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Peter Rasfeld

Das Teilungsproblem - mit Schülerinnen1 und Schü­lern auf den Spuren von Pascal und Fermae

Kurzfassung

Das Jahr 1654 wird häufig als Geburtsjahr der Wahrscheinlichkeitsrechnung angesehen. Auslöser war ein Briefwechsel zwischen Pascal und Fennat, in dem es insbesondere um das Problem der gerechten Teilung des Einsatzes beim vorzeitigen Abbruch eines Spieles ging. In der vorliegenden Arbeit wird - basierend auf Erfahrungen in einer Unterrichtssequenz - der Frage nachgegangen, welche Bedeutung für Schüler ein Studium der überlieferten Quellen in der Auseinandersetzung mit dem Teilungsproblem haben kann.

Abstract

The year 1654 is frequently regarded as the birth of the theory of probabilities. It started off with a correspondence between Pascal and Fermat. They tried to solve the problem of how to fairly di­vide the stakes if agame is prematurely finished. In my paper, which is based on teaching experi­ence, I want to examine to what extent original sources can be of importance to students who try to solve the problem of dividing stakes.

1 Zum Historischen Hintergrund

Das Jahr 1654 wird allgemein als das Geburtsjahr der Wahrscheinlichkeitsrechnung an­gesehen. Ausläser war ein Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat, in dem es insbe­sondere um die Lösung zweier Probleme ging, die der Chevalier de Mere Pascal vorlegte (zu den Umständen vgl. Hacking 1998, S. 58). Eines der beiden war das Teilungsprob­lem, das Gegenstand dieser Arbeit ist. Das andere betraf ein Würfelspiel, das hier kurz angesprochen sei: "Wenn man versucht, mit einem Würfel eine Sechs zu werfen, dann ist es von Vorteil, dies mit 4 <Würfen> zu tun, <und zwar> wie 671 zu 625. Wenn man versucht mit zwei Würfeln eine Doppe/sechs zu werfen, ist es von Nachteil, dies mit 24 <Würfen> zu tun3

•

Es wird um Nachsicht gebeten, wenn im Folgenden allein der Kürze wegen nur von Schülern gesprochen wird. Ausarbeitung eines Vortrags auf der GDM-Tagung 2004 in Augsburg.

Sei X4 die Anzahl der Sechser in 4 Würfen mit einem Würfel und Y24 und Y25 die Anzahl

der Doppe1sechser in 24 bzw. 25 Würfen mit zwei Würfeln, dann ist

P(X4 ;:: 1) = 1_(2)4 = 671 ",0,518, P(Y24 ;:: 1) = 1_(35)24 "'0,491 und 6 1296 36

P(Y25;::1)=I-c~r5 ",0,506.

(JMD 28 (2007) H. 3/4, S. 263-285)

264 Peter Rasfeld

Dennoch verhält sich 24 zu 36 (was die Anzahl <der Kombinationsmöglichkeiten> der Seiten von zwei Würfeln ist) wie 4 zu 6 (was die Anzahl der Seiten eines Würfels ist." (aus einem Brief von Pascal an Fermat vom 29. Juli 1654, zit. nach Schneider 1988, S. 30). Wie Pascal zu Beginn des Briefes ausführt, kannte der Chevalier die Lösung, vermochte sie aber nicht einzusehen: Ihm war nicht klar, warum eine Versechsfachung der Anzahl der möglichen Fälle von 6 auf 36 (bei einem günstigen Fall) nicht auch eine Versechsfa­chung der Anzahl der Würfe von 4 auf 24 erfordert, damit die Wahrscheinlichkeit für ei-

nen "Treffer" gerade größer als ! bleibt. Es gibt unterschiedliche Meinungen darüber, 2

ob de Mere den geringen Unterschied in den Wahrscheinlichkeiten bei 24 und 25 Dop­pelwürfen im Spiel beobachtet haben könnte oder nicht. Entscheidend ist, dass die unter Spielern in der Praxis bekannte und bewährte "Proportionalitätsregel,,4 zu einem anderen Ergebnis führt als die mathematische Theorie. De Mere hielt dies jedenfalls für einen "großen Skandal" und behauptete öffentlich, dass sich die Regeln der Arithmetik wider­sprächen (vgl. David 1998, S. 89). Deutlich wird aber, dass es zu Zeiten Pascals und Fermats kein Problem war, Wahr­scheinlichkeiten in einfachen Würfel- oder Kartenspielen zu berechnen, wenn auch die Entwicklung der zugehörigen Theorie erst später durch Jakob Bernoullis "Ars Conjec­tandi" eingeleitet wurde. Tatsächlich sind die Wahrscheinlichkeiten für den zwei- und dreifachen Würfelwurf bereits etwa einhundert Jahre vor dem Briefwechsel zwischen Pascal und Fermat von Cardano in dem wohl ersten Buch über Wahrscheinlichkeitsrech­nung "Liber De Ludo Aleae" berechnet worden5 (vgl. David 1998, S. 64 fi). Cardano war wohl der erste, der unter der Voraussetzung der Gleichwahrscheinlichkeit über den Quotienten aus günstigen und möglichen Fällen Wahrscheinlichkeiten in einfachen Glücksspielen berechnete und damit die aus langen Spielverläufen bekannten Werte be­stätigen konnte (vgl. David 1998, S. 58). Dieses Gedankengut muss sich verbreitet haben, denn Galilei gab, 50 Jahre vor Pascal und Fermat, in "Sopra Le Scoperte Dei Dadi,,6 eine komplette Wahrscheinlichkeitsvertei­lung für den dreifachen Würfelwurf, und zwar ohne die Grundlagen entgegen seinen sonstigen Gewohnheiten ausführlich zu erläutern (vgl. David 1998, S. 64 fi). Warum wird nun das Geburtsjahr der Wahrscheinlichkeitsrechnung mit 1654 angesetzt? Die Initialzündung für eine rasch einsetzende Entwicklung mit Anwendungen, die weit über Glücksspiele hinausgehen, lieferte die erstmalige Lösung des Teilungsproblems durch Pascal und Fermat. In gedruckter Form erschien dieses bereits 1494 bei Pacioli in seiner "Summa De Arithmetica Geometria Proportioni Et Proportionalita", ist aber ver­mutlich arabischen Ursprungs und viel älter (vgl. Barth 1989, S. 18).

Moivre konnte 1718 zeigen, dass die "Proportionalitätsregel" für große N näherungsweise gilt (vgl. Szekely 1990, S. 14). Das Manuskript wurde vermutlich bereits 1563 oder 1564 ausgearbeitet, erschien aber erst posthum 1663. Entstanden vermutlich zwischen 1613 und 1623, veröffentlicht aber erst posthum 1718 in sei­nem Gesamtwerk unter dem Titel "Consideratione Sopra I1 Giucoco Dei Dadi".

Teilungsproblem 265

"Eine Gesellschaft spielt Ball auf 60 <Punkte>, <wobei> 10 Punkte für das Einzelspiel <vergeben werden? Sie setzen <insgesamt> 1 0 Dukaten ein. Aufgrund gewisser Umstän­de, können Sie nicht zu Ende spielen; dabei hat eine Partei 50 und die andere 20 <Punk­te>. Man fragt, welcher Anteil des Einsatzes jeder Partei zusteht." (Pacioli, zit. nach Schneider 1988, S. 11). Dieses Problem war von solcher Schwierigkeit, dass vor Pascal und Fermat keine, aus unserer heutigen Sicht angemessenen Lösungen zu verzeichnen gewesen sind. Dabei soll hier nicht weiter die bereits von Tartaglia aufgeworfene Frage verfolgt werden, ob das Problem einer gerechten Teilung durch die Mathematik überhaupt beantwortet werden kann. Der normative Charakter dieser Frage erlaubt es an sich nur, von mehr oder weni­ger angemessenen Lösungen zu sprechen. Hingewiesen sei in diesem Zusammenhang auf eine Arbeit von Horst und Rolf Struve, in der analysiert wird, dass es neben dem Tei­lungsvorschlag von Pascal und Fermat einen weniger bekannten von Leibniz gibt, dem eine abweichende, aber dennoch ebenso akzeptable Gerechtigkeitsvorstellung zugrunde liegt. Dabei ist für den Vorschlag von Pascal und Fermat charakteristisch, dass bei einem bestimmten Spielstand von a:b das, was der eine Spieler bei einem Gewinn der nächsten Partie hinzubekommt, genau so groß ist wie das, was er verliert, wenn der Gegenspieler gewinnt (Prinzip der "Intersubjektivität", eine Partie hat für beide Spieler denselben Wert). Dagegen ist der Vorschlag von Leibniz dadurch gekennzeichnet, dass alle Partien, die von einem Unentschieden zum Sieg des einen Spielers fUhren, seinen Gewinn um denselben Anteil des Einsatzes erhöhen (Leistungsprinzip, gleicher Lohn für gleiche Leistung; vgl. Struve und Struve 1997 und Burscheid und Struve 2001). Die Tatsache, dass dem Teilungsvorschlag von Pascal und Fermat allgemein der Vorzug gegeben wird, ist insbesondere darauf zurückzuführen, dass ihre Lösungsmethoden auf eine Vielzahl anderer Fragestellungen "passen" und dadurch die rasche Entwicklung der Wahrscheinlichkeitsrechnung einleiteten. Wenn auch Pascals Lösung ,erst 1665 posthum in seiner "Traite Du Triangle Arithmetique" und der BriefWechsel noch später veröffent­licht wurden, müssen sich die Ideen über die Academie de Sciences in Paris, entstanden aus dem Arbeitskreis um Mersenne, rasch verbreitet haben. Es folgte eine Vielzahl von Veröffentlichungen, die u.a. auch immer wieder das Teilungsproblem mit Verallgemei­nerungen zum Thema hatten. Als erste Arbeit ist die von Huygens aus dem Jahre 1657 mit dem Titel "De Ratiociniis In Ludo Aleae" zu nennen, das Lehrbuch der Wahrschein­lichkeitsrechnung fUr ein halbes Jahrhundert. Mit dem Teilungsproblem insbesondere haben sich weiter auseinandergesetzt Jakob Bernoulli, Montmort, de Moivre und Lapla­ce (vgl. Todhunter 1965).

