Die Wirkung der Reibungskraft

Der thermische Wind

Luftbewegungen bei äquivalent-barotroper Schichtung

Die Wirkung der Reibungskraft

Innerhalb der planetarischen Grenzschicht bzw. Reibungsschicht bewirkt die Reibungskraft eine Abbremsung des Windes unter den geostrophischen Wert.

Die Windgeschwindigkeit ist besonders in Bodennähe subgeostrophisch und nähert sich bis zur Obergrenze der Reibungsschicht in ungefähr 1000 bis 1500 m Höhe dem geostrophischen Wert an.

Bei verringerter Windgeschwindigkeit ist auch die Corioliskraft kleiner, deshalb kann sie die Druckgradient-kraft nicht mehr ausbalancieren.

Dann gibt es eine Windkomponenten quer zu den Isobaren in Richtung tieferen Druck.

H

T

Die Wirkung der Reibungskraft

p p 2

p p

p

p p

V

P

Co

F

Die Wirkung der Reibungskraft

Wenn die drei Kräfte im Gleichgewicht sind, gilt

| | | | sin F P | | cos | | f | | P Co V | | f | | tan F V

| | f | | tan F V

Der Betrag der Reibungskraft ist vorwiegend von der Windgeschwindigkeit abhängig auch wenn der Ablenkungswinkel am Boden unterschiedlich sein kann.

Über Land kann man im Mittel einen Ablenkungswinkel von 30° annehmen, wobei das Verhältnis V/Vg etwa 0,5 beträgt.

Über See ist der Winkel gegen die Isobaren zumindest in mittleren und höheren Breiten recht gering (10-20°) und die Windgeschwindigkeit erreicht durch-schnittlich 70-80% des geostrophischen Wertes.

Einfache Theorie der Reibungsschicht

Ug = (ug , 0)Vb = (ub , vb) p+

p-

h

Reibung

y

x

1 p

y

f(0 , ug)

2 2 1/ 2D b b b bC (u v ) (u , v )

f(vb , ub)

1 p

y

empirisch - pro Einheitsfläche

Reibungchichtskraft verteilt über der Reibungsschicht

2 2 1/ 22 2 1/ 2D b b b b Db b b b

C (u v ) (u , v ) C(u v ) (u , v )

h h

2 2 1/ 2Db b g b b b b

Cf (v , u ) f (0, u ) (u v ) (u , v )

h 0

Kraftbilanz in der Reibungsschicht

Zwei Gleichungen für ub und vb

Masse der schicht pro Einheitsfläche

2 2 1/ 2Db g b b b

2 2 1/ 2Db b b b

Cu u (u v ) v

fhC

v (u v ) ufh

Lösung als Übung

Lineare Reibung

b g b

b b

u u v

v u

= Reibungskoeffizient

Vereinfachte Lösung

gb 2

gb 2

uu

1

uv

1

ug

vb

ub

b

b

vtan

u

(ub , vb)

gb b 2

u| (u , v ) |

1

Der thermische Wind

Die hydrostatische Gleichung lautetdp

dzg

Je größer die Dichte ist, nimmt der Druck um so raschermit der Höhe ab.

Der Druck nimmt schneller in kalter Luft ab als in warmer Luft.

p(x z t p(x t g x z t dzz

, , ) , , ) ( , , ) z00

p(x z t p(x t g x z t dzz

, , ) , , ) ( , , ) z00

x

p

x

p

xg

xx z t dz

z h z

z

z

0 0( , , )

In Gebieten mit horizontalen Dichtegradienten bzw.Temperaturgradienten ist der horizontale Druckgradient

höhenabhängig.

Der geostrophischen Wind ist auch in solchen Gebietenhöhenabhängig.

.

Vf

p

xgz

( )01

0

V hf

p

x f

p

xgz h z

( )

1 1

0

kalt

kaltwarm

warm

z 0

z h

z 0

z h

Vg( )0

V hg( )p

x z h 0

p

zgfV

p

xg 1

geostrophisch hydrostatisch

z

fz

Vz

p

x x

p

zg

xg

( )

gg

Vg fV f

x z z

g gfV Vln ln f

x g z g z

Eine partielle Differentielgleichung erster Ordnung für ln

g gfV Vln ln f

x g z g z

z zc f (x, t)

t x

z.B.

p RT ln ln p ln R ln T

g g gfV fV Vln T ln T ln p ln p f

x g z x g z g z

gfVln p ln p0

x g z

p

zgg

pfV

x

g gfV Vln T ln T f

x g z g z

A B C

1g g4 4 1 7

4

V V 40 msf 10 10 s 4 10

z z 10 m

2 27

6

g T 10 ms T 10 ms 10 K3,3 10

T x 300 K x 300 K 10 m

4 1 2g 8

4

fV T 10 s 20ms 65 K5 10

T z 300 K 10 m

g gfV Vg T Tf

T x T z z

g gV fVg T Tf

z T x T z

vertikaleScherung

horizontaleTemperaturgradient

Die thermische Windgleichung

g gV fVg T Tf

z T x T z

relativ kleine

fV

z

g

xfV

zg

g

1

vertikaleScherung

horizontaleDichtegradient

1 1

z Hs

Andere Form der thermischen Windgleichung

g g

s

V fVgf

z x H

Der Form der Gleichung ist einfacher in Druckkoordinaten!

p

fu , fv

y x

,x p p x y p p y

fv , fux p y p

v uf , f

x p y p

g gV fVg T Tf

z T x T z

Hydrostatisch Geostrophisch

Mathematisch

V-component

Januar

Juli

warm

isentropen

isotachen

African Easterly Jet

Easterly waves over Africa

WV Imagery 17 June 1997 00Z

Die Änderung des geostrophischen Windes zwischen zwei Druck- bzw. Höhenflächen (oberhalb der Reibungsschicht)

bezeichnet man auch als thermischen Wind.

