Estela Navarro Robles / Carolina Andujo Rolón

Matemáticas 2

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Praxis es una serie diseñada por el Departamento de Proyectos Educativos de Ediciones Castillo.

Autores: D.R. © 2017 Estela Navarro Robles y Carolina Andujo Rolón

Dirección editorial: Tania Carreño KingGerente de Bachillerato: Víctor Hugo Lara GranadosGerente de Arte y diseño: Cynthia Valdespino Sierra

Edición: Macbeth Baruch Rangel OrduñaAsistencia editorial: Alonso González NúñezRevisión técnica pedagógica: Luz Arely Carrillo OliveraCorrección de estilo: Moisés Alfredo Estrada García

Coordinación diseño: Rafael Tapia YañezCoordinación iconográfica: Teresa Leyva NavaCoordinación operaciones: Gabriela Rodríguez CruzArte y diseño: Gustavo HernándezDiagramación: Juliana PorrasIconografía: Carolina Fabiola Fernández MendozaPortada: ShutterstockIlustraciones: Víctor Duarte AlanizFotografía: Shutterstock, Cuartoscuro, iStock

Producción: Carlos Olvera

Primera edición: octubre 2017Matemáticas 2. Praxis

D.R. © 2017 Ediciones Castillo, S.A. de C.V.Castillo ® es una marca registradaEdiciones Castillo forma parte de Macmillan Education

Insurgentes Sur, 1886. Colonia FloridaDelegación Álvaro Obregón. C.P. 01030México, D.F. Teléfono: (55) 5128-1350Lada sin costo: 01 800 536-17777www.edicionescastillo.com

ISBN: En trámite

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro núm. 3304

Prohibida la reproducción o transmisión parcial o total de esta obra por cualquier medio o método o en cualquier forma electrónica o mecánica, incluso fotocopia o sistema para recuperar información, sin permiso escrito del editor.

Impreso en México/Printed in México

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Presentación 5

Guía de uso 6

Competencias genéricas del egresado

de la Educación Media Superior 8

Competencias disciplinares básicas

del campo de las Matemáticas 8

Angulos y triángulos 9Ángulos 10Sistemas de medición 12Clasificación 17Rectas cortadas por una transversal 21Triángulos 23Clasificación y propiedades 23Rectas y puntos notables 26Semejanza y congruencia 27Teorema de Tales 30Teorema de Pitágoras 33

Propiedades de los polígonos 35Polígonos 35Elementos y clasificación 36Ángulo central, interior y exterior 39Suma de ángulos interiores y exteriores 42Diagonales 45Perímetros y áreas 48Poliedros 51Elementos y clasificación 51Volúmenes 54

Elementos de la circunferencia 57Círculo y circunferencia 57Segmentos y rectas de la circunferencia 60Ángulos en la circunferencia 63Perímetro de la circunferencia 66Área del círculo 68Secciones de un círculo 70Área de regiones sombreadas 73

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Índice

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Razones trigonométricas 77Razones trigonométricas de ángulos agudos 78Valores de las razones trigonométricas para ángulos 82Solución de triángulos rectángulos 86

Funciones trigonométricas 91Funciones trigonométricas en el plano cartesiano 92Signos de las funciones trigonométricas en los cuadrantes 92Gráficas 94Círculo unitario 96Identidades trigonométricas 98Recíprocas 98Pitagóricas 100Ángulo doble 102

Triángulos oblicuángulos 105Ley de senos 106Ley de cosenos 110Solución de triángulos oblicuángulos 114

Fuentes de consulta 121

4

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El presente material es una muestra del libro del alumno, en el cual

hemos seleccionado algunas de las partes que lo integran, con el fi n

de darle a conocer la propuesta editorial y la estructura didáctica del

libro de Matemáticas 2 de la serie Praxis.

Praxis es una propuesta novedosa y atractiva en un formato reversible,

fue concebida como textos preuniversitarios y de obra de consulta que se

ajustan a las diferentes necesidades de la enseñanza y del aprendizaje del

bachillerato. Las dos partes que lo conforman, teórico y cuaderno de tra-

bajo, tienen funciones específi cas.

En el apartado teórico se encuentra el desarrollo conceptual y procedi-

mental de la información, es decir, la exposición de los contenidos temáticos

de la asignatura; los cuales son tratados con rigor científi co, técnico y huma-

nístico. Los contenidos se abordan con profundidad y con un lenguaje claro,

accesible y directo, con la fi nalidad de que la información sea comprensible

y versátil. La estructura y la forma de aproximarse a los temas están dise-

ñadas para que los estudiantes desarrollen sus capacidades crítica, analítica

y refl exiva, y construyan cabalmente los conocimientos que compromete

la asignatura. También se brinda información adicional y actualizada den-

tro de las secciones complementarias, ubicadas al pie de algunas páginas.

Asimismo, este apartado cuenta con indicadores que sugieren el momento

de dar la vuelta al libro y abordar los contenidos de manera práctica.

En el cuaderno de trabajo se encuentran evaluaciones diagnósticas,

ejercicios, actividades, problemas, actividades de applicación, actividades

para el desarrollo de habilidades socioemocionales (hse), actividades de

integración y evaluaciones fi nales. Este apartado tiene la función de im-

pulsar el desarrollo de las habilidades de pensamiento y las capacidades

para la vida de los estudiantes, ya que esta propuesta les permite trabajar

de manera autónoma o en compañía del profesor.