2 Zielset~ung und Rahmenbedingung der Unter­richtseinheit

Das Teilungsproblem findet sich in vielen Schulbüchern, meist jedoch ohne gebührende Berücksichtigung der historischen Bedeutung. Darüber hinaus wird es oft in eine Se­quenz aufeinander aufbauender Teilaufgaben zerlegt und so den Schülern "stückweise"

Nach Schneider kann man davon ausgehen, dass Pacioli gleiche Gewinnchancen voraussetzte.

266 Peter Rasfeld

angeboten (vgl. z.B. Schmid 1992; S. 28). Damit bleiben aber die in ihm ruhenden di­daktischen Möglichkeiten weitgehend ungenutzt. Hier wird nun vorgeschlagen, sich im Unterricht dem Problem auf hermeneutischem Weg zu nähern8

: Durch Interpretation der historischen Texte und Briefe sollen die ver­schiedenen Teilungsvorschläge analysiert und mit der eigenen Sichtweise der Schüler konfrontiert werden. Die unterschiedlichen Ansätze bieten Gelegenheit für ergiebige Diskussionen, in denen das Für und Wider zu erwägen ist. Durch die Untersuchung der frühen Lösung der italienischen Mathematiker der Renaissance soll einerseits deutlich werden, welche Schwierigkeiten die Mathematiker selbst mit diesem Problem gehabt haben, und andererseits, dass und warum es die Lösung nicht gibt. Einsicht in die heute allgemein akzeptierte Lösung, eine Teilung des Gesamteinsatzes im Verhältnis der Gewinnchancen, kann schließlich durch Analyse des Briefwechsels zwi­schen Pascal und Fermat gewonnen werden. Dafür erweist es sich als günstig, wenn die Schüler bereits über einige stochastische Grundkenntnisse verfugen. In der im Folgenden beschriebenen Unterrichtseinheit konnten die Schüler Z.B. mit Laplace-Wahrscheinlichkeiten umgehen und einfache stochastische Probleme mit Bäu­men darstellen und unter Anwendung der Pfadregeln lösen. Es ging damit hier weniger um die Erschließung neuer stochastischer Konzepte als vielmehr um deren Anwendung in der Auseinandersetzung mit den historischen Texten. Vorhandenes Wissen sollte zur Lösung der für die Schüler neuen Problemstellung herangezogen und dabei vertieft und erweitert werden (z.B. die Methode der Erweiterung des Ergebnisraums, um Gleich­wahrscheinlichkeit zu erzwingen). Natürlich ergaben sich dabei auch Gelegenheiten, neues Wissen aufzubauen (etwa die Verwendung von Binomialkoeffizienten). Der hier skizzierte und im Folgenden ausführlich dargestellte Weg wurde in einem soge­nannten Differenzierungskurs9 "Mathematik und Informatik" einer 10. Jahrgangsstufe (Gymnasium) eingeschlagen. Die Kursstruktur hatte gegenüber dem üblichen Klassen­verband einige Vorteile: Zum einen konnte hier frei von den "Zwängen" des Lehrplans intensiver und über einen längeren Zeitraum eine Auseinandersetzung mit dem Thema stattfinden. Ferner hatte jeder Schüler fortlaufend einen Computer zur Verfügung, der insbesondere Z.B. über Tabellerikalkulationen lästige Rechenarbeit abnehmen sollte. Fer­ner waren so auch Internetrecherchen über Leben und Werk von Mathematikern, die sich mit dem Teilungsproblem auseinandergesetzt haben, und die jeweilige Zeit, in der sie gelebt haben, leicht möglich. Ohne ein solches Hintergrundwissen ist ein wirkliches Ver­ständnis der historischen Texte wohl kaum möglich. Rückblickend lässt sich jedoch fest­stellen, dass die Unterrichtssequenz mit gewissen Abstrichen auch in einem normalen Klassenverband durchgeführt werden könnte (vgl. auch die Ausführungen in 3.8).

Zur hermeneutischen Methode vgl. z.B. die Ausführungen in Glaubitz und Jahnke 2003. Einen solchen Kurs wählt jeder Schüler eines Gymnasiums in NRW zu Beginn der Klasse 9 aus dem jeweiligen "Angebot" seiner Schule für 2 Jahre.

Teilungsproblem 267

3 Darstellung der Unterrichtseinheit

Insgesamt umfasste das Projekt 13 Unterrichtsstunden, die thematisch etwa wie folgt aufgebaut waren: 1. Stunde: Konfrontation mit der Problemstellung und erste Schülerlösungen, 2.,3. und 4. Stunde: die frühen Lösungen der italienischen Mathematiker, 5.,6. und 7. Stunde: neue Schülerlösungen und die Lösung von Pascal, 8. und 9. Stunde: die Lösung von Fermat, 10. und 11. Stunde: Lösung mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks, 12. Stunde: Verallgemeinerung und Herleitung der Lösungsförmel, 13. Stunde: Rückblick und anonyme Befragung. Im Folgenden werden diese Abschnitte genauer beschrieben, wobei der Schwerpunkt jeweils auf die Arbeit mit den Quellentexten gelegt ist. Dagegen wird z.B. auf die Um­setzung von erarbeiteten Lösungen in Computerprogramme aus Platz gründen nicht näher eingegangen.

3.1 Erste Lösungsansätze der Schüler

Zu Beginn des Projekts wurden die Schüler mit der folgenden Aufgabe konfrontiert: Alex und Bernd vertreiben sich das Warten auf die Straßenbahn mit Münzwürfen. Beide setzen 60 Cent und vereinbaren, dass derjenige, der zuerst 4 Spiele gewonnen hat, den gesamten Einsatz erhalten soll. Beim Spielstand von 2: I fiir Alex kommt die Bahn. Sie beschließen, das Spiel abzubrechen und den Einsatz gerecht zu teilen. Jeder Schüler sollte das seiner Meinung nach gerechte Teilungsverhältnis bestimmen und seine Wahl begründen. Obwohl es sich um ein Spiel handelt, dessen Ausgang allein vom Zufall bestimmt wird, wurde nicht ein einziger Vörschlag gemacht, der die Ge­winnwahrscheinlichkeiten in irgendeiner Weise berücksichtigt. Dies mag auf den ersten Blick erstaunlich erscheinen, wird jedoch verständlich, wenn man zum einen die Schwierigkeiten eines solchen Unterfangens berücksichtigt, zum anderen aber auch, dass die Stochastik im Mathematikunterricht noch immer nicht den ihr zukommenden Stel­lenwert gewonnen hat und bei der Mathematisierung von Sachverhalten deterministische Modellbildungen gegenüber stochastischen ein deutliches Übergewicht besitzen. Hier nun drei typische Beiträge: Teilung im Verhältnis der erzielten Punkte (stärkste Schülergruppe); Beispiel für eine Begründung:

"Alex erhält ~ und Bemd ~ ; denn Alex hat ja von 3 Spielen 2 gewonnen und Bemd nur 3 3

1." (Verhältnis 2: 1; Gewinn von Alex: 20 Cent). Extreme Teilung; Beispiel für eine Begründung: "Alex bekommt alles und Bemd nichts <;> denn Alex hat im Prinzip gewonnen, da er mehr Punkte hat." (Verhältnis 1 :0; Gewinn von Alex: 60 Cent). Gleiche Teilung; Beispiel für eine Begründung: "Ich finde <,> der Einsatz sollte nicht geteilt werden, da der Gewinn an die Bedingung geknüpft ist, 4 Punkte erreicht zu haben und weder Alex noch Bemd das geschafft ha­ben." (Verhältnis 1: 1; Gewinn von Alex: 0 Cent).

