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TRIGONOMETRA
1. INTRODUCCIN.
ngulo es cada una de las regiones en que dividen un plano
dossemirrectas con un origen comn. A dicho origen se le
denominavrtice del ngulo y a cada una de las semirrectas tomadas
desdeel vrtice se les llama lados del ngulo.
Un ngulo se considera positivo si se traza siguiendo el
sentidoanti horario (el contrario a las agujas del reloj); en caso
contrariose considera negativo. En la figura anterior, ambos son
positivos.
En matemticas, se emplean varios sistemas para medir
1.1. SISTEMA SEXAGESIMAL. Consiste en dividir un ngulocompleto
en 360 partes iguales; a cada una de estas partes sele denomina
grado sexagesimalse divide en 60 minutos sexagesimales y cada
minuto en 60segundos sexagesim
1.2. SISTEMA CENTESIMAL. El ngulo completo se divide en400
partes iguales denominada cada una de ellascentesimal (g)minutos
centesimales y cada minuto en 100 segundoscentesimales.
1.3. RADIANES. Es la unidaSistema Internacional y se define como
el ngulo cuyo arcotiene la misma longitud que el radio con que ha
sido trazado.As, para calcular el valor en radianes de un ngulo
cualquieraaplicaremos:
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INTRODUCCIN.
ngulo es cada una de las regiones en que dividen un plano
dossemirrectas con un origen comn. A dicho origen se le
denominavrtice del ngulo y a cada una de las semirrectas tomadas
desdeel vrtice se les llama lados del ngulo.
Un ngulo se considera positivo si se traza siguiendo el
sentido(el contrario a las agujas del reloj); en caso contrario
se considera negativo. En la figura anterior, ambos son
positivos.
En matemticas, se emplean varios sistemas para medir
SISTEMA SEXAGESIMAL. Consiste en dividir un ngulocompleto en 360
partes iguales; a cada una de estas partes sele denomina grado
sexagesimal (). Cada grado sexagesimalse divide en 60 minutos
sexagesimales y cada minuto en 60segundos sexagesimales.
SISTEMA CENTESIMAL. El ngulo completo se divide en400 partes
iguales denominada cada una de ellas
). Cada grado centesimal se divide en 100minutos centesimales y
cada minuto en 100 segundos
RADIANES. Es la unidad de medida de ngulos en elSistema
Internacional y se define como el ngulo cuyo arcotiene la misma
longitud que el radio con que ha sido trazado.As, para calcular el
valor en radianes de un ngulo cualquiera
= () ()
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ngulo es cada una de las regiones en que dividen un plano
dossemirrectas con un origen comn. A dicho origen se le
denominavrtice del ngulo y a cada una de las semirrectas tomadas
desde
Un ngulo se considera positivo si se traza siguiendo el
sentido(el contrario a las agujas del reloj); en caso contrario
se considera negativo. En la figura anterior, ambos son
positivos.
En matemticas, se emplean varios sistemas para medir ngulos:
SISTEMA SEXAGESIMAL. Consiste en dividir un ngulocompleto en 360
partes iguales; a cada una de estas partes se
. Cada grado sexagesimalse divide en 60 minutos sexagesimales y
cada minuto en 60
SISTEMA CENTESIMAL. El ngulo completo se divide en400 partes
iguales denominada cada una de ellas grado
centesimal se divide en 100minutos centesimales y cada minuto en
100 segundos
d de medida de ngulos en elSistema Internacional y se define
como el ngulo cuyo arcotiene la misma longitud que el radio con que
ha sido trazado.As, para calcular el valor en radianes de un ngulo
cualquiera
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90100g 2
Para transformar cantidades angulares entre los diversossistemas
basta con una regla de tres.
2. RAZONES TRIGONOMTRICAS
En un sistema de coordenadas cartesianasun origen (0,0) y dos
ejes OX (abcisas) y OY (ordenadas)dibujamos una circunferencia
auxiliar cualquiera de radio rcentro el origen. Trazamosuno de sus
lados apoyado en el semieje positivo del eje deabcisas. En el otro
lado marcamosla circunferencia.
Definimos seno de A (sen A sin A) como la razn entre laordenada
del punto M y la
Se define cosenoy la distancia OM.
Se define tangenteseno y el coseno de dicho ngulo.
A continuacin tienes las razones trigono
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180 270 360200g 300g 400 3 2
Para transformar cantidades angulares entre los diversossistemas
basta con una regla de tres.
RAZONES TRIGONOMTRICAS
En un sistema de coordenadas cartesianas donde hemos definidoun
origen (0,0) y dos ejes OX (abcisas) y OY (ordenadas)dibujamos una
circunferencia auxiliar cualquiera de radio rcentro el origen.
Trazamos un ngulo A con vrtice el origen yuno de sus lados apoyado
en el semieje positivo del eje deabcisas. En el otro lado marcamos
el punto M de interseccin con
de A (sen A sin A) como la razn entre laordenada del punto M y
la distancia OM (radio del ngulo)
de A (cos A) como la razn entre la abcisa de M
tangente de A (tag A tg A) como la razn entre elseno y el coseno
de dicho ngulo.
