158
a-= CUPRINS PalteaI. DINAUICACONSTITUCTIILOR lntrcAuccl. ht dinamica constlucliilor 12 lllemerlteir1troductlve ...... 12 Sihatii t! ca:e se irpuae calculul dinattric al unei sttuctuti . . 11 Rdspulsul ditlellic al unei stnicturi 14 nds?unsut iLrrarnic at sistcrrralor aa *n gfad d. libclt& . . l7 Scherlratizarea staucturii pthtt-un sbters cu u'l grad de libertatc 17 DeterDirlarea caractedsticllot irxet''iale ti elastice de schernei de calcut . t8 Model mecanic. Schema tle fotts . . . 20 llcralic diferentiall a vibrdiillor produ$6 de o fo4x perturt atoaF oarc- ll cAP. l. l.l. cAt'.2. 2'2 2.3. 2.4, 2.6. 2.7. 2tl 2lt (ll,:1. it. L it it, :t a, ir i, il tl ll 7 clte.,. ,Actiunca depla-slrilor apllcate bazci Bt-ructuiii \fil)rafiilc libcre [eamortizate ole sistemelor cu $r1 grsd tle libeltate Vil,r;rl.iilc f(,r1ate ueatnottizate ale sistemelo! clr un glaal de libeltatc . lnflue'|tr fimortiztrrii astpra rtrspursului ditr{rnic al structurilo! . 2l 22 40 47 I )l)f orvnlli rccopitulative lldrl,nnsul 4iflar,tic tl sist ttclor ct tn ttumitr finit d. grad dc lib.rlsk . 4a lirh(.||r|lllrttrrr structurii la n sistcrn cu.u nnru{r lfuit ale gradc de lll'rrtrta lll.k.rrnhrorcn cor|tcti.risticil{rr i[crli:rlt xlc scltutci (lc calcul. Matricta hrrrll"ln r Bl$icruului . l,t,lrtrrhrnrrrr cnrl|(l({l$tkllor r.h$li(c ale s('lrctrri (lc colcul. l h.lrrttrhrnr.r i.olo(.lcrlsll( ll(,r cltrslj(a. ul(. s( l( nr(l dc ( alcul. lrr.lr.ttnltt0i'l. trrrrIlrrl'itlrll,rt tl, rrr,'tllz{r'(,nle srhrrrrrl (l(: crLleul. Mtrtrl- rr 'lr "rr"r t lrxt ' rrlr llrll I l1l lrrrn'r r. i,'t1.. lj(r'tr!i,, {lil' r''rlinl'1 rrrlrl.crl'\ 48 49 50 5(i 5rJ 60 0tt l('ll.|ll'r | | | | | , | | | | I ||| | ,l rr4lr l(',rl,l ,r \.ll,rtrllll,,r r ltrrll,r' l'r r!lrul ||rrlrh.rl rll rlllrlll'rlr

dinamica constructiilor

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: dinamica constructiilor

a-=

CUPRINS

PalteaI. DINAUICACONSTITUCTIILOR

lntrcAuccl. ht dinamica constlucliilor 12

l l lemerl te i r1troduct lve. . . . . . 12

Sihatii t! ca:e se irpuae calculul dinattric al unei sttuctuti . . 11

Rdspulsul ditlellic al unei stnicturi 14

nds?unsut iLrrarnic at sistcrrralor aa *n gfad d. libclt& . . l7

Scherlratizarea staucturii pthtt-un sbters cu u'l grad de libertatc 17

DeterDirlarea caractedsticllot irxet''iale ti elastice de schernei de calcut . t8

Model mecanic. Schema tle fotts . . . 20

llcralic diferentiall a vibrdiillor produ$6 de o fo4x perturt atoaF oarc-

l l

cAP. l .l . l .

cAt ' .2.

2'22.3.

2.4,

2.6.2.7.

2t l2lt

( l l , :1.

i t . L

i t i t,:t a,

i r i ,

i l t l

ll 7

cl te. , .

,Actiunca depla-slrilor apllcate bazci Bt-ructuiii

\fil)rafiilc libcre [eamortizate ole sistemelor cu $r1 grsd tle libeltate

Vil,r;rl.iilc f(,r1ate ueatnottizate ale sistemelo! clr un glaal de libeltatc .

lnflue'|tr fimortiztrrii astpra rtrspursului ditr{rnic al structurilo! .

2l

22

4047I )l)f orvnlli rccopitulative

lldrl,nnsul 4iflar,tic tl sist ttclor ct tn ttumitr finit d. grad dc lib.rlsk . 4a

lirh(.||r|lllrttrrr structurii la n sistcrn cu.u nnru{r lfuit ale gradc del l l ' rr tr ta

lll.k.rrnhrorcn cor|tcti.risticil{rr i[crli:rlt xlc scltutci (lc calcul. Matrictahrrr l l" ln r Bl$icruului .

l , t , l r t r rhrnrrrr cnr l | ( l ( { l$tk l lor r .h$l i (c ale s( ' l rctrr i ( lc colcul .

l h. l r r t t rhrnr.r i .o lo( . lcr ls l l ( l l ( , r c l t rs l j (a. u l ( . s( l ( nr( l dc ( a lcul .

l r r . l r . t tn l t t0 i ' l . t r r r r I l r r l ' i t l r l l , r t t l , r r r , ' t l lz{r ' ( ,n le srhrrrrr l ( l ( : crLleul . Mtr t r l -r r

' l r " r r"r t l rxt

'

rr lr l l r l l Il1 l l r r rn ' r r . i , ' t1. . l j ( r ' t r ! i , , { l i l ' r ' ' r l in l '1 rrr l r l .cr l ' \

48

49

50

5(i

5rJ

60

0tt

l ( ' l l . | l l ' r | | | | | , | | | | I | | | | , l r r4 l r l ( ' , r l , l , r \ . l l , r t r l l l l , , r r l t r r l l , r ' l ' r r ! l ru l | | r r l rh.r l

r l l r l l l r l l l ' r l r

-,.

Page 2: dinamica constructiilor

vrt ' t t r t r r r r ' r r ' t t r { r r r f l r 'nf i ld l l l l r lL i l l l ( r . l, l , l l , r i l , t l l t , ' t .

' l r r \ / l l , . , r l l i l r l ' , r . | | ! ' | | | , , | I r / . ' IL

I l , l r ' r ' , , r r ' r , r l , . ,1, . \ l t , r . , l i .j | | r | | , ,L.r I I r | | | . , | , . . I hr r l r r i l ! , , r , , r r , r ,1. , t , . \ i t , , . , l i t . , . . r , , t , r , , t , l . t | r i i r : r l . r , r : r t i r . i

,1, . v, !1, ' r ' t t r , , t , | | l

: l I I l r , ' r r I '

s t . , | l t l . r r , l , ' I | | | i I , r ! , t , t , , r , r ( . , t f v,r lor i t ) r , , t , r i iI l . : I r r1, , [ , ' I r l i l , r t r ; r \ ( r ' t , ' f i l , , f i , , r ' r r t , , r I , r , t , r i i i lc v i l , rn{ ior l l : t . I r , te| ' l r in;rrc i r l l ' , r lur i lor l | , r . r r r t r te, le v ihraf ic pr i r r i tc f l r rc nrr t r icca' : ri l I . l I t , . t . r I r i l iuerr

"r(x l l l r i l , , r n, ,n l l : r lc ( ic v i t , rat ic. l tc to{ la I lo lzcr

i l l5 l \ l . l ,x l :L,rr l | l izc i l l rnLrL.: l l { i l | l f l l l r ' r t l r ! { r 'n- t iz i r i i r rs l , r . r i .spunstr f td di l1onl ic al s istel le lor crr r r r

i ' l l r . r ' l ' r f in i t (k. , ( ra( lc ( lc 1i l ) r r rate .i l 17. l { i rs l ' l lxs l ( l inru| | ic a l s istc rc lor cu , ,n, , gradc de l i l ,cr tate produs de

r, , r lc l , r rn,( l ice

I i | .f lll'l,urtsul lindmlr: dl sist?m.hr ctr ,nasa d,ist/ibuitit

' | | Srhcln^t izrrc l r strr lct r r r i i,1 . : l ( ispul |snl r l inrnr i ( . $ l l , ro i . l rcptc.l jl. I,l:'!st)llrrsnl {lin^|ni(. iu .azrll plircitor pldrc .

I ' , r1, [ | l l , ' INl i ' l At l l l , l ' l A ' t t1A l ; l ,Al . l t { ^

i l (Al ' ( l ' l . t l , i ; l l ( | t l l : l l { l l Nl i

I . INIAR Al, I i ' t | I t ( ' | | I | { I | , ( ' I ( l r r l1i.,.

t i : l

i i l

(i(;

G7

7l l

7t

a7

9l

9{

9194

I t4

I l9119119126126r2913{r38

l{3r43t{G150

t70r70

t7l

t7 lt7 l

t73

l./-8179r80l8l182

( A I ' . r r . l r r l t , r l r rer tc. ( l (n l r t l , ' r l in i l r f t $ l i ' l ' i l i l : ' t r l r l r r r r ' l r r r i l ' r

1r l . l \ , , l , lerrr . l i r r iore " . i

: re l i r r iar , i l ' I l i I r r r i ' i ' i r r | 's l r r re l i i l ' r

1t .2. Instal , i l i t t i . r ( l l ' "s l i ( i r : , s l tu. l r r r i l '

! : t . Arr t l iz t t r l i r | lar 8c(tuctr i ( i r t r s l ruelnr i l i ' r

( ,^ l ' . l ( f . ( :u le l lu l la s labi l i la l t a l str l tct l t l i l . r l ' l . I r t ( . lnnn(t t lot l ' ( t t l lml i i tk s l . I I ) i l i t t t t ' t t /

to. l . 1k\o1i l t d j fcrot l ia l i r . r axci l , : r rc i i ,xr t \ r i i r t t ' s( , l ic i t t i r rx i f l l ' \ t l

l0. i : . t l l tcgf lutr ( ioual ie i d i fcrenl j r t lc a axt i l rarc i l l r t t r j .c ( lc l rat ts{cr fotr

l0. l t . ( ' rL) .uhr l c.rcf ic ie l ] l i l ( , r de I lexi l , i l i t r tu l )ctr tnr 1)rr tn ( l r f i r l ) i i lnrnrr l scrrnrt

r l ( i f l fhrcrr ld fo!1elor axialc " l : l

10.4. Culcr l r t coel ic icnl i lo i de r jg i ( t i t : r te l )cDtru l )ur i r i l rcrr l )11-! l i r r i r r ( l s( : r r t ra r l r

iDfhrcrrlo lorlclor :uialc :ll5

l ( l 5. l )ctcrnr i t rnr | rn orncntclor dc i r ic : rstrr t re l )cr fcctat pcntru l )ara dicrrptr i

( l r l ,hr i r r fust tuta t i i lcaskat l la n cr l i t t i ar t i (Dlatr ' ' Ia caPntnl r )Prts

lirirt(l stattrtr de cfortul axial alhr l) rl lllll

l (1.( i . , / \pl icrrrea nretodti cf. ,r turi l ( ,r i tr c. lculnl l tr st, t l , i l i t i tc xl structtrr i l , ,r ( l i t l

bnrc drcptcl(1.7. -^pl icarc:r lrcto(lci dcplaslr i l . ' r in cl | lculul l rr stal) i l i tatc a stnrr lrrr i l ( ' r

for ' | r t l tc d i r l )are dreptc 26: l

t { r .8. 11, ' f i rmlt l rca n):r l r icc l | l?t a nretcdci r l r lnasi t r i lor i : r ealc l l l r r l 1a strr l , j l i t r i , , r

I I r'_!

l !11

I l15

' l l r ,

: l i r l

'.'.5 /

5: l

5 l t .

s.7.

( i , t .

( i : t .

i i 3.

( A t ' 7.

7.1.

72

7 . :1.

7 1.

7.( i .

7.7.

7.8.'1.9.

7. l t t .

r 'A I ' 8

l { . t .

r{.:t.n3.f l . t .

I l , . t ,n l . r f i ) i i l , , r f in i te .

^l.htut tl.),t, nt'r)r t'init? ulliaett i" catrutul dinatnic at str charitro, .

I r l r ( ! l r l ( ( ru

l ) iscrot izrr( : iL st f l rctrrr i i ,

l l ( . I rL l iJ | t i f crc t i l l l i r ru i rc, ' ' r i i ] , r re il rc |4 i i ( lc t r :LrNfor l l r ro de l r cLcrneut lo structrr i .Srrrxr:sirruca {)pchfiili'r .Lc cnlc[lIkt,xla cle'uqrtcl{'r firritc rrtilizata! in calc[hrl dirrafric al plicilor planc

( A f ' . l f . Slubt l i ldca artelor

t : .3t ' : .4.t : t 5

I t . l . ( i t ts i rk lot i i gclerale . . 1 '5/

l l . . l . l i (uf l1 i l l d i fcr(r t i l l l t r a incovoier i i p lar)G a bsrci curbe. l r c(rrs i i l . r : r rL !

r lcrornral i l l rrll.:1. l:cufllir difererliali a stsbilitltii ar€clor .

IL.1. l l l . r t t l , :r i l l : trcului ci lc at

( ,^ t ' . 12. t ' l .1 l r l l . t s tabi l i tat .6, s l rncrtrr i lo l ? lar t . d in l )at . . Ci i ler iu l .nelqel i r : l r i r i

12.1. \ i , r rsnk'r t l i i gcuci : t le . ' l rn i

IJ l . ( r i let in l dt staf i l i tate pentr( s iste e cu nnl l r l in i t dc Sradc dt l i l t r r

l r t '

l r r r r j ] i rL t ! , lcnl id i ' total l a barei d i jPte

I tctrx l r r I { r rYlr i { r l Ri tz

At, ln:rrcr nrckxlc i Ra-YleiSlF1{ i tz j r r crLlculrr l lu stal l i l i tate . t stmctur i l ,n

, l i f f lnrrc ( l re l ) tc. I lc toda clemctr tc l ) r Inr i tc ' i ' t

r ' A l ' l r r l ,4 l ( t .a l , l i la/ f ta ' t . -l : l l . ( , , r 's i ' l . rn1i i X(n( ia le .

t : t2. l . : l ( . l r r ,n l r r l { tc()r i r i r rcovoier i i p l ln ' i l i , r Ph c ( l r ( lPtntr t jhhr l r re

l : l :1. l icnr '1 i i l r ncl in iare de cchi l ibf l r . I lcur l i : t s t l ) i l i t r ' i t i i p lnci lor PIrn( 'l : t .1. r \ t , l i ( , r l i i r r le cen l ic i t le strbi l i tat t :

l l t 5 | : l ' I r I t , : I i t t I I ' l i ( i1, , ) t ' l r r l ( . Cr i lc t iu l ( r rcr t ( t i .

l i l . l l l \ l . l ,x ln . l nr t t r lc l ( , r J in i t (

l : l ' l I \ l I t , r l r r l r l i i l , , r f in i l ,

t A f r l , l I n l t r t t l t r r )u. l t l , t l i r r t t i l l )5

14 | l r r { r r r l r r t l r | i | | r5

l , l . l ( , ' l ' r l I l l r t r r r r l r ie l ' r ' l i r r i : r l I ' l i l i / i tk l f "" , l i i l ' , l t s t l l , i l i l l l r ' : { r r l

l l l l Al ' l i r , r | ' i r r r | . t , ! l , i ,1, r r r t r r l , l , , r t i r r i l ( i r ' , r l , r r l r r l r r t r | l r ( l r i r ' r r r ' l i r r i r r l I

'.151)

. i ( ,1|Iizsluns stracluritor ld aoliu|?6 seisrricdl i lcnrctr te intr()duct i \ 'e . . .l{irspunsnl seisriic al structurilor. Metoda spectrelor seisndcc de rispnrlsI ' r r \ , r i l , l i i r , ,Dr in.)1i l ' t l r tnr I , r , , ioct l r rea out iscisrnic i . r c, , srrucl i j l i , r .

I : l tB.ntp dt . l ; ,u ' , t t r t l luddt i i l . ' , J t hra) in iNi !1 i , r I l i i I l r ro,1nct iv.

ClosificrrcrL tiprlril(,r (lc [tihjc ti llrctiri in {urctie de [tuio acliunii, i i f l an rnt

Cl .Lsi f ic .Lrc:L t iprrr i l , , r , l ( f u, l : r t i i , le rn.rr i iComportarer di rnricn 1 fundatiili,r. odcte de ctrlcull)cternrirrre3 caractcristicil(,r i[crti:{e, elt$tice ti dc amortizare ali

" ' ix le l , ' lu i ,1, . c: ,1."1

l ,ctef l r ) i tLrr , rL l , r ' ls i r l i i l i , r t , r , r t ) r i i x lc fuoLlat i i lor ( lc 'n:r t iu il { : is t ) , , " \ , ' l . I i ' I : I ' r ' I t . : I I fu ' r , l l t t i i l , , r , le ruxsini

lhctor ( lc t r tLus r is i l ) i l i t : r te

C:rlculul lunortiroril()!

I t , , r fe s l r r t icc i r r l ( ,c l l i t { ,arc

Ir t , t .ct r t i ) t , l t isut4r,a r ib/al i i lo/' I ( r t | r i , , l . " r ic i i ,1, l i [ i l i i - :Al) . ! f t r t ( s, i , f l r i .1.' I i tnrr i , l ' , .Lt ' l , , r i( : r ' , ! l . r i r t i , i l ( t , r i " , i t , . r l , , i r l . : r t , . ' r i r t , :1, , r r t , j u l ' rsurut v ibrx{ i i le

l ix i l

1t{ i l'-ix I

: 'ss: l rx l

:11, : l

: i1r8

i l r i l

r83l8:,r83r86ra8

' , | | r | , I r | | | I , ' | , l i t r 1,d, .

l l t l ' l l ! . f rn l l ,

Page 3: dinamica constructiilor

T in l i r r lcr( , ;- - t l . ' tots i t t t t , , c i r t r I r kr [ot r t t r r f i i le rr l t r . r r r i t t t l r .p l rx l r r rc s i r r t dr : tots i t t t t r , ,

lrr frutc]it: tI<' rtlolir l irl.r,: forlcla ahtslica ce sc clczvoltii r structulIqi rk'plrtsirrilc tccstcia, vibrafiilc pot Ii :

- vibrafii l iniarc, atrrnci cind Iortclc clasticc siltt proportiorrlk. crr<lt'plaslrile. lu ncest caz, rnitcarea structurii sc expriml prin ecuatii rli l i,tt.ntialc liniarc .,si cstc aplicabil principiul supraprnerii cfcctelor;

- vibralii neliniarc, in care relalia de legirturl dintrc for]elc r'lrrstitr'r,ri rlcplaslri cstc rlcliniari. Migcarea sc exprimi prin ccuafii difclcttl.irr[.rrcliriirre. Neliniaritatea se poate datora proprietifi lor fizicc alc rrurtcriulrrlrri rlin cate este alcltuiti structura, sau ullor mi;ciri clrc nu r(.slxtltli lnteza micllor oscilafii.

ln cele ce ul mcazl" se vor considcra nurnai vibratiilc liniarc Lrlc sllttr'-t r r r i lor c last ice.

in funclie ,J.e caazele care prod.uc uibraliil,e accstea pot fi:* tibratii libere, cird structtrra scoasL din pozitia de echilibrrr, rkr

cirtre o cauze perturbatoare, executi mitcarea nurnai sub actiunca forl(,lorelastice interioare:

- uibru+ii fo4ate, cue se produc sub acliunea unei cauze pcrturl)l-to&rc exterioare care aclioneaze pe intreaga durati a vibraliilor.

1.1.4. Amortizareo vibrolii lor

Orice proces vibratoriu este insorit de actiunea unor forfc rczistcntecrlre, in general, atenueazL efectul forfelor perturbatoare ti rniclorcaztr.c[crgia mecanic5, a si.stemului oscilant. Atunci cind se tine sealna dc accstcfcct vibraliile se numesc amortizate. Oind. se considere situa]ia ipotcticilin care se neglijeazE, acest efect, vibraliile s6 numesc neamortizate.

Mecanismul intim al ^moftiziarii

este complicat ti reprezentarerr nrt-tonatici riquroas[ a acestui proces este o problemi dintre celc mai dificilc.Obi;nuit, drpl natura amortizirii gi cauzele ei, se deosebesc:

- dmorlizdrea structuraJd care rezulte din freclrile moleculare ditr irt-tcriorrrl materialului gi din frec5.rile in lcglturile dintre elementelc struc-turii. Forfele rezistente sint in general, funcfii neliniare de deformafiilcstructurii, reprezentarea lor rnatematici. comportincl serioase dificultftti ;

- anzortizarea uiscoasd are loc atunci cind structura executi vibrtliiintr-rrn fluid. Forlele rezistente slnt in acest caz funclii liniare de vitezc;

- amortizarea coubmbiand, care apare in cazul migcirii untti c<.rr1, p,'.() suprafall uscate ;

- amortizarea negali.td cind in locul disipirii eoergiei mecanice seprorhrce o cregtere a acesteia, ca de exemplu, in cazul ,,{lutter"-ului urrcistructuri flcxibile elastice intr-un cnrent dc aer.

ln calculnl dinamic, forlele rezistente reale, in general functii neliniarc,h rlcplasiri qi viteze, se pot inlocui cu un sistem echivalent de forte de amor-liz:rts visco asi., functii liniare de vitezele sistemului, card au ca efcct disi-ptrca unei cantit6fi'de energie mecanicl egali cu cea disipatl de for]elcrczistcntc reale, simplificlnd astfel rezolvarea matematicd a problelnei,

1. IilTRODUCEREIN DINAMICACONSTRUCIIITOR

I.I. ITEMENIE INTRODUCIIVE

1.1.1. Obicctul dinomicii construcfiilor

,,.,,,',1i1,1,?T?1,,i,1:':'T"!d'g?,:l"9iT ,comportar€a construcfiilor supuso;t,"il',i;t;;;ff I;:i:r"";;:;l:""'lf,'"""ri],",,*"*".ii*if T:";i*ffiti?*:

1.1.2. Acfiune dinomic6

,i,,t,ill:"i: ?i,lj;:':#."a"'ll":,ii-l?l:t"e" solicitarea produsd. de incdrcs.ri va-tnc;trcare dirrarnicd este ablilcifa-l- -ersctul

de migcare a structurii. Cind -o

;,llilii*ii,:ll':;,",li{i:""'#,ffi .;l.",?:ii:"*#+r,"*iir

il[t1.5i"",,1.6r* ;1lir't[ld# g+],fs:*if$Jk':,*irrr ,,rccst caz de solicitaie, este

f ' l;il?,i,F;*; i*.:i::*,"::H:r,,,,.*,i1" ii,liti,,'""11?;"T,ft ;*:4"jff1:

1.1.3. Vibrofiile structurilor elostice

Miqcarea ce se produce i

li:'1"';*p*"h.ff +i##",#"1":.:i'iiu"i.Y"XHu?fr*:i?*:ru. . Vibrafiile unei structuri

"l-""Ji:", * pot clasifica dupi diferite criterii.ii,ll'"rtr!'po

nolura deforntaliilor procluse iu "t.-.ot"t" ,iri,"iurii, vibraiiire

- trtrrsversale, cind se produc defornafii de incovoierc sau forfecare;

12

l3

Page 4: dinamica constructiilor

I t t Hr ' t t l r r r l , : ,1I t r r . I r r r i I l r [ , r rz is l r . r r l i s i t r l r r r l r l l l i r l ( . I , r , l l r r r r r r , r r . . r r rI r l \ ' l l . l l .nnl( ' t r r r . sc t . rs i r l r . r i r . r i . l ) l i ( . .1( srrr1ir , . . l . lx is l i i r rsr ' r iL l r r , , j r r r r . r r il lq ' r , r . l i r . r l r . l r . ' 'o I r t r r r . r , , r l t t r i rL,(crr l r i , r r r r r r , r , i r r t ) , l i I r lc I r Ior . t .sr . l r . l r ,ht io l0-gl l ur l t i l rosl i l r ' r lc r .orrst l rc l i i , i t : crLt . r , r ,st1 leccsar l1 l .1 l r . r r1 dirratrr i r , .

A*rrr . r r . r r s. l ic i l i r i < l i r rarrr i r :< l )ot i rv( ,a drcpl . s.rsr . . rar . ! iL r-ar ic,1rtr .t l r ( r | l r / r . ( l | :

. v i l r r r r l i i l r . 1rr 'or lusr, d<, ut i ;c i r r i lc i r r f iastructur i i construcl i i l r r r c l r lor i t i r4rrr t t l r r r sr . i r , r r r ic i r r l i t r r l l r r l crr t remurulrr i ;. . r , i l r r r r t i i lc r i t ,z ,vol t l l tc dc Ior lc lc produsc dc ralalelc dc I . i r r t sart r ra_I t t t i l l r [ ' r rp i r ;

. vi lrL.l i i lr. lrrrrr '.r ' i11r, d<. ur.; itr i lrcle crr l.r icse rnobile rrc.chil ibratc(rr" lo. t r '

. . ( . l r ( l . t c( . gcl(raloarc t l<<t l ic . , turbogencratoare ctc.) ;,

r ' i l r l r r l i i l r ' l r rndusc.dt Inucl ior i rca agregalelor carc dr,zvi i l i i socrrr i( r r I r 11111 ,1, . l r ) r t l t j nt f l t r i lat , co casoare r t i . ) ;., .r ' i lrr ' l i i lr ' ; i lo'tc.lc dc impact Prod.si: de traficul vchic,lclor s.n

t l r r l (1r l l ( l t l ror l t r r i lor r t r lantc grclr . :

.. vibr:rl i i l<' autoindrrsc c-a urlrare a ac!iunii for!elor acrodinanticc,r , i r . r l . r 'xcrrr l ;111 i r r cazul act iuni i raJalelor c lc v int asupr i podrrr i lor srrsgr i ir l r l ( . 1

irrrlractnl uudei de goc produs!. de explozii etc.

. I r.r irslrn-t rrr rr situafi i sc impune o cvaluare cit mai cxactiL a(trrr l l ( \ ' sul(nt( dc structur i s i ut i l izarea metodelor de calcullrr,rrlIu :rsigrrrarta constntctici irnpotriva acestor efecte.

1,3, IASPUNSUL DINAMIC AL UNEI STRUCIURI

Fig. 1.3. Fig 14'

unui interval de timp ?. Ele pot fi annonicc (fig 1 1) .dacl se cxl.rt ttttrL

i"ri.^-"t. piiti runc;ii sirnple tiigonometrice sau nearmonicc in caz corrtrrrt

( f ig. 1.2) .l;orlele dinarnice neleriodice pot li:

- al)roape periodice (iig. 1.3) cutn este cazul<htse de explozii ;

- trarrzitotii (fig. 1.a), ca in cazul forlelor

c{cctclord i r r anr ic

' l 'otalitatca c{ectelor produse intr-o structure dc o acliunc, dirianrici, _r'lrrluri stcJionale, deplasiri, tensiuni, deformalii etc.,- reprezi'tir rispunsrrlrlittrrtrric al strncturii Ia aceste acliuni. in general, rlspuniul clinanric-struc-Irrrnl sc cxprimi. prin deplasirile produse de acliunef dinamici, crtrc odatl( lrroscutc pcrmit detetminarea sti.rii de tensiune gi deformafie a stmcturii.

. l i ispunsul dinamic al unei structuri depinde in prircipal dc urnrirtoriiI ( lotr :

natura acliunii diuamice:- lrroprietirlile ine{iale ale structurii;-.- < aracteristicile elastice ale structurii;

ltloprietifi le de amortizare ale stmcturii.

1 .3.1 . Noturo octiunii dinomice. Forfe dincmice

. Actirrnile dinamice ce se r,xcrcit6. asupra unei structuri se vor reprczeDtaIrr ,. r' lc ct urmeazl pdn forre dinamice, variabile iu timp, care se cxprinriLrrrrrlrrrurtic prin.Iunclii de timp, independente faJd de iri;carea structuriilx r i l r ( s i l l t apl icate.

I rr lrrrrclie dc_1egea de varialie in tinp, forlele dinamice pot Ii pcriodiccrrrrr rrt,lrt.riodicr'. 1;orlele d.inamice period.ice se repetb. identic dupiitrccercn

l4

1.3.2. Proprie6tile inerliole ole itructurii'Distributio moselo. in struclurd'Schemo' dinomici de colcul

I'rorrriet6.tilc inerliale ale unei str[cturi in miqcare depind de distti-

l,,tti'^ ';'i-t:l;;'i;

t;;;i;;l' Etementele constitutive ale u'ei strrcturi sirrt

;iliiiJ; , ;iilpil's"""^1", li1,;iC rrla.c si curbe' Distribulia 'rasclor iutr-tttt

tlerrrcnt este corltlnu,r tl ln llmitel:c ipotezelor ce se admit obign-ui! iu ealctll ' '

i;;;i; ,;ti,,g"tt, secfiu;e coustante) Poate fi determinatir fiti ptca Itratt

diticultnti.Lleterrninarea poziliilor maselor unei structud in timpul^ v.ibraliilt 't

in t,a.'ii cu uo sistim de-referinti, se face cu ajutorul unorlar ii;;:il.1i,:llitiJi.'i,

-- ai.t.nle, unghiuri - care reprezinte coordona

r.r,t"ti.*r rninim de'coor"clonaie indcpcudintc lecesare p..ntrtr a dcfirri irr

;i.':i,il;;t#;;t-iii. ""ui-.itt""',

iu'orice rnornent al migclrii' coustittti''

rrurrr-rrrrl ({adclor de uUertate -ai 'si"t"-"i"i Fie1{ui- grad de libertatc i s('

;,,:,;,:i;;; :;^;;;'L*";; l"a"p"naei'i;' "

'ti'ti"'ootui 9i de-ci, numllrul grad' l. 'r

Iorlelor itupulsrvc pro-

seismi.ce.

Fig. 1.2

1o.'1.- t e +k-

l5

Page 5: dinamica constructiilor

Fis l 5' i;ii"iJi?"1"i"',i"",'ii"iX"n"iiii.:'iiial:lxrrlt trti ; sistcmul vibrator are ur nunler infinit dc grade de libcrtate-' ftr'calculul dinarnic, adescori, se adopti o schcmE simplilicatl irr carelrrnru distribuiti contintu este conccntrate intr-un numir linit dc prtrtctccondrtclud la o schem[ cu un numir fiuit de grade de libertate (fig 1.6)-Mur,t'lc couccntratc sint considerate corpuri rigide, gi prin urmare {ieciucraI dc pot asocia cel mult gase deplasili distinctc. Pentru a se determina col-llgrrrll ia rrnui ascmeuea sistem irr orice moment al nigcirii cste neccsar rirttirnrtrr tinit dc parametri, dcci, un rrumir firrit de gradc de libertatc' Urroll('urcnca sistem trebuie considerat ca un model posibil dc calcul in car(' scteprczintl aproximativ distribulia reall continril a maselor, inforrnaJiilefllnd,.il gcneral, cu atit lrai exacte cu cit numdrul de mase concentr.rtc val l Drt l l Dare.

0 ascurenea scheni simpli{icate de calcul in care sc considerl o di:.-tribulie discreti a rnaselor -servette numai pcntru determinatea unort)roptietlti ale miqcirii structurii qi anume a caracteristicilor sale dirra-nticc proprii, presupunind contirud. starea dc tersiunc gi defornralic aIt nr('1urii.

Irr caznl structurilor plane alcdtuite diu bare, in schema de calcul sc ur-glijcazir vibrafiile longitudinale gi de tgrsiune, considerindu-se numai dcplasi-tilc tttasclor in planul structurii, normale pe axele barelor, adicl numai vibta-!lilc trausversale. Acestea dezvolti nurnai defonnatii de incovoiere gi forfcca-rc lu accst plau. Cu aceste simpli{iciri, sistemul diu figr:ra 1.6 care in spa}iu ar eIt'l gradc de libertate devine in plan un sistem cu trei grade de liberttte

tu&@

l t lnsi l t i l ru i r r I I r , ; r r . r r r I r , r r I r ' ;11, 1. ;11, . l r .l ro l l t ( i rvc: t l r r s i r l t ' l l l r rs( i l r l | r t .

I ' t t t l t u s l t t r l i t r l l i l r ln l i i lor r . r r r r i( l ( ' lu( ' l t s t lu( lutrr l i l ig. 1.5) sr l r r t t .i l ro lcza sinr l l i l ic i r l (

' r r | , . potr iv i t ( i r r , i i r

sccliurri lc transvqrsil lc alc clencutrrluil ln sc de{orrneazi irr t iruprrl rrri;ci ir i i-In accst fcl, { iecbrci sccliuni trausvcr-salc a r.icr:rcutului i se asociazi yrr:.deplasir i d ist inctc i r r spaJirr ; t rc itranslalii si trei rotafii. Perrtnr adescrie mi;carea corrsiderind dislr ibu-

lia continui a nlaselor in elcrrrcrtt( st( ' necesar, ptin utmare,.uu nutrl ir

{ I } i r ' l i l \ r , r r r rxrrrr l r r r . rnr \ I r r l

t l r ,1r ' r r r r i r ru l i r t l r . I t '<, l9r t t l 11 =, . { r r , , z l . , tx} t l r l t .p l ts i r l i -lot , r ' i t t t . rc l t t t z i | | t i r ctxr ldot tat t ' l t s is l t ' r t t t t l r t i . ' l 'o t ast fc l ,lx , r r t r r r l i l . r i r r l i i l t ' t tat tsvctsal t , a lc s l l t tc tur i i I tat lc dir ll igrrra l.ti, cousiderind mascle stnrcturii fitr, n", uttatalatc riglclor ast{cl itrcit la deltlasirrile lateralcalt structrrrii sir corcspundi nigclri de translaticlrrrlir alc accstor rnase, coufigulaJia sislcrrtrlui tstcnnivoc determinatl de deplaslrile {uL, u2, ao} : u.

Schcma de calcul dinamic este ii irl acest caz unsisl(rn crl 1rr'i grado de liberlale.

'1.3.3. Corocteristicile elostice ole structurii

Res?unsul dinamic al- unei construclii, la lel ca gi rSspuusul ci stttie,dcpinde de caracteristicilel elastice ale structurii, respectiv dc rigiditaterrsau flexibilitatea structudi. Detern:inarea exacte a rigiditdlii urrci con-struclii este, in general, o operalie dificil[, mai cu seamb cind conslnrclirrrelrezintl un ansamblu de elemente structurale din materiale neo[l()g(rr(.,ucizotropc ;i neclastice, cum ar fi de p dn betonul armat.

Pentru simplilicare, se consideri o schemd. de calcul alcltuiti dirr clc-mente structurale simple, reaTlzate dintr-un matedal omogen, izotrop )ielastic. ln plus, se apreciazi c[ sub ac]iunea incircirii dinamice strucluriIsu{eri deplasiri care nu produc modificlri importante in schema geonrctticiia structurii qi ci in nici o secliune a structurii nu este depiftl limita clcproportionalitate a materialului, calculul ficindu-se in teo a liniari.

ln continuare, estimarea elasticitilii unei structuri, se va {ace acccy-tind ipotezele simplilicatoare arb.tate, determiuindu-se matricele de rigiditatcsarr {lexibilitate ale structurii, corespunzitoare schemelor dc calcul adolr-tatc, ;i utilizind procedeele standard cunoscutc.

2. MSPUNSUT DINAMICAt SISTEMETORCU UN GRAD DE TIBERTATE

2.I. SCHEMATIZAREA STRUCTURII PRINTR.UN SISTEMCU UN GRAD DE LIBERTATE

l)(rtlu a dttcrmina rirspunsul diuauric al uuci structnri, in trnclcttt it l i i , ac(asla lxratc l i schelratizatd la ccl nrai sirnl.rlu urodcl dc calctrltrrtrrrir:, sistcurul crr uu singur grad de l ibertate.

s)rii-

A5[cl, rlrrr iL o griudir cste sllpus;] actirrnii dirrarnir:c l)r(rdrsir (l(. rlrrrolt,r' lJ,..r:l ric carc "dczvolti.

o io4i pcrturbatoarc .l '](l) (iig. 2.1,a) e,rr.ltrotltrrVr ibralii lralrsvcrsalc, sc poatc alcgc, obliniudu-sc rtzrrltatc salis-f | l t f r tot tc, st l r t r r ru t lq (ukul eu rru s i r rgur grad dc l ibcrtalc r l i r r i igrrra 11.1, f .

I t r fdrr l ( . r r r t r l r r | tnhn rnnr l ru( t t lh ' r 1 l

-

r rq. ' .o.

l--+J-:uzul !--Fr

t6

t : is . 1.6. Fig. L7.

Page 6: dinamica constructiilor

Fi9.2.1.

Fi ' .2.2.

Sut, in cazul acliunii unei fo$e perturbatoare laterale P(l) aplicati

rlulci cadrului din fiqura 2.2, a se poate alege schema de calcul cu un- glao

,tilit .tt"i" ai" iiqLria 2.2, D'in caie masa concentrattr la nivelul riglei exe-

.:uti ii*,""i aeptaiati de trauslalie orizontale' Schematic. sistemul se repre-

iiiiin -.iliiririt "[ i" G".u 2.2,'c unde caracteristicile elastice ale consolci

iiiiil'"ft#uf "ot"

cu caiacteristicile clastice ale structurii'""'"

i;-ilil; silualii configutalia sistemului este- determinati in orice

llrouelrt printr-un parametru unic, deplasare a .u.(t) a . masei' scherna der:rrlcrrl dinarnic {iind un sistctn cu tln grad de llDertatc

2.2. DETEnMINAREA CAnacrERlsrtclLoR INERI|AL€

ll EtAstlcE AtE SCHEMEI DE CAtCUt

l{ lsounsrr ld inamicals istcmuluidcpind.edcpropf ie le l i lc iner l ia le; iclnstice alc structurii exprimate prin masa tt' care cxecuta mltcarca vloru-

toric $i caracteristica de rigiditate /r'' ' - N{;* ;; iliemotoi dJ"ul"ol este echivalentl masei distribuitc a struc-

turii'li coresfrunde rezultantei inclrcirilor gravitalionale Perrnanente 0n li

r l t i lc qr :

Fis.2.3.

direclia gradului de libertate al masei in secliunea iu care sc .corrccntr( lzilnrasa produce o deplasare unitard (fig.2.3, a).

Caracteristica de rigiditate i a sistemului de calcul poate fi calcrrlatiiqi determinind mai intii coeficientul de flexibilitate 8 caie sc defineStc crLfiind._ deplasarea in punctul de concentrare a masei pe dirrclia gradrrlrride libertate, produsd. de .o {ortb unitari (Iig. 2.3, b).

ln doneniul liliar elastic de solicitare intre cei doi coeficienti exisl irrela!ia

I

!\.,(m

?" l /. ! t ,

l /

Ic

t f

J

a fiind uu coeficient de reducere a. incarclrii utile, iar g - valoarea accelc-

'' .'' "i.Y.TJ:'ill?li':' jgG ?' $ j,"*;?;, vibrator se exp rimi,i'{i.tii;;;' ; ";- .;ructurii la ;:;i.#: p"- ai'""ii" e'"1{dli?iJll:iri utrnctul dc conccntrare a masei Astfel' pentrq struct'

I.ri'),.*it"fi"itttii- a" iiglait"t" A este egal cu forla care apiicate pe

18

u(t I

, l

8 '(2.21

(2.3)

. 1'ot. ast{el pentru structura din figura 2.2, a coelicientul de rigiditatcF se defineste ca Iiind. forfa-.care aplicate la uivelul riglei (unde a f6st pla-sate 'rr asa.concertrate) pe direclia de nriScare a rnaseilproduce o deplaiar"unitari (Iig. 2.4, n). Coeficientrl dc fle;ibilitate I se delineste ii acest

m:(Qp*"Q)le ' (2.1)

ob.

Fis.2.4.

caz ca fiind deplasarea produsi. de o forJi unitard aplicatl structurii larriv(lul masei conccrtrate pc dircc!ia de diplasare a aiesteja. In domeniullirriar elastic intre cei doi coelicieili i qi -8 este satisficuti relalia (2.2).I.u_ cazul in.care rigla este mult mai rigiil in comparafie cu stilpii, sdcori-sidcrl rigiditatea ci in{inite gi in aceast-i situafie, determinarea c6eficientrr-Iui dc rigiditate se simplifici (fig. 2.5, a) h |iind, egal cu suma rigiditililor

't9

Page 7: dinamica constructiilor

V ?.a. lcuAIlA DlfltlNlr^rr a yltirl lui ?ieevtrrDr o forlA ?ttTutrAloAtt oAttcAtE

Aplicind principiul lui d'Alernbcrt, conditir dc cchililrlLr rlirrarrric 1rcu-tru {ortelc diri figura 2.ti, c rezoltta'.

Cu notaliile

mulcw+hu:P(t) .

ztp:_,

L( l ) ' : - r

ecualia (2.6) se mai poate scrie

i l+zBi*o 'au:L p111,n

(2.e)

o ,,n. ,.r.

ll rloplnneren orizontali a capetelor stilpilorfx.rloct lrrcastrati (f.ig. 2.5, bl:

de la nivelul riglei, in care sint

(2.4)

(2,6)

()7)

(2,8)

h :D h:,: t2ED rtlti.

2,J, MODET MECAN|C. SCHEMA DE FORIE

Nlijcarca vibratorie a orictrrui sistem material este inevitabil insotiti(h ur proces de amortizare a vibrafiilor, datoriti acliunii fo4elor rezistenteerrc obignuil se schematizeazl printr-un sistem echivalent de forle dettttrtrtiztic vtscoasl proporlionale cu vitezele maselor ln migcare. lnr,isrtll unui sistem cu un grad de libertate, forfa rezistenti F, va fi pro-lrurlloneli! cu viteza de migcare a masei

F, :ct l , (2.5)

o flind corstanta de proporfionalitate care caracterizeazd" amortizareallrtcrnului. Schema de calcul dinamic - sistem cu un grad de libertate -nrtc nstfel determinati de constantele rn, h { c (fig.26, a\.

Accstui sistem i se poate asocia un model mecanic (t|g. 2.6, 6) a ciruintlicrrc este determinati de lortele aplicate masei rz, ;i anlttne:

-- forla perturbatoare P(l);- {or!a elasticl fta, proporlionaliL cu deplasarea a;

- forla rezistentS' ci, proporlionali cu viteza zi a masei.l)ac[, aplicind principiul lli d'Alembert, la aceste forle se adauge

forfn rlc irrertie nai.r', schema completi de forle pentru modelnl adoptats,, bbtin" cu iir figura 2.6, c. Fotosind principiile dinamicii se poate studiarrrlqctren. sistemului sub acliunea acestor fo4e.

.u(tl0 u(i)

gi reprezintS. ecualia diferealiald. a vibrafii.lor forfate ale unui sistem cuun grad. de libertate produse de o forti perturbatoare oarecare P(l), cuamortizare viscoasI.

Prin particulariziri ale ecualiei (2.9) se poate obline ecuafia diferentialia vibraliilor forlate neamortizate (9 : 0), sau ecuatia diferentiali a vibratii-lor libere P(r) :0, amortizate (P+ 0) sau neamortizate (p:0).

2.5, ACIIUNEA DEptASARttOR APUCATE BAZET StRUCtURtI

lu timpul unui cutremur, acliunea gocului seismic se exerciti asupraconstructiei prin deplaslrile infrastructurii aflati in contact cu pimintulcn.re se migci. Structura va suferi la baza ei deplasiri iglde w"(t) impreunicu terenul pe care se afli, la acestea adiugindu-se deplaslrile elastice alestructurii z(l) ca urmare a aeliunii dinamice a gocului seismic (fig. 2.7, a).Acestei scheme de calcul li corespunde rnoddul mecanic din figan 2.7, bin care masa m exeeule, o migcare relativi de translalie fati de platformarigidS. care modeleaz6 terenul de funclare 9i impreund. cu platforma, o migcaredc transport considerate tot ca o translatie. Migcarea absolutl se compune

dhr cele doul migc6ri: migcarea relativb. cu acceleralia ziill qi migcarea de

----1 " I

-T-t-.!!JmU_t' m

cuc(tl u"(tl

b

Fls.2.7.

n

Fic.2,6,

I

[uc. u l

21

Page 8: dinamica constructiilor

Tt ltl v[ fl

il, ,i,, I il.f l t l t l ttrn rlr, lrrt 1r' utrcslttt ttzit l oat e tttodelului nr<'cauic cstc rc'prezcutatit

Itt f l lrrtr !,7, r rrsl l i l irtci l, alt l icind principiul lui d'Aleubcrt, condiJiar l , r ' r l t i l l l r t r t r l i t r t t t r ic t , zrr l t i :

( r r . s i ( ' ,

Solut i r r (2.1.1) r lcvi t tc i r r furrct ic r l t ' eon( l i l i i l ( ' in i l ia l ( '

u(t) : 11ng6" <ol a .1!l "111 .u1

gi rcprezinti. rispunsul dinamic al sistemului atunci cind accsta cst(, s(.osdin echilibru la mornentul I : 0 cu o deplasare ao qi i sc itnprirnil rnrr.sr.ro vitezS. iniliald do,

Pentru _ a - evidenlia proprietdfile migcirii dcscrisc dc ccualia (2. 17)se {ace schimbarea de constante

lto: A sing ;i ! : ,4 cosg,

astfel incit ecualia (2.17) devine

in care din (2.18)

1't(t): A sin (ol { 9),

rezultS. cb.

T:2n:2n

t r l l l

Nul l t r l :

' t t( i i , . t i l + c; + hu :0,

ntu+ct l+h1t:-mu..

P"(t) : - n7"

(2.10)

(2. r 1)

P ri)

(2. rn)

(2.1e)

(2.20)

(2.2rl

;f f itrftrtl sr.nma dc notafiile (2.7) S1 (2.8) ecuaJia (2.10) se obline:

il + zpi, -p <*u: ! P"1t7 e.r2)

fllrul irlcnticl cu ecua]ia (2.9). Deci, *"J", *-* iseismic este echi-

vnfctft p(ntru migcarea sistemului cu acliunea unei forle P"(t): - r"V"Al,llcotil rnasei sistemului; uo reprezirtl" acceleralia pimintului cu carei[l(, ltr corrtact structura, datoritS. cutremurului. De aceea problema seismicirtc trateazi. in contextul general al unei solicitiri dinamice produse dc ofortC pcrturbatoare oarecare.

2,6. vlBRATlrrE ITBERE NEAMORTTZATEAIE SISTEMELOR CU UN 6RAD DE TIBERTATE

Vibrafiile libere se executd, dupi ce un impuJs iniJial a pus in mi5-cnrc structura, sub acJiunea forlelor elastice. in absenla forlelor perturbi-toarc P(l) : 0. Considerind situalia ipotetici in care se neglijeazl amorti-zrrca (p =. 0), din ccualia (2.9) se deduce ci vibralii le libere neamortizatellt. unui sistc-m cu un grad de libertate sint descrise de o ecuafie difcren-tinlir l iniarl, omogeni, cu coe{icien}i constanfi:

' i a aru :0. (2.13)

Soltrlia gencrali, cunoscnti din teoria ecualiilor di{erenliale este de forma

u(l) : Ca cos o, + C, sin to/. (2.r4)

Constantele de integrare se determinl diu condi]iile initiale. I-.a I :0,

^:11",*gt1

a-arctg@.' - ttn

Ecualia (2.19) este reprezentatS. grafic in figura 2.8.Prin derivarea succesivA a ecualiei (2.19) se oblin viteza ;i accelerafia

masei in miscare

tl(t) : Aa cos (<ol f 9), (2.22)

tr(t) : - '4orr sin (o/ f 9) (2'23l,

Ecuatiile (2.19 -2.23) relevl proprietiJile miqcirii. Astfel, migcareaosci.l atorie descrisE de sistem este periotlici, adice se repetb identic clupitrec€rea unui interval rle timp ?, numit perioade proprie.

Observind ci perioacla de varialie a funcfiilor trigonometrice sin gicos este 2n se deduce ci. perioada proprie T a migcirif este egal5. cu

m r- t ro o, t \ q\r ,

- ID l . t2. .4 l

. -. Numirul de vibralii .7f executate desisteg intr- o secundd repreziniE frecvenla vi-braJiilor, egald. cu:

- - '^a--T'+-

L F"l. e.2s)

2,

(o) : uo qi d(0) : do, (2.15) Fig. 2.8.

a5

Page 9: dinamica constructiilor

l i r tpt t l r , r , ' l iz i l i r , ; i r t t t t t t r t

o - Ztr / ls- t l

;l r,lprlrrrii rrurrirrrrl dt vibralii ('xccutat de sistcrn in 2n secunde, li i ldlI tl lt l lr(.(\,(l)1rr cilculrLrL sarr 1-rulsalia proprie a sistem lui.

(\' lc lrei rrriirinri, pcrioada proprie ?, frecvenla / qi pulsalia proprieo rlr.lrfrrrl, rrqu currr rczulti din relafii le (2.24-2.26) numai de proprictll i leIttltitrrt,ci rlc sl.lucturii inerliale rz gi elastice A, fiind independente de con-dlll l l. jrritirrlc alc urigclLrii. Ele reprezinti caracteristicile dinar:ice propriirli. rir,lcrrrrrlrri, (unoattcrea lor {iind indispeasabili pentru determinareallrl,rrrrnului dirranric al oricirui sistem la diferite acliuni perturbatoare.

l'rltr tralsforrnarea relatiei (2.8) pulsalia proprie <o a sistemului se1,onl,. r'rrlt ttla crt lonrrula

" : l:: V* :l "",= ffi r"-'r, (2.27',)

t t t t ut , ' :

ur1 .., Q3:9 este cleplasarea statici produsl de forta gravitalionali

(/ lpliculir structurii irr punctul dc concentrare a masei pe direclia ci dedt, ; r l r t rnrc, i t t cm;

\l - n,g - forla gravitalionald corespun zdtoare masei ttt;

{ - $)ul - valoarca acceleraliei gravita}ionale, ln cm/s,.

-- I)in ccuafia de migcare (2.19) rezulti ci valoarea maximi a de-lrlrrtrrii ,{ - lumiti aurplitudinea vibra}iei - rirrrine constante iu totllupul lri.;cirii (v. Iig. 2.8) qi depinde de condilii le inifial{ ale migcirii(v, cc. 2.20). De urer:jionat c5. aceasti propdetate se explicl nunai incoudilio il)otetici acccptate cind se neglijeaz| arnottizarea.

-. Argunrcrrtul luncliei trigonometrice in ecualia (2.19), (.1 * q)l)ont{il runrclc de fazh, iar g este faza iui}iali, care depinde de condiJiilelrrltiale alc miqcirii (v. ec. 2.21).

?,7. V|BRAT .E FOnIATE NEAMORTTZATEAIE SISTEMETOR CU UN GRAD DE TIBERIAIE

ltt cclc cc lrrnr(razh se studiazi vibralii le {orlate produse de ac}iunit,r'rlrrboloare cale sc cxc-rcit5. pe intreaga durate a migcdrii, leglij indu-se(lcct(,lc anrortizerii;i se determinl rispunsul dinamic al structudlor, scherrra-llrrrtc ln uu sislcm cu nn grad de libertate, srpuse la diferite tipuri delc l i t t t t i r l i l raur ic<.

2,7.1. Rdspunsul dinomic ol st.ucturiilo ocfiuneo unui im,puls finit H

I)rtt:ir sr. cr.rusidt:ir ci la un monlent dat t-r se aplicd instantaue[rfrttr,lrrrii allalir in rcl)aus uD inrpuJs {init H, masa sistemului este scoasi

rllrr r,r'fril ibru cu o vitezi il : L Siexecuti vibralii l ibere <lescrise Lde ecuaJia

24

IIln, uliai

J1 sirr r , r ( t , r ) ,

perrtru., ) t. Ecualia (2.28) caractcrizcitzir rirsl,unsrrl rlirrarrucIc. actrune a unui imnuls linit.

2.7.2. .Rdspunsul dinomic lo octiunecunei lorte perturbotoore oarecdre p(t)

,Neglijind" amortizarea (p :0) ecualia difcrenlialipro.luselde o torta perturbatoare oarecarc pU): p^flt\priu p articularizarea ecuatiei (2.9)

sc gr1ific ln rcptrrs) fi ,lo.'

u( t) -

uO:! :

a vibralii lor for]ate(fig. 2.10) sc obliue

ii a ,,u : lo *l

('.r.2$)

r t l s t l r rqtrr r i i

(l re)

(2.st)

Actiunea forlei P(t) aplicati sistemului in repaus poate fi reprezentatica o succesiune continui de irnpur,suri "t"-eotui"'

aC: f1r; a1 ;;ii;;;;i t r intervalul de t imp de Ia t :0 la c: / ( f iq. 2.-10).tvlrtcarea produsd. de imrrulsul elementar dfl se determiuii din ccuafir(2.28) (v. fig. 2.10) :

auq : 11"1 sin<o (t - ldt, (t 2 l. (2.30)

Migcarea sistemului snb .,1cfiun;1 toigei f p; : .p,l(t) se va obfine,

1'.:1,".."1 fli:lfltl suprapunerii ef-ectelor, ca o sumi inteerali a rniqcaiiloiprocuse de succesrunea continue de impulsnri elementare"dll : e"i61 i",in irrt-ervalul de timp in care acfionea zi, for1i, ;ei"i'- ..

/(r) sin<o(l - r)dr,

care reprezinti rispunsul dinamic al structurii la acfiunea forfei p(t) (v.rig. 2.10).Daci. forta perturbatoare e.st9 apti9a.t1 structurii in timp ce aceastaexccutb o migcare datoritE unei deplisiri iniliale uo 9i "il"rii

injriak ;.-,

P(t)u(t)

i{.- u (t)

du('0

P(t)=Pof( t )

:l-

i

I

Fig. 2.9, Fig.2.1O.

25

Page 10: dinamica constructiilor

l l l l i ( ' l l l ( l t s l ! { l ( ' l l l l l l t l l \ . o l r l r l l (

l r t l i i r r l . rk 'scr isr i r l t ' r ' r ' r r r r l i r r (2. l7)(cc, i | . i l l ) :

r l r l r r t r l r r r r r r r r ( r r r r t l \ ur (4. r l r ! t , | ' u rv lur l r I r , , l

t r i r r t i l r t t t ' r t p lodt ts i l t l t ' lor ' l r t 1x ' r t t t rb l l or r t .

{( l ) . .= i l , , c0{aq; - ]L sinco(l - r)dt. (2.3'2)

I ut('grala \"/(t)

snr,o{l - t)dT care determini respunsul dinamic al

0risltrrrtrlrri sc nnmettc integrald de cont;olufie saa integrald Duhamel.

Obscrvin<l ce deplasarea statici a sistemului as prod.usi de forlall('rl url]atoare aplicati static la valoarea ei maximi P0 este egal5. cu

" ' - h -

- - r '

rIs;rrrrrsrrl dinamic la acliunca forJel, P(t) (ec.2.31) se mai

t

u0 : ! ! . . . [ . / ( " ) s into(t - r )dr : a, , . r f , ( / ) .J '0

Iuuctia r|l(l) egali cu

'+r(t) : o \/(r) sln o(t - r]df

)

: &",1 qU) b", : u",Q, (2.36)

unde r| : I +(r) 1.", se numette mul'til'lica-tor d.inamic.

v

I

"o sin tol f - \/(t)e mbt )

(2.33)

poate, scrie

12.34)

(p.35)

cnrt' urlsoari. in fiecare moment efectul dinamic a1 fortei perturbaioare/'(l) fal6 dc cfectul ei static maxim, se numeFte funclii di maltiPtricarediunnicd.

Pclrtru difcrite legi de varialie ale forfei P(l) in tabelul 2.1 se dau

vrlorilc intcgralclor dc convolutie i

P(r) sin <o(t - c) dc.

Ciud intcrcseazi orror.i te"oon"l dinamic maxim. acesta se detertninEcottsidcrind valoarea maximl Q a functiei de multiplicare dinamich ilr(r)( f ig. 2.11):

Conceptul de Iunclie de multiplicarcdirramici si de mul tiplicator dinamic are

') o largd uiil irar" in ialcrrlul dinamic alstructurilor. Rislunsu1 dinamic af uneistructuri ooate {i ialculat determinirid lntiirEspunsul; ei static sub acliunea forlclortrcriurbatoare anlicatc static la valoarca

I

( r uul Fort0 JCrlUrb0loclre. . . i , l l , l , { r t o{l l l r l t

p-- (1- coscoi)

; ; . ; ;t \ ' - '

- /

2

3 -F (t ', ?w"t - z' ;

^"L-t- - i ( t sX:r l t . t , ,

- ! - f1^.5rooir- t " ) - l lat l ,<.: t" L" ' - -

-- <.: I

5. P"l1- en')

o D, /

-* t t -cos-t l - - - - :* I -e r"* Q i lJ- \

, .or.1 _ _0.!,trl! )

6 *,-?" ('o'' coscor - {]tryr )

7

qsln2TIt / to

;Hfo1'" [-'"t"zn'{. - zls,n-r )

I

Eccs2I i / to

/cos2l -l- - cos,.,t )' l , I

9

IPo' ai l l -cosQt) t<t"

o,^f i -cr ,so(t- tc)- cosort ] I >t . ,

Fis.2.11,

26 27

Page 11: dinamica constructiilor

, l ,- l | /5rn (] ,)( I - cJ d?

D.s,n l l1 i 1o ;rii lnr (.t"s,^n -f- - r.',rr) r < r

Jih"[.,n-',-,.).sinor1] t>r,,

PocosITt i 2to

r,P,'.rtl I trr \Z3;? t@s2;-ms-t ,1 t<r.

- lRtJ I n;zr;#h- lf .,n.r'- '"r,.."']t > to

P^ o,- t2

* {1--'.rJ-.ff:+* (.*2r- cos c"rt) t < t"

I

P^tf lcosa:{

t - to1 - "or( .Jt<u2t2 r - l

fi5* fmsar(t-t"1- c65a^,1]]

D+ | - -

c.rzffi (cot"sn llll- 2lTs'ncu) 1. 1o) l l D.

;ft#fi-r lsrno:(t- to)-srn<oil r > ro

$ ( t -cosot) t < to

+ [2 coso){ t- t" ) - cosot - 1] ro<t<2t,

ieq 12 coso.:(t - 1"1 - cos a)t - cos ot t-2to[

rut

l l

Vezr cozul 4 penlru tctz,r , r , ,

Y^ r io-o.rZi; Lo t' I srn oJ { t - t r l - srnu.rtJ-.Tr,., t, t

' [cr( t - t21 - s in611-1r1 t2<r < tr

Po lsrnor(t- t r l srnurt srnco(t - t ,J<,: l-<lf '-

--r--fi - -on;-tF

.-9t!9!i tz) I, ,Jr t r - t2) J

(- ' l

11

*, ; ( ' - t#{) i<to

*; lu*r.,,- t") . sinalll- LJ

=Tl t>to

12

P^ I . -^. .+\?.r- [ I - :osc,r ' _ i ; . i " ; ; r . , "

I [ - - . . , - srno{, t - to)onT.r

srn<ll I. . : :_I t>touroro J

Po;:G

_ to<t<2to

Psrno I t - to i - srn cD (t - 2 tol

- srnco t ] t >2to

28'?e

Page 12: dinamica constructiilor

Lrr rnaxim6, care se amplifici cu funcfia de multiplicare dinamici, daciittr,rt,scazi ri.spunsul dinamic in orice moment ,, sau cu multiplicatorulrllnnrnic, daci intereseazi rEspunsul dinamic maxirn, adic6:

fRispunsul | _ /Rlsnunsul\ | Functia de

)\ dinamic / \ sl atic / \multiplicarc dinamicl,/

f Rispuosul , _ (Rispunsul I . 1

MultiPlicatorul)( dinamic '-",

- \ static / \ diuamic )

(2nl

(2.38)

irrtr-ac.levir, Iorla dirramicd cchivalentii care produce dcplasarca a(l)( s[( '

r-7 : hu(t) : ku", (t) : h 3 +p) : P",ut).

T,a fel, efcctul diuamic Iuaxin este dat de o forfi staticit echivalenti

Fut ' ktr , , ' , , , - kn.t+ - Pl :P : n" 'P,

(2 3e)

(2 4ol

cirrt sc obline amplificind arnplitudinea forfei perturbatoare Po cu multi-plicttorul dinamic rlr.

.livident, solicitarea fiind in domeniul liniar elastic, in acelaf fel segxrt obline eforturile unitare dinarnice

oa: o,,{(l) sarr d'r ' , ' :

os,{, (2.4r)

precurn gi cele'lalte mirimi care determinl starea dc tensiuue gi deforma]iert structunl.

Ilxemplul 2.1. Determinarea functiei de multiplicarc dinamici ,f(l)(ll tintorul rclaliei (2.35) 9i a multiplicatorului dinamic {/ cste Prez-ertatel,(.ntrn patrn tipuri de inclrclri dinamice:

t. Incd.rcare altLicatti inslantanew (fig. 2.12, a)

t>O; P:Po' , f (4: t ;

I

{(/) -- o { siu o(l - r)dr : I - cos c,1 ;)

i l ,Tc-c

. t9. z. t r . Fig,2.14.

t s ino, I TVt, i . - . -___._: _ _T-: s l l l ( r l , pentru 0 </ </ , :t, 6tt \ Z1tt,

+(/) l l + ls i r r c,(1 - / , ) - s incl l , l )cr t lu / > / r .21t l t ) '

r. l,nlttl.s rrtaugular (fig. 2.14, n)'Jii_,v(t)

O ! l ( l r ;

l> l t i

{( / ) , t -

' l ( t) 1l sirr

t l In1' t l t tunyhtulnr

0, / 0,s/r ,

0, \ t t , t t t ,

p: poi

l ' .= 0;

cos ( ' / , l ) (nt l 0 < /

" ' l ' t , t , \

sl l l . ' ) l , I L(nlr t l

( l i ( , 2, 15, a)

t ' , t I t t

,.t

",1

,, ,, ,

f(t) -- | i

f(r) ,,. {t;( 1, ,

r " , , .

lnl ' lnl l l t*

I r \ t )

tvt

-.1. l i l , rr)

t ,

'.Jt

[ , t , r / |

{ '= 2 l r t ' r t t t t t

It. I ncLi rtut uf' l ir,rt i

0 I t t . l , / , , ,

, ' ( ' . ,

I ltJ

Il"t ( )

Page 13: dinamica constructiilor

?(rl

Fig. 2.15,

t 2 Li P:O; /tr\ - o.

Acliunea tlinamici a unui motor eleciriclsau ltr- general a unei ma-silicu piese mobile neechilibrate in lni*are de rotalie, se poate reprezertamatematic printr-o forli pertrpbatoare armonicE d.e forma

P(l) : Po r;o g2t, (2.42\

lnfcare Pn este amplitudinea forfei, iar O pulsaria ei, care depinde deturatia motorului r (turaliiiminut)

A : 2zs i: T tra<!sl. (2.43)60 30-

Aceste solicitiri apar frecvent n calculul structurilor gi prin urmareprezint!. interes a.flarea rispunsului dinamic la o asemenea acliune. Consi-derind cazul unui sistem cu un gre!. de libertate gi neglijlnd amortizarea,ccuatia difereutiall a migcdrii iistedului se scrie

t a ."u: & sin Ol.

Solulia generali a ecualiei diferentiale neomogene cu coeficienfi con-stanli (2.44) se cornpune din doui solulii particulare

tJtmlrlnd cr toluiia ,,r ![ ldtlrfscl ccuatlc dlfcrcntlell ncorrrogcnl) !c detcrnlin[ cotrstautele M 9i N' 9i enumt'

14:0:N: P' ,

','(t)r - Or)

<, i ' -Ot *0,

generall a ecuafiei diferenfiale (2A41 es,te prin urmare

u(t\ :.C, cos tot + Gs sin ol a : iio ==, sin'Ol'I tt(rrr - Or)

* l : u" 'Q ( t ) ' (2.s3)

dinamicl rf (l)

(2.s4)

",:t.LA-*,

+Q) : 2!-1";r, ot, pentr_u 0 < r < 0,5 rr,t r r t !

q(0:2- '2

^*+[ , s i . , tu(r -+) - ' t . r ] pentru 0,s 11 < i < r , ,

'lO:;[-sin<o(r-r,) 1 2sin<o[r - ]]- "* ortl rntru t > \. t,

2.7.3. Rdrpunsul dirrqmic lq ocliuncounai fo4e ormonice oplicold mosei

(2.44)

ut(l) : Cr cos<,rl f C" sinol, (2.{5)

corcspunzitoarc ccualiei diferenlialc omogene qi rr(l) carc se proprnc dclonn|r

tr(l) . - tvl cos(ll -l- N sinl)/. ('J, ̂l(|)

3g llraaka lt rlahtlll.l.. |'onrl||tr,llllllr

r-'r--

+ro :;-iyisin cu- *"..,]

Adace, rtrgiurrstrl dinamic cstc aproximativ ..cxprimat numai l)rittvtrrriirt-i.lpur t.i1atc, asttcl incit funclia dc multiplicaie rlinamicI devinc :

{ (t) .= ---L1 sirr Or, P'55)

' - 11l l '\ ',,,

(2.471

(2.48)

(2.4e)

(2.so)

(2.51)

35

Page 14: dinamica constructiilor

lar multiplicatorul dinamic tl., este egal cu :

0: ''- (:J',

Fenomenul de bdldi' 7n czzulir care nulsalia lorlei Pcrturba-toalc O iste aProPiate dc. valoa-

rea pulsaliei ProPrii a slsteruu-lui <,r. aPare lenomenul cunos-cut sub iumele de bitli ' Pentrtra uraliza aceasti situarre se rro-

tei\7i\

-1,

Fis.2.18.

O-l-o. O-- c" ,cOS .- ,

(2ffil

(2.6 t )

u(t)

Vibraliile pur fortate sint, prin urmare, vibrafii armonice care se exe_trrl r'r cn p-ulsafia Q a.forfei perturbatoare gi cu inplitudinea constautd-r-:lcctr drnamlc maxrm, expriEat prin multiplicatorul dinamic {, (ec.2.56)cste lunctle de raportut dtntre pulsatia forlei pcrturbatoare O qi prrlsa_tia proprie co.

. Clnd 0 < O/<o<1, multiplicatorul dinamic rf I 1;i migcarea sistemuluis(. race 1n iaza ct Iortd perturbatoare (in sensul de aelionare al forlei).

- Cind O/<o > l, ',nultiplicatorul dinamic tf este negativ, ceeaceindici

laptul ci migcarea sistemului se face in sens opus scns-rrlui dc actionarc aforjci perturbatoare, diferenla de faz6 fii ld

"gaie .u r:. Miscarea se corrsi_

derii in opozilie de fazi fafd de acJiunea foilci lrerturbatoare.. Cind _O/<r ) .y'4 fiultiplicatorul dinamic rl,, este irr valoare absolutb

mai mic decit unitatea, ceea ce arati cl efectui dinanric cste inferior celuilrodus cle aplicarea statice a forlei perturbatoare Ia valoarea ei maximd,D

Dacb O : .0, aparc fcnomenul de rezonanli teorcticd. sau ideald. cindvaloarea multiplicatoruJui diuamic rl, tinde cdirc iniirrit. in realitate. inr(gim stationar (ec.2.53) expresia deplasirii a (l) devilc o nedeterminare l -Ridicind ncdeterminarea, ccualia de migcare in reginr tle rezonanfi dcvine :

uU) '- !: . f (sin <,,/ -t t , P" '-.2 , :os <,t ) : -n zIJ cos (<" /- a) - u!+ (t), (2.5j,

itt carc

, ' :V(f ,+(-r , - , l ,gi <lcci dcplasirrile crcsc nclimitat irr tirrrp (iig.2.l6).

_. i r r l igura 2. I7 s-u r( .prez(r tut r .ar iat ia. nrodululuidir r i r r r r ie r) ( r 'c .2. 56) in iunl l ic de raportrr l ( ) /c, .

