SISTEME DINAMICE

NOTE DE CURS

OTILIA LUNGU-LECTOR UNIV. DR. UNIVERSITATEA VASILE ALECSANDRI DIN BACU

2

NOIUNI INTRODUCTIVE

Scopul acestui curs este de a deschide o u spre o matematic modern bazat pe idei i concepte noi. Cititorul este cel care va hotr pn unde va nainta n acest edificiu: se poate opri n anticamer, sau poate ajunge pn n cel mai nalt turn. Sistemele dinamice reprezint o ramur a metematicii care studiaz procesele n micare. Astfel de procese se regsesc n toate ramurile tiinei. De exemplu, micarea planetelor este un sistem dinamic ce a fost studiat de-a lungul secolelor; schimbrile climatice, stocurile marilor magazine, evoluia vegetaiei sunt sisteme dinamice. Tehnica de lucru ce st la baza studiului sistemelor dinamice este modelarea matematic a fenomenelor. Prin aceasta se nelege un dicionar ce realizeaz o coresponden ntre realitate i mulime de obiecte matematice ntre care se stabilesc operaii sau reguli. Un sistem dinamic este alctuit dintr-un spaiu, numit spaiul fazelor i din reguli care descriu evoluia unui punct n spaiul fazelor. Un punct din spaiul fazelor ne d informaii asupra sistemului la un moment de timp . Exist dou tipuri de sisteme dinamice: discrete i continue. Sistemele dinamice discrete presupun realizarea de msurtori ale parametrilor la momente discrete de timp. Evoluia lor este descris prin ecuaii de forma ( )nn xfx =+1 , unde nx reprezint valoarea variabilei x la momentul de timp n. O astfel de ecuaie se numete ecuaie cu diferene . Ea arat cum starea sistemului la momentul 1+n este dat de o funcie f aplicat strii sistemului la momentul n.

Sistemele dinamice continue sunt cele pentru care monitorizarea deplasrii n timp se face n mod continuu. Evoluia lor este descris cu ajutorul ecuatiilor difereniale i a sistemelor de ecuaii difereniale. O importan deodebit n studiul sistemelor dinamice o au condiiile iniiale. nc din 1687 Sir Isaac Newton publica cele trei principii ale fizicii clasice care , indirect, spun c un sistem se poate caracteriza n viitor numai dac se cunoate starea lui la un moment dat. Complet deterministe, ele se bazeaz pe principiul cauz-efect: orice se ntmpl n viitor este determinat de ceea ce se ntmpl n prezent, iar ceea ce se ntmpl n prezent este efectul a ceea ce s-a ntmplat n trecut. Prin urmare, pentru a prezice ce se va ntmpla cu un sistem, trebuie s tim starea lui la un moment dat, altfel spus, trebuie s cunoatem condiiile iniiale. Acest lucru nseamn c trebuie s msyrm toi parametrii importani care caracterizeaz acest

3

sistem ntroducem apoi condiiile iniiale n ecuaiile care modeleaz fenomenul pe care l studiem i obinem starea lui peste un anumit timp. Exist i unele sisteme, numite sisteme dinamice neliniare a cror evoluie n timp nu poate fi prezis. n cazul acestora mici variaii ale condiiilor iniiale produc variaii semnificative ale sistemului pe termen lung. n plus, evoluia sistemului depinde att de mult de condiiile iniiale, nct orict de precis ar fi acestea masurate, eroarea se propag n timp att de mult, nct este imposibil de corectat. Cel mai cunoscut astfel de sistem este vremea, care nu poate fi prezis dect pe perioade mici de timp. Un alt exemplu este cel al unei bile care se afl pe vrful unui deal i creia i se aplic o for. Nu se poate prezice exact ce traiectorie va avea.

4

ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL I

1. NOIUNI GENERALE

Definiie. Se numete ecuaie diferenial orice ecuaie de forma ( ) ( ) ( ) ( )( ) 10 = n,xy,...,x"y,x'y,xy,xF n ,

unde: RRD:F n +2 este o funcie dat , Rx se numete variabila independent a ecuaiei, RR:y este funcia necunoscut a ecuaiei,

( ) ( ) ( )xy,...,x"y,x'y n sunt derivatele de ordin I, II,, n ale funciei necunoscute y. Dac n ecuaie ( )xyn apare efectiv, spunem c ecuaia are ordinul n. Definiie. Funcia RRI: j se numete soluie a ecuaiei difereniale dac ndeplinete condiiile: a) ( )IC nj ( este de clas n pe I, adic este continu i de n ori derivabil); b) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Ix,Dx,...,x",x',x,x n "jjjj ; c) ( ) ( ) ( ) ( )( ) Ix,x,...,x",x',x,xF n "= 0jjjj . Graficul unei soluii a ecuaiei difereniale ( deci a funciei j ) este o curb din 2R care se numete curb integral. Definiie. Familia de funcii ( )nC,...,C,C,xy 21j= , unde

RIx , iar nC,...,C,C 21 sunt n constante reale arbitrare constituie soluia general a ecuaiei difereniale de ordinul n dac este soluie pentru ecuaia dat. Orice soluie care se obine din soluia general prin particularizarea constantelor se numete soluie particular. O soluie a ecuatiei care nu se poate obine din soluia general prin particularizarea constantelor se numete soluie singular. Cnd ncercm s determinm o soluie particular care s verifice n acelai timp una sau mai multe condiii suplimentare spunem c rezolvm o ecuaie diferenial cu condiii iniiale, sau c rezolvm o problem Cauchy.

5

Definiie. Fiind date numerele 1020

1000

-ny,...,y,y,y,x astfel nct RIx 0 i ( ) 110201000 +- nn RDy,...,y,y,y,x , prin problema Cauchy

pentru ecuaia diferenial se nelege problema determinrii soluiilor ( )xyy = care s verifice condiiile:

( )( )( )

( )( )

=

=

=

=

-- .yxy

yx"yyx'y

yxy

nn 100

1

200

100

00

M

Facem precizarea c problema Cauchy poate s admit o soluie unic, s nu aib nici o soluie, sau s admit o infinitate de soluii. Prezentm n continuare cteva tipuri de ecuaii difereniale de ordinul I pentru care se poate determina mulimea tuturor soluiilor exprimat prin soluia general i, acolo unde este cazul, de soluia singular. Spunem c se integreaz ecuaia diferenial.

2. ECUAII CU DIFERENIALE TOTALE EXACTE

Forma general: ( )( )y,xQ

y,xP'y -= ,

sau, echivalent, ( ) ( ) 0=+ dyy,xQdxy,xP ,

unde RRD:Q,P 2 sunt funcii continue pe D cu derivatele pariale continue. Soluia general:

( ) ( ) =+x

x

y

yCdtt,xQdty,tP

0 0

0 ,

6

unde )D(CQ,P 1 , xQ

yP

=

, DC , iar ( ) Dy,x 00 fixat. Demonstraie: n domeniul 2RD se consider punctul fixat ( ) Dy,x 00 i definim cu ajutorul funciilor )D(CQ,P 1 o nou funcie RRD:U 2 prin

( ) ( ) ( ) +=x

x

y

ydtt,xQdty,tPy,xU

0 0

0 .

Calculm difereniala de ordinul nti a acestei funcii:

( ) dyyUdx

xUy,xdU

+

= .

Avem c

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).y,xPy,xPy,xPy,xPt,xPy,xP

dtt,xyPy,xPdtt,x

xQy,xP

xU

yy

y

y

xQ

yP

y

y

=-+=+=

+=

+=

=

000

00

0

00

Analog, ( )y,xQyU =

.

Obinem ( ) ( ) ( ) 0=+= dyy,xQdxy,xPy,xdU .

Rezult de aici c ( ) Cy,xU = , adic ( ) ( ) =+x

x

y

yCdtt,xQdty,tP

0 0

0 .

Exemple. E1. S se integreze urmtoarea ecuaie diferenial:

( ) ( ) 022 =+++ dyyxdxyx . Soluie: Avem yxP += 2 , 2yxQ += , 1=

yP

, 1=

xQ

.

Relaia ( ) ( ) =+x

x

y

yCdtt,xQdty,tP

0 0

0 este echivalent cu

7

( ) ( ) =+++x

x

y

yCdttxdtyt

0 0

20

2

care conduce la

( ) ( ) Cyyyyxxxyxx =-+-+-+-33

30

3

000

30

3

,

sau, echivalent,

Cyyxxyxyx =

++-

++

3333

30

00

30

33

.

Dac notm 130

00

30

33Cyyxx =++ , obinem soluia

,yxyx =++33

33

,unde 1CC += .

E2. S se integreze ecuatia diferenial ( ) .y,x,xydydxyx 00022 >

8

=+ 22 2xyx unde 12 CC += .

Lum aici 1-=x i 21=y i gsim c

21= . Prin urmare, soluia

general cu condiia iniial dat este 212 22 =+ xyx .

3. ECUAII DIFERENIALE CU VARIABILE SEPARABILE

Forma general: ( )( )yQxP'y -= ,

sau, echivalent, ( ) ( ) 0=+ dyyQdxxP ,

unde RR:Q,P sunt funcii continue. Soluia general:

( ) ( ) =+y

y

x

xCdttQdttP

00

,

sau,exchivalent, ( ) ( ) =+ CdyyQdxxP .

Demonstraie: Se observ c aceast ecuaie este un caz particular de

ecuaie cu difereniale totale exacte, cu 0==

yQ

xP

.

Exemple

E1. S se gseasc soluia general a ecuaiei ( )( )1

12

2

--

=xyyx'y .

Soluie: Ecuaia dat este echivalent cu ( )( )1

12

2

--

=xyyx

dxdy

,

9

sau, separnd variabilele,

dxx

xdyy

y11 22 -

=-

.

De aici rezult

011 22

=-

--

dxx

xdyy

y,

care, prin integrare conduce la

=--

-Cdx

xxdy

yy

11 22.

Soluia general este

Cxyln 2

11

2

2

=--

.

4. ECUAII DIFERENIALE OMOGENE

Forma general: ( )( )y,xQ

y,xP'y = , sau

=

xyf'y ,

unde P i Q sunt funcii omogene de acelai grad. Soluia general: se determin efectunduse schimbarea de funcie

( ) ( ) xxuxy = . Se obine astfel o ecuaie diferenial cu variabile separabile.

Demonstraie: Din ( ) ( ) xxuxy = rezult c ux'u'y += i uxy = .

Acum ecuaia devine ( )ufux'u =+ ,

sau, echivalent,

( )ufuxdxdu =+ .

10

Separm variabilele si obinem

( ) uufdu

xdx

-= .

De aici, soluia este dat de

( ) =-- Cuufdu

xdx

.

Exemple. E1. S se determine soluia general a ecuaiei

2

22

32 yxyyx'y

+-

=

Soluie: Cu notaia ( ) ( ) xxuxy = i cu ux'u'y += obinem ecuaia

2

2

321

uuuux'u

+-

=+

echivalent cu

uuu

uxdxdu

-+-

= 22

321

,

sau, separnd variabilele,

13332

23

2

+--+

=uuuu

xdx

.

Soluia este de forma Cuulnxln ++---= 13331 23 .

5. ECUAII DIFERENIALE REDUCTIBILE LA ECUAII OMOGENE

Forma general:

++++

=222

111

cybxacybxaf'y ,

unde Rc,c,b,b,a,a 212121 i f este este de clas 0C .

Soluia general:

11

Caz I. Dac a===2

1

2

1

2

1

cc

bb

aa

, atunci 21 aa a= , 21 bb a= , 21 cc a=

i ecuaia este acum ( )af'y = cu soluia general ( ) Cxfy += a , RC .

Caz II. Dac 2

1

2

1

2

1

cck

bb

aa == , atunci 21 aa a= , 21 bb a= i

ecuaia este ( )

++

++=

222

122

cybxacybxakf'y .

Se efectueaz aici schimbarea de funcie ( ) ( )xuxybxa =+ 22

care implic

2

2

ba'u'y -= .

