CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 9gimnazjum-nr1.edupage.org/files/Podrecznik_2_Potegi.pdf · 10 POTĘGI CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 10 1Potęgaowykładnikunaturalnym Spróbuj

CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 9

10 P O T Ę G I


1 Potęga o wykładniku naturalnymSpróbuj sobie wyobrazić ogromny arkusz cieniutkiej bibułki o grubo-ści 0,01 mm. Arkusz ten składamy na pół, potem jeszcze raz na półi jeszcze raz na pół itd.

Po pierwszym złożeniu bibułka składałaby sięz dwóch warstw i jej grubość wynosiłaby:

2 ·0,01 mm

Po drugim złożeniu grubość otrzymanej bibułkibyłaby 2 razy większa od poprzedniej:

2 ·2 ·0,01 mm

Po trzecim złożeniu grubość bibułki byłaby zno-wu 2 razy większa i wynosiłaby:

2 ·2 ·2 ·0,01 mm

Grubość bibułki po dziesiątym złożeniu to:

2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·0,01 mm

W powyższych wyrażeniach występują iloczyny takich samych czynni-ków. Takie iloczyny można zapisać krócej w postaci potęgi.

2 ·2 = 22 2 ·2 ·2 = 23 2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 = 210

czytamy: dwado potęgi drugiej

czytamy: dwado potęgi trzeciej

czytamy: dwado potęgi dziesiątej

ĆWICZENIE A. Zapisz za pomocą potęgi liczby 2, jaką grubość miałaby bi-bułka, gdybyśmy złożyli ją 23 razy, a jaką — gdybyśmy ją złożyli 50 razy.

Przypuśćmy, że możliwe byłoby złożenie bibułki 50 razy. Jak myślisz, z czymmożna byłoby porównać grubość otrzymanej w ten sposób bibułki — z dłu-gością ołówka, ze wzrostem człowieka, a może z odległością z Gdańska doWarszawy? Okazuje się, że złożona bibułka miałaby grubość ponad 25 razywiększą niż odległość z Ziemi do Księżyca!

29 = 512

(12

)4=

116

210 = 1024(

12

)5=

132

211 = 2048(

12

)6=

164

212 = 4096(

12

)7=

1128

W języku polskim słowo potęga jest równoznacz-ne z wielkością, siłą, mocą. Nie bez powodu wie-lokrotne mnożenie przez siebie takiego samegoczynnika zostało nazwane potęgowaniem.

Obliczając kolejne potęgi liczby 2, bardzo szybko otrzy-

mujemy ogromne liczby. Zauważ, że obliczając kolejne

potęgi ułamka 12 , otrzymujemy coraz mniejsze liczby.

P O T Ę G A O W Y K Ł A D N I K U N A T U R A L N Y M 11


Gdy n jest liczbą naturalną większą od 1, to iloczyn n jednakowychczynników równych a oznaczamy an i nazywamy potęgą liczby ao wykładniku n.

an = a·a·a· . . . ·a︸︷︷︸n czynników

Przyjmujemy ponadto, że:

a1 = a oraz a0 = 1 dla a �= 0

Uwaga. Wartość potęgi 00 nie jest określona, tzn.zapis 00 nie oznacza żadnej liczby.

Przykłady

0,34 = 0,3 · 0,3 · 0,3 · 0,3 = 0,0081 (−2)1 = −2

(−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 24 = 16(

79

)1= 7

9

(−11

2

)3=(

−32

)·(

−32

)·(

−32

)= −27

8 = −338 (−1,37)0 = 1

Gdy potęgujemy liczby poprzedzone znakiem minus, to potęgi te mo-żemy zapisać w inny sposób. Na przykład:

(−3)4 = 34(

−12

)6=(

12

)6(−0,1)6 = 0,16 (−x)4 = x4

(−3)5 = −35(

−12

)7= −

(12

)7(−0,1)7 = −0,17 (−x)5 = −x5

Zwróć uwagę na to, że sposób, w jaki przekształcono te potęgi, zależy odtego, czy wykładnik jest parzysty, czy nieparzysty.

ĆWICZENIE B. Sprawdź, że zachodzą powyższe równości.

Zadania

1. Oblicz podane potęgi:

a) 53 25 (−3)4 (−4)3 d) (−1,1)2(

114

)3 (−21

5

)31,32

b) 06(

137

)1(−1)4 (−10)0 e) −34 − (−1,5)3 −1,12 −

(−2

3

)4

c)(

12

)5 (−3

5

)40,26 (−0,03)3 f) 23

3(−3)2

2232

−53

(−3)2

12 P O T Ę G I


2. Oblicz:

51 50 (−5)1 15 05 (−1)1 (−5)0 01 (−1)5 (−1)0 10

3. Oblicz:

a) 105 107 1012 c) 0,13 0,15 0,18

b) 1002 1003 10003 d) 0,012 0,014 0,0013

4. Zapisz w postaci potęgi liczby 10:

a) tysiąc, b) sto tysięcy, c) milion, d) miliard.

5. Oblicz sumę cyfr liczby, która jest wynikiem odejmowania 10101 − 3.

6. Czy podana liczba jest dodatnia, czy ujemna?

a) (−17)5 c) (−0,9)7 e) (−8,6)20 g) −1102 i) −(−12)8

b) (−14)6 d) (−26)19 f) (−1)100 h) −1710 j) −(−3,5)11

7. Ustal bez wykonywania obliczeń, czy wynik to liczba dodatnia, czyujemna.

a)(

− 521

)3 ·(

− 718

)4b)

−184 · (−27)5

(−2,5)0c)

− (−11)4 · (−5)7

−136 · (−12)4

8. Oto fragment zeszytu pewnego ucznia. Które obliczenia uczeń tenwykonał błędnie?

3 /35

9. Jaki znak: < , = czy > należy wpisać w miejsce ♦ ?

a) 2,54 ♦ 2,5 e) (−4)5 ♦ −4 i) 8,520 ♦ 8,530

b)(

35

)7 ♦ 35 f) (−1,2)6 ♦ −1,2 j) (−6)9 ♦ (−6)7

c)(

54

)9 ♦ 54 g)

(−1

3

)4 ♦ −13 k)

(13

)7 ♦(

13

)8

d) (0,1)8 ♦ 0,1 h)(

−57

)9 ♦ −57 l) (−0,2)7 ♦ (−0,2)3

P O T Ę G A O W Y K Ł A D N I K U N A T U R A L N Y M 13


10. Ustal, dla jakich liczb naturalnych n:

a) liczba 3n jest większa od 100 i mniejsza od 1000,

b) liczba n3 jest większa od 100 i mniejsza od 1000.

11. Zapisz podane iloczyny i ilorazy w jak najprostszej postaci.

a) (−x)4 · (−2)2 c) (−10)2 · (−a)3 e)(

−12

)3 · (−b)4

b)(

−a3

)2d)

(−x)7

(−3)2f)

(−5)3

25 · (−m)5

12. Wiedząc, że 210 = 1024, oblicz podane potęgi.

(−2)10 −210(

−12

)10−0,510 (−0,5)10 211 29

Każdą liczbę naturalną złożoną można

przedstawić w postaci iloczynu potęg

liczb pierwszych. Mówimy wówczas, że

rozkładamy liczbę na czynniki pierw-

sze. Poniżej pokazujemy, jak znaleźć

rozkład liczby na czynniki pierwsze.

