Die allgemeinen Störungen des inneren Planeten

ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN. N2 3052-53.

Die allgemeinen Storungen dea inneren Planeten. Von Prof. Aug. WeiZer.

1. Ich habe in Nr. 2908-09 gezeigt, dass die Rahn des

gestorten Planeten als eine Ellipse angesehen werden kann, deren Parameter und Perihel veranderliche Grossen sind. Man erhalt die Werthe dieser Veranderlichen durch die Integration von Storungsgleichungen, und es ist diese Inte- gration auf die Quadratur gegebener Functionen der Zeit zuruckgefuhrt. In die Integrale der Storungsgleichungen gehen uberziihlige Integrationsbestandige herein, welche so bestimmt werden konnen, dass die Integrale in ein und derselben Form fur den vollen Umlauf der Apsidenlinie und der Knotenlinie und demaufolge fur den unbegrenzten Zeit- raum gultig sind.

Ich kann mir ubrigens nicht verhehlen, dass die Con- vergenz der unendlichen Reihen, durch welche sich die Integrale der Storungsgleichungen ausdrucken, weniger stark ist als wunschenswerth, wenn es sich darum handelt, die Storungen der Planeten mit derjenigen Genauigkeit zu berechnen, deren sich die Resultate der Beobachtung zu er- freuen haben. Es lasst sich das Verhaltniss der Storung irgehd einer Ordnung zu der Summe aller Storungen der vorausgehenden Ordnung allgemein nicht anders ausdrucken, aIs durch die erste Potenz der Excentricitat derjenigen Ellipse, in welcher sich die storende Masse bewegt. In Nr. 3032 unter 5. habe ich gezeigt, dass in der fiir den unbegrenzten Zeitraum gultigen Losung der Anfang der Bewegung an den Zeitpunkt gebunden ist, in welchem die beiden Apsidenlinien der von den sich storenden Massen beschriebenen Bahnen in eine bestimmte Stellung zu ein. ander gekommen sind.

Ccos (A + B v) und Csin(A + B v)

ist an diesem Zeitpunkte das Glied A des Arguments eia kleiner Bruchwerth. Werden die Storungen fiir einen Zeit. punkt bestimmt, welcher nahe bei dem Anfang der Bewegung liegt, so haben die Storungsausdriicke unzweifelhaft eine grosse Convergenz, weil dann in dem Argument A + B z nicht bloss A, sondern auch das zweite Glied B v eint kleine Grosse ist. In dem Maasse aber, als sich der Zeit punkt, fur welchen die Storungen bestimmt werden sollen von dem Anfang der Bewegung entfemt, nimmt die Con vergenz der Storungsausdrucke ab, und man ist schliesslict genothigt, zu den Storungen der ersten und der zweiter Ordnung noch die der dritten und der vierten Ordnung hinzuzunehmen, urn eine hinrekhende Genauigkeit des Resul tats zu erhalten. Die Bestimmung der allgemeinen Storungex

In den slcularen Storungen

Bd. I28

kitter und vierter Ordnung ist aber eine sehr grosse Unter- iehmung. Wenn dieselbe wirklich ausgefuhrt vorlage, so viirden, wie mir scheint, die Astronomen wenig geneigt sein, iieses analytische Resultat ihren numerischen Rechnungen cum Grund zu legen.

Man muss sich vergegenwartigen, dass die Umlaufs- ceit der Apsidenlinie und der Knotenhie in allen Fallen mindestens 10000 Jahre betriigt ; oftmals auch viele IOOOOO [ahre. Wenn es sich nun daruni handelt, das Resultat der Rechnung mit den Beobachtungswerthen zu vergleichen, Dder zu prufen, ob die Theorie in der That im Stande ist, alle Feinheiten der Beobachtungsresultate aus dem Gravi- tationsgesetz abzuleiten, so ist man wohl veranlasst zu fragen, was denn jene 10000 Jahre zu einer solchen Ver- gleichung beitragen konnen. Hatte man eine Losung des Problems der Storungen, welche nur f i r einen begrenzten Zeitraum brauchbar ist, welche aber in einer einfachen, leicht zu bewaltigenden Form vorliegt, so ware, wird man sagen, diese Losung werthvoller als die oben erwahnte fur den unbegrenzten Zeitraum giiltige Losung. Es mochte daher dem Leser zur Befriedigung gereichen, wenn ich neben dieser Bemerkung die Thatsache erwahne, dass nun auch eine Losung dieser anderen Art gegeben ist. Denn man kann die iiberzahligen Integrationsbestandigen auch SO einrichten, dass die Losung zwar nur fur den begrenzten, wenn auch betriichtlich ausgedehnten Zeitraum brauchbar ist; dass aber die Storungen der ersten Ordnung in Ver- bindung rnit einigen Storungen der zweiten Ordnung ausreichend sind, um den Ort des gestorten Planeten mit derjenigen Genauigkeit berechnen zu konnen, welche in den Beobachtungswerthen erreicht ist. Fur die innere Bahn sol1 das in dem vorliegenden Aufsatz gezeigt werden.

2.

Sol1 die Losung des Problems der Storungen fur den unbegrenzten Zeitraum gelten, so ist es unerlasslich, die Integrale der Storungsgleichungen so einzurichten, dass in den Werthen der gestorten Elemente q1 K h die der Zeit proportionalen Glieder nicht vorhanden sind. Diese For- derung kann durch die geeignete Bestimmung der iiberzahligen Integrationsbestandigen in der That erhillt werden. Wenn es aber ausreichend ist, dass die Losung des Pro- blems nur fb einen begrenzten Zeitraum gelte, dann ist es nicht unbedingt erforderlich, dass die der Zeit proportionalen Glieder in den Werthen der gestorten Elemente q1 k h vermieden werden. Fur den begrenzten Zeitraum

4

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konnen die Integrale der Storungsgleichungen wohl con- vergent sein, obgleich die der Zeit proportionalen Glieder in den Werthen der genannten Elemente vorhanden sind. Es ist daher gestattet, den uberzahligen Integrationsbestan- digen auch andere Werthe zu geben, als die in der fur den unbegrenzten Zeitraum giiltigen Losung vorgeschriebenen.

Ich erwahne, dass die Storungen der ersten Ordnung von q1 und von K jedenfalls frei sind von den der Zeit proportionalen Gliedern. Sollen auch die Storungen der zweiten und der hoheren Ordnungen dieser beiden Veran- derlichen frei sein von den der Zeit proportionalen Gliedern, so ist man genothigt, die iiberzahlige Integrationsbestandige ho = o zu setzen, vgl. Nr. 2909 unter 9. Da nun die der Zeit proportionalen Glieder in den Integralen der Storungsgleichungen zugelassen sind, so braucht man nicht

mehr A. = o zu setzen. Ich nehme an, der Anfang der Bewegung sei ein beliebiger, und die Storungen sollen fur einen Zeitraum bestimmt werden, in welchem die Apsiden- linie nicht den ganzen Kreisumfang, sondern nur einen kleinen Bruchtheil des Quadranten durchlauft. Unter dieser Voraussetzung hat in den sacularen Storungen

Ccos (A + B v ) und Csin ( A + B v )

das zweite Glied B v des Arguments einen numerischen Werth, welcher einen kleinen Bruchwerth darstellt, das erste Glied A der Arguments aber ist nicht mehr ein kleiner Bruchwerth. Man bestimme die iiberzahligen Integrations- bestandigen R0 und KO in solcher Art, dass alle sacularen Storungen der Veranderlichen R und h in der Form :

Ccos ( A + B v ) - C c o s A = -C sin A s i n B v + Ccos A(cos B v - I )

C sin ( A + B v ) - Csin A = Ccos A sin B v -I- C sin A (cos B v - I)

vorliegen. Diese Aenderung der Integrale ist ausreichend, um denselben eine weit grossere Convergenz zu geben, als die fur den unbegrenzten Zeitraum giiltigen Integrale haben. Wahrend in den letzteren das Verhaltniss einer Storung der zweiten Ordnung zu der Summe der in dieselbe Classe gehorigen Storungen der ersten Ordnung durch den Coeffi- cienten C ausgedriickt ist, welcher bekanntlich die Excen- tricitat derjenigen Ellipse als Factor enthalt, in welcher sich die storende Masse bewegt, ist in den fur den begrenzten Zeitraum gegebenen Integralen das erwahnte Ver- haltniss gleich C sin ' / a B v zu setzen.

Allerdings ist das Verhaltniss einer Storung der zweiten Ordnung zu der Summe derjenigen Storungen der ersten Ordnung, welche in dieselbe Classe gehoren, nicht in allen Fallen gleich den1 Producte Csin B v. Wo ein anderes Verhaltniss vorliegt, da ist dasselbe durch eine quadratische Form der Excentricitaten ausgedruckt, vgl. Nr. 2 909 unter 16. 17. 18. Die quadratische Form der Excentricitaten ist aber ein kleiner Bruchwerth, welcher dem Werthe des Productes Csin B v als nahestehend angesehen werden kann.

Es ist einleuchtend, dass sich die Convergenz der Integrale steigert, wenn der Bogen B v oder der Zeitraum, fur welchen die Losung gelten soll, verkurzt wird. Man ist berechtigt zu sagen, dass sich bei einer Verkiirzung des Bogens B v die Convergenz der Integrale so lange steigere, als der numerische Werth des Productes C sin ' / a b' v grosser ist als die quadratische Form der Excentricitaten. Da es von Werth ist, dass der Zeitraum, fur welchen die Storungs- ausdrucke gelten, eine womoglich lange Dauer habe, so wirft sich die Frage auf, wie dieser Zeitraum begrenzt werden soll. Es wird sich zeigen, dass die Entscheidung dieser Frage nicht bloss von der Convergenz der Integrale abhangt, dass noch andere Rucksichten dabei maassgebend sind.

Die Veranderliche k betreffend gehen die der Zeit proportionalen Glieder auch in die Storungen der ersten Ordnung herein. In der fur den unbegrenzten Zeitraum gultigen Losung sind die uberzahligen Integrationsbestan- digen f und qo - 26 so bestimmt worden, dass die der

Zeit proportionalen Storungen von k wegfallen. Sollen die Integrale der Storungsgleichungen nur fur einen begrenzten Zeitraum Geltung haben, so sind die der Zeit proportionalen Glieder der Integrale immerhin zulassig ; aber in den Storungen der Veranderlichen h mussen dieselben wegfallen. Man kann sich leicht davon uberzeugen, dass die in Nr. 3032 unter 3. hergeleiteten Werthe von f und qo - 26 durch andere Werthe nicht ersetzt werden konnen, ohne dass die Convergena der Integrale ganz aufgehoben wiirde.

Das in dem Vorausgehenden mitgetheilte Verfahren fallt im Wesentlichen zusammen mit demjenigen, durch welches in Nr. 2626-27 die Storungen der Erdbahn durch den Jupiter und in Nr. 2632 die Storungen des Uranus durch den Jupiter bestimmt worden sind. Es sollen aber hier die allgemeinen Storungsausdrucke aufgestellt werden, welche fur alle Planeten gelten. Auch muss ich bemerken, dass in der Losung der vorerwahnten speciellen Storungs- aufgaben die zu berucksichtigenden Storungen der zweiten Ordnung ziini grossen Theil fortgelassen sind.

3.

Es fragt sich nun, wie die Storungsglieder beschaffea sind, welche bei der Integration der Storungsgleichungen berucksichtigt werden sollen. Ich habe unter den Storungs- gliedern sowohl als unter den Storungen solche der ersten, zweiten, dritten Classe unterschieden, je nachdem dieselben mit der nullten, ersten, zweiten Potenz der storenden Masse niultiplicirt sind. Die sacularen Storungen der ersten Ordnung gehoren in die erste Classe, die periodischen Storungen der ersten Ordnung in die erste oder in die zweite Classe. Die sacularen Storungen der zweiten Ord- nung gehoren in die erste oder in die zweite Classe, die periodischen Storungen der zweiten Ordnung in die erste, zweite oder dritte Classe.

Die sacularen Storungen der ersten, zweiten, dritten Ordnung in den Werthen der Veranderlichen k und h haben sammtlich den Factor el, die sacularen Storungen der zweiten Ordnung in den Werthen der genannten Ver- anderlichen sind ausserdem mit einer quadratischen Form,

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die der dritten Ordnung mit einer biquadratischen Form der Excentricitaten multiplicirt. In Folge der vorhin unter 2. aufgestellten Werthe von ko und ho haben die sacularen Storungen von k und von h den Factor sin ' / a Bv, in welchem das Argument des Sinus einen kleinen Bruchwerth darstellt.

In dem Werthe der Veranderlichen q1 giebt es bekanntlich keine sacularen Storungen der ersten Ordnung. In dem Werthe von q, sind alle sacularen Storungen der zweiten Ordnung rnit dem Producte eel der Excentricitaten, in dem Werthe von w mit eel oder mit ela multiplicirt. In dem Werthe von q1 fehlen diejenigen sacularen Storungen der zweiten Ordnung, welche in die erste Classe gehoren. Dieselben sind also samintlich rnit der storenden Masse multiplicirt. Die sacularen Storungen von a3 dagegen gehoren in die erste oder in die zweite Classe. In den Werthen der Veranderlichen q1 und (u haben die s a d a r e n Storungen der dritten Ordnung neben den vorerwahnten Factoren noch eine quadratische Form der Excentricitaten zum Factor.

Von den periodischen Storungen fehlen in dem Werthe der Veranderlichen q1 die in die erste Classe gehorigen. In den Werthen der ubrigen gestorten Elemente K h w sind diejenigen periodischen Storungen, welche in die erste Classe gehoren, mit dem Quadrate von el sin ' / a B v multiplicirt. In den Werthen sammtlicher gestorten Elemente haben diejenigen periodischen Storungen der zweiten Ord- nung, welche in die zweite Classe gehoren, den Factor tl sin ' / a Bv. Die Begrundung dieser Satze ist in Nr. 2908- 09 gegeben.

