0,35, se cere să se determine modulul forţei Tr

.

Figura 3.22 Figura 3.23

Figura 3.24

34 Capitolul 3. Statica fluidelor Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

3.12. Un vas paralelipipedic închis, cu dimensiunile L, b şi H, este cuplat, printr-un tub vertical, cu un cilindru cu piston, asupra căruia acţionează forţa F

r (figura 3.29). Cunoscând: F = 1,8 kN, d = 100 mm, h1 = 130 cm, h2 = 90 cm, h3

= 150 cm, ρ1 = 103 kg/m3, ρ2 = 1,2·103 kg/m3, H = 1,6 m şi L = 0,5 m, se cere să se determine: a) valorile absolută şi relativă ale presiunii gazului din vas; b) rezultanta forţelor de presiune care acţionează pe unul din pereţii de dimensiuni L şi H ai vasului.

3.13. Rezervorul paralelipipedic din figura 3.30 are dimensiunile L, b, H şi conţine ţiţei şi gaze. Cunoscând: L = 2 m, H = 4 m, h1 = 1 m, h2 = 0,6 m, h3 = 3 m, ρt = 0,86 kg/dm3 şi ρm = 13,6 kg/dm3, se cere să se calculeze:

a) valorile absolută şi relativă ale presiunii gazelor din rezervor; b) rezultanta forţelor de presiune care acţionează pe unul din pereţii de dimensiuni L şi H ai rezervorului.

3.14. Evacuarea apei dintr-un bazin se realizează printr-o galerie orizontală, obturată de o placă pătrată, cu latura a = 80 cm, care se poate roti faţă de axa orizontală ce trece prin punctul A (figura 3.31). Se cere să se calculeze modulul

Figura 3.25 Figura 3.26 Figura 3.27 Figura 3.28

Figura 3.29 Figura 3.30 Figura 3.31 Figura 3.32

Figura 3.33 Figura 3.34 Figura 3.35 Figura 3.36

Mecanica fluidelor 35 Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

forţei orizontale Fr

necesară pentru a menţine placa în poziţie închisă, cunoscând sarcina hidraulică la partea superioară a plăcii h = 250 cm şi densitatea apei ρ = 103 kg/m3. 3.15. Rezervorul paralelipipedic deschis din figura 3.32 este prevăzut, într-unul din pereţii laterali, cu o deschidere de formă dreptunghiulară, obturată cu un capac, format dintr-un semicilindru şi două jumătăţi de disc. Cunoscând: valoarea presiunii relative la baza capacului pr = 13,8 kPa, densitatea ţiţeiului din rezervor ρ = 880 kg/m3, raza şi lungimea semicilindrului R = 60 cm, respectiv l = 2,8 m, se cere să se determine modulul şi orientarea rezultantei forţelor de presiune pe suprafaţa semicilindrică. 3.16. Să se calculeze modulul şi orientarea rezultantei forţelor de presiune care acţionează asupra stăvilarului cilindric din figura 3.33, cunoscând următoarele: d = 2,4 m, h1 = d, h2 = d/2, lungimea cilindrului l = 4 m şi densitatea apei ρ = 1 kg/dm3. 3.17. O pâlnie cu capac (figura 3.34), care poate culisa vertical, fără frecare, într-un tub vertical, se află în echilibru cu o coloană de lichid. Neglijând greutatea pâlniei şi cunoscând raportul D/d = 4, se cere să se calculeze valoarea raportului H/h. 3.18. Un vas tronconic, de dimensiuni: d = 10 cm, D = 18 cm, h1 = 30 cm, comunică, printr-un tub în formă de U al cărui diametru este neglijabil, cu o coloană de lichid (figura 3.35). Cunoscând h2 = 1 m şi ρ = 0,96 kg/dm3, se cere să se determine modulul şi orientarea rezultantei forţelor de presiune care acţionează asupra vasului. 3.19. Pâlnia cu capac din figura 3.36 conţine un gaz, a cărui presiune este indicată de un manometru cu mercur. Cunoscând: d = 5 cm, D = 40 cm, h = 50 cm, hm = 32 cm, ρm = 13.600 kg/m3, se cere să se calculeze:

a) rezultanta forţelor de presiune care acţionează pe suprafaţa laterală a pâlniei; b) rezultanta forţelor de presiune pe capacul pâlniei.

3.20. Un corp de formă paralelipipedică, cu dimensiunile: b = 20 cm, l = 40 cm, h = 10 cm, se află în echilibru, în poziţia indicată (figura 3.37), într-un vas deschis, care conţine apă şi ulei. Ştiind că: h1 = 2 cm, ρa = 103 kg/m3, ρu = 900 kg/m3, se cere să se determine densitatea materialului din care este confecţionat corpul.

3.21. Rezervorul deschis din figura 3.38 este prevăzut, într-unul din pereţii laterali, înclinat cu unghiul α = 60° faţă de orizontală, cu un capac, format dintr-un semicilindru şi două jumătăţi de disc. Cunoscând: R = 60 cm, h = 2,3 m, lungimea capacului l = 3 m şi densitatea apei sărate din vas ρ = 1,115 kg/dm3, se cere să se determine modulul şi orientarea rezultantei forţelor de presiune care acţionează pe suprafaţa semicilindrică. 3.22. Se consideră sistemul din figura 3.39. Cunoscând următoarele: F = 1 kN, d = 15 cm, R = 30 cm, h1 = 40 cm, h2 = 50 cm, h3 = 70 cm, ρ1 = 1 kg/dm3, ρ2 = 1,15 kg/dm3, se cere să se determine: a) valorile absolută şi relativă ale presiunii gazului; b) rezultanta forţelor de presiune care acţionează asupra vasului. 3.23. Să se determine modulul şi orientarea rezultantei forţelor de presiune care acţionează pe suprafaţa curbă, de formă semicilindrică, a vasului din figura 3.40, cunoscând următoarele: α = 30°, F = 1,2 kN, d = 200 mm, h1 = 2d, h2 = 4d, R = 3d, lungimea vasului L = 2d, ρ1 = 1 kg/dm3, ρ2 = 0,8 kg/dm3.