'u'. urt]

2 ' !.,,.,'

(2.s6)

(2.s8)

multiplicatoruLri

92 - o1 :2e;

O{<o:2rD; 9: l . (2 59)

Bcualia tle migcare (2.53) devine :

' , t ( t ) : -* t t* Ol - s in <ol) : - L ' "

: [-#"t" or]cos or: '4( ') cos a' '

0-

" 2 E l l - o,

?.7.4. R6spunsul dinqmic lo ocliuneo lorfelor

cora nu sint o,Plicote mosei

llxistir situalii de incircare cind pozilia .trrasej. sistemului oscilant ctr

' r r urrrr l <[ t . l i l )er tat ' . r ,n

"oto" id-" . i t .pt i t t . tnt de apl icaf ie

-al for tc i rxr t t r r -

f r r r t i , i r r r ' l f '^( l ) = l ' , , r f ( t ) t r tg 'Z ' rS,a) ' caz t ratat pentm pr inra di t : r dc

t l t t r l r r r i t t 12lItt ttt 'r 'r l citz t irsprtttsul dinarlic sc cxprini

l r r l r r r l ln[ l r r (2 i l " l ) :

r ( l ) t ry, . ,1 ' ! ( t ) .= / 'oo8r, t ( l ) , (2.62)

-t\ .+

Vibrafia rezultanti (b[taia) este o rnigcare armonicl cu- pulsalia Q' cu

,,,,,,,1ii;;i;ii,' ; ii1',rariabil" ln iimp tot duia- o lege armonica' de pulsalie e'lli:l;;;H;;" d""ti"a '

r"gii a"-fri;""'" (?.'60i dte datl in rieura 2'18'Sc observd ci perlodlc

"ti ro""-prit"eli ale rispunsuhii sistemului'

< irrrl st' atinge valoarea maxtrni a amplituilinii cgale cu -i-t ' t'crioada

lrrrliti i cstt: cgali ct

9t l

i.-III

:l' i,i:l;; i'1,,1;l l;'.1' lil:''lJ i;i, ;ll illi:illi" :l;ulllli''il'r ' ' l l t t t t ' r r / ( l i t { ' - l l l ) ' / ' )

' i i , t ,n ' , r ' i , ' i r i r r l ' ' ' I '

i t t I i r I I t t t t r lc t t t i r i t t r t t l t r ' l . t -

t , r , , ] , i r r i l , , , t ,u,r , r ' r l l ( ( ( r t : i l ( l l ( ' ( l ( 'v i t r i i l l ic i t r t i t r t l '

,1:'Jll ,,;,1,": lJl',,lliT;, ;;llil,lll l iilliliilllll ' liiilll:lli, ') b

I r ,1 i r l , t

----J--l!-"

l ,u

r l

, , t r1 . , (p / ' , , .^, , ) , f ( , ) , (:r.(.i3)

tt

Page 15: dinamica constructiilor

.tl.. tl - --------

I u{1,' - ' .J .__. . - . -"

o

YrctlItin dif('rclrlialh a rtrii icilrii tlt 'virrtr

i -S,u ' r t =. l fs in r)r , (2 {i l})

("1.7i))

(27r)

('2. t'2)

('t.13)

(2.74)

Fis.2.20.

lll;r li$ifi:l'i11,:l',,'i':llli'"'L:::l'tt"lr3,,;il"' <rc influenrir a deprasirii

il:;i1;i; ii))'.'',1;;lii);i ll:l*Ji':n::*l;:iti::: i1li,t'ji,f,:;1fr?Jl:;:l r |crr t ic i icrrccuaf iadi fercnf ia| i (2.4a| 'arrr igcirr i i ,s isterr t r r l t t is t r l ract i t t r l t . l trlr(,i forlc l)crturbatoare armonice P(1) : P srll ul

Ifirslxrnstrl stalionar pcntru accst caz' rlc ilteirrcarc' cstc ('t 2 5ll)

,(r) :

^* - *(sin

or - ll sin'l)u(t):E Poob,o.1,r(t) . (2.64)

2.7.5. _Rd:punsul dinomic lo ocliuneo

unri lorfc mobile

,,,,,r,ii:',::l':ior:lX;f.Ttl1 giT'1^;c1!oriti.r'itezei de deprasare a unei rorretx,rrntc (iig. 2.21;-;il"*"#"Ji,,i'iiiiljltu la rrn sisteto cu un grad de ii--- ;;[ffi ,ff 'F':I;,Ji:i J,T" " "' u,

^ ..,i.:;,.n,"Clijs"1n . nasa incErcirii mobite p../rl)ncrnd pnncipiul lui d,AlernbeJ qi

"o".ia"rina succesrv acfiuneafirrlci /) aplicati in secliunea x :1,1 .; ^;^_,^, -,- -

"-..

rf(r,, rr rrasei este : t : tt ;i ^

forfei de ine4ie mil (l), deplasarea

tl(r) : P8!, - *li\rr, (2.6J)ttndc I, csle ordonata liniei de infhr,enfi a deplasirii in secllunea de apli_ill,lri l'?".,i1"il"dusd

de forla mobrta P : I si carc aproximatrv se poale

;i cun pentru viteze obignuite de deplasare (r 5 tO!] km/h) O.cstt' tttrtl l

iial'rnic'decit ,, clin supiapun",". t"]ot doud vibratii de^ pulsalie {). ;i r"

ri'rirfti o -iq..t"

a c5,rii reprezentare grafici este date in Iigua 2'21' l''

Cozul nzontntrei. Rezonanla are loc pentrn

o:O:- ' ,I

vitt,zrr critici pentru cale se produce rezon r;ta {iind, prin urmare' cgalir ctt

al

Pentru poduri metalice cu deschid eri l,:23 .. . 158 m 9i cu pull4ii.propr ii

. :-63 :-..'13;atl/i, vitezele critice au valorile, u". : 1660 " ' 2350 krtr/lt'

Pentru poduri de beton armat cu deschideri l: gp " ' 23 ru' ctt

, : 200 . . . i45 ratUs, vitezele critice au valorile a-:213O ' ' ' 1200 krrr/lt'

Prin urmare, rispunsul dinan'is naxitn corespunzdtor rezonanlei sr'

ptoa".- p""tto uit"""'"" depesesc cu mult vitezele obi;nuite de deplaslt'

ele vehiculelor.Funcfia de multiplicare dinamicl tf (l) este

8rr 3 8r, sin 11 : gu sin I_? I : gu sin et,

expresie in care s-a notat: P 66)

valoarea ei maximi se obfine pentru sin O I : I 9i sin <'rl : - 1' adicir

multiplicatorul dinamic este egal cu

o:r ( r+9) -r+9;' o ' t o/t - -

(2 67)

:,*,{ttr/.#i".,,,1f ?; Jru,i,l;::"'""f; ffi t f [: tinind seama "1

Qrir,rt ( l.Pentru viteza. a :100 km/b, in cazul podrrrilor met alice- (l:23 ' ' l5flrrr

si O/o : O,06' . .0,04), +:1,06 " 1,04, iar in cazuf-podutrlor dc Dclrrrr

l '* i i t l : s,g .. . zt 'rI, a/o :0,05".0,0e), { : 1,05.'. 1,0e'Prin urmale se poate aprecia ci, ln general, efectul dinamic al vitt'zt i

cu care se deplaseazi vehiculele pe poduri nu este insemnat'36

i i +*" :Ssinor;

5t

Page 16: dinamica constructiilor

2.7.6. Rdspunsul dinomic lo ocliuneo gocului

. Determinarca rdspunsului dinauric produs de gocul rezultat din cioc_rrirca a doui corpuri reprezinti o probleml dificili ie-gi poate gi.si o rezol_vlre aproximativl in limitele unor ipoteze simplificaloire din" teoria eie_rucntari a ciocnirilor. Rispunsul dinamic depinde de proprietilile de de-fonuare ale celor doui. corpuri ce se ciocnesc, de maseljlof gi de'caracteiulcontactului dintre ele. De asemenea, rnasa ce se ciocnerte cu structura poatesarr ru s5. rdmiud. in cotrtact cu aceasta dupi. ciocnire.

" O caracteristicl. importante a gocului este producerea intr_un interval

Ioarte scurt de timp a unor forle foarte rnari in punctele de contact, numitelnf to Aa narnrr f ie

. ll tjSulu 2.22 se reprczilti. legea devanalre ln ttmp pentru o forti. de DercutieP(l) ce poate_ fi obtinutd pe cile exftrimeo-t.ald, caracterizatl prin valoarea maiimi po,

ii?f, :: actrune rr -to = r ei impulsul

P(t)

valoarea absolute a multiolicatorului dinamic 0 devine:

2V: t -

t(2.7e)

Vffi:Vffi)'"'

7) _7). t ,_ D - . -_, .Ut4r-rOY-rOu (2 80)

Considerind acum ciocnirea unei masc M :Qlg cu o structurS. schc-llnatizati la un sistem cu un singur grad de libertate cu masa m : Qrlgconcentrate in punctul de contact, multiplicatorul dinamic rf este dat dcraDortul

, l'ut oHv:0: a

Forfa staticb echivalenti P6va fi, linind seama 9i de relalia (2.76)

(2 81)

J?ulsafia o pentru sistenrul oscilant dc nasl nt { )[ este datl de cx-l)r ( sla :u: I ptt 't u.

, '(2.7 s)

(2.76)

(2.771

(2 7rJ)

lx . r r r ru

cufic de valoare constantd.in figura 2.22) egald cu

Valoarea il a impulsului se poate apro-_xima considcrind acfi-unea unei f'orfe de |cr-Po aplicati. iutr-un interval de timp ,r (prnitat

,. ': lrh:l

v: 0:

a_8(0 + 9,)

U-D.

Irrrdc s,r cste deplasarea produsi de forla Q aplicati static pe direclia gra-dului dc libertale al sistemului.

Irttl>ulsul IJ dace structura se gisea in rc-paus inainte de ciocnire estecgnl t'u

I : I t tu:qu, (2.83)

pt irr rruuarc, ttt ult iplicatorul clinamic r! se poate exprima sub forma :

-.Acfiunca dinarnici a uuui aseurenea irnpuls dreptunghiular a fost

studiati in $ 2.7.2, exenrplul 2.1, c. Considerind intervatul joartc mic detimp T in care acliorrcazi forla de percufie, funclia de multiplicare dina-mici, dupi. monrcntLrl allici.rii ei este :

+ ( t ) :2 s in i ls in r lz - . . ) ,' r t 2 l '

iar valoarcl rnultiplicatorului dinamic cstc:

I r r r r r r r l l in, l : . i i r r r l , : i r l i r r , l r . .

r - r ( ,t x l r lcs i r r (2.71i) ,5 i o l rscrvirr r l r . r i

I ,

l)rttir sr. cousidt'rir cazul ciud t iocnirca scllbtt[ u urrni corl) lx. stnrctrrir i lc la inilJinrcn i,t | t t , t r l r r l t ' iocrr i r i i v i r I i :

e .8o :

, . . [ , *4) ua- \ 0)

l l1I t . l l r lv 8, ,5, l r - f ; lt t u)

I t t r r

tn( :(l( ' \,

l:t,

l l,,, _ V ,,,,, ,p-ii'

1l r ' r 1rr r . r , i r r | |nr l t i | l ic t r l r , l l l l l t i ( l i t | l | r r i ( '

(2.84)

uoduce prin cirdcr( rrvitcza accstuia itt trttt-

'l;)('..] sri)

Page 17: dinamica constructiilor

2.8. INFLUENIA AMORflZAR ASUpRA RASPUNSULUIDINAMIC AL STRUCIURILOR

Exprimarea naternatici. riguroasi. a forfelor dc amortlzare care seilt":",-iq:il i i structurii

-sLr])usi acliuuii forlelor dinamice este o problemd.

rr( ' t r tnsut lctent r (zolvalJ (v.{ 1.1.4). pentru calcul . for le le de amort izarcrcrrlc'se inlocuiesc. cu forle echivarente, proporfionale cu viteza de deplasarerr rnasei sisternului corrsiderat cu un sin!-ur grad de libertate. C.r;sp;';;;;;itrnortizirii viscoase, aceste lorle atr ca e.-fectlisiparea unei cantititide ener-gd_qerg9!9!*eCsli cu. cea disipatd de f orfclelEffiadesiTef-se'simffi e.rl l l tormularea cll gt rezolvarea problemei strrdierii efectelor amorhze,rlirrsupra rispunsului dinamic al structurilor.

2.8.1. InfluenF omortirdrii viscooseosupro vibrofiilor libere

In cazul amortizlrii viscoase, . ecualia difercnliali a vibrafiilor libere.rrrrortizate se obfirrr. prin 1 rart icrrlariza rea ccuafici (2.91 in ccre se considerd.I ' ( t l : O,

S<'constat lc i inacestcazlcaul l t l i l lcaal ] r ( ' t iz i r i i ' r r r iScarcai ; i l , i . ' t . l, ,,,,,. ir,, i i i";;;; i l .Gi.,, i", sisternul scos din

'ozil ia . dc cchil ibr' lr irrl r , '

,1, i , i , r ' , . , , t ; t in revine treptat la aceastn pozi l i i in Iurrel i . . r l ' or i . t t t ' r ' r

,:,i ",.i'ii,tiih"

l;;;";i c' deplasarca i'iliild, cc.afia dc rniyc^rc (11 ')" t. , r ' lx) i r i i r . l t r ,zenta ia in t igura 2 23

.l s. 1.2. Alrtorl izarea supracril icl ' Discrirl inantul cstc lroz'it ir ' . p!

t t l , i r l r . , i l r .o. Riddcinik ' ccual ic i ( ! ract(r ist iec (2 88) s i t t t . t ' l

' i " : ' , ; ; ' ' , ! , ' r i t , . solrr ! ia gtntrala a t t t r r l i t i { l i { ( r ( r r l ja l i r i S( i ) t i in ' l

,ll.(t) : q B'lC, .vr:o 1-.{ , " v-'' 1. (l 1)li)

Si irt l tc.t,st caz. <latoritt] aurortizbrii puternice, lrrigcarerr i; i l l icrdc r.rrl ..

r , , , , i ' ' , ' . . l i , , tnt iu, dcvenind o migcare apcr iodic6 l {cprtzr t l lar<a t t t t t ! t ' t

,i,:'",ii.1,".''iii ' i ii".ti" de ;"ailiile iniJiali se plezinl ir analog crt cazrrl 1't'r , r l r . l l (1 i1. 2.21.1).

', l l{.t i l . Arrxrrl. izlrea subcril ici ' ln accst caz cliscrinritraltrtI csit tr '

1,,rtrr, 1'. ' ar' 0 ti 13 < o,, iar colrstanta dc lrroporJionitl i tatc I 2 a" ttt

i , .1, . r r l r r t r , t , . r , t , t i t , , , (2 99)

' i t "n ' (1: ' ) 1

! \ l , r ' l l l r l i l t l l r t t l iz i l r i i s is lc l r r t r lu i osci l r t t t l ts t ( ' t l r1 i ' l t l r I t - I t r ' 1 i t I t I t ' I I ( l ( i r r r r . r

l r . ' r , ' r t l l r i v rk ' l in i l i r crr l . i l lx)11ul r l i r r l t r ' ' ; i r ' ' '

( :1.1 , r

t t t r t r r t i t r l i l r r i l t i t t l r t i r t l icrr i r t l i i t t t t ' r l : ' t i r r r lot i I j t ' r '

r r i l ic i i v . { ( l r r r r i r r l r r lx l r r l 1 l 2

I t '1 ' l r r ' t t | r l | r ( r l r r l l r I

l ' l . r r ,

( iu i r ( l ( r l l r r (11 t l ' i ) ' , i t r l i t r r r r .s l ( r r l l I I | ! | | i t I ( ' ' | | |

iu'0

i.= o

i i lzpi l -o la:ot rt uotaliile (2.7) )i (2.U)

Propunindl solufii particrrlarc dc lorma r(1)r ist i r i a ccrral i r . i d i lercrr ! ia lc (2.8t i1 estc

u2 l2pe.*o' :0

(2 86)

(2.87)

: Ced ecuafia caractc-

(288)

("rie)

(:1 , ' tH) , j r t ! r ' | | | I | | | | | ' | , | | | .

( ' iH{ i ) l r r r r i l

crr rirdS.ciuile

ar,e:-9*

..in funclie dc valoarea discrirninantului se disting trci situnli i crrc sctnlizeazi. ln contirruarc.

2.8. l. L Amorl.izarot critieri. Discrirninantul este egal cu zero, pr -- r,rr , =(), valoarca coeficicntului dc a.rrrortizarc p corcspnnzitoarc accstrri cuz

s' rrnucttc crit iciL si <'stc cgalir cu:

,i ' ,, . <,t, (:J.fx))

i r r r ronst iur t i r r l t . l r l - t r lxrr ' { iorrr l i t atc cr i t ie i . , c, , r l i r r cxPrt ,s i r ( . l . l l7) r r . l r r r ,z i r r l r . t( , , :u i t ( ' t { . r is t i ( . i l r royr l i l i r s istr . r r r r r l r r i cgal i i err

'Jtt', Dt '!,t u 'J tttt ',,

'J .1 r,rl, (:l || I )

,1, \ . ,1 , . r / r r I r I i | ( I | | r I r . , r r r i r l r , , i , ; r t r r r l l r i r ; l i r , .F. i , l r t1, , r t i , . r r . r . r l , r , r , r r r , r l r , r r l i l r . r I r r t r . r l r .

u l l l , r , ( r , I / r r )

| r t t l I l r ( ; r / t ! l l l r '

t l r t ' l l r ! ut t tot I iz t r I I

, ' l r l l ' r l r ' r l '

r | \/lr'

v," ' l t \ l\1, , ' , ' l

(11 t r r ' l

\ " " t ) )

4l

- uo( u

I

l ' ' t ' )

l -

' ' \ |

i1 | ,(n'

Page 18: dinamica constructiilor

i iLractur i

Staucturiu, l0_0,I6

u,t2_0,I8

0,03*0,16

0,0s _0,10

-v

de ziderie

- intervnl , , r . r . - , - "*"vr /u ' dar nu

p'""d"p:;i;;lllJ,11:r';,1i,,1."0,,'',. ,,...., I cste perio-,rirj l ' " - t l) i, i l i l :#l]""i*"'srtcccslve sc aurrcrre

... l.*.1,4. fr(,(romontul. logaritnic al arnortiziirii. Caracteristicile ,ll lrutuzlr(. irt('uner structuri pot fi.determinatc experinental, prin nisrrr;

:il.;li1:.,l1.l'-,':j.:qfrgel dgrrSs-nrlor struciuiii'i,'"""",i"" punctc;,Iiil ' ll,l,';l; ' ill?'tdrr-se'

ir acest fel' diagranrc dc rorma "ot"i 'e'1)re'.:',r

.'('nrroscind valorile a doue amllitudini succesive A(t).ri A(t - I 1

rr llrrlc calcula decrementul logaritiric .t .r"ortiraili A, d'ehmt ca tos,,,irrrrrrl rrntrrrirl al raportului dintle doui ar"ptt"aii,i -""iclii lr"

',,,r,,,rruB,,rc r;l;d;;di j , pd,rour i

"d;""_

',:;: , -' 'o""""

"";l;l;n ';,"gllll",l0,05_0, I0

--"*, r (. ec constantc ', (Z.WJ)

solulia (2.9g) devinc cr : ,{ sin ? i c,r : I cos g,

ul t ) : A ^-Bt. . : , (2 '99)

care reprezixtd ec,,.ri,, r- .= 'J e-ft sin (<o*l f 9)t"''ff::r3"'n;-J;1,:,",,:."' a

.sistemului oscirant si ".," ."0.",1,1#l

tiali- amplitudiuea vibralii

e din analiza ecualiei deror descrerte,. ;;';;; ;::":1T]

rlici,- rnigcarea ipi prstreaz[

A (t) : 4 .-st,

-- - intervarur a. t;*,.. -.

:t"""tu' oscilatoriu, dar nu nai

"*"

t:":?

l ir ir( 1iul(.r de amortizare crit icri v sc poaf( c-rprinra in Irrnclir.rl,r l I r r , r r r r r : l r r l logar i tmic al amort iz i r i i

A: pz-*: u. : r+:_] IL6 vr - , ' { l

Srrrr firrirrd seanra cii T* r> T (relalia 2.103)

(2. l t ) r

'AD a= ZnY 51 v:=-'2t

, f : f r , ;A(t+T.) A c-9lt -r '1\)

7 : 0, u\O) : uo ;r ri (O) : d,,,

Cr: uo Si C", . l t 1 ' r ! - .

vibro;iilor

r r r r r i r l r t r r r . t t t r Ir r r r r i r r r l ' r r l r / /

r r r l , r r r ! i i l i l l . r r .

( ' l r r ) l

(2. tot i ,

(2 1o1)

(2.1{)r'i)

(2. rol))

1ir r r<l r l r ' l i l r r ' r l ; r1, .r l l l t i , s is l t t t r t r l vrr

( l ig. 2. i25) 1rr or l r rs,

I ' ir,irlr.rrt, r.aracteristicile de arnortizarc ale structurii deternrirrri,rrllr,l, hiltt I 'nJr.5i depind d€ natu,ra materialului;i tipuf-ii iu"turii (anrorti-11t.1i. "1.', ',,{ " 1:,1i,),.

proprietiJite medir:tuj in care se 6xe&te vibraliite ianror r i-,c l r . \ ' t r l o i tsat) ctc.

! , tJ.1.5. Etual ia misedr i i , cxpr imar: i pr in eondi l i i in i l ia lc. Srr l r r l r , rfl.l l l l) u <.e,u*1ici di{erenliile (z.ab) estc (.xprjmata in lunctie de douei , or.l ta| | to art , r t rarc de integrare carc sc l ,o1 dctermina din cordi f i i le i r r i l i ;1t , .t l . ' t t l i ( iu i i . Ast lc l . dac-e la

tr t l l i

Ae-0t't- * 2r

.. ="J1; (:.tttz)

,"r, rlu"%ui',i^'i?^1ia d upi. curn

trffi' l t : . t . , i ( , , . . : . , , . (?, lOl t )

f l t r t t { l l r r r l r , r r r i l t , i l rc a s is lc,rr i r i lu i osr. i l i r r r t r l tv i r rc

.-1. -f' .i, (,,r/u (t) ' I a s i r <,* l l .I

2,t ?. Inllurnfo omortizdrii osuproprodurr do un impuls linit

_ l ) { r l l r . l l r r r l r r r j i , s( . l r r . l l r l i / . r r , r , : lI r t r t l r l l r r '1 l | | t r I ' , . l t t Ior t I r . t | | | | | /t l9t ' l l l { , l r r r r r t r I i r r rLrrr . , t , r . | | l t /t l t ' r r r t r r l l1 l l1,

" | |11, ,1,

TT

42

Fig 2.2.r.

, r { r l o O ,r r i (L)

Page 19: dinamica constructiilor

. .$i l" acest caz, ca gi increcr mlctorarea exponeniialemar puternicd. cu cit valoareamare.

:azul vibraliilor. libere, amortizarea are caii^ lllp ,.r anrplitudinii vibragiilor, cu ar ilrracllunu de amortizarc criticl v estc mai

dcscrisc de ecualia (2.10g), adici

u(4 : ! -e-ov-n s in or+(t _ d: #;e_,o(r_r) s in a*( t _ t ) . (2.110)

' t \

'r 2.8.4. lnlluenfo omortirdrii osuP.o lispunsului' dinomic produs de o lo{6 periodict

)lcuafia diferenliali a vibraliilor produse de forla pedodice P(r) :: Pn sin Ql cind se line seama de amortizarea viscoasl este (ec. 2.9)

ii a zpa -f azu : 3 sin or. (2. l r 3)

Solulia generall a ecualiei aU"rengialelZ.t t3) se cornpune din soluliapirrticulari xrl(l) corespunzitoare ecualiei dilerenliale omogene, studiatirportru caz-u1 vibrafiilor libere amortizate ($2.8.1) 9i o solufie Particulari'r,(l) satisficind ecualia diferenliali neomogend. (2.113), solulie care scl)rol)une ce lorma

uz\) : M cos Oi + N sin Ol. (2.114],

l'unind condilia ca solulia (2.114) si satisfaci ecualia difcrenlialir(2.113) se obline un sistem de doud. ecuafii algebrice in M gi N

(<o' - O')il[ - 2p ON : 3

2$OM + k,) ' ) - O')N :02.8.3. lnfluenfo omortirdrii osupro vibrotiilorproduse de o fort6 perturbotoo.:

";;;il"-

,"*" 81.:""J""?: ;iff: t:;';'j1i-lPortPar-e.a, acliunea unei rorre <lc o

run,::l;1.,*ht*$r:.i""i!i1i{#,,l["?"?:"#i"iij:icreme nta r, ti;il ;;; " ;".=;,ifir8.,",'oi,:: Ti""i: T.il.*ii"il *inl, r;

rh,rrndc rezul t i

or O'

(or - o')' t- 4p'0'

(2.r ls)

(2.1 l6)

(2.1171

constante M ;i.,',"i1ll,l'o'1i""1'",1::: j#'J: d" ac!iunca lorlei P(r) : 1

i,?Ji'"'"io1oiii,'1il;fl ,".-,T,:tT,#i*.t*fu :l'fi',;#:;1;#"Jr

d,u(4 : lt f ft)e-.otr-.t sin or*(t _ t)dr. (2.111)

.- r'o zpn

's ( ' ) ' -Or)r+{B'o '

('rr s,.lrirrrbar,a dc constante

M : A cosai N: - ,4 s ina,

ruro vnkuilc constante ,4 ;i cr in {unclie de vechiler l r r l

l l l,v

,tt l .- ,, 'J \

fG),. s't n sirr c,+(/ * .r)dr :

-= . - \ , / ( t ( v

" ! r s i r ) <, ,*U - t ) t , .,4| ! - J

.1 - "l 1y7z a 5z : '-l . -.+;

'x ^1i ((or - (P)r ! lFror

o ,ar. t r ( -#) : ' * r r [ '$) ,

r r t l t t l l r t l r i r t l lcrr l r r I i r l r r ( l ) sc mai poatc scr ic

u.lt l , .4 sirr(o/ ,).. ' : : ?i;,#sin(or -- a).

(2, I t2)

(: I rs)

l r r . . : rzrr l i r r r . r r r . ( . 1, , r1:r sr . ; r r , l i r . i s is l r , l r r r l r r i osci l i r r r l i t r nr i ;cnrt . , l ; r r i ls l ,un\ull : i : : l l : i : , ,11: l . l i r r l : r . ;u.rrrr i t r . r r , , , i . 1, . , : t r rZl . ,11.. r rr t r rugi i i r is1, ' r rsrr t r t t r t . r , , t .| ( | I I r I I I | | | ( , t r r r i l i l r l | ' r r l r . r r r i1, i t i i

" , ' . r i r ' r r i r , . , , / i i - t , , j , i , r ' i , ,

t i i , , i 1 , ' '

( ' ' ) z" 1t t i ( l ) ) / , , ( i \ ' " l

lof)) , , , , " i , , . , ,

u

Fis- 2.25.

i { r l t t l l r r g, , r r f l r r l i1 sr . o l r l i t t t . srrrr t l t t r l cc l t ' r t t t t t i r solul . i i Ptr t i t t t l r t t t ' t r , ( / )l r , r ' . r l0 l ) ) 4 l . 'u l r t l in ; r r t r l i t r r l r r l r i tu( l ) ( t r ' . 2.1l f ) ) y i t 'x l r r i t t t iL r i ts;r t t t rstr lt l l t t r t t l | t ' l r r r r r l t t t l t , r t unl i l ( , t l r ' l r l r ior l ic l l ) t t l t i t r t t t t t t r l iz t t t l r t ct t t t t ;xt t t l t t l , i

(2. I l1))

Page 20: dinamica constructiilor

uO: u,Q): ! -

In t'n r<'V(,-utl,",u

sin (Ol - n) : uo . +t (t) (Z.t2O)

tl {i(l) este funcfia de

ud: " :,'kr,

muJtiplicare dinamicl egald. cuI+*(r): sin (Ol - cr). (2.t21)

Multiplicatorul dinamic {.,* devine in cazul consideririi amoftizbrii

V (' - *l''.",:;(2.r22')

EIe-ctele a-mortizirii asupra rd.spunsului stalionar se pot deduce dinrlrresiile (2.120-2.122) in jel,rl ui-etor:- ruigcarea este o vibratie armonicd cu pulsalia 0 a rorlei pcrlrrr_rtoare de amplitudine constlntd A;- amortizarea dirrinueazi efectul dinamic al forjei perturbatoarc

,1,* <,ti i i "f:St

fii ld nlai puternic in. regiunea- rezonanfei. lntr-adevir pentnrzouantl, cind O : <o, multiplicat-orul dinamic {,; aie-o valoarc finit:,

, i r- : *,

f!.$l91ar al sistemului este dat de ecuatial l lD lorma

(2.119) care se mai poate "*rrrrf

12.t23,

**

lll dt' valoarea in{initl ce rezulti cind se ncglijeazir anrortrzar(,a;, - nr ic;orarca. efectului d inamic t .s lc cu at i l n la j put(r l lc i ( l r ( i trosr( ' i r l racl : lut l r d( ] arnor l jzare e: . i l ic i r tstc mai nrarq. I r : t igur l Z.3irc lnczeutal n:ul t ip l icatorrr l d iuamic { . ,* in IunrJic dt . ra|ortrr l 'O/or 1r, . r r .r < l i l t ' r i tc valor i a ie lu i v:

- ( l tD cauza anrort iz i r i i nr iqcarra s ist<,nrrr lUi orr . . i larr l t .st t . ( l ( . t i tz i r l i li r r lc utJ i r r r r r . .a I ' r t t i pcrtrrrbatoarc, d i f<,rent. ,1. Jur. i i

- '0, i r i r r r l rLr l i i < l r .

'1 l . l l ]1. .1: . .1,n) t i . ( .s l ( . r ( .1 i l . (zcnt l r " r l ) ( .ntr <l i lc l i t r . I , r r lor i r r lc l . r r r r , l i r r r r i it t r t t r tzt t r ( ( t t ( i ! iD l igrrr t t 2,1J8.. l ) i t r r ' : * r r r i r r r r r r r r turbckrrr l i l r l igrrrrr2.2Tst rrr rsrr ' r i r i r r r i r r r r r . r r i r r r r r r i r r

i . ' j ] l j ; . . : i ,11 , i i l , . : , l t iurrru r . r l r r l r r i , i , . l , r i r uuru(, , 1, , , , , 1 i , , , , , , i , , , l r t r t r t ( . t , ,1I ' r ( ,0 c i ( , l t ( . t l i . l ' r i l r for t r . 1,r . r ior l l r r , l r r l ) l r i r . r . r , i l r r i i i i | | l t | r , ln l l i / i , r r il l ( l t r , t t t l 'o l lu l l l /nr r r tc vt t l l r l lc

l ) ,75 < l l / r , r . , 1,26,

t

i .0

- t-0;

I

t, I

2

4r=05t-0,G

A NOJr'0F

i-rp-'S S

De ascmcnea, in fun-clie de

t"a-.rt a" exploatare al utilajul..uipi"oi""t""tut pbate alege co-nditiilei"-i""*, realizindu-se fie funcfio'rrarea utilajului in acordare

^Joasaili7. < o,rbl, ii. in acordare inaltaiii?' j t,zsi lu cazul acordlriiiolr"

-"tiipil".torui dinamic ''f

*> Ili deci efectut dinamic este *rpertorIlri.ita.ii staticc produse de {or}a

1,5 40+ o/t,

05tn

1p

f tg. z.zt .Fis. 2.24.

Derturbatoarc aplicatl 1a valoarea ei maxima' dar-iu "nici

un moment al

iunclionirii nu. se.atinse.'";;i;; e;-;T*1, l-'",::iit,,ffi2fi:i':#t'J;#fi ' ;"!;;;";;'*ri"it"'"' . a" rczona'l;' l-o".""'ol acorderu

ili't'."(oi;>lz.-;t,-"iripn"iq;i.di"3-9i1.i",'.n,t:":",ol,li::l5ri#ii".ftL- fOl" I l'25), mu"ltiplicatorul dinamic -poate 'tl .suounrrar {q'- 1 r''

adic6 efectul tlinamic in ti-ptii"t"'"tiit'a*lttiitlli,:tt: t:l"Jl::itt:f*l:adlca erecrut ur'u:'''u ru *''":t;;;;;';;;iic"ta"

statit la valoarea ei ma-statice Proaluse de forla Perttxim6. ln acest cLZ insi., la p""1"t""-lii*tteiea din f unc!iun::::*j-*l:xlma.XJ'?;#"* ?i'iJii"il;"i;niu"':;.q' :;, ;;;l'- l::":,t"3;,ff :1ii u"ill"J: ili[iffii ##;"':i'i&* ;""t"1; ce se transmit structu'ii'

2.9. oBSERVATII RECAPI'ULATIVE

Calculul dinamiccu un singur grad

al uuei structuri care se schematizeazl' la un sistem

de libertate, presupune ufmetoarea succeslune ue

o""'Tt))"rrorro acliunii dinamice.gi a forfei perturbatoare P(t\: Po l(tl

-^'a n?^\/6a.i vibratiile structur[.care provoaci vibratiile. structurrl'Sckemattzarca stlucttrn"' pti"tt-.o" . sistem cu , y -q1,19 i: ,TBilt*"t!""i!t!i#i1,.i'iil""i"'i!i-l- i*+iui' .n. a ̂ si:temului

(5 z'2) ;- H;ili;;;;; ""i""i"'l'ti"ii

elasiice a ($ 2'2) ;:;:::il#':X'iliJ"iii"]"a".;;;g;T:^i,":'-:1;'i):,(tatrctd22t';,i;i;;;X;';;;;;;;;;;;;,il",-;iiami'cizpropriiatestructutii:

- pulsalia ProPric <o -

- l r , . t i r i t r l i r propr i l ' dc v ibraf ic t :T:2n

.- l t r , r 'v t ' t t l .n, f ' : ' '

h

or l

' l r 2n

; .h

Page 21: dinamica constructiilor

Determinarea rd,spunsului ilinamic : /T.f?t"{"3ri .funcfia.de multiplicare dinamici ,.f, (r) sau {+f) inde'trpul io4ei perturbatoare gi fracfiunea de arnortizare ititice :

- se determini solicitirile in secfiunile structurii M0, Zo , No sieforturile unitare do, C, din acliunea forfei statice F. i"-pf it",ii"L i.rf liperturbatoare) ;

- ,- :g obline rirspunsul dinamic prin multiplicarea rdspunsului staticcu tunclra de muttiplicare dinamici +(l) sau +1(1)

M (t) : 1,4o1*e ; o(t) : oo {(r) etc.

in cazul acliunii mai muJtor lorle se suprapun efectele.

^

Del.erminarea rdspunsului dinamicl maxim:

l_ - r" calculeazi multiplicatorul dinamic { sau ,}* ;._ se calculeazi lorlele statice echivalente It: poiu:-_ se determini solicitirile M, N, T etc., in sectiuniie structudi dinincdrcarea_cu forla static5 ecbivalente, care ,.pr"ri"iai-"oTGtirile dinanicemaxrme cdutate.

3. RASPUNSUT DINAMIC At SISTEMETORCU UN NUMAR FINIIDE GRADE DE I|BERTATE

3.1. SCHEMATIZAREA STRUCIURTI PRINTR"UN SISTEMCU UN NUMAR FINTT DE C,RADE DE LIEERIATE

. I)e cele mai _multe ori, in vederea unui calcul dinamic, structLlr:r s(.:::l_"i1tir".f printr-u''. sistem cu un numEr finit de grade de libcrtatc,l)nn concentrarea maselor intr-un numer finit de seciiuni caracte,.jsticcalc structurii (v. g 1.3.2).

. Astfel, structura din figura 3.1, a, pentru care se considerE lrnn:ril l l l l"l1","

produsc,de. acJiuni laterale,- poate fi schematizati. pririlr urrl::t".1 .u. trcr grade de.libertate, considerind drept parametd d'e 1x,zi1i,(coordoDatqle sistemului) deplasiriJe orizontale ui, ir, a" ale rigltlkrr.,'1.,nrvciut ctrora s-au conceatrat .masele schemei de calcui (fig. 3.1, b"). Nrlglr-jlnd.inerJia

dc rotafie a maselor, sistemul ," rnoi ."fi")_iriti schcnrrrtit.t.;ln f igura 3. l , c.

, -.... .l_:l 1:tt", o grir:d.i. dc pod, pentru .carc s<, r:onsidcrii rrurrrui vibr rrl i i l,I r lnsvcr$ir l r . , normalc la axa gr inzi i ( I ig. 3.2, r r ) , l r r r r lc r i st . l r r , r r r r l iz : r t . ,

l , t i r r l r . r r r r r is terrr <.rr t rc i gradc: dr. l ib i . r i l r tc ( i ;y. ' l lZ, , t , i. Snrr , i r r crzrr l s l^rc l t r r i i r l i ' I igrrrrr l l . l l t . r I I r r . r , r I I r i r r r |

' l rs l r l *

' ' l ' r , , tj i f l i . i . ,Ol , . . , l1 i i , l , . r ' i r r r l . lxui l r i l i t l l l i l t . r 'k . . r | r .1r lnr t r r . , ,1, , l , , rn, , l lx . vrr l r i . r t , r , , ror lz( , l l l t i ( l i l i : l :1, / r ) rc rr l r l i r r r , r r r r r r in l r , i t r ( ,u r lotr l l I l l r l r . r l i , l l l r t . r l r r t ,

at

funcfie

o.bcFi9. 3.1.

Calculul dinamic al unui asemenea sistem cu un num5.r finit de qradcde libertate se formuleaz5. matriceal, astfel incit deplasirile $1, uz: . . .,rr;, . . ., 116 ale nraselor pe rlirecliile gradelor de libertate se organizeaziiintr-o matrice coloanE (vector) care, pentru un sistem cu r grade de liber-tate se noteazA simbolic sub forma

(3.1)

3.2. DEIERMINAREA CARACIERISTrcILOR INERTIATEAIE SCHEME DE CATCUL MATRICEA INERITALAA SISTEMUTUI

Proprietilile inerliale ale sistemului de calcul depind de masele con-ccntrate ,rj care executi migciri pe direcliile gradelor de libertate akliistcmului. Valorile acestor mase se tletennini. ca si 1a sistemele cu ulgrad de libertate (v. $ 2.2) in funclie de inc[rci.rile gravita]ionale pcr-nranente si utile aferente sectiunii in cale se concentreaz[ masa,

Caracteristicile inerliale ale unei structuri cu a grade de libertate scr(prezinti printr-o matrice diagonal5. patra]t6 (n X z) M numita matrict'lncrtialn avind drept elemente nenule masclc m, asociate fiecdrui graddc libertctc. llentru sistemele din figurile 3.1 ;i 3.2 matricea inertialiift(tc

l * , 0 0 Irll | 0 tlt., {l I

Io () , r . , |

--t

'cFu.

Page 22: dinamica constructiilor

lrrr' 1rcntru sisternul din figura 3 3' rn1 : rnr: 1n

[ rn 0ll r : L 0 * l

ln general, ?etltru un sistem cu z grade de libertate matricea inerliall

s t 'scr ie

0lft" (3 2)

l , r -K :1 f r" ,

l , - -I arr

3.3. DEIERMINAREA CARACTERISTICILOR ELASTICEAtE SCHEMEI DE CALCUL

3.3.1. Motriceo de rigiditote q sistemului

l{asDunsul dinamic produs de o ac}iune ctinamicl oarecare depilrde

,,,, ,,;;"1?;:;;iltitiidr" i"ouae ale ;istemului' ci 9i de caracteristicile

i *:x""|i*mr*"",n lii"*i*s",to:i:0,'.::iLl*'iT:":1?H*""'':1tt tttffirr"rulu"

elastice se pot rePrezenta in calc\rlelg tlinamice ,prin,,r,r,ri*-.'"i"' h*ditate K a structurii, care mlsoarh' rigiditatea structurrr

iii ,ilfi5;11"';";*iii""9i " !t"a"tor de libertate a1e acesteia' Astfel' pentrr

strLrciura din figura g.f, matiicea Je rigiclitate laterale a structurii este

o nratrice Ddtrttn (3 x 3)

ln baza teoremei de reciprocitate a lucrului mecanic (Maxwell-Betti)h;,: h,; ;i prin urmare, matricea de rigiclitate K este o matrice simetrici.

ln acelarsi fel, pentru sistemul din figura 3.5, a cu trei grade de libcr-tate, coeficienfii de rigiditate se definesc in figurile 3.5, b, c ;i d.

ln general, pentru un sistem cu n grade d.e libertate, matricea de rigi-ditate a sistemtlui K este o matrice simetricS. cu z linii gi z coloane (rz xX t? ) .

3.3.2. Colculul coeficientilor de rigiditote &,,

Coelicienlii de rigiditate 4,, ai matricei K se talculeazi cu metodclcSlolicii corstruclii lor. Se prezinti. in continuare trrrele modalititi decnlcul .

ll.l l,2.I. (lalcultrl coelicienlilor dc rigidilate rrli l izind proeedeul rilyidi-ll l i lor relali\ 'c de lilel. ln cele ce urmeazi se prezinti procedeul rigidi-ll l l ikrr rclatir-c cle nivel, sisteuratizlrile dc calcul Iiiud celc lropust' rlcI t l . I I r inr 12l .

Irr cazrrl irr carc rigicliti l i le la incovoierc alc riglelor sint sersibil srrlx-tktttrt. rigiditiiJilor stilpilor, structura se poate schenratiza, considcrindrlgirlitirl i lt 'r ' igl<1or inlinit de mari (Iig. l).ti). Sti\rii sint in accst caz cuusi-I t r r l i lxr f r ( t iutaslraj i in r ig lc le dc r ig id i tatc in{ in i l i i .

A'f,, "',,'l'' ''i' u',, (it tt)ntr r r l

nrva' l L,

m1, . ]r= 1

Lr-::z^-'.Ar+

r . ; . I r2-{ t .1|

r t lkr30 12' l r i r0o

IT,- :L ,: l, r r , )

t , i lL + r2r | !1r, l ,

/r,, lr*lkr" Ar" Ih,n i"" I

Ii::,:'i'i::"",T*':iliil'4{,'*ii:":il",ii#!l*::":*i.:$#lil'.l;#""*,"jis"i.iff {:$f*::#tli*n'"Jin*i""l'r[qt*:iit;

u1'1 kn

Ii--'N^

kr:

k't't

krr

kn

k:t

St rlt l incltc rigiditatca rcla-l lvrr r l . t r ivr ' l / i^ , crr l i int l f<tr la cart 'l l r l i r ' r r l r \ r r i r r , l t r lu i I p lo<luce o dc-

l rhr . , r r , r , l ; r t i r i r l : r l . i t l t . r r iv l l r r tl l t t t r l i , r t r , r r r 7 r 'q i r l i r ' r r r r r r i la l t l( l ls i l ,7) ,

I ' r ' t r l r t t r r r r r l i l l r s r l t r l r l t t r t r , , r -1 l l r t l t lg i r l i l r r l l r r r l l r r iv l l ls l ,

(T

{ k" t -i'!;

' l lJr I -

l l0 t 6.

Page 23: dinamica constructiilor

l,

Rk,-+

i carc s-au notat

o '11 : t " l lho

: r ' ' : 14: 'R" ' 'o 'o '

'J4 lohrp ' ho ' hto

Rigiditatea relativi de nivel a structurii este egali cu sumar.lative de nivel ale stilpilor de la nivelul considerat

,4 TABELUL 3,1

(3.4)

rigiditelilor

p..-r , ' . - - \ -L\Fl-1|)P-22 (3.5)

k2:= -Rre

krr=R--R.,

c.

finiti a riglelor, calcululse poate face, in limitclcde coreclie llll prin carc

7 ale stilpului s datoriti!

unei stmctrrri dcvilt,

^jr: 1p;;)^"Aga spre exemplu, pentru structura din figura 3.1 considerindu-se

liglele de rigiditate inJiniti, coeficienlii de rigiditate F,, sint dali in figurai1,8, a, b, c.

A1.1 k1= R12 krr =-Ryr<L-

k22 = RgQ23

kr:=- Rrr

kz=-&a

ka =o

o.Fig.3.8.

ln cazul cind se line searna de rigiditateatigirlitl]ilor rela.tive de nivel ale stilpilor Rl])uuor aproximalii acceptabile, aplicind un factorsc liue searna de influenfa rotirii nodurilor ,t qiilcxibiliti l i i riglelor.

Irr accst fel, rigiditatea relativS. de nivel a

/{,, . T A';) R,il .{prr*J/io : (Dr,il)/r,, .4,0/i,,

itr t ' ir.tt. s-arr Ihcut notnlii le

f i [ ' r ;

l.

- -I

ril .'rgr d'il qi ',1nt;;

(r'|. (i)

, (3 / )

Nrcrt.

NumeleqitoruLui

Schenn decolcul Expresio foctorutui A(*]

1 K. MUTO

k4;t

; (s)Yik,. E1;)

1

,l

o

o's d"'l1 +?

^(s)' -Y01

J

J B.WILBUF,ff:;1 - qs ( dlil, o1ll., . alil. oL",)r., r

'oW' r - qs ro(ij. o(ilr

J A BLUMEN M.NEWMARK

J,A.CORNING

k

4;' r - ro!'1.'al',|

M IFRIM

i - q7s( dlsJ. o(-"1- J,il a(,fl r

1

0| - o?q .Jt- ,

- ' - ' t .0

I

0q2s{ 1- dfj}

I r r l r r , r r t , ' r r l - l l r i r r l , l r r t t r .x l r r r .Hl i l t ' ; t t r t ; r t t rc r l t ' r l i l t t i l i r t t t l r r t l 1rr ' r r l t r r, , r l l t r l r r l l , r , ' tot i lot r l r , r r r t r , r '1t , , ' l lJ t l r rp[ ( ' r t t r ' r r t t t 'pt t t r l t t r , l r r lx ' l r r l l l I

Page 24: dinamica constructiilor

[ - ] ri i:1

Notaliile utilizate in tabelnl 3.1daci. se line seami gi de figura ex-plicativi 3.9 sint urmitoarele:

- in formulele propusc deMulo s-a notat cu :

e11,.. + p!11 ,, - o!'1,," + oill., '?ju:

"- t . l'rjh(3.8)

^( l ) r ^( l )?(5):

r5-r '5 : - .Fr ' ' r r

; (3 9)t^ ls j- ro l

- in formulele propuse deWil,bur, Bluma Si Ifrim. s-ar I olositnotafiile

,&) pli) ,r,laii : r;

ahr :

{r; s)

3.3.2.3. Ileterminarea matrieei de rioidi_tale latorall prin calcul rnatrieeal, Iiacipentru calculul static al structurii s-a folositun procedeu matriceal de calcul gi matriceade rigiditatc geueralE a structurii K^ estecunoscute, atunci matricea de rigiditatd late_rali. K (corcspunzitoare numai diplasi.rilor ocdirecfiile gradclrr de libertate ciinamice al"structurii) se poate_ obline printr-o operaliecc recucere a lnatrlcei geuerale K"..., asttel,. pentru structura cu trei grade delibertate dinamicd. din figura 3.10," supusiuumar unor incerclr; orizontale, dacd coor_donatele_ generale se considerd rotirile d.e no-lxn, fl..deplasanl-e orizonta"le de translalie ale

| | L_r

*i"li"ltH'*n""*en*'?ffi *h{"i'ii.i;1ll-:5:",iri:'ffi i;

iil llii lii E:iiii:^, xr:"tll rilfl l

: 11; t; ;;;i;; :,.;ll ;; I

(SrG)

I I [,,, ,., ,,, I ,,, ,,,1 | ,, ]suu utilizind notaliile simbolice ale calculului matriceal

p: K" .u. (3.17

?ji

5"{i, r)- - nr,r, -*l

3.9.

D p : p.j,o * p9,l*, * pjl',; + p.li)

Dp : pil,*+ pill*, + # + plil*,{r,s)

de la parter, aceste relalii devin

o3"ldi- i : U. di i : - ,_- !s

^(r,s)

D p: p1'1,," * plll*, * plil + plli.

f,fttlo- W ilbur si Blume dau rezultate satisfitcit-lnrr t ru ul | anumit etaj condi , t ia

t p(e,i'""i) > O,S

\ p(sttl fi)(3 r5)

i t r t i t r r l , cc lorurulc lc I ' r 'o l ) t lsc dc fu l . I f t int l ;ot I i apl icatc l , t r t t l t t ot i r ' t . r

lxrrrr t t . d i r r l r t . r ig id i tn j i l t ' r ig le lor rs i st i lp i lor .

i1.11.2.2. l i rkrrr l r r l tor . l ic iotr l ikrr drr r ig id i ln l t ' t r l i l iz . l t t t l l r r t todt i l0r i t t i rc.l , )x0rrr l r l i l i . i t r< l pct t l t t t cr tzt t l s t r t tct t t l i i d i r l l ig i r la 1l . l t ' tx l i ( i t r r l i i dc r ig i r l i l r r l 'r r . lxr i r r r l , t t l r r , r l rs l t r i r t l c i r , s l r t t ' tx<t t tp l t t , r ' rx l ic i t ' r l t i i /L ' , , / , ' r , , /L ' , , ( l r1 ii t ,4, r r ) r r l , r lz i t r l r i lot l l l l r l l r l tv i r r l i r ' l , tor l t t r ' r ' r l , r I r ' I , I t t I ' t t t , r t l r t r i l l l l i , r r l ,

l i r r r l r , t , , (1, r r r t l t , r ' lxr l qt lct t l t r l r t i t t l t o l r l r i l i l r t r r r , ( ' l r t l t t t ' l r t l , ' t r r

l l r l

- h:'r,.--i-

Fig.

t t r rdt ,

l\ 'rrtrrr stilpii

I r r carc

( I , . )

I iorrrnrlcle proprrsc tlcI orrtr. r ' i ttt l (,ste realizall-r

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3 13)

(3.14)

Pattilionind matricele din ecualia, (3.16) corespunzitor depiasirilor,,r," : {r!.r, u.z, us} pe direc}iile gradelor de, libeit"t" ai'""-i.a ,i d.'pi;;;i;;us: trir, tt",..., uol reprezentind rotirile nodurilor struciuriil ecualia13. 16) se mai poate

'scrie- simbolic

[ -p-s I : I "5-'ri5-'-,lf .tr It p.tj l- K,,j K,,ll uo I

Cttrrr p^ : 0 din ccualia (3.18) se poate scrie

Krrul _l_ Krruo : 1;tlc rrrrdc, cu corrdifia ca matricoa K, siL rru fic singularir

l l l ( i t r0 ( .1|

l \ , th.. ! . ' .cu|1l i i l

un : ._ Krr'Kr,u r, (J.20)|1?.r' s-il lot.rt inversrr rnatricci K.,.,.t r l t i . . lnrr t ( . , d i r r ccrrnl i r r ( : t . l t l ) l ) , s i ; 1nr,r t , . scr i r . l i r r iu, t s l r r r r r(3.20)

Pr ' - . Krrur, l . K1ru, . . . . X, , t t , - - K,nK11tK1,u1.

(3.18)

(3. re)

)

A

Fi9.3.10.

I

i

_t_

- (K,, . K,rKrq' l ( , , )ur .(3.2 | )

Page 25: dinamica constructiilor

l ' l i r t r r r r r r r r r . , r r r i r l r ic t r t rL r ig i<l i t i r t<, latcral i r a stnlcturi i estc ('gali ir ' l l

, '11.r ' r r ! i i lc u l i t t r ic(aleIX I I l t cxc( l l l i t rea la

X: Krr - KlrK;tKrr ,

rk calcul pcutnr obtinerea ei lotcalculator-

(3.22)

fi tgor prograrnate

3.4. DEIENMINAREA CARACTERISTICITOR EI.ASIICEAI.E SCHEMEI DE CATCUI

3.4.1. Motriceo de fleribilitote q sistemului

Proprietirlile elastice ale structurii se pot reprezelta in calcule prinrrrrtricca dc rigiditate K sau prin matricea de ilexibilitate F., ,.l,"o.ttl structura_ din figura 3.1, considerati ca un sistem cu trei grade

rlr. l ibertatt dinamici, uatricea dc flexibilitate F este o nratrice pi'trati.(1, )< l.l)

[3,, ] , , g,r l* : l t_ 8, , 8,"1

t Ogr Oar Osr l

itt ctre coclicienlii de l.lexibilitate 8r, se definesc in felul urmEtor: elemerrtulllt, .lt 1rc linia i 5i coloana r a matricei de flexibilitate F este ega.l cu(l(ltasarea r, pe.direclia gadulxi de libertate i produsE de forla F,:1.rll lrcate p( dir-ecfia gradului dc libertale r atunci cind forlele p, pi direcliiJcrrkr l la l l r - gradc dc l ibertate s int nrr lc ( f ie.3. l l ) .

ln cazrd uuei structuri liniar elastice schernatizatd. la un sistern r..rrrtrr rrnmir finit de grade de libertate, intre forfele exterioarc aplicatc 1x.rlirccliilS Br.l$elo1 dE fibertate alc structurii p il-a"pir"irii" u produsr. pe;il,ill*""lljllaJiiJe deJegiturb sint de asemcriea tini.r. ;i-.c por exprirr.r

r torma matrlceale astfel

c

Fis.3.12.

P:Ku,

u : l'p.

u: K-,p

;i trrmparind cu ccuatia (3.24) se dt-drrce cir

DacL iu_ rcl,uJiile (3.113) ti (3.2.{) sc t.ousidcri acel,.a$i (.oordonatt u

lll,,i i i l r"-r,1,".t relalia (3.23) cu iuvcrsa rrratricci dr rigidirarr. X , :.,.

.r l i( ' i 'r nratricca rlc rigiditatcrrr l l rcci t de f lcx i l t i l i tatc l '

K estc invcrsa nratriccieste tr1\'crsa rnatricci dc

I,' : |i-r;i K -. Ir ,

(3.23)

(3.21)

(3.25)

dc flcxibilitatc l, ' ;irigiditatc K.

)

t is . 3.11.

( i r r r lo l r r r 1r 'orcI l tc i ( l r lc( . iJ)r(x, i t l r t ( . a;J, , i l , , 1. i l r r i t r l l l r i t r ( l r l l t r ic( . l t ( l ( ,l l l ( l l i ( i .

' l o l r rs l I r l , l r l r r l r r r s is l r ' r r r r l r l i r r l igrrr ;Lr , r ' r l r , l i r r r . . r ' i r r I i1 ' , r r r i lc i l | .2. t . h, t .

l ' , (

| | ( . r i t l , lx | l l t t t : , i : t l r . t r r | r r r r| | r ' r t I ' i I r 1 , r i r l r , , . t , , , l l r t I r t . , . , i l r i ,1 r i ( . : i

t()

i i .4.2. Colculul coeficienli lor de flexibil i tote

( ' rx l i t i , ' r r t i i r l t l lcx i l r i l i t ; r r . sr . t ' l tu lc i rz i i crr r r r i . i l . r r r . t . r . st . t ic i i r . r r r .r l r r r . I i i I r , r , . r r t ' I i . i r r r I : l r r t r 'vr '1111;111, r ' r ) r ' l r l r l . lLr i Nlasrvr ' l l -M. l r r r lc . r l r . l . r r r r i r r rLr t ., r ' l r ' l ) l t | { r i l ( ' r . , r1 rrrrr . i r i r r r l r l i i rg l r r r r rc l t . <1. r r rorn(,rr tc inr .ovoir , l< l r r rc r l i r r i l li , i r . t t i '^ r ' r r I r r r t r '1. r r r r i l . rc / ' , | ; r l r l icrr t r . lx . r l i r t . tJ i i lc Kr:rr l t . l r r rk. l i lx . r . .I ' r l r ' , i1 ' 1u,1 l r r r . ' r l i r : i r I i f i t r r I l : r I r ' , r ' r r r r r r r r f i i r r r . i rzrr l s l ' r r t l r r i i r l i r r f i r : r r : r: t t : l

I r . r r r r , l , r r r r1rr . j r r r r ' r r i , r ' r r . r ' i . i r . r r I i i . r r r ' . r ' r . r i r r i r i r r r l r , r ) ( ) r r i ( , r r ) ! i . * r l i , . r l

' r l r r l r r r r r l r i1 i r r I i | . r I r | . r r , l r r t i r , r ' r l , r r ivr , l , r l r . r ' i r r i r . . i r r l r r i r r r l i r r r r r r r i r l t l l

. A! , . t . ,1, r ' r , r r l ' l r r , lx . l l l r r l l t l t r l i r r l i r r l i l , l l r : l l . r .orr . ,L| , . r i r r r | 11i l r . l r ., l r rg l r l l l r r l r r r l r r r ' r , ( ,nr i . i , r l i i ,1, r l r r i l r r l r r r r r , . , i r r r r . r r r r .z, . r r r r r t r i r r l r r i ' r , ,I l l l , r r , / ' . r ,

-1II

I

lucrului t t t t ,c i t t t i , (Xl . rsnt . l l - l I l ruf lcxibi l i t r r l r ' l , ' , .s t r . o rrrr i I i r r . ,

i i .5, r r , r r rc l ic i l r r t i i , l l l l lx i l r i l r l . r l ,

1 ' , r r r rL , l | l i l l r l , r l , r r . r l r r r ' . r ' ll , i r l t i r l r r l ' otr l t t r r r l ( r l )

- - _ l

Page 26: dinamica constructiilor

( l

"31t "=u| '*

"22 -

s-

ql

1

1 2

3 l

4

ri fiind matricea coloani.

r :C r i ,

formate cu vitez-ele r?, alc tuasclor.

' '3a "23

IR.,

oumite matrice de amortizare, elementele c;, alc acestei ruatrice at.irrrlsemnificalia forfei care acfioneaz5. pe direclia gradului de libertatc i cirrrltrtasei m, i se imprimi o vitezS. unitari, vitizele celorlalte mase {iirrrlItlUe,

Forfele rezistente r aclionind pe direcliile gr.adelor dc libertatc ,,.exprimS. matriceal astfel

(3.2t )

,I

b

' ' '=u; '* ' *; . . . -L . l- t ' R:" Rr:

3"=+

1.6. MODEL MECAN|C. SCHEMA DE FORIE.ECUAIIA DIFERENTIALA MAIRICEATA A MI'CARII

Schematizarea unei structuri pentru calculul dinamic sc poltc flcr.adoptind diferite ipot?e simpli{ica"toare, iar liecirci schemc I sc lx)rlr(.asocia un model mecanic. Astfel, daci de exemplu, se cousidqriL rigiditatr.,rriglelor infiniti (flg 3.14, a), _uotind rigiditilile relativc de nivci t,, /r,,/ie tl caracterrstrcdc de amortizare corcspunzetoarc fieci.rui rrivel, c,, rr,cr, ruisurind dcpJasiLri le uL, t4e, lts fali dc pozil ia inif iali de rc1,arrs. motl,. lr i lrnecamc este. reprezcntat in Iigura 3.11, b, iar schcrrra dc {ortc corcslirtrrz:rtoare in {igura 3.14, o.

Aplici ld principiul lui d'Alernbert ecuafia difcrenliali i a rnilcirri i f iecirlr. inrasc se l)oatc scnc

tn,ii, 1- c,1it., - i,) + h,(u, - u") , . fr(t)mru2 )- c"( t t . " - t t . , ) *cr(ur-ux) +- / r r ( r r . - u") - l t r ( t r r - u") : l , "U) (3. fS)

rn.rii" 1- ,"i" - c"(,i, - i"1 a h"rr" - /1,,(ri, * t.r3J : l,.t\t)s;Lrr irt Iorrnl rnatriceali.

Pr=l

- Fis.3.13.

Atunci cind rnatricea c1e rigiditate a structurii K:e calculeazi mai

llutpl', matricea de {lt xibilitate F sc poate obline calculind inversa matricei

de -rigiditate (ccuafia 3 25) :

F: K-1,

r ' l t r | l i ln

l : ' |

3,5. DETERMINAREA CARACTERISTICILOR DE AMORTIZAREAt.E SCHEMEI DE CAI.CUI.. MATRICE DE AMORTIZARE

lrr tirnpul cxecutirrii vibralii lor, energia mecaDicl a structurii estc

dhiDati ca utttt"r" t acfiu nii forlelor rezistentc. Natura arnortizirii poatc

fl ilifr.'ritir, ar.rrortizarca - r.iscoasi {iitrd obitnuit insoliti dc amortizarctiirictutatit. $i ir caz-rrl sistenrclor ctt nrai multe grarle tlt l ibertatc, d.

tr[ulir, {('nolricnul dr' <lisillarc a clrclgici rnecauicc ri( riltcziutir pnntr-oiriiu'r.ir"t" rlc liyr vis<rrs. iorlclc rezisiiltc li ind in accst. i 'az 1rr'oportioniLltelt vit.t.zr'lt. I 't 'utrtt rttr sistt'ttr cu rt gla<lc dc libcrltlr' e itr rrt t 'risti.ca irlta l ( ! r l iz i l r ( s | t 'x l r l i t t t i l r r i l t l r - l r t l la l t i r '< ' p i t l ta ' l iL s i t t tctr icr-r r l t t l r r l i t t r r l ( t t > ' . t r )

I u, 0 0' I|0 n, , ot -|o 0 ,1.r

t ; , t | . , -c,l .wzl f | -q (c, - l - . " )t , " , t 0

- /t, {) l l r,( i , l - r ' . ) . - r , l l , . ,-t,..,. (t, -p t..,) ll 2.,

0

1,', ; ..,)

1,,\1.)l'"ol ,Jt)

( i r : l r ) )

fr;rl| ,i,, I

( )

r l | [ . ( l l r ro l r r ! i i lc s i r r r lxr l icr . r r l r . r ' r r I r . . r r I r r I r r i r r r r r l r i t . r , l l

r t i i I t t i i ih,r t ' ( / ) (3:r{ , )

I ' | ' r ' | r r ' | ! r r ' . ( i r t ' r r '1rr .z.rrr I r i l | r r r r l i r r r I i r , , r , . r r t i ; r I i i r r r r r l r i r , r , i r I i r r r r r r i : , , r r i i , , i r r r . r r r lI r r r , t l t } , t r l | r , r l

l ) r ' r ' l r : r ' rv l | r , , r r l r r r , r r i r r i iPol , zr i r igrr l i r , r l r r i r r r r r r i r , r r r i1 i r , . r , r r , r I l r , . i , | l r , , r' - r l ' t l l i r r l l t l , r l t | | | r l r

' l r r r r r l r , r r , , t i | i l r . r . l r t r r l r r r , , , i t r l r . . | | | | r | | | I / , | | r .

A

, , , ' r i rvrr f i r r l ' r r r r r l r , r ' , r r r , , r r . r l r , l i r r r r r r r r l r ' t ' lc r l r . r ig i r l l l r r l r , K ?r r l l urrrr l l

2

I

t3

II

( : l : f r i )

Page 27: dinamica constructiilor

r*%

o , ,n. a. , r .

zare C rezulti ca nratrice tridiagonale, iar sistemul de ecualii diferenfialc(3.28) cste slab cuplat, cu consecinle favorabile in rezolvarea 1ui.

in caz.rrl cind sc ia in considerare flexibilitatea riglelor, migcarea uncimase depindc de proprictifile elastice gi de amortizare ale intregului sistcm(fig. 3.15, a). Schena mecanici este reprezentati in- figura 3.15, b, consi-deiindu-se riumai legdturile elastice ale sistemului. in icest caz, matricc:rde rigiditatc X arc toatc elementele nenule gi estc de forma

l r :k, ju, ,k6u..k- .u-

, .. , _,,. l j e",tr

, mlut

F):k)iut+k.rlr.+ k-^u.:i'..r€Spjrtr

miu.

'ffis;i,,,

Fis.3.16.

li]1i;HtHt'|1;. o)' urmind ca ulterior si se st'<liczc inlluenla anortiziLrii

,',' 'ir'l:i1'*i"l"ii *T'x'il:'i#tl'i.,"l"ii',ill',;'i:i'#"'"fit f;i.''"'r,,r ,l'ii)::l:ri;;i,Tljii:l'tili":r"Jlllu" difercnfiarc arc miscirii sistcr'rr-

rir,,.',fi,'jiiiollinltliTi'i.iin"matizatd la', sister' cu trei.gra<lc rlt1x, rfircclii lc gradelor u" trr"*."i.t"

dc fortelc f ' '(t) ' 1'"(t) '

y' '(l)"apliclt'

Miiicarca fiecirei mase zlr, se face snb acJiunca ftrrtclor pcrturbaloar.,.

!il]-s:'{f !i,:l.i?'l,inf i',"ffi i:xiit* ji:iffi ,hlffi *;,:l';,11,lrrrrrt,rii r'ti,ctclor, cu ajutorul '",i"ti"i""1ii6i- a..

-ilijii"i. ,i", 1rg. s.r,r, ,1.

,,r, ,f,llli:,',1.l,,1:"1:";;'1 l;1,"u,*r;f,3i1?"i;i#1'le'dirercrrliare tre misc,,r.

r+u2 r,._ul

! l(ut-u2)P2

krur kdur-ur)+filt=;.+-.r l---H.:clh c4u,-uel

m:[g

K:

3.7, ECUATIA DIFETENTIAIA MATRICEALAPROCEDEUI. MATRICEI DE RIGIDITATE

It t r r . l l r ' r , r l l r ( . i r l r ' r \ ( r 'ot s l t t r l i i r\ r l r ( . | | | | l l i / r l i i l r r r r r r . , is l r . r r r ( | | r r | | | | r r i lr l l r r r ' l i r t t t i r l i r r r r r r i , r ' urrr ' l r r ' , t tcgl i l i r t ' l

cr(L/EI-E!({-nt

a vTERAT TOR EIASTICE.

vi l r r r r l i i lc r . l r rs l i , , , r r l , r r r . i s l r t t , l t t t tl i t t i l r [ . grrrrk r l r ' l i l r l r l r t l r ' ptor l t l , ,

r ' l l l l r . l r . urrrot I l r r l r i i i r ' ,u1,r r t t t t l l r ,1r i i

F is.3.14.

r [ - , r ]lu

,:.i

' lbt astfcl, iu accst caz, ;i uratricea de amortizare C poatc fi cxprinratirprirr coclicierrli i r:;, definiti in paragraful precedent, ecualia diferenlialiLrnat.rict'alir rr rri;cirrii l i ind tot de forma (1i.30), dar sistcnrul de ccualii puterttit '( l r l ) l at .

lnrur 1- kiul + hr2tr2 + hrru" =- fr(l)

ntr l t2+ R^ur I hrru, t hn "

. l ! ( l )

msus + hs\ur I hazu, !_ lt"rur... /,r(l)

. . l r t I r r l r i t r r ratr iceal i r , s istcrnul dc t ,<.rra! i i r l i / i . r .crr l i i r l t , ( iJ . l l t ) sc rrrrr il r l } t I r . r ( t i ( '

[ 4,, it,, /,,, 1I irl ftr, Als It , lL Rsr f" . ars J

(3.3 r )

(:r . i r2){ l

( )0

t r ( ,

ii,,

l l r t l ln l t r l / , , ( t )

/ , , ( t )

l '"u)

mztz mr Ir

r | | l l , t l | | t lnr l t l

t hrr l ( / ) , ( l l ; l l l )

Page 28: dinamica constructiilor

u ncle

lll este tratricea inerliali a sistcurului,K - matricea de rigiditate a sisternului,ri - ve"totul depla*rilor pe direcliile gradelor dc libcrtatc'

ii - vectorul acceleraliilor iu ttrigcarea maselor pc direcliile grade-lor de libertate,

p(r) - vectorul format cu forlelc perturbatoarc 2i(')'

in ecncr,rl, l,clltru un sistcnr ctl rt grade de libertatc trraltic'ra l[

..t,, ., rriatt.icc diagonali dc ordinul (/r X,'), matricea K cstc o malrice

1)itrate simetric a 1n x n), iar vectorii u, ii 9i p(l) sint matrice coloani

1z x l ) .F,xoresia (3.33) reprezintl ecuatia diferenriali matriceall a migcitrii

u,rrri siitem "u

r.,,t rtutnet finit de frade de libertate in cazul in car' sc

rrcqlijcazi. amortizarclr. rrtil iziud rnatritca de rigiditatc'

3.S. ECUATIA DtFERENTIALA MATRICEALA A VIBRAIITLOR EtASrlcE'PROCEDEUI. MATRICEI DE FTEXIBILITATE

}lcuatia d.ifercutiali. a migc[rii unrti sistern cu un u[rnir finit de grade

,t, tlUetta't" mai poate Ii exirimatl utilizind rnatricea- -de

flexibilitate a

itrn"i*ii. Astfel,^ consideriftl sistemul din Iigura 3'17, aplicintl p-rin-

.ioiJG a'et"*bert 9i suprapunind efectele, deplasirile rl,, lar, rl, ptodu-se

cl<i actiunea forlclor fcrtuirbatoare 1r(l), !r(t) ' !"(ll la care sc adaugd for-

ltlc t1e inerfie, se scriu

ur: lpr(t\ - ,rrr)r13,, + lh.rl) - ,nriir18r, + LI"Q) - mra"l8r",

uz: lplt) -,r,ri18,, + lpzq - *"ii,18""+ l!'(t) - n3;.-18.,', (3341

u,- lf,(rl - r,r.r,13., + lpr4 - n ril,18", + lp,(t) - tn"ri"]lr".

iu fotrniL trtatricealir sisteurul de ccuafii dilcrcnlialc (3 3-l) se tuai

poatc scrie

)r1 31' b13 I

l , : i ; : i : "1

tuatricea D fiind numit[ matrice d.inamicd, a sistemului, ccualia (lt.lt(i) .,,nrai scrie

ni i -1-u:npl i ; ( : r : rs)calt. reprezintE o alti formE echivalenti a ecualiei dilerenliale ura1rit.,.rrl,dc tni;care a sistemr:lui. Bineinfeles, in cazul unui sistem oarccar. 1.r //gradc de libertate matricele D gi F sint matrice simetrice de ordinul (r, rr1,

r:rr u, rt ;i p(1) sint matrice coioani. de ordinul (rr, l).

Obs.rualie. lnmjt]ltitld ecnatia (3.36) cr irrersa matricei de fleribilitate l' rft,,t,lrr,.

Mii 1rr-'" : o,r, (it. i t1r)

{ l l iDird seenla cn F- l : X (ec. 3.25) se observi c i ecuat ia (3,3G) este echivalent:r ct l e, . rL: ,

l||| (:r.:r:r).

3.e. vrERAIfl UBERE NEAMORTTZATE.MODURI NORMALE DE VIBRATIE

Vilrrtli i lc libere, adicd. migcarca produsi dc o cauzi care scoati rlirrlr lti l i lrnr sistemul ;i apoi isi iuceteazE. actiunea, sint descrise de ccrrrr!ilr l i l , t r . t r { i r l iL nratr iccalS

ui;+Ku:o.)lrlinuli prin particularizarea ccualiei (3.33) in carc sc iace p(t) = {f ;ir'tttr, ttlrrczinti cc r,t.alia malriccalci a tibrotiilor l.ibtrt.

lr(,ulnl intcgrarca ecualiei (3.40) linindu-sc sra.lra cii pcntru utr si:it(.rlrrtt tttt,siugur grad de libertate vibralii le libere crau clcsciise de o ltgr: rlr,vltlttl ic rLlrrrorricit in timp, se l)rol)un solufii particulare de lorrna

u:n s iu(ol - a) .

(3..r(,)

(3 i l )

l I t

., ;, i|;.*],,i l,*:L,i I'. "

b'rl b' lr 813

D"r 3r,r 3"3

Dr, lr j Dr"

I r v

l ) Dt!

00ti'iiil tl l [ ", 1^ t t "" IU l l r { : It t . r I I / t . r I

I l i ;r 'rrt.cu sistc'mului <lcscrisiL de sointia lrarticulrrrn (3.41) :lrc u!!ri iI r , r r r , lc I )ar t icnlal i tat i :

lh,c i t t r . r tasir at , a s is lcrrrului tx<,cut i r v ibr l l i i l i l - ,crc pcr iocl i , . . ,1, .n l rp l i t r r r l i r r , . . r , ( l ( .s( . r isc dc ecual ia &, =. a is in( . ) / - a) , i r lcnt icr i cu ( . ( . l r r l i i lv i l r t r r l i i lor l i ln r( . r r ur)ui s istcm cu un : , i l lgur gtar l r l r . l i l r t . r ' t r t t r . .

l r,r l ( ' uti lsclc sistcmulrri ( 'x('cuti nlitcriri lx'r. iorl ict. rlc lrrrlsaJ.ic c,,lo i r l ( . ut iLs(. I ( , s istrr ln l r r i dt .scr i r r r l i ;c i r r i i r r l r rz i i ,rorr l igrr l r r l ia s is lctrrrr l r r i cs1r. , i r r or icr . : l ro i l r ( t r1 / r r l r r r iscr-r t . i i , r l , .1r . r ,

l l l l l l ' l l . r t r l t t l t lot t t l r t t t t l r l i l t t r l in i lor t t , i r r r r r l t r r r r r r r 1 r I i 1 r r r I i r I i I t r r , i r l t . r r isr r r t i il t r r t " r l r , r .