Wir haben uns die Aufgabe gestellt, den analytischen Ausdruck der Planetenstorungen so weit zu entwickeln, dass derselbe fur alle Planeten diejenige Genauigkeit gebe, welche i n den Beobachtungswerthen erreicht ist. Ich bestimme deshalb von den in die zweite Classe gehorigen periodischen Storungen der ersten Ordnung alle diejenigen, deren Coeffici- cnten entweder unabhangig von den Excentricitaten, oder rnit der ersten Potenz einer Excentricitat multiplicirt sind. Von denjenigen Storungen der zweiten Ordnung, welche gleichfalls in die zweite Classe gehoren, bestimme ich nur die sacularen Storungen der VerHnderlichen q l , welche bekanntlich sammtlich rnit der storenden Masse multiplicirt sind. Die Veranderliche q1 ist in den Werthen der andern gestorten Elemente einer Quadratur unterworfen, wo dann .die storende Masse, rnit welcher die sacularen Storungen von q1 multiplicirt sind, aegfallt. In den Werthen de1 Itbrigen gestorten Elemente K k w sollen diejenigen Storun. gen der zweiten Ordnung, welche in die zweite Classe ge. horen, sammtlich fortbleiben.

. Ich bestimme ferner die sacularen Storungen dei ,ersten Ordnung, von den Storungen der zweiten Ordnung aber neben der oben erwlhnten Ausnahme immer nur die, jenigen, welche ebenso wie die sacularen Storungen dei ersten Ordnung in die erste Classe gehoren. Es zeigt sich .dass diejenigen Storungen, welche in die erste Classe ge horen, sowohl die sacularen als auch die periodischen slmmtlich mit einem Producte von ganzen Potenzen dei drei kleinm Grossen P el sin Bv multiplicirt sind, unc dass der Exponent der letztgenannten Grosse in keinen

7alle gleich Null ist. Ich nenne die Storung eine des iten Grades, wenn die Summe der Exponenten der drei Srossen e el sin ' / a B v gleich n ist. Von diesen Storungen ,ollen nur diejenigen ausser Acht bleiben, welche den funften )der einen noch hoheren Grad haben. Alle Storungen des .ierten oder eines niedrigeren Grades sollen beriicksichtigt verden.

Ich erwahne, dass die storende Masse hochstens ;leich 1/1050 ist, und dass demzufolge der bestandige Factor, nit welchem die in die zweite Classe gehorigen Storungen rerbunden sind, in allen Fallen als eine kleine Grosse des iritten Grades angesehen werden kann. Es sollen daher liejenigen periodischen Storungen der ersten Ordnung, welche neben dem erwahnten Factor eine quadratische Form ier Excentricittiten zum Factor haben, als Storungen des unften Grades vernachlassigt werden. Man findet, dass ion diesen Storungen dem ungeachtet noch diejenigen be- eucksichtigt werden miissen, welche den Factor e e, haben, 7ir den Fall wenigstens, dass das Argument des Sinus oder les Cosinus, mit welchem die Storung multiplicirt ist, die Form n (v- vl) hat, wo n eine beliebige gauze Zahl ist. Denn diese periodischen Storungen sind unentbehrlich in 3er Bestimmung der sacularen Storungen zweiter Ordnnng.

Die in die zweite Classe gehorigen periodischen Storungen der ersten Ordnung betreffend kommt auch der Fall in Betracht, dass die Grosse 2, durch welche das Ver- haltniss der Umlaufszeit in der inneren Bahn zu der in der ausseren Bahn beilaufig ausgedriickt ist, ein kleiner den Werthen der Excentricitaten nahestehender Bruchwerth ist. Es giebt periodische Storungen, welche den Integrations- nenner R haben. Hat die rnit einer quadratischen Form der Excentricitaten multiplicirte periodische Storung den [ntegrationsnenner R, so ist dieselbe als eine Storung des vierten Grades anzusehen, und muss als solche beriicksichtigt

Po P1

werden. Zugleich rnit 2 ist auch der Quotient - ein

kleiner Bruchwerth. Es folgt daraus, dass die erwahnten noch weiter zu berucksichtigenden periodischen Storungen nur aus solchen Storungsgliedern hervorgehen, welche rnit

Po Pi

dem Quotienten - nicht multiplicirt sind.

Did Bestimmung der zuletzt erwahnten Storungen rer- einfacht sich durch die Bemerkung, dass eine Storung nur in dem Falle den Integrationsnenner R erhllt, wenn in dem Argument des Sinus oder des Cosinus, rnit welchem das entsprechende Storungsglied multiplicirt ist, der ganzzahlige Coefficient c verschwindet. Verschwindet in dern Argument der Coefficient c nicht, so finden sich zwar in der Deri- virten der Correction des partiellen Integrals solche Glieder, in welchen der Coefficient c verschwindet ; aber diese Glieder fahren nicht zu Storungen, welche den Integrationsnenner 1 haben, weil bekanntlich alle Glieder der Correction des partiellen Integrals den Factor R erhalten.

Es ist oben erwahnt worden, dass diejenigen periodischen Storungen der zweiten Ordnung, welche in die zweite Classe gehoren, rnit el sin B v multiplicirt sind. Diese Storungen konnen ausnahmslos als solche des fiinften Grades angesehen werden. Denn wo dieselben den Inte-

4*

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grationsnenner Z haben, da sind sie auch mit dem Quotienten

PI multiplicirt.

Die Storungsausdriicke haben cine Gestalt, wenn sie unter den angegebenen Beschrankuogen entwickelt werden. Wollte man von denjenigen Storungen, welche in die erste Classe gehoren, die des fiinften Grades noch mit beriicksichtigen, SO kamen such Storungen der &itten Ord- nung in Betracht; die Storungen der ersten und der zweiten Ordnuog aber w&en SO zahlreich, dais die Entwicklung der Storungsausdriicke oicht mehr eine einfache genannt werden k6onte. Mein Vorschlag geht also dahio, die Lange des

Storuogsausdriicke die verlangte Geoauigkeit geben sollen, SO zu bestimmen, dass die StBrungen des funften Grades vernachlassigt werden konnen.

Die sacularen Storungen betreffend sagt Herr Radau in dem Bulletin des Sciences mathematiques 2. sdrie t. V,

Bogens B v oder die Dauer des Zeitraunis, fur welchen die

1881 an dem Schlusse seines Aufsatzes: Travaux concernant le probleme des trois corps et la theorie des perturbations Folgendes: aM. Weiler affirme, que la methode en question procure de grands avantages au point de vue des intgalites SeCUlaireS ; maiS 1eS indications qu'il a donnees k ce sujet sent encore troP vagues Pour W'on Puisse se rendre un compte exact de la realite de ces avantagesc. Ich habe in Nr. 2525 UOter 6. dieser Bemerkung s. 7 1 widersprochen; muss aber jetzt dem Herrn Radau einraumeo, dass seine Bemerkung mit Riicksicht auf die damals vorliegeoden PublicatioOen WOhl gerechtfertigt ist.

4.

Die Storungsfunction ist eine gegebeoe Function der Leitstrahlen Y und Y, der beiden sich storeodeo Massen und von s, welche 1etztere'Grosse den Cosinus des von den Leitstrahleo eingeschlossenen Winkels bezeichnet. Es ist:

I Y 3 y2 5 r3 35 y4 63 r5 231 Y 6 429 y7 + . . = I - - - + 3+---4----+------ ( I + $'2 2 yl 8 y12 16 rl 128 rl 256 v15 1024 rS6 2048 yli

Schreibt man dieselbe in der Form:

Y 9-2 Y3 Y4 15 Y6 r'l - 'I1 - - I - a l - + f f a , - - -ffn,-+ff4-i-aa,-3+fffi-6-ff7 - + a - - , (1 + -=,> Yl Y l yl r1 ffl y1 r1

Y in welcher also die Coefficienten der Potenzen von - gegebene positive Zahlenwerthe sind, so ist bekanntlich die Storungsfunction : r1

Man kann die Grosse C O S ~ Z durch eine begrenzte Reihe ausdriicken, in welcher jedes Glied die folgende Form hat :

Der Coefficient C ist als eioe Function von sin2-- zu be-

trachten, die Coefficienten c und cl siod positive oder nega- tive gauze Zahlen. Ich werde aber in diesem Aufsatze

sin"- = o setzen. Es ist dann sehr einfach:

c c o s [c (24 - Ul) 4- C] (24 + .I)]. 3+ 2

Y 2

cos H a = cosn (zl - ul). Y In der That ist die Grosse sin2 - in der Regel ein sehr 2

kleiner Bruchwerth, und man erhalt durch die Annahme

sin2 -- = o in allen Fallen eine betrachtliche Annaherung

an die genauen Werthe der iibrigen gestorten Elemente, und demzufolge an den genauen Werth der Lange des gestorten Planeten. Sodann liegt diesem Aufsatze auch die Absicht zum Grund, eine gute Uebersicht zu ermoglichen iiber diejenigen Rechnuogen, durch welche die verlangte Genauigkeit in der Ortsbestimmung des gestorteo Planeten erreicht wird. Hat man die Rechnuog fur diejenigen Glieder der Storungsfunction ausgefuhrt, welche unabhangig sind von dem Winkel Y, so kann man dieselbe leicht ver- vollstandigeo, indem man nachtraglich auch die rnit den

Y 2

5 7 305 2 58

3c Potenzen von sina - multiplicirten Glieder der Storungs-

function berucksichtigt. Ich schreibe die Storungsfunction nunmehr in der

folgenden Form :

2

oder auch unter dem zweifachen Summenzeichen in der Form :

wo die Summationen fur die auf einander folgenden ganzen Zahlen i und n von i = o und n = o anfangend aus- zufuhren sind. Es versteht sich, dass bei der Aufstellung der einzelnen Glieder das Bussere Summenzeichen zuerst in Betracht kommt, damit alle die rnit cos n (a - .l) multiplicirten Glieder zusammengezogen sind. Der Coefficient Di(") ist ein gegebener positiver Zahlenwerth, welcher aus der anfanglichen Form der Storungsfunction leicht zu ersehen ist. So ist z. B. Doto) =o, Do(,) = 0 , Do(2) = 2 4 . Ich muss noch erwahnen, dass in Nr. 2909 S. 7 5 weniger passend Di-, geschrieben ist, wo hier Dj steht.

Utn die Storungsglieder aufzustellen, schreibt man zweckmassig :

2i+n zi+n 2i+n+1 S L xmm, 2 z(- I)"D?)' (;) ($) cosn (a - a, + v - vl).

plzi+n+I n=or=o

Handelt es sich um die Storungsglieder der ersten Ordnung, so hat man p =.Po und a - m1 = A + B v zu setzen. Zum Behuf der Abktirzung schreiben wir das Argument A + B v + v - v, = p. Um in's Besondere die periodischen Storungsglieder zu erhaltea, hat man in den Ent-

wicklungen der Potenzen von - und von - diejenigen

Glieder zu berucksichtigen, welche nach den Excentricitgten c und el von dem nullten oder von dem ersten Grade sind. Mit Riicksicht auf die rnit dem Integrationsnenner R verbundenen Storungen ist man genothigt, in diese Ent- wicklungen auch solche Glieder aufzunehmen, welche nach den Excentricitiiten vom 2. Grade sind. Es ist unter 3. darauf hingewiesea worden, dass dies nur flir diejenigen Storungsglieder zu geschehen braucht, welche rnit dem

Quotienten - nicht multiplicirt sind. Es kommen in Folge

dessen fur die rnit dem Integrationsnenner R verbundenen

Y Pl P r1

Po Pl

Storungen nur diejenigen Glieder der Storungsfunction in Betracht, welche den beiden Fiillen n = 0 , i = I und n c 2 , i = 0 , also dem Falle 2i + n = 2 entsprechen.

5.

Die Storungsgleichungen, welche zur Bestimmung der inneren Bahn gegeben sind, enthalten die Veranderliche q . Die letztere ist durch die Veriinderliche q1 zu ersetzen, verrnittelst des Integrals der lebendigen KraR. Zur Be- stimmung von q1 aber ist die folgende Storungsgleichung gegeben :

(4)

r2 d S Man hat hier die Entwicklung von - - einzusetzen, um

die Storungsglieder der ersten Ordnung zu erhalten. Ich schreibe :

P2 dv1

2i+n 2i+n+2 2i+n+ I

- Y2 9 = x m m, 2 2 (- I > " D ~ ) :2i+n+I (6) ($) COSnV, P2 n=oi=o

und bringe in Erinnerung, dass in der Entwicklung dieser Grosse fur die rnit e12 und die rnit ea multiplicirten Glieder z i + = z gesetzt werden soll. Der veranderliche Factor der vorliegenden Gr6sse giebt dam die folgende Ent- wicklung :

[I - (zi + n + 2 ) ecosv + 5e9 cosav] [I + ( 2 i + n + I ) P ~ c o s q + 3/2e,2cos2vl] cosnly.

Es ist zu beachten, dass die Derivirte 4,' den Factor R hat, dass also in dem Werthe von q, die rnit ela und die rnit ea multiplicirten Glieder den Integrationsnenner R nicht haben. Diese Storungen von q1 mtissen aber doch bertick- sichtigt werden, weil dieselben in dem Integrale einer anderen Storungsgleichung nachtraglich den Integrationsnenner 12 erhalten.

Nimmt man die partielle Derivirte des vorliegenden Productes nach vl , so erhiilt man den Ausdruck :

[ I - ( z i + n + 2) P cos v + 5 8 cos 2v] [[I + ( z i + n + I) P, cosq + e,a cos 2 4 n s innp - [ ( 2 i + n + I ) P , sinvl + 3 ~ ~ 2 s i n 2 v ~ J c o s n p ] .