3.24. Cunoscând următoarele: F = 6 kgf, d = 8 cm, h1 = 50 cm, h2 = 30 cm, h3 = 60 cm, R = 25 cm, ρ1 = 900 kg/m3, ρ2 = 850 kg/m3 (figura 3.41) se cere să se determine:

Figura 3.37 Figura 3.38 Figura 3.39 Figura 3.40

Figura 3.41 Figura 3.42 Figura 3.43 Figura 3.44 Figura 3.45

36 Capitolul 3. Statica fluidelor Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

a) valoarea presiunii relative în centrul rezervorului sferic; b) modulul şi orientarea rezultantei forţelor de presiune care acţionează asupra rezervorului. 3.25. Să se determine modulul şi orientarea rezultantei forţelor de presiune care acţionează pe suprafaţa curbă a vasului emisferic din figura 3.42, vas care conţine, în jumătatea sa superioară, un gaz sub presiune. Se cunosc următoarele: diametrul pistonului d = 25 cm, raza emisferei R = 2d, cotele h1 = 3d, h2 = 2d, h3 = 3d, densităţile ρ1 = 1 kg/dm3, ρ2 = 0,9 kg/dm3 şi modulul forţei F = 1,8 kN. 3.26. Să se determine modulul şi orientarea rezultantei forţelor de presiune care acţionează pe suprafaţa curbă (trei sferturi de cilindru) a vasului din figura 3.43, cunoscând următoarele: h1 = 1 m, h2 = 0,6 m, h3 = 0,8 m, R = 80 cm, lungimea vasului L = 120 cm, diametrul pistonului d = 10 cm, F = 0,2 kN şi densităţile celor două lichide nemiscibile ρ1 = 960 kg/m3, ρ2 = 880 kg/m3. 3.27. Să se determine modulul şi orientarea rezultantei forţelor de presiune care acţionează pe suprafaţa trei sferturi de cilindru a vasului din figura 3.44. Se cunosc: F = 0,36 kN, d = 100 mm, ρ1 = 1 kg/dm3, ρ2 = 0,9 kg/dm3, h1 = 2 m, h2 = 1,2 m, R = 150 cm şi lungimea vasului L = 120 cm. 3.28. Să se determine modulul rezultantei forţelor de presiune care acţionează pe suprafaţa curbă a vasului din figura 3.45. Se cunosc următoarele: diametrul pistonului d = 20 cm, raza cilindrului R = 30 cm, cotele h1 = 40 cm, h2 = 25 cm, h3 = 25 cm, h4 = 35 cm, h5 = 50 cm, densităţile celor trei lichide nemiscibile ρ1 = 1.000 kg/m3, ρ2 = 960 kg/m3 şi modulul forţei care acţionează asupra pistonului F = 1 kN. 3.29. Se cere rezultanta forţelor de presiune care acţionează pe suprafaţa curbă, de formă conică, a vasului din figura 3.46, cunoscând: F = 18 kgf, d = 0,1 m, h1 = 1,2 m, h2 = 0,5 m, R = 0,7 m, h* = 2 m, ρ1 = 0,9 kg/dm3, ρ2 = 0,78 kg/dm3.

3.30. În peretele despărţitor, plan vertical, al vasului din figura 3.47 este încastrată o sferă, cu diametrul d = 30 cm, confecţionată din lemn cu densitatea ρs = 620 kg/m3. Cunoscând: ha = 4 m, ρa = 1 kg/dm3 şi ρu = 0,905 kg/dm3, să se determine: a) înălţimea hu a uleiului, astfel încât rezultanta componentelor orizontale ale forţei de presiune care acţionează asupra sferei să fie nulă; b) rezultanta forţelor verticale asupra sferei. 3.31. Un vas paralelipipedic, cu dimensiunile L, l şi H, conţine lichid pe înălţimea de repaus h = H/4 şi are o mişcare de translaţie uniform accelerată (figura 3.48). Ştiind că L = 2H, se cere să se calculeze valorile acceleraţiei vasului cu lichid în următoarele situaţii: a) când suprafaţa liberă a lichidului trece prin punctul A; b) când suprafaţa liberă a lichidului trece prin punctul B, situat la jumătatea lungimii vasului. 3.32. Se cere să se calculeze volumul de lichid rămas într-un vas cilindric vertical deschis, cu diametrul d = 25 cm şi înălţimea h = 35 cm, iniţial plin cu lichid, în timpul rotirii acestuia cu turaţia n = 350 ture/min. 3.33. Un vas cilindric vertical, închis cu capac, având diametrul d = 30 cm şi înălţimea h = 15 cm, conţine lichid pe înălţimea de repaus h1 = 3h/4 şi se roteşte uniform în jurul axei sale de simetrie. Se cere să se calculeze turaţia n a vasului atunci când suprafaţa liberă a lichidului atinge baza vasului.

Figura 3.46 Figura 3.47 Figura 3.48

4. CINEMATICA FLUIDELOR Acest capitol se ocupă cu studiul mişcării fluidelor din punct de vedere cinematic, adică fără luarea în considerare a sistemului de forţe care determină mişcarea.

4.1. Noţiuni fundamentale de cinematica fluidelor 4.1.1. Parametrii cinematici ai mişcării unui fluid Mişcarea unui fluid este cunoscută din punct de vedere cinematic atunci când se cunoaşte legea de variaţie a unuia dintre cei trei parametri cinematici: vectorul de poziţie r

r, viteza v

r şi acceleraţia a

r, care sunt legaţi între ei prin relaţiile

.dd,

dd

tva

trv

rr

rr

== (4.1)

Pentru stabilirea legilor de variaţie în spaţiu şi timp a parametrilor cinematici se folosesc două metode. Metoda LAGRANGE constă din găsirea legii de variaţie a vectorului de poziţie în raport cu coordonatele x0, y0, z0 ale poziţiei iniţiale a particulei de fluid, numite variabilele LAGRANGE: ( ) ,,,, 0001 tzyxfr

rr= (4.2)

după care se folosesc relaţiile (4.1) pentru aflarea legilor de variaţie a vitezei şi acceleraţiei. În cazul metodei EULER, care este utilizată în mod curent, se stabileşte mai întâi legea de variaţie a vitezei particulei de fluid în timp şi spaţiu: ( ) .,,,2 tzyxfv

rr= (4.3)

