Der gegenwärtige Stand der Theorie der Sekundärelektronenemission

Der gegenwiirtige Stand der Theorie der Sekundiirelektronen- emission

Von 0. HACHENBERG und W. BRAUER

I n h a I t

Q 1 : Die grundlegenden Erscheinungsformen der Sekundiiremission . . . . . . . 439

Q 3: VbersichtuberdieVersuchedertheoretischenBehandlung . . . . . . . . . 448 Q 4: Die "heorie von BAROODY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 450 Q 5: Bemerkungen zur BARoOnYschen Theorie . . . . . . . . . . . . . . . 461 Q 6 : Die halbempiricche Theorie von BRUINING und JONKER . . . . . . . . . . 464 Q 7 : Die quantenmechanische Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465

5 9: AbachlieBende Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477 . . . . . . . . . . . . 477

Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484

Q 2: Die Sekundiremiasion der Metalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

Q 8: Bemerkungen zur Theorie von WOOLDRIDGE . . . . . . . . . . . . . . 474

Q 10: Die Sekundiiremission der Halbleiter und Isolatoren

Seit der Entdeckung der Sekundiirelektronenemission durch AUSTIN und STARKE im Jahre 1902 sind zahlreiche Untersuchungen uber diesen Gegen- stand durchgefiihrt worden. Besonders stark wuchs die Zahl der Arbeiten an, seiMem die Technik der Elektronenrohren fur Nachrichteniibertragung und Fernsehen begonnen hatte, die Sekundiiremission auszunutzen, andererseits aber auch auf storende Erscheinungen in den Rohren gestoBen war, die auf Sekundiiremission zuruckzufiihren waren. Trotz der zahlreichen Arbeiten iiber diesen Gegensfand steht noch bis heute eine umfassende quantitative theoretische Behandlung aus. Das hat seinen Grund einmal in der Tatsache, daB die Erscheinung komplex ist und mehrere ElementarvorgLnge einschliel3t. Zum anderen stellen sich der theoretischen Behandlung die gleichen Schwie- rigkeiten entgegen, die der Bearbeitung vieler Festkorperfragen im Wege stehen.

8 1. Die grundlegenden Ersdheinangsfomen der Sekundiiremission

UmreiSen wir zuerst die allgemeinen Beobachtungsergebnisse, die eine Theorie zu beschreiben hat. Zur Charakterisierung der Sekundiiremission bietet sich uns zuerst eine Aus- sage iiber die Anzahl der Sekundiirelektronen oder die Ausbeute dar. Die Aus- beute, die man im allgemeinen mit 6 bezeichnet, ist definiert als

Anzahl der SekundLrelektronen i, =- Anzahl der Primiirelektronen i,' d =

30 Zeitschrift ,,Fortschritte der Physik"

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wobei i , den Sekundiirstrom und i, den Primiirstrom bedeutet. Die niaximalen Werte von 6 liegen bei der Mehrzahl der untersuchten Stoffe uber 1: die bestrahlten Stoffe sind also sicher am Eniissionsprozelj beteiligt. Die A u s b e u t e 6 ist abhangig von der Primiirelektronenenergie Ek. Die Abhangigkeit von E i hilt f i i r die verschiedensten Stoffe immer einen iihn- lichen Verlauf. Fur zwei tgpische Metalle sind die Ausbeutekurven in der ublichen Form in Abb. 1 dargestellt. Von 10 eV Primarenergie an steigt die Kurve zuniichst monoton an, erreicht ein flaches Maximum bei E;,,,,, von einigen hundert Volt und fiillt von da an mit steigender Primarspannung langsam ab. Die Ausbeute 6 ist auljerdeni abhiingig von den1 Auftreffwinkel der Primlir- elektronen, den1 Naterial des Korpers und von der Oberfliichenbeschdenheit

Abb. 1. Ausbeutekurven von Kalium (a) und Molybdan (b) .

des Korpers. Die Mehrzahl der Arbeiten uber Sekundiiremission beschblftigt sich niit Messung der Ausbeute an den verschiedenen Stoffen. Einen tieferen Einblick in die Erscheinung der Sekundiirelektronenemission gewiihrt die Analyse der Ene rg ieve r t e i lungskurven der an der Auf- treff stelle der Primarelektronen austretenden Sekundarelektronen. Die Energieverteilungskurve zeigt, dalj von der Auftreffstelle der Primarelektronen drei verschiedene Gruppen von Elektronen ihren Ausgang nehmen. Eine erste Gruppe umfaljt die typischen Sekundiirelektronen ; diese besitzen Ge- schwindigkeiten zwischen 0 und etwa 20 eV mit einem ausgesprochenen Maximum bei etwa 2 eV. Die Enegieverteilung ist einer MAxwELLschen Verteilunp ahnlich, ohne mit ihr nlther in Beziehung zu stehen. Eine zweite Gruppe von Elektronen verllljt den Borper mit einer Geschwin- digkeit, die exakt mit der Primiirelektronenenergie ubereinstimmt . Wir inussen diese Elektronen als elastisch reflektierte Primiirelektronen ansprechen, die mit dem eigentlichen Mechanismus nichts zu tun haben. Zwischen 20 eV und der Primiirelektronenenergie befindet sich noch eine weitere Gruppe von Elektronen, die nicht sehr ausgepriigt in Erscheinung tritt, die sich aber von beiden Gruppen deutlich unterscheidet. Es sind dies

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in der Mehrzahl riickdiffundierte Primiirelektronen, die in den Korper ein- gedrungen, dort einen Teil ihrer Energie einbiiBten und dann wider &us der Oberflache austreten. I n Abb. 2 sind diese drei Gruppen von Elektronen schematisch dargestellt. Zu einem kleinen Teil befinden sich in der letzten Gruppe aber auch Elek- tronen, die bei der Anregung eines Rontgenniveaus des bestrahlten Korpers infolge des AUGER-EfFekts entstanden sind. Dabei wird die bei der Re- kombination des angeregten Rontgenniveaus frei werdende Energie nicht als ein Rontgenquant, sondern als ein sekundares Elektron mit der entspre- chenden kinetischen Energie ausgestrahlt. Das Vorhandensein der AUGER- Elektronen in diesem Bereich wurde von LANDER (5) .nachgewiesen. Die Anzahl dieser Elektronen ist aber verschwindend klein gegeniiber den riick-

Ahb. 2. Schematische Daratellung der Energieverteilnng der sekundiiren Elektronen. a) wirkliche Sekundlr- elektronen, b) reflektierte Primiirelektronen, c) riickdiffundierte Elektronen.

diffundierten Elektronen und daher fur die theoretische Betrachtung zunachst nicht ins Gewicht fallend. Bei den Ausbeutemessungen ist es in der iiberwiegenden Mehrzahl der Unter- suchungen iiblich, wirkliche Sekundiirelektronen und riickdiffundierte Elek- tronen nicht voneinander getrennt zu bestimmen, sondern beide Anteile eusammen als Sekundiirelektronen zu bezeichnen. Fur die theoretische Dis- kussion der Ausbeutewerte ist aber eine saubere Trennung beider Anteile unerllifllich. Und zwar mu13 einerseits von dem Primiirstrom der Anteil der elastisch reflektierten Elektronen in Abzug gebracht werden, denn diese Elektronen nehmen an dem ErzeugungsprozeB keinen Anteil. Andererseits miissen von den Sekundiirelektronen die riickdiffundierten Primarelektronen abgetrennt werden. Diese Elektronen haben zwar an dem ErzeugungsprozeB in dern FestkGrper teilgenommen, sie sind aber selbst nicht in einem An- regungsprozel3 im Korper entstanden. Der Festlegung der Grenzen zwischen wirklichen Sekundarelektronen und den riickdifhndierten Elektronen haftet eine gewisse Willkiirlichkeit an, wie man aus dem Verlauf der Kurve Abb. 2 erkennt. Setzt man die Grenzen zwischen 30 eV und 50 eV an, so wird man aber keinen groBen Fehler begehen. Infolge der verschiedenen Oeschwindigkeiten der einzelnen Elektronen- gruppen ist experimentell die Moglichkeit einer Trennung gegeben. Allerdings stehen exakte Messungen noch &us. Bisher wurde nur der Anteil der ruck- 30.

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diffundierten Elektronen fur eine Reihe von Metallen von PALLUEL (6, 7) gemessen. Er trennte die ruckdiffundierten Elektronen bei 40 eV von den eigentlichen Sekundarelektronen ab. Die Messungen wurden in dem Bereich von 1,8 kV bis 18 kV durchgefuhrt. Ergiinzungen nach kleinen Primar- geschwindigkeiten wurden von STERNGLASS, FREY und GRAMIS (8) durchgefuhrt. Der Anteil der ruckdiff undierten Elektronen ist eine eindeutige Punktion der Kernladungszahl und daher fur alle nicht gemessenen Metalle leicht abschatzbar. Die Abhangigkeit de r Ausbeu tevondem Einfallswinkelder Primiir- elektronen ist ausgepragt. Bei schriigem Einfallswinkel der Primarelektronen steigt die Ausbeute gegenuber dem senkrechten Einfall betriichtlich an. Die Abhangigkeit der Ausbeute vom Einfallswinkel ist bei kleiner Energie der Primarelektronen (E: < 100 eV) weniger ausgepriigt als bei hoherer Energie. AuBerdem ist die Winkelabhiingigkeit der Ausbeute vom Material abhlngig, und zwar scheint die Kernladungszahl des Materials einzugehen. Bei Stoffen mit kleiner Kernladungszahl ist die Abhiingigkeit von dem Auftreffwinkel groBer, bei Stoffen niit hoher Kernladungszahl relativ klein. BRUINING (2, 9, 10) nimmt fur die Sekundarelektronen eine mittlere Ent- stehungstiefe an, die sich bei schragem Einfall um COB y iindert; auBerdem setzt er ein exponentielles Absorptionsgesetz an und leitet fur die Ausbeute d(y) eine Beziehung ab von der Form

d ( y ) = $,azat (1-cow) .

Die Beziehung gibt die Messungen fur y < 80" befriedigend wieder, wenn in x, die Materialabhiingigkeit berucksichtigt wird. Von LUKJANOW (11) wurde eine ahnliche Beziehung abgeleitet, die ebenfalls die Messungen befriedigend wiedergibt. Die Vorstellungen, die zur Ableitung der obigen Be- ziehung fuhrten, konnen nur als eine erste Niiherung angesehen werden. Die Abweichungen, die insbesondere bei groBereni Winkel auftreten, haben ihre Ursache ia der Diffusion des Primiirstrahls. Unter den grundlegendenBeobachtungsergebnissenist fernerdie Ric h t ung s - ver t e i lung d e r aus t r e t enden Sekundiirelektronen von Interesse. Die Anzahl der Elektronen, die in einem gegebenem Raumwinkelelement austreten, ist in der Richtung senkrecht zur Oberflache des Korpers am groBten: sie filllt, wenn 8 der Austrittswinkel gegen das Lot ist, mit cos 8 ab. Die Winkelverteilung ist in weiten Grenzen unilbhilngig .von der Primiirenergie und unabhangig von dem Auftreffwinkel der Primiirelektronen. An neueren Arbeiten uber den Gegenstand ist eine Arbeit von JONKER (12, 70) zu nennen. Einige Worte sind noch uber die Auslosezeit de r Sekundiirelektronen zu sagen. Die Zeit zwischen dem Auftreffen des Primiirelektrons und dem Austritt der Sekundarelektronen schiitzte WANG (13) an einem Reflexklystron ab, in welchem er den Reflektor durch eine Prallplatte ersetzt hatte. Er fand, daB das Klystron bei 4000 MHz befriedigend arbeitete und schatzte darausdie Auslosezeit zu < 2 x 10-lo sec ab. GREENBLATT und MILLER (14) machten ghnliche Abschatzungen an einem Sekundiirelektronenvervielfacher und fanden die Auslosezeit zu < 5 x sec. SchlieBlich gibt LAW (15) aus Messungen an Vervielfachern eine Auslosezeit von ungefahr 3 - 10-lo sec an.

Der gegenwiirtige Stand der Theorie der Sekundirelektronenemission 443

Die angegebenen Zeiten sind sehr kurz, aber immerhin um mehr als eine Zehnerpotenz liinger als die Zeit, die ein Elektron zu dem bloBen Durchlaufen der Oberfliichenschicht benotigt. Die Zeit ware zu deuten als die Relaxations- zeit, in der der Anregungszustand der Elektronen nach dem primiiren StoB in das Ferminiveau der Metallelektronen zuriickgegangen ist . Betrachten wir anschlieBend die Abhiingigkeit der Sekundiiremission von dem Material, so sind vorher einige Bemerkungen uber den EinfluB der Ober- fliiche notig. Der mechanische Zustand der Oberf-liiche kann den wahren Ausbeutewert des Materials stark verfalschen. Bei unebenen Oberfliichen ist der Auftreffwinkel der Primiirelektronen nicht definiert. Porose Oberfliichen hemmen das Austreten der Sekundarelektronen vor allem aus den Poren, so da8 an diesen Oberfliichen die niedrigsten Ausbeuten beobachtet wurden. h n l i c h nachteilig wirken sich auch an der Oberfliiche adsorbierte Gasschichten auf die Ausbeutewerte aus, die manchmal erst nach langer Warmebehandlung im Vakuum entfernt werden konnen. Von diesen meBtechnisch wichtigen Problemen wollen wir hier absehen und nur einwandfreie Ausbeutewerte der Materialien in die Diskussion aufnehmen. Bei den Betrachtungen der Materialabhangigkeit der Sekundaremission miissen wir nicht nur aus den bekannten mefitechnischen Griinden, sondern auch auf Grund der verschiedenen Ergebnisse zwischen Metallen einerseits und den Halbleitern und Isolatoren andererseits unterscheiden. Da sich die bisherigen Theorien in der Hauptsache auf die Metalle beziehen, miissen wir diese hier besonders behandeln, wiihrend die Halbleiter und Isolatoren am SchluB gesondert diskutiert werden.

0 2. Die Sekundiiremission der Metalle

Retrachtet man die bisher veroffentlichten Ausbeute-Messungen a n den Met allenl), so ist als erste Tatsache zuniichst festzustellen, daB die Ausbeute- werte nur in einem auBerordentlich geringen Bereich variieren. Wiihrend die ubrigen Kennwerte der Metalle wie Dichte, spezifische Leitfahigkeit, Anzahl der Elektronen pro cm3 oder Anzahl der freien Elektronen, die bei dem Emis- sionsprozel3 eine Rolle spielen konnten, uber weite Bereiche veriinderlich sind, liegt der Variationsbereich der Ausbeute etwa zwischen 0,6 und 1,6. Unter- sucht man die Verteilung der Metalle in diesem Variationsbereich, so kann man zwei Gruppen feststellen. Einmal bilden die leichten Metalle, die sich gleichzeitig durch niedrige Aus- trittsarbeit der Elektronen auszeichnen, eine Gruppe mit geringer Ausbeute. Hervorzuheben sind in dieser Gruppe die Alkali- und die Erdalkalimetalle. Die maximalen Ausbeutewerte dieser Gruppe liegen etwa zwischen 0,6 und 1. Die schweren Metalle bilden eine zweite Gruppe, deren maximale Ausbeute- werte etwa zwischen 1,l und 1,6 liegen. In dieser Gruppe finden wir die groBe Menge der ubrigen Metalle.

l ) Eine vollstiindige ZusammensteUung der Yessungen findet sich bei BRUINING: ,,Die Sekundiir-Elektronenemission fester Korper", Springer, Berlin 1942. Neuere Mearmngen sind nur in sehr geringem Umfange hinzugekommen.


