ASTRONOMISCHE NACHRICHTEN. Band 243. Nr. 5820. 12.

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Die Librationsperiode der Troj aner in ihrer Abhangigkeit von der Librationsamplitude. Von B. Thuring.

I . In einer fruheren Abhandlungl) habe ich eine Theorie der Trojaner entwickelt, deren Gultigkeit nicht auf die engere Umgebung der Lagrangeschen Librationspunkte beschrankt ist, sondern die die Bahnen der Trojaner auch in grol3em Abstand von ihnen zu herechnen gestattet. Es zeigte sich, daLi Korper, deren tagliche mittlere Bewegungen 11 die Unglei- chung 276"<n<322" an der Stelle l=l'-+60° ( 2 bzw. 2' sind die Langen von Trojaner bzw. Jupiter) erfiillen, urn den betreffenden Librationspunkt geschlossene Bahnkurven be- schreiben. Diese wiederum haben die bemerkenswerte Eigen- schaft wachsender Asymmetrie gegen den Librationspunkt mit wachsender Entfernung der Umkehrpunkte daldt = o (a = l- 1') von demselben, d. h. also mit wachsender Ampli- tude. da/dt ist die synodische Winkelgeschwindigkeit des Trojaners in einem um die Sonne mit der mittleren Bewegung n' des Jupiter rotierenden Achsensystem. Die Stellen da/dt = o entsprechen demnach den Punkten maximalen Abstandes vom Librationspunkt.

Die letzte Zeit hat die Zahl der bisher bekannten Tro- janer urn z vergroOert, so daO wir nunmehr 5 Jupiter voran- gehende und 4 nachfolgende kennen. Obwohl fast alle diese Korper nur maOige Amplituden besitzen, spricht doch nichts dagegen, daO auch noch Korper in groflerer Entfernung von den Librationspunkten vorhanden sind, und gerade diese waren von besonderem theoretischen Interesse, wie die Ergeb- nisse vorliegender Arbeit zeigen sollen. Die geringe mittlere Bewegung dieser Planetoiden freilich erfordert ein speziell auf sie eingestelltes photographisches Absuchen der Ekliptik- gegend.

2 . Die Grundgleichung der Theorie lautet : d2a zkm' da 3 P m ' - d P + - f (a ) a"/' - dt +-f(a) 2 d 8 =o. (1)

f(a)= -Z-'/'(I -cosa)-*h sina+2sina (2)

Hier istf(a) definiert durch:

und m', a', k bedeuten Jupitermasse, grol3e Achse der Jupiter- hahn und GauJsche Konstante.

Als erstes Integral ergah sich:

(3)

wo I;, der Wert der Funktion I;= -Jf(a)da= -2+'/*(1 -cosa)-'/'+2cosa (4)

an den Stellen da/df = o ist. N ist definiert durch

H = -$ a"lalk und I; und f sind verknupft durch die Beziehung:

dFlda = - f. (4a) Die vorliegende Arbeit sol1 sich nun mit der weiteren Be- arbeitung des Integrals

t - to = 4H *vs *J[(F- R0) + m'(F- Fo)2]-1" da (5 )

und der Periode der Libration at

,P=gH 1/" m ~S[(F-Fo)+m'(I;-I;o)2~o)'l-'h da (6)

befassen, wo al und a? die Wurzeln des im Nenner stehenden Ausdrucks sind.

Zunachst kann - dies ist aber nicht notwendig - das Glied in m' vernachlksigt werden, so daO sich die beiden Integrale reduzieren auf:

a1

t- to = IH v$ *s (F- F,,)"'~ da (7) und

Das Periodenintegral gehort zu der Gruppe der uneigentlichen Integrale, da der Integrand an den Grenzen des Integrals unendlich groB wird. Denn a1 und a2 entsprechen nach obigem dem Wert F=F0; da demnach a1 und a, von So abhangen, wird die Periode P eine Funktion von Po, also der Amplituden sein :

