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Berichte und Schri umschau Das zweite ASTIN-Kolloquium, 1961 ASTIN (Actuarial Studies in Non-Life Insurance) ist eine Organisation im Rahmen des Comltd Permanent des Congr~s Internationaux d'Actuaires. Die offizielle Grfindung erfolgte wiihrend des Kongresses in New York im Jahre 1957. AuBerhalb der Aktuarkongresse wurde ein erstes ASTIN- KoUoquium 1959 in Frankreich abgehalten; ein zweites Kolloquium dieser Art land nunmehr yore 15. bls zum 17. Juni 1961 in Rdttvik in Dalekarlien (Schweden) statt. An dieser Tagung nah- men 78 Delegierte aus 14 Liindern teil. Zwei Teilnehmer kamen aus Deutschland. Das Programm sah ffir alle drei Tage Arbeitssitzungen yon 9--12 h und yon 13.30--17.30h vor und es war daher mSglieh, eine groBe Anzahl von Arbeiten durchzusprechen. Insgesamt waren 23 Ar- beiten im voraus verteilt worden; am Morgen eines jeden Tages wurde gesammelt fiber eine Gruppe yon Arbeiten, die zum selben Thema gehSrten, beriehtet, worauf eine allgemeine Diskussion folgte. Die drei Themen waren: 1. Die Verteilung yon SchadensbetMigen; 2. Kollektive Risikotheorie; 3. Probleme der Automobilversicherung. Allerdings ist es bei solchen Gelegenheiten unvermeidlieh, dab einige Arbeiten in keine der Kate- gorien genau hineinpassen. Am ersten Tage berichtete L.-G. Benckert (Schweden), fiber Arbeiten, welche ffir die Verteilung der Schadensummen in verschiedenen Versicherungssparten verschiedene Verteilungsfunktionen vorsehlugen. In seiner eigenen Arbeit hatte Benckert die log-normale Verteihmg 7-- l-- exp -- log /~ dy aV2n ~ y a beschrieben. Der maximum likelihod Schiitzungswert ftir den Durchschnitt ist em + ½ s,, wobei m = ~- ~. log xi und s2 ----- ½}: (log xi - - m)2 • Er erwiihnte auch asymptotische Konfidenzintervalle. Die 1955--58 Daten der Automobilver- sicherung eines europiiischen Landes lassen sieh, wie G. Benktander (Schweden) zeigte, durch eine Pareto-Verteilung P(x) ---- 1 m Cx-a anniihern, wiihrend nach M. A. Coppini (Italien) ffir die Ver- teilung der Anzahl der Krankenversicherten, die im Laufe eines Jahres r Krankheiten erleiden, eine negative Binomialverteflung gilt. Fiir die Verteilung nach der Krankheitsdauer u kann eine Formel CluP, e-U/a, -~- C2 u-P, e-a,/u angenommen werden. A. Banasinski und A. Wanatowski (Polen) gaben eine statistische Ubersicht fiber die Gebiiude- versicherung in Polen 1957--59 und R. Latscha (Schweiz, aber nieht anwesend) ebenfalls eine statistische ~bersicht, ohne analytische Formulierungen, fiber die Schweizerische obligatorische UnfalIversicherung. S. Cannella (Italien)zeigte Formeln fiirdie Abh~ingigkeit der Versicherungs- pr~mie in der Medikamentenversicherung vom Ausmag der Betefligung des Versicherten an den Kosten. Er behandelte versehiedene Formen dieser Beteiligung, wie z. B. p(x) = xfiirx < h, p(x) = 0 ffir x > h p(x) = xfiirx < h, p(x) = hfiirx > h p(x) = 0 ffir x <_ T, p(x) ---- x - - T ffir x :> T p(x) ---- xfdrx _< h, p(x) = h + k(x--h) fdrh < x ~ X p(x) = h -{- (X--h) fiirx > X, wobei x den Schadensbetrag und p (x) die Beteiligung bedeutet. 367