A continuacin tienes las razones trigonomtricas y sus
inversas.
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360400g2
Para transformar cantidades angulares entre los diversos
donde hemos definidoun origen (0,0) y dos ejes OX (abcisas) y OY
(ordenadas)dibujamos una circunferencia auxiliar cualquiera de
radio r y
con vrtice el origen yuno de sus lados apoyado en el semieje
positivo del eje de
el punto M de interseccin con
de A (sen A sin A) como la razn entre la(radio del ngulo).
de A (cos A) como la razn entre la abcisa de M
de A (tag A tg A) como la razn entre el
mtricas y sus inversas.
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=
=
=
Los signos de las razones trigonomtricasdependen exclusivamente
de los signos de las coordenadas delpunto M asociado a dicho
ngulo.
Cuando el radiocircunferencia se denominarazones trigonom
Al ser el radio la unidad, las lneas trigonomtricas quedan de
lasiguiente manera:
= =
=
=
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=
=
=
=
=
= Los signos de las razones trigonomtricas de un ngulo Adependen
exclusivamente de los signos de las coordenadas delpunto M asociado
a dicho ngulo.
Cuando el radio de la circunferencia auxiliar es la unidad
lacircunferencia se denomina circunferencia goniomtricarazones
trigonomtricas pasan a llamarse lneas trigonomtricas
Al ser el radio la unidad, las lneas trigonomtricas quedan de
la
= = = =
=
=
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de un ngulo Adependen exclusivamente de los signos de las
coordenadas del
es la unidad lacircunferencia goniomtrica y las
tricas pasan a llamarse lneas trigonomtricas.
Al ser el radio la unidad, las lneas trigonomtricas quedan de
la
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2.1. LNEAS TRIGONOMTRICAS. Las lneas trigonomtricasde un ngulo
son seis segmentos cuyas longitudes coincidencon el valor absoluto
de cada una de las seis razonestrigonomtricas.
3. RELACIONES FUNDAMENTALES.
A partir del Teorema de Pitgoras se concluye que para
cualquierngulo se cumple:
Dividiendo por
+
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LNEAS TRIGONOMTRICAS. Las lneas trigonomtricasde un ngulo son
seis segmentos cuyas longitudes coincidencon el valor absoluto de
cada una de las seis razones
cas.
ONES FUNDAMENTALES.
A partir del Teorema de Pitgoras se concluye que para
cualquierngulo se cumple: + =
la expresin anterior deducimos:
= ; + =
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LNEAS TRIGONOMTRICAS. Las lneas trigonomtricasde un ngulo son
seis segmentos cuyas longitudes coincidencon el valor absoluto de
cada una de las seis razones
A partir del Teorema de Pitgoras se concluye que para
cualquier
la expresin anterior deducimos:
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4. VALOR DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS.
sen
cos
tg
Para el resto de los cuadrantes bastar con cambiar el signo de
lasrazones que proceda
4.1. REDUCCIN DE NGULOS AL PRIMER CUADRANTE.los valores de las
razones trigonomtricas de un ngulo del primercuadrante resulta
sencillocuadrante distinto, sin ms que expresar dicho ngulo en
funcdel primero conocido.
Si el ngulo fuera superior a 360 (2nmero de vueltas
completasngulo menor de 360.
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VALOR DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS.
0 30 45 60 900 6 4 3 20
1 2 2 2 3 2 11 3 2 2 2 1 2 00 3 3 1 3
el resto de los cuadrantes bastar con cambiar el signo de
lasprocedan de acuerdo con lo ya explicado.
REDUCCIN DE NGULOS AL PRIMER CUADRANTE.los valores de las
razones trigonomtricas de un ngulo del primer
resulta sencillo averiguar las de otro ngulo encuadrante
distinto, sin ms que expresar dicho ngulo en funcdel primero
conocido.
= = 2 = 2 + = = +
= 3 2 = 3 2 = 2
Si el ngulo fuera superior a 360 (2 radianes) se le restan
elnmero de vueltas completas necesarias hasta convertirlo en
unngulo menor de 360.
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VALOR DE LAS RAZONES TRIGONOMTRICAS.
el resto de los cuadrantes bastar con cambiar el signo de
las.
REDUCCIN DE NGULOS AL PRIMER CUADRANTE. Conocidoslos valores de
las razones trigonomtricas de un ngulo del primer
averiguar las de otro ngulo en otrocuadrante distinto, sin ms
que expresar dicho ngulo en funcin
= =
radianes) se le restan elnecesarias hasta convertirlo en un
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5. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS.
A cada ngulo x en radianes, se le asocia el valor de su
seno,coseno, tangente, cosecante, secante o cotangente.con lo
anterior resultan unas grficas que se exponen acontinuacin.
Dibuja, a continuacin, las gcotangente.
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FUNCIONES TRIGONOMTRICAS.