z

Vg1

Vg2

Vg2

VT

500 mb

700 mb

1000 mb

z700

z500kalt

warmV mbg( )700

V mbg( )500

n-Richtung

zur Erinnerung: z RT g p p( / ) ln( / )2 1

z

n

z

nmb mb500 700

Wie sieht die Situation in Druckkoordinaten aus?

warmkalt

Vg

f

z

nV

g

f

z

nmbmb

mbmb

500500

700700

Der thermische Wind zwischen 700 mb und 500 mb ergibt sich zu

V V Vg

f nz z

g

f

D

nT mb mb mb mb 500 700 500 700

( )

D = z500 mb - z700 mb gibt die Schichtdicke zwischen den zwei Druckflächen an.

kalt warmz700

1000 mb

V mbg( )700700 mb

500 mb

z500

V mbg( )500

n-Richtung

Vg

f

D

nT

0D

n 0Hier

die geostrophische Windgeschwindigkeit nimmtmit der Höhe zu.

z700 1000 mb

V mbg( )700 700 mb

500 mb

z500

V mbg( )500

n-Richtung

z

n

z

n

z

nmb mb mb500 700 1000

V mbg( )1000

D

n0 VT 0

T

n0

barotrope Schichtung

Die allgemein gültige Beziehung für den thermischen Wind lautet

V V V k kT 2 1 g

fz z

g

fDp p( )2 1

hat die gleiche Form wie die für den geostrophischen Wind

V kg g

fzp

Analog zum geostrophischen Wind, der thermische Wind blästparallel zu den Schichtdickenlinien (gemittelten Isothermen), oder - anders ausgedrückt, im rechten Winkel zumTemperaturgradienten.

Auf der Nordhalbkugel liegen die niedrigen Schichtdickenwerte (tiefen Temperaturen) zur Linken.

z

Vg1

Vg2

Vg2

VT

T+

TT

Isothermen

kalt

warm

Luftbewegungen bei äquivalent-barotroper Schichtung

In erster Näherung sind viele Störungen in der Erdatmosphäre äquivalent-barotrop geschichtet.

Beispiele: Hurrikane, Tiefdruckgebiete und Frontalzonen der mittleren Breiten.

Im folgenden Bildern verlaufen die Isothermen und Isohypsen im Bereich der Frontalzone in allen Druckflächen annähernd in gleicher Richtung - von Südwesten nach Nordosten.

700 mb

Isohypsen im 700 mb Niveau am 20 November 1964, 12 Z

Isohypsen im 500 mb Niveau am 20 November 1964, 12 Z

500 mb

Isohypsen im 250 mb Niveau am 20 November 1964, 12 Z

250 mb

p

gfV

x

geostrophisch hydrostatisch

p

gV

fp p x x p x

g gfV Vln ln f

x g z g z

gVf

x p

Vergleich

RT

p

Thermischewindgleichung in Druckkoordinaten

p

2VfV

r r

Gradientwind Bilanz hydrostatisch

p

2V V

fr p p r r p r

2V Vf

r r p

Thermischewindgleichung für Gradientwind Bilanz

RT

p

Thermischewindgleichung für Gradientwind Bilanz

kaltes Hoch warmes Hoch

warmes Tief kaltes Tief

Dieser Querschnitt ist senkrecht zu den Isothermen und Isohypsen orientiert. Deshalb liegt er senkrecht zur geostrophischen Windrichtung.

bilancierte Wirbeln

1000

700

500

300

100

200

400

600

800900

Tropopause

Stratosphäre

Troposphäre

Struktur eines hohen kalten Tiefs bzw. Höhentroges

p

1000

700

500

300

100

200

Struktur eines hohen kalten Tiefs bzw. Höhentroges

Cut-off low oder upper trough auf englisch

Isentropen Isotachen rr = 0

Tropopause

Stratosphäre

Troposphäre

Strahlstrom = jet stream

r

p

1000

700

500

300

100

200

Isentropen

Isotachen

Tropopause

Stratosphäre

Troposphäre

Strahlstrom

r = 0

Struktur eines hohen warmen Hochs, bzw. Höhenrückens

Innerhalb der planetarischen Grenzschicht bzw. Reibungs-schicht bewirkt die Reibungskraft eine Abbremsung des Windes unter den geostrophischen Wert. In dieser Schicht bläst der Wind mit einem Komponent in Richtung tieferen Druck.

1. Der Auswirkung von Reibung

p-

p+

T

H

V

Die planetarische Grenzschicht hat typischeweise eine Dicke von etwa 1 - 1.5 km (bis zu 4 km in Wüstengebieten während des Tages auf Grund der thermischen Mischung).

Zusammenfassung 1

Zusammenfassung 2

2. Thermische Windgleichung (differentielle Form)

vertikaleScherung

horizontaleTemperaturgradient

relativ kleinaber nicht

vernachlässigbarfür eine dicke

Schicht

g gV fVg T Tf

z T x T z

3. Die thermishe Windgleichung (Lösung in Druckkoordinaten)

V V VT 2 1 V kT g

fDp

Vergleich: V kg g

fzp

Zusammenfassung 3

4. Barotrop V 0T

5. Äquivalent Barotrop - Isothermen und Isohypsen sind in allen Druckflächen in gleicher Richtung

V(p) ändert seine Richtung nicht

Zusammenfassung 5

6. Thermische Windgleichung in Druckkoordinaten

gVf

x p

7. Thermische Windgleichung für Gradientwind Bilanz

2V Vf

r r p

kaltes Hoch warmes Hoch

warmes Tief

6. Bilanzierte Wirbeln

Zusammenfassung 4

kaltes Tief

Ende