31
UNIVERSITATEA ”OVIDIUS” CONSTANT ¸A FACULTATEA DE MATEMATIC ˘ AS ¸I INFORMATIC ˘ A S ¸COALA DOCTORAL ˘ A TEZ ˘ A DE DOCTORAT REZUMAT CONDUC ˘ ATOR S ¸TIINT ¸ IFIC PROF. UNIV. DR. MIRELA S ¸TEF ˘ ANESCU DOCTORAND CRISTIAN-ADRIAN ION CONSTANT ¸ A 2010

D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

  • Upload
    others

  • View
    8

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

UNIVERSITATEA ”OVIDIUS” CONSTANTAFACULTATEA DE MATEMATICA SI INFORMATICA

SCOALA DOCTORALA

TEZA DE DOCTORATREZUMAT

CONDUCATOR STIINTIFICPROF. UNIV. DR. MIRELA STEFANESCU

DOCTORANDCRISTIAN-ADRIAN ION

CONSTANTA 2010

Page 2: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

STUDIUL ALGEBRELORACOPERIRILOR CU VARFURI ALEGRAFURILOR SI COMPLEXELOR

SIMPLICIALE

Page 3: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de
Page 4: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

Introducere

O abordare moderna ın teoria grafurilor care s-a dovedit a fi foarte productiva,este aceea de a trata anumite capitole si teme clasice folosind metode specifice altorramuri ale matematicii (algebra, geometria, topologia, teoria probabilitatilor, etc.).Aceasta abordare este ın concordanta cu noile metode aflate la frontiera dintre alge-bra comutativa si analiza combinatoriala, care s-au dezvoltat recent. R.P. Stanleya fost primul matematician care a utilizat notiuni si tehnici din algebra comutativaın studiul obiectelor geometrice si combinatoriale ([29]).

In [34] R.H. Villarreal a definit idealul muchiilor asociat unui graf. Acesta estegenerat de monoamele libere de patrate de grad 2 asociate muchiilor grafului. Ide-alele fatetelor asociate complexelor simpliciale, care pot fi privite ca o generalizarea idealelor muchiilor, au fost introduse ulterior de S. Faridi ın [9]. S-a deschis ast-fel o noua directie de cercetare a structurilor combinatoriale (grafuri, hipergrafuri)utilizand instrumente algebrice.

Acoperirile cu varfuri reprezinta o tema clasica de cercetare ın teoria grafurilor.Intr-un articol recent ([15]) acest concept combinatorial a fost generalizat si au fostintroduse acoperiri cu varfuri de ordin superior, nu numai pentru grafuri, dar sipentru complexe simpliciale. J. Herzog, T. Hibi si N.V. Trung ([15]) au atasatacestor acoperiri cu varfuri o structura algebrica, asa-numita algebra a acoperirilorcu varfuri. Se demonstreaza ca aceasta algebra este finit generata si poate fi privitaca algebra puterilor simbolice ale unui anumit ideal monomial. O parte semnificativaa cercetarilor ın aceasta directie s-a concentrat ın principal asupra cazului ın careaceasta algebra este standard graduata. Este interesant de observat ca proprietateade a fi standard graduata reflecta o caracteristica fundamentala a grafului asociat,si anume faptul ca acesta este bipartit.

Scopul nostru ın aceasta teza este acela de a ataca problema deschisa a studieriifunctiei si seriei Hilbert ale algebrelor acoperirilor cu varfuri pentru clasa grafurilorbipartite nemixtate si, ın particular, pentru subclasa grafurilor bipartite Cohen-Macaulay. Vom demonstra ca functia Hilbert a algebrei acoperirilor cu varfuri aleunui graf bipartit nemixtat are o anumita proprietate de monotonie, ceea ce ne va

i

Page 5: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

permite sa calculam margini exacte pentru multiplicitatea acestei algebre ın cazulunui graf bipartit nemixtat si, ın particular, al unui graf bipartit Cohen-Macaulay.Apoi vom da o metoda combinatoriala pentru determinarea seriei Hilbert a algebreiacoperirilor cu varfuri asociate unui graf bipartit nemixtat.

Teza este structurata ın trei capitole. In cele ce urmeaza vom da o descrieredetaliata a continutului fiecaruia dintre ele.

Capitolul 1 este o introducere a conceptelor de baza si o trecere ın revista a rezul-tatelor care vor fi folosite ulterior ın aceasta lucrare. Acesta debuteaza cu algebraRees a unui ideal, o constructie fundamentala ın algebra comutativa si ın geome-tria algebrica. Reamintim rezultatele principale cu privire la siruri exacte si ineleCohen-Macaulay. Consideram ideale ale muchiilor asociate grafurilor si caracterizaricombinatoriale ale grafurilor bipartite nemixtate si Cohen-Macaulay. Apoi facem oscurta descriere a complexelor simpliciale. Ne ındreptam atentia asupra functiei siseriei Hilbert ale unei algebre graduate si revedem cateva din proprietatile acestora.Dupa aceea trecem ın revista chestiunile de baza cu privire la algebrele acoperirilorcu varfuri asociate complexelor simpliciale (ponderate) si caracterizam acele algebre

asociate grafurilor care sunt standard graduate. In final, reamintim cateva rezultatede baza care se refera la algebrele acoperirilor de baza asociate grafurilor (bipartite).

In Capitolul 2 studiem laticele asociate grafurilor bipartite nemixtate, care aufost introduse de J. Herzog, T. Hibi si H. Ohsugi ın [14]. Elementele unei astfel delatice corespund acoperirilor minimale cu varfuri ale grafului.

Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea de varfuri Vn = W ∪ W ′, undeW = {x1, ..., xn} siW ′ = {y1, ..., yn}, fara varfuri izolate. Notam cuM(G) multimeaacoperirilor minimale cu varfuri ale lui G. Fie Ln laticea booleana pe multimea{p1, ..., pn}. Atunci

LG = {α ⊂ {p1, ..., pn} | (∃)C ∈ M(G) : pi ∈ α ⇔ xi ∈ C}este o sublatice a lui Ln cu proprietatea ca ∅ ∈ LG si {p1, ..., pn} ∈ LG ([14]).

Demonstram ca un graf bipartit nemixtat G fara varfuri izolate admite un sub-graf bipartit Cohen-Macaulay G′, unic pana la un izomorfism de grafuri, astfel ıncatlaticele LG si LG′ sunt izomorfe (Propozitia 43).

O caracterizare combinatoriala interesanta a grafurilor bipartite nemixtate a fostdata de R.H. Villarreal ın [36].

Fie G = (V (G), E(G)) un graf bipartit fara varfuri izolate. Atunci G estenemixtat daca si numai daca exista o bipartitie a lui V (G), W = {x1, ..., xn} siW ′ = {y1, ..., yn}, astfel ıncat:

(a) {xi, yi} ∈ E(G), pentru orice i ∈ [n];(b) daca {xi, yj} ∈ E(G) si {xj , yk} ∈ E(G), atunci {xi, yk} ∈ E(G), pentru

orice i, j, k ∈ [n] distincte.

Grafurile bipartite Cohen-Macaulay reprezinta o subclasa importanta din clasagrafurilor bipartite nemixtate. O caracterizare combinatoriala a grafurilor bipartiteCohen-Macaulay a fost data de J. Herzog si T. Hibi ın [13].

Fie Pn = {p1, ..., pn} un poset cu relatia partiala de ordine ≤. Notam cu G(Pn)graful bipartit pe multimea Vn = W∪W ′, undeW = {x1, ..., xn} siW ′ = {y1, ..., yn},

ii

Page 6: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

ale carui muchii sunt multimile {xi, yj} cu proprietatea ca pi ≤ pj . Se spune ca ungraf bipartit provine dintr-un poset, daca exista un poset finit Pn = {p1, ..., pn}astfel ıncat pi ≤ pj implica i ≤ j si dupa o (eventuala) reetichetare a varfurilor luiG avem G = G(Pn). Atunci un graf bipartit G este Cohen-Macaulay daca si numaidaca G provine dintr-un poset.

Dam un algoritm recursiv pentru determinarea laticei LG asociata unui grafbipartit Cohen-Macaulay G = G(Pn) pentru un anumit poset Pn (Algoritmul 33).Apoi regasim un criteriu combinatorial, care a fost demonstrat pentru prima data ın[7], de recunoastere a grafurilor bipartite Cohen-Macaulay printre grafurile bipartitenemixtate si, bazandu-ne pe acesta, dam un algoritm combinatorial pentru deter-minarea laticei LG asociata unui graf bipartit nemixtat G care admite o bipartitiea multimii varfurilor ce ındeplineste conditiile (a) si (b) de mai sus (Algoritmul 48).

Fie R = k [x1, ..., xn, y1, ..., yn] inelul de polinoame peste un corp k si fie G un grafbipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪W ′ fara varfuri izolate. Pentru un element

arbitrar α ∈ LG consideram monomul liber de patrate mα =

( ∏pi∈α

xi

)( ∏pj /∈α

yj

).

Fie inelul de polinoame BG = k[{xi}1≤i≤n, {yj}1≤j≤n, {uα}α∈LG] si fie A(G) algebra

acoperirilor cu varfuri asociata grafului G. Nucleul morfismului surjectiv de ineleξ : BG → A(G) definit prin ξ(xi) = xi, ξ(yi) = yi, 1 ≤ i ≤ n, ξ(uα) = mαt, α ∈ LG,notat cu QG, se numeste idealul toric al algebrei A(G). J. Herzog si T. Hibi aucalculat ın [13] baza Grobner redusa a idealului toric QG ın raport cu o anumitaordonare monomiala pentru un graf bipartit Cohen-Macaulay. Aratam ca acestrezultat se extinde ın mod natural pentru cazul unui graf bipartit nemixtat si, astfel,cateva rezultate deja cunoscute devin consecinte ale teoremei noastre (Teorema 49).