Tenemos presente el hecho de que el conocimiento y el desarrollo de

las habilidades no son aspectos aislados, el propósito de esta obra es que los

alumnos participen en todo momento en su propia experiencia de aprendi-

zaje, se sientan motivados al estudiar la asignatura y tengan la disposición

de aprender.

Presentación

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Apartado teórico Entrada de bloqueAdemás del título del bloque, encontrarás una imagen que representa los contenidos temáticos.

IntroducciónResumen que integra las ideas

principales del bloque; en él encontrarás conceptos o palabras

clave que se abordan en el desarrollo de los contenidos.

Indicadores de práctica Recomendaciones de evaluaciones, ejercicios, actividades, actividades HSE y actividades de integración que podrás realizar en el cuaderno de trabajo.

DestacadosIdeas o frases importantes destacadas entre corchetes, las cuales tienen la función de sintetizar la información.

Averigua másSugerencias para consultar documentos, revistas, películas, pinturas y música con temas que complementan los contenidos.

Desarrollo de contenidos Con información actualizada y un manejo sistemático y riguroso se desarrollan los contenidos temáticos con alto grado de profundidad y exhaustividad.

TICSugerencias que promueven

el desarrollo y el uso de habilidades digitales.

Información importante

Información adicional, anécdotas, datos

numéricos, estadísticas, conclusiones, datos curiosos

y novedades de la ciencia.

Guía de uso

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Cuaderno de trabajo

ApplicaciónActividades que promueven

el uso de recursos y herramientas tecnológicas para el aprendizaje, como:

videos, aplicaciones, lenguajes de programación, software,

simuladores, entre otros, que te permiten generar una

experiencia de aprendizaje, un producto o una evidencia

que podrás socializar con la comunidad escolar.

Actividad de integración

Al terminar cada bloque encontrarás una actividad

que pone en práctica los conocimientos y las habilidades

que adquiriste a lo largo del bloque, con el fin de que

elabores un producto final, el cual podrás evaluar con

una lista de verificación.

Evaluación finalEjercicios, problemas o situaciones que evalúan los conocimientos y las habilidades que has adquirido a lo largo del bloque..

Evaluación diagnóstica

Ejercicios, actividades o situaciones que te permiten

recuperar los conocimientos y las habilidades que ya dominas

e identificar aquellos en los que tienes que trabajar.

EjercicioTe permite reafirmar o consolidar conocimientos, procedimientos o habilidades que luego podrás utilizar en un contexto más amplio.

Actividad HSEActividad que promueve el desarrollo de habilidades socioemocionales a través de situaciones, casos, dilemas morales o problemas relacionados con los contenidos y con aspectos intrapersonales e interpersonales.

Actividad Estrategia didáctica contextualizada que te permite generar una experiencia de aprendizaje (dominio de una habilidad, procedimiento concreto, comprensión de conceptos o estrategia de solución).

ProblemasSituaciones reales o ficticias

que requieren movilizar tus conocimientos y habilidades

adquiridas para su resolución.

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A continuación se enlistan las competencias genéricas que se trabajan en

el libro de Matemáticas 2 .

Matemáticas 2

Competencias genéricas B1 B2 B3 B4 B5 B6

1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos teniendo en cuenta los objetivos que persigue.

X

2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación de sus expresiones en distintos géneros.

X

4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos contextos mediante la utilización de medios, códigos y herramientas apropiados.

X X X X X X

5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a partir de métodos establecidos.

X X X

6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera crítica y reflexiva.

X X

7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida. X X

8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos. X X X X

A continuación se mencionan las competencias disciplinares básicas del

campo de las Matemáticas que se trabajan en el libro de Matemáticas 2.

Matemáticas 2

Competencias disciplinares básicas B1 B2 B3 B41. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

X X X

2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. X X X

3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.

X X X

4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las TIC.

X X

5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

X

6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

X X X X X X

8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

X

Competencias genéricas del egresado de la Educación Media Superior

Competencias disciplinares básicas del campo de las Matemáticas

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Detalle del techo del edificio Esplanada- Teatros en la Bahía, en Singapur.Fue especialmente diseñado paraser un centro de artes escénicas.

1Ángulos y triángulos

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IntroducciónEn esta unidad conocerás las propiedades de diferentes tipos de ángulos y triángulos, y asocia-

rás estos objetos geométricos con situaciones que te sean familiares. También analizarás las

relaciones entre los ángulos formados por intersecciones de rectas, así como las relaciones de

congruencia y semejanza de triángulos (fi gura 1.1). De este modo, podrás aplicar los conceptos

básicos de la geometría y las propiedades de los triángulos en la resolución de problemas, y

expresar tus razonamientos en forma clara y coherente.

Ángulos

Triángulos

Medición y

construcción

de ángulos

Clasifi cación

de ángulos

Rectas paralelas

cortadas por

una transversal

Clasifi cación

y propiedades

de los triángulos

Rectas y puntos

notables

del triángulo

Semejanza y

congruencia

Teorema

de Tales

Teorema

de Pitágoras

Fig. 1.1 Esquema de temas del bloque 1.

