Definição (Poliedros). Um poliedro é uma reunião de um número

finito de polígonos planos, onde cada lado de um destes polígonos é

também lado de um, e apenas um, outro polígono. Cada um destes

polígonos chama-se uma face do poliedro, cada lado comum a duas

faces chama-se uma aresta do poliedro e cada vértice de uma face é

também chamado vértice do poliedro [Lima et alii, 2006].

vértice

aresta

face

Tetraedro Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

Os poliedros de Platão possuem características próprias e se enquadram nas seguintes condições:1) O número de arestas é igual em todas as faces;2) Os ângulos poliédricos possuem o mesmo número de arestas;3) Nos sólidos considerados poliedros de Platão vale a relação de Euler .

Faces

4

6

8

1220

Tipo de face Arestas Tipo de ângulo Vértices

𝟔 ∙ 𝟒

𝟐= 𝟏𝟐

𝟒 ∙ 𝟑

𝟐= 𝟔

𝟖 ∙ 𝟑

𝟐= 𝟏𝟐

𝟏𝟐 ∙ 𝟓

𝟐= 𝟑𝟎

𝟐𝟎 ∙ 𝟑

𝟐= 𝟑𝟎

𝟒 ∙ 𝟑

𝟑= 𝟒

𝟔 ∙ 𝟒

𝟑= 𝟖

𝟖 ∙ 𝟑

𝟒= 𝟔

𝟏𝟐 ∙ 𝟑

𝟑= 𝟏𝟐

𝟐𝟎 ∙ 𝟑

𝟓= 𝟏𝟐

TetraedroRegular

HexaedroRegular

OctaedroRegular

DodecaedroRegular

IcosaedroRegular

𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2

Um poliedro convexo possui duas faces pentagonais e cinco quadrangulares. O número devértices deste poliedro éa) 4b) 6c) 8d) 9e) 10

𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 = 𝟐 ∙ 𝟓 + 𝟓 ∙ 𝟒 𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 = 𝟑𝟎

𝑨𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒔 =𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔

𝟐= 𝟏𝟓

𝑭𝒂𝒄𝒆𝒔 = 𝟕

𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2

𝑉 + 7 = 15 + 2 𝑉 = 10

Um poliedro convexo só tem faces triangulares e quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e10 vértices, então, o número de faces triangulares é:a) 12b) 11c) 10d) 9e) 8

m faces triangulares

n faces quadrangulares𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔 = 𝟑𝒎+ 𝟒𝒏

𝑨𝒓𝒆𝒔𝒕𝒂𝒔 =𝒍𝒂𝒅𝒐𝒔

𝟐= 𝟐𝟎

𝟑𝒎+ 𝟒𝒏 = 𝟒𝟎

𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2

10 + 𝐹 = 20 + 2

𝐹 = 12

𝒎+ 𝒏 = 𝟏𝟐

𝒏 = 𝟏𝟐 −𝒎𝟑𝒎+ 𝟒(𝟏𝟐 −𝒎) = 𝟒𝟎

𝟑𝒎+ 𝟒𝟖 − 𝟒𝒎 = 𝟒𝟎

−𝒎 = −𝟖𝒎 = 𝟖

Um poliedro convexo de nove vértices possui quatro ângulos triédricos e cinco ângulostetraédricos. Então o número de faces deste poliedro é:a) 12b) 11c) 10d) 9e) 8

Total de arestas =4 ∙ 3 + 5 ∙ 4

2=

32

216

𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2

9 + 𝐹 = 16 + 2

𝐹 = 9

Um poliedro convexo é formado por faces quadrangulares e 4 faces triangulares. A somados ângulos de todas as faces é igual a 12 retos. Qual o número de arestas dessepoliedro?a) 8b) 6c) 4d) 2e) 1

𝑺 = 𝒗 − 𝟐 ∙ 𝟑𝟔𝟎°

𝟏𝟐 ∙ 𝟗𝟎° = 𝒗 − 𝟐 ∙ 𝟑𝟔𝟎°

𝟏𝟐 ∙ 𝟏 = 𝒗 − 𝟐 ∙ 𝟒

𝟑 = 𝒗 − 𝟐

𝒗 = 𝟓

Faces = x + 4

𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 =𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠

2𝑎𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑠 =

𝑥 ∙ 4 + 4 ∙ 3

2

𝑉 + 𝐹 = 𝐴 + 2

5 + (𝒙 + 𝟒) =𝒙 ∙ 𝟒 + 𝟒 ∙ 𝟑

𝟐+ 2

𝟓 + 𝒙 + 𝟒 = 𝟐𝒙 + 𝟔 + 𝟐

−𝑥 = −1𝑥 = 1

1 ∙ 4 + 4 ∙ 3

2