56 = 2 ·28 = 2 ·2 ·14 = 2 ·2 ·2 ·7 = 23 ·7

360 2

360 : 2 →180 2

180 : 2 → 90 2

90 : 2 → 45 3

45 : 3 → 15 3

15 : 3 → 5 5

5 : 5 → 1

360 = 23 · 32 · 5

13. a) Korzystając z rozkładów liczb3087, 5746 i 41 503 na czynniki pierw-sze, zapisz każdą z tych liczb w po-staci iloczynu potęg liczb pierwszych.

3087 31029 3

343 749 7

7 71

5746 22873 13

221 1317 17

1

41503 75929 7

847 7121 11

11 111

b) Każdą z podanych poniżej liczbprzedstaw w postaci iloczynu potęgliczb pierwszych.

648 2800 10125 1936

Iloczyn potęg

Liczba kolejnych Szyfr

liczb pierwszych

2940 22 · 31 · 51 · 72 2 − 1 − 1 − 2

200 23 · 30 · 52 3 − 0 − 2

7 20 · 30 · 50 · 71 0 − 0 − 0 − 1

1 20 0

2 21 1

81 20 · 34 0 − 4

Iloczyn potęg

Liczba kolejnych Szyfr

liczb pierwszych

2940 22 · 31 · 51 · 72 2 − 1 − 1 − 2

200 23 · 30 · 52 3 − 0 − 2

7 20 · 30 · 50 · 71 0 − 0 − 0 − 1

1 20 0

2 21 1

81 20 · 34 0 − 4

14. a) W tabeli obok zaszyfro-wano liczby według pewnejreguły. Zaszyfruj (zgodniez tą regułą) liczby: 10, 45,16, 121 oraz twój numerz dziennika lekcyjnego.

b) Rozszyfruj liczby:

0 − 1 − 0 − 1 − 2

0 − 0 − 0 − 2 − 1

5 − 2 − 0 − 1

0 − 0 − 0 − 0 − 0 − 0 − 1 − 1

14 P O T Ę G I


4 /35

15. Oblicz wartości wyrażeń (pamiętaj, że potęgowanie wykonujemy przedmnożeniem i dzieleniem).

a) 25 − (−2)5 e) 13 · 32 + 1

4 · 22 i) (−0,1)4 · 203 − (−2)4

b)(

13

)4+(

−13

)4f) 2 · 0,23 − 0,23 j)

(11

2

)3: 0,54 + 7,40

c)(

13

)2 · 33 g) 3 ·(

12

)0+ 8 ·

(−1

2

)4k) 33 − (−2)2 − (−3)0

d) 103 · 0,12 h)(

12

)3:(

16

)2− (−2)3 l)

(35

)2− 32

5 + 352

16. Piłeczka opuszczona na posadzkę odbija się od niej na wysokośćrówną 2

5 wysokości, z jakiej ją spuszczono. Piłeczkę opuszczono z wy-sokości 3 m. Jak wysoko się wzniesie piłeczka po czwartym odbiciu?Po którym odbiciu wzniesie się na wysokość niższą niż 1 cm?

17. Ustal, jaka jest ostatnia cyfra każdej z podanych liczb.

517 1110 3625 99 29100 2323

Gra o miliony dolarów!Możesz zarobić duże pieniądze!

Wyślij jednego dolara osobie z numerem 1.

Przepisz ten list w 10 egzemplarzach, usu-

wając pierwsze nazwisko i wpisując na końcu

swoje nazwisko (z numerem 10). Wyślij prze-

pisane listy do dziesięciu różnych osób.

1. C.Waniak POK SA 134578-749502-0012. O.Szust OKPI Bank 782034-8263-353. S.P.Ryciarz Banca Credita 7265-9376524. C.Lever Fortuna Bank 6628-8363-0135. Ł.Obuz Karib Bank 729374-2774-9726. Akiro Taka Wyga YAKI Bank 12346814-193-1397. L.A.Wirant Bank Nadorski 7265-2863-02988. Mrs.Hope Lord’s Bank 17263-389-019. G.Smith WallStreet Bank 8734-2094971710. N.A.Dziana PKS BM 1236594-23366

Już wkrótce Ty znajdziesz się na początku li-

sty osób i otrzymasz wielką fortunę!

∗18. Przeczytaj list zamieszczony obok.Pan N. A. Iwniak dał się wciągnąć w tęgrę. Załóżmy, że każda osoba, któraotrzyma taki list, zastosuje się do in-strukcji i wciągnie do gry 10 nowychosób. Ile jeszcze osób musiałoby wziąćudział w grze, aby pan N. A. Iwniakznalazł się na początku listy?

∗19. Uzasadnij równości:

25 + 25 = 26

(−3)3 + (−3)3 + (−3)3 = −34

∗20. Ustal, ile siódemek należy dodać,aby otrzymać liczbę:

a) 72 b) 73 c) 792

I L O C Z Y N I I L O R A Z P O T Ę G O J E D N A K O W Y C H P O D S T A W A C H 15


1. Po podniesieniu liczby −2 12 do kwadratu otrzymamy:

A. 414 B. 21

4 C. 614 D. −25

4

2. Po ustawieniu liczb a =(

52

)18, o =

(25

)18, p =

(25

)16, r =

(52

)16w kolejności

rosnącej otrzymamy układ liter:

A. o, p, a, r B. r, o, p, a C. p, o, r, a D. o, p, r, a

3. Wynikiem działania −24 − (−3)2 · 2 jest:

A. 34 B. −34 C. −2 D. 50

4. W którym z przykładów znaku ♦ nie można zastąpić znakiem = ?

A. (−5) · (−5)0 ♦ − 5

B. 26 + 26 ♦ 27

C. 78 − (−7)0 ♦ 78 + 1

D. 15 + 05 − 50 ♦ 0

zeszyt ćwiczeń, str. 5 CD-ROM 1.1/1–10 zadania uzupełniające 1-10, str. 35–36

2 Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach

ĆWICZENIE. Zastąp symbole ♥, ♦, ♠ i ♣ odpowiednimi liczbami.

23 ·24 = 2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 ·2 = 2♥ 47 : 45 =4 ·4 ·4 ·4 ·4 ·4 ·4

4 ·4 ·4 ·4 ·4 = 4♣

y 4 ·y 2 = y ·y ·y ·y ·y ·y = y ♦ x5 : x2 =x ·x ·x ·x ·x

x ·x = x ♠ dla x �= 0

Mnożąc lub dzieląc potęgi o tych samych podstawach, możemy korzy-stać z następujących równości:

am · an = am + n Podstawa się nie zmienia,wykładniki dodajemy.

am

an= am − n dla a �= 0

Podstawa się nie zmienia,wykładniki odejmujemy.

Uwaga. Drugą równość można też zapisać w postaci: am : an = am − n

16 P O T Ę G I


Przykłady

(−5)7 · (−5)9 = (−5)16 = 516

(−2)3 · 215 = −23 · 215 = −218

37 · 35

310=

312

310= 32 = 9

(−6)12

−610=

612

−610= −

612

610= −62 = −36

Zadania

1. Zapisz w postaci jednej potęgi:

a) 135 · 136 d)(−17)9

(−17)4g)a9 · a6

a4

b) (−123)3 · (−123)9 e)(

113

)13: 11

3 h)x11· x5 · xx18 : x9

c) 611 · 6 · 612 f)814 · 816

815i)b7 · b3 : (b2 · b)b4 · b2 : b

2. Ile razy liczba m jest większa od liczby n?

a) m = 315, n = 312 b) m = 29, n = 32 c) m = 515, n = 56 · 55

11 /363. Oblicz sprytnie:

a) 27 · 39 : 310 b) 125 · 57 : 59 c) 64 · 29 : 210

12 /36

4. Zastąp gwiazdki odpowiednimi liczbami.

a) 63 · 6�· 67 = 621 c) 819 : 8� = 88 e) 25 · 5� · 125 = 510

b) 11� : 113 = 116 d) 36 · 6� = 611 f) 144 · 128 : 12� = 125

1 km = 103 m = 103 · 103 mm = 106 mm

↑1 m

1 t = 103 kg = 103 · 102 dag = 105 dag

↑1 kg

5. Zapisz odpowiedź w postaci potęgiliczby 10.

a) 100 km — ile to milimetrów?

b) 1000 km — ile to decymetrów?

c) 1000 t — ile to dekagramów?

d) 100 t — ile to miligramów?