Proiecţiile vitezei vr pe cele trei axe carteziene, notate cu vx, vy, vz, se numesc variabilele EULER şi se folosesc la determinarea vectorului de poziţie şi acceleraţiei astfel ,ddd ∫∫∫ ++= tvktvjtvir zyx

rrrr (4.4)

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂= z

yy

yx

yyz

xy

xx

xx vz

vv

yv

vx

vt

vjv

zvv

yvv

xv

tvia

rrr

.⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂+ z

zy

zx

zz vzvv

yvv

xv

tvk

r (4.5)

4.1.2. Câmp de viteze Mulţimea vectorilor viteză asociaţi particulelor unui fluid aflat în mişcare se numeşte câmp de viteze. Variaţia în timp a câmpului de viteze este exprimată de relaţia (4.3). Mişcarea unui fluid este staţionară sau nestaţionară după cum câmpul vitezelor este invariabil, respectiv variabil în timp.

4.1.3. Linie de curent Locul geometric al punctelor la care vectorii viteză ai particulelor de fluid sunt tangenţi se numeşte linie de curent. Dacă se notează cu s

rd un element vectorial de linie de curent şi cu v

r viteza fluidului în originea elementului

sr

d , din definiţia liniei de curent rezultă ecuaţia vectorială a acesteia: .0d =× sv

rr (4.6)

Ştiind că ,dddd, zkyjxisvkvjviv zyx

rrrrrrrr++=++= (4.7)

iar produsul vectorial are expresia

( ) ( ) ( ) ,ddddddddd

d xvyvkzvxvjyvzvizyx

vvvkji

sv yxxzzyzyx −+−+−==×rrr

rrr

rr

ecuaţia vectorială (4.6) este echivalentă cu relaţiile

,ddd

zyx vz

vy

vx

== (4.8)

numite ecuaţiile scalare ale liniei de curent. 4.1.4. Tub de curent Mulţimea liniilor de curent care trec printr-o linie curbă închisă formează o suprafaţă tubulară care mărgineşte un domeniu tubular numit tub de curent. Suprafaţa tubului de curent are caracter de instantaneitate (se modifică în timp) şi se comportă ca o suprafaţă impermeabilă (nu este traversată de fluid).

Mecanica fluidelor 51 Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

,dd

ddd

ddd 2

22

1

2

1tzl

tvls

tvs

tv

s

s

s

s

===∂∂

∫∫

deci relaţia (5.69) se reduce la ecuaţia diferenţială

,02dd

2

2=+ z

lg

tz (5.70)

care are soluţia ,sincos tBtAz ω+ω= (5.71) unde lg2=ω (5.72) se numeşte pulsaţia mişcării. Punând ecuaţiei mişcării (5.71) condiţiile iniţiale

,0şi,0la 0 === vzzt se obţin constantele de integrare A = z0 şi B = 0, iar ecuaţia (5.71) devine .cos0 tzz ω= (5.73) Perioada mişcării de oscilaţie are expresia .22 glTo π=ωπ= (5.74)

5.7. Probleme 5.7.1. Probleme rezolvate 5.1. Să se calculeze forţa cu care acţionează lichidul asupra unei conducte curbe orizontale (figura 5.21) prin care se transportă ţiţei de densitate ρ = 830 kg/m3, la debitul Q = 14 dm3/s şi presiunea în zona curbă p = 1 MPa. Conducta are diametrul d = 15 cm şi unghiul de curbură β = 75°. Rezolvare Aşa cum s-a explicat în §5.5.1, fluidul exercită pe partea exterioară a cotului o forţă de impuls iR

r, ale cărei componente se obţin prin proiectarea pe axele Ox, Oy a ecuaţiei

(5.12) astfel: ( ) ,0coscos 221112 ixRApApvvQ −+β−=−βρ

( ) ,0sin00sin 222 iyRApvQ −+β+=−β−ρ unde s-a avut în vedere că greutatea lichidului din volumul de control este verticală, deci nu se proiectează în planul xOy, şi că normala interioară 2n

r are direcţia vitezei 2v

r dar sens contrar. Din aceste relaţii se pot exprima componentele reacţiunii

impulsului ( ) ,coscos 212211 β−ρ+β−= vvQApApRix ( ) .sin222 βρ+= vQApRiy

Întrucât secţiunea transversală a conductei este constantă, din ecuaţia continuităţii scrisă între secţiunile de intrare 1 şi de ieşire 2 rezultă că vitezele v1 şi v2 sunt egale, iar din ecuaţia energiei (5.27) se constată că şi presiunile p1, p2 sunt egale. Înlocuind în expresiile precedente A1 = A2 = A, v1 = v2 = v şi p1 = p2 = p, se obţin relaţiile

( )( ) ( ) ,sin,cos1 βρ+=β−ρ+= vQApRvQApR iyix iar rezultanta celor două componente este

( ) ( ) .cos1222 β−ρ+=+= vQApRRR iyixi

Succesiunea calculelor este următoarea:

,m/s7922,015,0104,144,m10767,1

415,0

4 2

2

222

22=

⋅π⋅⋅

=π

=⋅=⋅π

=π

=−

−

dQvdA

( ) ( ) .N527.2175cos127922,0104,183010767,110 226 =°−⋅⋅⋅+⋅⋅= −−iR

5.2. Un capac circular de dimensiuni relativ mici, cu marginea curbată în unghi drept spre amonte, se află în echilibru sub acţiunea jetului vertical de apă care iese dintr-o conductă cu diametrul interior d0 (figura 5.22). Considerând că apa este un fluid perfect, aflat în mişcare staţionară, şi cunoscând: v0 = 5 m/s, d0 = 20 cm, ρ = 103 kg/m3 şi greutatea capacului G = 150 N, se cere să se calculeze înălţimea de echilibru h. Rezolvare Se proiectează teorema impulsului (5.12) pe axa Ox, avându-se în vedere că p1 = p2 = p0 (deoarece jetul de lichid este liber), deci Fp1 = Fp2 = 0, şi neglijând greutatea lichidului din volumul de control cuprins între secţiunile 1 şi 2, care sunt foarte apropiate de capac, astfel