268 Peter Rasfeld

Solche Vorschläge und ihre Begründungen sind im Unterricht leidenschaftlich diskutiert worden. Gegen den ersten Vorschlag wurde eingewandt, er sei in bestimmten Fällen "ex­trem ungerecht", etwa wenn bei einem Spielstand von 1:0 und 100 vereinbarten Spielen abgebrochen und dem fiihrenden Spieler der Gesamteinsatz zugesprochen würde. Den Befiirwortem der extremen Teilung wurde entgegengehalten, es werde so geteilt, als sei das Spiel abgeschlossen worden. Gegen die gleiche Teilung wurde vorgebracht, hier werde so verfahren, als habe das Spiel überhaupt nicht stattgefunden. Am Ende machte sich Ratlosigkeit breit. Einige Schüler äußerten auch ihren Unmut über den Sinn der Aufgabe, schließlich könne man das Spiel zu einem anderen Zeitpunkt fort­setzen. Dem wurde entgegengehalten, dass solche Fälle in der Praxis durchaus vorkä­men. Als Beispiel wurde ein Tennismatch angefiihrt, das wegen eines Platzregens unter­und wegen anschließender Unbespielbarkeit des Platzes abgebrochen werden muss. Der Hinweis des Lehrers, dass es sich hier um ein sehr altes mathematisches Problem handelt, wurde zum Anlass genommen, zu hinterfragen, wie denn Mathematiker diese Aufgabe gelöst haben.

3.2 Untersuchung der frühen Lösungen

Aus Platzgründen kann hier auf die Untersuchung der ersten überlieferten Lösungen ita­lienischer Mathematiker der Renaissance nur im Überblick eingegangen werden. Die Teilungsverhältnisse, die sich in den Quellen stets nur auf spezielle Beispiele beziehen, wurden im Unterricht jeweils unter der Voraussetzung verallgemeinert, dass zwei Kon­trahenten A und B bereits a bzw. b Punkte von n von jedem Spieler zu erzielenden Punk­ten gewonnen haben (b ~ a < n , gleiche Gewinnchancen in jedem Einzelspiel).

3.2.1 Die Lösung von Pacioli

Zur Analyse der Lösung von Pacioli erhielten die Schüler aus seiner "Summa" die unter 1 beschriebene Spielsituation mit Auszügen aus der sich anschließenden Bearbeitung (vgl. Schneider 1988, S. 12). Heraus ergab sich, dass Pacioli - wie die Mehrheit der Schüler im Einstiegsbeispiel - ebenfalls im Verhältnis der bereits erzielten Punkte teilt, also unter den genannten Voraussetzungen im Verhältnis

a:b. Er rechtfertigt sein Vorgehen an anderer Stelle damit, dass er so teile wie die Handelsge­sellschaften (Compagnia) in den spätmittelalterlichen Städten üblicherweise Gewinne und Verluste teilten, nämlich nach den Anteilen der beteiligten Parteien (vgl. Schneider 1988, S. 14). Dennoch wurde im Unterricht die unter 3.1 bereits beschreibene Kritik er­neut hervorgerufen, woraus sich Motivation zur Suche nach Alternativvorschlägen er­gab.

3.2.2 Die Lösung von Cardano

Im Fortgang des Projekts erhielten die Schüler zunächst einen Auszug aus dem Text "Practica Arithmetice Et Mensurandi Singularis" von Cardano aus dem Jahre 1539, in dem er heftige Kritik an der Lösungsmethode von Pacioli übt (vgl. Schneider 1988, S. 16

Teilungsproblem 269

- 17). Aus dieser ergab sich für die Lernenden eine neue Sichtweise auf das Teilungs­problem: Für eine gerechte Teilung kommt es weniger auf die Anzahl der gewonnenen als vielmehr die der noch zu gewinnenden Spiele an. Bei 100 Spielen etwa sagt ein Spielstand von 4:3 so gut wie nichts, während er bei 5 Gewinnspielen einen deutlichen Vorteil darstellt. In der Diskussion tauchte dann auch rasch ein neuer Vorschlag auf, nämlich die Teilung im umgekehrten Verhältnis der noch zu gewinnenden Spiele durch­zuführen, alo im Verhältnis

(n-b):(n-a).

Für n = 5 Gewinnspiele wurden damit die folgenden Anteile des Spielers A berechnet (Tab. 1):

4 3 2 1 0 A hat

B B 1 2 3 4 5 A hat fehlen feh-

len 4 1

.!.=05 2 '

3 2 2 .!.=05 - ~ 0,67

3 2 '

2 3 ~=O 75 ~=06 .!.=05 4 ' 5 ' 2 '

1 4 i=08

2 4 .!.=05 - ~ 0,67 -~ 0,57

5 ' 3 7 2 ' 0 5 5 5 5 5 ~=05 - ~ 0,83 - ~ 0,71 - ~ 0,63 -~ 0,56

6 7 8 9 2 '

Tab. 1 Anteil von A am Gesamteinsatz nach Vorschlag der Schüler

Mit Tab. 1 wurde einerseits deutlich, dass die Schwächen in der Lösung von Pacioli hier nicht mehr vorhanden sind: Im Falle eines Spielabbruchs bei einem Spielstand von 1:0 für A (A fehlen noch 4 und B noch 5 Punkte) erhält A nicht mehr den Gesamteinsatz,

sondern nur noch ~ von diesem, also ~ vom Einsatz des Kontrahenten B. Bei einem 9 18

Spielstand von 2: 1 für A beträgt sein Anteil am Gesamteinsatz i. Derselbe Spielstand 7

würde bei 10 Gewinnspielen aber nur noch ~ erbringen, während Pacioli A in bei den 17

2 Fällen - zugestehen würde.

3

270 Peter Rasfeld

Andererseits erschienen andere Ergebnisse einigen Lernenden wieder nicht gerechtfer­

tigt, etwa die gleiche Bewertung der Spielstände 3:1 und 4:3 mit ~ des Gesamteinsatzes 3

trotz des unterschiedlich großen Punkteabstands. Andere hielten dies wieder rur vertret­bar, da die geringere Differenz im zweiten Spielstand durch die "größere Nähe zum Ge­samtgewinn" (A fehlt nur noch 1 Punkt) ausgeglichen werde. Erstmals zeichnete sich in den Argumentationen damit die Idee ab, die Gewinnchancen in die Betrachtungen einzubeziehen. Da für die Schüler aber nicht erkennbar schien, wie eine praktische Umsetzung erfolgen könnte, wurde diese Frage zunächst zurückgestellt und untersucht, wie Cardano das Problem gelöst hat. Aus dem zugehörigen Textab­schnitt (siehe Schneider 1988, S 15 und 16) wurde als Teilungsverhältnis aus dem dort betrachteten Beispiel

(1 + 2 + ... +(n - b)): (1 + 2+ ... + (n -a))

bestimmt. Während die Aufstellung des Terms rur die Lernenden keine große Heraus­forderung darstellte, blieb die Erklärung Cardanos rur die Summenbildungen unver­ständlich. Berechnete Anteile analog zu denen in Tab. 1 mit Hilfe der Formel Cardanos fanden zwar insgesamt Akzeptanz. So wird hier z.B. der Spielstand 4:3 mit einem Anteil

von ~ am Gesamteinsatz bewertet und der von 3: 1 mit ~, also etwas mehr und nicht 4 13

mehr gleich wie in Tab.l. Doch der ungeklärte Aufbau des Teilungsverhältnisses blieb unbefriedeigend gab Anlass zu weiteren Forschungen. Bei ihren Internetrecherchen zur Person Cardanos waren die Schüler natürlich auch auf seinen Widersacher Tartaglia und den berühmten Wettstreit über die Lösung kubischer Gleichungen gestoßen. Damit lag es nahe zu hinterfragen, ob und gegebenenfalls welche Lösung Tartaglia zum Teilungsproblem gemacht hat.

3.2.3 Die Lösung von Tartaglia

Tartaglia erläutert seinen Teilungsvorschlag in "Trattato Di Numerie Et Misure", er­schienen zwischen 1556 und 1560. Aus einem Textausschnitt (vgl. Schneider 1988, S. 18 - 19) wurde im Unterricht aus dem dort behandelten Beispiel das folgende Verhältnis abgeleitet:

(n+a-b):(n+b-a) .

Tartaglias Beschreibung wie auch seine Begründung waren für die Schüler relativ ein­fach zugänglich. Sein Vorschlag kommt dadurch zustande, dass er die Differenz a - b

( a z b ) der gewonnenen Spiele an den n insgesamt zu gewinnenden Spielen misst und den zugehörigen Anteil vom Einsatz des zurückliegenden Spielers subtrahiert und zum Einsatz des führenden Spielers addiert. Berechnungen analog zu Tab. 1 brachten aber die Erkenntnis, dass bei Tartaglia jeweils alle Fälle denselben Anteil für A erbringen, in denen der Unterschied in den erzielten Punkten gleich groß ist. So werden etwa die Spielstände 1:0 und 4:3 bei 5 Gewinnspie-

len mit einem Anteil von ~ des Gesamteinsatzes gleich bewertet, was einige Schüler er-5

Teilungsproblem 271

neut kritisierten, da sie diese Spielstände des Spielers A für unterschiedlich vorteilhaft hielten. Dieser Gesichtspunkt sowie der Umstand, dass keiner der bis dahin diskutierten Tei­lungsvorschläge vorbehaltlos akzeptiert worden war, führte dazu, die zuvor zurückge­stellte Frage nach der Berücksichtigung der Gewinnchancen in Angriff zu nehmen.

