Die Levy-Steinitz-Eigenschaft von Reihen in Banachr¤umen

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Die Levy-Steinitz-Eigenschaft von Reihen in Banachräumen, Verallgemeinerung des Riemanschen Umordnungssatzes, Umordnung von Reihen in Banachräumen, Umordnung von Reihen, Ungleichung von Levy, ein Kriterium zur Levy-Steinitz-Eigenschaft, steinitzscher Umordnungssatz, Rademacher, Zufallsreihe, Satz von Pecherskii, Zufalssumme, satz von Chobanyan

Text of Die Levy-Steinitz-Eigenschaft von Reihen in Banachr¤umen

D IE L EVY -S TEINITZ -E IGENSCHAFT VON R EIHEN IN B ANACHRUMEN

Diplomarbeit Betreuender Gutachter: Prof. Dr. Andreas Defant Zweiter Gutachter: Prof. Dr. Michael Langenbruch

vorgelegt von Celal Tursun Carl von Ossietzky Universitt Oldenburg Diplomstudiengang Mathematik

Oldenburg, 26. April 2004

InhaltsverzeichnisEinleitung 1 Grundlagen 2 5

2 Bedingungen fr die Levy-Steinitz-Eigenschaft von Reihen in Banachrumen 12 3 Ein Kriterium 4 Der Satz von Pecherskii 5 Zufallsreihen 6 Der Satz von Chobanyan 7 Eine Anwendung des Satzes von Chobanyan 21 33 35 51 53

EinleitungEine reelle Reihe konvergiert genau dann, wenn sie unbedingt konvergiert, wobei jede ihrer Umordnungen gegen den selben Grenzwert konvergiert. Dieses Resultat wurde 1829 von Peter Gustav Lejeune Dirichlets entdeckt. Georg Friedrich Bernhard Riemann greift den Gedanken von Dirichlets auf und verffentlicht 1854 in seiner Habilitationsschift, den heute nach ihm benannten Umordnungssatz fr reelle Reihen: Satz. Fr bedingt konvergente reelle Reihen gilt: Jede reelle Zahl ist Grenzwert einer Umordnung der Reihe. Eine Verallgemeinerung des Riemanschen Umordnungssatzes fr endlichdimensionale normierte Rume wird 1905 von P. Levy verffentlicht. Der Beweis dieser Verallgemeinerung erwies sich jedoch als lckenhaft. Ernst Steinitz erbrachte 1913 einen lckenlosen Beweis des Satzes. Dieser nun nach Levy und Steinitz benannte Satz lautet wie folgt. Satz. (Satz von Levy-Steinitz) Sei E ein endlichdimensionaler normierter Raum und he in E. Dann gilt fr jedes x SB( xi ) : SB( In dem Satz ist SB( xi ) = x + ( xi ). xi eine Rei-

xi ) die Menge der Grenzwerte der konver-

genten Umordnungen der Reihe xi , diese Menge wollen wir auch Summenbereich der Reihe xi nennen. Die Menge ( xi ) werden wir erst in Kapitel 1 Grundlagen formal einfhren, fr den Moment reicht es aus, zu wissen, dass ( xi ) stets ein Unterraum ist. Der Satz von Levy-Steinitz sagt also insbesondere aus, dass der Summenbereich von Reihen in normierten Rumen stets ein afner Untervektorraum ist. Dass dieser Satz eine echte Verallgemeinerung