( ) ,00012 ixRvvQ −++=−−ρ rezultând că

Figura 5.20. Tub U cu

lichid perfect

Figura 5.21

Figura 5.22

52 Capitolul 5. Dinamica fluidelor perfecte Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

( ) .21 vvQRix +ρ=

Ecuaţia energiei (5.27) scrisă între secţiunile 1 şi 2, alegând ca linie de referinţă orizontala ce trece prin secţiunea 0, are forma

,22

220

210

gv

gph

gv

gph +

ρ+=+

ρ+

care conduce la concluzia că v1 = v2, deci Rix = 2ρQv1. Condiţia de echilibru al capacului este Rix = G, iar pe de altă parte

0

20

4vdQ π

=

şi ecuaţia precedentă capătă forma

.24

2 1020

10

20 vvdvvdG ρπ

=π

ρ=

Scriind din nou ecuaţia energiei (5.27), de data aceasta între secţiunile 0 şi 1,

,22

0210

200

gv

gph

gv

gp

+ρ

+=+ρ

+

se explicitează

,2201 hgvv −=

care se înlocuieşte în egalitatea precedentă

( )4

22

2 20

20

240

22

200

20 hgvvdG

hgvvdG −ρπ

=⇒−ρπ

=

şi se găseşte

.2

420

240

2

220

gvd

Gvh ρπ

−=

Înlocuind datele problemei se află valoarea numerică

( ) .m263,1806,92

5102,0

1504522342

22

=⋅

⋅⋅⋅π

⋅−

=h

5.3. O turbină PELTON (figura 5.11) are raza medie r = 1,2 m şi unghiul fiecărei cupe a = 18°. Să se afle momentul şi puterea turbinei dacă viteza cupei este 0,48 din viteza jetului, iar jetul are diametrul d = 75 mm şi viteza vj = 30 m/s. Rezolvare Din ecuaţia continuităţii se calculează debitul de lichid

,/sm13254,0304075,0

43

22=⋅

⋅π=

π= jvdQ

apoi se aplică relaţia (5.44) ştiind că ωr = 0,48vj = 14,4 m/s, astfel ( )( ) ( ) ,N·m7,840.418cos13052,02,113254,010cos1 3 =°+⋅⋅⋅⋅=α+ω−ρ= rvrQM jh

iar din expresia (5.18), în care ω = ωr/r = 14,4/1,2 = 12 rad/s, se găseşte puterea hidraulică a turbinei: .W4,088.587,840.412 =⋅=ω= hh MP

5.4. Să se calculeze cota suprafeţei libere a lichidului dintr-un tub în formă de U (figura 5.20), la timpul t = 60 s, ştiind că mişcarea începe la timpul t = 0, când cota suprafeţei libere este z0 = 0,2 m. Coloana de lichid perfect are lungimea l = 2 m. Rezolvare Conform demonstraţiei din §5.6.7, se aplică succesiv ecuaţiile (5.72) şi (5.74) din care se obţin valorile pulsaţiei mişcării, respectiv perioadei acesteia:

,s13145,32806,922 1−=⋅==ω lg ,s0065,213145,322 =π=ωπ=oT

apoi din relaţia (5.73) se găseşte cota suprafeţei libere ( ) .m198,06013145,3cos2,0cos0 −=⋅⋅=ω= tzz

5.7.2. Probleme propuse 5.5. O conductă orizontală, al cărei traseu face, în plan, unghiul α = 30°, este formată din două tronsoane, cu diametrele d1 = 200 mm, d2 = 120 mm, unite printr-o porţiune curbă cu secţiunea variabilă (figura 5.23). Cunoscând: v1 = 5 m/s, p1 = 1,5 MPa şi densitatea lichidului transportat ρ = 0,88 kg/dm3, se cere să se determine reacţiunea impulsului asupra porţiunii curbe a conductei.

64 Capitolul 6. Mişcări potenţiale Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

,0 Γρ= vRy (6.98)

cunoscută sub numele de teorema KUTTA–JUKOVSKI. Portanţa Ry şi, odată cu ea, circulaţia Γ au o importanţă primordială în aerodinamică. Cu ajutorul transformărilor conforme pot fi stabilite mişcări potenţiale bidimensionale incompresibile în jurul profilelor hidrodinamice. 6.3. Probleme 6.3.1. Problemă rezolvată

6.1. Se consideră mişcarea potenţială generată de două surse plane pozitive, cu intensităţi egale (+Q), situate la distanţa 2d una faţă de cealaltă (figura 6.14). Se cere să se stabilească spectrul mişcării. Rezolvare Pentru mişcarea compusă generată de cele două surse plane, se scrie potenţialul complex prin însumarea potenţialelor complexe ale surselor, de forma (6.40), astfel

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] .ln2

ln2

lnln2 21212121 θ+θ+

π=

π=+

π= irrQzzQzzQzf

Se separă partea reală şi cea imaginară, care sunt egalate cu constante pentru a defini ecuaţiile liniilor echipotenţiale, respectiv liniilor

de curent

( ) ( ) .2

,ln2 2121 KQCrrQ

=θ+θπ

=ψ=π

=ϕ

Prima ecuaţie se prelucrează astfel: ,*

21 crrC =⇔=ϕ

dar ( ) 221 ydxr ++= , r2 = ( ) 22 ydx +− , deci

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ] ,, 2*2222*2222 ccydxydxcydxydx ==+−++=+−++

( ) ( ) ( ) ,02 2422222222 =+−+++− cdyxdydx ecuaţie care arată că liniile echipotenţiale formează familia de lemniscate ale lui BERNOULLI. A doua ecuaţie devine:

( ) .tgarctg, *2121

*21 kkK =θ+θ=θ+θ=θ+θ⇔=ψ

( ) .tgtg1tgtgtg

21

2121 k=

θθ−θ+θ

=θ+θ

Din figura 6.14 se constată că

,tg,tg 21 dxy

dxy

−=θ

+=θ

deci

,02

1

222

22

2 =−−−⇔=

−+

−+

+ dyxk

yxk

dxy

dxy

dxy

expresia obţinută fiind ecuaţia liniilor de curent. 6.3.2. Problemă propusă 6.2. Se consideră mişcarea potenţială generată de două surse plane pozitive, cu intensităţile Q1 = 10 m3/zi, respectiv Q2 = 20 m3/zi, situate în punctele de coordonate x1 = –20 m, y1 = 0, respectiv x2 = 20 m, y2 = 5 m (figura 6.15). Se cere să se calculeze valorile vx şi vy ale componentelor vitezei fluidului în punctul M, de coordonate x = 30 m, y = 30 m.