Diese Funktion gilt es zu ermitteln. Man wird zu diesem Zwecke zunachst die Singularitat

des Integranden an den Grenzen ai zu beseitigen suchen durch Einfuhrung einer geeigneten Substitution. Als solche bietet sich

dar. Dann wird F= F0 + p 2 ; da = + ___ 2p dp oder nach (4a)

da = - zp.dp/f(a), woraus fnlgt:

P=P(ai) i = ~ , 2 . (9)

(P- F0)+''8 = p (10)

dF/da

0

Aus (2) kann man ersehen, daD,f(a) nur bei a = 60' verschwin- det. Der Integrand von (11) besitzt also nur eine einzige Singularitat, so daO sich die Integrale (7) und (11) einander erganzen; man wird zur Bestimmung der Periode P zuerst mit Hilfe von (7) von a = 60' nach beiden Seiten bis zu belie- bigen Werten al' und a2' integrieren (a2>a2'>600 >al'>a,)

l) B. Tfziiring, Uber die Planeten vom Kommensurabilitiitstypus I / I , AN 238.357.

13

und dann mit Hilfe von (11) von p=o bis zu den Werten von p , welche al' bzw. agl entsprechen. Die Addition dieser 4 Teil- stiicke, von denen je zwei infolge der Symmetrie der Bahn zur Kommensurabilitiitslinie einander gleich sind, liefert schliel3- Iich die Periode P.

3. Die Kompliziertheit der Funktionen F und f, be- sonders da in letztere in (I I) als unabhiingige Variable p statt a eingefuhrt werden soll, macht eine strenge analytische

a I; 23O 23.5 24 24.5 2 5

25.5 26 26.5 27 27.5 28 28.5 29 29.5 30 30.5 3' 31.5 32 32.5 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47

- 3.1749 - 3.0765 - 2.9827 - 2.8932 - 2,.8077 - 2.7260 - 2.6480 - 2.5732 - 2.5015

- 2.4329 - 2.3674 - 2.3047 - 2.2446 - 2.1870 - 2.1318 - 2.0788 - 2.0277 - 1.9788 - 1.93'8

- 13435 - 1.8867

- 1.7622 - 1.6872 -1.6180 -1.5543 - 1.4956 - 1.4414 -1.3917 - I 4460 - 1.3041 - 1.2659 -1.2311

- 1.1992 - 1.1700 -1.1439

+ 984 + 938 + 895 + 855 +817 +- 780 + 748 + 7'7 + 686 + 655 + 627 + $01

+ 576 + 552 + 530 + 5 I l

+ 489 + 470 + 451 + 432 + 813 + 750 + 692 + 637 + 587 + 542 + 497 + 457 + 419 + 382 + 348 + 319 + 292 + 261

a F 47" -1.1439 48 -1.1203 49 -1.0993 50 -1.0806 51 -1.0641 52 -1.0499

. 53 -1.0376 54 -1.0272 55 -1.0185 56 -1.0117 57 -1.0064 58 -1.0028 59 -1.0007 60 -I.OOOO 61 62 63 64 65 66 67 68 69 7 0 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

+ 236 + 210 + 187 + 165 + 142 + 123 + 104 + 87 + 68 + 53 + 36

+ 7 + 2 1

b . - - 1.0006 - 1.0026 - 1.0060 - 1.0106 - 1.0161 - 1.0226

- 20 - 34 - 46 - 55 - 65 - 77

88 97

- 1.0303 - - 1.0391 - -1.0488 -Io6 - Ia0594 - 116 - 1.0710 - 123

- I 3 1 - 140 - 146 - '54 - '59

- 173

- 185

- I .0833 - I .0964 - 1.1104 - 1.1250 - 1.1404 -1*1563 - 169 - 1.1732 - 1.1905

- 1.2269 -1.2084 -IiJ9

I;=F0+pZ - 3.000 - 2.975 - 2.950 - 2.925 - 2.900 - 2.875

- 2.825 - 3.800

- 3.850

Integration unm6glich. Man ist auf numerische Auswertung der Integrale (7) und (11) angewiesen; indessen kann diese in kurzester Zeit bewerkstelligt werden, sobald F= F(a) und f ( a ) =+(F) tabuliert vorliegen; denn, da F=Fo +pa ist, ist damit auchf(a)= +(p,F,,) dargestellt, so wie es das Integral (11) verlangt. Die Tabelle'n I und 2 enthalten die genannten Funktionen.