Evaluación diagnóstica,

p. 3

ÁngulosEn geometría es muy importante defi nir los objetos con los que se trabajará, por lo cual se

establecerán defi niciones de los objetos geométricos.

Defi niciones.

• Una línea recta es aquella que divide al plano en dos partes llamadas semiplanos. Las

rectas y los planos tienen una extensión infi nita.

• Una semirrecta o rayo es la porción de una línea recta que se localiza hacia uno de los

lados de un determinado punto fi jo, llamado origen, que está en la recta.

• Un segmento es un fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos, llamados

puntos extremos o fi nales. Un segmento tiene una extensión fi nita.

El punto, la recta y el plano son conceptos primitivos de la geometría, es

decir, son conceptos no defi nidos en un contexto determinado pero esto

no implica que su signifi cado sea impreciso. Por ejemplo, en la fi gura 1.2 se

muestran las representaciones gráfi cas de un punto, una recta y un plano

sin que haya confusión en cuanto a qué signifi ca cada uno.

Retomando las defi niciones anteriores, tenemos que una recta se deno-

ta con el nombre de dos de sus puntos, uno seguido del otro, y una doble

fl echa (↔) sobre ellos. AB denota la recta que pasa por los puntos A y B

(fi gura 1.3a, página 11). Una semirrecta se denota con el nombre del punto

origen y otro por el que pasa, uno seguido del otro, y una fl echa (→) sobre

ellos. AB denota la semirrecta cuyo origen es el punto A y pasa por el

punto B (fi gura 1.3b, página 11). Un segmento se denota con el nombre de

sus extremos, uno seguido del otro, y una raya (−) sobre ellos. AB denota el segmento entre

el punto A y el punto B (fi gura 1.3c, página 11).

Punto

Recta

Plano

Fig. 1.2 Representación gráficade un punto, una recta y un plano.

1Ángulos y triángulos

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Cada vez que dos rectas, semirrectas o segmentos se intersecan (cruzan), es decir, que tienen

un punto en común, se forma un ángulo, que definiremos a continuación:

AB

A B

AB

A B

AB

A B

Fig. 1.3a Recta AB. Fig. 1.3b Semirecta AB. Fig. 1.3c Segmento AB.

Definición. Un ángulo es la sección del plano comprendida entre

dos semirrectas, llamados lados del ángulo, que parten de un punto

común llamado vértice (figura 1.4).Lado

Lado

Ángulo

B

A CFig. 1.4 Ángulo y sus elementos.

Ejercicio 1, p. 4

Ejercicio 2, p. 4

Problema 1, p. 4

Ejercicio 3, p. 4

Observa que un ángulo es una porción del plano definida por una abertura entre dos

semirrectas. Así, puedes aplicar la definición de ángulo cuando en lugar de semirrectas se

trate de rectas o segmentos ya que siempre puedes superponer dos semirrectas, cuyo origen

sea el vértice, a los lados del ángulo formado que definan la misma abertura.

Para denotar un ángulo podemos hacerlo de manera gráfica o simbólica. Esto se muestra

en la tabla 1.1.

Tabla 1.1 Notación de ángulo

FormaUna letra romana mayúscula

(A, B, C, etcétera) situada en el

vértice.

Una letra griega minúscula

(α, β, γ, etcétera) dentro del

ángulo.

Tres letras romanas mayúsculas

(A, B, C, etcétera) con la letra

que representa al vértice

colocada entre las otras.

Notación gráfica

A

α

A

B

C

Notación simbólica A CAB

Lectura Ángulo cuyo vértice es el punto A. Ángulo α.Ángulo definido por los puntos

C, A y B.

En este libro usaremos letras romanas mayúsculas cursivas (A, B, C, etcétera) para denotar

puntos y así evitar confusión con las letras usadas al escribir. Por otro lado, cuando hablemos de

la medida de un ángulo usaremos el símbolo . Así, A , y CAB que denotan la medida

del ángulo cuyo vértice es A, la medida del ángulo α y la medida del ángulo definido por los

puntos C, A y B, respectivamente. También, cuando usemos una letra griega minúscula es-

cribiremos sólo α en lugar de , siempre y cuando no haya confusión o se diga lo contrario.

También usaremos α igualado al valor del ángulo en lugar de .

Podemos considerar que un ángulo se genera por dos semirectas cuando una permenece

fija y la otra gira alrededor de un punto fijo sobre la primera. El punto corresponde al vértice del

ángulo. Así, en el caso de CAB , la primera letra representa el punto donde comienza

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el giro; la segunda, el vértice, y la tercera, donde termina el giro. En no-

tación gráfi ca, esto se denota por una fl echa semicircular que señala la

dirección del giro.

Ejemplo. Observa la fi gura 1.5. En ésta se indican dos de los ángulos for-

mados por la intersección de dos rectas, AC y BD . ¿Qué otros se forman?

Usa notación para nombrarlos.

Solución. Tomando al punto O como el vértice, tenemos que se forman los

siguientes ángulos: α y β que están señalados y que también podían de-

notarse por DOA o AOD , y AOB o BOA . Los otros dos ángulos

que se forman son: BOC o COB , y COD o DOC .

Medición y construcción de ángulosLa magnitud de un ángulo no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura que

hay entre ellos, ya que es la sección del plano que se encuentra comprendida entre los lados.

