Curs TPI anul 1

  • Published on
    28-Jan-2016

  • View
    9

  • Download
    0

Embed Size (px)

Transcript

Teoria Probabilitilor si a Informaiei n Sistemul de programe Mathematica

I. Balmu, Gh. Ceban, A. Leahu, I. Lisnic, A.Moloniuc

Teoria Probabilitilor si a Informaiei n Sistemul de programe Mathematica.

(Teorie, indicatii metodice si probleme propuse)

Motto. Matematica este arta de a da lucrurilor

diferite unul si acelasi nume. Henri Poincare (1854-1912)1. ntroducere

1.1. Obiectul de studiu al Teoriei Probabilitatiilor Apariia Teoriei Probabilitilor ca ramur a Matematicii dateaz din sec. XVII i este legat de numele marilor matematicieni Blaise Pascal (1623-1662), Pierre Fermat (1601-1665), Christian Huygens (1629-1695) i Jacob Bernoulli (1654-1705), plecnd de la rezolvarea unor probleme legate de jocurile de noroc. Necesitatea de a largi aria de aplicabilitate a acestei teorii a condus la varianta ei moderna i anume, Teoria axiomatic a Probabilitilor, propusa in anul 1933 de catre matematicianul rus Andrei Nikolaevici Kolmogorov (1903-1987). Daca e s ne referim la obiectul ei de studiu, putem spune ca Teoria Probabilitilor studiaz modele matematice ale fenomenelor (experimentelor) aleatoare (nmpltoare, stochastice sau indeterministe, cum li se mai spune). Aici se impun unele lmuriri suplimentare.

Mulimea de fenomene care se ntlnesc n lumea nconjurtoare se mparte n dou clase: fenomene deterministe si fenomene indeterministe sau, cu alte cuvinte, fenomene aleatoare. Spunem, astfel, ca fenomenul este determinist daca observatorul poate anticipa cu certitudine evoluia acestuia. n calitate de exemplu putem lua fenomenul atraciei universale. Observaiile fcute asupra acestui fenomen i-au permis marelui matematician si fizician englez Isaac Newton (1642-1727) s descopere Legea Atraciei Universale:

Aceast formul reprezint un exemplu tipic de model mathematic al unui fenomen (in cazul dat, determinist). Ea ne arat c, fora F de atracie dintre dou corpuri, unul de mas m1 , altul de masa m2 , este direct proportional cu produsul k m1 m2 i invers proporional cu ptratul distanei r dintre aceste corpuri, unde k este o constanta universal. Putem spune, aadar, c a modela mathematic , spre a fi cercetat, un fenomen (experiment, eveniment sau obiect oarecare) nseamna a-l descrie, fie si aproximativ, cu ajutorul noiunilor i formulelor matematice, cu alte cuvinte, a-l descrie n limbajul mathematic. Dealtfel , unul i acelai model mathematic poate descri doua sau mai multe fenomene, in esen, diferite. De exemplu, formula de mai sus servete in calitate de model matematic i pentru fenomenul atractiei dintre doua particule elementare (Legea lui Coulomb). Dimpotriv, spunem despre un fenomen c este indeterminist (aleator) dac observatorul fenomenului nu poate anticipa cu certitudine evoluia lui. Din punct de vedere al observatorului, observaiile facute asupra unui fenomen sau masuratorile corespunzatoare echivaleaza cu efectuarea unui experiment legat de fenomenul dat. Or, prin experiment vom nelege observarea unui fenomen dat. Experimentele indeterministe se mpart ,la rndul lor, n doua subclase: (a) experimente indeterministe (aleatoare) care poseda proprietatea regularitii statisticesi (b) experimente aleatoare care nu poseda proprietatea regularitatii statistice. Definiia 1. Vom spune ca un experiment aleator E poseda proprietatea regularitatii (stabilitatii) statistice daca acesta verifica urmatoarele proprietati:

1) poate fi reprodus, ori de cte ori dorim, practic n aceleasi conditii;

2) pentru orice eveniment asociat lui E frecventa lui relativa n probe

()==()/

oscileaza n jurul unui numar notat cu P(), P() 2 [01], () devenind,

odata cu cresterea lui , tot mai aproape si mai aproape de P();