Se obine apoi o ecuaie cu variabile separabile. Exemplu. S se determine soluia general a ecuaiei

yxyx'y

22133

++--= .

Soluie: Ecuaia este de forma ( )( )yx

yx'y+

++-=2

13.

Notm uyx =+ i rezult c 1-= 'u'y . nlocuim n necuaie i obinem

uu'u2

1+-= ,

sau, echivalent,

01

2 =-

+ duu

udx .

Integrnd rezult Culnux =-++ 122 .

Avem c soluia general este Cyxlnyx =-+++ 1223 .

12

Caz III. Dac 2

1

2

1

bb

aa se rezolv sistemul

=++=++

00

222

111

cybxacybxa

Fie ( )00 y,x soluia acestui sistem. Se efectueaz n continuare o schimbare de variabil precum i o schimbare de funcie:

,YyyXxx

+=+=

0

0

unde X este noua variabil independent i Y este noua funcie necunoscut. Avem c 'Y'y = . Noua ecuaie obinut astfel este o ecuaie omogen ce se va rezolva cu schimbarea de funcie ( ) ( ) XXUXY = . Exemplu. S se determine soluia general a ecuaiei

31

-++-=

yxyx'y , ( ) ( ){ }0322 -+- yxRy,xRDy,x .

Soluie: Rezolvm sistemul

=-+=++

0301

yxyx

i gsim soluia

==

21

0

0

yx

Efectum schimbrile

+=+=

YyXx

21

i ecuaia devine

YXYX'Y

+-= .

Notm UXY = care conduce la UX'U'Y += . Ecuaia este acum

UUUX'U

++--

=1

12 2,

13

sau, cu variabile separate,

dUUU

UX

dX12

12 +--

+= .

Integrnd obinem

( ) CeUUX =-+ 1222 , unde RC,xyU,xX

--=-=

121 .

6. ECUAII DIFERENIALE LINIARE DE ORDINUL I

Forma general:

( ) ( )xQyxP'y =+ , unde RRI:Q,P sunt funcii continue pe I. Dac ( ) 0=xQ spunem c ecuaia este liniar omogen. Dac ( ) 0xQ spunem c ecuaia este liniar neomogen. Soluia general:

( ) ( ) ( )[ ].dxexQCey dxxPdxxP += - Demonstraie: Se folosete metoda variaiei constantelor a lui Lagrange care const din urmtoarele dou etape: Se determin soluia general a ecuaiei liniare omogene

( ) 0=+ yxP'y . Aceasta este echivalent cu ecuaia cu variabile separabile

( )dxxPy

dy -= .

Soluia acestei ecuaii este ( ) CdxxP eey = - , RC .

Notm 1CeC = .

Se consider c ( )xCC 11 = i determinm ( )xC1 astfel ca funcia ( )

1CeydxxP = -

s verifice ecuaia diferenial liniar neomogen

14

( ) ( )xQyxP'y =+ . Pentru aceasta calculm

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )11

111

CxPx'Ce

e.x'CC.xPe'Ce'ydxxP

dxxPdxxPdxxP

-=

+-==

-

---

nlocuim n ecuaia neomogen i obinem

( ) ( ) ( )xQe.x'C dxxP =-1 , adic

( ) ( ) ( )xQex'C dxxP=1 . Prin urmare

( ) ( ) ( ) 21 CdxexQ.xCdxxP += .

De aici se obine imediat soluia general. Exemplu. S se determine soluia general a ecuaiei

0>=- x,xxy'y .

Soluie: Avem ( )x

xP 1-= , ( ) xxQ = Calculm

( ) xlnxlndxx

dxxPx

-=-=-=>

01

i

( ) ( ) ==== - xdxxxdxxedxxedxexQx

lnxlndxxP 11

.

nlocuind n expresia soluiei generale gsim ( ) RC,xCxy += .

15

7. ECUAII DIFERENIALE DE TIP BERNOULLI

Forma general: ( ) ( ) ayxQyxP'y =+ ,

unde RRI:Q,P sunt funcii continue pe I i { }10,R -a . Soluia general: se determin efectund schimbarea de funcie

( ) ( )xyxz a-= 1 . n felul acesta ecuaia diferenial de tip Bernoulli se reduce la o ecuaie diferenial liniar de ordinul I avnd funcia necunoscut z. Demonstraie: mprim ecuaia tip Bernoulli prin ay i obinem

(*) ( ) ( )xQ

yxP

y'y =+ -1aa .

Notm ( ) ( )xyxz a-= 1 i prin derivare gsim c ( ) 'yy'z aa --= 1 ,

sau, echivalent,

( ) aa y'y'z -= 1 .

nlocuim n (*) i rezult ecuaia

( ) ( )xQzxP'z =+-a11

care este o ecuaie diferenial liniar de ordinul I avnd funcia necunoscut z. Exemplu. S se determine soluia general a ecuaiei

yx

xy'y

22

2

=- .

Soluie: Avem 1-=a . nmulim ecuaia cu y i avem

221 22 xyx

'yy =- .

16

Notm zy =2 i rezult imediat c 2

2z'yy = . nlocuim n relaia de mai sus

i obinem 21 xz

x'z =- ,

care este este o ecuaie diferenial liniar de ordinul I avnd funcia

necunoscut z i n care ( )x

xP 1-= i ( ) 2xxQ = . Soluia general este

+=

2

2xCxz

i de aici, innd seama c zy =2 , rezult

+=

2

22 xCxy .

8. PUNCTE FIXE ALE ECUAIILOR DIFERENIALE LINIARE

DE ORDIN I DE FORMA ( )xfx =

, unde ( )t'xx =

, ( ) 00 xtx =

n planul

x,x , starea iniial 0x este un punct care se mic pe

traiectoria corespunztoare lui cu viteza ( )xfx =

atunci cnd timpul t crete. Definiie. Un punct x se numete punct fix ( punct critic, sau punct

de echilibru) dac este soluie a ecuaiei 0=

x , sau, echivalent, dac verific ( ) 0=xf .

Exemplu. Ecuaia ( )xakxx -=

(ecuaia logistic) are dou puncte

fixe: 01 =x i ax =2 .

17

Definiie. Dac punctele de pe o traiectorie se apropie de un punct fix cnd t tinde la infinit, adic

( ) xtxlimt

=

atunci spunem c punctul fix este atractor. Definiie. Dac punctele de pe traiectorie se deprteaz de un punct fix cnd t tinde la infinit, atunci punctul fix se numete repulsor . Condiia ca un punct fix x s fie atractor: ( ) 0b,a . Rezolvnd ecuaia ( ) 0=- bxax obinem dou soluii, deci dou puncte fixe: 01 =x i b

ax =2 .

Avem c ( ) bxax'f 2-= . Gsim c ( ) 00 >= a'f i

0

18

Rezolvnd ecuaia 012 =-x obinem dou soluii, deci dou puncte fixe: 11 =x i 12 -=x . Avem c ( ) xx'f 2= . Obinem c ( ) 021 >='f , deci 11 =x este repulsor i ( ) 021

19

ECUAII DIFERENIALE LINIARE DE ORDINUL n

1. ECUAII CU COEFICIENI VARIABILI

a) ECUAII OMOGENE

Forma general: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01110 =++++ -- xyxax'yxa...xyxaxyxa nnnn

unde ( ) ( )xa,...,xa n0 sunt funcii continue pe un interval RI , i ( ) 00 xa , Ix " .

( ) ( )xa,...,xa n0 se numesc coeficienii ecuaiei. RIx se numete variabil independent.

RRI:y este funcia necunoscut.

Determinarea soluiei generale. Se poate demonstra imediat c dac ny,...,y,y 21 sunt n soluii ale ecuaiei, atunci i funcia

nn yC...yCyCy +++= 2211 , n,i,RCi 1=" este soluie a ecuaiei date. Soluia y definit mai sus conine n constante oarecare. Din acest motiv este posibil ca n anumite condiii aceast funcie s fie soluia general a ecuaiei date. n cele ce urmeaz determinm condiiile pe care trebuie s le ndeplineasc soluiile ny,...,y,y 21 pentru ca funcia y s reprezinte exact soluia general.

Definiie. Spunem c funciile ( ) RI,ICy,...,y,y n 021 sunt liniar independente pe intervalul I dac din relaia

( ) ( ) ( ) 02211 =+++ xyC...xyCxyC nn , n,i,RCi 1=" , Ix " rezult

021 ==== nC...CC .

20

Definiie. Spunem c funciile ( ) RI,ICy,...,y,y n 021 sunt

liniar independente pe intervalul I dac exist n numere reale nC,...,C,C 21 nu toate nule astfel nct ( ) ( ) ( ) 02211 =+++ xyC...xyCxyC nn , Ix " . Definiie. Fie funciile ( ) RI,ICy,...,y,y nn -121 . Se numete determinantul lui Wronski sau wronskianul funciilor ny,...,y,y 21 expresia

( )( ) ( ) ( )11

21

1

21

21

21

---

=

nn

nn

n

n

n,

yyy

'y'y'yyyy

y,...,yyW

LMMMM

KK

.

Teorem. Dac funciile ( ) RI,ICy,...,y,y nn -121 sunt liniar dependente pe I, atunci ( ) 021 =n, y,...,yyW , Ix " . Demonstraie: Avem c funciile ny,...,y,y 21 sunt liniar dependente. Conform definiiei exist nC,...,C,C 21 nu toi nuli, astfel nct

( ) ( ) ( ) 02211 =+++ xyC...xyCxyC nn . Derivm succesiv aceast egalitate pn la ordinul 1-n i obinem sistemul:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )( )

=+++

=+++=+++

--- 0

00

1122

111

2211

2211

xyC...xyCxyC

x'yC...x'yCx'yCxyC...xyCxyC

nnn

nn

nn

nn

M

Acesta este un sistem liniar i omogen de n ecuaii i n necunoscute nu toate nule nC,...,C,C 21 . Prin urmare, determinantul sistemului trebuie s fie nul, adic 0=W . Teorem. Funciile ( ) RI,ICy,...,y,y nn -121 sunt liniar independente dac i numai dac ( ) 021 n, y,...,yyW , Ix " .

21

Demonstraie: Dac funciile ny,...,y,y 21 sunt liniar independente, conform definiiei date mai sus din ( ) ( ) ( ) 02211 =+++ xyC...xyCxyC nn rezult 021 ==== nC...CC . Deci sistemul trebuie s admit o unic soluie i anume soluia banal. Cum sistemul este liniar i omogen acest lucru este posibil dac i numai dac 0W . Definiie. Spunem c soluiile ( ) RI,ICy,...,y,y nn 21 ale ecuaiei difereniale liniare i omogene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01110 =++++ -- yxa'yxa...yxayxa nnnn , ( ) 00 xa , ( ) n,i,ICai 00 =

formeaz un sistem fundamental de soluii dac ( ) 021 n, y,...,yyW , Ix " .

Teorem. Dac ( ) RI,ICy,...,y,y nn 21 este un sistem fundamental de soluii ale ecuaiei difereniale liniare omogene

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01110 =++++ -- yxa'yxa...yxayxa nnnn , ( ) 00 xa , ( ) n,i,ICai 00 =

atunci soluia general pe intervalul I este dat de funcia

nn yC...yCyCy +++= 2211 , n,i,RCi 1=" .

b) ECUAII NEOMOGENE

Forma general: ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxyxax'yxa...xyxaxyxa nnnn =++++ -- 1110

unde ( ) ( ) ( )xf,xa,...,xa n0 sunt funcii continue pe un interval RI i ( ) 00 xa , Ix " .

( ) ( )xa,...,xa n0 se numesc coeficienii ecuaiei. RIx se numete variabil independent.

RRI:y este funcia necunoscut.

