ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN. N2 3063,

Die allgemeinen Storungen des hsseren Planeten. Von Prof. Aug. WeiZev.

1.

In Nr. 3 0 5 2 - 5 3 der A. N. habe ich die allgemeinen Storungsausdrucke fur den inneren Planeten entwickelt, und angenommen, dass die Bahn des storenden Planeten eine ungestorte Ellipse sei. Unter der gleichen Annahme sollen nun auch die allgemeinen Storungen des ausseren Planeten aufgestellt werden. Von den periodischen Storungen der ersten Ordnung werde ich alle diejenigen bestimmen, deren Coefficienten entweder unabhangig von den Excentricitaten oder mit der ersten Potenz einer Excentricitat multiplicirt sind. Es sollen auch die mit dem Producte ee l multipli- cirten periodischen Storungen der Elemente bestimmt werden, fur den Fall, dass das Argument des Sinus oder des Cosinus, mit welchem die Storung multiplicirt ist, die Form

a M f (v - v1)

hat, wo n eine ganze Zahl ist. Denn diese periodischen

Storungen sind unentbehrlich zur Bestimmung der sacularen Storungen zweiter Ordnung. Mit Rucksicht auf den. Um- stand, dass die Grosse R in vielen Storungsaufgaben ebenso wie die Excentricitaten ein kleiner Bruchwerth ist, wiirde man Storungsausdriicke erhalten, welche nicht ausreichend sind, wollte man von denjenigen periodischen Storungen, deren Coefficienten mit dem Quadrat einer Excentricitat multiplicirt sind, nicht auch diejenigen berucksichtigen, welche den Integrationsnenner R haben.

Die Storungsgleichungen, welche zur Bestimmung der ausseren Rahn gegeben sind, enthalten die Veranderliche ql . Die letztere ist aber vermittelst des Integrals der lebendigen Kraft durch die Veranderliche q zu ersetzen. Zur Bestim- mung von q hat man die folgende Cleichung:

I dJd v ' 2

- q ' = - 2 d 7 ~

Die Storungsfunction ist :

(4)

vgl. Nr. 2 9 0 8 unter 4.

vgl. Nr. 3 0 5 2 unter 4. Da zunachst nur die Storungsglieder der ersten Ordnung in Betracht kommen, so setze ich

PI = POI und In der Storungsgleichung (4) ist die partielle Derivirte von S,, nach v so zu verstehen, dass die gestorten Elemente p ,

a - - - , + v - v v , = - -A,-B1v+v-v1 = p.

Zum Behuf . der Integration muss die Entwickelung

von - eingefuhrt werden. Es ist zu erwahnen, dass

in dieser Entwickelung nicht solche 'Glieder vorhanden sind, fur welche der ganzzahlige Coefficient von v in dem Argu- ment des Sinus verschwindet, welche also durch die Inte- gration den Nenner 1 erhalten. Ich schreibe daher die

y12 dS2 P I 2 dv

und a, -a Argument des Cosinus als u,nabhangig vOn werden. - - i - Form :

(6) ($)

und demzufolge auch das Glied B1 v in dem angesehen

Yl

Pl Entwickelung des veranderlichen Factors von 7 S d in der

zi+n zi+n-i cos n p = ( 1 -- (2; +- n) P cos v ) (1 + ( z i + n - r el cos vl) cos n tp.

Nimmt man die partielle Derivirte dieses Products nach 71, so erhalt man den Ausdruck :

( 1 + ( 2 i + n- I) el cosvl) [(- I + ( z i + n) P cos v ) n sin n p + ( 2 i + n) P sin v cos n p ] ,

und die Storungsgleichung (4) hat die folgende Gestalt :

Die Integration dieser Storungsgleichung betreffend ist zu bemerken, dass von den mit ez multiplicirten Gliedern des Integrals diejenigen, fur welche in dem Argument des Sinus der ganzzahlige Coefficient von v verschwindet, fiir den Fall 2 i + n = 2 zu berticksichtigen sind, obwohl die- selben den Integrationsnenner R nicht haben. Denn diese

Glieder fiihren zu Storungen des Parameters und des Peri- hels, welche wegen des Integrationsnenners I nicht vernach- lassigt werden diirfen. Ferner ist zu erwfihnen, dass die Integration der Storungsgleichung fur den Fall n = o be- sonders ausgefuhrt werden muss. Das Integral der Storungs- gleichung schreibt sich in der folgenden Form :

In die dritte Zeile sind die folgenden Werthe einzusetzen: cos n

5 = Y Z = I - - - - - ) e I cos(ny ,+v) 5, = - y 2 ( 71 (n - I)- - -) e cos(ny,- v ) -y2 -yl

n - 1 - n R 1-2 ( n + r - n R @ + I ) 1-2 I

y2 @ - - --) I + y2 (- y2 - - --) 6, cos (n 1v + 4 + Y 2 ( - (n + I ) 1” I - e, cos (n $0 - v1) n - ( l z - I ) R 1 - 2

wo zur Abkiirzung gesetzt ist I R 2 1-2’ y1 = - ( 2 i + n + 2 ) + - -

I I 2 1 - 2

y2 = - ( 2 i + n + I ) + --;

4 I y4 = - ( 2 i + n + 2 ) ( 2 i + n + I) + 4

Fur den Fall ic = I bedarf das vorliegende Integral einer Berichtigung. Man weiss, dass unter den Storungen der ersten Ordnung von q saculare nicht vorhanden sind. Das mit cos (n p - v + v,) multiplicirte Glied in dem Werthe von ga ist fur den Fall n = I ein saculares. Damit das-

selbe wegfalle, muss man fur diesen Fall ~ Y 3 + I - - y2 setzen. 1-2

~- a Y2 (12 + 1) 2 Y1* 2 I - I + n - ( n + I ) R + T + r - n l *

2.

Zur Bestimmunq der gestorten Elemente kl und hl ‘sind die beiden Gleichungen gegeben:

(6)‘ (7)’ -kl‘ = sin v1 elv‘ k,’ = cos v, a, v’,

in welchen zur Abkiirzung gesetzt ist:

f-12

PI Zum Behuf der Integration bedarf es der Entwickelung der Grosse a, --2. Wenn nur die Glieder der ersten Ordnung

in Betracht kommen. so ist :

r1 2

Pl Ich erwahne, dass alle diejenigen Glieder in der Entwickelung von Q, -, fur welche der ganzzahlige Coefficient VOD

21 in dem Argument des Cosinus verschwindet, zu periodischen Storungen von kl und h, fiihren, welche den Integrations- nenner 1 haben. Von diesen Storungen sollen die mit dem Quadrat einer Excentricitat multiplicirten Beriicksichtigung finden, wenn sie den Fallen n = 0, i = I und n = 2 , Z = o entsprechen.