Das zweite ASTIN-Kolloquium, 1961

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Berichte und Schri umschau

Das zweite ASTIN-Kol loqu ium, 1961

A S T I N (Actuarial Studies in Non-Life Insurance) ist eine Organisation im Rahmen des Comltd Permanent des Congr~s Internationaux d'Actuaires. Die offizielle Grfindung erfolgte wiihrend des Kongresses in New York im Jahre 1957. AuBerhalb der Aktuarkongresse wurde ein erstes ASTIN- KoUoquium 1959 in Frankreich abgehalten; ein zweites Kolloquium dieser Art land nunmehr yore 15. bls zum 17. Juni 1961 in Rdttvik in Dalekarlien (Schweden) statt. An dieser Tagung nah- men 78 Delegierte aus 14 Liindern teil. Zwei Teilnehmer kamen aus Deutschland. Das Programm sah ffir alle drei Tage Arbeitssitzungen yon 9--12 h und yon 13.30--17.30 h vor und es war daher mSglieh, eine groBe Anzahl von Arbeiten durchzusprechen. Insgesamt waren 23 Ar- beiten im voraus verteilt worden; am Morgen eines jeden Tages wurde gesammelt fiber eine Gruppe yon Arbeiten, die zum selben Thema gehSrten, beriehtet, worauf eine allgemeine Diskussion folgte. Die drei Themen waren:

1. Die Verteilung yon SchadensbetMigen; 2. Kollektive Risikotheorie; 3. Probleme der Automobilversicherung.

Allerdings ist es bei solchen Gelegenheiten unvermeidlieh, dab einige Arbeiten in keine der Kate- gorien genau hineinpassen. Am ersten Tage berichtete L.-G. Benckert (Schweden), fiber Arbeiten, welche ffir die Verteilung der Schadensummen in verschiedenen Versicherungssparten verschiedene Verteilungsfunktionen vorsehlugen. In seiner eigenen Arbeit hatte Benckert die log-normale Verteihmg

_ 7-- l - - exp - - log /~ dy aV2n ~ y a

beschrieben. Der maximum likelihod Schiitzungswert ftir den Durchschnitt

ist e m + ½ s,, wobei m = ~- ~. log xi und s 2 ----- ½ }: (log xi - - m) 2 •

Er erwiihnte auch asymptotische Konfidenzintervalle. Die 1955--58 Daten der Automobilver- sicherung eines europiiischen Landes lassen sieh, wie G. Benktander (Schweden) zeigte, durch eine Pareto-Verteilung P(x) ---- 1 m Cx-a anniihern, wiihrend nach M. A. Coppini (Italien) ffir die Ver- teilung der Anzahl der Krankenversicherten, die im Laufe eines Jahres r Krankheiten erleiden, eine negative Binomialverteflung

gilt. Fiir die Verteilung nach der Krankheitsdauer u kann eine Formel

CluP, e-U/a, -~- C2 u-P, e-a,/u angenommen werden.

A. Banasinski und A. Wanatowski (Polen) gaben eine statistische Ubersicht fiber die Gebiiude- versicherung in Polen 1957--59 und R. Latscha (Schweiz, aber nieht anwesend) ebenfalls eine statistische ~bersicht, ohne analytische Formulierungen, fiber die Schweizerische obligatorische UnfalIversicherung. S. Cannella (Italien) zeigte Formeln fiir die Abh~ingigkeit der Versicherungs- pr~mie in der Medikamentenversicherung vom Ausmag der Betefligung des Versicherten an den Kosten. Er behandelte versehiedene Formen dieser Beteiligung, wie z. B.

p(x) = xfiirx < h, p(x) = 0 ffir x > h p(x) = xfi irx < h, p(x) = hfi irx > h p(x) = 0 ffir x <_ T, p(x) ---- x - - T ffir x :> T p(x) ---- x fdrx _< h, p(x) = h + k ( x - - h ) fdrh < x ~ X

p(x) = h -{- ( X - - h ) fiirx > X,

wobei x den Schadensbetrag und p (x) die Beteiligung bedeutet.