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Von den rnit dem Producte der Excentricitaten eel multiplicirten Gliedern werden nur diejenigen beibehalten, in welchen das Argument des Sinus die Form n (v - vl) hat. Ferner ist zu beachten, dass das rnit e,2 multiplicirte Glied niir fiir den Fall n = 2 in Betracht kommt. Durch die Auflosung des Productes geht die partielle Derivirte iiber in :

[ I - (zi + n + 2) e cosv + ( 2 i + n + I) el cosvl + 5eZcos 2v] n s i n n v + 3 ~ 1 2 sin 2v1] cos n p - [(2i + n + I) e, sin

- 1/2 (2; + n + 2) (22 + H + I ) eel [n cos (v - vl) sin f zq + sin ( Z J - vl) cosnp].

Es werden nun einige Factoren von s innp und c o s n p vermittelst einer Aenderung des Arguments n q fortgeschafft. Die Storungsgleichung (4)’ hat dann die folgende Gestalt :

) n-I [[I - (22 + n + 2>ecosvl n s i n n p + (2 i+ n + r>el (&- - s in (np + zil> + It+sin(np-zt1) -ylasinzzjl

Yl a 2

) I n - I n+ I - - (zi + n + 2) (zi+ n + 1) eel (;- sin (nv - v + nl) + ~ sin (ny, + v - 7t1) 2 2

+ ge2sin (2p - zv)

Es handelt sich um die Integration des rechts stehenden veranderlichen Factors. Doch mogen die rnit el% und

v ‘ . 1 die rnit e2 multiplicirten Glieder vorlaufig ausser Acht bleiben. Ich setze zur Abkiirzung P 2 = y , und integrire zunachst die Gleichung: y1 I

z’ = y2n sin~rrpai’.

Das bekannte Verfahren liefert das partielle Integral cos n p 1-2

5 = - - l a ___.

Das vollstandige Integral der vorliegenden Gleichung ist a = 5 + 6 , und man erhalt die Derivirte der Correction:

In der zweiten Zeile werden nun die Producte der Functionen in lineare Functionen urngewandelt, rnit Riicksicht darauf, dass von den rnit eel multiplicirten Gliedern nur diejenigen stehen bleiben, in welchen n v & (7t - vl) das Argument des Sinus ist. Man erhalt :

1-2 g‘ = - [- ze cos v . n s innp + (n - 1) el sin (np + vl) + (n + 1) el sin (np - vl>

- (n - I) eel sin (np - v + vl) - (n + I) eel sin (np + 7~ - v,)] v ’ ,

uhd es ist nun z’ = 5’ + g‘. selbe tiber in:

g’+ ya [ - ( 2 i + n + z + A) - e cosv. n s innp

Setzt man diesen Werth von z’ in den zu integrirenden Ausdruck ein, so geht der-

Es sollen nun diejenigen Glieder integrirt werden, welche rnit e oder rnit el multiplicirt sind. Ich schreibe daher die Gleichung :

a,’ = ya [- y l e n [sin (ny, - v) + sin (n y, + v)] + [(H - I) sin ( n p + v1) + (8 + 1) sin ( n p - z~I)]] 71‘)

wo zur Abkiirzung gesetzt ist : I rz I R 2 2 1-2’ ya = - ( 2 i + n + 1 ) + - yl = - ( z i + n i - 2 ) + ~ ,

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und erhalte das partielle Integral :

n - (n+ 1 ) R

cos (By, - v) 51 = YlY'en( n - I - n R + n + I - n R n - (n - 1)Z

Das vollstandige Integral der vorliegenden Gleichung ist z1 = g1 + 6, und die Derivirte der Correction ist :

Setzt man auch den Werth von zl' = g1' + 6,' in den zu integrirenden Ausdruck ein, so geht derselbe uber in :

j ' + gl' - y%e1 [y3 (a - I ) sin (ny, - v + vl) + y4 (n + I) sin (ny, + v - vl)] v',

wo zur Abkiirzung gesetzt ist : I 1 72 (. -112 + YlnZ

I R Yz + Y1 + 2) (zi+ n + 1) + 1 7 +

+ -- ys = - (2; + n + 2) ( 2 i + n + I ) + -

Y4 = --(zi +

4 1-2 N - ( ? Z - I ) R I t - I - B n l

- (n + I ) Z + I - 4

Durch die Integration des nun vorliegenden Ausdrucks entsteht :

5 + L + 5 3 , und man findet den Werth:

) - cos (ny, - v + v1) cos (ny, + v - vl) 1-2 + 7 4 b = y"e1 (Y3 1-2

Werden die Werthe von 5 5, j2 eingesetzt, so besteht das erhaltene Integral aus sieben Gliedern, welche unter sich verschiedene Functionen der Zeit darstellen.

Das vorliegende Integral ist unbrauchbat fur den Fall a = 0. Man muss die Integration der Storungsgleichung (4)' fur diesen Fall besonders ausfuhren. Ich verbinde rnit dieser Rechnung die Integration der rnit 6 2 und der mit e12

multiplicirten Glieder. Es handelt sich dann um die Integration des Ausdrucks

yz [- ( 2 i + I ) el sinvl - ( 2 i + I ) (i + I) eel sin (v - vl) - 3e1* sin 2v1 + 5e2 sin (zy - zv)] v ' .

Die partielle Integration des ersten Gliedes giebt : el c o s q

R g1 = y2(2i+ I)--

Die Derivirte der Correction des partiellen Integrals ist :

6,' = y2 ( 2 i + I ) [eel sin (. - vl) + 2 4 2 sin 2vl] v ' .

wo abzr in dem mit e12 multiplicirten Gliede i = I zu setzen ist. Der zu integrirende husdruck geht nun uber in:

gl' + ya [- ( 2 i + I) ;eel sin (v - v l ) + 3 ~ ~ 3 sin 2v1 + 5e2 sin ( 2 ~ - 2v)] v ' .

Durch die .Integration erhalt man den Werth :

cos (v - vl) 3 5 - - 612 cos 221, + - e2 cos (zy - 277) 1 - 2 Z R 22

Das Integral der Storungsgleichung (4)' ist nun in der folgenden Form zu schreiben :

3 2 2

I

2 - - pol) = xTizm1 (0) - 61' CoS 2211 + 5 (zy - 277

in deren dritte Zeile die folgenden Werthe einzusetzen sind:

63 305 2 64

cos n q 5 = -Y2=

+--- + cos (nv - v)

cos (ny - 7J + v1)

n - (n - I ) R I2 - (92 + I ) R 51 = y1y2en (- n - I - n R n+r -nnR cos ( 1 1 9 + Z’ - Vl)

1-2 + Y4 -. 1-1

Auch fur den Fall n = I bedarf das vorliegende Integral einer Berichtigung. Es ist bekannt, dass unter den Storungen der ersten Ordnung von q1 saculare nicht vorhanden sind. Fur den Fall n = I ist in dem Werthe von g2 das mit y3 niultiplicirte Glied ein saculares. Der Fehler ist dadurch entstanden, dass wir in allen Integrations- nennern das mit der storenden Masse multiplicirte Glied B neben den andern Gliedem des Nenners gestrichen haben, was in dern erwahnten Gliede von g2 fiir den Fall n = I nicht geschehen darf. Schreibt man hier den vollstandigen

Integrationsnenner, so wird der Factor ~ ersetzt durch

den folgenden :

I

1-2

n-I ~ _ _ _ _ _ _ - ~ B + ( n - I ) ( I - - R ) ’

welcher fur den Fall n = I in der That verschwindet. Die Rerichtigung besteht also darin, dass fur die Fall n = I der Coefficient y3 = o gesetzt wird.

- k’ = sinvQv’, so ist die Veranderliche Q bestimmt durch die Gleichung:

6.

Zur Bestimmung der gestorten Elemente k und k sind die beiden Storungsgleichungen gegeben :

d r j . 3

(6) - m p o 2 k ’ = - -s inv Z I I

P 3

in welchen die Veranderliche q durch q1 ersetzt werden soll, vgl. Nr. 2908 unter 5. Ich schreibe das Integral der lebendigen Kraft in der Form :

q - qo + $71 - q 0 1 = 2J2 - 2.4 ,

in welcher qo qol b Integrationsbestandige sind, und ich darf annehmen, dass in den Entwicklungen der drei Grossen q - q o , q1 - qol , A2 - b die bestandigen Glieder ver- schwmden. Schreibt man die Storungsgleichungen in der einfacheren Form :

k‘ = COSVQZI’,

y 3 Po P wPo2Q = - (f + qo - zb - q1 + qoL + ~ S L + Y d r + P) -

r, 3

Pl Zum Behuf der Integration dieser- Storungsgleichungen bedarf es der Entwicklung der Groisse Q nach den

Cosinus der Vielfachen von v und v l . Wenn nur die Glieder der ersten Ordnung in’Betracht kommen, so ist

Ferner ist unter 4. der folgende Werth gegeben : zi+n zi+n zi+n+r

B = xmml ($) (2) cosny,. n =o I= o

Man erhalt daher die Gleichung:

7-1 a Y

Y $1 P Entwickelt man in dem Werthe von Q-% die Potenzen von - fur den Fall n = 0 , lasst also die tibrigen

Potenzen von - unentwickelt, so ergiebt sich femer die Gleichung: P

zi zi- I Yl Yl + (qo- 26) (I - 3ecosv) Pl P1 i = o

= f (I - 2ecosv) + xmml ZB(0)’- (zi+ z) [I - (2i+3) PCOSVJ (;:) ‘,2i+1

65 305 3 66

Die Bestandigen f und qo - 26 sind in Nr. 3032 unter 3. derartig bestimmt worden, dass in dem vorliegenden Ausdrucke sowohl die bestandigen als auch diejenigen Glieder verschwinden, welche die Form Ccosv haben. Es besteht also die identische Gleichung :

z i f ( I - zccosv) +(Po - zb) ( I - 3ecosv) + x m m l Po- ( z i + 2) [I - ( 2 i + 3) e cosv] = 0 . plZi+I i - 0

Eliminirt man die Grijssen f und qo - zb vermittelst dieser Gleichung, entwickelt alsdann fur den Fall n = o auch die Potenzen von P 2 , so geht die vorige Gleichung iiber in:

Yl

2i - - xmml C~p)P"--(zi+ 2) (zi+ I > q c o s q [I - ( z i + 3)ecosvl plzi+x

1=0

2i+n zi+n+3 zi+n--r + xmml E 2 (- 1)"Di'"' Po (zi+ n + 2) (;) ($) cosnly. plzi+n+I

Wird nun auch der veranderliche Factor der dritten Zeile entwickelt, so erhillt man, da fiir den Fall zi + n = z von den mit eel multiplicirten Gliedern auch solche beriicksichtigt werden, welche den Integrationsnenner 2 erhalten, die Entwiclrlung des Productes :

72-1 z=o

[I - (22 + n + 3) e cosv] [ I + ( 2 i + n - I) el cosv,] cosnp = COS?Zly

1 I

2 2 - -- (zi + n + 3) c [cos (nly - v ) + cos ( ~ l p + v)] + - (22 + n - I ) el [COS (nlp + 211) + COS (nly - zr,,]

Yl a Pl

Es ergiebt sich nun die Entwicklung der Grosse mpoaQ -2 , wenn von der obigen Gleichung die unter 6. erhaltene abgezogen wird, namlich die Gleichung :

in deren zweite Zeile einzusetzen ist : Y 3 Yl' cosn p

(5 + 51 + {a) - P3 $1 1-2 = - ~ ( I - 36 cosv)

(I - 3e cos 71) cos (nyl - v ) + y1 e n (--- cos (n p - v + vl) cos ( B V + v - 711)

1-2 + Y4 1-2 + eel (Y3 -

In dem Falle n = I ist hier y3 = o zu setzen. Mit Rticksicht auf die Gleichung x = Ryo13, vgl. Nr. 2908 S. 53 erhalt man den folgenden Werth :

y12 = - R2mo [D,'O' 21 eel cos (v + v J + Oo(2) 5 eel cos (2ly - 2' - vl ) ]

+ R3~1 cos (n tp + vl) + &el cos (n p - vl) - R5 ee, cos (n p - v + vl) - &eel cos (nly + ?I - vl)].

Die Coefficienten R R, . . . sind gegebene bestandige Grossen, namlich : Bd. 128 6

67 305 3 68

R = Z i + ? J + 2 +- 2 2 = 2y1 R, = - ~ ( z i + n + z ! ( 2 i + ~ t + 3 ) + I 2 Y l B += 32 1-2 2

32 +- R3 = I ( 2 i + n + z) ( 2 i + n + 3 ) + 2Y1 H A 2 n+r--nR 1-2

In den Werth von R5 ist y3 = o zu setzen fur den Fall n = I .

Y ? Da nun die Grosse Q -I7 entwickelt ist, integriren wir die Storungsgleichungen

P1-

( 6 ) (7) - -K ' = s i n v Q v ' , h' = cosv Q v ' .

Auf Grund der Transformationen : - 2 cos IZ p sin 'I = sin (n p - v ) - sin (n p + v ) = sin pi - sin pz

2 cos n y cos v = cos (n Q - v ) + cos (n Q + v ) = cos p1 + cos pq

wo zur Abkurzung n 1~ - v = p1 und n p + v = 7p2 gesetzt ist, hat man in jeder der beiden Storungsgleichungen die Summe zweier gleichformigen Ausdrucke zu integriren. In dem Werthe von 2h' ist, wenn die beiden ersten Zeilen

Yl!2 der Entwicklung von Q-< vorliufig ausser Acht bleiben, der erste Ausdruck :

P1-

y? [R cos p1 - R, e cos (p1 - v) - Rz 6 cos ($01 + v ) + R3 61 cos (p1 + V l ) + R4 e, cos (yl - vl) - R 5 e e 1 c o s ( ~ I - ~ + z ~ , ) - R R 6 e e l c o s ( p l + V - ' I ~ ) ] V ' .

Wird hier pz an die Stelle von p1 gesetzt, so hat man den zweiten Ausdruck in dem Werthe von zk'. Wird ferner in diesen beiden Ausdrucken sin anstatt cos geschrieben, und werden zugleich in den] zweiten Ausdrucke die Vorzeichen geandert, so hat man jene beiden der Storungsgleichung (6) entsprechenden Ausdrucke, deren Summe zu integriren ist.