I L O C Z Y N I I L O R A Z P O T Ę G O J E D N A K O W Y C H P O D S T A W A C H 17


tysiąc — 103 sekstylion — 1036

milion — 106 septylion — 1042

miliard — 109 oktylion — 1048

bilion — 1012 nonilion — 1054

trylion — 1018 decylion — 1060

kwadrylion — 1024 googol — 10100

kwintylion — 1030 centylion — 10600

6. Nazwij inaczej liczby:a) bilion milionów,b) milion septylionów,c) trylion trylionów,d) oktylion bilionów.

7. Ile razy jest większy:a) septylion niż bilion,b) nonilion niż trylion,c) oktylion niż milion?

8. a) Kwadrat o boku 1 m podzielono nakwadraciki o boku 1 mm i ułożono jeden zadrugim. Jaką długość ma otrzymana linia?

b) Sześcian o krawędzi 1 m rozpiłowano nasześcianiki o krawędzi 1 mm i ułożono je-den za drugim. Czy otrzymana linia by-łaby dłuższa niż odległość z Gdańska doZakopanego?

9. Wskaż prawidłowy wynik.

a) 57 · (−5)3 A = 510 B = −510 C = 54 D = −54

b) (−3)6 · 34 A = 310 B = −310 C = 32 D = −32

c) 115 : (−11)3 A = 118 B = −118 C = 112 D = −112

d) (−7)8 : 75 A = 713 B = −713 C = 73 D = −73

e) a9 · (−a)5 A = −a4 B = a14 C = −a14 D = a4

f) (−x)10 : (−x)6 A = −x4 B = −x16 C = x4 D = x16

10. Zapisz krócej:

a) (−12)4·(−12)·125 c) (−3)5 · (−3)3 · (−3)3 e) (−x)11 · x3 · (−x)

b) (−5)17·53·(−5)0 d) 79·(−7)8·(−7)·(−7)0 f) a6 · (−a)4 · (−a)14

13 /36

11. Oblicz:

a) 26 · (−2)3 : (−2)8 c)(−7)10

78 · (−7)e) (−0,1)3 · 0,14 : 0,12

b)57 · (−5)24

513 · 518d)(

−14

)5: 0,252 f)

(−0,2)3 · 0,24 · (−0,2)4

−(−0,24 · 0,26)

18 P O T Ę G I


1. Wartość wyrażenia(−0,5)12

(−0,5)6· −0,5

(−0,5)3 · (−0,5)2wynosi:

A. 1 B. 0,25 C. −0,25 D. −0,5

2. Liczba 1720 jest większa od liczby 175:

A. 4 razy B. 174 razy C. 1715 razy D. 15 razy

3. Połowa liczby 216 to:

A. 28 B. 116 C. 215 D. 18

zeszyt ćwiczeń, str. 6 CD-ROM 1.2/1–5 zadania uzupełniające 11–14, str. 36

3 Potęgowanie potęgiĆWICZENIE. Zastąp symbole ♥ i ♦ odpowiednimi liczbami.

(42)3 = 42 · 42 · 42 = 4♥ (t3)4 = t3 · t3 · t3 · t3 = t ♦

Potęgując potęgę, możemy korzystać z następującej równości:

( a m ) n = a m · n Podstawa się nie zmienia;wykładniki mnożymy.

Przykłady

((16

)3)4

=(

16

)12

((−0,3)5

)2= (−0,3)10 = 0,310

1257 =(53)7

= 521 125 = 53

P O T Ę G O W A N I E P O T Ę G I 19


Zadania


a)(78)9

c)((

−34

)6)8

e)((

46)8)3

g)(x5)15

b)(

(−2)3)7

d)(0,57

)12 f)((

−63)2)7

h)((a3)4)5

2. a) Zapisz każdą z poniższych liczb w postaci potęgi liczby 10.

1009 10007 100 00011

b) Zapisz każdą z poniższych liczb w postaci potęgi liczby 0,1.

0,014 0,0019 0,000018

1 m = 102 cm

1 m2 =(

102)2 cm2

1 m3 =(

102)3 cm3

3. Jakie liczby należy wpisać w kwadraciki?

a) 1 km2 = 10 m2 c) 1 cm2 = 10 mm2

100 km2 = 10 m2 1 m2 = 10 mm2

b) 1 m2 = 10 cm2 d) 1 km3 = 10 m3

105 m2 = 10 cm2 1 km3 = 10 cm3

4. Zastąp litery odpowiednimi liczbami:

a) 48 = 2a c) 99 = 3c e) 76 = e3 g) 220 = g10

b) 83 = 2b d) 368 = 6d f) 56 = f 2 h) 315 = h5

15 /36

5. Zapisz w postaci potęgi o podstawie mniejszej od 10:

a) 164 b) 252 c) 323 d) 276 e) 1255

6. Jaki znak: < , = czy > należy wpisać w miejsce symbolu ♦ ?

a) (52)3 ♦ (53)2 d) 220 ♦ 410 g) 168 ♦ 645

b) (84)2 ♦ 842e) 0,56 ♦ 0,254 h) 0,0275 ♦ 0,099

c)((

12

)4)5

♦((

12

)3)6

f)(

149

)8 ♦(

17

)12i)(

49

)3 ♦(

827

)2

16 /367. Uporządkuj rosnąco liczby:

a) 168, 645, 812, 417 b) 2715, 917, 340, 819 c) 234, 243

, 423, 432

20 P O T Ę G I


Wielkimi liczbami posługiwał się jużArchimedes (287 p.n.e. — 212 p.n.e.).Oprócz znanej Grekom liczby miriada(10000) wprowadził liczbę miriada mi-riad. W swoim dziele Rachmistrz pia-sku szacował, ile ziaren piasku jest naplaży. Obliczał także, ile ziaren piaskuwypełniłoby wszechświat. Wynik, jakiotrzymał Archimedes, dzisiaj zapisali-byśmy jako 1052.

8. Przeczytaj tekst w ramce. Do ja-kiej potęgi należy podnieść liczbęmiriada, aby otrzymać liczbę 1052 ?

∗9. Przyjmijmy, że symbol oz-nacza aa. Zapisz w postaci potęgiliczby 2:

1. W którym przykładzie symbolu ♦ nie można zastąpić znakiem = ?

A. 0,36 ♦ (0,32

)3

B. 352 ♦ 325

C.((

− 23

)4)3 ♦((

23

)3)4

D. 810 ♦ 326

2. W kolejności rosnącej ustawione są liczby:

A.(22)3

,(32)3

,(−42

)3

B.(63)2

, 623, 632

C.((

13

)4)5,((

13

)5)6,((

13

)6)7

D. 220, 415, 810

zeszyt ćwiczeń, str. 7 CD-ROM 1.3/1–7 zadania uzupełniające 15–18, str. 36

4 Potęgowanie iloczynu i ilorazuĆWICZENIE A. Wykonaj poniższe obliczenia. Ile różnych wyników otrzymałeś?

32 · 22 (3 · 2)2 23

53

(25

)3(100 · 0,01)4 1004 · 0,014

ĆWICZENIE B. Zastąp symbole ♥ i ♦ odpowiednimi liczbami.

a) (2k)3 = 2k ·2k ·2k = 2♥·k♦ c)(

57

)4= 5

7 ·57 ·

57 ·

57 = 5♥

7♦

b) (p ·t)4 = p ·t ·p ·t ·p ·t ·p ·t = p♥·t♦ d)(

kl

)5= k

l ·kl ·

kl ·

kl ·

kl = k♥

l ♦

P O T Ę G O W A N I E I L O C Z Y N U I I L O R A Z U 21


Potęgując iloczyny lub ilorazy, możemy korzystać z następującychrówności:

(a · b)n = an · bn Potęga iloczynu jest równailoczynowi potęg.(

a

b

)n=

an

bndla b �= 0

Potęga ilorazu jest równailorazowi potęg.

