Definitia 1 - sibiulcopiilor.ro · 11)).. rO functie care admite primitive aaree proprietatea lui Darboux (proprietatea functiilor derivate). 2 2)).. O functie care nu are proprietatea

Clasa a XII-a - Analiza - 1

Partea I - Primitive

Primitive

Definitia 11 :

- Fie I un interval R si o functie RIf : ;

- Spunem ca f admite primitive pe I daca exista o functie RIF : astfel incat :

1). F este derivabila pe I ;

2). xfxF ' , Ix .

Functia F se numeste pprriimmiittiivvaa a functiei f .

Propozitie :

- Fie F 1 o primitiva a functiei RIf : ;

- Atunci orice alta primitiva a lui f este de forma :

cxFxF 1

unde : c o functie constanta pe I .

Definitia 22 :

- Fie RIf : , unde RI , o functie care admite primitive ;

- Multimea tuturor primitivelor lui f se numeste iinntteeggrraallaa nneeddeeffiinniittaa a functiei f si se

noteaza cu :

dxxf



Primitive

Observatii :

11)).. Exprimarile “ Sa se calculeze o primitiva a functiei f “ si “ Sa se calculeze dxxf ”

sunt sinonime .

22)).. Daca F este o primitiva a lui f pe I , atunci multimea tuturor primitivelor lui f este :

CxFdxxf

unde : cxcRIccCdef

,:



Primitive

11)).. O functie care admite primitive aarree proprietatea lui Darboux (proprietatea functiilor derivate).

22)).. O functie care nu are proprietatea lui Darboux , nnuu aaddmmiittee pprriimmiittiivvee .

33)).. Orice fffuuunnncccttt iiieee cccooonnntttiiinnnuuuaaa RIf : , unde RI , aaddmmiittee pprriimmiittiivvee .

44)).. Daca RIf : si IxxfIf ; nnnuuu eeesssttteee uuunnn iiinnnttteeerrrvvvaaalll , atunci f nnuu aaddmmiittee

pprriimmiittiivvee pe I .

55)).. Exista functii care aaadddmmmiiittt ppprrriiimmmiiittt iiivvveee si nnuu ssuunntt ccoonnttiinnuuee (discontinuitati de speta a doua) .

66)).. Daca doua functii RIgf :, admit primitive , atunci orice combinatie liniara a lor :

gf aaddmmiitt pprriimmiittiivvee , R ,

si avem relatia :

dxxgdxxfdxxgxf

77)).. Daca dintre doua functii RIgf :, , uuunnnaaa aaadddmmmiiittteee ppprrriiimmmiiittt iiivvveee si ccceeeaaalllaaalll tttaaa nnnuuu aaadddmmmiiittteee ppprrriiimmmiiittt iiivvveee ,

atunci functiile :

gf si gf

nnuu aaddmmiitt pprriimmiittiivvee .



Primitive

Fie RIgf :, , RI , doua functii care admit primitive pe I si 0, R

, atunci functiile gf si f admit primitive si au loc relatiile :

1). dxxgdxxfdxxgxf ;

2). dxxfdxxf ;

3). CxFCdxxfdxxf

unde C este multimea functiilor constante pe I si F este o primitiva a lui f .



Primitive

11)).. Cxdx Rx

22)).. Cn

xdxx

n

n

1

1

RxNn ,

33)).. Ca

xdxx

a

a

1

1

,0,1, xaRa

44)).. Ca

adxa

x

x ln

Rxaa ,1,0

55)).. Cxdxx

ln1

Rx*

66)).. Cax

ax

adx

ax

ln

2

1122

aaRx ,

77))..

Ca

xarctg

adx

ax

1122

0, aRx

88)).. Cxxdx cossin Rx

99)).. Cxxdx sincos Rx

1100)).. Ctgxdxxcos

12

ZkkRx /2

12

1111)).. Cctgxdxxsin

12

ZkkRx /

1122)).. Cxtgxdx cosln

ZkkRx /2

12

1133)).. Cxctgxdx sinln ZkkRx /

1144))..

Caxxdxax

22

22ln

1 0, aRx

1155))..

Caxxdxax

22

22ln

1 0, aax

1166))..

Ca

xdx

xaarcsin

122

0, aax .



Primitive

Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii :

1). 322

xxxf , Rx ; 2). x

xxf1

, ;0x ;

3). x

xxf1

, 0;x ; 4). xbxaxf cossin , Rx ;

5). x

xf41

12

,

2

1;

2

1x ; 6).

xxf

4

12

, 2;2x ;

7). xx

xfcos

1

sin

222

,

2;0

x ; 8). xx

xfcossin

222

,

2;0

x ;

9). 4

12

x

xf , Rx ; 10). 14

12

x

xf , Rx ;

11). exf xx 2 , Rx ; 12). 1

12

x

xf , 1;1x ;

13). 1

12

x

xf , 1;x ; 14). 3 2

11

xxxf , ;0x ;

15). 3 22 xxxxxf , ;0x ; 16). 53 42 xxxxf , ;0x ;

17). 3 24

312

xxxxf , ;0x ; 18).

xxf

91

12

, Rx ;

19). 254

12

x

xf ,

;

2

5x ; 20).

72

12

x

xf , Rx ;

21). x

xf

8

12

, 22;22x ; 22). x

xxf

4

452

2

, 2;2x ;

23). x

xxf

cos

cos12

3 ,

2;0

x ; 24). xxxf 2 , Rx ;

25). 423 xxxf , Rx ; 26). 21 xxxxf , Rx ;

27). x

xxf15 , ;0x ; 28). 3 2

13

xxf , Rx ;

29). 11 xxxxf , ;0x ;



Primitive

30).

x

xxf

14

, ;0x ; 31).

3 2

2221

x

xxxf

, ;0x ;

32). x

xf2

1 , ;0x ; 33).

1

22

2

x

xxf , 1;1x ;

34). x

xxxf

4

22

1

11

, 1;1x .



Primitive

Teorema :

- Daca RIgf :, sunt functii derivabile cu derivatele continue , atunci functiile :

gf , gf '

, gf'

admit primitive pe I si multimile lor de primitive sunt legate prin relatia :

dxxgxfgfdxxgxf''

numita formula de integrare prin parti pentru integrale nedefinite .

Exercitiul nr. 1 :


1). xxf ln , 0x ; 2). xxxf ln , 0x ;

3). xxf ln2 , 0x ; 4). xxxf ln

22 , 0x ;

5). xx

xf ln1 , 0x ; 6). xxxf ln

23 , 0x ;

7). xxxxf ln224 , 0x ; 8). xxf 1ln

2 , Rx ;

9). exxf x , Rx ; 10). exxxf x 12

, Rx ;

11). exxxf x 13

, Rx ; 12). xxxf sin2 , Rx ;

13). xxxxf sin12 , Rx ; 14). xxxf sin

23 , Rx ;

15). xexf xsin , Rx ; 16). xexf x

2sin , Rx ;

17). xexf x sin , Rx ; 18). xexf x

cos , Rx ;

19). xexxf xsin , Rx ; 20). xxexf x

cossin , Rx ;

21). xxf sin2 , Rx ; 22). xxxf cos2sin

33 , Rx ;



Primitive

23). xxxf cos3sin244 , Rx ; 24). 4

2 xxf , ;2x ;

25). 12 xxf , Rx ; 26). 1

22 xxxf , Rx ;

27). 123 xxxf , Rx ; 28). 4

24 xxxf , ;2x ;

29). 425 xxxf , ;2x ; 30). xxf 2

9 , 3;3x ;

31). xxxf 229 , 3;3x .