Tabelle I . F=I;(a).

- a I; 81' -1.2269

83 -1.2655 84 -1.2855 85 -1.3060 86 -1.3268

82 -1.2459

87 -1.3481 88 -1.3698 89 -1.3918 90 -1.4142 9' - 1.4369

93 -1.4833 94 -1.5069

96 -1.5547 97 -1.5789

99 -1.6279

I02 -1.7026

92 -1.4600

95 - 1.5307

98 -1.6034

100 -1.6527 IOI -1.6775

103 -1.7278 104 -1.7529 105 -1.7782 106 -1.8034 107 -1.8288 108 -1.8541 109 -1.8793

111 -1.9300 112 -1.9555 113 -1.9807 114 -2.0059

I10 -1.9045

115 -2.0309

- 190 - 196

- 2 0 5

- 208 - 213 - 217

- 224 - 227 - 231 - 233 - 236 - 238 - 240 - 242 - 245 - 245 - 248 - 248 - 2 5 1

- 252 - 2 5 1

- 253 - 252 - 254 - 253 - 2 5 2

- 252 - 2 5 5 - 2 5 5 - 252 - 2 5 2

- 2 5 0

- 200

- 220

Tabelle 2. u=a(d

230906 24.043 24.181

24.461 24.605 24.750 24.897 25.046

24.320

+I37 1 + 138 + I39 + 141 f I44 + I45 + I47 + '49

a

I 80?000 170.300 I 66.2 82 163.140 160.5 I 5 158.173 156.042 I 54.085 152.252

- 9.700 -4.018

- 2.625

- 2.131 - 1.957 - 1.833

-3.142

- 2.342

I; - 2.0309 - 250

- 248 - 247 - 244

- 242 - 240 - 238 - 236

- 231 - 2 2 8

- 2.0808 - 2.1056 - 2.1303

-2.1790 - 2.2032 - 2.2272 - 2.2510 - 2.2746

-2.3211 - 2.2980 -234

-2.3889 -221

-2.4545 -21z -2.4757 -210

- '-3439 - 226

- 2.4110 -219 -2*4329 -216

-2.4967 -206

- 2.6152 - 184

- 2.6518 - 182 - '77 - 773 - 2.6868 - 170

- 2.7203

- 2 . 7 5 2 0

- 3.6336

- 2.6695

-2*7038 -'65

-"7S64 -156 - 161

f -10.593 +135 - ~0.458 - 10.323 - 10.191 - 10.058

+ '35 + 132 + '33 + 132

- 9.926 + 131 - 9.795 +130 - 9.665 +130 - 9.535

0

+ 0.2944 2944 + 1'93 +0.4137

+ 748 + 654 + 0.5800

f 0.7037 +0.7561 + 524

+0.5052 + 915

+Oe6454 + 583

+ 0.8040 + 479

a F 149' -2.7520 'so -2.7673 - - '53 14g 151 - 2 . 7 8 2 1

153 -2.8104

155 -2.8369

157 -2.8615

159 -2.8841 160 -2.8948 - 107

- '44

154 -2.8239 - 135

156 -23495 -120

158 -2.8731 - I I o

162 -2.9146 - 97

- 130 - 126

- 116

- I 0 1 161 -2.9049 -

92 86

- 80

163 -2.9238 - 164 -2.9324 165 -'*94'4 - 76 166 -2.9480

168 -2.9618 167 -'+955' - - 67 71

- 61 169 -'*g679 - 56 170 -2.9735 - 171 -2.9785 - 45

- 40 173 -2.9870 172 -2.9830

'74 -2.9904 - - 34 29

'75 -2.9933 - 34 176 -2.9957 -

178 -2.9989 - 8 '79 -2.9997 -

'9

3 180 -3.0000

I s5 5 8 2 0 I 86

P=Fo+p' - 2 .goo -2.775 - 2.750 - 2.725 - 2.700

- 2.675 - 2.650 - 2.625 - 2.600 -2.575 - 2.550 - 2.525 - 2.500 - 2.475 - 2 4 5 0 - 2.425 - 2.400 -2.375 - 2.350 - 2.325 - 2.300