Así, para medir un ángulo se compara su amplitud con la de otro al que se considera modelo

y sirve como unidad de medida.

Sistemas empleados en la medición de ángulosLos ángulos se suelen medir en grados, sin embargo, existen distintos sistemas de medición

para éstos (de manera análoga a los distintos sistemas para medir distancias: Sistema Inter-

nacional de Unidades: SI, o Sistema inglés de unidades). Los sistemas de medida que usaremos

en este libro son el sexagesimal y el circular, cuyas unidades son grados sexagesimales y

radianes, respectivamente.

Sistema sexagesimalEl sistema más común es el sexagesimal. Su unidad es el grado, que se

denota por por el símbolo ° (grado), y es igual a 1360

del ángulo de una

vuelta de circunferencia, que equivale a 1

90 de un ángulo recto. Un grado

se divide en 60 minutos y éste, a su vez, en 60 segundos, y se denotan con

los símbolos ´ y ´´ respectivamente. Así, tenemos que 1° = 60´ y 1´ = 60 ,̋ por

lo que 1° = 60´ = 3 600 .̋

En el sistema sexagesimal una vuelta completa a una circunferencia

equivale a 360° (360 grados), 34

de vuelta equivale a 270°, 12

vuelta equi-

vale a 180° y 14

de vuelta equivale a 90° (fi gura 1.6).

A

α

B

β

C

D

O

Fig. 1.5 Ángulos formados porla intersección de dos rectas.

Ejercicio 4,p. 5

Ejercicio 5,p. 5

Ejercicio 6,p. 5

90°180°

270° 360°

Fig. 1.6 Relación de vueltas y grados.

Los babilonios usaron un sistema de numeración posicional de base 60 y, entre otras cosas, dividieronla circunferencia en 360 grados. A este respecto hay varias teorías. Una de ellas supone que dividieronsu año en 12 meses de 30 días cada uno, de tal manera que contaban 360 días (12 × 30 = 360). Cuando trazaron el zodiaco, que es la franja imaginaria centrada en la eclíptica que rodea la esfera celeste, seccionaron en12 partes iguales, de manera que el Sol recorriera una cada mes, y dividieron cada una de estas partesen otras 30 iguales, de tal forma que el Sol recorrería una de esas partes en un día. De esta forma, el Sol recorrería la circunferencia completa en 360 días.

INFORMACIÓN IMPORTANTE

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Sistema circularLa unidad de medida utilizada en el sistema circular es el radián, que se denota por rad.

Vamos a defi nir qué es un radián.

Defi nición. Un radián (rad) es el ángulo cuyos lados sostienen un arco

con longitud igual al radio (r) de la circunferencia.

Fig. 1.7 BOA es igual a 1 rad.

Para entender mejor qué es un radián considera la fi gura 1.7 e imagina

que pones una cuerda sobre la circunferencia, entre A y B, y luego mides su

longitud. Lo que tendrás es que la longitud de la cuerda es igual a la medi-

da del radio r. Así, en la fi gura se muestra que BOA es igual a un radián.

En el sistema circular una vuelta completa a una circunferencia

equivale a 2 radianes, 34

de vuelta equivale a 32

, 12

vuelta equivale a

π radianes y 14

de vuelta equivale a 12

(fi gura 1.8).

Medición de un ánguloPara medir ángulos se utiliza un instrumento llamado transportador, que

usa como unidad de medida el grado, y puede ser circular o semicircular.

El primero está dividido en 360 y el segundo en 180 partes iguales. Así

cada parte corresponde a un grado. Ambos tienen marcados el centro y su

diámetro, que es la línea que une las medidas de 0° a 180°.Para medir ángulos menores a 180º se usa el transportador semicircu-

lar y se procede de la siguiente manera: se hace coincidir tanto el centro

del transportador con el vértice del ángulo como la marca de 0º con uno de

los lados del ángulo; el otro lado del ángulo señalará un valor en el trans-

portador, el cual será la medida del ángulo en grados. Para medir ángulos

mayores que 180º se emplea el transportador circular que se usa de la

misma manera que el semicircular. Si mides un ángulo usando un trans-

portador pequeño o uno grande, el valor del ángulo es el mismo ya que

estás midiendo la magnitud del giro, no la amplitud de la circunferencia.

Una medida de un ángulo en grados sexagesimales se puede expresar en grados, minutos

y segundos, por ejemplo: 30º 20´ 10´ ,́ que se lee “ángulo de 30 grados, 20 minutos y 10 segun-

dos”. Observa que se usan tres valores con sus unidades como una misma medida. Recuerda

que en casi cualquier medida, se utiliza una sola unidad, por ejemplo 3 m o 12 N (Newton).

Una excepción a esta regla es expresión de valores de tiempo y ángulos planos. Un ángulo ex-

presado en grados minutos y segundos se escribe sin espacio entre los valores y símbolos, por

ejemplo, 30º20´10´ .́ En este libro por claridad optaremos por poner espacios. Cuando mides

un ángulo, puedes expresar su medida en grados, minutos y segundos, pero esto depende de

la resolución del transportador o del dispositivos usado. En la mayoría de los transportadores

comunes podemos medir hasta grados.

La medida de un ángulono depende del tamaño del transportador usado para medir.