3.3 Teilung im Verhältnis der Gewinnchancen, Schülerlösun­gen

2:1

1/2 1/2

3:2

2:2

1/2 . 2:3 ..

---------- 4:3 1/2

1/2 ... ~ 3:3112

--__ 3:4

1/2 4:3 1/2./ 3:3

1/2 3:4

1/2 ~ 2:4

Abb. 1 Mögliche Spielverläufe bei einem Spielstand von 2 : 1

Fand die Idee der Einbeziehung der Gewinnchancen auch breite Zustimmung, so war de­ren Umsetzung im Unterricht mit Schwierigkeiten behaftet; ein Ansatz konnte zunächst nicht gefunden werden. Gründe dafür dürften, wie schon unter 3.1 ausgeführt, in dem vergleichsweise immer noch geringen Stellenwert der Stochastik im Mathematikunterricht zu suchen sein, in dem nach wie vor die Algebra dominiert, so dass in mathematischen Modellbildungen deterministische Ansätze für die Lernenden meist nahe liegender sind. Hinzu kam hier, dass die Schüler im bisherigen Verlauf des Projekts insbesondere mit Verallgemeinerun­gen der Vorschläge von Pacioli, Cardano und Tartaglia, dem Aufstellen entsprechender Terme und deren Umsetzung in Excel-Dateien konfrontiert waren, so dass ein "Um­schalten" auf eine stochastische Sichtweise nicht leicht war.

272 Peter Rasfeld

Auf y' orschlag des Lehrenden wurde deshalb auf das sehr einfache Einstiegsbeispiel un­ter 3.l. zurückgegriffen (4 Spiele, A hat 2 und B 1 Punkt, stets gleiche Gewinnchancen unabhängig vom Gewinn einzelner Spiele) und angeregt, alle möglichen Spielverläufe vom Zustand des Spielabbruchs an in einem Baumdiagramm darzustellen (Abb.l 1o).

Der Darstellung konnte nun leicht entnommen werden, dass es 9 mögliche Spielverläufe gibt, wobei A in 5 und B in 4 Fällen gewinnt. Mit Hilfe der ersten und zweiten Pfadregel berechneten die Schüler die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von A zu

11

16

und entsprechendll die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn von B zu 2. Will man al-16

so den Gesamteinsatz bei Spielabbruch im Verhältnis der Gewinnchancen teilen, so be­trägt dieses Verhältnis 11:5. Diese Lösung erschien einerseits unmittelbar akzeptabel, bald jedoch wurde von den Schülern die Frage aufgeworfen, wie die Gewinnchancen bei einer größeren Anzahl noch durchzuführender Spiele oder, mit Blick auf die Bearbeitung der Lösungen der ita­lienischen Mathematiker, gar "allgemein" berechnet werden können. Der Baum in Abb. 5 hat unterschiedlich Imge Zweige, die Partie kann nach weiteren 2, 3 oder erst nach 4 Spielen zu Ende sein. Die Konstruktion des Baumes und die Berechnung der Gewinn­wahrscheinlichkeiten über die Pfadregeln hatte sich schon bei diesem sehr einfachen Fall als ziemlich mühsam erwiesen, so dass eine Anwendung in komplexeren Spielsituatio­nen nicht praktikabel erschien. Da eine Idee zur Erweiterung des Lösungsansatzes zunächst nicht aufkam, lag es nahe, einmal mehr einen Blick in die Geschichte der Mathematik zu werfen und zu prüfen, wie Mathematiker mit dieser Frage umgegangen sind.

3.4 Teilung im Verhältnis der Gewinnchancen nach Pascal

Aus einem Brief von Pascal an Fermat vom 29. Juli 1654 wurde im Unterricht folgender Textauszug verwendet: "Hier nun etwa, wie ich den Wert jedes einzelnen Spiels bestimme, wenn zwei Spieler beispielsweise auf drei Gewinnspiele spielen und jeder 32 Pistoles12 eingesetzt hat: Nehmen wir an, dass der erste zwei und der andere eine Partie gewonnen hat; sie spielen nun eine Partie, deren Ausgang folgendes besagt: Wenn der erste sie gewinnt, gewinnt er den gesamten Spieleinsatz, nämlich 64 Pistoles; wenn der andere sie gewinnt, steht es zwei Partien zu zwei Partien, und folglich muss jeder seinen Einsatz, nämlich 32 Pistoles zurücknehmen, falls sie sich trennen wollen.

10 Die Wahrscheinlichkeiten längs der Pfade wurden erst im Nachhinein hinzugefügt. 11 Über die Gegenwahrscheinlichkeit wäre dies natürlich einfacher. 12 Anmerkung von Schneider: Zunächst Ausdruck für die von Philipp H. 1566 geprägte Gold­

münze, der dann in Frankreich für den Wert von zehn Livres stand; diesen Wert wies auch der 1640 geschaffene Louisdor im 17. Jh. auf.

Teilungsproblem 273

Beachten Sie nun, mein Herr, dass dem ersten 64 zustehen, wenn er gewinnt; wenn er verliert, stehen ihm 32 zu. Wenn sie also diese Partie nicht wagen und sich, ohne zu spielen, trennen wollen, muss der erste sagen: ,32 Pistoles sind mir sicher, denn die er­halte ich selbst bei Verlust; aber was die 32 anderen betrifft, vielleicht werde ich sie er­halten, vielleicht werden Sie sie erhalten, die Aussichten sind gleich. Teilen wir also die­se 32 Pistoles zu gleichen Teilen und geben Sie mir außerdem meine 32, die mir sicher sind.' Er wird also 48 Pistoles erhalten und der andere 16. Nehmen wir jetzt an, dass der erste zwei Partien gewonnen hat und der andere keine und dass sie eine weitere Partie beginnen. Der Ausgang dieser Partie legt fest, dass der erste, wenn er sie gewinnt, das ganze Geld, 64 Pistoles, nimmt; gewinnt sie der andere, dann sind sie wieder beim vorhergehenden Fall angelangt, bei dem der erste zwei Partien und der andere eine gewonnen hat. Nun haben wir schon gezeigt, dass in diesem Fall dem, der die zwei Partien gewonnen hat, 48 Pistoles zustehen. Deshalb muss er, falls sie diese Partie nicht spielen wollen, sa­gen: ,Wenn ich sie gewinne, gewinne ich alles, das sind 64; wenn ich sie verliere, stehen mir rechtmäßig 48 zu: Geben Sie mir also die 48, die mir selbst für den Fall, dass ich verliere, gewiss sind, und teilen wir die anderen 16 zu gleichen Teilen, weil die Chance, diese zu gewinnen, für sie genauso groß sind wie für mich.' Er wird also 48 und 8, das sind 56 Pistoles, erhalten. Nehmen wir nun endlich an, dass der erste nur eine Partie gewonnen hat und der andere keine. Sie sehen, mein Herr: wenn sie eine neue Partie beginnen, legt deren Ausgang fest, dass, wenn der erste sie gewinnt, es zwei zu null steht und ihm mithin nach dem vorhergehenden Fall 56 Pistoles zustehen; verliert er sie, steht es eins zu eins; ihm stehen also 32 Pistoles zu. Er muss also sagen: ,Wenn Sie die Partie nicht spielen wollen, geben Sie mir 32 Pistoles, die mir sicher sind, und teilen wir den von 56 verbleibenden Rest zu gleichen Teilen. Nehmen Sie 32 von 56 weg, es bleiben 24; teilen Sie also 24 zu glei­chen Teilen; nehmen Sie davon 12 und ich 12, was mit 32 zusammen 44 macht.'" (Pas­cal, zit nach Schneider 1988, S. 27 ~28).

Punkte 2 1 0 Ahat I B hat B fehlen 1 2 3 A fehlen J 2 1 1

-2

1 2 ZI) ~ 1

-4 2

0 3 Z II)2 Z III) ~ 1

-

8 16 2

Tab. 2 Anteile von A am Gesamteinsatz nach Pascal (ZI, Z11 und Z111 kennzeichnen die von Pascal beschiebenen Zustände in der Reiherifolge ihres Auftretens)'

Aufgabe im Unterricht war es, sich über das Vorgehen von Pascal eine Übersicht zu ver­schaffen und nach Möglichkeiten zu suchen, dessen Strategie zu verallgemeinern. Dies wurde auf unterschiedliche Art und Weise gehandhabt. So operierten manche Schüler­gruppen mit Teilbäumen, ohne allerdings einen Zusammenhang zwischen den verschie-

274 Peter Rasfeld

denen Fällen herstellen zu können. Am erfolgversprechensten erschien letztlich eine ta­bellenf6rmige Darstellung, wie sie schon zuvor angewandt worden war (Tab.2).