Exercitiul nr. 2 :


1). exxf x 52 , Rx ; 2). xxxf sin52 , Rx ;

3). xxxf ln52 , 0x ; 4). xxxxf cos532 , 0x

5). x

xxf

ln , 0x ; 6). xxf lnsin , 0x ;

7). xexf xcos , 0x ; 8). xexf x

sin , Rx ;

9). 22 xxf , Rx ; 10). xxf 2

3 , 3;3x .

Exercitiul nr. 3 :


1). arctgxxf , Rx ; 2). xxf ln2

, 0x ;

3). xexxf xsin , Rx ; 4). xexxf x

cos2 , Rx ;

5). x

xxf

3

ln , 0x ; 6).

x

xxf

1

1ln , 1;1x ;

7). xxxf arccos , 1x ; 8). xxxf 21ln , 0x ;

9).

x

xxxxf2

2

1

1ln

, Rx ; 10). exxf x33 , Rx ;

11). exxf x 3 , Rx ; 12). exxf

x

22 , Rx .



Primitive

Metoda schimbarii de variabila , denumita si metoda substitutiei , permite calculul

primitivelor (integralelor nedefinite) pornind de la formulele uzuale de integrare si cele de

derivare a functiilor compuse .

Teorema :

- Fie RJI , doua intervale si

RJf : si RI :

doua functii . Daca :

1). JI ;

2). Functia este derivabila pe I ;

3). Functia f admite primitive pe J ;

atunci functia '

f admite primitive pe I .

Mai mult , daca RJF : este o primitiva a functiei f pe J , atunci functia F

este o primitiva a functiei '

f , adica are loc egalitatea :

CFdxxxf '



Primitive

SS--aa pprreessuuppuuss RI iinntteerrvvaall ssii RI : ddeerriivvaabbiillaa ccuu ddeerriivvaattaa ccoonnttiinnuuaa .

1).

Cn

xdxxx

n

n

1

1

' , Nn

2).

Cr

xdxxx

r

r

1

1

' , ;0 , 1\ IRr

3).

Cxdxx

x

ln

'

, Ixx , 0

4).

Ca

adxxa

x

x

ln

'

, 1 , 0 aa

5). Cxdxxx cossin'

,

6). Cxdxxx sincos'

,

7).

Cxtgdxx

x

cos2

'

, IxZkkx

, 2

12

8).

Cxctgdxx

x

sin2

'

, IxZkkx ,

9).

C

a

xdx

xa

x

arcsin

22

'

, aaIa ; , 0

10).

C

a

xarctg

adx

xa

x

122

'

, 0a

11).

Cxaxdx

xa

x

22

22

'

ln , 0a

12).

Caxxdx

ax

x 22

22

'

ln

,

Ixax

sau

Ixax

a

,

,

, 0

13). Cxdxxxtg cosln'

, IxZkkx

, 2

12

14). Cxdxxxctg sinln'

, IxZkkx ,



Primitive

Teorema :

- Fie RJI , doua intervale si

RJf : si RI :

doua functii . Daca :

1). Functia este bijectiva ;

2). Functia este derivabila pe J si 0'

x oricare ar fi Jx ;

3). Functia '

fh admite primitive pe J ,

atunci functia f admite primitive pe I .

Mai mult , daca RJH : este o primitiva a functiei '

fh pe J , atunci

functia 1

H este o primitiva a functiei f pe I , adica are loc egalitatea :

CHdxxf 1

Observatia 1 :

Denumirile de prima formula de schimbare de variabila si a doua formula de schimbare

de variabila sunt pur conventionale .

In realitate avem o singura formula de schimbare de variabila si mai multe variante de

aplicare a ei :

Avem de calculat : Ixdxxf , .

Atunci :

1). Punem in evidenta expresia , in expresia lui f , o functie derivabila RI : si o functie

primitivabila RIg : astfel incat xxgxf '

oricare ar fi Ix .

2). Facem inlocuirile formale tx : si dtdxx :'

;

Obtinem primitiva Itdttg , , pe care o calculam . Fie ItCtGdttg , .

3). Revenim la vechea variabila x , punand xt : in expresia primitivei G ;

Obtinem IxxGdxxf , C .



Primitive


Atunci :

1). Punem in evidenta un interval RJ si o functie IJ : bijectiva si derivabila .

2). Facem inlocuirile formale tx : si dttdx '

: ;

Obtinem Jtdtttf , '

, pe care o calculam .

Fie JtHdtttf , Ct'

.

3). Revenim la vechea variabila x , punand xt 1

:

in expresia primitivei H ;

Obtinem IxCxHdxxf

, 1

.


Atunci :

1). Punem in evidenta expresia , in expresia lui f , o functie injectiva RI : cu

II :

1 derivabila , si o functie RIg : , astfel incat Ix , xgxf .

2). Facem inlocuirile formale tx : si dttdx 1 '

: ;

Obtinem primitiva Itdtttg , 1 '

, pe care o calculam .

Fie Itdtttg , CtF

1 '

.

3). Revenim la vechea variabila x , punand xt : in expresia primitivei F ;

Obtinem : IxCxFdxxf , .

Observatia 2 :

In toate cele trei variante ale formulei schimbarii de variabila expuse mai sus , expresia

functiei se impune din context , analizand expresia functiei f .



Primitive

Observatia 3 :

Nu exista reguli de calcul al primitivelor decat pentru clase restranse de functii elementare .

Observatia 4 :

Problema gasirii primitivelor este inversa aceleia a derivarii . Problema gasirii primitivelor

este insa mult mai dificila decat problema derivarii .

Daca derivatele functiilor elementare sunt de asemenea functii elementare , primitivele

functiilor elementare nu sunt totdeauna functii elementare .

Pentru unele functi elementare nici nu se stie daca primitivele lor sunt tot functii

elementare .

Exercitiul nr. 1 :


1). ?3

242

dx

xx

x , Rx ; 2).

?

532

6824

3

dxxx

xx , Rx ;

3).

?cos1

sin2

dxx

x , Rx ; 4). ?tgxdx ,

2;

2

x ;

5). ?cos

1dx

x ,

2;

2

x ; 6).

?

12

dxxtg

xtg ,

2;0

x ;

7). ?1sin2 1

2cos2dxexx x , Rx ;

8). ?32dxex x , Rx ; 9). ?

3

dxxtgxtg ,

2;

2

x ;

10). ?cossin2

dxxx , Rx ; 11). ?cossin23

dxxx , Rx ;

12). ?sin3

dxx , Rx ; 13).

