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Die Schrödinger GleichungEine Einführung
Christian Hirsch
Die Schrodinger Gleichung – p. 1/16
Begriffserklärung
Was ist die Schrödingergleichung?
Die Schrodinger Gleichung – p. 2/16
Begriffserklärung
Was ist die Schrödingergleichung?
Die Schrödingergleichung ist die Grundgleichungder nichtrelativistischen Quantenmechanik. Sie
beschreibt als Wellengleichung die zeitlicheEntwicklung des Zustands eines unbeobachteten
Quantensystems.(Wikipedia)
Die Schrodinger Gleichung – p. 2/16
Grundlagen
� Der Zustand eines Teilchens kann durch dieWellenfunktion ψ(x) beschrieben werden.
Die Schrodinger Gleichung – p. 3/16
Grundlagen
� Der Zustand eines Teilchens kann durch dieWellenfunktion ψ(x) beschrieben werden.
� |ψ(x)|2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich dasTeilchen am Ort x aufhält.
Die Schrodinger Gleichung – p. 3/16
Grundlagen
� Der Zustand eines Teilchens kann durch dieWellenfunktion ψ(x) beschrieben werden.
� |ψ(x)|2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich dasTeilchen am Ort x aufhält.
�
∫
∞
−∞|ψ(x)|2dx = 1
Die Schrodinger Gleichung – p. 3/16
Grundlagen
� Der Zustand eines Teilchens kann durch dieWellenfunktion ψ(x) beschrieben werden.
� |ψ(x)|2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich dasTeilchen am Ort x aufhält.
�
∫
∞
−∞|ψ(x)|2dx = 1
�
x
ψ(x)
Die Schrodinger Gleichung – p. 3/16
Grundlagen
� Der Zustand eines Teilchens kann durch dieWellenfunktion ψ(x) beschrieben werden.
� |ψ(x)|2 ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich dasTeilchen am Ort x aufhält.
�
∫
∞
−∞|ψ(x)|2dx = 1
�
x
|ψ(x)|2
Die Schrodinger Gleichung – p. 3/16
Formel
� Nun zur zeitunabhängigen, eindimensionalenSchrödingergleichung
Die Schrodinger Gleichung – p. 4/16
Formel
� Nun zur zeitunabhängigen, eindimensionalenSchrödingergleichung
−h2
2mψ′′(x) + Epotψ(x) = Egesψ(x)
Die Schrodinger Gleichung – p. 4/16
Herleitung?
� Fundament der Quantentheorie
Die Schrodinger Gleichung – p. 5/16
Herleitung?
� Fundament der Quantentheorie
� Keine Herleitung im eigentlichen Sinnemöglich
Die Schrodinger Gleichung – p. 5/16
Herleitung?
� Fundament der Quantentheorie
� Keine Herleitung im eigentlichen Sinnemöglich
� Allerdings: Plausibilitätsbetrachtungenmöglich; z.B. Potentialtopf
Die Schrodinger Gleichung – p. 5/16
Anwendung:Potentialtopf mit un-endlich hohen Wänden
x
Die Schrodinger Gleichung – p. 6/16
Anwendung:Potentialtopf mit un-endlich hohen Wänden
Epot
x0 L
Die Schrodinger Gleichung – p. 6/16
Anwendung:Potentialtopf mit un-endlich hohen Wänden
� Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) einkonstantes Potential
Die Schrodinger Gleichung – p. 7/16
Anwendung:Potentialtopf mit un-endlich hohen Wänden
� Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) einkonstantes Potential