Tab. 2 zeigt eine solche Lösung, in der ZI, ZU und ZIII die von Pascal beschriebenen Zustände in der Reihenfolge ihres Auftretens kennzeichnen. Über die Aufgabe, das Ver­fahren von Pascal auf 4 Gewinnspiele zu übertragen13

, wurden folgende Erkenntnisse gewonnen:

• Die Anteile des Spielers A in den Zellen der Diagonalen haben stets dcn Wert

.!. (was ja auch erwartet werden darf, da A und B jeweils gleich viele Punkte 2

besitzen). • Die Anteile in den Zellen unterhalb der Diagonalen findet man, indem man zei­

lenweise von oben nach unten und innerhalb jeder Zeile von links nach rechts voranschreitet.

• Dabei ergibt sich nach der Argumentation von Pascal ein Wert in der ersten Spalte ab der zweiten Zeile jeweils als Summe aus dem darüber stehenden Wert und der halben Differenz aus I und diesem Wert14

•

• Die Anteile in allen anderen Zellen ergeben sich nach Pascal jeweils aus den Werten der bei den benachbarten Zellen links und oberhalb als Summe aus dem kleineren Wert und der halben Differenz dieser Werte15

•

• Die Lösungen stimmen vollständig mit denen überein, die die Schüler selbst bei ihrer Teilung im Verhältnis der Gewinnchancen berechneten.

Damit war in der Unterrichtssequenz eine rekursive Möglichkeit zur Berechnung der Zelleninhalte gegeben, wozu sich natürlich der Einsatz eines Rechners anbot.

13 Auf eine Darstellung wird aus Platzgründen verzichtet.

14 Erkannt wurde auch, dass die Anteile in der 1. Spalte von der Form 2n

-1, n = 1, 2, 3 sind. 2n

15 Die Schüler entdeckten auch; dass sich die gesuchten Anteile jeweils einfacher als arithmeti­sches Mittel aus den beiden benachbarten Werten ergibt, was auf die übliche Berechnung von Erwartungswerten hinausläuft. Eine solche Berechnung wurde von Huyghens in seiner Arbeit "De Ratiociniis In Ludo Aleae" aus dem Jahre 1657 angewandt (vgl. Huyghens in Bemoulli 1999, S. 4 u. 12 fi). Ob und inwieweit Huyghens von den neuen Methoden Pascals und Fer­mats Kenntnis hatte, wird in der Literatur unterschiedlich bewertet (vg. z.B. Haussner in Ber­noulli 1999, S. 137,Ore 1960, S. 41, Edwards 2002, S. 145).

Teilungsproblem 275

fehlende Punkte von A

von B I 2 3 4 5 6 I 0,500 0,250 0,125 0,063 0,031 0,016 2 0,750 0,500 0,313 0,188 0,109 0,063 3 0,875 0,688 0,500 0,344 0,227 0,145 4 0,938 0,8 13 0,656 0,500 0,363 0,254 5 0,969 0,891 0,773 0,637 0,500 0,377 6 0,984 0,938 0 ,855 0,746 0,623 0,500

Tab. 3 Anteil von A am Gesamteinsatz bei Teilung im Verhälnis der Gewinnchancen

Tab. 3 zeigt eine von Schülern mit Excel erstellte Tabelle, in der auch die Zelleninhalte oberhalb der Diagonalen berechnet wurden. Einmal programmiert, kann diese Tabelle mit beliebiger Zeilen- bzw. Spaltenzahl dargestellt werden. Die zuvor mehrfach kontrovers diskutierte Frage, ob Spielstände mit gleicher Punktedif­ferenz fiir den Spieler A gleich vorteilhaft seien, musste nun verneint werden; denn die Zelleninhalte stellen ja zugleich die Wahrscheinlichkeiten von A dar, das Spiel bei Fort­setzung von dem jeweiligen Punktestand aus zu gewinnen. Tab. 3 entnimmt man z.B., dass der Spielstand (in fehlenden Punkten!) von 1:2 mit größerer Wahrscheinlichkeit fiir Azurn Spielgewinn fiihrt als 2:3, und dieser wiederum eine größere Wahrscheinlichkeit besitzt als 3:4 u.s.w .. Ferner ist der Spielstand (in fehlenden Punkten) von 1:4 fiir A ge­nauso günstig wie 2:6 (trotz des geringeren Punkteabstands) und 1:3 sogar günstiger als 3:6. Von Bedeutung ist eben nicht nur die Punktedifferenz, sondern auch die "Entfer­nung zum Ziel". Fand die Teilung im Verhältnis der Gewinnchancen im Unterricht auch breite Zustim­mung, so wurde das rekursive Berechnungsverfahren kritisch beurteilt, erschien doch ei­ne händische Berechnung (etwa im Rahmen einer Klassenarbeit ohne Rechner) bei einer größeren Zahl noch fehlender Punkte zumindest sehr mühsam. Damit war die Frage nach einer expliziten Lösung aufgeworfen, und den Weg dorthin wies die Lösungsmethode von Fermat.

3.5 Teilung im Verhältnis der Gewinnchancen nach Fermat

Der Brief von Fermat an Pascal, in dem er seine Methode zur Lösung des Teilungsprob­lems vorstellt, ist leider verloren gegangen; glücklicherweise beschreibt Pascal aber Fermats Lösung in einem Brief vom 24. August 1654. Hieraus wurde im Unterricht der folgende Auszug verwendet: "Wenn zwei Spieler, die auf mehrere Gewinnspiele spielen, sich in der Lage befinden, dass dem ersten zwei und dem zweiten drei Gewinnspiele fehlen, so muss man, sagen Sie, fiir die gerechte Aufteilung des Einsatzes schauen, nach wie vielen Partien das Spiel in jedem Fall entschieden sein wird. Es ist leicht zu überlegen, dass das nach vier Partien der Fall sein wird. Daraus schließen Sie, dass man feststellen müsse, wie viele Anordnungen <von Spielausgängen> es bei

276 Peter Rasfeld

vier Partien und zwei Spielern gibt, und weiterhin, wie viele Anordnungen den ersten <Spieler> und wie viele Anordnungen den zweiten zum Gewinner machen, und dass man den Einsatz diesem Verhältnis entsprechend teilen müsse. Ich hätte diese Überle­gung nur schwerlich verstanden, wenn ich sie mir nicht schon vorher selbst klargemacht hätte; Sie haben sie wohl auch in diesem Sinne niedergeschrieben. Um zu sehen, wie viele Anordnungen bei vier Partien und zwei Spielern existieren, muss man sich vorstel­len, dass sie mit einem WürfeC6 mit zwei Seiten spielen (weil es nur zwei Spieler gibt), wie bei Wappen oder Zahl, und dass sie vier dieser Würfel werfen (weil sie vier Partien spielen); und jetzt muss man sich überlegen, wie viele verschiedene Lagen diese Würfel einnehmen können. Das ist leicht zu berechnen: sie können sechzehn haben, das ist die zweite Potenz von vier, d.h. das Quadrat. Denn stellen wir uns vor, dass eine der Seiten, mit a gekennzeichnet, für den ersten Spieler günstig ist und die andere mit b, für den zweiten, dann können diese vier Würfel eine dieser sechzehn Lagen einnehmen:

aaaa aaaa bbbb bbbb aaaa bbbb aaaa bbbb aabb aabb aabb aabb abab abab abab abab

1111 1112 1112 1222

Und weil dem ersten Spieler zwei Partien fehlen, lassen ihn alle Lagen mit <mindes­tens> zwei a gewinnen: davon gibt es 11 für ihn; und weil dem zweiten hier drei Partien fehlen, lassen ihn alle Lagen, in denen <mindestens> drei b vorhanden sind, gewinnen: davon gibt es 5. Somit müssen sie den Einsatz im Verhältnis von 11 zu 5 teilen." (Pascal, zit. nach Schneider 1988; S. 32 -33) Das Vorgehen von Fermat war für die Schüler leicht verständlich, so dass es ihnen we­nig Mühe bereitete, es auf analoge Fälle anzuwenden, wobei dann auch die Überein­stimmung mit den Lösungen Pascals trotz der völlig unterschiedlichen Methoden festge­stellt wurde. Pascal selbst kommentierte diese Übereinstimmung bekanntlich mit dem berühmten Ausspruch: "Ich sehe wohl, dass die Wahrheit in Paris und Toulouse dieselbe ist. " Auch die Verallgemeinerung stellte keine große Hürde dar:

• Berechne die maximale Anzahl 'r der durchzuführenden Einzelspielepieie, wenn Anoch n-a undBnoch n-b Punkte fehlen: r=(n-a)+(n-b)-l.

• Notiere alle möglichen Spielverläufe (Anzahl: 2f).

• Bestimme die Anzahl k aller Spielverläufe, in denen A mindestens (n-a)-mal gewinnt.

• A erhält den Anteil (gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit) ~. 2f

Dagegen konnten die beiden folgenden Probleme nicht so leicht gelöst werden: • Wie kann man bei einer großen Zahl möglicher Spielverläufe alle die Fälle

bestimmen, in denen A mindestens (n-a)-mal gewinnt, ohne alle 2f Tupel no-

16 Anmerkung von Schneider: Idee des "allgemeinen" Würfels von n Seiten, in diesem Fall von zwei Seiten.

Teilungsproblem 277

tieren zu müssen? Diese Frage soll im nächsten Abschnitt in Zusammenhang mit dem Pascalschen Dreiecks beantwortet werden.