Sol1 nun die Veranderliche 2 k bestimmt werden, so handelt es sich um die Integration des Ausdrucks:

y? [R sin p1 - R, e sin (tpl - 7,) - Rz e sin (pl + v ) + R3 el sin (tpl + v,) + R4 el sin (yl - v,) - R5 e el sin (pl - v + vl) - R6 e el sin (pl + v - 'I,)] d.

Durch die partielle Integration des ersten Gliedes erhalt man

Die Derivirte der Correction des partiellen Integrals ist :

ny3 siny, . - 2 e cos v v ' RR

n - 1 - n R 6' =

y'((n - I ) el sin(yr, + v , ) + (n+ I ) el sin(pl - v , ) ) ( I - 21cosv) 7)' RR

n--r-u?. + Der obige Ausdruck geht daher uber in :

) e sin itpl - v ) - R2 + ) e sin (pl + .> ( n - 1 - n R a ' + y ? [-(R1+- n - x - n R

Durch die partielle Integration der mit e und der mit el multiplicirten Glieder erhalt man:

69 305 3

wo zur Abkiirzung gesetzt ist :

K a R 12-I--122

4 = R2+ R ( n + I ) R IZ - I- I.? R 6 4 = R,+

Die Derivirte der Correction dieses partiellen Integrals ist :

Der zu integrirende Ausdruck geht uber in :

c' -I- a,' - y2eel [d, sin (ql - v + vl) + d6 sin (ql + "J - Z J ~ ) ] v ' ,

wo zur Abkurzung gesetzt ist: 6, ( a - 1 ) R d, ( a - I ) R R ( n - 1 ) R

R 5 + n - - I - n ~ . ( ~ - - - I ) ( I - - R ) n - 2 - $ 2 2

R ( n + I ) R + 6, ( n + I ) 3. d2 ( n + ~ ) R n--I--n I. ( n - I - ( n + 111. + n (1 - 1.1- .

+ + _ _ d5 =

s, = R, + -

Durch die Integration dieses Ausdrucks erhalt man 1 in der sacularen Storung der Factor y2 unzulassig. Ich streiche 1 dys erwahnte Glied fur den Fall n = I aus dem Werthe

von a1 fort, setze also d3 = 0 , was auch in dern rnit 6, multiplicirten Gliede des Werthes von 6, geschehen muss, und behalte mir vor, die Bestimrnung der sicularen Storun- gen von rE. und von It nachzubringen.

Es ist schon erwahnt worden, dass man in dern nun

1 und alle Vorzeichen zu Bndern habe, um den zweiten Aus- ' druck zu erhalten, von dessen Integration die Bestimmung das Integral

den Werth a+a1+c2,

in welchen einzusetzen ist :

a2 = y2cc1 ("; cos (y, - 2, + q) -+ ds ~ _ . _ _ _ _ _ cos (y1+ 2, - 211) n - 1) ( I - 1) - I (n + 1) ( I -2 ) - I integrirten Ausdrucke q2 an die Stelle ron W, zu setzen

Fur den = I 'st das '06 (91 +vl) plicirte Glied in dern Werthe von a, ein saculares. Dieses Glied bedarf einer Berichtigung. Wir haben in allen Inte- 1 des zweiten Ausdrucks in der Form ~

grationsnennern das mit der storenden Masse multiplicirte ' P + P l + P 2 ,

Glied neben den ubrigen Gliedern des Integrationsnenners gestrichen. In der sacularen Storung aber muss der vollstandige Intzgrationsnenner geschrieben werden. Ferner ist

der Veranderlichen zk abhangt, Schreibt

so ergeben sich die folgenden Werthe :

cos q g -~ . a = Ry2n+r- -1zR

wo zur Abkiirzung gesetzt ist: R 11 1. = R, + v-- -- ~

? Z - t - I - ? Z R

ferner :

K ( n - i ) R n + I - ~ R Eg = Rs + -

5*

71 305 3 7 2

Ich erwahne noch, dass man die Werthe von 8 B1 P2 aus den Werthen von a a, a, ableiten kann, indem man Pa anstatt pI schreibt, und zugleich in den rnit R nicht multiplicirten Gliedern der in den Werthen von a al a?, vor- kommenden Nenner n + 2 an die Stelle von n setzt.

Enthalt eine Grosse nur Cosinus-Glieder, so moge das durch das beigesetzte Zeichen (c) angezeigt sein. Demgemass ist die Veranderliche 2k bestimmt durch den Ausdruck

a (4 + a, (4 + a?, (4 + 8 (4 + 81 (4 + 6 2 (4 - Wird in allen Gliedern dieses Ausdrucks sin anstatt cos geschrieben, so hat man das Zeichen (c) gegen (s) zu ver- tauschen. Aus dem oben Erwahnten folgt, dass die Ver- anderliche 2A bestimmt ist durch den Ausdruck:

-a(~)---al(~)--?,(s)+6B(J)+81(s)+82(s). Es ist nun auch der Parameter p bestimmt auf

Grund der Gleichung :

R = R, = Rz = R3 = R, = 0 ,

P Po2 Y f - 1 = 2 - (K cosv + k sinv).

In den Werthen von a a, a2 setze man ny, an die Stelle von vl = np - v , in den Werthen von 6 & #I2 setze man ny, an die Stelle von Pa = n p + v . Nachdemt man diese Aenderungen vorgenommen hat, ist auch die Veranderliche 2 ( k cos v + h sin v ) bestimmt durch dem Ausdruck

a ( ~ > + ai (4 + a2(4 + P ( 4 + 6i(c> + 8a(4- Y12 .

P1 Aus der Entwicklung der Grosse Q ist zu ersehen,

dass in dem vorliegenden Werthe von 2 (k cosv + k sinv) der Fall n = o ausgeschlossen ist. Es bleibt also noch iibrig, die Storungsgleichungen (6) und (7) fur den Fall n = o zu integriren. Uebrigens kann man die dem Falle t = o entsprechenden Integrale aus den vorliegenden ableiten, indem man in den letzteren n = o setzt, ferner

R~ = 2 , R, = 2 i + 5 + - - - 22 1 - 2 ’ und schliesslich den Factor i ( 2 i + I) beifugt. 2 (,$ cos v + R sin v ) erhalt man durch diese Substitutionen den Ausdruck :

Zur Bestimmung des dem Falle n = o entsprechenden Werthes vom

46, COSV, 62 2 y 2 I - 2a

Es sind ferner fiir die beiden Falle n = 0 , i = I und 1z = 2 , z’ = o von den mit dem Producte per Die den- multiplicirten Storungen von k und von A einige zu beriicksichtigen, welche den Integrationsnenner R haben.

y,?, selben entsprechenden Glieder in dem Werthe von Q -?, sind : Pl

- R2mo [Ill@) 2 I eel cos (v -I- v l ) + Do(?,) 5 ee, cos (2p - v - 2 4 1 .

Nachdem man die erwahnten Storungen von K und von h aus den Storungsgleichungen (6) und (7) bestimmt hat, findet man den denselben entsprechenden Werth von

2 (k cosv + A sinv) = 12moy2 [D1(O)21 eel cos (v + v l ) - Dot2) 5/3 eel cos (2p- v - vl)] .

Man erhalt nun den vollstandigen Werth des Parameters p durch die Gleichung :

2 (k cosv + h sinv) = Rmoy2 [D,(o) 2 I eel cos (3 + v,) - Do@) 5/3 e q cos ( 2 6 - v - v,)]

In die dritte Zeile dieser Gleichung ist, wie schon erwiihnt, ny, an die Stelle von p1 und von p2 einzusetzen.

7. Zur Bestimmung des Perihels ist die folgende Storungsgleichung gegeben :

f Po , + , q + P - - N 1

mp0 1

vgl. Nr. 2908 S. 5 5 . Ich habe die Veranderliche t3 eliminirt vermittelst der Gleichung :

(ks inv-hcosv) - h e = a,

73 305 3 74

und erhalte den Werth der Veranderlichen a3 aus der neuen Storungsgleichung

-?nmpo2(w'+cosi6') = f $ + + q + 2 Y - d 9 + Y + N . d r

Ich werde unten zeigen, dass die transformirte Storungsb gleichung vor der ursprtinglichen einen Vorzug hat, wenn es sich um die Integration der St6rungsglieder zweiter Ordnung handelt. In den Storungsgliedern der ersten Ordnung erweist sich die partielle Integration, auf welcher

diese Transformation beruht, nicht als zweckmassig. Ich bediene mich zur Aufstellung der Storungen erster Ord- nung, insofern dieselben in die zweite Classe gehoren, der urspriinglichen Stor ungsgleichung. In dieselbe ist einzusetzen :

p"- I - -& = 2-((Rcosv+hsinv)-~erk P PO Y

= 2 (kcosv + A sinv) + c (Rcos 22, + k sin2v).

Eliminirt man ferner die Veranderliche q vermittelst des Integrals der lebendigen Kraft, so geht diese Storungsgleichung tiber in:

~ w . n g ~ 3 (m'+ cosi8') + mp,a [2 (hcosv + h sin?!) + e (R cos 2v + A sin 2v)] ZJ'

Po 1 = f ;+T (qo - 2b- q1+ 901) + 8 +€J- N .

Es ist unter 6. der Werth der Veranderlichen 2 (R cosv + h sinv)

aufgestellt worden. Wird von dem Falle n = o abgesehen, so ist auch die Veranderliche

2 (K cos 2v + h sin 2v)

durch den dort erhaltenen Ausdruck

a (4 + a1 (4 + a2 (4 + B (4 + 81 (4 + 82 (4 bestimmt, nachdem man in den Werthen von a a, a2, welche als Functionen von p1 = ntp - v gegeben sind

tp3 = n p + v an die Stelle von ?pl, und in den Werthen von 8 /I1 p 2 , welche als Functionen von tp2 gegeben sind, p1 an die Stelle von tp2 gesetzt hat.. Der dem Falle n = o entsprechende Ausdruck in dem Werthe von

2 (h cos 2v + h sin 2v)

ergiebt sich aus dem soeben erhaltenen, wenn in dem letzteren die Substitutionen

n = 0 , R = Rl = R2 = R4 = 0 ,

gemacht werden, und schliesslich der Factor 2; (2; + I) beigefugt wird. Dernzufolge ist der vollstandige Werth von

R3 = 2

P cos (ny, - v ) e cos (ntp + v ) 2i+n-2 I - R n - 1 - n . 2 + R2mo 2 2 (- 1)"Di'"' Po

n = I i=o

eel cos (ny, - v + vl) eel cos (ny, + v - n - I - (n + I) R - 4

+63 n + r - ( n - x ) R

Zum Behuf der Integration bedarf es ferner der Entwicklung des Ausdrucks:

Man hat in denselben einzusetzen :

wo der veranderliche Factor iibergeht in :

cosny, - + - 1 / . , (2 i+n+z) (2 i+n- ~ ) e e ~ [ c o s ( n ~ - v + v ~ ) + ~ ~ s ( n t p + v - v ~ ) ] .

(2i+ n + 2) ~ [ C O S (nv, - v) +cos (ntp + v)]

(2; + n - I ) el [cos (n p + vl) + cos (n tp - 7 4 1

Ferner bediene ich mich des unter 5. erhaltenen Werthes von

75 305 3 76

indem ich die mit e2 und die mit ela multiplicirten Storungen des Perihels fur den Fall, dass sie den Integrations- nenner R haben, vorlaufig ausser Acht lasse. In die zweite Zeile dieser Gleichung ist einzusetzen :

1 2 Y l * cos n p (5 + 5, + &) - = - ( I - 2P COS7J) Pa P 1 2 1-2

7’1)) ( I - ze cos7r) (n - I) cos ( n p + v ] ) (?Z + I ) cos (ny, - n - (n + I ) R

__ L ..--.___ cos (np + z’)) - Y a e l ( y - (n - I ) 1. ’ cos (ny, - 2’)

n - I - n ~ . + T+ 1 - + Ylen ( 7,1)> *

cos (np f v - + y4 ~ l ~ - - - cos (ny, - 7’ + V ] )

+eel (YS - I - 2

Es wird in Erinnerung gebracht, dass in der letzten Zeile fur den Fall n = I der Coefficient y., = o zu setzen ist. Aus den unter 6. gemachten Angaben ergeben sich die folgenden Werthe:

Betrachtet man nur die dern Falle n = o entsprechenden Glieder des zu entwickelnden Ausdrucks, so erhalt m a n :

+ I - (i + I ) ze C O S ~ J + (22‘- I ) el cosul - (i + I ) (zi - I ) eel cos ( i ~ -- 7’1)

eel cos (D - q) ) I - I.

Ordnet man nun auch die ubrigen Glieder der Entwicklung nach den Excentricitaten, driickt ferner die von zi+n ab- hangigen Coefficienten durch die Grossen y1 yz y3 y4 aus, so ist:

Der Coefficient des sacularen Gliedes, welches fur den Fall 1z = I in dieser Entwicklung entsteht, bedarf einer Be- richtigung. Fur den Fall n = I schreibe man

___ - 73 2 YS I - I. - y3.+ ~,

I - 3.

und streiche alsdann das zweite Glied rechts. Es ist also fur diesen Fall y3 an die Stelle von A zu setzen. 1-2

Wird das alles in die obige Storungsgleichung eingesetzt, so geht dieselbe iiber i n :

77 305 3 78 a' + cos i-9.' = Rm,y2 [-- D1(0) z I eel cos (v + v l ) + Dd(') 5/3 eel cos ( 2 9 - 'J - vl)J 0'

+ S, p1 cos (n p + v l ) + S4 el cos (n p - ul) - S5 eel cos (n p - $1 + v l ) - S6 eel cos (n p + v - vl)] I)' ,

worin zur Abkiirzung gesetzt ist :

und die Coefficienten S S, Sa . . . gegebene Bestandige sind, nkirnlich:

s =

s, =

s, =

s, =

s, =

s, =

s,; =

4 - €1 71 + _. 71 (n - 1) 12 - 2 - nR 12 ( I - 1) + n + I - nR I t - I - n R

gesetzt werden. Ferner ist fur diesen Fall d, = o zu setzen. 73. Fur den Fall n = I niuss y3 an die Stelle von __ 1 - 2

Urn die vorliegende Gleichung zu integriren, nehme ich nur die veranderlichen Factoren in Betracht. Es handelt sich urn die Integration des Ausdrucks :

y'[.Scosnyl - S,ecos (np - v ) - &ecos (np + u) +&el cos (np+ vl) +&el cos ( n p - vl) - s, Pel cos (np - v + V ] ) - S, Pel cos (nyl + Y - .])I v ' .