- 2.275 - 2.250 -2 .225

-2.175 - 2.150 - 2.125

- 2.075 - 2.050 - 2.025

- 1.975 - i.950 - 1.925 - I .goo - 1.875 - I A50 - I .825 - 1.800 - 1.775 - 1.750 - 1.725 - 1.700 - 1.675 - 1.650 - 1.625 - I .600 -1.575 - 1.550 - 1.525 - I .SO0

-1.475 - I 4 5 0 - 1.425 - I 400

- 2.200

- 2.100

- 2.000

a

!so046 15.198 + 152

+ '54

25.825 + 163

+ 166 26.153 26.319 + 170

26.660 26.835 1:;; 27.011 + 180 27.191 + 183

25'988 +165

27*374 +1g7 27'561 +188 27.749 +Ig2 '7.94' + r 9 6 28.137

28.146 + 210

29.170

29.610

30.066

+ 218

+ 226

+ 233

30.780 31.027 + 247

+ 257

+ 271

31.281 +254

3I.539 +265 31.804

33.221 + 304

36.668 + 393 + 405

+ 486 38.836 39.322 39.829

f - 9-535 +131 - 9.404 +131 - ga273 +128 -

+ 128 - 9.016 - 8.888 + I a 7

- 8.634 +127

- 8.380

- 8.129 - 8.005 - 7.880

+ I25

+ 124 + I25 + 124

- 8*255 +126

- 7.756 +125 - 7.631 +122

- 7.509 +123 - 7.386 +123 - 7.263 +122

- 6.777 +122

- 5.939 + 118 - 5.821 + 117 - 5.7'4 +r18 - 5.586 + 1 1 7

- 5.469 + I I g - 5.35' + 116

+116 - 5.000

- 4.535 + 116 - 4.4'9 +Ir8 - 4.3" + 116 - 4*185 + I r 6 - 4'069 +116 - 3.953 + 116 - 3.837 + 1 1 7

- 3.485 + 1 1 7

- 3.368 + I I g

- 3'720 +118 - 3.602 + 117

- se249 +118 - - 3.012 - 2.892 + I20

+ I 2 2 - 2.770

.- +0.8040

+ 0.8893 + 442

+ 384

+ 1.0294 + 300

+ 269 + 1.0878 +1.1401 +254 + 241 + 1.1642 + 229

+216 + 1.1871 + 1.2087 + 205 + 1.2292 + 1.2485 + Ig3 + 185 + 1.2670 + 1.2844 + 164 + I .3008 + 1.3163 + + 146 + 1.3309 + 1 . 3 ~ 6

+ Imo594 +284

+ 1.1147

+ 87

+ 72

+ 1.4005 + 1.4092 + 1.4171 + 79

+ 48 + 1.4362 + 1.4410 + 40

+ 1.4526 + 6

+ 1.4522

+I4532 - I

- '7 - 35

+ 1.4401 - 54

+ I 4284 - 73 + 1.421 I - 84 - 94

+ I .3926 -117

- 131 + 1.3678 - I43

+I.3377 +I-3204

+ 1.2809

'I.4347 - 63

+ 1.4127

I 4809

+ "3535 - 158

+1.3015 -206

5 8 2 0

--

+ I 2 2

+ 123 + 124 + 126 + 129 + 131 + '35 + 136 + 341 + 347 + 359 + 366 + 352 + 355 + 374 + 379 + 376 + 372 + 386 + 394 + 396 + 401 + 415 + 423 + 424 + 438 + 453 + 458 + 469 + 489 + 509 + 534 + 553 + 589 + 633 + 671 + 3501 + 386 + 424 + 458 + 486 + 600 + 355 + 404 + 502 + J 2 2 I

P= Po + p2( a

-1.400 1 -1.375 - 1.350 -'*3'5 - 1.300 - '* '75 -1*250 - 1 . 2 2 5

- 1.2000 - 1.1938 -1*1875 - 1 . 1 8 i z -1.1750 -1.1688 - 1.1625 - 1.1562 - 1.1500 - I. 1438 -"I375 - 1.1312 -1 .1250