Mc. KAY (3) hat dariiber hinaus den Versuch unternommen, die maximalen Ausbeutewerte in engere Beziehung zur Austrittsarbeit der Metalle zu bringen. Er findet, daS hohere Ausbeutewerte mit hoherer Austrittsarbeit verbunden sind und die Metalle mit niedriger Austrittsarbeit auch niedrigere Sekundiirelektronen-Ausbeute haben. Der Zusammenhang zwischen Aus- trittsarbeit und Ausbeute ist zunachst nicht ohne weiteres verstandlich, da andere Experimente geradezu zu dem SchluB driingen, daS die Veriinderung der Austrittsarbeit keinen nennenswerten EinflnB auf die Sekundiiremisqion hat. Es ist moglich, daB sich hinter dem losen Zusammenhang eine andere Beziehung verbirgt. Neben der GroBe der Ausbeutewerte ist auch die F o r m d e r Ausbeute- ku rve fur die theoretische Behandlung von Wichtigkeit. SchlieBlich stellt die Ausbeutekurve eine der grundlegenden Tatsachen der Sekundaremission dar, die die Theorie wiedergeben muB. I n der Abb. 1 wurde je eine typische Kurve fur die beiden Gruppen der Metalle in der ublichen Form wiedergegeben. Der Verlauf der Ausbeutekurve ist bei allen Metallen iihnlich. Diese Ahnlichkeit wurde von BAROODY (16) besonders augenfallig geniacht , indeni er fur verschiedene Metalle die Ausbeute- kurven so normierte, daS er den Wert der maximalen Ausbeute gleich eins setzte und ebenfalls den Wert der Primarenergie, bei dem das Maximum der Ausbeute auftritt, als Einheit wahlte. In dieser Form aufgetragen, liegen die Kurven fiir die verschiedenen Metalle in einem iiberraschend engen Streu- bereich, SO daB man in der Darstellung von einer mittleren Ausbeutekurve fur die Metalle sprechen kann. Fur den Vergleich der Ausbeutekurven niit den Ergebnissen der Theorie sind die biaher betrachteten Kurven noch mit einem Fehler behaftet. Wie schon oben erwiihnt, ist bei den aufgetragenen Ausbeutewerten keine Trennung zwischen den wirklichen Sekundarelektronen und dem Anteil der riick- daundierten Elektronen gemacht worden. Es niussen also die Ausbeutewerte um den Anteil der ruckdiff undierten Elektronen korrigiert werden. Um eine Vorstellung von dem EinfluB der Korrektur auf den Kurvenverlauf zu erhalten, wurde in Abb. 3 an der Ausbeutekurve fur Xickel der Anteil der riickdiffundierten Elektronen berucksichtigt. Dabei wurde zunachst am Messungen von WARNECKE (34) und neueren Messungen von SALOW (33) und BLANKENFELD (30) eine mittlere Ausbeutekurve fur Nickel gebildet. Die Werte des Riickdiff usionskoeffizienten von PALLIJEL (6) mufiten nach dessen Angaben und den Ergebnissen von STERNGLASS, FREY und GRANIS (8) auch auf kleinere Primiirspannungen extrapoliert werden. I n der Kurve h ist der so gewonnene Riickdiffusionskoeffizient dargestellt. Hringt man die ruckdiffundierten Elektronen in der Ausbeutekurve in Abzug, so wirkt sich die Korrektur starker auf das Gebiet hoherer Primarenergien aus. Das Maximum der Ausbeutekurve tritt stiirker hervor, die Kurve fallt bei hoheren Primiir- energien schneller ab. Wenn auch gegen das Korrekturverfahren in der angewandten Form noch Einwande zu erheben sind, so zeigt die neu gewonnene Ausbeutekurve doch an, in welcher Richtung sich die bisherigen Kurven bei exakter Beriicksichtigung der riickdiffundierten Elektronen ver- iindern werden. Nur so Rind sie zu einem Vergleich mit den Ergebnissen der Theorie geeignet.

Der gegenwartige Stand der Theorie der Sekundiirelektronenemission 445

Ergiinzend sei bemerkt, daB schliel3lich in neuerer Zeit von TRUMP und VAN DE GRAAFF (I?') und ebenso von MILLER und PORTER (18) Aus- beutemessungen bis zu s'ehr hohen Primiirenergien ausgedehnt wurden. Es wurden Ausbeuten in dem Bereich 50 kV < Eg 5 1,5 MeV gemessen. Bei sehr hohen Primiirenergien spielt der Anteil der riickdiff undierten Primiir- elektronen eine betriichtliche Rolle. AuSer der Bestimmung des allgemeinen IKurvenverlaufes hat es nicht an Versuchen gefehlt, auch nach individuellen Eigenarten der Ausbeutekurven von Metall zu Metall zu suchen. In dem Bereich niedriger Primiirelektronen- energie E$ < 50 V wurden von FARNSWORTH (19) Maxima und Buckel gefunden, die sich dem allgemeinen Kurvenverlauf uberlagern und die als Anzeichen fiir bevorzugte Elektroneniibergange in den Festkorpern anzu-

Abb. 3. Sekundliremissionsverm6genI von Nickel, korrigiert um den Anteil der riickdiffundierten Primar- elektronen. a) iibliche MeBkurve von Nickel, h) Ruckdiffuaionskoeffizient, c ) korrigierte Kurve fiir Nickel.

sehen sind. Ahnliche Besonderheiten in den Ausbeutekurven wurden auch von WARNECKE (20) an gut entgasten Proben von Wolfram, Tantal und Nickel gefunden. Weitere Bestatigungen dieser Ergebnisse wiiren zu wiinschen. Auch die Abhiingigkeit der Energieverteilungskurven von dem Material der untersuchten Proben miissen wir einer Betrachtung unter- ziehen. Betrachten wir hierzu in erster Linie die in sich geschlossexie Serie von Messungen von KOLLATH (21), so miissen wir feststellen, dal3 die Energie- verteilungskurvenvonzehn verschiedenen Metallen oder Legierungen alleinner- halb eines engen Bereiches verlaufen. I n Abb. 4 ist der Streubereich der Kurven schraffiert dargestellt. DieMaximader Verteilungskurvenliegenzwischen 1,4 eV und 2,2 eV. Bei hoheren Energien wird der Streubereich etwas breiter. Individuelle Abweichungen von dem glatten Verlauf der Kurven wurden auch bei den Energieverteilungskurven gefunden. Bei Energiewerten E > 6 eV treten bei gut gereinigten und ausgegliihten Proben gelegentlich schwach angedeutete sekundiire Maxima auf . Vergleicht man die Angaben verschie- dener Bearbeiter iiber die Lage der sekundilren Maxima, so findet man keine gute ffbereinstimmung; das mag wohl zum groBen Teil an den schwierigen


Versuchsbedingungen liegen, andererseits auch auf das schwache Auftreten der Erscheinung zuriickzufiihren sein. Der EinfluB des Gi t te rs auf die Sekundiiremission. Die Ahnlichkeit der verschiedenen Ausbeutekurven der Metalle und die geringen Unterschiede in den Kurven der Energieverteilung von Metall zu Metall deuten an, daB auch der EinfluB des Gitters auf die Sekundaremission nicht sehr in Er- scheinung treten wird. Messungen an Kupfer-Einkrista,llen von BE KOW (23) ergaben Unterschiede von wenigen Prozenten an den versohiedenen Kristallflachen. Die Realitat dieser geringen Unterschiede konnte von KNOLL und THEILE (24) mit dem Elektronenstrahlabtaster im Sekundarelektronenbild sichtbar gemacht werden. I n dem Bild zeigen verschiedene Kristallfliichen verschieden starke Sekundaremission, allerdings wurden bei dem Verfahren die geringen Unter- schiede durch eine Verstarkeranordnung deutlich hervorgehoben.

100

Yo

2 80 s h

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P 4 20

0 TO 30 e-Vdt Elrerpie der Sekundarelekfronen

Abb. 4. Streubereich. innerhalb dessen die Energieverteilungskurven von Metallen oder Metallegierungen liegen. (Nach KOLLATH.)

In anderer Form wurde der EinfluD der Kristallstruktur von SUHRMANN und KUNDT (25) an Metallaufdampfschichten untersucht, die zunachst auf eine unterkuhlte Unterlage aufgedampft waren und deren Ordnungszustand entsprechend gering war. Durch Erwiirmen der Schichten auf Zimmer- temperatur iinderte sich der kristalline Zustand der Schichten, und die Aus- beute sank gleichzeitig um 10-15% ab. Keine nennenswerten hderungen der Ausbeute konnten festgestellt werden beim Erhitzen von Metallen uber den Curie-Punkt hinaus. Bei Nickel und Kobalt wurden am Curie-Punkt beim Ubergang der hexagonalen in eine flachenzentrierte Struktur von TRELOAR (26) innerhalb der MeBgenauigkeit keine dnderungen der Ausbeute gefunden. WOOLDRIDGE (27, 28), der die Genauigkeit der Messungen vergroaerte, konnte ebenfalls keine merkliche hderung am Curie-Punkt feststellen. Die Erfahrung zeigt also, daD die Kristallstruktur auf die GroDe der Ausbeute nur einen sehr geringen EinfluB hat, dessen Zusammenhang mit der Kristall- struktur im einzelnen nicht eindeutig aus den Messungen hervorgeht.

Der gegenwiirtige Stand der Theorie der Sekundiirelektronenemission 447

Der EinfluB der Tempera tur auf die Sekundiiremission. Nachdem wir den geringen EinfluB des Gitters auf die Ausbeute festgestellt haben, ist es nicht so sehr verwunderlich, daB eine dnderung der Temperatur a d die Sekundiiremission der Metalle keinen EinfluB hat. Viele Arbeiten sind darauf verwandt worden, die Temperaturabhiingigkeit zu untersuchen; unter den neueren Arbeiten sind folgende hervorzuheben. MOROZOW (29) und WOOL- DRIDGE (27, 28) stellten fest, daB der Temperaturkoeffizient der Sekundiir- emission geringer als der Temperaturkoeffizient der linearen Ausdehnung sein m a t e . Auch BLANKENFELD (30) fand in dem Bereich von 20 bis 400" C an Ni keine Anderungen, die groBer als 1% waren. Dis k r e t e E l e k t r one nu b erg ii ng e b ei d e m S t o B p r oz e B. Wenn der Ein- fluB des Gitters auf die Ausbeute sich nur als gering herausstellte, so bleibt trotzdemnoch dieFrage offen, wieweit der EinfluB des Gitters sich in diskreten Elektronenubergangen bei der Anregung der Sekundiirelektronen bemerkbar niacht. Einige Fragen dieser Art sind bereits gestreift worden. In der Aus- beutekurve wurden bei Primiirspannungen Eb < 50 eV gelegentlich sekundiire Maxima oder Buckel gefunden, die geeignet wiiren, Hinweise auf diskrete fjbergiinge zu geben. Aber diese Buckel waren nur sehr wenig ausgepriigt, und an gleichen Materialien konnten von verschiedenen Bearbeitern die sekundiiren Maxima nicht immer identi6ziert werden. Bei den schwachen Erscheinungen bleibt auBerdem die Frage offen, ob diese Erscheinungen wirk- lich mit dem Grundmaterial zustlmmenhiingen und nicht vielleicht durch adsorbierte Oberfliichenschichten vorgetiiuscht werden. Eine Deutung der Maxima durch diakrete Elektronenubergiinge im Gitter des Festkorpers ist nicht einwandfrei gegeben, zumal die Maxima auch nicht mit zu erwartenden mergiingen identifiziert werden konnten. Nicht anders ist die Lage bei den sekundiiren Maxima, die in den Kurven der Energieverteilung der Sekundiirelektronen gefunden wurden. Die Be- stiitigung der bisher angegebenen sekundiiren Maxima durch weitere Messun- gen steht noch aus. Nur in einem Punkt ist es gelungen, Ubergiinge im Festkorper nachzuweisen; bei den Vbergiingen aus den Rontgenniveaus der Atome des Korpers konnten von LANDER (5) Elektronen nachgewiesen werden, die auf Grund des AUGER-Eff ektes angeregt wurden. Eine ErgBnzung dieser Messungen sind die friiher liegenden Ergebnisse von RUTHEMANN (34 , dem es bei der Ge- schwindigkdtsanalyse von Elektronen nach dem Durchgang durch Folien gelang, ebenfalls die Anregung der tiefen Niveaus nachzuweisen. Die Anzahl dieser ffbergiinge ist aber so gering, daB sie fur eine theoretische Behandlung der Sekundiiremission vorerst nicht ins Gewicht fallen. Die weiteren Versuche von RUTHEMANN (32), aus dem Energieverlust von Primiirelektronen beim Durchgang durch Folien auch Elektronenubergiinge zwischen den hoheren Biindern des Pestkorpers zu finden, fiihrten zwar zur EnMeckung der bekannten ,,diskreten Energieverluste" ; diese lieBen sich aber in kein Termschema ohne Zwang einordnen und sind wohl nach den Ergebnissen von BOHM und PINES (35) als Eigenschwingungen des Elek- tronengases zu deuten. Hiilt man sich die verschiedenen Moglichkeiten vor Augen, bei denen diskrete 67bergiinge in den Metallen hiitten zutage treten mussen, so ist man

448 0. HACHENRERG und W. BRAUER

geneigt, anzunehmen, daB in dem ganzen Bereich des Energieschemas der Metalle von der FERMI-Grenze bis zu mindestens 20 eV, in dem die Sekundar- elektronen zweifellos entstehen, alle Ubergange erlaubt sind und in diesem Bereich keine Gruppe von Ubergangen bemerkenswert hohere Ubergangs- wahrscheinlichkeit hat, als die iibrigen. Es sei denn, daB die ubergangswahrscheinlichkeit monoton von unten nach oben abnimmt. We c h s e 1 w i r k u ng e n d e r S e k u n d a r el e k t r o n e n m it d e m Gi t t er- v e r b and . Waren die experimentellen Hinweise auf die Elektroneniibergiinge bei der Entstehung der Sekundiirelektronen schon schwach, so bestehen fur die zweite Frage fast keine handgreiflichen Hinweise. Welchen Wechsel- wirkungen ist das Sekundarelektron auf seinem Weg zur Oberflache unter- worfen 1 Zweifellos iiberwiegt die Wechselwirkung mit den iibrigen Metall- elektronen diejenige mit dem Gitter, sonst ware eine Temperaturabhangig- keit der Sekundarelektronenemission zu erwarten. Die einzige reale GroBe, die wir besitzen, ist eine Angabe iiber die Lebensdauer des angeregten Zu- standes, die sicher Meiner als 10-llsec ist. Wir konnen daraus den SchluB ziehen, daB der Anregungszustand des Elektronengases sicher in dieser Zeit abgeklungen ist. Anhaltspunkte fur einen theoretischen Ansatz sind hier keine gegeben. D i f fus ion d e s P r imare l ek t ronens t r ah l s . Es ware an der Stelle noch notwendig, den EinfluB der Diffusion des Primarstrahls auf die Sekundar- emission z u besprechen. Da der Effekt aber fur die Theorie zuniichst zweit- rangig ist, eriibrigt es sich, hier naher darauf einzugehen.