Das partielle Integral des ersten Gliedes ist:


Der zu integrirende Ausdruck geht nun iiber in:

S R ) e cos (np + v) x ' + y' [ - (Sl + -) e cos (n p - v ) - s, + ~

1 - 2 ( 1 - 2

) el cos (tz v, + Vl> + s4 + < (n (I + - I ) ;i> 2) el cos (nyl - vl) ( s(n + I ) 2 ) eel cos (ny, + v - Y])] Y' . )eel cos (np - 2, + v l ) - (.sc + ~

- ( S 5 + - n ( I - q n ( I - I)

SR

S ( n - I ) R

S(n - I) R

+ s 3 + ~

72 ( I - 1) (

79 305 3 80

Integrirt man die mit e und die mit el multiplicirten Glieder, so ergiebt sich das partielle Integral :

z, sin (n p + v l ) z4 sin (n y, - vl) n - ( H f I ) R

+ ) + r2e1 ( n - ( n - I ) R z1 sin (ny, - v ) z2 sin ( n p + v ) x1 = -y2e + _- n - I - n R n + 1 - - 7 t R

wo zur Abkurzung aesetzt ist: SR

z1 = SI + SR

z2. = s2 +


) cos (Hy l+ .7J - vl) ] Y'. + (n+lx + n- (n + I ) I

z2 (n + I) R z4 (n + I) 1

Der zu integrirende Ausdruck geht daher iiber in:

x ' + xl' - y2ee , [z, cos (nyl - v + v,) + r6 cos (nyl + 7) - vl)] v',

worin zur Abkurzung gesetzt ist : s (?Z - 1) R zj (n - I ) R z1 (n - I ) R n ( 1 - 1 ) + n - ( n - - ) ~ n - I - n n ~

S (n + r ) 1 z4 (n + 1) 2 + ?T(Z + I ) R n ( ~ - 2 ) n - ( 7 1 + 1 ) R n + r - n n R

x +x1 + X 2 ?

7, = s, + -+- z, = s, + + --

Durch die Integration erhalt man :

und es ist: z, sin (ny, - v + 711) z6 sin (ny, + v -

X 2 == - y*eel (----- - t- (# - I ) (1 - a) (a + I ) ( I - 2r Fur den Fall n = I ist das mit cos (nq - v + vl) multiplicirte Glied in dem Werthe von x:, ein saculares. Die sacularen Glieder sind bekanntlich anders zu integriren als die periodischen. Ich streiche das erwahnte Glied von x2 weg, setze also fur diesen Fall z = o und werde die Bestimmungen der slcularen Storungen des Perihels unten nachbringen.

Es handelt sich urn die In- tegration des Ausdrucks :

Es bleibt noch iibrig, die Storungsgleichung fur den Fall n = o zu integriren.

) PPl cos (7) - v,) ] v t . 4e1 COSvl

y2 [I - 261 cosvi - -- I - 22

Zum Behuf der Integration hat man zu schreiben: y2 ( I - 2P1 cosv,) v' = v' ,

Nimmt man zu dem Integral des Vorliegenden das partielle Integral des nachstfolgenden Gliedes hinzu, so erhalt man:

y2 4e, sinv, R 1 - 2 2

x1 = z, - --

Unter Berucksichtigung der Correction dieses partiellen Integrals geht der zu integrirende Ausdruck uber in :

6 I - R 2

und die Integration giebt I 4e, sinv, eel sin (v - ??I)

A 1 - 1 2

Integrirt man auch die erste Zeile der Storungsgleichung, so ist das Perihel gegeben durch die Gleichung :

81 305 3 8 2

sin ( 2 q - v - 4 sin (v + v l ) I + 3. ecl

+ 3 I - 3.7. a + c o s i a = mu + ~ m , y 2 (- D,(o) 2 1 eel

n = 1 1 - 0 Y1

Der Coefficient des rnit v multiplicirten Gliedes ist in Nr. 3 0 3 2 unter 3. vollstandiger bestimmt worden als hier. Es sind dort auch die mit den Quadraten der Excentrici- taten multiplicirten Glieder dieses Coefficienten berucksichtigt. Was in den1 Coefficienten von v dort weggelassen ist, kann als Glieder des funften Grades angesehen werden.

Unter denjenigen periodischen Storungen des Perihels, welche mit e2 oder mit e,a multiplicirt sind, giebt es auch solche, welche den Integrationsnenner 2 haben. Ich habe es vorgezogen, diese weiteren Storungen des Perihels erst unten zu bestimmen.

8.

Wir gehen nun iiber zu den Storungen der zweiten Ordnung. Es ist unter 3. die Anordnung getroffen, dass fur die Elemente k k a nur solche Storungen der zweiten Ordnung berucksichtigt werden sollen, welche in die erste Classe gehoren, welche also mit der storenden Masse nicht multiplicirt sind. Die in die zweite Classe gehorigen Storungen der zweiten Ordnung sollen fur diese Elemente vernachlassigt werden. In den W’erth der Veriinderlichen q1 aber miissen auch die in die zweite Classe gehorigen Storungen der zweiten Ordnung aufgenommen werden, fur den Fall dass dieselben sacular sind. Denn die Werthe von k und von t~ enthalten das Integral ./’qldt. Werden die erwanten sacularen Storungen von q1 quadrirt, so ergeben sich saculare Storungen, welche in die erste Classe gehoren.

Zur Bestimmung der Veranderlichen q, ist die Storungs- gleichung

gegeben. Um hier die Storungsglieder der zweiten Ordnung aufzustellen, hat man anstatt p und - a, die Storungen der ersten Ordnung dieser Veriinderlichen einzusetzen. Es ist sofort ersichtlich, dass es unter den periodischen Storungen der zweiten Ordnung von q1 nicht solche giebt, welche in die erste Classe gehoren. Es handelt sich also bei der Restimmung der Storungen zweiter Ordnung von q1 lediglich um die sacularen. Diejenigen Storungen der ersten Ordnung von p und von a - a,, welche in die erste Classe gehoren, fuhren nicht zu sacularen Storungen von ql . Es werden also nur diejenigen Storungen vo6 p und von - a, in die vorliegende Storungsgleichung eingesetzt, welche in die zweite Classe gehoren. Die letzteren sind unter 6. und 7. bestimmt worden. Es versteht sich, dass die so erhaltenen Storungsglieder der zweiten Ordnung mit den) Quadrat der storenden Masse multiplicirt sind, also in die dritte Classe gehoren. Die hieraus folgenden sacularen Storungen von q1 gehoren in die zweite Classe.

Es ist zur Abkurzung y, = A + B v + v - v1 gesetzt worden. Da nun die Storungen der ersten Ordnung von a - m1 eingesetzt werden sollen, muss man in der vorliegenden Storungsgleichung y + a - a, - A - B v anstatt t , ~ schreiben. Es ist ferner zu setzen:

sinn (v + a - a, - A - B v ) = sinny, cosn (a + 8 - A - Bv) + cosny, sinn (a + 8 - A - Bv) .

Laisst man diejenigen Storungsglieder fort, welche in eine hohere als die dritte Classe gehoren, so ist:

sinn (y , + GJ - a, - A - Bv) = s i n n q + cos ny, n (a + 19 - A - Bv). Wir haben unter 7. die folgende Gleichung aufgestellt :

- G ~ E , sin (ny, + q) - q b e r sin (try, - vl) + 4 e e , sin (nq - v + vl) + G6eel sin (ny , + v - vl)] in welcher die Coefficienten G cil . . . als Functionen von n und i gegebene Bestandige sind.

Ferner ist zu setzen:

Es ist bekanntlich P p”- I = 2 - P (K cos 7) + k sinv) = I + ( 2 ; + n) - ( k c o w + h sinv). Po Y Y

2i+n folglich (2)

Bd. 128 68

83 3 0 5 3 84

Unter 6. haben wir erhalten: zi+?1--2

R cos v + tz sinv = 22 m, .c (- 1)" D(*) *!-- y2 [i' c o s n p - Qle cos (n p - v ) - &e cos (np + v) "-0 z I- 0 a Plzi+n-z

+ 03 e, cos (n p + .,) + Q I P l cos (n 8p - vJ - 0 5 ee, cos (n p - v + v,) - Q6 eel cos (n p + v - v,)]

in welcher die Coefficienten Q Q1 . . . als Functionen von IZ und i gegebene Bestandige sind. Es ist zu beachten, dass die zu substituirenden Storungen der ersten Ordnung von p und von a- a, sammt-

lich den unentwickelten Factor y2 = P 2 -L haben. Damit die Storungsglieder der zweiten Ordnung die vorgeschriebene Yl

Form haben, muss man Zuni Behuf der Substitution des Werthes von tn - ZT, auf der rechten Seite der Storungs- gleichung :

(4)'

die vollstPndige Entwicklung aller veranderlichen Factoren nach den Cosinus der Vielfachen von v und vl ausfiihren. Man muss also die Storungsgleichung in der folgenden Form schreiben :

[nsinnp - (zi+n + z)en[sin (n y, - v ) +sin ( n p + v ) ] + ( z i + n + 3 ) el [(n - I) sin(fzp +q) + (11 + ~ ) s i n ( n p - 4 1 - 1/4 (zi+ n + 2) (zi + n + 3) eel [(n - I ) sin (H p - v + vl) c (~z + I ) sin (BY, + "J - v,) ] ] v '.

Zum Behuf der Substitution des Werthes von P ~ ist es zweckmassiger, den veranderlichen Factor der rechten P o Y Seite so zu schreiben, dass alle Storungsglieder den unentwickelten Factor - haben, also in der Form :

P r- [n s i n n p - l/z (zi + n + 1) e n [sin (n V, - v ) + sin (n + v ) ]

+ -

( z i + n + 3) el [(n - I) sin ( t z p + vl> + (n + I ) sin (ny, - q)] (2; + n + I) (zi + n + 3) eel [(n - I ) sin (ny, - v + vl) + (n + I ) sin ( n p + v - vJ]] v ' .

P

Es sollen diejenigen Storungsglieder der zweiten Ord- nung aufgestellt werden, welche sacular sind. Jedes Glied der Storungsgleichung (4)' giebt in Verbindung mit einein bestimmten Gliede der zu substituirenden Storung ein saculares Glied, in welchem das Argument des Sinus gleich p - v + v1 = A + B v ist. Verbindet m?n die einem beliebigen n entsprechenden Glieder I z 4 6 der Storungs- gleichung beziehungsweise mit den den1 Falle n - I entsprechenden Gliedern 7 5 3 I der zu substituirenden Storung, so erhalt man vier saculare Storungsglieder. Fur ein beliebiges n sind in den zu substituirenden Storungen die Coefficienten mit Q Q1 . . , G 6, . . . bezeichnet. In den

dem Falle n - I entsprechenden Storungen mogen die Coefficienten rnit r r, . . . B G1 . . . bezeichnet sein. Ebenso erhalt man vier weitere saculare Storungsglieder, wenn man die einem beliebigen n entsprechenden Glieder I 3 5. 7 der Storungsgleichung rnit den dem Falle n + I entsprechenden Gliedern 6 4 z I der zu substituirenden Storung in Verbindung bringt. In den zu substituirenden Storungen mogen die dem Falle n + I entsprechenden Coefficienten mit Yi Sl . . . S 6, . . . bezeichnet sein.

Fur eine beliebige Zahl n erhalt man alle sacularen Storungsglieder leicht, nachdem man die Storungsgleichung (4)' in der folgenden Form geschrieben hat:

[r cos ( n p - y) - rze cos (ny, - p + 2)) + r4fl cos (ny, - p - vl) - r6eel cos (np - y, + v - vl)] z i f n - 2

+ R"1.n" ,r (- I)" Dj@) (zi+ n) 2 = o P12i+li-2

[n s i n z v - (zi + n + 1) en sin (np + u) + 1/2 ( z i + n + 3) el (YZ + I> sin (np - vl> - (22 + n + I ) (zi + n + 3) eel (n + I) sin (ny, + v - v,)]

305 3 86

2i+n-2 + m, 2 (- I)" Dp) .n z = o Plni+n-z

[- 6 sin (nq.+ p ) + G1el sin (ntp + p - 71) - 6 3 ~ 1 sin (nu, + p + v l ) + Q5tel sin ( n p + y, - v + s)] Hiernach ist fur eine beliebige Zahl ?z die rechte Seite der Storungsgleichung in die Summe von vier Producten uber- gefuhrt, und jedes dieser Producte giebt vier saculare Glieder, welche sammtlich die Form Cee, sin ( A + Bv) haben.

