Determinan dan Invers

SMK BINTANG NUSANTARA SCHOOLKab.Tangerang

Ridho Hadi Saputro

MATRIKS

DAFTAR SLIDEDAFTAR SLIDE

Operasi Matriks

Jenis-Jenis Matriks

Determinan Matriks

2222

Inverse Matriks

DEFINISI MATRIKSDEFINISI MATRIKS

3333

kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.

Apakah yang dimaksud dengan Matriks ?

NOTASI MATRIKSNOTASI MATRIKS

4444

Nama matriks menggunakan huruf besar Anggota-anggota matriks dapat berupa huruf

kecil maupun angka Digunakan kurung biasa atau kurung siku

Ordo matriks atau ukuran matriks merupakan banyaknya baris (garis horizontal) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut.

675

231A

ihg

fed

cba

H


5555

Jadi, suatu matriks yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo atau berukuran m x n.

Memudahkan menunjuk anggota suatu matriks

Notasi A = (aij)

mnmmm

n

n

n

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

...

...............

...

...

...

321

3333231

2232221

1131211

A =

Dengan i = 1,2,...,m j = 1,2,...,n

MATRIKSMATRIKS

6666

Contoh : Matriks A merupakan matriks berordo 4x2

Bilangan-bilangan yang terdapat dalam sebuah matriks dinamakan entri dalam matriks atau disebut juga elemen atau unsur.

16

12

13

41

A


7777

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

A

21

22221

11211

7

Baris

KolomUnsur Matriks

Matriks berukuran m x n atau berorde m x n

MATRIKS BARIS DAN KOLOMMATRIKS BARIS DAN KOLOM

8888

Matriks baris adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris

Matriks kolom adalah matriks yang hanya mempunyai satu kolom.

4121C

4

3

1

E

MATRIKS A = BMATRIKS A = B

9999

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A = B) apabila A dan B mempunyai jumlah baris dan kolom yang sama (berordo sama) dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.

aij = bij dimana- aij = elemen matriks A dari baris i dan kolom j- bij = elemen matriks B dari baris i dan kolom j

A = Bdan

A ≠ B

dan

10

42A

10

42B

510

242A

13

41B

PENJUMLAHAN MATRIKS

10101010

Apabila A dan B merupakan dua matriks yang ukurannya sama, maka hasil penjumlahan (A + B) adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.

Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan.

dan

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

333332323131

232322222121

131312121111

bababa

bababa

bababa

BA

PENJUMLAHAN MATRIKS

11111111

Contoh Soal

22

31

24

A

21

12

43

B

2212

1321

4234

BA

43

41

27

BA

PENGURANGAN MATRIKS

12121212

A dan B adalah suatu dua matriks yang ukurannya sama, maka A-B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan bersama-sama entri yang seletak/bersesuaian dalam kedua matriks tersebut.

Matriks-matriks yang ordo/ukurannya berbeda tidak dapat dikurangkan.

dan

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

333231

232221

131211

bbb

bbb

bbb

B

333332323131

232322222121

131312121111

bababa

bababa

bababa

BA

PENGURANGAN MATRIKS

13131313

Contoh :

043

322

101

A

243

421

111

B

204433

432212

111011

BA

200

703

210

BA

PERKALIAN MATRIKS DENGAN SKALAR

14141414

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan matriks A=(aij ) maka matriks kA=(kaij ) adalah suatu matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k.

Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks.

[C]=k[A]=[A]k

15

83A

1*45*4

8*43*44A

420

32124A


15151515

Sifat-sifat perkalian matriks dengan skalar :k(B+C) = kB + kCk(B-C) = kB-kC(k1+k2)C = k1C + k2C(k1-k2)C = k1C – k2C(k1.k2)C = k1(k2C)


16161616

Contoh :

dengan k = 2, maka

K(A+B) = 2(A+B) = 2A+2B

12

10A

11

43B

06

106

03

53*2)

11

43

12

10(*2)(2 BA

06

106

22

86

24

20

11

43*2

12

10*222 BA

TERBUKTI


17171717

Contoh :

dengan k1 = 2 dan k2 = 3, maka

(k1+k2)C = k1.C + k2.C

12

11C

510

55

12

11*5

12

11*)32(*)( 21 Ckk

TERBUKTI

510

55

36

33

24

22

12

11*)3(

12

11*)2()**( 21 CkCk

PERKALIAN MATRIKSPERKALIAN MATRIKS

18181818

Perkalian matriks dengan matriks pada umumnya tidak bersifat komutatif.

Syarat perkalian adalah jumlah banyaknya kolom pertama matriks sama dengan jumlah banyaknya baris matriks kedua.