A

B

r r

rO

ππ2

32 π 2π

Fig. 1.8 Relación de vueltas y radianes.

Ejercicio 8,p. 6

Ejercicio 7,p. 5

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Ejemplo. Considera la fi gura 1.9. de la página 14. ¿Cuál es la medida del

ángulo indicado?

Solución. Para medir el ángulo usa un transportador.

1. Se hace coincidir el centro del transportador con el vértice del ángulo y

la marca de 0º con uno de los lados.

2. Se identifi ca la medida del ángulo, que señala el otro lado del ángulo,

en la parte superior del transportador. En este caso es de 130°.

Para saber más acerca de la conversión de un ángulo en su forma sexagesimal y viceversa, entra en http://edutics.mx/35r

TIC

A

B

C O

Fig. 1.9 Ángulo formado por dos segmentos.

Forma decimal y sexagesimal de un ánguloUna variante de la medición de los ángulos es expresar a las fracciones de grado en notación

decimal, es decir en décimos, centésimos y milésimos. Este tipo de notación se emplea en al-

gunas calculadoras y computadoras. Por ejemplo, la medida del ángulo 46.87° está expresado

en forma decimal, porque las fracciones de grado están expresadas en décimos; y la medida

del ángulo 23° 32´ 40˝ está expresado en sexagesimal, porque las fracciones de grado están

expresadas en minutos y segundos.

Algunas veces tendrás que convertir grados de su forma decimal a su forma sexagesimal

y viceversa. Para ello procede de las siguientes formas:

1. Para expresar grados de forma sexagesimal en decimal:

a) La cantidad de grados queda igual.

b) Los minutos se expresan en la parte decimal que les corresponde. Divide la cantidad

de minutos entre 60.

c) Los segundos se expresan en la parte decimal que les corresponde. Divide la cantidad

de segundos entre 3 600.

d) Al fi nal se suman las cantidades en decimales.

2. Para expresar grados de forma decimal en sexagesimal:

a) La parte entera corresponde a los grados.

b) La parte decimal se multiplica por 60. Los minutos corresponden a la parte entera

del resultado.

c) Si en el resultado del paso anterior queda una parte decimal se multiplica por 60 y

la parte entera del resultado corresponde a los segundos.

Ejemplos.

1. Expresa 30° 18´ 15´´ en su forma decimal.

2. Expresa 46.137° en su forma sexagesimal.

Soluciones.

1. Se conservan los 30° y se expresan los minutos y segundos en decimal. Para 18´ se tiene

que 1860

0.3 y para 15´´ se tiene que 153600

0.00416 . Se suman los resultados y se obtiene

que 30 18´ 15´´ 30.30416 .

2. La parte entera de 46.137° corresponde a los grados. La parte decimal se multiplica por

60, 0.137 × 60 = 8.22, y 8 corresponde a los minutos. Como queda una parte decimal, ésta

se multiplica por 60, 0.22 × 60 = 13.2, y 13 corresponde a los segundos. Por tanto 46.137° es equivalente a 46° 8´ 13´ .́

Ejercicio 9,p. 6

Problema 2,p. 6

Ejercicio 10,p. 7

Ángulos y triángulos

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En los dos ejemplos anteriores los resultados son aproximados, pues la expansión decimal

no es fi nita. En el primer ejemplo, la expansión decimal de 153600

0.00416 es infi nita y pe-

riódica; y en el segundo, al hacer la última multiplicación no se obtiene un resultado entero,

así que se aproxima con 13´ .́

Trazo de un ánguloCuando conoces la medida en grados de un ángulo puedes trazarlo con regla y transportador

de la siguiente manera:

1. Marca un punto que será el vértice y con ayuda de la regla traza un

segmento de recta que pase por él. Ese segmento corresponderá a un

lado del ángulo.

2. Haz coincidir el centro del transportador con el vértice y alínealo con

el grado cero. Cuenta en el transportador los grados del ángulo que vas

a construir y marca un punto P en el valor del ángulo.

3. Con la regla traza un segmento que una el vértice del ángulo con el

punto P.

Ejemplos.

1. Traza un ángulo de 55°. 2. Construye un ángulo de 240°.Soluciones.

1. Considerando los pasos se traza como se muestra en la fi gura 1.10a.

2. En este caso, el ángulo es mayor de 180° y el transportador llega hasta

180°. Entonces, sabiendo que el círculo completo tiene 360°, se calcula

el ángulo que le falta a 240 para completar 360. Así, se traza un ángulo de 360° – 240° = 120° y el que falta para tener la circunferencia completa medirá 240°. Para trazar el

ángulo de 120º se siguen los pasos anteriores. Este trazo se muestra en la fi gura 1.10b.

Operaciones de suma y resta de ángulos sexagesimalesLos ángulos se suman y se restan como los números enteros. Sigue el procedimiento siguiente:

1. Para sumar:

a) Acomoda grados debajo de grados, minutos debajo de minutos y segundos debajo de

segundos. Luego suma.

b) Si los segundos suman más de 60, divídelos entre 60. El cociente lo sumas a los minu-

tos y el residuo son los segundos.

c) Si los minutos suman más de 60, procede igual que con los segundos.