-1.1188 - 1 . 1 1 2 5

- 1.1062 - I .IOOO

- I .0938 - 1.0875 - 1.0812 - 1.0750 - 1.0688 - 1.0625 - I .0562

- 1.0438

- 1.0312

- 1.0219 - I .0188 - 1.0156 - 1.0125

- 1.0062 - 1.0046 - 1.0031 - 1.0016 - I .oooo

- I .0500

- 1.0375

- 1.0250

- I .0094

390829 + 5 2 7

40.356 +554 + 582

40.910 4I.49' +613 42.105 + 650

44'192 +783 44.975 + 205

+ 210

42.755 43'446 +746

45.180 45'39O +218 45.608 45.831 46.052 46.283

+ 223 + 228

+ 245 + 7-47 + 253

+ 270 + 278 + 287 + 298 + 307 +322

+ 347 + 362 49.968 50.330 + 319 50.709 +401

+ 428 5 i . 1 1 0 51.538 + 455

+ 489 + 528 52.482

+ 590 53.600 + 640 + 346 54.586 + 378 54.964 + 439 55.403 +47a

55.875 + 5 2 1

f 654 57.050 + 400

+ 456 57.450 57.906 + 594 58.500 + I .SO0 60.000

+ 2 2 2

46.519 + 239 46.764 47.01 I 47.264 +262 47.526 47.796 48.074 48.361 48.659 48.966 49.288 49.621 + 333

5 I .993

53.010

54.240

56.396

4. Mit Hilfe der Tabellen I und 2 laDt sich zu einem vorgegebenen Umkehrpunkt q (i= I , 2) sofort der korre- spondierende, auf der anderen Seite des betreffenden Libra- tionspunktes gelegene Umkehrpunkt aikI bestimmen. Zu diesem Zwecke entnimmt man au5 Tabelle I mit dem Argu- ment ai (i= I , 2) den zugehorigen 'Wert &?=Po und geht damit in Tabelle 2 ein, wo man unter der Rubrik a (sowohl den Ausgangswert ai wiederfindet, als auch) den korrespon- dierenden Wert aikI erhalt. Die Figur I zeigt eine nach Ta-

-2.770 - 2.648 - 2 . 5 2 5

-2.401 - 2.275 - 2.146 - 2.015 - I ,880 - 1.744 - 1.7101 - 1.6754 - 1.6395 - 1.6029 - 1.5677 - 1.5322 - I .4948 - 1.4569 - 1.4193 - 1.3821 - 1.3435 - 1.3041 - 1.2645 - 1.2244 - 1.1829 - 1.1406 - I .0982 - 1.0544 - I .0091 - 0.9633 -0.9164 -0.8675 -0.8166 -0.7632 - 0.7079

- 0.5857 -0.5186 - o 4836 - 0 4450

- 0.6490

- 0.4026 - 0.3568 - 0.3082 -0.2482 - 0 . 2 1 2 7

-0.1723 -0.1221

0

f + r.2809 + 1.2584 + 1.2337 + 1.2069 +la1774 + 1.1451 + 1.1098 + 1.0710 + 1.0~59 + 0.9914 +0.9790 + 0.9660 + 0.9525 + 0.9387

+ 1.0274 I .0039

4-0.9242 +0.9091 + 0.8938 +0.8615 + 0.8441 + 0.8262 + 0.8074 + 0.7880 + 0.7676 +0.7461 +0*7235 i- 0.6997 + 0.6747

+ 0.87 19

+0.6482 +0.6196 +0.5890 +0.5555 fo.5190 +0.4785 + 0.4327 +04071 +0.3779 + 0.3463 +o.3101 + 0 . 2 7 0 7

+om1933 +0.1614 +O.IZOO

0

+0.2244

- 225 - 247 - 268 - 295 - 323 - 353 - 388 - 436 - I 1 5

- 125 - 124 - 130 -135 - 138 - 145 - 1 5 1

- '53 - '59 - 164 - 1 7 4 -179 - 188 -.I94 - 204 -215

- 226 - 238 - 250 - 265 - 286 - 306 - 335 - 365 - 405 - 458 - 256 - 292 -316 - 362 - 394 - 463 -311 - 3'9 -414