22

Teorem. Dac ( ) RI,ICy,...,y,y nn 21 formeaz un sistem fundamental de soluii pentru ecuaia diferenial liniar omogen

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 01110 =++++ -- yxa'yxa...yxayxa nnnn iar py este o soluie particular a ecuaiei liniare neomogene

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xfxyxax'yxa...xyxaxyxa nnnn =++++ -- 1110 , atunci soluia general a ecuaiei liniare neomogene este dat de funcia

pnn yyC...yCy +++= 11 . Demonstraie: n ecuaia dat efectum schimbarea de funcie

zyy p += unde z este noua funcie necunoscut, iar py este o soluie particular a ecuaiei liniare neomogene. Obinem

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )xfza...zazaya...yaya nnnpnnpnp =+++++++ -- 110110 . innd seama c py este o soluie particular avem

( ) ( ) ( )xfya...yaya pnnpnp =+++ -110 . Rezult c

( ) ( ) 0110 =+++- za...zaza n

nn . Avem astfel o ecuaie liniar omogen n care necunoscuta este funcia z. Pentru aceast nou ecuaie avem un sistem fundamental de soluii

ny,...,y,y 21 . Aadar soluia general este

nn yC...yCz ++= 11 , n,i,RCi 1=" . inem acum seama de substituia zyy p += i obinem soluia general a ecuaiei iniiale de forma pnn yyC...yCy +++= 11 . Observaie. Determinarea unei soluii particulare a ecuaiei difereniale liniare neomogene este o problem dificil, a crei nerezolvare conduce la imposibilitatea determinrii soluiei generale. Dac ns se cunoate un sistem fundamental de soluii pentru ecuaia diferenial liniar omogen ataat, atunci soluia general a ecuaiei difereniale liniare neomogene se poate determina prin metoda variaiei constantelor a lui Lagrange. Aceast metod presupune urmtoarele etape:

23

i) Dac se cunoate un sistem fundamental de soluii pentru ecuaia diferenial liniar omogen ataat, ny,...,y,y 21 , se scrie soluia general a acesteia sub forma

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )=

=+++=n

iiinn xyxCxyxC...xyxCxyxCy

12211

ii) mpunem condiia ca funciile ( ) ( ) ( )( )xy,...,x''y,x'y n 1- s nu conin n'C,...,'C,'C 21 . Pentru aceasta calculm

( ) ( ) ( ) ( ) ( )==

+=n

iii

n

iii x'yxCxyx'Cx'y

11.

Impunem

( ) ( ) 01

==

n

iii xyx'C

Rezult

( ) ( ) ( )=

=n

iii x'yxCx'y

1

i apoi

( ) ( ) ( ) ( ) ( )==

+=n

iii

n

iii x''yxCx'yx'Cx''y

11.

Impunem

( ) ( ) 01

==

n

iii x'yx'C .

Rezult

( ) ( ) ( )=

=n

iii x''yxCx''y

1.

Analog ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

=

-

=

-- +=n

i

nii

n

i

nii

n xyxCxyx'Cxy1

1

1

21 .

Impunem

( ) ( )( ) 01

2 ==

-n

i

nii xyx'C .

Rezult ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

==

- +=n

i

nii

n

i

nii

n xyxCxyx'Cxy11

1 .

24

iii) Impunem condiia ca funcia y mpreun cu derivatele sale ( )ny,...,''y,'y s verifice ecuaia diferenial liniar neomogen.

Obinem

sau, echivalent,

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) ( ).xfyx'Cxa

xyxax'yxa...xyxaxyxaxC

n

i

nii

ininn

in

i

n

ii

=+

++++

=

-

--

=

1

10

11

101

Avem ns c ny,...,y,y 21 sunt soluii; aceasta implic ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 01110 =++++ -- xyxax'yxa...xyxaxyxa ininnini ,

n,i 1=" . Rezult

( ) ( ) ( ) ( )xfyx'Cxan

i

nii =

=

-

1

10

i de aici

( ) ( ) ( )( ) .xaxfyx'C

n

i

nii

01

1 ==

-

iv) Se rezolv sistemul

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=+++

=+++

=+++=+++=+++

---

---

0

1122

111

2222

211

2211

2211

2211

0

000

axfy'C...y'Cy'C

y'C...y'Cy'C

''y'C...''y'C''y'C'y'C...'y'C'y'C

y'C...y'Cy'C

nnn

nn

nnn

nn

nn

nn

nn

M

cu necunoscutele 'C,...,'C,'C n21 . v) Se integreaz soluiile de la iv) i se obin expresiile pentru

nC,...,C,C 21 .

25

Exemplu. S se determine soluia general a ecuaiei 32 22 xy'xy''yx =+- , *Rx " ,

tiind c ecuaia omogen ataat are soluiile 221 2xy,xy == . Soluie: Calculm wronskianul

( ) .Rx,xxxx

y,yW *"== 02412 2

2

21

Rezult c 21 y,y formeaz un sistem fundamental de soluii i n consecin soluia general a ecuaiei omogene este

2212211 2xCxCyCyCyo +=+= .

Determinm n continuare o soluie particular prin metoda variaiei constantelor. Pentru aceasta considerm

( ) ( ) 221 2xxCxxCyp += , unde vom determina ( )xC1 i ( )xC2 rezolvnd sistemul

( ) ( )

( ) ( ) ( )

=+

=+

2

32

21

221

2

02

xx'xx'C'xx'C

xx'Cxx'C

echivalent cu ( ) ( )( ) ( )

=+=+xxx'Cx'C

xx'Cxx'C4

02

21

221

Soluia este

=

-=

21

2

1

'C

x'C

i de aici,

+=

+-=

22

1

2

1

2

2

kxC

kxC

26

Obinem c soluia particular este

221

32

21

2

22

222

xkxkxxkxxkxyp ++=

++

+-= .

Acum putem scrie soluia general a ecuaiei neomogene:

( ) ( )

.xxx

xxkCxkC

xkxkxxCxCyyy po

22

22

22

2

32

21

32

2211

221

32

21

++=

=++++=

=++++=+=

aa

2. ECUAII CU COEFICIENI CONSTANI

a) ECUAII OMOGENE

Forma general: ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 01110 =++++ -- xyax'ya...xyaxya nnnn

unde na,...,a0 sunt constante reale cu 00 a na,...,a0 se numesc coeficienii ecuaiei. RIx se numete variabil independent.

RRI:y este funcia necunoscut.

Observaie. Aceast ecuaie este un caz particular de ecuaie diferenial liniar omogen cu coeficieni variabili, n sensul c acum coeficienii ecuaiei nu mai sunt funcii ce depind de variabila x , ci sunt constante reale. Prin urmare toate rezultatele din paragraful precedent rmn valabile.

Soluia general. Pentru determinarea soluiei generale, avem nevoie de un sistem fundamental de soluii. n acest scop vom folosi metoda lui Euler care const n a cuta soluii de forma

Rx,ey rx = , unde r este o constant real .

27

Impunem condiia ca funcia Rx,ey rx = s fie soluie a ecuaiei ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 01110 =++++ -- xyax'ya...xyaxya nnnn

i inem seama n calcule de faptul c ( ) n,k,ery rxkk 0="= .

Obinem .earea...eraera rxn

rxn

rxnrxn 011

10 =++++ --

mprim aceast relaie prin 0rxe i gsim .ara...rara nn

nn 011

10 =++++ --

Aceasta este o ecuaie algebric de ordin n cu necunoscuta r i care se numete ecuaia caracteristic ataat ecuaiei omogene. Ecuaia caracteristic are n rdcini , nr,...,r,r 21 . n funcie de natura lor )reale sau nu, simple sau multiple= se construiete sistemul fundamental de soluii cu ajutorul cruia se va scrie soluia general a ecuaiei.

i) Ecuaia caracteristic are rdcini reale i distincte

Teorem. Dac ecuaia caracteristic ataat unei ecuaii liniare omogene admite n rdcini reale i distincte nr,...,r,r 21 , atunci soluia general a ecuaiei liniare omogene este

xrn

xrxr neC...eCeCy +++= 21 21 , ,Rx " n,i,RCi 1=" . Demonstraie. Conform metodei Euler, dac ecuaia caracteristic are rdcinile nr,...,r,r 21 , atunci ecuaia diferenial liniar omogen admite soluiile

xrn

xrxr ney,...,ey,ey === 21 21 . Demonstrm c acestea formeaz un sistem fundamental de soluii. Pentru aceasta trebuie ca wronskianul lor s fie nenul.

28

( )( ) ( ) ( )

( ) 0

111

1

112

11

21

112

11

21

112

11

21

21

21

21

21

21

21

21

-=

=

=

=

29

ii) Ecuaia caracteristic are rdcini reale i multiple

Teorem. Dac ecuaia caracteristic ataat unei ecuaii liniare omogene admite rdcina real 1rr = multipl de ordin k (adic

kr...rr === 21 ), nk 2 , atunci funcia xrk

kxrxrxr exC...exCxeCeCy 1111 12321

-++++= este soluie a ecuaiei date. Teorem. Dac ecuaia caracteristic ataat unei ecuaii liniare omogene admite rdcina real 1rr = multipl de ordin k (adic

kr...rr === 21 ), nk 2 , iar nkk r...rr ++ 21 , atunci soluia general a ecuaiei este

xrn

xrk

xrkk

xrxrxr nk eC...eCexC...exCxeCeCy +++++++= ++- 11111

112

321 ,

cu n,i,RC,Rx i 1= . Teorem. Dac ecuaia caracteristic ataat unei ecuaii liniare omogene admite rdcinile reale nr...rr 21 cu ordinele de multiplicitate respectiv mp,...,p,p 21 , unde np...pp m =+++ 21 , atunci soluia general a ecuaiei este

xrpmp

xrm

xrm

xrpp

xrxr

xrpp

xrxr

mmm

mm exC...xeCeC

exC...xeCeC

exC...xeCeCy

121

112221

111211

222

22

11

1

11

-

-

-

++++

+

++++

+++=

LLLLLLLLLLLLL

unde mij p,j,m,i,RC,Rx 11 == . Exemplu. S se gseasc soluia general a ecuaiei

( ) ( ) ( ) 0617177 234 =+-+- y'yyyy . Soluie. Ecuaia caracteristic este

0617177 234 =+-+- rrrr i are soluiile 321 4321 ==== r,r,rr . Un sistem fundamental de soluii este

30

xxxx ey,eyxey,ey 342

31

21

1 ==== , iar soluia general este

xxxx eCeCxeCeCy 342

321 +++= , RC,C,C,C " 4321 .

iii) Ecuaia caracteristic are rdcini complexe distincte

Teorem. Dac ecuaia caracteristic ataat unei ecuaii difereniale liniare omogene are rdcinile complexe distincte

-=

+=

111

111

ba

ba

irir

,

-=

+=

222

222

ba

ba

irir

,...,

-=

+=

mmm

mmm

irirba

ba,

cu nm =2 , atunci ecuaia diferenial liniar omogen are soluia general ( )

( )

( ) ,exsinCxcosC..............................................

exsinCxcosCexsinCxcosCy

xmmmm

x

x

ma

a

a

bb

bb

bb

++

+++

+=2

1

2222

1111

cu m,i,RC,C,Rx ii 1= . Demonstraie. Corespunztor rdcinii 111 ba ir += avem soluia

( ) ( )xsinixcoseeeey xxixxi 111 11111 bbababa +=== + , iar corspunztor rdcinii 111 ba ir -= avem soluia

( ) ( )xsinixcoseeeey xxixxi 111 11111 bbababa -=== -- . Analog avem soluiile mm y,y,...,y,y 22 corespunztoare rdcinilor

mm r,r,...,r,r 22 . Se poate verifica imediat c toate aceste soluii formeaz un sistem fundamental de soluii deoarece wronskianul lor este nenul. Aceste soluii au dezavantajul c sunt din mulimea numerelor complexe, iar n practic ne intereseaz de obicei numai soluiile reale. De aceea vom construi un sistem fundamental de soluii format numai din funcii reale. Pentru aceasta fie funciile:

31

-=

+=

iyyz

yyz

2

2

111

111

,

-=

+=

iyyz

yyz

2

2

222

222

,...,

-=

+=

iyyz

yyz

mm

mmm

2

2

1

.

nlocuind n aceste expresii funciile mm y,y,...,y,y,y,y 2211 obinem funciile

=

=

11

11

1

1

b

ba

a

sinezcosez

x

x

,

=

=

22

22

2

2

b

ba

a

sinezcosez

x

x

, ...,

=

=

mx

m

mx

m

sinezcosez

m

m

b

ba

a

,

care reprezint un sistem fundamental de soluii. Prin urmare soluia general a ecuaiei este de forma

mmmm zCzC...zCzCzCzCy ++++++= 22221111 .