?

cossin

cossindx

xx

xx ,

4;

4

x ;

14). ?42

dxxtgxtg ,

2;

2

x ;

15). ?cos

sin3

dxx

x ,

2;

2

x ;



Primitive

16).

?

1

12

dxxtg

xtg ,

4;

4

x ; 17).

?

13dx

x

x , 1;0x ;

18).

?1

4dx

x

x , Rx ; 19).

?

16

2

dxx

x , Rx ;

20).

?1

4dx

x

x , 1;1x ; 21).

?

12

dxe

ex

x

, 0;x ;

22).

?ln1

1dx

xx , ;ex ;

23). ?sincossinsincos dxxxx Rx ;

24).

?cos1

2sin4

dxx

x , ;0x ; 25).

?ln1

12

dxxx

, ;0x ;

26). ?12dxx , Rx ; 27). ?23

2dxxx , ;2x ;

28). ?12

dxxx , Rx ; 29). ?232

dxxx , 2;1x ;

30). ?492dxx ,

2

3;

2

3x ; 31). ?22

22dxxxx , Rx ;

32). ?13

dxxx , ;1x ; 33).

?1

12

dxxx

, ;1x ;

34). ?arcsin

2dx

x

x , 1;0x ; 35).

?

1

124

dxxxx

, ;0x .

Exercitiul nr. 2 :


1).

?sin1

2sin2

dxx

x , Rx ; 2). ?2sinsin

2dxxx , Rx ;

3).

?

1

1224

2

dxxx

xx , Rx ; 4).

?

12

dxe

ex

x

, Rx ;

5).

?

112 32

dx

xx

x , Rx ; 6). ?14

5

dxx , Rx ;

7). ?13 42

dxxx , Rx ; 8). ?237

dxx , Rx ;



Primitive

9). ?

ln2

dxx

x , 0x ; 10).

?

12

dxx

arctgx , Rx ;

11). ?cossin5

dxxx , Rx ; 12). ?2ln1 3

dxxx

, 0x ;

13).

?arcsin1

1 4

2dxx

x , 1;0x ; 14). ?cossin

45dxxx , Rx ;

15). ?cos3

dxx , Rx ; 16). ?sin5

dxx , Rx ;

17). ?sin1cos3cos2

dxxxx , Rx ;

18).

?

1

15dx

x , 1x ; 19).

?

14 4

3

dxx

x , Rx ;

20).

?

1arcsin

122

dxxx

, 1;0x ; 21).

?1ln

14dx

xx , 1;0x ;

22).

?

12dx

e

ex

x

, Rx ; 23).

?

15

12dx

x ,

5

1x ;

24).

?

532 4 dx

x

x , Rx ; 25).

?

43

162 2

dxxx

x , Rx ;

26).

?ln

13dx

xx , 0x ; 27). ?23 dxx ,

3

2x ;

28).

?2

13

dxx

, 2x ; 29). ?543 2dxxx , Rx ;

30).

?1

4

3

dxx

x , Rx ; 31). ?

sin

cosdx

x

x ,

2;

2

x ;

32).

?sin1

2sin2

dxx

x ,

2;

2

x ; 33). ?4 dxee

xx , Rx ;

34).

?arcsin1

12

dxxx

, 1;0x ; 35). ?54 dxx ,

4

5x ;

36).

?2

1dx

x , 2x ; 37). ?13

32dxxx , 1x ;

38).

?32

2dx

x

x , Rx ; 39).

?

52

12

dxxx

x , 2x ;



Primitive

40).

?8

4

3 2dx

x

x , 22x ; 41). ?2cos2sin xdxx ,

2;

2

x ;

42). ?5sin15cos dxxx ; Rx ; 43). ?cos

1

2dx

xtgx ,

2;

2

x ;

44). ?cos

sin

3 2dx

x

x ,

2;

2

x ; 45). ?cossin43 3

4

dxxx , Rx ;

46). ?ln11

dxxx

, 0x ; 47). ?52 dxx , 2

5x ;

48). ?52 dxxx , 2

5x ; 49).

?

12

1dx

x ,

2

1x ;

50).

?

12

53dx

x

x ,

2

1x ; 51).

?

32

1dx

xxx , 0x ;

52).

?ln

1dx

xxxx

, 0x ; 53).

?2log3log

32 dxx

xx , 0x ;

54).

?1

1dx

xx , 0x ; 55). ?122 dxxx , 1x ;

56).

?5

1dx

x , 5x ; 57).

?

53

1dx

x ,

3

5x ;

58).

?4

2dx

x

x , Rx ; 59).

?

2

362

dxxx

x , Rx ;

60).

?12

3

2

dxx

x , 0x ; 61).

?

53dx

x

x , 0x ;

62).

?

53

42dx

x

x , 0x ; 63).

?

4

352

dxx

x , Rx ;

64).

?

4

352

dxx

x , 2x ; 65).

?

14dx

x

x ,

4

1x ;

66).

?

14

12dx

x

x ,

4

1x ; 67).

?

5

432

dxx

x , Rx ;

68).

?

9

22

dxx

x , 3x ; 69).

?

4

1232

2

dxx

xx , Rx ;

70).

?

cos2

sin3dx

x

x , Rx ; 71).

?

3cossin

cossindx

xx

xx , Rx ;



Primitive

72). ?cos

2dx

x

tgx ,

2;

2

x ; 73).

?

1

ln

1ln dx

xxx , 0x ;

74).

?lnsin

dxx

x , 0x ; 75). ?

cosdx

x

x , 0x ;

76). ?5sin xdx , Rx ; 77). ?4

cos dxx

, Rx ;

78).

?13sin

dxx

x , 0x ; 79). ?lncosln1 dxxx , 0x ;

80). ?sin2

dxxx , 0x ; 81). ?sin2

dxx , Rx ;

82). ?cos2

dxx , Rx ; 83). ?3sin2

dxx , Rx ;

84). ?4cos2

dxx , Rx ; 85). ?5cos3sin xdxx , Rx ;

86). ?sin3

dxx , Rx ; 87). ?cossin3

dxxx , Rx ;

88). ?3sin xdx , Rx ; 89). ?cos3

dxx , Rx ;

90). ?3cos xdx , Rx ; 91). ?cos2

dxxx , Rx ;

92). ?cos2

dxxx , Rx ; 93). ?lncos dxx , 0x ;

94).

?lncos

dxx

x , 0x ; 95).

?

5dxe

x , Rx ;

96). ?

76dxex x , Rx ; 97). ?cos

sindxex

x , Rx ;

98). ?34

dxx

, Rx ; 99). ?52

dxx x , Rx ;

100).

?14dxe

x , Rx ; 101). ?

2

1

dxx

ex

, 0x ;

102). ?1

43dxex x , Rx ; 103).

?234

2

dxxe xx , Rx ;

104).

?1

12

dxex

arctgx , Rx ; 105).

?5

5

dxx

ex

, 5x ;

106). ?2 dxexx

, Rx ; 107).

?10

5211

dxx

xx

, Rx ;

108).

?

1

13

dxe

ex

x

, Rx ; 109). ?