26 1 306 3 262

Aus dem Werthe der Storungsfunction folgt :

Yl

Pl f-1 Entwickelt man in der Grosse Ql Gleichung :

die Potenzen von fi zunichst nur fur den Fall n = 0, so ergiebt sich die

f - 2 Y2

P P 2 - - fl (I - zel cos v1 + 3/2 ela cos z v l ) + (pol -- 26) - (I - 3el cos v1 + 3e12 cos zvl)

Die Bestandigen fi und pol - z6 sind in Nr. 2909 unter 12. so bestimmt worden, dass in dem vorliegenden Ausdruck sowohl die bestindigen als auch diejenigen Glieder verschwinden, nelche die Form Ccosv1 haben. Es besteht also die identische Gleichung :

?-a Multiplicirt man dieselbe mit - und zieht das Product von der vorigen Gleichung ab, so gehen die erste und die

zweite Zeile rechts uber in: ,. P a

Man setze nun die Werthe:

cin, und beachte, dass in den betreffenden Gliedern i = I zu setzen ist. Man findet:

f lTe12cos2q 3 +(qo1-z26)3e2zcosm~1 = - x x m l D l ( 0 ) - - , . - e l ~ ~ ~ s z v ~ . P 2 3 Po1 2

Die Entwickelung der dritten Zeile rechts betreffend erhiilt man den verinderlichen Factor :

( I - ( z i + n + 2) e cosv-i- geacos zv) (I + ( z i + n - z)el cosv,) cosn v. Yl a A

Urn die Entwickelung der Grosse Ql -2 zu erhalten, hat man die vorliegende Gleichung zu verbinden mit der

unter 1. erhaltenen :

Ya Y13 -z(5+51+52)--;; -

R = I i = O Pa Pl In dieser Gleichung ist :

r2r3 7 (5 + g1 + g2) - L3 = --@ cos (2y) - zv) Pa $1 4

IS’

263 3063 264

Y3 I wo fiir den Fall n = I zu setzen ist - = y2 -I--R - Gleichung schreibe ich :

Mit Riicksicht auf die in Nr. 2908 S. 5 3 erhaltene 1-2

: Rmopo12 = mmo12po12 : Rm,po,2 = R r v t , x m wzl

Po1

und habe die folgende Entwickelung :

) 3 5 2 2

Y, 2

Pl Q, -2 = - I nz __ Dp) - el? cos 2v1 + Do(2) -- e? cos (2 p - 2 v )

1 eel cos (v - q) -Am ~ D ? ) P - - . z i ( z i + I ) [ - e c o s v - i- I + - - - ( 1 - 1 " > zi

j =o polzi

- R m Z 2 ( - 1 ) cos ny, - R, e cos (72 p - v ) - R2 e cos (n y,+v) n - - I t = o

+ R, el co: (n y,+vl) -+ R~ el cos (n p - vl) - R:, eel cos (n p - v + vl) - R~ eel cos (ny+ v - v,)]

in welcher die Coefficienten R R, . . . gegebene Grossen sind. Man findet :

2 R = z z + n - I + - = zy2 1-2

I 2Y1 - 1) R, = - ( ( z i + n - I I ) ( z i + n + z ) + 271 (. + 1) R, = - ( ( z i + n - ~ ) ( z i + u + z ) + ~~~

2 n- I - ? t 2 2 n+ I - # R X 3 = - ( z i + n - I I) ( z i + n - z ) + 2y2n__-- 3

2 n - ( n - ~ ) R 1-1

R, = - ( z i + n - I ) ( z i + n - z)+- 2 n-(n+~)l. 1-2

R, = - ( z i + n - ~ ) ( z i + n + z ) ( z i + n - z ) + - - - - I 2Ys 371 ( n - I >

4 1-2 n - 1 - n 2 I 2Y4 371 (a+ 1) R, = -(zi+n-x)(zi+n+z)(zi+n-z)+-- 4 1-2 n + ~ - n A

2Y2n 3 I

I wo also - Y3 - - y2 - ~- fur den Fall n = I in den Werth von R5 eingesetzt werden muss.

1-1 1-2 Da nun die Grosse Q, a entwickelt ist, integriren wir die Storungsgleichungen: YI a

Pl

- K,' = sin vl Q, v' (6)' (7)' k,' = cos 0, Ql v '

Auf Grund der Transformationen :

- 2 cos n p sin vl = sin (n - vl) - sin (n p + vl) = sin p1 - sin pL 2 cos n 1~ cos vl = cos (n p - vl) + cos ( n ~ + vl) = cosy1 + c o s q 2 ,

wo zur Abkiirzung n p - vl = p1 und ny , + v, = Summe zweier gleichformigen Ausdriicke zu integriren. urn die Integration des Ausdrucks:

gesetzt wird, ist in jeder der beiden Storungsgleichungen die Sol1 die Verhderliche zkl bestimmt werden, so handelt es sich

y2 [R sin p1 - R, e sin (yl - 7)) - Ra e sin (tpl + v) + R3 el sin (rp, + v,) + R4 el sin (pl - vl) -- R5 eel sin (pl - 71 + vl) - R6 eel sin (p, + v - v,)] v'.

Ich schreibe das -Integral dieses Ausdrucks in der Form :

a+ al + a2,

265 3063

a(c) + a1 (4 + aa (4 + B ( 4 + 81 (4 + B 2 k ) a

266

In den Werthen von a al a, setze man n p an die Stelle von p1 = n p - v l , in den Werthen YOU @ setze

und es ergeben sich die folgenden Werthe:

4 cos (w1- 4 4 cos (V1-t 4 = Y 2 e (! - I - (n+ 1 ) R + (n + I) ( I - A) 72 ( I - 2)

wo zur Abkurzung gesetzt ist : R(n+ I ) R R n R

d, = R, + __ n - (n + I ) 1 = R S + n - ( ( n + I ) A R ( n + I ) R

4 = R a + n - ( n + I ) R db cos ($01 - v + v*) Cr, cos (Wl + 'u - Vl> +-

a2 = Y%(( n - I ) ( I - R ) - R (n+ I ) ( I - R ) - A wo zur Abkiirzung gesetzt ist:

d, n R d, n R + R n R = R s + n - ( n + I ) R + n ( 1 - 2 ) n - I - ( n + I ) R

R (n + 2) A d4 (n + 2) R d2 (n f 2) R '6 = +

+ n - (=+ I ) a + t t - (n+ 2 1 2 (n+ I) ( I - 2)-

Es ist oben gezeigt worden, dass man in dem nun integrirten Ausdruck y2 an die Stelle von p1 zu setzen, und alle Vorzeichen zu andern habe, um den zweiten Ausdruck zu erhalten, von dessen, Integration die Bestimmung der Veranderlichen 2K1 abhangt.

so ergeben sich die folgenden Werthe:

Schreibt man das Integral des zweiten Ausdrucks in der Form:

B + 8 , + & a ,

wo zur Abkiirzung gesetzt ist : R ( n - I ) R R ( n - 2 ) R

E l = 4 + n - ( n - 1 ) R F3 = R a + ; - ( n - r ) R

ferner

wo zur Abkurzung gesetzt ist: E l (n - 2) R

-- R (n - 2) R &a (n - 2) R

65 = R 5 + n - ( n - 1 ) R -+ n - ( ( n - z ) R +- (n- I ) ( I -A) R n R E~ n R E2 n R

R6 + - (n - I) R + n (I - 2) + n + I - (n - 1 ) R . E6 =

Fur den Fall IZ = I ist das mit cos (pa - v) multiplicirte Glied in dem Werthe von @, ein saculares. Dasselbe be- darf einer Berichtigung. Ich streiche dieses saculare Glied aus dem Werthe von /?, fort, setze also el = 0, was als- dann auch in dem mit E~ multiplicirten Gliede des Werthes von E~ geschehen muss, und werde die sacularen Storungen von K, und A, nachbringen.

