Departamento de Gestão e Economia

Microeconomia I 2012/2013 24/4/2013

(120 minutos)

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Na folha existem espaços para apresentar as suas respostas. Faça uma boa afetação do seu tempo. A cotação de cada pergunta aparece entre parênteses. Boa Sorte!

I

O Tiago retira o seu bem-estar do consumo de dois bens (X e Y), as suas preferências podem ser representadas pela seguinte função utilidade

���, �� = �� − � × �� + �� Onde x é a quantidade do bem X e y é a quantidade do bem Y.

a) (0,5 valores) Calcule a utilidade associada ao cabaz (5,3). Ache a expressão da curva de indiferença que contém o cabaz (5,3).

R: �� , � = � − � × � + �� = �� � = ����− �

b) (1 valor) Represente graficamente a curva de indiferença que passa pelo ponto (5,3), assinalando dois pontos nessa curva, sendo um deles sobre um dos eixos.

R:

d) (2 valores) Deduza a expressão da taxa marginal de substituição para a função utilidade acima. Ache a taxa marginal de substituição no cabaz (5,3). Qual o significado do valor encontrado.

R: ��� = ����� ���� , � = �

A TMS (5,3) ser igual a __ �___ significa que o Tiago quando está a consumir o

cabaz (5,3) troca uma quantidade infinitesimal do bem X por � dessa quantidade

do bem Y mantendo a sua utilidade constante.

e) (1,5 valores) Sabendo que os preços dos dois bens são iguais a € 2 e que o rendimento do Tiago é € 16, mostre, sem calcular o ótimo, que o cabaz (5,3) não é o consumo ótimo do Tiago.

R: O cabaz (5,3) não é ótimo porque, por exemplo, o cabaz (5,1;2,9) está acessível ao Tiago (custo desse cabaz é €16) e traz-lhe uma utilidade de 10,29 maior do que a utilidade do cabaz (5,3) igual a 10.

f) (3 valores) Ache o cabaz ótimo de consumo do Tiago. Calcule a utilidade que o Tiago obtém do consumo desse cabaz e a taxa marginal de substituição (TMS) nesse cabaz. Verifique que a sua resposta satisfaz a restrição orçamental e relação entre a TMS e o rácio dos preços.

R: O cabaz ótimo é �� = �� �� = � ����, ��� = ��� − � × �� + �� = ��� �� ���, ���= �!��� + !��� = �" Resolução geral: Solução de canto �# = �!� �# = ��� = ��!�� $%&'%#(&��� = � < !�!� = �logo a

solução não ´é de canto Solução interior ��� = �� + ��� − = !�!� !��� − !� =!��� + �!�!���=!��� + �!� + !� !��� + !��� = �!��� + �!� + !� + !���= ��!��� = �− �!� − !� �� = �− �!� − !��!�

!��� =!��− �!� − !��!� + �!� + !� = �+ �!� + !�� ��=� + �!� + !��!�

Substituindo �� =���!��!��!� = �"� = ��

�� = �− �!� − !��!� = "� = �

g) (2 valores) Calcule o cabaz que traz a mesma despesa ao Tiago que o cabaz ótimo calculado acima (está sobre a reta orçamental), está numa curva de indiferença com utilidade positiva e que só contem um dos bens, ou seja a quantidade do outro bem é zero. Calcule a taxa marginal de substituição nesse cabaz. Verifique que nesse cabaz a utilidade do Chico é inferior à do cabaz ótimo. R: �* = +�* = �

�� ,�*, �*- = � �,�*, �*- = �+ − � × �� + ��= �� < .���, ��� = ���

g) (3 valores) Devido a uma grande seca, o preço do bem 2 aumenta para € ��. Calcule os efeitos total, substituição e rendimento na procura do bem 2 pelo Tiago utilizando a compensação à Slutsky.

R: Efeito total = − � Efeito rendimento = − ��� Efeito substituição = = − /

Resolução:

Solução final é de canto

�# = �!� �# = ��� = ��!� − $%&'%#(&��� = � > !�!� = ���

Efeito total =� − � = − � Rendimento de Slutsky

� × �� + �� × � = �+

Solução interior (verifique porque não é de canto)

�& = �− �!� − !��!� = �+ − �� − "�� = ���

Efeito substituição= ��� − � =− ���� = − /

Efeito Rendimento= − ���

h) (1,5 valores) Calcule a curva de Engel (relaciona a quantidade consumida com o rendimento) para o bem Y para os preços iniciais.

R: A curva de Engel é

� = 1���!��!��!� = ����� &%� ≥ ���&%� < 10 5

i) (1,5 valores) Qual o valor do multiplicador de Lagrange correspondente à restrição orçamental no equilíbrio inicial? Confirme o que significa o multiplicador de Lagrange em termos de Utilidade (apresente os cálculos).

R: λ =���!� = ���� = /�

Confirmação:

λ é a derivada da utilidade em relação ao rendimento numa solução interior

�� =���!��!��!� =�����

�� = �− �!� − !��!� = �− ���

� = �� + ��� − � × �� − ��� + �� = ��− ����− ���" = ��− ����"

6�6� = ���− ���" 6�6� =���" − ���" = ��+ = /� II

a) (1 valor) Diga o que significa “o Cabaz ��(, �(� é directamente revelado preferido ao Cabaz ��7, �7�” R: o Cabaz ��(, �(� é directamente revelado preferido ao Cabaz ��7, �7� significa que quando o consumidor comprou o Cabaz ��(, �(� podia ter comprado o Cabaz ��7, �7�, ou seja o custo do segundo cabaz era inferior ao do comprado. b) (3 valores) Utilize a teoria da preferência revelada para mostrar que se o preço de um bem aumentar o efeito substituição no consumo desse bem, com compensação à Slutsky, não pode ser positivo, mantendo tudo o resto constante. Explicite os teoremas que utilizar.

R: Seja o cabaz X comprado ao preço P e o Cabaz X+89 comprado ao preço P+8:

Por definição de compensação à Slutsky

�: + 8:�9 = �: + 8:��9 + 89� Logo se X não é o cabaz X+89 pelo axioma fraco da preferência revelada

:9 < ;�< + 89� o que subtraindo desta equação a primeira temos

:9 − �: + 8:�9 < ;�< + 89� − �: + 8:��9 + 89� −�8:�9 < −�8:��9 + 89� −�8:�9 + �8:��9 + 89� < 0

�8:��89� < 0

Fazendo �8:� = �����8=>��…�� temos

�8=>��8�>� < 0

Sendo igual a zero se os dois cabazes forem o mesmo.