\ ' r l r r r r l r r l l I i l l r r 1 ' r r r t i t r r l . r r l r ' : r r , r , .splrr , i rorrr l i l i i l , . r l , . r l ; r i s l l \ r , . l , r ,t l t t l , l t ' t l t , t l t t l ! ' I ' r , ' f r i t l r l " s istcrrrrr l r r i ; i r r r r rs l i l r r i r ' l l t t r l t ) t ,nnl l t r ' , l t t l t rf l . , t t l t i i r l r , l t l l r r r t rs i rL r i r l . I I r r r r r r r r l r ror l r r r l r l r . r ' i l r r r r l ic r ,s l t . ( | ( . I ( , t r I I i I I i I Idr , [ t t l r r | | l | | r ( , r I l t I t r . r r ' Prrrr l r r tc r i ; r ' r r r r , r r 1x.r ' i r r r l i t . r i t r s is l r . r r r t t l r t i , ; i 1, t i r rVt \ lnt t t l | | | | | | , I I I r | ' I i I I

, l i r r r , . r l r 1r ' r r r r i r r r r r r r r r I i 1 i r r r r r I i I r . i : l l r r r r r l l i i r r , r r i r , ,t t t l t t t t r l l / r r l r r r r , , , r r i r i i r , r r lc r l t r l r i i r r ror l r r l r t r r r r r r r r l r l , r i l r r r r l i , . r 'orrs i r l r . r r r i .

I t t , , l r r , , l t r ' / ; t \ ( . l r r rz i r r l i r r r l r r , r | l r r r r r l r , r l r r . r l , r r l | r , r r l r t r , l r . l , rt t t i t r r r t r , r r r r r r r l r r r l lor r r r r r l r r r l , . r I r i l , r , r t r r , r l ' r l r t l , r , ,1, l r , l l r l r i r t l i r i l , l tl l r r r l r r l r l l l r r t t r r l r

: r r t t s i t t t l ro l i t :

r r l f 1r ( / r

\o l t t t , l

l f t t

t " l l

{ l l . l | i )

l l l : l r i )

( r r / )l ll ru l l /

Page 29: dinamica constructiilor

1i introducird solufia particulard (3.41) in ecuafia difercufiald rnatricealia vibraliilor libere (3.40) rezultl

- <o'lla sin(<ol - cr) 4 Ka sin(col * a) : l). (3.43)

(K-o'zM)a:0 (3.44)

l)cualia (3.43) trebuie satisficnti de solufia particulare in oricernoment I al rniqcirii ; prin urmare, sirnplificind cu funclia de timp sin(of -

a) se obfine ccualia algebricl matriceali omogen5.

silu, ceea cc cste acela;i lucru, rezolviud sistemul dc ccualii algebricc liniarciii orrrogenc (3..14'). Dhd unei necunoscute o valoarc arbitrard, dc ex,..ruplulircind a, : a, se calculeazi. celelalte necunoscute a, (i :2, 3, . . ., n)in funclic dc valoarea arbitrari a. Deci, vectorii proprii ai problenr<'i :r,cot-r:spnnzi.tori pulsaliilor proprii <,1 sc oblin cu aproximalia unui lactorrr:hitrar a. Prin urmare toli vectorii l,roprii a; carc diferi printr-urr lactorrrrlritrar sint echivalenfi. Obignuit, in calculul dinamic, vectorii propriisl rcprezinti. alesild ca factor de scarl n, : l, sc uoteaz:t crr <D, ti l)orrtiitrLtrrrcle dc tectovi tti formelor froprii dc uibratie,

3.T0, DETERMINAREA MODURII.OR }'IORMALE DE VIBRAIIEcA O PRoBIEMA MATEIIIAT|CA DE VALORI PROPRII

Obscrvind c.l prin derivarea solutiei (3.41) se obfine

ii : - tutasin(<ol - ct) : - <o!u

Jinind seama de sernnilicaliile {izice ale pulsatiilor (numir de vilrr.;r}iiin 2n secuude) ele nu pot avea valori uegative gi prin trmare, rr"Ldircirrilclrcrcclri negative ,r,,: -

^lxi & : l, 2, . . ., rl) nu au ser$.Fiecd.rei valori propriu 1;: <o; ii corespunde un vector ili

t'((tor h/ofliu al problemei ce se obfine rezolvind ecuatia lnatriceall

(K-or ' l l )a j :0,

rrrrrui t(3.{4)

(3..18)

(3. {e)

I It concluzie, unui sistem cu z gradc de libertate ii corespurrd z pulsaliif f l r ' l ) r i i (o j ; i z vcctor i propr i i O, ( j : l , 2, . . . , z) . Se consider i c i . s is l .c-rrrrrl cn rz grade dc libertate are z moduri lormale de vibrafie.

-1 1I. FORMA SIANDARD A UNEI PROBTEMEOE VALORI PROPRII

lionnularea matriceal[ a Droblenei detenniuirii modurilor nortrralerlr vrlrlalie perrnite rezolvarea

- acestei probleme utilizind calculatorul cu

'rl lonll unor Prosrame de biblioteci. Programele de bibliotec5 rczolvr-rlrrrrlrlr:rrrr:lc de vrlori proprii in asa-zisa {orm5. starldard, Jorrnulati astlcl :h,r ',r' (lctcnr.ine valorile proprii ). ;i vectorii proprii x pcutru rnatric(.irA rl, <>rdinul (rz x ir) din problema:

(A - r . I ) x:0,

I t t , . r r , l ( s l ( l r i r t r icca uni tate

(s.4'2)

(3.4si

in vectortrl a, nurrriti ecualie ntatriceoLd a uifualiilor proprii care permtterleterminarea pulsaliei proprii <,r ti a vectorului amplitudinilor a pentrulrlodurile normale de vibrafie. Din acest motiv ecuatia (3.44) se poatenumi 6i ecualia modurilor normale de wibralie.

in formi explicite ecualia matriceale (3.41), Pentru un sistem cu zqrrde dc libertatc. se poatc scrie

( l t r , - a2rnr la, * kuaz t . . . I ht ,a, : g

h"rar l (kr , - t>ztn")a, + . . . + hz.a":o

:korar! hn"a, +. . . J- (h"" - aztn,)a, : O,

(3.{4',)

;i reprezinti un sistem de a ecuafii algebrice liniare gi omogene i-." 1PP11-iudinile necunos cute ar, r.0, ..., en. Perrttll ca sistemul de ecualii (3.44')sd admitl solutii nebanale, determinantul sistemului trebuie sb fie nul

| (k, , u, 'arr) 4, . A'"

Il / , , , , (h", < ' f nr) Ar" | . , ,I

l : : : lI lt, h", . . . (k,* - <'fm,) |

sirrr in Ionni rnatriceall, condilia (3.45) se scrie

(3. i0)

(3.s1)

(3. i2)

( l l , ; r i l )

lK-or ' !Ml:0.

I )ez-voltarct rletenuinantrrlui (3.45) condrrcc la o <'cttlf ic rlt 'gradrtlrr irr r, l l ,,= /.,

lu l r i t i r .x, ldfr i ' cLrrut l . t : r is l i t i i . Ccl t ' l r iLcl iLcirr i r t lc ' r . ' t t t i t l i t i t r t t i t t l r ' t is l icr 'r r ' l r l r .z i r r l i r r tu lor i l t / tnt l t r i i r r l t ' l r robl< ' t t t t i

/ t t r ' | . / . , , " i , . . . , t . , t ' t i . . . . . 1." " , :( \ . l r r t t t vr t l , ' r i 1 ' r t t1 ' r i i 1. , l r ' ( t r t , \ l r l t l t r l r r vr t l . r r i r t l r ' Pt t l r r r t t r l . ' t l r t r r l r t t t

t , t t \ / r , r ' , r , l t , r , , tnt J t , , , ,1 t" l : l 4 l l

(3..rs')

( : l . t ( i ) \ ' , r1, ' r r l , 1,r , '1 ' r ' i i i . , . r . r l r l , r ' r r r i r r i - r r t lo lv i l l ( l ( ( l l r r l . i r ! r . rurret( , t is t i ( i i

A i . l L .0

l , r r \ ' , r lot i r l ' t " l ' t i t f , r r r I r , I r . t t t t i t r r ' r t r ' , , r , lv i r l | r i l l i , l

( , \ ^ /

l ) \ , l l

l ' r l t l t t r , r l , l I t l t l t l t / , r , r r r , , , ! r . l r r r r t , t r t i , r , . r l r . I r , t , , , r t , , r , , r r , r l i , r { i l l l )r t r r , r l l t t l l r r t t l t l I , t l ' r l r ' t ' t l r t ' r f l r . r r l i | ' . , r , l r t r , i l t l l , r l | | r . r , r l , l | r r l , r r , l ( l l 'n) l l ' , . r1

f l o olr - l ( ' r . ' ) l

l t ) 0. . . I l

Page 30: dinamica constructiilor

Dar cu:n

I) {iind rrratr icca. .^ . 1 -

tr notlnd .- /.

tru aceasta, inmullind ecualia (3.44) ..t 1,K-' sc oblinc

( - ; " 1K - l - K 'Mla:0,

F: lu

r\plicind tcorema de reciprocitatc a lucrului ruecanic virtual ir lrrrI i, '1 li-Maxll,e1l, con{orm cireia lucrul mecanic vidral efectuat de sislr'rrrrrlrlr' [or]e F; prin deplasi.rile lDo produse de sistemul de for]e Fu este lgrrl.rr lucrul rnccanic virtual efectuat dc sistemul de forle Fo prin deplasiril,.<lr, 1;r odnse de sistctrul de forlc F;, adici.

nfou : f/oi,..i irrlocuind (3.58) 9i (3.59) in (3.60), observind ci trarLspnsa lllrirrtrl iale cstc cgali. cu aceasta, l lr: M, sc oblint:

,, ,rlortrltou : oriOlMO;

(qi - o?)or'Mo, _-- o.

I 'cntru douir nroduri disti lctc dc vibralic, (oj + (r& )L(r t r i l )

o;{ i l@*: o ( . j +h),

rir l i(r ltrLl acrlasi nrod dc r.ibratic (j : l t), o1 .,. <,t,,

<D7?'lIo, : 3l;, 7 g (j : h)

lidalia (3.63) c\prirui proprietatea dr r.rrtogorrnlit:rtr: ali '11l',.t,tt proprii d<r vibratie in raport cu rnatricca iucrtial.i.

Irr jonnir exlticiti. expresiilc natriccale (3.63) yi (3.6a) ,.c

(3. s-1)

(3.55)

(3.s6)

l lcxibilitatc,

(3.s7)

10rl) la stal l-

fr,,1*. t li r l : lr r ,

l r . , j I Ko. , , . ' ) ro. . r rsxl : lI r , , l

r l t 'orr tccr r l i r r ( l l l . l ) l i<I t , , , , M0l,

\ r r r r l , r1 i . r r ror l t t l t t i i , ,1, r t l , r . r l t ,i r , r r . , rx r , rz r ' , t , ,1, r r r r | ,1, l , , r l l i ,,1 ' r r l , r r ,

t ' ,

lX , ,nI* I r l a: o.I . ' /

K- rtrI : IrtrI : l),

dinamici a sistcruului ;i lr nratricca dc

ccualia (3.55) sc rnai scrie

{ :1. (n ))

a Ir t : r1 I i r , r

( l t . { i l )

( tJ ( i ] )

r ' , . 'z u l t i r r l i r r

(l) - ?rl)a : 0,

care reprczirrtir ccualia rnodurilor notnralc cle vibrafic aclusi iadard, analogia cu ecualia (3.50) i i ind o'iderti i .

3.12. ORTOGONALITATEA VECTORITOR FORMELOR PROPRIIDE VIERATIE

O proprictatr: rcurarcabilir a ruoclurilor rtornrale dc r.ibratic pr: calese intcrneiazir rretoda analizci trodale, este propdetatca dc ortosolulitatea vcctorilor forruelor proprii de vibralic iu raport cu rnatricca ilcrfialiL M;icu nratriccn dt rigiditate K.

Se considcri \rectorii forrnelor proprii dc vibralic <D; ;;i Oo Jrcotrudoul rnoduri normale de vibrali.e, / dc p[lsatic co; ;i /r c1c prrlsa]ie <'ru, a1eunui sistenr cu a gradc <lc libertatc (fig. 3.18).

Modr.rh.ri j dc vibrafie i se poate asocia un sisten de lorlc \ aplicatcstatic pe direclia gradelor de li.bcrtatc ale sistemuhri cerrc cleforrrteazirstrlrctura r1upi. fornra propric clc vibralie corcsputrzirtoar c nodtrl' l i 7(fig. il.l8) si carc sc yratc cxprirna sub lorma

t':...-i1_o.iq' Qrr'.=1 t , .1 r ,1 iv

i i ' l , l r l r , ( ( i l l i , rl " i | | l l l , ) r l , r , , l ' r ! r l ,

( l , lKo, ( , r 0 \ i t , i ( l t . r ; r ; ]

, r l , t i r r r r r I r toI , t i , I : r I l r r r l l r ) r l ( ) f i { ,n i r l i l r t l , r r r r . .1,rrr l , , rr i l r r r r l ic i r r r r l ! , r t 1 l l r r r : t l r i r t r r r l , . r i r i i r l i l : r1, . h

F, ' lLo, / F,

cm' t j

t

r r l ) l l l t lMlNn RIA MOI)UR||OR NORMAItI l v f iRAl l r |RtN l RAI MA[{t( ] tAlA

., ) r. .{ lrr | ,. Ll, l r r r r l , , rLr . '1,l , , , l l , , lLrr1, , , ' r ' r r r r r ,. . t ,

f ar ,rD,. io,u:0 ( j + h)

r ( : l )1 ( t1\-

1, , , r r , :LJ" ' i *u

l r , . r ' ' nr( t r , : ' ,1, . ' :Lr ' , r ' , K{D,( i { l i4) r , , r r rL i lxr l txIr i r rLr . i r r

olKor

; ) l i , l0 ( j : t , )

. , r , r i l l<Di ) i ar i Ifot rrrir cchir.alt 'nti

l t ( t / h) ,

( l r . { j r t r

(3.( ; r r

vcctor i lot

scr i t r

( : t . { i i l ' i

( l ' | l i l ' r

0, coudi l ; i i lc ( l i . ( j l t l

( : t ( ) , )

o r7:

h{)r , , , r l l l r l r r l l , ' r r

'1 , r r l , r . r l r , 1, , '1 t , . r l , l l . r l , ,L I , r l l r l r l ' r , ' , , , r l , r . (l ' ' i ' , r l ' | |1 , I l , l r i , r l ' l l , r , l | l1, t , , , l . r r t , r , I | | t . r t t l

Page 31: dinamica constructiilor

cele cecAtte

tn

i : i

de iteJalie este

(3.71)

con-

, , t ; , , , ' (3 ' f f i )^ ' l

vectorul tD{o)

, l , I

(3.6e)

1s.ab, a)

; i ,a. m.d.

(3,69, c)

a)

l Orice configurafie 'arbitrard a sistemului cu z grdde r,Ie libertate poateI.Pnmatd ca o combinatie liniarb a formelor proprii.de vibrafie mrcspun-

celor z moduri nortrale, Si deci, un vector arbitrar rD{o} care deicriepratie arbitrari "p sistemului poate fi exprimat astfel

) , O(o):cr(Dr,+rr9r*: . .+%iA*

Cp c2,,,., co sint constante arbitrare.lulttd operaliilc de iterare descrise in paragraful precedent sc nlll-vlctor l O(0) exprimat prin relatia (3.74) iu ma:tricea dinamict l)

DO(o) : dr Dor + crl)o, + . . . + c,Do":

- rr** o, + c!+ o, + ... -r ." j*o, : rro(,),

forn (3.67)

Do,-*o, e: t , z, . . . , n) ..aJ

O(rl oblluut dup[ priun operalic dc itcrarc se

{1 ' ' '

ir,.- ai,

oilt - fi .1 . l , i , , l io,

\s.72)

(3.73)

(3.74]'

(3.7s)

/Q ?rl\

poatc sc eI)O(,'-r) : a('-r) - .'^'[l(:'::,J:a1

a,i . l

a i

IJnc[ O{" l) : O(rr} aceeuto lnscnurnl{ ctri . l r lD(, i)

),,Or't

Or * r i '^O, I ilg,;771

Page 32: dinamica constructiilor

I{r'1r'tirrrl r1x'r'rrtiir. rlt ' r'urti ' l icarc cr1 rnatricea dinamicr rt se obiine

tro.r .- ci;;l t)4, f ci 1Ur, _l- . . . 1 ";_l lo" :

(3.78)

3.13.3. Detarminoreo modurilor superioore de vibrufie

-".,ffi;,3"$H,#i"luil-lilli,,'l.",ill;,1,?'jl,i"l.,_L.lix1"i""l::ljllil;l:;,:it%X:.'i:?lt'j,1i1,-'u'f," dc ortosonarirati'ri.eir'.i, modrrr rurrtr,r

- l== t i - ; ; o ' i , i - ; ; o. 1-ol

" , ; -

A rz-a opcralie sc 5crlc

l )O(a* ' ) :

-= r',- t' -;) -

Dor .r- .,,' " ' De" -,-u:: td- t t

-zra

t t - -2 |

a 4# o,: r"o(') $.a.rn.d,

+rg- ' r , | - lo, :

(3.7e)

rrru cxplicit,

<Drrntra, | @rrnrar l . . . I et , r tn, ,a, : e. (g Sl l , ).,,.. l l"1ul'.e,d" aici cd vectorur dc intra-rc a nu mai cstc arbitrar ci u'ulrr ( lclrrerrtele salc; spre exem;rrrrvrrir'rarca a"-.'t"["',"rliillti"ibfui",*',1.,"1u"1,i11,,'?;lln*il,,:i,."1a'-.:i:l

ol llla : 0, (3.i1:l/

(s.81)

(3.85)

(3.B(i)

arbi t rar t , sc ;11) i r 1, .O(ol in f r lu l i : : i r r i -

IjI

' lIt .

( t I(il ltll) srI | l l I i

adici

: c l ' - ' ) +o. + "y ' , * r" + . . .+ r! ') !a"=: ),o(i).

l)acd, Oi,4 : O(''-r) c(.u1.!1j1--(l 67) . a rnodurilor rrormale dc vibraric

;:t",;ittltT,.,l1uf1"t''' "t'"'tntir'r'ctorui }"i",.i" pffii al unui rn;d

..,... {:_9:1ll l,artc. l)cntrrl rz.srrficicnt de tnare, currr rnodurile normaleslrrr consrderatc irr ordinc crcsci.toarc, "o"to._ ib.il1, ieiurta cn

- ' >+'7 ' ' i^ ' - . t :

5i.drei , i r r l imi t . . l , . ayrroximal i t - i dor i te , pcrr t ru nt marc,to l r lernr( . l r i i s i r r l l lcgl i jabi l i Iatr-r d, . . p i i rn i l i i " ' - ' '

f ' ' ' "a,: ta o(')

O(.r -- @r

t r dt'c' i i tc'rafi:r estc c()uvcrg(,i l t i i cr-ttrc nrodtrl furrclarucntal

Obsanrdl ie. l l l l ) r , t , te r I l le \ . ,Lr , , r i t ) r ( ,pnr

{" ,.: '1" o

r r t ' r i r , r , I r U,. . i t , . r : r l i , , . \ t . , r ,n vr . { . I t . l ' . I t | r vr t , , . , r 1, , , , t , r1.

ar: - !un, , , " - 9r l !o" - . . _ e, .n l t " .t t \ t " t , 4, , , r , qr i l \ , , "

t[| |, ( ' l l l lotatia

u,:#t , ( i :2,3, . . . ,n) ,

r : _ Azaz _ : I .e" _ . , . _ A,o, .

",,,,f ,i;ll'"::l;'X::,#:x'.,r.l""",il"uJTl.'"Xr&:'""iil#l,(s.80)

in cxprcsia (3.79)

(3.81)

(3.s2)

rlc vilrr-al ie.

o( ,

*.43 . . . -A" i ; q\ - i. -_.____*____r l l{ , . . . 0 l l o. II : 9 lJ i ' i :s .o ' ' 1387)

. | :

ir ; -lL ,r. j,,rk l r -nrr i r r : r l , srr t is t : i t . i r r r l , r r r r r l i l l r , l , . o11(,gol . ( i ; t . r t ,r r ' r ' l r l r i l t . r l t . i l t . r r r r t . l r r l i . l t . l t i r r r ; rzrr l dr . lcrrrr : r r . r r i i

lrsro(4 lf, (t|1,') ),r o(r) (:t.R.\)

iiil,ltli'1,i' i,"lli'i,,i,i,'li,l,,;t;,1,i;,,i1:liJ,xi,:ll;l:1.:lil:;:;i,,i

I -Ai_.1**_l rl -j0jIIIo) r l r l l , i ts l f ( ,1

.(x(( i l t ( ,1l i | | | l ( ' | |1 i t I

l l t

Otrr r rs l l l l rsr , l ) t r , l l | l t l l

t ,

\ ' r ' ( l (,

lx) ll t l r r

, \ ' ' , t r , r l llrt lr ( i l l ,t i t) ' ,, ith, l l l r r r r l

I

I

' , i

l l l , i , C|rr , l l ror , r i , , o i , ) | r t l r (1. ( : t i !3!))

. _. : , , , : l , l , , r \ . , r , r , , | r l r i r r ,1x rrr l i i l r , r l r . i t r r r r r r . . , r , ; , .1 r . r . , r r t i r l r r l i . l , . . r , r

l ; '11" ' , , ,1 ' i , " , ' , ' , " ' l i l : l , ' ; ' i , , : , ' , """ ' i " ' l t t t t rnt t t ' r t rr t l ' " i , ' , i i r ' t , , ' , ' ; "1" i ; i ' i ; ; i ' , " , : i

l t , D S,

! { l r [ l l ' r l r r r r l r l r r r r

' l t t t ' t t t t t " t ' | r r r ' r l r l * " , l r r r l r r , r l r ,

( i l l l l l )

Page 33: dinamica constructiilor

\{atricca S, se numegtc natricea de alimtnare a rnodului fwnd,amcntal.11.13.3.2. Deternrirrareit modului lrei de vibrafie. Pentru detcrminarea

rrrrxlului trei de vibralie vectonrl de iutrare a iu procesul de iterare trcbuiesri r,rrlisfaci simultan conditiile de ortogonalitate cu primele doui" rnodurirrrrrrralc dcja dcterminatc, adici

Operaliile de iterarc se vor executa in fclul unnitor

l)a : DSrO(o) : I).Orc) : ).ro(r)

DSrO(t) : I)BO(r) : ),,O(2) S.a.n).d.Prin urrnare dacl se considerh rnatricea dinamici.

D, : 95", (3 es)lttrtccsul dc iterate se ap[ce ca gi la deterrlinarea rnodului fundaruentrrl;i cstc conr.ergent c[tre urodul trei de r,ibralic.

In rrrod analos se calculeaze toate rnorlurilc norrnale de vibral ir:.

Obstltalii. 1". Deoarece pertru deteruiliuea rltifllului rod (lc vil)iatie vcctorut dc in-

thtc u alc ['r siagur clerncnt arbitrar, celelalte deternddindu-se din conditie de ortogorrrli-

l!(o a Iectornhi a cu eelelalte ,, - I moaluti noirualc de vil)rarie, rezulttr c[ vectorul rltcprezintl tocmai vectorut arnplitudidlor lrodului a de vibtalie Si pentnl determinarea aces-

lulr nu rDai sint necesaie opctaliilc de jter.uc. I' lsrtia o,, s€ deterrlitll-r diD conditis

DO, =' ,,

(D,,.

2'. tr cazul in c4tc itcratea se opregtc iEainte cr O(m):O(4-r) pulsatia or a mo.hrtrti

lu[(lulrcntal poate fi estilnatl aproximetiv, clliar drlPil un rrul]rlt redrls de .iteratii, iutrc o

llrultn supcrioart ol str, calculattr cu forfirula

ol f I i l .= 0 ; i a"r 'Na:0.

Crr uotalii lcr

t 1, ,1, , r , , r , d, . ,

- r"

" ' - ^rqr," '

corrdiliile (3.91) se :;".rr, "*ti,,.r,

(conform 3.86)

at: - A&z - A"u"- . . . - ^1"o"\ .at : - - IJ t t t t - l l . ra. - . . . - R,,o" l

Rc'zolvirrd sisteurul <1c ccllatii (3.91J) irr raport cts a, qi a, se oblin

a,:4"b, A' l t "n"

- I ' lJ ' 4J: . , r , r . . . +

A,Bn-A^B,a -

' B, -.- ,1" t : , , .1! Bo - A,

br"u ' . iLtrnaoi . . . ! bya,, (3.94)

(3.e1)

(s 92)

(3.e3)

(3.es): btrar, I brr t t I . . . * Lz,u,

i r r cale s-a notat

b,, , : '1: ! . - - - : ln" ( :s, a, . . . , n)" tt ' rI:

(3 9G)

t , - , - . t t " I " ( i - ' ,1, l , . . . , n)_. / r . . . t ,

\rcctorul dc irrtrarc a .atisfi ici,r<1 condil i i lc dc ortogoualitat. ' (3.91)sr' lxrate cxprimtr in l irncfir: dc utr vcctor arbitrar O(0) irt care dorrr {l - 2), lcrrt 'rrte sint allr itrrrtc, rLstlcl

j u'lr'. i , , ,p. ._s , r . i .

1-"t l

" I i t l r i r . i i ) r fer i ( : r r i . , , poale cal(Lr l .L , l i r r r ( l : r l in

) ,rl;'u11t: -L. . r

- l i i l S -{ . t_. t . ) t

- t '( l t . I (n) l

I,I ' . DETERMINAREA MODURITOR NORMALE DE VIBRATIE.MEIODA HOI-ZER

l\ l , . lor l r r l lo lz l r l rctr t t r r r lc t r , r r r r i r r r r t r r r rodul i lor r r r l rualc t le v i l r ra{ icl l . , ts l , , t t r r . lor r r r r r r t r r i i t l i r r i l rk 11r i r r l l t I l i l r t r l r r t t . , t tunci c iud sc ( .ur()sct l [ l t l i t , ' r l i l , t r l . r l i t ' , r l , t r ivr ' ] r t lc st l r r r ' l r r l i i ( \ i | .3.2. l ) , sr : prczint i r < l r r l r i rI t l r t l , l . t t , . r l . r r t r l . r , l ' I l . l t r i r r r

- '1" - 11" l r l tn -t r . :a, t . r+- i t 4

un 1-, , ln - 11"

. . . t : : - - - - - - - 4n :(3.9e)

{) o{) o

[ ,r" l ' r . . l , roltrr, l ' " , l t" ,

l r t l r r , r , l r r r l '^ l l .l i r , , , t t r , i r l r . t i r . ,1r r r r ' l r r r r r l i l

l igt t t r t l l l l ) , r r i \ lor l r r l r r i i r l ,\ ' l l r tn l t , r . , r , i r . r , ( t . t / , r ' , i : , l r , r lth. l r r t l r . l i , , , , i l l l r l r , , r r r , , r r1, l il$ l ' , l , r l t , 1x, r l r r r ' , t r r r 1, , r , r l r . I r rrh l l l r , r l , r l , , r l , . r ,1,rrrrr l r r r r l ,l r r t t t r ' r r / , r ' l r l , lnr , l , lu l , , r lor l r , r

l t l r ' l ' l r r , l ' r t l r t , ,1r , r l t , r r r ' , ,

, l l l l l l r r i l r " t l ' r r t r" l r r l r t r I '1,

r r

I - . hrrr l l '

---:

[+it , , ,

1,| | | | ' ,

1) ( l{ ) ( t

( l

I( |

o t ,

t , 5,0r1, ' ) ( r i 1) i )

J

1lt -

; l

l l r , l , l , t l t t , r , t S

trr , r l , r l | l t l r t , r l t 'l ,U I l ' , /,1, ' r r , , r ' l r r " , , r

Page 34: dinamica constructiilor

Deplasarea relativi a uiveldui h fal| de nivelul rj (fig. 3.19, c) cste

r, - T;t

" liri

in care 1l' este rigiditatea relativi dc nivel a structurii definiti in $ 3.3.2.1,iat 7'rr- forfa" t5.ietoare la nir.elul ft egali. cu

3.15.1. Determinoreo r6spunsului dinomic produsde deplosirile ;i viterele iniliole

() structurL scoasl din pozitia r1e echilibnt prin deplasi.ri qi vitczeirril ialc executi, r' ibralii l ibere descrise, dac5. sc ueglijcazi arnortizarca,rlt, ccna!ia dileren!ial6 matriceali (3.,{{))

uii + K[: tt. (3.10()

Aqa dupi cum s-a arltat ($ ii.l3) ecualia clifcrcnliall (3.106) adrnitcll solulii particulare corespuuzitoarc celor z ltoduri rrorrnale de vibralicrlc lorma

uj - ai sin (tit - o.) : .DtAt sitt (<rl - o.)(i : 1, 2, . ., rr) (3. l{17)

<Lrtir sc linc scama cd. vectorul amplitrtdinilor ai diferS. prio.tr-o constantirt'Litrarir ,4; dc vectorul formei proprii de vibralie @;. Relaliile (ll 107)ttlrlr zintir e'cualii1e vibraliilor libere ale sisterttului exccutate dupi urodurilctxrlrrralc 1 dc vibratie ale sistenrultri.

Solulia geuerall a ccua]iei diieren]iale (3.106) se oblinc ca o eL,rrr-hirrll ic liniari a celor z solulii particulart:

u(r) : I ur(r) (3 108)

;i <fr.lrindr de 2z constarrtc arbitrarr. dc irrttgrarc A1 ;i, c.; (j : 1,2, . . ., u).l)cntru sinrplificarea scrierii, irr contiuuarc se notcazl

tllt) : A1 sin (<ol - a.;). (3.log)

Solulia geuerali. (3.108) in fonniL nratricr.ali se mai poate scric

u(r) : DOjrr( l) : loro! . . . o,. l

.o l (1)

i :h i :h. r

- \ - l l - \ - , . r - . r t . . -' ih - L-J '

(fig. 3.19, c)

.D*i - A'

(3.101)

(3. 102)

(3. r03)

(3.104)

( l l lo l i )

"i(1-,oo)Deplasarea O,i se poatc scrie

o,j

sau cu relatii le (3.101), (3.102)

o;i: o.; - *,E*,rr.Cu ajutorul relatiei de recutenle (3.104) se pot deterrnirla prin incerclri

succr.sivc nulsalii lc <o, si vcctorii proprii Or ai tuturor modurilor normalede vibralii:. Llbscrvirid ce O,;: l, d" alege o valoarc arbitrari <oi ti cuajutorul relaliei dc recurenli (3.104) se determini O0r care trebuie si fieegal cu zero. DaciL @o; I 0 se rnodificS valoarea aleasd pentru @i Pinicind conditia Ou; :0 este satisfecute' Orclinul modului astfel determinatsc idcntificl lirrirxl searna de configurafia geometrici a formei proprii dcvibralie. Modul lrrndamental corespunde formei de vibralie cind toateordonatele Oil sint pozitive (at1ic6, nunrl,rul punctelor nodale este egalcu zero). Operaliile de alegere qi triere a1e soluliilor se pot executa auto-mat cu ajutorul unui program adccvat, folosiudu-se calculator[l elec-tronic.

3.15. MEIODA ANAI.IZEI MODALE

Odatl cunoscute rnodurile normale de vibra]ie rS.spunsul dirramic alstructurii, produs de acfiuni dinamice oarecare, poate fi determinat apli-cind metodi analiz.ci modalc. iu principiu, metoda analizci modalc constiriu urmetoarele:

* se deterruinir nrodurile rrormalc dc vibralic priu pulsafiile proprii(Dr s i vector i i formelor propr i i dc v ibraf ie @; ( j :1,2, . . : , n) : . .

- se calculeazi rd.spunsul dinarnic pentru modurile 7 de vibralit',adicir deplaslrile u,; pe direcliile gradelor de libertate, solicitirilc iu se.-finnile x ale structurii, Mi(l, x), N1(t, x), lr(i, r), clorturile uttitarc o1,1 ctc. , ( j :1.2. . . . . t ) ;'

- rirspurrsul dinamie total sc obline apliclltd principittl suprlpttttt l i icfcctclor, prin strmarca risptttl;urilor modurilor normalt' rk vilrlt{ri, ' IUrr l t i l r . r r O lor l r i r l i r t . t r . r . r ' r .1or i i i i l r lc lo:

- l , ' ) , . . . , r t ) st , rnrrr( ' f l ( l r ( r / /?r ' . nt o l t i .

( i r tn l r r t r t ( l ( rk i l l lg l r r r r ' , l . y i o, (1. I ,t ' t t t t r l l t l l l l i r r i l i r r lc r r l , . r r r i ;c i r l i i , l i r r r r r r r r r r r r l r r l /

r ( ( . , ) r0 t r u (( l )

: I or,,lrsiu ("1 - c)

| :i:"; :i;;; ... :i;::lf;illlI ( l ' , , , (1, , , . . . . r l ' , , , , l l i f , ( t )

lnt?)I'r'(r)t :L r"(t)

' ) , . . . , t r )0

t lo

1rr opr i i r l t

(3.1 l0)

v ibral ic O, (7 =,

st ' r l t l r ' r r r r i r l i r l i r r

I t t cr '1, . , , , ut l r ( , i tz i \ r . l r rczi t t l r i i t t tk ' ln l i t t t t tct r t r l r t r t t r , r l iz l i t t r , , , l r r l ,

r t t r t r . , , l - .

j i l l " " r r r l l r l ' ' r r l ' . t t r , r*r ' l r t t l t r t r l i r ' . r r r ' . r l , , r l , '

, -

(3. r l l )

r t i l l i r r i l i r r l r . s i r .s l r t r ' l iv crrr l i t r ' , l i i l r . l l r r r r lc ! r r r l r , l r l r r , r

Page 35: dinamica constructiilor

Funcfiile 1;(l) se expriml cu. ajutorul vectorului deplasirilor u(t) iufclul urmltor: se innullegte solutia gcnerald. (3.110) cu Ojrll, adice

oiMu(r) : @n(l) : [@rrr,(t) * @,.n,( l) * . . . + o,.4,(r)] o;rM (S.112)

linindu-se scarna de proprietatea de ortogonalitate a vectorilor fonne-lor proprii dc vibralic (3.63) Or"lIOi :0 pentru / + D, se obtiue

o;.uu (l) : af Mairi1)de unde, cuur Orlllo, + 0,

.i"u pl,tiU)

ofI{.oj

SolicitiLrile dinamice se vor obliue pcutru rnodul .i de vibrafie rnulti-I' l i, |lr,l soliciti.rilc staticc cu funclia li(1) : -.tr si" lturl - a;) adic:r

l [1( . . r1 : Mi@)A;siu ( t1 l - c;) ctc. , (3.12lrl ir l ,rnt suprapu:rcrea clcctelor, solicitarea dinarnici totali i va fi

M(t, x):\ lt,p, x1: D M,e1r1.4, sin (co;1 - *;) ctc. (3.12?)J]

Irr accst tcl, rrispuusul dinarnic produs de dcplasirilc inifiale u, pi\ r l ' . / , l r ' | | , , u]r l r i t l ! ( .stc cornplet dctc l ln inat .

Derivind in raport cr: tirnpul relalia (8.114) se obfine

''1'1 : tlt9 '

o;,roj

:1.15.2. Determindreo rdspunsului dinomic produsde forfe perturbdtoore oorecqre

lil corrsideril structura din figura 3.20 acfiolatl de un sistemlt(tl ;y'(/) avirrd toate accea;i lege de varialie irr tirup.

Nr.glij irrrl arnortizarea, ecualia difereuliali a rniscirii 1>roduse1111' ,1 l r r l t r . l r r p(1) cste dat l de relal ia (3.33)

Mii+Ku:p/(r) .l'irrirrrl searua c[ migcarea produsl de coudiliile iuifiale este

l rrrrtil (l|. l l{)), solutia generalE a ecua}iei diferenfiale (3.123) ser l , , r , , r ' ls i lo l r l iL

f1'( ')I r,(r)IIIL l"(i)

determi

(3.113)

(3. r l4)

(3.1 ls)

(3.115) ei. Iixprirnild coudi!iilc irriliale (J. l) iu relafiilc.rvir(l in vederc cxprcsia (3. I09l .r IrrncliiJor r1;(l) sc

4r(01 - .- ,t, sirr a, - tl'""

: n,.or: ro;

o,rx,i.4j(UJ : .ri,4 r cos d; : --ts : ^Y,o,: ro;

itr tare s-au folosit pentru.. simplilicarea scricrii uotafiile .U; ;i \L)ln slstcnrul dc ecufltii (3.16) se deduc:

e,: \ f . t t j 1- l ' '1- , , , :n, .c ls[_f ! : ] f t :1, . j , . . ,n\ (3n71I t<, t t " t V; t '

.... L-onstarrtelc dr irrtegrarr. _4; ; i c; I i ind deternirrate i l luncfic dc corrdi_Tluc. rtuIrale ate

_nllscir,tr. .r i ispunsul dinamic al unui ruocl 7 de vibratit:I ' r , ) r , r j de deplasir i l r s i r . i tez,r lc i r r i l ia le se l )oatc scr i ,

ru( l ) : o{O : [or, o, ] , . . . , O"l

l r r r r , f r r l r ' 4,( /1 \ ) - 1, ' t , . . . , ra) , urLnirrd s i r . f iel , r l l r , r r r , l i r t l i i < l iu l rn icc.

l l , t lur.(\ ' l lr i lLricca tuoclit l ir O crstc irtdcPcudcrrti il l r . r txr t l r r r t i r r rpul soJrt f ia (3.12{)

rr .= rtrrt(l)

r l t t r I t , r , I r r , . i l , I r r . l r r l i i l , ' ( l l . l1! .1) ; i ( l i . l2 i ) i r rr ' r r . r1r , r r I t I r ' r r , r r t i r r I r i ( : t . l ' - l l l ) s i . o l r l inL,

( t ' ; ; ( / ) I K,r ' , t ( / ) y l \ t \ ( :J t . l ( j )

\ l r l l r l , l r r , r r r , l r ' 1 l r r l i t r r l r . . r ( : l . l : l ( j ) , l { r / i ir l . , l , l l l r l r l prr l r l r r ' r . l r . { r ; ; ( / ) : r r ( l r r l ( / ) r , .1 l l l , i :

4' ' l f l .b, ; , ( / ) l . t t , ; ; ,U) | | ,1, , , : i t , , l t ) | i

l : t t . . , . / \

I r t , ,q, , ( l )

(3.1 I .1)ob!ine

( j :1,2,

dc for]c

dc ac! i-

(3.123)

datL deproPulrc

(3 r2 r)

. , n)

(3. l 16)

(3. I 18J

(3. l re)

I l r . ,1. ,1 ( | l t ( l { .

nate iu lLtucfic de

de tirup. di:rivirul

(3 r25)

ut(l) '= Oi/i si)r (t$ - q)'

iar riLspunsnl dinaruic total cstt,

u(/) ...- l u,(l) .. | 1L1t!1sru. (<,,,1 , a.,).

. l f i r .c;-r r t r i r r rod nolrrr t l 7 r .k: r ' i l l r r rJ: i t . i sc lxr l1r , l , , , r . i rLlo rl ( '

t l , l t<D, , r , , jMrD, ( : t l :Xt)( i r t ' | , r l ) l r ( l r l r ' l i r l r ( r l i r r ' ( 1, , r l , r ' r l i r , r ' l i i l r . l l r r r r le lor r l r . l r l | , r l , r l , . , l r . l , , r r r r . , r r . ri , l t t t , l r r r r l l l ) r Io l l i l l ro l ' r i , . r l r , , , , r , . r re | r ro, l r r i , . t r r , r . r . l r r l r r l , , r , r1, ., ,1 | l r , l | | r , r r l r r r t , r r r t r ' .1/ j ( r ) , / j , ( r ) , rVj , ( r ) r t r

I r l , h t r l r , , l r ( / ) I r l r ! / lJ( / ) |

r l t , t 1t l( t l l r , l L ' r i

Page 36: dinamica constructiilor

V

Avlrrd lu vcdcrc cbnditiile decu cclclaltc ruoduri nouale de

relatia (3.127)

Notind

(3.13s)

(3.13(i)

(3.137)

(3. r39)

(3.141)

9i deoareceobtile

reglm

(3.131)

Deoarece fll; are la ecuafia (3.1fl)) acelagi rol ca ti masa ra a sistemu-lui cu un sihgur Erail de libertate

ffi; : tofuio;:\ n,o';;, ,., r

_ j . , , .

asociath modului I de vibratie.

\tt*,,(1.1 .= 11(0) cns<,r1l a '' 'J9) .;o.7 .1- ,,,ot- (71"; rs,un, (t--t)<lr (3.134)ul Dtrtut )

uuilc 111(0) 1 ri11tl; rlrrt rlrtc dr exprulllc (3,l td)t

(3.132)t t t ' , .

(3.133)

modului 7 de

t

' ' r

' ., (l - t)drl : or vrqr(l) (g.l4o)u1(l) - Oy -zr ltul \ ,f(t) siu . . I' t t t . , tL i

. l| . , .

'1,(,) - o, | /(t) sin a1( - t)dr

J0

lirnellr rla luultll,llcerc dlnlrnicl e$oqlot[ ilodttlui.i de vibratic' iar

1, o/l '

)n"ou I ,r , , ,',#td"'tfi?-x

"r! q (rr r42)

Page 37: dinamica constructiilor

Vffi "!*it'liil,;i:1''.t1'#:it"to1l,ilttou"iitudgty.p,rr,,lo,,i,Raspunsul oio"n,i" ,r.*i_

" ;T.ft; , ,i.r*i#rr? ;il:ui ,*' -

iD,y|,lt,(3 I

{r* modulqi,y de vibratie.rEspunsririJe dinamice ale

t,I

, l

It

uI

i

I r

g1eJ..,m;eo "no-r " ro. rc'rrcre .ri ;tifi,et6l t0 sl

b3l3Jt]!l^. pul:cir'i p.opti l, !tclofi! lo.melo(propr ' f :

i o, r U, ' t : l r1. . i : ;n '

COI(urut n\Oserrx i, incC,tO,,te eCn-om'e Dert'r,roour,|err d€, v:;l'eMe;l r rr'e

'

Q 'El I r ' : r '1 ' 'nr

l r { l )

Colculul sslemulu, cle torle stonc ellp€ntr'r l,eCore moo,,l"de Vrbro|e

i , - . iv Q, {r = r ,2. ,n l

torreror f, vit. t, r it"t , trri t" t dc

In rtqln lronzrrf,(!

u, l r l ' Q, [q,o(r l ' 11, i l t ]

Mrlt,xl. Mlxl[]n(t,. I lr l l i . ]alc

91m0.. Q1 v1

vil!,. vit,r f, v, ercMrlt , r l 'M; l r l l r l r l

""",,l'lj"i,ll3t"",t" ;tTrr?$,ffH1"r,""ffiil*""f ,tlrcturiror uririzrrr<r rrrcr'rrn

' rlttu,.ului rlirtrn'r lo|ol

' I r

g l l l . f ( i , l r l

M/r . r l , fMl( , r l

l l l rnrr l lc

3.t5.3: Colculrd metodi

a)

Page 38: dinamica constructiilor

|,r,,, | |,s ( r,.,, i;1,]'n")ll"l,,,irl.lJil',i]ll,,Jl,i':ilill,i

ls lR,"

' '23

^ls)' ' 34

l tr lrtntittrtrtu rnrtLluri lot nrtrntale ca o problemd ilc aalori frol 'r i i

1 l i ,r ' l lr l i tt tttrxluri lor normalc de vibralie estc

(K-to ' l l l )O:t)

at structuriirrrasei zrr. t . \

r:, ::nti.d"r.i._"1 riglele an rigiditate infiniti.nrvet ale stilpilor consideragi ca fiind dublu

' r ' l r , . l

[ t ' - # i -1I - r Is- l t i lI \ 600l

l - ' -2rrl frccYcnfelor cste

lK - <o'zM I

Nrrtirrrl i ': ' ' fi (lezvoltind determinantul frecvenlelor se obline ecurrli ' i( t ( l ( l

I r r l { r ' t ( l is t i ( i i l l ) . ,

) .3 - 5,57. '? +7,5^-2:O

(t t l , " r r l i r t i r r i l , '

i r " 0, i t5; ) ' , : t '61 i ) 'a:3 '54'

r l r , t t l t r l , '

, l ' { ,5 rad/s; <,r" = ' l }1,2 rad/s; t , - ls :46,1 rad/s '

| lorrtte i I 'roPrii d( vibralic Ot pcr.ttru modul {undantt ttt 'r li , l i r r , r ' t r r l i iL t r l : t l r ic ta l i r

o,: ts) I

921000

o l l l i lo li l | i-2 l l ' ' l : l ' l

r r - ryst l l ' ,1 l . lf G00,_l_ J L l

Fis 3.22.(dx)

| ) r , l ' t nr in l lnt

I)ate nutnerice

Pz: I U)O unitil i demt : t,O unitali denz : 1,5 unitili dettt6 : I,Q unitbfi dein schenra d.e calculRigiditifile relative dc

iucastrali lijl: l2f1" ri.rtn;

lortInlastmasemaszi !"(t) : f,

f(t) : I

R,e :300 uniteti de risid.itateI* - 9m unitdfi de rifiditateKor : t{_10 uniti}i dc rigiditatc.Matricea i nertiald

Matricea de rigid.itate

I eoo _aooK: l_600 l80o

t 0 -t?0}Matricea de flexibititate

o (.) I1,501o 2,0 l

I r,oi l : lo

I t r

0l*1200

l :3m0J

. :#[ ' j ; ; l| 2 2 2l

t , , t , , ; "h. lcrrr i t t

[ ( rt . .

{i(x I It

r \ l r l l ( r l

I t ' I

l r l l l

Itilt;lol-21

Dl

-iJ['i , t]:*ls s sl:li ;

I t - r*l -; -;(3 l ,s.0,3s) "2

? (s 2,0 x 0,35

r r r ls i , [ ' t i r t t l t t r t t t t r t i t t l t i t t t t l t ' r ! r t t i c t ' t t r t l i i

2,0 4) ( l

I

lo r t r , l

r I r t t t , l ,

\ ' , , lot t t l

l l ' .1, 1754'"1

J,0 rl ' .r r

r l r . r r ( , , { i l ) :

I t t t t r I r t t t t c t t I , t | , ' r l r '

I . l . l l t l t . , o

r l ) r r { ) , l l l )

v i l r r r r { i l O' t s l tObscrvalie

$F : I

"":#[ j jI t , t i : t

0,3{ t

, . t . ,5 i

| "',,'t

i,\rr,r1,,1, rlr, |

,, ' i*, I t.

I { t . t i i I82

it rDl

Page 39: dinamica constructiilor

\I

t x 11,25 + I I 8,25+ I x 4,50x 1800 : 20.1

rql ,I tI t

lHo 6s -o 60t,l ,

q,r3c -067

r 1,25r + 8,25! + 4,50t

-2 57

descrise in tabel pornindu-se

ol aS : 14,2 ra(l/s < 01

ls + l4 '2.tr

^.ilir : -'-,

-

I)clerminarca modului

Calculul matricei

Mttricea de eliminare

rDr.r I

u,", .,,,.u,,

, , : , ,1;" ;, ,n,

' l , ,,*,,

14,6 : o..

secwnd

de eliminare St

A ̂ - Qa,n, - 065 x l'5 - 0,98O"zr I <I

a-:@n-. : o '30 * 2 : 0,60.

(D-ur lx l

S, este

Vt

9rFis.3.23.

Reprezentarea celor trci vectori este datl in {igura 3.23.

Determinarea modurilor nonnal'e d.e aibralie prin iterare malriccul.i

Se calculeazd. matricea dinamicl I)

r): Fu:-,-,-[i:3 3:13t"' L l,o 1,50

Determinarea mod.ului fundantentalCalculele se conduc urmlrind operaliile

cu vectorul de intrare O(o) : {1, l, 1}

2,01rn l : D' .- ' ' | 18002,0 j

I)"

1

r o I -0,e8I It . . . . "" ' 's' : l n I tl ' lLo t o

a modului secund l

5,5 3,75 2,02,5 3,75 2,01,0 r,50 2,0

-0,60 I" l

o l1l

: I)Sr este

I o -0,e8l0 1L0 0

Mrrl ricea dirramici

, Il ) . , : I- 1u00 I

t

0,60 I0 l :1l

I o -1,62 -1,34 I ,Ll , r ,3r 0,48 l :

l ) l'*'u I o 0,52 0,39 |

t 'nlcult ' lc sc sistctnatizcaziL in tabelul urlnittor' r 'ectorul dc itttrrtrc

.r t , . r t i i l l t l c l ror . , {1, 0,89, 1,0}

De ascrnenea:

. I 4,56.na:- : - ,'

- i 1800

u,, :..,4 t0 : 1'1,5 rad/s.

Obsuualr , ' . l \ cazrr l i r r c l l tc i tcr : r l i l r sc opret te i rnr i r r tc ca Ol ' ' 9 Oi ' ' l i r , ( vr | l r i r i rn, ln-

l l r . I t r l i l ( . ' , r ( . lbrLtc c[ lc l I t opr{ ,x iDrrr t iv ( l ] .$0 t i 3.100),l \ : ct , . r r l ) l l | , ( t r l ) i t o str f t r f lL , ' t 'c f l ' l i l , , r , \ l " r .N| ' ( : t . i l i ) ) s. , ' t t1 i r ' .

, r . l t I l1 l ) . l t l r , { l

" ' i ' " r ' l l l . r : i r r n. l r j r L . r 11) : ' f5 )r ' r ' , ' / '

l5 ter l ' r r ' ' r r l r t t r r ' r l r r" l ' l t lo l l l

I l r , Inr ' | l t r , l I , | l .

I

,,,1

o(0:D',O(o) : I utot

).1

r ( r ) :

- D',O(1)

o(r) :I

: -a(r)).,

:D'O(!)

<D(3):

I: -a(r) :D'O(.)

o(r)-or

I tt,25 I 9,01 I 8,65 1 8,56

I .8,25 0,73 6,0,{ o,67 5,65 0,65 5,56 0,65

I 4,50 0,40 2,89 o,32 2,65 0,31 0,30

L - i;il , ," \/lil:

Page 40: dinamica constructiilor

TlI

lor : ,1o,

5,5 3,75 2,0

dc undc

o,:46,1 rad/s.

3. Calculul masclor ;i incdrcd,riktr ecltiz:alcnle

4. Calculul funcliilor ryo

r,(r) : ,# ( sin o,(r - :)ilr : ETh" tt - cos 14'5r)

' : r,rr1t - cos 1'{,5 l)

t,(r) : -0,253(l - cos 31'2 l)

IsP) : -0,052(1 - cos '16'1 l)

Dctermitarea r dsl> uns 'ui moilal

[ r l _,u1(,) : olY)1(l) : lO,oS | 1,72(r - cos 14'5 i)

[o,go I

I r I _ . .u,(t) : o,!r(,) : | -o,Oo I i-0,2s3(1 - cos 31'2 r)l

t-0,67 |

[ ' I " 'u,(r) : o.r1,(l) : | -z,sz I t-0,0s2(1 - cos 46'1 r)

I z,ttlD etermin ar e a r dsP unsul' ui tot aI

I r6, INtIUENIA AMORIIZARII ASU?RA IASPUNSUtUI DINAMIC

ET SISTTUTION CU UN NUMAR FINIT DE GTADE OE LISERTAIE

( ' i , h i ' l t ' ' l r , r /u l r | | l l ( , l l i r i r t i i v istrr l rst , r ' t r r r r l i r r r I i | t ' r ' ' r r ] i IL| ; i r t r rL l l i r .cr t l l1

rrrr , , , i r r i i r r t r t t i \ t . r l , ' t t r ( l l l t * l r l ( l r ' ( l ' l i lx ' r l r r l t ts t l r l r t l i l r l r ' r 'xprcsi t ( i i ' l lO)

l)f lc/ t tt,t, ! ,t t0lului

( ' . r l , | | lUl l l latr icei

t . i r r r , r l r i r . r . r r

tc4

de eliminare S,

Drs: -0, ,1 i ; b2r: {1,05,

Pulsalia <o"

ai : 5r4ro

se determini

_13 3 i- l ilo ol

[ 0,41s .|

: l_r,Os I

,t

din egalitatea

0,a15 1_ r,05 |I

l l

l r Io ' : | -z.sa IL +2,47 |

0l[ ' IiJlS;33 l: '"3ll_J *l= , ,_? Jl - o,(i7l

l l i " l : i i rI | : .1/ |

adici

f lr: O,r trtor:[l U,U, U,rOr[J j,

;Ii,:O,r.lll.,- il - 0,60 -""rlj ;,,

i[;"J:-f;'J2,5 3,75 2,01,0 1,50 2,0

Il l .

t",rt IL

I t ,0 0 0- -2,s7 2. t t l l r ) r ,s ()lo 0 2

[''(i) 'l

u(r) : f u;( l ) : | * , t r ) |' [,rr(r) |

,r(r) : D1,.;(l) : Or.r1'(l) * O,r't,(l) * Oul"(/) :

- l x 1,72( l - cos14,5 l ) + 1 x (-0,253)(1 - cos l l1 '? l )

+ I x (-0,052)(1 - cos 46,11)

tr , ( l ) = (D,, ' ) r ( l ) -F or,4,( l ) * o,r l r ( l ) : t ' l ( l - cos 14'5 l )

I o, l5( l - - cos 3l ,2 l ) + 0,13( l - - cos 46, l l )

ro(/) . rlrr,1,(l) l. rlrulr(l) * 0.rlr(/) ' ' 0,5(l -- cos l4'5 /)

| (1,17( l ' L:os i l l ,2 l ) - 0,13( l - c()s4( i ' l / ) '

i)li3 (Dl ll (D3 = I I

lir o,,tr , ,,.,.;, ,,,,u,,f ,,llu, / .

,,",t t . , { r . ,1 {dl(} , r l , , { , , ,1 . . , : r t t ,

( : r l4( i )

a',

nii 1 t:ri 1 Xil l'/(/)

Page 41: dinamica constructiilor

Tt

n)in carc ruatricea {l este o matrics- p-Etrati si simetrici. de ordinul (a xnumit6 matrice de amortizare ({ 3.5).

In cele ce urrneazi se studiazi. inlluenfa amortizirii viscoase asulravitraliilor libcre si forlate ale sistemelor cu un numir finit de gradc^delibertatr'.

3.16.1. Inlluenlo omortirdrii osuprd yibrdfiilol libere

Ecualia diferenliall matricealE a vibraliilor libere amortizate cste

ui -1- ci * Ku : o. (s.r47\Pentru rcua.fia" diferenliall matriceali liniari gi ou.rogeni (3.147) se

propun solulll de torEa

;?fi fj";"T-9i'#."?.,nr' j'g_x1'"*":"!il+: ji':'l,i$ j'ff :";l;il;[-:J:"tH, e : i ; :l uj : ]: ;:"1'"f "1+:"'s' .',i'- IiiT" "lillllil l l

'dli"*:l'it;";'"ll;l'r":"';.".":"S:l::#ll.:1,:#;:,'lillii:;1.: jj?, .:, (kiJ""1'r-'luri' ul" """.1,"

ecualia motlurilor aormale cie vibralie devine

(K - o"M)A :0

s?+sid 2

t * s;F

l l ldlcinile tcualiei (3 154) sint

- r rr,,,1r j1.2 -

, , r , " : - 4 l iu ' t

Notin<1

s;+(n+f. i )s i+ ' i :0 'in carc I ;i s slnt constante arbitrare, iar O - un vector constant caredetermir:l configurafia deformate a sistemu.lui, deocamdati. nedeterminat.

.Introducind solulia (3.lrE) in ecualia difererliali (3.1a7) 9i simplilicindcu factorul At", * O se obgine ecualii algebrici matiiceali 'omogini

(3.148i

(3.149)

(3.is0)

(3.151 l

(3. 153)

(3. 1 i4)

(3 i 55)

(3. l50

(r t r 57)

care reprezint!. ecuafia modurilor normale de vibratie, determinatevalorile proprii s., 52,..., s", ridlcinile ecuafiei caracteristice

u(l) : 7s+6,

(s,M f sC + K)o :0,

lsrM f sC + Kl :0,

C: o.M + pK

I.s' !M f s(crM + pK) + Klo :0

( , t , ' ; , t IKJo" o

I f , i l

d -i i '!)i

' 2o'j

!--- ---..ii

* 1/r _ ld r- po' l(n j r= f , , l / ' | , t , . . , I

I - " r

sc tttai pot scric

orin- t

gi vector i i propr i i O,, @r, . . . , O" care se obl in corespunzi tor f iecirrc ivalor i propr i i Izohiud ecua! ia nrodur i lor lotmale (3.1497.

In general, in cazul cind se consideri. amortizarea, ecuatii catacteristicir(3.150). admite 9i ridlcini complexe conjugate, astfel incit, determinareamodurilor normale de vibralie este in acest caz, o problemi de valori prr4rriicomprexe.

^ Cazul antc,rlizdtii t 'roforlionalc ( Rayleigh). Dacb matricca de amortiz.ir€

L Se poate ( xpflua lu lolma

!

I

tt

nl

I l r r l i r ( t l l i l ( i . / t , ,1ttrclt a si p sirrt lactori constanli de proporlionalitate, amortizarea srnunrcstc proporlionali sau de tip Rayleigh.

l'entru acest caz, aga dupi cum se va arita, determinarea modurilornornralc de vibrafii conduce la o problemi de valori proprii realc.

l r t r -a<levlr , iutroduci ld expresia (3.151) in ccual ia hodrrr i lor r rorrrr : r l rr l t . r ' ib:aJi t (13.1,19) sc obl inc

,*si t , , . j . . -_ v lo)1 L lnf '

I t l r r tcr l I '1. s ' r l t t i i r t . pr t t t ic t t l r r r i ( l t l - t8) tor tspt t t tz i lorr t t r r l l l t t l t t i f

, t , , u ' i , t , i l i , r ' r ' l r ( ' : r l ( r 'cr i t ' s l r l t lo l t r r i !

(3. l5lr)

r r , rD,r ' "" ' i '1 t , , ' ' " ' ' f / I t r s i r r r" f / l ' ( : t . I 59)

lil';,ili.-,ill.'lll1,l";,,,i1:,lll,l",:'";,iii: l;i,"; ;,;;ii;'''1.'i;,i,i:;i,ll,""il"li::,l.li';i:;:rl:;:'lri,,ll;Jl::ili: ';il:1,'l,l",l;;i,i').11i 'j:l'i:fi:l;jiill,,il;'l,""il';:, 'li 'i,',1;:,'1,,i::l

siut

; i r r r ,1 i r r r l

l-- --

( : l I r : l '

;j ',11,';,1[rJ,i ., ' i, 'Ji ,,l"',l i ,i,ul, ",,i,,i i i ,,i rr' ,,rrrsrrr 1i'r,l l, ' rrl ' 'trrtr",

Page 42: dinamica constructiilor

-

ff:r?Till"ft ff.amortizare riind dati, pentru modul 7 dc

.rr#T?1,'*"Tj'; j,?i"."x1i.?li,i,li':l#*' jil,",lijti('r)ft:sl)un: dtor acestui caz este dat_ de expresia (2.112), solulia ccuafir.idili.rcn liale (3.166) se poate scrie, in mocl'analos] ,.lb 'rtr,,ro ,

( j :1,2, . . . , n)l.lirspunsrrl modal, lioind seama de caracteristica

l'('rlllr rnodul 7 de vibralie va fi dat de exprcsia

r,rr r )is1,urr sur totar, aplicincl ":,t:";:'::::rozilici

r.a

u(r) - f ,u; p) : f o, 1, '1rr

iniliale date se vorate nodurilor nor_

vibrafic de

(3 t6o

(3.161)

(3. I (is)

u(r): D ur(i).

(3. l ( i7)

de amortizarc v;

(3. l6lJ)

li <iat clt r:rprcsirr

(3. I ( il))

sir r ( ) l

i.l'13'';1 ":?;i:

oomordzdrii osupro rdspunsutui dinomic

-*'H[";':;ii. J;l#';.ffi*? ft ff i:Jli.;li?.f;1ij ) ;???l,i ffiiy i]i,;Itlii -P "ir; + r(Pir 1u) : p/(r).

Solulia generali se propune sub forma

I ' l i l r lnnarc, in cazul amortiziri i proporlionale, (fcetcle antortiziri irnttlrrrt rirs.l luusulrri 9inam,lc al sisternclor c-u ri grad" rlc l i l tertatc sc lrot| | rt lrr, t 'onsidcrind independent fiecare mod I dc vibiafic, ca t)erurll uu slst(. rr ' l lr sl l,{rrr grad dc l ibertate.

Irr cirz,rrri lc particulare cind matricea de amortizare C sc rcprczintri

;ii;'. "T;; j : :l ;'';'" J,".',ii jT: ill'j l,l - * I " ro rm a t c u,"'::; :3rul rod u ciu d ;,,;i;- i; i u"i; :ilff|" *i:ffi:, J, 7i 1r,i" ":j*jiiirrolij* * n,i*) + xo(p,i. *,r*) : p/(l). : (s.l6s)n" .li#;lljiil;"*"j',:::.?"ji"'.%;:,*.

;#* ";tt,,t" proprietateao/itto, :0 ;i o,16qr, : 6

ccrrulra (3.163) devine

t r t r r r r r ; r l r i r .L l ' r ( , lx)r f ionala cu matr icea iner l ia l i (amort izarc i t rer f ia ln)l; , ' siru yrrr r 1 rrrrf ionati. cu matricea a" ,igialiuti ' i l I p K, e.xprcsii l , l

(amortizarc inerfialri)l i ,r ltl siru y,r,rp,,r1 ionati. cu matricea de ri{r r t ( ' r l , r r l i i t { r i r t i r t o l r } i r r pr in s impl i r part icular izarc a rc la} i i lor r l . : r f t tsc;| | r l ' | | | | ' I l t ( i rz s( . l i !e, . [ t =- 0, iar i l l ( . ( , le la l l caz q. _ t r .

I I/. RASPUNSUI DINAMIC AL SISIEMELoR cU ,,n., GRADEDE UBERIATE PROOUS DE FORTE pERtODtCE

(' i t r r l , s l , t111'111111 (st( ' act ionat: t dt : Ior lc pcr io<l icc ,1,r( / ) = 1r! , , . t i

lliy:lll.:lj:ll'l,ir' sr..rx,atc rrettrr'irra )i l,,i;;;_i;, i,fi...a*,',ijl."ij,i'i,llt ' i t r t " rr ' I r .z i r r l i l i r r c ' r rr i i r r rrrc. Alr l i t inrr l , r iuci i , iu l rui .L i r . , ' , i , . : i t ' r , . i . , , . , i , i , : , r" iatr l l I | | r , | | r i i l l t r r t | ; i rL l i r r fL,krr Pertur lxr toarc ' pr( l ) ; i a [or ]c lor dc i r r t , r l ic

l : . . (1) , " r , i r , 1t ig. . i t l l ) . t f ' r t r .k. i ,o( t ) pot l i . npl icatc inor ic,<. toc 1)( .srru(.l l l l r l . r l r r l r l r ' r ' r ! r \ i t l , r . ' r , : ru I l , . i r r , l r , ,^r , , - t , . . r , , t , . . , . , .

- . . . . . . . . . , 'I t t t , r ,

o/Moi(ii + "in + o,rKor1p1,t a r*;.

I kou rr.r.t. KO; = .; O.. , .

ll, li 1,,,, *;,, I lri',i';# i;*l lli'X i:: lti" lT' j;;: af 'pf(t) . (s.164)(3.I29) oiMoj: er.,+0

* 0, sc oblinc o ccrialic

, ' r ' r ' r r r r" i r l , r . ' r r ; rzrr l r . i r r r l l r iatr , l i r r t r . l r . , r r r , rc,* . , r r i 1, .g, . ,1, . r , ' , , i , , i r , . i , ,f f t t t ; r 1r r r r ' l i r r r r r . r r t . t i l l l t , i ,I l , r , . r , r l , , r rz, r l , . I t r r r r ' l i l r , t t , ( / ) i r l r . r r r i rst , lor . , r , r i ( , lx) t scr i ( .

rlio .l (tsrrr t . r r notrr l ia (3.156)

! o2\n* \ -L , . ,2-* - gi r , , ,

, ' ' ] ' , | . - ' ' ) ' - - | | l l .8[r- ' '

hr l t ) / , ( / ) , . i ! I / , ( / )J, , I

t r , ( l ) / , ( / ) ;J, , I / , , ( / ) t , , I

I / , ( / ) r , , , I | / " 1r) a,o,

l / , ( / )d, , i [ / , * ( / ) ; r , r (3. t7r))

i l t , ' tu,,,,,)),*.t ",;ni = i,:/(t) ( j _ tt), ...,n) ( ir t(ni)

i j l l l,,ril,,"i.i"'1j,,::i;trl;,,,lil:1,i,'l,i il i l i iui,ll;;:i:,,il i l i l,,1,1,,j jj,,,l,l,ll l,ll l;r;:il,l':;.il'it;':i;,iil, l;;lll ;l li:,,,i, ilil,,lj,iill:l:iilli ;:;,;;11,, ;ililit,;,,i,,

( r u) . l t ( / ) , i . , | / ! ( ) , , , i , , , l . , . , l . / " ( ) , , t , , " l . f l , * p; , r , , ,

u, u) I i t )

Page 43: dinamica constructiilor

' ' . i ! . l ! ; i ,

' i ' i r ' ,, lu tormi matdceale, tr.u$ind * ; T;i,qS?S11f;176)

rezutti'

..,.. ,.ik. i ,

a - i r : lu-r l i r i i : t$t i ' : ; r t : (3.178)

tl ttrlhrd seama gi de relalia (3.u6) ecua*iq 'q+fiif'e.ah '{9'l?4') devin"

I I t (t) a .- mg:: m;ff 1tsinet, .:t j,:(g.l7|)9i acfioneazl i:r fazi cu fortde ,P^ (l)., . Notind deplasalea.pe tiirectria-d;ddui i de libertate produsd de for_tere perturbatoare P' (t) *t:::;;:':it"ott

"'-*u "['f;;, , r , , , , r1t , . , , ' , ' r . . . , . i , r i , t , t 1. . . , t : : , ) r ; ,

iutroducintl solulia (3.171) in sistemul de C&atii fg. i70) si simnlificind bufebtorul comun sin O I se obfine sistemul de ecirafii ' '

,. (n. Or&r! - t):a, a. n4niSri aL * . -. I ll'g$B,"a,+ A,n-b l

?#8r, a.{ (rzoOr8r, -l) a"t r.. +rrrrfpgi. d,q A,ro'::6,, 19.1741: , 'zr , f , ) t8", ar{ mrd)}8,2 az}. . .* (n"OrD,, - l )o,+ A"o:0,

sau in notalie matridbLte 1';: irr:r; : i

l l ' . - i . - , ' , r i i I , . , , , " . ; . . r

(f isFM - I)a + A:0, (3.174,)I l : l l

tade F este ma.tricea de. flexibilitate a sistemului, M-matricea ine4ialI,r - matncea unltate, a -- , vectorul amtrdittdinilor deplas{riflor, iar A ._vectorul format cu deplasirile Ajo (ec. 9.173). :

Notind amplitudinile forlelor de inerfie

Ii - mtrAza, (i : l, 2, ,.., tt), (3.175)

vectorul amplitudinilor forlelor {9 iner}ie se poate exprima sub . forma

:lurjt cez arnplitudinile forlelor de inerlie J devin infiuite ca v;r-

l-ii'ltii-oiip"t."tiu:.*.it"^gl1':i^pi::'::1*?"""*:f; :["t;J:ItU ni6p*{- ri iie-iGtemutu;. Acbsi feno-men poarti numde de rezo';tllfild (f13. 3. 26).

lf! lrr,,'1 ,r

I ln - *, 'l- l.- * *-'l: o

(3.17e)

(3.180)

(3.182)

' J :Q2Ma.

Sistemul deexpresiile (3.175)1elt5,

(3.176)

ecualii (3.174) se mai poate scrie, finindu-se seama dealc amplitudinilor forlelor de inerfie, in forma echiva-

(o ' - ;* ) / r + 81112 + . , . + 8, , r" + aro : o

s,r / r -F (N,,--+) r , * . . .* 8, , r , . * Aro: 0 , , . ( t .177)

8ir , r .1. r , r / r - l - . . . + ( t ""-*) t . g A,n - 0

u1(t)

| | ,|l, t,,|, l lg, r,t6,

Page 44: dinamica constructiilor

4. RASPUNSUT DINAMICAI. SISTEMEIORCU MASA DISTRIBUITA

4.I SCHEMATIZAREA SIRUCIURII

l lt,tocla arralizci modalctr, rrrr uurnir [ init dc srado .?.11,11"t-1

strttcttrri lor schcmatrzat(. ]a sistcrrej '{rrtrr.cazul "r"l

r"?iri11,'rrrr ('. ilbertalc va [i extinsi in r.elc ..c ,,rii""ri

li;l. i"l"ili",il."", iiTlil..l".lilli:*i il11:Til,:3, r n*:ili.ii.{:r' , 11""t^":i:ltll strrrcrtrrii sr' consrdcra ouroge, (nrasa uuilci:;il'fif:li|il"l,illiil.1TJi;.91.,s1 nini '.";"., ;;;;";,1;'i:'ir:l'"ilTfilziir ii \-or ii s uai"i.:-,J,un"i,;iilili;l,l: ;:"""1j:i,""i.T,J,iilf flT,*",T1":#lii-

I frrtll ltrr rlc iner!ie p7'ulAP Si a elorturilor seclionale corespunzaltt 'r.rrllr'finrii de incovoierc a barei (Iig. 4-2).'-'" ifxr,rirnind contliti i le de echiibru dinamic se oblin ecualiile

aJ : - h ( \ . t \ l - u*:ot att

( -1.1)AM

4.2, RASPUNSU|. DINAMIC AL EAREI DRfPTE

4.2.1. Ecuolio diferentiold d vihM.:;r^- r___ore unei ',,"

;;-;;:;':,;.,'J:;H"r. rronsyersore

iiji**tii**$gt$r*r*.ii* {H:$ilei,'*:l"''.'n*rilt*f"'l*i.:;T**'':i,jffi i*$.iFJd;ils;t"li" *#i *:{ti:itm1t*lrl{"*r*} ;$*,:ffi r

ti

t

(\ r usid<'ri ndu-se micile deplas[ri ale axei barei in timpui rnigcirii' lrL

Ult rr(nucnt dat I ecuafia axei deformate a barei este

ot pya: - r [ . (4 2)

| )t,r ivind ccualia (4.2) de rloun ori in raport cu variabila r 9i linind searttrt

dr l t ' r rn! i i lc (4.1) se obt ine

*1"'r ' t#]+ vefi : t t ' 'o ' (+ r|)

gttr, t(' l,t( ziutir ccualia diferenfiall cu derivatc parliale a vibrafiilor trans\-( r

l l l t ' r tL l r t r rc i .

