Band 16. Heft G - Deze m be r 19:N 355

so wirrl ilas System (.2,2) identisch. befriedigt; aus (2,l) folgt bei Elimination der Ver- schiebungen I G , v :

und (2,s) niniriit die Form an:

Vortrnge der Hauptversarnmlung in Dresden

d J @ = ( ~ ~ ~ ) 2 - ~ t ' x , ~ y y . . . . . . . . . . . . (3,9)

N J A III - h ( fDUU br,x + 'lj, nJy y - 2 'lj, y wx = q . . . . . . . (3,3).

(3,2) imd (3,3) sind zwei sirnultane n i c k lineare Differentialgleichungen fur @ und IU.

Maclit man nun, um Naherungslbsungen fur diese Gleichungen zu findcn, fur die Durchserikung w eine ,,wahrscheinliche', einen Freiaer t enthaltende Annahme (durch die den geometrischen Randbedingungen genugt wird), so kann man @ BUS (3,2) errechnen, und (3,3) dann in der Form

\ j N w 4 d ,w dx d y - I4 1 \ 1u lU,, + 4jxx my y - 2 @,y W x y) d x d y = \ w q dx d y . (4,l) B B

benutzen, urn den Freiwert zu bestimmen.

Dieses Verfahren lafit sich ohne Scliwierigkeit erweitern ') auf einen melirparametrigen Ansatz:

w = 2a i ru i . . . . . . . . . . . . . . . (G).

Man erhalt die .notwendigen ,n-Gleichungen fur die n-Parameter ai in der Form:

Sind als Randbedingungen Spannungen 8 , t . vorgeschricben, so ist dieser Weg einfacher als der zuerst genannte, weil sic11 dann @ bestimnien lafit, ohne dab die Verschiebungen zb, v evplizit in die Rechnung eingehen. - Ein 3achteil dieser Methode liegt darin, dab G1. (4,l), obwohl man ihr durch partielle Integration .die F o r m eines Energieausdruckes geben kann, keine unniittelbar ersichtliche mechanisclie Bedeutung zukommts). GI. (1;3) dagegen (bzw. die Forderung F. E. = Min.) besitzt einen anschaulichen'mechanischen Sinn; das aber hat den Vorteil, das man leicht erkennen kann, welche Anteile der F. E. a19 offenbar unwesentlicli unterdruckt werden durfeas), wenn es sich darum handelt, ohne zu grobem Rechenauf wand zu einer ersten 'Nahenmg zu kommen. - uber die Art und Weise, wie eine solche fur die praktische Durchrechnung komplizierterer ' Falle nieht unwichtige Vereinfachung sich aus-

643 wirkt, wird bei Gelegenheit ausfuhrlicher berichtet werden.

Die Bildung von Tropfen an Diisen und die Auflosung flussiger Strahlen. Von Wolfgang v . Ohnesorge in Berlin.

Die mannigfaltigen Erscheinungsformen von der Tropfenbildung bis Zuni Zerfall tliissiger Strahlen, die teils unter Gewichts-, d i l s unter Druckwirkung in die Atmosphare aus- treten, sind mit Hilfe eines kinematographischen Hochfrequenzgerltev aufgenommen worden. Hinsichtlich der Geschwindigkeit der Tropfenfolge werden vier Falle unterschieden:

0) Langsames Abtropfen von der Dose unter Gewichtswirkung ohne Strahlbildung,

I) Auflbsung eines zylindrischen Strahls durch Vermittlung achsensymmetrischer

11) Auflbsung durch Vermittlung schraubensynimetrischer Schwingungen der Strahl-

111) Zerstgubung des Strahls.

Oberflgchenschwingungen (nach R a y l e i g h),

masse (Jerwellen" nach W e b e r - H L n l e i n ) ,

7) Der Verfasaer verdankt Herrn Prof. 0 r a m m e 1 den Hinweia. daQ dieae Methode allgemein erstmals (1904) von 0 a 1 e r k i n angegeben wurde. In rehr vielen Fiillen 1st aie far die praktische Anwendung der (theoretisch ganz Kleichwertigen) R i tzschen Methode iiberlegen.

0 ) Es hiinyt dies dsrnit zusammen, daE o b e r h a l b der Beulgrenze die potentielle Energie der yekriinimten Gleichgewichtslage kleiuer iut als die der gestreckten; daE also nicbt, wie IIUI kritischea Punkte selbst, der L'bergaw von der einen in die nndere cfurch rein-inoere Umlagerung von Dehiiunrn- und Biegnngsenergie vor sich geht.