- I 2 0

- 1 2 0 0

belle 3 gezeichnete graphische Darstellung der mit wachsender Amplitude (oder wachsendem Absolutwert von Po) stark zunehmenden Asymmetrie der Bahn zum Librationspunkt. Als Ma13 der Asymmetrie wurde die naheliegende Definition:

a2 - 60" A=-- 60" - al

gewahlt. Wir erhalten so eine vom Werte I (Librationspunkt) ziemlich rasch und gleichmaflig ansteigende, sanft gekriimmte Linie.

T a b e l l e 3. I a2 - 60' 60' -a,

Die Asymmetrie -- - der Librationsbahnen.

a2 I a, go [Aspmetrid 60' 60" I -1.0000 I 1.000

7 0 51 .32 1 -1.0594 1.152

90 39.54 1 -1.4142 1.466 I 2 0 ' 29.79 I -2.1547 , 1.986

I 7 0 4 24.05 -2.9735 3.060 150 , 2 5 . 2 5 1 -2.7673 ' 2.589

In der Bahn u2=17oo (Fo= -2.9735) teilt also der Librationspunkt die zwischen aI und a2 gelegene Strecke bereits im Verhaltnis I : 3.

5. Wenn oben behauptet wurde, daB die Jntegrale (7), (8) und ( I I) einer analytischen Auswertung nicht zuganglich sind, so mochte ich bemerken, daB diese Behauptung nur rnit einiger Einschrankung gilt. Die Integrale (7) und (8) lassen sich namlich fur Bahnen mit infinitesimaler Amplitude analytisch angeben, und ebenso gibt es eine in hinreichender Nahe der Stelle p = 0, d. h. da,/dt = 0 , also der Umkehrpunkte a,

Fig. I. Asymmetrie der Librationsbahnen.

(auch bci Bahnen rnit endlicher Amplitude) ziemlich genaue Naherungslosung des Integrals ( I I).

a) Vernachlassigen wir in ( 5 ) wie bisher das Glied in m', was bei Reschrankung auf die unmittelbare Lmgebung des Librationspunktes wegen der Kleinheit von F- Fo in diesem Falle doppelt gerechtfertigt ist, so entspricht dies dem Weg- lassen des Gliedes 2 km'/a"'' *f(a) - da/dt in (I) . Entwickelt man in der so entstehenden Rumpfgleichung

d2a 3k2m' -+-- -f(a)=o dt2 2 d 3

die Funktion f (a) [Gleichung (2)] nach Potenzen von K, wo K= a - 60", also die Elongation voni Librationspunkt bedeutet, und bricht man die Reihe nach dem ersten Gliede .ab, SO

erhalt man:

und f ( a ) = t K

gleichung vor uns rnit der Losung:

Kl und c sind Integrationskonstanten; die Frequcnz a betragt 2410 und entspricht, wie bekannt, einer Periode von 147.8 Jahren.

b) Die Naherungslosung von (11) in der Umgebung von p = o gewinnt man aus der Entwicklung des Integranden 4 = I / f nach Potenzen von p:

K=K, sin[a(t+c)J . (1x3)

Nun ist

4 = 4 0 + P ( z)o + &Pa ( d24 @)o .

Da aber, wie aus (11 ) folgt:

Wir haben also die von Prof. WiCKens als Grundlage einer absoluten Storungstheoriel) der Trojaner benutzte Differential-

l) A. WzZRens, Untersuchungen zu einer Storungstheorie der Planeten der Jupitergruppe; Heidelberg. Sitz:Ber. 1918, Nr. 16. B. Thiinirg, Darstellung der Bewegung eines Planeten der Jupitergruppe durch eirie absolute Storungstheorie; AN 235.17.

so ergibt sich :

-2.1547 172.6 -2.7673 215.7 -2.9735 294.0

und hieraus :