• Wie kann man einsehen, dass es keinen Unterschied macht, ob man bei Fortset­zung des Spiels jeweils abbricht, sobald einer der bei den Kontrahenten die er­forderliche Punktzahl errungen hat, oder grundsätzlich die maximal mögliche Anzahl an Einzelspielen durchgeführt?

Tatsächlich ist es gerade dieser Punkt, der auch den Zeitgenossen Pascals erhebliche Schwierigkeiten bereitete. Aus der Korrespondenz zwischen Pascal und Fermat geht hervor, dass Pascal zunächst selbst eine kombinatorische Methode entwickelt und favo­risiert hat, sie dann aber zugunsten des rekursiven Verfahrens aufgegeben hat. Grund dafür war vermutlich, dass sich Pascal, mit seiner Methode der Kombinationen und der Ausdehnung des Spiels über das tatsächliche Spielende hinaus nicht gegenüber den Mitgliedern der Academie de Sciences durchsetzen konnte, insbesondere nicht ge­genüber Roberval. Ore (1960, S. 415) sieht gerade in der Kritik des einflussreichen Ro­bervals, Professor für Mathematik am College de France, den Grund, warum Pascal die Meinung Fermats suchte.

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Abb. 2 Mögliche Spielverläufe, ausgehend vom Spielstand 2:3 (infehlenden Punkten)/7

17 Die Wahrscheinlichkeiten längs aller Pfade beträgt rur jeden Abschnitt 0,5.

278 Peter Rasfeld

Wie kann man nun einsehen, dass es für die Berechnung des Anteils von A keinen Un­terschied macht, ob man in der einen oder anderen Weise verfährt? Im Unterricht wurde dies in folgender Weise plausibel gemacht: Zunächst wurde mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsbaumes (Ab. 2) nach der unter 3.3 beschriebenen Methode der Anteil (die Gewinnwahrscheinlichkeit) des Spielers A in dem genannten Beispiel (A fehlen noch 2 und B noch 3 Punkte) bestimmt. Dabei stehen a und ß jeweils für einen Einzelgewinn von A bzw. B, und ein Spiel endet, sobald ei-

ner der beiden Kontrahenten die erforderliche Punktzahl erreicht hat'8. Auf diese Weise entstand im Unterricht ein Baum mit den in Abb. 2 fett gezeichneten Zweigen, die je­weils mit einem grau unterlegten Ergebnis enden. Die Pfade sind ungleich lang und die verschiedenen Spielverläufe nicht gleich wahr­scheinlich, womit die Berechnung der Gewinnwahrscheinlichkeit schwieriger ist als bei Ferrnat. Das ist gerade der Grund, warum Ferrnat die Ausdehnung des Spiels in jedem Falle bis zur maximal möglichen Anzahl an Einzelspielen vornahm: "Das kommt daher, dass, wie Sie so treffend bemerkt haben, die Annahme einer durch eine bestimmte An­zahl von Partien gegebenen Spieldauer nur dazu dient, die Regel zu vereinfachen und (meiner Meinung nach) alle Möglichkeiten gleich zu machen, oder noch verständlicher, um alle Brüche auf den gleichen Nenner zu bringen." (aus einem Brief von Ferrnat an Pascal vom 25. September 1654; zit. nach Schneider 1988, S. 38 - 39). Dass dies nun auf die Gewinnwahrscheinlichkeiten von A und B keinen Einfluss hat, wurde im Unterricht durch eine Vervollständigung des Baumes plausibel gemacht (nicht fett gezeichnete Zweige in Abb. 2). Jeder der hinzugefügten Teilbäume hat die Wahr­scheinlichkeit 1. Auf das Ergebnis aa folgt z.B. mit Wahrscheinlichkeit 1 bei Fortset­zung des Spiels eines der Ergebnisse aa, aß, ßa, oder ßß . Zugleich wurde dabei klar, dass bei einer Ausdehnung eines Spiels, dass z.B. A bereits gewonnen hat, niemals der Fall eintreten kann, dass auch B noch die erforderliche Punktzahl erreicht; denn wenn A in vier Spielen die zwei erforderlichen Punkte erzielt hat, kann B in den verbleibenden zwei Spielen keine drei Punkte mehr gewinnen. Dieses Problem kann allerdings bei Ausdehnung der Problemstellung auf drei oder mehr Spieler auftreten und hat auch zu Unstimmigkeiten zwischen Pascal und Ferrnat geführt. Ferrnat stellt in seinem Brief vom 25. September 1654 klar, dass es hier bei der Betrach­tung eines einen Spiel verlauf darstellenden Tupels jeweils darauf ankommt, welcher Spieler zuerst die geforderte Punktzahl erreicht.

18 In Klammem hinzugefügt sind jeweils noch die aktuellen Spielstände (in fehlenden Punkten).

Teilungsproblem 279

3.6 Lösung des Teilungsproblems mit Hilfe des Pascalschen Dreiecks

I I I I I I I I I I .. . 1 I 2 3 4 5 6 7 8 9 ... I 3 6 10 15 21 28 36 ...

I 4 10 20 35 56 84 ... I 5 15 35 70 126 ...

I 6 21 56 126 ...

I 7 28 84 ...

I 8 36 ...

I 9 ...

I ...

Abh.3 Pascalsches Dreieck

Wie schon in 3.5 bemerkt, wurde im Unterricht bei der Untersuchung der Fermatschen Lösung die Frage aufgeworfen, wie man bei einer größeren Zahl noch möglicher Spiel­verläufe die Gewinnchancen der Kontrahenten bestimmen kann, ohne alle entsprechen­den Tupel generieren zu müssen.Als Hilfestellung zur Lösung dieser Frage wurde den Schülern zunächst das Verfahren vorgestellt, mit dem Pascal das Teilungsproblem unter Verwendung des nach ihm bezeichneten Dreiecks bearbeitete. Es gibt eine ganze Reihe verschiedener Darstellungsformen des Pascalschen Dreiecks (vgl. hierzu sowie zur Geschichte z.B. Barth 1989, S. 115 - 116, David 1998, S. 81 und Edwards 2002 ins.). Im Unterricht wurde die in Abb. 3 wiedergegebene und auch von Pascal selbst benutzte Form verwendet, einmal um seinem Lösungsgedanken unmittelbar folgen zu können, zum anderen aber auch, weil sich das Dreieck in dieser Form recht einfach mit einem Computerprogramm generieren lässt l9

.

19 Natürlich ist das Dreieck im Unterricht zunächst einmal selbst Gegenstand der Untersuchung gewesen. So wurde z.B. herausgearbeitet, dass in der zweite Zeile (und auch Spalte), die natür­lichen Zahlen zu finden sind, in der dritten die Dreieckszahlen und in der vierten die Pyrami­denzahlen. Dabei ist die Summe der ersten n natürlichen Zahlen gleich der n-ten Dreieckszahl, die Summe der ersten n Dreieckszahlen gleich der n-ten Pyramidenzahl, und entsprechendes gilt für die nachfolgenden Zeilen bzw. Spalten. Dies führte dann zu der Erkenntnis, dass sich jede Zahl außerhalb der ersten Zeile und ersten Spalte als Summe der links und oberhalb von ihr angeordneten Zahlen ergibt, womit die o.a. einfache Generierung der Tafel mittels Rechner gegeben ist.

280 Peter Rasfeld

Zusammen mit dieser Darstellung wurde den Schülern die Vorgehensweise Pascals prä­sentiert, die hier kurz so umschreiben werden so1120 (vgl. Todhunter 1965, S. 16 und Ed­wards 2002, S. 76):

• Als Basis bezeichnet Pascal die Elemente einer Diagonalen von links unten nach rechts oben. Die erste Basis enthält also nur die I, die zweite Basis 1 und 1, die dritte Basis 1,2 und 1 u.s.w., wobei die rn-te Basis m Elemente enthält.

• Haben die Kontrahenten A und B in n vereinbarten Spielen bereits a bzw. b Punkte erzielt, benötigen sie also noch n - a bzw. n - b Punkte, so werden die Elemente der (( n - a) + (n - b)) ten Basis betrachtet.

• Der Anteil von A (oder seine Gewinnwahrscheinlichkeit) v(frhält sich zum An­teil von B (oder dessen Gewinnwahrscheinlichkeit) wie. die Summe der ersten n - b Zahlen zur Summe der übrigen n - a Zahlen. Wegen der symmetrisch angeordneten Elemente einer Basis ist es gleich, ob man oben oder unten be­ginnt.