Figura 6.14

Figura 6.15

72 Capitolul 8. Similitudinea şi analiza dimensională Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

dhgv

gpz

gv

gpz +

α+

ρ+=

α+

ρ+

22

222

2

211

1 (7.58)

şi reprezintă ecuaţia lui BERNOULLI pentru un tub de curent de fluid vâscos. Ecuaţia (7.58), ca şi relaţia (5.27), se pretează la o interpretare geometrică (figura 7.3), în cadrul căreia se pune în evidenţă o nouă linie caracteristică faţă de cele definite în contextul ecuaţiei (5.27). Aceasta se numeşte linie energetică şi rezultă prin scăderea valorilor termenului hd din cota liniei de sarcină hidraulică, de-a lungul tubului de curent. În cazul tubului de curent, linia de poziţie este reprezentată de axa tubului, linia energetică este o curbă care coboară continuu, în timp ce linia piezometrică urcă sau coboară, în funcţie de aria suprafeţei secţiunii transversale a tubului, putând să coboare sub linia de poziţie dacă secţiunea transversală este, în acea zonă, suficient de mică pentru a determina scăderea presiunii sub valoarea celei din exterior.

7.5. Probleme 7.5.1. Probleme rezolvate 7.1. Să se stabilească regimul de mişcare a ţiţeiului, cu densitatea ρ = 830 kg/m3 şi vâscozitatea dinamică μ = 10 cP, printr-o conductă cu secţiunea transversală de forma unui trapez isoscel, cu dimensiunile B = 3 cm, b = 2 cm, h = 2 cm, dacă debitul de ţiţei transportat prin conductă este Q = 2,5 dm3/s. Rezolvare Regimul de mişcare poate fi stabilit prin calcularea valorii numărului REYNOLDS, definit de ecuaţia (7.1), în care lungimea caracteristică l este diametrul echivalent hidraulic dh, adică

,Reμ

ρ= hdv

unde dh = 4Rh = 4A/Pu, A fiind aria suprafeţei secţiunii transversale prin conductă, iar Pu – perimetrul udat al secţiunii.

În cazul de faţă, A = (B + b)h/2, Pu = 2

2

22 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+++bBhbB , deci

.44Reuu PA

QPA

AQ

μρ

=μρ

=

Datele problemei înlocuite în ecuaţiile de mai sus duc la valorile

,m10123,9cm123,92

232223 22

2 −⋅==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+++=uP

.098.910123,91010

105,28304Re 23

3=

⋅⋅⋅⋅⋅⋅

= −−

−

Întrucât Re > 3.000, mişcarea este turbulentă. 7.2. Între două plăci orizontale, situate la distanţa d = 1 cm una faţă de cealaltă, se află un lichid cu viscozitatea dinamică μ = 30 mPa·s. Ştiind că placa superioară glisează cu viteza v1 = 5 cm/s, iar placa inferioară alunecă cu viteza v2 = –1 cm/s, se cer următoarele: a) să se stabilească legea de variaţie a vitezei lichidului; b) să se calculeze tensiunea tangenţială corespunzătoare cotei z = d/2, precum şi debitul de lichid care traversează secţiunea transversală a spaţiului dintre plăci pe lăţimea L = 1 m. Rezolvare a) Plăcile se mişcă în sensuri contrare, antrenând astfel în mişcare şi lichidul dintre ele. Se scrie prima ecuaţie NAVIER-STOKES

,1xz

xy

xx

xx vxpXv

zvv

yvv

xv

tv

Δρμ

+∂∂

ρ−=

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂

∂ (7.10.1)

care se particularizează pentru vx = v, vy = vz = 0, 0=∂

∂t

vx deoarece mişcarea este staţionară, X = 0, xp

∂∂ = 0, iar ecuaţia

Figura 7.3. Interpretarea geometrică a ecuaţiei energiei pentru un fluid vâscos

incompresibil aflat în mişcare staţionară

Mecanica fluidelor 73 Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

de continuitate se reduce la forma 0=∂

∂x

vx . Se obţine astfel din ecuaţia (7.10.1) relaţia Δvx = 0, unde

,2

2

2

2

2

2

zv

yv

xv

v xxxx

∂

∂+

∂

∂+

∂

∂=Δ

deci, în final, se poate scrie ecuaţia diferenţială a mişcării

.0dd

2

2=

zv (7.59)

Prin integrarea ecuaţiei (7.59) se găseşte soluţia v = az + b , (7.60) asociată cu condiţiile la limite la z = 0 , v = –v2 , la z = d , v = v1 . (7.61) Punând condiţiile la limite (9.52) ecuaţiei (9.51) rezultă expresiile constantelor de integrare

,, 221 vb

dvva −=

+=

iar soluţia (7.60) devine

,221 vz

dvvv −

+= dacă v1 > v2 . (7.62)

b) Pentru un fluid newtonian, efortul unitar tangenţial (tensiunea tangenţială) are expresia

( ) ,,dd

21 zvvdz

v∀+

μ=μ=τ (7.63)

din care se obţine, cu datele problemei, valoarea la mijlocul spaţiului dintre plăci

( ) .Pa12,0101510

1030 22

3

2=⋅−

⋅=τ=τ −

−

−

=dz

c) Întrucât viteza este variabilă pe direcţia z, debitul total se obţine prin integrarea debitelor elementare de forma dQ = v dA = v L dz între 0 şi d, astfel