Exemplu. S se gseasc soluia general a ecuaiei ( ) 0222 =++ y'yy .

Soluie. Ecuaia caracteristic este 0222 =++ rr

i are soluiile ir,ir --=+-= 11 21 . Un sistem fundamental de soluii este ,xsiney,xcosey xx -- == 21

iar soluia general este xsineCxcoseCy xx -- += 21 , RC,C " 21 .

iv) Ecuaia caracteristic are rdcini complexe multiple

Teorem. Dac ecuaia caracteristic ataat ecuaiai liniare omogene admite rdcina complex ba ir += multipl de ordin k, atunci funcia

xsinexCxcosexC...xsinxeCxcosxeCxsineCxcoseCy

xkk

xkk

xxxx

bb

bbbbaa

aaaa

11

2211

-- ++

++++=

este soluie a ecuaiei date. Exemplu. S se gseasc soluia general a ecuaiei

( ) ( ) 022 35 =++ 'yyy .

32

Soluie. Ecuaia caracteristic este 022 35 =++ rrr

i are soluiile irrrr,r ===== 54321 0 . Un sistem fundamental de soluii este

xsinxey,xcosxey,xsiney,xcosey,ey xxxxx 050

40

30

20

1 ===== iar soluia general este

xsinxCxcosxCxsinCxcosCCy 54321 ++++= , RC,C,C,C,C " 54321 .

v) Concluzii

Observaie. Dac ecuaia caracteristic ataat ecuaiei difereniale liniare omogene cu coeficieni constani are rdcini de mai multe tipuri, atunci pe baza teoremelor enunate la paragrafele i), ii), iii), iv), fiecare din aceste rdcini are contribuia sa la soluia general a ecuaiei date. Numrul constantelor arbitrare care se introduc n soluia general este egal cu ordinul ecuaiei difereniale. Algoritm de rezolvare a unei ecuaii difereniale liniare omogene de grad n cu coeficieni constani:

1. Se scrie ecuaia caracteristic ataat ecuaiei date. 2. Se rezolv ecuaia caracteristic. 3. Se scrie un sistem fundamental de soluii al ecuaiei difereniale,

format din funciile: i) xrke , pentru fiecare rdcin real simpl kr determinat la 2; ii) xrke , xrkxe , xrkex2 ,..., xrk kex 1- , pentru fiecare rdcin real de multiplicitate 1>k ; iii) xcose k

xk ba , xsine kxk ba , pentru fiecare pereche simpl de

rdcini complexe kkk ir ba = ; iv) xcose k

xk ba , xcosxe kxk ba ,..., xcosex k

xs k ba1- xsine k

xk ba , xsinxe kxk ba , ..., xsinex k

xs k ba1- , pentru fiecare pereche de rdcini complexe kkk ir ba = de multiplicitate 1>s . 4.Se scrie soluia general ca fiind o combinaie liniar a soluiilor de la3.

33

b) ECUAII NEOMOGENE

Forma general:

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xfxyax'ya...xyaxya nnnn =++++ -- 1110 unde na,...,a0 sunt constante reale cu 00 a i RRI:f este o funcie continu pe I.

na,...,a0 se numesc coeficienii ecuaiei. RIx se numete variabil independent.

RRI:y este funcia necunoscut.

Soluia general se determin dup urmtorul algoritm: 1) Se determin soluia general oy a ecuaiei difereniale liniare

omogene asociate. 2) Se determin o soluie particular py a ecuaiei difereniale liniare

neomogene. 3) Se scrie soluia general a ecuaiei difereniale liniare neomogene ca

fiind suma celor dou soluii de la 1) i 2): po yyy += .

Observaie. Cum punctul 1) al acestui algoritm a fost descris n paragraful precedent, rmne s vedem tehnicile prin care se poate determina soluia particular py . b1) Soluii particulare determinate de forma membrului drept, ( )xf

Principiul ce st la baza tehnicilor ce vor fi enunate s-ar putea descrie prin proverbul Ce nate din pisic oareci mnnc. i) ( ) ( )xPxf m= ( polinom de grad m n nedeterminata x) i1) Dac 0=r nu este rdcin a ecuaiei caracteristice ataate ecuaiei omogene, atunci se caut o soluie particular de forma

( )xQy mp = ,

34

unde ( )xQm este un polinom de grad m n x ai crui coeficieni se vor gsi prin metoda identificrii coeficienilor, impunndu-se condiia ca py propus s verifice ecuaia neomogen. i2) Dac 0=r este rdcin multipl de ordin k a ecuaiei caracteristice ataate ecuaiei omogene, atunci se caut o soluie particular de forma

( )xQxy mkp = , unde ( )xQm se determin ca la i1). ii) ( ) ( )xPexf mxa= ii1) Dac a=r nu este rdcin a ecuaiei caracteristice ataate ecuaiei omogene, atunci se caut o soluie particular de forma

( )xQey mxp a= , unde ( )xQm se determin ca la i1). ii2) Dac a=r este rdcin multipl de ordin k a ecuaiei caracteristice ataate ecuaiei omogene, atunci se caut o soluie particular de forma

( )xQexy mxkp a= , unde ( )xQm se determin ca la i1). iii) ( ) ( ) ( )( )xsinxQxcosxPexf mmx bba += iii1) Dac ba ir += nu este rdcin a ecuaiei caracteristice ataate ecuaiei omogene, atunci se caut o soluie particular de forma

( ) ( )( )xsinxQxcosxPey m*m*xp bba += , unde ( ) ( )xQ,xP m*m* se determin ca la i1). iii2) Dac ba ir += este rdcin multipl de ordin k a ecuaiei caracteristice ataate ecuaiei omogene, atunci se caut o soluie particular de forma

( ) ( )( )xsinxQxcosxPexy m*m*xkp bba += , unde ( ) ( )xQ,xP m*m* se determin ca la i1).

35

b2) Soluii particulare determinate prin metoda variaiei constantelor Algoritm de rezolvare.

1) Se scrie ecuaie liniar omogen asociat. 2) Se scrie ecuaia caracteristic ataat ecuaiei de la punctul 1). 3) Se rezolv ecuaia caracteristic i se scrie un sistem fundamental de

soluii, ny,...,y,y 21 . 4) Se scrie soluia general a ecuaiei de la 1) sub forma

nn yC...yCyCy +++= 2211 . 5) n expresia soluiei de la 4) se nlocuiesc constantele nC,...,C,C 21 cu funcii derivabile, respectiv, ( ) ( ) ( )xC,...,xC,xC n21 , cu Ix :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xyxC...xyxCxyxCy nn+++= 2211 . 6) Se rezolv sistemul

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

=+++

=+++

=+++=+++=+++

---

---

0

1122

111

2222

211

2211

2211

2211

0

000

axfy'C...y'Cy'C

y'C...y'Cy'C

''y'C...''y'C''y'C'y'C...'y'C'y'C

y'C...y'Cy'C

nnn

nn

nnn

nn

nn

nn

nn

M

cu necunoscutele 'C,...,'C,'C n21 . 7) Se integreaz soluiile de la 6) i se obin expresii de forma

( ) ( ) 111 kxhxC += , ( ) ( ) 222 kxhxC += , , ( ) ( ) nnn kxhxC += , unde nk,...,k,k 21 sunt n constante arbitrare. 8) Se nlocuiesc funciile din 7) n soluia de la 5) i se obine astfel soluia general.

36

SISTEME DE ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL I

1. NOIUNI GENERALE

Forma general:

(1)

( )( )

( )

=

==

nnn

n

n

y,...,y,y,xf'y

y,...,y,y,xf'yy,...,y,y,xf'y

21

2122

2111

M

unde RR:f ni +1 , n,i 1= , Rx este variabila independent a

sistemului, iar funciile RR:y,...,y,y n 21 sunt funciile necunoscute. O alt form a sistemului (1) este cea vectorial: (2) ( )y,xf'y = , unde ( )nnn f,...,f,ff,RR:f 211 =+ i nRR:y ,

( )ny,...,y,yy 21= . Dac n sistemul (1) variabila independent x nu apare explicit n nici una din funciile nf,...,f,f 21 , atunci spunem c sistemul este autonom. n caz contrar spunem c sistemul este neautonom. Forma general a unui sistem autonom este (3) ( )yfy = unde nRR:y i nn RR:f . Definiie. Fiind date numerele RIy,...,y,y,x n

002

010 , prin

problema Cauchy ataat sistemului autonom (3) se nelege problema determinrii soluiei nRR:y , ( )ny,...,y,yy 21= care verific condiiile iniiale ( ) 00 ii yxy = , n,i 1= .

37

2. SISTEME DE ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL I LINIARE OMOGENE CU COEFICIENI VARIABILI

Forma general:

(4)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+++=

+++=+++=

nnnnnn

nn

nn

yxa...yxayxa'y

yxa...yxayxa'yyxa...yxayxa'y

2211

22221212

12121111

M

unde ( ) ,RI,n,j,i,ICaij = 10 Ix este variabila independent, iar RI:yi , n,i 1= sunt funciile necunoscute.

O form echivalent a sistemului (4) este

(5) ( )=

=n

jiiji yxa'y

1, n,i 1= ,

sau, forma matriceal (6) ( )YxA'Y = , unde

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

xA

nnnn

n

n

LMMMM

LL

21

22221

11211

,

=

ny

yy

YM2

1

,

=

'y

'y'y

'Y

n

M2

1

.

Teorem. Dac sistemul de ecuaii (6) admite n soluii particulare

=

ny

yy

Y

1

12

11

1 M,

=

ny

yy

Y

2

22

21

2 M, ,

=

nn

n

n

n

y

yy

YM

2

1

atunci i o combinaie liniar a acestora nnYC...YCYCY +++= 2211

este soluie a sistemului (6), unde nC,...,C,C 21 sunt n constante arbitrare.

38

Demonstraie. Deoarece nY,...,Y,Y 21 sunt soluii ale sistemului (6) rezult c

( ) 11 YxA'Y = , ( ) 22 YxA'Y = ,, ( ) nn YxA'Y = . nlocuind acestea n

'YC...'YC'YC'Y nn+++= 2211 gsim

( ) ( ) ( )( )( ) ( )YxAYC...YCYCxA

YxAC...YxACYxAC'Y

nn

nn

=+++=+++=

2211

2211

Prin urmare, Y este soluie a sistemului.dat. Definiie. Spunem c funciile vectoriale

=

ny

yy

Y

1

12

11

1 M,

=

ny

yy

Y

2

22

21

2 M, ,

=

nn

n

n

n

y

yy

YM

2

1

sunt liniar dependente pe intervalul RI dac exist n constante reale n,...,, aaa 21 nu toate nule astfel nct

( ) ( ) ( ) OxY...xYxY nn =+++ aaa 2211 , Ix " . Definiie. Spunem c funciile vectoriale

=

ny

yy

Y

1

12

11

1 M,

=

ny

yy

Y

2

22

21

2 M, ,

=

nn

n

n

n

y

yy

YM

2

1

sunt liniar independente pe intervalul RI dac egalitatea ( ) ( ) ( ) OxY...xYxY nn =+++ aaa 2211

implic 021 ==== n... aaa .

39

Definiie. Fie funciile vectoriale

=

ny

yy

Y

1

12

11

1 M,

=

ny

yy

Y

2

22

21

2 M, ,

=

nn

n

n

n

y

yy

YM

2

1

.