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In der hierauf folgenden Diskussion verwies P. Delaporte (Frankreieh) auf das bekannte Pearson- Diagramm der Invarianten/71 und/?2 und fiihrte aus, wie sich die lognormale und die Pareto-Ver- teflung in dieses Schema einf/igen lassen. Der H6hepunkt der Tagung war ohne Zweifel der Vortrag des Pr~sidenten der sehwedischen Aktuarvereinigung, Professor H. Cramdr, am Morgen des zweiten Tages, an dem er auch den Vor- sitz ftihrte. Er berichtete fiber die Entwicklung der kollektiven Risikoversicherung, an der er w~ihrend der letzten vierzig Jahre fiihrend beteiligt war. Im Jahre 1919 ver6ffentlichte F. Lund- berg eine Arbeit, die sich haupts/~chlich auf die Feuerversicherung bezog, in der er die Prinzipien der kollektiven Risikoversicherung festlegte. Arbeiten von Lundberg und Cramgr wurden in der schwedischen Aktuarvereinigung kritisiert, weft sie yon allzu einfachen Annahmen auszugehen schienen. Die theoretischen Untersuchungen dieser Artikel waren im wesentlichen auf die Poisson- Verteflung gestfitzt, die schon fr/iher Erlang in Untersuchungen fiber den Telephonverkehr ver- wendet butte. Nach Cram~rs Ansicht gibt es zwei M6glichkeiten, eine neue Theorie zu begrfinden. Man kann yon recht einfachen Voraussetzungen ausgehen und die Resultate als Grundlagen f'fir weitere Untersuchungen benfitzen; man kann aueh yon aller Anfang an realistisehe, aber kompli- ziertere Hypothesen verwenden. Es ist wold am besten, zwischen diesen beidcn M6glichkeiten einen Ausgleich anzustreben. Die kollektive Risikotheorie griindet sich auf die Annahme der Unabh~ngigkeit der Risiken und station~rer Vorg/~nge in aufeinander folgenden Jahren. Cram~r glaubt, dab er damals den Unterschied zwischen individueUer und kollektiver Theorie zu sehr betonte. Die Entwicklung der Theorie der stochastischen Prozesse durch Kolmogorov, Kintchlne, Levi, Feller u. a. in den 30er Jahren zeigte, daft es sich bei der einfachen Risikotheorie um einen wichtigen Speziaffall der allgemeineren stechastischen Prozesse handelte, n~mlich um den station~ren Fall mit eindimensionalcm Parameter. Es folgte die VerSffeutlichung yon zwei Doktorarbeiten, yon Segerdahl (1939) und Ore Lundberg (1940), die die Theorie nach verschiedenen Richtungen weiter- entwiekelten. Segerdahl gab einen Beitrag zum mathcmatischen Modetl der einfachcn Lundberg- schen Theorie, und 15ste zum Tefl das Problem des Ruins des Spielers. O. Lundberg verallgemei- nerte den einfachen Risikoprozeft und ffihrte Heterogenit~t ein. Dies fiihrte zum zusammenge- setzten Poisson-ProzeB. Ammeter und PhiIipson haben seither die Theorie weiter entwickelt. Man hat es dabei nicht nur mit dcr Anzald der Sch~den, sondern auch mit der Verteilung der Schaden- betr~ge zu tun. Auch kann eine Zeitabhiingigkeit eingefiihrt werden. Alle diese Entwicklungen grfinden sich noch immer auf dem Poisson-Prozeft. Er h~ingt yon drei Annahmen ab: (a) station~re Vorgange, (b) Unabh~ngigkeit, (e) Ausschluft von mehrfachen Er- eignissen. Ein ModeU, in dem yon (c) abgesehen wird, hubert z. B. Neyman und Scott in ihren Unter- suchungen fiber die Verteflung yon Fixsternsystemen verwendet. Annahme (b) wurde von Palm in seinen Untersuehungen im Telephonverkehr aufgegcben, und die Aufgabe yon (a) fiihrt zu den yon Leave sogenannten harmonisierbaren Prozessen, in denen der Hilbert-Raum eine grund- legende Rolle spielt. Nach Cramgrs Ansprache beriehtete K. Philipson (Sehweden), der auch der Vorsitzende des Organisations-Comit6s war, fiber die Arbeiten, die zum Thema ,,Allgemeinc Gesichtspunkte in versicherungstechnischen Untersuchungen, in anderen Sparten als der Lebensversicherung" vor- gelegt waren. Er selbst hatte drei Berichte verteflt und zwar

(i) Grundlegende mathematische Betrachtungen und Anwendungen, (ii) Erweiterung des in der Risikotheorie gewShnlich verwendeten Modells und

(iii) Einige Probleme der Sch~tzung, die sich auf den zusammengesetzten Poisson.Prozef beziehen.