3) pentru doua serii diferite, respectiv de si probe, atunci cnd si

sunt foarte mari, avem ca () coincide aproximativ cu () .

n concluzie, stabilitatea statistica a frecventelor relative confera verosimilitate ipotezei, conform careia pentru orice eveniment posibil ca rezultat observabil al unui experiment aleator E, putem defini numarul P() cu ajutorul caruia masuram gradul (sansele) de realizare a lui ntr-un numar foarte mare de probe. Astfel, n Teoria probabilitatilor devine postulat afirmatia, conform careia pentru orice eveniment asociat unui experiment aleator E exista (obiectiv) un numar P() numit probabilitate a lui . Proprietatea fireasca a acestui numar rezida n faptul ca, odata cu cresterea numarului de probe (experimente) independente, frecventa relativa () se apropie, tot mai mult, de P()Numarul P() se numeste probabilitate statistica (sau frecventiala) a evenimentului A. Exemplu. Consideram, n calitate de experiment aleator E, aruncarea monedei o singura data. Fie evenimentul ce consta n aparitia stemei. Observam, astfel, ca

1000 () coincide aproximativ cu 1/2 adica P()=1/2 iar 2000() coincide, la fel, aproximativ cu 1/2, adica probabilitatea P()=1/2.

Prin urmare, putem afirma ca probabilitatea (statistica) a aparitiei stemei la aruncarea monedei o singura data este egala cu 12ceea ce inseamna, ca aruncnd moneda de un numar suficient de mare de ori, stema va apare n aproximativ 50% de cazuri .

Putem aduce si alte exemple de fenomene aleatoare: rezultatele aruncarii unui zar, greutatea unui bob ge gru ales la ntmplare, numarul de bacterii ntr-o picatura de apa, durata vietii unui calculator produs de ntreprinderea data, numarul de apeluri telefonice nregistrate la o statie telefonica pe durata unei zile, etc., etc. Enumerarea lor poate continua la nesfrsit, nsa ele toate vor avea acelasi caracter, fiiind nsotite de astfel de notiuni imprecise (deocamdata) ca aruncare onesta, moneda perfecta, probe independente, etc.

Remarc. Probabilitatea statistica nu poate fi aplicata ntotdeauna, deoarece nu orice experiment poate fi repetat n conditii identice ori de cte ori dorim. xperimentele aleatoare care poseda proprietatea regularitatii statistice tin de fenomenele de masa. Pentru studiul experimentelor care nu poseda aceasta proprietate, putem folosi notiunea de probabilitate subiectiva.Definitia 2. Prin probabilitate subiectiva vom ntelege acea regula P conform careia o persoana data i asociaza fiecarui eveniment un numar P() 2 [01],numit probabilitatea evenimentului .Astfel, putem vorbi despre probabilitatea subiectiva, evaluata, sa zicem, de un expert, ca pna n 2020 se va produce prima expeditie a omului pe Marte. Pentru studiul fenomenelor aleatoare indeterministe, n afara de probabilitate subiectiva si probabilitate frecventiala, exista si notiunile de probabilitate clasica, probabilitate geometrica, probabilitate discreta si probabilitate definita

n sens axiomatic. Toate aceste notiuni au ca scop definirea unei modalitati

de masurare a sanselor (gradelor) de realizare a evenimentelor aleatoare date,

definitia axiomatica a probabilitatii fiind, ntr-un anumit sens, acoperitoare pentru toate celelate. Lucrarea data este axata numai si numai pe probabilitati obiective, nu si subiective. 1.2. Considerente asupra Sistemului de programe (software) Mathematica nainte de a trece nemijlocit la tema enunat n denumirea paragrafului, oferim o scurt informaie privind Sistemul de programe Mathematica. La ntrebarea Cine a creat Sistemul de programe Mathematica? putem da urmtorul rspuns.