Capitolul 3 cuprinde rezultatele originale cu privire la functia si seria Hilbertale algebrelor acoperirilor cu varfuri asociate grafurilor bipartite Cohen-Macaulaysi nemixtate, rezultate ce vor fi publicate ın [19] si [20]. Mai ıntai demonstram cafunctia Hilbert a algebrei acoperirilor cu varfuri ale unui graf bipartit nemixtat areo anumita proprietate de monotonie. Fie G, G′ si G′′ grafuri bipartite nemixtate pemultimea Vn = W ∪ W ′ fara varfuri izolate astfel ıncat E(G′′) ⊂ E(G) ⊂ E(G′).Atunci au loc urmatoarele inegalitati:

H(A(G′), l) ≤ H(A(G), l) ≤ H(A(G′′), l), pentru orice l ≥ 0.

Inegalitatile de mai sus induc urmatoarele inegalitati pentru multiplicitatile al-gebrelor acoperirilor cu varfuri:

e(A(G′)) ≤ e(A(G)) ≤ e(A(G′′)).

Apoi ne ındreptam atentia asupra seriei Hilbert a algebrei acoperirilor cu varfuriA(G) ale unui graf bipartit nemixtat G care admite o bipartitie a multimii varfurilorVn = W ∪W ′ ce ındeplineste conditiile (a) si (b) de mai sus.

Pentru o submultime ∅ �= F ⊂ [n] notam cu GF subgraful lui G indus desubmultimea de varfuri {xi|i ∈ F} ∪ {yi}i ∈ F} a lui Vn. Aratam ca se poate re-duce calculul seriei Hilbert HA(G)(z) a algebrei acoperirilor cu varfuri ale lui G ladeterminarea seriei Hilbert HA(GF )(z) a algebrei acoperirilor de baza ale subgrafului

iii

Page 7: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

GF al lui G, pentru orice submultime F ⊂ [n]. Obtinem astfel, ın Teorema 62,urmatoarea formula:

HA(G)(z) =1

(1− z)n

∑F⊂[n]

HA(GF )(z)

(z

1− z

)n−|F |,

unde, prin conventie, HA(G∅)(z) = 11−z

. Acest rezultat se dovedeste a fi foarteutil ıntrucat h-vectorul algebrei acoperirilor de baza ale unui graf bipartit nemixtatcoincide cu h-vectorul unui inel Hibi (asociat unei latice distributive). Astfel, putemdeduce o interpretare combinatoriala pentru coomponentele h-vectorului lui A(G)ın termenii posetului asociat unui graf bipartit Cohen-Macaulay G (Corolarul 64).

Incheiem acest capitol calculand margini exacte pentru multiplicitatea algebreiacoperirilor cu varfuri ale unui graf bipartit Cohen-Macaulay, respectiv, ale unuigraf bipartit nemixtat.

Daca G este un graf bipartit pe multimea Vn = W ∪ W ′, n ≥ 1, care provinedintr-un poset cu n elemente, atunci:

2n ≤ e(A(G)) ≤ n!n∑

l=0

1

l!.

Inegalitatea din stanga devine egalitate daca si numai daca posetul este un lant,iar cea din dreapta devine egalitate daca si numai daca posetul este un antilant(Corolarul 69).

Daca G este un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪W ′, n ≥ 1, faravarfuri izolate, atunci:

n+ 1 ≤ e(A(G)) ≤ n!

n∑l=0

1

l!.

Inegalitatea din stanga devine egalitate daca si numai daca G este un graf bipartitcomplet nemixtat, iar cea din dreapta devine egalitate daca si numai daca G provinedintr-un antilant (Corolarul 71).

Rezultatele prezentate ın acest capitol evidentiaza o abordare combinatorialaın studiul functiei si seriei Hilbert ale algebrei acoperirilor cu varfuri ale unui grafbipartit nemixtat fara varfuri izolate si, ın particular, ale unui graf bipartit Cohen-Macaulay.

Precizam ca avem deja ın lucru unele continuari ale cercetarii privind:

• rezolutia libera graduata minimala, numerele Betti graduate si dimensiuneaproiectiva a idealului acoperirilor cu varfuri generat de monoamele libere depatrate ce corespund acoperirilor minimale cu varfuri ale unui graf bipartit;

• functia si seria Hilbert ale algebrei acoperirilor cu varfuri asociate unuihipergraf unimodular.

iv

Page 8: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

Rezumat

Cap. 1 Preliminarii

In primul capitol al tezei definim algebrele acoperirilor cu varfuri asociate com-plexelor simpliciale care au fost introduse de J. Herzog, T. Hibi si N.V. Trung ın[15] si trecem ın revista cateva din proprietatile lor de baza.

Fie Δ un complex simplicial pe multimea [n] si fie F(Δ) multimea fatetelor sale.

Definitia 1. O submultime C ⊂ [n] se numeste acoperire cu varfuri a (fatetelor)lui Δ daca C ∩ F �= ∅, pentru orice F ∈ F(Δ).

Exemplul 2. Fie Δ complexul simplicial pe multimea [5] cu multimea fatetelor

F(Δ) = {{1, 2}, {2, 3, 5}, {3, 4}}.Atunci C = {2, 4} este o acoperire cu varfuri a lui Δ.

Observatia 3. O submultime C ⊂ [n] poate fi identificata cu un {0, 1}-vectoraC definit prin

aC (i) =

{1, daca i ∈ C,

0, daca i �∈ C.

Se observa ca un {0, 1}-vector a = (a1, a2, ..., an) corespunde unei acoperiri cuvarfuri a lui Δ daca si numai daca∑

i∈Fai ≥ 1, pentru orice F ∈ F(Δ).

Unui complex simplicial i se poate asocia o pondere.

Definitia 4. O functie numerica w : F(Δ) → N \ {0}, F → wF , care asociaza

fiecarei fatete F a lui Δ un numar natural strict pozitiv wF se numeste pondere. Inacest caz, se spune ca Δ este un complex simplicial ponderat si se noteaza cu (Δ, w).

Definitia 5. Fie (Δ, w) un complex simplicial ponderat pe multimea [n] si fiej ∈ N. Un vector a ∈ N

n se numeste acoperire cu varfuri de ordinul j a lui (Δ, w)

1

Page 9: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

2

sau, mai simplu, j-acoperire cu varfuri a lui (Δ, w) , daca∑i∈F

ai ≥ jwF , pentru orice F ∈ F(Δ).

Ponderea canonica asociata unui complex simplicial Δ pe multimea [n] estefunctia numerica w0 : F(Δ) → N\{0} cu proprietatea ca w0(F ) = 1, pentru oriceF ∈ F(Δ). Se observa imediat ca o 1-acoperire cu varfuri a lui Δ corespunde uneiacoperiri (clasice) cu varfuri a lui Δ (ın sensul Definitiei 1).

Definim notiunea de algebra a acoperirilor cu varfuri asociata unui complexsimplicial ponderat.

Fie k un corp, R = k[x1, ..., xn] inelul de polinoame peste corpul k si R [t] inelulde polinoame peste R. Fie (Δ, w) un complex simplicial ponderat pe multimea [n].Pentru orice j ∈ N se considera k-spatiul vectorial Aj (Δ, w) ⊂ R [t] generat detoate monoamele xa1

1 xa22 . . . xan

n tj cu proprietatea ca a = (a1, a2, . . . , an) ∈ Nn este o

j-acoperire cu varfuri a lui Δ. Fie

A(Δ, w) =⊕j≥0

Aj(Δ, w) unde A0(Δ, w) = R.

Se poate verifica imediat ca

Aj(Δ, w) · Al(Δ, w) ⊂ Aj+l(Δ, w), pentru orice j, l ∈ N,

prin urmare A (Δ, w) are o structura de R-algebra graduata.

Definitia 6. R-algebra graduata A (Δ, w) se numeste algebra acoperirilor cuvarfuri asociata complexului simplicial ponderat (Δ, w).

Proprietatile algebrei acoperirilor cu varfuri ale unui complex simplicial ponderatsunt descrise de rezultatul urmator.

Teorema 7 ([15]). Fie (Δ, w) un complex simplicial ponderat pe multimea [n].Atunci A(Δ, w) este o R-algebra graduata finit generata normala Cohen-Macaulay.

Proprietatea de a fi inel Gorenstein a algebrei acoperirilor cu varfuri ale unuicomplex simplicial ponderat poate fi caracterizata astfel:

Teorema 8 ([15]). Fie (Δ, w) un complex simplicial ponderat pe multimea [n]fara fatete 0-dimensionale. Atunci A (Δ, w) este inel Gorenstein daca si numai dacawF = |F | − 1, pentru orice F ∈ F(Δ).

Notam A (Δ, w0) = A (Δ). Teorema precedenta are urmatoarea consecinta im-portanta.

Corolarul 9. A (Δ) este inel Gorenstein daca si numai daca Δ este graf.

In cazul ın care A (Δ) este inel Gorenstein h-vectorul (h0, h1, ..., hs) lui A (Δ)este simetric i.e. hi = hs−i, pentru orice 0 ≤ i ≤ s ([4, Corolarul 4.4.6]).

Conceptele de acoperiri decompozabile si indecompozabile cu varfuri ale unuicomplex simplicial ponderat au fost introduse ın [15].

Page 10: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

Definitia 10. Fie (Δ, w) un complex simplicial ponderat pe multimea [n]. Oacoperire cu varfuri a ∈ N

n a lui Δ de ordinul l se numeste decompozabila dacaexista o acoperire cu varfuri b ∈ N

n a lui Δ de ordinul i si o acoperire cu varfuric ∈ N

n a lui Δ de ordinul j astfel ıncat a = b + c, l = i+ j si b �= 0, c �= 0. Daca anu este decompozabila se spune ca este indecompozabila.