Numim determinantul lui Wronski sau wronskianul funciilor nY,...,Y,Y 21 expresia

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )xyxyxy

xyxyxyxyxyxy

Y,...,Y,YW

nnnn

n

n

n

LMMMM

LL

21

22212

12111

21 = .

Teorem. Dac funciile vectoriale ( )ICY,...,Y,Y n 021 formeaz un sistem liniar dependent pe I, atunci ( ) 021 =nY,...,Y,YW pe I. Teorem. Funciile vectoriale ( )ICY,...,Y,Y n 021 formeaz un sistem liniar independent pe I, dac i numai dac ( ) 021 nY,...,Y,YW pe I. Definiie. O mulime de soluii ( )ICY,...,Y,Y n 021 a sistemului liniar omogen ( )YxA'Y = se numete sistem fundamental de soluii dac

( ) 021 nY,...,Y,YW pe I. Definiie. Matricea

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

xyxyxy

xyxyxyxyxyxy

xU

nnnn

n

n

LMMMM

LL

21

22212

12111

se numete matricea fundamental de soluii a sistemului ( )YxA'Y = .

40

Teorem. Dac ( )ICY,...,Y,Y n 021 este un sistem fundamental de soluii pentru sistemul ( )YxA'Y = atunci soluia general este dat de

nnYC...YCYCY +++= 2211 unde nC,...,C,C 21 sunt n constante arbitrare.

3. SISTEME DE ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL I LINIARE NEOMOGENE CU COEFICIENI VARIABILI

Forma general:

(7)

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

++++=

++++=++++=

xfyxa...yxayxa'y

xfyxa...yxayxa'yxfyxa...yxayxa'y

nnnnnnn

nn

nn

2211

222221212

112121111

M

unde ( ) ,RI,n,j,i,ICf,a iij = 10 Ix este variabila independent, iar RI:yi , n,i 1= sunt funciile necunoscute. O form echivalent a sistemului (7) este forma matriceal (8) ( ) ( )xFYxA'Y += , unde

( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

=

xaxaxa

xaxaxaxaxaxa

xA

nnnn

n

n

LMMMM

LL

21

22221

11211

,

=

ny

yy

YM2

1

,

=

'y

'y'y

'Y

n

M2

1

,

( )

( )( )

( )

=

xf

xfxf

xF

n

M2

1

.

41

Teorem. Dac se cunoate un sistem fundamental de soluii ( )ICY,...,Y,Y n 121 pentru sistemul omogen asociat, ( )YxA'Y = , iar

pY este o soluie particular a sistemului neomogen ( ) ( )xFYxA'Y += , atunci soluia general a sistemului neomogen este

pnn YYC...YCYCY ++++= 2211 cu n,i,RCi 1= . Observaie. Determinarea soluiei generale pentru sistemul neomogen este condiionat de cunoaterea unei soluii particulare a acestuia. Dac nu se cunoate o soluie particular, dar se cunoate un sistem fundamental de soluii pentru sistemul omogen asociat, atunci se poate determina soluia general a sistemului neomogen prin metoda variaiei constantelor a lui Lagrange, ce const din urmtorul Algoritm .

1) Dac se cunoate un sistem fundamental de soluii ( )ICY,...,Y,Y n 121 pentru sistemul omogen asociat, se scrie soluia

general a acestuia : nnYC...YCYCY +++= 2211 .

2) n expresia soluiei de la pct.1) se nlocuiesc constantele nC,...,C,C 21 cu funciile ( ) ( ) ( )xC,...,xC,xC n21 i se obine soluia de forma

( ) ( ) ( ) nn YxC...YxCYxCY +++= 2211 . 3) Impunem condiia ca soluia Y de la 3) s verifice sistemul neomogen

( ) ( )xFYxA'Y += . Se obine ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xFYxAxC'YxCYx'C

n

iii

n

iii

n

iii +=+

=== 111,

sau, echivalent

( ) ( ) ( )( ) ( )xFYxA'YxCYx'Cn

iiii

n

iii =-+

== 11.

Reamintim c aici n,i,Yi 1= sunt soluii ale sistemului omogen ( )YxA'Y = , deci

( ) n,i,YxA'Y ii 1== . Rezult sistemul

42

( ) ( )xFYx'Cn

iii =

=1.

4) Se rezolv sistemul obinut la 3) n care necunoscutele sunt funciile ( ) ( ) ( )x'C,...,x'C,x'C n21 . Precizm c acest sistem are soluie unic

deoarece ( ) 0xW , ntruct ( )ICY,...,Y,Y n 121 formeaz un sistem fundamental de soluii.

5) Se integreaz soluiile ( ) ( ) ( )x'C,...,x'C,x'C n21 gsite la 4) i se obin expresii de forma

( ) ( ) n,i,kxgxC iii 1=+= . 6) Se scrie soluia general

( )( ) ( )( ) nnn Yxgk...YxgkY ++++= 111 .

4. SISTEME DE ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL I LINIARE OMOGENE CU COEFICIENI CONSTANI

Forma general:

+++=

+++=+++=

nnnnnn

nn

nn

ya...yaya'y

ya...yaya'yya...yaya'y

2211

22221212

12121111

M

unde ,n,j,i,R,aij 1= iar RI:yi , n,i 1= sunt funciile necunoscute. O form echivalent a sistemului de mai sus este forma matriceal

AY'Y = , unde

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

LMMMM

LL

21

22221

11211

,

=

ny

yy

YM2

1

,

=

'y

'y'y

'Y

n

M2

1

.

43

Soluia general. Pentru a gsi soluia general a acestui sistem cu n ecuaii i n

necunoscute vom utiliza metoda lui Euler( a ecuaiei caracteristice) pe care o vom descrie n cele ce urmeaz.

Se caut soluia de forma

(*)

=

=

=

=

rxn

rx

rx

rxnn

rx

rx

e

ee

Y

ey

eyey

a

aa

a

a

a

MM2

1

22

11

,

unde n,i,,r i 1=a sunt constante reale sau complexe. nlocuind n sistemul dat funciile iy din (*) se obine urmtorul sistem liniar omogen

( )( )

( )

=-+++

=++-+=+++-

0

00

2211

2222121

1212111

nnnnn

nn

nn

ra...aa

a...raaa...ara

aaa

aaaaaa

M

cu necunoscutele n,i,,r i 1=a . ( O form echivalent a acestui sistem este ( ) 0=- arIA , unde I este

matricea unitate de ordin n i

=

na

aa

aM

2

1

)

Pentru ca acest sistem s aib soluii nenule trebuie ca determinantul su s fie nul, adic

( ) .

raaa

araaaara

rIAdet

nnnn

n

n

0

21

22221

11211

=

-

--

=-

LMLMM

LL

44

Definiie. Expresia ( )rIAdet - se numete polinom caracteristic, iar ecuaia ( ) 0=- rIAdet se numete ecuaie caracteristic.

Rdcinile ecuaiei caracteristice se numesc valori proprii ale matricei A , iar soluiile sistemului corespunztoare unei valori proprii kr , se numesc vectori proprii.

Vom determina un sistem fundamental de soluii ale sistemului dat , n

funcie de natura valorilor proprii. a) Dac ecuaia caracteristic are rdacini reale distincte ( valori

proprii reale distincte) Rr...rr n 21 , atunci se obin vectorii proprii corespunztori, respectiv,

1

21

11

na

aa

M,

2

22

12

na

aa

M, ,

nn

n

n

a

aa

M2

1

.

Un sistem fundamental de soluii este dat de

=

1

21

11

11

n

xreY

a

aa

M,

=

2

22

12

22

n

xreY

a

aa

M,,

=

nn

n

n

xrn

neY

a

aa

M2

1

i soluia general a sistemului este

nnYC...YCYCY +++= 2211 , n,i,RCi 1=" .

Exemplu. S se determine soluia general a sistemului

-=+=

212

211

222yy'yyy'y

Soluie: Avem c

-

=12

22A .

Ecuaia caracteristic este

45

01222

=--

-r

r

i are rdcinile 23 21 -== r,r , care sunt valorile proprii. Vectorii proprii se determin rezolvnd pe rnd sistemul

( )( )

=+-=+-

012022

21

21

aaaa

rr

pentru 31 == rr , respectiv 22 -== rr . Obinem astfel vectorii proprii corespunztori celor dou valori proprii:

-

=

=

21

12

21 aa , .

Sistemul fundamental de soluii este format din

xeY 31 12

= i xeY 22 2

1 -

-

= ,

iar soluia general este

xx eCeCY 223

1 21

12 -

-

+

= .

b) Dac ecuaia caracteristic admite rdacini complexe (valori proprii complexe) ba ir , =21 , atunci vectorii proprii corespunztori sunt

nA

AA

M2

1

i

nA

AA

M2

1

,

iar sistemul admite soluii de forma

( )xi

n

e

A

AA

Y ba +

=M

2

1

1 i ( )xi

n

e

A

AA

Y ba -

=M

2

1

2 .

46

Mai mult, sistemul admite i soluiile 2

211

YYY~ += i

iYYY

~

221

2-= i

folosind formula lui Euler gsim soluiile ( )( )

( )

=

xin

xi

xi

x~

eARe

eAReeARe

eY

b

b

b

a

M2

1

1 i

( )( )

( )

=

xin

xi

xi

x~

eAIm

eAImeAIm

eY

b

b

b

a

M2

1

1 .

Exemplu. S se determine soluia general a sistemului

--=+-=

212

211

22

yy'yyy'y

Soluie: Avem c

--

-=

1221

A .

Ecuaia caracteristic este

01221

=---

--r

r

i are rdcinile ir,ir 2121 21 --=+-= , care sunt valorile proprii. Vectorii proprii corespunztori sunt

i1

i

- i1

iar soluia general este ( )( )

( )( )

+

= --

ix

ixx

ix

ixx

ieImeIm

eCieReeRe

eCY2

2

22

2

1

11.

c) Dac ecuaia caracteristic admite rdacin multipl de ordin k

kr...rr === 21 i p este rangul matricei rIA - atunci: i) dac knp -= , se pot obine k vectori proprii liniar independeni i n acest caz soluia sistemului se obine direct; ii) dac knp -> , pentru obinerea tuturor soluiilor este necesar s cutm soluiile sistemului n forma

47

( )( )

( )

=

xQ

xQxQ

eY

n

xr

M2

1

1 ,

unde ( ) ( ) ( )xQ,...,xQ,xQ n21 sunt polinoame de grad cel mult 1-k ai cror coeficieni se determin prin identificare folosind metoda coeficienilor nedeterminai.

5. SISTEME DE ECUAII DIFERENIALE DE ORDINUL I LINIARE NEOMOGENE CU COEFICIENI CONSTANI

Forma general:

( )( )

( )

++++=

++++=++++=

xfya...yaya'y

xfya...yaya'yxfya...yaya'y

nnnnnnn

nn

nn

2211

222221212

112121111

M

unde ,n,j,i,R,aij 1= RIx , ( )ICfi 0 , n,i 1= iar RI:yi , n,i 1= sunt funciile necunoscute.

O form echivalent a sistemului de mai sus este forma matriceal ( )xFAY'Y += ,

unde

=

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

LMMMM

LL

21

22221

11211

,

=

ny

yy

YM2

1

,

=

'y

'y'y

'Y

n

M2

1

, ( )

( )( )

( )

=

xf

xfxf

xF

n

M2

1

.

48

Soluia general. Este de forma

pO YYY += , unde OY este soluia sistemului omogen asociat, iar PY este o soluie particular care se determin prin metoda variaiei constantelor descris n paragraful 3.