Ein Beispiel: A benötigt noch 2 und B noch 3 Gewinne. Die Elemente der (2+3)-ten Ba­sis sind: 1, 4, 6, 4, 1 (in Abb.3 grau uterlegt). Damit ergibt sich als Teilungsverhältnis

(1 + 4 + 6) : ( 4 + 1) = 11 : 5 , und die Gewinnchancen für A und B betragen .!...!. bzw. 2. 16 16

Im Zentrum des Unterrichts stand natürlich die Frage, warum das Verfahren funktioniert. Den Schlüssel hierzu lieferte das in 3.5 beschriebene Vorgehen Ferrnats: Wenn in dem o.a. Beispiel Spieler A noch 2 und B noch 3 Gewinne fehlen, dann sind noch maximal 4 weitere Spiele erforderlich, zu denen 16 mögliche Spielverläufe gehören (vgl. Abb. 2). A gewinnt, wenn er in 4 solcher Spiele mindestens 2 Einzelsiege, also entweder 2, 3 oder 4 Einzelsiege, erzielt. Nun gibt es genau 1 Möglichkeit, 4 Siege auf 4 Spiele zu verteilen, 4 Möglichkeiten, 3 Siege in 4 Spielen anzuordnen und 6 Möglichkeiten für 2 Siege in 4 Spielen. Entsprechend verliert A (und gewinnt B), wenn 0 bzw. 1 Einzelgewinn erzielt werden, wofür es 1 bzw. 4 Möglichkeiten gibt. Damit stellen die Zahlen der 5. Basis im Pascalschen Dreieck die Anzahlen der Anord­nungsmöglichkeiten von 0, 1,2,3,4 Siegen in 4 Spielen dar. Es sind gerade die Zahlen, die bei der Ferrnatschen Methode zur Lösung des Teilungsproblems benötigt werden. Die Gültigkeit des Verfahrens wurde natürlich im Unterricht auch für andere Fälle bestä­tige!. Ferner gaben die Überlegungen unmittelbar Anlass zur Einführung der Binomial­koeffizienten: Die i-te Zahl der r-ten Basis im Pascalschen Dreieck stellt die Anzahl der

Möglichkeiten dar, genau i-I Gewinne auf r-I Spiele zu verteilen und damit (~-I) 1-1

(r = 1,2,3, ... , I si sr). Das Pascalsche Dreieck erwies sich damit als eine Tafel für Bi­

nomialkoeffizienten.

20 Pascal hat seine Überlegungen in "Traite Du Triangle Arithmetique"dargestellt, gedruckt be­reits 1654, veröffentlicht aber erst 1665.

2\ Pascal hat dies mittels vollständiger Induktion bewiesen. Wenn auch dieses Beweisverfahren möglicherweise schon den Pythagoräern bekannt gewesen ist, so ist es doch erst durch die Ar­beiten Pascals den Mathematikern der Neuzeit zugänglich gemacht worden.

Teilungsproblem 281

Den (vorläufigen) Abschluss der Unterrichtseinheit bildete die Verallgemeinerung dieses Verfahrens: Fehlen den Kontrahenten A und B noch n - a bzw. n - b Punkte, so sind zur Bestim­mung der Gewinnwahrscheinlichkeiten von A bzw. B mindestens n -a bzw. höchstens

n-a-l Einzelgewinne auf r=(n-a)+(n-b)-I Einzelspiele zu verteilen. Dies ge­

lingt auf

( r )+( r )+ ... +(r) bzw. (r)+(r)+ ... +( r ) n-a n-a+1 r ° I n-a-I

Arten. Da es 2 f gleich wahrscheinliche Spielverläufe gibt, betragen die Wahrschein­lichkeiten fur A bzw. B, das Spiel zu gewinnen,

(n ~a )+(n -:+ I) + ... +(:) (~)+G )+ ... +( n -: -I) bzw.

2r 2r

Das Verhältnis der Gewinnchancen bzw. das Verhältnis, in dem der Gesamteinsatz zu

teilen ist, bertr:..::ä~glt =..so:..:m=it=-: -----------=:-:::------------::-1

[(n~a )+(n-:+ 1)+"'+(:) l: [( ~ )+( ~)+"'+(n-:-I) l. (rur r = (n-a)+(n- b)-I)

3.7 Wie könnte es weitergehen?

In der Oberstufe könnte man das Problem erneut aufgreifen und in zwei Richtungen ver­allgemeinern: Zum einen stellt sich die Frage, wie die Aufgabe zu lösen ist, wenn die beiden Kontra­henten unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten zum Gewinn eines Einzelspiels besitzen. In vielen Fällen, so auch etwa in dem unter I. zitierten Ballspiel von Pacioli, ist der An­satz gleicher Gewinnchancen tatsächlich unangemessen22

• Die Forderung nach Berück­sichtigung ungleicher Gewinnchancen ruhrt im Unterricht zwanglos zur Binomialvertei­lung und der zugehörigen kumulativen Verteilungsfunktion. So erhält man z.B. in dem mehrfach erwähnten Beispiel (A fehlen noch 2 und B noch 3 Siege) unter der Annahme von Chancen von 0,6 bzw. 0,4 fiir A und B auf einen Einzelsieg als Wahrscheinlichkeit

rur A auf den Gesamtsieg t(4). 0,6k • 0,44

-k ~ 0,821.

k~2 k Die zweite Verallgemeinerung betrifft die Lösung des Teilungsproblems rur mehr als zwei Spieler. Sie ist, wie schon oben kurz skizziert, bereits Gegenstand des Briefwech-

22 Vermutlich wurde die Lösung bei ungleichen Gewinnwahrscheinlichkeiten erstmals von Jakob Bemoulli im Winter 1685/86 erarbeitet und von seinem Bruder Johann 1710 an Montmort weitergegeben. Im Druck erscheint sie erstmalig in De Moivrcs "De Mensura Sorties" 1712 und zwei Jahre später in der 2. Auflage von Montmorts "Essay d' Analyse Sur Le Jeux De Ha­sard" (vgl. Todhunter 1965, S. 97 ffund Edwards 1982, S. 154 - 155).

282 Peter Rasfeld

sels zwischen Pascal und Fermat gewesen. Sowohl die rekursive Methode Pascals wie auch die kombinatorische Fermats lassen sich auf mehr als zwei Spieler anwenden, wenn auch entsprechend mühsam. Ein elegantes Verfahren, das beide Verallgemeinerungen zulässt, beruht in der Verwen­dung von Markoff-Ketten. Diese finden zunehmend Eingang in den Mathematikunter­richt der Sekundarstufe 11, wodurch auch der Forderung nach "Verzahnung" der ver­schiedenen Teilgebiete der Schulmathematik (hier der Stochastik und der linearen Al­gebra) nachgekommen werden kann. Um den Rechenaufwand gering zu halten, ist es al­lerdings ratsam, ein Computeralgebrasystem oder eine Tabellenkalkulation einzusetzen. In Verbindung mit dem Informatikunterricht eröffnen sich schließlich noch Gelegenhei­ten, das Teilungsproblem in seiner allgemeinen Form auf einem Rechner zu simulieren.

3.8 Resümee

Das Teilungsproblem ist in dieser Unterrichtseinheit in besonderer Weise behandelt worden, eben unter Einbeziehung der historischen Genese und zugehörigen Quellentex­ten. Nimmt man die Darstellungen in Schulbüchern als Hinweis auf die gängige Bearbei­tung in der Schulpraxis, so sieht diese häufig wohl anders aus. Zwar wird in der Regel auf den geschichtlichen Hintergrund immerhin hingewiesen, aber dann meist rasch auf die heute verwendeten "Standardlösungen" fokussiert23

• Es wird daher rückblickend zu analysieren sein, welche Vorzüge (und auch Nachteile) der hier vorgeschlagene Weg für das Lehren und Lernen von Mathematik allgemein und stochastischen Konzepten im Be­sonderen besitzt. Ausdruck für die Schwierigkeit des Teilungsproblems ist einerseits die Länge des Zeit­raums, über den hinweg sich Mathematiker um Lösungen bemüht haben, als auch die Anzahl der Mathematiker selbst, die nach verschiedenen Wegen und Verallgemeinerun­gen gesucht haben. Weitgehend selbständige (angemessene) Schülerlösungen wird man im Unterricht daher kaum erwarten dürfen. Anstelle der sonst vielfach üblichen Zerle­gung des Problems in eine Reihe aufeinander aufbauender Aufgaben, zu denen mehr o­der weniger starke Hilfestellungen geboten werden, erhielten die Lernenden hier die (u.a.) vorgestellten Briefauszüge von Pascal und Fermat. In diesen - und entsprechendes gilt auch für die frühen Lösungen der ital. Mathematiker - werden die Überlegungen der Verfasser jeweils "nur" im Rahmen von Beispielen dargestellt. Für die Schüler wurde damit der Weg zur Lösung mehr oder weniger genau abgesteckt, ohne dass ihnen aber alle geistige Arbeit abgenommen wurde. Vielmehr mussten die Überlegungen auf andere Beispiele übertragen und verallgemeinert werden, und die meist in Form von Hand­lungsanweisungen vorgestellten Rechenschritte waren in Terme, Gleichungen oder Al­gorithmen (für Computerprogramme) zu "übersetzen ". In diesem Sinne bildeten die Texte eine sehr brauchbare Grundlage für die geforderten Mathematisierungen. Dabei ist durch das Studium der Quellentexte auch deutlich geworden, dass das Tei­lungsproblem auf ganz unterschiedliche und (aus unserer heutigen Sicht) mehr oder we­niger akzeptable Weise modelliert werden kann. Es wurde klar, warum die stochasti­schen Modelle von Pascal und Fermat den anfänglichen deterministischen Modellen der

