Arehiv fiir Elektrotechnik 70 (1987) 77--82 Arehiv f O r E l e k t r o t e c h n i k

�9 Springer-Vcrlag 1987

Die Beziehungen zwischen den Nullstellen und den Polen des Diimpfungsverlaufs und den gleichen GrSBen des Phasenverlaufs yon Briickenfiltern

W. Herzog, Mainz

~bersieht: Es werden die Formeln fiir die Dgmpfungs- nullstellen und die Dgmpfungspole aufgestellt. Dazu die entsprechenden Formeln ffir die Phase. Die Nullstellen sind direkt verbindbar. Bei den Polen werden die Grenzfrequen- zen zu einer gemeinsamen Beziehung benStigt. Hingewiesen wird auf Phasennullstellen 1. und 2. Art, wie sic bei den Oszillatoren bekannt sind. Zu gewiinschten Filtereigen- sehaften -- z. B. einem bestimmten Phasenverlauf -- lassen sich die dazugeh6rigen DgmpfungsgrSgen ermitteln.

The interrelations between the zeros and the poles of the attenuation to the corresponding magnitudes of the phase of lattice filters

Contents: The formulae of the attenuation zeros and poles and the corresponding ones of the phase are calculated. Zeros are communicated directly. A common relation between the poles needs the cut-off frequencies of the pass-band. The phase zeros of first and second class as known with oscillators are mentioned. The known phase formulae allow to calculate the corresponding attenuation formulae and vice versa.

1 Zum Thema

Zur Erfiillung von Filterwiinschen reicht es oft aus, Nullstellen und Pole des D/impfungsverlaufs geeignet auszuws Hierbei gilt die Regel, da[3 jeder Vorteil an einer Stelle an anderer Stelle einen Nachtei l mit sich bringt. AuI den Phasenver lauf wird nicht ge- achtet , was meistens aueh nicht erforderlieh ist. Die Filterelemente, die den D/~mpfungsverlauf bestim- men, fiihren auch zu einem bestirnmten Phasenverlauf. Somit sind Beziehungen zwisehen den Extremstel len der D/fmpfung und der Phase herstellbar.

Die Formeln werden an einem m6glichst einfaehen Beispiel aufgestellt, da eine Erwei terung auf Schal- tungen mit mehr Elementen keine Schwierigkeiten mit sieh bringt. Etwaiger Nutzen der Bet raeh tung ist natiirlich bei einfachen Sehal tungen am geringsten. Untersueht wird das einfaehste Br/ickenbandfil ter aus zwei Reihenkreisen.

2 Die Nullstellen und Pole des Diimpfungs- und des Phasenverlaufs bei e inem Briiekenbandfilter aus Reihenkreisen

Bild 1 zeigt ein Briickenbandfil ter zwischen gleichen Abschlul3widerst/~nden R. U0 ist die Urspannung. Fiir die Bri ickenreaktanzen X1 und X~ berechnet man mit den Induktivit/~ten L1, L2, den Kapazit/~ten C1, C2 sowie der Kreisfrequenz 0 ) = 2u/ mi t der Frequenz ]

0.) 2 - - 0)~ 0) 2 _ 0`) 2 X 1 : L 1 �9 - - X 2 = L 2 �9 - - ( 1 )

0) 0)

Hierbei sind 0)1 und 0) 3 die Grenzkreisfrequenzen mit den Frequenzen/1 und /2

(,02 = ( 2 7 / ' / 1 ) 2 : 1 / L 1 C 1 0),02 ~-- (~2"f /2) 2 ~ - ~ / L 2 C 2 ( 2 )

Eingefiihrt werden die w/~hlbaren Abkiirzungen r und 0)r = 2~/~ als Ver t re tung yon L 1 und L2

2 (2z/r)u R2/L1L2 (3) r 2 = L 2 / L ~ @ > 1 e) r = =

Dami t ist

L1 = R/r0)~ L2 = rR/o`)r (4)

[1 C1

~ - - " II \ L; Ci

X,

Bild 1, Brfickenbandfilter aus Reihenkreisea

78 Archiv fiir Elek~rotechnik 70 (1987)

Die Gln. (1) und (4) fiihren zu:

x~ I s - I 1 2 x~ ~(I~-t22) . . . . . (5) R r/~l R I j

wobei die Kreisffequenzen durch die Frequenzen ersetzt wurden.