49

SISTEME DINAMICE. CONCEPTE DE BAZ

Fie X un spaiu topologic. Considerm c punctele lui X caracterizeaz strile unui fenomen i numim X spaiul fazelor sau spaiul strilor. Notm cu XX mulimea aplicaiilor spaiului n el nsui i fie T spaiul R sau Z. Definiie. Numim sistem dinamic o funcie continu

XXT: F , ( ) tt j=F pentru care Tt " , aplicaia XX:t j este un homeomorfism cu proprietile: i) XI=0j ( aplicaia identic a lui X); ii) stst jjj o=+ . Observaie. Dac RT = , sistemul se numete sistem dinamic continuu. Dac ZT = , se numete sistem dinamic discret. Definiie. Se numete curent aplicaia

XXT: j , ( ) ( )xx,t tjj = i se interpreteaz ca fiind micarea n timp a punctelor lui X. Definiie. Spaiul XT se numete spaiul fazelor extins. Definiie. Numim orbit cu originea n Xx 0 o submulime ordonat a spaiului X:

( ) ( ){ }Tt,xx:Xxx t ==G 00 j .

Observaie. Pentru 0t , notm cu ( )0x+G orbita pozitiv. Pentru 0t , notm cu ( )0x-G orbita negativ. Este evident c ( ) ( ) ( )000 xxx +- GG=G .

50

Definiie. Un punct Xx 0 este punct de echilibru (punct fix) pentru un sistem dinamic dac ( ) 00 xxt =j , Tt " . Definiie. Un ciclu (o orbit periodic) este o orbit L pentru care orice punct Lx satisface ( ) ( )xx tTt jj =+ 0 , pentru Tt " , 0>t . Valoarea + RT0 ( sau NT 0 ) se numete perioada ciclului.

Fie o funcie vectorial kRR:x , ( )txx = i notm cu

x derivata lui x n raport cu t. Fie de asemeni un cmp de vectori

kk RR:f .

Teorem. Considerm sistemul de ecuaii difereniale

( )xfx =

a crui soluie ( )txx = corespunztoare condiiei iniiale 0x exist i este unic pentru orice kRx 0 i Rt . Atunci sistemul dinamic continuu F ataat se definete prin ( ) ( )00 x,txxt =j i are spaiul fazelor kR . Fie kRD , kRD:f i un ir de puncte { }nx , Nn care verific ( )nn xfx =+1 , xx =0 , kRx . Teorem. Relaia de recuren ( )nn xfx =+1 , xx =0 , kRx definete un sistem dinamic discret n mulimea D dac oricare ar fi Dx exist pentru ecuaia dat o soluie { } Dx nn 0 , xx =0 definit pentru orice 0n . Observaie. Orbitele unui sistem dinamic discret sunt iruri de puncte n spaiul fazelor:

( ) ( ){ } { } 0000 + ==G nnnn xxfx : orbita pozitiv; ( ) { } -==G- 00 nnxx : orbita negativ.

O problem important relativ la un sistem dinamic este predictibilitatea n viitor a fenomenului descris de sistemul dinamic. De cele

51

mai multe ori, n cazul sistemelor deterministe predictibilitatea este satisfcut dac sistemul dinamic este bine definit i are anumite caliti. Un rol important l joac stabilitatea soluiilor.

SISTEME DINAMICE CONTINUE

1. GENERALITI

Considerm un sistem dinamic continuu a crui comportare n timp este descris de sistemul autonom

( )xfx =

, ( ) nn Rx,...,x,xx = 21 , ( ) nn Rf,...,f,ff = 21 , avnd condiia iniial ( ) 00 xx = . Definiie. O soluie a acestui sistem este o funcie ( )tF care verific

( ) ( )( )tft F=F

i ( ) 00 x=F . Ea se mai numete i curb integral. Definiie. Imaginea geometric a unei soluii se numete orbit sau traiectorie.

Observaie. Pentru orice curb ( )tx , derivata ( )tx

este vectorul tangent la curb. De aceea, dac ( )tx este o soluie a sistemului

( )( )txfx =

, atunci ea este tangent la cmpul vectorial determinat de f. Prin urmare vom spune c f determin un curent al soluiilor. Putem s gndim soluia ( )tF ca fiind o funcie care ne d evoluia n timp a unui anumit punct x. Dac vom considera mpreun toate soluiile, obinem o funcie ( )x,tF care ne d evoluia n timp a tuturor punctelor x. Aceasta este curentul.

52

Definiie. Fie dat sistemul ( )xfx =

, ( ) 00 xx = pentru care n fiecare punct x avem o soluie ( )txF cu ( ) 00 xx =F . Mulimea acestor soluii determin o funcie nn RRR: F , ( ) ( )x,tx,t F

F

astfel nct

( )( )x,tft

F=F

i ( ) 000 xx, =F . Aceast funcie se numete curent. Proprieti. Curentul F generat de un sistem dinamic continuu are dou proprieti remarcabile: 1) ( ) ( )( )00 x,s,tx,st FF=+F . Practic, aceast proprietate este evident: poziia unui punct 0x dup un timp st + este aceeai ca i atunci cnd urmrim poziia punctului dup timpul t, iar apoi, poziia acestui nou punct dup timpul s. 2) Pentru orice punct t, aplicaia ( )F ,t este inversabil cu inversa

( )-F ,t : ( )( ) 00 xx,t,t =F-F . Exist dou maniere prin care putem nota i putem nelege curentul

( )x,tF : a) Alegem un punct x i studiem evoluia sa n timp; n acest caz notm

curentul prin ( )txF . b) Alegem un moment de timp t i studiem ce se ntmpl cu punctele x

la acest moment; n acest caz, notm curentul cu ( )xtF .

2. STABILITATEA SOLUIILOR

Considerm un sistem dinamic continuu a crui comportare n timp este descris de sistemul autonom

( )xfx =

, ( ) nn Rx,...,x,xx = 21 , ( ) nn Rf,...,f,ff = 21 , cu 1Cf .

53

Pentru nRx 0 , fluxul nn RR: +1j se definete prin

( ) ( )00 x,txt jj = i este soluia sistemului dat care trece prin 0x la momentul 0=t . Fie ( )tx o soluie a sistemului. Definiie. Soluia ( )tx este stabil dac pentru orice 0>e dat, exist ( ) 0>= edd astfel nct pentru orice alt soluie ( )ty care satisface

( ) ( ) db astfel nct dac

( ) ( ) btytx

54

O problem practic important este aceea a comportrii unui sistem dinamic n vecintatea unei stri de echilibru. Dac sistemul revine la aceast stare dup ce a fost supus unor perturbaii mici, atunci el se numete stabil; dac nu revine, se numete instabil. Uneori, sistemele instabile pot conduce la catastrofe.

Intuitiv, spunem c punctul de echilibru *x este stabil dac orice soluie a sistemului care la momentul 0t pleac dintr-un punct suficient de apropiat de *x rmne ntr-o vecintate a lui *x pentru orice 0tt > .

Definiie. Un punct fix *x al unui sistem dinamic ( )xfx =

se numete stabil dac pentru orice vecintate ( )*xU exist o vecintate

( ) ( )*xU*xV astfel ca orice soluie ce pleac din ( )*xV s rmn n ( )*xU , pentru orice 0t .

Definiie. Un punct fix *x al unui sistem dinamic ( )xfx =

se numete asimptotic stabil dac este stabil i dac exist o vecintate

( )*xU astfel nct ( ) 0=-

*xxlim tt j , ( )*xUx " . Notm ( )r,xB bila centrat ntr-un punct nRx i de raz r. Definiie. Spunem c punctul de echilibru *x este stabil dac

( )edde =$>" ,0 astfel nct dac ( )d*,xBx atunci ( ) ( )ej *,xBxt pentru orice 0t .

Dac n plus avem ( ) 0=-

*xxlim tt j , spunem c punctul de echilibru *x este atractiv.

Dac n plus avem ( ) 0=--

*xxlim tt j , spunem c punctul de echilibru *x este repulsiv.

Un punct de echilibru care este stabil i atractiv se numete asimptotic stabil.

Teorem. Fie nRW o mulime deschis i nRW:f o

funcie continuu difereniabil. Presupunem c *x este un punct de

55

echilibru stabil pentru sistemul dinamic ( )xfx =

. Atunci ( )*xDf nu are valori proprii cu partea real pozitiv, unde

( ) ( )n,j,ij

i *xxf*xDf

1=

=

este Jacobianul lui f n punctul *x .

Teorem. Fie sistemul dinamic ( )xfx =

. Presupunem c toate valorile proprii ale lui ( )*xDf au partea real strict negativ. Atunci punctul de echilibru *x al sistemului dat este asimptotic stabil.

Exemplu 1 . Fie sistemul

( )

-+-=

-=

22 223

1

yxyxy

yxx

S se determine punctele de echilibru i dac acestea sunt stabile sau instabile. Soluie: Punctele de echilibru se gsesc rezolvnd sistemul

( )

=-+-

=-

022301

22 yxyxyx

.

Obinem astfel urmtoarele puncte de echilibru: ( ) ( ) ( ) ( )11141000 ,,,,,,, -- .

Avem c

( )

--+

-=

yxxy

y,xDf4223

1.

De aici rezult c

( )

-

-=

2301

00,Df .

Aceasta are valorile proprii -1 i -2. Deci ( )00, este asimptotic stabil. Pentru celelalte 3 puncte, Jacobienii ( ) ( ) ( )111410 ,Df,,Df,,Df -- au cte o valoare proprie negativ i una pozitiv. Prin urmare, aceste puncte de echilibru sunt instabile.

56

Exemplu 2. Fie sistemul

-=

-+=

xy

xxayx 331

, 0>a .

S se determine punctele de echilibru i dac acestea sunt stabile sau instabile. Soluie: Punctele de echilibru se gsesc rezolvnd sistemul

=-

=

-+

0

031 3

x

xxay

Este evident c singurul punct de echilibru este ( )00, . Avem c

( ) ( )

-

-=

01112xa

y,xDf

i

( )

--

=011

00a

,Df .

Ecuaia caracteristic este

01

1=

----

lla

,

sau, echivalent 012 =++ ll a .

Valorile proprii sunt 4221 --= aa,l .

Cum 0>a , rezult c 021

57

Definiie. Dac ( )*xDf nu are valori proprii cu partea real 0, punctul de echilibru *x se numete hiperbolic. Definiie. Dac ( )*xDf are toate valorile proprii cu partea real strict negativ, punctul de echilibru *x se numete absorbant (atractor). Definiie. Dac ( )*xDf are toate valorile proprii cu partea real strict pozitiv, punctul de echilibru *x se numete surs.

Definiie. Dac ( )*xDf are unele valorii proprii cu partea real strict pozitiv i alte valori proprii cu partea real strict negativ, punctul de echilibru *x se numete a.

Definiie. Dac ( )*xDf are valori proprii cu partea real 0,

punctul de echilibru *x se numete centru.

Observaie. Un punct absorbant este asimptotic stabil i deci este i stabil.

Un punct surs este instabil. Un punct a este instabil. Observaie. O proprietate important a punctelor *x absorbante

este urmtoarea: soluiile nvecinate lui *x tind exponenial ctre *x . Aceast proprietate este precizat n urmtoarea teorem.

Teorem. Fie *x un punct absorbant pentru sistemul dinamic

( )xfx =

, cu nn RRW:f . Presupunem c toate valorile proprii au partea real mai mic dect 0>- c,c . Atunci exist o vecintate

WU , cu U*x astfel nct: a) ( )xtj este definit n U pentru Ux " i 0>t ; b) ( ) *xxe*xx tct -

58

Observaie. n cazul unui punct absorbant, toate traiectoriile se

ndreapt spre interiorul sferelor din jurul lui *x .

4. LINIARIZARE

Am vzut c sistemele liniare au o tehnic precis de rezolvare i un algoritm bine definit. Prin urmare ne intereseaz cum se poate liniariza un sistem dinamic neliniar.

Fie sistemul

( )xfx =

, ( ) nn Rx,...,x,xx = 21 , ( ) nn Rf,...,f,ff = 21 . Avem c ( )*xDf este Jacobianul lui f evaluat n punctul de echilibru

*x . Dezvoltm pe f n serie Taylor n jurul lui *x . Sistemul devine

( ) ( )2xOx*xDfx += . Astfel, sistemului neliniar ( )xfx =

i asociem sistemul liniar

( )x*xDfx =

. Acesta este un sistem liniar cu coeficieni constani, omogen, pe

care l-am studiat deja n capitolul precedent. Reamintim c rezolvarea sa se face gsind valorile i vectorii proprii ai matricei ataate.