EnthHlt eine Grosse nur Cosinus-Glieder, so moge das durch das Zeichen (c) angezeigt seio, welches der Grosse beigesetzt ist. Demgemass ist die Veranderliche zRl be- stimmt durch die Grosse:

Wird in allen Gliedern dieser Grosse sin anstatt cos ge- schrieben, so .ist das Zeichen (c) gegen (s) zu vertauschen. Aus dem oben Erwghnten folgt, dass die Veranderliche 2h1 bestimmt ist durch die Grosse

- a (4 - a1 (4 - a2 (4 + B (4 + 61 (4 + 82 (4 * Ferner ist der Parameter p , gegeben auf Grund der

Gleichung : PI -- 'la I = 2 - (K, cos v, + A sin v,) .

Po, a rl

267 3063 268

man ny, an die Stelle von p2 =1 n 1 ~ , + v , . Nachdem man diese Aenderungen vorgenonimen hat, ist auch die Veranderliche 2 ( K , cos v1 + /zl sin vl) bestimmt durch die

zu integriren. Man kann iibrigens das dern Falle n = o entsprechende Integral aus dem vorliegenden ableiten, indem man in dem letzteren n = o setzt, ferner

Aus der Entwickelung von Ql ist zu ersehen, dass P1

in dem vorliegenden Werthe von 2 (kl cos vl + k, sinv,) der Fall tt = o ausgeschlossen ist. Es bleibt noch ubrig, die Storungsgleichungen (6)' und (7)' fur den Fall n = o

die

2 1-2

R, = i- I +---,

und schliesslich den Factor 2 i (2 i+ I) beifiigt. erwahnten Substitutionen erhalt man den Ausdruck:

Durch

22 z2 e c o s v + y 2 ( i + -)- 2 2 e6?1 cos (v - v,) . Y I--.Ra I - % 1 - 2 2

Schliesslich sind fur die beiden Falle n = 0 , i = I und n = 2, i = o von den mit ela oder mit e2 multi- plicirten Storungen von k1 und von kzl noch diejenigen zu berucksichtigen, welche den Integrationsnenner % haben.

Die denselben entsprechenden Glieder in der Entwickelung von Ql r, sind : P1

3 5 Po1 2

Nachdem man die hier verlangten Storungen von kl und von k, aus den Storungsgleichungen (6)' und (7)' hergeleitet hat, findet man den denselben entsprechenden Werth von

el, cos 225 + Do(*). - - P2 cos (2yl - 2v)

2 (K, cos v1 + hl sin vl> = m ~ ~ ( 0 ) el 2 cos 2v1 + ~ ~ ( 2 ) . e2 cos (2v - 2v) 3

Der vollstandige Werth des Parameters pl ist nun gegeben durch die Gleichung:

In die dritte Zeile dieser Gleichung ist, wie schon erwahnt worden, durchgangig ny, an die Stelle von 9, und von qa zu setzen.

3. Zur Bestimmung des Perihels ist die folgende Storungsgleichung gegeben :

vgl. Nr. 2908 S. 5 7 . Ich habe die VerHnderliche a, eliminirt vermittelst der Gleichung:

a, + (1 + 2) ( K , sin vl - hl cos vl> - el = m1 ,

und erhalte die Veranderliche m1 aus der Storungsgleichung :

Wenn es sich urn die Integration der Storungsglieder zweiter Ordnung handelt, so hat die letztere Storungsgleichung den Vorzug. Zur Bestimmung derjenigen Storungen der ersten Ordnung, welche in die zweite Classe gehoren, bediene ich mich der ursprtinglichen Storungsgleichung. In dieselbe ist einzusetzen :

- I - e, k1 = 2 (K, cos v, -+. kl sin vl) + el (R, cos zvl + /zl sin 2 v ~ . A1

Eliminirt man ferner die Veranderliche q1 vermittelst des Integrals der lebendigen Kraft, so geht die Storungsgleichung iiber in:

~ w t ~ l ) o ~ 2 (a,' + cos il 8') + R2mopo12J- P ' [ 2 cosvl + /zl sinvl) + el {Rl cos 2 v 1 + h1 sin 2v1)] Y l

Po1 1 = f1,+,(401- 2 6 - q + q") + 81 + PI - 4 * Ich habe unter 2. den Werth der Veranderlichen 2 (R, c o s q + It, sin 7~1) bestimmt. Wird von dem Falle n = o

abgesehen, so ist auch die Veranderliche 2 (Q cos 274 + hl sin zv,) bestimmt durch den dort erhaltenen Ausdruck :

a@> + al(4 + az(4 + + 81 (4 + @ 2 ( 4 9

wenn in den Werthen von a al a, , welche als Functionen von p1 = n p - v1 gegeben sind, = n p + v1 an. die Stelle von pl, wenn ferner in den Werthen von @ @, @,, welche als Functionen von p2 gegeben sind, p1 an die Stelle von p, gesetzt wird. Der dem Falle n = o entsprechende Werth von 2 (kl cos 2 v l + hl sin 2 v l ) ergiebt sich aus dem soeben erhaltenen Ausdruck, wenn in dem letzteren die Substitutionen n = 0 , R = Rl = R, = R4 = 0,

R, = I gemacht werden, und schlicsslich der Factor 2 i ( 2 i + I) beigefiigt wird. Demzufolge erhalt man den voll- standigen Werth von

eel cos ( n p - v + v , ) eel cos (np+v-71,) ~- +G i L r - ( n + z > R a+ I -(a- 1)I .

Es ist noch zu beachten, dass in dem Werthe von m1' die Grosse

2 (kl cos v, + hl sin v,) + el ( R , cos zv, + kl sin zv,) P y' den Factor 1 2 - - erhiilt. y,* B? . z

Es handelt sich ferner um die Entwickelung der Grosse

Man hat in diesen Ausdruck einzusetzen

Es sollen fur den Fall 2 i + n = 2 die mit e12 und e* multiplicirten Glieder der Entwickelung beriicksichtigt werden, insofern dieselben durch die Integration der Storungsgleichung den Nenner I. erhalten. Ich schreibe daher den verander- lichen Factor der vorliegenden Grosse in der Form:

( I - ( z i t a+ 2) e cos v + ge'd cos zv) ( I + ( 2 i + ta - I) el cos u4) cos n p . 4 in die Entwickelung einzufiihren. I Y 2 Y 3

Ferner ist der unter 2. erhaltene Werth von - (q - P o ) Betrachtet man zu-

nachst die dem Falle n = o entsprechenden Glieder der Entwickelung, und setzt die unter 2. gegebenen Werthe von fl und qol - 2 b ein, so fallen die mit e,a multiplicirten Glieder fiir den Pall i = I preg. Die tibrigen Glieder der

Entwickelung betreffend driicke man die von 2 i + n abhangigen Coefficienten in dem Werthe von 8 - - durch die

Grossen yl y, y3 y$ aus.

2 P2 P I

Y12

P12 P 2 Es ergiebt sich der gemeinsame Factor R , und man findet:

27 1 3063 272

y2 (n + I ) El cos (n p - 7 5 ) 7.2 ( 8 - I! +.'> e cos ( n v + v ) - + ( n + Y n i . I-). n - ( ? l - I ) ) . n-(n+ I ) R

e, cos (n tp + q) - (A++ Y? ( n + I) ) e q cos (n $0 + 71 - vJ] -

1-3. n - ( n + 1 ) I 7.2 ('-I) ) e e l cos (nv -v+v l ) + +(A+ n - (n - I ) 3.