B. Almer (Schweden) verwendete Resultate der Funktionentheorie, um Formeln in eine Form zu bringen, die sich auf elektronischen Rechenger~ten auswerten lassen. H. Ammeter (Sehweiz) sprach in seiner Arbeit fiber Erfahrenstarifierung. Der Riickversicherte zaldt nach diesem Schema eine Pr~mie P ' ~ (1 -[- ~t)P, wobei P die gew6hnliche Nettopr~imie und ~t ein Sicherheitsfaktor ist. Am Ende des GeschKftsjahres finder eine Priimienrfickerstattung im Betrage G = ~ P ' - - / ? S start, wobei S die Schadenszaldung ist. Er zeigte, dab dies mit einer Kombination yon Quotenrtickver- sicherung und Stop Loss-Riickversicherung identisch ist, falls a und/? so gew/ihlt werden, dab der Erwartungswert yon G dem Werte 2P g]eich ist. Er gab auch eine diagrammatische DarsteUung fiir den Fall, dab zwar nicht S, wold aber (S - - t)/a(S) normal mit Durchschnitt 0 und Streuung 1 verteflt ist, und behandelte die Frage, welcher Fehler entsteht, wenn t unrichtig angenommen

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wird. G. Berktander (Schweden) untersuchte die Korrelation zwischen verschiedenen Sehichten der Rfickversicherungsdeckung, w/ihrend K. Botch (Norwegen) den Begriff des Nutzens (utility) in seiner Beziehung zu Versieherung und Rfiekversieherung einer kritischen Analyse unterzog. Er kam zum Resultat, dab die Quote k ether Riiekversieherung so bestimmt werden sollte, dal3

Tu (S - - (1 q- 2 ) k P - - (1 - -k ) x) dF(x) o

maximiert wird, wobei u die Nutzens-Funktion ist, kP der Sicherhcitszuschlag, S der Fond der Gesellschaft, F(x) die Wahrseheinliehkeit, dab der Gesamtschaden x nicht iiberschreitet und

O o

P = f xdF(x) die Nettopr/imie des Portfolios ist. Wenn angenommen werden karm, dab F (x) = 0

= 1 - - e -x und u(x) = - - a x 2 q- x + b (mit 2aS < 1), dann ergibt sich das optimsle k als

2a(l-- 2)-- ~(l--2aS) 2 s (1 + ~)

J. G. F. de Jongh (Niederlsnde) klassifizierte verschiedene Prozesse, wie z. B. stationers Prozesse, Markov-Prozesse u. s. w. auf Grund der Varianz-Kovarianz Beziehung und P. M. Kahn (U. S. A., abwesend) bewies in seiner Arbeit eincn yon Borch bereits auf andere Weise bewiesenen Sstz, dab bet gegebener Nettopr~mie f/it die Riickversichemng die ldeinste Streuung der Sch/iden des Selbstbestandcs bet einer Stop Loss-Rfickversicherung auftritt. S. Vajda (OroBbritannien) er- w~hnte in der Diskussion scinen eigenen Beweis, dab unter derselben Voraussetzung die kleinste Streuung der yore Rfickversicherer zu bezahlenden Schiiden bet einer Quoten-Rfickversicherung eintritt. In der Diskussion sprach such P. Thyrion (Belgicn) und zwar fiber die yon ihm unter- suchte distribution par grappe (Verteilung in Bfindeln, oder in Klumpen). Es ist dies eine Vertei- lung, ffir die Cramdrs Annahme (c) (siehe oben) nicht zutrifft. Thyrion erw/~hnte eine anaIytisehe Eigenschaft, die diese Verteflung charakterisiert und zeigte einen Zussmmenhang mit ether zu- sammengesetzten Poissonverteflung aufi