2. Para restar:

a) Arregla los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segun-

dos debajo de los segundos.

b) Resta los segundos. Si el minuendo es menor que el sustraendo, pasa un minuto del

minuendo a 60 segundos, súmalo a los segundos del minuendo y resta.

c) Resta los minutos. Procede igual que con los segundos.

d) Resta los grados.

Ángulode 55°

P

Fig. 1.10a Trazo de un ángulo de 55°.

Fig. 1.10b Trazo de un ángulo de 240°.

Ángulode 120°

Ángulo de 240°

P

Para saber más acerca del trazo de ángulos con transportador, entra en http://edutics.mx/35H

TIC

Ejercicio 11,p. 7

Problema 3,p. 7

Actividad 1,p. 8

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Siempre cerciórate de que en el resultado fi nal, tanto en sumas como restas, los minutos

y los segundos no excedan 60.

Ejemplos.

1. Suma las medidas de los ángulos 10° 52´ 10´´ y 10° 9´ 53´ .́

2. Resta las medidas de los ángulos 217º 15´ 50´´ y 37º 16´ 20´ .́

Soluciones.

1. Se suman los grados con grados, minutos con minutos y segundos

con segundos.

a) Las cantidades se acomodan en orden, se suman y dan por resultado 20° 61´ 63´ .́

b) Como los segundos suman más de 60, se divide 63 entre 60. El cociente es 1

y se suma a los minutos; el residuo es 3 y son los segundos. Así, 20° 61´ 63´´ =

20° 62´ 3´ .́

c) Como los minutos suman más de 60, se divide 62 entre 60. El cociente es 1

y se suma a los grados; el residuo es 2 y son los minutos. Así, 20° 62´ 3´´ =21° 2´ 3´ .́

Entonces, 10º 52´ 10´´ + 10º 9´ 53´´ = 21º 2´ 3´ .́

2. Se restan primero los segundos, luego los minutos y después los grados.

a) Las cantidades se acomodan en orden.

b) Se restan los segundos: 50´´ − 20´´ = 30´ .́

c) Se restan los minutos. Como 15 es menor que 16, se pasa un

grado de 217 a 60 minutos, se suma a 15 minutos, 60 +́ 15 ´= 75 ,́

y se resta.

d) Se restan los grados.

Así, 217º 15´ 50´´ − 37º 16´ 20´´ = 179º 59´ 30´ .́

60 63

60

3

1

60 62

60

2

1

217

3715´16´

50´´20´´

217

3715´16´

50´´20´´

30´´

217

3715´16´

50´´20´´

59´ 30´´

217

3715´16´

50´´20´´

179 59´ 30´´

Conversión entre grados sexagesimales y radianesPara convertir grados sexagesimales a radianes se considera que 2 rad equivalen a 360º. Para

establecer a cuántos y radianes (cantidad desconocida) equivalen x grados (cantidad conocida),

aplicamos una regla de tres:

360 2 rad

x y rad

360x

2 rady rad

, de donde y rad2 rad360

x rad

180x .

Para convertir radianes a grados sexagesimales se considera que 2 rad equivalen a 360º.

Y para establecer a cuántos y grados (cantidad desconocida) equivalen x radianes (cantidad

conocida), aplicamos una regla de tres:

2 rad 360

x rad y

2 radx rad

360y

, de donde y360

2 radx rad

180 rad

x rad .

10

10

52´9´

10´´53´´

20 61´ 63´´

Ejercicio 12,p. 8

Problema 4,p. 8

Ángulos y triángulos

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Tabla 1.2 Conversión de grados sexagesimales a radianes y viceversa

Método Grados a radianes Radianes a grados

Por fórmulay rad

x180

rad donde x es la cantidad de grados

a convertir a y radianes.

y 180x

donde x es la cantidad de radianes

a convertir a y grados.

Por reglaSe divide la cantidad de grados entre 180

y el resultado se multiplica por π (≈3.1416).

Se multiplica la cantidad de radianes por 180

y el resultado se divide entre π (≈3.1416).

Ejemplo. Convertir 143° 52´ 36´´ a radianes.

Solución. Se transforman los segundos en minutos y éstos a su vez en grados.

Para los minutos se tiene que 60´´ 1´

36´´ x´60´´36´´

1´x´

x´1´ 36´´

60´´0.6´ .

Para los segundos se tiene que 60´ 1

52.6´ y

60´52.6´

1y

y1 52.6´

60´0.876 .

Entonces 143 52´ 36´´ 143 52.6´ 143.876 . Ahora se hace la conversión de grados a radianes.

y radx

180 rad

143.876180

3.1416 rad 2.5111 rad

Por tanto 143º 52´ 36´´ = 2.5111 rad.

Ejemplo. Convertir 12.51 radianes en grados.

Solución. Se multiplica la cantidad de radianes por 180 y el resultado se

divide entre π. Así,

12.51 180

3.1416716.7685

que expresado en forma sexagesimal es 716.7685º = 716º; 46.1´ = 716º 46´

y 6.6´´ = 716º 46´ 6´ .́

Clasificación de ángulosEl pensamiento lógico matemático comprende, entre otros procesos, el de clasifi car, que es

la capacidad de agrupar objetos, reales o abstractos, con base en sus aspectos cualitativos o

cuantitativos, es decir, con base en una propiedad de los objetos. Esto permite el aprendizaje de

conceptos matemáticos más complejos. Ahora clasifi caremos de diversas maneras a los ángulos.