Jika matriks A berukuran mxn dan matriks B berukuran nxp maka hasil dari perkalian A*B adalah suatu matriks C=(cij ) berukuran mxp dimana


19191919

Contoh :

0

1

3

B

11)0*1()1*2()3*3(

0

1

3

*123*

BA

123A

000

123

369

1*02*03*0

1*12*13*1

1*32*33*3

123*

0

1

3

* AB


20202020

Apabila A merupakan suatu matriks persegi, maka A² = A.A ; A³=A².A dan seterusnya

Apabila AB = BC maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=C (tidak berlaku sifat penghapusan)

Apabila AB = AC belum tentu B = C Apabila AB = 0 maka tidak dapat disimpulkan bahwa A=0 atau

B=0 Terdapat beberapa hukum perkalian matriks :1. A(BC) = (AB)C2. A(B+C) = AB+AC3. (B+C)A = BA+CA4. A(B-C)=AB-AC5. (B-C)A = BA-CA6. A(BC) = (aB)C= B(aC)7. AI = IA = A

PERPANGKATAN MATRIKSPERPANGKATAN MATRIKS

21212121

Sifat perpangkatan pada matriks sama seperti sifat perpangkatan pada bilangan-bilangan untuk setiap a bilangan riil, dimana berlaku :

A2 = A AA3 = A2 AA4 = A3 AA5 = A4 A; dan seterusnya


22222222

Tentukan hasil A² dan A³

02

11A

22

13

02

11

02

112 AxAA

26

35

22

13

02

1123 AxAA


23232323

Tentukan hasil 2A² + 3A³

02

11A

44

26

22

1322 2A

66

915

22

3533 3A

1010

79

66

915

44

2632 32 AA

JENIS –JENIS MATRIKSJENIS –JENIS MATRIKS

24242424

Matriks bujursangkar (persegi) adalah matriks yang berukuran n x n

Matriks nol adalah matriks yang setiap entri atau elemennya adalah bilangan nol

Sifat-sifat dari matriks nol :-A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0-A*0=0, begitu juga 0*A=0.

13

41A

00

00

00

23xO


25252525

Matriks Diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen diatas dan dibawah diagonalnya adalah nol. Dinotasikan sebagai D.Contoh :

Matriks Skalar adalah matriks diagonal yang semua elemen pada diagonalnya sama

500

020

001

33xD

500

050

005

33xD


26262626

Matriks Identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1.

Sifat-sifat matriks identitas :A*I=AI*A=A

Matriks Segitiga Atas adalah matriks persegi yang elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol

Matriks Segitiga Bawah adalah matriks persegi yang elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol

100

010

001

D

600

210

542

A

152

043

001

B

DETERMINAN MATRIKSDETERMINAN MATRIKS

27272727

Setiap matriks persegi atau bujur sangkar memiliki nilai determinan

Nilai determinan dari suatu matriks merupakan suatu skalar.

Jika nilai determinan suatu matriks sama dengan nol, maka matriks tersebut disebut matriks singular.

NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN

28282828

Misalkan matriks A merupakan sebuah matriks bujur sangkar

Fungsi determinan dinyatakan oleh det (A) Jumlah det(A) disebut determinan A det(A) sering dinotasikan |A|

NOTASI DETERMINANNOTASI DETERMINAN

29292929

Pada matriks 2x2 cara menghitung nilai determinannya adalah :

Contoh :

2221

1211

aa

aaA 21122211)det( aaaaA

31

52A 156)det( A

2221

1211)det(aa

aaA

31

52)det( A

METODE SARRUSMETODE SARRUS

30303030

Pada matriks 3x3 cara menghitung nilai determinannya adalah menggunakan Metode Sarrus

Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi 3x3

122133112332132231322113312312332211)det( aaaaaaaaaaaaaaaaaaA

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

METODE SARRUSMETODE SARRUS

31313131

Contoh :

Nilai Determinan dicari menggunakan metode Sarrus

det(A) = (-2·1 ·-1) + (2 ·3 ·2) + (-3 ·-1 ·0) – (-3 ·1 ·2) –(-2 ·3 ·0)-(2 ·-1 ·-1)

= 2 +12+0+6-0-2= 18

102

311

322

A

MINORMINOR

32323232

Yang dimaksud dengan MINOR unsur aij

adalah determinan yang berasal dari determinan orde ke-n tadi dikurangi dengan baris ke-i dan kolom ke-j.