Der gemeinsame Factor y2 = pl: ist fortgelassen, weil derselbe bei der Integration der sacularen Glieder nicht in Betracht kommt. 1'1 2

Auf Grund der Transforniationen

2 cos sp sin (9 -t p - PI + 711) = sin (v - v + q) = sin (A + Bv) 2 cos 9 sin (p - w + v -- v,) = - sin (y , - v + vl) = - sin (A + Bv)

erhalt man fur ein beliebiges n den Coefficienten des sacularen Gliedes in der Surnme von 16 Producten, in welchen jeder der beiden Factoren durch eine unendliche Reihe 2 ausgedruckt ist. Eine Vereinfachung ergiebt sich i = O

daraus, dass in je zwei Producten von den beiden Factoren der eine ein gemeinsamer ist, dass also der Coefficient des sacularen Gliedes in der Sumrne von 8 zweifactorigen

Producten dargestellt werden kann. Lasst man auf der rechten Seite der Gleichung den gemeinsamen Factor eel sin (A + B v ) n1 vorlaufig fort, setzt man zur Abkurzung

PI f! - - 6 , wird ferner darauf geachtet, dass

(- 1)"--1 = - I , (-I)"(-I)"+' = - 1

ist, so geht die Gleichung uber in:

87 305 3 88

Von den beiden Zeichen 2' einer jeden Zeile erstreckt

sich das erstere bis zum Zeichen der Multiplication. Nachdetii man auf der rechten Seite der Gleichung

den fortgelassenen Factor pel sin (A + Bv) v' wieder beigefugt hat, erhalt man durch die Integration die sacularen Storungen ron ql entsprechend einer beliebigen Zahl n . Die vorliegende Formel gilt fur alle Werthe 1c > 0. Fur den Fall n = I ist

t: = rl = g = 6 = s1 = a 2 = o

gegeben. Die Bedeutung der ubrigen Coefficienten ist fur diesen Fall eine unbestimmte. Setzt man aber

r3 = r5 = S3 = g5 = 0 ,

so ist die Bedeutung von r4 rs 84 s6 eine gegebene, und man erhalt hiermit fur den Fall n = I die richtigen sacularen Glieder.

Fur den Fall n = o ist das Bildungsgesetz der sacularen Glieder ein anderes. Von den acht Zeilen der obigen Formel verschwinden 6 fiir den Fall n = 0, denn es bleiben nur die dritte und die vierte Zeile ubrig. In diesen beiden Zeilen ist fur diesen Fall selbstverstandlich r = r2 = o zu setzen. Multiplicirt man im Uebrigen diese beiden Zeilen mit 2, so geben dieselben fur den Fall 12 = o die richtigen sacularen Glieder. Mit Riicksicht auf diese Bemerkung erhalt man die sammtlichen sacularen Storungen von q,, indem man in der obigen Formel rechts

2 -=o

Y" p, P 3 7~zP0'Q = - (f + q, - zb

vom Gleichheitszeichen 2 schreibt. Es wurde wohl keine n -0

Schwierigkeit haben, wollte man die sacularen Storungen von q1 so anschreiben, dass sie nach steigenden Potenzeo des Quotienten b = PO - geordnet sind.

PI

9.

Ich habe unter 6. diejenigen periodischen Storungen von k und von k bestimmt, welche aus den Storungs- gliedern der ersten Ordnung hervorgehen, und mir vor- behalten, die aus diesen Storungsgliedern sich ergebenden sacularen Storungen nachzubringen. Rekanntlich sind die sacularen Storungen van k und von k rnit homogenen Functionen der Excentricitaten multiplicirt, deren Grad eine ungerade Zahl ist. Es sollen hier alle diejenigen sacularen Storungen von k und von h bestimmt werden, in welchen der Coefficient eine lineare oder eine kubische Form der Excentricitaten ist. In dieser Absicht muss ich die Ent- wicklung der den Fallen n = I und n = 2 entsprechenden Glieder der Storungsfunction vollstandiger ausfuhren, als es unter 6. geschehen ist. Gegeben sind die beiden Storungsgleichungen (6) - k' = sin7)Qv' ( 7 ) h' = COSVQV',

in welche einzusetzen ist :

Diejenigen Storungsglieder der ersten Ordnung, welche sacular sind, ergeben sich durch die Entwicklung der Grosse

2 Die Storungen von q1 - pol haben den unentwickelten Factor y2 = '12 - . Multiplicirt man dieselben mit \, so hat

man eine Reihe Cosinus-Glieder, in deren Argumenten der ganzzahlige Coefficient von v nicht verschwindet, vgl. Nr. 3032 uuter 2. Aus dieser Eigenschaft der Grosse qI -- qOl folgt, dass die Storungen der ersten Ordnung von q1 - qOl zu siicularen Storungen von k und von R nicht fuhren. Zur Bestimmung der sacularen Storungen erster Ordnung von k und ron k bedarf es also nur der Entwicklung der Grosse:

Yl ' Pl

Fur den Fall n = I ist unter 6. gegeben:

89 305 3 90

Es ergeben sich auf der rechten Seite der .Storungsgleichungen die Factoren : - z sin v cos p = sin (p - v ) - sin (p + 7))

2 cosv C O S T = cos (y, - v ) + cos (y + v ) . Da aber p = A + B v + 'I - vl ist, so fiihrt das erste Glied jedes der beiden vorliegenden Binome in Verbindung mit dem Factor cosv,, das zweite Glied in Verbindung mit dem Factor cos (zv - vl) zu einem sacularen Storungs- gliede, in welchem das Argument des Sinus oder des Cosinus gleich p - v + zr, = A + Bv ist. Wir schreiben dh- her die folgenden Entwicklungen :

= I - ( 2 i + 4 ) e ~ o s v + ~ / ~ ( z i + 4 ) ( z i + 5 ) e ' c o s ~ v

= I + (i + 2) (i + 5/2) e2 - (zi + 4) e cos v + (i + z) (i + 5/2) e2 cos zv. (2)'"'" (yi - - I + z i p , C O S ~ ) , + z i (zi - I ) elY cos2v1 + zi (zi - I ) (2i - 2) el3 COS37l1

= I + i (i - ei2 + [ii + i (i - (i - I) el 2] el cosvl , und setzen in den zu entwickelnden Ausdruck das Product:

2i+4 2i = [ I + (i + 2) (i + 5/2) [zi + i (i - I / ~ ) (i - I) el2] el c o s q + i (i + 2) (i + 5 / ~ > e2e1 ( 2 ~ - vJ

- In den sacularen Storungsgliedern ist derselbe durch Pl ' (;I (:)

Die Storungsglieder haben den unentwickelten Factor Y ' 1

den Factor (I - e,?>3/2 zu ersetzen. Man findet die identische Gleichung :

und man hat also in den zu entwickelnden Ausdruck einzusetzen:

Werden nun neben den sacularen alle iibrigen Storungsglieder der ersten Ordnung fortgelassen, so erhalt man fiir den Fall n = I die folgenden Storungsgleichungen :

zi- 1

~ 2 9 ~ ~ Z D i ( l ) i (i + 3/2) [ I + (i + I) (i - j/2) t12 + 3/2 (i + 2) (i + 5/2) e2] el cos ( A + Bv) v' 1 = 0 lV--I

Wir schreiben einfacher : R' = - Ce, sin (A + Bv) v'

k' = - (C + C, 9) el cos (A + Bv) v' , indem wir zum Behuf der Abkiirzung setzen:

Fur den Fall n = z ist unter 6. gegeben:

Auf der rechten Seite der Storungsgleichungen entstehen die Factoren - 2 sin v cos zp = sin (zp - v ) - sin (zp + v)

2 cos v cos 2p = cos (2q - v ) + cos (2p + v) .

91 305 3 92

Das erste Glied jedes der beiden vorliegenden Binonie in Verbindung mit dem Factor cos (v - 275) fuhrt zu eineni sacularen Storungsgliede, in welchetn das Argument des Sinus oder des Cosinus gleich z (q - v + q) = z ( A + B v ) ist. Wir schreiben daher die Potenzen:

= 1 - (zi + 5 ) e cosv’

= 1 + ( 2 i + 1) e, c o s q + 1 j 2 (zi + 1 ) zie,acos‘v,

= I + (z’ +

z i t I

(<:) und das Product dieser Potenzen :

;el‘ + ( 2 2 + I ) el cosvl + (i + I/,) ie12 cos 2vl ,

z i t 5 - - i (i + (i + 5 / a ) eel2 cos (v - z q ) .

Werden nur die sacularen Glieder geschrieben, so hat man fiir den Fall n = 2 die folgenden Storungsgleichungen:

Wir schreiben dies kiirzer :

k’ = -- C, eel2 sin z ( A + B v ) 6’

h’ = - C2 eelacos z ( A + B ~ J ) v ’ ,

indem wir setzen:

Wir haben nun diejenigen sacularen Storungen von K und von R bestimmt, welche aus den Storungsgliedern der ersten Ordnung hervorgehen, und gehen iiber zu den Storungsgliedern der zweiten Ordnung. Aus denselben ergeben sich weitere saculare Storungen. Wir bestimmen zunachst diejenigen sacularen Storungen der zweiten Ordnung, welche durch die Substitution der sacularen Storungen von q1 - qol in die Storungsgleichungen (6) und (7) entstehen. Werden alle iibrigen Storungsglieder ausser Acht gelassen, so hat man die beiden Storungsgleichungen :

Es ist offenbar, dass die erste Gleichung saculare Storungen nicht liefert. Ferner ist in Nr. 3032 unter 2. gezeigt worden, dass man die verlangten sacularen Storungen von R erhalt, indem man die zweite Gleichung in der einfacheren Form schreibt :

B (K - k,) = Ce, cos ( A + Bv) + 1

mpo2/c’ = 3/2 e (ql - qu l ) v’. Unter 8. sind die sacularen Storungen von ql - qol bestimmt worden. Es ist :

q1 - qul = - mpo2 C,, eel cos ( A + B v ) , worin C, eine gegebene Bestandige bezeichnet. Man erhalt also die verlangten sacularen Storungen der zweiten Ordnung von R aus der Gleichung :

h’ = - 3/2 C U C 2 P l cos ( A + Bv) v ‘ .

Setzt man diejenigen Storungen der ersten Ordnung von p und von 5il - 5ill , welche in die erste Classe gehoren, in die Stijrungsgleichungen (6) und (7) ein, so ergiebt sich eine grosse Anzahl sacularer Glieder, welche in die zweite Classe gehoren. Dass diese sacularen Storungs- glieder der zweiten Ordnung sammtlich mit einer cubischen Form der Excentricitaten multiplicirt sind, ist in Nr. 2905) unter 17. nachgewiesen. Man muss sich ferner vergegenwartigen, dass die zu substituirenden Storungen den Factor sin Bv haben. Die durch die erwahnten Substitutionen entstehenden sacularen Storungsglieder der zweiten Ordnung sind daher mit sin B v . m u v ’ rnultiplicirt. Werden dieselben integrirt, so entstehen saculare Storungen der zweiten Ordnung, welche neben der cubischen Form der Excentrici- taten noch den Factor sin2 ‘/a B v haben. Diese sacularen Storungen sind sammtlich solche des fiinften Grades, und deshalb zu vernachlassigen.

Werden nun die in dem Vorausgehenden aufgestellten sacularen Storungsglieder zusammengefasst, so ergeben sich durch die Integration die folgenden Werthe :

Czee,2cosz ( A + B v )

.

- - B ( h - h u ) = (C+ C l e 2 + 3 / 2 C O e 2 ) ~ I s i n ( A + B 7 ~ ) + 1/2C2ee12s inz( f l+B7~) .

Die Integrationsbestandigen KO und h, sollen bekanntlich so bestimmt werden, dass die Werthe von K und von /1 rer. schwinden, wenn die storende Masse m,, welche ein Factor des Arguments Bv ist, gleich Null gesetzt wird.

Zur Bestimrnung des Parameters besteht die Gleichung :

P ” . - I = 2-(kcosv+/zs inzI ) . P Po Y

93 305 3 94

Durch die Substitution der vorliegenden Werthe von k und von h erhalt man: B (k cosv + h sinv) = Ce, [cos (A + B v + v) - cos ( A + v)]

- (C, + 312 C,) P e l [sin (A + B v ) - sin A] sin v

+ C, ee12 [cos (2A + z Bv + v) - cos (PA + v) ] .

Auf der rechten Seite dieser Gleichung hat man in der ersten Zeile Storungen des zweiten Grades, in dem Uebrigen Storungen des vierten Grades.

Von den Storungsgliedern der zweiten Ordnung sind ausser den slcularen noch diejenigen periodischen zu .integriren, welche in die erste Classe gehoren. Dieselben ergeben sich aus den mit P multiplicirten Gliedern der Storungsgleichungen (6) und (7), wenn die sacularen Storungen von k und von k eingesetzt werden. Lasst man

alle tibrigen Glieder der Storungsgleichungen fort, so schreiben sich diese Gleichungen. in der Form :

Y3 - wpu2k' = sinv ~ Pv ' ,

P 3 YS

PS mp,"/t' = cosv- P v ' .

Nun ist bekanntlich

Die Storungsgleichungen gehen daher uber in :

- K' = 312 jk cosv + h sinv)2 sin v v ' , ti' I 312 (k cosn + k sin v)Y cos v v ' .

Man hat hier einzusetzen : B (k cos v + k sinv) = - 2 Ce, sin B e ( k c o s v + k sin v ) ~ = 2 C2e12 sin*

B v sin (A + Bv [I - cos (zA + R v + zv)].

B v + v) ,

Die Storungsgleichungen sind nun : - B"' = 3 C2e12 sin"/, B v [sin v +

B2k' = 3 C?el, sinal/.L B v [cosv -

sin (zA + Bv + v) - sin ( zA + Bv + 3v)l v' cos (2A + B v + v) - '12 cos (PA + BV + SV)] v'

Bei deren Integration darf man den Bogen B v als eine Bestandige betrachten, und es ergiebt sich:

B'R = 3 C2e12 sin2

B','c = 3 C'elY sin2 B v [cos v + B v [sin v - ',I2 sin (2A + B v + v) - lI6 sin (2A + Bv +- 3v)] .

cos (2A + BV + V ) - '16 cos (zA + R V + 3 ~ ) ]

Diese Werthe von k und von h sind Storungen des vierten Grades.

Setzt man in die hier integrirten Storungsgleichungen nicht bloss die sacularen Storungen von k und von h, sondern neben denselben auch die in die zweite Classe gehorigen periodischen Storungen dieser Veranderlichen, so ergeben sich durch die Integration weitere saculare Storun-.

gen der zweiten Ordnung von k und von h , welche aber den funften oder einen noch hoheren Grad haben.

10.

