Developement Limite

8/22/2019 Developement Limite

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Exo7

Dveloppements limits

1 Formules de Taylor 2

1.1 Formule de Taylor avec reste intgral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Formule de Taylor avec reste f(n+1)(c) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Rsum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Mini-exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Dveloppements limits au voisinage dun point 6

2.1 Dfinition et existence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Unicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3 DL des fonctions usuelles lorigine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4 DL des fonctions en un point quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5 Mini-exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Oprations sur les dveloppements limits 9

3.1 Somme et produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.3 Division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113.4 Intgration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.5 Mini-exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Applications des dveloppements limits 13

4.1 Calculs de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.2 Position dune courbe par rapport sa tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134.3 Dveloppement limit en + . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.4 Mini-exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

Vido partie 1. Formules de TaylorVido partie 2. Dveloppements limits au voisinage dun pointVido

partie 3. Oprations sur les DL

Vido partie 4. Applications

Motivation

Prenons lexemple de la fonction exponentielle. Une ide du comportement de la fonction f(x) = expxautour du point x = 0 est donn par sa tangente, dont lquation est y = 1+x. Nous avons approximle graphe par une droite. Si lon souhaite faire mieux, quelle parabole dquation y = c0 + c1x+ c2x2approche le mieux le graphe de f autour de x = 0? Il sagit de la parabole dquation y = 1+x+ 12x2.Cette quation la proprit remarquable que si on note g(x) = expx

1+x+ 12x2

alors g(0) = 0,

g(0)= 0 et g(0)= 0. Trouver lquation de cette parabole cest faire un dveloppement limit lordre

2 de la fonction f. Bien sr si lon veut tre plus prcis, on continuerait avec une courbe du troisimedegr qui serait en fait y= 1+x+ 12x2+ 16x3.

1
http://www.youtube.com/watch?v=vlFWMeBUTXohttp://www.youtube.com/watch?v=vlFWMeBUTXohttp://www.youtube.com/watch?v=vlFWMeBUTXohttp://www.youtube.com/watch?v=gFpLfhXjLSYhttp://www.youtube.com/watch?v=gFpLfhXjLSYhttp://www.youtube.com/watch?v=gFpLfhXjLSYhttp://www.youtube.com/watch?v=_AS7bwOsxd4http://www.youtube.com/watch?v=_AS7bwOsxd4http://www.youtube.com/watch?v=_AS7bwOsxd4http://www.youtube.com/watch?v=bS8MxViqUUEhttp://www.youtube.com/watch?v=bS8MxViqUUEhttp://www.youtube.com/watch?v=bS8MxViqUUEhttp://www.youtube.com/watch?v=bS8MxViqUUEhttp://www.youtube.com/watch?v=_AS7bwOsxd4http://www.youtube.com/watch?v=gFpLfhXjLSYhttp://www.youtube.com/watch?v=vlFWMeBUTXo


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x

y

1

0 1

y=ex

y= 1+x

y

=1

+x

+x2

2

y= 1+x+ x22 + x3

6

Dans ce chapitre, pour nimporte quelle fonction, nous allons trouver le polynme de degr n qui ap-proche le mieux la fonction. Les rsultats ne sont valables que pour x autour dune valeur fixe (ce serasouvent autour de 0). Ce polynme sera calcul partir des drives successives au point considr.Sans plus attendre, voici la formule, dite formule de Taylor-Young :

f(x)= f(0)+f(0)x+f(0)x2

2!+ +f(n)(0)x

n

n!+xn(x).

La partie polynomiale f(0)+f(0)x+ +f(n)(0)xnn! est le polynme de degr n qui approche le mieux f(x)

autour de x= 0. La partie xn(x) est le reste dans lequel (x) est une fonction qui tend vers 0 (quand xtend vers 0) et qui est ngligeable devant la partie polynomiale.

1 Formules de Taylor

Nous allons voir trois formules de Taylor, elles auront toutes la mme partie polynomiale mais donnentplus ou moins dinformations sur le reste. Nous commencerons par la formule de Taylor avec resteintgral qui donne une expression exacte du reste. Puis la formule de Taylor avec reste f(n+1)(c) quipermet dobtenir un encadrement du reste et nous terminons avec la formule de Taylor-Young trspratique si lon na pas besoin dinformation sur le reste.

Soit IR un intervalle ouvert. Pour n N, on dit que f : IR est une fonction de classe Cn si f est nfois drivable sur I et f(n) est continue. f est de classe C0 si f est continue sur I. f est de classe C

si f est de classe Cn pour tout n N.

1.1 Formule de Taylor avec reste intgral

Thorme 1 (Formule de Taylor avec reste intgral).

Soit f : IR une fonction de classe Cn+1 (n N) et soit a,x I. Alors

f(x)= f(a)+f(a)(xa)+ f(a)2! (xa)2+ +f(n)(a)

n! (xa)n+x

af(n+1)(t)

n! (x t)n dt.

Nous noterons Tn(x) la partie polynomiale de la formule de Taylor (elle dpend de n mais aussi de fet a) :

Tn(x)= f(a)+f(a)(xa)+f(a)

2!(xa)2+ + f

(n)(a)n!

(xa)n.

Remarque. En crivant x=

a

+h (et donc h

=x

a) la formule de Taylor prcdente devient (pour tout

a et a+h de I) :

f(a+h)= f(a)+f(a)h+ f(a)2!

h2+ + f(n)(a)

n!hn +

h0

f(n+1)(a+ t)n!

(h t)ndt

2


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Exemple 1. La fonction f(x) = expx est de classe Cn+1 sur I= R pour tout n. Fixons a R. Commef(x)= expx, f(x)= expx,...alors pour tout x R :

expx= expa+exp a (xa)+ + expan!

(xa)n +x

a

exp tn!

(x t)ndt.