,22

d 221

02

221

0

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+== ∫ vvvdLzvz

dvvLzvLQ

dd

(7.64)

având valoarea

./sm1031012

15101 3422 −−− ⋅=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−⋅=Q

7.5.2. Probleme propuse 7.3. Printr-o conductă cu secţiunea transversală de formă pătrată, având latura a, se transportă ţiţei cu densitatea ρ = 880 kg/m3 şi vâscozitatea cinematică ν = 4 cSt, la debitul Q = 0,2 dm3/s, în regim laminar limită. Se cere să se calculeze latura secţiunii conductei. 7.4. Dintr-un rezervor deschis se scurge apă printr-o conductă orizontală, cu diametrul d = 20 mm şi lungimea l = 3 km (figura 7.4). Cunoscând: sarcina hidraulică la intrarea în conductă h = 2 m, densitatea şi vâscozitatea apei ρ = 103

kg/m3, μ = 1 cP şi admiţând că presiunea la capătul final al conductei este cea atmosferică, se cere debitul de apă. 7.5. Printr-o conductă orizontală, cu diametrul d = 5 mm şi lungimea l = 10 m, se transportă ulei cu densitatea ρ = 904 kg/m3 şi vâscozitatea dinamică μ = 35 cP, la debitul Q = 5 cm3/s. Se cere să se calculeze următoarele: a) presiunea de pompare, ştiind că presiunea la capătul final al conductei este egală cu cea atmosferică; b) viteza medie a uleiului în conductă; c) forţa de frecare pe peretele conductei. 7.6. Între două plăci orizontale, situate la distanţa d = 1 cm una faţă de cealaltă, se află un lichid cu viscozitatea dinamică μ = 30 mPa·s. Ştiind că placa superioară glisează cu viteza v1 = 5 cm/s, iar placa inferioară este imobilă, se cer următoarele: a) să se stabilească legea de variaţie a vitezei lichidului; b) să se calculeze tensiunea tangenţială corespunzătoare cotei z = d/2, precum şi debitul de lichid care traversează secţiunea transversală a spaţiului dintre plăci pe lăţimea L = 1 m. 7.7. Între două plăci orizontale, situate la distanţa d = 1 cm una faţă de cealaltă, se află un lichid cu viscozitatea dinamică μ = 30 mPa·s. Ştiind că lichidul se mişcă sub acţiunea gradientului de presiune (p1 – p2)/l = 2 Pa/m, iar plăcile sunt imobile, se cer următoarele:

Figura 7.4

80 Capitolul 8. Similitudinea şi analiza dimensională Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

.,, 6524 dk

dvvp =π

ρμ

=πρ

τ=π (8.44)

Ca urmare, prin înlocuirea parametrilor adimensionali în relaţia (8.41), se obţine ecuaţia tensiunii tangenţiale la peretele conductei

,2

2vfp

ρλ=τ (8.45)

unde

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=λ

dkFf Re,2 (8.46)

şi se numeşte coeficientul de rezistenţă hidraulică al lui FANNING. 8.3. Probleme 8.1. O paraşută de formă emisferică, de care este suspendat un colet, coboară spre suprafaţa solului, în condiţii de echilibru dinamic, cu viteza v = 4,5 m/s. Cunoscând: greutatea totală a sistemului paraşută–colet G = 1,2 kN, presiunea şi temperatura aerului atmosferic p = 750 torr, respectiv T = 283,15 K, constanta universală a gazelor Ru = 8.314,3 J/(kmol·K), masa molară a aerului Ma = 28,9 kg/kmol, precum şi valoarea coeficientului de rezistenţă la înaintare Cr = 1,33, se cere să se calculeze diametrul paraşutei. Rezolvare Forţa de rezistenţă la înaintare are expresia (8.40), în care aria emisferei este A = πd2/2. Condiţia de echilibru dinamic al paraşutei implică R = G, deci se poate scrie ecuaţia

,42

222GvdCvACR rr =

ρπ=

ρ=

din care se exprimă diametrul paraşutei sub forma

.42vC

Gdr ρπ

=

Densitatea aerului poate fi aflată din ecuaţia de stare a gazelor reale

,TRZ

MpM

TRZTRZp

u

a

a

u =ρ⇒==ρ

în care Z ≅ 1, deoarece p şi T au valori apropiate de cele aferente stării normale. Se obţin astfel valorile:

,kg/m2275,115,2833,314.81

9,28322,133750 3=⋅⋅

⋅⋅=ρ

.m798,65,42275,133,1

102,142

3=

⋅⋅⋅π⋅⋅

=d

Mecanica fluidelor 89 Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

obţinută din soluţia ecuaţiei coardei vibrante care guvernează şocul hidraulic în condiţiile neglijării efectelor frecării lichidului. 9.9. Probleme 9.9.1. Problemă rezolvată 9.1. Să se calculeze presiunea la capătul iniţial al unei conducte formate din două tronsoane, cuplate în serie, având lungimile l1 = 4 km, l2 = 6 km, diametrele d1 = 18 cm, d2 = 15 cm şi cotele capetelor iniţial şi final zi = 80 m, zf = 180 m, ştiind că prin conductă se transportă ţiţei cu densitatea ρ = 0,83 kg/dm3 şi vâscozitatea dinamică μ = 5 cP, la debitul Q = 5 dm3/s şi presiunea finală pf = 2 bar. Rezolvare

Cu relaţia (9.37) în care 24dQv

π= , se calculează valorile numărului REYNOLDS pe cele două tronsoane

.045.710515,0

1051083,044Re,871.510518,0

1051083,044Re 3

33

223

33

11 =

⋅⋅⋅π⋅⋅⋅⋅

=μπ

ρ==

⋅⋅⋅π⋅⋅⋅⋅

=μπ

ρ= −

−

−

−

dQ

dQ

Valorile Re1, Re2 sunt mai mari decât Relim = 3.000, dar au acelaşi ordin de mărime cu Relim, deci mişcarea este, în ambele tronsoane, turbulentă în domeniul conductelor netede. Apelând la formula lui Blasius (9.12) se calculează