8 3. Ubersicht uber die Versuhe der theoretischen Behandlung

Versuchen wir aus der Fiille der beschriebenen Erscheinungen die Basis fur eine t,heoret>ische Behandlung zu finden, so konnen wir zusammenfassend feststellen : Die Ausbeutewerte, die Ausbeutekurven in Abhangigkeit von der Primarelektronenenergie und die Energieverteilungskurven zeigen bei den Metallen nur einen bemerkenswert kleinen Variationsbereich. Auch der EinfluB des Gitters auf die Ausbeutekurven ist erstaunlich gering. Der geringe EinfluB des Gitters driickt sich gleichfalls aus in der Unabhiingigkeit der Sekundiiremission von der Temperatur. Aus all diesen Tatsachen sollte man folgern, daB die theoretische Behandlung der Sekundiiremission der Metalle von relativ allgemeinen Voraussetzungen aus moglich sein miiBte. Insbesondere scheinen die experimentellenErgebnisse darauf hinzuweisen, daB die theoretische Behandlung von dem einfachen fiIodell eines freien Elektronengases aus schon zu einer geniiherten Beschrei- bung der Vorgiinge kommen miiBte. Aber bereits die ersten theoretischen Arbeiten haben mehrere Schwierigkeiten aufgezeigt, die nicht ohne weiteres zu uberwinden waren, so daB die Versuche, zu einer befriedigenden Theorie zu gelangen, bis in die Gegenwart reichen. Zuerst hat 1932 FROHLICH (36) auf der Grundlage der RLOCHschen Leit- f Lhigkeitstheorie der Metalle eine erste Theorie der Sekundaremission auf- gestellt. Es gelang ihm, gewisse experimentelle Ergebnisse beziiglich der Aus- beute und der Geschwindigkeit der Sekundarelektronen wiederzugeben.

Der gegenwiirtige Stand der Theorie der Sekun&relektronenemission 449

EROHLICH machte in seiner Arbeit besonders auf die Tatsache aufmerksam, daB wegen der Giiltigkeit von Energie- und Impulssatz beim StoBprozelj zwischen Primiir- und Metallelektronen letztere nur dann entgegen der Richtung des PrimLrstrahls beschleunigt werden konnen, wenn das Metall- gitter an der Wechselwirkung beteiligt ist. Ein vollig freies Elektronengas kann also keine Sekundiiremission zeigen. Ein Elektronengas ohne Beriick- sichtigung des Gitters, wie es als Modellvorstellung einer Theorie aus dem experimentellen Befund nahe liegen wiirde, geniigt nicht zur Erkliirung der Sekundiiremission ; es sei denn, daB die Wechselwirkungen der Elektronen untereinander die Mitwirkung des Gitters ersetzen. 1939 verbesserte WOOLDRIDGE (37) die FRoHLICHsche Theorie. Als Ergebnis gelang es ihm, die Ausbeutekurve in ihrem ganzen Verlauf befriedigend zu berechnen. Wie bei FROHLICH spielt das Gitter bei WOOL~RIDGE fur die Erzeugung der Sekundiirelektronen eine wesentliche Rolle. Nachdem, ebenfalls 1939, bereits KADYSCHEWITSCH (38) in einer sehr born- plizierten Arbeit gezeigt hatte, daB man auch ohne Beriicksichtigung des Gitters beim ErzeugungspozeP der Sekundarelektronen die Sekundiiremission verstehen kann, wenn man nur die Wechselwirkung der Sekundiirelektronen mit dem Gitter nmh ihrer Erzeugung geniigend beriicksichtigt, wurden 1950 von BAROODY (16) alle wichtigen experimentellen Ergebnisse der Sekundar- emission wenigstens quaEtativ aus dem SOMMERFELDschen Elektronengas- modell abgeleitet. Natiirlich widerspricht das nicht der oben zitierten F R ~ H - LICHschen Behauptung, da ja das betrachtete Elektronengas, in der BAROODY- schen Theorie, keineswegs ,,vollig frei" ist. Es entstand daraufhin die Frage, welcher der beiden Erzeugungsprozesse, der von WOOLDRIDGE unter Mitwirkung des Gitters, oder der von BAROODY ohne Mitwirkung des Gitters, der ausschlaggebende fur die Sekundiiremission sei. Im Verfolg dieser Frage stieBen BAROODY (39) und MARSHALL (40) 1952 auf Inkonsistenzen der WOOLDRI DGEschen Theorie, die bislang unbemerkt geblieben waren. Diese machten eine bisher noch nicht abgeschlossene Neu- diskussion der Theorie der WOoLDRIDGEschen Prozesse notig. Andererseits konnten DEKKER und VAN DER ZIEL (41) die WooLDRIDGEsche und die BARooDYsche Theorie aus einer allgemeinen Theorie der SekundLr- elektronen-Erzeugung ableiten, wobei sie zugleich die BAROODYsche Theorie quantenmechanisch formulieren konnten. Die von BAROODY und MARSHALL aufgedeckten Schwierigkeiten der WOOLDRIDGEschen Theorie wurden davon aber nicht beriihrt. Einen Fortschritt in bezug auf die oben aufgeworfene Frage brachte eine Arbeit von VAN DER ZIEL (@), der die Wechselwirkung der Elektronen untereinander insofern beriicksichtigte, als er statt des bisher ausschliefllich verwendeten COULOIvfB-POtentialS als Storpotential das abgeschirmte COU- LOMB-Potential heranzog. Es scheint, da13 dann die WOOLDRIDGESChen Prozesse gegeniiber den BAROODYschen stark an Wichtigkeit einbiioen. Neben diesem ,,Volumen-Effekt" der Sekundiiremission lag es nahe, in Ana- logie zum Photo-Eff ekt die Bedeutung des Potentialsprungs an der Ober- flache des Metalls fiir die SekundLremission zu untersuchen. In diese Richtung zielende Rechnungen von WJATSKIN (43) fiihrten diesen zu der Behauptung,


der ,,Obediicheneffekt" sei fur die Sekundiiremission in der Hauptsache verantwortlich; der Volumeffekt bringe nur gewisse Korrekturen. Da dieser Behauptung WJATSKINS von BAROODY (44) auf Grund neuerer, noch unver- offentlichter Rechnungen widersprochen wird, laRt sich auch iiber die Wichtig- keit des Oberfliicheneffektes noch nichts Endgultiges aussagen. Im Nach- folgenden wird zuniichst iiber die urspriingliche Theorie von BAROODY be- richtet. Alsdann folgen die Behandlung der allgemeinen Theorie von DEKKER und VAN DER ZIEL in der modifizierten Form und als Spezialfall davon die Theorie von WOOLDRIDGE mit den Einwiinden von BAROODY und MARSHALL.

4 4. Die Theorie von BAROODY

Die wesentlichen Voraussetzungen, die dieser Theorie zugrunde liegen, sintl die folgenden : 1.

9 -.

3.

4.

5.

6.

Die Gesamtheit der Leitungselektronen wird durch eine ideale FERMI- kugel mit dem Radius p,, beschrieben. Zur vereinfachten Behandlung des StoRvorganges mu13 die Energie des Primiirelektrons grol3 gegeniiber der Energie der Metallelektronen sein, es soll etwa Eg 3 100 eV angenommen werden. Die Primiirelektronen sollen senkrecht a d die Oberfliiche des Metalls auf- treff en. Die Wechselwirkung der Primarelektronen init dem Gitter wird vernachlassigt. Es wird die Existenz einer mittleren Wegstrecke 1 fur elastische Streuungen der im Inneren des Metalls sich bewegenden Sekundiirelektronen sowie einer mittleren Wegstrecke iZ fur die Absorption derselben gefordert. Der Energieverlust der Primarelektronen sol1 dem WHI DDINGTONschen Gesetz Ei = E$ -ax gehorchen.

Iin Verlaufe der Wechselwirkung des Primarelektrons mit den Meta.llelek- tronen soll zunachst die Impulsiibertragung auf ein Met.allelektron bestimni t werden. Man geht dabei von der vereinfachenden Annahme aus, daR das Primiirelektron seine Geschwindigkeit wiihrend des Prozesses praktisch nicht iindert. Legt man nun den Zeitpunkt t = 0 durch den Augenblick der groaten Anniiherung der wechselwirkenden Partikel fest, so herrscht vollige Syni - metrie beziiglich der positiven und negativen Werte von t und man hat

+ W

fur den senkrecht zur Primiirbahn iibertragenen Impuls (Abb. 5) . Der parallel zur Primiirbahn ubertragene Impuls verschwindet aus Symmetriegrunden. Samtliche Metallelektronen, die sich in einer diinnen Zylinderschale voni Radius e und der Dicke de urn die Primtirbahn befinden, erfahren somit einen Impulszuwachs A p , und zwar wegen der senkrechten Inzidenz des Rimar- elektrons parallel zur Metalloberfliiche. Die diesen Elektronen zugeordnete

Der gegenwgrtige Stand der Theorie der Sekundilrelektronenemission 45 I

FERMIkugel verschiebt sich also um Ap. Dabei entstehen Elektronen rnit Impulsen > pa, dem maximalen Impulsbetrag der FERMIkugel. D a der EinfluB des Potentialsprungs am der Oberfliiche auf die auatretenden Sekundarelektronen von deren Energie abhiingt, ist es fur die Berechnung der Sekundaremission notwendig, die Energiever- teilung der entstehenden Sekundiirelektronen zu kennen. Dazu fragen wir nach der Zahl G (Ap, k!) von Elektronen im cm3, die Pnmarelekhn -b nach einem StoB der eben betrachteten Art einen Im- puls > ,upa haben, wobeip eine reine Zahl ist , die hier offenbar auf den Bereich p 2 1 beschriinkt werden

- X

kann' hervor, daB zur Berech- elektron (M). nung von G (Ap, p) das schraffierte Gebiet zwischen den beiden Kugeloberflachen im Impulsraum zu bestimmen ist. Da nur Elektronen mit p 2 1 interessieren (d. h. das schraffierte Gebiet sol1 auBerhalb der Kugel mit pa urn den Nullpunkt liegen), hat man fur A p zunachst die Bedingung :

geht Ahb. 5. Zum StoDproreS eines Prirntirelektrons mit einem Metall-

* r p - - l , PO

wie man sich an Hand der Abb. 6 leicht uberlegt. Damit das schraffierte Gebiet keine Vollkugel ist, mu13 man die zweite Bedingung hinzunehmen :

dz) < p + 1 . PO

Unter der Voraussetzung :

p - 1 I- A P < p + 1 Po

herechnet sich dann das fragfiche Volumen elementar zu :

Abb. 0. Impulsraum zur Berechnung der Anzahl der Elektronen mlt einem Irnputs > pp , .

A?, - np' ~ ~ + 6 ( , ~ 4 ~ + 1 ) 9 2 - 8 ( p ~ - l ) 8 + 3 ( p ~ ~ 1 ) ~ } ; 8z-g.

Da, sich im Einheitsvolumen des Phasenraumes 2/h3 Teilchen befinden, betragt die Zahl der im 01113 rnit Impulsen > ppa vorhandenen Elektronen

12s {-

G (8, p) = - n?); ~ {- 8' + 6 (p' + 1) 8' - 8 (p - 1) 8 + 3 (p' Fly}. 6 h3s

9

B = 2,96 - 108 (eV)'/z cni-I.

I setzungen uber den Stohorgang nicht mehr annahernd, aber diese StoBe sind wegen des kleinen StoB- parameters Q gegenuber den anderen an Zahl weit unterlegen, weswegen der Fehler nicht be- trachtlich sein wird. Die Integra- tion liefert dann fiir die oben defi- nierte Zahl von SeltundBrelek-

7 I f i I

I I I I I I I

I

I 32 n2e4p0

I

I I tronen :

Aus dieser Forinel hat BAROODY abgeschatzt, daB fur Ep N 100 eV auf je loll Weg des Primarelektrons etwa ein Sekundarelektron erzeugt wird, niit geniigend Energie, um den Potentialwall an der Oberflache zu uberwinden. Die Zahl der Sekundarelektronen init einem Impuls ,upo bzw-. einer Energie E erhdt man ails AT (p, z), indem man bildeb (Abb. 7 ) :

Mit der Aufstellung der Formel fur N (p, z) ist der erste Teil der Theorie bewaltigt : Die Berechnung des Erzeugungsprozesses der Sekundar- elektronen.

Der gegenwiirtige Stand der Theorie der Sekundarelektronenemission 453

Im weiteren hat man nun die Wechselwirkung der Sekundiirelektronen mit dem Metallverband (Gitter und Elektronengas) zu betrachten. Wie schon enviihnt, geschieht das durch die Einfuhrung zweier mittlerer Wegkngen fur Streuung am Gitter und Absorption im Elektronenplasma, 1 und A. BAROODY berechnet das Verhalten der Sekundiirelektronen nur fur die beiden Grenz- fiille Z > A (Einzelstreuung) und 1 < A (Vielfachstreuung), von denen er zeigen kann, daB sie beziiglich der Abhiingigkeit der Ausbeute von der Amtrittsarbeit praktisch zurn gleichen Resultat fiihren, weswegen die Fiille 1 = A nicht extra betrachtet zu werden brauchen. Es ist an dieser Stelle wichtig sich klarzumachen, da13 Elektronen die Oberfliiche nicht erreichen konnen, ohne wenigstens einmal nach ihrer Erzeugung gestreut zu werden, da sie sich ja unmittelbar nach der Wechselwirkung mit dem Primiirelektron fast parallel zu derselben bewegen. In diesem Zusammenhang schlo13 FROH- LICH 1932, da13 beirn Erzeugungsakt freie Elektronen keine Sekundiir- emission zeigen konnen. Es ist klar, daB diese Behauptung nur so lange gilt, als man die Wechselwirkung der SekundLrelektronen mit dem Metall nach ihrer Erzeugung auBer acht 1aBt.

Die Ausbeute. Zuniichst wird der Fall der Einzelstreuung betrachtet (Z> I ) . Man sucht also die Zahl der Elektronen, die von einem PrimLrelektron erzeugt, einmal gestreut, aus dern Metall amtreten. Dazu beachtet man zunachst, daB die Wahrscheinlichkeit eines ersten StoBes im Abstand zwischen T

- ( + + - + ) r .- d r I ' und r + dr gemessen vom Erzeugungsort, gegeben ist durch : e

also die Wahrscheinlichkeit der isotropen Streuung in den Einheitswinkel irgendwo :

Bezeichnet man mit q den cos des Winkels zwisohen der Bahnrichtung nach dieser Streuung und der 5uBeren Normalen, so ist die Streuwahrscheinlich- keit in das Element dq gegeben durch:

2n

0

Fand die Erzeugung in der Tiefe x statt, so gilt das auch fiir die erste Streuung.