Itrrcir rigiditatca dc incovoicrc a barci estc

Ir ' t t r t l i r r r I i ! , r ' r ' r r I i r r I ; r 1{ . i l ) dcvirrc

r t tl! + ,ti'"' : 1, 1t,t1 .i t ' , t t

Ittlttl irt [r'rr.rll i-r a ccrla]ici di[(r(rrtialc a rnilc!rii sc ta -ob]inc

in {tttrclit '

i i i ' f , i " , l ' r t . r , , t r t t i r t l r i l rarc ( l ( i r r t ( ' t { rare cart sc dct t r tu i r t l d i t t ;" - ,,,i i,, 't i i i i,, itti lt,tl, alc nri;ciii i i carq sc 1)un pcrrtru dcplasirri ;i l i

I t , r r ' l r t t t r r r t t tct t1t I I i r r i l i t l , |cntnt

colrstanti, ,Df : collsl ,

(-1.1)

. + Fffio"' t i

? lil r'."{-'lils.l

' ?1,lvr+drvp (x. f ) r jx

I = 0, r ( : t ,o) .=

ii1l_qL , r;,,

rnnl i l i i l r l t l i t t i l r i l l t l r i t tc i c l r t 'f r t r r t lx ' l r ' , i r r xrr ' l i t r t r i l r ' .1 ' - O si I l .

?r i ) ( : f ) ;

( r ) ; (1 s)

r l r '1r i t r<l t lc corrr l iJ i i l t dt : tezt t t r i t t t '

4,2?, Vlbrof i i lc l ibcrc olc borei cu moso distr ibui t6 conl inuu

slr l r ' r r r l rk, ; r l r rsrr t r l i r r lxrz i l i r r rk, I ,e l r i l i l r t r r cxr.culr i v i l r r i t l i i t l rLsl i , r '

l l l r , , t r , , l , , , ,A 1u.r l r r i r r t r r r .orrs i r [ . i r r l i r r r r r r iyr . i r r i i , T,(r , i ) O. l ' ] t t r r r l i : r r l i l i r t r r l i : t l i

I t l l r t r r l l i l r r r l l l r l t , ' , s l r

I , I t t .ut \ t t I , ,

, ' ' , ( ' , / r

t |, t l

"r . l '1,r l , l l l l , , " l l l l l l I ' r r t l l ' l r l , r r , r l r l l , t r r r , l

( l r i )

{ l / )t)4

t r l .41

ult , t t ' l ' ( r )4t l t ,

Page 45: dinamica constructiilor

{,I Ii(l lcinlle

sr,r: :L a ti s3,r : ;! ia, (4.16)

lnl li.l incit solutia gererale a ecualiei diferentiale a vibratiilor Proprii (4.11)

@@\ : a, ea, + Aze-. ' I A"s+;" ' * Ane " ' (4.17 )

ax + C3 cos 4., + C. sin ax

ar-C"sinaxlCrcosax)

4.2.4. Determinoreo modurilor normole de Yibrotie.Motrice de tronsfer

S<.deli e;tc drept vector de stare z lntr-o secliune * matricea coloaniInurrtri cu dc1>lasarea transversali (D, consiclerati pentru convenienti curr,frrrrrl nrinus, rotirea 0, momentul incovoietor M gi. forla teietoare f,gr l lc l l ,

t (x) : { - @ 0 M T}6 (4.18)

(\rnvcnlia dc scrrtttc pozitive a parametrilor de stare in secliunea rr,rl{, r(.Prczcntati in figura 4.3.

l\.frtnr r cxprirna constantcle de integrare C; (i : 1,2,3,4) in funclie det,r'r,lorrrl (lc sture iu origine, se deriveazl succesiv solulia (4.17') in raportr r l v l r l i r l ) i l r r r :

(1,( I ) = Cr r . l r ax f C, sh

r lo t l . . - a(c, sh a r - l - C" chr l r

a ' : I { .FI

uru rnrcgrarca ecualici difercr:!iale ({.10) rezulti

adicir, vibr.aliile libcre dcscrise

n(l) : Ct cos cot j. C" sil t,.rt : A sin (at _ 9), ( . t .13)

ill:l:i;: 1ir$t,.i'""'i",1ll,i:'::, i:,:$:l'l,x*:c:tl:i (l) rcprezintr obrari. a,si,r"rriiir,';l,r.ili,]iilil,,,,i,",",iil?li"i.:j,:1.:",""i,,i;;',;;,,J';.Ji,i:yi d. 1'rrlsagia <,,-

Irrncfia forrnei pi.r,.ii'i.l ;i1;'lli," %Ei

4..2.3. Ecuolio diferentiolide vibrofie ei ;;;;;;;".1

moduriror normore

, , , , , ,1; i : l l l ' l d i l t ' r t r r l ia ld

. ( { l i ) . r , .prqzirrr i i ( .c*al ia ( t i i . ( . rcrr i i rl, ,,ii'rl' i'i. ]i1ll ; i""""" :ll.;l:;ili:', ri"i,,''i ii',,i,,,,oii;'.lil'.lll ;l ,),ll;l', r,lli;i:

, , r t , . r .o l r .sPurt , l r t r t t . i t t r isc; f

l l l l' : i f i;;: iii*,l l, l l ljiin l";i:', ;",,1"*,1fi 1' :#T:n:,'#l" jt':T:, i;::1,1",;,i';:;""" ,i r,'''"lin ,'r;i'i,ia#.3"",i,"i"f;;"::i,j"rl'fli,,.,llrl*il,j:X;

Irrrr.'rlrrt.irrrl solulia propusl. (4.7) in ecualia difcrcnfiali ({.6) sc oblinerirr(4d'J.!4 + &.o(a);(r) : o r4.8)

si tu

l]r :l-l1:Id r ' ii, '' l ' t ' ) - :

-#: .ut : cotrst . , / l qtl lc" :Lrr '9c. celc d, l r i rapoarle. , , , , , , r 1, , -^*:^ ,

\ ' " /,it r ariabila i"a"p""a"""ii )'i,]t'111 Ii*t,: dc x ia' ccr de-r

;r*;:'#k,:,".r$i:iJ.'l|ia:lF"i'i"li;1,;"{",nlf;;1H1?t,.x",j:i,.1Ho1)'ii"";',jiti|f i;'';:t"11,"1rff","11"",*j:I:"ill,l cu derrvatc parliaresrst( ur dc cloua ccualii ;rr"."",'iiliT",.'a-ri]l,:'l;.:;11!1;uti cu urruito.rl

i l | l l

o (x) : Cr ch ax I C, sh ax f Ct cos ax { C. sin' ax. (4.17')

Constantele de integrare se determini exprimindu-se conditiilj la lirniti,rlr, problemei in funclie de modul de rezemare al barei la capete' In vederearl.lt'nrrinlrii modurilor normale de vibratie, constantele arbitrare de intc-l{rflt(.sc vor exPrima in funclie de parametrii in origine, in secliunea I :0.

t r

ilr care s-a notat

4(t) | a, t1(t) : 0

d'o(r)- a lo(r) : Q,

(4.10)

(4. I l)

(4.12)

, l r0 , .r l . l

rFO.-r l r l

i l , r ' (C, ch

' ' ar t (C, sh

c.r f C, sh ax-C"cosax-C,stnax\ (4 19)

a.u l- C2 clr a:v -f Cs siu a,v - C. cos a.r)

| | l

I r r i

vo

(D(t) l r4,, ' ' , , , . I . . . , \ ' l l , . r , l t -1. ' t1, .

' r . .1, t , . i , , , ; , , . , , .

/ | | l ), l r t , r , r i l i . r l , r , , r , , . i i . i ' i I 1r

t ' I r . r ( I | | | | | I I t I ( l i . t r r l i , r r , r r , r . r . r i \ r r ( , , , r , r r i l

i - - -It'l r l r l . 1

, - - - - - -

rJ,M

r t | , r l rU | |

Page 46: dinamica constructiilor

c u expresiile (4.19) vectorul de stare in secliunea r se poate scrie

f '- i ] | -ct ax _sh az _cos ax

I t f

- | -ashaz -achax asinax -- . t "* l f : ' l

I yl -

I-", ch att -a,Er sh ax azEt cos ax ,;;;:1":,llilL TJ, l -er tshar -dEJchax _a,EIsinat

" , ; ; " ; ' ; ;JL;Jsau cu notafiile simbolice ale calculului matriceal

e'n)

Ftr--

lr rrratricea (4.26) s-au notat

Fr(ax):

F 2@x) :

. F "(ax)

F.(ax)

(4.20,)vectorul de starc ia

(4.21)

(4.22)

cu

(4 23)

| (4 24)

(4.'r5)

- tcn2

1: (sh2'

t , .: - lclr2 '

| , ,2

ax,l cos ax)

4r + sin ax)

ax - cos atc)

ax - sln ax) ,

Vectorulorigine z(0),

z(r) : B(r)c.j

^""j, pj"t" determina in funcJie deracrnd tn ecualia (4.20,) *: O,,"ai"u.

(+.271

$:2At

/J '.)()1

in care n:atricea B(0) este z(0) : B(o)e

f - t o - t o IB(o): I

o -a o -a I|

-a'?El O a2EI 0 I| 0 _a3EI 0 asEI I

Rczolvind ecualia matricea 16, (4.21), ,r".torul c "le

rrl ciiror valori sint date in tabelul 4.1.

. l)rcir sc consider5. o bari, 9i notind capetele barei r._ I si a (fie. 4.4).t , r lrrr rrl dr- :'tarc-in capitr4 i al barei se poaie exprima in funcfic aJ

"?"t"r,iitt ' itt r'. l Capatul , _ I cu aJutorul matricei de transfer

r t t l r l , r t t t t i r

U,: A@a : al)

zi : Ai z i_1i' care B-r(0), io'.r"r"o

-"troi"l"-,;t'J'''l l^r

l - ; u -*- o

II o -1 o - I I

B-'(0): l 2& 2a.t i r I

l - ; u -r- o II

. 2azr:r I

| , , _r l o _1- lIn ac.st fcr, vcctorul dc str

' 2u"Lt J

, o, - r, ir,'*,in,l -',ur,lj,2o') rrcvilrc

Matrict'a II(r') sc r:rrnrr,ytc rttalritt: dt tronrl,:i .,ri cs1,. , r,,l,i <,rr

I r,g,7 .t ri,(.|

' rJ . l , t ; ,pt) , . , , , . , t .n1, , r1

u(r) l r t l ; r fut)

l : , fur) - , ,1 , r , ,1, , ty . , , ,1,

, t , , , ( , r , )

I t , t , ;

; , t ( r \ ) u1, . 11; , ( t r r ) 1, , ( , t t ) 11. ,1,r ,1

l_t : t l , . " fur) , l l , (n\) n l , . ( , t t ) " , , , , , , ,

4 2 5, Utilirorec motricei de tronsferptntru determinoreo modurilor normole de vibrofie

l'tt njrrlolrrl rrrrLtricei dc transfer U, definiti priu relafia (4.2g) se:,:l:l.l]',1 ,.iil',liflilc..',1'. e3r)at..atc barei,. ;i ipoi se calciulcazi. rri".rr"ng"r"

"i,._l,tttrt|| ' r,rr, rtl l flclut( lxopr^ii Olz), determinind astfel rnodurile riorrnale| | v | | [ l t r . | l t ( .sts l , . l r r r lu i . In cele ce unneazi se exernpl i f ica pentru c i tcval,r'ttt | ;rr'r.r'rl.rrI rL culcul pe.tru detc'niu"r"u ,"oi"iit. normalc dcvl l | | | . l l "

. ltirrntplrrl 4,.1..st' c,rrsirkrrir rr.ra -si.rplu rczerrratiL di* figLrra 4.5 pc'.t l r l r ( l$ vr , r ' lor i i rk: st i r rc in scct iu l i lc { ) ; i / s int respccttv

2, , . . { r ) t ) , , { ) 7, ,1

tl

( l o 7 j111 ( ' t . l ( ) )

o z ' - - . - IF-"--€.

, , - . - . - . . i

\

i - ---r---- |f l

l r . . r ' .

j ( , t ' t t t1 I

l r l l l r-l l - r l

b-. r ' - -*- ' - - "1

Page 47: dinamica constructiilor

de stare z, se poate scrie

Ir,oq *o"roq *r,t r)-ll oF,(at) *e,b4 #4Wll u,aErFn@t) F,(al)

Ir"r*, ll OazElF"(arl aF,(at) i,t r) j L a.

* ;-0 :i, +g-ent _tncovoietor nul M,ma dln retatia (4.31) astfel

, t )oo * ;* jF,(ot)ro:o;

Cu relalia (4.29) vectorul dc

fo -l

lr,pq -rl l l "

" , : l o

I : laFl@t) F, 't t ll0 I I azEIF,(at) aE

L r-tr,, l-aaErF"(at) azE

!::Sty", de deprasare nuti o,!cr,4ruv ar Datel se exprimd.

!n"pt1o

T.b.ld a.l (ootrtarta.)

(4.3r)

-0 in

(4.32)aEI Fr(al)O, + ! f ,1ol1f o: g.

,,u, tTs.,,03'f,"".,t"",.1"i"jffi1i tli uo.pga normal de vibrafie, go sr roif'"Sf i,*.*:'ii1ii1;*:::ff ?ffi ?Tf i'.#ff ,:H:,,,"t;:*ti,,ftri

l;ri,,tl #r't*llI J:o

IaEIF{at) ) n,t l I- " (4 33)

sttu, dezvoltlnd dcterminantul gi simplificind cu factorul 1 * 0,

Fi@t) - F\kt) :0. ' (.r,3.r)

tql

0,09,1o,20,30,4:tr

9,60,04,70,80,0

t0,0

2026,316452239,a49342473,704872734,008? |3021,595363097,41192

3339,433143690,703064078,920634508,47t0349a2,U8025s0919696

2025,9770 |22n,982702474,393732734,567013022,107553097,91193

3339,8941I3691J l32l,1079,26590.1508,252984982,352025506,34442

2028,228682239,2970a2474,7697 |2735"000943022,595053098,41t97

3340,430913691,687754()79,882994508,901464983,037215507,03599

2025,564892238,663602471,17ul92734,442534022,O82y73097,91193

3359,969264691,277544079,il'..t6f4508,6t9464982,321365506,88844

ttrtrji" Fr(al) El F,(al) prln exprcnlilc tor dtn rere|file(4,27),

(4.3s)

(4,3(i)

lCurfllh {4.34) sau (4.36) sint ecuafii transcenderrte echivateurt. irrllP_a tl reprcziatl ectalia Jrenc*lelor sistemului considerat. Ecualiu

(rh al { rin al)r - (sh al * sin al)! : 0fldld crlculclc

sinal :04thal*0.

admftc o infinitdte - dc reilicini

lh vlbrrlie.ecualia trigonometrici (4.36) se oblin rldlcinile

1l- 'Tat -V ry U :1, 2, s, . . .1, (4.871. VEI

tlttlttcr uu sistcm cu masa distribuiti are o iulinitate de nroduri

Daltru primcle trei moduri normale de vibratie

a1- j i si .,: rf | .',! , 1, ?, s, ...) (4.3{J)

(4.3e)

rldl-

$.nl

(4.41)

(4.42)

(1.43)

de

" - f VT' ",:f,VT' ",: f V?.llflllc proprii de vibrafie O7(z) se determinl coresDunzltori llc ccuetiei frecvenlelor, considerind expresia (4.25)

O@) : Lprprl1oq -J-F,1ar1To:

: I o.[io,(o") * X"# r,Ua](4.32) rezulti,

: _ a.E!- F...lot) _ _drEIF.(at) _ _ azEIFJa0 F.lat)

O(r) - [Fr(ar) - F,(axl) : siu ax

f,.fotmclc proltrii dc vibralic sc dctcrnrind, cu aprorimafia uuuiItDltrar carc e-a luat egal cu unitatca in ecuetia (4.42).'lctlllc formelor proprii dc vibratic pcntru prinr6le irei hoduri dcpuc lofmelor l)roprr-t d{r vlblarie pcntrn prinrele trei moduri dc

corcrpunzlltoarc rldicinilor a1, at2, eg alc ccuafiei Irecvcnfclor

O1(r) - xf 11 a," . . s iu f ; Or(r . ) - 5 in ap : s in2Jl ;

sirr arr .., :rin lIJ

I igrrrn 4.( i ,

rcueliilc

rDr(.r) . ,

t rptrrontntr grnf lc lnrhl

rqt

Page 48: dinamica constructiilor

0rt"ts-€>

Ortx )Fi1.4.6.

Pentru alte cazuri de rezemare in tabelul 4.2 se dat ecualiile carac-teristice, funcliile formelor proprii de vibrafie tD;(r) qi valorile para-metrului a; gi al pulsaJiilor r,lj pentru primele cinci moduri normale devibrafie.

Exemplul 4.2, Si se determiue ecualia frecvenlelor pentru bara cusecfiune variabili din figura 4.7 cunoscindu-se matricele de transfer A,

B;iC.Vectorii de stare tn origine gi capitul

incastrat a1-barei sint respectiv

Fis. 4.7. z" : {0,

Cu ajutorul matricelor de transfer A, B gistare in secliunile caracteristice ale barei 7, 2 y

z\f) : sv,, : 2\o)

zft : Bz\o) : B;zo: zLo)

xffi0,{x)

zo: {0, 00, 0, Io}(4.44)

o, M, Tlpl

C se obfin vectorii de3

(4.4s)

zf' : z\o)

tft - tll'l

!l;l

ryiI

fz,:CzLD):CBAzo.

Indicii superiori S qi D indici stinga, respectiv dreapta secliunii considerate.Operalii1e matriceale (4.45) se pot programa la calculator dupi urmitorulalgoritm: se observi ci vectorul de stare zo are dou5. elemente nule, ele-mentele coloanel or 1 ;r 3 din uratricea de transfer A inmullesc elementelezero si Dot fi deci scrise astIel :

&rz&zealt

| 't,,* I l, l,V | ( r : r r

I

I t l l :

ri]i;r:d rrl

1;;ltl,1:-)

I b,, h,, l ' , ,

l!" ':.* ',:.-| ' 'cr ' 'xr "rxI bd h..., h 0.,

[ ' , , ' , , ' , ,1,,, ,,, ,,,,,l r i l r

r i r , r r r l

I rat r ru rar l r t l lli:ilitll )n It ' l . '2, ' il

(4.46)

,t

I

g

,t.i

l -* lE ; t :"16' tL

fi ,i

-l-

'il'!e

;fi.4

i.ufiI

ii,5

f ' | : ,t l l

€ta

+

'a; j

TEI

ll

!1

tq* lS

II

g

l l

' .1

r[,

I t ,

I

r l , l t

i i r

, : !

i[ li,i,

el i i, l. . 1- fI i l I

jl,iI 'ii:,

; r-

,i,

l1\

j

1'I r l

l , '

I

It ;

Page 49: dinamica constructiilor

Frs' 4'8' $!- - p"otro orice deformati a barei

irs vibrafie, 0o * 0 ei ro ._0. Din rtr::'ffi'ffunffid'#r$ilm9i omogene ln 0o ;i Io (ec. 4.47) rezulti cI aceste condifii slnt respectatedaci tleterminantul sistemului este nul, adici

att atz

€zt asa

sau

"t u", - er"crt

- O, (4,48')

care reprezintl ecuafia frecvenlelor pentru bara considerati.

Exemplul 4.3. Si se d.etermiae ecuafia lrecvenlelor pentru bara dinfigura 4.8. Matricele de transfer lntre secliunile caractedstice ale bareisint A, B 9i C.

ln cazul corsiderat existi doul discontinuititi interioare neqrnoscute rreacliunea P, ln secliunea / 9i varialia rotirii cg in secliunea 2, astfel lndt,vectorii de stare ln stinga 9i dreapta acestor secfiuni slnt diferifi. Acestordiscontinuitili le corespund doui condifii ce pot servi la eliminarea a doiparameki necunosculi: coutlilia <le sigeatl nuli ln sec]iunea / gi conrlifiade momeut nul ln seciiunea 2.

Folosind matricele de transfer A, B gi C se poate scrie

zl : Azo,

z|:nzi, (4.49)

za:Cz?'

. D.eoarece Qo: M,:0 prima tlintre egalitltile (4.49) se poate scriecxDlrclt

l - an arEl l0 II I rA-r | ^ |

I i* i^ | l;'l :,1 : I Y; | (4.s0)law

au, lLtot Iwtr ILa, ' au, l [ r , J,

Puuitrd condiJia Or : 0 se climirrtr paramctrul Io,

c1100 - l - nraTo o 0

fl

du: ars* , . ( - f , ) : r ,

dzt : ozz* "r? t ) ,

drt: asz* ".(- fr),

dt: dtz * '^(- ?) ,(4.50) se mai poate scrie

I d" f| {" I o" :,f.ld$l

I a-)

zi difera de zf prin forla tiietoare Tz: Tt f P, qi se'poatc

(4.v)

,-lt:i l:i l:: fiilfi" i]ur:|;'icondlth Mj- 0 re eliurilrl paranrctrttl P1

ru0o -1. rrr l ' r : 0

/ , , , ,_rrg,ou

Illla

h - t t t - t r r ! , , ; l r r ' . r , - t r ' - ' t i

h- , t t - u, ; : : ' l ' t t - . t t . , ! , ;1,

Se erprimi c.,ondifia de deplasaregi rotire nuli ln capltul lncestrat

ar0nfarr?o:Q

$.n'tc^0o+ tzzTo-0

:0 (4.48)

(4.s2)

(4.s3)

z?:|;:i]". [i,]:P' ilnlreletie (4.49) devine atunci

i;ilnr:[r]:.'

(4.561

(1.57)

. . - 1;- .10,- ( t ,ot)

Page 50: dinamica constructiilor

zf se mai poate scrie

"t:fiil," (4 s8)I f,'J

Dar z! dtfer6, de zN prin rotirea 0, : 0, * c, gi se poate scrie

[f:,1 [o I ["r,1 o1_

"':l!;il'".[f'J:lf; jJtr] 4sePrin urmare z" (ec. 4.49) se poate calcula in felul urmdtor

," :l:: ::; ";: :::l[i:: ?l r u.r _ [i;: i:: 1r,,, t S I" li:: i: :: ::lli::3Jt""t:lf; Ixjt-r:[T:J n',, ,T"lffir.O11""ffiil"

de sigeati 9i rotire nuli in capitul tncastrat

---_>lb' b' br" brr]f c'

lb, b* br" brnlle^

| 6r, Dr" D* b".l I ar.lb1tr b42 bn" bnnlle/rl

{ri_-.->

fc' cv crc cr.l fB'I c^ c"n ,r" c"nll g^

| ,r, ,r, "r,

,". | | 8",Lcad co cas caal I gar

!:: l 'u,.l " contril ia M,:0, r , | [pr ]

: ' i ""roo I

c",P, : 0er,l

?l , u"t " Se eriminr P,,

3l t*J

: "t se iutroduce cr,

r::t:^ t.1:",1grtOo+grrcr2:0

grr0o f grrcr, : e. (4'61)

Peatru orice deformati a barei, corespuuzltoafe uaui mod normalfr:#i"r"$",* n,o ut * * 0, prin *-"r", d"t"r-il"itJlistemului (4.61)

l8r ' BrclI l : l ,lSzr Szzl

Sn9zz-t21gt" :Q,

frecvenlelor pentru cazul considerat.descrise se pot reprezenta in felul urm[tor

[0" I _ -r Condifia O, : (r

LTol - ' ' aneo + a, .To:0

'4,2,6. Ortogonolitoteo funcfiilor formelorpropdi de vibro;ie

lluncfiile oy(r) ale formelor proprii pentru sistemele cu masa dirJ rttisfac, la fel ca gi vectorii O; ai sistemelor cu un numlr finiltlltgllt.s, ra 1r:r uc. ir vt(jLuru 1l,i ar >rsLclrcrur

dc libertatc, proprietatea de'ortogonalitate.v6r, pentru orice mod normal de vibrafie funcfia O;(r) semodurilor normale de vibralie (4.11) care se poate scric

"ro'W' : polj ei@),

I m dcducc cit lnclrcarca p(r) : p,oi Oy(*) aplicatd static sistcnrr'ECrt[ dupl forma propric dc vibrafie Oi(z).mldorhd dou[ moduri distinctc de vibra]ie 2 9i A alc clror ccdst dctcrrnlnete dc-funcliilc O1(r), rcspcctiv O^(r) (fig.4.9) ;i lu

OfarDunzltorre, pl.r,J0lx), rcspc'ctiv 6r<ulo^(z), tcorcrna dc reclI lucrulul rnccanlc virtunl (Bctti- M.rxwcll) sc Doate scrir.

I

0(r)o,(t),t, - j p.ior1r1o11r1ar,

(4.04)

(4.62)

(4.62')care reprezintd.

Schematic

Ipi ,Jr;'r ,' po1(r)O1(r)d'r - t) ,

({,0t)

q01txlf lg, 1,9,

ecualiaoperaliile

lan eu

lazz aze

lan aat

Lap daa)

l ic c l i ru iud 7 's, rc l r r l rodlrn, / r ,

Page 51: dinamica constructiilor

care reprezinte proprietatea tle ortogonalitate a funcliilor {ormelor propriide vibralie ln cazul sistemelor cu masa distribuitl. [Pentru <o;: <'rr, adiceIt'fnd in considerare un acelagi mod de vibralie, rezulti!-din relalia (4.65)ce

de unde, pentru 7 * h, adtctr tot + .0t rezulte condiriat(\ s.olz) Or(*)dz : 0,)

'0

I

I r r lO,(*) l ' t lz : $Lt* 0.0

'EI a"*!)-s u29.L:o.

t l

\ pO,(r)r(r , / ) r l r q,( / ) \ Pl t l t , ( r ) l . r l r ,. t l .00

(4.66)

(4.67)

(4.68)

4.2.7. Determinqreo rdspunsului dinomic produsde deplcsdrile 9i viterele inifiole

DacA sfuctura este scoasi din pozilia de echilibru prin deplasdri ini-fale u(x,O) : uopt) ,i viteze nifiale-ti(xio1 : aop1, vibri;iile fi6ere exect-tate sint exprimate matematic prin ecualia diferenfiald cu. derivate parfiale14.6)

Soluliile particulare (4.7) care satisfac ecuafia diferenliale (4.68)

&i@, t) - alx) 71(t) (j - r, 2, 3, . . .) (4.6e)

ln care (4.13)

\t(t): Ai sin(<ol - 9) $.70)

corespund migcirii sistemului dupi un mod normal de vibrafie. SoluliageneralS. se obline ca o corrbinalie liniari a soluliilor particulare (4.69),adicb

u(x, t) : E or(r) dr) : E o1(x)A; s:n(t1t - e;), (4.71)t l

gi depinde de o dubli infinitate de constante arbitrare de integrare ,4; ;iCi U :1, 2, 3, ...), care se pot determjna din conditii le initialt: alcmiqclrii.

Pentru a exprima funclii le Ir(/) prin deplaslrilc u\x,l), sc iunrlrlrctt('egalitatea (4.71) cu prtDy(*)dr qi se integreazd. intrellirr r it e lcf r : 0 ti r : /.|inind seama gi de proprietatea de ortogonalitatc a l:odurilor ttortttnlr'de vibralie (4.66) rezulti

! vo1 @lu(r, t)dr0

J cto;(r)i 'ar

Introduclnd condiliile iniliale, la

t - O, u(tc, 0) : $(x) V d(r,O) - do@)

linlnd seama pi <le (4.70)

r (0):

,t v<a !@)*o@\dt0 : - At sirtgt,

J rrtor (r)1'dt0

tn raport cu timpul relatiile (4.73) 9i (4.70),L

t r r (O):I voik)tt"(r)d*o : -4i coj cosgr.

J rtol (")}dz

(4,7

(4.1

(4,',

exoresiile constantelorcle'condifiile iniliale ale

(4."

At lini;cil

IA '

Dla relaliite (4.75) qi (4.76) rezultllg llocrre rnod I de vibrafie in fuuctie

ej:arcts(-W)

/,j(t) -

poJ 01(r),

o .torturllo rccllonalo M/r), Tlxl, N /*)nrul dlnrulc rnodrl to vc ob]ltte tnmultlnd

dt furrcllr 1/ll - Al rlrr(o1l - 91), odtc[

M/tt, tl -

M1(t) 11(l) ctc.,

t l rp$nl t l r l l t l l rn lc totnl rn ol t l l r tn pr i t r l t tpt* l t t l t t t ' tco

$tart fcl, rlt$pumul rrrodal produs tle deplaslrile 9i vitezele iuilir[ulul crrrrhntt dc rclafio (4.69) cstc'lcomplet determinat, ior r[sptlI obthrui nrirr snnrnnlrrcrc* cfcctclor estc dat dc cxpresia (-[.7obthuti nrirr suDrtDfitrcic* cfcctcior estc dat de cxpresia (4.7

hitcrclcrrz,l striren tk: !'forturi lu strtrctur[, r[sptrlrstrl ltro(ll| dotcrttrlrtit cpllctlrd $trtic strtlctrtrii sistoo,ul de forfc distribu

(4, '

( r .

etc,eforturllc scclion

(.1 rqf\.ctclrtr

(4,

- drF: _. -'i!

:ril i l l

14.' t !)M(t, t l - )*,tr ' t

, , l t ' t ,

Page 52: dinamica constructiilor

.^.^,i:"1i::: participarea fiecirui mod normal de vibralie Ia ri.spunsrrl

.,9:1rj]-.tT"tJl'nr^este independentE,. se poate calcula aproximativ rispuosulohamlc conslderind un numer finit de moduri normale de vibraiie inexpresiile (4.71) sau (4.81).

4-2.8. Detcrminoreo rdspunsului dinomic produsde octiuneo fo4elor perturbotoore oorecore

_ , Se consideri structura din figura 4.10 supusl acfiunii unui sisternde forle. perturbatoare p(x, t) : p(r\ f A) . Neglij iJdu*e aiJizarea, ccuatiag-I:len}lda cu,denvate partiale a migcdrii sistemului produsd de acJiunearorlelor perturbatoarc t(x,l) este (ec. 4.4)

E I A.uk, t ) , ;1k, , t )

al af

.. ^^Aplicind ideea metodei analizei modale,

(4.82) se ptopune de forma

u(x, t) : D Or(r) ,r,(i),

Notind

rott ; : \pr [O;(x) ]2d.x aO gi

0

u'rrrlia (4.86) se mai poate scrre

4i ' , , t11{J) t ."D|li{J):;Jlt)

/ / ( r , / ) > l ( l ' r ( . r )4/( / ) . .

ar : ,1 | ( l l l r j r r | r l t ' l I t r r r i r r i i

cert' reprezintl ecua]ia migcSrii asociati modului 7 de vibrafie. Solu]ilcuuoscrlti a ecualiei (4.88) este

n;(r) : jLilt.) ,," <,,;(/ - r) dr :&tt |,t1 )' "

0

di t t , . , , .

| , , , '::--- lo, \ "/ (t) srn orr(I - r) arl : Yrgj(./,t l iGr l ' . ' I

rxlrrcsie iu care fu(i) reprezinte funclia de multiplicare dinamici, iar

tt - ##, cste factorul de participare al modului 7 la rSspunsul dinamic

totnl ti iistcrlului exprimat in deplaslri.

Itirspunsul rnodal stalionar a"1 sistemului este

ulx, t ) : afu)r11@: @1@)Y1Q/t) . (4.90)

lli i$l)rllsul nrodal in regim tranzitorir.r se obfine adbugind respunstll

lttr(lrs (i{ coudilii lc ini}i.ale ale rni;cnrii ($ '1.2.7)

u,l.u,l) =- 4r.,(r)[a;(/) * 4,(0) cos co,1 f ry sin t, l] '

l { r ispt t t tstr l st r t l iot l t r tot t ) , a l r l ic incl pr incipiul sulxrrPozi} ic il l l l t l r i rst l t . l

(s, : \ b(x\ Q,(x\ dx

0

( j : r ,2,3, . . . )

(4.87)

(4.8n)

(4.e r)

se d( tct -

,O:(:J:nl=:li:d funcliile formetor proprii de vibrafie, iar r1;(t) - {unc}ii9,"_ ]1il necunoscute, .care. se. determili. linind seama de naiiria acgiunii

:ilr?r1*. Lntroducind sotutia (4.83) in ecualia diferenfiali. (4.82) x

* **qft atu) 4,@l: !@)f(t),

iitt*P 71o t lLatx)i,vtl: oottro,

t, #ll,a,t,) ntt)lsau

5-rr l " ' rt) 1- .oitlt)l1tq.ig)j :l(x)f(t), 1.r s.)

p {x, t ) deoarcce

r J(ar l t t = ' r ( , , :

( l ' . i r )r I r .

I t r ruul l i r r r l t .g i r l i l r r t r . r r ( . t .S.r) , lt l1( . r ) r l r ' , i r r t r .g l i r r r l i r r l l r . l i r r r i r , l ,r . '= 0 f i ;1 . ,1. | i l i t r i r r r l sr , r r r r r : r ,1,l ) ro l ) t i ( l l l ( . i r ( l ( .or loprrrrr l i l r r l , ( .1 I ' t ,1st o l r l i t t r '

II

l ' ,1, / t ) \ / , { t ) , t , ,1 '1, t , { t r , , , l

. , r l r l ( | | | l l r ] , r r i r r . | , t t t t l , I t I l t r t l i t t t tot l r t l < l i t t i t t t I i t t i t t t r r

/ . , ( ' ) 1,r , , i t l t1(r) ( l l , :1. l l , . . )

, , r l , 1, , r r l t , i1, , r r ' , , t l r r r r , l r , r , f , ( / ) ' l ' r r r r r l ! i l , l t , r r t I r l t t r , r r r r t I r i

' , , l i r i l , r r i l , l r r l i , , r l i r r t t , r ' r l ,1 l i i r t , i i t t r t t , i r r ' , , rJ i t r r r i l , s l l l l ( l l l t l lr ) , , \ , ( r ) t l r

; ' r r r r ' , r t l , l t t t r r r r t i l r r r r r r l r r l ' , , , , l r l r r r r r r l l r r l r r r r ' "1, r 'o l i l i l r r r i , r r

(,1.8e)

\ \ - , , \L (1, , ( . r )Y,+,( /1. (+.92)

i t l , l ic i r r r l r r r r i r l iza t r tot la l i r , i t t k l t t l

( ,1.1)3)

t@f@. (4.82t

solufia ecuatiei diferenfiale

(4.83)

(4.$a;

1,,1. 4. l { ) .

I i , t r l t , " iq,o

nr l r r r l l r r , I

II I r , l4 ' ,1 r)

ulx, t l

r l l , ( r , / ) - r1/1(t) , , ,1,1(/) r '1, ( , r .1fr)

Page 53: dinamica constructiilor

FfJlH$ rylflfl"t ruperpoziltct re determinl solicitarea tn strucrurilaclrunca tortelOr pcrturbatoarc

M(x, t):**UOr,rUr, (4.s5)

Vlbrolllb llbn ob pl6cil

Vlbnfllle libcrc ale pl[cii slut descrise de ecua]ia dileren]ialI cu derivll cdin

ffir:tji::"U un numir finit z de moduri normale de vibratie iu rispunsul

4,3. RASPUNSUL DINAMIC rN CAZUT PLAqION ?!ANE

4.3.1. Ecuofio difercntioti o migcidi

. Se formuleazl problema cipotezerort.o,iat-gi;"-,gi*""3frt"*f (Hffi fr *?Hfl?i,nj,Tji:f .r"x . ,- un segment normal rd.mlne nor_marera supralata aediFnl gi dupi defor-

- gr-osirnea h a pllcri este mici ln..:FJ"t"49 cu raza de c.rbur5 a supra_relel mediane deformate:

nl , " l..plangl median suferL numai de_rormaFr de incovoiere :yl g=

-

vrw@,y, | ' "n" '+ ;wlx, Y, t) : !)::!:!, $W)

tn care s-au notat

v' :4 +2 6 +a -ds. afar, . ay. - operatorul dublu laplaciarr:

p .,'r const - deusitatea superficial[ a pllcii ornrrgcnc;n Elr"

: lri:; - riSiditat('c ciliuclricl a pl6cii;

D - lnodulul lui young;

v - cocficicntul lul poisrou,

114

corcspund misclrii plicii dupi ua mod normal de vibralie. Introtltt-rolulia (4.100) ln e6ualia diferenlialtr (4.99) se obline un sistem ctlri-rt dc dou6 ecualii dilerentiale independente

v'u(*, y, t) + 4 6k, y, t) : o.

' $c cuut[ solu]ii particulare de forma:

ro(x, y, r) : A @, y) t](t),

i(r) +.lpl : o,

v'.b (x,!) - 9'o (r,v) : o,!-s notat

9a: hPa"lD'

Eolufle ccualiei dilereuliale (4.101) este

n (l) : ,a sin (., - q)

r'l,t,t, Dolrrminorrs modurilor normolc de vibrofie

dc lorrrru

sau aproxinativ(.r.1)f))

({. loo)

(4. l0 l )

(.{.l02)

(4.103)

(4.104)

(4. r0(i)

M(x, t) aDmtk)rrq^q (4.e6)

ldlcl foptul c[ migcarea pllcii dupi un mod normal de vibra]ie estc oCt?! arnonic!, cc sc produce cu pulsalia co'Ecurlia dilercnliatl-(4.102) lermite deferminarea modurilor nortttalevlbrefle ale pl[cii.

6--4 - ^.

-.ggplaserile transversale {rr(r,y,r)Fie. 4.1. "1Tt.Plg

rn comparafie cu qrosimeb -, aApricind prineipiur,", u,^"-f.tiio.t[1r1#), ro,p," ir*u",o*,"

*ilifJiTtf"lf'3Jc', forfere de inerfie phii(x,v,r), ecualia diferenfiari a

Portru cxenrplilicarea procedeului de calcul se co4sideri cazul pllc'iituaghlularc simplu reze:mat[ pe cootur (iig. a.ll). ln acest caz, solutialhl dlfercnlialc (4.102) satisf[clnd cordiliile dc rezemarc Jtc corrtrrr,

, ntfi* . ,1n11v.. l / ' l l E/ i s ln-s l l l ; ' (4.105)

tntroduclndu-rc rolulio (4.105) in ecuafia difercnlialA (4.102) sc ob-ocltrttr

t'.'(:;+ #/' - e'1t,.-o'Utda, Dlthllr or,, cotclptlttzltolrc modultti tnl dc vibruJie cstc

",r,_u,Vi-"(l lr.f lV,;(n t 1,2,9, , , . ) , ( r

- l , 2 ' 9, . , , ) '

Fig. 4.t , t .

(.r.1()7)

Page 54: dinamica constructiilor

i,rr _[urrc]irr [orrrrci pnrprii dc vibra]ie,t r ror l r t r i lor . r rorrrrale dc v ibral ie (4.102)Irctor arbitrar constant este

satisfdciud ecuatia diferentiale adcterminatd. cu aproximafia unui

A^"@, yl : sin Y: sin!2.

I{ezulti ci uuei pldci plane i se ^soci4zd.

o duble inJinitate de rnoduriuorrnale dc vlbrafie. Modul fuadamental corespunde valorilor m _ | 7

4.3.4. Proprietoteo de ortoqonolitoteo funcliilor formelor proprii de vibrofie

(4.108)

Considerindu-se doul moduri normate de vibralie mn gi 1q 9i incdrcareacaracteristicS. corespunzitoare celor doui rlodari phii"b.,@, y), res-pectiv phaloQ ro@, y), aplicind teorema de reciprocitate iietii-ltaxwett se

dxdy (4.109)

obline :

' f . '

. aa - , -\ \ eacri" 4.,(",y) ano@,y) dxdy :

\ \enaina*@,yl a_"@,y)

0 0 oo

sau.b

, 2 2, I I(^i"" - ai) \ \ ea o." (x,y) Qpc @g)dt dy :0JJ

dc urrde pentru doud. moduri normale de vibralie diferite (a^,1 <or) tezultlcondifia

f ( * t." (,,y) @po @,1t)d.x dy : o,00

care reprezinri proprietatca de ortogonalitate a funcliilor formelordc vibralie ale plicilor plane, iar pentru acelagi mod de vibrayie

i i . "\ !e

at o-'(r 'r) l2 d't( dY + o.

Proprietatea de ortogonalitate (,1.111) permite aplicarea analizei modirlt,l)cntru determlnarea raspunsului dinamic gi in cazul plicilor plane.

4.3.5. Rdspunsul dinomic produsde deplosdrile ;i vitezele inifiole

Vibralii le libere produsc dc deplasErile qi vitczelc initiah. sirrt tlcscr i.,r.de ecualia difcrcnliall (4.99) a cnrcl solulie gencralir se lxiatt, (,xl,r.ilrir:,rrl,lorma

(4.1 l0)

(4.1l1)

proprii

(4. I l2)

,= 5'\-- O,., (r,y) rr," (l) :

116

za W)t ,l)

;D' t - , t r , v) . ' ! , "s i r r ( ro, . / t , " )( . r r r i r )

rolutie care se exprime cu ajutorul unei duble infinitnli de constantc dc

ffi&;;}";t C"t* : r,z,!t,.. )..V:l'2'3t. ' '), care se determins' cunos-clnd conctitiile iniliale ale migcarr, ta t : v

u(l-'Y'0) : @o@'Y)'

u(r,Y,O) : bo@,Y)'

lnmultind solutia generali (4'll3) cu ph.Q-" (x'y.)dx

lutreaga sriprafSle a plicii 9i linind seama de con(u'la

(4.lll) se obltne

("{ I l { )

dy, integrirrd 1>cde ortogonalitatc

u"(t)

iniliale (4.114),

I I eno'""l', Ylu(,, Y' t\ drdY00

I t etto^" (', rl)'dldYoo

({ . r ls)

Cu con<liliile

I t Pha." @, v)u6@,Y\dz dY00 - -A c ih h

I I en9." @, Y)l'd'bdY00

t-

I eh o-" (*, iiotz, gdtdr0 : A^.a^,cosg^o, (1 110

t J et'lo."lt' )'dttdr00

de doui ecualii din care rezulti constantele dc ittte-

: { 1r.,1qy 1 6-,10y1,."1"'

f0.l rnr :

rc ol)tine un sistemgll lt ' I,o gi 9,"

A

9^'

llfrsDuttsttl dittrtrlicdrtct t r t i r int q rr i t t solr t l i tt r l r t ' rk: i t t tcgtr t t r ' .

: arctg [-r." (0)<o.,/1t."(0) ] .

plorlus de dcplastrrilc;i vitezclc' ( . t . l l l t ) ; i ( x l ) r 'cs i i l . l (a. l l7) r t l .

(4.1 l7)

iniliale cstc cstfelcotrstatttclor trlti-

4,3,6. Rtrpuntul dinamic produr dc o lorf6p.rturbotoo.. dlrtrlbultt p(x, y, t)

Mlrr 'nt l r t r l l l t l l t r t tx l t ls l l th ' r t t ' l i t t t tc t t t t tc i f t t t lc t l is t r ibui tc l>\x 'y ' t l "

f ( t ,u) / ( |1 cr tc ' r l l rct l i l l t lc ct ' t t r t t l r t t l i lc lcrr l i t l i l t ' t r dcr ivnte lxt t l in l t '

y'rn(r,r,r) 'r' !l tlilt,r',r1 ''",',t-l(l' ( , r I l8)

al l

Page 55: dinamica constructiilor

Solulia generali a ecualiei diferenliale (4.118) se cxprim5. sub forma

w(xs,tl :i i o.,t,+l r., trl , (4.119)

in clre O,'" (x,y) sint funcliile formelor proprii de vibraJie, iar 1-, (t) funcliide tlmp ce urmeaze se se determine.

Introducindu-se solulia (4.119) ln ecualia diferenliald (4.1f8) se obfine

E E tr,,, (flva a., @,y) * * * ", @ r)\^, (t)t : o'\" I {,). F.tm},i" *"+" (4.10..2) rczutti,

v 1 a ^* @,y) -

r*,*" a __@,y),

gi introducind in ecualia (4.120) se obliue ecualia

P P tr,'" (t) * .'^" n."(t)i ph o^"(*,y) : l@, y) f(t). (4.122,

lnmullind ecralia (4.122) cr 6^, (x,y) dx dy, irltegrlnd. pe lntreagasupra{a}tr. a p^l.acii 9i }inlnd seama de proprietatea de ortogonalitatet(4.Il l),er:traJ:,'a (4.122) capi.te forma

i,,, trl + .i, r,*, (t) :ff^tAl

(4.r2r,

14.r23\

i $.r%J

(4.r2s)

(4.126)

dacd. se noteazi cu

EtL_" lo^"(x,y)1, d, dy * 0,

ab

s_": \ \P@1) a^" @,y) tu dy.JJ00

Solulia ecualiei dilerenliale (4.123)

,t-,,0 : :!* i ./(") "i" a^, ( - r) dr

o | \h^ | !Da J

0

: [ \ , ,

00

lcrnrilc dctcnr:ilar(a rirspullsrllni dirranric produs dc actirrnr.a unei fortr.l ' {x, ! , t ) : / ' lx , t ) J( l ) cxpr inrat 1,r in rela} ia (4.119).

..I)cutru nltc rnrrdili i rle rt.zcurarc alc plhcii I,c colrtrrr 5i lr.rrtru corrfigrr-rrli i gt'orrrctrict.rliJqritc dt.cca clrcptungfiiulard rczolvurci irroblcurei cciirr-lxrrtil dificultllti rrot('rroric(, irr nstlrrrr,rr-cn situnlii fi irrrl plcit.rrrbilc.lrrrt'todr.t t t t t t tct ict . r r ; r r

'x i r r r r r l ivc, t . t r r r r r r r l i r lc r .x, . r r rp lu, r r r t lodl 'c l r . r r r r .n{c l i i r l i r r l t r

mtt t r rc l rx l r r l ig l i lor f in i t r . ,

tfl .

6, METODA ETEMENTELOR FINITE APUCATAIN CAI.CUIUI DINAMIC AT STRUCIURITOR

5.1. INIf,ODUCERE

ln prezentul capitol se urmlrette formularea calculului dinamic al struc-turilor utilizincl metoda elementelor finite, Oonsiderindu-se o structuri su-pusd unor actiuni dinamice (fig. 5.1), se cere s[ se determine rispunsul di'nemic al acesteia, adice starea tle eforturi 9i deformafie, variabile in tirnp,produsl ile aceste actiuni.

5.2, DISCREIEANEA STRI'CIURII

ln metotla elementelor finite se opereazi cu mlrimi d.iscrete, e{orturilclu sectiune, deplaslrile etc. erprimindu+e in funcfie de un numir finitdc paiametri, care obignuit stnt fie deplasdri liaiare 9i unghiulare (metodabairic€all a deplaslrilor), fie for]e gi mornente (metotla matriceali' a efor-tutllor).

5.2.1..Cozul stotic

5.2,1.1. Coordonate de sistom. Coordonate do oloment. Pentru problemcleIttrtlce, ln limitele teoriei liniare, pentru o structure continui, ca de exem--9lu cca reprezentatl ln figura 5. ll de-plasErile transversale n(*) in orice sec-funu e st*"to.ii se pot eipdma ln funclie de rotirile zr, z, ale nodurilor ;i&plasarea liniar6, z" (tig. 5. 2, 4) prirtr-o relalie de lorma

u(xl - A,(x) l:lAr(x) A,(x) ^,t

llf1i] (5.1)

Pcrarnetrii zr,2", z" sint numili coorilonatele de sistem sau coordouatelerclc alc structurii considerate.lNlcmcntclc colrstitutive ale structurii sint, pcntru excmplul considcrat,

l, 2 9i 3 (fig. 5.2 ei 5. 3).

L

l lg, l , l , I19, l ,?

Page 56: dinamica constructiilor

gFig,5.3.

lntr-un clement oarecare, considerind numai solicitarea de incovoierc_starea de elorturi qi delorma]ie se poate exprima cu ajutoruJ a patru parr.metri, 4r, Qz, Qs ji 1$ deplasirile liniirc i unlhiulare la' capetele ̂barci,' cor,.siderate in figura 5.3 pozitive, in convenlia adoptate. -

Deplasarea u(x) intr-o secliune oarecare a barei (elementului) sc poattexprlma sub torma

u@) : a@) q: (5.2)

in care {uuclii le 4t, (x) (i: 1,2,3,4) se numesc funclii de fornri., iar 1,ar.Lmetrii q1, {2, 8s, 4a sint coordonatele de elemente sau-coordonatele locilei.rcare se raporteazS. elementul considerat.

5.2.1.2. Determinarea funclii lor de formi Oi(r) pentru bara lneovoi:tlr-r-Scmnif ical i i le {uncf i iJor de formi O,( .v) rezulr i r 'd i r i , crraf ia (5.2). An n 'O,(r), reprc-zirl i ccualia axei dcformate a barci produsi de dcplcs,rr',q, : 1., in tiIul ce toate celelalte coordonate de elcmeute sint nule, g, == t,u+4.

I.)cualia diferenfial5. a axei de{ormate a barei cind irrcircarca sc arrli,.nunrai la capetcle l ,3r( lor cstc

d' o(r)

d;L{

Solulra scrrc.r'ali a tcual;it. i ( i.3) cstc

,1,{r) ' . , ,u, t . l r : , { . " r , r . | { . . , .

i : r t ( ( ' l { l i l i i l ( l ; r l i r r r i l i l rculnr <let l r r r r i r r ; r rcrr r ,orrs l r r r r l r . l . r r l , , i r r l , . l i r , r r , , r r ,t l : r t , l , r t t l t r r l i r crL r i , < l i r r l r t . l t r r r r . l i i l r . r l r r ( r ) . ( l r " ( t ) , ( j , . , ( r )1, , i ( l ! r ( r ) i r r l r r r r r . r , I

, \ l l r '1, ( l r ' , r r , t r r l r l r r , I ) r , l r l r l l ( I r '1( | I r1 i r r l r r r . , r r 'orrr , I ; r r r I r . Ior r l l r r r l , l . r . r , , , ,r ( : , l , r , . r l i , . , l r r | , l r , i , l ' , ( r ) . , , , r r , l i l i i l , . Lr l i r r r i l , r , , r r r l

9r c" = l ; lc t+Icz

co = 0:1C' +

1- lc3+c1

i.||( conduc la urmetorul sistem de,.r'rrll i i in constantele de integrare

*C' :0;

zl

(s.5')

l'rin rczolvarea sistemului de ecu-r l i i (5.5 ' ) rezul t l

"r- , " "2- I

(s 6)C"- l ; Cn:0,

l r r r rc l ia Q,( . r ) cste egal l cu

(0,(()--- ( r - j * ' ) :

- ' ( ' - ; t ) '

(s 7)r \ r r . r lo1i st . r lc t t r t t t i t ra ' r celelat te fuuc! i i, l ' , { \ } ,

1l l ! " ,11' l l

l r t t , l . r l r , t

v l . l

{0, 4 r'r/T\q, ,-f.,,\--TV

( l ' , ( I ) =; , l - : i t ' ' ' ' tr 3) i I z) , ,(1, , ( \ ) ( i 7 ' )

r l r , ( \ ) : t ". / r t t tx\ t t

l r l l t : l l , : | | r . r ' ! l i t | rk, r l , I r r . r rur l io rr l r r r l r . i i r rcor,oirr I r ' . ( \ r r r \ i r l . t i t t , l t t :n rrrrr r r r r l,1, l , r r r r r . r l i r l , , l , r r r , , r r ' , r i , r r ' : r l , [ r r t l i r lc l t t t ry i t r r ' / ( l i r ' . : i l ) , r r , r1 ' , i r r ' l '

r l ' '

l , l r r r , r l l . t l r . t t , t l ' , .1, , l " t l . r r t t

, t r .I \ / / / r ( r , l , l l

t t

I r r

2-n

92,

.J

ql= q2= q4 = 0

Qr, {")

c1, . r ; . -

qa- 0

F;! : l .5.1.

o i t r ' (0) , t r, r , (0) , t ,

i ' t ' ( / ) , i .,1, ( r ) t ,

l .

t l

l l

I '

( '$)

Page 57: dinamica constructiilor

,.l.1' ,{"tY+l.-=?

lk : t \ . .

e,={frn$"qz)

rSTi:':i""J;Sl:$#,1fl:"gg: ls),r": cu.K s-a aotat mafticea detii,""p,u"iiiJ'1i.ti'#i1,?$ii:,"bliii"#?:*""i",T:l:,rd*"il"p"i:

ln cere s-au notat

Fig. 5.5.

t

nu : nt : J Eroi(r)@ib)dx,0

(5.10)

(5.11)

r '4l2

x:Er l 6i I - -' l

Il6t -

poate

*"ti "^g::rrJi din expresia (5.9) este oa oe coordonatele de element gt, ll1,qr, qr.

Iortelor oxtedoare. I.ucrul mecr?lx), ptra deplasirile ,,", otll"r*-T,1jlrprin deplas,irile z(*) 9i'ai-fiiteror o.trelor de element Drin de,,l"i;;r^ l,'lJfi""r".f rlf#nt

prh deplas-irfle ;;

1

-5- r -

t-aL : j l@) u(x) dx * \Qflt, (s.12)

O ._l

cu expresia (5.2) a deplastuii u(x),

. :* l iDl\*to,oa" lt, +)]oa,:

. (s.13)

+ f Q,4,: qrf + S"0 : q" (F + e)

- nergia de deformatie

runcpe pdtratici pozitiv'dr

5.2.1.4. Luerul meeanie

[;='i;T$lflfl3Jfr#

1n

Fig.5.6.

(5. re)

123

l-au uotot foflele gcu:rrrrrruc

5.2,2.1. Coordonatels ds sistsm gi rlo oloment' ltr cazttl dittiLtrlic ,,urt,tele de sistem z ca gi cele de element q (fig. 5.7) sirtt vlriitl;i lt: irr I itttpllia de migcare a unei bare care-.executi vibrafii protlLrsc dc <lcplrtsitt ilr'

I

1',- [ 7,1x1,p.1t1ar, (s t t)' J . ' "

0

format cu forlelc gcncralizatc l,i iti Q vcct(trtll l i)ttlttrtF crte vcctorulforlelc Q,.

5.2.2. Cqrul dinomic

o['u)(r) : 0,

ot'u)1.v1 : 9,

E lotv)(x, : Foo(.r),

,,'/of v)(r) .. po,(r) ctc.

l(t) de la capetele barei este (4.6)' *du(t , t ) , A 'uU, t )

^. ' - - ; ; - t v- ; - : v.

Deplasarea u(x, t) rolt nrai poate fi, in general, exprimati explicit ilttie de valorile instantanee ale coordonatelor o(l) printr-o relatie sinrDlilde valorile instartanee g(l) printr-o relafie sinrplit

f6rma u(x,4 : a@) q(t). Cind varialia ln timp a deplaslrilor dc cn1>lttattc armonica, adici

(s.ln)

(s. rs)

Qt(t) : tu sin or (ri : l, 2, 3, 4) (5.16)

Doate arlta ce matricea O este funcfie nu numai de *, ci 9i de pulsalirri sistemu lui. Dezvoltind matricea tD(*, <o) dupe putcrilc crcscltortrc

lui <l se poate scric

w(x, tl: [Oo(z) * <oO'(z) a <ortDr(r) f .: . ]q sin <ol :

: f,<o'o,12)q sin ol : o(r, or) q(l). (5 17), :o

Introducind exprtsia (5.f7) in ecualia (5.15) a migcirii barei se obliue

31 ! r'6!r*t (z)q sinorl - .'D o'rD,(r)q sin <ol : 0.F tro

' r { l l

Egalind cu zcro coeficienlii aceloragi putcri alclui o in (5.18) se gdsegte

q,( t ) q.( t r, i - + '

f{qr(t) z\ t\,,]T-,

r ' ( l

'

r t9. ) , t .

Page 58: dinamica constructiilor

Rezolvind succesiv ecualiile (5.19) se obline

oo(*) : [ - ' ( t - ; ) ip-a 1-s! 4z! f , ( "_r; ) ] ,

O,(r) : Q,

a,@) : #rl (rz ! - zzt! + zt :i - s !" 1 s l)t

( - sf"+ts!"-z !"+s!) t

(uuf" - rsof + ns ! _ 2t i" * u i)(ss ! - s+ f. +zr ! - a i)], r*o: o etc.

_,-^Y^*]t-:": @o(.t) este alcatuite cq funcliile de fonn6 (D.(r) (5.7) deter_T^T,1te pentrr cazul static i. S_ 5.2.1.2 9t ,"pr"ii"lil in' cazul dinamicconslderat, numai aproximalia de ordinul t"tii .

-.i.i"-"i O(;, ,).

**-

^ ,::?2;?. -Energia eineriei _a barei. Matriee inertiald. Energia cineticia Darct tn mttcare este egali cu

E= tr -= , \vLl i (x,

t )J 'd,x. (5.2t)

sau, linindu-se seama de expresia (5.17) a deplasirii z(*, l)t

r: i l i t r f f i I Iuo"(r, c,)o(2,<o)dzJit , t : i i ,ui , F.22)o

in carc ll[ este uratricea iner]iali a barei egalE cuI

nt : i por 1x, <o)o(r, or) dr.J0

l jtzlolliud iu scrie duoi rruterile crescitoare alc lui <, matricea 6(.v, <o)(5. l7), rnatricea incrliald 'M ^se rnai pout" -."ii"

,- --' * "'

M : Mo *.rM, * @nMn * . . .

,,,,' ;lLil'll,"l J:u.;;,: il l;"T'l;,lt'o) arc matriccr or o.(r )

M u ( uo,i r,,to,,t"ta, -=)

t

M": ( uolr*)o Jx\dx :- J ' - " -"

(s.20)

(s.23)

(s.24)nratricele M, dirr

' 1pl1 ' l

( .1 ' r . {vrt t l I l i r r i r rt l r , lorrrrr I i r '

0,0325248 12 simetric-0,0314082 t, 0,0325248 t'-0,153233t 0,14486 I 0,729746-0,144386 I 0,153233 t. 0,659142 0,729746

xlo"

(s.2( j )

(5.2s)

i l t<'gralelc (5.1JS).

l,llr.ncntele rz;1 ale matricelor M, se calculeazi cu relaliile

-,0: ( nr,1*1 *,1r1u* (s.2(i,)J

Itt r"rrc tlr,(.r), Or(.r) sint lunclii le de formi corespunzetoare vectorrrhrio,(.r),

littrroia de delormalic a barei. Matrieea de dgiditate. Cindtintp a deplasirilor de capi.t este armonici (5.16) energia rk(5.9) sc scrie

(r.'2i )

l

,,, II

{1 '0 |

I:lt,,.,.!l

r iy

.trl i l / l , r t itzt b{ ljr(t

il

),il(t.l lt/t

, , | . " , . - - ,L - . l ( t )J 'Kt(r) .

"icca dc rigiditate K este egal6 cu

K \ / j1,o"( . r , c,) l r<D"(.r , c,) ,1 r .)

t r r l . i r r : . , r ' i , r , ' , ' t r i . " t . . O"(r , r , ) ; i t . r lerr l i r rl l l { l ( l t l i r l ( \ , 1)(} : l t | set lc

K K,, l -o lKa - l - . , .

,xprcsi i le (5.2O) l lc r r r t t r icr . l r l O,(r)

| 4 : . l t ( l |c

1,,t -

I t , , " l r i r i l l

, l t t t '

| , , t t t , ' . l i t

l - t I i l

| 0,0t{ t , . l r1" l , t / , '

I l ,o t . , / t ) . l t / , { r , t r ' : l { i : t . l / ,

| | | , t | / | i | '

| | r ' , | / t r , { I /? l t r j l j t / t , . l l l ; lH/ : '

| 0,0/',l l||ttit 0,(vtit (ril / (,,1t,,1t|$/ |

ln otrc rrrrr l r

l , r ,zt o l l il l l l l l ( r . l r ( l ( '

l l l , ut , ' , , ' t t ,

l t - lp l ) t t , '

,

(5.2r))

(s. rn ))

lo x

(1, : l r )

Page 59: dinamica constructiilor

Sr. olrsoli ' i i r. i rrrrrl.r icciL K,, cgrliu ctr rnatricea de rigiditate a barei in'| r'l'rl stati-(: r't'1r'czirrtir doar rrpro-rirualia de ordinur in?if a r'atricci aerrr i i , l i t . r tc Ka l rarc i i t r cazul -d inami" -_- - -^

5,3. ECUATIA DIFERENTIATA A MECARII BAREI

. _licualia difercnliali a migclrii barci poate-fi exprirnatii aplicind ecnaliilelrri I ' ; igraugc pe,tru sistemele cu un rumir rini a" g.aa" de l ibertate

":l tilLil llt;lt :g zo

q,Ul : l, LVI'

(5:r | " )

: $" z( t \ . (5.3 | " ' , )

l)eoarccc matricele p, sint independente de timp, prin derivarea r" l'rlt' t(5.1t4) in raport cu timful se oblinc o relalie de legituri intrc lit 'z'l '

{, r;i i, / anume

,.,:lii],:ll':lt;:ti ' ; ; - ' ; : -K+F+Q (s.32)

, Crr cxlrresiile_-(5.22) ale energiei _ ciueticc E, (5.27) ale energiei de de-l::l:':,:i.l:,1 9ill,U ii.(5.1{) ale fd4elor gcnerali2.i" n,

""uuti, jir"r.ai"re

nrirrnr!ata (J.lJz,) se poate pu[e iu urrnitoafea forml echivalenti

]r(i(/) + Kq(r) : F(,) + 0(,) (s.83)I ):rcir bara este elementul constitutiv al unei structuri, ecualiile derrrisc;rrc dc tolna (5.33) se pot scrie pentru liecare

"flr""irt, al structruii

rt"t1, @ | K,q"(t) : It" + e" (e : 1, 2, 5, ..., 14 (5 3s',)irr carc l[-: NI,- este matricea iner]iall.a glernentului, K: K, reprezintirrrirtnc'ca. dc rigiditatc a clernentului, ;i q + 0, sint foigele !"r.";t;;;.,,,:111,;,t',U pc dircctia coorrlonatclor g"n".oti""t"l, *i"

"t"i,1l.rt,_ioi ,

"on.i

5.4. REI.AIII DE TRANSFORMAREDE LA ELEMENT LA STRUCTURA

5.4.1. Relofii de compotibilitote

llrrrelc, r:lctncntir coustitutivc alc. structurii,. priu legiturile la capetcle, l i r r l r r c l r ' , I , , r r ) tc i t / ,1 rrn a|rs i t rnbl t l s tn lct I ra] , i r t c i r rc "d.cplasir i lc q, a lci i , r i r , i bar. : , i r r t crrrrr 'at ib i lc cu d(.1) lasirr i le; ; i " J" ," ; ; ; , , . I r r accst i . l'r, l 'r.r-.,nlc rl. sr z siut lcgatc. prirr rclalii de compatibilitatc, carc rcflcctir'rlxirlrrrilc ([(' corfctivitat-(' diritrc crr,rre,tcl" ,r""ii i*,ri .,tir-,t"t.r.r, (ro [o.'^

1,(r) -. lt,r.(t) (:l.3l)

, , \ ) i t , . sJ, ' , . ( \ , t r l l j l l r , . lx , tn1 st l . l rctr iL r l i r t l . igrrrrr 5 - ] , r . r l r r , i , l , . r i r t r l r r . , .

' r , , r r , , , r t ( t ' . , r ,1 ' r ' r ' r , l l , r t ( . i l l igrrrrr . i . l l , rc l r r ! i i l r . 11, . r .orrr1rrr I i I r i I i I r r1 , l ) r . l t l r( , l , l r ' ( t r .Jr . r r t r , r r l t . : r l t s l I t t . l r r r t t srrr t :

(5 : r i )

ln accst {el, energia de deforma}ie U,, elr'ergia. cineticl- E, gi.lttttttlrrrrtnri. ,/-, pclltru 1rn element e pot {i cxprimate in sisternul de coordortalrr .rvirrrlu-ie in vcdcre relalii le (5.34) ;i (5.35), in felul urmitor

g "

: JU zr l1:K,il, : ! zrK""z,

r": I i '1P!u,sSi: !i ' 'tr,,i,

r.": z7g:11," + a,l : zrtgTF" + 0:e,l: 2,F,,,

l l t ( i t t f

ti., : 0,'x.p.o,l, rrrrrlr ittu clc rigidilatc a tlcncntultt i r corc-sl rurl z[toarc

, ,

l I . , : 9"111.9, ( i l r ) )

r ' r l , r r r . r l t ic la i r r t r ' l i i r l i r a < l t r t t t t t l t t l t t i c tor ts l l t l t tz i lo i t tc t r ro:donal<lr ' t z r ' t

F,,(/) . P. '( I , I Q.), ( ; .r r)

t r '1 ' t r r i r r l i r lot l l l t t l t t l t i t l iz t t l r ' ( ( ) r (s l ) l l t lz i l ( ) i t l ( ' tootr I r t t lL l t ]o l Z l " t r l t t tr l r t t t , t r l | | l r ' ( ( ' rs i ( l I l i r l .

" 4 i'. Motricoo do rigiditoto o rtructurii

l , . l r r11,r , I , , r | t Iot t r r r r I i r ' | ' , , r r , r1 i i : t r i r r r l i r i r / . ; i l t r , r t t l t r r , t ; t t t i t / ' r r r l| | r , r r r r r r r i l r l r \ r ' , r ' , l l t l t t t r t l l t t l t l l i r t r l t r I . Iorrrrrr I i . lo l r r l r r l ] . l I ' l l l l ( l r i r r l '

l " " r l , , , l r l r ' r ' ( , r ' r r r r r . r , r , t r r I l ' l l lor , l , r l , lorrrr , r l i , I ' . i l l l l l l l l t t l l r . r t | lo l I r r r ,

l | | | | t .

(s.3( i )

(5 l t7 )

(5 ltsl

(5 3r)

coordott l i t , loI

I t ,q,( t ) l ' / "

| : " lfiiliril, ; lr ) . r , l ) ' , ' r . , , , l , ' l ln. ,i l t t , , t , ( , , , , ,

lf , ' , 1t \ r ( ' l ' ' r

Page 60: dinamica constructiilor

t l l l t l ( : , i t | | ( ' l l l

r r r . , l r i (1 : r , l ( . r i r . l i , l i l i r tc g, , l l r . r l i ii l ( ,st5lc l l t z .

^ p*-a st ructu ri i , coresl)urrzitoarc

l , r , r , r t t l r r . . , r r l l , t , l l f . t r "1 i , ' l i

. , ' l , r , ' I r l t , i , | | l h l l . r " r t l r r l 1 l .v i t r .

. I l , I l i r | lO.

(s {3)

c()0rdouatclor

(5.15)

(5.46)

(s.47)

(5.{8)

(5.s0)

5.4.3. Motriceo ine4iol6 o structur;i

in accla;i fel, energia cinetici. totall a structurii se poate scrie,

/ i . - l t i . : 1f ; . . ' o I o^l \ -a-- r" t of

. , . t--J- rt \ . .z = ;r ' l+

M", lz : -zrwz (5.44)t t r r r l ,

t l l r r , , r r r r l i r t . : r rc s lnrctura se srhe-

' , , , , t ' l r x/ i r I r ur s is l . r r crr nr^sl t d istr i l l l i t l

. , . In,rrr i , i l t l , r r . tc lc ) t l l , .1,2, . . , r t )

, , , , l i . , ' ! r ,1,r l f : r l . , r / , , crprcsia (5.21) a

.r ' r l l r ' i t . i rc l i ( . sc . , , rnt) lotcrz l ! cu tcrnre-

, , | , , ' r ,$|rrr , i t , , r j r r ls( i , , r c( t rccntrate

1l l ' / 1, , r r l r r r r r t ' l . r

06 (x)

Q7(x) etc

(s.52)

5.4.4. Ecuotic diferenliold motriceoldc migcdrii structurii

Considerindu-se structura ca .u_n sistem cu un numir linit de grade

i:.,ll*i"** si aplicind ecuafiile lui lagrange

"*pri-.t"-r"-utri"""f i" f?r,ri,

. t t oL _oE : _y + F(t \u, Ui Az dr ' - ' ' '

irr ctrre s-a notat vectorul forlelor generalizate alc structurrr

r :Dn,,;i introducirrd iu ccuatia t5.,16) .cxpresiile (5.42) ale cncrgiei totale de,lLforrrralic t' ;i (S.+a) alc ' eneigiei 'cineii"" ' irt7f"-.

"tructurii se obline

" :pr*cs1r. rnatricc'a incrliali gctrerali a structrtrii.

I t t ' i+Kz:F(r) ,

l r ls \i : . \ F ln{.r . t \ ,d, - t

- 2Jmtld\ tp. t ) ) ' .

Apo

(5.sr)

r t l r ' l i r . i t c l .nrrntc lc t r j l r le rnatr icei iner l i l r le U, c l r etPresb (5.17) e dePlaslr i i r ( ! , l )

r -a, , i j . \ Foi(. !) i r ' r( ,)a.v + ), rzpo;(rp)o;(:p).

i] n='

I I r r l r ' , , r i r r r r , r 1,r i r r , i I r r r I r ' | , r t o l r l l rL l i i t lo t r r lc t t l cs lc r l l t i t i t t sc l rct t tar , I

l lxr , r r r l l r r l 5.1. Srr r ' , r I l I l r t t t i t t . t r is I t t t tst t l t l i t l l t r t i t r i r l s l l t lc t t t r i i t l i r tI r r r ' r l r1 l , , r , , r1,u. . . i , r , l i r t t r i i t r t r r t i r ' i ' lc t t t r l , l i r r lc r l is l t i l r t t i l t / ' ( t , / ) .