23

dxxe x , Rx ;

110). ?2

dxex x , Rx ; 111). ?

2dxex

x , Rx ;

112). ?12223dxexxx x , Rx ;



Primitive

113).

?23

12

dxx

, 3

2x ; 114).

?

23

12

dxx

, Rx ;

115).

?

912

12

dxx

, 2x ; 116).

?

122dx

bax , Rx ;

117).

?sin4

cos2

dxx

x , Rx ; 118).

?1ln

12

dxxx

, 0x ;

119).

?92

12

dxx

, 2

9x ; 120).

?

922

dxx

x ,

2

9x ;

121).

?92

2

2

dxx

x ,

2

9x ; 122).

?

75

12

dxx

, Rx ;

123).

?75

2dx

x

x , Rx ; 124).

?

752

2

dxx

x , Rx ;

125).

?

251

12

dxx

, 6;4x ; 126).

?

165

12

dxx

, Rx ;

127).

?329

12dx

x , 0;3x ; 128).

?1

2

1

dxx

xn

n

, Rx ;

129).

?1

2

12

dxx

xn

n

, Rx ; 130).

?1

4dx

x

x , Rx ;

131).

?1

4

3

dxx

x , Rx ; 132).

?

18

3

dxx

x , Rx ;

133).

?1

8

7

dxx

x , Rx ; 134).

?

sin4

cos2

dxx

x , Rx ;

135).

?cos4

sin2

dxx

x , Rx ; 136).

?

54

2

dxe

ex

x

, 0x ;

137).

?5

2dx

e

ex

x

, 0x ; 138).

?

5ln

12

dxxx

, 0x ;

139).

?126

12

dxxx

, Rx ; 140).

?869

12

dxxx

, Rx ;

141).

?544

12

dxxx

, Rx ; 142).

?2

12

dxxx

, Rx ;

143).

?542

12

dxxx

, Rx ; 144).

?54

12

dxxx

, 1;5x ;



Primitive

145).

?45

2dx

xx

x , 4;1x ; 146).

?

332

dxxx

x , Rx ;

147).

?

62

342

dxxx

x , Rx ; 148).

?

1

12

dxxx

x , Rx ;

149).

?52

24dx

xx

x , Rx ; 150).

?

3343

32

dxxx

x

, 0x ;

151).

?106

2

2

dxxx

x , Rx ; 152).

?

43

12

2

dxxx

x , Rx ;

153).

?75

12

dxx

,

7

5;

7

5x ; 154).

?

43

12

dxx

, 3

2x ;

155).

?43

12

dxx

, Rx ; 156).

?

316

12dx

x , 1;7x ;

157).

?

912

12

dxx

, ;12;x ;

158).

?9

6

2

dxx

x , 1;1x ; 159).

?

54

12

dxx

, Rx ;

160).

?54

12

dxx

,

;

2

5

2

5;x ;

161).

?45

12

dxx

,

2

5;

2

5x ;162).

?

210

4

dxx

x , 1x ;

163).

?1

4dx

x

x , 1;1x ; 164).

?

281

12

dxx

, 7;10x ;

165).

?1

12

dxx

, 1;1x ; 166).

?1

12

dxx

, ;11;x

167).

?1

2dx

x

x , 1;1x ; 168).

?

12

2

dxx

x , 1;1x ;

169).

?cos9

2sin4

dxx

x , Rx ; 170).

?

12

dxe

ex

x

, 1;1x ;

171).

?1

2dx

e

ex

x

, Rx ; 172).

?ln4

12

dxxx

1;0x ;



Primitive

173).

?3

dxe

ex

x

, 1x ; 174). ?arcsin

dxe

ex

x

, 0;x ;

175).

?1

12

dxxx

, ;1x ; 176).

?1

2

dxx

x , ;1x ;

177). ?492dxx ,

2

3;

2

3x ; 178). ?59

2 dxx , 1x ;

179). ?2162

dxx , 2;6x ; 180). ?2152

dxx , Rx ;

181). ?1612dxx ,

4

1;

4

1x ; 182). ?4

2dxee

xx , 1x ;

183). ?sin9cos2

dxxx , Rx ; 184). ?912dxx ,

3

1;

3

1x ;

185). ?912dxxx .

3

1;

3

1x .



Primitive

Definitia ffuunnccttiieeii rraattiioonnaallee :

- Fie I un interval din R ;

- Functia RIf : se numeste rationala daca exista doua polinoame P si Q cu

coeficienti numere reale , astfel incat :

0 xQIx si xQ

xPxf

Definitia ffuunnccttiieeii rraattiioonnaallee ssiimmppllee :

- O functie rationala se va numi simpla daca este de una din urmatoarele forme :

1). axaxaxaxf nn

nn

1

1

10 ..... ;

2). ax

Axf

n

, unde Nn* ;

3). cbxax

CBxxf

n

2 , unde Nn

* si 042

acb .

TEOREMA ddee ddeessccoommppuunneerree aa ffuunnccttiiiilloorr rraattiioonnaallee :

- Afirma ca orice functie rationala se scrie , in mod unic , ca o suma finita de functii

rationale simple .

In consecinta , integrarea functiilor rationale se reduce la integrarea

functiilor rationale simple .



Primitive

La calculul integralei unei functii rationale pot aparea doua cazuri :

Daca in integrala

dxxQ

xP , polinoamele QP, nu au radacini comune si grQgrP

vom scrie Q

P ca o suma de functii rationale simple .

Daca :

a). Q are radacini simple , atunci xxxxxxxQ n .....21 si functia

rationala xQ

xPxf se poate scrie in mod unic sub forma :

xx

A

xx

A

xx

Axf

n

n

.....

2

2

1

1

b). Q are radacini multiple , de exemplu xxxxxQmn

21 , atunci f se poate

scrie sub forma :

xx

B

xx

B

xx

B

xx

A

xx

A

xx

Axf

m

m

m

m

n

n

n

n

222111

1

11

1

11......

c). xQ se poate descompune sub forma :

cxbxacxbxaxQn

222

2112

1 ,

unde 04 11

2

1 cab , 04 22

2

2 cab

atunci f se poate scrie sub forma :

cxbxa

BxA

cxbxa

BxA

cxbxa

BxA

cxbxa

BxAxf

n

nn

n

nn

222

2222

2222

2112

1

1

112211...



Primitive

Daca QP gradgrad se imparte P la Q si atunci f se poate scrie :

xQ

xRxCxf

unde : xC si xR sunt respectiv catul si restul impartirii .

Pentru determinarea coeficientilor , se aduce la acelasi numitor in membrul drept si se

pune conditia ca numaratorii celor doi membri sa coincida . Se obtine un sistem liniar in care

necunoscutele sunt coeficientii cautati ( metoda coeficientilor nedeterminati ).



Primitive

Exercitiul nr. 1 :


1).

?

231

1dx

xx ,

3

2x ; 2).

?

1

12dx

xx , 0x ;

3).

?1

4

4

dxx

x , 1x ; 4).

?

1

13

dxx

, 1x ;

5).

?

212dx

xx

x , 1x ; 6).