Exemplul 11. Fie K3 triunghiul pe multimea [3] care are asociata pondereacanonica. Vectorul (1, 2, 1) este o 2-acoperire decompozabila cu varfuri a lui K3

ıntrucat (1, 2, 1) = (1, 1, 0) + (0, 1, 1), iar (1, 1, 0) si (0, 1, 1) sunt 1-acoperiri cuvarfuri ale lui K3. Vectorul (1, 1, 1) este o 2-acoperire indecompozabila cu varfuria lui K3 deoarece poate fi descompus (ın mod netrivial) numai ca o suma dintre o1-acoperire cu varfuri si o 0-acoperire cu varfuri ale lui K3.

Observatia 12. Acoperirile indecompozabile cu varfuri de ordin strict pozitivale unui complex simplicial ponderat (Δ, w) corespund unei multimi minimale degeneratori omogeni ai R-algebrei A (Δ, w). Acoperirile indecompozabile cu varfuride ordinul 0 corespund vectorilor unitari. Daca privim pe A (Δ, w) ca o k-algebragraduata, atunci acoperirile indecompozabile cu varfuri ale lui (Δ, w) corespundunei multimi minimale de generatori omogeni ai acestei k-algebre.

Exemplul 13. Fie k un corp, R = k [x1, x2, x3] inelul de polinoame peste k si K3

triunghiul pe multimea [3] cu ponderea canonica. Atunci A (K3) este R-subalgebralui R [t] generata peste R de monoamele x1x2t, x1x3t, x2x3t si x1x2x3t

2.

Exemplul 14. Fie k un corp, R = k[x1, x2, x3, x4] inelul de polinoame peste k sipatratul C4 pe multimea [4] cu ponderea canonica. Atunci A(C4) este R-subalgebralui R[t] generata peste R de monoamele x1x3t si x2x4t care corespund acoperirilorminimale cu varfuri ale lui C4.

Definitia 15. Fie (Δ, w) un complex simplicial ponderat pe multimea [n]. Sespune ca algebra acoperirilor cu varfuri A(Δ, w) este standard graduata peste Rdaca este generata peste R de elemente omogene de gradul 1.

Graduarea standard a algebrelor acoperirilor cu varfuri asociate grafurilor a fostcaracterizata ın [15].

Teorema 16 ([15]). Fie G un graf pe multimea [n] si fie R = k [x1, ..., xn] inelulde polinoame peste un corp k. Atunci

(i) R-algebra graduata A (G) este generata ın grad cel mult 2;(ii) R-algebra graduata A (G) este standard graduata daca si numai daca G este

un graf bipartit.

Teorema 17 ([15]). Fie G un graf bipartit pe multimea [n] care are asociatao pondere arbitrara w si fie R = k [x1, ..., xn] inelul de polinoame peste un corp k.Atunci algebra acoperirilor cu varfuri A (G,w) este o R-algebra standard graduata.

Definim algebra acoperirilor de baza ale unui graf care a fost studiata ın [15],[2] si [3].

Definitia 18. Fie G un graf pe multimea [n] si fie j ∈ N.

3

Page 11: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

4

(i) O j-acoperire cu varfuri a a lui G se numeste nebazica daca a poate fidescompusa ca o suma dintre o j-acoperire cu varfuri a′ si o 0-acoperire cuvarfuri a′′ ale lui G.

(ii) O j-acoperire cu varfuri a a lui G se numeste de baza (bazica) daca nu esteo j-acoperire nebazica cu varfuri a lui G.

Exemplul 19. Fie K3 triunghiul pe multimea [3] cu ponderea canonica. Atuncivectorul (1, 1, 0) este o 1-acoperire de baza cu varfuri a lui K3, iar vectorul (2, 1, 1)este o 2-acoperire nebazica cu varfuri a lui K3.

Fie m idealul maximal graduat al inelului de polinoame R = k [x1, ..., xn].

Definitia 20. k-algebra graduata A(G)/mA(G), notata cu A(G), se numestealgebra acoperirilor de baza asociata grafului G.

Daca G este un graf bipartit pe multimea [n] care are cel putin o muchie, atuncialgebra acoperirilor cu varfuri A(G) este o R-algebra standard graduata, prin urmareinelul factor

A(G) = A(G)/mA(G)

este o k-algebra standard graduata.Se poate verifica ([2]) faptul ca:

(i) A(G) este generata ca o k-algebra de toate monoamele xa11 xa2

2 . . . xann tl cu

proprietatea ca a = (a1, a2, . . . , an) este o l-acoperire indecompozabila cuvarfuri a lui G;

(ii) pentru orice l ≥ 1, o k-baza a componentei Al(G) a lui A(G), privita ca unk-spatiu vetorial, este data de monoamele xa1

1 xa22 . . . xan

n tl cu proprietateaca a = (a1, a2, . . . , an) este o l-acoperire de baza cu varfuri a lui G;

(iii) ın particular, pentru orice l ≥ 1, functia HilbertH(A(G), l) exprima numarull-acoperirilor de baza cu varfuri ale lui G.

In sectiunea dedicata idealelor muchiilor asociate grafurilor prezentam catevaproprietati ale grafurilor bipartite nemixtate, respectiv, Cohen-Macaulay care facobiectul studiului nostru ın capitolele urmatoare.

Definitia 21. Un graf G pe multimea V (G) se numeste nemixtat daca toateacoperirile minimale cu varfuri ale lui G au acelasi cardinal.

O conditie necesara ca un graf bipartit pe multimea V (G) = V1 ∪V2 fara varfuriizolate sa fie nemixtat este ca cele doua multimi ale partitiei multimii varfurilor saaiba acelasi cardinal, i.e. |V1| = |V2|. De exmplu, graful bipartit din Figura 1 nueste nemixtat.

13

24

5

Figura 1

Page 12: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

Grafurile bipartite nemixtate fara varfuri izolate admit o caracterizare combina-toriala interesanta.

Teorema 22 (Villarreal [34]). Fie G = (V (G), E(G)) un graf bipartit faravarfuri izolate. Atunci G este nemixtat daca si numai daca exista o bipartitieV1 = {x1, ..., xn}, V2 = {y1, ..., yn} a multimii varfurilor V (G) astfel ıncat:

(a) {xi, yi} ∈ E(G), pentru orice i ∈ [n];(b) daca {xi, yj} ∈ E(G) si {xj , yk} ∈ E(G), atunci {xi, yk} ∈ E(G), pentru

orice i, j, k ∈ [n] distincte.

De exemplu, graful bipartit din Figura 2 este nemixtat. Daca se reeticheteazavarfurile 1, 2, 3 cu x1, x2, x3 si varfurile 4, 5, 6 cu y1, y2, y3, atunci conditiile (a) si(b) din Teorema 22 sunt ındeplinite.

1

2

3

5

4

6

Figura 2

In continuare prezentam clasa grafurile bipartite Cohen-Macaulay care este osubclasa importanta din clasa grafurilor bipartite nemixtate.

Fie R = k [x1, ..., xn] inelul de polinoame peste un corp k si fie G un graf pemultimea {v1, ..., vn}.

Definitia 23. Idealul muchiilor I(G) asociat lui G este idealul din R generat detoate monoamele libere de patrate xixj cu proprietatea ca varful vi este adiacent cuvarful vj , i.e.

I(G) = (xixj |{vi, vj} ∈ E(G)}.Daca toate varfurile lui G sunt izolate, atunci consideram I(G) = (0).

Definitia 24. Un graf G se numeste Cohen-Macaulay (peste R) daca inelulfactor R/I(G) este Cohen-Macaulay.

De exemplu, graful din Figura 2 nu este Cohen-Macaulay deoarece prin calculse obtine dim(R/I(G)) = 3 si depth(R/I(G)) = 2.

Grafurile bipartite Cohen-Macaulay au fost caracterizate din punct de vederecombinatorial de J. Herzog si T. Hibi ın [13].

Fie Pn = {p1, p2, ..., pn} un poset cu relatia partiala de ordine ≤. Notam cuG (Pn) graful bipartit pe multimea V (G) = W ∪ W ′, unde W = {x1, ..., xn} siW ′ = {y1, ..., yn}, cu proprietatea ca:

{xi, yj} ∈ E(G) daca si numai daca pi ≤ pj.

Definitia 25. Se spune ca un graf bipartit G pe multimea V (G) = W ∪ W ′

provine dintr-un poset daca exista un poset finit Pn = {p1, p2, ..., pn} cu proprietateaca pi ≤ pj implica i ≤ j si dupa o (eventuala) reetichetare a varfurilor lui G avemG = G (Pn).

5

Page 13: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

6

Teorema 26 (Herzog, Hibi [13]). Fie G un graf bipartit pe multimea V (G) =W ∪ W ′. Atunci G este Cohen-Macaulay daca si numai daca G provine dintr-unposet.

Graful din Figura 3 este Cohen-Macaulay deoarece provine din posetul P3 ={p1, p2, p3} cu proprietatea ca p1 ≤ p2 si p1 ≤ p3.

x1

x2

x3

y1

y2

y3

Figura 3

Cap. 2 Ideale torice ale algebrelor acoperirilor cu varfuri ale grafurilorbipartite nemixtate

J. Herzog, T. Hibi si H. Ohsugi au asociat ın mod unic grafurilor bipartitenemixtate fara varfuri izolate sublatice ale laticelor booleene ([14]). Elementele uneiastfel de latice corespund acoperirilor minimale cu varfuri ale (muchiilor) grafului.

In cel de-al doilea capitol

• studiem laticea asociata unui graf bipartit nemixtat fara varfuri izolate sidam un algoritm combinatorial pentru determinarea acesteia;

• bazandu-ne pe acest studiu, calculam baza Grobner redusa a idealului torical algebrei acoperirilor cu varfuri pentru un graf bipartit nemixtat faravarfuri izolate ın raport cu o anumita ordonare monomiala.

FieG un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W∪W ′, undeW = {x1, ..., xn}si W ′ = {y1, ..., yn}, n ≥ 1, fara varfuri izolate. Notam cu M(G) multimea tuturoracoperirilor minimale cu varfuri ale lui G. Fie Ln laticea booleana pe multimea{p1, ..., pn}. Se considera submultimea:

LG = {α ⊂ {p1, ..., pn}|(∃)C ∈ M(G) : pi ∈ α ⇔ xi ∈ C} ⊂ Ln.