� Wahl des günstigen Bezugssystem ⇒ Epot = 0
Die Schrodinger Gleichung – p. 7/16
Anwendung:Potentialtopf mit un-endlich hohen Wänden
� Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) einkonstantes Potential
� Wahl des günstigen Bezugssystem ⇒ Epot = 0
−h2
2mψ′′(x)+ 0·ψ(x) = Egesψ(x)
Die Schrodinger Gleichung – p. 7/16
Anwendung:Potentialtopf mit un-endlich hohen Wänden
� Ein Teilchen besitzt im Bereich (0; L) einkonstantes Potential
� Wahl des günstigen Bezugssystem ⇒ Epot = 0
−h2
2mψ′′(x) = Egesψ(x)
Die Schrodinger Gleichung – p. 7/16
Probeansatz
� Probeansatz: ψ(x) = A sin(bx)
Die Schrodinger Gleichung – p. 8/16
Probeansatz
� Probeansatz: ψ(x) = A sin(bx)
� −h2
2m(A sin(bx))′′ = EgesA sin(bx)
Die Schrodinger Gleichung – p. 8/16
Probeansatz
� Probeansatz: ψ(x) = A sin(bx)
� −h2
2m(A sin(bx))′′ = EgesA sin(bx)
�h2
2mAb2 sin(bx) = EgesA sin(bx)
Die Schrodinger Gleichung – p. 8/16
Probeansatz
� Probeansatz: ψ(x) = A sin(bx)
� −h2
2m(A sin(bx))′′ = EgesA sin(bx)
�h2
2mAb2 sin(bx) = EgesA sin(bx)
�h2
2mb2 = Eges
Die Schrodinger Gleichung – p. 8/16
Nebenbedingungen
� ψ(0) = 0, ψ(L) = 0
Die Schrodinger Gleichung – p. 9/16
Nebenbedingungen
� ψ(0) = 0, ψ(L) = 0
� ψ(x) = A sin(bx)
Die Schrodinger Gleichung – p. 9/16
Nebenbedingungen
� ψ(0) = 0, ψ(L) = 0
� ψ(x) = A sin(bx)
� bL = kπ ⇒ b =kπ
L
Die Schrodinger Gleichung – p. 9/16
Nebenbedingungen
� ψ(0) = 0, ψ(L) = 0
� ψ(x) = A sin(bx)
� bL = kπ ⇒ b =kπ
L
� Einsetzen in Eges =h2
2mb2 =
h2
8π2mb2
Die Schrodinger Gleichung – p. 9/16
Nebenbedingungen
� ψ(0) = 0, ψ(L) = 0
� ψ(x) = A sin(bx)
� bL = kπ ⇒ b =kπ
L
� Einsetzen in Eges =h2
2mb2 =
h2
8π2mb2
� Eges =h2k2
8mL2
Die Schrodinger Gleichung – p. 9/16
Normierung
�
∫
∞
−∞|ψ(x)|2dx = 1
Die Schrodinger Gleichung – p. 10/16
Normierung
�
∫
∞
−∞|ψ(x)|2dx = 1
�
∫ L
0A2 sin2(bx)dx = 1
Die Schrodinger Gleichung – p. 10/16
Normierung
�
∫
∞
−∞|ψ(x)|2dx = 1
�
∫ L
0A2 sin2(bx)dx = 1
� A2∫ L
0
1 − cos(2bx)
2dx = 1
Die Schrodinger Gleichung – p. 10/16
Normierung
�
∫
∞
−∞|ψ(x)|2dx = 1
�
∫ L
0A2 sin2(bx)dx = 1
� A2∫ L
0
1 − cos(2bx)
2dx = 1
� A2
[
x−(2 kπL )−1 sin(2 kπ
L x)2
]L
0
= 1
Die Schrodinger Gleichung – p. 10/16
Normierung
�
∫
∞
−∞|ψ(x)|2dx = 1
�
∫ L
0A2 sin2(bx)dx = 1
� A2∫ L
0
1 − cos(2bx)
2dx = 1
� A2
[
x−(2 kπL )−1 sin(2 kπ
L x)2
]L
0
= 1
� A2 L
2= 1 ⇒ A =
√
2
L
Die Schrodinger Gleichung – p. 10/16
Interpretation als stehende Welle
� Ergebnis der Schrödingergleichung
ψ(x) =√
2L sin( kπ
L x)
Die Schrodinger Gleichung – p. 11/16
Interpretation als stehende Welle
� Ergebnis der Schrödingergleichung
ψ(x) =√
2L sin( kπ
L x)
�kπL λ = 2π ⇒ λ = 2L
k ⇒ λ2 k = L
Die Schrodinger Gleichung – p. 11/16
Interpretation als stehende Welle
� Ergebnis der Schrödingergleichung
ψ(x) =√
2L sin( kπ
L x)
�kπL λ = 2π ⇒ λ = 2L
k ⇒ λ2 k = L
Die Schrodinger Gleichung – p. 11/16
Interpretation als stehende Welle