Cuando se convierten grados expresados en forma sexagesimal a radianes, primero se

transforman a forma decimal y luego se realiza la conversión. La tabla 1.2 resume la conver-

sión de grados sexagesimales a radianes y viceversa.

Al convertir grados expresados en forma sexagesimal a radianes, primero se transformana forma decimal y luegose realiza la conversión.

Para saber más acerca de la conversión de grados sexagesimales y viceversa, entra en http://edutics.mx/35V

TIC

El término radián surge en unas preguntas de examen propuestas por James Thomson, hermano de Lord Kelvin, en el Queen’s College de Belfast. James Thomson usó el término ya en 1871, como variante de rad, radial y radián. Averigua más en Florian Cajori (1929), History of Mathematical Notations, Vol 2, pp. 147-148.

AVERIGUA MÁS

Ejercicio 13,p. 9

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Clasificación de ángulos por la relación entre sus lados y su vértice

Defi niciones.

• Dos ángulos son consecutivos cuando tienen un lado en común y el mismo vértice.

• Dos ángulos son adyacentes cuando son consecutivos, pero tienen un lado en común

y los dos lados no comunes son semirrectas opuestas. Estas semirrectas tienen el mismo

origen pero se prolongan en sentidos opuestos.

• Dos ángulos son opuestos por el vértice cuando los lados de uno de ellos son las

prolongaciones de los lados del otro.

Con base en las defi niciones anteriores, los ángulos se pueden clasifi car como se muestra en

la tabla 1.3.

Tabla 1.3 Clasifi cación de ángulos por la relación entre sus lados y su vértice

Ángulos consecutivos Ángulos adyacentes Ángulos opuestos por el vértice

A

α

B

β

C

O A

α

B

β

C O

Aα

B

β

C γ

D

δO

AOB y BOC son ángulos consecutivos

o α y β son ángulos consecutivos.

AOB y BOC son ángulos adyacentes o

α y β son ángulos adyacentes.

AOB y COD ; BOC y DOA son

ángulos opuestos por el vértice, o α y γ;

β y δ son ángulos opuestos por el vértice.

Ejemplo. Con base en la fi gura 1.11, ¿cuáles ángulos son consecutivos,

cuáles adyacentes y cuáles opuestos por el vértice?

Solución. Son ángulos consecutivos α y β, β y γ, γ y δ, δ y α, puesto que

tienen un lado en común y el mismo vértice. Son ángulos adyacentes α y

β, β y γ, γ y δ, δ y α puesto que los dos lados no comunes de cada par son

semirectas opuestas. En este caso, los ángulos consecutivos coinciden con

los adyacentes. Son ángulos opuestos por el vértice α y γ, β y δ, puesto que

los lados de uno, en cada par, son las prolongaciones de los lados del otro.

Clasificación de ángulos por sus medidas

A

α

B

βC

γ

D

δO

Fig. 1.11 Ángulos formados por dos rectas.

Defi niciones.

• Un ángulo nulo es aquel que mide 0º.

• Un ángulo agudo es aquel cuya medida está comprendida entre 0º y menos de 90º.

• Un ángulo perpendicular o recto es aquel que mide 90°.• Un ángulo obtuso es aquel cuya medida es mayor que 90° y menor que 180°.• Un ángulo llano o colineal es aquel que mide 180º.

• Un ángulo cóncavo o entrante es aquel cuya medida es mayor que 180º y menor que 360°.• Un ángulo perigonal es aquel que mide 360º. Es un ángulo de una vuelta.

Ejercicio 14,p. 9

Ángulos y triángulos

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Tomando la primera y tercera razones tenemos 32 m8 m

CA4 m

, de donde CA 4 m32 m8 m

16 m.

Así, la altura del edifi cio es de 16 m.

3. Se traza una semirrecta AC que tenga por origen el extremo A del

segmento dado (fi gura 1.25). Luego se toma una medida como unidad

y se señalan en la semirrecta AC , empezando desde A, tres puntos

que estén separados por una unidad de medida. Se marcan los puntos

auxiliares X1, X2 y X3. A continuación, se traza un segmento que una al

punto X3 con B. Luego se trazan, por X1 y X2, dos segmentos paralelos al

segmento A3B . Los puntos en donde estos segmentos paralelos cortan

AB a, junto con B, son los puntos que determinan las 3 partes iguales

en que se divide el segmento AB .

X1

X3

X2

A B

C

D E

Fig. 1.25 Figura de ejemplo.

Teorema de PitágorasA continuación se va a analizar el teorema de Pitágoras, que constituye la base de la trigo-

nometría y la conexión con el álgebra. Hay varias demostraciones, muy ingeniosas, de este

teorema que emplean solamente geometría sin hacer uso del álgebra.

Teorema de Pitágoras. En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la longitud de la hipote-

nusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos.

Demostración. Muchos historiadores admiten que

la demostración que hizo Pitágoras se basaría en su

propia Teoría de las proporciones, que sólo tomaba en

cuenta cantidades conmensurables. Se piensa que una

prueba de Pitágoras pudo haber sido como sigue:

1. Sea ABC un triángulo rectángulo, con el ángulo

recto en A, y sea AJ BC (fi gura 1.26). Así, se

forman dos triángulos: JAC y JBA , que son,

ambos, semejantes con el triángulo ABC y, por

tanto, semejantes entre sí.