Teorema 27 (Herzog, Hibi, Ohsugi [14]). Fie L o submultime a lui Ln. Atunciexista un unic graf bipartit nemixtat G pe multimea Vn = W ∪ W ′, n ≥ 1, astfelıncat L = LG daca si numai daca ∅ ∈ L, {p1, ..., pn} ∈ L si L este o sublatice a luiLn.

Grafurile bipartite Cohen-Macaulay pot fi caracterizate ın mod asemanator cuajutorul sublaticelor laticelor booleene. Pentru aceasta ne sunt necesare anumitenotatii si rezultate preliminare.

Fie Pn = {p1, ..., pn} un poset cu relatia partiala de ordine ≤.

Definitia 28. O submultime α ⊂ Pn se numeste ordideal al lui Pn daca pentruorice a ∈ α si pentru orice b ∈ Pn, b ≤ a implica b ∈ α.

Page 14: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

Notam cu J (Pn) laticea ordidealelor lui Pn. Daca α, β ∈ J (Pn), atunci rezultaca α ∪ β, α ∩ β ∈ J (Pn), prin urmare J (Pn) este o latice ın raport cu relatia deincluziune. Mai mult, J (Pn) este o latice distributiva.

Fie G un graf bipartit Cohen-Macaulay pe multimea Vn = W ∪ W ′, n ≥ 1.Conform [13, Teorema 3.4] putem presupune ca G = G(Pn), unde Pn = {p1, ..., pn}este un poset cu proprietatea ca pi ≤ pj implica i ≤ j. Rezultatul urmator da ometoda recursiva pentru determinarea multimii M(G) a acoperirilor minimale cuvarfuri ale lui G.

Propozitia 29. Fie Pn = {p1, ..., pn}, n ≥ 2, un poset cu proprietatea ca pi ≤ pjimplica i ≤ j si fie Gn = G(Pn) graful bipartit pe multimea Vn = W ∪ W ′ careprovine din posetul Pn. Fie Gn−1 subgraful lui Gn indus de submultimea de varfuriVn−1 = Vn\{xn, yn}. Atunci o submultime Cn ⊂ Vn este o acoperire minimala cuvarfuri a lui Gn daca si numai daca Cn = Cn−1 ∪ {yn}, unde Cn−1 ⊂ Vn−1 este oacoperire minimala cu varfuri a lui Gn−1 sau Cn = Cn−1 ∪ {xn}, unde Cn−1 ⊂ Vn−1

este o acoperire minimala cu varfuri a lui Gn−1 astfel ıncat xi ∈ Cn−1 pentru oricei ∈ [n− 1] cu proprietatea ca pi < pn.

Ca o aplicatie a propozitiei anterioare putem regasi un rezultat care privestelaticea asociata unui graf bipartit Cohen-Macaulay.

Corolarul 30 ([14]). Fie Gn = G(Pn), unde Pn = {p1, ..., pn} este un poset cuproprietatea ca pi ≤ pj implica i ≤ j. Atunci LGn = J (Pn).

Definitia 31. Fie L o sublatice a laticei booleene Ln. Se numeste rangul lui Lnumarul natural l−1, unde l este cardinalul maxim al lanturilor lui L. Daca rangullui L este egal cu n se spune ca L este o sublatice plina a lui Ln.

Teorema 32 (Herzog, Hibi, Ohsugi [14]). O submultime L a lui Ln este osublatice plina a lui Ln daca si numai daca exista un graf bipartit Cohen-Macaulayastfel ıncat L = Ln.

Dam un algoritm pentru determinarea laticei J (Pn) si, prin urmare, a multimiiM(G) a acoperirilor minimale cu varfuri ale lui G, unde G este un graf bipartit ceprovine dintr-un poset Pn = {p1, ..., pn} cu proprietatea ca pi ≤ pj implica i ≤ j.

Algoritmul 33. Algoritmul, bazat pe recursivitate, calculeaza laticea J (Pk),pentru orice k ∈ [n], unde Pk este subposetul lui Pn indus de submultimea {p1, ..., pk}.Initial avem J (P1) = {∅, {p1}}. Sa presupunem ca la fiecare pas k, 2 ≤ k ≤ n,laticea J (Pk−1) a fost deja calculata. Consideram multimea predecesorilor lui pk,L(pk) = {pj | pj < pk, 1 ≤ j ≤ k−1}. Atunci, conform Propozitiei 29 si Corolarului30, avem

J (Pk) = J (Pk−1) ∪ J ′k,

unde J ′k = {α ∪ {pk} | α ∈ J (Pk−1), L(pk) ⊂ α}.

In sectiunea finala a algoritmului se determina acoperirile minimale cu varfuriCα ale lui G ce corespund ordidealelor α ale lui Pn.

Require: un poset Pn = {p1, ..., pn} cu relatia partiala de ordine ≤ astfel ıncatpi ≤ pj implica i ≤ j

7

Page 15: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

8

Ensure: laticea J a ordidealelor lui Pn si multimea M a acoperirilor minimale cuvarfuri ale grafului G(Pn)J = {∅, {p1}} {Initial J (P1) = {∅, {p1}}}for k = 2, n doL = ∅ {Se determina multimea L(pk) = {pj | pj < pk, 1 ≤ j ≤ k − 1}}for j = 1, k − 1 doif pj < pk thenL = L ∪ {pj}

end ifend forJ ′ = ∅ {Se determina multimea J ′

k = {α ∪ {pk} | α ∈ J (Pk−1), L(pk) ⊂ α}}for all α ∈ J doif L ⊂ α thenJ ′ = J ′ ∪ {α ∪ {pk}}

end ifend forJ = J ∪ J ′ {Se determina laticea J (Pk) = J (Pk−1) ∪ J ′

k }end forM = ∅ {Se determina multimea M folosind laticea J ; initial M = ∅}for all α ∈ J doC = ∅ {Se determina multimea Cα = {xj | pj ∈ α} ∪ {yj | pj �∈ α}}for j = 1, n doif pj ∈ α thenC = C ∪ {xj}

elseC = C ∪ {yj}

end ifend forM = M∪ {C}

end for

Exemplul 34. Fie posetul P3 = {p1, p2, p3} cu proprietatea ca p1 ≤ p2 si p1 ≤ p3si fie G3 = G(P3). Graful G3 este reprezentat geometric ın Figura 3. Atunci,aplicand algoritmul anterior, se obtine:

J (P3) = {∅, {p1}, {p1, p2}, {p1, p3}, {p1, p2, p3}}si

M(G3) = {{y1, y2, y3}, {x1, y2, y3}, {x1, x2, y3}, {x1, y2, x3}, {x1, x2, x3}}.Laticea J (P3) este reprezentata grafic ın Figura 4.

Vom arata ca un graf bipartit nemixtat G fara varfuri izolate admite un subgrafbipartit Cohen-Macaulay G′, unic pana la un izomorfism de grafuri, cu proprietateaca laticele asociate lui G si G′ sunt izomorfe. Pentru aceasta ne sunt necesare catevarezultate preliminare.

Page 16: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

{p1}

{p1, p2} {p1, p3}

{p1, p2, p3}

Figura 4

Lema 35. Fie Pn = {p1, ..., pn} un poset cu relatia partiala de ordine ≤. Atunciexista o permutare σ a lui [n] astfel ıncat posetul (P ′′

n ,≤′′) care se obtine din Pn

prin reetichetarea elementelor pi cu pσ(i), pentru orice i ∈ [n], are proprietatea capi ≤′′ pj implica i ≤ j.

Observatia 36. Conform [13, Teorema 3.4] si Lemei 35 un graf bipartit G pemultimea Vn = W ∪ W ′, n ≥ 1, este Cohen-Macaulay daca si numai daca existaun poset finit Pn pe multimea {p1, ..., pn} astfel ıncat dupa reetichetarea varfurilorgrafului G avem G = G(Pn).

Lema precendenta este foarte utila din punct de vedere computational.

Algoritmul 37. Fie Pn = {p1, ..., pn} un poset arbitrar cu relatia partiala deordine ≤. Vom da un algoritm recursiv pentru determinarea unei permutari σ amultimii [n] si a unui poset P ′′

n cu relatia partiala de ordine ≤′′ care ındeplinesc

cerintele din Lema 35. Totusi algoritmul determina doar o singura permutare. Ingeneral exista mai multe permutari cu aceasta proprietate, numarul lor fiind egalcu Ω(Pn, n), unde Ω(Pn, m), m ∈ N\{0}, este un invariant combinatorial importantal posetului finit Pn ce reprezinta numarul functiilor σ : Pn → [m] care conservarelatia de ordine ([30]).

Require: un numar strict pozitiv n si un poset (Pn,≤) pe multimea {p1, ..., pn}Ensure: o permutare σ a lui [n] si un poset (P ′′

n ,≤′′) pe multimea {p1, ..., pn},obtinut din posetul (Pn,≤), astfel ıncat pi ≤′′ pj implica i ≤ jσ(1) = 1;for j = 2, n doσ(j) = j; k = 1; isvalid = true;while (k < j) and (isvalid = true) doif pj ≤ pk thenisvalid = false

elsek = k + 1

end ifend whileif isvalid = false then

9

Page 17: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

10

τ(j) = kfor l = k, j − 1 doτ(l) = l + 1

end forfor l = k, j doρ(l) = τ(σ(l))

end forfor l = k, j doσ(l) = ρ(l)

end forend if

end forfor j = 1, n dofor k = 1, n doif pj ≤ pk thenpσ(j) ≤′′ pσ(k)

end ifend for

end for

Exemplul 38. Fie posetul P4 = {p1, p2, p3, p4} cu proprietatea ca p3 ≤ p1,p3 ≤ p2 si p4 ≤ p2. Aplicand algoritmul anterior obtinem:

σ =

(1 2 3 43 4 1 2

)si

P ′′4 = {p1, p2, p3, p4} cu p1 ≤′′ p3, p1 ≤′′ p4 si p2 ≤′′ p4.