� Ergebnis der Schrödingergleichung
ψ(x) =√
2L sin( kπ
L x)
�kπL λ = 2π ⇒ λ = 2L
k ⇒ λ2 k = L
Die Schrodinger Gleichung – p. 11/16
Interpretation als stehende Welle
� Ergebnis der Schrödingergleichung
ψ(x) =√
2L sin( kπ
L x)
�kπL λ = 2π ⇒ λ = 2L
k ⇒ λ2 k = L
Die Schrodinger Gleichung – p. 11/16
Interpretation als stehende Welle
� Ergebnis der Schrödingergleichung
ψ(x) =√
2L sin( kπ
L x)
�kπL λ = 2π ⇒ λ = 2L
k ⇒ λ2 k = L
Die Schrodinger Gleichung – p. 11/16
Kinetische Energie
� Untersuchung des Terms −h2
2mψ′′(x):
Die Schrodinger Gleichung – p. 12/16
Kinetische Energie
� Untersuchung des Terms −h2
2mψ′′(x):
� −h2
2mψ′′(x) = −
h2
2m(√
2L sin( kπ
L x))′′
Die Schrodinger Gleichung – p. 12/16
Kinetische Energie
� Untersuchung des Terms −h2
2mψ′′(x):
� −h2
2mψ′′(x) = −
h2
2m(√
2L sin( kπ
L x))′′
� =h2
8π2m
k2π2
L2
√
2
Lsin( kπ
L x) =h2
8m
k2
(k λ2 )2
ψ(x)
Die Schrodinger Gleichung – p. 12/16
Kinetische Energie
� Untersuchung des Terms −h2
2mψ′′(x):
� −h2
2mψ′′(x) = −
h2
2m(√
2L sin( kπ
L x))′′
� =h2
8π2m
k2π2
L2
√
2
Lsin( kπ
L x) =h2
8m
k2
(k λ2 )2
ψ(x)
�h2
2λ2mψ(x) =
p2
2mψ(x) = Ekinψ(x)
Die Schrodinger Gleichung – p. 12/16
Fazit des Gedankenversuchs
� Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für Eges
möglich (Eigenwerte)
Die Schrodinger Gleichung – p. 13/16
Fazit des Gedankenversuchs
� Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für Eges
möglich (Eigenwerte)
� Bei anderen Werten: Divergenz im unendlichen
Die Schrodinger Gleichung – p. 13/16
Fazit des Gedankenversuchs
� Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für Eges
möglich (Eigenwerte)
� Bei anderen Werten: Divergenz im unendlichen
� Komplexitätssteigerung beimehrdimensionalen, zeitabhängigen Prozessen
Die Schrodinger Gleichung – p. 13/16
Fazit des Gedankenversuchs
� Nur ganz bestimmte, diskrete Werte für Eges
möglich (Eigenwerte)
� Bei anderen Werten: Divergenz im unendlichen
� Komplexitätssteigerung beimehrdimensionalen, zeitabhängigen Prozessen
� Oft keine Lösung in geschlossener Formmöglich
Die Schrodinger Gleichung – p. 13/16
Ausblicke: Endlicher Potential-topf
x
Die Schrodinger Gleichung – p. 14/16
Ausblicke: Endlicher Potential-topf
x
ψ(x)
Die Schrodinger Gleichung – p. 14/16
Ausblicke: Endlicher Potential-topf
x
ψ(x)
Die Schrodinger Gleichung – p. 14/16
Ausblicke: Tunneleffekt
x
Die Schrodinger Gleichung – p. 15/16
Ausblicke: Tunneleffekt
x
ψ(x)
Die Schrodinger Gleichung – p. 15/16
Ausblicke: Tunneleffekt
x
ψ(x)
Die Schrodinger Gleichung – p. 15/16
Ausblicke: Tunneleffekt
x
ψ(x)
Die Schrodinger Gleichung – p. 15/16
Für Spielereien
www.schulphysik.de/java/physlet/applets/quant2.html
http://www.cip.physik.uni-muenchen.de/~milq/kap10/images/slange.exe
http://www.cip.physik.uni-muenchen.de/~milq/kap10/images/wippe.exe
http://phys.educ.ksu.edu/vqm/
Die Schrodinger Gleichung – p. 16/16