Bien sr si lon se place en a = 0 alors on retrouve le dbut de notre approximation de la fonction

exponentielle en x= 0 : expx= 1+x+x2

2! +x3

3! + Preuve du thorme. Montrons cette formule de Taylor par rcurrence sur k n :

f(b)= f(a)+f(a)(ba)+ f(a)2!

(ba)2+ + f(k)(a)k!

(ba)k+b

af(k+1)(t)

(b t)kk!

dt.

(Pour viter les confusions entre ce qui varie et ce qui est fixe dans cette preuve on remplace x par b.)

Initialisation. Pour n = 0, une primitive de f(t) est f(t) doncb

a f(t) dt = f(b) f(a), donc f(b) =

f(a)+b

a f(t) dt. (On rappelle que par convention (b t)0 = 1 et 0!= 1.)

Hrdit. Supposons la formule vraie au rang k1. Elle scrit f(b)= f(a)+f(a)(ba)++ f(k1)(a)

(k

1)! (ba)k1+ba f(k)(t) (bt)k1(k1)! dt.On effectue une intgration par parties dans lintgrale

ba f

(k)(t) (bt)k1

(k1)! dt. En posant u(t) = f(k)(t) etv(t)= (bt)k1(k1)! , on a u(t)= f(k+1)(t) et v(t)=

(bt)kk! ; alors

ba

f(k)(t)(b t)k1

(k1)! dt=f(k)(t) (b t)

k

k!

ba

+b

af(k+1)(t)

(b t)kk!

dt

= f(k)(a) (ba)k

k!+b

af(k+1)(t)

(b t)kk!

dt.

Ainsi lorsque lon remplace cette expression dans la formule au rang k 1 on obtient la formule aurang k.Conclusion. Par le principe de rcurrence la formule de Taylor est vraie pour tous les entiers n pourlesquels f est classe Cn+1.

1.2 Formule de Taylor avec reste f(n+1)(c)

Thorme 2 (Formule de Taylor avec reste f(n+1)(c)).Soit f : IR une fonction de classe Cn+1 (n N) et soit a,x I. Il existe un rel c entre a et x tel que :

f(x)= f(a)+f(a)(xa)+ f(a)2! (xa)2+ +f(n)(a)

n! (xa)n+f(n+1)(c)(n

+1)! (xa)n+1.

Exemple 2. Soient a,x R. Pour tout entier n 0 il existe c entre a et x tel que expx = exp a+exp a (xa)+ + exp a

n! (xa)n+exp c

(n+1)!(xa)n+1.

Dans la plupart des cas on ne connatra pas ce c. Mais ce thorme permet dencadrer le reste. Cecisexprime par le corollaire suivant :

Corollaire 1. Si en plus la fonction |f(n+1)| est majore sur I par un rel M, alors pour tout a,x I,on a :

f(x)Tn(x)

M|xa|

n+1

(n+1)!

Exemple 3. Approximation de sin(0,01).Soit f(x)= sinx. Alors f(x)= cosx, f(x)=sinx, f(3)(x)=cosx, f(4)(x)= sinx. On obtient donc f(0)=0, f(0) = 1, f(0) = 0, f(3)(0) = 1. La formule de Taylor ci-dessus en a = 0 lordre 3 devient : f(x) =0+1 x+0 x22! 1x

3

3! +f(4)(c)x4

4! , cest--dire f(x)=x x3

6 +f(4)(c)x4

24 , pour un certain c entre 0 et x.

3


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Appliquons ceci pour x= 0,01. Le reste tant petit on trouve alors

sin(0,01) 0,01 (0,01)3

6= 0,00999983333...

On peut mme savoir quelle est la prcision de cette approximation : comme f(4)(x)= sinx alors |f(4)(c)| 1. Donc f(x) x

x3

6 x4

4! . Pour x=

0,01 cela donne : sin(0,01) 0,01(0,01)3

6 (0,01)4

24 . Comme(0,01)4

24 4,16 1010 alors notre approximation donne au moins 8 chiffres exacts aprs la virgule.

Remarque. Dans ce thorme lhypothse f de classe Cn+1 peut-tre affaiblie en f est n+1 foisdrivable sur I.

le rel c est entre a et x signifie c ]a,x[ ou c ]x, a[. Pour n = 0 cest exactement lnonc du thorme des accroissements finis : il existe c ]a, b[ tel que

f(b)= f(a)+f(c)(ba). Si I est un intervalle ferm born et f de classe Cn+1, alors f(n+1) est continue sur I donc il existe un

M tel que |f(n+1)(x)| M pour tout x I. Ce qui permet toujours dappliquer le corollaire.

Pour la preuve du thorme nous aurons besoin dun rsultat prliminaire.

Lemme 1 (galit de la moyenne). Supposons a < b et soient u, v : [a, b] R deux fonctions continuesavec v 0. Alors il existe c [a, b] tel que

ba u(t)v(t) dt= u(c)

ba v(t) dt.

Dmonstration. Notons m= inft[a,b] u(t) et M= supt[a,b] u(t) .Ona mb

a v(t) dtb

a u(t)v(t) dtMb

a v(t) dt

(car v 0). Ainsi m b

a u(t)v(t) dtba v(t) dt

M. Puisque u est continue sur [a, b] elle prend toutes les valeurscomprises entre m et M (thorme des valeurs intermdiaires). Donc il existe c [a, b] avec u(c) =b

a u(t)v(t) dtba v(t) dt

.

Preuve du thorme. Pour la preuve nous montrerons la formule de Taylor pour f(b) en supposant a< b.Nous montrerons seulement c

[a, b] au lieu de c

]a, b[.