E INLEITUNG

3

des Riemannschen Umordnungssatzes ist liegt daran, dass im Fall E = R fr eine bedingt konvergente Reihe gilt ( xi ) = R. Die Frage nach der bertragbarkeit dieser Ergebnisse fr beliebig dimensionale Vektorrume wurde zuerst von J.Marcinkiewicz durch ein Gegenbeispiel in L2 [0, 1] beantwortet. Dass sich sogar in jedem nicht endlich dimensionalen Banachraum eine Reihe nden lsst, deren Summenbereich nicht konvex ist, zeigte Vladimir M. Kadets 1986 [Kadets]. Es stellt sich also die Frage, welche Bedingungen fr eine Reihe hinreichend sind, um eine dem Satz von Steinitz entsprechende Aussage ber den Summenbereich zu erhalten. In dieser Arbeit wollen wir eben dieser Frage nachgehen. Fr eine spezielle Klasse von Banachrumen fand M.I. Kadets 1954 eine hinreichende Bedingung. Er zeigte, dass es fr die konvexitt des Summenbereichs einer Reihe in Lp , 1 < p < 2 hinreichend ist, dass xi p konvergiert. Es wurden weitere Bedingungen bzw. Verbesserungen von anderen gefunden. Die meisten dieser Ergebnisse lassen sich auf zwei fr allgemeine Banachrume gltige Stze zurckfhren. 1985 publizierte S.A. Chobanyan einen Satz fr allgemeine Banachrume, in dem er eine hinreichende Bedingung angibt. 1988 wurde ein weiterer, ebenfalls fr allgemeine Banachrume gltiger Satz von D.V. Pecherskii verffentlicht. Etwas spter, jedoch unabhngig von Pecherskii, verffentlichte auch Chobanyan einen Beweis des Satzes. Der Beweis des Satzes von Levy-Steinitz baut auf den folgenden zwei Lemmata auf: 1. Rounding-off-Coefcients Lemma: Lemma 0.1. Sei X ein normierter Raum, mit dim X = m. Dann gibt es fr jede endliche Menge {x1 , . . . , xn } von Vektoren aus X und fr beliebig gewhlte Skalare 1 , . . . , n [0, 1] (gerundete) Koefzienten 1 , . . . , n {0, 1}, so dass giltn n

i xi i=1 i=1

i xi

m max xi . 2 1in

2. Rearrangement Lemma:

E INLEITUNG

4

Lemma 0.2. Zu jeder endlichen Menge {x1 , . . . , xn } von Vektoren in einem m-dimensionalen normierten Raum X, gibt es eine Permutation P erm({1, . . . , n}), so dass fr jedes k = 1, . . . , n giltk

i=1

km x(i) n

n

xi m max xi .i=1 1in

Aus dem Beweis des Satzes von Levy-Steinitz lassen sich Bedingungen gewinnen, um die Aussage auf Reihen in beliebigen Banachrumen zu bertragen. Diese Bedingungen ersetzen dann im Beweis die beiden genannten Lemmata. Der von Chobanyan entwickelte Beweis des Satzes von Pecherskii basiert auf eben diesen Bedingungen. Auch der Satz von Chobanyan, obwohl er bereits frher entdeckt wurde, lsst sich durch Prfen dieser beiden Bedingungen beweisen. Es lsst sich auerdem noch eine weitestgehend gemeinsame Linie beider Beweise nden. Nachdem wir im ersten Kapitel die grundlegenden Denitionen festlegen, werden wir im zweiten Kapitel die aus dem Beweis zum Satz von Steinitz gewonnenen Bedingungen beweisen. Im dritten Kapitel werden wir dann ein Kriterium kennen lernen, das uns sowohl zum Beweis des Satzes von Pecherskii als auch zum Beweis des Satzes von Chobanyan dienen wird. Dem Beweis des Satzes von Pecherskii werden wir uns in Kapitel 4 widmen. Da der Satz von Chobanyan Hilfsmittel aus der Wahrscheinlichkeitstheorie verwendet, werden wir diese zunchst in Kapitel 5 einfhren. In Kapitel 6 beweisen wir dann den Satz von Chobanyan. Abschlieend zeigen wir in Kapitel 7 ein Beispiel fr die Anwendung des Satzes von Chobanyan, indem wir den bereits erwhnten von M.I. Kadets 1954 verffentlichten Satz zur Konvexitt des Summenbereiches von Reihen in Lp auf den Satz von Chobanyan zurckfhren.

Kapitel 1 GrundlagenIm Folgenden werden stets reelle Vektorrume gemeint sein, wenn von normierten- bzw. Banachrumen die Rede ist. Als erstes wollen wir denieren, was eine Reihe ist und Schreibweisen festlegen. Wir sttzen uns dabei auf die allgemein blichen Denitionen von Folge und Folgenkonvergenz. Denition 1.1. Seien X ein normierter Raum und (xi )iN eine Folge in X. Als abkrzende Schreibweise fr eine endliche Anzahl von Nacheinanderausfhrungen von Additionen benutzen wir folgt: n xi := x1 + + xn . Dann denieren wir i=1 1. Die Folge (n i=1 xi )nN

wie

heit Reihe der xi . xi fr die Reihe der xi schreiben.n i=1

Abkrzend werden wir auch 2. Das k-te Folgengliedk i=1

xi der Reihe (

wir auch als k-te Partialsumme der Reihe (

xi )nN bezeichnen n i=1 xi )nN .