Uwaga. Drugą równość można też zapisać w postaci: (a : b)n = an : bn

Przykłady

(2 · 10)6 = 26 · 106 = 64 000 000

(11

2

)4 ·(

113

)4=(

32 ·

43

)4= 24 = 16

(0,23

)3= 0,008

27 = 827000 = 1

3375

1,63

−0,43 =(

1,6−0,4

)3

=(

16−4

)3= −64

Zadania

19 /36

1. Podnieś do potęgi podane iloczyny i ilorazy.

a) (3x)3 c) (−xy)8 e)(−3xy2

)4g)(a

2

)4i)(

−a2b

)4

b) (−2a)5 d) (−ab2)3 f) (−x2y3)5 h)(

−x2

)3j)(

−3a2b4

cd7

)3

2. Znajdź liczby m i n.

a) (6 ·113)5 = 6m ·11n c) (23 ·59)2 = 2m ·5n e)(

104

117

)5

= 10m

11n

b)(

34

5

)7

= 3m

5n d) (710 ·35)6 = 7m ·3n f)(

612

135

)3

= 6m

13n

3. Oblicz, korzystając z poznanych wzorów:

a) (3 · 10)4, 404 c) (2 · 102)3, 20005 e) (6 · 10)3, 60002

b) (3 : 10)4, 0,44 d) (2 : 10)4, 0,026 f) (6 : 102)2, 0,0063

n 3 4 5 6

4n 64 256 1024 4096

6n 216 1296 7776 46656

4. Korzystając z tabeli, oblicz:

a) 4004 c) 0,043 e) 606

b) 0,65 d) 0,0064 f) 0,044

22 P O T Ę G I


20 /36

5. Zapisz w postaci jednej potęgi i oblicz:

a) 27 · 57 c) 1610 : 810 e) 0,23 · 103 g) (−0,2)9 : 0,19

b)(

12

)5· 45 d)(

35

)4:(

15

)4f)(

−13

)3:(

19

)3h)(

43

)3·(

34

)3

6. a) Kwadrat ma bok długości a. Jakie jest pole kwadratu, którego bokjest 3 razy dłuższy?

b) Sześcian ma krawędź długości x. Jaka jest objętość sześcianu o kra-wędzi 2 razy krótszej?

7. Ile razy pole większego kwadratu jest większe od pola mniejszegokwadratu?

8. Ile razy objętość sześcianu o krawędzi 3a jest większa od objętościsześcianu o krawędzi 3

2a?

21 /379. Oblicz sprytnie:

a) 45 · 56 b)(

35

)5·(

53

)6c)(

49

)7:(

29

)8d)(

149

)5:(

413

)4

1. Wyrażenie(2ab2

)3można zapisać w postaci:

A. 8ab5 B. 8ab6 C. 2a3b6 D. 8a3b6

2. Wynikiem działania 0,056 · 46 jest:

A. 0,000064 B. 0,64 C. 6400 D. 64000000

3. Iloraz (−60)30 : 3030 jest równy:

A. (−2)0 B. −230 C. (−2)30 D. (−2)60

zeszyt ćwiczeń, str. 8 CD-ROM 1.4/1–6 zadania uzupełniające 19–21, str. 36–37

D Z I A Ł A N I A N A P O T Ę G A C H 23


5 Działania na potęgach

Poznałeś do tej pory pięć wzorów dotyczących działań na potęgach.Wiele na pozór skomplikowanych obliczeń można uprościć, stosującte wzory.

Przykłady

257

512= (52)7

512= 514

512= 52 = 25 210·310

68= (2 · 3)10

68= 610

68= 62 = 36

394

135= (3 ·13)4

135= 34·134

134·13= 34

13= 81

1355·54

106= 59

26 · 56= 53

26= 125

64

ĆWICZENIE. Przeczytaj powyższe przykłady. Ustal, jakie wzory wykorzysty-wane były przy kolejnych przekształceniach.

Wróćmy do „problemu składanej bibułki” (zob. str. 10). Wiemy już, żegrubość bibułki po pięćdziesiątym złożeniu wynosiłaby 250 · 0,01 mm.Oszacujemy tę liczbę, korzystając z tego, że 210 = 1024 ≈ 1000 = 103.

250 · 0,01 mm =(210

)5 · 0,01 mm ≈ (103)5 · 1

100 mm = 1013 mm

Odległość Księżyca od Ziemi wynosi około 400000 km.

400 000 km = 4 · 105 km = 4 · 105 · 106 mm = 4 · 1011 mm

Porównajmy otrzymane wyniki:

grubość bibułki

odległość Księżyca od Ziemi≈ 1013

4·1011 = 102

4= 25

Wynika stąd, że grubość bibułki byłaby ponad 25 razy większa niżodległość z Ziemi do Księżyca.

24 P O T Ę G I


Zadania

1. Uporządkuj podane liczby w kolejności rosnącej.

a = 73 · 74 b = 712 : 74 c =(73)4 d =

(7 · 72

)3 e =(74 : 72

)3

2. a) Która z liczb (83)5 czy 83·85 jest większa? Ile razy większa?

b) Która z liczb 147 : 27 czy 713 : 75 jest większa? Ile razy większa?

3. Przedstaw w postaci potęgi liczby 2:

a) (24)7

23·25 b) 4 · 28 c) (44)3 d) 323 e) (16 · 23)4

23 /374. Ustal wartości m i n.

a) (210 · 25 · 74)2 = 2m · 7n b) (34 · 57)3

59 = 3m · 5n

5. Przedstaw w postaci jednej potęgi:

a) 34 · 92 c) 83 : 25 e)(

19

)4:(

13

)3g) 0,19 : 0,0012

b) 45 · 83 d) 1257 : 2510 f) 0,59 :(

14

)4h) 58

32 ·210

125

24 /376. Która z poniższych liczb jest równa połowie liczby 890?

490 845 2135 445 2269

∗7. Uporządkuj podane liczby rosnąco.

a) 444 444 (44)4 444b) 329 1611 658 322

8. Ustal, ile zer na końcu ma liczba:

a) 25 · 57 b) 26 · 53 c) 4 · 55 d) 48 · 755 e) 124 · 503

26, 27 /37

9. Oblicz:

a)(

14

)5

:128

c) 29 : (−67 : 37) e)814

275g)

210 · 310

68

b)(−6)4 · (−2)4

122d)

323

82f)

252 · 47

29 · 54h)

58 · 29

107

D Z I A Ł A N I A N A P O T Ę G A C H 25


Liczba 10100, którą można zapisać jako jedynkęi sto zer, nazywa się googol (czyt. gugol). Jest toliczba naprawdę olbrzymia — znacznie większaniż liczba wszystkich cząstek elementarnych wewszechświecie. Zatem do opisu wszystkich zjawiskotaczającego nas świata wystarczą liczby mniejszeod googola.Dziwnie brzmiącą nazwę googol wymyślił w 1920 r.dziewięcioletni chłopiec, siostrzeniec amerykań-skiego matematyka Edwarda Kasnera.