?

1

12

3

dxxx

xx , 0x ;

7).

?1

3dx

x

x , 1x ; 8).

?

1

123

4

dxxxx

x , 1x .

Exercitiul nr. 2 :


1).

?32

12

dxxx

, Rx ; 2).

?

1

123

23

dxxxx

xxx , 0;x ;

3).

?

11

12 23

2

dxxxx

xx , 1;x ;

4).

?

231

123

2

dxxxx

x , 1;2 x ;

5).

?

1

124

2

dxxx

x , Rx ; 6).

?

1232

1234

2

dxxxxx

x , Rx ;

7).

?

1

132

7

dxxx

x , 1;0x ; 8).

?

1

1dx

xx , 1x ;

9).

?

321

1dx

xx ,

2

3x ; 10).

?

21

1dx

xxx , ;0x ;

11).

?321

1dx

xxxx , ;0x ;

12).

?1

13dx

x , ;0x ; 13).

?

14

2

dxx

x , Rx ;



Primitive

14).

?

54

32

2

dxxx

x , Rx ; 15).

?13

2dx

xx

x , ;0x ;

16).

?1

12 2 dx

xx , ;0x .

Exercitiul nr. 3 :


1).

?

23

122

dxxx

x , ;2x ; 2).

?

2

12

dxxx

, 0;x ;

3).

?5

12

dxxx

, ;0x ; 4).

?

65

42

dxxx

x , ;3x ;

5).

?

12

3

dxxx

x , ;1x ; 6).

?

3233

2

dxxx

xx , ;1x ;

7).

?21

2dx

xxx , ;2x ;

8).

?

4321

752

dxxxxx

xx , ;4x ;

9).

?

65

952

2

dxxx

xx , 2;x ;

10).

?

321dx

xxx

x , ;3x ;

11).

?2

12

dxxx

, ;1x ; 12).

?123

12

dxxx

, ;1x ;

13).

?

65

123

3

dxxxx

x , ;3x ;

14).

?

312

1dx

xxx ;3x ;

15).

?

4321

12

dxxxxx

xx , ;4x .



Primitive

Exercitiul nr. 4 :


1).

?

11

42 dx

xx , 1x ; 2).

?

143dx

xx , 1x ;

3).

?

11

1322

2

dxxx

xx , 1x ; 4).

?

21

1523

23

dxxx

xxx , 1x ;

5).

?

1

42 2 dx

x

x , 1;1x ; 6).

?

11

2423

23

dxxx

xxx , 1x ;

7).

?

11

18223

23

dxxx

xxx , 1x ; 8).

?

1

232

2

dxxx

xx , 1x ;

9).

?

4222

2

dxxx

x , 2x ; 10).

?

11

8132

43

dxxxx

xx , 1x ;

11).

?

1

2788243

234

dxxx

xxxx , 0x ;

12).

?

2

15223

2

dxxxx

xx , 1x ; 13).

?

23

153

dxxx

x , 2x ;

14).

?1

24dx

xx , 1x ; 15).

?

123

3

dxxx

x , 1x ;

16).

?

13

96522

2

dxxx

xx , 1x ; 17).

?

103

782 2

2

dxxx

xx , 5x ;

18).

?

1

15

dxxx

, 0x ; 19).

?1

122dx

xx , 0x ;

20).

?

12 2

2

dxx

x , 1;1x ; 21).

?

1100

2

dxx

x , 1x ;

22). ?23

2

dx

xx

x , 1x ; 23).

?

321

132 dx

xxx , 1x ;

24).

?

1132 dx

xx

x , 1x ; 25).

?

2

223

dxxxx

x , 1x ;

26).

?

15

2

dxx

x , 1x .



Primitive

Exercitiul nr. 5 :


1).

?1

12

dxxx

, Rx ; 2).

?13

12

dxxx

, Rx ;

3).

?

54

32

2

dxxx

x , Rx ; 4).

?

1

124

2

dxxx

x , Rx ;

5).

?1

16

dxx

, Rx ; 6).

?

21

122

dxxx

, Rx ;

7).

?23

4dx

xx

x , Rx ; 8).

?

4524

4

dxxx

x , Rx ;

9).

?1

2

4

dxxx

x , Rx ; 10).

?

14

45

dxx

xxx , Rx ;

11).

?2

10

4

dxx

x , Rx ; 12).

?

1

14

2

dxx

x , 0x .

Exercitiul nr. 6 :


1).

,

12 2 dx

x

x Rx ; 2).

,

1

322 2

23

dxxx

xxx Rx ;

3).

,

1

23222 2

23

dxxx

xxx Rx ; 4).

,

33

6732 2

2

dxxx

xx Rx ;

5).

,

2

12 2 dx

x

x Rx ; 6).

,

52

122 2 dx

xx

x Rx ;

7).

,

1

12 4 dx

x Rx ; 8).

,

222 2 dx

xx

x Rx ;

9).

,

54

12 2 dx

xx

x Rx ; 10).

,

22

12 3

4

dxxx

x Rx ;

11).

,

12 3

5

dxx

x Rx ; 12).

,

1

12 2 dx

xx Rx ;

13).

,

222 2

2

dxxx

x Rx ; 14).

,

1

12 3 dx

xx Rx ;



Primitive

15).

,

1

252 5 dx

xx

x Rx .

Exercitiul nr. 7 :


1).

,

13

2

dxxx

xx ;0x ; 2).

,

13

2

dxxx

xx 0;x ;

3).

,

1234

dxxxxx

x ;0x ; 4).

,

1234

dxxxxx

x 0;1x ;

5).

,

1

132

dxx

x ;1x ; 6).

,

13332

3234

2

dxxxxx

xx

;

2

1x ;

7).

,

2

14234

2

dxxxxx

xx ;1x ;

8).

,

44

122234

2

dxxxxx

xx ;0x ;

9).

,

132

dxxx

x ;1x ; 10).

,

11

122

2

dxxxx

xx ;0x ;

11).

,

12

82422

2

dxxxx

xx ;0x ; 12).

,

8

13

dxx

;2x ;

13).

,

23

122

dxxx

;3x ; 14).

,1

13

dxx

;1x ;

15).

,

312

dxxx

x ;1x ; 16).

,31

2dx

xx

x ;1x ;

17).

,

11

12

dxxxxx

;0x .

Exercitiul nr. 8 :


1).

,

11

122

23

dxxx

xxx ;1x ; 2).

,

11

34222

23

dxxxx

xxx ;1x

3).

,

22335

3

dxxx

xx ;0x ; 4).

,

1246

3

dxxx

x ;0x ;



Primitive

5).

,

11

35423

2

dxxxx

xx ;1x ; 6).

,

542

122 dx

xxx ;2x

7).

,1

124

dxxx

;0x ; 8).

,

521

105322

3

dxxxx

xx ;1x ;

9).

,

11

2323

2

dxxx

xx ;1x .

Exercitiul nr. 9 :


1).

,

11

122 2

2

dxxx

xx ;1x ; 2).

,

1

12 3

2

dxxx

x ;0x ;

3).