,03453,0045.73164,0Re3164,0,03614,0871.53164,0Re3164,0 25,025,022

25,025,011 =⋅==λ=⋅==λ

care se înlocuiesc în ecuaţia (9.42) particularizată astfel

( ) ,852

2251

112

2

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ λ+

λπρ

+−ρ+=d

ld

lQzzgpp iffi

( ) ( ) .bar72,10Pa654.072.115,0

10603453,018,0

10403614,0105830880180806,9830102,0 5

3

5

3

2

236 ≅=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅⋅+

⋅⋅π

⋅⋅⋅+−⋅+⋅=

−

ip

9.9.2. Probleme propuse 9.2. Să se calculeze presiunea la capătul final al unei conducte, prin care se transportă ţiţei, cu densitatea ρ = 810 kg/m3 şi vâscozitatea cinematică ν = 10 cSt, la debitul Q = 1.500 m3/zi, dacă presiunea de pompare are valoarea absolută pi = 4 MPa. Conducta este formată din două tronsoane, cuplate în serie, având lungimile l1 = 25 km, l2 = 30 km, diametrele d1 = 25 cm, d2 = 22 cm şi cotele extremităţilor zi = 30 m, zf = 110 m. 9.3. Să se calculeze presiunea în punctul iniţial al unei conducte de diametru d = 200 mm şi lungime l = 1 km, prin care se transportă un lichid cu densitatea ρ = 830 kg/m3 şi vâscozitatea dinamică μ = 2,5 mPa·s, la debitul Q = 0,4 m3/s şi presiunea finală pf = 1,5 bar. Conducta are rugozitatea echivalentă k = 0,2 mm, iar cotele capetelor iniţial şi final ale conductei sunt zi = 250 m, zf = 330 m.

96 Capitolul 10. Scurgerea lichidelor prin orificii sau ajutaje şi peste deversoare Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

10.5. Probleme 10.5.1. Probleme rezolvate

10.1. În peretele lateral al unui vas deschis, care conţine apă, este prevăzut un orificiu dreptunghiular cu perete subţire, având dimensiunile a = 60 mm şi b = 40 mm (figura 10.7). Admiţând pentru coeficientul de debit al orificiului valoarea constantă cd = 0,6, se cere să se calculeze valorile Q1 şi Q2 ale debitului de compensare necesar pentru menţinerea sarcinii hidraulice faţă de centrul orificiului la valorile: a) H1 = 30 cm; b) H2 = 1,8 m. Rezolvare a) Întrucât H1/a = 0,3/0,06 = 5 < 10, orificiul este mare, de formă dreptunghiulară, iar debitul se calculează cu ecuaţia (10.10), în care h1 = H1 – a/2 = 0,27 m, h2 = H1+ a/2 = 0,33 m:

( ) ./sm10491,327,033,0806,9204,06,032 335,15,1

1−⋅=−⋅⋅=Q

b) De această dată H1/a = 1,8/0,06 = 30 > 10, deci orificiul este mic şi se foloseşte relaţia (10.6), unde Ao = ab, astfel

./sm10556,88,1806,9204,006,06,0 332

−⋅=⋅⋅⋅⋅=Q 10.2. Să se calculeze timpul de golire totală a unui rezervor paralelipipedic, cu aria bazei A = 4 m2 şi înălţimea h = 4 m, printr-un orificiu circular cu perete subţire, având diametrul do = 8 cm şi coeficientul de debit cd = 0,59, plasat la baza rezervorului. Rezolvare Ecuaţia timpului de golire (10.25) în care Ao = πdo

2/4, conduce la valoarea

."2,18'20s2,218.1806,92

408,059,0

482

822 ==

⋅⋅π⋅⋅

=π

=g

hdc

Atod

10.5.2. Probleme propuse 10.3. Să se calculeze timpul de golire totală a rezervorului cilindric vertical din figura 10.8, ştiind că rezervorul are diametrul d = 2 m şi înălţimea h = 3 m şi este prevăzut, la bază, cu un ajutaj vertical, având dimensiunile da = 50 mm, l = 200 mm şi coeficientul de debit cda = 0,8.

10.4. Să se calculeze timpul de golire totală a rezervorului tronconic vertical, cu dimensiunile: D = 3 m, d = 2 m, h = 5 m, din figura 10.9, printr-un orificiu circular cu perete subţire, având diametrul do = 50 mm şi coeficientul de debit cd = 0,61, plasat la baza rezervorului. 10.5. Să se calculeze durata golirii totale a unui rezervor sferic, cu raza R = 2 m, printr-un orificiu circular cu perete subţire, având diametrul d = 70 mm şi coeficientul de debit cd = 0,61, plasat la baza rezervorului (figura 10.10).

Figura 10.7

Figura 10.8 Figura 10.9 Figura 10.10

Mecanica fluidelor 101 Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

11.5. Saltul hidraulic Saltul hidraulic este fenomenul de trecere de la regimul rapid la regimul lent într-o zonă a canalului în care apare o reducere bruscă a secţiunii transversale. Pentru studiul saltului hidraulic se consideră mişcarea staţionară a lichidului într-un canal, în condiţiile în care poziţia saltului hidraulic este invariabilă. Considerând un volum de control, delimitat de secţiunile verticale şi (figura 11.5) şi aplicând ecuaţia de continuitate şi teorema impulsului, în condiţiile în care presiunea corespunde legii hidrostaticii, iar forţa de frecare a lichidului de pereţii canalului (cu lăţimea b) este neglijabilă, se obţin relaţiile ,2211 Qvhbvhb == (11.37)

( ) .22 12

22

11 vvQhghbhghb −ρ=

ρ−

ρ (11.38)

Eliminând vitezele v1 şi v2 între aceste relaţii, rezultă ecuaţia

( ) ,2 21

212

22

21 hh

hhb

Qhhbg −=− (11.39)

care, după simplificare cu h1 – h2 şi amplificare cu 2h2/(gb), devine

012

12

2

2122 =−+

hbgQhhh (11.40)

şi are soluţia pozitivă

.2

181

2

2211

2hbg

Qhhh

++−

= (11.41)

Saltul hidraulic are loc dacă adâncimea lichidului creşte peste o valoare limită, care este egală cu adâncimea critică dată de relaţia (11.12). Ţinând seama că h2 > h1 , (11.42) pe baza relaţiei (11.41) se obţine

,1821

11

2211 h

hgQhh s >⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++−

de unde, prin adunarea lui h1/2 în ambii membri şi ridicare la pătrat, rezultă

,498

41 2

11

221 h

hgQh s >⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

sau

,22 21

1

2h

hgQs < (11.43)

unde Qs = Q/b este debitul specific (pe unitatea de lăţime a canalului). Explicitând din relaţia (11.43) adâncimea h1, se obţine inegalitatea

,1

312h

gQs >⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ (11.44)

care, în baza relaţiei (11.12), devine hc > h1 (11.45) şi arată că, pentru apariţia saltului hidraulic, este necesar ca, în zona de adâncime h1, mişcarea să fie în regim rapid, iar în zona de salt adâncimea lichidului să crească la o valoare mai mare decât adâncimea critică.