Posons u(t) = f(n+1)(t) et v(t) = (bt)nn! . La formule de Taylor avec reste intgral scrit f(b) = Tn(a)+ba u(t)v(t) dt. Par le lemme, il existe c [a, b] tel que

ba u(t)v(t) dt = u(c)

ba v(t) dt. Ainsi le reste estb

a u(t)v(t) dt = f(n+1)(c)b

a(bt)n

n! dt = f(n+1)(c) (bt)n+1(n+1)!

ba= f(n+1)(c) (ba)n+1(n+1)! . Ce qui donne la formule

recherche.

1.3 Formule de Taylor-Young

Thorme 3 (Formule de Taylor-Young).

Soit f : IR une fonction de classe Cn et soit a I. Alors pour tout x I on a :

f(x)= f(a)+f(a)(xa)+f(a)

2! (xa)2

+ +f(n)(a)

n! (xa)n

+ (xa)n

(x),

o est une fonction dfinie sur I telle que (x)xa 0.

Dmonstration. f tant un fonction de classe Cn nous appliquons la formule de Taylor avec reste f(n)(c)au rang n1. Pour tout x, il existe c = c(x) compris entre a et x tel que f(x)= f(a)+f(a)(xa)+ f(a)2! (xa)2++ f(n1)(a)(n1)! (xa)n1+

f(n)(c)n! (xa)n. Que nous rcrivons : f(x)= f(a)+f(a)(xa)+

f(a)2! (xa)2++

f(n)(a)n! (xa)n +

f(n)(c)f(n)(a)n! (xa)n. On pose (x)=

f(n)(c)f(n)(a)n! . Puisque f

(n) est continue et que c(x) aalors limxa (x)= 0.

4


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1.4 Un exemple

Soit f :]1,+[R, x ln(1+x) ; f est infiniment drivable. Nous allons calculer les formules de Tayloren 0 pour les premiers ordres.Tous dabord f(0) = 0. Ensuite f(x) = 11+x donc f(0) = 1. Ensuite f(x) = 1(1+x)2 donc f(0) = 1. Puisf(3)(x)= +2 1(1+x)3 donc f(3)(0)= +2. Par rcurrence on montre que f(n)(x)= (1)n1(n1)!

1(1+x)n et donc

f(n)

(0)= (1)n

1

(n1)!. Ainsi pour n> 0 :f(n)(0)

n! xn

= (1)n

1 (n

1)!n! x

n

= (1)n

1 xn

n .Voici donc les premiers polynmes de Taylor :

T0(x)= 0 T1(x)=x T2(x)=xx2

2T3(x)=x

x2

2+ x

3

3

Les formules de Taylor nous disent que les restes sont de plus en plus petits lorsque n crot. Sur ledessins les graphes des polynmes T0, T1, T2, T3 sapprochent de plus en plus du graphe de f. Attentionceci nest vrai quautour de 0.

x

y

1

01

y= ln(1+x)

y= 0

y=x

y=x x22

y=x x22 + x3

3

Pour n quelconque nous avons calculer que le polynme de Taylor en 0 est

Tn(x)=n

k=1(1)k1x

k

k=x x

2

2+ x

3

3 + (1)n1x

n

n.

1.5 Rsum

Il y a donc trois formules de Taylor qui scrivent toutes sous la forme

f(x)=Tn(x)+Rn(x)

o Tn(x) est toujours le mme polynme de Taylor :

Tn(x)= f(a)+f(a)(xa)+f(a)

2! (xa)2+ +f(n)(a)

n! (xa)n.Cest lexpression du reste Rn(x) qui change (attention le reste na aucune raison dtre un polynme).

Rn(x)=x

a

f(n+1)(t)n!

(x t)ndt Taylor avec reste intgral

Rn(x)=f(n+1)(c)(n+1)! (xa)

n+1 Taylor avec reste f(n+1)(c), c entre a et x

Rn(x)= (xa)n(x) Taylor-Young avec (x)xa 0

Selon les situations lune des formulations est plus adapte que les autres. Bien souvent nous navonspas besoin de beaucoup dinformation sur le reste et cest donc la formule de Taylor-Young qui sera laplus utile.

5


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Notons que les trois formules ne requirent pas exactement les mmes hypothses : Taylor avec resteintgral lordre n exige une fonction de classe Cn+1, Taylor avec reste une fonction n+1 fois drivable,et Taylor-Young une fonction Cn. Une hypothse plus restrictive donne logiquement une conclusion plusforte. Cela dit, pour les fonctions de classe C que lon manipule le plus souvent, les trois hypothsessont toujours vrifies.

Notation. Le terme (x

a)n(x) o (x)x0

0 est souvent abrg en petit o de (x

a)n et est not

o((xa)n). Donc o((xa)n) est une fonction telle que limxa o((xa)n)

(xa)n = 0. Il faut shabituer cette notationqui simplifie les critures, mais il faut toujours garder lesprit ce quelle signifie.

Cas particulier : Formule de Taylor-Young au voisinage de 0. On se ramne souvent au casparticulier o a= 0, la formule de Taylor-Young scrit alors

f(x)= f(0)+f(0)x+f(0)x2

2!+ +f(n)(0)x

n

n!+xn(x)

o limx

0(x)

=0.

Et avec la notation petit o cela donne :

f(x)= f(0)+f(0)x+f(0)x2

2!+ +f(n)(0)x

n

n!+ o(xn)

1.6 Mini-exercices

1. crire les trois formules de Taylor en 0 pour x cosx, x exp(x) et x shx.2. crire les formules de Taylor en 0 lordre 2 pour x 1

1+x , x tanx.3. crire les formules de Taylor en 1 pour x x39x2+14x+3.4. Avec une formule de Taylor lordre 2 de

1+

x, trouver une approximation de

1,01. Idem avecln(0,99).

2 Dveloppements limits au voisinage dun point

2.1 Dfinition et existence

Soit I un intervalle ouvert et f : IR une fonction quelconque.