Am dritten Tage berichteten C.-O. Segerdahl und G. Lanteli. Die Arbeit von A. Thepaut (Frank- reich) hatte den folgendcn Titeh ,,Einige l)berlegungen zur Reform des franzSsischen Automobfl- tarifs" und, da in der vor kurzem in Schweden eingeffihrten Tarifierung der Automobflversiche- rung Khnliche Gedanken vorherrschten, beriehtete Lanteli hierfiber, w~hrend sieh Segerdahl mit den iibrigen Arbeiten befal3te. Thepaut sprach sich in seiner Arbeit und such in der Diskussion gcgen den in der Automobilversicherung fibhchen Bonus fiir schadensfreie Jab.re aus und such gegen die Abh/ingigkeit der Pr/imie vom Alter des Wagens. Er fiihrte eine Reihe yon logischen Grfinden dafiir an, dal3 die Pr/~mie vonder Anzahl der durchlaufenen Kilometer abh~ngen sollte und erkl~rte, dab die praktischen Schwierigkeiten einer solchen Tarifierung fiberwunden werden kSnnen. P. Delaporte (Frankreich) zeigte durch sine Untersuchung yon Semi-Invarianten, dab in einem yon ihm behandelten Falle das Gcsetz fiir die Anzahl der Sch/iden eine Poisson-Verteflung ist. E. Pesonen (Finnland) konstruierte ein Bonussystem, das die Eigensehaft hat, dsl3 in einem gcniigend langen Zeitintervall der Wert aller gezshlten Pr/~mien dem Durchschnittswert der Schadenszahlung gleich wird.

A. Canner (Frankreich), N. E. Masterson (U. S. A.) und T. Pentikginen (Finnland) befaBten sich in ihren Arbeiten mit der HShe der Sicherheitsreserven der Automobilversicherung. A. Banasinski (Poles) behandelte mit Methoden der linearen Programmierung die Frage, wie die ffir Sicherheits- maBnahmen zur Verfiigung stehenden Betr~ge auf die verschiedenen MaBnahmen verteilt werden sollen, um den Betrag der dadurch vermiedenen Sehiiden mSgliehst groB zu maehen.

Ffir die Diskussion teflte sich die ZuhSrerschaft in zwei Gruppen, fiber dercn Bespreehungen dann in ciner gemeinsamen Versammlung beriehtet wurde. Es wurde auf die Beziehungen hingewiesen, die zwischen den versehiedenen Parametern einer Tarifierung bestehcn. AUerdings erwiihnte R. E. Beard (GroBbritannien), dab sine in den Vereinigtcn Staaten vorgenommene Varianzanalyse zeigte, dab sechs solcher Parameter in Wirklichkeit ohne Bedeutung sind. Er erwiihnte such, dal~ eine Untersuchung in England zeigte, dab die Schadenshiiufigkeit wesentlich yon der Zeit seit Abtegung der Chsuffeurprfifung abhing und fiigte scherzhaft hinzu, dab es am besten w/ire, wenn man den Fshrer verpflichten k6nnte, gleich mit dem siebenten Monat zu beginnen.

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Die Arbeiten werden wohl im ASTIN-Bulletin verSffentlicht werden; dieser Bericht konnte nur eine allgemeine ~bersicht geben. Der Verlauf der Tagung hat gezeigt, dab es auch in den Nicht- Lebens-Sparten eine groBe Anzahl von mathematischen Fragen zu 15sen gibt. In diesem Zusam- menhang daft wolff erw~bnt werden, da~ dies einigen deutschen Versicherungsmathematikern, vor allem dem versterbcnen Professor tCiebesell, dnrchaus bekannt war. Allerdings hat der Berichter- starter den Eindruck gewonnen, dad die Auswahl und Gruppierung der Themen, deren Bcspre- chung in einem solchen Rahmen niitzlich sein kann, ein noch ungel5stes Problem darstellt. Jeden- falls aber tragen solche Kolloquien wie das hier beschriebene dazu bei, spezielle Probleme im ge- eigneten Rahmen zu besprechen und diejenigen unter uns zu ermutigen, die der Ansicht sind, dab die internationalen Aktuarkongresse in ihrer jetzigen Form allzu schwerf~llig geworden sind.