I'n.rll,t tl,. r,,tnli(: i\ sisteNul[i poate {i tr4tatl irl acelagi mod, a<liugindu-se ill exp.csi:r

li, il) r (ncrl{ici cilcticc tcrrnetrii corespurzltori mitc&ii de rotatie a sistcmului carc Y(tr

i r ' , , l l l t ' r ( r ' rcsl , rnrzr 'Lt()r er l ) rcai i lc e lcmcntelo n i i a le matr icei hc4ialc

;t' Alr rlr|r):r cuur s-a ardtat, io cdculul diratdc 4l structurilor, dept{Lririle didrrrice

' , ' . / ) O(r)q(/) , crpr i ' r : r tc cu s j t t totul f r luci i i lor t le formn Oi( ' ) ( t : 1, 2, 3, 1) d.r te d€

r ' I ' l l t l , (5.7) | t r . t l t ru l l r c lc l ( r r t , rcprezi [ t [ o aproximat ie - uneor i iust l { ic ient i - a cxPrcaiF

1., , r , r t , ' t i l l ' ,1 rs l l { l c{)rr ,hLcc la rczl l tste r tesat isf t rc l toare. lnbu[ l t i i i rea rcz| l l t r t tc lor i r r

' , / [ l r l l r l | | rh sf l ! ' : r lc t : rcc c{)Nir lcr i ( lu l rnut l l l !spor i t de cooldonate de elemeot $i dcci r lu

r , , , r , r l i l r r r l l . (1. | r r ( : l i i rDi(u) iu cxpresi : r apror imot iv i a dcplasdr i i r l iuaruicc a(t , l ) . I )e c\ctrr '

i , l l | . l r ' | | l lu , , l , ,Lrn , l r ( r ln i r l r r r ( : l i i lc sol) tarrrentorc s ar putea . l legc st tb fornl l r prczentr t t l i r r

' t \ SUCCESIUNEA OPERAIIILOR DE CAICUL-," 1,,.ffi i-;l' !: :,il:r"l T':;:l:ix'i, Til',f "31ffi ":lf:il:" :'TliT Tiii", ", "irl ac.steia .se.poate determina,- i" "o"ii"o"i", ". !Jitr,1","ri." sistern crrrru :rumir finit dc crade de libcrtate _ totoii"a, iire*' .r*.rrrpt,r, ,rret,.,d.rLrriLlizci

'rodarlc. Ast:icl, cu

"nrrt_ ani pru"eJ""f

"-'.f""..f i i i i clrr()s(..r(,. s(,rlett,rnini. rrrorlrrrilc rr'rnalc rlc vibragic'prin

-pJ*f ii l" l,r,lfr,.l i r,r; ;i 't.<1.rii, : l l f l f ,br Pr, ,Pr i i ,d, v ibral ic z, ( j : t ,12. ' . , / i ; i , ; , , , t , : - \ i , , . i , , , . , , , , , , , r r r r r r r i r r r l. rx)r( | ( ) l latelr) t d( 5tstcnl t , , Modur i le de vibral ic currost . r r lc , , r r . is l r r r r rsrr lt r . r r l r r l ; i cc l tot i l l sr . t . , . t obt i 'e, a la dupl . , i - l^- f i r r i

" , , , ) , l r r l r , ( i r l , . i t( r r l ) ( r t ru ol icr . . s istc i r r cu rrn , rur i r l r f i r r i t de eradc , t , ,

' i iL. , , , , , , ,

t ) t ) : t ,1)nl t i : l ' Sr ' l r r r r tc l i t sc l l l l ra { l ( : cfectele rur, , r t iz i l r i i , 1 , , r s j , | , , I i | | , I r r I , r l , . t . r , . , i ,_t , r r , r^ t , r , ' t r ' r l i , , i , t | , . , r \ i1.2, .1, . z i l rnr , r r t izrrrc v ise0rs, i t

I ' t t , t , r t , t Lt l i l , ,1 l ln l t l t l r

I r r r r l , r r r r r l , l r . r r r l , , r " i r r l

/ ,

t r I t , l t l , r l t l , r l , l r r r0\ ' ( ' l r ' r i / / t , , t t l r t t r , l t l | r t , r, l r r . r l r l r l ' l r I ' , l l r r ' l r l l , , , t l l l , l r t t l t l t t t l l l r

I r l rn ' r , . r r - , . r ' ! r r " r ' . ' . " . r ' , , ' l r r l , , ,

Fig.5.8.

t ; ' lJ

f ' / , t i

fit't)

Page 61: dinamica constructiilor

r

0,f11 r0,125 r0t01? |

0l/,1qr25 rq0{7t

Tltlrtls l0 tinrp /(t) a lncdrclrii oste reprezentatl lu figura

l0 notc.ztr Pr-,L1,, lnclrcarea total[ pc jumltate din riglilI

,0, lttrlnol trroflrctroc lr(x, t\ sa portc cxprhna lu forrna ,

?"iqa,,<"<d",

|up - fita, {- * ., < r,

J,0

6c!!ur ! ,1.

Page 62: dinamica constructiilor

Detcrminarca tnalriccl,or dc conectiuitatc P,Deoarece structura este cu noduri fixe, deplasirile liniare nulc ale

nodurilor, coordonatele de sistem gi element se aleg ca in figura 5.9, c, ;i riastfel inclt matricele p, sint respectiv

Formarca mabicci ilc rigiditatc K

Considerind in expresia aproximativb. a deplasirilor dinamice nunruifuncJiile de forma Or(z) qi Or(r) (5.7) corespunzltoare coordonatelor q.gi qr, matricea de rigiditate (5.30) prin particularizare devine pentru bar,:it:19i2

^,:71: i::'+r, 'sK":3gi4 2l- txr l2 t l - -zx,' tL,za) rLt2l

Cu matricele de conectivitate p, gi p, se pot calcula:

K,,_prK, u,:"+L::]L? f l; : l:+l;K,, : t lKzl2: ! !L l1 ol l2 l l l t oJ :s! l ', [o r ] l l 2J[o r l I Lt

Matricea de rigiditate generald. a structurii estc

K:K'*- :?[ ; IFarnarta mabicei inuliale M

Prin particularizarea matricci inerliale dati de cxpresia (5.25) corcslrtrrzitor consideralii lor fS.cute mai sus, pentru barele 1 Si 2 se deterntitr:,

M,:11l 1-11,420 | _3 4l

M. =11[ 4_ 420 [_3

Cu matricele de conectivitate Pr ti

M,.=.olM,r, :#,1; l i l

ll

Matricea ir:erliall generalS' a Structurii este:

rr :M1*Mr,:#[]3 - ' ; l

Determinarea nod'ulil'ol normale de ttibralie

Aol ic indmetodai ter l r i i rnatr icea]e($3.13)pentruecual iamot l t r r ' i l . ' tnormaie de vibralie

l ' r - 'u-- l - r lz :ot . ' /

r i t ,obt inelo,3 '1 i t l '00l

<,,r : T V? nt ,, - L_r,ruly,s - ijl |,00 I. , = u V; i r z, : l r , rz l

ln figura 5.9, e 9i /.s-au reDrezentat deformalii1e structurii corcsplrri

rnt,uii"-,.?iot doua rirdduri normalc d' vibra!ie'

C atculul forlelor generalizale

t t

F',: D{ ?(' ' r) o,(r)drlz":

== iOt", ')t*,t")

2., { o'(r) z"'1'd' ' : :o'464 P'tf(t);

0

l l t l tt t , '

" : l ; : ] "p,- i ; l ]

:lI

f ( r ' t )

< tl2

(r</ ,

r l , r ( r ) i , , l . (1, , , ( \ ) : , , ' .= -- . \ : ( r - i l '

' 1,2( i ( l ' - r ) {

[+: , / (1) o<.r-1r." . . r ,

"1, , , , /| - - : L l t - - , ; lJ \ ' t . 't /

l r t

l,l' l

i l

l I '

cr l l ( ,azir :

ol r / / ' I{) I . l ' lo I

- .1 |

4l

p2 sr' cal

4 -3l l ll l

3 4l l0

, l l '4| l0i l

/ . . , i l i 171,, 11 (r , ( . r ) r l r ' l ' - , , . - -;- ii

- - \ / , ( , , , ) l r l ' , ( r ) ' ru, t

6,,1 ' l ' , , 1 ' t ' r1 ' ; ' , ,

| , t , , i r ) r , ,u I , l r 0,() l t7 ' ' , ' / / ( ) '

l , l i ( / ' ) ; ,il,, ttt nr,0. iill,l 'l l , ,1 lvt.

I I a:xl, ( r

Page 63: dinamica constructiilor

--------------

( ulttrltt l tttustlrtr gtncrulizata &ll l t i gA,

i ' \ , == zl l lz , : l t ,uo -1261 I '9 - e l I l ,0ol d ' - s7,8 ur i- L -g t2l l -1,261120 lro r

;- irrr:2.[ ]uz, : [1,00 t,v] l 16 - 9l | ,001 p/ ' - rr,3s ,.' t - o rz l l . : ,v l+n: 4ro |""

('alculu,l futtcliiktr dc nulti llicarc dinamici r,1(t)

1'(1) : +#isin cr,(r - r)/(r)dr

I)iu tabelul 2.1 rczultd. valoarea integralei gi anume pentru I < ro,.[(.) : "lto si

I

l

\sin c,,(1 - r) /(:)cl: : 1 - ]- sin <,,t,u o,l. .ir"

l ) (Dtru , > ,0.

{ : r\srn(,r( f - r )J l r )dr : - .s i r r <, t r ( l - to) - s i r rco, / ]a

l- 1 cos ror(/ - 1,,)

Arralog,

r'(/) : - T#i='" r'r"(/ - t)/(r) dr'

irr carc exprcsiilc integralei sint analoagc cu cele obfiuutc pcntru modulfrr r r<larncnt i l , i r r locrr i r r i insi cu, ctr c,- .

5.6. METODA ELEMENTEI.OR FtN|rE UTII.IZAIAIN CAI,CUIUL DINAMIC AI. PLACII.OR PIANE

5.6.1. Coordonotele de element

, l t i i r tL1i7, ;11. . , , r r r re i 1, l ie i I r la l t . sc r . ( . i l l i r r . i l r . r l , t . i1 I , : r r I r I I i , ILrrr . , I ( ,1 i r r

t ' t ( r r r r r l ( - drr . l , l lur{ l r iu larr . ,_ t r iunglr i r r l r r re sarr i r r l i r l rn i r l , . l , , r r ; r l , , loAr:urrl l r n l l ) l , l i . t t , , o s i ( r , s l { l , . l . i o I l r rcr" t I l iur i t r l iv iu_rLl i r i r r l2, . l r . i r | ( . r r l r . r l r t . l r tI t l l l i l r l l r l i r lc .

. l )J( .1) t < 'oorrLrrr i r le r l t r . l r .urr . r r l , i r r t , l t r r l t l i r l r r r r i , . r . r r r i r r l r i l , , i r r t i r r r ; r , sci t l , r i r l r '1v1,1r, i r ;1, . r ror l r r l r , ( t i , r . 5. 1O, / ,1

;l IttI r orIttt ' irtrItt 'I<' iIt cxpresia (5'55) rezr:ltl

ur,(x, Y) : A(r, r') C;rq'

x

dc t t t t r l , ' cot tstautt lc a;

l l t l l l t l l l ,

(5.55)

cl t l t rc l l t

(s.56)666rd6naf{llc dc

(5.57)

(5.is)

t lc p l i rc i i , crr"r 'q i : t

i 6 ?, Enrnio de deformolie o elemeniului'

llitt.." J. tigiditott pentru elemcni

l l t t t r l r ! ' t l l l t l t t 'sc t t t t t r ta i

dr r l r ' l l l t r r r l l , ' i t t lcr iot t t i t r r

(5. s!))

"-"-/

a^

^ -b

q": cd'

se pot deterrnina in {unc}ie de

a : C;, tl,,

<lciolntlt l i i lc <L ittcovoi.. rt '

r rnt t i t l t t t t t t t l t s l t

Fis 5.10.

r:tfr'f irrcit pcutru elementul de placl e ceTc 12 coordotrate de elemcnt siut

rl, : {qr qe Qs qr}(.1 (s s4)

" * "' i:l : ;, "',1:, ::;;::,i,1. Tliil,]},."il 1"'.1 ;'* li",',",'tor considerat se, ' * , ' , , , , , i " 1, i ""* i i " " t i " , dc cxct t tp lu ' sub {orma

r, ' .(x, -y): c' ' l u2x * agl'* o,P;2 + q6xt I e6y2 * o'zxx I

.l- qsx2! + a.ixy\ * ou1'3 1- x.'xs)' * a",x)'t : !l(x ' y)a

I nl t otlttt ' indu-se (555) in (553) ;i (5'54)' coordonatele de

1 ro olrl i l sub Iorma

, , i , '

"

' , , , ' | r , r , ' r , : t r ) ( ' . , : l

l i t r t l , '

' r l , l l ( , . r ' ) t l , r11, l ' t i i ' )

Page 64: dinamica constructiilor

7ittc F. s-e notat matricea coloara a forflor generalizate

r, : /0)[\ \ P(x, yt r(r, t)a'd' c,- '.[s]

. , l i r

M,[ia x,q, : r,.

C, fulofiih de tronrformorelo obmont lo ristGm

drcDt coordouate de sistem se aleg tot deplasirile..nodale qu

.'::: Ni;il-lv- ""t" "u-et"r

total"de rroduii ale pl6cii' atunci

, *. : tc,-' r' llj Br D B d* dr]c;:

. rs e/+r

5..6.3. Encrgio cinetic6 c elcmcntului .:dc ploc6. Motriceo inerfiol6 ggrtru glcment

Energia cineticd a unui element de placi c este egali cu, ;E.:+\{ en(Pf axay:

- rr.i 's' r'

(s.6s): ] i,'ltc,-' t {l \ emr e a.,r arJ ct' ] i. : i i,'".i,,

{sJln care l[, este matricea inerfiald pentru element eqall cu

t . -Jf r : lM,:(c,- ' ) 'n! phar(x,y) ' .

^@,hd,"c{ul . c; i . (s.66)

(sJ

5.6.4, Lucrul mecqnic ol forlelor cxte.ioorc.Fo4€ g.nerolizoto pentru ilcment

I_.ucrul mecanic virtual al f.orfelor p(*, y, t) - t@, A /(t) aplicateelerncutului de placl e prin deplasS.rile zo, esti elal cu -

t (r , : \ \pF,y, t )u,dxdy:

(sr)f f r I

- ,1: . IOL\ l l , ( . ' , r ) .A(v, .v)r l r {yJ .C;r

-qf t r , , (s,1r7)ttrl

]4c leglturA lntre coordonatele de element 9i coorclooatele de

Doltc scrle suo rorma

tle sistem se Poate forma vectorul

z : {q, qr, . . ., {"},

K,, :F.r 'K,p. ,

ltlcrollt de rigi<litate a plhcii va fi egali cu

K: L K. ' ,

brtrlccr iuerlinlfi u plicil va fi

lantnllrrto .(or0llulultrtoor(' xutlontttclor dc rlBtem'

, $- f r f -

f , 'nr l ' .

(s.68)

(5.6e)

(s.70)

(5.71)

(5.72l.

(s.73)

ludormarea de coordonate .(5'71) aplicincl - P1?:"-q:*

staudard

ifii".l 6" lgiAtate a fiecirui' eledreni in cooidonatele de sistem

Aplicind ecuatiile lui Lagrange de -spe!1 4II-a' pentru un sistem ctr

nt[ili'l-inii-a"'gt"a" a"ii6Jit' (s'szj, 9i"i".a"--"6 ":"P"..'1" exoresiile

3), (5.65) $ (5,68) s€ -obttnc ":;'"iit

'dii"fiiiata-matricele a miecnriiErotului de Place' sub torma

(s.74f

Page 65: dinamica constructiilor

Ecualia diferenlialiIt ti Lagrange, se scrie

matriceale de mi;care a plicii,

M?+Xz:r ' .

4 : {o,(:v) O,,(.r)o.,(*) O,(.v))

apliclnd ecualiile

(s.76)

(5.771

(s.78)

plrtrrrtlrr qi rcspcctiv rotirea gcueralizati asociatd

i l t r ' r r1, l r r" L i ; ic i r de plac6 considerat I

Itt fclul acesta, ttilizlnd aceleagi operalii ca in

lltrll l rt dcfineqte qratricea

M(ii... Ml,l-

.uj;].. Mjl

tuli,l .. . illr_

hl t ' i t r , t l t l t t t r , r l t i t , l , l l l ( i ) sl r ' l r ! i r r ( l I ( \ l r l (s l i l

rlr )i' / i , { r /O/ ' i ( l r , l r '

Itl lt lr 'r 'u ti(' l lclnlit n plncii K se obline prin asamblarea corespr'll lziitoarc

I lttnttlcchrr dc rigiditatc K, alc Ii;i i lor dc plac6'

Attu!,r, tttalricca inerlialiL a unei {i;i i cste dc forma

liniei nodalc ,,1't

etoda eleruclrlcl' )l

(5.s2)

(a.rJ.l)

(ri.tts)

. R5,spunsul dinamic al plicii se determini. il continuare ca Dentruorrcc slstem cu un numd.r finit de grade de libertate, determiuindu_-se maiintii, moclurile normale de vibralie (crr, zi) (j : i, Z, . . ., lfl gi apoirispunsul modal qi cel total.

5.7. METODA Flg[tOR FtNtrE

Pentru detetminarea matricei de rigiditate K gi a matricei inedialelI a pllcii,. in unele cazuri, este mai 3vantijoasa utiliz'area irnui;f p;;A;;de discretizare a pl[cii, metoda fiEiilor iinite.

I-g a:elt !11r plgca se cogsideri ca un ansamblu de figii paralele cuuna din laturi (fig. 5.tl). I,iniilor de frontierd. dintre fiqii lfinii noaUe) iise asoclaza un numer de coordonate de element {., cu semnificatia unordeplasirri generalizate. Funclia deplaslritor wo p{itru o figi; A;';la;e-;sc alese de forma

K,?: \l Bf n uo, ar a1'. (5.81)

l l r l ( '

ls,)

t t-: \-#@q - #,pFtI2 #r@r.)i l '

hl tttul ri,. t t dc rigiditate pentru o fi;ie e de placl se coustruiegte' in liuitclc

tr nproxirlalie dorite astfel

(s 83),,(., v) :, ff 0,, *,t.tlrp1,

a..-( l l , . -Ofr O1 , : . . .OF, l

K.:

undc. O,(r) sint Iunclii polinomiale determinate astfel lncit sd. satisfaci.condiliile de continuitatela liniile de frontierE ai"t." liiii.-n*i se asigurirJT.ii ^::-rqi!iil"..

geometrice de continuitate i" di;"1i"';, -atunci

lunc'giile:1,11/,_:9j lil"lute de, forme determinate pentru bara dreapt:r (5.7), incarc,runglmea I se inlocuiette cu lilimea b de fisie si m:-\.,, _Iti:liit: f,!r), si"t {uncfiile formelor,.proprii'cle'vibra}ie ale barci:L"ll:_ 11,1*1l, 4.1). . corespunzetoare condiliilor de rezemaie ale pliciiPc rarurue (l1n dlrectra y.

in fornrd matricealh- expresia (5.77) se mai poate scrie

lq ' ll l l , Il : lI q. lt,r

lU. , ,

nndc

'l/'

(s.7!))

fr

t l i " - \ r / r ; th i t lv l t , \ , t t

( ! .Ho)( j . l , ' - i , . . , , r r )

t / t t ' ,1 t / , r t l i i r r r l r I r ' I r I r r . r r r r , . r r . . , i r o l r r , , , rI I ' | | , I r | I | / r r I r I r r ' , r r r i , r l r r l i r r r , r l r , r r l , r l , ., ,1,r n l i r r1 i , r" l l1 | r i , r r tU f t {11, (h, .

l \"l l l l l l r l r l r l 1 ' r rxr ' ' l ' ' t t l l l4 i i l r r l i r r i l r " i r r l r r l r . l ' ! 5 1 ' 5"1 ' 5 ' l l r1 i l r ' l t r "

I l l t t l , r tntrr t l r i t prr lsul i i | r ' r l t l r t r r l i t lo; 1 ' r r '1 ' t r r ' r ' r /11)/p/ i t r ' ' " l r l l r r r r l r l r l

tb l t t t l l t ! l r l l l l t l l l r r r l r t l l ' t r t i r l t l '1"(r l r l t r r t .

' , ' / ," 1., / , t '

,' ,t ,\3I ,'/ / i i / t

I t

Page 66: dinamica constructiilor

AF

- tolurd l iberdE=- loturd qrticutotd@ loturd ?ngostrotd PLACA PATRATA

i=03a)/y'68T? PLACA ROi€ICA

t=U.J

o,ry'DG;;4Tobetul 5 2

Tobetut 5tNTcrt

Csrdiliile de rezemorepe contur

vodu t normoi-?Ell6?dTE2 3 I, 5

1

o

l lo)vv>

3,t-79 8,538 21,331 221,52 31,873

2 til.b)

12,757 33,093 t.2,023 63,212

3*

2t,,010 10p69 63,663 76,975 80,912

t- n 9,631 21,160 36,739 3 8,91.6

5 n 49,350 49,350 78,973 98,696

6 m 28957 51,,76t 69,1.t 2 91,72A 102,266

7 ffi )) laa 26,/-59 43,697 61,2r.1 67,297

I,ffi

36p00 73"/.60 73,160 108,668 13 r ,879

I n 15,207 20,610 39,811 t-9,1,79

10 n 100,r i lJ/,

11{, , , ; l l11

F:==+

LJ 31,811 63,371 71,232 10 t ,0 i , ,

^odut

'normol de vibrotrernrhlitte de ,€zerffrepe coffurNl

arlt, 5

I

7

I

.Yh

,,4*4-t )

T

3,958 I,690 25,663 26F16 1t P71

15,785 36,s97 s8J63 68,465 103,215

29,891 /.9,94 6 81,846 91,237 117,35/,

I

g

IV

12,235 1spo5 37,522 50,231 65126

f, 2sp60 53,909 74,580 90,01,9 129p21

A

I

A

H

l(

t !

6ri l :il_f,AV#_

3 7,856 66,575 oq qn'l 109,950 1L7,2?1

27,571 31,075 50,129 84,286

46,358 82,091 107,235 12 3,305 fi3,A7'l

18,07?"

. l \ ) , ' / t ' ' /

/ ,1. l l l ,

2.:J0? I

r'3,ss1

I'.ie.4t,o

I

8:r.1')

1ll' L-fl

61,008

i ,b. l l , , r l

11r , . I ( ' l

7,.7,it,

I t , l , / ,1 [ I

ta0 &

Page 67: dinamica constructiilor

PLACA TPADCT^|-^, r /=_:-' ' '^ L4'UALA Gr V U/Qh04'r l :U-J I

^ /h-1cPLACA ]N FORMA DE TRIUNGHI ECHILAIERAL

i = 0,3 co / y'D/ 9h'Al l r

RASPUNSUL STRUCTURITORACIIUNEA SEISMICA

r ' t _tA

NT:rt lcono,tr'rb-oflEGiE

F__ pe contur

; o i b :1.5--:l-]-:+-rvloout normol de

Tiroeiul_q

2 3 1.

AI 71 lq1 63,698 64,]55 120,390 r . - . r r t1

2

3

t f \ l51,21.7

70,688

117.,013 127,276 247,LA6

138,286 164,876 231,,285

35,893 90,727 92p91 166J1s

5

.1,;ti.Jiril73,181 152p19 rf,)p5z 2 53,917

692$/,2 176,619 186,622 281.,36i,

7

9

ln ?r-o )ARJ"75,t 56

11,659 26,150 55,7/.7 ,-)?.,258

. i \ .J .01,8 83,08s r0q228 lLir . r Ib

rr , l l/ la] " l - - t- ' i .1. l ' l

'u ' /

1,,, I rI

i rdt t l le de rezemore

91tL22 16? AtO

Page 68: dinamica constructiilor

-iil*Uitli:;n,ilf .m,:'iqii: l- l,- llt*::iri;*+ru',1lm*li'ffi t{f:.i*ffi *;;i:*ffi I

n$$$s,#g$['i1f,','l'i;1;;n I ;t #;.:llii, ;:ii it' i:...,,'* "ii il:?; iv'i Ff,sl e s i, u a t, a a d ? n, j :l6i'"A';1i:'*lf t:,f :#{#ii,.i;1i'l'"T1,u1"""0'mtt*iitriil;;i""

J;:;i"r;?:; ta

uslprata,ta pimintului se gesegte pe vcrtlcaia {ocarurui

*dJi$4*.r,ffi [l;L:'i,lffi i#-:i##,,*:;*x{xxi,:i_i;#":,"n::n;:,i*,1*;r:,x",,:::,,JxJ,,"":i,"0:iil"*":tt-'f 'fu"iffi lf""':",'""::?",f "-T'ff i'J"itn$i"lii;:lli;,u:,";':"::';i".,|&',x',1x,;,i;t$$Jql":',1.J","#inu,,,",o"s",.rr,,ii**#liidri,","ru,_,::;,3i,*:;iii j:r,"+,i*l"l,ifi r:ii:;ri.iri:i#i1;:iii!,,i:::.d:1f; ,,:,f;. jhrllll" jlifi,#l

#ffi;g$i:+'{tikili,ll1;"$,::;.";,';i+,,,r.,;:,"1T;;..',:;"' ll,lT"T#,::*" N-S) 9i accererogrn_" .,rtr"_uirilri.aii-< tartie 1977 ctin

l:'i!tfi'ffi:j#Titiii:+;i:nir#i*#ffi ii:ff '?::ir:,";ilf i';,i:t,,,',ffi r#*{g**pt*l"i#th";:,'*[:]:l;i[;**fiiii,#,:ft"i?i,iiiTl'"':,lfli.fi,x';l"i,l1i',;..:i.,.llyl,i;i,,,:irr144

ln/

nI

l l I

, r , l , t0,iflut r

tl*r l , l , l

Trmp,s

Fig.6,1.

t ) i l ( l rA

I)IRF.CTIA V ERT ICAL A

4,a'ri4 -i.--..{..^

y.<./..J---r'.->

r05\ '

1l) 1(, r7

' ll r , l rJ

il'i,ilt"l l . h l

l j tR[( ] I lA N - . '

Il t ( lyl l , ; r l

r l, l ln l t l l r r l ( l l ( I l ' l t l r ( L l ( ' l i ' ' I

, l r ' l rLr , t , i l , , r ( r l r | l t t I r " t t t l t '

I r r t , r t 1 ' r r l l l l r l r l r r ' , I l ' , ) .

l l t r . " . r i , , ' ' ' ' r I I n ' |

| I I ' ' '

ctmqx = 0.16o

t t ,5

r toodo1 rr orlornrnontci d1 sec

,19

/e^,{.- -\,r,F -

15 lb l / 1 ' ( '

{ ' -oqc-r l ( l l l l l l r ( l l l

l -

Page 69: dinamica constructiilor

, -^ -*_ir-1,r.o

.rragnitudinilor -sat scara Richler prin care fiecdrui cutremurr se aEnbute un anumit erad. de magnituai"e i" tu""ll-de cantitatea decnergie cliberati.de seisml a"t"r-i"a?e-Lli"cifu-J;;il; iustrumentelorde_mesur5.. Relalia empirici intre energia E etiberati ln

-Jg[-;i;;dtd:clnea r4t corespunzdtoare scirii Richi'er este ur*jioarea

P,(t) : - iu" si' P: vrr.

Rispunsrll sistemului la acliunea seismicl linind seama(2,112) ?ste dat de exPresia

u(t) : - f i \ ; ; ,1.7;"( '- ') sin ro*(' - 'r)dr'

0

Avind inresistrate accelerafi c'r'r. (l) din tinpul unui cutremur' se Poal"dot"tto;i"- ;;?;:;;-;J;J o"i'"'i"'iti ajutonii calculatorului electrotrit 'vnloor"a m-aximl a deplasirii t',.,' cu cxpresia

It t f - , , '

^-: l : \ 7"1'1"-*"-n sin <o(l - r)dtl-, : s, (( i s)

0

lllu "ur" sc acceptl obignuit aproximalia co* : o 9i ?* : T : jl

' valo'r" '

' h care s-a notat

i

lgE:11,4+1,5M. (6.1)

(6.3)

de rcla,tia

(6.1)' ., _, 1""t. Richter nu are teoretic.limitb. superioartr, dar limitirile dc ortlintrzrc rmpuse de natura scoarte-i terestrc iic imposiUiia produccrca rrnorcurremure mult superioare gradutui g d" *"g"ia-udi;;*

Magnitudinea unui cutr,ernur prin ea injgi nu este suficienti ca sirndice e.fectele unui cutremur,asupra construcfiilor. Ea de o misuri. a cu_trenurului in focar, distanta_de _ta construclie la focar fiind la fel de impor_tanta pentru aprecierea a'm."r.'o i"?. n" .15";;:'"'.; "i"rl"i:"$ H,'"t#l'#i,corctructiei

la acf itineaa" i"iuorit"i" r.il"i"e";;;

"" scd.. de tipnl ,"e.lo, rnnl"dl

P'n gradele

6,2, IASPUNSU! SEISMIC At SIRUCIURITOR.METODA SPECIREI.OR SEISMICE DE RASPUNS

Dificultatea princioali in calcu]u,l seismic o constituie imposibilitateaI'recizirii caracter-isticilor cutremurului p""t* ""ru

iu-priii"t""ra.troctora,din cauza caracterului aleator al u""rioj l;;o-;;;"diJ'1""". motiv pro_lectarea constructiilor la acliunea go"gt"i seismic i"p*.JAta un Drocesprobabilistic, iar determinarer{aca pe aceasti. t"ru

".u"r3'J?i?jilsului structurii a-' ti de attit'J't"

DacL insb. se acceDte :,.lTiiie legc de. varialie a migcirii tere_nului de la baza constiucti

1i1,q; 1;r,;t; ii'i'"'r'#?,fir"'"" ,'il?,li,l,rl"h1,",it,liT,1.;,"l1"lTiT:i1$ry!:,"ffi 3,.?li,""l::',*?-,1"il'#ffi ,rT".,1..T"1i:,'i"ixt""*"g#in actualul stadiu de dezvoltate *

"r""9ii"l"fo, i"rp?" i"t"."r"*, o aseme_nea conceplie deterministi. rr: cclc cc urmeaze .i pr"rinta unur dintreprocedeele de calcul seismic

rd.spuns,tin care slnt folo.it" -o""t pe conceptul de sDectre seismice de{accelerograme) p"otro air".itit li,?rt"tJrlli

rxistente ale migcirii paminiului

6.2.1. Spectre seismice de r6spuns

- Efcctuf cutremurelor as.pra structurilor poate fi cstirrrat dctrrrrrri ' iuclriis"'s,l la;ocul seis'ric al u'ui sistcrn

"u^ur, ,irg,ii-giocl .c IibcrtiLtc

(fi* 611) I)crrtrLr o a,[1uiti occ('r({'aiic datir a(l) ,,-,,,i,;,,., ',rir lcrt:urrrrri rlolil 'itf;l,ili:,"i1;::,(::.l"ljl?rl'u'."1i,,r,i',, u;r,',1iii['. ;;,,i;i';;;1,,,,, (.r*, r]r.(r

IrJT

i

lll tl';*iLllxi!,J\1f;::?#:'Ji:fr i!!;!^':'u',:,,(:t:"filj;'"i:iTi'-l:i::"tl' hntit"rli"ll,.r t:uioiit" sp""tt"t" ale dcplasirllor pentru mulJimca de valoti

hlFlic cutc sc irtscriu perioadele pr-opflr de -vlbratle

ll..ff ll;';"li'll3l,'li,t"ilill.u"il'i';' ;fil. ;' afrf 1 *iillit"i""o"pr"Jeiiroi inaxime ul" 't'11*o1ilo1t,.: i W-A-*,* 'l,Flrentotc .l,rrntr-uD $sf,em cu un srad de liber- | | ,"f-l-;jI [ii", fo ,rc]iittrcir culrcttturului consitlirat, in funclie i lr'/ t g | /l'& lx,tionda propric dc vibralie I. .A9":1 C,tqlt" I l/ -tl lit (f lt ' tta) rt lrr(ziltt i t sl '(cl l l tL s(lsmt( ol d?l' las.arttor i V | [

l.oon'"/il''l,;'i]ii,'.}li.:ll.llll''''u.f;:,d'."""lffli"./.$,,|Yl . : t t t l t l f i t . ' , ' t ,"t

F*u

' s, . l i , i , , , .. vi,r, i) si,, (,,(r - ()d.rl,,., (6.6) Fis. 6.3.

l

:fr,i| :rL. ,of

:l-rilffimn-. | --t, t , ,"0, ( ( i : l ) l ru n , t

3r.c T (..r )

Page 70: dinamica constructiilor

F

5

l rS

Fis.6,5.

tr aaloalea spectlald a ecceler eliil,or

Timpr s

Fis.6.6.

t :i, I

;;"b)e-",a-n sin ",(, - a)drl,",

care reprezentate in funclie cle perioada propde ale vibrafie ? : 3Id"fio"".spectrele

tseismice ale vitezelor, respectiv, accelerariilor pentru cfitremurul

Forla elasticd. maximi. care ia uagtere in structurE ca urmare a acriuniicutremurului este egald. cu

F^*: hSa: molsa: m<l.S,: yg. . {6.g)

.. ln figura 6.5 s-au reprezeutar spcctrele seismice ale vit

fi li'-?1:'iIs"sgtr?iI#'sii:t;:*i:1:R##i1:!1q"rfi :::;pentru aceeagi accelerogramds-a reprezentat roga,itfi or-pl,ll"l,&#t;::;:,t"';"t'g1Tlffi:iilit'#logaritmul valorilor- sDectrald ale vitezelo'r S;, i;r;g;;#i; valorilor spec_fi i1",,*""ff "lptll?ttd"r,"$:1,,.?e'ii;;s,;il;;6;"%H,tprindistaniele,.,,r!!i:n',";"1'Jffi ,t'ff :iH.i:it"1,..""'rTfi :T,'""riT.i*r*X,:f .i:;iT:i&5i:!1,#i"?i:;:,,:;"ru.151;;*1q3;fiqi;"";1"f i"''il:ll.::-!i: d" raspuns .este Iimitati numai a"

"ooaiti" -Il

J";;';:,1;Lmtil[yl"iti:f,*f ',m*l,l""nli#',31'T'i,iLlii"i?i]i,,,,,,,,i;;il,';:1,ji".,.1|t1i,"",_l'li,;,llrrr"t,., dc pr.oicctarc alc unui cutr(,rilur intr_o,*ut r,^:iii ii.,,,.,,;;il;l;i,,li,,i,,,r,lll,'lliii,::ii;[,;l';]'liii:,,lill'l,,ill;ii,liil,;iil,,1ili1il";iii;lli; ti',li;li'll,t;1';t..l[;lliri,;;lll::llllllll*:l,ilill,t*'.,1*[ill,fI Drolr8trrtr rn.

uiurll, lu cuulpa.roodo I ln rrc

rtfe u[e1 magrutUdpc scara ,Richter 1a orut[ de circa 7 km de

. Experienla ara-Inr[ c[ pot, exista ili-mle mari intre lnregis-4lc cutremurelor avind

ludini gi distanle si-, iar rispunsul seis-

al structurilor produslcestea Doate Ji foarte

I)e aceea, utiliza-unel srngure lfltegls-dc tipul celei din fi-6,1 a clelini

cile de proiec-rle unui alt cutremurun considerabil grad

asupra va-rlsnunsului determi-

Dln acest motiv, authborate spectre deltlrc considerlndu-se

unui numar$lre de cutremure

ctre g-au determinatseismice. Curba

a acestota,

05 I0 15 20 15 'T(secl

rrg. o. /.

10 penoodo T in gec

2p 3p pefloqdo .l in scc

(6 7)

lCtltor cutrcmure, re-t[ epcctrul de pro-

0,3

0,6

Sltoerd rlspunsul se-mgxlm corespunzl-

I lau cDcctrul sten-(flg, A,i). ln figurau feprercltgt $pcc-t pt'ulcctcrc alc dc-lot, vltezclor ;i occe-

doul cornponeute clelrtrlrllor hcutc rrcu-

dctcrmlnete dc, Ho[lrrar conrldcrhrd

cutrcrrrrre tllfc.Ctu Crllforula (DlI dln rnul 1034 rlollEplc l9{0 rl TBII

tutllhlrsa rpec.pfolrctrre lrlgu.'rl, e bsrtr rdrc.

ltut-- \Y:g

\ l_:\t 'i. --02

Page 71: dinamica constructiilor

illij..':i':lHii'"i'i.'':;?i:"H1 ..?":: ""Tf.,A,:":XSi:,Uf*:"::'1" ''..;urodelczc cr1 cea lnai mare ?robabilit.t"

""i."i"ri.Ji"rle rcale ale cutrt-lnurului. pentru care se proiecteaza structura. ln aceactuall in proiectarc cst

'normodeie-"t"in.ti""#;i:*lrll$ii*tg:tr*'**itillhliectare dorit, simuliri care reprczintd irraa, -pr-"a"

conrputerizate col)r,plexe ;i costisitoarc.

6.2.2. lpoleze de colcul

nu-t?1,1fi,ti""31"'$,t?,,?ull"""tu lege de variafie p""t'i'-i:l-":1:'.1ti\il,.

.(4 ̂*i1tt " : ;l**i:ik"rg=i!: "rut1 ;"'*t,p sirn u r ate' n"r'!i" "

i,g:r*g:n*x*Tjilfi fu:ijti'.irii{:'::*'lg,iir;:H$ffi1""1;f;ll'i:::*"1'J,i.*1"TiT3?:""tlX";*iiuiiil'"'r'ttate "a .,',,,ii,i

Ircntru accasta se admit- obi:nuit auumit" ;pot.r" dc calcnl.

u" 6"iii,'i'i"f"T:x';?d:-,il,l!l,l,l'".,", i:lfi,:l,li?,.f n.1'"i- a"pr*,i,ri:" i::3,"',:',"';;:ti*'*':*U5 *:ill,*b?ji:ti#f:11#;*i*,:'"0t""1;!i'ff;':"'"""t'::'"'::::,,.;,.i*!'.:tli,,:'*"ia rn u",u .t'u.ii,i;;a" tr.".io1i",.'i.."li.i tii' ".-p-,",;; ;" ;i;;iiA firt'il:r..ifiH,X:1li:li;Jff:i:f,ffJl:,,':1"1"",X?i: :'i,',ilff,5;fii,",JiiiJ".o,'"t"'i.ticilc c,,r,,-ixi""i"Tfi a::f**lm:*,u{l*'i,iJii'"ii1i:?Ti'"'x'f "i"':.l:iirn","t ?"' :1: ;;,iJ,:';:';r;i;;: ;p*t;l;i"i' ".1 i,o"u 1,'( i :jinsur, (,,,,

- O alte ilotczi ce se.adnrite curent in calculul seismic consirlr.rtrcd intreaga structuri sulr

lli"ili:xiil'.".r#krt***n]:ii$:i{?i:',,,:ir'r.lu"ri:ll::o "r"n,.lt, n irro1,"L' ".i " " "."pr"bil i cind io*trr.:d'

"1:uirl;;*", il*l ; lteren {eul, iar dimcrsiurrilc_:-r: f1"1, ,i"t _i"i i" d._paralic cu 1ur,,11i,,,,,,tndelor scismice. ln caz csi se corrsidcrc ,iii..'.iir"ii'ilTi,::':jlllH ;;i::,j,:,?:'hql1:lii "il"?i1,,:;;

bazei constrtctiei.

LTg,,1i..*l;,ulllli,l,"1"'.T",#il,l#"l?:;lj,':il;,lii:i:ilJ,i' :ilillil;,1:

Hi;+t d,', "{*.'Tfitr;r ::?t*f, g;iir I I i, i,{ : "i i' r', i ;'i ;; i ii; : ;

l , :r l" l ; ' :" i : i j ] l : , , ; ,::: l : ,1;l..,I '",, l . ,rr i l irrr l o (,u,rir i ,r, ,,t, l , , , ,,, ,r, t rr lr;, i t . ,,,r1,.r"r,", *,iirr,iii-i',..;';l;,.;i;,n;r,:'il"ll,ili] 'ill;,';,,i,,,,];,;;;l;]l ,lill,,,,l,',;,,;i',J;;i:",,11sol , r l r '1r r r r r i r r i r r r l r r r , , l i l i r i tl l r i |c1111 ,1 I i lx r j r , r . r , , , . , , , , , , ' . ' ' ' " ' . l l r r l r l r

t l l . t r r i r t ' i r r i l ) I I I | | | | | | | I I | | | | t I t l l r r r l l

,7

6.2 3 Rispunsul seismic ol sistemelorcu un grod de libertote

lrllrrrl tkLti lcgea de varialie a acceleraliei li {'] P.:"*" cutremurttl tl' '

lrttt lr l l l t l(: collsidcrat, s" "Ji. '-emati 'ea'1

structura la un 'sistem

cu u[ grit(l

li:fi;l;:;il,t,;i". iis a e)' reniru o "numitS'

valoare a Iracti.nii de amortrz.tt

| | l tr 11 v . r'- , lipindu-se seama de consid'erafiile flcute in capitolul 2' ccttl-

ll,r rlltlrt 'rrlirLlit .L nigcirii sistetnulni estc (vezi 9i ecualia 212) :

' i+zgtz+ - l P"(t), (0 e)

((j. ro)

( j I l )

l | | , r t t ( ' i , I l l ( ) t i l t

P"(t) : - n; , ( t \ .

l i r l , t t t t . r t l r . , ' i i r r r ic Prodtr i . dc deplasarca z ' ( l ) apl icatn la baza str : t rct t t t t t

Irlr .r' lttv.rl, rrl ( u ccl oo}'luut p;;';Pli;;t"i ' l inei forge cxterioar( 'I '(1)

rr lrii (t; ;;i 1u,,rt,' ti exprirnat cu ajutorul integra'1ei Duhamel (cc' 2 112) :

t r t \ - - ' i ; . f " i . !o( / - r r s iu tu(1 - r ) dr ," .J -

0

l[,:,lllii, L '' '::"liil],liiiil',i1,1,:lii,,:ti"sTli" i::ii:?:'f ;1"'"i:'lY";?li;'':':

dr vrrrl li" |,r'ttlttt Irt e.k-r.lll,il;(')r"trrrr" elastice aie structurii r(r), pL.-

l lut l , r r r ,u "

t , r l . i { lc l ( , l l l lo} I l

d l l r , r l r , ' , r , l l r r r , ' , ' is t t t ic i t , cstL ' cgal i t ct t

l ' l rS l ;n( t ) . tn ' t ' i i " ( r ) , , . , r , - - rs iuco( l -c) t1: , ( ( i l ' l )

hlr ' r r r , , , ' t r , r t r t l r t l r ! ' r i f i i ' l i t . t l ' t s l r ' ( l r l t le expresi ' r (28) ' .4. : ' / ' ( '2 '

i l r \ ! ' r r r

l l t t l r r r l l r r r , l r r r , r1 ' r" ' t ' r 1t ' t t l ' ' t ' t ' '6 i i i

t l ' s"r isul r ' - rsptLusul t t i f i ind t t ( 's t t t t r t i

i i i t,rrr,.r,,,, rr', ir,rrr 'u.r,, ' i,;., l, i l] ' ,J': l l l)::,;,, l l l l :IrI: l i l l i".. i i l l i , l, ' ;1,\l l l l: i i:;Hilli,llil"';lill,',,"",,',i'il.l,'ll;;',,i'lil:'i;;,,i,'"i;;;,','"'' 'i 'r"'"1',.'"'"s,t'tziLtor

Li.r'rtjrj,,

' ;.1,i "1 ',,i 1:'l: , ,, 'lt; J,lli,,'illl,,l::,lt,,lllll',i;i:::''oi"il:illi,Xil ,tltll:li;i;,,i1:,l i lngt ' l t , ' r l ' r l r r l t r r l " r r r r r r r r r

lllrii;;,, :,'J, ,:1, ,,,1',il,i,,jr:il ,l,,l.lii',1 lll'll,llltll ,,,, ,'.'.,,,,,,., r.,t,, ,1,,11,1,1

:m':;lll;;iliililiit,i',liliii',',',lii: l\l;:l'llli;i,l"il,il;,lill'l;;,ii;;ll''lil'''r"l'l.'iill'i'- r t r , , ,

r i , , f r I ' t t v ' t l ' ' r r ' r r l r r r r l i r r r r i i r l ' i r t t t ' r t I iz t t ' ' r i l i ( r i v ' r I ' 1 ' I I t ' : r t . I t

,,r,,u,,a,.,1,;;,,.1 ,i itt;,; , ', i i l l l , ' :;;(,l l: ' | i, :: l, l"l l l l l : i, l ' ,, i i ' l ;" '11,,;t ' i l" , ' ll l t t l l t t t t t i t 1t t r1r l l l t l l l l r t l i l ( r l / l

I , , , , , " , i ' ; , ,1 / , ' f

i , , ( / ' ' ) ( ( ' l l l )

-.

Page 72: dinamica constructiilor

T-l--lhi El" IEL->, i | - I -

l--!-lal) (a

ffi"-> F=mdsv ->

[email protected].

iar.forla elastici statice maxind, corespunzitoare acestei deplasld, este

Fs^", : hu^., : nx6s,(7, v) : mS.(?, v)

ln figuta 6.9 se prezintS. schen:atic operaliile de calcul.

t t t , ( t r , - l u,) I / r r t / / r .1. 1, , . , t r . , I l i , , t r . , ( ,

t ' l . l t ! . I L\ I 1. . . t t t t I L. .u. I l ; , . , t r . , r r , l

" ' , t i i t ' ' , ,1

1 t , , , t t , I I , , r t , | / , , t t , r )

6.2.4. Rdspunsul seismic ol sistemelorcu un numir finit de grode de libertote

_ , 4,2! l: Ecua!ia dilerer;iali. a .milcirii strxclurii produsir deactirrreftaersmrca. Hentru carcurul dlnamrc al constfuclii lor rezistentc la cutrernrrre.structurile se schematizeaz5. de reguli, prirr sisteme cu un uumir finit degrade de libertate. La {e1 ca gi in cazul sistemelor cu ungrad de libertate..dacl se acccpti o.Jcgc dc r.arialic a acceleralii lor j.(i) prrrru cutrcl,rrruoe proreclar( , acl luDca selsmlca Sc manifeste asupra struclur. i i ca o|)rrc_gesiuue conti^uui de deplasiri a,(t) aplicate la bala construcliei, care purln vtbralrc rutrcaga slructurd.

Deplasarea totall" a masei ,?i se conpune din trauslatia r1e corp rigicllr"(l) transnrisi de cutremnr gi deplasarca relativb. elastici u,(t) (fig.6.t0).

-Pentl.r structura schematizatiL la un sistem cu trc.i graclc clc li lx,rtrrttdin {igura 6.10, ncglijhrd amortizarea, s-a rcprezentat schcma dc ior1c. l,.r,ile lc c lasl i r 'c : , -ar l ( xIrr j rnat i r r lunef ie dc coct ic icnt i i dc r i r i r l i l r , t r . / r , . ( l ( r , , r i l _in cal , i lo l r r l 1| . iar ior ' {c l t .dt . i .er l ie i r r [untJ ic dc acccl , r ,LJi i l , . , r l ,s i i l r r r . . r t ,nrrsc)or ar, , r .galc , . . r r l r ,1 l"-p i ,1 1i : l , ,Z,Sy. Apl ic i r r rJ pr i r rc i l , i l l l r r i r l , . \ l .url r t r l , scr i i r r r l corrLl i l i j l r de cclr i l ibrrr d i r iarrr i i l , t r r t r r i I i , r . r r , r r : r r i r . , . . ,1,l i r re rrrnr i r torr l s istcrn dc ccrral i i d i fcrr ,nt ia lc:-

l r r , , r r r . l l l , ' l , r r r ' t l t iccrr i r r t ' r l i r r l i r r r s istetnului , K - matr icca de r ig id i tatc

l , r r , r , ' l r r , r ' ,1 rrr , l ( l t l l , , , , , , -u. l t : l t ' " t l lorrnat cu l t r i lsc le "?i

a lc s istcrnul t t i '"

i ; ; ; , , , , , , , , , , , i , t , t , i , , ' i , , , t t t " l i ' ' t t " t " r ' iscoasiL t i sc notcazi cu C rnatr ict i t

,1, , , , , ; : ; ; i ' , , , , , , , i ; r ' ,u i r : , i , , , , ' f i r , , f i i ' : r , "" i ia l ia

i i tcr"ugial i r a v ibra! i i lor s is-

I r , r l r r l r r | , l , r r r r , ( l i I l ( i ) :

Fr = krrur + k, , ut+ k,3u3

{mr

m1(i j " r i j 1)F1: k11U1 * k22U1* k71U1

+I ' i -m2(i i " . i l2)

F = k3tut * k,ru2 r k33u,

{m3

m3( ij. -

i j3)

b

Fi9.6.10.

se mai poate scrie

1'l ,; ; ; l -

(6 l ( j )

uii t xii - -llrrii"1t1, (6.17)

l l , i ' 1 t : , i l Ku - ", ,4it1.

( ( i . ls)

. . rAT.21i'\F

rO

Ir-1O

(6.14)t 11 1, , r r r

t r t l | |

I I '

t , r r . | 1" , ' r ,r l , l r , r ' l l t l ' l

l ' " ! i , " , r ,l i l ' r l r ' r l '

\n

| ,,,,1.,- |

r r r . I t r . ( /1

L ar'r I

l"lfra I/,,," I

r i r r rrrr l t i t r ' t l i r s istcmul de ecual i ir . ' l

1,, , , t r r ) l l x , I l l , ' 4,"1, , , t . r r | | ; ; " |1 l ,+, , , t , , "1,, , , , , , ,11 " l I l / r " ' / ' "=.

I / l r l

r , ' l , t l i i l , I r t l t t r i t ' t ' r t l t

t , , , l | , r l r , , l r r , r , . r r l i . r l , i r r ' r t r i r . t : r l r i ( { i . ls) ,1,s, ' l , i , ) : ] l l r ' : : l ] ] ]c

ior l i l tc i r rn( ' r ' -

l l . ' r l , l , , l l , l l l l l l l l l I t l0r l l ln (1" " t

i i " "" t t t l t t t i c t t l t t l t t t t r ' (otesl) l l l l r i t ( ) l

| | | ' | | , | ' I r | ' | , I I I I , | | | | ' , l , r r ' ' r l , ( r1 ( ' l , t t t1r I r t i t t r l ' { r r r t l i l l

! ( i . ] . lC. l : . l t t t r t r t l i r i t l i l t '

l r r l ' r l , l r r r , r l t t r l r i r \ l l ' r ' l l l l l l r l 1 ' r t " i r r" . . r l " t ' l i t t t t t ' t t t t l t t i , s is lcrr l r l i lor{r '

r , t l , r l , r , l ' ' r '1, i r i ' 1( / ) tVfr) ' ] r f ' l i ' r l ' t t t ; t ' ' l " t 1" r l i r ' t l i i l r ' 1"r : t r l ' lor <l ' '

l l l , , r "1, I I I l r , , , , ' r r ' t , t , ' l ' ' l ' r l r r l 1r i r l l r r i " r ' isrrr iL. 's l ' r ' { l l rv r l . r r l ( r l

a, f , , , ,u, , , , , , , , , I l ' r r r ' l l r ' r l " r '11' r l r " r r ' r l r l i ' : r l ' r r r ' rs ' I ' r r

p. { / i nr , , . ( i ) ( ( i l ! ) )

| | r , | | , r ' I r | | | | | | | | ' r I r r l \ l l l I l l r l l l l l i s l i r t t t i t ' t t l l l t t t t ' l t t t i i ' l i r ' l r r t r r ' t r l r ' ' '

, l ' r ' r r r r r r r r Lrr ' r " l r r r ' r r r l r l r l l r t r i r t ' l I r ' r t t r ' r ' l ' r . r t t l l r l r lc

, r1, ,1 ' , l r r l I l r l ' l l l l t r r ' r r ' I " ' r r ' t ' l '

r ' r ' | I | | ' I I IL I | ' I I '1"

r l r r r r r ' , r ' l r r r r r r l r ' r r . l { \ l r l l r r r ' r 1 ' r t r r r ' l r f Lr ( l t l ' l )

I i . , , i r r , ' l r l r ' ' l r l ' l ' "1" ' r r ( l l t ; r i l

| | , ( / l r l ) , ,1: i / I i i ' ' i l i

Page 73: dinamica constructiilor

rr : f u, : Do;'r i(t) : o 1*(l),-r - i ""

ln care cu O s-a notat matricea moclall a structurii.Forlele exterioare elastice asociate moclului 7 de vibrafie, corespunzS-

toare deplasirilor relative uy (l), vor fi egale cu

Fi (r) : K u; (i) : .i M ot ni (t). (6.23)

Irr carc furrctia \'i (tl, itr cazul seismic are forma:

rilor modale

ln acest fel, pentru o accelerogram6 data ;;"(t) se poate determinarispunsul moclal uy (l) prin metode numerice, iar rispulsul total al struc-turii, in Iiecare moment ,, se obrine prin suprapunerea liniard a rbspunsu-

,f t,l : *i ( ii.1.1 e-"i'l'-"r 5in o,! (t - t)dt.o i o j or f J

" ' '

, i^",: ' !^ r l(a t, l e-! ioi( '- ' i)sinoj oi o, lr

(6.2t>

(6.22',t

<,5(l - c) dtll idr

(6 24',j

lncircind succesiv structura cu sistemul forlelor F; (l) (j : 1,2,.,.,n)si suprapunind liaiar efectele pentru toate modurile normale de vibralieie po-atd determina starea de s6licitare gi defornralie a structurii in ficcarcmoment l, produsb de actiuuea seismici considerati.

Rispuniul seismic maxim, Pentru un anumit cutrclrrur, se poate de-termina utilizlncl spectrele seismice de rlspuns. In acest caz, valoalea ma-ximi a funcliei 1| (l) este ilatd de exptesia

: ifu as,,(ri,ur),o; rloi o,

!r care s-a considerat <orf = <o; ;i Ti : Tj: ? , i^, valoarea spectrali,- ( ' i

a vitezei S,o asociati modului I de vibralie se determind. utilizind spec-trele de proiectare corespunzitoare cutremurului considerat.

ln acest fel, deplasdrile relative maxime ui,'' coresptlDzitoale mo-dului I de vibrafie, produse de cutremur sint egale cu

n1 ^a,-- . \ ' r1 ' j -at

(6.2s)

iar forlclc clasticc rnaxiurc aplicatc masclor pc dirccfiilc grtdt'krr dc lilx'r-tatc, asociatc moduhri j de vibratic au cxprcsia

((i 'J(i)l,'i,", K u,,,,,,, ,j il oi dffi; . ,.1, ,{",{i,, ,,),::r:. -? !-r. -lta:\'l'31:1:1&

rr

i, fott F;r aplicatd pe direclia gaclului -

z dc

[bett"t" a siru&urii (masei ,2, de la lrvelul r;'

$respunzdtoare.mo$u1g -f de vibralie (fig' 6'11)

ii nrimeqte lorli seismicl de nivel ti este data

{q exptesia

Fa : a} mt Q't

de'nivel F;;, adicl

dlrtrlbrrl.tc, r'grtl t'tt

!-

g>miQ:i t

Fnl--+

N m;of, ais,r(4, ui) :

(6.n1-(",',, +)',W"" Fig,6.11.

core G, : miT este forla gravitalional4 corespunzetoare masel tt'i'

Forga tai"ii.t" 1a baza structurii F; este egali cu suma forlclor scts

,,r,;)P(","P,,,,J:f> cr orr'1":[",s,,;)frF#]",

,rc C: FG,

este rezultanta inclrcirilor gravitalioualc

Notludu-scft c,o,il'

'q:F:{F"/'IT'tl l lctoutc lt l lazit sc nrai poate sctic sub iorrrra:

Ir, : tod 's,,, 1)"r c

Lithiirliiiir;i\n:n,i$:ljffi1il{ritr". liil1,*'[riii

r -F r . .

(6,28)

(i,2e)

(6.30)

. { ; ro, i| lu '+ '' I ( ; i ' l ' r ,

l t 11 * l i 111

lo l lu l tOr l lo l l r l r ru, l l r r l l lo rh. l l t t t l i l t r l 1r l t t I t t t . f I r ' t ' t t t t ' t r l rx l f , rk ' v i l r t r r l l ' '

Idiflttrl rllrrrrllo t,rttutor r"t.nritlo " iu'

' liuti i'n ol'llerrto rrt*tle' ob|lrrlrr'

( ( j .3 l )

({i. i} 'J)

Page 74: dinamica constructiilor

llntnri'-sc"s,ir',ir'n';[:';il;:il;ii:ff'?o:llt'fi T11ffli:' rro'"'nt" ,tii-uit',ii

li;,!!i,liHrll..llilTiillriENrRupRorEcrAREA6.3.1. Considerotii generole

.'i,"1"'?i"'"Jffi ffjf:TTi.::-:- ::nstructiilor reprezint4 un proces de or)r i

fi tin;ti$:'"1'.{Hii:t3:.T"{iJt:$fi l!'fi sgr:"'nusereduce""l-n-uttirnirr,i,ia, ,",t-ffi'.!l:lq*' "^"d9'ittii-"'iiiiJtilf*ii:iitiiill;:nnl""''ru.iili'l*filTr"""sili'+:i'#J*tt'#'""r"-"i"er"i"'yi""r"

tirft j?r:t fll: ""X*J,'- l"r:rne de'calcul seismic, Normarivur ro'rd.

*rj*:i1qi",i",,.#{Tii"}{,x,t"Tdf ;"F*i,"r**tli*"txii*ii",*:1_li&;i:,"*il";"161$,t":L,".,";1,:fu ;.11..3J:i.;,""',,,"1*:rfij::l:.ra

nafiorari. sau deg-radarea-,ml"iir"i."i,rt".al arlistice dc

*'"ultu::'il"r"1".rrnJ,"J1"ii;::.t*ismiciseprevdddireren

il$ir{###i',"*fttffi #"*ffi #J;r,i#*i::j*i,*f f ;,"",.";,";,-rilil];g*:",nl,"yi*#*_:*"i:.,,""nfii'Jll,i,l;i.,11;"t;1f::tgnJi deosebita- - reacroare nucreare, con-

;E;i?if-""",:;;1:"J';.;i*,,:l"1|:':liT:"#3;1?fi 'ff "'["S,,X"##;ir$-*t'*ru;l+?['?"mik,.,"'+:r*$]"i'+..:1":.nu'u. . Pertru prtvrnirra pierder i lor a" _"* l - , ,L^-^^, , - ,LTli"ifi:1,:llF:i#j*:I{::i.,:::.{*#t"jf i,?,ft l"ii,i,n",x1,3:,ff ::,?'"i:hxitii:"--fn*,:::rli*:*':1,.*Txij::t:""ft1:fl{;::::,jlilifl ".':ill".:."*,16ili^T,iit"".t,.1":3'l:J.f;ou,?::iliil;3#:i ;i::l:ffi :T.":l?:i,T"f :,H;l:"'."'"?. ::nl"^"_ll,il1ix,ti j?il156

rotc l t tdrr-sc i l l ) I ro l . loDlrr cr t ructc l is t ic i lo l 1tr( t t t t lu i t l t : f t t t l ( l t I l ic r ts l l l ) t r l

:;ilii";;i;;t;.' iii sli.r.'trrrilt'r, prinrttl pns itt .proicctareo ltttrci t'.tt-

if .l,ti'iiitui" tkgt'ree autllasarrturtului 6i rcaliz'arca nno: :f1:]9ii fl.il,H ;i 6i;;il; ol"'ttt,. ,t" tcrcnului dc fundalie

- Degi ln stadiul tcl urLl

iil,il'li,:,'ffi jIilT'"1*'" l1liJ1,.",f i:::"l:iJ,"Jii1d;l?iiii"' :ii:"li li 'o"rr'riiiitititr,ii poatc fi"rrrt in1porl ant factor de deciz'ie itr alegct'ttL

iif ,fJ iii:i,"iiiiU, talcxibilt sarr rigldir, urmlrindu-se cvitatt ir r(zorrirtrJ.i

't*,Xl't* r,,t,lt].tlll.a" ",,,

it",,"o aurplasirrii construcliilor pe . maluri, I i 1 ".li:.,1n:l :1,1,, :'i:i"y:;';lli:,ilT;:\ fi';ilffi",?

-iiJl"llis:""1"l,iillli,rl i"iiii,,ir. ii.'ioluiit it" tic tiPrrl nisipurilor"cu grad mare de alitrat "

t i r . r . , r t r l ic i t " l iabi l t , rn i l t t l i , utnl ' l t l1rLr1. ,ctc , ln.cazuI c ln l : lYt \ ' r : ( : r

lii,l,,"iii,' 'i"t

r,"t Ii cvitatc sc rclo'tau<ll m5suri de consolidare a t(-

;iil '. ';;,. sit asigurc o comportarc antiseismicE corespunzetoart

ffi i -. u t t "'uu

t "l[ ̂ a u caracleristht-.

-F"l): :l: ---t:T,1"ul;tg"? " # ",1:i{ft ,i:n;6'1,,-lt+'o"**l*,:'l"l:ffiff l#li}"'l?":F,?';:1..'ili,

't*rgtiii "';Liii"l

5'i- fre cvcnlei de producere a cutremurelor

',ti;il*;,f itl,,11,:i,il,l'",;?,lll#lli ;l';{ff i'$:,'9ili'"t*ti'"*ii,L,;iiii;iil;i;. j;ffiitudtn"u privito;re

'a caracterisricile c'tremururni

Eriil,'.u,iii.: i,ii" -o"."tota

lua'ci uror mdsuri speciale de precaulic ;iiiccco ertc rrcccsar ca ln Prorectarea antiseismiil tU :" lpl::-9.ti":lfil;';il ;ilt;;:; in pioiecta'ea antiseismiil sd se aplice priucipii

ir', iruii,t:r"ot" arhitciturali 9i structurali, carc sa pcrmitir atit

ii rri,-rr'i irJ io"teze realistc, cit ;i o comportarc care loate li u;or

[, itunrrt'sitni gi expcrienla se dovedesc in proiectarca antlse$rnrcir'urol-

itiip.tttiui" dicit s6fisticarea metodelor-de "1:ll'--,-.,,,-. .,.,

l"iil:'#ifi;;i'i;i ;t;... o reflectare adecvatl in. prescripliilc' dc-i*

' "

'."tJir"f ii'l<,r' pr.t a'ut* in uornativul romAnesc Ailitl:, .ll

iilf ̂ nilllui'*,'*:,,,:;'i"n';i:,ilff iii" ;,iilI'liil ]'..1]sill';rl']rill"ili:ilit,*':::1,:'.1$'.T'3"""i:#iiH'?"'f ."#i'""'lxlill;tl oirt iscistrr icc, erstfel{lt,cerc trouson sitr sa-Hl';n:'illn:,1';Hl 17 z V7 (7 )

(r1; -0J1ti.- t'--L"-':') l'/' 4 L(3 \J' tJlrttctuhttrile in plan Fis. 6,12.cr)n'itnlclii l(,r trcbuic

slil,;iil':l:"j:1il:!::i ,T rc *'v^ nl] l l ttrctc, ('tr lttit crcttcfhsttf t 'rtl irr'1('lc scisrnice s.t dl-1 l\-'?-t U (\

l t l l lnl l l l( 'Htc tl i fcrit pt' l tttt-

ft,l"*lrriiiiqiii; " T, ffi ru &"r*' i;t'iililiiit:.,..;;;.,,i i;i.,Tl.lgt t r : ' l r r rk ' le ' t t tc i t r ic j t ts ' Fis. 613

151

Page 75: dinamica constructiilor

!,ii,,li*,i':1,:;'li,',lll?"1:::,:"Jlii,i,,Uliilfij?t,i:ttr*: fJ:5:,,*:,r;rrrorrr.rrtelor rnari dc rlsturnare,.afar.soliciddri-Etd; in stilpii cxtc_

i ixl :if l3:'i.X,ff "ffii#.,f:"ff;'Ti "J#*H*lrir cedirea sti,-llf,;'flf,':,ll#"!i ,*,11,1ii:.d*""{"":",1"'Ji"''"1,L1,'J'11i il'ff':31:

r\orlratlvul limiteazd. oentru clidirile de locuit gi social_cultrrralt.jl' jlt,Tt:llj.tltif rmlff l,J_lly,ff "u:111i{ j"f,#,,b.,J".ss( :rrrflrtc rrurnai in mod exceofional e"1tr" qf aiiri'Jlt"]Ji" a" producfieLll',1'il'l1l'"ii,ii",'-T""n"1io1i,*tarea uu*a'u"f ae ol"i,'?i?or-i t"uio-s(' l)oatc dcsfd.gura oorn"l p"" *irif,roducfie

la care procesul tehnoiogic

Tab.lul 6.1Numlrul maxhn de "'""!ito?illli";'indiri etaisto de produclie

lnc&cdrilc acdii utUc co$iitc.atc la calcutd rt[ptof (l(gl/d)

**:'''i-!,:l:ffi--.'*'1*;f*??,'.:il"-i:":lli"?jjJ:":"#i,,t",i",;lll."Jrf;,IT;ilil$'j,:,::11'_:'Jttil",X,'ill,u1"i,.{recte a incrrceriG, *,"'"ii"ii",iJ"-r" t"i""

Iilii-.:li^ry,:-i"':i:ji:ihi:'ri+r"ft 'rff ffijr'n,,*,ii::*itl;iILontucrarca spatiale dintre el

llll{.,11 jl#llx'hilLli""?,,",TiiH;,",Ti1fi ["'":#,j.,"X'jl::J*nfl fil,l"*,i.:i.,1ii'f,',',',*{i'J,l#,-[**{'"":t""dl,"i'0",1:$ll',ffiI:i;i:i: iiJ::ilfiIll...J.t,,ii-,111!-i,, ""n, rongituail,li,inr"llt.j,T,#l,,"muri" .,r.i.r'i,r,,i, .*r',r,,ill li;,'is'a'l:'ri -llfi:llil:f;ifl*'_ffii,l"

"ll;lli';',li, JlllJ'1,;i',,, ,,,'ll,,yll,l?*'Jfi:.:illi::,I;,fiil,:ti:,;ilil,lliii[,1i,;:illii,:,;i,.,lti:llilili,lrtil;lllllil"ni."lil-l:;;i,. llul. il:liilii,;:;ii;;ffii,;5i,1;iiii ;lifiilii,iT;l lrB

Obscrtr$ic: Se consideli lllclrceri rr1edil^ utile, ,itrcdrcitlle de exploatare pe plalr€e,

iilffi til "T#HT." Xl.-:::ftt""tt a"- "r-',rt""Ii.iJf,Jt* _"ur-pr r"

dia i'"utrarea -ai!i"; #t;t$;n:

Ya adoPta nredic val6t hcircErllor

P+5E

P+4It

P+38

P+3E

P+2E

P+1E

P+IE

lilor fuacliouale la clldiri in, care la nivelurile inlerioare.s" c' l

mai mari. Depiguea acestor orficult$i trebuie- j1t'*t^:.t:::*J,'l; l;'iiiiiid" ci-it? i. ""t" "a

nu creeze tiscuri suplimentare Ptrntrlrrice 'consttucliilor in caz *"?I:TS1;

c1lclirile etajate realiz,r-lllilli3r::'#ill#"'."""":#inridf ol0sireadialragmelorverticalcu?u't;:;; :l l,e4*'l::1"#:J:'t?H;:,i'f#*U'::,;":#,1;:::;

;lt nnrplasatc. In cluda unort6o rcismice a unor asetnenea tittiJ-i ;gia"- 9!:::,":tt*^*:t*i:i'll! f,clsmrcc a uui.,! .*awle 1* -ti-"J-*tt"murelor' ceea ce justili' 'tc[ clc s-au comportat brne ul

n;,iJr. 1;;Ja9i ti-p,.."c"tt'i solulii oferi 9i posibilitiJi rrrrrt

ii compartimerrtari a clldirilor'nctilitatea unel strucrun ar. i-inlluen;i majori. asupra

-rls^pr'r'sulttili "::::1"'::'b# -ii;, ilt;j: . -""- i'i"i"i" . "in'"ii1!i1, t:1: "' "''orrne plastic. Masura ducurltatl ]:*-t -9:?

t",q.Y*"l,"" ?f111l]i:ilf iiilH""ilil"l"i;;;;;ilt6'qpq"fl -.d"r9:':Jla.saudc-;'ii;;itJi-;'t-i'. Degi ductilitatea este inainte de toate o pto-

I iiriJi'ii -it.i"i'loi

dio'"'"- e'te alcttuitl "lryly1^"i,*:*ll*::ld'ii'T''iqi.::iiil:|*iti.'f, .ixff *,"'iu?,:ii'-u:""*',,Till:ni'ntclor portante tn structuriffi "i't"ri

de rezistenJi etc' A;a, lpj--1 i1!iP*^,***t"?:fi,,:::i;ilttit#ir ."laili'i,'Jit3t*"it;^'l"ii't"""voieri decit jn

^cazul ru ltlii

liillt;il;,"*iin',"'ruil':':?"''."1"'::i11*.i,1"f,,','illilrl'otc,

cluctile au o pronunlata capacitate de disipare a energrcl

plastic.plOO-Zg recomandi iu capitolul referitor la constructiilc

1""]l ir' i,Yl".'ri"' ;#;;;;'il';"' a "e asi gura,?, Tl1l'ij I *c[ (ductilitatd a structufllor" , -,-=

:1,'.'';i;,":#tli' ;";;;;;-J -;aractcristicj dly:f- j:111.1."irr carc

;rl;Tl,iirl' liltl'r l' ".i'ii", i "r,'i'

nr"v e a "-r" ^ 9t,=t'-'l -:"i:T : :;'lililii"i

...ili tL i,iititrie'-'9"i't'" si oscileze

-in-dcPenrlerrt'f' ,i,i '

"i.u.,rit" sub acliunca nrilcirii -scismice.

u t"l:":llti,,t,):t'l:.;;iriirtl;;' ;; J l,crmit f "9:!191," - ",1-:::r:'::ol t l l ( l ( cruurrr! n![ ' o!trvr ' !*

" ' ,r*trtr i scismic prin condif ia

rtrrlrilcytc li l inlt a ttct't sarI d

d 2 Lt* A" -1- 2cl t , ((.i.33)

f,i,.*,iill,,,'l"llll"liili,,-J"'1"u?li ;:ixi T:ilf""i:;t"*':"11'x:i !lnxtIoll l i t l l l i lol lor supcrroarc (rrl{ \ ' r1,| '

r lcfornrllr l l lxrntclrrsti- .---

nlluttllt rlcoscbitrlItt ttt.tt ' l t t nt ivtt l ro-

i,'iir, "ll"rrl u'ldttth' rt-

r ltteArcllrlkrr glrvittlll-( td t l l i | . l l rn r ' I l t ' lc t t i l l t l t '

e * l t t l i l t t ' l l I l l nelxut i 'tgltltttttttrll l ttt l l lzrtrt'rt

I r ' l t t t t l t t t l l t t t r ' l t t t t t t ' , t t -

I t t t t t i t t lo l t t l l l t ' t l ut ' t t '

' ; ,- .-rlj Jh-L -_'_

r l i .

d fftI - t

l lu d 14.

ul

Page 76: dinamica constructiilor

pedturi uioare; la clidirile etajatela sol sau la nivelurile in_ferioare.ugoare. GreutS.file permanente alede locuit se vor inlcrie in limitele

mari se vor amplasaextinderea betoanelor

incircS.rile utileSe recombncll

nivelurilorprescrise ln

supraterane ale cl5.dirilor 'tabelul 6.2. i

GreutEli Dermstlontc_maximc pcntru nivelurilc suDrlterancale ctddirilor do locuit (in kc/mr-a.dt

Sbtcnaul co*trlctiyCEalul d. ttloteti.

dtiai3ElcA a 6BtB.