Dfinition 1. Pour a I et n N, on dit que f admet un dveloppement limit (DL) au point a et lordre n, sil existe des rels c0, c1, . . . , cn et une fonction : I R telle que limxa (x)= 0 de sorte quepour tout x I :

f(x)= c0+ c1(xa)+ + cn(xa)n+ (xa)n(x). Lgalit prcdente sappelle un DL de f au voisinage de a lordre n . Le terme c0+ c1(xa)+ + cn(xa)n est appel la partie polynomiale du DL. Le terme (xa)n(x) est appel le reste du DL.

La formule de Taylor-Young permet dobtenir immdiatement des dveloppements limits en posant

ck = f(k)(a)k! :

Proposition 1.

Si f est de classe Cn au voisinage dun point a alors f admet un DL au point a lordre n, qui provientde la formule de Taylor-Young :

f(x)= f(a)+ f(a)1!

(xa)+ f(a)2!

(xa)2+ + f(n)(a)n!

(xa)n+ (xa)n(x)

o limxa (x)= 0.

6


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Remarque.

1. Si f est de classe Cn au voisinage dun point 0, un DL en 0 lordre n est lexpression :

f(x)= f(0)+f(0)x+f(0)x2

2!+ +f(n)(0)x

n

n!+xn(x)

2. Si f admet un DL en un point a lordre n alors elle en possde un pour tout k n. En effet

f(x) = f(a)+ f(a)1!

(xa)+ + f(k)(a)k!

(xa)k

+ f(k+1)(a)(k+1)! (xa)

k+1+ + f(n)(a)

n!(xa)n+ (xa)n(x)

=(xa)k(x)

o limxa(x)= 0.

2.2 Unicit

Proposition 2.

Si f admet un DL alors ce DL est unique.

Dmonstration. crivons deux DL de f : f(x) = c0 + c1(x a)+ + cn(x a)n + (x a)n1(x) et f(x) =d0+d1(xa)+ +dn(xa)n+ (xa)n2(x). En effectuant la diffrence on obtient :

(d0 c0)+ (d1 c1)(xa)+ + (dn cn)(xa)n+ (xa)n(2(x)1(x))= 0.

Lorsque lon fait x= a dans cette galit alors on trouve d0 c0 = 0. Ensuite on peut diviser cette galitpar xa : (d1 c1)+ (d2 c2)(xa)+ +(dn cn)(xa)n1+ (xa)n1(2(x)1(x))= 0. En valuant enx

=a on obtient d1

c1=

0, etc. On trouve c0=

d0, c1=

d1, . . . , cn=

dn. Les parties polynomiales sont

gales et donc les restes aussi.

Corollaire 2. Si f est paire (resp. impaire) alors la partie polynomiale de son DL en 0 ne contient quedes monmes de degrs pairs (resp. impairs).

Par exemple x cosx est paire et nous verrons que son DL en 0 commence par : cosx= 1x22!+x4

4!x6

6!+ .

Dmonstration. f(x)= c0+ c1x+ c2x2+ c3x3+ + cnxn +xn(x). Si f est paire alors f(x)= f(x)= c0c1x+ c2x2 c3x3+ + (1)n cnxn +xn(x). Par lunicit du DL en 0 on trouve c1 = c1, c3 = c3, . . . etdonc c1 = 0, c3 = 0,...

Remarque. 1. Lunicit du DL et la formule de Taylor-Young prouve que si lon connat le DL et que

f est de classe Cn alors on peut calculer les nombres drivs partir de la partie polynomialepar la formule ck = f

(k)(a)k! . Cependant dans la majorit des cas on fera linverse : on trouve le DL

partir des drives.

2. Si f admet un DL en un point a lordre n 0 alors c0 = f(a).3. Si f admet un DL en un point a lordre n 1, alors f est drivable en a et on a c0 = f(a) et

c1 = f(a). Par consquent y = c0+ c1(xa) est lquation de la tangente au graphe de f au pointdabscisse a.

4. Plus subtil : f peut admettre un DL lordre 2 en un point a sans admettre une drive secondeen a. Soit par exemple f(x)=x3 sin 1

x. Alors f est drivable mais f ne lest pas. Pourtant f admet

un DL en 0 lordre 2 : f(x)=x2(x) (la partie polynomiale est nulle).

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2.3 DL des fonctions usuelles lorigine

Les DL suivants en 0 proviennent de la formule de Taylor-Young.

expx= 1+ x1! + x2

2! + x3

3! + + xn

n! +xn(x)

chx=

1+

x2

2! +x4

4! + +x2n

(2n)! +x2n

+1(x)

shx= x1! + x3

3! + x5

5! + + x2n+1

(2n+1)! +x2n+2(x)cosx= 1 x22! + x

4

4! + (1)n x2n

(2n)! +x2n+1(x)sinx= x1! x

3

3! + x5

5! + (1)n x2n+1

(2n+1)! +x2n+2(x)

ln(1+x)=x x22 + x3

3 + (1)n1 xn

n+xn(x)

(1+

x)

=1+x

+(1)

2!

x2

+ +(1)...(n+1)

n!

xn

+xn(x)

11+x = 1x+x

2x3+ + (1)nxn +xn(x)1

1x = 1+x+x2+ +xn+xn(x)

1+x= 1+ x2 18x2+ + (1)n1

1135(2n3)2n n! x

n +xn(x)

Ils sont tous apprendre par cur. Cest facile avec les remarques suivantes : Le DL de chx est la partie paire du DL de expx. Cest--dire que lon ne retient que les monmes de

degr pair. Alors que le DL de shx est la partie impaire.

Le DL de cosx est la partie paire du DL de expx en alternant le signe +/ du monme. Pour sinx cestla partie impaire de expx en alternant aussi les signes.