Stefan Vajda (London) The ASTIN BULLETIN

Seit Dezember 1958 erscheint THE ASTIN BULLETIN, Publication of the ASTIN Section of the Permanent Committee for International Actuarial Congresses. Bisher sind in unregelm~Biger Reihen- folge 5 Hefte erschienen, womit Band I abgeschlossen ist. Die Schriftleitung hat H. Ammeter, Zfirich. Ziel der Zeitschrift ist, Untersuchungen zur mathematischen Durchdringung, vor allem der Nicht- Lebensversicherung, anzuregen und zu verSffentlichen und sie so einem internationalen Interessen- tenkreis zug~nglich zu machen. Im folgenden wird fiber den Inhalt der Hefte 1--4, Band I, be- richtet; Heft 5 lag erst bei Redaktionsschlul3 vor.

Das ASTIN Comit~ setzt sich gegenw~rtig wie folgt zusammen: Henry, Marcel (Paris) Beard, Robert Eric (London) Masterson, Norton E. (Stevens Point, Wisconsin, USA) Ammeter, Hans (Ziirich) Johansen, Paul (Kopenhagen) Campagne, Cornelis (Baarn, Niederlande) Francks, Edouard (Briissel) Ottaviani, Guiseppe (Rom) Philipson, Carl (Stockholm)

The ASTIN BULLETIN, Band I

Vorsitzer stellv. Vorsitzer und Sekret~r Schatzmeister Schriftleiter ~tgned Mitglied Mitglied Mitglied Mitglied

Heft 1 (Dezember 1958) des ASTIN BULLETIN bringt einen Bericht fiber die Grfindungsver- sammlung der ASTIN und fiber die auf deren ersten Tagung wiihrend des XV. Internationalen Kongresses der Versicherungsmathematiker in New York gehaltenen Referate.

The ASTIN BULLETIN, Band I, Heft 2, Dezember 1959 H. AMMETER, P. DEPOID, B. DE FINETTI: L ' E t u d e m a t h ~ m a t i q u e des a s s u r a n c e s non

v i a g S r e s dans l ' eu rope c o n t i n e n t a l e o c c i d e n t a l e (S. 46--70). Die Verfasser haben diese Bestandaufnahme der in Westeuropa erstellten mathematischen Arbei- ten auf dem Gebiete der Nicht-Lebensversicherung zur Astin-Tagung 1957 in New York vorge- legt. Der Bericht gliedert sigh wie folgt:

1. Versicherung im allgemeinen und Nicht-Lebensversicherung; 2. versicherungstechnische Anwendungen und klassische Statistik; 3. analytische Ansdriicke f'ur verschiedene Risikoformen; 4. allgemeine Modelle bei Unabhangigkeit; 5. allgemeine Modelle ohne den Vorbehalt der Unabhangigkeit; 6. periodische Schwankungen: F~lle der Hagelversicherung; 7. Risikotheorie; 8. Probleme der Rfickversicherung.

Der ~bersicht ist ein ausfiihrliches Literaturverzeichnis von 214 Arbeiten angegliedert.

C. PHILIPSoN:AMethod for t he E s t i m a t i o n of the R i sk P r e m i u m s in S top Loss R e i n s u r a n c e (S. 71--77).

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The ASTIN BULLETIN, Band I, Heft 3, April 1960 Dem Heft ist ein Bericht fiber die Astin-Tagung 1959 in La Baule (Frankreich) und eine l~bersicht sowie die Inhaltsangabe der zum Thema ,,No claim discount in insurance, with particular reference to Motor business" eingereichten Arbeiten vorausgestel]t. Im AnschluB daran wird ein Tell dieser Arbeiten im Wortlaut verSffentlicht.

F. Bic~S~L:Une m~thode pour c a l c u l e r une r i s t o u r n e a d 6 q u a t e pou r ann~es sans s i n i s t r e s (S. 106--112).