Creatorul Sistemului Mathematica este Stephen Wolfram (S.U.A.). El s-a nascut la Londra n a. 1959. Prima lucrare tiinific a elaborat-o la vrsta de 15 ani. La vrsta de 20 ani a obinut titlul tiinific de Doctor n fizica teoretic. Din 1973 ncepe s aplice calculatorul n cercetrile sale tiinifice. ntre anii 1979 i 1983 creaz programa SMP care este prima program ce ine de domeniul Calculului simbolic. Menionm c anterior calculatorul era, de obicei, folosit la rezolvarea problemelor din Matematica de calcul. n anul 1986, odat cu apariia primelor PC-uri, ncepe crearea Sistemului (pachetului de programe) Mathematica, n anul 1988 aparnd prima lui variant, Mathematica 1. Aceast activitate a continuat i n anul 1991, avnd ca rezultat Mathematica 2; n anul 1996 a aprut Mathematica 3 iar n anul 1999 Mathematica 4. Aceste sisteme au mai multe versiuni. n unele sli de calculatoare din U.T.M. este instalat Sistemul de programe Mathematica 5.1. Anume acest Sistem este folosit de ctre studeni n cadrul lucrrilor de laborator la TPI. Dealtfel, pe Internet poate fi accesata o varianta online la adresa http://www.wolframalpha.com/. Activitatea privind dezvoltarea de mai departe a Sistemului Mathematica (SM) continu si n prezent n cadrul firmei Wolfram Research, Inc, avndul ca Preedinte pe Stephen Wolfram. Principalele prelucrari efectuate de catre SM pot fi grupate in urmatoarele categorii:

Numerice. Rezultatele acestor prelucrari sunt numere. Exemple de astfel de prelucrari sunt:

calculul integralei definite a unei functii, determinarea radacinilor unui polinom cu coeficienti numerici, determinarea limitei unui sir numeric etc.

Simbolice. Rezultatele prelucrarilor simbolice sunt de regula expresii algebrice sau chiar propozitii matematice. Exemple de astfel de prelucrari sunt: calculul primitivei unei functii, determinarea radacinilor unui poli-nom cu coecienti simbolici, efectuarea unui rationament logic etc.

Grafice. Rezultatele acestor prelucrari sunt de fapt reprezentari grafice ale unor functii, curbe, suprafete sau alte obiecte grafice descrise prin ecuatii sau prin punctele pe care le contin. Pot fi create si obiecte grafice pornind de la primitive. Sistemele de software matematic ofera posibili-tatea efectuarii fiecareia dintre aceste prelucrari.

Unele prelucrari pot fi efectuate direct existand comenzi specifice iar altele pot fi descrise in limbajul de programare specific sistemului. Spre deosebire de limbajele de programare de uz general sistemele de software matematic contin un limbaj de comanda mult mai bogat in sensul ca pot fi specificate printr-o singura comanda si prelucrari bazate pe algoritmi relativ complicati (de exemplu inversarea unei matrici, rezolvarea simbolica sau numerica a unui sistem de ecuatii diferentiale etc). Sistemele de software matematic se pot aplica in domenii diferite, cum ar fi:

-Matematica (pentru verificarea unei teorii, enuntarea de noi conjecturi, elaborarea unor demonstratii care implica doar calcule de rutina sau rationamente standard, vizualizarea

grafica a unor obiecte geometrice etc.);

- Fizica (pentru prelucrarea datelor experimentale, si simularea soft a unor fenomene fizice);

-Chimie (pentru simularea soft a structurilor moleculare si prelucrarea relatiilor ce descriu reactiile chimice);

-Statistica (pentru vizualizarea grafica si analiza datelor, efectuarea de inferene statistice pornind de la date obtinute din sondaje, analiza corelaiei dintre date etc.);

-Inginerie (pentru prelucrarea semnalelor si modelarea sistemelor, proiectare asistata de calculator);

-Biologie si medicina (pentru simularea fenomenelor biomecanice, prelucrarea semnalelor si imaginilor din medicina etc.);

-Economie si finante (pentru modelare financiara, planificare si analiza economica, efectuare de predictii etc.)1.2.1.Generaliti

a)nceputul lucrului. n calculator este instalat corect sistemul Mathematica

Varianta 1. Poziia iniial: masa de lucru pe care este instalat pictograma Mathematica-5. Facem dublu clic pe pictograma Mathematica. Se lanseaz sistemul Matematica i apare fereastra Untitled 1 i o palet cu simboluri. Se poate de scris ce trebuie n aceast fereastr. Astfel se va ncepe un document. Dac paleta nu apare, atunci ea poate fi instalat tastnd: File, Paletes, 4.Basicinput.