,

1

22 2 dx

xxx

x ;0x ; 4).

,

11

42 2 dx

xx

x ;1x ;

5).

,41

122 2 dx

xxx ;0x ; 6).

,

1

110 2 dx

xx ;0x .

Exercitiul nr. 10 :


1).

,

1

12 22

2

dxxx

x ;0x ; 2).

,

11

59732 22

34

dxxxx

xxx ;1x ;

3).

,

1

14 2 dx

x 1;x ; 4).

,

1

13 3 dx

x ;1x ;

5).

,

1

14 3 dx

x ;1x ; 6).

,1

13

dxxx

;0x ;

7).

,

11

232 22

2

dxxxx

xx ;1x .



Primitive

Daca functia de sub integrala este de forma :

kk n xxxR ,...,, 1

unde 2, kNk ii , atunci punand txk , unde k este cel mai mic multiplu comun al

ordinelor radicalilor kkk n,...,, 21 se ajunge la oo iinntteeggrraallaa ddee ffuunnccttiiee rraattiioonnaallaa .

Exercitiul nr. 1 :


1). ,11 dxxxx 0x 2). ,3 dxxx 0x

3).

,1

3

3

dxx

x 0x 4).

,

43 2

dxx

xx 0x

5).

,

11

4 3dx

xx 0x 6).

,

1dx

xx

x 0x

7).

,3

dxxx

x 1x 8).

,1

133

dxxx

1x

9).

,1

4dx

xx 0x 10).

,

11

1dx

x 1x



Primitive

11).

,1

3

dxx

x 1x 12).

,

2

1dx

xx

x 2x

13).

,

1

5 2dx

xxx 0x 14).

,

2

143

dxxxx

0x

15).

,11 3

dxxx

x 0x 16).

,

1

13

dxx

xx 0x

17).

,1

13

dxx

0x 18).

,1

dxx

x 0x

19).

,

12112

1dx

xx 0x 20).

,

11

1dx

xx 1x

21).

,313

dxx

x

3

1x 22).

,

2

2

dxx

x 2x

23).

,4

dxx

x 0x 24).

,

2

33

6

dxxx

x 0x

25). ,313 dxx Rx 26).

,1

1dx

xx 0x

27). ,13dxxx 1x 28).

,

1

1dx

x

x 0x

29). ,11 dxxxx 1x 30).

,

11

1

3 2dx

xx 1x

31).

,

1

3 2dx

xxx

x 0x 32).

,

2

23

3

dxxx

xx 1x

33).

,

1

13

dxx

x 0x 34).

,

11

1dx

xx 0x

35).

,112

13

dxxx

1x 36).

,1

2

dxx

x1x



Primitive

I.

Daca functia de sub integrala este de forma :

n

dcx

baxxR ,

atunci se face substitutia tdcx

baxn

, iar de aici

tca

bdtx

n

n

ajungand in final la o

integrala asociata de functie rationala in t .

Exercitiul nr. 1 :


1).

,

11

1dx

xx

x 1x 2).

,

1

11dx

x

x

x 1;0x

3).

,

1

113 dx

x

x

x 0x 4).

,

1

1

1

13 dx

x

x

x 1x

5).

,11

1dx

xx 0x 6).

,

4

224

22

dxx

xx 2;2x

7).

,

11

11dx

xx

xx 1x 8).

,

11

1

3 42dx

xx 1x

9).

,1

2

dxx

x 0x 10).

,

1

1dx

x

xx ;11;x

11).

,

1

13 dx

x

x 1x .



Primitive

II.

In cazul integralelor de tipul

,

2dx

cbxax

xPm

xPm fiind polinom de grad m

Se scrie :

,

12

2

12

dxcbxax

cbxaxxQdxcbxax

xPm

m

(*)

unde xQm 1

este un polinom de grad 1m cu coeficienti nedeterminati , iar este un

parametru real . Se determina polinomul xQm 1

si numarul prin derivarea identitatii (*) .

III.

In cazul integralelor de tipul :

dx

cbxaxxn 2

1

cu ajutorul substitutiei :

tx

1

aceasta se reduce la tipul precedent .



Primitive

In cazul integralelor binome :

dxbaxxn pm

, Qpnm ,,

calculul primitivelor functiilor binomiale se reduce la calculul functiilor rationale numai in

urmatoarele cazuri stabilite de Cebisev :

Zp

Se face substitutia :

zxr

unde r este multiplu comun al numitorului lui m si n .

Zn

m

1


zbaxsn

unde s este numitorul lui p .

Zpn

m

1


zbxasn .



Primitive

Exercitiul nr. 1 :


1).

,2

2

3

dxx

x 2;2x 2).

,

4

42

24

dxx

xx Rx

3).

,1

12

dxxx

0x 4).

,1

122

dxxx

0x

5).

,

1

12

dxx

x Rx 6).

,

2

142

dxxx

x 2x

7).

,1

12

dxxx

1x 8).

,

31

122

dxxx

Rx

9).

,1

2

dxx

x 0x 10).

,

221

12

dxxxx

1x

11).

,23

12

dxxxx

2x 12). ,452

dxxx 1x

13).

,

11

122

2

dxxx

x Rx 14). ,2

23dxxx Rx

15).

,122

22dx

xx

x Rx 16).

,

422

3

dxx

x 2;2x

17).

,

21

12

dxxxx

;2x 18).

,4

2

2

dxx

x 2;2x

19).

,45

2

2

dxxx

x 5;1x 20).

,

1

123

dxxx

0x

21).

,123

12

dxxxx

1;

3

1x 22).

,

2

12

dxxxx

0x

23).

dxx32

12

, 3

2x 24).

dx

xx 1

12

, 0x

25).

dxxx 1

12

, 1x 26).

dx

xx 11

122

, Rx



Primitive

27).

,12

dxxx

0x 28).

,1

2dx

xx 1;0x

29).

,1

2

5

dxx

x 1x 30).

,

52

dxxx

x 2;0x .

Exercitiul nr. 2 :


1).

,1

2

2

dxxx

x Rx 2).

,

122

3

dxxx

x 21 x

3).

,

21

125 dx

xxx 0x 4).

,

1

22

2

dxx

x Rx

5).

,

11

12

2

dxxxx

xxx Rx 6).

,

231

12

dxxxx

2x

7).

,14

12

dxxx

Rx 8).

,34

12

dxxx

4;1x

9).

,

12

23

dxx

xx Rx 10).

,

11

12

dxxxx

1x

11).

,

21

12

2

dxx

x Rx 12).

,

1

12

dxxxx

Rx

13).

,22

2

dxx

xx 0x 14).

,

542

54

22

2

dxxxx

xx

Rx

Exercitiul nr. 3 :

Fie ;0a . Sa se calculeze :

1). ,22dxax Rx 2).

,

22

dxx

ax 0x

3).

,22

dxx

ax ax 4). ,22

dxxa aax ;

5). ,222dxaxx Rx 6).

,

1

22 3dx

ax

Rx



Primitive

7).