Der Coefficient des sacularen Gliedes, welches fur den Fall n = I in dieser Gleichung enthalten ist, bedarf einer

y, , und setze Berichtigung. Auf Grund der Entstehungsart des erwahnten Coefficienten schreibe ich -2 = ~ -

Fur den Fall ?z = I ist also ys - ~ an die Stelle von alsdann das erste Glied rechts __- = y2 - 2. 1-3, I-% 1-1 1-2

zu setzen.

1. y.3 Y3 1-2 1-1.

I 2 Y3 7 3

Wird das Alles in die obige Storuogsgleichung eingesetzt, so geht dieselbe uber in:

m,' + cos il 19' = -1. m n1(o) el:! cos zvl - ~ ~ ( 2 ) e? cos ( z v - 2.) 6

+ s* P , cos [nq - 77,) - s, E e l COS(?Zy, - 7,+v,) - s, c 6, cos (.q + "J - q)] v',

worin zur Abkurzung gesetzt ist

und die Coefficienten S S, SZ . . . gegebene Restandige sind, namlich

I + 2Y2 - _ 2 Y P s = n-(n+I)R n - ( ( n - - ) ) . 1 - 3

Y1 n + 4 61

s1 = S+n-I-- ( n + I ) R (n-1)(1-I&) n-I-n).

YZ (n + 3) 3 Y a ~ - .- e4 - d,

s4 = n - ( ( n + 2 ) ) . n(I-).)+n-((n+I)2 n - ( n - 1 ) R

Y3 + ~- El, 3 4 - El ~. - .~ __- 4

(?Z-I)(I-).)--). ( n - 1 ) ( 1 - 2 ) + 2 + 2 n - 1 - @ + 1 ) 1 (Z-I)(L-R) 1 - 2

s, = s, + ~ ~ ~ _ _ 4 E6 -+- 4 3 &a + -Y!-. . ss = s, +

(n+ I ) ( I - R ) - 1 (n+1)(1 - R ) + R ( n + 1 ) ( 1 - 2 ) 2 ?z+I-(?l-I)R 1-12

I Y3

1-1 1-1 Fur den Fall n = I muss nlan yZ - ~ - ya an die Stelle von __-- setzen. Ferner ist fur diesen Fall

E, = o zu setzen. Wollte man die der Zeit proportionale Storung des Perihels durch die Veranderliche v1 ausdriicken, so ware

in dem Integral der Storungsgleichung das Glied Ce, sin v1 nicht vorhanden. Dies ist eine wohl bemerkenswerthe Eigen- schaft des Integrals. Durch die den Storungsgliedern vorgeschriebene Form ist man aber genothigt, ,in der erwahnten Storung des Perihels die Zeit durch die Veranderliche v auszudrucken. Zuni Behuf der Integration hat man daher das betreffende Storungsglied zu schreiben :

y 2 v t = 7 ~ ' + y ' L ( 2 e l c o s 7 ~ 1 - 3 / 2 ~ l ~ c o s 2v1)v'.

273 3063 274

Im Uebrigen vollzieht sich die Integration nach bekannten Regeln, und das Perihel ist durch die folgende Gleichung bestimmt :

In die dritte Zeile dieser Gleichung hat man die folgenden Werthe einzusetzen: sin n tp x = SYZn(l--ll)'

z, sin (n p + u,) z, sin (n v - n1) + -~ ( n - 1 - n 2 ) + Y e 1 ( n - ( n - - ) R n - ( ( n + 1 ) 1 z1 sin (n p - v) z2 sin (n p + v )

n + I - n R + x1 = -Y2P

wo zur Abkiirzung gesetzt ist : SR

1 - 1 z, = s, + ~

S I 1 - 2 t:, = s, + ~-

S(n + I ) 1 n(1 - 2)

z4 = s, +

z, sin (n p - v + v,) (n - I ) ( I - 2)

S ( n - I) I. z3 (n - 1) I. z, (n - I ) 1 t5 = s,+---.-+ +

x 2 = --Y2ee1

wo zur Abkurzung gesetzt ist :

n ( 1 - A ) n - ( n - - 1 ) 2 n - ~ - n l .

n + I - n l . S ( n + 1)1+ z , ( n + 1 ) R +:-. z o ( n + I ) R

zG = se + - n ( 1 -- 3.) n - (n + I ) R

Fur den Fall n = I ist das mit sin (nv - v + v l ) multi- plicirte Glied in dem Werthe von xz ein saculares. Die sacularen Glieder miissen anders integrirt werden als die periodischen. Ich streiche das erwahnte Glied aus dem Werthe von x4 fort, und werde die sacularen Storungen des Perihels unten nachbringen.

Den Coefficienten der mit v multiplicirten Storung habe ich in Nr. 3032 unter 4. vollstandiger bestimmt als hier. Es sind dort die mit den Quadraten der Excentrici- citaten multiplicirten Glieder dieses Coefficienten beriick- sichtigt. Was dort in dem Coefficienten fortgelassen ist, kann als Glieder des fiinften Grades angesehen werden.

4.

Von den Storungen der zweiten Ordnung sollen in den Werthen der Veranderlichen A, Lal a, - a nur die- jenigen beriicksichtigt werden, welche in die erste Classe gehoren, in dem Werthe der Veranderlichen q aber miissen auch die in die zweite Classe gehorigen Storungen der zweiten Ordnung beriicksichtigt werden, fur den Fall, dass dieselben slcular sind. Denn die Werthe von h1 und rnl-a enthalten das Integral Jq d t . Werden die erwahnten Storun- gen von q quadrirt, so ergeben sich saculare Storungen, welche in die erste Classe gehoren. Zur Bestimmung von q hat man die Storungsgleichung :

Bd. 128

I dJL , - q ' = -a 2 dv

Um die Storungsglieder der zweiten Ordnung zu erhalten, hat man anstatt PI und a, --a die Storungen der ersten Ordnung dieser Veranderlichen in die vorliegende Storungs- gleichung einzusetzen. Es ist sofort ersichtlich, dass sich unter den periodischen Storungen der zweiten Ordnung von q nicht solche finden, welche in die erste Classe ge- horen. Es handelt sich also bei der Bestimmung der Storun- gen zweiter Ordnung von q lediglich um die sacularen. Setzt man diejenigen Storungen von pl und nl - a, welche in die erste Classe gehoren, in die Storungsgleichung (4) ein, so gelaagt man nicht zu sacularen Storungen. Es sind also nur diejenigen Storungen der ersten Ordnung von PI und a, -a einzusetzen, welche in die zweite Classe ge- horen. Die letzteren sind unter 2. und 3. bestimmt worden. Es versteht sich, dass die so erhaltenen Storungsglieder der zweiten Ordnung mit dem Quadrat der storenden Masse multiplicirt sind, also in die dritte Classe gehoren. Die aus denselben folgenden Storungen von q gehoren in die zweite Classe.