Incepand din acest moment, ın aceasta sectiune dedicata studiului laticei asociateunui graf bipartit nemixtat, de fiecare data cand ne vom referi la un graf bipartitnemixtat fara varfuri izolate vom presupune ca este dat cu o bipartitie a multimiivarfurilor care ındeplineste conditiile (a) si (b) din Teorema 22.

Observatia 39. Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪ W ′,n ≥ 1, fara varfuri izolate. Pentru o submultime ∅ �= F ⊂ [n] notam cu GF subgrafullui G indus de submultimea de varfuri {xi|i ∈ F} ∪ {yi|i ∈ F} a lui Vn.

Fie K{i,j}, 1 ≤ i < j ≤ n, graful bipartit complet pe multimea de varfuri{xi, xj} ∪ {yi, yj}.

Propozitia 40. Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪ W ′,n ≥ 1, fara varfuri izolate. Daca G nu are niciun subgraf indus K{i,j} cu proprietateaca 1 ≤ i < j ≤ n, atunci G este Cohen-Macaulay.

De exemplu, graful reprezentat geometric ın Figura 3 satisface acest criteriu,deci este un graf bipartit Cohen-Macaulay.

Page 18: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

Lema 41. Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪W ′, n ≥ 2,fara varfuri izolate. Presupunem ca G are un subgraf indus K{i,j}, 1 ≤ i < j ≤ n.Fie H subgraful lui G indus de submultimea de varfuri Vn\{xj , yj} a lui Vn. Atunciexista o corespondenta biunivoca ıntre acoperirile minimale cu varfuri ale grafurilorG si H. Mai precis, pentru orice submultime C ⊂ Vn\{xj , yj} avem:

(i) daca xi ∈ C, atunci C ∈ M(H) ⇔ C ∪ {xj} ∈ M(G);(ii) daca xi /∈ C, atunci C ∈ M(H) ⇔ C ∪ {yj} ∈ M(G).

Asa cum am mentionat deja la ınceputul acestui capitol, fiecarui graf bipartitnemixtat pe multimea Vn = W ∪W ′, n ≥ 1, fara varfuri izolate i se poate asocia ınmod unic o sublatice LG a laticei booleene Ln pe multimea {p1, ..., pn} astfel ıncat∅ ∈ LG si {p1, ..., pn} ∈ LG. Aceasta latice este definita astfel:

LG = {α ⊂ {p1, ..., pn}| (∃)C ∈ M(G) : pi ∈ α ⇔ xi ∈ C}.Corolarul 42. In ipoteza Lemei 41 si cu notatia anterioara avem LG � LH .

Propozitia 43. Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪ W ′,n ≥ 1, fara varfuri izolate. Atunci exista un subgraf bipartit Cohen-Macaulay G′ allui G, unic pana la un izomorfism de grafuri, astfel ıncat LG � LG′. In particular,toate lanturile maximale ale lui LG au aceeasi lungime.

Astfel putem regasi un criteriu combinatorial, care a fost demonstrat ın [7],pentru a recunoaste grafurile bipartite Cohen-Macaulay ın clasa grafurilor bipartitenemixtate.

Propozitia 44. Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪ W ′,n ≥ 1, fara varfuri izolate. Atunci G este Cohen-Macaulay daca si numai daca Gnu are niciun subgraf indus K{i,j} cu proprietatea ca 1 ≤ i < j ≤ n.

De exemplu, graful reprezentat geometric ın Figura 2 nu este Cohen-Macaulay.Daca se reeticheteaza varfurile 1, 2, 3 cu x1, x2, x3, iar varfurile 4, 5, 6 cu y1, y2, y3,atunci acest graf contine subgraful K{1,2}.

Utilizand acest criteriu combinatorial se poate determina un subgraf bipartitCohen-Macaulay G′ al lui G cu proprietatea ca LG � LG′.

Algoritmul 45. De fapt, G′ = GA, unde A este o submultime a lui [n] maximalacu proprietatea ca grafulK{i,j} nu este un subgraf indus al luiG, pentru orice i, j ∈ Adistincte. Fie B = [n]\A. Daca B �= ∅, atunci pentru orice j ∈ B exista i ∈ A astfelıncat K{i,j} este un subgraf indus al lui G. Acest algoritm determina multimeacomplementara B = [n]\A si, ın consecinta, submultimea A ⊂ [n] si subgrafulG′ = GA.

Require: un graf bipartit pe multimea Vn = W ∪ W ′, n ≥ 1, care ındeplinesteconditiile (a) si (b) din Teorema 22

Ensure: un subgraf bipartit Cohen-Macaulay G′ al lui G astfel ıncat LG′ � LG

B = ∅for i = 1, n− 1 doif i /∈ B then

11

Page 19: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

12

for j = i+ 1, n doif j /∈ B thenif ({xi, yj} ∈ E(G)) and ({xj, yi} ∈ E(G)) thenB = B ∪ {j}

end ifend if

end forend if

end forA = [n]\B; G′ = GA

Exemplul 46. FieG = G4 graful bipartit nemixtat pe multimea V4 = {x1, x2, x3, x4}∪{y1, y2, y3, y4} cu urmatoarele muchii:

{x1, y1}, {x1, y2}, {x2, y1}, {x2, y2}, {x3, y3}, {x4, y1}, {x4, y2}, {x4, y3}, {x4, y4}.Aplicand algoritmul anterior obtinem B = {2}, A = {1, 3, 4} si G′ = G{1,3,4} (veziFigura 5).

x1

x2

x3

x4

y1

y2

y3

y4

G

x1

x3

x4

y1

y3

y4

G′

Figura 5

Observatia 47. Daca G′ = GA, A ⊂ [n], este un subgraf bipartit Cohen-Macaulay al lui G din Propozitia 43, atunci, conform Corolarului 42, izomorfismulde latice ν : LG′ → LG este definit astfel:

ν(α′) = α′ ∪ {pj|j ∈ [n]\A, pi ∈ α′, K{i,j} ⊂ G}.Vom ıncheia aceasta prima sectiune a acestui capitol prezentand un algoritm

combinatorial pentru determinarea laticei asociate unui graf bipartit nemixtat.

Algoritmul 48. Ideea de baza a acestui algoritm este aceea de a reduce de-terminarea laticei asociate unui graf bipartit nemixtat G fara varfuri izolate la de-terminarea laticei asociate unui subgraf bipartit Cohen-Macaulay G′ al lui G dinPropozitia 43. De ındata ce un astfel de subgraf a fost calculat folosind Algoritmul45, se determina laticea asociata acestuia prin aplicarea Algoritmilor 37 si 33, iarapoi se obtine laticea LG utilizand Observatia 47. Algoritmul are mai multi pasicare sunt descrisi ın detaliu ın cele ce urmeaza.

Page 20: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

Pasul 1. Se aplica Algoritmul 45 pentru determinarea unui subgraf bipartitCohen-Macaulay G′ = GA al lui G pe multimea {xi|i ∈ A} ∪ {yi|i ∈ A} astfel ıncatLG′ � LG. Asa cum am observat anterior, exista un poset (PA,≤) pe multimea{pi|i ∈ A} cu proprietatea ca GA = G(PA).

Pasul 2. Se determina posetul PA = {pi|i ∈ A} cu proprietatea ca:

pi ≤ pj daca si numai daca {xi, yj} ∈ E(GA).

Pasul 3. Se aplica Algoritmul 37 pentru a determina o permutare σA a lui A siun poset (P ′′

A,≤′′), obtinut din posetul (PA,≤), astfel ıncat p′′i ≤ p′′j implica i ≤ j.Pasul 4. Se determina laticea J (P ′′

A) asociata grafului bipartit Cohen-MacaulayG(P ′′

A) prin aplicarea Algoritmului 33.Pasul 5. Se determina laticea LG′ = J (PA) asociata grafului bipartit Cohen-

Macaulay G′ = G(PA) folosind inversa σ−1A a permutarii σA care a fost deja deter-

minata la Pasul 3.Pasul 6. Se determina laticea LG utilizand Observatia 47.

In cea de-a doua sectiune a acestui capitol vom calcula idealul toric al algebreiacoperirilor cu varfuri asociata unui graf bipartit nemixtat.

Fie R = k[x1, . . . , xn, y1, . . . , yn] inelul de polinoame peste un corp k si fie G ungraf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪W ′, n ≥ 1, fara varfuri izolate. Fie LG

laticea asociata lui G. Consideram inelul BG = k[{xi}1≤i≤n, {yj}1≤j≤n, {uα}α∈LG].

Pentru un element arbitrar α ∈ LG notam mα = (∏pi∈α

xi)(∏pj /∈α

yj).

Fie <lex ordonarea lexicografica pe R indusa de x1 > . . . > xn > y1 . . . > yn. Fie<� ordonarea revlexicografica pe k

[{uα}α∈LG

]indusa de o ordonare a variabilelor

uα, α ∈ LG, cu proprietatea ca uα > uβ daca β ⊂ α ın laticea LG. Fie <�lex ordonarea

monomiala pe BG definita astfel:(n∏

i=1

xaii y

bii

)(uα1 · · ·uαp

)<�

lex

(n∏

i=1

xa′ii y

b′ii

)(uα′

1· · ·uα′

q

)daca

(i)n∏

i=1

xaii y

bii <lex

n∏i=1

xa′ii y

b′ii

sau

(ii)n∏

i=1

xaii y

bii =

n∏i=1

xa′ii y

b′ii si uα1 · · ·uαp <

� uα′1· · ·uα′

q.

Inspirandu-ne din [13], calculam baza Grobner redusa a idealului toric al algebreiacoperirilor cu varfuri ale unui graf bipartit nemixtat fara varfuri izolate ın raportcu ordonarea monomiala <�

lex. In particular, obtinem ca o consecinta Teorema 1.1din [13] pentru cazul grafurilor bipartite Cohen-Macaulay.