Findet also keine weitere Streuung statt, so hat das Teilchen noch den Weg 2 P

bis zur Oberflache zuriickzulegen, was wieder mit der Wahrscheinlichkeit

e geschieht. Bezeichnet man mit n. (9, 2) die Zahl von Sekundiirelektronen, die in der Tiefe x pro cm Weg des Rimiirteilchens mit einer SO groBen Energie erzeugt werden, daB sie unter dem Winkel arc cos q aufdie Oberfliiche treffend, diese nach aul3en verlassen konnen, so erhiilt man also nach BAROODY fur

2 -a-


die pro Priniarelektron emittierte Zahl von Sekundarelektronen, d. h. die Ausbeute : l m

Es ist noch der Zusammenhang zwischen n ( q , x ) und N ( p J x ) herzustellen; dabei mu8 offenbar die effektive Austrittsarbeit @ auftreten. Die Summe Q + Em ist der Potentialsprung an der OberflLche. Definiert nian nun einen kritischen Impuls p,, durch :

so ist das gerade derjenige Impuls, den ein Elektron besitzen muB, um bei senkrechter Inzidenz noch entweichen zu kijnnen. Dabei ist die OberflLche als vollig glatt und rein vorausgesetzt. pi variiert fur die verschiedenen Metalle zwischen 1,5 und 2. Nach dein Gesagten gilt dann offenbar die Reziehung

Beacht.et man noch nach Voraussetzung :

a X' E2 - E;2 - P

P - so erha,lten wir : EG

- X -a -

q2e Q d q d x . 6 , = 7 1 3 E 2 j * [ -. 2 lo (Eg- u x)'/* (& - q2)

0 0 pc

Die an der oberen Grenze auftretende Singularitat la& das Integral kon- vergent. Zur Berechnung des Integrals veraendet man nach BRUINING die Sub- st,itutionen :

E$ - ayz X = q'/P = w .

a '

mit X E g o

F ( x ) = e-"' / eta d t und H A = ~

a 0

Der gegenwiirtige Stand der Theorie der Sekun&relektronenemiasion 455

an der Stelle o = 1 ein scharfes Maximum, 1 Nun hat der Faktor

weahalb BAROODY das Integral geniihert gleich 0 4 (p304- I)

setzt. Damit ist in der betrachteten Niiherung (I > A ) der Zusammenhang

zwischen der Ausbeute und der Primarenergie Eg = (:) H hergestellt. - Wir wenden uns nun der Nliherung zu, die der Beziehung I < 3, entspricht. Nach (2) sind die im Intervall dp erzeugten Sekundiirelektronen gegeben

'/,

durch : 2 B P L p --- - a p (E$- ux)'/1(p2--- 1 ) 2 '

und zwar war dies die Zahl der pro cm Primiirweg in cm3 erzeugten Sekundar- elektronen. Off enbar ist diese gleich derjenigen Zahl erzeugter Teilchen, die pro sec in cm3 gebildet werden, wenn die Stromdichte der Primiirteilchen gleich eins ist. Da ea sich im vorliegenden Fall um eine Art DihsionsprozeB handelt, wird man versuchen, die allgemeine DBusiomgleichung im Eindimensionalen

aV as 'I anzuwenden :

-+-=-- a t ax t'

Dabei bedeuten: 7 (2, t ) die Dichte der difEundierenden Elektronen, s die

Stromdichte derselben, z = - ihre mittlere Lebensdauer.

Man kann vereinfachend - = 0 annehmen. Mittels des allgemeinen An-

satzes s = - D- wird also:

A

av a t

d' I

dZ'I a x

D t - - = q d 2 2

= qoexp [ - x ( D t ) - ' / ~ ] = q,, exp mit der Usung:

ist die DBusionslange. Fur die Zahl der a m der Tie& x mit der Energie

&@ durch Diffusion an die Oberfliiche gelangenden Partikel hat man also: 2 m

31 Zeitwhrift ,,BortschrItte der Physik*'

45 6 0. HACHENBERG und W. BRAUER

Der Potentialsprung an der Oberflache verhindert nun aber den Austritt einiger dieser Elektronen. 1st B der Einfallswinkel eines Sekundiirelektrons mit dem Impuls ,upo, so ist notwendig und hinreichend fur die Vberwindung der Potentialschwelle, daB gilt: ,u cos > p0, d. h. ein Elektron des Impulses ,upo kann nur austreten, wenn es im M'inkelbereich

auftrifft. Ninimt man isotrope Winkelverteilung der auftreffenden Elek- tronen an, so tritt folgender Bruchteil BUS:

2n PI, s i n 6 d 6 d p , = l -cos#lp= -. P -Po 'S 2 n 0 0 s P

Damit ist (3) zu multiplizieren. Die Ausbeute erhiilt man dann durch Inte- gration uber x und p, wobei die r-Integration wie oben verlauft :

m

Po

Bis a d die Ersetzung von u-l durch L ist die Abhangigkeit der Ausbeute von der Primarenergie dieselbe \vie bei der Niiherung mit Einzelstreuung. Diese Abhiingigkeit des 6 von der Primarenergie findet sich u. a. auch schon bei BRUINING (2), der ohne niihere Begrundung die Zahl der pro om Primiir-

weg erzeugten Sekundiirelektronen proport,ional - d E p - ihre Absorption bis

zur Oberfliiche proportional e-"" setzte. Man sieht sofort, da13 dieser Ansatz a x '

- - wieder a.uf

fuhrt. Xach BRUINING hat die Funktion F ( z ) an der Stelle x = 0,92 ihr einziges Maximum, d. h. es gilt:

&a, = const F (0,92) und EgmaX = 0,92 - . (3"' Damit erhiilt inan sofort :

gegen a auf, so erhiilt man fur alleMetalle Tragt man also danach -

eine einzige Kurve (siehe Kurve a, Abb. 8). Wie schon bemerkt, fand BAROODY, dd3 sich auch alle gemessenen Ausbeutewerte der verschiedenen Metalle in einen engen Streubereich einordnen lassen, der allerdings merklich uber der theoretischen Kurve liegt (Abb. 8, Kurve b) . Die ffbereinstimmung zwischen

6 &ax Eprnax

Der gegenwartige Stand der Theorie der Sekundarelektronenemission 45 7

der theoretischen Kurve und den MeSergebnissen wird jedoch besser, wenn man bei den Messungen den Anteil der riickdiff undierten Elektronen beriicksichtigt. Bezuglich der Ausbeute kann man also abschlieSend sagen, daS die BARooDYsche Theorie den Gang derselben in Abhiingigkeit von der Rimiir- energie wenigstens qualitativ richtig wiedergibt. D as E n erg i es p e k t r u m der emi t t i e r t en S e k u ndii r e I e k t r o n e n : Man unterscheidet zweckmiifiigerweise zwischen den Spektren der ,,Normal-

1 1 energie" - mu: und der Gesamtenergie - mu2. 2 2 Zwischen dem ersteren und Anderungen der Austrittsarbeit @ besteht ein leicht zu iibersehender Zusammenhang. Seien niimlich die den Austritts-

Abb. 8. Vergleich der theoretischen Ausbeutekurve mit den Messungen. a) Theoretische Kurve, a) Streu- e) Ansbeutekurve von Nickel, die bee. der bereich der Ausbeutekurven versehiedener Metalle,

riickdiffundierten Elektronen korrigiert wurde.

arbeiten und Qz bei gleichem Em und E; zugeordneten Ausbeuten 6, und 6,. I m zweiten Falle verliert d a m ein austretendes Elektron an Normalenergie 1 - mu: um Q2 - Q1 mehr als im Falle 1. Fragen wir nun nach der Zahl von 2 Elektronen, die im Falle 1 nach dem Austritt einer Normalenergie > E haben, so ist dieselbe offensichtlich gleich der Zahl aller der Elektronen, die im Falle 2 uberhaupt austreten konnen, wenn gilt : @* = + E. Der Bruchteil dieser

Elektronen ist gegeben durch -, wobei sich alle Frtktoren fortheben, die p

Es zeigt sich nun, wie schon erwiihnt, daS die beiden oben betrachteten Grenz- fiille E < 1 und 1 > 1 bei der Berechnung von 6 Abhhgigkeiten von ,u,, ergeben, die nicht sehr verschieden voneinander sind, niimlich :

4 nicht enthalten. 6 2


Ihrer groBeren Einfachheit wegen rechnet BAROODY im weiteren stets mit der zweiten Niiherung ( I < A), die, in geschlossener Form, dem folgenden Ausdruck proportiona,l ist :

%r cstg lu, - 1.

Nach obigem erhalt man also fiir den Bruchteil derjenigen Elektronen, die nach dem Austritt eine Normalenergie

besitzen :

1 -- mu', > E 2

Am Abb. 9 erkennt man, daB der Ausdruck (5) von

(125 < P: < 2,O)

0 1

Abb. 9. Verteilung der ,,Normal-Energie" der Sekundtirelektronen. Ausgezogene Kurve: fi: = 1,6. Gestrichelte Kurve: p; = 2,O.

kaum abhiingt. Von TRELOAR (45) angegebene MeBwerte an Mo sind mit den berechneten Kurven in guter Ubereinstimmung. Um die Gesamtenergievertei lung zu berechnen, erinnern wir uns, deB die Gesamtzahl der austretenden Elektronen nach (4) gegeben war durcb:

Be

Wir fragen wieder zunachst nach der Zahl derjenigen Elektronen, die mit

Der gegenwErtige Stand der Theorie der Sekundlirelektronenemission 45 9

& Energien > E austreten. Dazu beachten wir, daI3 mit der Energie p 2 - von innen auftreffende Elektronen die kinetische Energie 2nz

beim Austritt verlieren, d. h. es verbleibt ihnen an kinetischer Energie

Diese sol1 > E sein. Daraus folgt fur p die Ungleichung:

E p2 > p'0 + cp'0 - 1) 5 = P?.

Abb. 10. Energieverteilung der SekundPrelektronen. Q ) Theoretische Verteilungskurve: ( p i = 1.6). B ) Theoretische Verteilungskurve (p: = 2.o), e) Yessongen von KOLLATH an Mo. Kreise: Yessungen von HAWORTH an 310.

Urn die fragliche Elektronenanzahl zu erhalten, haben wir demnach zu berechnen : m

P I

Der entsprechende Bruchteil wird also:

dP P -Po

No J (p2- 1 ) 2

460

Die Energieverteilung erhalten wir wieder durch Bildung von :

0. HACHEKBERG und W. BRAUER

dp. iu -PO (p2 - l)?

d P 4% - PI--PO PE-1 - - __- - _.___. .- d P - d ( g ) = dpl d 6 ) (d''- 'I2 'PI

Wie man der Abb. 10 entnimmt,, ist die Ubereinstimmung qualitativ gut. Insbesondere sieht man wieder die fast vollige Unabhiingigkeit des Spek- trums von p,,. Der in Abb. 10 auftretende enge Streubereich der Spektralkurven darf jedoch (trotz iiuBerlicher Ahnlichkeit) nicht mit dem von KOLLATH (Abb. 4) experimentell festgestellten Streubereich identifiziert werden, da in der theoretischen -

d P d P E d s d E @ Kurve - = @ -- uber E = - aufgetragen ist..

Die Winkelver te i lung der aus t re tenden Sekundiirelektronen. Der Abb. 11 entnimmt man folgende beiden Beziehungen fur den AusOritt des Sekundiirelektrons aus dem Metall :

p sin @ = p' sin 0, pi + p'z = p2.

Abb. I t . Austritt eines Elektrons an der Ober- Mche des Metalls.

oder :

Dabei bedeutet p' po den Inipiils des iiuBeren Sekundarelektrons. Daraus erhiilt man folgende Beziehung zwischen dem Einfallswinkel /3 und dem Ausfalls- winkel 0 fur ein Elektron mit dem Ini- puls ,upo im Metall :

p sin /3 sin 0 = (p2 -pp. Daraus folgt, daB fur Elektronen, die unter einem Winkel @ einfallen und unter einem Winkel < 0 ausfallen sollen, gelt,en muB:

sin 0 -<- - (p*? -p;)'iz sin #j

sin2 0

Nach ( I ) ist die Zahl der Elektronen mit Impulsen > pkpo proportional

Der gegenwzlrtige Stand der Theorie der Sekundilrelektronenemission 461

Benutzt man wieder die Annahme isotropen Einfalls der Sekundarelektronen, so erhalt man fur diejenigen Elektronen, die unter Winkeln < 0 austreten, den Ausdruck : e

in Abhiingigkeit von 0. Man erkennt die gute tfberein-

Abb. 12. Winkelverteilung der austretenden Sekundarelektronen. a) theoretische Kurve.

Q ) experimentelle Kurve,

stimmung mit dem Experiment, das fur die in den raumlichen Einheits- winkel emittierten Sekundarelektronen Proportionalitiit mit cos 0 ergibt.

8 5. Bemerkungen zur BnRooDYsrhen Theorie

1. Es muB zuniichst grundslitzlich als ein ernsthafter Mange1 der BAROODY- schen Theorie angesehen werden, daB sie naturgemiiB keine Auskunft dariiber geben kann, wie grol3 der Anteil mehr oder weniger stark gebundener Metall- elektronen an der Sekundaremission ist. Diese Lucke schlieBt zum Teil die weiter unten zu behandelnde quantenmechanische Theorie von VAN DER ZIEL. 2. Die Beschreibung der Wechselwirkung der inneren Sekundiir- e lek t ronen mit dem Metalldurch die Einfuhrung der beiden Wegstrecken 1 und A ist gewil3 nicht endgiiltig befriedigend, wie die Behandlung des Diflusionsprozesses der Sekundiirelektronen uberhaupt der wundeste Punkt der Theorie ist. Auf ihrem Weg zur Oberfliiche erfahren die Elektronen eben nicht nur elastische Streuung und Absorption, sondern auch Abbremsung durch unelastische Sto13e. Fur die sehr nahe der Oberflliche ausgelbsten Sekundiirelektronen braucht diese Bremsung nicht unbedingt zur Absorption zu fuhren, d. h. die verlangsamten Elektronen werden zum Teil noch das Metall verlassen konnen. Natiirlich verandert dieser , ,slowing down"-Eff ekt u. a. auch das Energiespektrum.

462 0. HACHENBERG und W. BRAVER

Zur Behandlung dieser Bremsdiffusion bietet sich die FERMIsche ,,age- Theorie" an, die auf der bekannten age-Gleichung basiert, die unter gewissen Naherungsannahmen aus der augerneben BoLTZMANNschen Trans- portgleichung resultiert :

a 2 s - a p a%- & -

Dabei ist 2 ( x , t ) die sog. ,,slowing-down"-Dichte, z die ,,age-Variable". Sie ist folgendermaBen dehiert : Sei E,, die Energie, die den Sekundarelek- tronen nmh ihrer Erzeugung zukommt, i ( E ) die mittlere freie Wegstrecke fur ZusammenstoSe, bei denen das Sekundarelektron einen mittleren Energie- verlust E ( E ) erleidet, dann ist nach Definition :

E0"-2

t ( E ) =/% d E . E

Die ,,slowing-down"-Dichte selbst schliel3lich ist definiert durch : A.

wobei e ( x , E ) die Dichte der Sekundarelektronen der Energie E an der Stelle x ist. Man hat nun lediglich die mit der Wkrmeleitungsgleichung identische age- Gleichung mit den dem jeweiligen Problem angepaI3ten Randbedingungen fiir ,ij (O,t), $(m, z), e ( x , 0 ) zu losen. Auf dieseArt behandelte z.B. HEBB (43) das Problem der Diffusion von Photoelektronen in Alkalihalogeniden mit Erfolg. Ausbeute und Geschwindigkeitsspektrum konnen dann aus @ ( x , z) durch einfache Integration berechnet werden. - Eine andere Methode, die sich insbesondere fiir die Berechnung des Energiespektrums eignet, geht von der mit Quelldichte Q ( x , E ) formulierten age-Gleichung aus :

-2 a e 3 ax2 a E -- ' a2e + E + Q (2, E ) = 0 .