(4)

Wir haben in dem Vorausgehenden 1 ~ , = - A ~ - B , v + v - ~ ? ~

gesetzt. Da nun die Storungen der ersten Ordnung von a, - a in die Storungsgleichung eingesetzt werden sollen, so muss man in der letzteren p + ZJ - a1 +A, + B , v anstatt p schreiben. Es ist ferner zu setzen:

Ilia

2 7 5 3063 2 76

sin n (p+ G - 5jl + A l + B,v ) = sin n p - cos n p . n (al + 19 - A, - & a )

Unter 3. ist die folgende Gleichung aufgestellt worden :

- - ~ s i n n p + c s , e s i n ( n p - v ) + ~ ~ e s i n ( n t p + v )

7 P o I

n , + 9 . - A l - B l v = Rm # ~ O Z ~ ~ - o

J - G~ el sin (n p + vl) - G4 el sin (n q - CJ,) + eel sin (n q - v + vl) + G,: e el sin (n p + z, - vl)

in welcher die Coefficienten G G , . . . als Functionen von n und i gegebene Bestandige sind. In die Storungsgleichung ist zu setzen:

Aus der Gleichung

folgt

und unter 2. ist die folgende Gleichung gegeben:

1

zi+n k, cos v1 -+ h, sinv, = R m 2 2 (- I)" Di("l) * -yL' Q sin n p - Q~ e cos (ntp - v ) - Q2e cos(np + v )

n O L - o P"*2z+a + p 3 e l c o s ( n p + v 1 ) + ~ , e , c o s ( n p - v l ) - pseel c o s ( n p - v + v l ) --&eel c o s ( n p + v - v I )

in welcher die Coefficienten Q Q~ . . . als Functionen von n und gegebene Bestandige sind.

Es ist zu beachten, dass die zu substituirenden Storungen der ersten Ordnung von p , und a, -a den unent- wickelten Factor ~2 = P " -A> haben. Damit die Stdrungsglieder der zweiten Ordnung die vorgeschriebene Form erhalten,

r1- muss man zum Behuf der Substitution des Werthes von G1 -a in der obigen Storungsgleichung die Entwickelung von

!!! nach den Cosinus der Vielfachen von v und v1 susfiihren. Man muss daher die Storungsgleichung in der folgenden dv Form schreiben :

[- n s i n n p (zi+ n)e ( (n - I ) sin(n p - v)+ (n +.r)sin (ntp + v ) ) -1/2 ( z i + n +I) e n (sin (n p + 71,) + sin (np - q)) +l/,(zi+n) ( ~ i + i t + 1)eeI ((n- ~ ) s i n ( n p - v + v ~ ) + ( n + ~ ) s i n ( n p + v - v ~ ) ) ] v ' .

Zuni Behuf der Substitution des Werthes von to' wird man die Entwickelung von zweckmassig so einrichten, dass r1 Pl p dQdv alle Glieder den unentwickelten Factor ~ haben; man wird also die Grosse 2 - nach den Cosinus der Vielfachen Pl rl dv

von v und u1 zu entwickeln haben. Der veranderliche Factor auf der rechten Seite der Storungsgleichung geht dann uber in:

(zi+ n + z ) en(sin(n p +- v,) + sin (np - vl)) 1 1

nsinn v, + 1 / ~ ( 2 i + n )e ( (n - r)sin(n p- V ) +(n+ 1) sin ( n p + 3))

+ 1 l q ( z i + n) (zi + n + 2) eel ( (12 - I ) sin@ q - v + vl) +(a + I ) sin (n p + v - v,))] z, '.

Es sollen diejenigen Storungsglieder der zweiten Ord- nung aufgestellt werden, welche sacular sind. Jedes Glied der Storungsgleichung (4) giebt in Verbindung mit einern bestimmten Gliede der zu substituirenden Storung ein sacu- lares GIied, in welchem das Argument des Sinus gleich p - - v + v l = Al - B l v ist. Verbindet man die einem beliebigen n entsprechenden Glieder I z 4 6 der Storungs- gleichung beziehungsweise mit den dem Falle n- I ent- sprechenden Gliedern 7 5 3 I der zu substituirenden

Storung, so erhalt man 4 saculare Storungsglieder. Fur ein beliebiges n sind in den zu substituirenden Storungen die Coefficienten mit Q Q~ . . . G G~ . . . bezeichnet. In den deni Falle n - I entsprechenden Storiingen n~ogen die Coefficienten mit t rl . . . 3 3, . . . bezeichnet sein. Ebenso erhalt man, wenn die einem beliebigen n entsprechenden Glieder I 3 5 7 der Storungsgleichung beziehungsweise mit den dem. Falle n+ I entsprechenden Gliedern 6 4 z I

der zu substituirenden Storung in Verbindung gebracht

werden, 4 weitere skulare Storungsglieder. In den zu substituirenden Storungen mogen die dem Falle n+ I ent- sprechenden Coefficienten mit '% . . . 6 Gl . . . be-

Nachdem man den fortgelassenen Factor

eel sin (A, +B,v) v'

den gemeinsamen Factor e t , sin (A, +& v) v' vorkufig P fort, setzt man zur Abkurzung - = 6, so geht dieselhe, P,,,

fur den Fall n = o die richtigen sacularen Glieder. Mit Rucksicht auf diese Bemerkung gelangt man zu den sammt- lichen sacularen Storungen von q , indem man in der obigen

_ - zeichnet sein. nachdem man den gemeinsamen Factor y2 gestrichen hat,

Lasst man auf der rechten Seite der Gleichung (4) uber in :

den beiden Zeichen 2 einer jeden Zeile und vierte Zeile ubrig. In diesen beiden Zeilen ist fur den Fall n = o zu setzen r = t = 0. Multidicirt man im

auf der rechten Seite der Gleichung wieder beigefugt hat, erhalt man durch deren Integration die sacularen Storungen von q entsprechend einer beliebigen Zahl n. Die vorliegende Formel gilt fur alle Werthe von n > 0. Fur den Fall n = I ist r = q = r, = 0, ferner $ = 0. Die Be- deutung der ubrigen Coefficienten in den zu substituirenden Storungen ist fur diesen Fall eine unbestimmte. Es kommen von denselben die Coefficienten S3 und $4 nicht in Retracht. Setzt man aber r, = q, = 8, = 3, = 0, so ist die Bedeutung von r2 r6 B2 S6 eine gegebene, und man erhalt hiermit fur den Fall n = I die richtigen sacularen Storungs- glieder.

Fur den Fall n = o sind die sacularen Glieder in einer von der obigen etwas abweichenden Art zu bilden.

Forniel rechts vom Cleichheitszeichen das Zeichen Y n - 0

schreibt. 5.

Ich habe unter 2, diejenigen periodischen Storungen von k, und von k, bestimmt, welche den Storungsgliedern der ersten Ordnung entsprechen, und werde nun die sacu- laren Storungen von K, und von h1 bestimmen, welche sich aus diesen Storungsgliedern ergeben. Es sollen alle diejenigen sacularen Storungen von rk, und von k, bestimmt werden, deren Coefficienten lineare oder kubische Formen der Excentricitaten sind. In dieser Absicht muss ich die den Fallen n = I und n = 2 entsprechenden Glieder

Von den acht Zeilen der rorliegenden Formel fallen sechs fur den Fall n = o weg, denn es bleiben nur die zweite geschehen ist.

der Storungsfunction vollstandiger entwickeln als unter 2. Gegeben sind die Storungsgleichungen:

(6)' (7) ' - k,' = sinv, Q, v' k,' = cos Zll Q, v ' in welchen zu setzen ist

Y, 2

P1 Zum Behuf der Integration dieser Gleichungen ist die Grosse Q, -2 nach den Cosinus der Vielfachen von v und 'u,

zu entwickeln. In Nr. 2909 ist unter 6. gezeigt worden, dass man zum Behuf der Bestimmung der sacularen Storungen 15""

279 3063 2 80

von k1 ohne Weiteres q-qo = o setzen darf, und dass diejenigen sicularen Storungen von k,, welche aus der An- wesenheit von 4 - qo in der Storungsgleichung folgen, aus der einfacheren Gleichung

hergeleitet werden konnen. Wir lassen die Veriinderliche q - qo vorlaufig ausser Acht, und entwickeln irn Uebrigen diejenigen Storungsglieder der ersten Ordnung, welche sacular sind.