On notera que la prcision du DL de sinx est meilleure que lapplication nave de la formule de Taylorle prvoit (x2n+2(x) au lieu de x2n+1(x)) ; cest parce que le DL est en fait lordre 2n+2, avec unterme polynomial en x2n+2 nul (donc absent). Le mme phnomne est vrai pour tous les DL pairs ouimpairs (dont shx,cosx, chx).

Pour ln(1+x) noubliez pas quil ny a pas de terme constant, pas de factorielle aux dnominateurs, etque les signes alternent.

Il faut aussi savoir crire le DL laide des sommes formelles (et ici des petits o) :

expx=

n

k=1xk

k! +o(xn) et ln(1

+x)=

n

k=1(1)k1x

k

k +o(xn)

La DL de (1+x) est valide pour tout R. Pour = 1 on retombe sur le DL de (1+x)1 = 11+x .Mais on retient souvent le DL de 11x qui est trs facile. Il se retrouve aussi avec la somme dune suitegomtrique : 1+x+x2+ +xn = 1xn+11x = 11x x

n+11x = 11x +xn(x).

Pour = 12 on retrouve (1+x)12 =

1+x = 1+ x2 18x2+ . Dont il faut connatre les trois premiers

termes.

2.4 DL des fonctions en un point quelconque

La fonction f admet un DL au voisinage dun point a si et seulement si la fonction x f(x+a) admet un

DL au voisinage de 0. Souvent on ramne donc le problme en 0 en faisant le changement de variablesh=xa.

8


9/17

Exemple 4. 1. DL de f(x)= expx en 1.On pose h=x1. Si x est proche de 1 alors h est proche de 0. Nous allons nous ramener un DLde exp h en h= 0. On note e = exp1.

expx = exp(1+ (x1))= exp(1)exp(x1)=e exp h=e1+h+ h

2

2!+ + h

n

n!+hn(h)

= e1+ (x1)+ (x1)22!

+ + (x1)n

n!+ (x1)n(x1) , lim

x1(x1)= 0.

2. DL de g(x)= sinx en /2.Sachant sinx = sin(2 +x 2 )= cos(x 2 ) on se ramne au DL de cos h quand h =x 2 0. On adonc sinx= 1 (x

2 )

2

2! + + (1)n(x 2 )2n

(2n)! + (x 2 )2n+1(x 2 ), o limx/2(x 2 )= 0.3. DL de (x)= ln(1+3x) en 1 lordre 3.

Il faut se ramener un DL du type ln(1+h) en h= 0. On pose h=x1 (et donc x= 1+h).On a (x) = ln(1+3x) = ln

1+3(1+ h)

= ln(4+3h) = ln

4 (1+ 3h4 )

= ln4+ ln

1+ 3h4

= ln4+ 3h4

12

3h4

2+ 133h4

3+h3(h)= ln4+ 3(x1)4 932(x1)2+ 964 (x1)3+ (x1)3(x1) o limx1(x1)= 0.

2.5 Mini-exercices

1. Calculer le DL en 0 de x chx par la formule de Taylor-Young. Retrouver ce DL en utilisant quechx= exex2 .

2. crire le DL en 0 lordre 3 de 3

1+x. Idem avec 11+x .

3. crire le DL en 2 lordre 2 de

x.

4. Justifier lexpression du DL de 11x laide de lunicit des DL de la somme dune suite gom-trique.

3 Oprations sur les dveloppements limits

3.1 Somme et produit

On suppose que f et g sont deux fonctions qui admettent des DL en 0 lordre n :

f(x)= c0+ c1x+ + cnxn+xn1(x) g(x)= d0+d1x+ +dnxn+xn2(x)

Proposition 3. f+g admet un DL en 0 lordre n qui est :

(f+g)(x)= f(x)+g(x)= (c0+d0)+ (c1+d1)x+ + (cn +dn)xn+xn(x).

fg admet un DL en 0 lordre n qui est : (fg)(x)= f(x)g(x)= Tn(x)+xn(x) o Tn(x) est le polynme(c0+ c1x+ + cnxn) (d0+d1x+ +dnxn) tronqu lordre n.

Tronquerun polynme lordre n signifie que lon conserve seulement les monmes de degr n.

Exemple 5. Calculer le DL de cosx

1+x en 0 lordre 2. On sait cosx= 1 12x2+x21(x) et

1+x=

9


10/17

1+ 12x 18x2+x22(x). Donc :

cosx

1+x=1 1

2x2+x21(x)

1+ 1

2x 1

8x2+x22(x)

on dveloppe

= 1+ 12

x 18

x2+x22(x)

1

2x2

1+1

2x1

8x2

+x2

2(x)

+x21(x)1+ 1

2x 1

8x2+x22(x)

= 1+ 12

x 18

x2+x22(x) on dveloppe encore

12

x2 14

x3+ 116

x4 12

x42(x)

+x21(x)+12

x31(x)18

x41(x)+x41(x)2(x)

= 1+ 12

x+1

8x2 1

2x2

partie tronque lordre 2

on a regroup les termes de degr 0 et 1, 2

+x22(x)14

x3+ 116

x4 12

x42(x)+x21(x)+12

x31(x)18

x41(x)+x41(x)2(x) reste de la forme x2(x)

et ici les autres

= 1+ 12

x 58

x2+x2(x)

On a en fait crit beaucoup de choses superflues, qui la fin sont dans le reste et navaient pas besoindtre explicites ! Avec lhabitude les calculs se font trs vite car on ncrit plus les termes inutiles. Voicile mme calcul avec la notation petit o : ds quapparat un terme x21(x) ou un terme x3,... on crit

juste o(x2) (ou si lon prfre x2(x)).

cosx

1+x=1 1

2x2+ o(x2)

1+ 1

2x 1

8x2+ o(x2)

on dveloppe

= 1+ 12

x 18

x2+ o(x2)

12

x2+ o(x2)

+ o(x2)

= 1+ 12

x 58

x2+ o(x2)

La notation petit o vite de devoir donner un nom chaque fonction, en ne gardant que sa propritprincipale, qui est de dcrotre vers 0 au moins une certaine vitesse. Comme on le voit dans cetexemple, o(x2) absorbe les lments de mme ordre de grandeur ou plus petits que lui : o(x2) 14x3+12x

2 o(x2)= o(x2). Mais il faut bien comprendre que les diffrents o(x2) crits ne correspondent pas lamme fonction, ce qui justifie que cette galit ne soit pas fausse!