Pentru un element α ∈ LG fie V (α) multimea vecinilor superiori ai lui α ın laticeaLG. Notam xβ\α =

∏pi∈β\α

xi, yβ\α =∏

pi∈β\αyi, unde α ∈ LG, α �= {p1, p2, .., pn} si

β ∈ V (α).

13

Page 21: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

14

Teorema 49. Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪W ′, n ≥ 1,fara varfuri izolate. Atunci baza Grobner redusa a idealului toric QG al algebreiacoperirilor cu varfuri A(G) ın raport cu ordonarea monomiala <�

lex este:

G<�lex(QG) = {xβ\αuα − yβ\αuβ | α ∈ LG, α �= {p1, p2, .., pn}, β ∈ V (α)}

∪{uαuβ − uα∪βuα∩β | α, β ∈ LG, α �⊂ β, β �⊂ α},unde monomul initial al fiecarui binom al lui G<�

lex(QG) este primul monom.

Rezultatul anterior este foarte util din punct de vedere computational. Datun graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪ W ′, n ≥ 1, fara varfuri izolatesi utilizand un sistem de calcul, se pot obtine invarianti algebrici si omologici aialgebrei acoperirilor cu varfuri asociate grafului respectiv.

Exemplul 50. FieG = G3 graful bipartit nemixtat pe multimea V3 = {x1, x2, x3}∪{y1, y2, y3} cu muchiile:

{x1, y1}, {x2, y2}, {x2, y3}, {x3, y2}, {x3, y3}.Fie L3 laticea booleana pe multimea {p1, p2, p3}. Aplicand algoritmul 48 obtinem:

LG = {∅, {p1}, {p2, p3}, {p1, p2, p3}} ⊂ L3 (vezi Figura 6).

x1

x2

x3

y1

y2

y3

G

{p1} {p2, p3}

{p1, p2, p3}

L(G)

Figura 6

Notam u1 = u{p1,p2,p3}, u2 = u{p1}, u3 = u{p2,p3}, u4 = u∅ si

B = BG = k[x1, x2, x3, y1, y2, y3, u1, u2, u3, u4].

Conform Teoremei 49 baza Grobner redusa a idealului toric QG al lui A(G) ın

raport cu ordonarea monomiala <�lex este:

G<�lex(QG) = {x1u4−y1u2, x2x3u2−y2y3u1, x2x3u4−y2y3u3, x1u3−y1u1, u2u3−u1u4}.

Folosind izomorfismul de algebre graduate A(G) � B/QG calculam rezolutialibera graduata minimala si numerele Betti ale algebrei acoperirilor cu varfuri A(G).

CoCoA

Use B::=Q[x[1..3],y[1..3],u[1..4]];F1:=x[1]u[4]-y[1]u[2];F2:=x[2]x[3]u[2]-y[2]y[3]u[1];

Page 22: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

F3:=x[2]x[3]u[4]-y[2]y[3]u[3];F4:=x[1]u[3]-y[1]u[1];F5:=u[2]u[3]-u[1]u[4];QG:=Ideal(F1,F2,F3,F4,F5);Res(B/QG);0−− >B(-6)−− >Bˆ2(-3)(+)Bˆ3(-4)−− >Bˆ3(-2)(+)Bˆ2(-3)−− >B- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -BettiDiagram(B/QG);

0 1 2 30 : 1 − − −1 : − 3 2 −2 : − 2 3 −3 : − − − 1

Tot : 1 5 5 1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Prin urmare, rezolutia libera graduata minimala a lui A(G) este:

0 −→ B(−6) −→ B(−3)2 ⊕ B(−4)3 −→ B(−2)3 ⊕ B(−3)2 −→ B −→ A(G) −→ 0.

Deci proj dim(A(G)) = 3 si reg(A(G)) = 3.

In final, calculam functia si seria Hilbert ale algebrei acoperirilor cu varfuri A(G).CoCoA

Hilbert(B/QG);H(t)=1/90tˆ6+2/15tˆ5+25/36tˆ4+2tˆ3+ 593/180tˆ2+43/15t+1for t>=0;- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -Poincare(B/QG);(1+3x[1]+3x[1]ˆ2+x[1]ˆ3)/(1-x[1])ˆ7- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Prin urmare, functia Hilbert a lui A(G) este:

H(A(G), l) =1

90l6 +

2

15l5 +

25

36l4 + 2l3 +

593

180l2 +

43

15l + 1, pentru orice l ≥ 0,

iar seria Hilbert a lui A(G) este:

HA(G)(z) =1 + 3z + 3z2 + z3

(1− z)7.

Corolarul 51 ([13]). Fie G un graf bipartit Cohen-Macaulay pe multimea Vn =W ∪ W ′, n ≥ 1, care provine din posetul Pn = {p1, p2, ..., pn} cu proprietatea capi ≤ pj implica i ≤ j. Atunci baza Grobner redusa a idealului toric QG al algebrei

acoperirilor cu varfuri A(G) ın raport cu ordonarea monomiala <�lex este:

15

Page 23: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

16

G<�lex(QG) = {xjuα − yjuα∪{pj} | j ∈ [n], α ∈ J (Pn), pj �∈ α, α ∪ {pj} ∈ J (Pn)}

∪ {uαuβ − uα∪βuα∩β | α, β ∈ J (Pn), α �⊂ β, β �⊂ α},unde monomul initial al fiecarui binom al lui G<�

lex(QG) este primul monom.

Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪W ′, n ≥ 1, fara varfuriizolate si fie A(G) algebra acoperirilor de baza ale grafului G. Fie LG laticea asociatalui G. Consideram inelul de polinoame SG = k

[{uα}α∈LG

]peste un corp k.

Definitia 52. Idealul toric QG al algebrei acoperirilor de baza A(G) este nucleulmorfismului surjectiv de inele π : SG → A(G) definit prin π(uα) = mα, α ∈ LG.

Aplicand Teorema 49 si Teorema de eliminare calculam baza Grobner redusaa idealului toric al algebrei acoperirilor de baza ale unui graf biaprtit nemixtat ınraport cu o anumita ordonare monomiala.

Corolarul 53 ([14]). Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪W ′,n ≥ 1, fara varfuri izolate. Atunci baza Grobner redusa a idealului toric QG alalgebrei acoperirilor de baza A(G) ın raport cu ordonarea monomiala <� este:

G<�(QG) = {uαuβ − uα∪βuα∩β | α, β ∈ LG, α �⊂ β, β �⊂ α},unde monomul initial al fiecarui binom al lui G<�(QG) este primul monom.

Cap. 3 Functia si seria Hilbert ale algebrelor acoperirilor cu varfuri alegrafurilor bipartite nemixtate

Ultimul capitol al tezei contine rezultatele originale cu privire la functia si seriaHilbert ale algebrei acoperirilor cu varfuri ale unui graf bipartit nemixtat, respectiv,Cohen-Macaulay, rezultate care sunt prezentate ın articolele noastre [19] si [20].Mai precis,

• studiem functia Hilbert a algebrei acoperirilor cu varfuri pentru cazul unuigraf bipartit nemixtat fara varfuri izolate si aratam ca aceasta are o anumitaproprietate de monotonie;

• obtinem o formula pentru seria Hilbert a lui A(G), unde G este un grafbipartit nemixtat fara varfuri izolate, care ne permite sa reducem calcululla deteminarea seriei Hilbert a algebrei acoperirilor de baza ale subgrafurilorsale bipartite nemixtate;

• dam o interpretare combinatoriala a componentelor h-vectorului algebreiacoperirilor cu varfuri ale unui graf bipartit Cohen-Macaulay ın termeniiposetului asociat grafului, si, bazandu-ne pe aceasta, demonstram ca ınacest caz h-vectorul algebrei este unimodal;

• calculam margini exacte pentru multiplicitatea algebrei acoperirilor cu varfuriale unui graf bipartit Cohen-Macaulay, respectiv, nemixtat.

Fie R = k [x1, . . . , xn, y1, . . . , yn] inelul de polinoame peste un corp k si fie G ungraf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪ W ′, n ≥ 1, fara varfuri izolate. Sestie ca ([15]) algebra A (G) este standard graduata peste R si este algebra Rees a

Page 24: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

idealului acoperirilor cu varfuri IG generat de toate monoamele xc11 ...x

cnn y

cn+1

1 ...yc2nn

cu proprietatea ca c = (c1, ..., c2n) este o 1-acoperire cu varfuri a lui G. Deci

A(G) = R ⊕ IGt⊕ . . .⊕ IqGtq ⊕ ....

Fie {m1, m2, ..., mr} sistemul minimal de generatori ai lui IG. Privim pe A(G)ca o k-algebra standard graduata, atribuind fiecarei variabile xi si yj, 1 ≤ i, j ≤ n,si fiecarui monom mpt, 1 ≤ p ≤ r, gradul 1. Deoarece fiecare monom mp corespundeunei acoperiri minimale cu varfuri a lui G de cardinal n, functia Hilbert a lui A(G)are expresia:

H(A(G), l) =

l∑q=0

dimk(IqG)qn+(l−q), pentru orice l ≥ 0.

Functia Hilbert si, ın consecinta, seria Hilbert ale lui A(G) sunt invariante ınraport cu o anumita clasa de izomorfisme de grafuri.

Observatia 54. Fie σ o permutare a lui [n] si fie σG graful bipartit pe multimeaVn = W ∪W ′, n ≥ 1, cu multimea muchiilor:

E(σG) ={{xσ(i), yσ(j)

} | {xi, yj} ∈ E(G)}.Izomorfismul de grafuri h : V (G) → V (G′) definit prin h (xi) = xσ(i), h (yj) =

yσ(j), i, j ∈ [n], induce un k-automorfism ζ al lui R cu proprietatea ca ζ(IG) = IσG.Prin urmare, A(G) si A(σG) au aceeasi functie Hilbert si, ın consecinta, aceeasi serieHilbert.

Rezultatul urmator pune ın evidenta o anumita proprietate de monotonie afuntiei Hilbert a lui A(G).