Eine Normierung ist n icht erforderlich, br ingt aber eine bessere Ubersicht.

Normier t wird auf eine Frequenz/0 , die durch

12 = (12 + i2)/2 (6)

gegeben ist. Die normier ten GrSf3en sind

///o = F /1//o = F1 /2/fo = F2 /r/fo ~- Fr (7)

G1. (6)/~ndert sich in

F~ + F~ = 2 (8)

Diese Formel kann auch umgekehr t niitzlich sein. Mit der normierten Darstel lung

x , F ~ - - F 1 ~ Z~ ~ (F~- -F~) - - - - - - (9)

R rF~F R F~F

soll weiter gearbeitet werden. Fiir die Betr iebsd~mpfung aB gilt die Formel

X I X 2 / R 2 ~- 1 (~aB : V1 _~_ K 2 I g I = ~2/R----'X--~/R (10)

wobei K die charakteristische Funk t ion ist, deren Bet rach tung geniigt.

D/~mpfungsnullstellen erh/~lt m a n fiir

X I = O X 2 = ~ Xj = c ~ X2 = 0 (11)

X~X2 /R 2 ~- 1 = 0

w~hrend

X~/R - - X l / R ~-- 0 (12)

die Di~mpfungspole lie~ert. Aus den Gln. (8), (9) und (10) berechnet man

I r F ~ - - (2 - - F~) F 2 + F_~F_~

_ r (F ~ - - F~) (F 2 - - F022) (13) - - ( r ~ - - - 1 ) F~F" F ~ - - F 2

wobei Fo~ und Fo2 die normierten Nullste]len sind und Foo die normierte Polstelle vertr i t t , fiir welche gilt :

A~21 -~- F22 = 2 - - F 2 FolFo2 = FIF2 (14)

F ~ - r ~ F ~ - - F~ (15) ?.2 - - 1

Die D~mpfungsnullstellen liegen geometrisch sym- me~risch zu den Grenzfrequenzen.

+07)

- C O

FI oo f l

- RIX P0

/, I i

I I I I

F2 Fzoo F3= F01 F0z

Bi ld 2. Auf R bezogene Reaktanzen X~ und X~ der Brficken- zweige in Abh~ngigkeit yon der normierten ~requenz nebst der dualen GrSBe --R/X2

Der Verlauf der normierten Reak tanzen der Briik- kenzweige (Gln. (9)) ist in Bild 2 wiedergegeben. Die normierten Frequenzen F I und ~2 begrenzen den DurchlaSbereich. Man erhi~lt die D~mpfungsnull- stellen ND, indem man die duale GrSBe von X 2 / R - - also - - R / X 2 -- aufzeichnet und die Schni t tpunkte mit X 1 / R bestimmt.

Die Gln. (14) sagen weiterhin aus, dab eine kleiner gews GrSBe Fr (Fr ---> 0) - - was kleinerem R oder gr6Beren Wer ten L1 und/oder L~ entspricht -- die Nullstellen an die Grenzfrequenzen F1 und F2 heran- riickt. Dadurch erhSht sich die Ds in der Fil termitte. Die Di~mpfungsnullstellen No selbst erh~lt man aus G1. (13) zu:

F0~.o 1 = 1 - - - - - - (16)

Zusammenfal lende Nullstellen ergeben sich aus G1. (16) Z U

(1 F~/2)~ 2 2 - - F I ~ 2 = (1 -- F~/2 + F1F~)

• (1 - r~/2 - F1F~) = 0 (17)

wofiir wegen der Beziehung (8) geschrieben werden darf :