3.2 Composition

On crit encore :

f(x)=

C(x)+

xn1(x)=

c0+

c1x

++cnx

n

+xn1(x) g(x)

=D(x)

+xn2(x)

=d0+

d1x

++dnx

n

+xn2(x)

Proposition 4.

Si g(0) = 0 (cest--dire d0 = 0) alors la fonction f g admet un DL en 0 lordre n dont la partiepolynomiale est le polynme tronqu lordre n de la composition C(D(x)).

10


11/17

Exemple 6. Calcul du DL de h(x)= sin

ln(1+x)

en 0 lordre 3. On pose ici f(u) = sin u et g(x) = ln(1+x) (pour plus de clart il est prfrable de donner des noms

diffrents aux variables de deux fonctions, ici x et u). On a bien fg(x)= sin

ln(1+x)

et g(0)= 0. On crit le DL lordre 3 de f(u)= sin u = u u33! +u31(u) pour u proche de 0. Et on pose u= g(x)= ln(1+x)=x x22 + x

3

3 +x32(x) pour x proche de 0. On aura besoin de calculer un DL lordre 3 de u2 (qui est bien sr le produit u

u) : u2

= xx2

2+x3

3 +x32(x)2 =x2x3+x33(x) et aussi u3 qui est uu2, u3 =x3+x34(x).

Donc h(x)= fg(x)= f(u)= u u33! +u31(u)=x 12x2+ 13x3

16x3+x3(x)=x 12x2+ 16x3+x3(x).

Exemple 7. Soit h(x)=cosx. On cherche le DL de h en 0 lordre 4.On utilise cette fois la notation petit o. On connat le DL de f(u) =

1+u en u = 0 lordre 2 :

f(u)=

1+u = 1+ 12 u 18 u2+ o(u2).Et si on pose u(x) = cosx1 alors on a h(x) = f

u(x)

et u(0)= 0. Dautre part le DL de u(x) en x = 0

lordre 4 est : u =12x2+ 124x4+ o(x4). On trouve alors u2 = 14x4+ o(x4).Et ainsi

h(x)=

fu= 1+1

2

u

1

8

u2

+o(u2)

= 1+ 12

1

2x2+ 1

24x4 1

8

14

x4+ o(x4)

= 1 14

x2+ 148

x4 132

x4+ o(x4)

= 1 14

x2 196

x4+ o(x4)

3.3 Division

Voici comment calculer le DL dun quotient f/g. Soient

f(x)= c0+ c1x+ + cnxn+xn1(x) g(x)= d0+d1x+ +dnxn+xn2(x)

Nous allons utiliser le DL de 11+u = 1u+u2u3+ .1. Si d0 = 1 on pose u = d1x+ +dnxn+xn2(x) et le quotient scrit f/g= f 11+u .2. Si d0 est quelconque avec d0 = 0 alors on se ramne au cas prcdent en crivant

1g(x)

= 1d0

1

1+ d1d0

x+ + dnd0

xn+ xn2(x)d0

.

3. Si d0 =

0 alors on factorise par xk (pour un certain k) afin de se ramener aux cas prcdents.

Exemple 8. 1. DL de tanx en 0 lordre 5.

Tout dabord sinx = x x36 + x5

120 +x5(x). Dautre part cosx = 1 x2

2 + x4

24 +x5(x) = 1+ u en posantu =x22 + x

4

24 +x5(x).Nous aurons besoin de u2 et u3 : u2 =

x22 + x

4

24 +x5(x)2 = x44 +x5(x) et en fait u3 =x5(x). (On

note abusivement (x) pour diffrents restes.)

Ainsi

1cosx

= 11+u = 1u+u

2u3+u3(u)= 1+ x2

2 x

4

24+ x

4

4+x5(x)= 1+ x

2

2+ 5

24x4+x5(x) ;

Finalement

tanx= sinx 1cosx

=x x

3

6+ x

5

120+x5(x)

1+ x

2

2+ 5

24x4+x5(x)

=x+ x

3

3+ 2

15x5+x5(x).

11


12/17

2. DL de 1+x2+x en 0 lordre 4.

1+x2+x = (1+x)

12

11+ x2

= 12

(1+x)1 x

2+x

2

2x

2

3+x

2

4+ o(x4)

= 1

2+ x

4 x

2

8+ x

3

16 x

4

32+ o(x4)

3. Si lon souhaite calculer le DL de sinxshx en 0 lordre 4 alors on crit

sinxshx

=x x33! + x

5

5! + o(x5)x+ x33! + x

5

5! + o(x5)=

x1 x23! + x

4

5! + o(x4)

x1+ x23! + x

4

5! + o(x4)

=1 x

2

3!+ x

4

5!+ o(x4)

1

1+ x23! + x4

5! + o(x4)= = 1 x

2

2+ x

4

18+ o(x4)

Autre mthode. Soit f(x)=C(x)+xn1(x) et g(x)=D(x)+xn2(x). Alors on crit la division suivant lespuissances croissantes de C par D lordre n : C = DQ +xn+1R avec degQ n. Alors Q est la partiepolynomiale du DL en 0 lordre n de f/g.