171.2 216.8 305.4

. . Das 2. Glied der rechten Seite, das in p von der 3. Ordnung klein ist, ist in genugend enger Umgebung der Umkehr- punkte ai zu vernachlbsigen; es konnte also, wenn eine Un-

genauigkeit von wenigen Jahren in Kauf genommen wird, die 1 numerische Auswertung des Integrals (I I) dadurch umgangen 1 werden, daD man die numerische Integration von (8) bis ganz

nahe an die Umkehrpunkte P=F, fortsetzt (z. B. bis a{ und a;) und dann die beiden Glieder

I - , hinzufugt. Mit Hilfe der Formeln der numerischen Integration la& sich demnach die Periode P folgendermaBen darstellen :

Hierbei bedeutet A a das moglichst zweckmsig zu wahlende Integrationsintervall und c= ~ / p .

In Tabelle 4 finden sich nun fur einige ausgewahlte Werte von ag die entsprechenden Perioden, sowohl die strengen Werte als auch die nach (I 3) berechneten, geniiherten Betrage. Die GrijDe der Differenzen zwischen beiden Methoden hangt natiirlich von dem gewahlten Integrationsintervall A a ab, da man die Ubergangsgrenze der Integrale (7) und (11) urn so naher an die Umkehrpunkte al und aa verlegen und damit die Leistungsfahigkeit der Methode (13) um so mehr ver- groDern kann, je kleiner A a gewahlt wird. Andererseits hangt die Genauigkeit der Naherungsmethode, wie (13) zeigt, noch

von den Werten vonf(a)i und ci)ai (i= I , 2) ab.

Tabel le 4. Beziehung zwischen Periode und Am

+

Fig. 2. Beziehung zwischen Periode und Amplitude.

Die Perioden-Amplituden-Kurve (9) ist nun in Figur 2 wiedergegeben.

Bis zu aa= 70’ bleibt die Periode ungefahr konstant 148 Jahre und wachst dann rascher und rascher bis zum rund doppelten Betrage an bei aa = I 70’) also einer Amplitude von I 10’ (von Jupiter weg). Zum Unterschied von der Asyrnmetrie

litude. Diff. - + 7?7 + 7-9

+ 1.4 - 11.4

+ 2.1

I .I -

Fig. I , deren Verlauf von der storenden Masse und den Bahn- dimensionen des storenden Korpers vollstandig unabhangig ist, andert sich die Periode proportional zu V(d3/m’) .

6 . Zum Schlusse sol1 die Theorie auf die bis heute bekannten g Trojaner angewandt werden. Mit Hilfe der durch die Bahnelemente gegebenen Werte a = l - I ‘ und n-n’ laat

* 93 5 8 2 0 I94

sich zunachst aus Tabelle I das zu a gehorige F entnehmen. Sodann liefert die aus Gleichung (3) entstehende Formel:

a'3

3k m F, = - -2y - (n - n')2 + I;

die GroDe F,, der gemaB Tabelle 2 die beiden Umkehr-

punkte al und a2 entsprechen. Druckt man n-n' in Bogen- sekunden pro Tag aus, so besitzt l o g ( 0 ' ~ / 3 ~ m ' ) fur Jupiter den Wert 7.59165-~,. Damit sind die beiden Teilamplituden a2-600 und 60" -a1 gefunden. Die Resultate sind in Tabelle 5 gegeben :

Tabelle 4 .

Das auffallendste Ergebnis bilden die Bahnen von Hektor und Anchises. Wahrend die symmetrische Wilkens- sche Losung (12a), die nur in der Nahe der Librationspunkte gilt, fur Hektor die hisher groDte Amplitude von 18?0 nach beiden Seiten ergabl), liefert nun die Berucksichtigung der Bahnasymmetrie eine Amplitude von 3z?9 nach der Jupiter abgewandten Seite der Rahn. Den nlchst grooten Ausschlag

Sternwarte Munchen, 1931 April.

I vollzieht Anchises rnit 2801. Die Trojaner drangen sich also nicht so eng um die Librationspunkte, wie bisher angenommen wurde. Liegt schon theoretisch kein Grund fur den engen AnschluB der Trojaner an die Librationspunkte vor, so ist rnit dem vorliegenden praktischen Ergehnis ein erneuter Hinweis auf das mogliche Vorhandensein von Korpern groDer Amplitude gewonnen.