9) Z. B. die Auteile. die von deli Schubspaanungeu oder vou der lluerkontraktioii herriihren oder dergleicheu. L,' . ..I

Gewic.hts- Kapillar- Wirkung Direkte der Indirekte 1 Trlghsits-

Zlhipkeitsreibung Vorgang 1 krBfte I kr&fte 1 krifte I

I

Fall 0 + 0 wesen tlich Fall I sehr gering Fall 11 I steigend . -0 Fall III I sehr stark - t o

auch

+ 0 I 0 1 . sehr gering + O 1 wesentlicii mB0ig 1 1 stark lweeentlicb

Wirkung der Zaliigkeitsreibung sind Wirbelai316sungen durch innere Reibung gcineint.

1 2 5 1 0 Reynolds'sche Zohl A;v.df

7

Ahb. 1 . Darstelliing der Versoschsergehnisse im Schauhild 2 = Z ( R c ) . Die Strahlanfliisung vollzieht sich i n eiuer der drei eharakteristisschen Forluen inoerhalb der Bereiche 1, I1 oder 111.

Die tlieoretisclie Klarung der langsnmen Tropfenbildung und der Strahlauflosung durcli Vermittlung achsensymmetrischer Schwingungen geht auf R. a y I e i g h zuriicl;, der die Annalime reibungsfreier Flussigkeit und Potentialstrolnung zugrunde Iegt, also allein Sclwere und Kapillaritat berucksiclitigt. Eine Verfeiuerung der Theorie durch Beriicksiclttigung der Zahig- keit verdanken wir C . W e.b er l ) . Die rechnerische Behandluiig der dyiia.niiscllen Torgange bereitet un iiberwindlich e Scliwierigkei t en. Fiir die all geni einen Be~egun_rs,olt.icliu~~en von N a v i e r - S t o k e s fur zahe Fliissigkeiten .existieren b'is heute keine strengen Lbsungeii, so- ha1 d Tragli ei t und Zahigkei t in u nge fa11 r gl ei cher Grofienord nung zusam nieii w i r ken. In solclien Fallen liefern die Gesetze der meclianischen Ahiilichkeit zu\-erliissige Aufsclilusse, insbesondere fur die Auswertung nnd Verarbeitung der not.wendigen T'ersi~clie.

Fur den statisclien Fall 0 ist die diiiiensionslose Kennziffer 4 0. niahgeblich, wohei 1-

der Halbmesser der Diisenbohrung und a die sjch aus den Stoffbeiwerten o und Diclite 9

berechnende . L a p l a c e sclie Konstante" bedeuten: a = / - . Die statisclie bleridiankurve

des acli~ens~iiimet~risc~ien Tropfens kann auf deli1 M'ege der numeriselien Tnt,epration be- rechilet und damit das Gewicht dss fallenden Tropfens niit groher Ka1lerun.g innerlialh r1e.s praktisdi wiclitigen Rereielies O,O1 < v / a < 1,0 erinittelt werden.

Iin Falle der St.rahla.uflo~ung und Zerst.%uhung lioiiimt dns W e b e r sdie. ~~linlicltkeits- gesetz der Iinpillsritat uiid dns H e y n 01 d ssche ~l inl ic l ikei ts~esetz ' der Zaliiglieitsi-eibu~i~ in Retraclit, wahrend das Fr. o u d esche Gesetz bedeutungslos ist. Bei verschiedcner Dichte des umgebenden Mediunls niuk dns R.eyii 01 d ssclie Gesetz aucli fur das Ankeninediuni erfullt werden. Die Yer\~irl~Iicliiing des TTehersc.Iien und R e y n o l d s s c h e n Gesetzes zugleicli g" lingt. i n unserem Fa.lle, vei l cinerseits die tieiden Iien~izalilen altiiliclien Bau liinsiclitliclt der

f0 I e o

1 ) ZAAlRl 11 (1!131), S. 136.

Birnd 16. Heft li Vortriige der Hnuptverenmmiang in Dresden 357 I)Y/..o 1ulwr 19:lli

. ..

Abb. 2.

Abb. 4.

Abh. 2. Auflosung des zyliodrischen Strahls durch Vermittlung nchRensgmxiletriacher Schwingungen (Wasser). Re= IU(10. Bild-

Irequenz: 65U sec-1.

Abb. :I. Strahlaullosung durch Vermittlung schraubensgminetrischer Schwingungen (Wasser). Rs=9800. Bildfrequenz: I W J seo-'.