Exemple 9. DL de 2+x+2x3

1+

x2 lordre 2. On pose C(x) = 2+x+ 2x3 et g(x) = D(x) = 1+x2 alors C(x) =

D(x)(2+x2x2)+x3(1+2x). On a donc Q(x)= 2+x2x2, R(x)= 1+2x. Et donc lorsque lon divise cettegalit par C(x) on obtient f(x)

g(x) = 2+x2x2+x2(x).

3.4 Intgration

Soit f : I R une fonction de classe Cn dont le DL en a I lordre n est f(x) = c0+ c1(xa)+ c2(xa)2+ + cn(xa)n+ (xa)n(x).

Thorme 4.

Notons F une primitive de f. Alors F admet un DL en a lordre n+1 qui scrit :

F(x)=F(a)+ c0(xa)+ c1(x

a)2

2 + c2(x

a)3

3 + + cn(x

a)n+1

n+1 + (xa)n+

1(x)

o limxa(x)= 0.

Cela signifie que lon intgre la partie polynomiale terme terme pour obtenir le DL de F(x) laconstante F(a) prs.

Dmonstration. On a F(x)F(a)=x

a f(t)dt = a0(xa)+ + ann+1 (xa)n+1+x

a (ta)n+1(t)dt. Notons(x)= 1(xa)n+1

xa (ta)n(t)dt.

Alors |(x)|

1(xa)n+1

xa |(ta)n| supt[a,x] |(t)|dt

= | 1(xa)n+1 |supt[a,x] |(t)|

xa |(ta)n|dt= 1n+1 supt[a,x] |(t)|.

Mais supt[a,x] |(t)| 0 lorsque x a. Donc (x) 0 quand x a.

Exemple 10. Calcul du DL de arctanx.On sait que arctanx= 11+x2 . En posant f(x)=

11+x2 et F(x)= arctanx, on crit

arctanx= 11+x2 =

nk=0

(1)kx2k +x2n(x).

Et comme arctan(0)= 0 alors arctanx=nk=0

(1)k2k+1x

2k+1+x2n+1(x)=x x33 + x5

5 x7

7 +

Exemple 11. La mthode est la mme pour obtenir un DL de arcsinx en 0 lordre 5.

arcsinx=

(1

x2)12

=1

1

2

(

x2)+

12 ( 121)

2

(

x2)2

+x4(x)

=1+

1

2

x2

+3

8

x4

+x4(x).

Donc arcsinx=x+ 16x3+ 340x5+x5(x).

12


13/17

3.5 Mini-exercices

1. Calculer le DL en 0 lordre 3 de exp(x) 11+x , puis de x cos(2x) et cos(x)sin(2x).2. Calculer le DL en 0 lordre 2 de

1+2cosx, puis de exp

1+2cosx

.

3. Calculer le DL en 0 lordre 3 de ln(1+sinx). Idem lordre 6 pour

ln(1+x2)2.

4. Calculer le DL en 0 lordre n de ln(1+

x3)

x3. Idem lordre 3 avec e

x

1+x.

5. Par intgration retrouver la formule du DL de ln(1+x). Idem lordre 3 pour arccosx.

4 Applications des dveloppements limits

Voici les applications les plus remarquables des dveloppements limits. On utilisera aussi les DL lorsde ltude locale des courbes paramtres lorsquil y a des points singuliers.

4.1 Calculs de limites

Les DL sont trs efficaces pour calculer des limites ayant des formes indtermines! Il suffit juste de

remarquer que si f(x)= c0+ c1(xa)+ alors limxa f(x)= c0.

Exemple 12. Limite en 0 deln(1+x) tanx+ 12 sin2x

3x2 sin2x.

Notons f(x)g(x) cette fraction. En 0 on a f(x)= ln(1+x) tanx+ 12 sin2x =

x x22 + x

3

3 x4

4 + o(x4)x+ x33 +

o(x4)+ 12

x x36 +o(x3)

2 =x22 x44 + 12 (x2 13x4)+o(x4)= 512x4+o(x4) et g(x)= 3x2 sin2x= 3x2x+o(x)2 =3x4+ o(x4).Ainsi f(x)

g(x) = 512x4+o(x4)

3x4+o(x4) = 512+o(1)

3+o(1) en notant o(1) une fonction (inconnue) tendant vers 0 quand x 0.Donc limx0

f(x)g(x) = 536 .

Note : en calculant le DL un ordre infrieur (2 par exemple), on naurait pas pu conclure, car on auraitobtenu f(x)

g(x) =o(x2)

o(x2

)

, ce qui ne lve pas lindtermination. De faon gnrale, on calcule les DL lordrele plus bas possible, et si cela ne suffit pas, on augmente progressivement lordre (donc la prcision delapproximation).

4.2 Position dune courbe par rapport sa tangente

Proposition 5.

Soit f : IR une fonction admettant un DL en a : f(x)= c0+ c1(xa)+ ck(xa)k+ (xa)k(x), o k estle plus petit entier 2 tel que le coefficient ck soit non nul. Alors lquation de la tangente la courbede f en a est : y= c0+ c1(xa) et la position de la courbe par rapport la tangente pour x proche de aest donne par le signe f(x)y, cest--dire le signe de ck(xa)k.

Il y a 3 cas possibles. Si le signe est positif alors la courbe est au-dessus de la tangente.

x

y

a

Si le signe est ngatif alors la courbe est en dessous de la tangente.

13


14/17

x

y

a

Si le signe change (lorsque lon passe de x < a x > a) alors la courbe traverse la tangente au pointdabscisse a. Cest un point dinflexion.

x

y

a

Comme le DL de f en a lordre 2 scrit aussi f(x)= f(a)+f(a)(xa)+ f(a)2 (xa)2+ (xa)2(x). Alorslquation de la tangente est aussi y= f(a)+f(a)(xa). Si en plus f(a) = 0 alors f(x)y garde un signeconstant autour de a. En consquence si a est un point dinflexion alors f(a) = 0. (La rciproque estfausse.)