<8 >8

Structuri di1 diaJragme dese ale betofl armat monotit(sistem fagure)

+1D I150 I 250

P+88 I 250 I 300

Stntcturd din diafragme rare de betor arnat lrronolit(sistem celular)

P+4E I 100 | 200

P+8E r 150 | 200

Structuri in diafrag,rre din pauoui ruari prelabricatecl:l oeton armat

P+4E I t50 t 150

P+8D I 200 | 2'o0Structuri din pereli portatrli de zidrrie de cnr6mldl P +(2-,1)E 1250 1 300

Structuri in cadre de beton armatP+4p

II 050 r 050

P+8E I I 100 I100

tn ncest fel, conceplia actuald de proiecta.re pretintle ca structuroLr*ctlc o canacitate Dortante suficienti pentru a rezista ln dorncttittll[ l|lrnrde o .capacitate portante pentru a rezista ln dorncrrirrl

dtitls h acfiunea unui iutremur moderat,I acfiunea unui cutremur noderat, energia suplimentari coresputr-uuui cutremur sever urmtnd a fi absorbiti prin deformafiile elasto'prin deformaliile elasto-

tS.ietoare,la aceasti

Ittl)criotrr[ cavrrl dcr

rttlcc ale structurii, care in aceste cazuri poate suferi unele tlegradAri$c, f[rrl lnsi si se prebuqeasce. Slnt astdzi una[im lecunoscute atitl,ottontu asigurerii pentru constructii amplasate in zone seismice a uneiItltlt[fi uaeci'ate, cii gi necesitatea de a se preveni formarea de mecanisntetlllt[tl adecvate, cit gi necesitatea de a se preveni formarea de mecanisnreoldlrc ln timpul solicitlfii seismice. Itr aceaste ordiue de idei, pentrrr

lt €vlta formarea rapidi a unui mecardsm de cedare in cazul structurilorSldro c$tc recomandabil ca articulaliile plastice s5. se formeze mai intii

ti l)lantee gi nu in stilpi, care vor asigura rAspunsul elastic al struc-dcplaslrile laterale. Din acest motiv capacitatea cle rezistenll larc o stilpilor trebuie cousiderati cu mdte ateltie.

co[rtructiile clin beton armat qi beton precomprimat, se acceptill pcutru ductilitatea de translalie valori egale cu 3-4, iar pentruttct lrr sccliunile corespunzltoare articulatiilor plastice ale riglelor,

cu aproximativ 10.ccdttiii neductile a structurilor la acfiunea fortelor

$r1 sc asigurc structurii o capacitate de rezistenfipcriorrl capacitifii de rezisten]i la incovoiere.

Tdbelal 6.2

. De..asemenea, sint_ frezentate mi.surile necesare integrarii proiectiriiinstalafiilor in procesul general de proiectare antiseismici] lo ui"r" ,""o-manderilor prrvrtoare_la amplasarea corecte a instalafiilor in raport custructura de rezrstenta, este necesar si, se_ prevadi. detalii de priudere ;ifixare a ap-aratelor gi conductelor de instalajii, care sa permiti^ in caz dccutremur deplasiri relative ale acestora fa!6 de elernentele de care sintregate.

6.3.3. Dete.minqreo incdrcirilor seismice dc colcul

, 6.3.3.l...Principii de bazi. Conceplia general6 dc calcut autiseisnrical construcl or .acjgptate de Normativul pl00_79 cste cca a aualizt.irnooale tu d.omenlul hruar elastic de comportare.a structurilor.. ln proir.c_tarc, acfiunea seismici, este ln mod convinlional rcprczc.tatil srrb'lorrrrrrunor. Iorfe seismice de nivel .aplicate static, corespiruzirtrrlrc lirrlclor tlcincrlie datorite oscilatii lor sersrnlce.

Irrtcnsitlti lc fo.rferor seismice normate considcratr: i ' crrrt.rrr si.r i 'u ' | r ( r r l lnal fcdlrsc dcci t i r r tensi t i ] i lc rnaxirnc rcalc-co'cslr l 'z i l t . . r r r . r i1\ | | r r lsLr l r r i c l ls t ic a l structrrr i i prodrrs ' rL. r . r r t rcrnurul a i ' ' 1r , : i , i " . : r ,n, . , , . Cl lorr t r .i r ( ( 's l (* , s l ra( : ta ' i , c()r( 'c t . r ) ro icctrr t t ' * t i l iz l r rd r '< l r le lc scisrrr i . r . ,oarrr . , l lr I l r , r i tL t" , l t lc l I , . i l i tP I l l t | t - ( . t t . ( ,1| l l . ( ,

l ] l t t ( , t I l ( , i , ,A(r ' r r ' t r r i . r ) rr( ' r r i ( ' r ) ' t r r rrr ic l i r ' pr*r ,c r i cxlr l l r :nt I r t r t I r i r r ' r r rrrrrr r , i l

glitl rtifcritor ln alcittuirca qi dimensionarea construcfiilor de betonOr tl In rrrrlsLrrilc cc ltrtneazl a sc lua in cazul cind nu se poateductllltntrrr rloritit r structurii.

dctt'nrtirtrlrcn coroctcristicilor dirtamicc alc strtlcturilor $i etohltrlc(, (l(, pt'oicr:tnrt,, uortnttivul adrnitc adoptatca unor schetncrltltlrl l l lcrrtc. Astlcl, sr: ncct'ptit ltr nrod curctrt, concentrarea rnaselorllo irlttrrit,clor pcrttttt corrstr:rrclii lc ctajatc satt conccntrarea tnasclormAi rttfk'lcrrt rlt: ttivclrtri cchidistnrttc, Pcntrtl colrstruclii zvclte,ootltrlltrr d(t ltl l,

ldltAtll(, r,h,nrr,ntclor$tto1 drtl,, n1x.t,lufti,

rlt: corrstrttc!it ' qii tlc rclzctnclor sc dqtcrttritti l,pc llrrarl rlgiditltl i lrtr cottsidcrttc in clzttl solici-

lEt ig l$ rpl . r t t i , ' , , 1 l l t l lv l l t t t ' c t t t t r i r tut i t r tp l icr t tc i t t l t t t r tct t ' lc dr . : t r r t t t -

l -d i i t t tnrul , , r , lnr r l l l t 'c f ln rk: t te l l t t t t . r t i l tc i l tcr l l i i sc i l r r t iet ' , i t t p l t t t

m vr f { , t t r l ( l ( ! t r t t l t t ! [ r ' t t t t t t t r t t t t ' r tz l t :l r r r r r l r r r r , l l l le ln t 'nre ' r ' let t tnt t lc i r ' ;xrr t r t t t tc vt ' l t l t ' t r l ' s l t t l ot i l r t l r t lc

tttr structuri solicitate la acfiuni laterale de tip seismic, ductilitateacrtc cca de translalie. Dac5. rispunsul stilpilor structudi este

cqpocitatca de delormate. postelastice a structudi este.. asiguratitllltntco de rctarie a riglelor prin Jormarea de articulalii plasticc.htco dc rotalie poate fi exprimatd in funclie cle ductilitatea inll corc$puuz5.toare unei articulatii plastice, definite ca raportulourburn total5 in secliune in rnomentul ruperii 9i curbura elastici.

uttodutlllsr r{ vol fuurldt't;r ltccitc (llrcelll I

Page 77: dinamica constructiilor

Cqdrut A

Codru I B

Codrut C

-f 3[r:34!","0'

pentru determinarea lnelredrilor seislnir.r.vib.rafie, forfa seismici carc aclioneazii I Ioe jlbertate sc calculeazi, cu relalia:

- coeficientul dinamic corespunzetor modului proprirt rl,'bratie I al construcliei. Se determiui in funclie dr: 1utt,,,proiria de vibralie a structurii pentru modul de vibrtfit'r',,t

derat T;: lll si de natura terenului tle funclalic rlrrp,i ,'6j

urmeazi. :1t<,nlrt terenuri d'e fundare de rigiditate normald

I t

-3' ' 7 ' i

Lqorut A Ccdrut B Codrul Cb SECTIUNE VERTICALA

Fi9.6.15.

- la cclclalte constructii se vor considera direcfiile axelor principalcalc ansamblului structurii 'dc rezi"tenfa- --' '* e'!!t 'r\ a^

!,,. li,::1"$[Ji1;'ffiT:.*f,1""*"1"i*':t*:1,11':-:'x:lj:.9:,Hl-

panlrt terenuri de funilare rigide: tere. ll lnlr, rlirr <lcpozite de nisipuri, pietriguri sau

lrltnturi tcrli lrc sau mai vechi) etc., valorilein ':lt"1r. r'cspectindu-sc condifii le (6.37) :

({ i

( r t

rcduccrc :r clcctelor iuci.rcirii scisntit'c, (scuua rlc dtlctil itatca structurii, dc cit;rrr

lerlxtl in(kr-sc coudilii le :' 0,75 < pi < 2,0

asiguri intre elementele portante verticatc,l1.f:rl.l:. j,:,"gciritor-seismice o,i,o"t"r" r"-"" l#'.fi#lf lXffi"lllaccasti _conlucrarc prin legarea

,elernil!!9r-.l9rt{t! iiirr'.p"oa,rti ,igi,t,::,,::1:,1r-":-::_.1',.^t-"t^^:lt,-"",.ingur.element^portant.pe rrecare (llrccrr(lllifi !:"'li:,,11:':'r::[;:"";'xr":,i,ff T;,.",x{t$*"""ffi *._.,.1i r| - rrx'f icicnttt l <lc

lx ' lu l { i .4) l i r r i l< lcollucrarc rru cstc asigurata, ete*errtcte

::r .--' :l' I,siiui'il'"J"11*r$"T:i:ff "fl"':31'&#;:i.*".:f#[l.:il]alcreute de plaugce.suprafclcl, 'r

. 6.3.3.2. llela;ii oeneraleorlzontale. Pentru modul I dcnivelul z pe direclia gradului

unde

( ' l I r l l r l r ' | | n l r l f lut ,1 r l r l , ln ( ln ' r t l l ln, ' t rur l l r l t ' z i r l r " r r ic st tu r l i r r l r r rgnrcr lo I r , l r { r i f l [ r r t , I r , t l . , l l i N,rr I , r r t , r l , r i ( r l . ) s l l l t sorr l i r iShl i ( ( l i1t i r t rgrucrqrtr l | | r . r l r r l r ' l | r ' | | , l r i . )

t')ttL'.l l , : l l )

!ri:'.

t ) , : t5t , , ' l t ,

t ) , ' . I )o. l5

0,1t5

r) . j5

(6.3 r )

(i.:r5)l , l rn In l , r l r t I I c l , 'J f ( . . s

' r ivr lnr i ) t i c , r ht l l l l i t r rcr

l l In In l6 r lcii: h"\i 'hi i,in care:

Cii este

irr i t r l t l , , r | | , l ' 'J . i . s " l r r l " r l )

: f iur t . r r i r r t l l t i r r t rl l t trr

;?,"f]"Tltg,i:11T]ic de nivel corcspunzdtor uivclului i;i rrrorlrrru l J de vtbralre;

:::1t^:.",ltt::l:ltl,(tabelul 6.3) .corespnnziltor grarltrt r r i, l,tl:::^"tt:^^":li.1t.:ricd a constrrr'c!i;1", iil,:i,i.,i,ii;";,;l;;;,,;,dintre

- acceleralia maximd. estiniati- :r' ,iriu,urrc. d(uErcrat la nraxl lna cst lntat i a r l is , . r . r r i i sc isrrr i , r , ,rcrenutul t l accelcrat ia gravital io rr l i - l ;

" l " j t '

. o?l l . t . ; , r_l

r ! l \ ,1 l , i L ' l l ' . , l r r , l | | i ,1, . l l l ' l l , i

' l . , , i t I l , l , , r I

l ' l , l ' l l r | ' ,1, '1, '1,

l f ir I r i l t ip | l r r l| f i | | rx l f i | l | l l I

l l { l r , l ' l

{ t r l , r l ,I r r "

r l i r l r r r r li l r l r rd l r r r l l '

' l r i ' l r i '1, . r I

It

I t l | | ' r r r r l l l ( l i . ' , ' r rn l r r r ' l l l '1 ln, , l r r l f ' t t

n l r r | l l r r rn t l , i l r l r l

t r l l i l r r l l l l r , r l l , l , ' r ' l l r , t l r l l , l l . , r l , l l l ' r r l ' r4rrr l l , ' r , l ,

t ' r r t r ,l r l r r r l l l ' , r l l l , l , l " r r l ' r r l '

' 1.

l lh. , | tn l t , n \ , ' l ' , r l l ' ' , r l l . l ' r l I l I l i l r , r r l | ' r ' l t l i l l r l l ' , , l , r l , ' l i , l r l , ! l r ' , 4rrr l r l , r l '

, . . | | c | . | | | t r | , | 'n

{ n i , , r { l r l r l rn l l r , r r l l { l l r r . l l r r n , " r l , l l l l l l ,

, l . , l t r ' l l l l

O VEDERE i|.r PLAN

Vnl'r l l r rool lr lor lulul +

' l ( . ! rn ' { l r r ' ln r i r l r t i rntr l . !n l { l rk l iv

I cradd dc protE

-I uriehDi.d al

| -_- '_+-

L' '

Volorl le coeficiontutul / l .

! r t r4, | | l ' l | | ' ' r I

f l , l l r N, ' | l r , r l lvrr l l ' l l r r l / l l

l I l ' r l l I r , 'x t r l | |$, t l lh rr ' ' l r l | ' , r , , rn l , ' l l l l . ' l l l l

l r l , r ' l $, l t ! l i | l r r l l l l l " , '

Page 78: dinamica constructiilor

tatea de redistribuire a e{orturilor,. de ponderea cu care inter_vin rezervele de rezistenjb """ooiia*it.iii-[ti;t, rezuttated.in cortucrarea

"t*:*li.fl "1"_""d;;*#;;ale, 9i deefectul amortizlrii vrorauuor :\;j - coeficientr:l de distribulii a iorlelor .seismice corespunzi.tornivelutui i 9i modului 7 ae viurJiie'pi;ft'"#,; cxpresia:

lllLT"?11,fi1i.1ff:?XT;:,ii',"-"P,Y31toare niverului (gradurui.de ribe.rtatc)i""e'sa;r; ;;;-;it;#t"'il" J',tJ'Xliir

rD; a modtrr'i l' G, este rez,It an t aKezutanta GJ. se calculeaze finindu-se seama de urmEtoarere:- se va considera numai {racfiu.nea de lungd Au.iia Ai" incdrcarcasravil€tionata, in"l,siv din

::]e_9?1a.d;-l:cijLi.ir?'al'llil.port din halett.rnoustflale, cnrn sint podurile rujante;- .:- se admrte, de reeuli, sI se.linriteze calculul Ia o singrrE ipotczide d$punere pe planqee-a incirci.ri]or verii""l" ;;;";;""nte, qi anume

::3__Tl*l-a pe roat!, construc{a. In ^cg_zyl .p""i*l j;;;;iructiitor

la carcr^ezu.rtanta.acestor incirciri defipegte 25y" dfi;;A;olt?iur rro, incdrciri-lor verttcale ale construcfiei, seria consid&a i" pl*, p.o'tru riccare diteclit.oe.acF'.ne a incdrchilor seismice orizontale, cite o.ipoteza de dispuncruqr$mctnca a incircdrilor vertjcale .o"p"ra.o""i",

-""r"""

"i "ooouca ta ,,H'XL'T'*iTi;ffi?"""1-"3;J:ili*i"i.il";;'ii;'""";l-i"",r"i"i"'i

*rrlh"r;;lir". Collpartrrd relstia ale calcul a fo4elor seisDice de rivel propusi ite nor-

\Gtourr: odrA;i.,

2Gio;ipri:n"pi&ri i;if,

Gi

cu erpresia {orlelo! seismice ile nivel.(6.22) se poste stabili o corespoldeaJl lntrc etc_helltele ce intervi[ iu cele doud retafii.

-^,^*|?:ti iei"tgare la baza structurlr se definegte ca rczultanta inclrciril 'sersmlce orizontale gi este egald. cu surna forleror s"ismicc-ac nivcl /..,p.

- 5 ' r

au ,""r?111" calculul direct al forfei tiietoare la bazir, Nor'r^ri'ur l, l00- 7s

F1: h"p1QeiG,ln care G : I G, repreziuti rczuttanta incirrctrriloro, cste dat di expresia (6.29):

l ! ( , i ( l ,J / l t ! r i l i rE/

-: ------. I

' 11, ; r ;1 11yr;1,r , [ 1 ( ;

( i .4o)

gtrrv i l r r t ionul t , , i r l

(6.38)

(6.39',)

(i.3!))

F:cG, ( i . . t I

Cllc' c -

h;lpe este coeficieutul seismic global corespflnzitor nro(lrrlllal de vibralie (tabelul 6.5).

7'abclt l ti.:

Coeficienli seismici globall

tlDul dG conltfllcli€ 9l $ttdrul .lostrt|ctlv

0,45 frr

0,38 n.

ta crzut construcliilor de tipuri curente a ciror perioadi propric ftttt,|r!1tl de vibra]ie este cel mult egali cu 1,5 securde (cl[diri cttjlXult qi social-culturale aviod pind la 9 niveluri 9i lndllimea rttnxtttItoredl 30 m, hale intlustriale Ei zootehnice cu un singur nivel 9i clritli

lolc etajate avlatl pinl la 6 niveluri 9i inillimea maximl stt;ttt25nr), iezultauta Fa incdrcdrii seismice orizontale se deterrrrittirlnd numai modul fundamental de vibralie, cu expresia

'llotlh dlrr tlb(,lul (i,5 $lrtt dotc lx,ntru corstrucl.ii fundatc pc tcrctltrriItr, lrr cnrul altor cntcgorii dc tcrcuuri tlc furtdtfit ', valotilc se cott'r. '-,3tt cocflclcnlll prt'clz,ali hr legilturrl cu ctlculul co('Iicientului din{t-

Dlltttttctttit xc vn lhie lenntt qi dt' obscrvttiilc dc ln tobeltrl 0.4.rtlu nrcntcttctt corirtluclli disttibu'l,iu l(,zultuntci ,l; n ltrctlrcirrii,h rrlurrlt'c pc frlllllrrrrt rrrttstructici sc Iucc uct'tlrtlttd o -variulici lornrr , l furr i l lur"ut i r lc r lc v ibr l l i r " t struclrrr i i ( t ig. 6,16). l r r ot ' r 's t

rclrtttlt'tr Lr ttlvclul it r ' ln l ln

"' 1'. tj tli

! ( r i l r

(0,{t)

nlolltt 'ttt r,lrr tlo crttt-

l, t't i

J--

t . 0r

I f i -* t lI LJ I l*16/I l ' l I i^, l/. I . I I1 I I

Cltrdld cu structulI rigidd {percli portanli deddltlc aau dtsfraSnne de beton armat, mo]lo-llt r.u prdobtlcst) s.u semtrigide (dia.ftaglneconl[crtnd cu cadi€) cu o dispoziiie otdoiatdA ttjuct$ll l[ plotl ti pe vettlcall:

- phll lo porte! * 4D qi cu lnhl]irne sul)ra-tlrolA ph[ la 15 m

- cu portct +(5-8) etdje 9t cu intrlfltnet$Dtrtcronl dc 15-30 m

Clldlrl ctojatc ln codre, cu o dlsPozllic ordo-nrill r.t$rctrrrll h plonld pe verticah

- ('lr o tlttgurl dcnchldere

- cu lllol Drultc d(3chlderl

llrb lndlutrlolc cll u[ slDgur ulvel, fllrlt rlenlvoltrrl ||16 oconcrl0ulul- cu o rlngurl dctchldctc

- (,[ t|rt|l t|[rlto dcichtdcrl

(0: l t ) ' )llr nI fr(, rur l o ( l l t t

*+tr rfl. rrfjbt

Page 79: dinamica constructiilor

iii:i,'"'lllo"'hJ'u*,lll,lll,'jli',f"1.,1::l::ll,r'c* o.ucori.rii erementurui descis'rictr totalr t,; ,ir-f;"t.,",iiii"'.lii'llii,r|S,Xtl,' aceste eremente

. l'. : c,lG.,

ilJff;*"j j:..:.,^:1,-".,:*,,rsers,nrcgrobar

1,,1,:,**1',r!:i1,",:x#:Tr:n*"r_*''L,,.:,*diq5h;t:T&'i;seismice F. &,:;$Hes::itit*h.#[:,":y*l"ti.ii.,?,:"b'"";ft 'il.ft *l:palc de rezistenfd. pent ru calculul rt*;tilii iti".ii

,@ Dentru el€meotolo neshucluraleCoelicionfi selsmici

*-'i::-ih=:il.rl3,';liltlffiX'r;:ff"j,':.3,T, ra_determinarea incircdr'or, .: pentru instalati i le aur

---- q'44r(,.uere;

;H;ruitilt;'*tfi**jlrsr!4 ucrcrnlrlate cu relafia (6.aA) in'care c'L'!"-'...4 o rncar

6.3.3.3. Delerrnilnrea incircirrm sersmrce verticale * r""- 1"i.ji't:Tice v9$ieale. verificareai:*ff:i:lfi :l'l':":i;{i," "air,iJ't-ni3?-11f,.fi,1?' o, Xdl[1p,, ;;;

to*r,, tffilf,lir "x":i'""'JjlJ,-"t" p'"a"-i'ili* : stirpi, eparefi dc zidrri,.,. - grinzi de cadru cu for

,"ff,,:,""{*ITJJ ffiilT,#,i:'l;"13i!'iTi*3ila"',i''li:,,;'i.,,lll".:i:iil"fi:,1i,

,c*T,ff"ll "tt' -r"*;;"a;-r.*"rn ."a*u, *7ffi ;odce ditectie

- plan;cc dc tip dali rczenr.ltc dircct st i lp il'1il*lt':,:":'nr :rl*:iiildffi J;;, Ji:llll,,1l'l;i:,'ir,'r#|n,,,,,,li,#i:i'iil 'l *.r* l [.;ll; nmi li''":: " iil' .: i l ":*'Ji,l:;1,,1 il' l:l' : i ;]li,riu'il"'flll',lll;, iJiiilHl.ltfi:$i;',',:,,,,1ii:,:,ffillL:lll'.,i?;:#'.i:,11'11,,,;;,,:lill

liorurtc sc' rtiri.tr,;,, .,lii;i,;,:i;;:.:1i,.,,,1;l;jilziloare,

l,,j:' ill:, [....i-ill, llrcirrr.rlrilt. sr.irir r ir.,. vcll itrrh.I rt rxlrrsc dt, i''",i "ri

riii. -r,ji"r,l,,:' ;i:i;l:;;l,i::,

1 lr.ffi"l'""P'J'frit'*"p.tu, p*"1i [ "lli]a-

$Ttr#i,". iff XT; ;i,,Hm "*;;;*,.

166

Iu i r . tPt l t l , l I t r , t \ ,1| 'lhnl t I rh ' r t ' r l r l l l r l I

1.at t,,tt 6 7structura

lncilrearea Cnsllcionlii o'

l, (lrloulul dotormaliilor strueturilor rle rezistenfi' Deplasiirilc

ioililf;"ff;ffii;c de Iorlclc seismice de aivel se calculeazij!

*ts

+ 1,5 &.

(6.41)

r (i.4s)

rnodtt l t t i

! - r ' . .

Iilttc cocflcicntul scismic -tle nivel .dat. de^expresia (6'35)'' F valoolea occeleraliei gravrtaFonale' ln cm/s-'

: ;lffiA ;;d;;'a; Tib;"1ti corespunzetoare modului 7' irrrecunde.

tiilo "*tt"n,"

efective care includ 9i efectul ddorndrii .post-crlculcazl, tn abscrta unot m"ioi" rirai.exacte'. prin^lfltllt::

tiii.'?r.:''"r"tii"i6.?i* "oJ"i"ntur l/rf' .undi * es|,1-!.a,1 itt

-ri""-t., A"i,rlTntl inicrvin la vcrificarei la starea limitir <lc

.i"tT'r,, 'iiiiiiiii'i leliuili """"t"t" a rosturilor seismice'

-'su'i't"iii,ii".i - "iicioior

modnle'..!-'li:i*"f itl'.. I:.:,1r1TJ'1,,ffffii6:Ilt'ililiiii riiii'i-i""1."4" vit'"1i" LP! 1"Fq1, cstc strii-ioDrldcrtrco prlmclor trcr moouii ac vibraiic 'Efortut iotal de calctrl

tO trctltlnc o llntll ('l(nlcnt ar -iirrrctrrrii

dc rcz'istcnt[ sc deterrrrirll

lT i \2'Pl- l '- l21t t

Vlt l lh 'ntr 'n t l t l l r ' l l l l l lo lllntll l ltt t(rllfol ltrll At o

rh. t t r i r l l t t l l tr t t l r t t vt ' t l t ' l lk 'r l l rrl n lr l l l l rtt l xr'

" VD,;'fidli,ltt'

t'fort rrl lrr rcclirtncrt trrttsidt'rtrl ir cor('sl)urrzlltor

l,t'1, Vlrllhorco rkuciurllor lo otliuni rrirmico

I r r r r r t i t t t t i r t i r , t t t i l t rc l t t " l r rS' IAS IO l (Xl iO 75 Vct l Ihr t t l r

In( l ln t l l l l l l r r l l l r ' r 'o l l r l f l l ( ' l l l l "

Page 80: dinamica constructiilor

Vcrific,,-" 1a starea limiti de deforrnare este uecesarS. in special la structurileflu*ilit!-ij,'',"tori in cadre ale clitlirilor etajate, castele cu apl inalte ctc.\.

Deolasirile relative de etaj A calculate fire a se tioe seama de ap )rtulzideiiei de umoluturl trebuie si satisfaci urmitoarele 'condi]ii:

- h "*rtri

ziillriei tle rrnpiuturi clin. ctulmitli: A < r-L ,200

- ln cazul zidiriei de umpluturi din beton celular autoclavizat A (

< !-t , n- fiind iniltimea nivelului m5.suratl intre axele plangeelor.2SO'

Actiunea seismici fiintl o aciiune excepfionali, pentru verificareastructuiilor se considerE, conform STAS lllOLpL-77 ' in qategoria- gru-oirilor speciale. ln afara incircirii seismice, in aceaste categorie mai sintiuprinset incdrcdrile gravitalionale tle lungi dqati 9i alte incbrc5.ri cucaiacter static cu a"tluoe cvasipermanenti-datoritl ploceselor tehnologiceforesiuni in conducte, recipiente etc.).'' Nu se includ incErcirile orizontalc din acfiunea viutului, fiinareapodurilor rulante, incdrciri datorate unor cldormafii impiedicate sau de-plaslri impuse ete.

Calculul eforturilor produse cle incircirild seismice orizontale se faceconsidedicl independent (fir1 a se suprapune) acfiuni^le acestor incd.rcS.ridupl directiile celor doui axe principale ale structurii. ln cazul structurilorfl&bile se'rnai consideri gi ipotiza acJiunii concomitente a incdrcirii seisrniceorizontale, dupi ambele direcfii, reducind in acest caz valorile Iorlelorcu un coeficient egal ca lll2.

Dupi cum este cunoscut, distribugia maselor 9i rigiditililor i''tr-ostructuri este caracterizati de oozitia relativi a centrului de masi al sec-liunii fa![ <le centrul ei de rigidifate. ln cazul cind strucaura prezintidisimetrie geometrici gi elastiC6, pozifia centrului maselor nu coincidccu cea a centrului de rigiditate. Aceasta are ca efect aparitia in timpulsolicitirii seismice a unor vibrafii de torsiune, pe llngl cele de transl.afic.ln icest caz calculul corect al stiucturii nu se mei poati face prin reducereala o problemi plani, ci luindu-se in considerare-conlg$"t::

??[;|Xriorizontale gi verticale.

Existeula vibr.atiikrrde torsiune, cuplatc ctlcele de trauslalie, detclnirrlpe lingl modificarca carte-teristicilor dinarnicc pro-'prii ale structurii (valoliL'

ferioadelor proplii alc vi-braliilor dc trrttrslafic t'rt'sr'ln caznl cuplitrii cu vi-bralii lc dc lolsitttttJ ;i< l inr i r ru l r i r r l t . r ' r tptc i l r i I i iDortirtrtc {r strttctttrllttt , r'tlat i t r r rc i scvcrc c l r c i t . { l i r i .rncttirr gcotttt'ttit ' i1 r1l clrt,r.tlt:i1 cstr: rllti Icc(,rltltl l1fl flcrr cll r'rrnl t ttctlrt lrler rrrtl lrurltA, 'f lg. 6 l , r ,

i l l, ' i l i i i iri i 'rerorrrrto l ' "tl lt 't l

Pcutru structurile avincl elementele verticale cle -rezistcuiir

dl'r|rttrr'

I o tclca ortogonara in plan "' "1:t' I:::::11 .":*;11ii:1"';il,:i'

) rctca ortogo'ara r,. Pr4! -*;it' coisidertnd c[' la fiecarc rtiv"lcfcctelor

-d" .t::ti"l" -1"'."'.^.t1u "o

excentrieitatea , f ara dc c( rrl r rlrcismici orizontall este aPuca

rlgtditate (iig. 6.17)

I f1 ecte excentricitatea centrului *1i:t:1^t*".*,^"":*ti

;;".";;; ; se tmita efectele defavorabile ale

r"t."ti""f prevetle condilia a' < 0'1 B;

il;;;i;;i; """'"tni t1"fo"o'abil[ a incarcarii seisnti(

llg orlzontol.io- rli;;tt; normativur prevede .ca li l"lli:1": jl^"::::il: i"rJl

i'j':';;"'ilH; ;.i'""'""t tlefavorabile de erorturi din acliurr

. ruu lo carc llu se loate couta pe o ductilitate,.satlli":T:l:'01'

tuu ru e..rs ru e! '--'- ' lu calJul se vor multiplica cu coelicicrt

rollclttlri ' cforttrrilc tcz'ultatc (l:

lDltrtl doli r trbclul (i 8'

0t-excentricitatea"*1"::1"-:::#*'ffi?JilTl["tffi]lllcaracterului neslncronconsiderate a construcliei' ega16 cu-:

^'j-:i'05 B ?€utru col

;;;ttt J" tipuri curente ii c' : \'ws B- penbu. constrttcl

cu distdbulia in ptan a elemeot"lot de rezistenll defavorabil

rttclulrii torsiunii generale ;

,f - dlmeasiunea maximl a construcllel'

;luor.nuo"r"uexcentricita jilor^.:t,r.i^r":.:1_":-:llt:T""*:ffi :il:il:

e:et tez( i , l ( i

de r ig i r l itorsit l l l l

'1'db6lul

al lr t t lornG rlo l l rato lo rrrrt( .ulr

lhl,.'l*lll,',1',',y.uliilT-niiit'lll ll:,lill;li::l;,if li:,';il',,"'iiljill , t

1.6

2, l l

rh-fijiiilihhhinil;,|,rl j,l',r1nll,l'l ]''l'll"l' l'l'

Page 81: dinamica constructiilor

FuNDAIlroi oi iirrr.l

7.1. NOItuNt tNlRoDUCflvE

*,p;sro,n[**fi**'n'u*tp**:m,s'$u"o,*?ni"T'""T1?*i"?l"F"T'dllt!l#Jf *#t*ffffi;Hrro.."""," ;"T$i:"ej#'l'"1!ffi':", ".* .".-r,ioliiutlrifi,l',ruqrui pentru

iffixflr'nHl"'::+in"ji"Hi*ft"er=fr*'**1ffifi:lrt**#s;'trffirFr*;firy'r&i"ffi *.:hTff{#:xff rtiHr*"{i:|1"'^"-"j,:T',Ei:l'"1*-;";;#ffil'[flil:,neo,nogenei

nffi itp{:: xkt tr}.nffi :#r,li#T :,", ?ti .Tr#",",rt""uYr?JiXt i"l;S' ' u" proiectare, se acceptr. pertru rere!,ul de

r,"fu it#*i;#?rt$x,:i.hiffi ;ii:#f i{k*x}""gg,T#:

'fi, 6" ,ouvo acliu.t+ii ilinamitr ltrodusc hr tiruptrl Iunctloullrll

Utcl rc l)ot clasulca. ln :l--i luncliowrc fcriodicd :ioiit(t'iinif o""" (lencratoarc clcctricc, motoarc clcctricc' turlxr'.

- i,itl'rr...'rrrrrrt"^oa-rc. oomnc ccntrif uqc) :,-iiitlro.*tpt""oi-r", pomp" ccntrifugc)

iuiiiii "'iiri'rn" sin'ittaric ct' o'"ilc11, .11.11ili:l:.-:tt:'jllilil

iii fi ::i;il;'61;iil.."itua, comprcsotrro crl llist on' satcrc' mot (ntrc

ft ltlttlrl l l ctc.);tn niscurc nchuiodicd:

tJiLfii "ii""itiilriii.'' litiotunt" clcctricc pctttnt aclionorea lattrt'

I r tc,) ; . , , : t .'ii'ti[i"t. clc trarrslalie alternante sau succcsiunc de gocuri (ck,.rrtte

I fl msttitot, concasoare. ctc') -^.-+:^ ̂ ^ ^r-"i{ir.n ?rr :

ilT;;;t.;";;trttJ cri'r''iycari dc rotalie se clasilicir ilr:rupit!c, n > 1Sd0-.rotTrnil , (grupuri tulbogeneratoare' lrlo'

[iihct', n'taryini .dc tectilicat ctc ) ;-ilrthti cu lirulic mijl,ocie, z : 500 - I 000 rot/min ;itihti lcntc, r ': 300 rot/min'

'lltulltol 9l u lrJrfu qlr Dl NA?UI AglluNll DINAMICI

cllrlncAila tl?uRltoRDI MASINI

coMfotrAtEA DINAMICA A FUNDAIIIIOR.Dt calcut

lfurcttc ac forma coostructiv[, Iundaliilc de magini se pot lnrplrti

nlLt:,Xd:: utilir.azl i' cazul motoarel.or cu plston' comP-re't#i'Jl"aiiiii" ii"iliji4gi" ;t'olarc' Fundaliile iu iadre se adoptr, turlrorgrcgatc,.. *p"1rrr" ,,o"'-"

- ''cf vintl la ainplasarea conductclo'

I fgegetc atlxlllare.

tl crzul iuurlaliilor ntesive,. consi<lcrindu-sc "i1ltb-tt].

fundetie-

tl cl un rr!&Blv r18rd unt" It iinitttti'-*c seamo numai de proptletlttilc

h rlc tcrcuului dc fundalic, ,zroorletltilc sale iner-dliamlc'rle celcul al

"-_l;*: ' (7.2)

,l T:,", r. este modulul de'l;,':ff :;:'uiJ,i'iltilir"o"u""i""fi:1f,il"XXfr :1'#Ti,,1.,";?.,f::i.i',ut

'v

f

Fle,7.1,

171

Page 82: dinamica constructiilor

llrrl

.s+iiijh1'{::4fl*$ffi trir*++.g*;pslm*trru**"*t*t-*mffi

- in cazul migcirilor d.e translafie, de forma:

ii + '"'n + h,u : P(t) ;- ln cazul migcirilor de rohrie, de forma Q.3)

undeze'+ coe I hnp : M(t),

f, ,: 9i u reprezinte acc.,r,uoffi"; [t":iX"L1"or'area ro miscarea de

E,El ip _ accin'.,"iili1"H',Lf;;.L"tft :"[Xr1t"f ,:i"0";meir _; I

,j-r: _ $ffii:ili1ii,ir:"::,: ff *i',':,oasic a,

-"uoilYrllil"".elastice 9i coeficienfii de amortizare sint proprii fiecirui

Fig. t,z,

Fls. t,!.

(7.4)

Fis. 7,4.

Olnd sc ieu in considerare gi proprietl]ile iner]iale ale tereuului rl:uc linc seama de existenla unei mase adiacente de p&nint tr.

vc l)unc in migcare odatl cu fundafia.iru ;ibratiile verticale un model de calcul imbunltl]it se obfint

I rrn sistem cu doul gratle cle lib:rtate (fig.7.4, a) sau, in cazuorizontale, ca urmare a conlucrd rii laterale a fundatiei cu tercuu

rnodelul de calcul se obfine considednd gi migcarea a dotrltc fundaliei (fig. 7.4, q.

t f, olll[M|l{AREA cARAcrERlsTlcrtoR INERIIAIE, El,ASTlcEJ Dl AMOTTEARE ArE MODELUIUT DE CATCUL

?'t..|, Drtrrminoreo corocteristicilor inerfiole

, t , l , l . ( l r rzrr l v ib, ' l [ i i lor vor l is l lD, I I I ; r rz a rnr l . . lu lu i de calcr t l

rru dirr uusl rnrginii m,o - 9l qi roasa proprie a f untlalicl

E

n1 :Qn * QrI

Q, ortc grcutrtcit )rr:r;iuii, iar Q7 - grcutatc4 proprie a fundatici.

to flrtc rctrut rlc prrrprictltlilc incrlicle alc terenului de fuudaticlu 11 i', r)lttr(!r(! c,r rnorlcl (hctlcul si.sterutrl ctt utr qrad dc Iibcr-grad dc Iibcr(lu tl n,r plrtruzrr c,r rrrorlcl dr crrlcul lo l t . t nr t I t , t l t r i ' / , ( r c,1 l l t rx lc l ( l ' . : cr l r r l t t r i t tnu. t luLlr qu uu Br4q u\ i r IUur '

7,if), e,lulrlcthtrl o ttttslt cclrivitlctrtit rr rtroclelLrlui m.or -

rn + rn'hr l l * r t tut r t l t t r r r r r r r l i l iont l l , t t t , . - ( ) , lK r l p l r r r i r rLulr t i ) , f ic s[ stlhtet t t r t l r ' t t r ! r t t1 grrul , l r l , : l ib:r t r t tc ( f ig. 7. t , a) l r r cnrc nrrst nt l i l i -

I f r I r t l l l f f .u lu l n. . t { , )"19,

hnttn t1. , r l l tar l l l ' r r r t .or l Propurr v.r lor l r l i fcr i tc I

?, nt l lcl ta

(7.5

; ft : if,l|{;,j\,t'iirlllilil;ill,,,^ rc,,,,cgcb.,,)l , f , l , l l inrrr l v lhr l l l l lor dn roln[ ln. l r t cr tzt t l l t t cr t rc v lbra] l l lc r lc t 'otnl l , rI l t l t t l r t l t t r t , l r to t i ' r Lt 'or ' , r pr l I cot t t r t l ( j r lu t r t .wi t r r l ( tutr l r [ [ '1, t t t l r t t l , tI l fnr l t |b l l l , r , ' , , ,1,1;1 t t l l ;u ' t ru ut to r lct I r lu tuotulr t t t t l r lo l r tor l lo rr t l r lo

Page 83: dinamica constructiilor

AF-'

PenOr

Fig.7.5.

, l t .

W,Fil ,7.6.

al.fuudafiei in ripo$_gu axa de rotalie. Daci fundalia este de form{ pa-ralelipipedicl (Iig. 7.5) gi omogeni, momentele de i-nerfie fati de ax'elcralelipipedicl (Iig. 7.5) qi omogeni, 'momentele

def i ,ygrzsl ' ; i t

r , : !6pzqq:+2@o1-u)

I , : jn(v+' , ) : ;1(vt " , )

' '_ ,r :*(o, + r \ :+9G

2g'=9G + ulPenlru o fundalie ciliudrici omogeni de razh. r 9i ln lime h (Iig. 7 .{:)

rnomentele de inerfie masice fatl de axele de rotafie slnt

(7.7)

l tg. , ' t '

fi*t;*ffi**'*g}r*;fftrt'gffiFig. 7.8.

tult{(,) - ++r(4/D)n(')'

n1r1-4ffi,(r),lodldrrrtulul do rllltlttrtc I r nro'lolulul

r,: ry: |npr, a h\ : +? (w + hn).

7.5,2. D.tcrmindrco corsctcristicilor elosticeolc modelului de colcul

Caractedsticile elastice ale modelului de calcul se pot calcula:- consiile.riud tererul ca un spaliu semiinfinit inclrcat cu o follil

perturbatoare de tip armonic ;_ .- adoptind modelul Winkler, prin determinlri experimrntele pc 1rlrl Ide dimensiuni mici, supuse unor initrrclri statice repeiate sau prin' ditcr.minlri experimentale pe fundalii Ia scarl micd, acli-orate de fo?fc pcrtur-batoare airnonice. '

. . Cind tercnul de fandalie cstc considc/at m ut vmisfialit daslic,omup n,i izollo!, proprietltile elastice alc acestuia sc cxnrim[ uriu doul corrrllrrlr.elastice: rodulul Eo de elasticitate al pdmllrtului ci c.-ocficlcntul v" ll lrrlPois.son.

-Fundafia si presupune rigid[. ln accst coz'dclltrmrrr unul lrurrr tprodus dc acliunea staticA a unci fortc I cslc dotl dc rxprcrlr

fft:i'l;if#;!H##d"jt"$3tl?l"j"1ip;:;:;"r"')fi '?

' Tabehal 7't

(7.q

I , : |nt : +2"t

. (7. f

(7 ' l l

dc cclcul rerul

T,d,itl./,t r,t

Fdur tol',rur

nlsip 0,3 | Telzdghl

rrqt I

algll! cutattr

0,41-0,43L

I 0,50I

I 0,42I

Bdrketl

orgui cu 90%drlp -

(7,r) ,-*#' (7,1

Page 84: dinamica constructiilor

Pcrtru cocficicutul lui Poisson vo diferili autori propun urmd.toarclevalori (tob. 7.2)

I'cntru citcva tipuri de piminturi se dau in tabelul 7.3 valorile mo-dulului dc elasticitate static ti dinamic dupi [].

Constantele elastice ale terenului de fundalie pot fi cleterminate;ifrin incercdri statice, pTecind, de la curba presiune-tasare care pe o anunitipo4iune este liniarl qi permite oblinerea coeficienfilor elastici ai pimirr-tului, care servesc la determinarea caracteristicilor elastice ale modelultridc calcul.

Cele patru tipuri de migciri posibile ale masivului de fundalie - trar-latie verticalS, translatie orizofiali, rotalie in jurul unei axe orizontalc ;irotatie in jurul unei axe verticale - conduc la iutroducerea a patru c(,1stante elastice ale p5.mintului :

C, - coelicienf elastic pentru translalii verticale,C, - coeficient elastic pentru translalii orizontale,C. - coeficient elastic pentru rotalii in jurul unei axe orizontale,C6, - coeficient elastic pentru rotafie in jurul unei axe verticalc.Pertru o placi circularb rigidi expresia coe{icientului C. estc I I I

c,- l, l3ift*,tn carc S este aria supra{etei tllpii Iundatiei, iar pcntru o plach drr,yrlrrrghiularl

(7, t" ! )

(7. l i l )

I

(7 r . r )

(7, ll ' i)

Tdclt l 7.3

I I Nistp aflnat I 400- 800'; t I 1500-3000

ln care 1, -cste un coeficielt cc depindc de raportul l,/a cl dinrcnsiu rr il, rrfundatici. In mod analog se stabilcsc rclalii pcntru coclicictrtii elostlci ll I

Ce : Xo, --?*f!

C,*L( l r . r r ) ( l I vJ r f f fv ' . 'nEr. *-_-

. f l: -, c rfEt:n!-

vqlnrile coeficientilor X., 1e-- ti.t;;A;; i" t'uelui 7'4 iluPe [1]'-'iilo

e""mio"rea valofllol -

cu-

ni ln tabelul 7.4 se observ.a ca'

'I'abtltl 'l 'l

x9

-

[t,o.2 1,62

1,650,5.1

1,0 1,06 r,98 0,5{)

0,45|,07 2,24

1,09 2,50 0,42

0,370,29

1,13 2,W3,59

[daN/cm]

[daN/cm] 0 16)

IdaN,cml

IcIaN.cml

ctintre fundalie 9i teren' " - - .

iuprafelei di cbntact {a}d de axa

"niiaii i" p;i lua urmltoarele va-

Cr:2C, '

C,:0,5C,.

Utilizincl cei pattu. coeficienlii.i. constautele elastice ale trlo-

iJiJ"iii" ""t."teazh cu aj'-

relaliilorh,: c,s,hn:h":CrS,

ke:CeI '

?.5.3, Determinoreo Goroctoristicilor, i;:;;i;;;; ore modelului de colcur

. . r .,--^:-: ^.+- i-{lrrarrtat de amortizarcnRlts'rrrrsrrl .irauric al {undaJiei de rnaqini cstc infrueulat

^d^e amortrzarea

tnt ui u i. I r r t i,n l )' r. \., braF oi-, -qi:t:: :l :1":lqi:.f ::?:;""i'.'"

tftTilli:lillli"l;'ilir,]l'ill'ii''t '" l"-iti.:"t"t"'

carc alcltuiesc t"',::,Y'.,1:. ru'.,i' I r(

'l L **m,i rir',:'""-twfiiii::: : ::::::." J: ;, "'cc (lt. incltrc:rre-dcsclrcarc' ^a- rynti',iii i'" ""*ro tcrc'ului d" {".9;:lil,:

[. illill\1]J,,il',il',1,1.T[]H';'t"1ili,1;i:; l" ir,"cior dc v aloarca prcsi t'r i i

1x: str l , r r r f r r ln dc,ct l t t - Tabdut 7, iii rt'[urn, .$ l1:]ll::l t l t l l l lort izirri i vlsc(nls(' i- | r A,rron,rt i i , r i ' i ' r ut , , , Ic l t t t l t tc t t t kt t I:.lul iohr|ll

i '1,'.1",, '. ' t ' .t111"i *i*t '- l-*;-",* - i ",,ro. ;i; i ;;;ru,', rl

. i i i l t , , " r . I Nl i rPI ' l l ' lc t r l$ I """ ' "" ' I ; i ; ; i

"nitli',Ii",,1,,?,, i"11,,':litu: lmm,-, "..,*,,i I';" - "'m I ilill,ll,

i ' i t , i nrir i i t t tant, ' . t ttt l l ' ' t i- I o,rr t l tVlr l l t t t r t tl ' i r r t " . i tut t r 'nt , 'utc. t t t t t t r t l l - I *nt1 '

ini lu"l, l ' i i" i ir iutrt 'rt ' t , , i I Nrrt ir rrr.rt l t 'rrrrrr" ' ' l , , , ,n ,,,,n I h.,r.ntk | ] l lc f r rrr , l l r r rr l t r tn . t t - l t r f l i l l - - - . - | . . . . . , , , ,* I u" i r -uf i ' t i r i , i i ' t , pl l trr lrr l tr l t t ! 't r t . | r l l t | l r r t ( ' t l l l l l l l r l r l l

o,0l l t , t ln I l l rr l l ixi 'rllh lt. v urt krrt rk'' I Atgtit -_

-r rir rr,r l *l.t::|. ,t lu t 'x1x' l l l l l l ' t t tnt 1n | ' - | Nhtrr u t t t l l

trlrdrllo rfrtntl lrt' t!' | *t;fi;ii -. .i r , ' r ,x +t l l l rurt tn l 1" ' t r 'tudrt [o nisr 'nt I l t t ' tc ' ,ir o,'rt.l ll$-'llh

ii"lil'i.ir'J,'"r11 ii;ili'- | lLlr'v'uINlr l l l l | rn l

3 cstc aria suPrafelei de contact

i,i-- -orn""i"te. -de

inertie ale

Page 85: dinamica constructiilor

rhrd tl lnreg{rtrlnd vlbrotlllc9t:T"ntrrrsff rrt;;r.;i#":,rill#'6::,"l.rlB,l,f tillhi,ilTiil[i,lrczoDa-nt[ ob]luutc prin utlperturbatoare armonice.

lPatea unot excitatorl care genereeztr fori

:c nomertul de Intrtle nrarlc ol furdatlet fat[ de axo dc rolrllo';ut de Inerfle al rupiofelcl tAlpii iundatiei ln raport cu uctcell

- cocflcieDtul clautic al pAmlntultti penttu rotalu ln Jurul tlllr{

r"'ulii"i'3,'ltilf;'ft11";'iff.,:t# jlq:9P-"q ln prmrnt,.iar, interacliurrtlaceast'e inriueiif ;;;r"iii' lir#rfllX'?"tl,H:::::,i""t"i;,:ffff,t,,Tiiqrmensrunea fundaliei gi adlncimea ae tu"aai" Lie'tii" il".

7.6. D€TEnM|NAREA putsAltttoR pRopRtlArE FUNDATIToR oe uesinr

7.6,1. llibrcfii libcre verticole

rt"tu3l*d.::[X TJig*r$"":H*-a-"1 s"9 de ribertate din.rigura 7,ila rundoliei .:,l*in*

"r;'#1T ill?I,:l cap' rr, pursaliiprol,rio

n.** Silf[l"if;i"llt""-ttfr"gffI ca semispa]iu elastic, cu relatia (7.rr)

F(albl

- utilizlnd coeficientul elastic pentru ttanslalie C,

aEltlultea forlelor perturbatoare constituie. o probleml de dittuttticnf care 6c rezolvl

-de constructorul maginii.

ctlt cc urmcazl se pfezint5. actiuuea unci Iorte Pcrtul b-atoarc rll-produsl prin lunc]ionarea unei matitri cu-o masd t'.

-rn -rnltcor('oiodusl Drin functionarea un6i nragini cu o'mas[ n in rni;r:rtrc-ii-iot"ti", cu pu6alia O care dezvblti o for!6 ccntrifug[ 'l',' ' '(flg. 7,10).

u"iti'".!" ale fuudafici sint produse de componenta vttticttlllP(l) : zoinsin Ol : Po sin Oi'

dcrind in contiuuare numai cazul vibraliilor forlatc vertit'ak' nlc

"ioauia a" o asemcnea fortl perturbato'are armonicd 9i utilizind

i'atfartr ln caoitolul 2 reieritoare la r6spunsul dinamic al sis-livoltatl lu capitolul 2 reieritoare la rispunsul dinamic al sis-cu tur crad de li6ertate, se prezintl unele rezultate cc interescaz[ hlrclel c;lcutul dinamic al lundaliilor de magini'

'crrul lu care se neglijeazd amorlizzrtea (r' :0) amplitudinea vibra-Eodurc dc forta perturbatoare este egall cu

A : : ! - -J : ! tJ=-:un'1, ,-' nrtl'. nr h, - nl

r - "-:ol o)r

I c ut ln care se liae stanta de amortizarca plminttlui,|o calculcaz-I cu rclafia

u,&i.

tAl?uNgut D|NAMIC At FuNDA tOR DE MA$lNl

(7.2t)

anrlrlitu-

(7.22)

" V('-Or lr (D_l + {Yr-

cozul n'z.ortartlci (0 * ru) valoarea nrultiplicatorului dinanric rli

^:rlT:l*'

(7.t7]/

(7.18)ln care 60 : 0/S este presiunea statici pe teren proclus5 de greutatea Q.

7.6.2. Vibrclii libere de rotatieIn lurut unei ore orirontole (fig. 7.9)

o" "rlllfT"#ffih"T:ffutr.u:ti"

:'.f1* in jurur axei perpordicurare^ 'n*"rr" 'ii?i,ii?'"1fi':ti:'"ifJtrul

de sreutate 0 al tilpii ru'd"ti"i

ro6 : Z M,: Qh q _ hrg, (7.18,1sau

-* re-0, p:0, (7. lu)r. '

lq ":9S se dcduce ctr pulsalia proprit. rrmigcd.rii estc

ho -Qh

{;: i;, (7,23)

Po . mO?Rvrlorllc obignuitc alc fractiuuttrrrc criticl'(tabelrrl 7,5) ca estt'

llaut 0i - 5, '.25. Din sccst tnotiv

ih rdionrntl, l)cntru carc 0,75 <( 1,26 trcbulc cvitolll pritt alcgcr<'a

II 0

f ,

f l t , , l0

178

" :V , (7.201

' luadrtll corcrp$ltltootc. Iruncllonr'stllduful rc 9or!. mlSurn artfcl, Ilcooritirt Jorrl io/o < 0J6), flc ln qqor-lndtl (0/or ) t,t6), rvlndu-rc In I't'conldirautclc tlcuto llr $ 2.0.

Page 86: dinamica constructiilor

7.8. FACTOR DE ,RANSMISISIUTAIE

merlt oafecare l"este

ffi:31,:i'j'F:?t'J.?ff nHfi f ".:t*::*trrsise-cunoascirorrereili;ffi+#:'{l;i:,"$,"rfi +i$*f **";iilf *{i,'r,:x,ril".J:,r;*:*rup14*tli;1ft l?*ru;mtiipr",];?r jt":_Uil1:+11'"4":iifi *%ilrJ:.1;,h:::1"r';di[!ii't'""i,lf :r1i""'tr"Hrmisi funalafilil ,toare (fig. 7.1I).#"i-'(i[:?:! ) :o

nsidera ti P erie'c-t. . Considerind caracfericr;^; r.. __

*:.T?r'-r$tf ;ii:.tl#;tr$i,ti:?lt*;*i:.,j4^iii:l1ffiamplit udiued df .'p*""L1T-iff X,llit'r'i1u?rff ?f iii.r:'"ti t*:"-1us. inrre maqini si run-*Ti:::.:H*l-:l';"il:T??'il?f iii',"$:'*:""1ft ;,?#i?fi ,i'*-

Fr(t) : hu (t) + ",n 6,nq{,?::":;il-s*tl t;"';*i: g *l J;", er astic diurre .",,ff jl,"'uii'?" j?: 1.;^:","j,_,1ffi R':tlH:,:iit',ry."1r;"ruil:il'"dti"Tl'J"X;'".,".;0"'u;;'r"",l:';'"ecuatia (2:l 19)

u(t) .= u", gf sin (O, _ a),de unde, priu derivare ln raporr cu timpul rezulte

Forra transmisd ,, **._jlr;:;"*XJ- (et - u).

F, (O : tf;r", A sincu notafiile

(Qt - q) * {f;a", oc sq5

*tu", h : Fa sin g,expresia (7.27) devne

Pf Qro c .= Fr. cos g, (7.23)

Fr(t) : F t, silt (Ol - cr { p),

(7.25)

(7.26)

(Qt - a). (7.27)

(7.st)

( t 3J)

I

Ftg. 7.12.

5578 p

in care, finind sea@x c;ci aruplitutlinea F", a

Trarrsmisibilitatea TR,

P[tl= Posrn0t

.lu.{igu-ra 7.12 s-a reprezentat dup6 [l] varia]ia trausmisibilittlii ?1?,luncfie.de raportul QJo, pentru difeit;_v.toii .fu ]i.-tii"ii d.e arnor_criticl. Se observi ci pentru e/<o 1Jt amortizaiea micaor"oril::_lr:f-rnj:ililit[!ii, ln timp.ce pentru O/<i-> 1,8 f,r,,da]ia cu amor-transmite forfe mai mari d6cit cia firi

"i"oitirliu. lrr*Lina cii irr-cerea amortizorului este utill ngp3i_ i9 cazul funcaionaiil- oilt"l otoi i,,rre joasi sau, atunci clnd utilajul func;ioneaze' iii acorclare" iualtl,

Itru a nricgora efectele dinamice la trecerdi pii,iro,."- Ii ,uronn,r1,t,pornirea gi oprirea utilajului.

t,9. cAtcutut AMoRTIZOR|LOR

n,, - $,,n\f ;eI : a;r" V I al*1sfY t . /

. Pcn-tru -a

rcducc la rnaxirnurn forfclc transmise, fuudalia se poutetll^j-t:

.d:1" -:lpuri, .tutrc care se.interpune arnortizorul itig. Lti; ,l-.lcnclno dc catcul cstc cca a_.unui sistcrn cu doul gradc'cii: titrcrlotc

,.7.13, -l,l, cilruie, rhcl sc ncglijcaztr arnortizarca if c8rcs-fuudc ,ctrcru,t

lorlo diu ligura 7.13,c.

,P(t lIv-

T-l l''t'lr.I Kllur u2lIY

fH]f- n

-art"'/"1

I KPI

t r_ 0,,(*J,

rArr - l

o

(7 .2e)

forlei transmise este :

4$ : ---: tr c a !4y6, din rel.t;;r- rr.. ' ,_,G^-. ! *r" 'c l / { ) ,1 rezt l l l , i

(7.3 )lconforur definifiei este cgali.

I l( : :-! - .r..D -Yo

Cind v-0

t/t r tfn -'

| .

,' - (il ' '

P{t l ' Esrn0r

-l tr l

-J u2

tD.

f lg, 7, | l ,

"*-Jb atr

Page 87: dinamica constructiilor

a r . r r , \ , , , | | | | i. rlr(, uDlc{lnt c(,l()l, (l(nt/1 t|tn$c shtt :

mriir -l- h | (r, -- ttr) * ,po si1 gl ;

*ii" - hr1u, - u) + kzu" ._ ().ln rcgirrr stationar ecualiilc dc rnigcare ur(t) .,si tt"(1) sint de jorma

ltlt) : At sin Qt .,

&r(t) : A2 sil Qt.

(7.31t)

(7.3:r)

cul r t

(7 .3. t1

rntroducind soluliile {7.Aa) in sistenul de ecuaJii (7.3ii) qi simplifi,.ir,,lsrn (t , se obtine un sistem de ecualli af gebrice G ,"frrtiLdoit"

a , .,,ale migcdrii celor doui mase- mrA{rz * hr(A, _ A") : Po

- m"Ar(12 - hr(A, - A2) + h2A2 _ 0,

(k, * mr02) A, - h2Az : po

- hrA, * (h, * h, - m2e2) Az: O,(7.3(i)

de unde

4-:P \1h-m{r '(ir - ,nro') (Ar + h. - ,nlfj,I - hl'

l.: P,-------ir--(rr - mlo.)(h+ ,r _ ,rJ)') _ ,i

(7.37l.

Se vede ci daci hr :n{)z - hr , Ar-0 Si le:4tlndu-se efectele dinamice are fo4ei perturbatoare

".unrFJJ';l "t""'

7.10. FoRTE STATKE lNr.OCultoARE

Dupi cum s-a aretat /6 Z.gJ, il cazul unei fundalii firi arnorti.,,,r.forla rnaximd transmisi terenurur este

Fr. : Po(?R). (7.111.j)l:orla transmisd F.ft) este ca gi fort3 pcrturbatoare, variabill. ln tirrr1,,Astfel dc forte produi'asu.,ra teienu*it ;

-;;It&;;';;rilbile, avin. ,,,,clcct dc oboseald. In accsl'caz.tercnul va avea pi"prl"ief, de rezist(.nl.rr'ai reduse{a.fl de solicitarea statici. pentru

"iriptii""l"i '"1rcureror,

e{cr.r rrlyl::l:^"_rtg1i variabirre periodice se i,,locuierte crio fo4a'staiice echivalcrrr iJ.i,_9it:" ruaxrme. a fortei statice inlocuit6are se obiine muttiplicinJ i:,,roarca ma)ilme a forfei tariabile Fa. cu un coeficicnt dd o-lioscat5 suprarr,,it,,,

] ;* t : VFr, : p.Po(?R). 17. : r ) )

.,.^,"f]:,lL [],f se rccomandi urmi.toarele valori pcntru corficiertul dc olrrrliXil $;,.11"#l.Yi",6i;:'"

pcriodici prin cicru'simcti;" p': z,'i"' f""i"'

182

.' NrnoDucERE lN MASURAREA VlERAIlltoR

!.r. tERMrNOtOGlE 9l DEFlNll l l

rcbeleratia de intrare.iiiiiril'-airiia cste un dispozitiv al c6rui semnal de iegire estc

cu viteza.d.e deblasare este un dispozitiv al cirui sernnal de ie;irc

Bccst (:rtl)itol se prczirrtft, pe scurt, {lfin..tpJ principiilc .gont'rrrlti,i ir.." ui" traratclor dc Iud'surare a vibialii lor 5i baza nrttt rttittit 'rl

,t ' lor <lc ttt, 'tsurart a vibralii lor.

CablotuL cstc trl l l l)arat carc transformi o milcarc vibraloric itttr tttt

rnl 'clcctric, urccati ic sau optic, Proporlional ctr rtnul dln Paratl l( lrrllrii studiatc.i)iAiit"irt, cste partea captorului in care se tealizeazl" scmnalul calre a rni;cirii.'ipigii' ti* nontaju.t. penttu.rndsurare lP"-:l"Iii_Tlt:,"j"1^9::g:l:i:

"iii;i;-i;;;" te-tiui tita.ur.uil' proporlional,cu unul'din par?-rnctrii

riiiii.'br "tt"

alcituit tlintr-un caitoi cir traductor, un amplificatorIiro-itlu de inregistrare a semnalului. Un aparat. pentru misura[

ii-cirprind" toate iceste elemente intr-o singuri unitate, in timp cc

montai' foloseltc tnai multe unitafi separate."iiiitiro*rtr"i cste un captor al cirui semnal de iegire cste proporliorritl

l)ro-

cstc

cu deplasarea.: de mlsuri pot fi de doul tiPuri:Aieratele dc rnd.surS' Pot {i de doud tLpun:'J

iioii" seismice, avind il componenga lor uu sistem oscilant torrnttJ afarale seismice'Itr-o ilasa li ,rr, t".oit elastic. Coriul ap-ar.alglui este legat de elcmcntrtl

;ii"t;ibfti; t" -eso.ta.

Mtrsurarei rezulti din migcarea masei in rap'rrt

corpul aparatului; ".

-' apari!'c ctt Punct /ir, avind unlcgirt de corpul a cirui migcare

element legat de un rePer fix, tarse mesoara.

S,2. APARAIE SEISMICE

Utr crrDtor scismic reprezentat schematic in figura 8'l este forttrut;;"i;;'t;, r"=p"na"tl'de cutia ,4 a captorului printr-un 1::.o* :lYiltq

il;l;iJ: Iii;;;ea-maiei poate fiarnortizitl de un lichid visct.rs

un crrrcnt clcctric, simbolizat prin-n srnortizor cu cocficieutul de amol-ic c. ln corrt,rct crr cleurentul mobil,

Iptorul poatc trriLsura deplasarea z,

Tltora d sott accclcrali:r ii a elerncntuluifrohll ln tni;carca ltli fafl de un rc-Dor flr.' lrt c.'lc ct' ttrtttcltzir sc analizcazl ris-

Dlllttttl (rtllrrtlrblltltti rttagit-rcsort clastic ;ihlo,lrrl crrru occstrl $(: ttti l izr:ozit pclrtru lrr-lirpretlrcc tnltrlrrtli rlc ieYirc Ir trodttcttr-I t l l t l l ,

€trrrrnhrtmODrl

Flg. 8,1.

r80

Page 88: dinamica constructiilor

- - .Sc. colsideril. upnrntul .dirr Iigura 8.1, carc r,xt,ctrt[ trnprcrrnlt t:(r.r,ll

trcflurl ' loDrl

dcprRsri'i lc , Iafil dc ull repcr fix. Ilr.plasarca rilativtr a rrrrrr.tm tald dc cuttc cstc d. Deplasarca rnasci fafd dc iepcrul lix va fi g 1 ri,Ilcuafia de migcare a rnaiei z esre

*f i { "+s)+,*+A8:o

*u*+'9.1 AD:-*9.

_. Daci elementul mobil executl o migcare vibratorie armonicd de ecu,rlilu(l) : uo cos O/, atunci

- *93 : md)zuo cos et (!i :J)

gi ecualia (8.2) corespunde migcdrii unui sistem cu uo grad. de liberter ,.srrt,actrunea

^uDet fo4e,,Lmonics echivalgite P.L(t): rierzo cos (U. ,\.,.1,Ii

tudrnea b-0, a mitcerii rezultate va fi (vezi relalia 2.llg)

ln care o :

lui.

a este frecvenla circulari proprie leamort izath a aparatt"

raportul

8ol

Relafia (8.4) se mai poate pune sub forma

Ia,2t- l8o

in care v : := : 1.l- este fracliunea de amortizare critic6.2 4 hrn 2maRlspuusul captorului seismic dat de relalia (g.4,) poate]fi -expdrrrrr t

in funclie de accelerafia ij a elementului mobil scriind expresia amplitudirriiacceleraliei i,l in funclie d.e amplitudinea ao a deplasirii elementului

iio : - dluo.

tio/r./ o este egal crl

I

lu acest caz,

[' - (*,)'j'* "{*/'

l,- [*t'J'+,".(i,rJ'V_, _I l

grnf ictr l d i r r f igura 8l . l s-a- rcprczcntat - ra l )ortul

go/ to l r r l r r r r t . l i r( l ( r r r lx)r t . l l r ' ( ( 'vcntc lor c i rcul . rc 0/(0 I )c ' t ru di fcr i t t . vnlor i ' lc . f rnr . l i r r i r r r

184

Fig.8.2.

(r.i t)

(s ?)

( r . l )

(s, l ' ) ,,a l : l

II

n rlrg||p rle

r

(f.t.s)

(rJ, ( i) I r lr lI (1,1 ,l

I tr.Lv, tr lnr lr t

'ir.r0f'

- - - Eqc-ved,S-de-exEl-tSle . , - = rl.F eciento-pmb.ie neomoitrzotd ('

,,liuxl.,rl{l, rr.r I ll{

I rJ l t

Page 89: dinamica constructiilor

oc Drortiznrc (.rilicI v, irr ticrrrbclc g./rj,,.

mp ce in Sraficul din ligura 8.3 s-au reprezent. r

'"n"i'J,ohi::i:li:,i:i.f,i:fl:,l1,if eX,f :,,""":iiu,.g"",,"#L:LXfi ,lii

*ff****$*l*#Ei**;ml**tt:*::1ii*:'fff 1T'Y,Ti3/$'; 33f" T#"t',p;i:+ll,if '*"n?;l

":l :lt"li:n*"*"""*r,u" ""1"i*1,,1,"t-"0u.

Aparatur este in acr,.,l

::#.":fi;t-i:i.s"i#tb*i:#".Ti,',fi ,,"HJii:"Fft [rutr,l,*,',8.3. TIPURI DE CAnonl

||6 l rq In

ln'f lu A/

AZ: k6

Tensiut€ndF iesire Eomodr.ilotd i?omptitudine

Fig.8,5.

Moclularea undei purtltoare se poate facc de asemenea in frccverr]irprin varialia LZ a rcactanlei..I)uDil tiput de traductori uti.lizati captorii pot Ii:

- Captori cu ind,uctanld variabild (fig. 8.6), cind deplasarea I a nasciIrismice a captorului are drept efect o variatie AI a incluctanlei unei bobince circuitului magnetic. Asemenea traductori sint putin sensibili la dcplasiLritl ici ;i se utilizeazir la nrdsurarea vibrafiilor crr frecvenle relativ joasc (srrlrl (X) I Iz) .

- Cal>lori cu. cal>acitate tariabild (fig. 8.7) in care deplasarea rclativiLI produce o crettcre AC a capacitilii C a condensatorului prin modificarcrLdlntrrntei dintre plicilc acestuia. Aparatul este sensibil la deplastrri nrici.

- Ctthlori rt lrad.nclori tensometrici la carc elementul sensibil corrstiidlrr una stu rrrai rrrrtltc sirme subliri dispusc astfcl ca luugirnca lor sir scttrrxlificc irr funcfit'rlc dcplasarca E. Variafia dc lutrgitttr: rr sirruckrr dctcrrrrirriro vr l r int i t . r l rczistcrrJ.c i c i rctr i t r r l r t i ; i o ruodi f ic t lc cor( 's l ) r rnzi l to i l r ( . i r scnur:r l r r -

l^

Trmput --

Page 90: dinamica constructiilor

1::* i:::': t: .p:i 31"g" sirme dc risidititiroarte vanat€ astfel incit se pot obtin-e fr..,l_

{?fi6,il:'#*"'li, ;l?f :f*n'*l,, jT,, :isrw utuzatt, de reguli, ca accelerometre.