Der Verfasser entwickelt zun~chst mit Hilfe der zusammengesetzten Poisson-Verteilung die Strukturtheorie der Kraftfahrt-Haftpflichtversicherung (siehe auch ,,BlOtter", Band V, Heft 1, S. 43) und weist dann nach, da~ die schweizerische Bonusskala zu frfih beginnt, wenn man nur den mit 90°/oiger Sicherheit wirklich guten Fahrern eine Rfickvergfitnng zukommen lassen will.

E. FRANCKX: Th6or ie du bonus . Cons6quences de l '4 tude de Mr. le P r o f e s s e u r F r ~ c h e t (S. 113--122).

In Fortffihrung der Arbeiten des Prof. Frdchet zeigt der Verfasser Wege auf, wie man mit Hilfe der Markoffschen Ketten die Frage studieren kann, ob die Sch~den der Kraftfahrtversicherung im wahrscheinlichkeitstheoretischen Sinne Ms voneinander unabh~ngig gelten kSnnen oder nicht.

D. B. MXRTIN: A u t o m o b i l e I n s u r a n c e C a n a d i a n A c c i d e n t - F r e e C l a s s i f i c a t i o n S y s t e m (S. 123--133).

Der Verfasser gibt einen sachlichen und historischen ~berblick fiber die Struktur der kanadischen Kraftfahrttarife, insbesondere im Hinblick auf das Merkmal ,,Schadenfreiheit".

C. PHILIPSON: The Swedish S y s t e m s of Bonus (S. 134--141). Der Verfasser schildert zun~chst die beiden schwedischen Bonussysteme. Sodann legt er Unter- suchungsergebnisse aus den Jahren 1950 und 1955 vor, die Aufschlfisse fiber die GrSBe des ,,Bonus- hungereffekts" geben. SchlieBlich werden verschiedene Einflfisse des Bonus auf die Verwaltung der Kraftfahrtversicherung diskutiert und /~nderungsvorschl~ge zum bestehenden System ge- macht.

P. THrRm~: C o n t r i b u t i o n a l ' 4 t u d e du bonus pour non s i n i s t r e en a s s u r a n c e a u t o m o b i l e (S. 142--162).

Der Verfasser entwickelt ein wahrscheinlichkeitstheoretisches Modell der zusammengesetzten Poisson-Verteflungen mit zeitlich schwankenden Schadenhgufigkciten. Das Modell wird auf Probleme der Kraftfahrtversichcrung angewendet.

The ASTIN BULLETIN, Band I, Heft 4, Dezember 1960

K. BORCn': R e c i p r o c a l R e i n s u r a n c e T r e a t i e s (S. 170--191). Der Verfasser studiert die MSglichkeit, mit Hflfc spieltheoretischcr Modelle zu optimalen LSsungen ffir die gegenseitige Rfickversicherung zweier Versicherer zu kommen.

R. A. BAILEY, L. J. SIMON: Two S t u d i e s in A u t o m o b i l e I n s u r a n c e R a t e m a k i n g (S. 192---217).

Die Verfasser haben an Hand eines kanadischen Kraftfahrtbestandes die Schadenquoten sowohl nacb sofortigen Merkmalen (Verwendungszweck, Alter, Familienstand) als auch nach dem nur nachtr~glich feststellbaren Merkmal der Schadenfreiheit gemessen. In beiden F~lten ergeben sich jeweils recht unterschiedliche Meflwerte. Die Abstufungen nach dem schadenfreien Verlauf decken sich weitgehend mit Untersuehungsergebnissen aus anderen L~ndern, insbesondere auch aus Deutschland. Als bester Weg ffir schadengerechte Beitr~ge wird eine Mischung beider Tarif- systeme empfohlen. Ffir die Mischung werden verschiedene mathematische Verfahren aufgezeigt und studiert.

C. P~ILIPSON: No te on the A p p l i c a t i o n of C o m p o u n d Po i s son P roces se s to S ick- ness and A c c i d e n t S t a t i s t i c s (S. 224--237).

Der Verfasser studiert und vcrgleicht verschiedene Verteilungsfunktionen, welche die wahrschein- lichkeitstheoretischen Grundlagen der Schadenversicherung bilden.

Johannes Mehring (Dfisseldorf)

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