Fur Q ( x , &) wird dann etwa der Wert aus Gleichung (2) verwendet. Damit ist auch uber Q ( x , 0) verfugt. Auf diese Weise kann man unter vereinfachendenVoraussetzungen fur und E recht einfach fur jedes Quellspektrum Q ( x , E ) das zugehorige Geschwindig- keitsspektrum der auf die innere Oberflache fallenden Elektronen berechnen. Fuhrt man das etwa fur ein Spektrum Q ( x , E ) am, das dem in Abb. 7 ge- zeichneten entspricht, so findet man, daB das Energiespektrum der innen einfallenden Elektronen qualitativ sich nicht wesentlich vom Quellspektrum unterscheidet (48). Das Maximum im Energiespektrum kommt allein durch den Potentialsprung an der Oberfliiche zustande. 3. G eg ens ei t ig e E l e k t r o n e n w ec h s el w i r k ung. Die Vernachliissigung derselben ist bekanntlich ein Charakteristikum der ublichen Theorie der Metalle, die ja eine Einteilchen-Na.herung darstellt. Inwiefern die Elektronen-

Der gegenwiirtige Stand der Theorie der Sekundiirelektronenemidon 463

wechselwirkung von wesentlichem EinfluS auf die Sekundiiremission ist, 1ii13t sich heute noch nicht endgiiltig sagen; jedoch zeigt auch hier wieder dieschon oben zitierte Arbeit von VAN DER ZIEL gewissehatzpunkte zur Behandlung dieses Problems, weshalb wir auf diese Frage dort noch einmal zuriickkommen werden. 4. Vernachliissigung d e r Wechselwirkung d e r Primiirteilchen mi t dem Git ter . Gewisse Differemen zwischen der Theorie und den experimentellen Ergebnissen riihren zweifellos auch daher, daB die Wechsel- wirkungen des Primiirelektrons mit den Gitteratomen nicht beriicksichtigt wurden. Neben den BRAGGschen Reflexionen, von denen wir hier absehen wollen, erleidet der Primiirstrahl auSerdem eine starke Diffusion beim Ein- dringen in den Festkorper. Aus dem Durchgang von Elektronenstrahlen durch Folien kann man sich ein befriedigendes Bild machen iiber den Verlauf des Strahles im Inneren des Korpers. Die Elektronen des Strahles erleiden neben den unelastisohen StoBen mit den freien Elektronen auch elaatische StoBe an den Kernen der Gitteratome. Infolge dieser elastischen Streuung verlaasen die Primiirelektronen zu- nehmend ihre gradlinige Bahn, und man kann zwei Etappen des Strahl- verlaufes unterscheiden. a) Die Mehrzahl der Elektronen des Strahls dringt gradlinig in den Korper ein, nur ein kleiner Bruchteil der Elektronen verlal3t infolge von Einzel- atreuung den Strahl. Bei hoheren Primiirenmgien ist die Liinge des gradlinigen Bahnstiicks sicher vergleichbar mit der Tiefe d,, aus der Sekundar- elektronen gerade noch austreten konnen. Fur diesen Teil des Strahles hat der theoretische Ansatz zweifellos volle Giiltigkeit. b) Das gradlinige Stuck des Strahls geht dann nach einem kurzen Zwischen- gebiet mit Mehrfachstreuungen in ein Gebiet vollstiindiger Diffusion iiber. Jn dem Gebiet haben alle Elektronen mehrfache starke Ablenkungen erfahren; ein Teil ist sogar aus ihrer urspriinglichen Richtung um mehr als 90" abgelenkt. Diese konnen dann als riickdiff undierte Elektronen wieder die Obediiche erreichen. Der Anteil der riickdiffundierten Elektronen ist von der Kernladungszahl des Metalls abhiingig, er kann bis auf 50% der Primiir- elektronen ansteigen. Die riickdiffundierten Elektronen erzeugen in der Schicht nahe der Ober- fliiche ebenfalls Sekundiirelektronen. Diese addieren sich dem Sekundiir- elektronenanteil, der bei dem Eintritt der Primiirelektronen erzeugt wird. Der theoretische Ansatz, der nur die Sekundiirelektronen betrachtet, die auf dem gradlinigen Teil des Elektronenstrahles im Metal1 entstehen, erfaBt zweifellos nur einen Teil der Sekundiirelektronen. Die Unterschiede zwischen der theoretischen und den experimentellen Ausbeutekurven bei hoheren Primiirenergien konnen zum Teil auf diesem Effekt beruhen. Es ist noch zu bemerken, daS auch gewisse Erscheinungen bei der Abhiingig- keit der Ausbeute von dem Einfallswinkel der Prirniirelektronen durch die Diffusion des Primarstrahls beherrscht werden. 5. WHIDDINGTONsches Gesetz. Unter der Voraussetzung, der Energie- verlust der Primiirelektronen sei in der Hauptsache auf die Erzeugung von Sekundirelektronen zuruckzufiihren, ist die Forderung der Giiltigkeit des


WHIDDINGTONschen Gesetzes iiberfliissig, wie man elementar unmittelbar sieht,:

emax

h i n

8 6. Die halbempirisdae Theorie von BRUINING nnd JOSKER

Von den Vorstellungen BAROODYS abweichende Ansichten vertritt JONKER (50) in einer halbempirischen Theorie, die an iiltere, oben bereits erwiihnte Ansiitze von BRUINING ankniipft. JONKERS Argumentation beruht wesentlich auf den bekannten experimentellen Ergebnissen von KATZ (69). Diese sagen aus, daB langsame Elektronen (==: 10 eV) einige hundert Atomschichten durchlaufen kijnnen, ohne dabei, speziell in ihrer Impulsrichtung, wesentlich beeinflufit zu werden. Es mu13 aber bemerkt werden, daB beziiglich der Uberzeugungskraft dieser iiberraschenden Behauptung keine allgemeine ubereinstimmunng herrscht l ) . Klar ist allerdings, daB das WHIDDINGTONsche Gesetz fur so kleine Energien, wie sie den Sekundiirelektronen zukommen, keineswegs gesichert ist. JONKER stellt nun, neben der Forderung nach Giiltigkeit des WHIDDINGTONschen Gesetzes fur die Primiirelektronen, zwei Postulate an die Spitze seiner Be- trachtungen : 1. Die Winkelverteilung der angerregten Elektronen ist a priori isotrop. 2. Die Sekundiirelektronen laden in ihrer urspriinglichen Richtung bis zur Oberfliiche, die sie mit der Wahrscheinlichkeit e-"' erreichen, wobei 1 die Entfernung zwischen Erzeugungs- und Austrittsort bedeutet. Da der Potentialsprung an der Oberfliiche zuniichst vernachlassigt wird, braucht JONKER zur Berechnung der Ausbeute keine Annahmen iiber die Geschwindigkeitsverteilung zu machen, iiber die diese Theorie naturgemal3 dann auch keine Aussagen machen kann. Die obigen Annahmen ergeben, wie schon bei BRUINING , eine Ausbeutekurve, die qualitativ die Messungen wiedergibt. Natiirlich stoBt man, wie bereits friiher bemerkt, wieder auf eine universelle

Kurve- ' ( - _ _ - ) . Ihr tatsiichliches Vorhandensein bestatigt deshalb nicht

speziell die Richtigkeit der JON KERschen Annahmen. Im Gegensatz zu BAROODY berechnet JONKER die Richtungsverteilung der austretenden Sekundiirelektronen, ohne dabei wesentlich die Existenz des Potentialsprunges zu benutzen. Aus den Grundannahmen JONKERS folgt ja unmittelbar, dal3 die urspriingliche Isotropie der Bewegungsrichtungen der Sekundiirelektronen bei der Bewegung zur OberflLche verlorengeht. (Die ,,schriiger" laufenden Elektronen werden hiiufiger absorbiert). Quantitativ

l ) Anmerkung bei der Korrektur: Eine Wiederholung der KATzschen Versuche, die neuerdings von W. BERGER durchgefiihrt wurde, bestiitigt, da13 die von KATZ beobachtete groBe Durchliissigkeit von Metallfolien fur langsame Elektronen auf kleine Locher von etwa 1000 A in den Folien zuriickzufiihren ist und keine echte Beweglichkeit der Elektronen im kompakten Metall darstellt. Naturw. 41, 59, 1954.

&ax Epmax

Der gegenwartige Stand der Theorie der Sekundiirelektronenemksion 465

zeigt sich, daB man SO fiir die innen auftreffenden Elektronen eine Richtungs- verteilung erhiilt, die dem cos-Gesetz fast genau entspricht. Da nun eine solche Verteilung durch einen Potentialsprung nicht veriindert wird, spielt tatsiich- lich derselbe in der JoNKERschen Theorie keine wesentliche Rolle. Andererseits sahen wir, daB die giinzlich andere Berechnung der Winkel- verteilung bei BAROODY ebenfalls praktisch das cos-Gesetz ergab:Man kann also aus den bisher vorliegenden Messungen der Winkelverteilung, die iiber alle Sekundiirenergien integriert gemessen wurde, keine endgiiltigen Schlusse beziiglich der Bewegung der Sekundiirelektronen im Metall ziehen. Exakte Vergleiche von Experiment und Theorie beziiglich der Win kel- ver te i lungen der Sekundiirelektronen i n den verschiedenen Energiebereichen setzen offenbar die Beriicksichtigung der Energie- verteilung in der betreffenden Theorie voraus. Erste Experimente in dieser Richtung sind von JONKER (70) an Ni angestellt worden. Die Ergebnisse weiterer solcher Messungen an verschiedenen Metallen und ihr Vergleich mit theoretischen Egebnissen konnten genaueren AufschluB geben uber die Streuprozesse, die die Sekundiirelektronen im Metall erleiden, und uber die daraus resultierende Winkelverteilung derselben an der inneren Oberfliiche. SchlieBlich lassen sich zu den JONKERschen Annahmen noch einige Be- merkungen machen : Nimmt man namlich an, was weiter unten noch genauer begriindet werden wird, daB fur die Sekundiiremission praktisch nur die BAROODYschen Prozesse eine wesentliche Rolle spielen, dann kann von einer isotropen Anfangsverteilung uber die Richtungen der Sekundiirelektronen- impulse keine Rede mehr sein. Die angeregten Elektronen bewegen sich vielmehr fast parallel zur Oberflache. Halt man nun an Punkt 2, d. h. an der Richtigkeit der KATzschen Ergebnisse fest, so bekommt man nach JONKER, streng genommen, iiberhaupt keine Sekundiiremission, wie man schon seit FROHLICH weiB. Gibt man also den Punkt 1) auf, so mu13 man auch den Punkt 2) aufgeben, d. h. aber die beiden Grundannahmen der JONKERschen Theorie. Man sieht so, daB die eventuelle Richtigkeit derselben auch von der Entscheidung iiber die relative Wichtigkeit der BAROODYschen und der WOOLDRIDGEschen (s. u.) Prozesse abhangt.

8 7. Die qnantenmechanis&e Theorie der Seknndliremission

Des besseren Verstandnisses wegen werden wir die im einzelnen notwendigen Annahmen stets erst dort formulieren, wo sie gebraucht werden. Wir betrachten im folgenden ein Gitterelektron irn Einheitsvolumen des Metalls in einem stationiiren Zustand, beschrieben durch die Energieeigenfunktion p (t) ; t bestimmt den nichtreduzierten Ausbreitungsvektor des Gitterelektrons vor Beginn der Wechselwirkung. h f geniigt bekanntlich im allgemeinen denselben Formeln wie der Impuls eines freien Elektrons, ist aber in Strenge natiirlich keineswegs der (im Zustand R (t) gar nicht defhierte) Impuls des Gitterelektrons. Dm mit hoher Geschwindigkeit im Metall sich bewegende Primiirelektron beschreiben wir durch seine Energieeigenfunktion v~ (8). Vor Beginn der Wechselwirkung ist dann die Gesamteigenfunktion y t , ~ (t, 9%) = yt (t) l y ~ ( % ) . Die zur Zeit t = 0 ,,eingeschaltete Wechselwirkung" U moge nur von 1 % - tl abhsngen : u = U() 341).

466 0. RACHENBERG und W. BRAUER

Sie bewirkt eine Veriinderung des Zustandes, den man nach dem DlRACschen Storungsverfahren zur Zeit t aus der folgenden Reihenentwicklung erhiilt :

i --E't

y ( t ) = ~ J U I . R ~ ( t ) y t e R , ( t , 8) e * d3$', E' = Ep (a') + E (f) . f' R'

Geht man mit diesem Ansatz in die SCHRODINGER- Gleichung ein :

V (r) = Gitterpotential, so erhtilt man in bekannter Weise folgende Gleichung fur die at.&):

i

a 3 $' 1 - - (E'- E") t

tcrw ( t ) = Y J at.R,(t) U t f R f , t . s , y , e * z h k A'

mit dem Matrixelement der Wechselwirkung :

Uf.A',t"R" = j-J Wt'R' U y t f y d 3 r d 3 8 .

Integration nach t liefert :

ayfi** (t) a t = Uf,*R,* ( t ) - dft., 6 ( L - 9") zs 6 i

Das Zeichen bedeutet die erste Naherung. Aus den a f * ~ ' kann man nun die Ubergangswahrscheinlichkeit in den Zustand 1'; L', L'+ d 9' berechnen. Diese ist bekanntlich gegeben durch :

= $ 1 Uffi,ttR' )2 [[exp [i ( E - E ' ) ( t - t ) da + 0 1

t

2n (E-E') (t-T) d t -+ - 6 ( E - E') I U€R,f'St' 12. + 6 / e x p [--i 1 I t + - 1

Zur Berechnurig des Matrixelementes nimmt man allgemein an, daB der modulierende EinfluS des Gitterpotentials auf die Wellenfunktion des Primar-


elektrons wegen dessen relativ hoher Energie (> 100 eV) vernachliimigt werden kann. Man setzt also: y~ (W) = ei(RIW). Damit kann man fur das Matrixelement folgendermal3en schreiben :

U t R , t , R # =/[w (r) y$(r) ei(R--R'tx) u (1 W-rl) d3 ~ d 3 r =

= J d3 t yt (r) ~5 (t) 1 et(G1 W) u (1 a - rl) d3 w =

= / y f (r) pylS(r)ei(G*r)c~3t: e i ( 6 . R - r ) U ( I w - ~ J ) ( E ~ % ; B =R-R'. J Bezeichnet man mit VAN DER ZIEL (42) :

J = / e i ( G V R + ) u (1 8 - rl d3 W, I =J lyt (r)y$ (r) e i ( G * r ) d3t,

so wird die gesuchte ffbergangswahrscheinlichkeit :

Der so berechneten Ubergangswahrscheinlichkeit entspricht eine PrimLr- elektronendichte gleich 1. Einer Primiirstromdichte gleich 1 entspricht eine

m riiumliche Dichte der Primiirelektronen gleich - Die zugehorige Uber- gangswahrscheinBchkeit ist : hK'

Man kann nun bei gegebenem Anfangszustand t, 9 und einem bestimmten ins Auge gefaSten f' nach der ffbergangswahrscheinlichkeit fragen, mit der das Primiirelektron in das humwinkelelement dQ' gestreut wird. Wegen

1 2

2 m E' = K'2 + E (f')

hat man : h2

m dEp (K') = - K'dK'.