Dinotasikan dengan Mij

Contoh Minor dari elemen a₁₁

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A3332

232211 aa

aaM

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

A444342

343332

242322

11

aaa

aaa

aaa

M

MINORMINOR

33333333

Minor-minor dari Matrik A (ordo 3x3)

KOFAKTOR MATRIKSKOFAKTOR MATRIKS

34343434

Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan

Contoh :Kofaktor dari elemen a11

232332

23 )1( MMc

TEOREMA LAPLACETEOREMA LAPLACE

35353535

Determinan dari suatu matriks sama dengan jumlah perkalian elemen-elemen dari sembarang baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya


36363636

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris

Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama|A|

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

3231

222113

3331

232112

3332

232211

131312121111

131312121111

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca


37373737

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris kedua|A|

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor baris ketiga|A|

3231

121123

3331

131122

3332

131221

232322222121

232322222121

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca

2221

121133

2321

131132

2322

131231

333332323131

333332323131

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca


38383838

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom

Misalkan ada sebuah matriks A berordo 3x3

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama|A|

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

A

2322

131231

3332

131221

3332

232211

313121211111

313121211111

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca


39393939

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom kedua|A|

Determinan Matriks A dengan metode ekspansi kofaktor kolom ketiga|A|

2321

131132

3331

131122

3331

232112

323222221212

323222221212

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca

2221

121133

3231

121123

3231

222113

333323231313

333323231313

aa

aaa

aa

aaa

aa

aaa

MaMaMa

cacaca

DET MATRIKS SEGITIGADET MATRIKS SEGITIGA

40404040

Jika A adalah matriks segitiga bujur sangkar berupa segitiga atas atau segitiga bawah maka nilai det(A) adalah hasil kali diagonal matriks tersebut

Contoh

dstaaaA 332211)det(

1296496)3(2)det( A

TRANSPOSE MATRIKS

41414141

Jika A adalah suatu matriks m x n, maka tranpose A dinyatakan oleh A; dan didefinisikan dengan matriks n x m yang kolom pertamanya adalah baris pertama dari A, kolom keduanya adalah baris kedua dari A, demikian juga dengan kolom ketiga adalah baris ketiga dari A dan seterusnya.

Contoh : matriks A : berordo 2 x 3

transposenya : berordo 3 x 2

314

131A

31

13

41tA

TRANSPOSE MATRIKS

42424242

Beberapa Sifat Matriks Transpose :

TT

TTT

TT

TTT

kAkA

ABAB

AA

BABA

).(4

).(3

).(2

).(1

TRANSPOSE MATRIKS

43434343

Pembuktian aturan no1 :

232322222121

131312121111

232221

131211

232221

131211

bababa

bababa

bbb

bbb

aaa

aaaBA

232221

131211

bbb

bbbB

232221

131211

aaa

aaaA

2313

2212

2111

aa

aa

aa

AT

2313

2212

2111

bb

bb

bb

BT

23231313

22221212

21211111

2313

2212

2111

2313

2212

2111

baba

baba

baba

bb

bb

bb

aa

aa

aa

BA TT

TERBUKTI

23231313

22221212

21211111

)(

baba

baba

baba

BA T

TRANSPOSE MATRIKS

44444444

Pembuktian aturan no 2 :

232221

131211

aaa

aaaA

2313

2212

2111

aa

aa

aa

AT

232221

131211

2313

2212

2111

)(aaa

aaa

aa

aa

aa

A

T

TT

TERBUKTI

MATRIKS SIMETRI

45454545

Sebuah matriks dikatakan simetri apabila hasil dari transpose matriks A sama dengan matriks A itu sendiri.

Contoh :1. 2.

002

003

231

002

003

231

TA

A

21

12

21

12

TB

B

AAT

INVERS MATRIKSINVERS MATRIKS

46464646

1A

IAA 1

dc

baA

ac

bd

bcadA

11

INVERS MATRIXINVERS MATRIX

47474747

Langkah-langkah untuk mencari invers matriks M yang berordo 3x3 adalah :- Cari determinan dari M- Transpose matriks M sehingga menjadi- Cari adjoin matriks- Gunakan rumus

TM

))(()det(

11 MadjoinM

M


48484848

Contoh Soal :

- Cari Determinannya : det(M) = 1(0-24)-2(0-20)+3(0-5) = 1- Transpose matriks M

065

410

321

M

043

612

501TM


49494949

- Temukan matriks kofaktor dengan menghitung minor-minor matriksnya

- Hasilnya :

==> ==>

145

41520

51824

145

41520

51824


50505050

Hasil Adjoinnya :

Hasil akhir

145

41520

51824

145

41520

51824

1

11M

145

41520

51824

REFERENSIREFERENSI

51515151

1. Discrete Mathematics and its Applications; Kenneth H. Rosen; McGraw Hill; sixth edition; 2007

2. http://p4tkmatematika.org/3. http://www.idomaths.com/id/matriks.php

Documents

Determinan dan Invers