Fiir den Fall tt = I ist unter 2. gegeben:

. Wird das eingesetzt, so hat man auf der rechten Seite der Storungsgleichungen die Factoren:

- z sin v, cos yr = - sin (y + vl) + sin (y - vl) 2 cos v1 cos rp = cos (y , + Vl) + cos (p - V l ) .

Da nun p = -A1-BLZ,v+v-vl ist, so schreibe ich in den) zu entwickelnden Ausdruck das Product:

-- ( t + 3 / 2 ) ( i - 1 / 2 ) ( t - I ) ~ P , ~ C O S ( V - 2v1).

Die sich ergebenden Storungsglieder haben den unentwickelten Factor y2 = '12 -- . ist derselbe durch den Factor ( I - el2)'I2 zu ersetzen.

In den sacularen Storungsgliedern Yl

Man findet :

( I - ~ ~ ~ ) ' / Z ( I + ( ~ - ~ I / ~ ) ( i - I>e12) = 1 + ( i - 2 ) ( i + ~ / ~ ) e ~ z ,

und hat also f~ den Fall ?z = I die Storungsgleichung :

Schreibt man dieselbe einfacher : K,' = - Ce sin (A, + B, v ) v', indem man zur Abkiirzung setzt:

so ergiebt sich ferner die Storungsgleichung :

in welcher zut Abkiirzung gesetzt ist: hl' = - (c+cle l*)ecos(Al+Blv) v',

Fiir den Fall tt = 2 ist-ferner unter 2. gegeben:

Auf der rechten Seite der Storungsgleichungen hat man die Factoren

- 2 sin vl cos zy, = - sin ( 2 y + vl) + sin (zyr - vl) 2 cosv, cos 2 y = cos (2rp + v,) + cos (zy, - V1) .

Ich schreibe daher in dem zu entwickelnden Ausdruck das Product:

und habe fur den Fall n = 2 die beiden Storungsgleichungen:

28 1 3063 2 8 2

Ich schreibe dieselben einfacher :

indem ich zur Abkiirzung setze:

&,' = - c e2 el sin 2 (A, + B, v ) v'

hi' = - C 2e2e1 cos 2 ( A , + B, v) v ' ,

Ich gehe nun iiber zu der Integration der Storungsgleichung: ,. 2

P R W Z , , ~ ~ , ~ ~ , ' = 3/*e , - i ( q - q o ) ~ ' .

Es sind unter 1. die Storungen von q--qu bestimmt worden. Von den fur den Fall n = I gegebenen Stijrungen setze ich die folaenden ein:

Es ergeben sich alsdann die sacularen Glieder des Products

Ferner sind in die 'vorliegende Storungsgleichung die unter 4. erhaltenen sacularen Storungen von q - q, einzusetzen. Hiernach ist :

(y - qo) : R m,pu,~ = C, eel cos (A, + B, v ) .

worin der Coefficient C, eine gegebene Bestandige ist. Storungsgleichung geht nun uber in :

Die

k,' = (G, + 3/2 C,) c e l P cos (A, + 23, v ) v ' ,

in welcher zur Abkiirzung gesetzt ist :

Setzt man diejenigen Storungen der ersten Ordnung von p , und von a, -a, welche in die erste Classe ge. horen, in die Storungsgleichungen (6)' und (7)' ein, so er- geben sich weitere saculare Storungsglieder. Dass diese sacularen Storungsglieder der zweiten Ordnung sammtlich mit einer kubischen Form der Excentricitaten multiplicirt sind, ist in Nr. 2909 unter 18. bewiesen. Ausserdem haben diese Storungsglieder den Factor sin B,v. Durch deren Integration gelangt man zu Storungen, welche den Factor sin2 B, v haben. hls Storungen des fiinften Grades bleiben dieselben unbeachtet.

Indem ich die bis dahin aufgestellten sacularen Storungs- glieder zusammenfasse, erhalte ich durch deren Integration die Werthe:

B, (h, - hol) = Ce cos (A, + B, v ) + - B, ( I L , - h,,,) = (C+ C, el2 - C, e,2 -

C, C, el2) e sin (A , + B, v) +

cos 2 (A, A- B, v )

C, e2e, sin 2 (A, + B, v )

Die Integrationsbestandigen kO1 und h,, sind bekanntlich SO zu bestinmen, dass die Werthe von &, und hi ver- schwinden, wenn die storende Masse m, welche ein Factor des Arguments B,v ist, gleich Null gesetzt wjrd. Ferner ist zur Bestimmung des Parameters die folgende Gleichung gegeben :

Pl

P O I I1 42 - 1 = 2 - ( K , cos v1 + A, sin v,) .

Setzt man die vorliegenden Werthe von kl und A, hier ein, so erhalt man:

B, ( K , cosv, + h, sinv,) = Ce (cos (A, +B, v + v,) - cos (A, + v,) )

- (C, - C3 - +

C,) e,ae (sin (A, + B, v ) - sin A) sinv,

C2 ese, (COS ( 2 4 + zB,v+v,) - cos (zA, + v,) ) . Auf der rechten Seite dieser Gleichung stehen in der ersten Zeile Storungen des zweiten Grades, in der zwejten und dritten Zeile Storungen des vierten Grades.

Es sind schliesslich noch diejenigen periodischen Storungen von K, und yon 11, zu bestimmea, welche in die erste Classe gehoren. Diese Storungen sind als Functionen von v und v1 von solcher Beschaffenheit, dass in dem Argument des Sinus oder des Cosinus der ganzzahlige Coefficient von 2, gleich Null ist. Ich schreibe daher die be. treffenden Storungsgleichungen in der Form :

,' 3 Y 3 - 1.2 7 ~ 2 ~ polz R,' = sin v, l5 P, v,', 3.2 7?iopo1~ /GI' = cos 21, -I3 P, 711'.

Pl Pl Nun ist bekanntlich :

und die beiden Storungsgleichungen gehen iiber in :

- K,' = 3/2 (k, cos v, + h, sin v,)? sin v1 v,' h,' = 3 lS (R , cos v, + h, sin v , ) ~ cos v1 75"

wo auf der rechten Seite anstatt K , und A, die sacularen Storungen dieser Veranderlichen einzuseteen sind.

= - 2 Ce sin

Ich setze:

B, (R, cos v1 + A, sin v,) B, v sin (A , + ' I2 B, 7) + v,) B,' ( K , cos v1 + /Il sin 7 ~ ~ ) ~ = 2 P e p ' sin2 '/2 B, v ( I - cos (2A, + B, v + 271,)) .

Die Storungsgleichungen sind nun :

- B,? K,' = 3 Cz e2 sin?

Bl4h1' = 3 C 2 e 2 sin' B, 7, ( sin o1 + B, v (cosv, -

sin (zA, + B, 7) + 7p1) -

cos(zA, + B, v i- v,) - sin (2 A, + B, v + 325)) 71,'

cos(2A1 + R, 71 + 371,)) vl'.