Problema care apare acum este legat de modul n care portretul fazic al unui sistem neliniar coincide sau este asemntor cu cel al sistemului liniar obinut prin liniarizare.

Acest aspect este rezolvat de o teorem celebr cunoscut sub denumirea de teorema Hartman-Grobman.

Teorema Hartman-Grobman. Fie *x un punct de echilibru al

sistemului neliniar ( )xfx =

, cruia i corespunde punctul de echilibru ^x al sistemului liniar ataat.

i) Dac ^x este punct hiperbolic al sistemului liniar, atunci soluiile sistemului neliniar n vecintatea lui *x se

59

comport asemntor cu soluiile sistemului liniar n vecintatea lui ^x .

ii) Dac ^x nu este un punct hiperbolic pentru sistemul liniar, atunci nu se pot trage concluzii pentru sistemul neliniar n vecintatea lui *x .

Observaie. n cazul i) spunem c fluxurile celor dou sisteme (

neliniar i liniar asociat) sunt topologic echivalente. n cazul ii) spunem c n vecintatea punctului de echilibru avem o

bifurcaie.

4. SISTEME DINAMICE UNIDIMENSIONALE Forma general:

( ) ( ) Rx,xx,xfx ==

00 .

Definiie. Un punct de echilibru *x al unui sistem dinamic unidimensional se numete stabil, dac ( ) 00 >=$>" edde , astfel nct pentru dd , astfel nct pentru orice 0x cu d

60

dac i numai dac exist 0>d astfel nct pentru d

61

Un sistem dinamic liniar n 2R este de forma

2221212

2121111

+=

+=

xaxax

xaxax.

O form echivalent este cea matriceal

AXX =

,

unde ( )( )

=

txtx

X2

1 , 22 MA ,

=

2221

1211

aaaa

A .

Dac 0Adet , atunci sistemul are un singur punct de echilibru i

anume ( ) ( )0021 ,*x*,x*x == . Dac 0=Adet , atunci punctele fixe sunt *x pentru care 0=*Ax . Dac notm ( ) { }02 == Ax:RxAN , atunci ( )AN*x " este punct de echilibru. Exemplu. S se gseasc punctele de echilibru ale sistemului

AXX =

,

--

=2412

A .

Soluie: Avem c 0=Adet , iar ecuaia 0=AX conduce la

=

--

00

2412

2

1

xx

adic 02 21 =- xx , sau a22 =x . Obinem c

=

aa2

X . Deci ( )AN

este spaiul generat de vectorul

21

. Geometric, ( )AN este dreapta

12 2xx = . Toate punctele acestei drepte sunt puncte fixe pentru sistemul dat. Considerm acum c ecuaia caracteristic a sistemului este

( ) 0=- IAdet l , iar valorile proprii sunt 21 ll , .

62

Clasificm punctele de echilibru n 2R pe baza valorilor proprii. a) Dac 02121 llll ,R, i ( ) 021 >llsgn , punctul de echilibru se numete nod. i) Dac 01 >l , 02 >l , avem nod instabil (surs) . ii) Dac 01

63

Studiind datele asupra evoluiei populaiilor piscicole din Marea Adriatic, Volterra i Lotka au propus ca model matematic pentru evoluia populaiilor a dou specii (prad i rpitori) un sistem de ecuaii difereniale ce le poart numele. Vom descrie n continuare n ce const acest model. Model prad-rpitor Avem la dispoziie 2 populaii: o specie de rpitori avnd ( )ty indivizi la momentul de timp t; o specie prad avnd ( )tx indivizi la momentul de timp t. Presupunem c cele dou populaii convieuiesc ntr-o zon dat, limitat, astfel nct indivizii rpitori se hrnesc numai cu indivizi din specia prad, iar acetia la rndul lor cu resursele zonei n care triesc. Rata de cretere a speciei x n lips de rpitori este A. n prezena rpitorilor ns, specia x scade proporional cu numrul de rpitori:

( )xByABxyAxx -=-=

, 0>B,A . n lips de prad populaia rpitorilor scade cu rata D. n prezena pradei, populaia rpitorilor crete proporional cu populaia pradei:

( )yDCxCxyDyy -=+-=

, 0>D,C . Se obine astfel un sistem dinamic planar:

( )

( )

-=

-=

yDCxy

xByAx

O form mai simpl a acestui sistem este

( )

( )

-=

-=

yxy

xyx

a1

1, 0>a .

Acestea sunt ecuaiile Lotka-Volterra prad-rpitor.

64

7. MULIMI INVARIANTE. MULIMI LIMIT

Definiie. Mulimile invariante sunt regiuni din spaiul fazelor

care conin orbite complete, adic, dac acestea conin un singur punct al unei orbite, atunci conin ntreaga orbit.

Definiie echivalent. O mulime M este invariant dac orice

curent care pleac din M rmne n ntregime n M odat cu evoluia timpului t.

Dac se consider ( )xg o traiectorie care trece prin x, (mai precis,

pentru care liniile de curent trec prin x) , atunci au loc urmtoarele proprieti:

a) M este invariant dac i numai dac ( ) Mx g , Mx " . b) M este invariant dac i numai dac MR n - este invariant. c) Dac { }iM este o mulime numrabil de mulimi invariante,

atunci Ui

iM i Ii

iM sunt de asemenea mulimi invariante.

Definiie. Fie F un sistem dinamic continuu descris de ecuaia

( )xfx =

, ( ) nn Rx,...,x,xx = 21 , ( ) nn Rf,...,f,ff = 21 . Mulimea nRB se numete invariant pentru sistemul dinamic F dac ( ) Bxt j pentru orice Bx i orice Rt . Observaie. Avem c punctul de echilibru este o mulime invariant. Definiie. Mulimile limit sunt regiuni din spaiul fazelor care atrag sau resping traiectorii, deci regiuni spre care tind toate orbitele. Definiie. Se numete mulime w -limit a lui 0x , o mulime notat

( )0xw care reprezint mulimea tuturor punctelor spre care tind toate liniile de curent n timpul viitor:

( ) ( ){ }xx,t,Rt:Rxxntnn

n +$= 00 jw .

65

Definiie. Se numete mulime w -limit a lui B , o mulime notat ( )Bw i definit prin

( ) ( ){ }xy,By,t,Rt:RxBntnn

n $+$= jw .

Definiie. Se numete mulime a -limit a lui 0x , o mulime notat ( )0xa care reprezint mulimea tuturor punctelor spre care au tins toate

liniile de curent n timpul trecut: ( ) ( ){ }xx,t,Rt:Rxx

ntnnn -$= 00 ja .

Definiie. Se numete mulime a -limit a lui B , o mulime notat ( )Ba i definit prin

( ) ( ){ }xy,By,t,Rt:RxBntnn

n $-$= ja .

Observaie. Mulimile ( )0xw i ( )0xa sunt mulimi invariante.

Teorem. Fie nRB o mulime mrginit. Atunci ( )Bw este nchis, iar dac ( )U

0tt Bj este mrginit, atunci ( )Bw este invariant.

Definiie. Un ciclu limit al unui sistem dinamic continuu F este o

orbit nchis g astfel nct ( )xwg , sau ( )xag pentru orice gx .

O categorie special de orbite este aceea pentru care mulimile

w -limit i a -limit coincid. Acestea se numesc orbite homoclinice. O orbit pentru care mulimile w -limit i a -limit sunt

diferite se numete orbit heteroclinic.

66

6. MULIMI ATRACTIVE. ATRACTORI. BAZINE DE ATRACIE

Definiie. O mulime nchis i invariant nRA se numete mulime atractiv dac exist o vecintate U a lui A astfel nct

( ) UUt j i ( ) AUt

t =>I

0j .

Definiie. O mulime compact i pozitiv invariant nRB se

numete absorbant dac exist o submulime mrginit U a lui nR cu proprietatea BU i exist 0>Ut astfel nct ( ) BUt j , Utt >" .

Definiie. Bazinul de atracie al unei mulimi atractive

nRA este dat de ( )I0t

t Uj , unde U este orice mulime deschis care

satisface condiiile din definiia de mai sus. Definiie. O mulime nchis i invariant nRA se numete

topologic tranzitiv dac pentru orice dou mulimi deschise nRV,U exist Rt astfel nct ( ) fj VUt .

Definiie. Un atractor este o mulime atractiv i topologic

tranzitiv. Teorema urmtoare ne d o determinare complet a

comportamentului asimptotic n cazul fluxurilor din plan. Teorema Poincare-Bendixon. Fie un sistem dinamic continuu

planar i 2RM o regiune pozitiv invariant care conine un numr finit de puncte fixe. Considerm Mp i mulimea ( )pw . Atunci una din urmtoarele afirmaii este adevrat:

i) ( )pw este punct de echilibru; ii) ( )pw este o orbit nchis; iii) ( )pw const dintr-un numr finit de puncte { }jp i orbite g cu ( ) ip=gw i ( ) jp=ga .

67

8. SOLUII PERIODICE

Soluiile periodice ale unui sistem dinamic continuu au un rol important n studiul comportamentului fenomenului descris de sistem.

Fie un sistem dinamic F descris prin ecuaia

( )xfx =

, ( ) nn Rx,...,x,xx = 21 , ( ) nn Rf,...,f,ff = 21 . Definiie. O soluie x a unui sistem dinamic F se numete soluie

periodic dac exist un numr 0>T astfel nct ( ) ( )txTtx =+

pentru toate valorile lui t pentru care soluia este definit. Cel mai mic numr T cu aceast proprietate se numete perioad fundamental. n spaiul fazelor, o soluie periodic este reprezentat pritr-o curb nchis. Definiie. Orbita g corespunztoare unei soluii periodice se numete orbit periodic. Definiie. Se numete distan de la un punct nRx la g expresia

( ) ( ){ }00 -= t,xxmin,xd tjg , unde g0x este un punct oarecare fixat. Definiie. Numim vecintate a lui g mulimea

( ) ( ){ }egeg "e , ( ) 0>=$ edd , astfel nct dac ( )dg ,Nx , atunci ( ) Nxt j , 0"t .

Definiie. Orbita periodic g este asimptotic stabil dac este stabil i n plus ( )( ) 0=

gj ,xdlim tt .

68

Orbita periodic privit ca mulime de puncte poate atrage punctele nvecinate. Mai precis, traiectoriile prin aceste puncte se apropie de orbita periodic.

SISTEME DINAMICE DISCRETE

1. ECUAIA LOGISTIC

Fie ( )tN numrul de indivizi ai unei specii la un moment de timp t. Notm k rata de cretere a populaiei. Cnd 0>k , populaia crete, iar cnd

0k avem o cretere exponenial a populaiei, iar pentru 1-

69

( ) ( ) ( )( )tNMtkNtN -=+1 mprim aceast relaie prin M:

( ) ( ){

( )( )tNMM

tNkMtN

nn xx

-=+

+

434211

1

Am obinut

{( )

{M

MtNkxxkMx

M

nnn -=+m

1 ,

sau, echivalent, ( )nnn xxx -=+ 11 m

Aceasta este ecuaia logistic i reprezint o ecuaie cu diferene care descrie un sistem dinamic discret. n general, un sistem dinamic discret este modelat printr-o relaie de recuren de forma

( )nn xfx =+1 , unde xx =0 ,

kRx , iar kk RRD:f o funcie continu.

2. PUNCTE FIXE

i n cazul sistemelor dinamice discrete o importan deosebit se d stabilitii /instabilitii punctelor fixe.

Definiie. Fie sistemul dinamic

( )nn xfx =+1 , unde xx =0 ,

kRx , iar kk RRD:f o funcie continu.Un punct D*x care verific relaia ( ) *x*xf = se numete punct fix al

sistemului.