Propozitia 55. Fie G, G′ si G′′ grafuri bipartite nemixtate pe multimea Vn =W ∪ W ′, n ≥ 1, fara varfuri izolate cu proprietatea ca E(G′′) ⊂ E(G) ⊂ E(G′).Atunci

H(A(G′), l) ≤ H(A(G), l) ≤ H(A(G′′), l), pentru orice l ≥ 0.

O proprietate de monotonie a multiplicitatii algebrei acoperirilor cu varfuri aleunui graf bipartit nemixtat rezulta imediat.

Corolarul 56. Fie G, G′ si G′′ grafuri bipartite nemixtate pe multimea Vn =W ∪ W ′, n ≥ 1, fara varfuri izolate cu proprietatea ca E(G′′) ⊂ E(G) ⊂ E(G′).Atunci

e(A(G′)) ≤ e(A(G)) ≤ e(A(G′′)).

Se observa ca ın clasa grafurilor bipartite nemixtate pe multimea Vn = W ∪W ′,n ≥ 1, fara varfuri izolate graful bipartit complet Kn,n are cel mai mare numar demuchii, iar graful bipartit care provine dintr-un antilant are cel mai mic numar demuchii.

Corolarul 57. Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W∪W ′, n ≥ 1,fara varfuri izolate. Atunci au loc urmatoarele inegalitati:

H(A(Kn,n), l) ≤ H(A(G), l) ≤ H(A(G′′), l), pentru orice l ≥ 0,

17

Page 25: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

18

unde Kn,n este graful bipartit complet pe multimea Vn = W ∪W ′, iar G′′ este grafulbipartit pe multimea Vn = W ∪W ′ care provine dintr-un antilant cu n elemente.

Un rezultat similar se obtine ın cazul grafurilor bipartite Cohen-Macaulay.

Corolarul 58. Fie G un graf bipartit Cohen-Macaulay pe multimea Vn = W ∪W ′, n ≥ 1. Atunci au loc urmatoarele inegalitati:

H(A(G′), l) ≤ H(A(G), l) ≤ H(A(G′′), l), pentru orice l ≥ 0,

unde G′, respectiv G′′, sunt grafuri bipartite pe multimea Vn = W ∪W ′ care provindintr-un lant, respectiv un antilant, cu n elemente.

In cea de-a doua sectiune a acestui capitol studiem seria Hilbert a algebreiacoperirilor cu varfuri A (G) asociata unui graf bipartit nemixtat G fara varfuriizolate. Putem presupune, fara a restrange cadrul general al problemei, ca G ad-mite o bipartitie a multimii varfurilor Vn = W ∪ W ′, n ≥ 1, care ındeplinesteconditiile (a) si (b) din Teorema 22.

Fie LG laticea asociata grafului G. Consideram complexul simplicial Δ (LG) pemultimea LG ale carui fete sunt lanturile laticei LG. Acest complex simplicial senumeste complexul relatiei de ordine a lui LG.

Propozitia 59. k-algebra A(G) si complexul simplicial Δ(LG) au acelasi h-vector.

Tinand cont de rezultatul anterior si de Propozitia 43 putem reduce studiul h-vectorului algebrei acoperirilor de baza A(G) la cazul ın care G este un graf bipartitCohen-Macaulay.

Propozitia 60. Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪ W ′,n ≥ 1, fara varfuri izolate. Atunci exista un subgraf bipartit Cohen-Macaulay G′ allui G, unic pana la un izomorfism de grafuri, astfel ıncat algebrele acoperirilor debaza A(G) si A(G′) au acelasi h-vector.

Observatia 61. Fie G = G(Pn) un graf bipartit Cohen-Macaulay pe multimeaVn = W ∪ W ′, n ≥ 1, unde Pn = {p1, p2, ..., pn} este un poset cu proprietatea capi ≤ pj implica i ≤ j. Atunci laticea LG = J (Pn) este o sublatice plina a laticeibooleene Ln pe multimea {p1, ..., pn}, prin urmare complexul simplicial Δ (LG) aredimensiunea egala cu n. Fie (h0, h1, ..., hn+1) h-vectorul lui A (G). k-algebra A (G)este izomorfa cu inelul Hibi SG/QG asociat laticei distributive LG = J (Pn), deci hi

este egal cu numarul extensiilor liniare ale lui Pn care, privite ca permutari ale lui[n], au exact i descresteri ([26]). In particular,

hi ≥ 0, pentru orice 0 ≤ i ≤ n− 1, h0 = 1 si hn = hn+1 = 0.

De exemplu, daca P ′′n = {p′′1, p′′2, ..., p′′n} este un antilant, atunci orice permutare

a lui [n] poate fi privita ca o extensie liniara a lui P ′′n , deci hi este egal cu numarul

tuturor permutarilor lui [n] care au exact i descresteri, ceea ce reprezinta numaruleulerian A(n, i).

Page 26: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

Pentru o submultime ∅ �= F ⊂ [n] notam cu GF subgraful lui G indus desubmultimea de varfuri {xi|i ∈ F} ∪ {yi|i ∈ F} a lui Vn. Rezultatul principalal acestui capitol afirma ca se poate exprima seria Hilbert a algebrei acoperirilorcu varfuri asociata lui G ın functie de seriile Hilbert ale algebrelor acoperirilor debaza A(GF ) asociate tuturor subgrafurilor GF ale lui G. Daca F = ∅, atunci, princonventie, HA(GF ) =

11−z

.

Teorema 62. Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪W ′, n ≥ 1,fara varfuri izolate. Pentru orice submultime F ⊂ [n] fie rF = rang(LGF

), fieHA(GF )(z) seria Hilbert a lui A(GF ) si fie HA(G)(z) seria Hilbert a lui A(G). Atunci:

HA(G)(z) =1

(1− z)n

∑F⊂[n]

HA(GF )(z)

(z

1− z

)n−|F |.

In particular, daca h(z) =∑j≥0

hjzj, respectiv hF (z) =

∑j≥0

hFj z

j, unde h = (hj)j≥0,

respectiv hF = (hFj )j≥0, sunt h-vectorii lui A(G), respectiv A(GF ), atunci:

h(z) =∑F⊂[n]

hF (z)(1− z)|F |−rF zn−|F |.

Corolarul 63. Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W∪W ′, n ≥ 1,fara varfuri izolate. Atunci

e(A(G)) =∑F⊂[n]

GF Cohen-Macaulay

e(A(GF )),

unde, prin conventie, G∅ este considerat un subgraf Cohen-Macaulay al lui G.In particular, daca G este un graf bipartit Cohen-Macaulay pe multimea Vn =

W ∪W ′, n ≥ 1, atunci

e(A(G)) =∑F⊂[n]

e(A(GF )).

In continuare dam o interpretare combinatoriala a componentelor h-vectoruluialgebrei acoperirilor cu varfuri asociate unui graf bipartit Cohen-Macaulay.

Corolarul 64. Fie G un graf bipartit Cohen-Macaulay pe multimea Vn = W ∪W ′, n ≥ 1, care provine dintr-un poset Pn = {p1, p2, ..., pn} cu proprietatea capi ≤ pj implica i ≤ j. Pentru orice 0 ≤ j ≤ n − 1 componenta hj a h-vectoruluilui A(G) este egala cu numarul tuturor extensiilor liniare ale tuturor subposeturilorcu n− l elemente ale lui Pn care, privite ca permutari ale lui [n− l], au exact j − ldescresteri, pentru orice 0 ≤ l ≤ j.

O consecinta importanta cu privire la h-vectorul algebrei acoperirilor cu varfuriasociate unui graf bipartit Cohen-Macaulay rezulta imediat.

Corolarul 65. Fie G un graf bipartit Cohen-Macaulay pe multimea Vn = W ∪W ′, n ≥ 1, care provine dintr-un poset Pn = {p1, p2, ..., pn} cu proprietatea capi ≤ pj implica i ≤ j. Atunci h-vectorul lui A(G) este unimodal.

19

Page 27: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

20

In ultima sectiune a capitolului deducem margini exacte pentru multiplicitateae(A(G)) a algebrei acoperirilor cu varfuri A(G) ın cazul ın care G este un grafbipartit Cohen-Macaulay, respectiv, un graf bipartit nemixtat.

Daca 0 ≤ p < q, atunci A(q, p) reprezinta numarul eulerian. Prin conventiestabilim ca A(0, 0) = 1 si A(q, q) = 0, pentru orice q ≥ 1.

Calculam seriile Hilbert ale algebrelor acoperirilor cu varfuri asociate grafurilorbipartite care provin din lanturi si antilanturi.

Propozitia 66. Fie G′, respectiv G′′, grafuri bipartite pe multimea Vn = W∪W ′,n ≥ 1, care provin dintr-un lant, respectiv un antilant, cu n elemente. Atunci:

(i) HA(G′)(z) =(1+z)n

(1−z)2n+1 . In particular, e(A(G′)) = 2n.

(ii) HA(G′′)(z) =

n∑

j=0

j∑

l=0(nl)A(n−l,j−l)zj

(1−z)2n+1 . In particular, e(A(G′′)) = n! ·n∑

l=0

1l!.

Observatia 67. Baza Grobner redusa G ′<�

lex

(QG′) a idealului toric QG′ al lui

A(G′), unde G′ este graful bipartit care provine din lantul P ′n = {p′1, p′2, ..., p′n} cu

proprietatea ca p′1 ≤ p′2 ≤ ... ≤ p′n, ın raport cu ordonarea monomiala <�lex pe inelul

BG′ este:

G ′<�

lex

(QG′) = {xju{p′1,...,p′j−1} − yju{p′1,...,p′j}|j ∈ [n]},unde monomul initial al fiecarui binom al lui G ′

<�lex

(QG′) este primul monom.

Se observa ca idealul initial in<�lex( QG′) este intersectie completa, prin urmare

si idealul toric QG′ este intersectie completa. Atunci algebra acoperirilor cu varfuriA(G′) are o rezolutie pura data de urmatorul complex Koszul:

0 −→ BG′(−2n)(nn) −→ ..... −→ BG′(−2)(

n1) −→ BG′(

n0) −→ A(G′) −→ 0.