W 1997 roku twórcy pewnego progra-mu komputerowego chcieli go nazwaćgoogol dla zilustrowania ogromnejliczby informacji, które przetwarzał.Niestety, jeden z autorów programu,rejestrując jego nazwę, popełnił po-myłkę. Właśnie dlatego jedna z naj-bardziej znanych wyszukiwarek in-ternetowych na świecie nosi nazwęGoogle, a nie Googol.

10. Przeczytaj powyższą ciekawostkę.

a) Zapisz za pomocą potęgi liczby dziesięć liczby: sto googoli, miliongoogoli, jedna tysięczna googola i googol googoli.

b) Ile razy liczba miliard miliardów jest mniejsza od googola?

11. Szacuje się, że na świecie żyje około1018 owadów. Ludzi na świecie jest około6,6 mld. Zakładając, że przeciętny owad wa-ży 0,1 g, a przeciętny człowiek 50 kg, oblicz:

a) Czy wszystkie owady razem ważą więcejniż wszyscy ludzie?

b) Ile kilogramów owadów przypada śred-nio na jednego człowieka?

12. Spośród polskich jezior najwięcej wody zawiera jezioro Mamry —ok. 1 km3. Woda zawarta w dużej chmurze ma masę ok. 109 kg. Ile ta-kich chmur powstałoby, gdyby wyparowała cała woda z jeziora Mamry?

Przedrostek Symbol Wielokrotność

deka da 10

hekto h 102

kilo k 103

mega M 106

giga G 109

tera T 1012

peta P 1015

eksa E 1018

Przedrostek Symbol Wielokrotność

deka da 10

hekto h 102

kilo k 103

mega M 106

giga G 109

tera T 1012

peta P 1015

eksa E 1018

13. W tabelce zamieszczono przedrostkioznaczające wielokrotności jednostek pod-stawowych. Dodając na przykład przedro-stek giga- do słowa metr, otrzymujemy gi-gametr, czyli 109 metrów (1 Gm = 109 m).

a) Ile dekagramów jest w megagramie?

b) Ile dekagramów jest w eksagramie?

c) Ile hektometrów jest w gigametrze?

d) 100 megametrów — ile to dekametrów?

e) 1000 petagramów — ile to kilogramów?

26 P O T Ę G I


1. Trzecia część liczby 99 to:

A. 39 B. 93 C. 317 D. 326

2. Liczba(46)3

jest równa liczbie:

A. 649 B. 218 C. 812 D. 49

3. Wynikiem działania(−30)11 · 0,111

39jest:

A. −10 B. −9 C. −39 D. (−3)13

zeszyt ćwiczeń, str. 9–10 CD-ROM 1.5/1–4 zadania uzupełniające 22–28, str. 37

6 Potęga o wykładniku całkowitym ujemnymPoznałeś już potęgi o wykładnikach naturalnych. Można również roz-patrywać potęgi o wykładnikach całkowitych ujemnych.

potęga, n-ta potęga liczby a, dla n > 0

iloczyn a · a·. . .·a, w którym występuje

n czynników, a każdy z nich jest równy a.

Liczbę a nazywamy podstawą potęgi,

a liczbę naturalną n – wykładnikiem po-

tęgi. Potęgę o wykładniku n i podstawie a

(lub krócej n-tą potęgę liczby a) oznacza

się symbolem an . Przyjmuje się ponadto, że

a1 = a oraz że a0 = 1 (dla a �= 0).

Powyższą definicję można uogólnić, dopusz-

czając także wykładniki całkowite ujemne.

Przyjmuje się mianowicie, dla a �= 0:

a −1 = 1a i konsekwentnie a −k = 1

ak .

Encyklopedia szkolna. Matematyka

ĆWICZENIE. Przeczytaj zamieszczonąobok notkę encyklopedyczną. Zapiszw postaci ułamków następujące liczby:

2−1 5−1 7−1 2−3 5−3 7−3

Dla a �= 0 przyjmujemy, że:

a−1 = 1a

a−2 = 1a2

a−3 = 1a3

Ogólnie, jeżeli n jest liczbą natu-ralną, to dla a �= 0:

a−n =1an

Zauważ, że a−1 to odwrotność liczby a, zaś a−n to odwrotność liczby an.

P O T Ę G A O W Y K Ł A D N I K U C A Ł K O W I T Y M U J E M N Y M 27


Wykonując obliczenia na potęgach, możemy zamieniać potęgi o wy-kładniku ujemnym na odwrotności odpowiednich potęg o wykładni-kach dodatnich.

Przykłady

5−7 · 55 =157· 55 = 1

25

(7−1

)4

7−5=

(17

)4

175

=174· 75 = 7

Takie same wyniki otrzymamy, stosując reguły działań na potęgachopisane w poprzednich rozdziałach. Okazuje się bowiem, że reguły teobowiązują także dla potęg o wykładnikach ujemnych.

Przykłady

5−7 · 55 = 5−7 + 5 = 5−2 = 125

Korzystamy ze wzoru am · an = am + n

dla wykładników m = −7 i n = 5.

(7−1

)4

7−5=

7−4

7−5= 7−4 − (−5) = 7−4 + 5 = 7

Stosujemy wzór (am)n = am·n dla wykład-

ników m = −1 i n = 4, a następnie wzór

am : an = am − n dla m = −4 i n = −5.

Zadania

1. Oblicz:

a) 3−1 5−2 2−3 d) (−10)−5 (−4)−2 (−2)−3

b)(

711

)−1 (13

)−2 (34

)−2e)(

−23

)−2 (−1

5

)−3 (−31

3

)−4

c) (2,5)−1 (0,4)−2 (1,25)−1 f) (−1,2)−1 (−0,1)−5 (−0,02)−4

2. Zastąp symbole odpowiednimi liczbami.

a)(

34

)−7= ♠7 b)

(73

)−9= ♥ 9 c) (0,7)−8 = ♦8 d)

(1

0,1

)−3

= ♣3

3. Zapisz podane liczby w postaci potęg o wykładniku ujemnym.(13

)4 (38

)3 175 65

(21

4

)7

28 P O T Ę G I


4. Które obliczenia wykonano błędnie?

32 /38

5. Która z liczb jest większa?

a) 3−8 czy 3−7 c)(

14

)5czy 4−6 e)

(12

)6czy

(12

)−6

b)(

15

)−4czy

(15

)−5d)(

15

)−8czy 56 f) (0,1)−3 czy (0,1)−4

33 /386. Oblicz:

a) 4−7 · 46 · 4−2 b) 7−4 : 7−3 c)5−4 · 53

5−2d)(

12

)−3 · 24

7. Zapisz podane liczby w postaci potęgi liczby 10.

0,1 0,00001 11 000 000 0,0000001 1

0,001 10 000 000

1 km = 1000 m = 103 m

1 m =1

1000km = 10−3 km

8. Znajdź liczby x i y .

a) 1 kg = 10x dag c) 1 m = 10x cm

1 dag = 10y kg 1 cm = 10y m

b) 1 l = 10x ml d) 1 t = 10x g

1 ml = 10y l 1 g = 10y t

9. Wyraź podane wielkości we wskazanej jednostce. Wynik zapisz w po-staci potęgi liczby 10.

a) [km] 1 mm 1 cm 10 mm 1100 cm

b) [t] 1 kg 1 dag 0,1 dag 100 g

10. Włos ludzki ma średnicę ok. 10−4 m. Ile to milimetrów? Jak grubybyłby włos powiększony tysiąc razy? Jaką grubość miałby włos po-większony milion razy?