Im Falle der Konvergenz einer Reihe xi bezeichnen wir ihren Grenzwert mit i=1 xi , d.h. wir denieren xi := limn ( n xi ). i=1 i=1 Wir werden als nchstes denieren, was eine Umordnung einer Reihe ist. Denition 1.2. Seien X ein normierter Raum, xi eine Reihe in X und P erm(N) eine Permutation der natrlichen Zahlen. Dann heit Reihe x(i) := ( xi .n i=1

x(i) )nN die durch induzierte Umordnung der

Fr eine Reihe knnen wir auer der gewhnlichen noch andere, sich unterscheidende Konvergenzen denieren. Im Folgenden denieren wir absolute und unbedingte Konvergenz.

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Denition 1.3. Seien X ein normierter Raum und in X. Genau dann heit xi xi

xi eine Reihe

1. absolut konvergent, falls die Reihe konvergiert,

der Normen der xi

2. unbedingt konvergent, falls fr alle Permutationen P erm(N), die Reihe x(i) konvergiert, wenn also jede Umordnung konvergiert. Es ist unmittelbar ersichtlich, dass die unbedingte die gewhnliche Konvergenz impliziert. In einem Banachraum folgt auch aus der absoluten Konvergenz die gewhnliche Konvergenz. Da die Umkehrungen nicht gelten, macht eine Denition von bedingter Konvergenz Sinn. Denition 1.4. Seien X ein normierter Raum. Eine konvergente Reihe xi in X heit genau dann bedingt konvergent, falls sie nicht unbedingt konvergiert, d.h. falls wenigstens eine divergente Umordnung existiert. Im Beweis des folgenden Satzes benutzen wir den Umordnungssatz von Riemann und die Aussage, dass alle Umordnungen einer absolut konvergenten reellen Reihe denselben Grenzwert haben. Satz 1.5. In einem Banachraum X hat jede Umordnung einer unbedingt konvergenten Reihe xi denselben Grenzwert, d.h. fr jede Permutation P erm(N) gilt i=1

xi =

i=1

x(i) . xi und y := i=1

Beweis. Sei P erm(N). Setze x := Angenommen es gilt x = y.

i=1

x(i) .

Einen Widerspruch knnen wir produzieren, indem wir ausnutzen, dass fr jeden normierten Raum X der Dualraum X punktetrennend ist [Werner, S. 98], d.h. es gilt: Fr je zwei verschiedene Elemente x, y X gibt es ein Funktional f X , so dass gilt f (x) = f (y). Sei also f X mit f (x) = f (y). Dann folgt

f (x(i) ) = f (i=1 i=1

f stetig

x=y

x(i) ) = f (i=1

xi ) =

f stetig

f (xi ).i=1

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Hieraus folgt die Existenz einer divergenten Umordnung, d.h. es existiert eine Permutation P erm(N), so dass f (x(i) ) divergiert. Da f stetig ist, folgt x(i) divergiert. Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, es gilt also xi = x(i) . i=1 i=1 Die konvergenten Umordnungen bedingt konvergenter Reihen knnen sehr wohl verschiedene Grenzwerte besitzen. Fr bedingt konvergente Reihen in den reellen Zahlen besagt der Satz von Riemann, dass die Menge der durch Umordnung erreichbaren Grenzwerte die gesamte Menge der reellen Zahlen ist. Fr normierte Rume mit mehr als einer Dimension gilt das nicht mehr. Da wir die Struktur der Menge der Grenzwerte von konvergenten Umordnungen einer Reihe betrachten wollen, fhren wir den Begriff des Summenbereiches einer Reihe ein. Denition 1.6. Seien X ein normierter Raum und in X. Dann heit die Menge

xi eine Reihe

SB(

xi ) := {x X| P erm(N) :i=1

x(i) = x}

Summenbereich der Reihe

xi .

Bemerkung 1.7. Der Summenbereich einer Reihe ist permutationsinvariant, d.h. es gilt fr jede