23 Eine Ausnahme bildet in dieser Hinsicht Barth 1989.

Teilungsproblem 283

Schüler selbst wie auch denjenigen der italienischen Mathematiker der Renaissance vor­zuziehen sind. Dies verlangte von den Lernenden, die verschiedenen Begründungen zu verstehen und sie - wie auch die eigene Sichtweise- kritisch zu beurteilen. Die Briefe von Pascal und Fermat selbst sind ein schönes Beispiel dafür, dass ein und dieselbe Lösung eines math. Problems bisweilen mit ganz unterschiedlichen Methoden gewonnen werden kann. Die Schüler haben erfahren, dass Pascal die Lösung auf algo­rithmisch rekursive Weise gefunden hat, Fermat dagegen auf kombinatorischem Weg. Bedeutsam war für die Lernenden auch, wie aus den abgegebenen Rückmeldungen her­vorgeht (s.u.), an dem Entwicklungsprozess zur Lösung eines mathematischen Problems teilzunehmen. Während im Unterrichtsalltag allzu oft eine mehr oder weniger "fertige" Mathematik vorherrscht, konnten sie hier erleben, dass in der Praxis Problemlösungen und die Entwicklung neuer Methoden einen langen Zeitraum erfordern können, in dem Irrwege, Rückschläge, Modifikationen, neue Ansätze usw. eingeschlossen sein können. Insofern hat auch die Einbeziehung der Lösungen von Pacioli, Cardano und Tartaglia ih­re Berechtigung. Wie unter 2 ausgeführt, brachten die Lernenden für die Unterrichtssequenz bereits spezi­fische stochastische Erfahrungen mit, doch konnten diese in mehrfacher Hinsicht erwei­tert werden. Vor allem zwei Punkte seien hier hervorgehoben: Über die Lösung Fermats, der ein Spiel jeweils über das tatsächliche Spielende hinaus grundsätzlich bis zur maximalen Anzahl noch durchzuführender Einzelspiele ausdehnt, ist zum einen deutlich geworden, wie man durch Wahl eines passenden Ergebnisraums u.v. Gleichwahrscheinlichkeit erzwingen kann, was ein einfaches Abzählen der günsti­gen und möglichen Fälle gestattet und mühsame Berechnungen über die Pfadregeln er­spart. Mit den Binomialkoeffizienten wurde den Schülern zum anderen schließlich ein univer­selles Werkzeug zu Lösung stochastischer AufgabensteIlungen an die Hand gegeben. Hier ermöglichen sie eine elegante Lösung des Teilungsproblems, bei der sich auch die Generierung des Ergebnisraums und das lästige händische Abzählen der Ergebnisse er­übrigt. Zum Abschluss der Unterrichtseinheit sind die Lösungen der angesprochenen Mathema­tiker nochmals kurz einander gegenüber gestellt worden. Dabei wurde die Diskussion insbesondere von drei Aspekten beherrscht: Zum einen äußerten die Schüler nachhaltig ihr Erstaunen darüber, dass die Entwicklung einer zufrieden stellenden Lösung eines auf den ersten Blick recht einfach erscheinenden Problems einen so langen Zeitraum beansprucht hat und mit den vorgestellten Ergebnis­sen von Pascal und Fermat keineswegs abgeschlossen gewesen ist, wird hier doch nur der allereinfachste Fall (zwei Spieler mit gleichen Gewinnchancen) behandelt. Zum Zweiten ist, wie schon ausgeführt, für die Lernenden bemerkenswert gewesen, dass Pas­cal und Fermat dieselbe Lösung auf völlig unterschiedlichen Wegen gefunden haben. Beeindruckend fanden die Teilnehmer schließlich, dass Pascal herausfand, dass das a­rithmetische Dreieck auf das Teilungsproblem "passt", indem es in den entsprechenden Zellen genau die benötigten Zahlen zur Ergebnisbestimmung liefert. Die Schüler wurden noch gebeten, anonym ihre Meinungen zur Unterrichtseinheit zu äußern. Die Auswertung lieferte ein überwiegend positives Echo. Besonderen Anklang fanden die Internetrecherchen über die beteiligten Mathematiker und die Auseinander­setzung mit den Quellen, während die Umsetzungen der verschiedenen Lösungen in

284 Peter Rasfeld

Computerprogramme als eher lästig empfunden wurden. Als problematisch erwies sich, wie auch in den Rückmeldungen der Lernendefl zum Ausdruck gebracht wird, der bean­spruchte Zeitrahmen (rund vier Wochen mit je drei Unterrichtsstunden) für die Ausei­nandersetzung mit ein und derselben Problemstellung, was ohnehin nur aufgrund der be­sonderen Bedingungen (siehe 2.) möglich war. Bei der Behandlung des Themas in "ge­wöhnlichen" Klassenverbänden wird man nach Kürzungsmöglichkeiten suchen müssen, die sich am ehesten bei den frühen Lösungen der ital. Mathematiker sowie dem ange­sprochenen Computereinsatz finden lassen dürften. Hier nun abschließend noch einige der bereits erwähnten Schülermeinungen zur Unter­richtssequenz: "Ich fand es gut, dass Sie jeden einzelnen zuerst gefragt haben, wie er / sie das Problem lösen würde. Die Diskussionen über die einzelnen Statements waren sehr interessant. Ebenfalls war es gut, dass wir uns zuerst ein Bild der Personen Cardano und Tartaglia übers Internet verschaffen konnten. Jedoch war die Übersetzung der Lösungen von C+T auf dem PC oft sehr trocken, langwierig und daher auch langweilig."

"Besonders gut fand ich den Start der Unterrichtsreihe, da jeder ohne Vorkenntnisse sa­gen musste, wie er bei einem Spielstand von 2:1 teilen würde. Das Teilungsproblem von Pacioli & Co fand ich ein Bisschen zu ausführlich. Pascal hat mir gut gefallen, besonders wegen der Besonderheiten des Pascalschen Dreiecks und den Fähigkeiten auch in jungen Jahren von Pascal."

"Ich fand es gut, mal alles mehr aus der Sicht der wichtigen Mathematiker zu betrachten. Im normalen Matheunterricht erfährt man nie etwas über die Personen. Wenn man sich die Personen besser vorstellen kann, dann macht es mehr Spaß, über ihre Lösungen nachzudenken. Man hätte das Thema jedoch etwas kürzer behandeln können."

"Ich fand's gut. Wir konnten selbständig was über die Personen im Internet herausfinden und dann zusammentragen. Es war interessant zu erfahren, wie 2 Leute auf verschiede­nen Wegen zum gleichen Ergebnis gekommen sind, vor allem weil es erst im 17. Jahr­hundert war. Ich fand es nur doof, das wir so lange darüber geredet haben. Man ist auch durcheinander gekommen, wer welche Lösung hatte."

"Interessant zu sehen, wie die Mathematiker früher das gleiche Problem unterschiedlich gelöst haben. Das Thema war etwas zu langweilig, weil es so lange dauerte. Gut war die Darstellung zwischen Pascal und Fermat. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung mit dem Baumdiagramm war gut."

4 Literatur

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107. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt a. Main 1999. Borovcnik, M.: Zum Teilungsproblem. Journal für Mathematik-Didaktik 7 (1986), Heft 1, S. 45 -

70. Burscheid, H.J., H. Struve: Zur Entwicklung und Rechfertigung normativer Theorien - das Besi­

piel der Gerechtigkeit von Glücksspielen. Dialectica Vol. 55 (2001), Nr. 3, S. 259 -281.

Teilungsproblem 285

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Edwards, A.W.F.: Pascal's Arithmetical Triangle. John Hopkins Paperback Edition, London 2002. Glaubitz, M., H. N. Jahnke: Die Bestimmung des Umfangs der Erde als Thema einer mathemati­

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Schmid, A., W. Schweizer: Stochastik. Leistungskurs. Klett Verlag, Stuttgart 1992. Schneider, 1. (Hrsg.): Die Entwicklung der Wahrscheinlichkeitstheorie von den Anfängen bis

1933. Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1988. Struve, H., R. Struve: Leibniz als Wahrscheinlichkeitstheoretiker. Studia Leibnitiana (1997), Band

XXIX / I, S. 112 - 122. Szekely, G.: Paradoxa. Klassische und neue Überraschungen aus Wahrscheinlichkeitsrechnung

und mathematischer Statistik. Harri Deutsch Verlag, Frankfurt a.M. 1990. Todhunter, M. A.: Mathematical Theory ofProbability. Froin the Time ofPascal to that ofLapla­

ce. New York 1965.Adresse der Autors:

Adresse des Autors

Dr. Peter Rasfeld Fakultät für Mathematik Universität Bielefeld Postfach 100131 D-33501 Bielefeld

e-mail: peter.rasfeld@uni-bielefeld.de

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