P O T Ę G A O W Y K Ł A D N I K U C A Ł K O W I T Y M U J E M N Y M 29


Przedrostek Symbol Ułamek

decy d 10−1

centy c 10−2

mili m 10−3

mikro µ 10−6

nano n 10−9

piko p 10−12

Przedrostek Symbol Ułamek

decy d 10−1

centy c 10−2

mili m 10−3

mikro µ 10−6

nano n 10−9

piko p 10−12

11. Tabelka przedstawia przedrostki oznacza-jące części jednostek podstawowych. Oblicz:

a) ile nanogramów jest w miligramie,

b) ile pikometrów jest w decymetrze,

c) ile mikrometrów jest w centymetrze,

d) ile mililitrów jest w centylitrze,

e) ile nanolitrów jest w centylitrze.

12. Zapisz w postaci potęgi liczby 10.

a) 1 m2 — ile to kilometrów kwadratowych?

b) 1 mm2 — ile to metrów kwadratowych?

c) 1 cm3 — ile to kilometrów sześciennych?

d) 100 cm2 — ile to metrów kwadratowych?

e) 1000 m3 — ile to kilometrów sześciennych?

1 cm = 10−2 m

1 cm2 =(10−2)2

m2

1 cm3 =(10−2)3

m3

1. Która z poniższych liczb nie jest równa(

2 14

)−2?

A.(

49

)2B.(

32

)−4C.(

412

)2D.(

5 116

)−1

2. Liczba 3−14 jest od liczby 3−12:

A. 9 razy większa

B. 3 razy większa

C. 9 razy mniejsza

D. 3 razy mniejsza

3. Znak nierówności wstawiono błędnie w przykładzie:

A.(

12

)−6<(

12

)−7B.(

12

)−7<(

13

)−7C. 3−5< 6−5 D. 9−5< 9−4

4. Która z poniższych równości jest prawdziwa?

A. 1 km3 = 103 m3

B. 1 mm2 = 10−4 m2

C. 1 cm = 10−2 mm

D. 1 dm2 = 10−8 km2

zeszyt ćwiczeń, str. 11 CD-ROM 1.6/1–8 zadania uzupełniające 29–33, str. 37–38

30 P O T Ę G I


7 Notacja wykładnicza

ĆWICZENIE A. Oblicz:

a) 4 ·103 2,5 ·105 3,5 ·106 b) 7 ·10−3 4,8 ·10−4 2,6 ·10−5

ĆWICZENIE B. Zastąp kwadraciki odpowiednimi liczbami.

500 000 = 5 · 10 0,0007 = 7

10= 7 · 10

Przy zapisywaniu bardzo dużych i bardzo małych liczb dodatnich wy-godnie jest posługiwać się tzw. notacją wykładniczą.

a · 10n

liczba spełniająca

warunek

1 ≤ a < 10

potęga liczby 10

o wykładniku

całkowitym

Polega ona na zapisywaniu liczb w po-staci iloczynu, w którym pierwszy czyn-nik jest liczbą większą od 1 lub równą 1i mniejszą od 10, a drugi jest potęgąliczby 10.

Notację wykładniczą nazywamy też notacją

naukową.

Przykłady

Zapisz w notacji wykładniczej:

360000000︸︷︷︸8 cyfr

= 3,6 · 108

wykładnik równy 8

Liczba 3,6 spełnia warunek 1 ≤ 3,6 < 10.

0,00005︸︷︷︸5 cyfr

76 = 5,76 · 10−5

po przecinku wykładnik równy −5

0,0000576 = 5,76105 = 5,76 · 1

105

N O T A C J A W Y K Ł A D N I C Z A 31


Wykonując obliczenia dotyczące dużych i małych liczb zapisanychw notacji wykładniczej, możemy korzystać z poznanych własnościdziałań na potęgach.

Przykład

Zapisz w notacji wykładniczej:

25,7 ·107 = 2,57 ·10 ·107 = 2,57 ·108

0,064 ·10−8 = 6,4 ·10−2 ·10−8 = 6,4 ·10−10

Przykład

Masa Słońca wynosi około 2 ·1030 kg, a masa Ziemi około 6 ·1024 kg. Ilerazy masa Słońca jest większa od masy Ziemi?

2 ·1030

6 ·1024=

106

3=

103·105 ≈ 3,3 ·105

Odp. Masa Słońca jest ok. 3,3 ·105 (330000) razy większa od masy Ziemi.

Przykład

Teren w okolicach Elbląga obniża się o 8 ·10−11 metrów w ciągu sekundy.O ile centymetrów obniżył się ten teren w ciągu stu lat?

100 lat = 100 ·365 ·24 ·3600 s == 315360 ·104 s ≈ 3,15 ·109 s

Zamieniamy 100 lat na sekundy.1 rok = 365 dni, 1 doba = 24 godziny,1 godzina = 3600 sekund

3,15 ·109 ·8 ·10−11 = 8 ·3,15 ·10−2 == 25,2 ·10−2 [m]

Obliczamy, o ile metrów obniżył sięteren w ciągu 3,15 ·109 s.

25,2 ·10−2 m = 25,2 cm 10−2 m = 1 cm

Odp. W ciągu stu lat teren w okolicach Elbląga obniżył się o ok. 25 cm.

Przykład

W jeziorze Mamry jest 1,01 ·1012 litrów wody, a w jeziorze Śniardwy —6,6 ·1011 litrów. Ile litrów wody jest w obu tych jeziorach razem?

1,01 ·1012 + 6,6 ·1011 = 10,1 ·1011 + 6,6 ·1011 = 16,7 ·1011 = 1,67 ·1012

Odp. W obu tych jeziorach jest razem 1,67 · 1012 litrów wody.

32 P O T Ę G I


Zadania

1. Zapisz podane niżej odległości między obiektami astronomicznymi,stosując notację wykładniczą.

• średnia odległość Księżyca od Ziemi — 380000 km

• średnia odległość Ziemi od Słońca — 150000000 km

• najmniejsza odległość Ziemi od Marsa — 55000000 km

• odległość Słońca od Gwiazdy Polarnej — 4070000000000000 km

• odległość Słońca od Alfa Centauri — 41500000000000 km

2. Na podstawie rysunku i tabelki dopasuj symbole planet do ich nazw.

Odległość od Symbol

Słońca [w km] planety

5,79 · 107 �

2,279 · 108 �

4,4966 · 109 �

1,083 · 108 �

1,496 · 108 ⊕2,8696 · 109 �

1,427 · 109 �

7,776 · 108 �

3. Przedstaw podane wielkości w notacji wykładniczej:

• średnica tułowia ameby — 0,00062 m

• prędkość, z jaką rośnie bambus — 0,000012 m/s

• masa wirusa ospy — 0,000000000007 g

• masa ziarenka maku — 0,0005 g

• masa atomu wodoru — 0,000000000000000000000001674 g

4. Zapisz podane liczby w notacji wykładniczej.

a) 57 ·105 c) 265 ·108 e) 38 ·10−4 g) 23,5 ·10−11

b) 0,03 ·102 d) 33,6 ·1010 f) 0,06 ·10−5 h) 0,8 ·10−5

5. Ustal, co jest większe:

a) 2,5 ·103 kg czy 3,6 ·106 g c) 6,7 ·10−8 t czy 7,6 ·102 mg

b) 3,5 mm czy 3,5 ·10−6 m d) 2,4 ·10−4 cm czy 2,5 ·10−8 m

N O T A C J A W Y K Ł A D N I C Z A 33


34 /38

6. Zapisz w notacji wykładniczej:

a) 465 m — ile to milimetrów?