1"g.9ei,1!'i:,"K::#tr'";L,"li#i!f '::;,'.un. cnstat natural sau artificial sau un mat(,

Eo+6 rial, ceramic, care are proprietatea ca aturr.iF clllO este deloimrt la ir+i-,I^--t4oterir:l piezoeteclric+ :T9 ::i" _qgo"t-at la.lntiidere sau comprcsi-

Fiq.8.a. une genereaza o sarcini. electricd, Materialcl,._ ce acest tlp siut in general rigide. Frecvelt:Lr^"^":i:gl.compresiune**Bi?unTr""ilnllg.i"T"tffi 61"fi t;?"#6rii;\aptoru.l este sensibi.l la deptasiii nici tita ."_"a" a!"iJii|" ru.ri, ai*.,,_il"ltr"l1l,:XX1J1"::H:fl ;1;.*u".".?."L-"'""i?.a""il.ii.int_.inai",,ii

8.4. CARACIERISTICII.E PRINCIPAI.EAtE APARAIETOR DE MASURAT VIERATIII.E

- Sensibilitatea unui aDarat care este independent de o sursi cxterioari

ft ::fiJ"ryq:#,x?^i:"Jitlii';it jl**"e1rum;l*:1"*i*r:f ,ii:t:!it_g" de deplasare, vitezi. sar acceleratie. _pentrir aparitele care folos..s,.o. rensrune exterioard, sensibilitatea . se "lfliira iii"-1fiortu.l dirtre r(.1srunea de iegire pe ubitatea_de

^tensiune alplicati.ta- iotilr" gi unitatc.rr rl,::"ix':"',:; ji:"x?i.ilui""?:f ':f ";,*"X"n*lif;;" "#'.J,}itTui,, I l;

-""ii::Tf ,Xtllip'(,i::,::"T^"Y: €ste date de.varoaria minima a mirir'ii

t",".'i*Jil;fu g;:*i#,*l'"",'*:fiii?qlo'"'-,"".:""ilffi ".1"i;;l;lplgsizil poate ii a"t",_i,"ia.a."'i:i"f"lH,U1X';d:,i,ii"J,:"1"";"il:i l;c,ltrte. Precizia este, de asemenea, llmltata de nivclul de zsili 9J'i: :ffi:f,: "iT1X'Ll"i 13i ri"i a""it "i',,;i,l a a:fi:t :l 3fl:l:ll;i.... !?,, ?;!t. a1 o*pr;tua;,,)1"i'J:::"1.1'::1.:';:li,11,;i**t"t.

srpc-noarl. Limita iirferioari

tii,{",il';:ff i'o?tr,r*h?r;li;*+i!i?il',,..l':# il,Il,;fnilil;rilrri,rinc iorrstant ;-.;;;;,,-1.""f,ilil!Xilllli'ii:Ll):.,1:l'.;l*1,l,'illl,,,i;,;,,1i'""1::l,Ti;:"1:llln,,,:;:':li rriei',r1. rrrlriniiili;'ll,i,:,,,. 1,,,ni,. ri ,r,.r,,::l',:,l"i',',iilTi li';fE';iil1,i:f,,,'iil:l',i..illlll'il',il'i,flii;"rl;il;ilil,l;'i,,ill;;;,,.,,...'l;llfili l.ill l:iJl:i:il,;i,,'l l l j.,,:lili l i; ru,,,t" ii <rt.rirrrir.rir rrr. ,,'r.crcrisrr, ir,rlrlrinri:il;F;,ri*irr'ri',:llr'iriliiil'iiiilT:liiltri;iiiit irn'' iriliir88

Fis.8.8.

inerfie pot produce dep5girea I'mt-

de curgere a unul element com-dJtemrinind comportarea ne-sau deteriorarea

- aParatului.

-"-;nI le ftcrnente in tttrlLctl'

'Doiettiut de fueannle in funcli-

unui aparit este acela in -care

ia valoarea nominall sub o valoaretlraductorului se abate

a

erprimata. in Procente. Acestr ioate fi limitat de .carac-

electrice sau mecanice a'leAceste limite adiugate

ccle <le funcfionare liniarl a ^para-ui <letermina domeniul de funclio-

al acestuia, clomeniu ce se Poate g."1 0tcPrczenta ca.in hgura:,'i ,-.,--iii;t a infer;oar-d a fr.eannlei in- Frecvenlo'Hz

it *:11--:1pt::il,:',,r:,tll r-is.8.elopGati (sau viteze), .care fulcfio-

Itti, l 'cntru un captor dc

all l l csla

l igt t t r tl l /t,r 1x'tt l t ttl r t l r . l iot t l t 'alt,t ttt t t ' t ' t ' , tt

t t , l t t r t tJt t l t t ' l t 'l { , n

. . l02f ro

ri (sau viteze), care functlo-ca atare, numai Pentru vF.le ciror frecvente sint ma1 mad decit frecvenla proprie a ca:ftl'"tT"iiiJil""".lff: "ffi;;

mari decit frecvent3 ploprie-a capto.rlttili"li'"i t iti"at&o'i cat" iototegrc o energic exteiioirl sau o unde prr rl ir -

ic tru ar" o limitd inferioard de lrecvenle'

I.imita supe oard' a Jrecuenlei nu este impusl in principiu' de rdspttrt:trl

hccauic al unur captor ""t.rni"'a"

deplase?i sau de viteze' Practic irtsi

a;fi;l p."t" -ii

i.it.it oorn"il" tt""t''"nle in{erioare frecventelor Pr()prii

llc pieselor sale componente-- 'Un

c"pto, de acceleragii are o limith' s9pe1io11e de frecv-enle' deoartu'

lfmu-J" l'" "iUralii

cu fiecvente mai mici decit cea p-roprre''--, }r-

"pe"l"t ciriil amortizarE up"t"tol.ti este redus6, este importrtrrt

cr it'J*"""ti. iitll'f] "i'i-tat*^t"

ii nu lie apropiate ca-waloare de Lt' t

vanlo proprle a aparatultl l o"out""" poate duc:e l i avarierca ltt i sau l ' t tttt

I-imita superioard. a Jrecuenled 1" :tt". tTql11-T

lor$ltat eronat.i l rlar oi ut estc interwalul d. " ti3p dhl':,lP,T:-", 1'*^ ?t"tL"::l *1,111' i il

lt..*it'l* al-i"ti^." ti ""r'.i.tfi""tii s'emnalrrlui el.ectri: 9", i?t^"-:.l,,"1,-:,':1:]:

i;i:'i1l:;;'.:, #:;iJ' ;;1idiJ;i;iicpre'cntat in figura€ 1' a1 crrui rislrt[tsiiii"it'iii'.'iti- "tiii-ui

pti" J"1i" 6 a, difercnJa-de fazi 0 (stc dati (l('

t,l

0 ,= arctrr -- --:1-,l ! ) !

r - . l l\ ( ) r

,'i;l1l':'i,iil;li'',i,'l'')1,,'li,llilli';li lil,l';lfi"i"""'f:"':lirll'dc ntrrol t izarc cr i t i t i t v Cir . t : "

i",l i ', i i, i ' ' i; i i i; ' l; ',1-11'1i.1'1;'u'n"'t ' l::. '1:'l ':,i.:l l: i l i1l:;i ' l ; , i , ' ; i " ' ,1; i i" , l i ' , i i r ,r i i . l i i i i . . i l - i ' r<l<1.r l i rr t 'nst ir t t t t t tr tr i tc t . t tr l i l t t, i , ' l , . , i t ' l i i l i , f i t f ' , , ts i t t t t i [ ' r ' r t t t ' r t1r t r t 1 ' t i t t s l r l ' r t t l r t r t r ( l (n \ ' l l ) r r r I r r . l

(8.7)

dr, I t l t t t ' r t l r 'i , i ; l l . ' l l l ; ' ; l i l ' ; l i ' ,r. , ,r,tr., t t trrttt ,"" i . ' l l i i j . ' : , : l : . l l ' . : l i ' ,1',1,,:,; , i l l l ' l , l i i l i i , , . , l , '

r l lk r i l r ' .

i,rii;lil:l'l;i"i;"lf il,l:lilli.';,:1,:;lll,lli',ln,tl,; ,iili'l,ii{lil',' ,i'r

Page 91: dinamica constructiilor

6tt9tr

6tr3e

r

+o-ttN.Ega

Il

60 -30ery -6rtr -900

Ronortul frecvenletor$

Fis.8. ' t0.

Dupi. curn rezulti. din figura. B.l0 pentru o valoare a fracfiunii rl,,arnortizare critici v:0.707_ qnShiul 0 6rt" "pr."i*.il,

proporfional crrraportul Q/<o. lrr acest "u,

d$Grur* *i"tiie"t"'?l'primi. prin relali.r8 : 8o cos ((), - 0) : 3.0 cos (At - aA): 8o cos O(, _ a) (S.ti)

qi arc o-diferenfd, de fazd constanti. fafl d.e acceleralia misurati li indo_pendcntS. de frecventi. prin urmare, in.acest -caz, ddgi eirsta o diferenlrilde fazi intre mirimi:a misurati 5i ,llrimea a" i"gir"' ,-""".ferometrulrri.semnalul de rlspuns nu este . d.isdorsio"fq ]"tn-a"''""'i ie*'intrare. pc.rt.,r

orice alte valori ile amortizirii, d"f;;j;f d";i;d"*i"-ii""?aa ,i respursrlva rezulta distorsionat.Pentru captorii ce misoari deplasiri care funcfioneazi. pentru rapoart(.O/or mrrlt mai hari decit unitatea, nu e-xisti J

""f "lr"l1?".tizirii diferiride zero pentru care diferenta de -fazi

O ,tr ";;l;;i

cu frecvenll fidin acest motiv amortizarea'introduce t"tria"*". . ?i.ilr.i""" rr'i"i.ri,.de gradul de amortizare.. Etalonarea aparatelor folosite la mi.surarea vibrafiilor consti. in det(,1minarea sensibiliaetii aDaratului ir tr""fr"

-J" ,-iri"r"'ii,ii'"i. de frccvcrrlr.,intervalul

'til de amplitudini. .de contiitiiie ,t-" fiiLr,i 'ti#p"'raruri.,

varirrli,lfiT',:Hl

dc alimentare, radiagii, altiiuii;.", i,,iiriri"i" "illj

yi stabitirrrrr.,rAlcgerea aparatelor de rnisur6, tipul^ui dc captori, aparaturii dc irrrt.gistrare depinde de o searni. de factori. cu,,;ura;;";':i;;i,,.i 'n 1,ri,r.i1,*t"1,,,carac teristici ale misclrii estr

rca',u, ca-p-t9r {9 a"pr u,.,",' #3il" rllT:::,1'rh,:.i cortrlif i, i rr i n<l,r t r'ps,

,vl irsurante dlrcctc ale deplaslri lor, vitczeloi sirrr rrr.t,t.k.rrrl i i lor r, lt 'r r r .crr l t . lor . i r r nr i ;carc yrcrr l i t dctcrrnintrca cara(. t cr ist i r . i lot . r l r r r r r r r r i r . r , , r1, .str .ctur i lor ca; i r i rspu'sul d iuanr ic_.al , , . " r t , r r , r , - i "

1, i , : i , , r r t i r r r t r r r r r r r r r i l r , r rPrrJirs i' calctilrrl ;i Pr.oicct.rc. Ai,,",,,i*i- ,i',l ,uri;",:iiil;;,

190

Porteo o ll-

INSIABITIIAIEA ETASTIC!

CALCUIUI GEOMETRIC NETINIAAL STRUCTURITO

Page 92: dinamica constructiilor

9.1, PROBLEME LINIARE SI NELINIAREtN MECANTCA CONSIRUCTXTOR

Fenomenele Mecanicii solidului. deformabil conduc, ir general, la pro_bleme matematice neliniare. in funcgie de suriele a" ""fiii*f"t",

problemeir.pot,1i-,material neliniare, geometric neliniare,." gT---"i"ri"f gi geometricnel1nlare-

Neliniaritatea.Tateriali, numit6 ;i neliniaritate fizic6, caracterizeazi

9. INIRODUCERE. CATCULUT NEttNtARtt STABIL|IAEA STRUCTURil_OR

::11ry*i::n"i:i:,1gli,il,.:!ilnea.incircarilor ei," opii_a p;o,"ru1iir,.neliniare dintre tensiunile si defnernrare dlntre tenslunile si deformatiile corpului iolicitai (ecuiliit" "oririltutive), in conrliliite in cire deplasirit" ;i'a&ormaiiifJ sil mici.e./, ru con(ulute 1n care deplaser e gi deformafiile siirt mici.remru un corp n€liniar elastic, parametrii elastici ai mat

*t*9:::l:".*:l:l.i3i",_11 ti1""p ;",,ne;t* ;;p;ii"i;, erastic, aceqt i,rsint constanfi.. Figura 9.1 prezirrtd.' "";t;;;;';;riiri,'"r:"!iiia" i'iliiiicorp Ia o solicitare uniaxiali, ocorp. ta o solicitare uniaxiali, o gi e repreientind tensiunea, respectiv dcformalia. specifici axiali. ln acest caz, intr_un punci fl1-Jiespunzator L,,,rri

E, egal cu;"Tl*1 lyt de solicitare, se definepte

"" *iaoi-al"'Ji#i"it"t" t"ug",,r.

E, :d: ld" l"

;i un modul de elasticitate secant E, egal cu

F- - l

I

,PIIv4'>

PA'

--iI,I

Fig,9.2.

tnctrice a strncturii este luatd in considerare, caracteristica ,,incircaredeplasare" cste neliniarS. Pentru structura rePrezentate in figura 9 2, a,in' fisura 9.2, b s.a reprezentat cu linie plinb ctrba P - A in cazttli r roblEmei seontr l r ic nel in iare s i punctal in cazt t l apl ic i r i i tcor ic i l in icr '' N" l io i i t i t " t "a geometr ic i e i tc expr i rnata at i t in ecuat i i le d(-echi l i l ' r . r r

crioard 5i efortririle seciionale, cit 9i in relalii lc: deplaslrile ;i de{ormafiile structurii.probiemele gcornct t ic ncl in iare unele prcciz i r i

r lc

stnI

materi.alultri

lt('ccsare.Prln det'Iasdri ruatri se denumesc deplasirile finite ca- mirime alc 11rr()l

ttttDcte caracteristice ale structurii, ntmite deplasiri nodale, care dctcrlrllrr'linorli{iciri i' configuralia geometricb" a acesteia' conditiile dc cchilib'rrtlirrtre incdrcarea eiterioarb;i eforturile seclionale se considerE" pe sch('rrrrrdc{orrrat5. a stmcturii ;i se expriml prin ectalii neliniare.

yr\n ieblasdli tzlci se dcnuinesc deplasirile iufinitezimale, ncglijalril 'Irr eornparalie cu dimensiunile structurii;i cirora li se-apli,cd regulile calcrtltrlrri irr fiiiitelimal, ceea ce permite liniarizarea ecualiilor de echilibru, cxpri||lnl,c pc schema nedeformate a structudi

dintre inc6rcarea exterioarecomp-atibiiitate dintrc d

In legaf,ura

(,r)rlsl itni( trtodificarcaale structurii, efectul principrtl ilCiid sc cousiderl deplasirile mari ale structurii, efectul princlptl ll

l itrrit rnodificarca rigiditntii barelor in funclie de valoarea ciortttltti

(e. t)

(e.'.1)

nxiirl tlirr lrirrc, i;i ca uruiare, irodificarea rigiditllii irrtregii structuri'irt cc"t ct' privegte deformaliile structurii, in calculul geometric nclirrirr r

It, lrrr: diit 'r i tc ipoteze in funclie dc ,,gradul de neliniaritatt" al ptobltrtrt i

r,olhi(l( 'r iLtc., ( 'rrztt l g,'tttral, irr ipote'za ltttr l i lor defotrrrali i , carc l lctltr itc tczolt ' i tr ' t rt

lrt ' l) l f l lcloi crr .cl iniaiitatc gc.trrctticit ,, 'rottuuf.t it" t 'stc atutrci r"ittr l

i t t t t lc rk ' lo l r r r . r l i i lc i r t sccl i t r r t , t t t tg l l i r t lar t l , de \ , \_r4 \ , . ,l t f f t r ' , , t r ' . . r , .y i nxir lc . t , { i ig. 9 l } ) , sc .cxpr i t t t i { - : . ) l " lI l l t r t tc l i , ' ,1. ' dcpl i rs i i r i 1,r i r r l t l rL l i i r te l i t t iar tdepinzind de starca clc solicitarc t:orrsirlr..

tatiL.

Ncl i r r iar i tatca gr.orr t . l r i t . i srrrv i r r , . r r r(azl '1 l i r ] . ,carc dr. l r l r rsr i r i l t . s ; r r t rk, l i r r r r r r r l i r l r .: r t r r rc l r r l i i , s r r i t t i t r l r . l r l r rs: i t i l r , , r . i l ; i r l , , t , , rl l la l l l l ( ' i re(st( l : t s i t l t r r r r r r i l i r I r . | , . r r r r t r r , r r t | | rt l i l ic i l i i r rsr . r r r r r r r t r . i r r r r r r r i i11rrrrr1iql , . r , l t , ,I I t r . r i r r s l r r r r ' l r r l i i , l ,1r ' , i r . , r l i , . i l r , . i r1, ,1, . ,i i l i r l i | | r i l | | rh t .o;11;rrrr I r r r r . l l | | t r l t | ' t t | ! l l , i ll l r t l l r | ( . r l l l l l i ,

ChtC urodllluucr rton(l{unthl r!u.

lqxr l lzr . l t ' r tzutLlc, <r ' 1xn. f i i r r t i l r r i tc in di l t ' t ' i tcf r r t t r r t i l r i r t l l crr lct t l t t l t t i t t t l i t t i l t t g, otr t t ' l t i t , i l tI t t t l t | r , r l r ' , ,g l r r r l r t l , l , t t , ' I i I t i r t t i I r t I , ' ' ' r t l prolr l t ' -| | i t l ( r ) [ i i ( l ( r t l ( ' , s i t t l

t t r ' ; ' , l i j i r I l r r r l r ' l i r t r t r r r l i i lot r l l h l l t tc iLtr ' , i t t t t l t 'l r t l i i 1r t r t r ' l i l i t t t r t t t j l t i l t t l l r t I , t r r I t | , t t t r ' I r ' t t t l l i t t i r t t ' '

r r l r ' , , i r l l t r t r l , t , l r ' l r r t r r ' ,I ":l'1

- . : ll lu r ' / I

i t r r r l l r , r r I r ' I r r t t t t r t I i i I l t t t r ry. l : i r t l r t t , t r r i , i , i t rr t ' t , l l t t r r ' , r ' \ l r r i l r l r r l t ' i t t l t t t t r l l | r l | rh;r l ' r ' , , r l l l r r i r r

Page 93: dinamica constructiilor

:1*_"jLg: -ln acest caz, peotru o bari deformatd expresia

curDufll lntr-o sectiune

1: 91 - a'"/a"'P ds

['* (#r'1""se poate siurplifica, neglijind termenul (Y)'

^tU cle unitate, 9i considera

sub forma

exactd a

(e 3)

(e 1)

(9.( i )

( r ) : { )

I d,u

ll*:a::,,0:._t: ,li,3cceptata in p.robleme de stabilitate, ca si in studiutcompoftaru postcrltrce a structurilor :. - negl-ijarea deformafiiJor axiale produse de eforturile axiale dirroare, rpoteza ce este curent acceptata in problemele de stabilitatea sisterne_lor ce bare:

- oeglijarea deformaliilor unghiulare in secfiune, intre dou5 punct,.

-car-acteristice, ale unei bare (ipoteia de t.ra i"at*oid"tfll). -ti, ?S., l,.rse srmpffrca determlnarea unor elemente geometrice ale configuraliei del.or

.T:*__-"^:l.i:t1li l"{"1, spre exemptu, ii cazut unei baie a"etormate p.i,urrcovolere, d€tormatia totalE pe direcfia axei barei A se calculeaza observinclca elementul nedetormat de bar5 dz devine dupi deformare ds (fig. g.a)._D-eformalia axiali dA corespunzltoare

"t"-""tfui a" b.la d* eiiE eg"t,,icu

dA: ds - dx: ^lT+V@Td* - d.x.: { i l + 1u,1x17,1i - t} d:v. (e.5)

Dezvoltind ln serie binomiali gi neglijlnd puterile superioare lui [zr,(r) ,:r,relalia (9.5) se scrie

iat def.ojqatia. axial-i total5 A se objine dio insumarea acestor cantrti,lrpe toatd lunsimea barei

( r ) . / )

-, ln cazul neglijirii. def,ormaliilor unghiulare in sec{iunile barci tccrrrlrrse poate reprezenta_ prin doud elemente rigide (fig. 9.5) si rlirr <.r,rr.ri,l,rente geometrice elementare se deduc: "

L: l -a

dt : ! yu,1x11a626,

, t : ( : )" -Gf :1;V_n"): l r r+ q(_a)='2t( t nt ,de unde

I

A: -L I lu ' (x\ lz dt .0

l - u ' A, ' ! . (1, l , )

rilItIt

Fig.9.4. Fig. 9.5.

Pdn acceptatea acestei ipoteze se neglijeazl efectul incircirii axialcasopra

-oro"it"lor incovoiet6are in secliine ca.gi modificarea efortului

exiil ln bare produs prin deformarea de incovoiere a acestora. Ipotezaafecteazi, in glneral, icuratelea rezultatelor, cale.poate fi fuobuantnliteprin inmullirei numirului de'elemente rigide consitlerate penttu o bare.

9.2. INSTABILITATEA ELASTICA A SIRUCTURIIOR

9.2,1. Considerqlii generole

EIectul cel mai relevant a1 rnodiJicirilor in schema geometrici a rtneirtructuri il constituie fenomenul de flambaj. In acest caz structura estclncapabill si preia o incd.rcare suplimentarl peste o anumit1 valoare limitirP,, ca urmari a tendinfei de sihimbare a configuraliei sale Seometriccrtrb actiunea unei rcircS.ri exterioare constante P: P",. Fesomenuleorcspunde unei situatii de instabilitate a echilibrului structurii 9i reprezintiro rtaie limit5. periculoasi, fenomen care se va numi lu continuare, pierclercartobilitetii priir flambaj.

Modelul de calcul al pierderii .stabilitllii prin flambaj pentru struc-turlle din barc reprezinti 6 extindere a modelului Euler pintru flambajulbrrci drcptc. Penlru a incadra fenomenul ln moclelul atnintit, flambajulllrtcrnelor de bare se consideri acceptind unele ipoteze, care intr-o anumitltnlrurl 11 iudcplrteaztr de condiliile reale de comportare, 9i anume:

- for!<:l<'se considerb. aplicate numai in noclurile structurii pe direcliilcuclor llrtrclrrt (fic. 9.6, a),

.- brLrr:l,' rrir -prezintfL irnperfccliuni geometrice, astfel iucit, ca ';i in.'trttl bor('i rlrlptc.,structura estc iuitial solicitattr numai dc c{orturi axialc.

lrr rtlrr,r. s" corrsidcriL cornportaica liniar elasticl a tnatcrialului struc-Irrrii, lrrriirrtr';i rlttpir picrdcrca --stubilitl l i i, iar inclrcarcn cxtcrioarlt formotltl t t r r ru l r 1, . l i r t t r . cot tscrvtr t ivc.

( l r t r r l ror l r i t r , r r r r I r ' t t l I t t t i i l r )n l ( l i t ( ,1)rcz,( ' t t t rL l i t pr i t t r l i r tg l r t t t t rL P A,Irr l i l rcrrrr ' ( l ( ' l r l r l l r ( . ( l ' ig, 1) , {1, [ ) , l ' i r t l t rc i vnlor i r r l t lc f t rcnr i i / ' c( t r ( '$pt t t l -r l l r l r r Io, , r r r l igrrrr l l r , r l , ' r ' r ' l r l l l l r l r t n s l t ' t t t : t t t t ' i i , l ' r ' t t l t t t t 'n lot l r r lc t t t t ' l l rc l l t i i

r-T7rtri

Page 94: dinamica constructiilor

P2= d1P

l; ,t,4,

P,:d,Pg I{9

P mai nici decit valoarea critici P",, structura igi pdstreaz-i confignraliainifiald de echilibru (A :0) - reprezentatE prin linia 0-11 - rtumitilinia primarS de echilibru. Pentru valoarea incircd.rii P : P", linia primaride echilibru este intersectatS. de o a doua linie de echilibru .I1-rI carecoresptnde unei configuralii deformate de echilibru a structurii (repre-zentate punctat in fig. 9.6, a). Punctul de intersecfie Il al celor doui liniide echilibru se numeste ounct de biJurcare a echilibrului. Intr-un asemeneapunct, ecualiile de echilibru pentru structura considerati admit soluliirnultiple, fiecare corespunzind unei linii de echilibru distincte. Valoareainci.rcirii exterioare corespunzitoarc punctului de bifurcare a echiiibruluisc numegte incS.rcare critici gi se noteazA P",; echilibrul in aceastb situalieeste critic, iar fenomenul descris reprezintl pierderea stabilitllii priuflambaj.

Calculul la stabilitate cousti. in deterrninarea valorii inchrcirii critice,pentru care structura igi pierde stabilitatea prin flambaj, astfel incit pen-tru aceeagi valoare a incirclrii exterioare P : P", pe lingl configurafiainifiald de echilibru este posibili o alti configuralie adiacentl de echi-libru a acesteia.

Cind configulalia adiacenti de echilibru se considerS, iu imediatavc'cinS.tate a configuratici iniliale, adici' trecerea dintr-o configuralie dccchilibru in alta se face prin mici deplaslri qi deformafii, fenorncnul pierdcriistabiftn]ii prin flambaj in esen]a lui neliniar (finind scama de ^condifiilcIizice ale ccdirii structurii) ooate fi studiat in teoria liniari. In cadrulacestei tcorii incircarea de cedare este aproximati cu suficientir acuratcteprin incircarea criticS. de flambaj, cel pulin in cazul barelor drcptc, al strtlc-turilor din bare drepte gi al pldcilor planc. 'I 'coria liniarir tru poatc irtsiLIurniza infornrafii privind conrportarca postcriticir a ac('sl(tr strtlctllri.

9.2.2. Criterii de instobilitote elostici

Cl i ler i i l t , e i r r r ' lx . r r r r i l r let t ' t r r r i r r r r t . i r i r r t ' r ' i r '< ' i r t i i t t i t iu. rk l l l l r t lnt l , i r ll i r r r i tc l t , i lxr l lz , t , l ) r l l r ( 'z( . l l t t1:( . rurr i srrs, s i r r l r i r r p l i r rc iprr l : r ' t i l r , r i t t l r t l t i l i l r t t t .l r t i s l t l i r ' , c l i l r , r ' i r r l r . r r t . r 'gr . l i r , ; i c l i l , r i r r l r l i r l r r r r i r ' ,

t l

t iUr

-L

@

o

TIIt

lI

IJ

l",.f\ u"F*

I

l)

c

Fis.9.7.

9.2.2.1. Criteriul eohilibrului statio. Structura se considerir in cciri-iibrn critic in situalia in care pentru aceeagi valoare a inclrcdrii exterioirr( ,pc ling6 configtralia inilial[ de echilibru existl o alti con{igurafie posibiliirlc cchilibru vecine cu cea initiall. Metoda de calcul constd in a exprirtircchilibrul dintre incircarea exterioarl gi eforturile ln secliunc intr-o lst'tttcnca configuralie adiacenti, dileritl de cea ini]iali, gi a determina valoatco hrcercerii pentru care aceasti configuralie este posibili. O astftl <lr'formulare conduce matematic la o problemi, de valori proprii.

flxemplul 9.1. Flantbajul bard drel>lc cu lcgdluri elaslice Ia cal,rlt.ln limitele ipotezelor de mai sus, aplicindu-se criteriul echilibmlui statit,

lc cotrsidcri problema flambajului unei bare drepte prisrrtaticc - dc s<'c-llttttc constanli - cu lcgeturi elastice la capetc (fig. 9.7, a).

S-a uotat cu i rigiditatea la deplasare transversalir a caPitulrri fnl burci 9i crr r.

"si r,, rrigiditil i le la rotirc a capctelor de barir. In figrrr,,

e.7, |,r s-rr rcl,rczental couvtnlia dc sortttc pozitivc pcntrt: <lt' l l lasirli ;i itotiri.

. l lcrral ia di f t ' rcnl ia l i r a ax<' i nrcdi i dcfot t t t i r t< 'a bart i s,r l ic i tat i r l l i r rco\,olr,l(. ('stc :

1 1 '1. ! - . l / ( r ) .

l ) i t t t , r : t t r t l i r r r l t . r ' r ' l r t l i l l l r i r r l r r . i rc i r l t ' i l r r . i r cxt t ' r ' i rxrr i r , Ior ' l r ' l r . rk l t 'g i r l r r t r r; l l fnr l r r t i l , in sr t l i l i l ( , r r ( l ig, t ) .7, r ' ) r t .zrr l l i r

,1/(r) / ' ( l / r ) l / , , (1 ' , I i , , \ ( l r ) , ( l l l l )

; l l t t l tur l l r ' l t t r l l t r r . t ' r t r r l i r r ( l ) l l ) ) , r o l r l i r r r .

I ' l ' t . " ' , 1 1 ' , t l l ' h( l r ) l l t / r0r .r l r '

(r). r{r)

0r, t2)

Page 95: dinamica constructiilor

este egale cu

Solulia generali a ecuafiei diferenliale neomogeue (9.12) esteu(x):ut( t r)*uzi lx) '

In care ar(*), solulia ecualiei di{eren}iale omogene

f f+, ' " :ouude s-a ficut notalia

pn2:- l - '

EI

ut(x) : C, cos ,rx + C, sin nx.

..- Solulia parti.lulard. ar(.x) se caut6'de forma termenului liber al ecualieidiferenfi ale (9.12) gi este egali cu

. Constantele Cr, Cc, 8 gi 0, se d.etermini din condiliile la limiti aleoarel, t1 anuFe pentru:

16 : o, u(0) : 0 si z'(0) : 0r. (e.18)

, ,.*ofr"l 0,, se. poate ^elpdma

in funclie de I 9i 0, din contliliile deecrurDru ale oafel \Itg.9./, c)

r r0rf r r0r- .PD+A8r:0

01 :- ( t r * P) 8-10r.

rr ft

Pentru capb.tul x: L se pun concliliile

u(t): I si u,(t): e,.

0

(.1

; l

0

(e.13)

(e.14)

(e.1s)

(e.16)

Ie.r7)

(9.1e)

(e.20)

(e.2r)

, (t).22)

. pxplicitind aceste condilii se obline urmb.torul sistem de ecualii al-gcbrice, liniare f1 omogene avlnd ca necunoscute, constantele C1,'Cr, ,r*fl U,t scrrs sub forma matriceald

l -1I

t 'I cos nlIl_ ' - . t

s in l l

riurr ctr rrot ntiile

0

n

sin nl

t, aos nl

rnntriceolt '

F-;4 -+l lc ' - l(i" '*l I l l : l-,;, ,i_l 1., I

Do - ll, I9,lt')

Solufia banali C1 : Qn:8 : 0r :0 corespunde mndiliei a(t) : Q'adic5. co'nficuratiei necleformate a barei ln situafia iniliali de echilibru'Solutia nebinali corespunde existenlei, pe lingi' configuratia iniliali deechil-ibru, a unei configuralii deformate de echilibru pentru aceeagi valoare. ainc5-rcirii exterioare gi se lxprimi prin conclifia ca determiuantul ecualiei(9.23) si fie nul

Contlitia (9.23) exprimb criteriul de echilibru cdtic <lupi Euler 9i repre-zinti o eciratie n6linilra (transcendeutd) avind ca necunoscutd pararne-

tn:'d n : 1/l , numita e cualia ile stabil,itate, care admite o inJinitate dev. '

ridicini. Intereseazi valoarea minimd a incIrclrii pentru care echilibruldevine critic care corespunde rldlcinii z. minime a ecua]iei de stabil!

lDl :0. (e.%)

tate (9.23)Po : nit:' I '

Ecualiite de stabilitate pentru iliferite contlilii db caBet {e. pggiobtinute frin particularizarea ecualiei (9.23) sint ptezentate ln tabelul 9'1'

Tobet g 1

NTcrt

Schemoborer

vqloorgccoetcpfttlorde flordrtbte

Ecuotro de sto bttrtote

1 r r= 0 tgnt = nl

kt , !n.Lt

kl { k l - nz[ t ] lnzt I r t

2

3

k.0 tg nl ntf | + f 2 E]

tt^ , ,2tE| ,2 - -l r r r l \ - - - , - r r r t

I k =0

12: 0

r . ltn l ILI

T tsnr =nr i , l l - ;1, , t1

(e.24)

t),2,!,2. (irllorhrl onorllollr. l)oc[ lttcilrcnlcrt cxtcriotrll r:$k.' foltttttlri

- dln lort.r rrrttmrvetlvc tl i iruclurf, eFtc tollcitttl l lu tlolttenlrtl l inftlr clts-

] t lo, l rn l r r tc; l t lu l r [ p lcrr lcr , .u r l ,ubl l i l i l l i l pr l r r . f lurrrbuj , i tqrr ' t t . dc tetni t t t te

^L ; l doforrrrnl ln r r l r t tc l l t l l i tc lx)r l l . r t r ; t t l t r t r r ; r t i t t l t - t l l l l l t l t l l I r l i t r l t ( l t ' I t l la '

IL

Page 96: dinamica constructiilor

r r ( l l i i r r ( l ( rx r( l ( ' r r r i ' r ' . , r ' r | , r r l r l . l t ' B(,^( . ro r izrr t ( , { , *h ' s i r { to ' l ' r r i . r r r or :csi ,

l l l' tili,tl l Bffi .f i," l lili,ill'lt'";"lit,f 'l ,lI i, lll.:, hiii lt" lg,l1l*,.lJchili l>rul urrui sistr.rrr t.orrscrvativ cstc stabil, daci cncrgra p<.rtcnfiallLotirli iu lxrzifia considcratii, cstc minimi lala de ioatc'".i"f"it" p.irii;irl irr vccirrir,tat<.,a cck'i inilialc'

,,,,.,i'lllili*',i,i?rif ffi""":::i;*::'l"u*"r:"":".:*:"i'".*l;,.""iiiii$:i#i1". ,,1.)chilibrul unui sistcm conservativ este nestabil daci cnerqia

r).,rcrfiati totalS a sistemului este,maximi. in pozigia-co,iia"i"il r"i '" "i.cr .L. la l tc I 'ozi l i i d iu vccinl tatca ceiei in i f ia lc ' , .2". ,,|)aci. encrsia loterrliald a

-unui sistcrn nu este rniuirni intr_oarrrrrnitd pozilie_ dc'echilibru, atunci, in ,""."ia p-origi." cchilibrul est(.ucstabil daci. absenta minimul,ri energiei pot."g'.f" -!"

a"t"irrri,ra iri"tcrnrcnii dc ordi'ul ai rllea din dezvoltirea i; ";;i;;'i";p.rt

cu coordo_

lx|:i: i?:.:i'r,,rt?,a enersiei potenliate a sistemului. in ju,ut po,iliei ctn i-

Ilrrergia potenfiale totaid.l.'.a. sistemului se compune din energia dedelorruafie irrterioari ti potentialul torg"to, "onse,irrafai"

-""r"r,o"r".

'.1'iniudu-se seama de cele^tr.ei teoreme, condiria de instabilitate a sis_tenrnlui se determini. considerind varialia energiei'p"tenrhl; totale a aces-tuia. Dupi cum se. gtie, energia. potcnliale tot;le i.";;; sistcrn couser_vativ cstc o funcfie pdtratici iu.rap6rt "" "oo.aoo"ilt-"

generalizate, ,ilrril rrrnrar. varialia A . a energiei pbtenliai . ;;;;;i l '",

LI ' : r ' (% +8s,) _ r(?r) :01t . .+fr , ; 1; : r ,2, . . . ,n) (9.25)

Echilibrul sisternului este exprimat prin condilia de stalionaritatc rLcrrcrgiei potenliale totalc

8rl.' : 0. (9.2{i1

.;l,1,.;n'#riiB:;,i;',:TlHi;*li':i:1;l:i;"1'.ILT8r l '> 0. (e.27)

- |inindu-sc seanra de tcorcnrcle lui I,iaPuuov, cchilibrul cstc ncstabilt lacir :

8r l '<0. (e.2i t )

nlolrelltul in crrrc t,chilibrtrl stabil tr.ccc irr t.t.lri l i lrrrr rrt.stalli l cort.sl r r rndc condi l ic i :

;J! , O, ($.2r))

:i ': l1ili: l.:l i i rr.uczirrtii erir,.ril l. t.nt.r.gctic dt. t.ctril itrrrr critic ( i r r < I i fi , rr . r r r )nt s ls l ( . l r l l tut . Al) l ic . r rca cr . i tcr i t r l t r i r .ut , rgt , t ic ( i ) ,2f)) corrducr. l t (u( , tnnl( , ,i r r gr .ut . r i r l , l r r o problcrr i r r lc r .a lcrr l r . , r l i , i i i , rnnl l

200

lNronrplrtf I.2. Sl til i lalca sislattclorttr. ttu 11rud. dt libulult

Sc c<lttsidcrl sistctttttl ctt uu grad delibcrLutc clastic din figura 9.tt,[orrrrat dintlourl bare rigide articulatc itrtre ele. Coor-rkruata gcucralizati s-a ales deplasarea ql prrnctilui de articulare C.

Euergia potenfiale totale , a sistemu-lui este cgali cu

: :U -L"-Lp, (9.30)

in care U este energia elasticl iaterioar!'cgala cu

rI

1

ts

u : ! nq,, (9.g1) Fis' e 3'2'

,l.r este lucrul mcanic al forlei P prin deplasarea A dati de cxprcsia (9 !))

Lp: PA: P+, (e. i lz)

iar.,Ig este lucrul mecanic al forlei Q prin deplasarea g a punctttlui ci tlt'aplrcatle,

Lt :Q'q '

astfel incit energia poteutiale totale

r"-' hu! - l ' ' : - - ( ) 'q

2- I -

rcprezinte o Iurrclie pitratic[ in raport cu coordonata Sencralizati q'

Varialia A a energiei potenfiale, oblinuti 1>rin dezvoltarctr itr scrir'u cxpresici (9.34) cstc cgali cu

A : r (q+ 8c) - , @): *Ltq + i "#}q ' :

: \uo - +l t*01 re + . j g, T)ul".Coudilia dc cchilibru (9.26) devtuc

t ,n_at iq_Q:0,

lar corrdifi.t dq cchilibltr critic (9.29) cste

(e.33)

(e.3-l)

(u.lls)

(9.3{i)

dr. t t t t rh ' vt l r r r tcr t l t t i , f '$tlr,.

cl)r( sl ) uzaLt.oir, ( '

I ' ltl

, " ,

' . . t '

(e.r|7)

tc l r i l i l r l r r l t r i c t i l ic i t l s istct t t t l l t t i

($,$fr)

it(J I

- . t l

Page 97: dinamica constructiilor

urru,!{rt. . \cprczcnflnd cal Innl gcncrftl crltcrlu dcnDrcci(.tc rr sto.billtl lt.i l .l lrxti .slstcnr Iccstrr l)(,ftt(, fl utll izat atit Dcntruuctcfl' 'ruur(,r calitd.tii cchilibrului, cit gi pcntrti auolizo stabilitlfi i sau'ioiia_bllitlfi i rnir;clrii sisteruelor.. lrotrivit acestui criteriu, stabilitatea este proprietatea unui sistem meca_ruc oc a raspunde la mlcr acliuni perturbatoare prin varialii mici, determi_uetc, ale stirii lui de echilibru sa-u migcare. paia ra

-i.i ir"rturbatii siste-rnul rdspunde prit

- variafii determinite, in timite ;Jr;i;;ile*il'r;;;

cu star€a neperturbate, atunci aceast!. stare de migcare sau de echilibrucstc stabili.. Daci la mici perturbalii ale sthrii i"idaf" sist"-uf rispundepn..varral[ man, necortrolabile, fate de starea neperturbatl, staria dcccllulDru san d,e sutcare a sistemului este nestabili.l J' lrr cazul. referirii ia un sistem elastic conservativ, atunci, echilibrullui'cste stabil, daci prin scoaterea din pozilia

-inifaii ie echilltru (fis.

v.vj cr va cxccuta micl oscilafii libere in jurul aceitei pozigii. f,chiliirfilcstc nestabil, daci dup-a scoaterea rtin 5ifs3!ia inifiah de'echilibru a siste_rnuruf , accsra se va indeperta nedefinit de poziJia initiald de echilibruprrnrr-o mlgcare oarecare. Situafia de trecere de la ecrdlibru stabil la celnestabil, carc reDrezintE stare^a'de ecUilifru i'critic a slst!-rrfui, p*i"-iig:{ili!i :l -o ,situa}ie rimitr.in ;,t ;i.a;;i-;-;;,itai,ii,"gi ribere cuPursalre zero ((,) : U), condrtie .care exprimi,, pentru un asemenea caz,criteriul dinaniic de ecbilibni cntrc.

- In, cazul cel mai. general,.

- aplicarea criteriului d.inamic conduce lao proDlema. rnatematrca de analizi. a stabilitifii solufiilor ecuatiilor dife_rentiale carc descriu migcarea sistemului, in iaporf t" -va;A;a;;;;;

parametri ai miscirii.. Exemplul 9.3. Pentru exe^mplificare se consideri. problema flambaju-lli :l"l barc drepte (fig_ 9.10,'a). laca p.in

--aepiaiiri y vitere iCtiare mlq bara se pune in migcare, aplicind prin-cipiut iui a,etembJrtgi exprimind echilibrul dinamrc a.l unui element d* de bare sub actiu_

P

bFis.9. l0.

u (xr t l

1

F19.9.9.

T2

nco lorlcl axlalc f, o clottur or sectlonolc tl a rorlclor qe lucrtrq lr ,r I(iis. 9.10. b) la fcl ca in lxtlo,srrtful 4.2 1,se obfine ecualio difercrrlirrll l 'ri'iEraliilor liberc liuindtr-sd scaiira de c{cctul {or}ei axiale P itr tlrtttlllortrca formh :

Notind

nz:!-EI

ecualia (9.39) se mai poate scrie

7u "6* u 4tu- --'. tt- -al At' EI af

Se propun solulii de tip Fourier cle forma:

'e(x, t): x@)r(fl'

9i introclucinil solulia ln ecualia (9'41) se obline

1 d'x - l at'x P I altT, i - - - :

x d,/ X d,t' EI T at'

Ecuatia tliferentiall cu dedvate parliale (9.41) este echivalenti rlccicu r:rmdtbarele doub ecuatii diferenfiale ordinare

-. du ^ atu 41tE'L _- | r - : -u-

Al ' 0r2 Af

d,T, EI . ^-_F_Ar:udrr p

(e.3e)

(9.4o)

(e.4 l )

(e.42)

(e..13)

(e.44)

(e.4s)

(e.46)

(e.47)

(e.48)

(e.4e)

(e.s0)

'r03

cu solulia

in care s-a notatT:Asj ln(<, : l for)

. , l t :31.F

Oea de a doua ecualie cliferenliall este

d,x q*z! !_ rX:0.dr' dt'

Ecuatia catacteristicb a ecuatiei (9.47) este

sr * . * !g _ l :0

9i edmite doul ridicini reale 9i dou6 imaginare' Notind

.1: iTfr^-"" .;:rclutia ecuarici (9.47) cstc

X(xl - 1ch sr.t f Ii sh sr.r f C cos s.r { D siu s"x

rEiTTi + nt2

Page 98: dinamica constructiilor

; i r r ,prr ,z i r r t l l l tnrct ln( l r ' ( . l t l ) I1 rLlr ' l r t rc i

siD siu s" l : 0.

I 0 se gasette

JII l l : 1, 2, 3, . . . ) ,

l i r r r r r r ' lor ' Prolrr . l i t l r . v ib l r r l i t . r rr l r r l l l r r nr ' l iculalr . , r ( .z l t l l i

l r r r l r . i . l , t r r r i r rc l condl ! i i lc

t l : lJ . ( ; - . - ( l (e.s l)

(s.s2)

(e.53)

(e.s4)

seama de. expresia (9.46)

I 'c l l t ru ,

dc unde

u: '4( t -u: t,r t j'n, I

, .Pulsalia o; a modului 7 de vibrafie, linincldcvtne

. . j " , ' r lE r , Pt" \+.n j : -F V;t , - r . r* ,J

- Notind cu cr1o expresia pulsaliei vibrafiitor barei pentru

r : v, .nj se poate pune sub forma

I. Ptt iio i :o) .ht l - - l' ' " ( i , " ' l

"".:ii:*:?"","*I"'ffi f;:i"i,J:i,llf"i;*:,J:',llt'li,f*:r::.T:irlic.? aincircdrii critice corespunz'dt.ur" l;tt : t;L?a criticn

" iocai-

^ r'EIr" , : ' ;

ccea_ce coincide cu inci.rcarea critici dupi Euler.lle observat ci incErcarea critici o6tin;te- utilizind criteriul dinamicll.::ii:]d" in orice situalie cu valorite

"6'i"";" ;-ri" -;;tlarea

criteriuluistatlc sau energetic.

9.2.3. Comportoreo postcriticd o borei drepte

" Modslul Euler_.permite oblinerea valorii aproximative a incd.rcirii dccedare,- in.teoria liniari, conjiderinti ipoter, '-icitor- d^ef-orma1ii, dar nu

lnate furniza informatii priviio,,a4iir" a" ;a;€-i,iri' j"l*,i?1t""T3i:X,1,",i:f1',"i:,.1fr:h,i.","T.;::sint prin natura lor -neliniare.

Astfel, pentru bara dublu articulati (fig. 9.11, a) ccualia difcrcnlialiLa axci barei solicitatl la incovoiere in ipodeia miciior 'defonirafii *i. ;dti;,:din ccuafia 9.12 prin particularizare tl : b, ".

:bi"-"

(e.ss)

cazul cind

(e.s6)

(e.s7)

204

t1'u I'_J_ _4:U.d.tr EI (9.sfi)

7$5

ln,!,o

oR

t-Ino.

Li 'E

Po < P6< Ps

b. c.F;9.9.11.

0,1

Fig. 9.12.

02 q3us/ l

'l'inind seama de condiliile reale de ccdare -. in ipoteza marikrrrt,'tnri'"alii - in ecualia (9.58i trebuie introdusi expresia exacti a curburiiharci (cc. 9.3), pi anume

2

"-a+l l t+[" !1"t"u:O,1r ' LI I l r l r I I

Astfel, pentru j .: t,OOt,

' . , " ' r t ru 3, ,-= l ,0 l0,

lrr figura 9.11, a, h gi r sc reprezinti coniigurafiile defornratc sttcc'-

"iu,' .t" u?t"i p"t,iiu u.toii crescitbarc ale lui P, P" - lb (.P" corrsidr'-

;i;,1,;; " "o_ili iui"

elasticS pe toate durata incirrcirii cle.t.risir d. rt.rr:r.

ii i i if "-r*tf "ia'""ii.iota

tg.Sgl. Flrd a se insista asupra_ determittirii solrt-

iii;f ""ir.tr

ir-hft"t""f iai" ticti"iare (9.59). carc implich folosirea integralckrr

i' i i i,tl." -'zi'),-i;

Iigira I 12 s-a reprezentat crsrba oLHI(' care r(l)rczirrti

lcfalia tlintre PlP" Si w"fl, in care Pt:T este inc6rcarea criticir dc

Ifnrrrtraj dupl Euler, iar tr,ll reptezintl' raportul dintre deplasarca maxitrr'i

r. 5i lturgirrrca I a barer.

(e.5e)

u"ltr : 0,0282,

a,/l .'= 0,01i95 etc.

l ')cttrrl irt t l i i t retrI i i t] i-t ttcl iniari (959; pcrrnitc astf 'r l aualiz'a ( ( ) I I I I ' ( ' I 1 i | | I

l ' . , ' , i ' ,1; ; , : ;

, t i ; " ;1 i , , ' [ . , ' , , , t r " l r u l r ' t i dc t la i r r -baj f in i r la. ccda-r t l )c] i ' lc l ' l iLsi

' i r , . , . r , i t i ' i . . " i t " l . t l . izv, , l t i r t r tc l t f i r r i t , la v i loar"r- 1 ' : J, ' r a l 'ar ' . r l tp l r rsr 'Lr i

i ' ,^ ' i ' i - ' " f^ ' 1 ' fq51(1i r rc i { t i jabi lc alc i r rc i r rc i r i i Mai Iut t l t ' i t t t ' r r t t l i l i i l : : r1 ' : t

; i i i ; i l r ' ' ; ; , i l i , i i i i i ; i 1t , : t , " ' , ,n1i i r r rar i , . . l inr i ta dl : l i :1 o t rr : r t r ' r i : r l t t l t t i vrr

I l l tt lr 'r ' t ' t tt ir, c('("1 cc v;l r"ccuittu ttttditt la dc dqlorrltatt ' a l l trci ' l tslft ' l

i;,.i i ', i;i.i i i i;, ' i:,i ', lu ,,",1nr., rru va. li rnuit dilcril i l clc ittcitrc.rt' l cril icii

, i i . r i , , , i i iu i l . l ' t l i t t t i t r r t , r rc, l tc t t t r t t c lzLt l barci drcptc i t tc i rcr t rcr t cr i t i t : i i

, i t , t i , i i t t t ,u i ' r " , , , r , 1 i ur t ts i r l ' r [ t r i c t t l i r r r i t r r i r t l i t ior t r i t r t i l r t : i t tc i l r ' i i t l t ' c | t l r t t t ' '" ' " l ; ; i ; ; ' ' , i , , i " , . , i , , . , , , . i i r lc .bsr.rvnt , c i ' r in s i l . r r r r l i i l ' r t , t t l t ' , t rc l i t t t t i , l r t t t ' t r t | 'I r r , , | , l i

j i r i r r i , . , l l l f i ( .x( \ . l l t i1 i11i i r r n1, l i t , r r r , , r r i r rc i l rcr i t i i sr t t t i t t r 1x ' t lc t ' l i t t t t i r t I

1,.

Page 99: dinamica constructiilor

:*:l:l g:"*:lrice a barei fas c-a, iu ipoteza unei comportLri perfect elas-tlce-, caracteristica inchrcare-deplasare m.xime (Iig. 9.12) s6 fie de formafP_"i,9-YN^l"prezentatd puoit.t io- fig*a' lJ-;';"J Zzl fiecerei trepteqe mcarcare u cores. prrndl.o situatie de echilibru stabil al barei, chiar dicnrn dome ul incerc5_rii critice Euler, la mici cregteri ale lnci.rci.rii corespundnari cregteri ale deplasi.rilor.

9.3. ANAIIZA NELINIAR GEOMEIRICA A STRUCTURIIOR

9,3.1. Colculul de ordinul ll

-. ,ln limitele.dg. gomportare liniar elasticl a structurilor, efectele prin-crpale.ale Deliniaritalii geometrice, ca unnare a modificlrii configur;fleige9P9!nc: globale_ ale acesteia, se manifesti prin modificarea rifrdititiiln(uvrduale a baretor comprimate sau intinse ale structurii gi aparifia inbarele structurii a unor solicitiri suplimentare de incovoiere. Acistei dinll-e

pgt fi exprimate aproximativ prin aga-numitul elect p_A, princare se la ln conslderare numai inco.voierea suplimentard.. datorite forfc.T'r.din noduri raportate_-la schema deformatl i structurir, ca urm€ue a

limiti Pr, corespunzltoare acestei situafii este mai mici decit inclrcarctcritici de flambaj PE.. Este cle menliooai faptul ci, in general, toat! con-fieuratiile de echilibru ale structurii corespunzltoare cr:rbei O,4B siulst-abile. ln situafia tle echilibru corespunzitoare punctului ,4 (punct linitl)structura are tendinta de a trece i-ntr-o confizurafle de echilibru diferitlde cea inifiall, curbi P-A dezvoltindu-se dup-l alie forme (AC, AD etc-l 'care pot. iorespunde unor configuralii de echilibru stabil sau nestabil alstructuru.

Fenomenul pierderii stabilitltii prin deformare continui permite, inlimitele unor ipotieze mai apropiat6 de condiliile reale de incS.rcare gi com-portare a struicturii, si sd d&ermine luciriarea cle ce<lare elastictr.

ln acest fel. in teoria neliniarl, prin tleterminarea curbei de incir-care-deplasare, se poate gisi rispuns aiit la problema -.detetminE

rii st6riide efori gi tleformafie finlictu-se ieama de efectele moclificlrii formei. geo-metrice i structurii (ialculul de orclinul II), cit 9i problemei determiqiriiincErci-rii de cedare, corespunzS.toare pier<lerii stabittllii prin deformareacontinud a structurii.

ln cele ce urmeazi, vor fi prezentate metode pentru calculul geometricueliniar gi la stabilitate a1 cadielor plane, arcelof gi plScilor plane conside-rindu-s e numai acfiunea forfelor conservative aplicate - static, structurafiind solicitati if, li:mitele de'comportare liniar elastici' In aceste condifistructura gi incircarea exterioare iormeazi un sistem conservativ.

ln legituri cu fiecare probleml tratate vor fi prezentate ipotezelede calcul qi limitele de aplicare ale metodei.

deplasitii nodurilor pe direcfia perpendiculari la axele baieloi. i;;"4structurilor cu stilpi puternic comprimali supuse

Pf t la aa+i-- i ^- : -^-+^^r^ -

-^-r^-^^ ^^ '^-- , , ' - " - ' . - , .Pf I ^

la acfiuni orizontale,- ponderea ac6stui 6fect ̂ este

^ ln / P _ 't' dominant5 in ansamblul fenomenelor geometricFe |=_l-.:-J--[.-! ncliniera /na ,!a a-^*-1,, .n ^^-,,r

L^r^r^- -^+^-J t t neliniare (ca de exenplu in cazul halel6r parter. gu _podud rulante grele sau al dldirilor etajate

PL l--/7'a<c

* * cu Joduri nlanteinalte).

Fis.9.1J.

ln capit6lele urmetoare se vor ptezenta unele metod.e de calcul d<.rul II ale structurilor alcd.tuite din bare. in limitele iootezelor ce vorordinul II ale structurilor alcetuiteor(unul rl ale struct[rilor alcd.tuite din bare, in limitele ipotezelor ce vor

fi precizate pentru fiecare ptoceddu de calcul.

Modificarea con-figurafiei geometrice iniliale astructurii determini un rlspuns neliniar al acesteiapus in evidenfi de curba caracteristici incircare-deplasare (fig. 9.13). In calculul de ordinul IIproblema care se pune se poate formula astfel:

- _ pentru o incdrcare statice date aplicati. uneistructun s5. se determine starea realE de solicitare (eforturi) -gi deforma-lie a acesteia, fdri a se cunoatte apriori curba de'rlspun! i structuriila aceasti acfiune.

10, CAI"CUIUI tA STABITITATEAL STRUCTURITOR PTANEFORMATE DIN IARE DREPTE.FUNCTII DE STAIITITATE

ln acest capitol se prezinti unele procedee.pentru calculul la stabilitutc al cadrclor plane utilizind fuuctiile de stabilitate.

Itorrnularca problemelor se face considerindu-se--ipoteza. dcloru'atiilorurwlrirtlart: uLici iu sccfiune, neglijindu-se dcfonnaliile axialc produse dtnlriitrrrilc ruxiale dirt barc, solicitarea structurii fi ind in limitcle dc compor-lluc lirrirtr clusticiL.

to,r, ECUATTA DIFERENTIALAA AXE| RAREI INCOVOIATE SOLICITATA AXIAI

Sr. t ,orrr i rk. t i l o l r r r r l t dtet tpt i t r lc sccl i t t r rc cot lstr t l l t i t i - t , , , i r r n i t t t . r -t [ . r ' . r | r , lurrr t l . [ ( t ix . 10.1, r ) l i t l r r l r r l r l t ' l i r r t r t r t r t ' ( f ig ' 10. l , / t ) srr l r act i r r l rcr ti r r r , , l l t tcdr, ' ,1r1 r l ln l r l l r r r l te ,7(r) , l r r r i t r r r r l i t < lc l i r r t t t* t i t t l -ut t phrtr t I d i rcr ' -t . l l l t r l l t l , t r r l l r r r ' l t t r r r ' l l t t t t l c t t r r rpt t t t r .At t t r tc eorr l igurr l . i l l t te r l t fot ' t t tnt t tk '

iglrlllbru r brnl l[, ll0,l' l, tl .),

9.3.2. Ficrdereo stobilitdlii ptin dclormorco continudo ctructurii

. Analiza geometric .neliniari poate pune in evidtufiL nn tlt f<,trorrrt.rrdc picrderc a stabilitifi i. Pe mlsura cregterii irrclrcrlrii 'cxtr.riorrt., cir rrrmare a descretterii progresive a rigidittl i i structurii, dt.Iorrrrtli ik: sl.rtrctrrriise acccrrtueaz!, continuu. Situafia lirrritiL dc echililrru cort,sputrzirlorrrr. lrrrntentului a lu lhr i i r ig id i tAl i i s t ructrrr i i , c i ld deforrrr t l i i l t .s i r r r r t r l i i sr . 1,ordt'zvrll.n. fltr[.(, cr(,tt( r(. rL rchrcilrii t 'xtcri'*r<,, rrrrirrrt.rrl; t.,. c't.r.r,1rrr rir l,.purtctrr lu l z l l l crrr lx. i / r . .A ( t i i ; , ! ) , l i l ) , r r .prczir l i l I r , , r r r r r r r r . r r I r I rk, p i i , r r I . r r .

' r r to l ) l l l l I t l l l r r l r r dcfolrrr l rcr corr l i r r r i I r r ' r t ru( t r r l l , V$kr$rr .u l r i i r t re l | t l l

Page 100: dinamica constructiilor

+'NN

#

d.

Fis. 10.1.

Convenlia de semne pentru eforturile gi deformaliile pozitive in scc-tiune este prezentati in figura 10.1, c. Echilibrul elementului defomrrrtde bari (fig. 10.1, d) conduce la urmitoarele ecualii

-N+ (N+ dN) + q 'dx:o

-t '+ ( , / - l - d )+ q,d.x:O

-M+(M+dM)- l 'dx;Ndw-O

( l ( ) . I )

ecuatia (10.5) se

ln cazui inaxei deformate a

Acceptind ipoteza micilor deformalii unghiulareaxei medii deformate a barei se scrie

pyd'" : -1,1.iat

Jinindu-se searna de ecualiile de echilibru (10.3)

"NEI

poate scrie sub forma

d'a " d 'u a

drt <ltt2 EI

care efortul axial se consideri debarei devine

dtta ^ d 'u o

dr. d.t2 EI

t0.2. INTEGRAREA ECUATIEI DIFERENTIAIE A AXEI 8AREI.MATRICE DE TRANSFER

Solulia generali u(x) : u\(x) | w,(x) a ecualiei diferenliale liniart,neomogene (10.7') se compune din solufia

u,1x) :;L,,ox,,

corespunzetoare irrcircErii uniform distribuite q.Constantele de integrare se pot exprima in funclie de condiliilc rlr.

cal)5,t .ale barei. Derivindu-se succesiv solulia generalS., sc obtine

o9: -g : C2+ ncrcosnx - nCtsirnx +-! ! - , (10.10)

:# ,ll,= nrC

" c<ts rt'x ! n' c , sin nr '

(10. 12)

l \ ' rh ' t l t i r prrr tL,r l i t r f igura 10.2 rezul t ilx . l t lu 0 i r l i r r i t r r r i t ' (cos 0 : : I ; i s i r r 0 - 0)

' ! ' I No I tN1l1 ( lo. l3)

4l l i r i r r , l r r r r . hr . rurrr r l t . r ' t r r r r l i r r ( t0, 12) ; ir ro i l l l r r ( l l ) , ( i )

, i , : i ; : ' ' ' : i i " ' t ' t ' t t , ' t (ro r 'r)

in secfiune, ecualtrr

( 10.5 )

gi (10.4), notind crr

( lo.( i )

(10.7)

compresiune, ecuafirL

(10.7' , )

(10.n)

(10.9)

(10. I r )

zq(xl,_-_.1_-1-*_'1-_-_-_1.b.o.a

u\(x) : Ct i Czt I C, sin nx i C, cos nx,

corespunzEtoare ecualiei diferenliale omogene gi solulia particularS.

dN

d*

LIV

, ln l , , , lz- . rJ. lv . .r l . r ( t .L

( lo. '2)

( r0. l r )

( r0 . r )

l )nt i i sc t r l r r i t l t . t ' i r t r r l t r t i tc l i r r r r t . t r r l r . i iur . r l rc i l r i l l i l i l l t r l i l r l t i l l t i l , lr / ( 'ors l , r l i r i . j l l i r 1x ' r1x rr<l icrr l r r r ' 1x, r rxrr l r r r r , i ( r7r , O l i ' / ,v . / , i r r lr rcgl i j l r rzfr c lor l r r l r rx i r r l srr l r l i r r r r . r r l r r r r l r r lor i l i r i r r t , r rvoir , r i i l r r r r r . l , r t . r r r i l l , l l l 'l t rn l i r t 10, 'J r . r '1 i r r nt , t 'n l t , lz N ( . r ) ln l , I lu, l0 i / ,

Page 101: dinamica constructiilor

Notincl cu z(x) vectoruJ de stare in secliunea *z(x):{-w g M l t t }

exprimat astfel

| -x -sin nx0 -l -ncos nt(0 0 *2Elsbt nxO -nzEI 0

00

sau cu notatiile calculului matriceal

z(x) : B(x)e.Yectorul de stare ln origine (z :0) este

z(0) : B(O)e

'" (u- sin v) I -_' { l -cos v- " l-Ery ' ' . lcrv l t . : l

t' (l-"osu) i {t' f.io u-u)Ery' ' iErrr

.

I 1ol .2,- sln v l-; (cosv-r)

-cos nxn sir: nxn2EI cos nx

0

(10.15)

(10.16)

(10.17)

(10.18)

{r0.21)

(r0.22)

In expresiile elementelor

o mirime caracteristici aMatricea de transfer

toarea

matricei (10.23) s-a notat

u: l t l iLVEI

barei, numiti factor ile conl[resLune.Q corespunzitoare secliunii ,: I este

(10.racesta poate fi

l- -"-l l--l0 l llMt Ilv l : l

t - - | -l_ 1_l l_

-qxzl2nzEI -ll'C 1-l

-ooi,lr*"' 11 3: I-1-- lL,1I t ' , .- s1n v - U.-cos v)v EI$

cos v

ur:

0

0

0

- -$nv cos vI

Se rezolvd. ecualia (10.18) tn raport cu constantele de integrare

o: g-t10)z(0), (10.20)lo care B-r(0) este inversa matricei B(0) 9i este egalb cu

Ultima coloane a matricei (10.25) corespuude inc5rcS.rii exterioruniform distribuite 4, ce acfioneazd bara. Pentru alte tipuri de incirrcse determinS. soluliili partiiulare ur(x) corespunzitoare licircS.rilor colderate, iar operatiile de calcul se

-ioncluc in acelaqi mod.

In tabelul 10.1 se dau elementele corespunzetoare ale ultimei colondiu matricea (10.25) pentru alte tipuri de inclrcare.

Obsel alie, R.elatrjle csre expri65 dephsA.rite, rotidle, trromeltele lncovoietoale gi t()r.ltllctosre ltrtr-o sectiune oatecere s bsrei ln fu'1crie dc scel.agl .lemente a1c vectornhrlItata ld orlgine tI de iflclrcaie trar$yersalS apllcrtl pe bale sht, ata dupd curl1 rezul tmult le (10,22) gl 110.25), lini.arc b tapolt cu bc[lca.rea tralsrcrsali, ileplaslrile Sl cf(,,

l - - l 0 0 - l| 0 -1 -n 0J000n'EI

" ,"r : I

0 _*zEI .O Ot - - - - - -L0 0 0 0

-'r""1 (Iole)I -_l

l--l O -llnzEl 0| 0 0 0 -7lu.zEl

n-,ror-l 9 -lt" o rl''EIl

o o rlnEl 0| - - - - - - -

Lo o o oln acest fe1, vectorul de stare z(r) se mai poate scrie

z(x) : B(x)B-rp)z(0) - Y1r;"161,

-,,{",1qln EI I- - - - l

r_ l

unde s-a notat cu U(x) matricea de transfer

[' *'"f #{'- *,+) *(+--'"f)]rr( ,) : I

o cos Y ; i " t ; #i t- * ' ;J I

I o -+',,; cor r l"r" i I

Loool- l

#,,,n-n,f - -nl,

sjl-r "".if--rr,'$ o^ji-

Pl3 '

id - .^ id r-Eb" ' - [ - -" ' - -T- '.Srr-"on-e|-r

'-f'f; "" sr

. o r* Iitt-(10.23)

Page 102: dinamica constructiilor

v

tilc ln origirre gi neliniale ln raport cu factorul de compresiufle v al barci. prin urrnare, piin-cipiul superpozitiei actiunilor este aplicabit 9i ln calculul ale ordinul al Il-lea cu conclitiaca factorul ale compresiune r al barei sI rlmiad constant pe dulata supiapulerii efectetor,ccca ce presup|rlle cA elortul axial din bartr nu se flodifici in timpul ac$tui proces.

Cum acliurile .denlionate proaluc, in genelal, variatii mici ale elortului axial din bari,in cele ce urmeaze se va acceptc ipoteza elortuhri axial corstatrt in ber:i, ceea ce permitedplicarea pritrcipiului suptapunerii lida.te a celoilalte actiuEi. pe aceastl baze vor fi adaptatein cotxtiruare, metodele Staticii lidare ln c4lculul de or(linul al Il-tea.

10.3. CALGULUL COEFIC|ENI|tOR DE FLEXtBtLtTAtE, PENTRU BARA DREAPIA TININD SEAMA

DE INFLUENTA FORIETOR AXIATE

Pentru o barl dreaptb., considerind sistemul propdu de coordonateSrU.: !,2, 3, q (fig.

-10.3), coeficientul _de flexi6ili ite /^ se delineqteca.fiind deplasarea pe direclia coordonatei z produsi. de 6 ior!6 unitirlaplicate pe direcfia coordonatei s. Daci se iau in considerare nuinai defor-mar'iile de incovoiere ale barei, coeficientul de flexibilitate /,, se poatecalcula cu formula Maxwell-Mohr

astfel lnclt coeficientul de flexibilitate/r, se calculeazi prin integrala

I

,r,,: : t["o' " i - _L rio Yl1 t- r iar:- EI) t t tgv , , \ I l

(10.32)

ln acelagi mod, coeficientul de flexi-bilitate/r,:;f ' se calculeaz!. prin in-tegrala (fig. 10.4)

. t tn(x)nt , , lx l ." / r r - \ - _; : dx:

) l:10

t1 f I 1 )x ( t r

-: ar J lcos , r*

"tt

, tl1 ld" :0

t 6( | l l L,- - l : -d,(v) : r r .6.E-r v tsin v v ,l 6EI -' '

Ir , ,t(,\ n,("\ ,/ r " : l -os_

0

f,i3JTi"#?rt:.i'lg #li!:i"tif. de momentur 'h: 1 (hs' 10 4) se obline

m(x) : -EJ)"iof to"t + cos y 1r; * l.* i [- iJ 10.27)

,, Pentru ,eliminarea parametrului 0o se exprimi condilia de deplasarenula in capS.tul x : I al barei, utiliztnd matricea de traisfer (10.15)

-r(t):: sin vgo f f i l - cos v)(l) 1-1' (v - sinr(-1) : o,

(10.28)

ou:-- I l +) ( lo.2e)rcv

(10.29) in rclaJia (10.27) morncntul incovoietor

(10.26)

Funcliileiar(v), crr(v), depinzind de factorul de compresiune al bareireprezintd factori de coreclie ai coeficienJilor de flexibilitate ai barci,corespunzitori calculului de ordinul I eeali cu unitatea in cazul in caret'fortul axial al barei este nul (v:O).-Valorile funclii lor orr(v) 9i ocr(v)rint date ln tabelul 10.2.

(10.33)

Tabtlul 10.2

dc unde

m(x) : r,6!1 _ -Lsin y. (t0.g0)

Mott tctr tu l rz ' ( r ) csl t ' egal cu ( l ig. 10,4)

0,000,100,200,300,,{ (,0,600,80t),?t)0,u00,f,t)

t,(|t lt , t0t , , , | l| , :

't ,at lt , r

2

|,0000

l ,0163

t,o(i8:J

I, l { i l l ( . i

I , l l , l5( i

| , t i l2. lI , t ) ' t1r li t , l t8rJ: li l , t4 i I r{,Hl l8!

l l , r0 l l l

1,0000

1,0065

1.0252

I,0G22

I,125( i

r. ' . :395I, l I r ' t , ll . , l f l0( l| ,7:t , t , . l'J, !8J2a ,t ' t 4n

1,0000

1,0178

1,0768

I, t tru I

r,J900

I,7(i{)52,0? 60'. l ,6t i l7:t , , t i . l76,Jl l3. l

12,|"!,n2

1,0000

|,0027

I,0107

1,02{9

r,0455

|,\ t7:t7I ,09 t2t , l 4t . t : l t6t , t ( i | | lt , l ) t6

t . ,JI l

1,0000

1.0042

t,0188

1,04:17

t,0lJoo

t, I r ( , .1l , | 017|, l t71)l ,?3rxl| ,:t8ft1r , : t6 l r4

|, i l l {( l

Introducind expresiair scctiunea r deviie

iq3 Aq1rhqr ,+t\-.-E/

Fis. 10.4.