70

Vom studia n cele ce urmeaz aspecte legate de stabilitatea punctelor fixe pentru sisteme dinamice discrete modelate printr-o relaie de recuren de ordinul I n cazul n care RR:f . Definiie. Fie sistemul dinamic

( )nn xfx =+1 , unde xx =0 , Rx , iar RRD:f o funcie continu. Punctul fix

*x este stabil dac pentru orice 0>e , exist 0>d astfel nct dac de astfel nct dac e- 00 . Definiie. Punctul fix *x este atractor( asimptotic stabil) dac este stabil i dac exist 0>b astfel nct dac b

71

i) dac ( ) ( )( ) 032 2 -- *x"f*x'"f atunci *x este instabil.

3. PUNCTE PERIODICE

Definiie. Fie sistemul dinamic ( )nn xfx =+1 ,

unde xx =0 , kRx , iar kk RRD:f o funcie continu. Un punct

D*x care este un punct fix pentru nf ( adic ( ) *x*xf n = ) se numete punct periodic de perioad n. Spunem c n este prima perioad a lui *x dac ( ) *x*xf m ,

nm

72

Definiie. Un punct Dx se numete asimptotic la stnga unui punct periodic *x de perioad n dac ( ) *xxflim nk

k=

-,

Mulimea tuturor punctelor asimptotice la stnga se numete mulime instabil i se noteaz cu ( )*xW - .

Teorem. Dac 1*x i 2*x sunt dou puncte periodice distincte,

atunci mulimile lor de instabilitate ( )1*xW - i ( )2*xW - sunt disjuncte. Definiie. Spunem c *x este un atractor dac exist o vecintate U

a lui *x astfel nct ( )*xWU - . Teorem. Fie *x un punct periodic de prim perioad k pentru

sistemul dinamic discret ( )nn xfx =+1 ,

unde xx =0 , Rx , iar RRD:f o funcie continuu difereniabil a) Dac ( ) ( ) 1

73

a) Dac toate valorile proprii ale matricei Jacobiene ( )*xdf n au modulul mai mic dect 1, atunci *x este atractor.

b) Dac toate valorile proprii ale matricei Jacobiene ( )*xdf n au modulul mai mare dect 1, atunci *x este repulsor.

4. SISTEME DINAMICE DISCRETE UNIDIMENSIONALE DE

ORDIN I

a) SISTEME LINIARE

Forma general. Considerm un sistem dinamic discret unidimensional a crui

evoluie n timp este caracterizat de ecuaia baxx tt +=+1 ,

unde a, b sunt constante n raport cu t. Notm cu ( )00 xx = valoarea variabilei x la momentul iniial de timp

0=t . Determinarea soluiei. Pentru aceasta avem:

baxx += 01 babxabaxx ++=+= 0

212

babbaxabaxx +++=+= 203

23 M

( ) 1111 00 -

-+=++++= a,

aabxaa...abxax

tttt

t

Dac 1=a obinem: bxx += 01 bxx += 12

M bxx tt += -1

i din acestea rezult c btxxt += 0 .

74

n consecin am gsit

($)

=+

--

+=

1

111

0

0

a,btx

a,aabxax

tt

t ,

sau, echivalent,

=+

-

+

--

=1

111

0

0

a,btx

a,a

ba

bxax

t

t

Aadar, dac este precizat condiia iniial atunci traiectoria sistemului dinamic este unic determinat.

Puncte fixe.

Definiie. Un punct fix al ecuaiei baxx tt +=+1 este o valoare R*x care verific b*ax*x += . Din definiie obinem c ( ) ba*x =-1 , ceea ce conduce la soluia

11

-

= a,a

b*x . Dac 1=a atunci avem b*x*x += , relaie ce este

adevrat dac i numai dac 0=b . Am gsit astfel

==

-=

.b,a,x

a,a

b*x

01

11

0

nlocuin n soluia ($) rezult: ( )

=++-

=.a,btx

a*,x*xxax

t

t 11

0

0

n concluzie, soluia unui sistem dinamic discret liniar unidimensional se poate exprima cu ajutorul variaiei condiiei iniiale 0x de la punctul de echilibru *x . Teorema de existen a punctelor fixe. Ecuaia baxx tt +=+1 admite un punct fix dac i numai dac { }1a sau { 1=a i }0=b .

75

Teorema de unicitate a punctelor fixe. . Ecuaia baxx tt +=+1 admite un punct fix unic dac i numai dac { }1a .

b) SISTEME NELINIARE

Fie un sistem dinamic discret unidimensional caracterizat de ecuaia ( )tt xfx =+1 , unde RR:f este o funcie difereniabil.

Notm ( )00 xx = valoarea variabilei x la momentul de timp 0=t . Determinm soluia acestui sistem.

( )01 xfx = ( ) ( )( ) ( )02012 xfxffxfx ===

M ( )0xfx nn = .

Vrem acum s gsim modalitatea prin care un sistem neliniar se poate aproxima cu unul liniar.

Pentru aceasta vom considera dezvoltarea n serie Taylor a lui ( )tt xfx =+1 n jurul punctului de echilibru *x :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xR...*x''f*xx!

*x'f*xx!

*xfxfx ntttt ++-+-+==+2

1 21

11

Siniarizarea sistemului se face dac se vor pstra doar primii 2 termeni din dezvoltare, adic

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )444 3444 21321ba

ttt *x'f*x*xf*x'fx*x'f*xx!*xfx -+=-+=+ 1

11 .

5. SISTEME DINAMICE DISCRETE MULTIDIMENSIONALE DE ORDIN I

a) SISTEME LINIARE

Forma general:

76

BAxx tt +=+1 , unde variabila nt Rx este un vector n-dimensional, ( )RMA nn i

( )RMB n 1 . Notm ( )00 xx = . Determinarea soluiei:

BAxx += 01 BABxABAxx ++=+= 0

212

M

( )

-

=

-

-

+=

+++++=

++++=

1

00

120

10

t

i

it

tn

t

ttt

ABxA

A...AAIBxABAB...BAxAx

Avem ns c

( ) ( ) ( ) ( ) ttti

tiit

i

i AIA...AA...AIAAAIA -=++-+++=-=- -

=

-+-

=

1

0

111

0

adic,

( ) tt

i

i AIAAI -=- -

=

1

0.

De aici rezult imediat c

( )( )-

=

---=1

0

1t

i

ti AIAIA , dac ( ) 0- AIdet . nlocuind acum n expresia lui tx obinem

( )( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )

( )[ ] ( ) .AIBAIBxAAIBAAIBxA

AIAAIBxA

AIAIBxAx

t

tt

tt

ttt

110

110

110

10

--

--

--

-

-+--=

---+=

---+=

--+=

77

Punct fix Definiie. Un punct fix al sistemului BAxx tt +=+1 este un vector

nR*x cu proprietatea B*Ax*x += . Din definiie obinem c ( ) BAI*x =- , de unde rezult

( ) 1--= AIB*x , dac ( ) 0- AIdet . nlocuind acum n soluia gsit mai sus rezult

( ) *x*xxAx tt +-= 0 .

Teorem. Un punct fix al sistemului BAxx tt +=+1 este unic dac ( ) 0- AIdet .

Stabilitatea punctelor de echilibru depinde de valorile proprii ale

matricei A, dup cum vom descrie n continuare. Teorem. Considerm sistemul BAxx tt +=+1 cu ( ) 0- AIdet i

n care matricea A are n valori proprii reale n,...,, lll 21 . Atunci, ( ) 1--= AIB*x este un punct fix global stabil dac i numai dac 1

78

+=+=

+

+

ttt

ttt

dycxybyaxx

1

1

O form echivalent este cea matriceal: tt AXX =+1

unde

=

t

tt y

xX ,

=

dcba

A .

Punctele fixe se determin rezolvnd sistemul

+=+=

dycxybyaxx

Stabilitatea se studiaz innd seama de teorema anterioar. Exemplu. Se d sistemul

-=

=

+

+

3

2

1

1

tt

tt

xy

yx

S se studieze stabilitatea punctelor fixe. Soluie: Determinm punctele fixe rezolvnd sistemul

-=

=

3

2xy

yx

Obinem un punct fix unic ( )00, .

Forma matriceal a sistemului este tt AXX =+1 , unde

=

t

tt y

xX ,

-= 0

31

20A .

Gsim valorile proprii ale matricei A rezolvnd ecuaia caracteristic

031

2=--

-

l

l.

79

Obinem 32

21 i, =l i cum 121

80

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

F-F

F-F

F-F

+

FFF

FFFFFF

=

=

=

=

+

+

+

n

jj

jnn

n

jj

j

n

jj

j

nt

t

t

nnnn

n

n

nt

t

t

*x*x*x

*x*x*x

*x*x*x

x

xx

*x*x*x

*x*x*x*x*x*x

x

xx

1

122

111

2

1

21

222

12

121

11

1

12

11

M

ML

MMMMLL

M

n aceast manier sistemul neliniar a fost aproximat local (n jurul poziiei de echilibru) cu un sistem liniar de forma

BAxx tt +=+1 , unde ( )*xDA F= este matricea Jacobian a lui ( )txF n *x i

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

F-F

F-F

F-F

=

=

=

=

n

jj

jnn

n

jj

j

n

jj

j

*x*x*x

*x*x*x

*x*x*x

B

1

122

111

M.

Valorile proprii ale matricei ( )*xDA F= determin comportarea local a sistemului neliniar. Teorem. Dac matricea ( )*xDA F= are toate valorile proprii cu modulele mai mici dect 1, atunci *x este un punct fix stabil. Dac matricea ( )*xDA F= are toate valorile proprii cu modulele mai mari dect 1, atunci *x este un punct fix instabil. Definiie. Dac matricea ( )*xDA F= nu are valori proprii de modul egal cu 1, atunci *x este un punct fix hiperbolic.

81

Sisteme neliniare bidimensionale de ordin I Fie un sistem de forma

( )( ).y,xgy

y,xfx

ttt

ttt

==

+

+

1

1

Punctele fixe se determin rezolvnd sistemul ( )( ) .yy,xg

xy,xf

==

Se studiaz stabilitatea punctelor fixe cu ajutorul matricei Jacobiene

( )

=

xg

xg

yf

xf

y,xJ .

Exemplu. S se studieze stabilitatea punctelor fixe corespunztoare urmtorului sistem dinamic.

+=

-=

+

+

xyyyyxx

t

t2

1

21

Soluie: Rezolvm sistemul

+=

-=

xyyyyxx

2

2

i obinem punctele fixe ( ) ( ) ( )210100 ,,,,, - . Pentru studiul stabilitii construim matricea Jacobian

( )

+

-=

xyyx

y,xJ2

12.

( )

-=

0010

00,J . Ecuaia caracteristic este 00

1=

---

ll

, iar valorile

proprii sunt 1021

82

( )

--=-

3212

21,J . Ecuaia caracteristic este 032

12=

----

ll

,

iar valorile proprii sunt 2

31121

i,

-=l . Cum 121 >,l avem c ( )21,-

este punct fix instabil.

6. SISTEME DINAMICE DISCRETE LINIARE

UNIDIMENSIONALE DE ORDIN II

Forma general: 012 =+++ ++ cbxaxx ttt ,

unde Rxt , Rc,b,a , iar condiiile iniiale ( )10 x,x sunt date. Pentru rezolvare notm tt yx =+1 . Obinem astfel sistemul dinamic liniar bidimensional de ordin I :

=+++=

+

+

,cbxayyyx

ttt

tt

011

sau, echivalent,

---==

+

+

.cbxayyyx

ttt

tt

1

1

Matriceal,

-

+

--

=

+

+

cyx

abyx

t

t

t

t 010

1

1 .

Astfel, sistemul unidimensional de ordinul II s-a transformat ntr-un sistem bidimensional de ordin I a crui rezolvare se face conform paragrafului 5.

7. SISTEME DINAMICE DISCRETE LINIARE

UNIDIMENSIONALE DE ORDIN III

Forma general: 0123 =++++ +++ dcxbxaxx tttt ,

83

unde Rxt , Rd,c,b,a , iar condiiile iniiale ( )210 x,x,x sunt date.

Pentru rezolvare notm

===

++