11.6. Probleme 11.6.1. Problemă rezolvată 11.1. Printr-un canal cu secţiunea transversală de formă dreptunghiulară, având lăţimea b = 3 m (figura 11.6), se transportă apă, la debitul Q = 6 m3/s. Se cer: a) adâncimea critică a apei în canal; b) viteza critică; c) energia specifică minimă.

Figura 11.5. Saltul hidraulic

102 Capitolul 11. Mişcarea lichidelor în canale Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

Rezolvare a) Ecuaţia (11.8) în care v = Q/A = Q/(b h), devine

,2 22

2

hbQhgEs +=

deci condiţia de minim al funcţiei Es(h) (11.11) se particularizează sub forma

,02 32

2=−=

∂∂

c

s

hbQg

hE

din care se obţine adâncimea critică

.m7416,0806,93

63

2

23

2

2=

⋅==

gbQhc

b) Viteza critică este

.m/s697,27416,036

=⋅

==c

c hbQv

c) Din ecuaţia (11.14) se găseşte valoarea

.J/kg909,102

697,27416,0806,92

=+⋅=smE

11.6.2. Probleme propuse

11.2. Printr-un canal, cu secţiunea transversală de formă triunghiulară, având unghiul la vârf θ = 60° (figura 11.7), se transportă apă, la debitul volumic Q = 1,3 m3/s. Cunoscând adâncimea apei din canal h = 2,5 m şi considerând că mişcarea acesteia este uniformă, se cer următoarele: a) regimul de mişcare a apei; b) viteza critică. 11.3. Un canal, destinat transportului apei, are secţiunea transversală de formă dreptunghiulară (figura 11.8), cu dimensiunile b = 2 m, h = 1,4 m, panta geometrică i = 10–3 şi pereţii din pământ (pentru care parametrul de rugozitate are valoarea n = 0,025). Se cere să se calculeze debitul maxim de apă care poate fi transportat prin canal, în condiţiile mişcării uniforme. 11.4. Printr-un canal, cu secţiunea transversală de forma unui trapez isoscel (figura 11.9), se transportă apă. Cunoscând: dimensiunile secţiunii B = 8 m, b = 2 m, h = 2 m, panta geometrică a canalului i = 2·10–3 şi valoarea parametrului de rugozitate n = 0,025, se cere să se calculeze debitul maxim de apă care poate fi transportat, în condiţiile mişcării uniforme.

Figura 11.6

Figura 11.7 Figura 11.8 Figura 11.9

112 Capitolul 12. Mişcarea gazelor Copyright© 2004…2013 Eugen Mihail Ionescu

Pentru un difuzor divergent, la care curentul din amonte este subsonic, funcţionarea este în întregime subsonică, iar principala problemă care se pune constă în asigurarea condiţiilor necesare realizării difuziei totale şi minimizării efectelor neizentropice, astfel încât numai o mică parte din energia cinetică să devină energie internă. În cazul în care curentul din amonte este supersonic, înainte de intrarea în difuzor se va forma o undă de şoc normală, care se poate extinde sub forma unei unde conice. Difuzoarele convergent–divergente funcţionează, în condiţiile de proiectare, în sensul opus ajutajelor convergent–divergente. Curentul supersonic intră în difuzor, unde îşi micşorează viteza, ajungând, în secţiunea minimă, la regimul sonic (Ma = 1), după care trece în porţiunea divergentă ca un curent subsonic, corespunzător procesului de difuzie subsonică. Difuzoarele cu pivot sau corp central au fost cercetate pentru prima oară de OSWATISCH. Ele pot realiza o recuperare mai bună a presiunii prin procesul de difuzie din cadrul uneia sau mai multor unde de şoc conice, în regim supersonic, urmată de o undă plană şi, în final, de un proces de difuzie subsonică. Unda conică se formează la vârful corpului central (ieşit din difuzor), iar unda normală apare la intrarea în difuzor, Corpul central poate fi: un con simplu, un con dublu sau un con izentropic; în funcţie de aceste tipuri de corp, se asigură cea mai bună funcţionare a difuzorului la numere MACH superioare lui 2, cuprinse între 2,5 şi 3, respectiv situate în intervalul 3…3,5. 12.6. Probleme 12.1. Printr-o conductă urmează să se transporte gaz metan, cu debitul volumic Q0 = 7000 hm3

N , pe distanţa l

= 30 km, între presiunile p1 = 9 bar şi p2 = 2 bar, la temperatura medie T = 10 °C Se mai cunosc următoarele: densitatea relativă şi parametrii critici ai gazului metan: ρr = 0,554, pc = 46,4 bar, Tc = 191,1 K, precum şi constanta aerului Ra = 288,28 J/(kg·K). Se cere să se calculeze diametrul interior al conductei de transport. Rezolvare Ecuaţia (12.55) a debitului de gaze, în care λ se exprimă prin formula (12.56) iar A = πd2/4, devine, după ridicarea la pătrat

( ) ( ) ,150512,0009407,016 2

0

31622

21

20

23122

21

20

20

4220 lTZp

dppRTlTZ

dppdp

RTdQr

a

r

a

ρ−π

=ρ

−π=

şi permite exprimarea diametrului interior al conductei sub forma

( ) .150512,0

163

22

21

20

2

20

20

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−π

ρ=

ppRTQlTZp

da

r

Factorul de abatere Z = 0,995 se citeşte din diagrama STANDING – KATZ (figura 2.4) în funcţie de valorile

,482,11,191

15,27310,1185,04,462

292

21 =+

===⋅+

=+

==c

rcc

mr p

TTp

ppppp

apoi se calculează

( )( ) .m196,0

102928,28815,273600.3/000.7103015,283554,0995,0325.101150512,0

163

102222

232=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅−⋅⋅π

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=d