Bei deren Integration darf der Bogen B, v als eine Besthdige angesehen werden, und es ergeben sich die Werthe :

B,2K1 = 3 C2ey sin2 I/? B, v (cos v, -+ ' I2 cos (2A, + h', v + v,) --

B,z h, = 3 Cz e2 sin2 I/? B, 71 ( sin v1 - I f 2 sin ( 2 A, + B, v + v,) -- 'I6 sin ( 2A, + B, v + 321,)).

cos (zA, + B, v + 3v,))

IXese Storungen von K , und A, sind solche des vierten Grades. Setzt man in die vorliegenden Storungsgleichungen nicht bloss die sacularen Storungen von R, und h,, sondern

neben denselben auch die in die zweite Classe gehorigen periodischen Storungen dieser Veranderlichen ein, so haben diejenigen sacularen Storungen, welche den so erhaltenen Storungsgliedern der zweiten Ordnung entsprechen, den funften oder einen noch hoheren Grad.

6.

Zur Bestimmung des Perihels ist unter 3. die folgende Storungsgleichung gegeben :

Imopo12 (al' + cos 2, 9.') + R 2 moflo12 [2 ( k , cos 21, + h1 sin v,) + el (kl cos zvl + hl sin 2v,)] PI 7p

= f,-+ I (QOl - zb - q + 'lo) + SL + P, - N , . Y1

y1 2

Ich habe die in die zweite Classe gehorigen StGrungen der ersten Ordnung von k, und von k, in diese Gleichung eingesetzt. Durch die Integration der sich hiermit ergebenden Storungsglieder habe ich diejenigen periodischen Storungen des Perihels erhalten, welche in die zweite Classe gehoren. Es sollen nun diejenigen sacularen Storungen des Perihels bestimmt werden, welche aus diesen Storungsgliedern hervorgehen. In dieser Absicht setze ich n = I in die unter 3. entwickelte Storungsgleichung ein. Werden alle nicht sacularen Storungsglieder fortgelassen, so geht diese Gleichung uber in:

Fur den Fall n = I findet man den Coefficienten

Setzt man die Werthe von d5 und e5 hier ein, so erhalt man

285 3063 286

Setzt man die Werthe der noch ubrigen Coefficienten ein, so ist :

-AS, = i ( ~ i + 3 ) ( z i - , / ~ ) + 3 i .

Die verlangten slcularen Storungen des Perihels sind daher :

I c3 G Bl Bl

a, + cos i, 8 = - + - eel (sin (A, + Bl v) - sin A,) .

Der Coefficient C3 ist unter 5. bestimmt worden ; es ist ferner

Zur Bestimmung derjenigen sHcularen Storungen des Perihels, welche sich aus den Storungsgliedern zweiter Ordnung ergeben, ist man veranlasst, die Storungsgleichung ilberzuftihren in :

Po1 3 dQ rl 2 dr,

-Am,po,2(wl'+cosi,8') = f i - + - q , + zrl--tPl + N , ,

a, + ( I +$) (k1 sinv, - ~c, cosv,) - hlel = m, .

(8)' in welcher zur Abkurzung gesetzt ist :

Ich bediene mich der identischen Gleichung :

e 3 I +A (K, sinv, - A, cos v,) - it, el = a (R, sin v, - Ic, cosv,) + (kl sin zvl - R1 cos zv,) - -el h, , ( p+,> 2

und schreibe die Storungsgleichung in der Form: 6, 3 - 1 mop,,2 (al' + cos il 8') - 2 mop,,2 [z (K, sinv, - h, cos v , ) + - (k, sin avl - kl cos av,) - - el 41' 2 2

Po1 3 d S = fi < +, (qo, - 2 b - q + q u ) + 3 9 + z r , -+ P, + N, .

dr, Aus derselben bestimme ich nicht bloss die silcularen Storungen der z weiten Ordnung, sondern auch alle diejenigen periodischen Storungen des Perihels, welche in die erste Classe gehdren. In der letzteren Absicht setze ich auf der linken Seite der Gleichung alle diejenigen Sttirungen von k, und h, ein, welche in die erste Classe gehoren. Dieselben sind unter 5. bestimmt worden, und es ist :

B, (Kl sin vl - kl cos v,) = Ce (sin (A, + B, v + vl) - sin (A, + 7 3 ) )

+ (C, - C3 - + + aC2 eS sin2

C,) e e,S (sin (A, + B, v ) - sin A,) cos v,

C, e2e, (sin (4, + zB1 v + v,) - sin (aA, + v,))

B, v sin (aA, + B, v + av,) : B, , B,e, (R, sin av, - Icl cos avl) = Cee, (sin (A, + €3, v + av,) - sin (A, + av,)) . ferner

Die Integration der Storungsgleichung giebt den partiellen Werth :

II C - (a,+ cosi,@) = - e B,v (4 cos (A, + B,v + vl) + el cos(A, + B,v + 221,)) Bl

c2

BI 4ee,2sin1/2B1vcos(Al+~/2 B,v) cosv,+ - z e e Q e l s i n B , v c o s ( a A ~ + B , v + v , )

C2 + 4 e2 sin2 B,v sin ( z A , + B,v + zv,) . Bl

In der ersten Zeile dieser Gleichung hat man Storungen des zweiten und des dritten Grades, in den beiden andern Zeilen nur Storungen des vierten Grades.

Um nun weitere saculare Storungen des Perihels zu erhalten, hat man in dem Ausdruck:

diejenigen slcularen Storungsglieder aufzustellen, welche fiir den Fall n = o durch die Substitution der in die erste Classe gehorigen Sttirungen von P, entstehen. Aus dem Werthe von 8 ergiebt sich f i r den Fall n R 0 :

306 3 288

Ferner ist einzusetzen der unter 2. erhaltene Werth von

An die Stelle von p - qo endlich hat man die sacularen Storungen dieser Verhderlichen einzusetzen. diese siicularen in der folgenden Form geschrieben worden :

(q - 40) : m,,P01~ = Cueel cos ( A + Bl v > ,

Unter 5. sind

wo C, eine gegebene Bestandige ist. Der zu entwickelnde Ausdruck geht nun iiber i n :

- "2 C, eel cos (A, + Bl v) + Es ist bekanntlich

ferner

!!,a -. I = 2 Pi - (k, cosv, + kl s i n q ) = 217,

Po1 r1

B, ql 3 = - 2 Ce sin ',i2 B, 2' sin (A, + B, v + vl> PI

Ltisst man diejenigen Glieder fort, welche nicht sacular sind, so hat man die StBriingsgleichung:

- (a1'+ cos il 8') = - "/a C" ee, cos (A, + B, 21) v'

Durch die Integration entsteht :

111 - (a1 + cos il8) = - - 3 5 eel (sin (A, + B, v> - sin A,) = &

Werden auch die dem Falle n = I entsprechenden Glieder der Storungsgleichung

- ~ m , , P ~ ~ 2 ( a , ' + cosi, 8') = [A Po, - - 312 (q-qo) + 3 2 + zr1 dr, d 7 P 2 r" D l

Yl

in Betracht gezogen, urn die in die erste Classe gehorigen Storungen von pl und a, - a einzusetzen, setzt man also : C 4 C 4

Kl cos vl + h1 sin vl = - 2 -- e sin ' j 2 B, v sin (A, + l j2 B l v + vl)

A=, sin v, - h, cos v, = 2 - e sin B, v cos (A, + B, v + vl) , so ergeben sich sPculare Storungsglieder der zweiten Ordnung, welche den Factor ea sin2 l/? Bl v haben. entsprechenden Storungen des Perihels sind aber als solche des fiinften Grades zu vernachlsssigen.