465 mm — ile to metrów?

b) 40 000 km — ile to centymetrów?40 000 cm — ile to kilometrów?

c) 326 kg — ile to gramów?

326 g — ile to kilogramów?

d) 550 t — ile to gramów?550 g — ile to ton?

36 /38

7. Oblicz a · b i ab , wynik zapisz w notacji wykładniczej.

a) a = 2,4 ·1015 b) a = 4 ·1023 c) a = 3,2 ·10−4

b = 2 ·107 b = 5 ·1019 b = 8 ·10−6

8. Masa protonu wynosi ok. 1,7 · 10−27 kg, a masa elektronu 9,1 · 10−31 kg.Ile razy proton jest cięższy od elektronu?

9. Oblicz i zapisz w notacji wykładniczej:

a) Ile razy powierzchnia Księżyca jest większa od powierzchni Polski?

b) Ile razy powierzchnia Księżyca jest mniejsza od powierzchni Ziemi?

10. Z Wisły do Bałtyku wpływa w ciągu 1 godziny około 3,4 · 106 m3 wody,a z Odry — około 1,9 · 106 m3. Zapisz w notacji wykładniczej:

a) Ile razem wody wpływa do Bałtyku z obu tych rzek w ciągu go-dziny?

b) O ile więcej wody wpływa z Wisły niż z Odry w ciągu godziny?

c) Ile kilometrów sześciennych wody wpływa z Wisły do Bałtyku w cią-gu doby?

11. Oblicz a + b i a − b , wynik zapisz w notacji wykładniczej.

a) a = 3,7 · 105 b) a = 1,2 · 1013 c) a = 7,875 · 103

b = 5,2 · 104 b = 9,8 · 1012 b = 5 · 10−2

12. Jedna z największych chmar szarańczy pojawiła się w Kenii w 1954roku i liczyła 10 miliardów owadów. Jeden osobnik szarańczy ważyokoło 2,5 g. Zapisz w notacji wykładniczej, ile ton ważyła ta chmaraszarańczy.

34 P O T Ę G I


13. Włosy człowieka rosną z prze-ciętną szybkością 4 ·10−4 metra nadobę. Najdłuższe włosy miała Hindu-ska Mata Jagdambo. Miały one dłu-gość 4,23 m. Oszacuj, ile czasu MataJagdambo nie ścinała włosów.

14. Rok świetlny to odległość, którą pokonuje światło w ciągu roku. Pręd-kość światła to ok. 3 ·108 m/s.

a) Ile kilometrów ma rok świetlny?

b) Od bitwy pod Grunwaldem minęło 600 lat. Ile kilometrów od Ziemimusiałaby się znajdować planeta, do której dotarłby teraz sygnał świet-lny wysłany z Ziemi 600 lat temu? Przyjmij, że rok to 3,15 ·107 sekund.

1. 500 mm to:

A. 5 ·10−8 km B. 5 ·10−4 km C. 5 ·108 km D. 5 ·10−6 km

2. 2000 kg to:

A. 2 ·106 mg B. 2 ·105 mg C. 2 ·109 mg D. 2 ·108 mg

3. Prawdziwa jest nierówność:

A. 2,5 ·10−5 kg < 25 mg

B. 4 ·105 mm < 4,2 ·10−2 km

C. 3,6 ·103 cm < 4,1 ·10−3 km

D. 9,8 ·106 dag < 9 ·102 t

4. Ziemia, obiegając Słońce, porusza się ze średnią prędkością około 30 km/s.Pokonuje wówczas drogę równą około:

A. 9,5 · 108 km B. 10 950 km C. 1,6 · 107 km D. 2,6 · 106 km

zeszyt ćwiczeń, str. 12 zadania uzupełniające 34–39, str. 38

P O T Ę G I . Z A D A N I A U Z U P E Ł N I A J Ą C E 35


Potęga o wykładniku naturalnym

1. a) Przedstaw każdą z podanych liczbw postaci potęgi o podstawie 2 lub 3.

8 32 27 1 128 243

b) Przedstaw każdą z poniższych liczbw postaci potęgi o wykładniku 3 lub 4.

16 64 216 81 0 625

2. Która z podanych liczb jest większa?

a)(

25

)2czy 22

5 c) −26

36 czy(

− 23

)6

b)(

17

)7czy 2

77 d) −29

−99 czy(

− 29

)9

3. Uporządkuj rosnąco liczby:

a) a = 57 b = (−7)8 c = (−5)8

b) a = −24 b = (−2)4 c = −38

c) a =(

− 29

)8b =

(− 2

9

)11c =

(29

)15

d) a =(

23

)5b =

(32

)5c =

(23

)10

4. Oblicz:

a) 12 · [(−1)8 + (−1)8]

b)(

−3 13

)3 · 0,34 −(

− 12

)3 ·(

1 13

)2

c)(

1 13

)3 ·(

−3 34

)2: 3 −

(13

)2

d) (−0,3)2 : 0,1 − 0,23 ·(

2 12

)2

e) (−0,1)4 · 203 +(

1 12

)3: (−0,3)2

∗5. Które z podanych ułamków nie przed-stawiają liczb naturalnych?

1 10354 + 89 2 10101 + 9

9 3 10454 − 19

4 10111 + 56 5 10321 + 2

6

6 10123 − 46 7 6123 + 44

10 8 9140 − 110

W stosowanym przez nas systemie dzie-siątkowym używa się dziesięciu cyfr (od0 do 9) i potęg liczby 10.

305 = 3 · 102 + 0 · 101 + 5 · 100

7204 = 7 · 103 + 2 · 102 + 0 · 101 + 4 · 100

W informatyce często stosowany jestsystem dwójkowy, w którym używa siędwóch cyfr (0 i 1) oraz potęg liczby 2.

1101(2) = 1·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 = 13

liczba zapisana liczba zapisanaw systemie w systemiedwójkowym dziesiątkowym

110(2) = 1 · 22 + 1 · 21 + 0 · 20 = 10

W ten sam sposób można zapisywaćliczby w systemie trójkowym, czwórko-wym itd. W systemie trójkowym używasię trzech cyfr 0, 1, 2 i potęg liczby 3,a w systemie czwórkowym – cyfr 0, 1,2, 3 i potęg liczby 4.

6. a) Liczby 100(2), 1100(2), 111110(2) za-pisz w systemie dziesiątkowym.

b) Liczby 15, 24, 30, 100 zapisz w syste-mie dwójkowym.

∗7. a) Liczby 201(3), 111(3), 10121(3) za-pisz w systemie dziesiątkowym.

b) Liczby 8, 25, 45 zapisz w systemietrójkowym.

8. Oblicz:

a) 223b) (−1)3

2c) 540

d)(

117

)05

∗9. Każdą z poniższych liczb zapisanoza pomocą czterech dwójek. Ustal, któraz tych liczb jest największa, a która naj-mniejsza.

2222 22222222

2222

36 P O T Ę G I . Z A D A N I A U Z U P E Ł N I A J Ą C E


Największa liczba zapisana za po-mocą trzech cyfr to 999

. Zapisanie jejw systemie dziesiątkowym zapełni-łoby 33 książki po 800 stron i 14000cyfr na stronie.

10. Czy w zapisie dziesiętnym liczby101010

występuje więcej niż milion zer?