Das Impulsraumelement d3 9' wird daher :

m 12 d39' = K"& ds2' = K' - dE, (K') d o .

Bur die gesuchte Wahrscheinlichkeit erhiilt man also :

d8' ,/ I J l2 I I 1' K' 8 [Ep (K') + E ( t') - m2

4n214K P ( 9, t -+ 9', t') dS' =

mit der Nebenbedingung : h2 ' b2

- K 2 = - 2 m K + E (t) - E(m'). 2 m


Der Betrag von $3’ ist also keineswegs unbestimmt, sondern vielmehr eindeutig durch den Energiesatz festgelegt. Zur Berechnung des J hat man eine Annahme iiber das Wechselwirkungs- potential U (1 ‘33 - r I) zu machen. Der allgemeinste bisher bier benutzte An- satz ist da,s abgeschirmte COULOMB-Potential (42) :

Das insbesondere von WOOLDRIDGE verwendete reine CouLoMB-Potential ist der Spezialfall A = 0. Fur J erhklt man also:

Einfuhrung von Kugelkoordinaten Q = I ‘&3 - r I,@ = $: (G, s-t), p liefert (mit E = cos 6) :

Das ergibt fur die Ubergangswahrscheinlichkeit :

wieder niit obiger Nebenbedingung.

Um schliel3lich noch I berechnen zu konnen, braucht man die Energieeigen- funktionen der Gitterelektronen. Das sind nun bekanntlich exakt die BLocHschen Eigenfunktionen :

lyt (t) = uf (r) ei (re I).

Fur den Spezialfall des einfachen kubischen Gitters mit der Gitterkonstante a. kann man dafiir auch schreiben:

Die Komponenten der Vektoren n sind durchweg ganzzahlig. Fur I erhiilt man also:

Der gegenwkrtige Stand der Theorie der Sekundlirelektronenemission 469

Neben dem Energiesatz ist also fur eine endliche mergangsvrdmcheinlich- keit noch die Erfullung des , , Quasi-Impuls-Erhaltungssatzesrr notwendig :

2n Q - R + f + - - g = R'+f ' , g =n-nt . a 0-

2n a

h - g ist der zuerst von FROHLICH in die Theorie der Sekundiiremission

eingefiihrte Quasi-Impuls, den das Gitter als Ganzes beim ErzeugungsprozeB der Sekundiirelektronen abgibt. Unsere ffbergangswahrscheinlichkeit wird also schliedlich :

niit den Nebenbedingungen :

2n R + E + - - g = = R'+ t '

Die Bedeutung der Gleichung (6) ist offenbar die folgende: Fragt man bei vorgegebenem Anfangszustand R, € nach der Wahrscheinlichkeit, das System nach einer Sekunde im Zustand R', f' zu finden, so hat man zuniichst nach- zupriifen, ob Energie- und Quasiimpulssatz fur die vier GroBen R, t , !@IJ f' erfullt sind. Wiihrend dazu beim Energiesatz nichts weiter zu sagen ist, sieht man, daB der Quasiimpulssatz allgemein nur fur genau ein oder kein g erfullt werden kann. 1st letzteres der Fall, so schrumpft die 2 auf ein Glied zusammen und man hat : B

= Po (8, f -+ a', t ') dQ'. (7)

In diesem Ausdruck sind jetzt alle GroBen bekannt, so daB der gesuchte Streuquerschnitt berechnet werden kann. Findet man dagegen, daB die betrachteten vier GroBen 9, f, R', f' wenigstens eine der beiden Neben- bedingungen nicht erfullen, so hat man eben :

P (9, t --+ R', t') do' = 0 .

Wie man &us (7) erkennt, hiingt die Hiiufigkeit der Erzeugungsprozesse uber die c, (f) von dem Vektor g ab. Nach MORSE (47) gelten nun ziemlich allgemein die GroSenbeziehungen :

1 fur [ n l = O 10-2 fur I n I = 1 . c, (f) c,* (t) x I . . . . . . . . . .

470 0. RACHENBERG und W. BRAUER

Da die c, ( f ) vom Ausbreitungsvektor f nur schwach abhiingen, kann man im Hinblick auf (7) also die Abschiitzung machen:

So erkennt man nach VAN DER ZIEL (42) , daB den Erzeugungsprozessen ohne Mituirkung des Gitters (g = 0) eine groBere Wahrscheinlichkeit zukommt, als denjenigen, bei denen das Gitter Impuls abgibt (g $. 0). Dieses Ergebnis entspricht auch durchaus den Erwartungen, die sich aus den mannigfachen Erfahrungen beziiglich der weitgehenden Unabhiingigkeit der Sekundiiremission von den Metallgittereigenschaften ergeben. Hiitte man von vornherein fiir die Eigenfunktionen der Gitterelektronen ebene Wellen angenommen :

so hatte man naturlich, ohne vorher auf den Vektor g zu stoben, sogleich den Streuquerschnitt fur freie Elektronen erhalten :

yf(t) = e‘ (C r) ,

P (a, f -b a’, t’) dQ’ =

Die Prozesse g = 0 entsprechen also dem BARooDYschen Erzeugungs- mechanismus. Fiir die eigentliche Theorie der Sekundiiremission ist nup, wie wir schon von der BARooDYschen Theorie her wissen, das Energiaspektrum der angeregten Elektronen und das daraus sich ergebende Bremsgesetz fur das Primiir- elektron von Wichtigkeit. Um zuniichst die Erzeugungsquote im Bereich k’, k’ + dk’ zu erhalten, driicken wir das d i 2 durch dk’ aus. Dazu fuhrt man nach VAN DER ZIEL ein Polarkoordinatensystem mit Gg als Polarachse und den Winkeln 6 und v ein, so da13: diY = sin 6 d 6 d y . Aus Impuls- und Energiesatz: t’ = G0 - a’, k‘2 + K’2 = const bekommt man:

2 k’dk‘ = 2 K’dK’- 2 6gdK‘ C O S ~ -2$ K’d ( c o s ~ ) , - ~ K‘dK’ = 2 k’dk‘.

Daraus ergibt sich : k’dk’ 2 cos6 -d(cos6) = -- - -- K‘ (Eg K’ ) * (9)

Dabei ist die ubliche Annahme benutzt worden, daB man die Energie des

angeregten Gitterelektrons mit geniigender Genauigkeit durch - k’2 darstellen kann. Die exakte Formel (9) konnen wir nun fur den Spezialfall 0 = 0 noch wesentlich vereinfachen, wenn wir die Anfangsgeschwindigkeit der Metallelektronen gegeniiber den anderen beim ProzeB auftretenden Geschwindigkeit vernach- liissigen. Dann folgt aus: R! = 9’ + t‘, K2 = K’2 + k’2, daB 9’ 1 f‘ und K‘ = K cos6. Damit wird:

h2

2 m

Der gegenwiirtige Stand der Theorie der Sekundarelektronenemission 47 1

k’dk‘ K K ’

und d0’ = -- d g . k’dk’ - a (cosfi) = - KK’ Setzen wir das in (8) ein, so erhalten wir:

4 m2 e4 k’ A* ( 8 2 + A2)2K2

d k ’ d p = P (k’) d k ’ d p .

Als Wahrscheinlichkeit fur die Anregung eines Elektrons in den Bereich dk’ bekommt, man bei Beachtung des Umstandes, daB k‘ nicht von tp abhangt:

8 nm2 e4 =--- k’ d k‘ X = [ Ye- 9’1 = k’. h4K2 (k‘2+ A Z f J

Der Vergleich mit (2) zeigt, daB die Energieverteilung der angeregten Elek- t.ronen bei Energien

A2 E (k’) 3 En = - A2 = 3,4 eV,

2 m ( A = 10s cm-1)

mit der von BAROODY klassisch abgeleiteten ubereinstimmt, Bei kleinen Energien verhindert in (10) die Abschirmung das unbegrenzte Anwachsen von P (k’). Es ist allerdings zu beachten, daB wegen der gemachten Naherung

k < k’ die Gleichung (10) bei sehr kleinen Energien - k’2 keine genauen Aussagen machen kann. Driickt man in (10) die Wellenzahl durch die zugehorigen Energien aus, so erhalt man :

62 2 m

h2

2 m = P, [ E ( k ’ ) ] dE(k’) mit Ep = -- K2. ne4 dE(k‘ )

Ep [E (k’) + Ed2 --

Hat man N Metallelektronen in cm3, so wird die sekundliche Anregungsquote von Elektronen der Energie E (k‘) :

N n e 4 dE(k’ ) P [ E ( k ’ ) ] dE(k ’ ) = -__ Ep [ E ( k ’ ) + Ed2

Fur den Energieverlust des Primarelektrons auf einem cm Weg erhalt man daraus :

EP d E , r - _. _. _ _ -, nNe4 I- E , + E E 1

0

Fur groBe E p (%El) resultiert. also wieder das WHIDDINGTONsche Gesetz:

--=-

32 Zeitschrift ,,Fortschritte der Physik”


Man erkennt aus (12), daB sich iiii Fall il = 0 fur -2 kein verniinftiges

Resultat ergibt. Tatsiiohlich zeigt sich (41), daB man bei Nichtberiicksichtigug der Abschirmung die anfiingliche (FERMIsche) Impulsverteilung der Metall-

d E d x

dEP elektronen beriicksichtigen niuB, um zu eineni endlichen ~ zu gelangen : d x (EE, nNe4 d x E:,

- .- = -__

Dagegen kann man zeigen (42) , daB die Berucksichtigung der k-Verteilung die Beziehung (12) in erster Niiherung ungeandert 1aBt. Beziiglich der Konsequenzen dieser fjberlegungen fur die Ausbeutekurve der Sekundtiremission 1aBt sich folgendes feststellen : Mangels einer wohlbe- griindeten quantenmechanischen Behandlung des Diffusionsvorganges der Sekundiirelektronen im Metall wird man etwa an den einfachen Vorstellungen BAROODYS bezuglich der Bewegung der Sekundtirelektronen festhalten. Wegen der bereits erwiihnten qualitativen Gleichheit der Ergebnisse der beiden Theorien beim AnregungsprozeB mu13 man wieder auf eine Ausbeute- kurve mit Naximum kommen, diealso den experimentellen Befund wenigstens qualitativ wiedergibt. Die Entstehung dieses Maximums beruht in der BA- ROODY-VAN DER ZIELschen Theorie im wesentlichen auf dem Faktor in (11) und der Annahme einer isotropen Winkelverteilung der im Metall diifun- dierenden Sekundtirelektronen. Das Zustandekommen des Maximums hat man sich dann folgenderniaBen vorzustellen : Fur die Sekundiirelektronen existiert , grob gesagt, eine Schichttiefe d,, aus der sie im Mittel, ohne vorher absorbiert zu werden, austreten konnen. 1st d, ( E i ) die mittlere Eindringtiefe der Primiir- elektronen mit der Energie E;, so wiichst jedenfalls die Zahl der anstretenden Sekundarelektronen mit Eg solange gilt: d p < d,. Damit nun bei Energien E;b, die dp > d, entsprechen, die Zahl der austretenden Elektronen wieder abnimmt, muB ersichtlich die Zahl der pro cm Yrimiirweg angeregten Elektronen (auf der Strecke d,) mit wachsendem E i abnehmen. Das besorgt aber gerade der Faktor E;1 in (11). Die Impulsvektoren der angeregten Metallelektronen sind, wie sohon erwahnt, unmittelbar nach der Anregung praktisch parallel zur Metalloberfliiche gerichtet. Durch die nachfolgende Wechselwirkung mit dem Gitter und den anderen Elektronen wird dann aher eine weitgehende Isotropie der Impuls- richtungen hergeatellt. Wir betrachten diese einfachen Zusammenhange hier deswegen so ausfuhrlich, weil die Theorie von WOOLDRIDGE (37) bei der Deutung des Ausbeute- maximums zu anderen Ergebnissen gelangte, die aber einer genaueren Ana- lyse (39,40) nicht standhalten konnten. WOOLDRIDGES Vorgehen war in kurzen Ziigen das Folgende: Durch Elimina- tion von t' aus den Erhaltungssatzen findet man fur alle moglichen Velrtoren 9' die Bedingung:

( P ' - 2 ) = R 2 2

4

so ist klar, da13 der wesentliche Beitrag zum fraglichen Integral iiber die Kugel-

vor das Integral und erhiilt fur den gesamt.en Streuquerschnitt des g-Prozesses : 2 R

GI," r

di CRY

32'

Der gegenwartige Stand der Theorie der Sekundiirelektronenemission 473

Alle erlaubten Vektoren R' liegen also auf einer Kugel mit dem Radius R

um - C& (Abb. 13). Um aus (7) den totalen Streuquerschnitt fur einen

,,g-ProzeR" zu erhalten, hat man iiber diese Kugeloberflache zu integrieren. Wegen der Vernachliissigung der Abschirmung bei WOOLDRIDGE steht dabd jetzt im Nenner des Integranden S4 statt ( S 2 + P ) 2 .