Propozitia 68. Fie G un graf bipartit Cohen-Macaulay pe multimea Vn = W ∪W ′, n ≥ 1. Daca h = (h0, h1, ..., hn) este h-vectorul lui A(G), atunci

(ni

) ≤ hi ≤ h′′i ,

pentru orice 0 ≤ i ≤ n, unde G′′ este un graf bipartit ce provine dintr-un antilantcu n elemente, iar h′′ = (h′′

0, h′′1, ..., h

′′n) este h-vectorul lui A(G′′).

Corolarul 69. Fie G un graf bipartit care provine dintr-un poset cu n elemente,n ≥ 1. Atunci

2n ≤ e(A(G)) ≤ n!

n∑l=0

1

l!.

Inegalitatea din stanga devine egalitate daca si numai daca posetul este un lant, iarinegalitatea din dreapta devine egalitate daca si numai daca posetul este un antilant.

Calculam seria Hilbert a algebrei acoperirilor cu varfuri ale unui graf bipartitcomplet Kn,n.

Propozitia 70. Pentru orice n ≥ 1, HA(Kn,n) = 1+z+...+zn

(1−z)2n+1 . In particular,

e(A(Kn,n)) = n+ 1.

Page 28: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

Corolarul 71. Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W∪W ′, n ≥ 1,fara varfuri izolate. Atunci

n+ 1 ≤ e(A(G)) ≤ n!n∑

l=0

1

l!.

Inegalitatea din stanga devine egalitate daca si numai daca G = Kn,n, iar inegalitateadin dreapta devine egalitate daca si numai daca G provine dintr-un antilant cu nelemente.

Observatia 72. In general un graf bipartit nemixtat nu este unic determinat,pana la un izomorfism de grafuri, de h-vectorul algebrei acoperirilor cu varfuri alegrafului.

Fie G3 graful bipartit pe multimea V3 = {x1, x2, x3} ∪ {y1, y2, y3} cu muchiile:{x1, y1}, {x2, y2}, {x2, y3}, {x3, y2}, {x3, y3} si fie G′

3 graful bipartit pe multimeaV3 = {x1, x2, x3}∪{y1, y2, y3} care provine din lantul P ′

3 = {p′1, p′2, p′3} cu proprietateaca p′1 ≤ p′2 ≤ p′3. G3 si G′

3 sunt nemixtate si nu sunt izomorfe, iar prin calcul se

obtine HA(G3)(z) = HA(G′3)(z) = 1+3z+3z2+z3

(1−z)7.

Totusi grafurile bipartite complete nemixtate si grafurile bipartite care provindin lanturi si antilanturi au aceasta proprietate.

Propozitia 73. Fie G un graf bipartit nemixtat pe multimea Vn = W ∪W ′, n ≥1, fara varfuri izolate. Atunci G = Kn,n daca si numai daca HA(G)(z) =

1+z+...+zn

(1−z)2n+1 .

Propozitia 74. Fie G un graf bipartit Cohen-Macaulay pe multimea Vn = W ∪W ′, n ≥ 1. Atunci:

(i) G provine dintr-un lant daca si numai daca HA(G)(z) =(1+z)n

(1−z)2n+1 ;

(ii) G provine dintr-un antilant daca si numai daca HA(G)(z) =h′′0+h′′

1z+...+h′′nz

n

(1−z)2n+1 ,

unde h′′ = (h′′0, h

′′1, . . . , h

′′n) este h-vectorul algebrei A(G′′) a acoperirilor cu

varfuri ale grafului bipartit G′′ care provine din antilantul P ′′n = {p′′1, . . . , p′′n}.

21

Page 29: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de
Page 30: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

[1] M. Auslander, D.A. Buchsbaum, Homological dimension in local rings, Trans. Amer. Math.Soc., 85(1957), 390–405.

[2] B. Benedetti, A. Constantinescu, M. Varbaro, Dimension, depth and zero-divisors of the al-gebra of basic k-covers of a graph, Le Matematiche 63(2)(2008), 117–156.

[3] C. Bertone, V. Micale, On the dimension of the minimal vertex cover semigroup ring of anunmixed bipartite graph, Le Matematiche 63(2)(2008), 157–163.

[4] W. Bruns, J. Herzog, Cohen–Macaulay Rings, Rev. Ed., Cambridge University Press, Cam-bridge, 1998.

[5] CoCoATeam, CoCoA: a system for doing Computations in Commutative Algebra, Availableat http://cocoa.dima.unige.it .

[6] I.S. Cohen, On the structure and ideal theory of complete local rings, Trans. Amer. Math. Soc.,59(1946), 54–106.

[7] M. Crupi, G. Rinaldo, N. Terai, Cohen-Macaulay edge ideal whose height is half of the numberof vertices, Preprint, 2009.

[8] D. Eisenbud, Commutative Algebra with a view toward Algebraic Geometry, Springer-Verlag,New York, 1995.

[9] S. Faridi, The facet ideal of a simplicial complex, Manuscripta Math. 109(2002), no. 2, 159–174.

[10] R. Froberg, Koszul algebras, in Advances in Commutative Ring Theory (D. E. Dobbs, M.Fontana, S.-E. Kabbaj, Eds.), Lecture Notes in Pure and Appl. Math., Volume 205, Dekker,New York, NY, 1999, pp. 337–350.

[11] I. Gitler, E. Reyes, R. H. Villarreal, Blowup algebras of ideals of vertex covers of bipartitegraphs, Contemp. Math. 376(2005), 273–279.

[12] G.-M. Greuel, G. Pfister and H. Schonemann, Singular 3.1.1 A Computer Algebra Systemfor Polynomial Computations. Centre for Computer Algebra, University of Kaiserslautern,(2010), http://www.singular.uni-kl.de.

[13] J. Herzog, T. Hibi, Distributive Lattices, Bipartite Graphs and Alexander Duality, J. AlgebraicCombin. 22(2005), 289–302.

[14] J. Herzog, T. Hibi, H. Ohsugi, Unmixed bipartite graphs and sublattices of the Boolean lattices,J. Algebraic Combin., 30(2009), 415–420.

[15] J. Herzog, T. Hibi, N. V. Trung, Symbolic powers of monomial ideals and vertex cover algebras,Adv. Math., 210(1) (2007), 304–322.

[16] J. Herzog, T. Hibi, N. V. Trung, Vertex cover algebras of unimodular hypergraphs, Proc. Amer.Math. Soc. 37(2009), 409–414.

23

Bibliografie

Page 31: D:/Doctorat/Teza 7 12 iulie/Rezumat - Universitatea Ovidiusmath.univ-ovidius.ro/doc/evenimente/20100916/rezumat_caion.pdf · universitatea ”ovidius” constant¸a facultatea de

[17] T. Hibi, Distributive lattices, affine semigroup rings and algebras with straightening laws, inCommutative Algebra and Combinatorics (M. Nagata and H. Matsumura, Eds.), AdvancedStudies in Pure Math. Vol. 11, North-Holland, Amsterdam, 1987, pp. 93–109.

[18] M. Hochster, Cohen–Macaulay rings, combinatorics and simplicial complexes, in B.R. Mc-Donald and R.A. Morris (eds.) Ring theory II, Lect. Notes in Pure and Applied Maths. 26,Marcel Dekker Inc., New York, 1977, pp. 171–223.

[19] C. Ion, On the Hilbert series of vertex cover algebras of Cohen-Macaulay bipartite graphs,acceptat spre publicare ın Le Matematiche 65(1)(2010).

[20] C. Ion, On the Hilbert series of vertex cover algebras of unmixed bipartite graphs, acceptatspre publicare ın Math. Rep. 13(63)(2011).

[21] F.S. Macaulay, Some properties of enumeration in the theory of modular systems, Proc. LondonMath. Soc. 26(1927), 531–555.

[22] J.H. Poincare, Analysis situs, J. d’Ecole Polytechnique, 2e ser, Cahier 1, 1895, pp. 1–121.[23] G. Ravindra, Well-covered graphs, J. Combinatorics Information Syst. Sci. 21(1997), 20-21.[24] D. Rees, A theorem of homological algebra, Proc. Camb. Philos. Soc., 52(1956), 605–610.[25] G.A. Reisner, Cohen–Macaulay quotients of polynomial rings, Adv. in Math., 21(1976), 30–49.[26] V. Reiner, V. Welker, On the Charney-Davis and Neggers-Stanley conjectures, J. Combin.

Theory Ser. A 109(2005), 247–280.[27] G. Rinaldo, Koszulness of vertex cover algebras of bipartite graphs, acceptat spre publicare ın

Comm. Alg..[28] R.P. Stanley, Hilbert functions of graded algebras, Adv. in Math. 28(1978), 57–83.[29] R.P. Stanley, Positivity Problems and Conjectures in Algebraic Combinatorics, in Mathemat-

ics: Frontiers and Perspectives (V. Arnold, M. Atiyah, P. Lax and B. Mazur, Eds.), AMS,Providence, RI, 2000, 295–319.

[30] R. P. Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume I, Wadsworth & Brooks/Cole, Monterey,CA, 1986.

[31] R.P. Stanley, The Upper Bound Conjecture and Cohen–Macaulay rings, Studies in AppliedMath. 54(1975), 135–142.

[32] B. Sturmfels, Grobner Bases and Convex Polytopes, Amer. Math. Soc, Providence, RI, 1995.[33] W.V. Vasconcelos, Integral Closure: Rees Algebras, Multiplicities, Algorithms, Springer-

Verlag, New York, 2005.[34] R.H. Villarreal, Cohen–Macaulay graphs, Manuscripta Math. 66(1990), 277–293.[35] R.H. Villarreal, Monomial algebras, Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathe-

matics, 238. Marcel Dekker Inc., New York, 2001.[36] R.H. Villarreal, Unmixed bipartite graphs, Rev. Colombiana Mat. 41(2007), 393–395.