A cada ngulo x en radianes, se le asocia el valor de su
seno,coseno, tangente, cosecante, secante o cotangente.con lo
anterior resultan unas grficas que se exponen a
Dibuja, a continuacin, las grficas de la cosecante, secante
y
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A cada ngulo x en radianes, se le asocia el valor de su
seno,coseno, tangente, cosecante, secante o cotangente. De
acuerdocon lo anterior resultan unas grficas que se exponen a
rficas de la cosecante, secante y
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TRIGONOMETRA Pgina 7
6. FUNCIONES TRIGONOMTRICAS RECPROCAS.
La inversa o recproca de la funcin seno es el arco seno
(arcsen);la del coseno es el arco coseno (arccos) y as
sucesivamente.
Las funciones trigonomtricas no son inyectivas y, por tanto,
susinversas o recprocas no son funciones; slo son
correspondencias.Para poder trabajar con ellas como funciones
deberemos limitar sudominio de 2 2 en el caso del arcsen y arctg y
de 0 a para el arccos.
Es importante comprender qu significan las recprocas de
lasfunciones trigonomtricas. Veamos un ejemplo: decir = significa
que y es un arco (ngulo) cuyo seno vale x (= ); por tanto, su
coseno valdr cos= 1 .cos( ) = 1 Cunto vale ( )?
= arccos cos= . = 1
= 11
( ) = 11
Cunto vale sen(arcsenx)?
7. FRMULAS TRIGONOMTRICAS.
7.1. NGULOS SUMA Y DIFERENCIA. NGULO DOBLE YMITAD.
( ) = cos( ) = cos cos ( ) = 1
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TRIGONOMETRA Pgina 8
Haciendo en las expresiones anteriores los ngulos A y Biguales
llegaremos a las frmulas del ngulo doble en funcindel ngulo
mitad.
2 = 2 cos 2 = 2 = 2 1
Para expresar las razones trigonomtricas del ngulo mitad (A)en
funcin de las del ngulo doble (2A) actuaremos comosigue:
1 = + 2 =
Sumando: =
restando : =
dividiendo ambos conseguimos la tangente.
= 1 21 + 2 = 1 21 + 2 = 21 + 2
Muy til en integracin es saber expresar el seno, coseno
ytangente de un ngulo x en funcin de la tangente del ngulomitad
x/2. Veamos cmo se consigue:
= 2 2 2 = 2 2 2 2 + 2 =2 2 2
2 2 + 2
2 = 2 21 + 2Acad
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TRIGONOMETRA Pgina 9
cos= 2 2 = 2 2 2 + 2 = 2 2
2 2 + 2
2 = 1 21 + 2 =
= 2 21 + 21 21 + 2 ; =
2 21 27.2. SUMAS Y DIFERENCIAS DE SENOS Y COSENOS. Estas
expresiones son muy tiles a la hora de transformar unproducto de
senos y cosenos en suma de senos y cosenos yviceversa.
Partiendo de (+ ) = +
( ) = y sumando: (+ ) + ( ) = 2
Realizando el cambio de variables + = , = , queda: + = 2 + 2
2
De manera similar se obtienen las siguientes expresiones:
= 2 + 2 2+ = 2 + 2 2 = 2 + 2 2Acad
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8. RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UNAGUDO.
Partiendo de un ngulo agudo B, construimos sobre l un
tringulorectngulo.
Apoyndonos en las definiciones anteriores podemos escribir:
9. RESOLUCIN DE TRINGULOS.
En tringulos que no seancualquiera de los dos teoremas que se
enuncian a continuacin.
9.1. TEOREMAS DEL SENOun lado y el seno del ngulo opuesto se
mantiene constante.
9.2. TEOREMAun lado es igual a la suma de los cuadrados de los
otros dosmenos el doble de su producto por el coseno del ngulo
queforman.
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RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN
Partiendo de un ngulo agudo B, construimos sobre l un
tringulo
Apoyndonos en las definiciones anteriores podemos escribir:
=
; =
; =
RESOLUCIN DE TRINGULOS.
En tringulos que no sean rectngulos son de mucha
utilidadcualquiera de los dos teoremas que se enuncian a
continuacin.
TEOREMAS DEL SENO. En un tringulo la relacin entreun lado y el
seno del ngulo opuesto se mantiene constante.
DEL COSENO. En un tringulo el cuadradun lado es igual a la suma
de los cuadrados de los otros dosmenos el doble de su producto por
el coseno del ngulo que
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RAZONES TRIGONOMTRICAS DE UN NGULO
Partiendo de un ngulo agudo B, construimos sobre l un
tringulo
Apoyndonos en las definiciones anteriores podemos escribir:
rectngulos son de mucha utilidadcualquiera de los dos teoremas
que se enuncian a continuacin.
. En un tringulo la relacin entreun lado y el seno del ngulo
opuesto se mantiene constante.
En un tringulo el cuadrado deun lado es igual a la suma de los
cuadrados de los otros dosmenos el doble de su producto por el
coseno del ngulo que
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