Da man zeigen kann, daB fur geniigend hoheEnergien (Ep > lO0eV)gilt : Smin Q R, so ist klar, da13 der wesentliche Beitrag zum fraglichen Integral iiber die Kugel-

1 2

" " Abb. 13. Lagen der durch die Erhaltungssiitze

vorgeschriebenen Endznstande R', f'. Abb. 14. Zur Lage des Vektors Gmin

oberfliiche von dem (kleinen) Bereich herriihrt, der S = Smin entspricht (Abb. 14). Charakteristisch fur die WooLDRIDGEsche Theorie ist nun, daR angenommen wird, man konne sich allgemein auf diesen Bereich beschranken und GMn gegen die anderen Ausbreitungsvektoren vernach-

lhsigen. Das fiihrt zu der Gleichung f' = 1 + - 9, die nach WOOLDRIDGE

beinhaltet, da13 praktisch alle Sekundiirelektronen einen Quasiimpulszuwachs 2n - g erhalten. a

Bei der Integration iiber do' zieht dann auch WOOLDRIDGE den Faktor

2n a

vor das Integral und erhiilt fur den gesamt.en Streuquerschnitt des g-Prozesses : 2 R

32'

474

Man erkennt aus (13), daD die insgesamt produzierte Zahl von Sekunda.r- elektronen (Integration iiber 6) von der Primiirenergie unabhangig ist, d. h.

dxp = const. Aus unseren obigen Uberlegungen wucde man dann zuniichst a x schlufifolgern, da13 ein Ausbeutemaximum sich nicht ergeben kann. DaB WOOLDRIDGE dennoch zu einem solchen gelangte, liegt daran, da13 er unter

nochmaliger Verwendung der Niiherung E' = t + - g annahm, daB

0. HACHENBERG und W. BRAUER

2n a

9: (f', L) = Q (g, 9) = 32 - 9: (9, v) = 32 - 0, wobei v die Richtung der iiufieren Normalen bedeutet. Die Zahl der sekund- lich auf die Eintrittsseite der Primarelektronen (nach , jvorn") hin beschleunig- ten Sekundiirelektronen ist dann also gleich :

Gleichung (14) bedeutet nun, daB nach vorn mehr Elektronen angeregt werden als nach hinten, die Erzeugung also nicht winkelisotrop ist. Das war die Erzeugung bei BAROODY &war auch nicht, aber wahrend dort angenommen wurde, da13 sich die Anisotropie bis zum Austritt verwischt, darf man diese Annahme jetzt nicht machen, wenn man ein Ausbeutemaximum bekommen will. Das K-1 in (14) entspricht dem E;' in (ll), d. h. mit wachsender Primlir- energie sinkt die Zahl der vorn angesto13enen Gitterelektronen, was ein Ab- sinken der Ausbeute zur Folge hat. Die vereinfachte Behandlung der W O O L D R I D G E ~ ~ ~ ~ ~ Prozesse durch DEKKER und VAN DER ZIEL (41) fuhrt, offenbar wegen der Vernachliissigung soga,r

von GroBen - ~

gegen 1 z u einer Gleichung, die mit (14) nur bis u

auf den, wie wir sahen, wesentlichen Faktor

und deswegen kein Ausbeutemaximum liefern kann.

8 8. Bemerkungen zur Theorie von WOOLDRIDGE

Gegen die Richtigkeit der Grundkonzeption der ~OOLDRIDGEschen Theorie, namlich die wesentliche Mitwirkung des Gitters bei der Erzeugung der Sekundarelektronen, sprechen, von allen detaillierten Einwiinden abgesehen, die experimentellen Ergebnisse, die, wie besprochen, eine fast vollstandige Unabhiingigkeit der Sekundiiremission von den Gittereigenschaften der Metalle aufzeigen. Besonders deutlich tritt dieser Gesichtspunkt bei der Temperaturunabhiingigkeit der Sekundiiremission zutage. Wahrend namlich wegen des Faktors a4 nach (14) eine betriichtliche Abhiingigkeit der Er-


zeugungsquote von der Temperatur behauptet wird, zeigt sich in den Experi- menten kein solches Verhalten der Sekundiiremission. WOOLDRIDGE (28) sah sich deshalb dazu gezwungen, fur die relativ zu den Primiirelektronen sehr langsamen Sekundiirelektronen einen Bremsmechanis- mus zu postulieren, der dem der Primiirelektronen gleich ist. Indem WOOL- DRIDGE SO die Temperatureffekte bei der Erzeugung und Bremsung der Sekundiirelektronen gegeneinander kompensierte, konnte er seine Theorie mit der Temperaturunabhiingigkeit der Sekundiiremission in Ubereinstim- mung bringen. Allerdings erscheint dieses Vorgehen kaum gut begrundet und recht kiinstlich. Gegen dasselbe spricht zunachst die Temperaturunab- hiingigkeit der Energieverluste mittelschneller Elektronen beim Durchgang durch Metallfolien. Es scheint danach, daB der ErzeugungsprozeB der Sekun- diirelektronen selbst schon temperaturunabhiingig ist, im Gegensatz zu WOOLDRIDGE. Stellt man sich dagegen auf den Standpunkt, der HauptteiI der Sekundiiremission beruhe auf dern BAROODYschen Erzeugungsmechanis- mus, so ist der ErzeugungsprozeB eo ips0 temperaturunabhiingig. Es darf allerdings nicht ubersehen werden, daB der StreuprozeB der Sekundarelek- tronen an den Schallquanten eine gewisse Temperaturabhangigkeit erwarten 1LBt. Wegen der uberwiegenden Wechselwirkung der Sekundiirelektronen rnit dem gesamten E'lektronengas kann sich dieselbe aber wohl nicht merklich auswirken. Ein weiterer Einwand gegen die WOOLDRIDGEsche Theorie beruht auf der Tatsache, daB im gemessenen Energiespektruni der Sekundiirelektronen kein Energiewert ausgezeichnet ist, der den1 bevorzugten WOOLDRIDGEsChen

Energiezuwachs .??- 20 elT entsprache. Nach WOOLDRIDGE sollte

aber die Mehrzahl der angeregten Elektronen beim StoBprozeB mit den Primiirelektronen diese Energie aufnehmen, wie wieder aus der Niiherungs-

formel f'= B + - g folgt. Es lag nahe, diesen Energiebetrag in Verbindung

zu bringen mit gewissen sekundiiren Maxima im Energiespektrum, doch lieB sich, allein schon wegen der nicht ubereinstimmenden experimentellen Er- gebnisse, auch so kein klarer Zusammenhang auffinden. Weiterhin kann man gegen die WOOLDRIDGEsche Theorie vorbringen, daB nach (14) die Zahl der nach hinten angestoBenen Elektronen proportional ist:

(1 --g C O S ~ ) d. h. sie nimmt mit wachsender Primiirenergie zu. Be-

hauptet man also (mit WOOLDRIDGE), daB auch fiir die nach hinten be- schleunigten Elektronen die Erzeugungsprozesse unter Mitwirkung des Gitters weit uberwiegen, so muB man folgern, dal3 die Ausbeutekurve, die an der Riickseite dunner Schichten gemesaen wird, kein Maximum aufweist. SO- weit Experimente dariiber vorliegen (as), zeigen sie wohl das Gegenteil, d. h., wie bei der ,,vorderseitigen" Sekundaremission, ein Maximum der Ausbeute. DaB die fur die-qualitative Ubereinstimmung der WoOLDRIDGEschen Theorie mi t den Erfahrungen wesentliche Winkelanisotropie nicht reell ist, konnt,e schlieslich BAROODY (39) fur einen Spezialfall etwa folgendermaBen nachweisen :

2m 0 a

2n a

476 0. HACHENRERG und W. BRAUER

Statt die Richtungen von t' und g gemiil3 t ' x - g zu identifizieren, ver- 23c wendete er den Quasiimpulssatz in seiner genaueren Form : f' = - g + a + (9 - 9') und unterschied konsequenterweise zwischen den Winkeln, die

f' und g mit der iiul3eren Normalen bilden, 6 und j3. Da sich BAROODY bei seinen Betrachtungen a d den wichtigen Spezialfall G = @,,,in beschriinkt, bestimmen sich 6 und j3 gegenseitig, d. h. es existiert eine Funktion j3 = j3 (6). Eine etwas umstiindliche Rechnung, die hier unterbleiben moge, liefert fur diese Funktion die implizite Gleichung :

(15) cos6 = cosj3----sin2j3.

Kach (1 3) betriigt die den1 Interval1 dj3 des Vektors g zugeordnete Zahl von angeregten Elektronen :

2n a

3c

aK

Aus (15) folgt nber durch beiderseitige Differentiation :

Die Zahl der nach vorn angeregten Elektronen wird deshalb:

emax C / sin 6 d B = C (1 - cos 6ma,) ,

wobei 6,,, ein durch die Potentialschwelle gegebeiier niaximaler Anst.ritts- winkel ist . Wir erhalten also niit BAROOUY das Ergebnis: Bei genauerer Rechnung, d. h. bei Mitberiicksichtigung des Terms emin, verschwindet die Winkel- anisotropie des Erzeugungsprozesses und damit auch das Ausbeutemaximuni. Die Theorie der Sekundaremission mit Beriicksichtigung des Gitters beim AnregungsprozeB ist also in ihrer jetzigen Form nicht einmal in qualitativer ijbereinstimmung mit der Erfahrung. Diese Behauptung wurde von MARSHALL noch in verscharfter Form bestiltigt, der bemerkte, daR der in (11) auftretende Paktor

s

nichts weiter ist als yt (r) yt+?Ge (r) dt, nie man sofort bestiitigt, und

damit wegen der Orthogonalitat der Eigenfunktionen gleich NuIl. Ob sich, wie MARSHALL andeutet, von hier aus eine geeignete Modifikation der Theorie der WOOLDRIDGEschen Prozesse wird durchfuhren lassen, ist bisher noch nicht zu ubersehen.

1

Der gegenwartige Stand der Theorie der Sekundarelektronencimion

Q 9. AbsQliefJende Bemerkuagen

AbschlieBend 1aBt sich also sagen: Nachdem es lange Zeit fur sicher galt, daB die Sekundiiremission ein ProzeB ist, der wesentlich der Mitwirkung des Kristallgitters bedarf, hat in den letzten Jahren die entgegengesetzte Ansicht an Boden gewonnen. Neben dieser, hier hauptsiichlich behandelten Frage, sind heute noch, wie schon erwiihnt, wichtige Probleme der Theorie der Sekundiiremission unerledigt. Einmal niimlich die Rolle der Oberfliiche, die beim iiuBeren Photoeffekt der Metalle so wesentlich ist, zum anderen das Problem der geeigneten Beriicksichtigung der gegenseitigen Elektronen- wechselwirkung. Zur zweiten Frage haben in letzter Zeit BOHM und PINES (35) einige sehr bemerkenswerte Beitriige geliefert, deren Ergebnisse zum Teil bereits fur die Theorie der Sekundiiremission verwendet worden sind. Das fiir diese Theorie wesentliche Resultat von BOHM und PINES laBt sich etwa so formulieren : Die Wechselwirkung eines Rchnellen Elektrons mit einem Elektronen- kollektiv kann man als aus zwei Anteilen bestehend auffassen: Ein Anteil entspricht den individuellen ZusammenstoBen einzelner Elektronen, wobei man ale Wechselwirkungspotential das abgeschirmte .CouLoMB-Potential zu verwenden hat. Die Abschirmkonstante 1 hangt in der Hauptsache von der Elektronendichte ab und betriigt in Metallen etwa 108cm-l. Der andere Anteil beruht, anschaulich gesagt, auf der Wechselwirkung des Elektrons mit dem Elektronengas als Ganzem und bewirkt eine Anregung von Plasmaschwingungen. Vermutlich sind die RUTHEMANNsChen (32) diskreten Energieverluste auf diesen AnregungsprozeB zuriickzufiihren. Wiihrend der , ,individuelle" Anteil der Wechselwirkung in seiner Bedeutung fur die Theorie der Sekundaremission bereits von VAN DER ZIEL (42) untersucht worden ist, kann man beziiglich der Wichtigkeit des ,,kollektiven" Anteils fiir die Sekun- diiremission zur Zeit noch keine begriindete Aussage machen. Hier muB, wie bei den anderen, oben erwahnten, noch unerledigten Problemen, die zu- kiinftige Entwicklung abgewartet werden.

477

Q 10. Die Sekundaremission der Halbleiter und Isolatoren

Das Verhalten der Halbleiter und Isolatoren in bezug auf die Sekundiir- emission ist sicher in verschiedenen Punkten abweichend von dem Verhalten der Metalle. Schon bei den Ausbeutewerten miissen wir feststellen, daB die hochsten Werte, die experimentell gefunden wurden, ausschlieBlich an Halbleitern oder Isolatoren gefunden wurden. Jedoch haben nicht alle Stoffe dieser Gruppe in gleichem &Be hohe Ausbeutewerte; es gibt eine ganze Reihe, deren Aus- beute die der Metalle kaum iibertrifft. Wir stehen also der Tatmche gegeniiber, daB der Variationsbereich der gemessenen Ausbeutewerte bei den Halbleitern und Isolatoren groBer ist als bei den Metallen. In der Tabelle sind .die Werte von a,,, und Egrnax fur eine Reihe von Stoffen angegeben, wobei auf Voll- stiindigkeit kein besonderer Wert gelegt wurde; die Tabelle sol1 nur ehen gewissen Uberblick uber die 6-Werte der wichtigsten gemessenen Stoffe ver- mitteln.

47 8 0. HACHENBERG und W. BRAUER

Sehen wir von den gelegentlich gefundenen extrem hohen Ausbeutewerten ab, die moglicherweise durch Feldemission begunstigt auftreten, so konnen wir den Bereich der maximalen Ausbeuten etwa festlegen zu

1 3 < Smax < 15.

Die Ausbeu t e k u r v e n der Halbleiter und Isolatoren sind den Kurven der Metalle durchweg ahnlich. Im allgemeinen kann man feststellen, da13 bei Stoffen mit hoher Ausbeute auch B;max groB ist, da.s Maximum kann bis in die Gegend von 1500 eV riicken.

Tabelle der Ausbeutewerte der wichtigsten Halbleiter und Isolatoren

I Elenienthalbleitei

I1 Verbindungen

111 Intermetallische Verbindungen

IV Gliiser

Stoff

Ge Si Se B

LiE’ KCI NaCl NaBr Na J Be0

CaO Oxydkathode

MgO

cs,o -%o* AgrO MOO,

cu,o MoSl

Quarz Pyrex Hartglaa 6371 Weichglaa

1,15-1,5 1,1 1,3-1,5 1,2

5,6

6,0-7,0 6 2 5,5 5-10 2,- 2 3 5-12 6-10 1,5--4,8 0,90-1,17 1,09-1,33 1 , l O 1,19-1,25

7,O-9,0

8 6

2,l-3,0 2,3 2,3 3,l

’ max

400-600 250 400 150

- 800-1200 600 - - 2000 400-1500 500

500 350-1300

1400-1500

- - - -

500 -

400-440 400 340

4 0 0 4 4 0

Literatur

56,56,57 56 55 56

52 52,58 52 52 52 54 51 ,54 54 59,62 62 51,53,33 61 61 52 52

62 -

3.? 60 33 33

Bei den Halbleitern und Isolatoren haben in der Ausbeutekurve auch die Werte der Primarelektronenenergie eine gewisse technische Bedeutung, an denen 6 = 1 wird. Wird eine Isolatoroberfliiche von einem Elektronenstrahl getroffen und ist nicht fur eine einwandfreie Abfiihrung der Ladung gesorgt,

Der gegenwsrtige Stand der Theorie der Sekundarelektronenemission 47 9

so stellt sich an der Oberfiiiche ein Gleichgewichtspotential ein, bei dem gerade so viele Sekundiirelektronen von der Oberfliiche abgehen, wie Primarelektronen ankommen. Das ist aber gerade bei den Potentialwerten Ei der Fall, an denen 6 = 1 ist. Welcher der beiden Werte von Eg sich dabei einstellt, hiingt von der zunachst angelegten Primarspannung ab. Betrachtet man die G e s c h windigk ei t s ver t eil un g der Sekundiirelektronen von Isolatoren und Halbleitern, so findet man auch hier groBere Unterschiede von Material zu Material als bei den Verteilungskurven der Metalle. Wiihrend ein Teil der Stoffe Verteilungskurven hat, die denen der Metalle sehr iihnlich sind, gibt es andererseits Gruppen von Stoffen, bei denen die langsamen Elektronen mit gr6Berer Hauflgkeit auftreten und die Verteilungskurven nach hoheren Energiewerten schnell abfallen. Unter diesen Gruppen sind die inter- metallischen Verbindungen vom Typ Cs,Sb, ferner die Alkalihalogenide und wohl auch Cs,O mit Zusatzen hervorzuheben (21,63, 64).