Zur Bestimmung des Perihels ist unter 7. die folgende Storungsgleichung gegeben :

V ~ Z P , ~ (G' + cos i8 ' ) + mp,2 [2 ( K cos 71 + k sina) + e (k cos 2v + h sin zv)] v ' PO

= f 7 + 'Iz ( q o - 2 4 - '12 (ql - qol ) + JL + P- N .

Ich habe diejenigen Storungen der ersten Ordnung von k und von h, welche in die zweite Classe gehoren, in dieselbe eingesetzt und durch die Integration diejenigen periodischen Storungen des Perihels erhalten, welche in die zweite Classe gehoren. Es sollen nun auch die sacularen Storungen des

Perihels hergeleitet werden, welche aus den vorliegenden Storungsgliedern hervorgehen. Ich setze in dieser Absicht in die unter 7. entwickelte Storungsgleichung n = I. Werden alle nicht sacularen Storungsglieder fortgelassen, so geht die Storungsgleichung uber in :

95 3 0 5 3 96

Die verlangten sacularen Storungen des Perihels sind also :

eel [sin ( A + B7,) - sin A] , c, I n + c o s i 8 = - - B . wo zur Abkurzung gesetzt ist :

Die Integrationsbestandige ist so eingerichtet, dass das In- tegral verschwindet, wenn Bv = o gesetzt wird. Die saculare Storung ist eine des dritten Grades.

Man wiirde aus der obigen Storungsgleichung leicht auch diejenigen periodischen Storungen des Perihels herleiten, welche in die erste Classe gehoren, mogen dieselben nun solche der ersten oder der zweiten Ordnung sein. Man hatte in dieser Absicht anstatt K und k diejenigen Storun-

gen dieser Veranderlichen in die Storungsgleichung einzusetzen, welche in die erste Classe gehoren. Die Be- stimmung derjenigen sacularen Storungen aber, welche durch die Integration der Storungsglieder zweiter Ordnung entstehen, wurde Schwierigkeit haben. Wollte man die In- tegration der Storungsglieder zweiter Ordnung in der obigen Storungsgleichung vollstandig ausfiihren, so miissten fur die Veranderliche

z (K cos v + k sin v) + e (K cos 27, + k sin 22))

alle diejenigen sacularen Storungen der zweiten Ordnung bekannt sein, welche in die zweite Classe gehoren, welche also mit der storenden Masse tnultiplicirt sind. Die Be- stimmung dieser sicularen Storungen ist eine ziemlich verwickelte Aufgabe, welche wegfillt, wenn man jene partielle Integration ausfuhrt, der zufolge die Storungsgleichung ubergeht in :

-mmpU2(m'+cosi~(f. ') = f !o ;+ 3 g + 2 r ~ ~ + P + A r ,

wo zur Abkiirzung gesetzt ist :

( K sinv - /G cosv) - hr = o),

vgl. Pbl. XI1 der A. G . S. 2 8 . Man findet die identische Gleichung e ( K sinv - /.G cos v) - /ze = z ( R sinv - /z cos v) + - ( K sin 2 v - /t cos 2v) - ejl . 2 2

Die neue Storungsgleichung kann daher in der folgenden Form geschrieben werden :

e 3 - mp02 (m' + cos it+') - mpu2 [z ( R sinv - h cosv) + ~ ( R sin av - h cos zv) - ~ ek]' 2 2

Ich bediene mich dieser transformirten Storungsgleichung zur Bestimmung derjenigen periodischen Storungen der ersten und der zweiten Ordnung, welche in die erste Classe gehoren. Zu diesem Behufe setze ich auf der linken Seite der Storungsgleichung alle diejenigen Storungen von K und von h ein, welche in die erste Classe gehoren. Dieselben sind unter 9. bestimmt woiden, und es ist :

B ( K sinv - h cosv) = Ce, [sin (A + B v + v) - sin ( A + v)]

+ (Cl + a/2 Co) e2el [sin (A + Bv) - sin A) cos v + + 2 C * e l a sin2 '/a Bv sin ( 2 A + B v + 27)) : B ,

Ca ee19 [sin (zA + zBv + v) -- sin ( zA + v)]

ferner ist :

Die Integration der Storungsgleichung giebt daher den partiellen Werth :

I1

Be ( K sin 2 v - k cos zv) = Cee, [sin (A + Bv + z v ) sin ( A + 2 v ) ] .

- (a + cos ia) = el sin '/a ~v [4 cos ( A + '/a ~v + v) + e cos (A + B v + z v ) ] B C2 B v ) cosv.+ - 2 e e 1 2 sin B v cos ( 2 A + B v + v) 4eael sin Bv cos ( A + B C2 B2 + -~ 4eI2 sina'12Rv sin (aA + B v + 2 u ) .

Die erste Zeile enthalt Storungen des zweiten und des dritten Grades, die tibrigen Storungen haben den vierten Grad. Urn nun die iibrigen sacularen Storungen des Perihels zu bestimmen, hat man in dem Ausdruck

97 305 3 98

diejenigen sacularen Storungsglieder aufzustellen, welche durch die Substitution der in die erste Classe gehorigen Storun- gen von p entstehen. Aus dern Werthe von S2 ergiebt sich die Gleichung :

welche hier nur fur den Fall n = o in Betracht komrnt. Es ist dann

Ferner ist einzusetzen der unter 7. erhaltene Werth von

Anstatt ql - qol endlich sind die sacularen Storungen dieser Veranderlichen einzusetzen. unter 9. in der folgenden Form geschrieben:

Wir haben diese Storungen

(ql - qol) : mpu2 = - C, eel cos ( A + B v ) , Der zu entwickelnde Ausdruck geht iiber in : wo C, eine gegebene Bestandige ist.

. .

Nun ist bekanntlich

der zu entwickelnde Ausdruck ist daher:

Y - 2 Ce, sin l,J2 B v sin ( A + B v + 7)) %'l=

Lasst lnan diejenigen Glieder fort, welche nicht sacular sind, so hat man die Storungsgleichung

- (m'+ cosi8') = 3/2 Coeel cos ( A + B v ) v'

Durch die Integration entsteht :

- (m + cos i8 ) = 3 5 eel [sin (A + ~ v ) - sin A] 2 B 111

Wenn man in der Storungsgleichung

- mpo2 (G' + cos ;Sf) = - 3f2 (gl - qol j + 3 s + ZY

auch diejenigen Glieder in Betracht zieht, welche dem Falle n = I entsprechen, so hat man Storungsglieder der ersten Ordnung, welche den Factor el cos ( t ~ - a, +.v) haben. Werden alsdann die in die erste Classe gehorigen Storungen der ersten Ordnung von p und von

C B C R

- a, eingesetzt, wird also

K c o s v + h s i n v = - 2 - e e , s i n 1 / , B v s i n ( A + 1 j 2 B v + v )

K sin 'il - k cos v = B v + v) 2 - e, sin Bv cos ( A + Ed. 148 Sb

99 305 3 I00

gesetzt, so denselben Grades zu

ergeben sich saculare Storungsglieder der zweiten Ordnung, welche mit e, sin2 B v multiplicirt sind. Die entsprechenden Storungen des Perihels haben den Factor el2 sin3 ' I2 B7), und sind als solche des funften vernachlassigen.

Es bleibt noch ubrig, diejenigen Storungen zu bestimmen, welche durch die Integration der Gleichung : - mp,,2 (n' + cosi8') = Y+ N

entstehen. Setzt man die Werthe von P und von N hier ein, so geht die Gleichung uber in :

- (a' + cos is') = (3,2 q r Y - 2 v 2 + I12 r4 - P" + 'la 6 2 ) 7 1 ' .

P4 Pu2 worin zu setzen ist :

&'= e2k2 + e k

vgl. Nr. 2908 unter 2. Nun ist: - p!?? = - P (k sin 7~ - A cos p i ) v ' + e sin 71 ( R cos v + /z sin v ) 7) '

P" Y

- - - r2PY - - k s i n v - Accosr~ + e ( k s i n 2 ~ - h c o s 2 v ) . P 2 Po2

Ferner findet man:

= - [(2 7 P - I ) ~ + :- - I] (k COSY + /G sinv)a,

W 0 (2 $ - I) ( k c o s v + A sinv) = k c o s v + h s i n v + e (Rcos 2v + A s inm) + e R .

Setzt man auch dies oben ein, so erhalt man die Gleichung:

- 2 (a'+ cosiB') : v' = - [ R cos v + h sinv + e ( R cos 2u + /z sin 2v) + ek]2 - e cosv (R cosv + /,! sinv)'

+ [K sin v - A cosv + e (k sin 2v - k cos Z V ) ] ~ - e2k' + eK

In der zweiten Zeile hat die mit der ersten Potenz von eR multiplicirte Grosse die storende Masse m, zum Factor. Es kommen daher in dem Factor e k nur die sacularen, in dem andern Factor nur die bestandigen Glieder in Betracht. Wir schreiben dieses Glied in der Form :

eR (zf + qo - 2b + 2 2 ) : mpo2, wo also nur das bestandige Glied von SL zu beriicksichtigen ist. Die ubrigen Glieder der obigen Gleichung sind, nachdem man die sacularen Storungen von k und von /z eingesetzt hat, sammtlich periodisch. Da man die Sttirungen des fiinften Grades ausser Acht lassen soll, so schreibt man die einfachere Gleichung:

- 2 (a + cos is') : v' = - (K cosv + A sinv)'+ (R sinTr - h C O S V ) ~ + e k (zf + qu - 2h + 2 a ) : ~ n p ~ , k , " .

Man hat hier einzusetzen : C B C B

Rcos v + A sin v = - 2 - el sin ' / a Bv sin (A +

k sin v - h cos v =

B v + 71)

2 -~ el sin 'Iz Bv cos (A + ,I2 Bv + 71).

Mit Kiicksicht auf die unter 4. und unter 7. erhaltenen Werthe ist :

Unter 9, ist der folgende Werth gegeben: C B

e k = - 2 - eel sin B 71 sin (A + B v )

I 0 1

Die obige Gleichung geht daher

- (m'+ cos i8 ' )

Form der Excentricitaten multiplicirt sind, fur den Fall bestimnit werden sollen, dass dieselben den Integrations- nenner ,I haben. Wollte man in dieser Absicht von der

305 3

uber in : C2 B2

- - z - e12 sin* B v cos ( z A + B v + 2.) 71'

sacularen Storungen der zweiten Ordnung aus der transformirten Storungsgleichung herzuleiten. Ein ahnlicher An- lass verweist auf die transformirte Storungsgleichung, wenn

I02

behrlich. Es kommt darauf an, die den verlangten Storun- gen entsprechenden Glieder in der Entwicklung des folgenden Ausdrucks aufzustellen :

Durch die Integration entsteht :

IV C' B2

- (a + cos is) = ela sin2 Rv sin (zA + R71 + zv)

die erste Zeile enthalt periodische, die zweite Zeile saculare Storungen des Perihels. Setzt man in die Storungsgleichung

- mpoa (m' + cos ia') = P + N nicht bloss die sacularen Storungen von K und von k, sondern neben denselben auch die in die zweite Classe gehorigen periodischen Storungen dieser Veranderlichen ein, so ergeben sich durch die Integration weitere saculare Storungen des Perihels.

Werden nun alle diejenigen Storungen des Perihels zusammengefasst, welche in die erste Classe gehoren, so erhalt man aus I I1 I11 IV den Werth von

C - (a + cos i8) = - el sin B

Doch haben diese Storungen den fiinften oder einen noch hoheren Grad.

B v [4 cos (A + B v + v) + e cos (A + '12 B v + zv)]

4ele2 sin ca ~v cos ( A + ~ v ) cosv + - zelye sin ~v cos ( Z A + ~v + v) B cd B + 72 5e12 sin2 Bv sin ( z A + B v + z v )

CG B v ) + ~ el e sin2 '1, Bv sin (A + l f 2 Bv) 2e1 e sin B v cos ( A + B2

wo noch zur Abkurzung gesetzt ist :

Die Zeilen I 2 3 der vorliegenden Gleichung enthalten die periodischen Storungen der ersten Classe, die Zeile 4 enthalt die slcularen Storungen des Perihels. Die periodischen Storungen der ersten Classe haben den zten den 3ten oder den 4ten Grad, die sacularen Storungen den 3ten oder den 4ten Grad.

Man ist veranlasst. in ' dem Werthe des Perihels die

+ Y 2 (qo - z b - q1 + q'01) + 3 8 + 2 1

insofern dieselben den Fall z i + n = z betreffen. Schreibt man nur die Storungsglieder der ersten Ordnung, so ist

Fur den Fall z i + n = z hat man die einfachere Gleichung

' 0 3 305 3

in welcher zu entwickeln ist :

Indem man die nicht in Betracht kommenden Glieder fortlasst, in den mit el und den mit el2 multiplicirten Gliedern n = 0 , in den mit e2 multiplicirten n = 2 setzt, ergiebt sich :

3 Q + 2 r - : mpO2 = R x w a " . 7 [D,("' 361 C O S V ~ + Dl(0) f / 2 t , z cos 2 v 1 -+ D,,") 5 i 2 P'L cos ( 2 q - z:!)]. ( d r d7 4' y 2

Um diesen Storungsgliedern die vorgeschriebene Form zu geben, schreibe ich die rechte Seite der Gleichung :

?."m,. 7 y2 [D,(o) 3e1 cosvl - D,(o) 3/2 e l p cos 2vl + Du(2' j i 2 e2 cos (2y ' - 2v)].

Y2

P

In den obigen Ausdruck ist ferner einzusetzen:

l/z (ql - qol) : mp,2 = ilzwam,y2 [Dl(n) 3 ~ 1 cosvl - Dl(n) 3 j 2 e12 c0s2v1 + D,,(?) S i 2 e' cos (PV - 2 2 1 ) ) .