,1

22dx

xa ax 8). ,22

dxax ax

Exercitiul nr. 4 ( Duca )

Fie baRba ,, . Sa se calculeze :

1).

dxaxxb

1, bax , 2). dxxbax , bax ,

3). dxxbax , ax 4). dxxbax , bx

Exercitiul nr. 5 ( Duca )

Sa se calculeze :

1).

,13 4

dxx

x 0x 2).

,1 3

2dx

x

x 0x

3).

dx

x

x

3 21

, Rx 4). ,33 3dxxx 3x

5).

,1

dxxx

x 1,0x 6).

dx

x

x

1, 1;1x

7). ,43 32dxxx Rx 8).

,

13

dxx

x 0x

9).

,1

3dx

xx 0x 10).

,

13

3 2

dxx

x 0x

11). ,1 32dxxx Rx 12).

,

13

dxxx

0x

13). ,1 dxx 0x 14).

,1

3dx

x

x 0x

15).

,1

3

3

dxx

x 0x 16). ,

1

1

dx

x Rx

17).

,

1

1

4

3 dx

xx

0x 18). ,523 3

25

dxxx Rx



Primitive

19).

,1 3

2 2

3

dxxx 1x 20).

,1 3

4 8

5

2

1

dxxx 1x

21). ,43dxxx 0x 22). ,13

2

dxxx 0x

23).

,13

dxx

x 0x 24).

,

1

1

32

3 2dx

xx 0x

25). ,13 23dxxx Rx 26). ,

1

1

3 2

dx

xx 0x



Primitive

Integralele de tipul

dxcbxaxxR2,

se rationalizeaza prin ssuubbssttiittuuttiiiillee lluuii EEUULLEERR :

Daca ecuatia

02 cbxax are radacinile reale x1 si x2

se face substitutia :

xxtcbxax 1

2

sau

xxtcbxax 2

2

Daca

0a , atunci


axtcbxax 2

Daca

0c , atunci


cxtcbxax 2



Primitive

Exercitiul nr. 1 :


1).

,

231

12

dxxxx

2).

,221

12

dxxx

3).

,

11

12

dxxxx

4).

,65

12

dxxxx

5).

,

112

dxxxx

x 6).

,

212

2

dxxx

x

7).

,112

122dx

xx 8).

,

11

122

dxxx

9).

,

11

122

dxxx

10). ,2dxxx

11). ,222

dxxx 12).

dx

xxx

xx

1

12

2

13).

.

54

12

dxxx

x

Exercitiul nr. 2 :


1).

dxxx 221

12

, 1x 2).

dx

xxx2

11

1,

2

51;0x

3).

dxxxx 42

12

, Rx 4).

dxxxx 1

12

, Rx

5).

dx

xx

x

2107

3, 5;2x 6).

dx

xx 121

12

, 21;0 x

7).

dx

xx

x23

11, 1;1x 8).

xxx

xxx2

2

11

1, Rx



Primitive

9). dxxxx 5422

, 5;1x 10).

dx

xx

x

43

12

11).

dxxxx 273

12

, 0x 12).

dxxxx 44

12

, 2x

13).

dxxxx 441

12

14).

dxxxx 65

12



Primitive

Cazul in care functiile au in structura functiile xx cos,sin la puterea intai :

Daca functia de sub semnul integrala este de forma :

xxR cos,sin adica avem : dxxxR cos,sin

unde vuR , este o functie rationala

Atunci folosindu-ne de formulele trigonometrice :

21

22

sin2 x

tg

xtg

x

si

21

21

cos2

2

xtg

xtg

x

prin substitutia universala :

2

xtgt

se poate obtine o integrala asociata de functie rationala in t .

Intr-adevar :

t

tx

21

2sin

,

t

tx

2

2

1

1cos

iar din :

tx arctg2 t

dtdx

21

2

Observatii :

Prezenta functiilor trigonometrice xx cos,sin la puteri mai mari conduce la functii

rationale mai complicate si deci calcule mai greoaie .



Primitive

Cazul in care functiile au in structura functiile xx cos,sin la puteri mai mari :

In astfel de situatii se recomanda scrierea functiei sub una din formele :

Daca

xsincos,cos1xsincos,sin2

~2

~

xxRxxR

se recomanda substitutia : tx cos

Daca

xcossin,sin1xcossin,cos2

~2

~

xxRxxR

se recomanda substitutia :

tx sin

Daca

xxR cos,sin22

~

atunci se recomanda :

1). Trecerea de la patrate la cosinusuri de argument dublu dupa formulele :

2

2cos1sin

2 xx

,

2

2cos1cos

2 xx

sau

2). Substitutia

ttgx cand arctgtx t

dtdx

21

iar : t

t

xtg

xtgx

2

2

2

2

2

11sin

,

txtgx

2

2

2

2

1

1

1

1cos



Primitive

Daca

dxxxxRxxRnnnn

2sincos,sincos,sin22

~1212

~

1

atunci se recomanda exprimarea puterilor pare ale lui xx cos si sin in functie de :

xt 2cos

Exercitiul nr. 1 :


1).

,cos3

1dx

x ,x 2).

dx

xsin1

12

,

2,

2

x

3).

dxxx 3cos2sin

1, ,x 4).

,

sin2cos2sin

1dx

xxx

6,0

x

5).

,sin1

sindx

x

x

2,

2

x 6).

,

cossin

cossin2

dxxx

xx

4,

4

x

7).

,

cos2sin

3222

dxxx

tgx

ZkkRx2

\

8).

,sincos

124

dxxx

2,0

x 9).

,

cossin

cos3sin222

dxxx

xx

4,

4

x

10).

,

sin21

12

2

dxxaa

a

2,

2

x , unde a este un numar real 10 a .

Exercitiul nr. 2 :


1).

,cossin

1dx

xx

2,0

x 2). ,cossin23

dxxx Rx

3). ,sincos23

dxxx Rx 4). ,cossin42

dxxx Rx



Primitive

5).

,cossin

124

dxxx

2,0

x 6). ,cossin55

dxxx

2,0

x

7).

,cossin

sindx

xx

x

2,0

x 8).

,

cos5sin4

cos3sin2dx

xx

xx

2,0

x

9). ,sin2

dxax RxRa , 10). ,cos2

dxax RxRa ,

11). ,sin212

dxx Rx 12). ,3sin12

dxx Rx

13). ,cos3

dxx Rx 14). ,cossin2

dxxx Rx

15). ,cossin2


dxxx Rx

17). ,cossin32


dxxx Rx

19). ,sin

cos2

3

dxx

x

2,0

x 20). ,sin

1dx

x

2,0

x

21).

,cos35

1dx

x

2,0

x 22).

,cossin3

1dx

xx 2,0x

23). ,2sinsin dxxx Rx 24).

,sin1

12

dxx

,0x

25).

,

cos2sin3

cossin2

dxxx

xx

2,0

x 26).

,coscos1

sin2

dxxx

x

2,0

x

27).

,cossin

sindx

xx

x

2,0

x 28). ,4

dxxtg

2,0

x

29). ,22

dxxtg

2,0

x 30).