De la semejanza de los triángulos resulta que: ABBJ

BCAB

y CAJC

BCCA

, de donde AB2

BJ BC

y CA2

JC BC .

Al sumar las expresiones se obtiene que:

AB2

CA2

BJ BC JC BC BC BJ JC BC BC BC2

Es decir, AB2

CA2

BC2

.

A B

C

J

Fig. 1.26 Triángulo rectángulo.

En la tablilla YALE o YBC 7289 figura, entre otras cosas, un cuadrado con los triángulos rectángulos resultantes de trazar las diagonales. Se piensa que tiene relación con el teorema de Pitágoras.

INFORMACIÓN IMPORTANTE

Entre las más famosas demostraciones del teorema de Pitágoras se encuentran la de Pappus (alrededor del año 300), las de Thâbit Ibn Qurra, la de Bhaskara, la de Leonardo da Vinci, la de Anaricio–Göpel y la de Perigal.

INFORMACIÓN IMPORTANTE

Para ver seis demostraciones geométricas del teorema de Pitágoras, entra en http://edutics.mx/3U9

TIC

Actividad 5,p. 15

Ejercicio 18,p. 16

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Ejemplo. Encuentra el lado desconocido b del tiángulo de la fi gura 1.27.

Solución. Se sabe que el teorema de Pitágoras afi rma que en el tirángulo rec-

tángulo ABC con catetos b y c e hipotenusa a, se cumple b2 + c2 = a2. Entonces,

despejando b se tiene que b2 = c2 − a2. Ahora, los datos dados en la fi gura, tene-

mos b2 = a2 − c 2 = (5)2 − (4)2 = 25 − 16 = 9, por lo que b2 = 9 y entonces b 9 3 .

Observa que hay dos números que multiplicados por sí mismos da por resultado 9,

el 3 y el −3. Como la longitud no puede ser negativa, entonces tomamos el 3.

Así, b = 3 m.

Quizá de ningún teorema en las matemáticas se han hecho tantas y diver-

sas demostraciones como del Teorema de Pitágoras. En la Edad Media se le consideraba la base

de una sólida formación matemática y para obtener el grado de maestro se exigía tener un

profundo conocimiento del teorema, además de exhibir una nueva y original demostración

del mismo. Esto explica las muchas demostraciones que hicieron fi lósofos, monjes, políticos,

juristas, ingenieros y artistas, además de matemáticos.

Actualmente muchos albañiles usan el teorema de Pitágoras para cons-

truir las esquinas de las casas (que se pueden ver como si fueran triángulos

rectángulos): lo conocen como la regla 3, 4 y 5. Para construirlas dividen

en 12 partes iguales una cuerda o cordón cualquiera. Usan marcas o nudos

para señalar cada parte. La unen en los extremos y la estiran para formar

un triángulo, de tal manera que queden 3 nudos en un lado, 4 en otro y en

el último, 5. Con esto tienen la certeza de que el ángulo que está entre los

lados que miden 3 y 4 es exactamente de 90°. Esto funciona porque si en un

triángulo, la suma de los cuadrados de los lados menores es igual al cuadra-

do del lado mayor, entonces el triángulo es rectángulo, y por tanto tenemos un ángulo recto.

En un triángulorectángulo el cuadrado

de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados

de los catetos.

Recíproco del teorema de Pitá-

goras. Si en un triángulo la suma

de los cuadrados de las medidas

de los lados menores es igual al

cuadrado de la medida del lado

mayor, entonces el triángulo es

rectángulo.

Demostración. Sea ABC un

triángulo con lados menores b

y c, y lado mayor a, en el que se

cumple que b2 + c2 = a2. Se quiere demostrar que ABC es un triángulo rectángulo.

Se construye un triángulo rectángulo A B C en el que los lados adyacentes al ángulo recto

son iguales a los lados más cortos de ABC (fi gura 1.28). Ahora bien, por construcción, en

A B C se cumple el teorema de Pitágoras, pues construimos un triángulo rectángulo. Así,

C A2

A B2

B C2

o lo que es lo mismo b2 c2 B C2

. Pero en ABC se cumple que b2 + c2

= a2. Así, igualando ambas expresiones, tenemos B C2

b2 c2 a2 . Entonces B C2

a2 ,

es decir, el lado mas largo en ambos triángulos es igual. Por lo tanto, ABC y A B C son

congruentes por tiener iguales sus lados correspondientes. De igual modo, por congruencia,

los ángulos de A B C son iguales a los ángulos correspondientes de ABC . En particular

CAB C A B , y debido a que C A B es un ángulo recto, entonces CAB es también un

ángulo recto. Por lo tanto ABC es un triángulo rectángulo por tener un ángulo recto.

A B

b

C

a = 5

c = 4

Fig. 1.27 Triángulo rectángulo.

A

a

A'B

bb

B'

C

cc

C'

Fig. 1.28 Contrucción del recíproco del teorema de Pitágoras.

Problema 12,p. 16

Ejercicio 18,p. 16

Actividad 6,p. 16

Applicación1 y 2,p. 17

Actividad HSE,p. 18

Actividadde integración,

p. 19

Evaluación final,p. 20

Ángulos y triángulos

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