Sollen von den mit el$ oder mit e2 multiplicirten periodischen Storungen des Perihels diejenigen bestinimt werden, welche den Integrationsnenner R haben, so hat man die folgende Gleichung zu integriren :

a' + cos iB ' = - R 2 m U 4y2 [Dl(I1) 3e, cosz~, - ,!I1(") 3/, e,Y cos 2vl + D,,(*) 5 i 2 e? cos ( 2 ~ ) - z v ) ] 71'.

G + cos it9 = -~m,y2 [u,("' I jel'sin z v , + ~ ~ ( 2 ) gc2 sin ( 2 ~ ) - 2v)j.

Durch die Integration ergeben sich die verlangten Glieder :

Dieselben sind den unter 7. aufgestellten periodischen Storungen des Perihels anzufugen.

11.

Werden die Grenzen des Zeitraums uberschritten, fur welchen die Integrale der Storungsgleichungen die verlangte Genauigkeit geben, so ist an der algebraischen Aus- drucksweise der Storungen Nichts zu andern; es andert sich nur die numerische Bedeutung der Integrationsbestan- digen. Vor Allem ist in dem Argument A + B v der sacularen Storungen die Integrationsbestindige A zu variiren. In der fur den begrenzten Zeitraum gultigen Losung ist die Forderung gestellt, dass der Bogen B v eine bestimmte Grenze nicht uberschreite. Durch die Variation von A wird aber der Zeitpunkt verschoben, fur welchen der Bogen B v verschwindet. Die Variation von A ist also durch den

numerischen Werth des Bogens Bv gegeben, welcher bei dem Ablauf des begrenzten Zeitraums erreicht ist. Re- zeichnet man diesen Werth mit Bv,, so ist also

A + BV,, = A, zu setzen, und es ist die Variation A, - A = fii,(, ein Glied des ersten Grades.

Die Variation von A fuhrt zu einer Variation der Integrationsbestandigen in den Werthen der gestorten Ele- mente K und h , weil sich die letzteren in der fur den begrenzten Zeitrauni gegebenen Losung als Functionen von A darstellen. Bedient man sich der Werthe

kc, = - Ce, cos A und h,, = Ce, sin A ,

setzt alsdann A, an die Stelle von A, so hat die Variation von ko den Werth :

A , - A . A , + A = - Cel (cos A, - cos A) = 2 Cr, sin ~-~~ - sin 2 2

die Variation von h,, den Werth: A1-A . A l+A Sh,, = Ce, (sinA, - sin A) = 2 Ce, sin ~~~~ cos ----.

2 2

Offenbar sind diese Variationen als Glieder des zweiten Grades zu betrachten.

Werden die Werthe der Integrationsbestandigen ho und h, variirt, so andern sich die Werthe der gestorten Elemente k und k, und in Folge dessen auch der Werth des Parameters p . Ferner bewirkt die Variation des Para- meters eine Variation des Leitstrahls Y . Da aber der Leitstrahl fur einen gegebenen Zeitpunkt einen bestimmten Werth hat, so muss die durch den Parameter bewirkte Variation des Leitstrahls durch die Variation anderer In-

tegrationsbestandigen wieder aufgehoben werden. Ich habe in Nr. 2648 unter 1. nachgewiesen, dass der Werth des Leitstrahls ungeandert bleibt, wenn neben der Variation der Integrationsbestandigen k, eine entsprechende Variation der Excentricitat, und neben der Variation der Inte- grationsbestandigen hm, eine entsprechende Variation der Epoche in die Integrale der Storungsgleichungen eingesetzt werden.

Man setze p = a ( I - P?) und pc, = a,, ( I - e"l in die Gleichung

1 0 5 305 3 I 06

p' P -. - I = 2 ~~ (k cos z, + /c sinzt) Po Y

ein, und man hat zur Bestimmung der grossen Achse der gestorten Ellipse die Gleichung :

a2 P 2 - I = 2 ~ ( K c o s v + h s i n o ) ,

all 7-

in welcher a, diejenige Grosse ist, in welche der Werth der grossen Halbachse ubergeht, wenn die storende Masse 71tl gleich Null gesetzt wird. Werden die Grossen K und /. variirt, so bestimmt sich die entsprechende Variation der grossen Achse durch die Gleichung :

d - a2 = 2 - (cosvdK+sinvd/c) . P a , Y

Geht man aber von der folgenden Gleichung aus

Y ? = a2 ( I - e C O S E ) ~ , wo zur Bestimmung der excentrischen Anornalie die Gleichung

E - esine = I ( I - eZ)'/'t+g

vorliegt, stellt man alsdann die Frage, wie sich die grosse Achse der Ellipse andern musse, damit bei gegebenen Variationen der Excentricitat und der Epoche der Leitstrahl r ein und denselben Werth behalte; so hat man, wie an dem angegebenen Ort gezeigt wird, die Gleichung

aoa

da2 I - e* P 1' ( c o s v d e - VT-7 es inv 4 9

-

vorausgesetzt, dass nur die Variationen der ersten Ordnung in Retracht kommen. Die vorliegende Variation der grossen Achse ist identisch mit der obigen 'Variation, wenn die beiden Gleichungen

aufgestellt werden. Es ist aus diesen Gleichungen zu ersehen, in welcher Art die Excentricitit und die Epoche zu variiren sind, wenn der begrenzte Zeitraum uberschritten werden SOIL Hiernach ist die Variation 6e ein Glied des zweiten Grades, die Variation d g aber ein Glied des ersten ,Grades.

Auch die Integrationsbestandige Po erleidet eine Variation, wenn der Nullpunkt der Zeit verschoben wird. Man kann die Variation von p,, leicht aus der Gleichung p , = a, (I - e4) herleiten. Uenn es lbs t sich nachweisen, dass die Bestandige a, eine Variation nicht erleidet, wenn der Nullpunkt der Zeit verschoben wird. Die Variation de2 = zede ist als ein Glied des dritten Grades anzusehen.

Es ist daher auch das Verhaltniss ~ d p o ein Glied des dritten Grades. a0

Uni aber den erwahnten Nachweis zu liefern, muss ich auf den Aufsatz in Nr. 2908-09 verweisen, in welchem gezeigt wird, dass man zu einer fur den unbegrenzten Zeit- raum gultigen Losung des Problems der Planetenstorungen gelangt, wenn in allen den mit der Zeit inultiplicirten Gliedern der Storungsausdrucke der Coefficient der Zeit

11s eine bestandige Grosse vorausgesetzt wird, also auch n dem Werthe der mittleren Bewegung des Leitstrahls in ier Ellipse. Ich darf annehnien, dass der zuletzt erwahnte 2oefficient in der fur den begrenzten Zeitraum giiltigen Losung identisch sei mit dem fur den unbegrenzten Zeit- 'sum . erhaltenen Coefficienten. Hieraus folgt, dass die fariation der Restandigen a, verschwindet. Denn das Qua- hat des in Rede stehenden Coefficienten bestimmt sich tus der Gleichung:

NO F eine gegebene Function von a, und ez ist, vgl. qr. 3032 unter 3. Wird diese Gleichung nach den Grossen 2, uud e2 variirt, wird ferner die linke Seite als unver- inderlich angesehen, so findet man da, = Cde2. Die Variation de2 ist ein Glied des dritten Grades, ferner hat 3er Coefficient C die storende Masse zum Factor. Man jieht also, dass die Variation da, als verschwindend an- :enommen werden kann.

Die Variation der Veranderlichen K kann dem Obigen zufolge auf die Excentricitat der Ellipse tibertragen werden, die Variation der Veranderlichen h auf die Epoche. Stellt man die Aufgabe, alle diejenigen Storungen der Verander- lichen K und h , welche mit der storenden Masse nicht multiplicirt sind, auf die Excentricitat der Ellipse und auf die Epoche zu ubertragen, so bleiben in dem Werthe des Parameters nur die mit der storenden Masse multiplicirten Storungen ubrig. Wenn es mir erlaubt ist, diese erst oeuerlich vorgeschlagene Transforniation der gestorten Ele- mente hier zu besprechen, so mochte ich vor Allem darauf hinweisen, dass dieselbe auf die Convergeno der Integrale keinen Einfluss hat. Um integriren zu konnen, miissen die Storungsglieder nach den Potenzen der Variationen aller pestorten Elemente entwickelt werden. Wenn nun zwar auf Grund dieser Transformation die Variation des Para. meters mit der storenden Masse multiplicirt ist, und also die Entwicklung der Storungsglieder, soweit in denselben die Variation des Parameters allein in Betracht kommt, eine sehr convergente ist, so kommen doch in der Entwicklung der Storungsglieder auch jene Variationen der Excentricitat und der Epoche in Betracht, welche mit der storenden Masse nicht niultiplicirt sind. Diese beiden Elemente waren vorher als bestandige Grossen angenommen, und es ist offenbar, dass die Integrale der Storungsgleichungen jetzt nicht starker convergiren als vorher.

Will man den auf diesem Wege zu erlangenden Storungsausdrucken eine starke Convergeaz geben, so ist man doch wieder genothigt, die Integrale auf einen begrenzten Zeitraum zu beschranken. Man muss namlich, wenn der begrenzte Zeitraum iiberschritten werden soll, den Inte- gtationsbestandigen der Excentricitat und der Epoche eine geanderte numerische Bedeutung geben, damit der veranderliche Theil dieser Elemente, nach dessen Potenzen die Storungsglieder entwickelt werden mussen, hinreichend klein sei. Es versteht sich, dass hier die Integrations- bestandigen KO und /& eine Variation nicht erleiden, und es folgt hieraus, dass auf Grund der in Rede stehenden Transformation der gestorten Elemente, obwohl die Inte-

* 07 305 3 I 08

gration der Storungsgleichungen nur fur den begrenzten Zeitraum ausgefiihrt werden soll, doch in dem unbegrenzten Zeitraum wahrend des ganzen Verlaufs der Erscheinung alle Elemente eine stetige Variation erleiden. In der neuen Storungstheorie besitzen die gestorten Elemente diese Eigen- schaft nur fur den begrenzten Zeitraum. Hiermit ist vielleicht ein Vortheil erwiesen, welchen die besprochene Trans- formation mit sich bringt.

Es wurden indessen durch diesen Vortheil die grossen Nachtheile nicht ayfgewogen sein, welche sich anderweitig ergeben. In der neuen Storungstheorie ist es von vornherein vorgesehen, die Anzahl der gestorten Elemente so weit als moglich zu beschranken, vgl. Xbschnitt 11 der Pbl. XI1 der A. G. Ninimt man neben dem Parameter und dem Perihel auch die Excentricitat und die Epoche als gestorte Elemente

Karlsruhe in1 Februar 1891.

an, so hat man zum Behuf der lntegration die Storungs- glieder nach den Potenzen der Variationen von vier veranderlichen Grossen zu entwickeln. Man muss sich vergegenwartigen, wie schwierig sich diese Entwicklung gestaltet, wenn die Excentricitat und die Epoche variirt werden. In der neuen Theorie sind diese beiden Grossen als bestandig vorausgesetzt. Dagegen ist die Entwicklung der Storungs- glieder nach den Variationen des Parameters und des Perihels eine verhaltnissmassig ganz einfache Rechnung. Die Voraussetzung der neuen Storungstheorie, dass die Excen- tricitat und die Epoche unveranderlich seien, hat es mog. lich gemacht, fur den begrenzten Zeitraum die Integrale der Storungsgleichungen durch eine einfache Rechnung herzustellen.

Aux. Weiler.

Bemerkung iiber die Differentialquotienten der Storungsfunction. Es sei n die halbe grosse Axe der Bahn des ge-

storten Planeten, e ihre Excentricitat, 6 die mittlere Lange der Epoche, 8 die Lange des aufsteigenden Knotens in der Ekliptik, d die Lange des Perihels, sp die Neigung der Bahnebene gegen die Ekliptik, v das Argument der Breite, zv die wahre Anomalie und r der Radiusvector des gestorten Planeten. Es wird angenommen, dass nur ein storender Planet vorhanden sei, dessen Masse mit m' bezeichnet werden moge; f sei die Anziehung, welche zwei Masseneinheiten in der Einheit der Entfernung auf einander ausiiben, ferner bedeute R die Storungsfunction. Es sollen

. aus- nun die partiellen Differentialquotienten - - , . .

gedriickt werden durch die Componenten f m' S, f m' T,

aR m ?a ' %e

f 1%' W der storenden Kraft in Bezug auf folgende drei zu einander senkrechte Axen : die Verlangerung des Radius- vectors des gestorten Planeten, die in der Bahnebene zu diesem Radiusvector in der Richtung der wachsenden Langen gezogene Senkrechte und endlich die Normale zur Bahnebene. Diese Aufgabe, welche Herr Tisserand in1 2 7 . Capitel des ersten Bandes seines Traite de mecanique cdleste pp. 431 -433 behandelt, lasst sich etwas einfacher in folgender Weise losen.

Bezeichnet man mit d r , r dR, vdp die auf die ge- wahlten Axen beaogenen Componenten der Verschiebung, welche der gestorte Planet durch die Einwirkung der storenden Kraft erleidet, wobei also dR und d a kleine Winkelgrossen sind, deren Bedeutung sofort einleuchtet, so ist nach einem bekannten Satze

Bedeutet 6 ein beliebiges Element der Bahn des gestorten Planeten, so ist

- =- - - + - y - + + . - BR BR ar BR BR ?R ag a6 eY a6 a0 V a / % ,

also mit Riicksicht auf die vorigen Gleichungen

__._

Es ist aber 2 + e cosw n ~ I / r - ea dzw = sin w de + (dt - dm)

I - ea Y 2

mithin

( 2 ) { dfi = s invdsp-cosvs inspd8 Y a e

d r = - d a - n coszw de + -= sin w (ds - d a ) 1/1- e2

. . . durch S, 7' und W auszudrucken; man erhalt aR ix

Die Gleichungen ( I ) und (2) gestatten nun unmittelbar - so die a. a. 0. p. 433 gegebenen Werthe.

--- 2a ' ?e

Briissel 1891 Juli 27. L. de BalZ.

Documents

Die allgemeinen Störungen des inneren Planeten