B. Thuring.

l) A. WilRens, 1. c., p. 39.

Jan Hendrik Wilterdink. J. H . Wilferdink verschied am 15. Februar 1931 im Haag, wo er seit 1919 ohne Amt wohnte; von 1878

bis 1918 war er mit der Sternwarte der Leidener Universitat als Observator verbunden. Es wurde am 20. Juni 1856 geboren in Deventer, wo seine Eltern 0.1. Wilferdink und Ch. V. Rousseau du Croissi eine Buchhandlung rnit Druckerei und Verlag betrieben. /un Hendrik, ihr zweiter Sohn, genol3 den Unterricht am Athenaeum, spiiterhin Gymnasium, und bestand rnit Lob 1874 die Abgangsprufung. Sodann studierte er Philosophie in Leiden und bestand daselbst am 2 2 . Juni 1877 magna cum laudecc die Kandidatenprufung in Mathematik und Physik. Am 16. Marz 1878 erfolgte auf Vorschlag des Direktors H. G. van de Sande Bakhuyses seine Anstellung als 2. Obser- vator der Sternwarte in Leiden. Willerdink zog die philosophisch-theoretische Richtung der Astronomie weniger an a k die technisch-praktische, so dal3 er sich durch die ihm ubertragenen Amtsgeschafte vollig in Anspruch nehmen lieD. Am Meridiankreis war damals ein P r o g r a m in Angriff genommen, das die genaue Ortsbestim- mung von etwa 80 helleren Sternen nordlich von + 80" Deklination umfaDte. Hinzu trat im Jahre 1880 ein neues und gr6l3eres Unternehmen, die genaue Ortsbestimmung der 300 Anhaltsterne der sudlichen Zonen des Katalogs der Astronomischen Gesellschaft. Ende 1885 wurden die Beobachtungen der Polarsterne abgeschlossen, diejenige der sudlichen Sterne zog sich noch 10 Jahre weiter hin. Neben diesen Beobachtungen am Meridiankreise fuhrte Willer- dink am 6-zolligen Refraktor Ortsbestimmungen von Kleinen Planeten und Kometen, Beobachtungen von Stern- bedeckungen und Verfinsterungen der Jupitersatelliten aus. Auch lag ihm ob die Sorge fur eine fur das Publikum bestimmte elektrische Uhr nebst deren ZubehBr. Gern fuhrte er auch praktische Arbeiten aus, wie Fullung von Niveaurohren, Aufspannen von Faden in Mikrometem, die Gangkorrektur von Pendeluhren. Auch an der Reduk- tion der Beobachtungen, der eigenen wie auch anderer Beobachter, nahm er teil. 1884 begann er die Reduktion der Leidener Zone + 30' bis + 35' des Katalogs der Astronomischen Gesellschaft und vollendete diese grolje Arbeit im Jahre 1902 rnit der Herausgabe des 8. Stuckes des Katalogs. Die den Katalog ergiinzenden Reobachtungen hat er zum Teil selbst ausgefuhrt. In Anerkennung seiner Arbeiten verlieh ihm im Jahre 1902 der Senat der Leidener Universitat die Wurde eines Dr. h. c. in der Astronomie und Mathematik. AuDerhalb des Dienstes der Sternwarte hatte Wilterdznk im Jahre 1893 im Auftrage der Niederlandischen Regierung astronomisch-geodatische Arbeiten auf der HVrouwenheidee bei Ubagsberg auf einem gemeinschaftlichen Dreieckspunkte der Deutschen, Belgischen und Niederllndischen Triangulation ausgefuhrt. Die Ergebnisse dieser Beobachtungen erschienen 1905 in Delft als Publikation der Niederlandischen Kommission fur Gradmessung und Kivellement. Als Mitglied der von der Akademie der Wissensrhaften in Amsterdam eingesetzten Kommission zur Vorbereitung von Beobachtungen der totalen Sonnenfinsternis am 18. Mai 1901 in Niederllndisch-Ostindien begab er sich mit Prof. Nijland im Jahre 1900