1 1 ~- [(F2 -~ El) 2 -- F2] �9 -~ [(F2 - - F , ) 2 - - F 2] ---- 0 (18)

Von beiden LSsungen ist nur

(F2 - - F~) ~ - - Fr 2 = 0 FT = F2 - - F1 (19)

giinstig, t I ierzu gehSren die Nullstellen

Fo2 = Fo~ = ~/EF2 (20) Die verbleibende LSsung liefert komplexe Null-

stellen. Solche kSnnen eine Schaltung, z .B . mit

W. Herzog: Die Beziehungen zwischen den Nullstellen und den Polen 79

Sehwingkristallen ermSgliehen, die sonst nieht her- stellbar ist, br ingen aber Versehleehterungen im D~mpfungsver lauf mit sieh. Der EinIlu~ komplexer Pole wurde ausfiihrlich untersueht [1]. Das Zahlen- beispiel in Absehn. 3 bringt den Einflul3 auf den D/hnpfungsverlauf (Bild 7).

Polstellen PD befinden sieh bei den normier ten Frequenzen:

F ~ = 0 ~ - ~ F ~ - - ~,~ _ ~ + ~ - - ~_____~ r ~ - 1 r ~ - 1

: F~ _ r~. F~ -- F,~ (21) 1 - - r ~

F3o o ~- oo

Der D/~mpfungspol F~oo(Po) ist nach G1. (12) a]s Sehni t tpunkt v o n X 1 / R und X2/R festgelegt. E r kann oberhalb yon F~ (r > 1) oder unterhalb F1 (r < 1) liegen.

Die Formel ffir den Phasenwinkel

X1X2/R ~ - 1 t an ~ - - (22)

X2/R § XI /R

wird mit den Gln. (9) zu

r F ~ - ( 2 + F ~ ) F ~ + F~F~ ~ t a i l ~ =

(r ~ + 1) ErE F ~ -- (reF~ -b F~)/(r ~ 4- 1)

(23)

Die Gr6Ben aus der Phasenformel erhalten den zu- s~tzlichen Index p.

Gleiehung (23) en tn immt m a n fiir die Phasennull- stellen F~0i und F~0e

Fp01 -~ F20,2 = 2 -~ F 2 s = F1s 2 (24)

w~hrend fiir die Gr6Ben selbst gilt:

F~oe,~o , ---- 1 -]- F~/2 • ]/(1 + F~r/2) ~ -- F~Fee ~ (25)

Sie liegen in den Ds geometrisch symmetr isch zu den Grenzfrequenzen. Mit kleiner werdendem Fr n~hern sie sich demselben von F = 0 und F = oo aus. Zur Darstel lung der Phasennull- stellen ist es naeh G1. (22) notwendig, R/Xe einzu- zeichnen. Der Schn i t tpunk t mi t X~/R liefert die Phasennullstellen N p (Bild 3). Natiirl ich geht auch X: /R mit R/X1.

Da die Nullstellen Phasenwerten

Cr = / c �9 180 ~ k ---- 1; 2 (26)

entsprechen, l~Bt sich die Phasenversehiebung yon 180 ~ auf immer gr6Bere Frequenzbereiche bringen. Fiir F~ --> oo wird nach G1. (25) F~0e = 0o; F~0~ = 0. Der kleinstm6gliche - - prakt isch nicht erreichbare - - Bereieh ist der Abstand Fe -- F~ der Grenzfrequenzen bei F~ = 0 (R = 0 oder L~ oder L~ = oo).

fpl oo FI fp01

J\ F2 f~oz Fp~

Fpz~,

Bild 8. Die auf R bezogene Reaktanzen der Briickenzweige X~ und X 2 in Abhgngigkeit yon der normierten Frequenz nebst R/Xe. Die Schnittpunkte mit X 1 liefern die Phasen- nullstellen Np, w~hrend der Schnittpunkt yon --X2/R mit X1/R die Phasenpolstelle Pp zeigt

Die Phasenpolstellen liegen bei den Phasen ~pp

~pp ----- (2k' ~ 1) �9 90 ~ ]r = 0; 1 ; 2 (27)