Exemple 13. Soit f(x)=x42x3+1.1. Dterminons la tangente en 12 du graphe de f et prcisons la position du graphe par rapport la

tangente.

On a f(x)= 4x36x2, f(x)= 12x212x, donc f( 12 )=3= 0 et k = 2.On en dduit le DL de f en 12 par la formule de Taylor-Young : f(x)= f( 12 )+f( 12 )(x 12 )+

f( 12 )2! (x

12 )

2+ (x 12 )2(x)= 1316 (x 12 ) 32 (x 12 )2+ (x 12 )2(x).Donc la tangente en 12 est y = 1316 (x 12 ) et le graphe de f est en dessous de la tangente carf(x)y=

32 +(x)

(x 12 )2 est ngatif autour de x= 12 .

2. Dterminons les points dinflexion.

Les points dinflexion sont chercher parmi les solutions de f(x)= 0. Donc parmi x= 0 et x= 1. Le DL en 0 est f(x) = 12x3+x4 (il sagit juste dcrire les monmes par degrs croissants !).

Lquation de la tangente au point dabscisse 0 est donc y= 1 (une tangente horizontale). Comme

2x3 change de signe en 0 alors 0 est un point dinflexion de f.

Le DL en 1 : on calcule f(1), f(1), . . . pour trouver le DL en 1 f(x)=2(x1)+2(x1)3+(x1)4.Lquation de la tangente au point dabscisse 1 est donc y =2(x1). Comme 2(x1)3 changede signe en 1, 1 est aussi un point dinflexion de f.

14


15/17

x

yy=x42x3+1

tangente en 12

1

011

2x

yy=x42x3+1

tangente en 0

tangente en 1

1

0 1

4.3 Dveloppement limit en +

Soit f une fonction dfinie sur un intervalle I=]x0,+[. On dit que f admet un DL en + lordre nsil existe des rels c0, c1, . . . , cn tels que

f(x)= c0+c1

x+ + cn

xn+ 1

xn1x

o

1x

tend vers 0 quand x+.

Exemple 14. f(x) = ln2+ 1

x

= ln2+ ln

1+ 12x

= ln2+ 12x 18x2 +

124x3 + + (1)n1

1n2nxn + 1xn ( 1x ), o

limx( 1x )= 0

x

y

1

0 1

y= ln2+ 1x

y= ln(2)

Cela nous permet davoir une ide assez prcise du comportement de f au voisinage de +. Lorsquex + alors f(x) ln2. Et le second terme est +12x, donc est positif, cela signifie que la fonction f(x)tend vers ln2 tout en restant au-dessus de ln 2.

Remarque.

1. Un DL en + sappelle aussi un dveloppement asymptotique.2. Dire que la fonction x f(x) admet un DL en + lordre n est quivalent dire que la fonction

x f( 1x

) admet un DL en 0+ lordre n.

3. On peut dfinir de mme ce quest un DL en .

Proposition 6.

On suppose que la fonction x f(x)

x admet un DL en + (ou en ) :f(x)

x = a0+a1

x +ak

xk +1

xk (1x ), o k estle plus petit entier 2 tel que le coefficient de 1

xksoit non nul. Alors limx+ f(x) (a0x+a1)= 0 (resp.

x) : la droite y= a0x+a1 est une asymptote la courbe de f en + (ou ) et la position de lacourbe par rapport lasymptote est donne par le signe de f(x)y, cest--dire le signe de ak

xk1 .

15


16/17

x

yy= f(x)

y= a0x+a1

Dmonstration. On a limx+f(x)a0xa1

= limx+ akxk1 +

1xk1 (

1x

)= 0. Donc y = a0x+a1 est uneasymptote la courbe de f. Ensuite on calcule la diffrence f(x)a0xa1 = akxk1 +

1xk1 (

1x

) = akxk1

1+

1ak( 1

x).

Exemple 15. Asymptote de f(x)= exp 1x

x21.

x

y

1

011

y= exp 1x

x21y= 1+x

y=x1

1. En +,

f(x)x

= exp 1x

x21x

= exp 1x

1 1x2

=1+ 1

x+ 1

2x2+ 1

6x3+ 1

x3(

1x

)1 1

2x2+ 1

x3(

1x

)

= = 1+ 1x 1

3x3+ 1

x3(

1x

)

Donc lasymptote de f en + est y = x+1. Comme f(x)x1= 13x2 +1

x2( 1

x) quand x +, le

graphe de f reste en dessous de lasymptote.

2. En . f(x)x

= exp 1x

x21x

=exp 1x

1 1x2=1 1

x+ 13x3 +

1x3( 1

x). Donc y=x1 est une asymp-

tote de f en . On a f(x)+x+1= 13x2 +1

x2( 1

x) quand x ; le graphe de f reste au-dessus de

lasymptote.

4.4 Mini-exercices

1. Calculer la limite desinxx

x3 lorsque x tend vers 0. Idem avec

1+xsh x2

xk

(pour k=

1,2,3,...).

2. Calculer la limite de

x1lnx

lorsque x tend vers 1. Idem pour

1x1+x

1x

, puis1

tan2x 1

x2lorsque x

tend vers 0.

16


17/17

3. Soit f(x)= expx+sinx. Calculer lquation de la tangente en x = 0 et la position du graphe. Idemavec g(x)= shx.

4. Calculer le DL en + lordre 5 de xx21 . Idem lordre 2 pour

1+ 1

x

x.5. Soit f(x) =

x3+1x+1 . Dterminer lasymptote en + et la position du graphe par rapport cette

asymptote.

Auteurs

Rdaction : Arnaud Bodin

Bas sur des cours de Guoting Chen et Marc BourdonRelecture : Pascal RomonDessins : Benjamin Boutin

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