Varianta 2. Poziia iniial: masa de lucru pe care nu este instalat pictograma Mathematica. Pentru a apela sistemul Mathematica tastm: Start, Programs, Mathematica 5. Apare fereastra Untitled 1 i se poate de nceput lucrul cu acest sistem.

b)Tipul documentelor. Documentele n sistemul Mathematica sunt de tipul notebook. Ele conin, n caz general, texte cu comentarii i celule care conin formule matematice i rezultatele rezolvrilor problemelor n diferite forme, inclusiv tabele, matrice i grafice. Denumirile funciilor se aseamn cu cele obinuite i se ncep cu liter majuscul: Sinx, Saveeqn,x,...

c)Rezolvarea unei probleme. Pentru a rezolva o problem trebuie de scris instruciunea respectiv i de tastat Shift+Enter (sau Enter de lng cifre, din partea dreapt). Se afieazInnr.d.r:=instruciunea

Outnr.d.r=rezultatul.n paranteze ptrate se conine numrul de rnd al problemei care s-a rezolvat n documentul curent. Dac instruciunea n-a fost scris corect, atunci se afieaz indicaii n privina greelii i coninutul instruciunii.

d)Finisarea lucrului. Dac dup lucrul cu documentul dat pentru prima dat vrem s-l pstrm, atumci tastm: File, Save As (scriem numele dorit al documentului), Save. Astfel noul document se va salva n sistemul Mathematica. Dac se lucreaz cu un fiier vechi, atunci salvarea redaciei noi a lui se efectueaz prin tastrile: File, Save. Documentul poate fi salvat i pe un careva disc n mod obinuit.

e)Utilizarea parantezelor. Parantezele rotunde ( i ) se folosesc pentru a grupa expresii; parantezele ptrate i se folosesc pentru delimitarea argumentelor funciei, iar acoladele i se folosesc pentru delimitarea elementelor din list.

f) Observaie. Textul care urmeaz este scris n Microsoft Word. Pentru scrierea unor formule se folosete redactorul Equation i de aceea literele latine sunt scrise italic. Acest text poate fi scris direct n Mathematica, unde literele se scriu normal i n aa fel se afieaz. Folosirea redactorului Microsoft Word face ca textul s fie scris mai c0mpact.

1.2.2.Operaii aritmetice i de calcul

n Sistemul de programe Mathematica se folosesc urmtoarele notaii: Pi este notaia numrului ; E este notaia numrului e; I este notaia numrului ; Infinity este notaia lui ; n! este notaia lui n factorial; x+y -- adunarea, xy -- scderea, x/y -- mprirea, x*y sau xy nmulirea (la nmulire ntre x i y se pune sau semnul * sau spaiu liber), x -- minus x, xy ridicarea la putere xy, x==y egalitate, xy mai mare, xy mai mic, x=y mai mare sau (i) egal, x=y mai mic sau (i) egal, x! = y x este diferit de y. Termenii se grupeaz cu ajutorul parantezelor rotunde. Se folosesc i notaii obinuite.

La rezolvarea problemelor de aritmetic i de calcul pot fi folosite i funciile ce urmeaz.Plusx,y,...,z calculeaz suma x+y++z;Timesx,y,...,z calculeaz produsul xyz;Powerx,n calculeaz expresia xn;Listx1,x2,...,xn creaz lista x1,x2,...,xn;Rulea,b efectueaz substituia ab;Seta,b atribuie lui a valoarea b;Primen determin al n-lea numr prim;FactorIntegern determin factorii primi ai numrului n i exponenii puterilor lor;Maxx,y,...,z determin cel mai mare numr din lista dat;Minx,y,...,z determin cel mai mic numr din lista dat;Absx determin valoarea absolut a numrului real x i modulul numrului comp...