Fiir das berechnete Bandfi l ter erh~lt man Phasen- polste]len Pp bei den Frequenzen

Fploo : - 0 FP2V~ - - r 2 + 1 r 2 4- 1

= ~ + r~. F~ - FI ~ F ,3~ = ~ (28) r ~ @ l

Der Phasenpol Fp3oo liegt im Durchlagbereich. Nach G1. (22) zeichnet man - -X2/R ein und ge-

winnt Pp als Schn i t tpunk t mit X1/R (Bild 3) (oder - -X~/R mit X2/R ). F i i r r = 1 Ii~llt der Phasenpol Fp2oo auf

r = 1 F~2oo = (F~ + F~)/2 = 1 (29)

also auf die Mitre des Durchlagbereiches. Nicht erreichbar sind die Werte F~ ftir r = co und

F1 fiir r = 0, doch sie lassen sich annghern.

3 Z a h l e n b e i s p i e l

Gew/~hlt werden fiir ein Zahlenbeispiel die Wer te

F~ = 1,05 F~ = 0,95 (30)

Aus diesen und unter H inzunahme yon G]. (8) lassen sich weitere Unter lagen gewinnen:

F2 = 1,0247 ~ 1,025 F~ = 0,9747 ~ 0,975 (3!)

80

= F ~ F 2 = ~ - - F ~ F i E l F 2 0,9975 1 - -

(F~ F~) ~ 0,0025 = 0,05 ~ 4

F 1 F 2 = 0,99875

1 1 1 - F ~ F ~ = - g (F~ - - F , F = -~- 0 ,05~ = 0 , 0 0 1 2 ~

F~ - F~ = ( l~ - - F 0 (F~ + F , ) = 0,1

(31)

Die Gln. (16) er l~uben die Aufze ichnung der Dgmp- fungsnul ls te l len Fm und Foe in Abhgng igke i t v o n d e r GrSl~e F~ (Bild 4). I m P u n k t zusammenfa l lender Null- s tel len (G1 (20)) hSren die reel len Kurvenan t e i l e auf. Es is t un t e r B e a c h t u n g von G]. (8) :

F~ = 1/2(1 - - F1F2) = F2 - - --I~1

Fo2 = Fol --~ ] / F 1 F 2 = 0,999375 (32)

Fi i r F r = 0 l iefert Ol. (16) die W e r t e

2 ]/1 ~ 2 = F 1 F 2 ( / ~ o 2 ) r ~ = o 1 - - = F ~

F I F 2 ( F 0 1 ) F r : 0 : 1 - - - - ~ - F 2

Fo2 --~ F2 Fol = ~ 1

(33)

B i N 4 en thgl t noch die spg te r ben6t ig te Abhgng igke i t der Phasennul l s te l len Fpol und Fpo2 von Ft .

Bei der Anngherung der Dgmpfungsnul ]s te l len ~n die Grenzfrequenzen F1 und F2 erhSht sich die Dgmpfung in der F i l t e r m i t t e F = 1.

1,05

1,04

1,03

I 1,02

1,01

1,00

~ o, gg

<~ 0,98

0,97

0,96

0,95

I

\ Fr = 0,05/&z, ol = 0,999375

/

0,01 022 0,03 0,04 0,05 0,00 0,07 F,,- - =,..-

Bild 4. Die Dgmpfungsnullstellen Fol und Fo2 in Abhgngig- keit yon F r sowie die Phasennullstellen Fpo 1 und Fpo ~ ebenfalls abhgngig yon F r

Archiv ffir Elektrotechnik 70 (1987)

2O

10

~ 0

4

0 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

5-------

Bild 5. Die Dgmpfung in der Filtermitte ffir r = 1 in Abhgngigkeit yon F r

Es geniigt , die mi t r = 1 vere infach te G1. (13) zu un te rsuchen :

1 F 4 - ( 2 - F ~ ) F 2 + F 1 F 2 (34) [KL = F i N F ~ - - F ~

Ffir die F i l t e r m i t t e F = 1 wird aus GL (34)

1 (35)

Bild 5 zeigt, ds• berei ts bei F r = 0,02 eine Dgmpfung yon 3 dB erre icht wird. LgBt man diese 3 dB zu, so verb le ib t ffir F r ein Bereich yon 0,02 bis 0,05, ent- sprechend 3 bis 0 dB.