Abb. 3. Xbh. 4. Einsetzcn der Strnhlzevstnubimg (Anilin). Re= I M O . Bildfrequeriz: 42UU sec- 1.

Zfachr. 1. aiiccn . 358 Vortrsprc drr H i t i ~ p t ~ p r m n m l u n g in Prcsden Math. and hlwlr.

Potenzgesetze aufweisen, andererscits die Kapillaritiit der Flussigkeiten nur in verh&ltni.c- miifiig engen Grenzen variiert. For das Zusamrnen~~irken heider Gesetze bilden wir durch Elimination der Geschwindigkeit eine neue dimensionslose Kennzalil

in der alle kennzeichnenden Stoffheiwerte: Oberflkchenspannung 0 , Dichte 8, absolute Z h i g keit q, sowie der Durchmesser d der Diisenbohrung enthalten sind, und die wir als Funktion der R e y n o 1 d s schen Kennzahl Re zur Darstellung der Versuclisergebnisse benutzen (Abb. 1). In dem Schaubild Z = Z (Re) entspriclit jeder Fliissigkeit bei festgehaltenem Diisendurch- messer eine Gerade parallel zur Abszissenachse. Der durch die R e y n o l d ssche Zahl ge- kennzeichneten Art des Strahlzerfalls ist dann ejn bestimmter Punkt auf der Geraden Z = konst. zugeordnet. Die Versuche zeigen, daP die Gebiete der Vorgange I, I1 und I11 durch gerade Linien, welche Potenzgesetze bedeuten, getrennt sind. Gebiet I liegt im Bereicli kleiner R e y n o l d sscher Zahlen, insbesondere bei Flussigkeiten mit grofier innerer Reibung.

Vorgang I1 vollzieht sich nacli Uberschreiten eines kritischen Gebietes fur alle unter- suchten Riissigkeiten innerhalb eines verhlltnismkfiig engbegrenzten Bereiches. Der Zer- stiiubungsvorgang I11 setzt pl6tzlich ein. Der Strahl zeigt in unmittelharer Nahe der Mundung eine glatte Oberflache mit achsensymmetrischen Anschwellungen. die in schraubenftjrmige Quer- bewegungen mit zunehmender Amplitude smarten. In den ausgebogenen Teilen bilden sicli Zwischentropfen, und schliefilich zersplittert der Strahl vollliommen. Bei nur wenig ge- steigerten R e y n 01 d sschen Zahlen springt der Zerstaubungskegel bis an die Dusenmiindung zarfick.

Die kinematographischen Aufnahmen rnit Freqnenzen zwischen 200 und 12000 Bildern in der Sekunde sind im lnstitut fur Technische Strbmungsforschung, 1dter.Prof. F b t t i n g e r , an der Technischen Hochschule. Berlin, mit dem dart entwickelten T 11 u n sclien , Zeitdehner gemacht worden. 641

Uber die B 1 as i u s schen Formeln und den Druckmittelpunkt eines Profils. Yon Theodor Posch7 in Karlsruhe.

Der Vektor der Kraft, die auf einen Ktjrper in ejner ebenen Flussigkeitsstroniun~ iiher- tragen wird, ist durcli den Ausdrucli gegehen

q? = 4;. ds Ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1);

.dabei ist n ein iiach dem Innern des ,Profils" gerichteter Einheitsvektor und das Integral iiber dessen Umfang zu erstrecken. Wenn X, Y die Komponenten von 'Q nach zwei Eioor- dinatenachsen x. y sind, so ist bekannt, dab sic11 P=.X--iY in sehr einfacher Weise dar- stellen laht. Hierzu hat man nur die obige Gleichung in komplexer Form zu sclireiben, was durc.h die Zuordnung gescliieht

!$+p=X+i lT , n d s + i d z , I

wobei unter d z = d z -+ i d y ein Element des FLandes verstanden ist und P die zu P konjugiert koniplexe Zahl bedeutet. 1st w a = rc-iv die Geschwindigkeit, so ist der Druck

und daher lakt sich G1. (l), d a das Integral iiber p o verschwindet und fortgclassen werdcn kann, in der Form schreiben

Da da.s gegebene Profil eine Stroinlinie daher auch

d z dE od er _-_ _ -

12' 12' und somit

ist, so haLen d e und E denselbeii Arcus; es ist.

IV dz=G d z ,

. . . . . . . . . . C2.l.