,

cossin

cossin2

dxxx

xx

2,0

x

31). ,3sin2

dxx Rx 32). ,cos212

dxx Rx

33). ,2sin12

dxx Rx 34). ,cos4

dxx Rx

35). ,cos3sin xdxx Rx 36). ,5sin3sin xdxx Rx

37). ,6cos3coscos xdxxx Rx 38). ,cossin22

dxxx Rx

39). ,cossin44


dxxx Rx

41). ,sin5


dxxx Rx

43). ,cos7


dxxx Rx

45). ,sincos32

dxxx Rx 46).

,cos

sin12

3

dxx

x

2;0

x



Primitive

47). ,cos

sin4

3

dxx

x

2;0

x 48).

,sincos

13

dxxx

2;0

x

49).

,sincos

133

dxxx

2;0

x 50).

,sincos

144

dxxx

2;0

x

51). ,5

dxxtg

2;0

x 52). ,18 dxxtg

2;0

x

53).

,sin45

1dx

x daca ;0x ; si apoi pentru 2;0x

54).

,

cos2

sin2dx

x

x

2;0

x 55).

,cossin

1dx

xx

2;0

x

56).

,cossin1

1dx

xx

2;0

x 57).

,sin

1dx

tgxx

2;0

x

58).

,cos4sin3

1dx

xx

2;0

x 59).

,3cos2sin

1dx

xx ;x

60).

,cos53

1dx

x ;x 61).

,

cos7sin48

1dx

xx ;x

62).

,

sin3sin2

1dx

xx ;x 63).

,

cos3sin1

1dx

xx ;x

64).

,

cos3cos2

1dx

xx ;x 65).

,

cossin

144

dxxx

2;

2

x

66). ,sin

16

dxx

;0x 67). ,cos1 dxx 2;0x

68). ,cos

sin3

dxx

x

2;0

x 69).

,sin1sin

cos2

dxxx

x

2;0

x

70). ,cos

sindx

x

x

2;0

x 71).

dxxxe

xx

cossin

sin, 0x

72).

dxxxe

xx

cossin

sin,

2;0

x 73).

,

cos2sin6

cos3sin5dx

xx

xx

2;0

x

74).

,lnsin

ln2

cos2sin12

dxxxx

xx

xx

2;1x 75).

,

sincos

cosdx

xxe

xex

x

2;1x



Primitive

Exercitiul nr. 3 ( Duca ) :


1). ,cossin25

dxxx Rx 2).

,cos31

12

dxx

2;

2

x

3). ,cos2

1

dx

x ;0x 4).

,

sin1

12

dxx

2;

2

x

5).

,cossin

155

dxxx

2;0

x 6).

,

cos1

322

dxx

xtg

2;0

x

7). ,5

dxxtg

2;

2

x 8). ,

cos3

1

dx

x

2;

2

x

9).

,sin31

12

dxx

2;

2

x 10). ,

cos

14

dxx

2;

2

x

11).

,2sinsin2

1dx

xx

2;0

x 12). ,cossin

1

dx

xx

2;0

x

13).

,2sin

1dx

x

tgx

2;0

x 14). ,sin

cos4

2

dxx

x

2;0

x

15). ,sin

cos2

dxx

x ;0x 16).

,

cossin

12 dx

xx

2;0

x

17). ,4

dxxctg ;0x 18). ,3cos

cosdx

x

x

2;0

x

19). ,cos

2sin4

dxx

x

2;

2

x 20). ,

sin

2cos4

dxx

x ;0x

21).

,sin

cos12

3

dxx

x ;0x 22).

,

cos2sin

122

dxxx

2;0

x

23). ,cos

1dx

x

2;

2

x 24).

,

cossin

cossin44

dxxx

xx

2;

2

x



1). ,sin4

dxx Rx 2). ,2

dxxctg ;0x



Primitive

3). ,3

dxxtg

2;

2

x 4).

,

cossin

12

dxxx

2;0

x

5). ,sin

cos3

dxx

x ;0x 6). ,

sin

1 dx

x ;0x

7).

dx

x

xx

cos1

cossin2

3

, Rx 8).

,3cos2sin

1dx

xx ;x

9). ,sin

cos3

dxx

x ;0x 10). ,

5

dxxctg

2;0

x

11).

,5cossin2

1dx

xx ;x 12).

,

cos4sin3

cossin222

dxxx

xx Rx

13).

,sin2

1dx

x ;x 14).

,

cos2sin

sin2

dxxx

x

2;0

x

15).

,cossin

166

dxxx

Rx 16).

,

2cos2sin

sin12

dxxx

x

4;0

x

17).

,cos2sin

122

dxxx

Rx 18).

,

sin1

cossin4

dxx

xx Rx

19).

,

cos1

sin1dx

x

x

2;

2

x 20).

,

sin45

1dx

x

2;0

x

21). ,cos

sin5

dxx

x

2;0

x 22).

,cossin

124

dxxx

2;0

x



1).

,

cossin

cossin3

dxxx

xx

4;0

x 2). ,2cos

sindx

x

x

4;0

x

3).

,2cos2

cosdx

x

x Rx 4).

,

sin1cos

sin2

dxxx

x

2;

2

x

5). ,cos

sin2

2

dxxtgx

x

2;0

x 6).

,2sin2

sindx

x

x

2;0

x

7).

,

cos2sin4

cossin22

dxxx

xx Rx 8).

,

cossin

153

dxxx

2;0

x



Primitive

Exercitiul nr. 6 ( Mihalca + Nita ) :


1). ,5cos dxx 2). ,2xdxtg 3). ,2dxxtgx

4). ,cos1

dxxx

5).

dxx1cos

12

, 6). ,3sin

12

dxx

7). ,5sinsin xdxx 8). ,cos3cos xdxx 9). xdxx 5cos3sin ,

10). ,4cos

1dx

x 11). ,

8sin

1dx

x 12). ,sin

3dxx

13). ,sincossinsincos dxxxx 14). ,cos5

dxx

15). ,cossin2

dxxx 16). ,cossin23

dxxx 17).

,cos1

12

dxx

18).

,cos1

2sin4

dxx

x 19). ,

cos

sin3

dxx

x 20). ,

3

dxxtgxtg

21). ,42

dxxtgxtg 22).

,

1

12

dxxtg

xtg 23). ,

cos2

dxx

xtg

24). ,sin

2dx

x

xctg 25).

,

1cos

12

dxxtgx

26).

,sin9

cos2

dxx

x

27).

,sin9

2sin2

dxx

x 28).

,

2cos2

cosdx

x

x 29).

,

2cos1

2sin2dx

x

x

30).

,coscos1

sin2

dxxx

x31).

,

12 dxxtgxtg

xtg 32).

,

cossin

cos3sin222

dxxx

xx

33).

,cos2

sin3

dxx

x 34).

,

sin3

1dx

x ;x

35).

,sin54

1dx

x ;x 36).

,

cos35

1dx

x ;x .

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Definitia 1 - sibiulcopiilor.ro · 11)).. rO functie care admite primitive aaree proprietatea lui Darboux (proprietatea functiilor derivate). 2 2)).. O functie care nu are proprietatea