Abb. 15. Enerpieniveaus eines Isolators.

Welche der grundlegenden Eigenschaften der Halbleiter und Isolatoren fur den groBeren Variationsbereich der Ausbeute und fiir das veriinderte Energie- spektrum verantwortlich sind, ist nicht mit Sicherheit zu entscheiden. Es ist daher verniinftig, zuniichst die typischen Eigenschaften der Halbleiter an Hand des Bandermodells zu besprechen und ihren EinfluB auf die Sekundiiremission zu diskutieren. Das grundlegende Merkmal, durch das ein Halbleiter gekennzeichnet wird, ist die Lage der Grundgitterabsorption im Spektrum; durch diese GroBe wird im Biinderschema im allgemeinen der Abstand des ersten leeren Energiebandes von dem letzten vollbesetzten Energieband bestimmt. Bei der Erzeugung eines Sekundarelektrons muS also ein Elektron aus dem besetzten Band in das leere Band gehoben werden und in diesem energetisch so hoch liegen, daB es aul3erdem imstande ist, die Austrittsarbeit zu iiber- winden. Der ErzeugungsprozeS ist deshalb im Gegensatz zu den Metallen aus- schliel3lich ein Band-Band-Ubergang. Im einzelnen ist die Theorie der Erzeugung von Sekundiirelektronen in Nicht- metallen bisher noch nicht quantenmechanisch behandelt worden. Natur- gemaB spielt die Abschirmung bei den Nichtmetallen keine Rolle. Daher kann

480 0. HACHEKBERG und W. BRAUER

man die VAN DER ZIELsche Beweisfiihrung fur die relative Unwichtigkeit der WOOLDRIDGEschen Prozesse nicht ohne weiteres auf Isolatoren und Halb- leiter iibertragen. Da somit die WooLDRIDGEschen Prozesse fur diese Stoffe doch wohl von Bedeutung sind, erscheint eine einwandfreie Theorie derselben, trotz ihrer verminderten Wichtigkeit bei den Metallen, schon deswegen notwendiq. Untersucht man die experimentellen Ausbeutewerte auf einen Zusammenhang mit dem Bandabstand hin, so muB man feststellen, daB die Stoffe hoher Sekundkremiasion sich zumeist durch einen groBen Bandabstand auszeichnen. Aber es gibt auch Stoffe mit mittlerem Bandabstand, die recht hohe Ausbeute- werte zeigen, so daB der Bandabstand nicht allein fur die GroBe der Ausbeute auaschlaggebend zu sein scheint. BRUINING (2) wies darauf hin, daB ad3er- dem die Lage der Austrittsarbeit von Bedeutung ist. Es zeichnen sich alle die Stoffe durch hohe Ausbeute aus, bei denen der Abstand der Austrittsarbeit fl uber dem unteren Rand des Leitfiihigkeitsbandes klein ist im Vergleich zum Bandabstand (Abb. 15). Die bisher untersuchten Halbleiter und Isolatoren lassen sich anscheinend in ein solches Schema ordnen. Im Vergleich zu den Aussagen der Theorie ist bei den experimentellen Aus- beutewerten sicher keine Abnahme der Ausbeute mit wachsendem Band- abstand festzustellen. Im Gegenteil, die Ausbeute ist bei grol3em Bandabstand in den meisten Fallen ebenfalls groB. Fur den Ausbeutewert mu13 also der zweite ElementarprozeB der Sekundaremission, die Diffusion der erzeugten Sekundiir- elektronen zur Oberflache hin, einen grol3eren EinfluB haben. Nach der Anregung konnen sich die Elektronen in dem freien Leitungsband des idealen Kristalls weitgehend ungestort bewegen, wie unter andereni BETHE (66) feststellte. Im Realkristall treten die Sekundlirelektronen in Wechselwirkung mit den Gitterschwingungen, ferner mit den ubrigen beim PrimiirstoS in niedrigeren Niveaus des Leitungsbandes erzeugten f r ei en Elektronen ; ferner konnen Wechselwirkungen mit den gebundenen Elektronen eintreten, wenn z. B. die Anregungsenergie des Sekundiirelektrons im oberen Band grol3er ist als der doppelte Bandabstand; schliel3lich kommen Wechselwirkungen mit den Gitterfehlern in Betracht. Der eine der Verfasser (65) hat fruher den Versuch unternommen, die Relaxa- tionsstrecke fur die Wechselwirkungsprozesse abzuschiitzen und lram in allen vier Fallen zu einer ahnlichen Darstellung , in der die Relaxationsstrecken

E= n z w ,

d. h. proportional dem Quadrat der Energie des Sekundarelektrons und um- gekehrt proportional dem wechselwirkenden Agens W sind, das ist die Anzahl der Gitterschwingungen, die ihrerseits proportional zu T ist, oder die Anzahl der freien Elektronen oder die Anzahl der gebundenen Elektronen. Die Be- trachtung liefert unter der Voraussetzung, daB die behandelten Wechsel- wirkungsmechanismen sich ausschlaggebend auf die Ausbeute auswirken, eine gewisse Klassifikation der Erscheinungen der Sekundaremission bei den Halbleitern und Isolatoren. Man kann folgende Fiille festst.ellen :

Der gegenwiirtige Stand der Theorie der Sekundirelektronenemission 481

a) In einem kristallinen Korper rnit groBem Bandabstand, der moglichst frei von Storstellen ist, wird die Relaxationsstrecke und damit die Austritts- tiefe der Sekundiirelektronen durch die Temperatur bedingt. Die Ausbeute

mu13 rnit steigender Temperatur wie - abnehmen.

b) 1st die Anzahl der freien Elektronen im Leitungsband groo genug, so wird die Wechselwirkung der Sekundiirelektronen mit den Gitterschwingungen uberdeckt durch die Wechselwirkung mit den freien Elektronen. Die Aus- beute ist in dem Falle von der Temperatur weitgehend unabhiingig, der Korper iihnelt in seinem Verhalten den Metallen.

C) Bei geringem Bandabstand gewinnen die Wechselwirkungen der Sekundar- elektronen rnit den Elektronen des Valenzbandes an Bedeutung , die Halb- leiter dieser Gruppe werden sich ebenfalls iihnlich den Metallen verhalten.

d) SchlieBlich wird in einem Korper mit hoher Fehlordnung, im Grenzfalle also in einem amorphen Korper, die Relaxationsstrecke nicht mehr durch die Wechselwirkungen mit Gitterschwingungeii bedingt sein ; auch der- artige Korper diirfen keine Abhangigkeit der Sekundaremission von der Temperatur zeigen.

1 T

Die Temperaturabhi ingigkei t der SekundZiremission bei Halb- le i te rn und Isolatoren. Unter den angefuhrten Gesichtspunkten, die aus der Diskussion des Bandermodells folgerten , kommt der Frage der Tempe- raturabhiingigkeit eine besondere Bedeutung zu. Wahrend bei den Metallen keine Temperaturabhangigkeit gefunden wurde, muBte bei den Isolatoren also unter Umstanden eine Temperaturabhiingigkeit resultieren. Die Be- stimmung der Temperaturabhiingigkeit ist experimentell nicht ganz einfach, da bei den Messungen auch leicht hderungen des Kristallisationszustandes, der Oberfliichen oder der Oberfliichenadsorptionsschichten eingehen. Immer- hin ist es sicher, daB Temperaturiinderungen festgestellt wurden. An BaO- Oxydkathodenschichten fand JOHNSON (59) zuniichst eine Abnahme der Ausbeute mit steigender Temperatur und dann von einem Minimum an wieder eine Zunahme. Der Anstieg fiillt gerade in das Gebiet, in dem die Oxydkathode beginnt thermisch zu emittieren. An KCI- Aufdampfschichten untersuchten KNOLL, HACHENRERG und RANDMER (58) den EinfluB der Temperatur. Sie fanden, da13 die Ausbeute mit steigender Temperatur abfiillt.

Der Gang mit der Temperatur lie8 sich proportional zu - darstellen. Da ge-

rade KC1 seinem strukturellen Aufbau nach allen Anforderungen eines Kor- pers der Gruppe a) gerecht wird: ist in dem Befund eine besondere Stiitze der oben entwickelten Vorstellungen zu sehen. SchlieBlich wurde die Tempe- raturabhiingigkeit der Ausbeute an MgO-Schichten von BLANKENFELD (30) untersucht. Auch bei MgO sinkt die Ausbeute mit steigender Temperatur ab.

Eine Darstellung durch ein ---Gesetz war nicht besonders gut. Die Mes-

sungen von BLANKENFELD haben eine Bestiitigung erfahren durch die Mes- sungen von JOHNSON und MCKAY (67), die an kompakten MgO-Kristallen nach dem Impulsverfahren die Temperaturabhangigkeit untersuchten und

1 T

1 T


ebenfalls eine Abnahnie der Ausbeute mit steigender Temperatur feststellten. I n der gleichen Arbeit von BLANKENFELD wurde auch die Abhiingigkeit der Ausbeute von der Temperatur an Glasern gemessen und dabei festgestellt, daS Glher nur eine geringe oder keine Abhangigkeit der Ausbeute von der Tempe- ratur zeigen. Da man zweifellos die Glaser als amorphe Korper mit hohem Fehlordnungsgrad ansprechen kann, wiiren diese in die Gruppe d) einzureihen und eine Temperaturabhangigkeit nicht zu erwarten. D e r Einf luBderfreienElektronen. Esliegt aufder Hand,nachdemman zu obigen Folgerungen aus dem Blindermodell gelangt ist, auch nach dem EinfluB der freien Elektronen bei den Halbleitern und Isolatoren zu suchen. Der EinfluB der freien Elektronen konnte wohl einwandfrei an KC1-Kristall- schichten von KNOLL, HACHENBERG und RANDMER (58) nachgewiesen werden. Durch Einstrahlung von Licht in die F-Zentren des Kristalls kann die Anzahl der freien Elektronen im Leitungsband zusatzlich erhoht werden. Die Verfasser schiitzten die Anzahl der Elektronen aus der Absorption ab und fanden bei 5 . lo1' Elektronen pro cm3 einen sicher nachweisbaren Ruckgang der Ausbeutel). Der E in f luB d e r g e b u n d e n e n E l e k t r o n e n auf die Sekundiiremission konnte bisher nicht direkt nachgewiesen werden. Einen Hinweis auf sein \'or- handensein liefern die Arbeiten von APKER, TAFT und DICKEY (68) bei der photoelektrischen Emission. Die Verfasser fanden in den Geschwindigkeits- verteilungskurven der Photoelektronen hderungen, wenn die Energie des photoelektrisch angeregten Elektrons groBer war als der Randabstand, und dasselbe also in Wechselwirkung mit den Elektronen des Valenzbandes treten konnte. Aber auch aus den experimentellen Ergebnissen uber die Sekundar- emission kann man indirekte Schlusse auf den EinfluB der gebundenen Elektronen ziehen. Die Tatsache, daB das Sekundaremissionsverhalten von Germanium, Silizium, Selen, CuO, PbS und anderen Halbleitern den Metallen Lhnlich ist und zum Beispiel bei Ge keine Temperaturabhangigkeit gefunden wurde (57), entsprechen ganz dem obigen Bild. D e r E i n f 1 u 13 d e r S t or s t e l 1 e n auf die Sekundaremission beansprucht bei den Halbleitern und Isolatoren ein besonderesInteresse, da ja die wesentlichen Eigenschaften dieser Stoffe in so entscheidendem MaSe von der Art und Anzahl der Storstellen abhangen. Die Ergebnisse der einzelnen Arbeiten sind verschieden. An KCI und NaCl fanden BRUINING und andere (2 ,58 ) eine eindeutige Abnahme der Sekundaremission mit zunehmender Verfiirbung, d. h.

~~

Anmerkung bei der Korrektur: In einer neuerschienenen Arbeit (Phys. Rev. 93, 668, 1964) kommen JOHNSON und MCKAY zu dem Schlul3, dal3 freie Elektronen von einer Dichte von 10'9cm-a bei Ge keinen EinfluB auf die Ausbeute haben. Der scheinbare Widerspruch zu den Ergebnissen an KCI ist nach unserer Meinung darauf zuruckzufuhren, daB bei Ge wegen des Meinen Bandabstandes von 0,7 eV der EinfluB der freien Elektronen von dem der gebundenen Elektronen iiberdeckt wird. Go ist kein geeignetes Material, urn den EinfluB der freien Elektronen auf die Sekundiiremission deutlich zu zeigen. Die Verfasser finden ebenfalls eine sehr geringe Temperat,urabhiingigkeit der Ausbeute bei Ge von 5 % uber GOOo, die zur oben dargelegten Auffassung nicht im Widerspruch steht.

I)er gegenwartige Stand der Theorie der Sekundiirelektronenemission 483

mit dem Entstehen von F-Zentren bei den Alkalihalogeniden ist eine Ab- nahme der Ausbeute verbunden. Das Ergebnis legt die Deutung nahe, daB bei dem Vorhandensein von Storzentren die Wechselwirkungen der Sekundiir- elektronen ini Korper ansteigen, und damit die Austrittstiefe der Sekundiir- elektronen geringer wird. Anders sind die Ergebnisse an Cs,O. Gibt man dem Cs,O metallische Zusiitze hinzu, d. h. fugt man Fremdstorstellen ein, so erhiilt man eine Erhohung der Sekundiirelektronenausbeute. Auch bei den Alkalihalogeniden kann man offenbar die Ausbeute durch Zusiitze erhohen. Auch an Germanium und Selen fanden GOBRECHT und SPEER (55) eine Zu- nahme der Sekundllremission mit zunehmender Beimischung ; dem Ger- manium wurde Indium, Antimon und Gallium beigegeben, dem Selen wurde Chlor und Brom beigemischt. Wghrend fur das Verhalten des Cs,O und der Alkalihalogenide auch die Ver- mutung ausgesprochen wurde, daB die Zunahme der Storstellen eine Er- hohung der Leitfiihigkeit und damit eine leichtere Nachlieferung von Elek- tronen bewirken konnte, kann eine solche Annahme fur Ge und Se nicht in Rage kommen, da beide Stoffe sich schon durch eine ausreichende spezifische Leitfkhigkeit auszeichnen. Es bleibt die Rage zu diskutieren, wie weit die Storzentren selbst als Elektronenquellen mitwirken konnen. Fur eine solche Annahme spricht die meist geringere Bindung der Elektronen in den Storstellen (Donatoren), dagegen spricht die Tatsache, daB die HLufigkeit der Storstellen meist um mehr als zwei GroBenordnungen geringer ist als die Anzahl der Gitteratome. Diese Bemerkungen zeigen, daB offenbar der EinfluB der Storstellen mannig- fach sein kann; es werden noch viele Messungen an den verschiedensten Stoffen notwendig sein, um hier eine gewisse Klarheit zu erreichen.

B e r 1 i n - A d 1 e r s h of , Heinrich - Hertz - Institut fur Schwingungsforschung der Deutschen Akademie der Wissenschaften.

B e r 1 i n , Institut fur theoretische Physik der Humboldt-Universitiit.

484 0. HACHENB~CRG und W. BRAUER

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