Die denselben

Es bleibt noch iibrig, diejenigen Storungen des Perihels zu bestimmen, welche durch die Integration der Gleichung

- R mopo,2 (a,' + cos il 8') = Pl + Nl entstehen, man die Werthe von Pl und Nl ein, so geht die Gleichung iiber in:

Fur diese Storungen ist in dem Argument des Sinus der ganzzahlige Coefficient von v gleich Null. Setzt

I $,la r14 I

ziI2pla p14 z

g12 = el2 k12 + el kl ( 2 f i 5 + q1 57 : R2wz,,pOla,

- ( ~ ~ ~ ' + c o s i ~ t + ' ) = 2 q , 2 + - -

und es ist einzusetzen:

P l P1 vgl. Nr. 2908 unter 2. Ferner ist:

289 3063

I '1' 'A' -- - k, sin v, - A, cos v, + el (,+, sin zv, - A, cos 2vl> , P12 Pol2

und

Indem man die Storungen des fiinften Grades ausser Acht Itisst, erhilt man die Storungsgleichung:

- 2 (alt+cosil,!+t) : ?!I' = -(k,cosv,+h, s i n ~ ~ ) ~ + ( k ~ s i n v , - ~ c o ~ v ~ ) a + e l K l ( z ~ + q ~ l - ~ ~ + z ~ ) : J.awz~po12.

n5an hat ferner einzusetzen :

(2 $ - I) (k, cos vl + h, sin v,) = i1 cos v, + 4 sin v, + el (k, cos 20, + hl sin zv,) + el k, .

C B, C ?l

kl cosv, + /il sin v, = - z -e

kl sin v, - A, cos v, =

B, v sin (A, + B, v cos (A, +

B,v + v,)

B, v + v,) . a - e sin

Mit Rucksicht auf die unter 2. gegebenen Werthe von f, und q,,, - 2b ist ferner:

C Bl

Unter 5. ist gegeben : el Kl = - 2 eel sin 11% B, v sin (A, + B, v) .

Die Storungsgleichung geht daher iiber in :

Durch deren Integration entsteht :

IV C2 Bl

- (a, + cos i, 8) = e2 sin2 B, v sin (z A, + B, v + 2v1)

Die erste Zeile dieser Gleichung enthtilt periodische, die zweite Zeile saculare Storungen des Perihels.

Setzt man in die Storungsgleichung

- R mopo,a (a,' + cos i, 8') = P, + N, .

micht bloss die sacularen Storungen von k, und h, , sondern neben denselben auch die in die zweite Classe gehorigen periodischen Storungen dieser Veranderlichen ein, so gelangt man durch die Integration zu weiteren sacularen Storungen des Perihels, welche aber stimmtlich den ftinften oder einen noch hoheren Grad haben.

Werden nun alle diejenigen Storungen des Perihels zusammengefasst, welche in die erste Classe gehoren, so erhalt man aus 1 11 I11 I V den folgenden Werth:

C Bl

- (m, + cosi,4) = - e B,v (4 CQS (A, + B,v + v,) + el cos(A, + lI2 B,v + zv,))

Bd. 198 1Sb

wo zur Abkiirzung gesetzt ist :

Nov. 3 5 7 9

I I

'3 '5 I 7 '9

23 2 1

Die Zeilen I 2 3 der vorliegenden Gleichung enthalten die periodischen Storungen der ersten Classe, die Die periodischen Storungen haben den itel' 3*n oder den 4ten Zeile 4 enthalt die sacularen Sttirungen des Perihels.

Grad, die sacularen Storungen den 3ten oder den 4ten Grad.

~ 1 ~ 3 1 ~ 2 2 ~ 37 6 43 17 49 59

2 1 5 7 13 2 2 4 59

I3 '9 2 2 14

31 45 41 54

2 2 5 2 41

Karlsruhe im April 1891.

9.3876 9.3839

9.3788 9.3780 9.3185

9.3837

9.3808

9.3804

Aug. WeiZer.

14.4

14.0

Remarkable spots on the planet Jupiter. I wish to call attention to a number of small black

spots which are now visible on the first belt north of the northern edge of the equatorial belt of Jupiter.

I first saw these remarkable objects in the early part of May of this year. They have become very conspicuous of late and perhaps have a history before them.

I have been trying for some time to get observations of a few of them that could be identified with certainty, as their motion seemed to be extremely rapid. I have succeeded in identifying several of them at repeated obser- vations.

From the observations, the following one of a group of three had the longitudes given below (referred to Marth's System 11, Monthly Notices Vol. LI No. 5)

1891 Sept. 1 7 2. = 24409 S 2 1 1 = 205.9.

From this, it appears that these spots are decreasing their longitudes about IOO daily, which gives a rotation about Jupiter, with reference to the great red spot, in about 36 days. This is nearly ten days shorter than the period of the equatorial white spots.

Micrometer measurements of the positions of these objects on Sept. 18 with the 12 inch gave

Distance from south limb = 3112 Distance from north limb = 1 5 . 1 .

Mt. Hamilton 1891 Sept. 2 2 .

On this date at I 1 ~ 3 0 " ' Mt. Hamilton m. t. a regular chain of these spots crossed the entire disc of Jupiter. They were regularly placed at intervals of 5" or 6" apart.

At the observation of Sept. 2 1 there was a small bright spot about 10" following the observed black spot and in the same latitude. I t will be interesting to see if this object has the same period as the black spots.

It will be remembered that about the last of October 1880, a similar chain of small black spots broke out on the planet exactly at the location of the present ones. These had a great proper motion about the same as those now under observation. They underwent remarkable changes and finally ended by forming a diffused red belt around the. planet (see Pub. A. S. P. NO. 5 where I have given it

history of these objects). From the rapid changes that occurred in the spots of that year considerable uncertainty existed as to their true rotation period, there being a suspicion that the same object was not always observed. In the present case the spots which I have observed are identified with certainty and they therefore confirm the observations of 1880 in respect to the rapid proper motion. Indeed these seem to be a recurrence of the phenomenon of 1880, if so they will become very interesting indeed.

A number of other interesting objects on the Planet are being carefully observed and measured, among these is the new southern red spot whose history dates from last year,

E. E. Bantard.

&he'rne'ride de la Comhte Tempel,-Swift (1891 . , .). (Suite de No. 3061.)

1 2 ~ t. m. Paris.

6

+ 7"49:6 8 37.5 9 2 7 . 7

I 1 15.1

13 11.2

14 1 2 . 0

'5 14.4 16 18.0

+ 1 7 22 .2

I0 19.3

1 2 1 2 . 1

0.

log A

9.4547 9.44 7 3 9.4398 9.4324 9.42 5 I

9.4179 9.41 10

9.4044 9.3983 9.3928 9.3876

. . . .,.aAa

10. I

I 1.9

'3.5

1891

Nov. 23 2 5 2 7 29

Dec. I

3 5 7 9

'3 I 1

a 6

f r 7 O 22!2 1 8 26.6 I9 30.5 2 0 33.2 2 1 33-9 2 2 31.8 23 26.2 24 16.3 2 5 1.4 25 41.0

+26 14.9