Iloczyn i iloraz potęgo jednakowych podstawach


a) 25 · 53 · 50 c)9 · 39 · 27

37 : 34

b) 181 ·

19 ·

(13

)7d)

711: 49

74 · 73

12. Jakimi liczbami należy zastąpićkwadraciki?

a) 9 · 3 · 81 = 310

b) 2 · 16 = 27

c)(

12

)5:(

12

)· 1

2 = 1

d) (−125) · (−5) · (−5) = 58


a)1000 · (−10)8

109

b) 81 · (−3)5 · (−27)

c)(

− 132

)· 1

16 ·(

12

)6

d)36 · (−6)7 · (−6)8

614 : (−6)


a) 27 + 27

b) 510 + 510 + 510 + 510 + 510

c) 3 · (315 + 315 + 315 )

Potęgowanie potęgi

15. Każdą z podanych liczb przedstaww postaci potęgi o podstawie 2, 3 lub 5.

643 275 325 99 2511 1257 169

16. Zapisz poniższe liczby w kolejnościrosnącej.

1620 6415 3217 260 450

∗17. Zastąp litery odpowiednimi liczbami.

a)((

12

)a)2

= 164 d) 310

27d= 3

b) 163

2b= 8 e) 125e

54 = 55

c) 642 = c6 f)(812

)f: 9 = 36

∗18. Uporządkuj poniższe liczby w kolej-ności od najmniejszej do największej.

2500 3400 4300 5200

Potęgowanie iloczynu i ilorazu

19. Wykonaj potęgowanie:

a)(3ab2

)3c)

(2ab5

c2

)2

b)(

12a

2b3)4

d)(a5b6

3x2

)5

20. Oblicz:

a)(

1 34

)6 ·(

27

)6

b) (0,8)4 :(2 2

3

)4

c) (−6,5)3

(−0,13)3

d)(

4 12

)3·(

− 23

)3·(−2)3

e)(

2 12

)4·0,64·(

− 115

)4

f)0,34·

(2 2

3

)4

(−4)4

P O T Ę G I . Z A D A N I A U Z U P E Ł N I A J Ą C E 37


21. Oblicz sprytnie:

a) 1,54 · 25 c)(

73

)8 ·(

37

)10

b) 0,46 · 55 d) 1,25 : 0,66

Działania na potęgach

22. Ustal, jakim znakiem: < , = czy >należy zastąpić kwadracik?

a)27 · 315

311 · 2423 · 35 c)

814

69 : 2927

b)58 · 32 · 37

39 · 575 d)

29 · 492

14426

23. Ustal wartość m i n.

a) 4 ·(

23

34

)10

= 2m

3n

b)(

73

52

)3

·(

53

75

)4

= 5m

7n

c)(

1625

)4 ·(

58

)3= 2n

5m

24. Która z poniższych liczb jest równaczwartej części liczby 8100?

825 2100 225 896 2298

25. Która z podanych dwóch liczb jestwiększa? Ile razy większa?

a) a = 1210, b = 245

b) a = 6416, b = 1664

26. Oblicz:

a) 27 · 37 : 65

b)(

− 12

)3 ·(

− 12

)4 · 27

c) 0,18 · 0,28 : 0,026

d) (−0,2)12 · 512 · (−1)−13

e)(

1 12

)3:(

2 14

)3 · 33

f) 0,56 · (−0,5)7 : 0,0513

27. Oblicz:

a)55

104d)

46·86

325

b)444

223e)

(−3)9·59

158

c)642·362

63·27f)

28·57

0,14·1006

28. W 1859 r. sprowadzono do Australiipierwsze 22 króliki. Znalazły tu one do-skonałe warunki do życia. Już w 1887 r.było ich tak dużo, że rząd postano-wił przyznać nagrodę temu, kto wymyślisposób zmniejszenia ich populacji.

Przypuśćmy, że liczba królików podwa-jała się co rok; oszacuj, ile — przy takimzałożeniu — mogło być królików w Au-stralii pod koniec 1887 roku.

Wskazówka. Przyjmij, że 210 ≈ 1000.

Potęga o wykładnikucałkowitym ujemnym

29. Zastąp litery liczbami.

a) 2a = 14 e) (−2)e = − 1

32

b)(

13

)b= 27 f) 0,25f = 16

c) (0,1)c = 1000 g) 1000g = 0,0013

d) (0,2)d = 25 h) 25−2 =(

1625

)h

30. Oblicz:

a)(

17

)−1c)

(((17

)−1)−1)−1

b)1(

17

)−1 d)

(((117

)−1 )−1 )−1

38 P O T Ę G I . Z A D A N I A U Z U P E Ł N I A J Ą C E


31. Oblicz:

a)(

15

)−1+(

15

)−2

b)(

13 − 1

2

)−1

c)(

13 − 1

5

)−3:(

15 + 1

3

)−3

32. Zapisz podane liczby w kolejnościod największej do najmniejszej.

a) 75 7−5 7−3 7−7

b)(

15

)−13 (15

)15 (15

)−1 (15

)0

c)(

− 13

)−6(−3)4 (−3)5

(− 1

3

)−3

33. Oblicz:

a) (−6)−2 ·(

16

)−4

b)

(2−5 · 2−3

2−7

)−2

c)3−6 · (3−2 : 3)−1

34 : (32 · 36)

Notacja wykładnicza

34. Zapisz w notacji wykładniczej:

a) 13 km — ile to centymetrów?

b) 13 cm — ile to kilometrów?

c) 2400 kg — ile to miligramów?

d) 2400 mg — ile to kilogramów?

35. Wyraź podane wielkości we wska-zanej jednostce. Wynik zapisz w notacjiwykładniczej.

a) [m 2] 12 km2 30 cm2

b) [cm2] 29 m2 1,4 · 103 mm2

c) [dm3] 183 cm3 400 m3

d) [km3] 192 000 m3 7,5 · 1020 dm3

36. Oblicz, zapisując wyniki w notacjiwykładniczej:

a) 2,3 · 10−3 · 4 · 10−5 c)2 · 104

5 · 10−2

b) 4,2 · 10−6 · 5 · 108 d)3,5 · 10−2

7 · 10−5

37. Największa odległość między Zie-mią a Księżycem wynosi ok. 4 · 105 km.Czy Jowisz zmieściłby się między Zie-mią a Księżycem? Czy wszystkie planetyUkładu Słonecznego (bez Ziemi) usta-wione obok siebie zmieściłyby się mię-dzy Ziemią a Księżycem?

Nazwa Średnica Nazwa Średnicaplanety (w tys. km) planety (w tys. km)

Merkury 5 Saturn 121

Wenus 12 Uran 51

Mars 7 Neptun 50

Jowisz 143

Nazwa Średnica Nazwa Średnicaplanety (w tys. km) planety (w tys. km)

Merkury 5 Saturn 121

Wenus 12 Uran 51

Mars 7 Neptun 50

Jowisz 143

38. W 1983 roku za pomocą szlifierkidiamentów Large Optics Diamonds roz-dzielono wzdłuż ludzki włos na 3000części. Zapisz w notacji wykładniczej,jaka była średnia grubość każdej części.Przyjmij, że grubość włosa jest równaokoło 10−4 m.

39. Przeciętnie w organizmie człowiekajest 2 · 1013 czerwonych krwinek. Każdaz nich ma średnicę około 7,5 · 10−6 m.Wyobraź sobie, że ustawiamy obok siebiewszystkie te krwinki w szeregu jedna zadrugą. Jaką długość miałby ten szereg?

Documents

CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 9gimnazjum-nr1.edupage.org/files/Podrecznik_2_Potegi.pdf · 10 POTĘGI CYAN MAGENTA YELLOW BLACK MG2y str. 10 1Potęgaowykładnikunaturalnym Spróbuj