I 3

8 Cz \

0 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1

/ " r - -

Bild 6. Die Dgmpfungspolstelle in Abh~ngigkeit yon r

W. Herzog: Die Beziehungen zwischen den Nullstellen und den Polen 81

d8

i 0% 10

0

F r = O , /

j 0,0 0,0 1,0 1,2 1,4.

F -'-----,--

Bild 7. Der Di~mpfungsverlauf fiir r = 0 mit den Werten 2" r = 0,05 (zusammenfallende Nullstellen), F r = 0,5 und Fr = 1 (komplexe Nullstellen)

weggelassen werden. Mit den Werten (30) wird aus G1. (34):

IKI = ] 1 F - ~ . [ F ~ - ( 2 - F~)F2 4- 0,9975] (37)

Fiir F~ = 0,05 sind die Nul]stellen zusammenfallend und reell. In Bild 7 findet sich diese Kurve sowie die Kurven /5 r = 0,5 und F r - 1 mit kornplexen Null- stellen. Die Verschlechterung ist betr/~ehtlich. Einen Hinweis bietet der Z&hler von Gl. (37), der Iiir F~ > 0,05 immer > 0 ist.

Ffir r = 1, das fiir die Betrachtung ausreicht, wird aus G1. (23)

1 F 4 _ (2 d_ Fr~) F~ 4- FIF222 tan c~ = (38) 2F~F F 2 -- 1

Die Auswertung ffir die Werte Fr = 0,02 und 0,05 (F~F~ = 0,9975) zeigt Bild 8.

In Anbetracht des einfachen Filters ist der Unter- schied zwischen beiden Kurven bemerkenswert.

Die Berechnung des Phasenpols Fp2oo erfolgt nach G1. (28) mit den Werten (30) zu

Gleichung (21) fiir den D/tmpfungspol F~oo lautet mit den Zahlenwerten (30) :

0,1 F ~ = 1,054- - - (36)

?,2 _ _ 1

Diese Abhgngigkeit ist in Bild 6 wiedergegeben. Nun wird als wiehtigster Teil die Phase betraehtet. G1. (25) liefert die Werte Fpo~ und Fpol in Abh/~ngigkeit yon Ft. Fiir das Beispiel G1. (30) ist nnr F~F~ einzusetzen. Diese Yunktionen sind zum Vergleieh mit den D/~mp- fungsnullstellen Fol und Fo2 in Bild 4 eingezeiehnet. Zur Feststellung des Einflusses imagin/~rer (komple- xer) Nullstellen auf die Dgmpfung kann der Pol

450 ~

300 ~

330 <'

I 270o

210 ~

150 ~

00 ~ 0,94

I

&= O J

. . . . . ~ F r =022

I 0,95 0,98 1,00 1,07 1,04

/L- ,, , t

120

F~2~ -- 1'05r24- 0,95 (39) r~4- i

Diese Abhg~ngigkeit ist in Bild 9 wiedergegeben.

4 Die Beziehungen zwischen den Extremstellen der D~mpfung und der Phase

Addiert man die Gln. (14) und (24), so wird Fr elimi- Idert, und man erh/~lt :

Fo l + + + = 4 (40)

Dazu gilt :

FolFo2 = ~pOl~pO2 =/~1F2 (41)

Bild 8. Die Phase cr in Abhiingigkeit yon F fiir die Wer~e F r -~ 0,02 und 0,05

82 Archiv ffir Elektrotechnik 70 (1987)

1,0Z

1,01 /

t 1,00

o,9~

O, gB

f

0,97 0 1 2 3 4

F

Bi ld 9. Der Phasenpol Fp,,c~ in Abh~ngigkeit yon r

Aus diesen Gleichungen lassen sich die Beziehungen bilden:

1,05-

1,02 t 0,98

0,94

0,90 Fzr ~ p z ~ =

Z 3

Bild 10. Gegenseitige Beziehung zwisehen D~mpfungspol- stelle F2o ~ und Phasenpolstelle F p ~

Nach G1. (49) sind F~o und Ep2~ gleichberechtigt und damit ist ihre gegenseitige Abh~ngigkeit ver- tauschbar. Bild 10 zeigt die dazugehSrige Kurve.

(Fo2 + Fol) ~ ~- (Fpo2 -{- Fpol) 2 = 2(F2 + El) 2 (42)

(Fo2 -- FoI) ~ + (F, o2 -- F , ol) 2 = 2(F~ -- F1) ~ (43)

In den Gln. (16) und (25) gelten ffir reelle LSsungen die Bedingungen

1 - - E ~ / 2 ~ F 1 F ~ F~ + F~ : 2 (44)

1 -~- F2/2 ~ F I F 2 E 2 + F~ = 2 (45)

und umgeformt

(F2 -- F1) 2 -->~ E 2 F2 -- E1 ~> -~r F2 > F1 (46)

(F~ -- Fi) 2 > --F2r (47)

Die Bedingung (46) erlaubt nut ein E r innerhalb des Durchla6bereiches, w&brend die Bedingung (47) beliebige Werte zul~13t. Die Summenbildung G1. (42) ist natiirlich der Bedingung (46) unterworfen. In Bild 4 sind die Phasennullstellen F~o2 und F~o 1 eingetragen. Die Grenzen ffir Fpo2 und Fpot liegen bei F2 = 1,025 und F 1 ~ 0,975 mit einem Fr-Wert 0,05 (G1. (24)).

Zwischen dem D/~mpfungspol und dem Phasenpol l/~I~t sich ebenfalls eine Beziehung aufstellen. Itierzu wird aus den Gln. (21) und (28) die Gr5fte r 2 eliminiert. Man erhi~lt:

r~ - ~ - F~ E ~ - - E , ~ (4S)

_ _ _ _ E p 2 c o

und umgeformt :

2 2 2 2 2 ElF2 F2~Fp2~o -- (F~oo + 0 (49)

(E~oo 1) 2 2 2 - - (F~2oo - - 1) = 1 - - E l F ~

5 SchluBbemerkung

Die aufgestellten Formeln bieten einen guten Uber- blick fiber D&mpfungs- und Phasenverhalten eines Filters und fiber die MSglichkeiten, ein gewfinschtes gegenseitiges Verhalten einzustellen. Aus den gebo- tenen Kurven k5nnte man die Abh&ngigkeit des Phasenverlaufs bei verschiedenen Fr-Werten als nfitzlich hervorheben. Erweitert man die Betrachtung auf Bandfilter mit zusammenfallenden l~eihen- und Parallelresonanzfrequenzen im Durchla6bereich, so erh/~lt man Phasennullstellen 1. und 2. Art wie bei Benutzung der Schaltung als 0szillator [2].

Literatur

1. Herzog, W.: Ein QuarztiefpaB mit komplexen Stellen nnendlich hoher D~mpfung. Telegr.-, Fernspr.-, Funk- tech. 32 (1943) 181--185 Siebsehaltungen mit Schwingkristallen. Braunschweig: Friedr. Vieweg & Sohn 1962 Bobbel, G. : Diplomarbeit. Untersuchung fiber den Ein- flul3 komplexer Pole auf das Be~riebsverhalten yon Vier- polen, Mainz 1975

2. tterzog, W.: Oszillatoren mit Schwingkristallen. Berlin, G5ttingen, Heidelberg: Springer 1958

Eingegangen am 5. Mdrz 1986

Prof. Dr. phil. Dr.-Ing. W. Herzog Beuthener Str. 33 D - 6500 Mainz Bundesrepublik Deutschland