FlU. l0, l

a2nl (r) ( r0,ir r )

Page 103: dinamica constructiilor

Tderul 10,2 konlhtuarc\

d.(') S1 i64

1,601,701,801,90

-26,2445- 5,7374- 3,1308- 2,1133

- 1,5694- 1,2442- 1,0069- 0,8431- 0,7196- 0,6231- 0,5465- 0,4836- 0,4313- 0,3870

- 0,3492- 0,3165- 0,3040- 0,2876- 0,2621- 0,2391- 0,2187- 0,1997- 0,1821- 0,165,1- 0,1493

- 0,1332- 0,1165- 0,0098- 0,0760- 0,0459+ 0,0045

0,13112,1964

- 0,4390- 0,2593

- 0,2011- 0,1707- 0,1512- 0,1370- 0,1261- 0,1171- 0,1096- 0,1030- 0,0s72- 0,0921

- 0,0874- 0,0ti:|l. -- 0,0701

. o,t)7(il)

- 7,42t4- 1,1299- 0,4271+ 0,0701

0,257 30,37880,4659o,53360,58970,63850,68280,72460,76540,8063

0,84830,89260,91l90,94010,99201,04991,11521,19071,27951,3861|,5174

I,68381,90302,20572,63293,3836.{,79808,7218

75,9r01

- 10,2705- 4,5713

- 2,8355- 1,9912- 1,4908- 1,1585- 0,9209- 0,7117- 0,6010- 0,4868- 0,3917- 0,310s

- 0,2u9lr- 0,17(i1). - .0,1200. o,{}70t)

:rf r Fil t1-30,t204- 6,7141- 3,7410- 2,5805

- r,9658- 1,5872- 1,3323- 1,1504- 1,0151- 0,9114- 0,8304- 0,7663- 0,7151- 0,6742

* 0,6417- 0,6165- 0,6079- 0,5976- 0,5846- 0,5772- 0,5751- 0,5707- 0,s908- 0,6099- 0,6392

- 0,6823- 8,7445- 0,8378- 0,9821- |,2265- t ,7 t lo- a,0745-26,5889

+ 3,5933r,6085

1,00830,72110,55410,4,i580,37060,31580,27450,24260,21740,197c

0,|8t70,10800,l6tltl0,1620

1,22661,26731,3147|,3704

1,43651,51581,61241,7s25r,88542,08642,36182,76193,39634,5550

7,348623,5659

@

- 15,7398- 5,4154- a,o7a7- 2,O$A- 1,4572- \0747- 0,8128* 0,6147

- 0,4603

- 0,2317- 0,1430- 0,0€52+ 0,0044

0,06820,12790,13510,18510,2412

o,29? 50,35550,,t 1690,48380,55920,6{700,?5380,8001|,07 6u|,a476,1',Idt,t|016

ir ,72806,88l2

q)

, iFfru1,40781,48301,57r0I,6750

1,79931,9,t942,13362,36412,65963,05023,58904,37ffi5,63157,9343

r3,505745,9234

@

-32,7063- 12,07?O- 7,4244- 5,3769- 4,2292* 3,4990- 2,9961- 2,6414

- 2,3570- 2,1454- 1,9792- 1,8475- t,?429* 1,6603- 1,5962* 1,5483- 1,5434- 1,5152* 1,49&3

- 1,4914- 1,5014-, 1,5280- r,5738- 1,6430- 1,7446- l ,888d-- 2,09G1"- 2,4050-- 2,8024

- 3,?4fi6- . . .6,6{101r. I l , f iOi l l l

2,002,102,202,402,402,502,602,702,802,90

3,003,10

4,203,304,403,503,603,703,80s,90

,1,004,to4,204,304,404,504,604,703l2r4,804,90

5,005,105,205,305,405,505,605,705,805,90

{J,000, l00,202n

ln mod aseminitor se pot calculacoeficienlii de flexibilitate pentru altecondilii de rezemare ale barei la ca-pete. Astfel, pestru cazul barei in con-solA (fig. 10.5) urm1rin<I acelapi proce-deu ca gi peutru bara simplu rezemat5.

integrala \ n1x) m'(x) d,x este egale cu;

(10.34)

untle factorii de coreclie 1(v) sint res-pecuv egall cu

yr(v) (10.35)

IL. D(U , , tE

\mlr) tn \x) o.r :

; Tr(vJ t ; Tr(v) f

. laAl bct\ , ,-F | -- f -: lTs(vl,

:;{Y- r ' Fis. 10.5.

y,(u): 31t81-f vtgu --3-+ t l ; (10.36)vr l v ' o

cosu' J '

_ v,(u) : : (* - Y)' (10.37)

ln tabelul 10.2 slnt tlate valorile factorilor de coreclie 1(v).

10.4. CALCU|Ut COEF|CTENTILOR DE RIGIDITATE

'ENTRU BARA DREAFTA TININD SEAMA

DE INFI.UENTA FORTETOR AXIATE

Considerindu-se sistemul propriu de coordonate q, (i: l, 2, 3, 4)(lig. 10.3) al unei bare dreptei coificientuJ de rigiclitati' A)", se dcfinegtccn fiind forla aplicati pe direclia coordonatel t care protluce o deplasareunitarl pc direcfia coordonatei s, depiasdrile pe direc]iile celorlalte coor-ilonatc fiind impiedicate (fig. 10.6),

Calculul coeficientilor de risiditate ,t-- (iie. 10.6) tinindu-se seama dcInfluen'fa forlelor axialc se face*utilizind 'mit-;cea de'transfer U, (10.25)

lfxpriruind coudifia de deplasare ;i rotire nuli in capitul x : I albrrci, riti l iz.irrrl rrrttricca de trarufcr U,,'sc obtin urmi.toarele doul ecualiilvlnd cu llcculroscutc cocficicnlii dc dgiditate [r, gi ftrt

(!t lI-:1, - 11 + fr; tr - cos v)Ir1 * fi ("-sin v)/,r'-=(),(10,38)

'h * c{)r v( l) + j, rlu v,1,, + ;ii tt - cor r) ill, '- ().

Page 104: dinamica constructiilor

J"' l *" '%!'-{11----- tr-z

t<)2

Fis. '10.6.

Rezolvind sistemul de ecuafii (10.38) se obfin expresiile

- , : ' i l " ' *" " l .

' l t t " r r"r - , I| -2 l

A,, : -? l+ t* ' " , " " -" t ' l ., " l rgv ^ v s in ! v I

I zrg.- v ! tg__"1tz2l

Ficincl notaliile

.1. , \ - u tgv-v

. tg! ,- 2tg_,r

v ! -Sln!

srn v2ts-2

de rigiditate Ar, gi Ar, ." -ui

pot scrie sub forma,EIAi1 : 1 c(v) ,

I

t1

(10.3e)

(10.40)

(10.41)

(10.42)

(10.39')

( i0.40l

g.lscttc

(10.43)

coeficienfii

h" , : -o; [c(v) f s(v) ] - _h, , .

Folosind iu continuare matricea de transfer U, (10.25) sc

k, , :Er[ . ' " - " i "u l : ?. f" t .'1" 'o" r ,* .1 " l

tt " l

l ) i r r l i t r r l rL lO.( i , / t r ( .zul t . i r iut( . ( l i i l1

/L,r l,,rr, /,..,

hr , ,_. l t r r , h, hu,

Coeficienlii de rigiditate k$, h.',, hrs, 4,. se oblin considerind g,,

-1, qr :42:4t :0 ( f ig. 10.6, c) , ut i l iz indu-se matr icea de transl i rU, 9i exprimind condilia de deplasare gi rotire null in capitul i /al barei

h,,- - ' ; [c(v) { s(v) ] : 4""

h"":42y"1,1+ r(") l - T:: ! tzr,ol -F s(u)l - v,j : !! rp) : - p,".

In sfirgit, coeficienlii de rigiditate h11, k.u,, krl, 4.. se deduc fdrr-rdificultate exarninind figurile 10.6, c gi l:

tg .,

(10.45)

(10.46)

( t0.17)

(10.+8)

(10.49)

(10.s0)

( l0.s l )

in acelagi mod sc pot d.etermina expresiile coe{icientilor de rigidi-tate corespunzAtor altor condilii de rezeruare la capete ale barei.

.Spre cxenrplt, in cazul barei articulate in capitul x : I (t1g. 10.7)cocficienlii de rigiditate hl, hL, hL se pot deterrnina exprimind condi-liile de dcplasare ;i moment nul ln capdtul x: I al barei

hrr: -h21 kat: kts,

,l.u == _h:l, hu: htc

l s iu u(- t ) I " ( t cos v) Fi , + ' " (u - s in v) Ai , .= u

EI , , L__l !s l | lv(_t) i cos vRi l F _, s in vAi , _0

Rezoh'ind sisternul de ecuafii se obtine

hi, :+ " ' tBv :4" 'Q), tgv-! I

t , l ; .1 v1 t i { v l : Ih'" , . - ; - r_; : - 7. ' (u) . -k i , .

S i t notat

c ' (v) , .=

l ) t r r l l r r crrzrr l d i r r l igura 10.7, lr 'or , I i t i r , r r I i i r l t ' r ' ig i<l i t t tc sc ct lcu-h'r tz i r t r r r log rr l r t i r r i r r r l l sc

, , I I , , ,/ , t | t

, , I ( , / ) / , ' l r i

' ,1 "{u1

\,. I , ' ( , )

( l ( ) 52)

' ' 1, . ,1u1' " 1t , , , , , t ; , , , , , f. . t I

l ' i t ' Il l

( r r ) l r )

rl|, ro,r,

Page 105: dinamica constructiilor

Valorilg funcliilor de corectietabelul 10.3.

3,86483,85923,85363,84803,4420

c(v), s(v), r(r), c'(v), z'(v) sint date in

"(\,) -,

3,00002,97902,93202,8908

l , l ( lt , l : ll , l , ll , l ( il , lu

3,83603,8300:l,a23G:l,al723,8lot l

2,04182,0,1362,04522,04882,04t|4

5,87785,87365,86846,86405,8sp2

I0,546810,4928r0,437010,3824t0,:t2(o

2,7l! t 'J2,7:ll\i2,73002,7lt t l2,700{J

l ,5 l l r , : il ,41l l i31,430,1|, i t7, lxI ,J17t

t r l

Tdet*t 10.3

0,00 J 4,0000 I 2.0000 | 6,0000 I 12.00000,10 I 3,9964 I 2,0008 | 5,9972 | rr,szoo0,20 J 3,9920 | 2,0018 | s,9938 | l l ,eso80,30 1 3.9848 1 2,0032 I 5,9880 I rr,s+ro

0,400,420,440,460,48

0,500,520,5,r0,560,58

0,600,620,640,660,68

0,700,720,740,760,78

11,81761t,797211,7660tt,7552u,7156

2,80862,78a22,76722,74592,7247

2,69972,87 482,64962,62322,59s6

2,00862,00962,0r042,01122,0t t8

2,01222,01282,01342,0r442,0152

11,7036I1,6784It,646011,630411,6004

11,5632It,53s611,502011,4816ll,4420

2,5t:712,53742,50742,17622,4435

2,4r0s2,37632,44t22,50492,2677

11,4108I1,379611,343611,307611,2716

11,2344tl,t924I1,1528I1,112011,0700

2,43412,42632,8t852,81042,4024

2,79392,78552,7?642,76742,7585

Tabelul 10.3 (caltti uar\

4!l .(!)+s{!) dle) t'l,J

1,20

|,24|,261,24

3,8044 !3,79803,79083,78403,7764

2,05022,05202,05382,05582,O576

5,85465,85005,84465,83945,8344

10,2684t0,210810,150810,092010,0308

2,69942,68892,67412,66702,6556

|,25941,20061,14061,0794I,0173

1,90I,421,34t,361,38

3,76963,76203,75483,74723,7396

2,05962,06r42,06442,06542,0676

5,82925,42345,81825,81r65,4072

9,96849,90489,8412I,7752I,7092

2,64422,63242,62042,60882,5965

0,95430,89040,82530,75930,6921

t ,40t,42144

1,461,48

3,73163,72403,71563,70763,6996

2,06962,07 t62,O7342,07602,0742

5,80125,79565,78945,78365,7774

9,64209,57489,50529,43s69,3648

2,58392,57 t32,55842,54522,5317

0,62400,55470,48480,4t37o,3414

1,50|,521,511,561,58

3.69043,68243,67323,66483,6s60

2,08062,08302,04522,08762,0900

5,77 tO5,76545,75845,15245,7460

9,29169,21969,t4529,07088,9952

2,5t792,50412,48972,47532,4609

o,2M90,19380,11820,0417

-0,0354

r.601,621,64r,661,68

r,70

t ,74|,76l7s

3,64643,63723.. i2843,, .184aJ,Gtr88

2,09262,09502,09742,t0042,1030

5,73905,73225,72625,71885,7118

8,91848,84044,76248,68208,60r6

2,14592,44062,41502,39942,3835

-0,1140-0,1938-o,2745-0,3561-0,4389

3,589.1

3,5(i993,5588

2,10582,108,12,rt t22,1t422,1170

5,70505,69765,69045,68:!45,6758

8,5200a,$72a35324,26928, r828

2,46742,35052,33372,3t692,9001

-0,5226-0,6078-0,6939-0,7806- 0,8682

rS0l ,u21,8.11,86| ,88

l .g01,021,04l.0l il ,ul l

,,002,1122,tt(t.ofi'l,l)ll

'1 , l l )t , txt , l , ll , l r lf , tA

3,5484j,5380

:i 51643,3U59

2,12002,12242,t2602,12902,1320

5.66845,66085,65325,64545,6-'172

8,09648,008a7,92007,43t27,7400

2,24272,26502,2464

2,2043

*0,9573- | ,0473- 1, r32l- L,2321- 1,3260

3,49403,4828s,47 t23,46003.4lao

2,135:2,1384

. ' t ,14l82,t4522,1184

5,6252s,62125,6130l) c0525 59(i I

7,64887,55M7,48247,36807,2720

2,r8912,16962,14982,12972,1093

- 1,4208-1,5168- 1,6137- l ,7 l 18- t ,811 l

3,43603,424113.4120:t,31)f)0it , ;1f17!

ir . l t7.{t li | , l r{ l t0ir, l|,ll{li r , i t ; t i t (l t , i l l t , l

2,152u2,11512,16$0?, l8?02, t(( i ' l

t . t7mll , l7: l r l2, t7742, | | {:1, lfllr2

5,il.tu05,5;945,571()5.5(i225.51i: l l

6.64486,6:t6(l11,62026,1\ t7t Il l ,1107rr

7,t7607,r)78ti6, lrb04(i, l tu{)8ri , ; t tor)

I i . ( !7| . l l )r i ,x7( iot l ,1 ' t2uI I , i l t rR l0, ' . j t l , l0

2.08832,08742,04572,1241'.: ,00l9

l .1r7l ll l r5r l : lt l | . ' l l l lI I I r ' ,1I r i l l l , i

- l ,9 l ld- 2,0130-.2, I150*.2,2ttt4,2.$24' l

3. l : l t l l )' .1,5: t i0' ! t i l { l ( }' , : , / l l l l , l' , | t ,7 |

Page 106: dinamica constructiilor

Tab?lul 1 0.3 (contir&at,e)

.(!)+r(v) i''(,)

2,20

2,242,262,28

3,30923,29563,28163,26803,2536

2,1A922,t9322,r9762,20182,205a

5,19845,48885,47925,46985,4594

6,t5726,0{925,94125,83085,7216

1,86061,83571,8102r,74441,758:i

-2,9793-3,0927-3,2073-3,3231-3,437 |

2,302,322,342,362,38

3,23943,22523,210.13,19563,1808

2,21002,21442,21902,22342,22a0

5,44965,43965,42945,41905,4088

5,61005,49725,38325,26925,1540

1,73161,70131,67611,64881,6206

- 3,5583- 3,6780- 3,7989- 3,9207- 4,0440

2,{0

2,462,48

3,16603,15083,13523,11963,1040

2,232A2,23762,24242,24722,2522

5,39885,38845,37765,36685,3562

5,03764,92124,40244,6A214,5621

1,59121,56151,5315r,50091,4697

- 4,16{15- "1,2948- 4,4229-4,5507-4,6806

- 4,8t20- 4,9449-5,0787-5,2t13-5,351.t

--5,4tt97-5,6295-5,770r1- 5,913(i-6,057S)

2,50

2,512,562.58

3,08803,0716i1,05523,03883,0220

2,25722,26222,26742,27262,2780

5,34525,33385,32265,31145,3000

4,44t24,31764,t9404,06523,9444

t,43791,4055|,37241,33921,3050

2,602,622,642,662,68

3,00522,98802,9708

2,9356

2,28342.2a902,29462,30022,3060

5,28865,27705,26545,25345,2416

3,41723,69003,56163,43203,3012

1,2702|,2344I,19881, r6191,t244

2,r0

2,7 42,762,74

2,91762,89962,88162,46322,8144

2,3t182,3t742,32382,33002,3362

5,2294s,2r7 45,20545,19325,1806

3,t6923,03722,90402,76412,6324

1,08631,04731,00740,96690,9255

-6,2037-6,3510-6,50r) l-6,6507-6,802r1

-6.951i?-7,r t2 l*7,?6$3-7,42lltl-7,58Ui1

2,802,822,a42,862,88

2,82562,80642,78682,76722,7 476

2,34242,34882,35542,36202,3688

5,16805,15525,14225,t 2925,1l6{

2,{9602,35802,21882,07961,9392

0,88320,84030,79G20,?5r50,7056

2,90

2,942,962,98

2,72762,70722,68682,66602,6452

2,3756234262,38962,39682,4040

5,10325,08985,07445,06285,0452

|,79761,65481,5 r081,3656|,2192

0,65850,61080,56190,51180,4605

7,7511?,91558,08174,24978,41$fJ

3,00:r,o2:t,0t3,063,08

:,,103,123,t4

, : r , l ( i3, trl

2,62402,60242,58082,55922,5372

2,514a2,492112,46922,44602,tl22u

2,41142,41902,42€62,43442,4424

2.45042,45842,4661t2,17522,483t1

5,03545,02145,00744,99364,9796

4,06524,05044,0:t604,92t2,1,000(l

1,07160,9240o,77520,62400,472a

0.3204o,lSono,{}132

- o, t 4 l0o,r081t

0,40{r30,35460,30000,'l.t:tfio, l l r ( i3

0.1272{),0{J{i l )0,(x)51

.0,051i50, t230

- 8,5.917- 8,7{i57

8.911s!), t20r,

-- $,30{t ir

.0,4827f),( i l lTi i

' o,ltfi,l Il0, l l l l l l

- 10, : : : l t l

Tabelkt 10.3 lco, t t , r , t I t

d, (") -(") . ' { !)

l ( ) , .131r1- l0, t i ' j7r ,- 10, l iL17r i

I1,03( l r- - l l , ! :151r

3,203,223,243,263,28

2,39882,374A2,35042,32602,2940

2,49262,50142,51042,51942,5288

4.891.{4,87624,86084,8454J,S228

-0,4560-0,6144-0,7752-0,9360- 1,0980

-0,1905-0,2392-0,3300-0,4026-0,1773

3,30

3,343,363,38

2,27642,25122,22562,19962,1732

2,53422,547a2,5571;2,58762,5778

:1,8116.1,79901,74321,76724,751t)

- |,2612- | ,4244- 1,5888- 1,7556

1,9224

- 0,55'11-0,6333

0,71{9-0,7989

0,8856

I l , - l . t . r II l , ( i55( i

- l l , t t7( , 1l'l,0itil5

- 12,30!r( i

3,403,423,443,463,48

2,t4ta42,11962,09242,06482,0368

2,58802,59842,60902,61982,6310

J,731-l4,71801,70144,64461,6678

-2,090.t-- 2,2608-2,1312,2,6028.-2,7756

,0,9714- 1,0665- l ,16l9

1,2606- 1,3626

- 12,53.1: i,72,7U2t '- 12,995.r- 13,2:t'Jl- 13,47:"t l

3,50

3,543,563,58

2,00841,98001,9512|,92201,8924

2,64242,65402,66562,67712,689,1

{,65084,63404,6168.1,599,1{,58 t 8

2,9484,3,t224.- 3,2976- 3,4724-3,6504

- |,4682-1,5777

* 1,80931,9317

- 13,71u lI3,9G8{)

- 14,2230- 14,1818- l4,7. l lJl l

3,603,623,643,663,68

1,862.11,8320r,8012r,770D1.7380

2,70t62,71422,72702,7 400

4,56404,54624,52A2,r,51001,1512

- 3,82924,00804,1892

.- 4,37 t6- 4,5564

2,0586- 2,1909- 2,3289

- 2,6235

- 15,018( i15,295'..1

- 15,57S r- 15,8(i ls- 16,1( i58

3,703,723,7 43,763,r8

1,70601,67361,64081,60761,5740

2,76682,78062,79462,80882,8231

1,47241,45424,13544,41641,3974

4,7 412- 4,9284- 5,1156

s,3040- 5,4936

2,7AtO2,94573,11853,29973,4902

- 16,.17()! l- 16,781 I-17, l rxnl

17,4:t7.)- 17,77tl t)

3,803,823,843,863,81t

3,903,!)23,0{3,1'r i:1,1)lr

'1.(x), t ,0!' t ,04,1,0(l4, t)tt

t , l0, t , | l4, t {'1, I r lt . t l

1,510{J1,50561,1708I,4U59

__ | ,39$'.1

I,3(i !nl.32(ioI,281|,11,25{) l1,212(l

| , l7i ! '2I , l l l l l ( il ,ot)3(;j ,{)5!t t|0| l t i

o.0tt0t lo,t2720,Hfl , l t lr , l t { t , ,10,? f l t l

,,83822,85342,86882,88462,9006

2,91682,93312,95042,0676:a,085(;

3,00i}( i3,03203,0,t0t13,0002:t,()t to(l

3, l(xr ' . , :l l , t2{) l ll r , l { tH$, I $2ir, I Htl0

1,3?A24,3590,1,3396{,3198.1,2998

4,2796.l,959.{4,2U8tt1,2 180.1,107G

!. r7(i t j.1,155{ i. t , | 3.t .1.r , 30.t,01I ( l

'1,{x[)t t4,04tto,t ,02l l{i ,(xl l{ ll l , t l l r l l l

5,68325,87406,0672G.2604G,,1548

6,650,1(;,8.t727,04527,24417,{44{i

7.( i . l ( i {7,8192It,052o1l,25728,.t0tt( i

8,(t7t)t)l i ,877(ll | ,r) l t7rtl,2ll{fl| | ,6 l lx l

3,69093,90274,1262.r,3629{,6140

J,880{s,1612.5,{G8l5,791.r0(;, t 4l9

ri .5 t 7lJ{ i ,922:l7.3t i l I7,f t , t !( ilJ,3(i(i.l

It, ,l tfll t , t?.t6

t, , 'J7X(l0t i l t I

| | ,M7!,

l8, l : i0l i- 18,19511-. 18,t|7 ftt- 19,2(i'l.l

l9,G(; l t l l

-20,0.q) l-20,53{rs-20,99 | { i

- 21,4711;.21,!r1l? ' l

22,5t7123,01r.' .13,( i85r;24,3! l l I25,01' l fr

26,76l l f t

"1d,6,18827 , l l$J

"l l l , i l l lHrI' l r | , ,1 lh

Page 107: dinamica constructiilor

Tabtlut 1 0.3 (cofthuarc)

' | .(")

4,20

4,244,244,2a

3,95803,93483,91183,88863,8656

3,U2G3,81943,79583,77143,7464

- 10,8048- 11,0256- tr,2464- n,4684- t 1,6928

-tt,9172-12,1424-123704- 12,5988- 12,8252

13,3274' q 3,35343,37983,40663,4340

3,46203,49083,52043,55083,5820

4,21124,26084,31204,36484,4192

4,47544,5A344,59324,65504,7188

1.74444,45424,92404,99725,0730

6,15145,23286;\746,.t01t46,4070

4,304,424,344,364,38

-13,0608-t3,2924-13,5252-13,7484- 13,9956

-u,2432-14,4720-14,7120-14,9532- 15,1956

683,4000

_

3,59483,56923,54323,51703,4904

3,46343,44623,40883,38103,3532

-0,0192-0,07?6-0,1372-0,t980-0,2600

-0,3232-0,3876-0,4532-0,5204-0,5884

-15,4380- 15,6828- 15,9288- 16,1760, t6,4232

- 16,6740-r6,9260-17,1792- t7 ,4336- 17,6880

3,ta243,1528s,t22a4,09243,0612

3,03062,99982,96882,93742,9068

2,47602,44442,4t20

2,74511

2,7tt42,477$2,84342,00002,67 4$

- r,0288- 1,1080- I ,1892

- 1,3580

-t,4444- r,5336-t,6244-t,7 t72- 1,8120

- 1.9088-2,0088-2,1120- 2,2180-2,3272

-2,4400-2,6662-2,4740-,r,7004

2,[22,t

- 17,9444- 18,2028- r8,4620- 18,?224- 18,9852

-t9.2480- 19.5132* 19,7796-20,0472- 20,3148

. -20,6{100. . . t { ) ,u672

. . ' - I , l30l i. . ' . t t ,406(lI l , r l l t l ( i

4,804,42/t A4

4,864,88

4,904,924,544,964,98

5,005,025,045,065,08

6,106,126,t46,t( l6, l t l

".\^ 1....--.'(v) | "'(u)

5,59225,69085,79365,90086,0r28

6,12966,25146,37866,5 86,6514

6,79746,95147,11267,zata7,4596

5,30

s,345,365,38

1,7664l,72361,6812|,63721,5926

1,54761,5028r,4570r,41081,3632

1,31721,2698|,22141,17281,1224

|,07 40|,02400,98320,9224o,8816

-6,9924-7,3000-7,6210-7,9680-8,3332

- 4,7216

- 9,6776- 10,0520-10,5624

- 11,1 108- 1r,7048-12,3504- 13,0536- 13,8252

- 14,G7 t2- 15,60tt0* 16,641'- l7,ul88- 19, | 264

- 20,(;35(i,-22,331i0- 24,35011-29,?012-2$,47$11

5,705,725,7 45,765,78

Td.:hal 10.3 lco lirt , I

5,805,825,845,865,88

5.90

5,945,0d5,9u(i,00(i,o:l{t,0.1o,o{i0,0t1

2t,454023,122025,06n027,3$$O30,120033,47tt037,( i0,{043,t22lt60, l3 lx lf i1),1||u{)

--:t2,1)42037,1?6(i

.-42,6840" 40,7000

l\t),r lN40

34,36{i8*.34,7136-35,0628-35,4144-35,7G(i0

- -N\t,l22n-38,4800,'.36,{l3lul-,it1,2lll2

117,6(],lll

0,53(n)0,44840,431t00,3?00

..l'rilr4o(t,:It,.l( |o,r(,011r l , l , l { } ( l$,w200,t I txr

0, t0o, | '.:0, t40, t t lfl, 1

,',:{ |

rl,ll,l,"ltl

r t , : l r l

74,1040t)H,i t0, )

. l { ,1,{000

. l$) , l rn( [ llu? t, t t4 { l

7,1,( l l l lol rH,6l0o

l44,l i40rl170,o')?tl

l tu t ,66txl

37,| | : l0t l- . $8,201,2. l l l l , T l ) l l.3r , ,04' l r l

i | t ,41' l t l

n

Page 108: dinamica constructiilor

Fig, 10.8. Fig. 10.9.

_ Funcfiiled eterminareadu-se seamade stabilitate.

( '(r), _c,.(l), y,(v), 1r(v), 1r(v).

coetrcrenlilor de flexibilitatec(v), s(v), r(v) etc. care permit9i rigiditate ai barelor finin-dc influen!a cfortului axial N din bare, se ntrr'esc funclii

10.5. DEIEIMINAIEA MOMENTELOR DE INCASTRARE PERFECTAPENTRU BARA DREAPIA DUBTU ]NCASIRATASI INCASTRAIA tA UN CAPAT

'I

ARIICUTATA tA CAPATUT OPUSTtNtND SEAMA DE EFORTUL AXtAL DtN EARA

,Cind bara -este acfiouate de incircSri - concentrate sau distribtite

- lntre nodurr, momentele de incastrare perfecta gi forlele tiictoare lacapctele barelor se pot calcula, utilizind mitricca dc trarisfer U, fl0.25t.in care ultima coloani corespunde cazului de incircare

"onria"i"i

-it-#.

10.1)_Aga,-de exempl-u,

-pentru bara dublu incastrati aclionate dc o inc6r_care unrlo,rm dEtnbulta 9 =_ const (fig. 10.8) condiliile de deplasare 9irotrre nula..in secfiunea de capet x .: 1 conduc la urmitorrrl sistem deooua ecuaul

* t , - cos v) .1/ , -

-1" 1u - s in v) I , +:L(t - cos u - J i :0.r j ly t Ejva' , , , r r" , [ 2 l

1 ,;n u44, -

-t- 11 - "o,

u1- ct' ' - (10'54)

t - t \ - t : t '2 ' r r - : (s1n v - v, : U'

'Iot astfcl, in cazul unei barc incastrati .la ur capit si articrrlatl lacapitul op.us..s pus5.

-acliurrii unci incirci.ri conceutrati. (tig. lt).9), cxpri-

mind^ conditii lc dc_ deplasarc si nromcnt nul in capirtrrl i ' = i jr.. "bil,,,t r t i l iz ind nratr ier-u r l t t ransfcr U,, r r r r r r i r iorrrc l t , ccrral i i

Prin rezolvare se obtin:

M1:- qt ' : -M".

2[.(v) + s(v)]

' r -41 - r' r : t :

I2 '

fr);"( e.s v).1/, I ../ ' ,,, (v

(10.s5)

(10.s6)

sirr v)7 , , ' , ' l '",1', ' . i ' , */) o ;

/ s i t t v7 ' ' I r / " l l t ' / l l

( l ( ) 57)

v

14tti\?l t

- l

I

-1II

Pr')t

Iv

fT2

Fi9. 10.10.

Rezolvind sistemul de ecualii (10.57) se oblin:

[ . r { IMt: - ' ' ' 't"ll--f- - ll ,

' ,: '+[=-Y].

Fis, 10.11.

( t ( , .s

(10.s

unde coeficierrlii c'(v) 9i z'(v) sint funcliile de stabilitate de{ir:itc plrelatii le (10.51) 9i (10.53).

ln acela;i fe1, pentru bara dublu .incastratl -din figura 10.10 va]ori

momentelor de incastrare perfectl 9i ale forlelor tlietoare la clpclt'barei sint

M,: I / ' r (u) l -d s in, - s indj l - s(v){ ' - : i . i t t u - . i ' l ' - 'd)"11 l l t l t ;

v's inv " l i l t ' l I I 'J

I t l " : t

P[ . (u] l r / -dsin u " drv\ " td , . in ' / : ) l1tor;

- v3sirrv r l r - s ln- j - s(v/ t -srn v-

t r l

T, _ t , l . r + c{") | . ( ' r ! rd-- /

s iu v 1_ 5i1.q_I! _. i , , , to1! . 1to.r .' l , ! rs i ' ,v L I t t r t

I0.6. APLICAREA METOOEI EFORIURIIORtI{ CATCUTUI tA STAEILITAIE At STTUCIURII.ORFORMAT€ DIN BARE OigPIE

10.6,1. P.crcntor€o mctodci

Mr ' l rx l r r r , lor ' l t t r i lo l vrr I i r r l r l i t ' r r l i r lx . t t t r t t t lc tct ' r t i t t t t t l i t i t t t f t tc i t t i i cr i llorr , r r l ' r r r rz l l l rxr f r ' I icrrk ' r ' i i r ' t r r l r i l i l n l i i - pr i i r l lnrr t l r r r j r r ctr t l r t ' lor Plrr t t r ' .t 'urnir l r t i l n l t l t ( ' l t t t l r l i t t I igt t r r t l t l , l l , l r rc l l r r : r t lcrr , r rp l ic l t i l i t t t tor l t l r ik ' r l l tl l r i l , r , ' r ,x l r t l r r r l l t t I t r t r ' l l r , tL ' r t i t t l i l t l t t t l r l ' r l l i ' r i r r l l l , / ' . Nlgl i , j i r r r l r rdr ' Iot r r r l r | | | | r , r tx i lh r th ' lnt t ' l t t t r t ' rh ' l t r t t t l t t i l r ' lot I t t t i lc tx i r tk ' r l i t t l tnrrf f r | l f r ' f l t ' l r t t r t t t t ( ' l t t t l l t t t ' r1r t ' l1r l l , Nt ' l l l ' ) . I ' r ' t t l t t t l l | r ' r t t ' . l t t t t , l r t r

rrt

Page 109: dinamica constructiilor

Pcntru sisttnratizarca calculclor liccare factor dc conrpresiunc v, sccxprimi. in func]ie de un factor de rcfetinld v egal cu

v: ro \ / ; ,f ' ' o

ilr"lit;.,,il"itir"?Jungime de referinla 9i 1o momentul de inerlie de referin!5.

" ' : l t lYS u : e, *ro v t i t t r

t, ,. ,rlfr,

- l

Fig. 10.12.

(10.( i3)

(10.64)

(10 6s)

Se alege un sistem de bazd., obignuit, static determinat, prin supri-marea unui num6r de legituri simple'egal cu numitul gradeloi de ndde-termlnare staticd. Alegerea sistemului de bazE. in problemele de stabili-tate se_ face respectind uuele condilii restrictive. Aitfel, cleoare ce efortu-rile axiale N, din barele comprimate ale structurii sint mirimi determi-nate pentru inc5.rcarea consideratS., ele nu pot fi alese ca elorturi staticnedeterminate necunoscute. Din acest motiv, spre exemplu, sistemul deb,azh. din figura 10.12, a nu este corect6, deoaiece eforlul axial N" s-aales ca necunoscuti X, static nedeterminatd..

Pe de alti parte, lalculul coeficienlilor de flexibilitate se poate facecu uturintb numai pentru bara dreapti dublu articulati sau ln consoli.pentru care s-au tabelat valorile funcliilor de coreclie a(v) 9i 1(v). Deaceea, in misura in care este posibil, fbrma de bazi se reiomindd- s[ sealeagA ca un ausamblu de asemenea bare. Tinindu-se seama de aceasticondifie, :rici forma de bazi rlin figura 10.12, D nu este recomandabile,ea confinind o bari cotitl dublu articulati. Forma de bazi reprezentatS.in figura 10.12, c satisface restricliile mentionate.

Se observi., ci. respectind concliliile de mai sus, eforturile necunoscll-te,Xr, Xr,,X" pe sistd:nul de bazS'ales sint nule, ln situafia iniliali rleechilibru, dacd., aga cum s-a presupus 1a inceptt, se neglijeazS. defoimaliileaxiale ale barelor, gi di{erite -de zelro, numai'in configu'ritia defornratl dcechilibru rep.rezenlith punctat in figura 10.t1 care lutuio" dup5. atinge-rea lncarcarfl cr1t1ce.

2?6 t

\ ! , r r t rqsr l rq l t4rrr | {urr t l r . t l ,s F. ' r r ' r l r r l

i lo bre, i s, . ct lcrr l t .uzl cocf ic icrr l i i dc l lexibi l i tntc ( , ,dcplrrs l t r ik ' r l r l l r r r r ' " )/ ,1 pc r l i r r .c l i r r lcgl tur i i s t tpr i t t tutc I proclu; i dc cfot l t t l I1 l , r r l l l l r l r r r ll i i l i ' l l t t , r lc corccf ic c(v) ; i y(v) ($ 10.11, tahclul 10.2).liililltt,. rlc corcclic a.(v) li v(") ($ 10.11, tabclul 10.2).

Ayr l ic i r rr l pr iucipiul sulx ' r lxrz i l ic i cfcctclor, cousidcr i r td c{) ls l l l t . r ' l r ' lIlrllr rrxiulc din bare, colrditia <lc compatibilitate dintre dcplrtsitt'i| ' r'rr1Ilrl lr rrxiulc din bare, colrditia <lc compatibilitate dintre dcplrtsitt ' i| ' r'rrlfl lulf lx: sisttruul dc bazi ctr dcforrnalii le realc alc strttctrtrii cttttsir[trrlr' t l l r ' ,r r I r r l r r r r , l r r r r r r r r i l torul s ist t ' r r r dc ccua] i i a lgcbr icc i t r t rcct t r rosct t l r ' l r ' .Y, ,

.f ,rx, -l fr"x" + ,rx3 + 8ro .= 0

.f"rx, * f""X, f /".x" f 8xo : 0

"/"rx, A./.rr, + /rrx3 + 8ro = 0

tsu, cu notatiilc calculului ruatriceal

Fx-f6:0 ( lo.( i ( i )

Itl t 'nr" s-a notat cu ]'rnatricea coeficien]ilor /t cu x vectorul cforlttti lotnr,cuuoscute gi cu 0 vectornl tennenilor liberi Iro ai sisternului dc tctrrrli i( t0,66).

Corrsidcrirrd forma deformati de echilibru, dupi atingcrca irrcirciuiictlt.icc, in imediata vecinitate a celei iniliale (ipoteza micilor dcplusilr'i)C -.- ll 9i condilia de compatibilitate (10.66') conduce la o ecuafic rtt:rtric.itl[ algcbrici liniari pi omogeni

Fx:0. (10.( i7)

Momentul pierderii stabilitilii prin flambaj corespundc situafit'i irrcate cele doul con{igura}ii de echilibru, ini}iale 9i deformat[, sint siurtrltttttposibilc pentru aceeagi valoare a inclrcirii exterioare. Solulia barrnlllI .= 0 a ;cuafiei (10.67) corespunde situafiei iniliale de echilibru, iar solrrflo r:ebanall x I 0 caracterizeazE existenJa simultani a unei configurrrl.iidcforrnate dc echilibru. Matematic, aceastS. solufie este posibile dacit dctctrrrirrrntul ecuafiei (10.67) este nul

iF l :0, (10.( i8)

( l0.r i r i )

(ro.( ie)

(10.7o

22)

r1i r,xprim!. critcriul echilibrului critic. Ecualia (10.68) reprezinti ccrtll.irtrlc stabilitate a problemci in aceasti formulare, ti este o ecualie trattsccr-rlcnttr in funclie de factorul de compresiune de referinfl a1 structurii ,rtl fldnrite o infinitate de ridicini. Intereseazl redlcina cea mai rtticiiir , . v",, carc corespunde valorii rninine a incdrcirii exterioare pclrtrtlcttrc structura igi picrdc stabilitatea prirr flambaj, astfel iucit, parattttltttlcritic al incircirii exterioare este egal cu

l ' . , : - - : - Et o.l;

l iforturilc axialc din barc corcsl>unzltoare valorii criticc a paralrletltthri incirrcltli i vol fi, l inindn-sc scanra dc rclalii le (10.61i) ;i (10.65)

Page 110: dinamica constructiilor

Viar lungimea de flambaj a unei bare se poate calcula cr relalia

I{ : vr t : : t t (10.71)

perraifind verificarea stabilitilii locale a fiecS.rei bare a stmcturii.

. Oleraliile de calcul, prezentate nai sus, sc pot efectua conforu sche-mei 10.1.

10.6,2. Colculul lo stobilitate ol grinzilor continue

Aplicarea uretodei eforturilor pentru determinarea incircirii criti-ce de flambaj se recomandd. pentru structud simple. Un astfel de exeurpluil oferi grinzile continue pentru care, alegind drept necunoscute static ire-determinate momentele pe reazeme, forma de baz6" rezultE ca o succesi-une de_ bare

-simplu rezemate. Se consideri, astfel, deschiderlle 1,, 1.,7ale unei ,gdnzi conti rc lncircati cu forfele, P,_tP, P.iit aplicatc inpunctele de rezemare (fig. 10.13).

Se calculeaz5. eforturile N, ln funclie de parametrul p al inclrci.riiexterioare qi factorii de compresiune ai bareloi:

u, : rnl !!!: pou, (ro.7z)

La fel ca in proeedeul ,,ecuatieicontlitia de compatibilitate a rotiriloranularea rotirilor relative :

trei momente" se expr irrrrrsectiunile de rezenatc pr irr

( l { } / i )

( lo.7,r)

celordin

ln care

astfel incit condilia (10.73) se mai poate scrie:

x i-, !!. x,(u n) * rr,l+,".(u,) * * o,(o,*,)] * x +, +,cq(v;11 ) .- 0

Notind

ecualia (10.75) devine

. li ro

X;-1).,ru."('r,) f 2X, [lroc1(v,) * L'+rd.r(v;+r)] *

f X;11\al orr(v;11) : 0.

(10 7s)

( t0.7( i )

(10.71)

,n.or.oreo P, iF

tr cuLc,a2d efodur le orroLe

Se calculeozd ioclof ' de ccnlpres une ci

bo.ero, ) . | \ / } . - . n,)y r l

:€oege tormo de bozd i'nind se.rniooe €srr c!(i prec ?ole

l ! , r . i ) l i .uLc.rrd coel ,crenl , r de Ie i brLr(n, '' . . 1. . lon. . '2. ] nol l ( , , r :

r , r r ' iv l i . ' ' ( l ta

( lc. , i : r l , l0r ,

l l l 1 l1 1,1, , i r , t , / , i i , J

.l_-- .___ .=-L. , r i I lv({rr( l ! r , ,kj i l ' ' 'l l

unde v : lo V3 "rt"

factorul decompresiune de referinfh.

Scriincl cordilia de compatibilitate a rotirilor pe direcliile tuturornecunoscutelor static nedeterminate X, se obtine un sistem de ectra'{iialgebrice, liniare gi omogene in necunoscutele X,.

- Solulia banali X, : O U : l, 2, ..., z) corespunde, in general, cou-figuratiei iniliale, nedeformate, de echilibru, in timp ce soluliei nebanalt't + O ii corespunde o conliguralie deformatb. de echilibru, posibili cirrrldetermiuantul sistemului de ecuatii se amrleazi. Condilia de determiniLtttnul erprimi criteriul de echilibru cdtic gi reprezinti o ecualie transc('rl-denti in v (ecualia de stabilitate). Ridicina cea mai mic6. coresJrtttrtlvalorii minime a parametrului incircdrii gi reprezintd valoarea cliticrivt .= v', astfel inclt

I

, , !1, - . ,I l n: - : : - 111 o.

Dc obscrvat cb il acest caz, matricea de flexibilitatc a strttctttriirczult[ co o matrice bandl cu toate sirnplificirilc ce decnrg pcrrtru crtlt ttlttlltr ucrastl particularitate.

10.6,3. Obrcnolii privind oplicoreo motodei eforturilorln colculul lo rtobilitotc

10,(l.i l. l. I lt,l l ir.l lttt ti lttxrlrioi. l)actr sistctrtul |rczirttit sirtttlrit: glot t r , t r ic l l , c l r rxt ic[ ; i c lc i t rc l t rcat t ' , t tcct t l toscutcl t ' s tnt ic t t t ' t l t ' l t ' r tn i t t r t l l s .l l r l n lcgc r ,u l t tc l l tc i l r l r i t t t t , t r lce X' .1 i r r r r t is i r r r l t l ic( ' X", r tst [ ( ' l i t t t i l v , ' t 'iot t t l t r r . t t I r r r t r t , t t l r , l0t ' r lnth ' t tct l t ' i t ' r t t t i t t t t l t ' X sr ' lx l t t ter t 'x l r r i t t t t t st t l t lot t r r r t

(10.71J)

((r7!)

o; '+ s j ' :0,

0',' : X;-rIi,i , * X;f,: Xr-r#,crr(v,) a X,-L a,(u,) ;

8"i : xJ{t 4 x,a1fr,;+t : x,ff i .o.(v,r) * xr+,b o,(1,+,),

Scheria 10.1Pn:c;oreo ddero. nlLoLe ae slr!c'ur,,;;";; "-;;;;;; ;,"- ;;;"i'i ",.,.r,, I

lLenentetc 'rrosirce t I

i i " .d, .o 'eo P, iF __l

I lg. l0 l :1.

\lt, I\ . ,1

Page 111: dinamica constructiilor

Intrucit coeficientii i;cele antisimetrice - sili

corespunzi.tori integrdrii diagramelor simetrice cu!ur1, condrtta de compatibilitate (10.67) devine L9 1*-t

e"tiiiiilit"ft'J:liul echilibrului critic (10'68) se exprims. prin doui con-

lF" l :0 ei lF* l :0, ( lo.8l)

tl"f ;1ii*1i1,ix'lli,li:,Tf' jff 1l jtu:":"llsimetrice,""t"p..i'r'"lii"i"e,Jffi Iff Hr''il:".""fl i,:ii:"":'ff :i,'ifIitate (10.67) si ii corespundd o situagle. ge eclifiti"-"iii", ';, pnn urmare,

o verificare in acest sens'eite necesara.+ta spre exemp,lu, pentru grinda con_tlnua cu doui deschideri egile

(EI' : 91, : EI, 'tr: v2 : v,) , , : l . : 1)

din figura 10.75, a, ccuatia de 'conti_nuitate (10.67) este de forina

2Xr[c,(v) l - a,(v) | . { ) ,

i.ia ll

io'oUti"" deci, p"entru forma antisimetricb. de pierdele a stabililirl

corcspunde soluiiei banale X, :0.in eeneral,

' datorite inconvenientelor arltate mai sus, ttrt'irxl

turilor eite utilizati numai pentru calculul la stabilitate al tlttor slllurplc, indeosebi, grinzi continue.

lixentplul 10.1. Se se determine parametrul critic .l' al irrtDentru srinda continue cu trei deschideri egale I' iu rigiditatt'rL urrh,l pe ioate lungimea grinzii (fig. 10.16). Efortudle axialt' sirti

- 3,3P; N,:2,5P i Nr:P.

Itrctorii dc compresiune sint egali cu

Solulia nebanali Xr,+-0 col'ciuce 1a ecuafia. <le stabilrtrLt. 'r,'1

10.15, b).- ,i,+S 9i corespun-cle formei simetrice de piertlere a stabilitril

Solulia banall X. : 0 corespunde in acest -caz,

defortttrtlicintctrice pentru care momentul pe reazem Xr estc <'gal- r't

iiilt. tO.tS, c), inclrcarea critili fiind cea coresprlnzltoare. uttei. ltrtt 'iii". iO.tsl c), inci.rcarea critici fiind cea corespunzltoare uttei ltrtt''

iificulate'de iungime l, v : 3,14 < q =1 4,4p' Parametrul !tili:..'il,

lF ' io l tx" t totl - i - - - l l - - - l :1.- l

t0 1F.'J [1^ I l0 |(10.80)

prin -care

se determinl doui. valori ale - incb.rcd.rii critice, una .Po cores_punzitoare unei forme simetrice.de pi"ia"i" l-

"i"iiriiliii pi ceatalta r"corespurzitoare unei f orme antisimetiice de-ptrd;;-Ji;dutafii,-

""rr"_rea ciutati. fiind cea minima.Avantajul consideririi oroprieti.filor cle simetrie ale structurii constein consumul mai mic de memirrie_cilc"l"to,

-i; i;;;.; matricei coefi_cienlilor de, Ilexibilitate l. gi in r.echrcerea consumului de timp_calcr:.latorpentru rezolvarea celor doui congitii (f OSf)- in -*plr.tf"

cu rezolvareacorespunzetoare unei matrice r ue oroln suDertor.I0,6.3.2. Hezolvarea eeua!iei

-de srabiliarl. pentru determinarea para_

ll"Iy3i.:li,i" v.,

- %, s-e.,.lor"e

""uai,,, e;'J";iff#'?:darf, i,iiiiiiira calcu.lator, pnn incercari. In figura.i0.l4 este ,upi"r"ilt.ta,o ,r"i.fi"posibild a valorii determinantulyi i13l;gel F ili";-,ii" A valorile para_metrului v. . ln graficul f uncfiei lF J .p; &.;;.1;r-"fif'p"o* .rr"rorit"parametrului v corespunzitoar".

"ciritilu."loi--".iiilJ*?imeror ae bazestatic determinate sau- nedetermi""d ;[;1;;J;;i; ff*'ilia dec.tt para-metrul critic al structurii lformele de-IaJ;;tfi;;;,r?;J;A fi:i;structu.ra). De aceea rezolvirea ecualiei ae -sfJfiiitat*tJ^ffinoe

un numer:1.T.:3^"_ T""t"eri.9i prin..urrnare .collsum mare d.e t_:im;_calculator, iar,.-"llil b"i"" .semnului valorii determinantului lF I nu i;". reprezenta unr,b:i:1:

"" trecere de la echilibrul stabil la

".f,"".titii-."",i"""rJ1iG.

", ^ Vlr . , l ; - r,8r/ V,i == r,urvlrl

" , , "Vi i , l+, ,snr I ,58v ;

" '" Vli;, '\f l,',

I t r " t'r- --

Flt , l ( , ,16,

I

l i ( t l0 14. 4.\ q ar(v) (1,

Page 112: dinamica constructiilor

Condilia dc contiuuitatc cxprimatd. in secfiunile de pe reazemele /;i 2 conduce la urmitorul sistem de ecuafii (i, : lr: f": l).

Criteriul

2X,lur(rr) + c(l(vjl ! X2x2(vr):Q,

X ra,(rr \ | 2Xrfa1(vJ { ar(vr) ] :0.

cchilibrului critic se scrie

2[a,(v,) {. c1(vJ]

cr(vr)

q"(v") I ^I : U2 [crr(vr) ] ar(vJ I I

sau, dezvoltiud detetminantul,

4[c,(vJ a.cr,(vJ] [n,(uJ + ",(vJ] - [oc,(vJ]s : S.

Introducind valorile v1, vr, v, qi rezolvind prir incerciri utilizindtabelele funcfiilor ar, c. (tabelul 10.2) se gLsesc -

v., : 1,87 ,i P,, - L tt : S,SOgJ.I I t

^ Se verific5. dacl solulia banali. nu conduce la parametrul critic minim.

In acest caz, momentele pe reazemele intermediare slut nule si ln deschi-derile adiacente reazemului i forfcle axiale critice slnt egale cu

^ -2IjI; Fi Pr;-,r", : "?;+' ,ru: -7 q+l

iar forlclc axiale se vor gdsi ln raportul

f , Ia l i+ l

Pr+, Ii+, t

Dac6. aceasti condifie nu este satisfecuti, parametrul critic mininrestc dat de ccualia de stabilitate (10.68).

Pentru exemplul considerat

P, 3.3 . . P" 2.5-:- * I 51 --- : : - - : + I ,

;i deci v,, : v,'r" : 1,87.

Exemplul 10.2. Si se determine .{'., 1x'rrl rrrcadrul din figura 10.17. EI : corrst. Iiforlrrril,axiale in bare sint Nr : P : N! : Nr - , (r.

Factorii de cornpresiunc sint:

Fig. 10.17., , .= rVn; = ( tv,ua i vu,- vr r l

tn tccrl fal

Fig. 10.18.

Forma de bazi aleasl este reprezentati in {igura l0.l{i, a,tfgurile 10.18, D qi c sint reprezentate diagramele mlr) 9i m"(xl 1tt'dc bazn din inclrcarea cu Xr: 1, respectiv Xr: l. Coeficie'nlii .l;

4x42, 4x4x6 , , 1/4YB , \ , 4v4YG., , ,nUt : -l s * + --t- Trtv/ -l- -;- T2(v, f - z'lr(vl

:32[0,666 + yr(v) +y,(u) + r"(v)];

LIf", :ry X 6 + 6x4x6 + S{r,(") : 7213 t y,0) I :

i , - - fo-t f f r , (") -3Fr"(") : -2412-f 21,(v) L .1,r

Xz=1

Xt--l

tia dc stabilitate este dc forma

fuf""- f \ " :o

4 [0,666 + y ' (v) -F T,(v) + Ts(v)] [3 l -Y,(v)] -

- 12 )- 27,P) l- 1o(v)} -' 6

go csut[ opoi prin luccrcdri vllorilc paratnctrt ui v pentru corcartbllcut[.lontru v - 3,12 din tnbtlul 10.2 sc ghscltc

1t(v) . ' -0,310; t r (u) , , t ) ,902 Ei Tr(v) : -0,612

lntrodrtclncl ltt ccttallc re git$(ttc

- 0,910 .l 0,tD2 - 0,012X3 l- 0,fX)2) - (2 l- 2x0,$n2 - 0,612* l ( l , l . . 10,2 :0

'= q:l; o'27ottt'

Page 113: dinamica constructiilor

Exemplul 10.S. Sn se determir.e parametrul critic al lncircfii pen-tlu structura ilin figura 10.19, a.

Se alege forma -cle bazi simetricE, utiliztnd proceileul necunoscutelorerupate (fie. 10.19, A).- - Din iicarcarile cu necunoscutele unitare se traseaz[ cliagramele m"*'

\!Lr*.^rii coeficienlii rle tlexibilitate

EIf , , :z l2"a*2 0, ,(u) + . ' "? '" ' .?2f : f i ,67 a. ,(r) | 7,s213 2 3J

Erf ." :2 [ t x I x4 , . , (u) + l '4

r Zt l :z,aln,(u\ +2,s7[ 3 3 3l

EIf"" : 2,67 n,1u) + 2,67 : Elfzz'

frr:2?i# cr,(v) : $'33 cr'(r) : Br l"

fu: f " i : fu: f , , : o 'ln acest fel matricea F a coeficienfilor cle flexibilitate devine:

&'1"fl;Y

Pentru fotma simetricd de pierdere a stabilitilii ecuafia dl slrrtote este:

[0,67c,(v) ] 7,52112,67 u,(v) + 2,67 1 - [5,33a,(v) ],,, 0

lou

crt(v) : -0'41

ile unde <lin tabelul 10.2 se gisegte

vi : 4'03

4,:# EI : r,o2 Er,

hr pentru forma antisimetricS. de pierdere a stabilitltii ecualia dc strrtlte este

2,67 ur(r) 42,67:0 sa:o cr(v) : -1

Cc uncle

\f : 3'72

P?,: lEEr :0,8628r < P"-12

Pdn urmare, forma periculoasi de pierclere a stabilitifii cstcintrucit P.. : P*

10,7. APIICAREA MEIODEI DEPIASARITORI{ CALCUTUL LA STABILITATE A STRUCTURITORIOIMAIE DIN BARE DREPIE

1b,7,1. Prercntorcq metodei

ln cele ce urmeazl, conslderlnd structura diu figura 10.20, se prczgeneral[ a deplasdrilor pentru determinarea lnc6rc!.rii critice corre pierderii stabilit[tii prin flambaj a structurilor plane alcirt

brrc drepte, ln limitele aceloragi ipoteze utilizate ln preZentarea rrrdorturllor.lnc[rcerce exterioarll fornratfl nuurai din forfe conservetive, al.rlir

lodurl, !e cxprllufr hl fuucfic dc un paramctru unic P.NcgllJlndu-re dcfonuetlllc exialc olc barclor sc deterrninl lortclc orruciturl, In Iuucllc dc po,reurctrul ,l) el inclrcArll,Pontru llccorc barl rc cclculcoz[ Iectorul dc cornrrrcslurrc al l:ry"F

Page 114: dinamica constructiilor

9, : ,'" 17wt/;' .t iv I Io

,i, -- All)+ [1i) : !!.4u,7 -1- \ 4,"1,

,"r, , trfl + nti',t 11, ,;1u,; 1. f|i,',,1u,,1,

r'. : Elt: - !r,ri [c(v,) a s(vr) ] : z, ' ,

r : r rza+rL2z2frr"z":O

f2&a+fzzzr!rr"z":O

ra(r+/N"2.+r3r4:0,

tirrrr, in general, folosind notaliilc matriceale

Rz:6.

Sistemul admite solutia ban.all zrril.ialc, nedeformate de echilibru ;iz / 0 corespunzitoare unei configu-rntii deformate de echi.libru pentru

rtrrunrite valori ale factorului de in-clltclrc v, obfinute din condifia

l l r l :0, (10.86)

curt. exprimi criteriul echilibruluicrlt.ic pentru structure.

tir:ualia (10.86) cste o ecuatieI r rr r rsct'ndentir in raport cu factorulrh, r'ornprcsiune de referinfi v ;irrrluritc o in{initatc de rldlcini, din-tr(. ctrrc, intcrcs practic prezintl nu-rrri rltdtrcirta cea mai rnictr. v, : v"',l lrl trrrr,spttlrde valorii rninime a pa-llrrr,l rttlui irrcilrcrlrii P", cgal cu

';, ti t ,,/i( to.87)

l , l l i r r l r r r iL. r rx i r r l r . r l in lxrrc r 'orcs-

l ru l t / l r lor t { . r ' r r I r r i i t ' r i t i t r . i l l ) i l ronr( 'l r I l r i i t t ( r ( i i t i i cn ; i l r r r rg inr i lc <l 'l l r t t r r l r r r . j t t l r ' l r r r t r . lor sr ' prr l t i t lc t r l i rr t t t l l t l l i l ( l t t i { ) ) q i ( l t } .71), 1x.r ' r r r i "l l r t r I v l t i l i l r r t , r r r lu l r i l i t i r l i i lx 'u l r . r rfhr i r t , l l r r t t l r r r . l t t t r I r r r i i .

l )1x ' l r t l l i l r . r l , , r ,u l t . r r l , ptr . l . l l i r t r .I t t t l Ft | , i , r r ' l ' | r t t . l i , r , l l t r l r r I11 rr , l r r ,r r r l l ( l , ' ,1,

r*: a[ ' ] + /,511: + r(v,) 19!r(v,) ;.a.nr.d.

Condifii lc cle echilibru .t" "tlu"torii,

lot"r-o "ootigu.olie

clcforrrrtr'r, rrrfirit vecini celei inifiale, se expriml printr-un sistirn de ccuafii l irri,rr,qi oruogene in raport cu parametrii z, - rotiri de uoduri 5i tlt1rlrr.,.rrl i r r i t le alc acestora care pentru exemplul considerat cstc ulr i i l ( ) r r

0 careacelasi1n

( ro.s. , l

(10.t{s ' )

corespundc configtrrrrt i l it imp, solutia rrcbar r:r lriScherla 10.2

cFig. 10.20.

I

t.

ln care

(10.83)

- ,.Forma de bazi se alege ca gi in calculul de ordinul I, suprimind gradelede libertate elastice - rotiri d;: noduri gi deplasiri liaiare-ale acesiora -prin introducerea unor leglturi suplimeotare (fig. n.m, il.

Considerind, succesiv, inclrcarea formei de baz5. cu deplasirile uni-tare z,: I sc stabilesc diagramele de momente m, (fig. lO.20,;),

'itrindu-scseama de efectele forfelor axiale din bare exprimate-cu aiutorul -coeficien

lilor.de rigiditate. {t(",) definifi in paragrdful 10.4 corespunzd.tori coordonatelor locale ale barer dreDte.

-. Utilizind coeficienlii 4,, ai fieclrci bare se exprim5 coeficienlii de rigi

(lrtatc_./i, corespunzetori coordonatelor globalc alc structurii in fuuclic d,lactorii dc comprcsiunc v, ai barelor. A.stfcl, pcntru strnctura clin iigur,r10.20 se uisesc

' , ] ' .1u,1. ( t { | H t )

:.ecrrcr€t .rolelor inrfole ote i,rr(r.1,r!

' dolee geotrl(,l. ce ote borllor 1 .L L, tr({lurul de ebsl'c'tole I

nr(( lc. l lco P l .P

aleler tr .a elorlur'te ox|otrl

N, , r , tP j

Se colc l looz( j lodon, de | r ]mp,, , . , , ' , ,

0,"o.' .r,, ,,rff rr r

: , ( , . :1! r j u i r lc€ntr r r (x l0r , l ( , , ,r i r ( r ' ( , ( t r r ' r ! ruur d c{rnDrr!(r i . . r r r r

' (x ' l 'crrr | l (k ' I

' . ]d i t { r t r ,r r r rxrr . r l l ( r t 'n, , r r l t

/ t t / t t

\

Page 115: dinamica constructiilor

Exemplul 10.{. Se se cletermineincircarea criticS. pentru structuradin figula 10.21. Eforturile axiale inbare sint : Nr : P gi t/, : 0.

Factorii de compresiune pentrucele doui bare sint egali cu:

r-il- /=u,:h\ l +- 4\ l : : v; v, -0..

V EI, VEI

Coeficienlii i,; sint:

h\' l :%"(,\ : l l ,( , \ ; hl \ t :" h 4 " '

: " t " : lBzr:zpt

rr: h!\I + k\'l : EI [*,tO + ,1

Ecualia de stabilitate este in acest caz

rr - EI [] r(") + zl -O14 ' I

de unde

c(v) : - 8

gi din tabelul 10.3 se giseqte

V1 : Yr, : $,$$'

P- : L nt :t'uu' Er :2EIh' 4'

4: in:*n:0 '555 l l '

Exemplul 10.5. Sl se determine incS.rcarea critici pentru structura dinfigra l}.i2, in care riglele sint de rigiditate infinit6, iar stilpii au acecalilu-ngime gi rigiditate. Sd considerl z stilpi incdrcali cu aceeagi forfi P, iarceililli n stilpi nu sint inclrcali.

Eforturile axiale ln cei ra stilpi incircali sint N: P, iar in cciltlliN :0.

l'cntru stilpii comprimali : h!, : EJ

7'p1,

iur pclttru cci neilrcircati (v - 0) : iti" : l l i{ '

CorrdiJirr dc cchilibru l)('ntnr rrc('st coz lt scrie

Fig. 10.21.

f. . E -

l l ,

Fig. 10.22.

ln care

rsg: nh'ts('i + mh:s8 : nr' (f EJ + *"+'

Pentru forma ileformatd' cle echilibru z+ O ti ecua'ia

/rr : 0 devine dupl simplificar"t "o "j

de stabilitatt:

nr'(t\ 4 \tn - 0

'lltl

' ' ( " \ : -7 'Pentru ,, : 3 9i n -- 2

r ' (v) : -4 '5 '

ler din tabcltrl 10.3 sc giseqtc prin inter-

;xrltrev, ' , v,., '- 2,45'21 ,

dr, t tndt ''.!...ts'Jtt I; l, . 1;,g1 1:l

Ih 't t

lhnnrolrrl l l l. l l. Sll st' vcrificc stnbili-

lnt l r r r lat l r i rhr i r l l t t f igt t r r t l0 '2 l l ' l {n lxr t t t t l

i t ' i t t r i ' ixt , t trntt t , '

r , ' l , r i iv ' tr l t ' r iglci 1i st i t; r l lut cr l r r .gul l t t

t . l t ^

"" , r ' - I l ,

0rul ,

I l ! . l l , r l ,

+-r +

Page 116: dinamica constructiilor

Etorturilc axiale in bare sint

Nt: P;Factorii de compresiune ai barelor

t^' t t :h} / ' :

V EItCoeficienfii dc rigiditate z,i:

jY2:tv. :u.

sint :

Ph- : ! ; vo:v"_O

f s(v) I : 2,,

4Eit,

- t l r \ , , - ,ot

"t : ft i t lv/ + ti i : Einc(v) * 4Ei,

r tz:h&):2Ei, : r^

! . ,61 112Liu.n' ht

l t l l ' t t I7zz / .s1:0

ltz lzs I

coeficienlilor de rigiditate,/,,i dupe ulcre

- [c(v) fs(v) ]

lr (v) -l tz)

,f '-','J,i:$ ".:X'ft ,,|f, iff ;ilu""'n,',,

lR ' i u lR - t--- ,----- t,

lo i n- l

rrslli'l incit conrlilia cle echilibru (10.85) se scric

ln ' i 0 l lz ' l l0 lt---------- --- | - . . | --- lL0 iR" ' lLz '"1- l0 l '

r,rr tundilia echilibrului critic se esprimi prin doui

lR" i :0 ; i lR" l :0

rlirr cars sc determind. doui valori ale inc5.rc6rii critice, una P' corespttttzir'Inrrtc unei forme simetrice de pierdere a stabilitetii 9i cealalti Po", cort,s-pttrrzirtoare unci iorne antisirnctricc de pierdere a stabilit[]i i, valoarc:tr ilrrtrtii fiind cea mai mici.

lixt'rlplrrl 10.7. Se sc deterrriuc incircarea critici pentru structtttrrrlttr l igura 10.24, folosind avantajele simetriei.

lirrclorii tlc courpresiune :

P

LIVt: VZ: Va: V6:0.

crr coeliciellii de dgiditate /ii se formeaza matricca coresl)uuzirto.r r ' llrl forma

( lo: i ! r )

( l { ) . lx))

ecuali i indepctrdrtrl,

(10.9 | )r",: tel? * h\1) : qp;,

' r " : h\ .1 : - 684:h

+,82

t."s : h\i! (,4 + alrj:

Iicualia dc stabilitate se scrie

'117zt

'gt

s:ru eu. expresiilc de maiSl l l t l ) l l l lcd r i

sus ale

lc(v) , -y 4nl

- [c(v) fs(v) ]

2n( l 4n)

-6

,... ..,P]od"-:" .difcrite valori lui z qis, ('Dtln valorile lui v., reprezcntate

10.7.2. Utilizareo simetriei

r ri l

" , , l lt l

I.,,r, 1,1",: i i , i .L,i: l : l : l i ; , : ' ; . : l l :": l id..,s(1,,!,( i , i(., rr:rsrir. yi r l irr Iurrr.rrrr ,r,l;;,T,'.1 ,ll'iil::' l.i;;:3,XX;lLi: iljii,lil,il'',.lli,'";';iliX'l,li,,; llr,lil,;'l;li;.I;ltil: ,;t;rr:;,ti ,.lfliill,:x,:;i11';i':lri;:,l,llitr;;];ifliiiliii,j

1;'1,,,,:;.,;;11,',: r;t:;( i l r rp i r r r l

l r l r r r r r t . l r i i z s l r l r lo l l l l

it i , ,-,1- ni-fi|r l II:,: I ( l { l l l l t l

r l I , l0. la,

Page 117: dinamica constructiilor

Coeficienlii 16:

Ttt

/2r : raz: -

lLz: /2L: /as

Condilia <le echilibru 10.92

:6EI

n :z[ff+123]: eu,"":2T t!""r,(,) : Er t0,s7| | 0,037 r,(,t) l

:2[++3-:]1

o6EI4l

de unde rezulti cele

o,72s EI

se scrie

doub ecuatii de stabittate (10.91):

lR" l :2":6EI:O

til

. . Din tabelul 10.3 se gdsegte v-, : vf :2,gg, prin urmare, inc5rcareacritictr ocrespunzitoare fo*rmei antGimetlice -d;-pfrd;"-;;"tif

itaEi "ri,:egall cu

Pff : Po:

iar coeficientul lungirnii de fiambaj

p: : : r : ! l : t ,og.

10.7.3..Considerofii.privind rezolvcreo ecuofieide stobilitote lo calculotor

^ - Criterinl dc stabilittrtc (10.,g(i) corrrlrrcl lir o cr.rrrrliu trurrst,rrrlt.rrlrt

l :1,1111]I t , " : t . l , . ' , r rn l dt .corrrprt ,srul l ( . v ( . iu.( .sr . t r , r , ) lv i i o l r i ; r r r r i l , l r r , . r r lcrr lntor ,:il':i';]il:',"""liill,lil'l,i,,t,i"llli'l:':l,l""l;ili;ii ,lllllilii,,,iiil,.ll,i T,,";1:lilll;:vol ' t t t t ' r r r I t .Lr . r r r r i r r r r r r I r r I r r I l l l I r r 'c , vnr. l r r f i . i i r 1 i , i i . :g i l , , f , . i rnt , r l l l i ' i r , r 'rc

2,8ar -.

3'

condifie- imFosihil_6,; rezulti zr : 0, adic6, in acest caz, fotma simetrici.de pierdere a stabilitilii uu est-e posiUla, ;'

'** ' :11" l l ' l : .t,tn*0,0szr'(v)r - 0,75, :0

r'(v) : - 7,53.

: o,g2 EI,

metrului v de forma celei re-prezentate in figura 10.25.Valorilor pozitive ale deter-minantului lRl le corespundstlri de echilibru stabil a1estructurii, va-lorilor negative- stiri de echilibru nesta-bil, iar punctelor de anulare- echilibrul critic. fntereseazlcvident valorea cea mai mic5.a Darametrului v Dentru cafelR | :0, clreia ii 'corespunde

Inclrcarea critice ciutat6.Un algoritm posibil pen-

tru rezolvarea prin incercbrir ecualiei de stabilitate pre-tupune alegerea unei valoriv-vo, suficient de mici peu-tru a nu se intrece valoarea11 : v"7r cll care se calculea-![ valoarea determinantuluilnl : lR(o) l. Dacl valoareadcterminantului este pozitivE,rc cregte valoarea lui v :r v(r) : vo f Av 9i se calcu-hrz[, din nou, valoarea de-tcrminautului lRl : lRo) |f.a.m.d,. pinE cind valoarealccstuia devine negativS.. Pen-tru ca timpul de executare aOperotiilor la calculator sl fieatt mai niic. cresterea Av seDotte alege iniliai mai mare.Cutoscind valoarea lui v pen-ttu care determinantul lRl aFblmbat de semn, pornind deh voloarea imediat preccden-tl r lui v sc dau din nou va-lotl crcscltoarc parametruluiY cu o crc$tcrc Av' rnai rrrictr6cclt cco lrrcccdcutl (dc cx.Ar ' - Av/10), ; i sc rcPct l oPc-ll$lllc rlcscrisc rrrui sus piuilcltid lc oltlirx' vrtlonrca v .= v.,cu prccizln (loriti l. [ 'rcz(.tltIr-lfl t|l lcnltl i('11 rt lttttti rr$r,-flittoa llgothrtr t,rtc rlrtlt irr

$lrr 10,2(1,

tBl

( ) u l t i l ponlbl l i l l tc r lcIo lvr t t l u r , r ' t t l l l r ' l r [ ' n l r r .l l lElr , o l ' r , r i l r t I r l I i r l { l ( , ,l t t ' lv l t eAtr ' ls , l l ,utru uI v

tfbl

Fis. 10.25.

a r ra: j dai i i i 3r .xpresl lo.

coei c ent,Lor r,r(t)

= 1,2,3, . . ,n

'J = )o. r5r l

Se colcutecrzd vo lof rler , ) ( t )

Se olcdluesla molrrceo

g( i )

cieler nirnonluLu r lR I

r r r l , , r l r I )A)

l lg, 10,16.

Page 118: dinamica constructiilor

3*' ;;i1;t .1"i:'f,:i';',Y,::.1R(v) 1 este egard cu produsur varorlor pro-

u:'nfl*1'rilJ*r*"-#'""",t**,1i,1ii*fi "il#'.li*,J'ii,*xlil,:l j:tff i_::: jix,",:r:Httii+:lt*:*$;*:i*:r?,"ri,,1,,"rr

^::'s::r *:i*#ii tr*f ":]iT*ti f,ld ffi'iir i:'i,;:fi ",1T1i+:f"r,'."'fi '"""T'T''i::l:l;rT;#li*t#*#gir*+*l;ql"*i*;.*r"ff #*[iSlff*#:***T:*'ffi d:i:il":,::i

Rezolvarca ecualiei de stabilitate se poate face, considerinrht_sc vrr|rrcrescatoare ate parametrului u, ulil izind un algoritm analog cu ct.l I,r,.z,.rrlst mat sus, cu deosebirea ci in loc de i se testa va'ioarca tli.tt.rr,,ruontului _lRl, se testeazd condiliile referitoare la vaioiil" 1r",1"ii ,,f,ttratricei R.

Operaliile cle calcul se conduc dup5 cum se aratA ilr schclri! l{, ll

_. Exemplul 10.9. Se se detetmine incircarea critici, pentru strrrr,l rr.rdin fisurt 10.22.

Efo** "

axiale: Nr: Na: P; Nu:2p; Ne:Nr:U.Factorii de compresiune ai barelor:

1: l .4 l v.

Cocficientii z,; au expresiile:

rrr: [0,25c(vr) { ZIEI/22: [0,25c(v6) +2fEI

r' : {ryt tz(vJ f r(vu)l + a,Mh, (dl Er

/ta : lst : - ry[c(!l) + s(vJ]E.l

/z.a: /tt: -T [c(vJ f s(vJ]E.rf r t : f r r :Q

t"

. ' - ,

! r :3

l : : . '17:0,,,",

n, l4"frrr I

I\ "1;l

' ' i ' r1

oi, +li ' ,"1

, i :b :bli'L" 'u1

f t i ' i , ' i " t":lY:f ^

l l i l b \Nl":l::: :: ::f '"

-,rt[; I' j, i^""1;l;--

O=)r

l1= r , , = g

,1> )r

lz= r iz.0) ' ) " ,Pl.,'8",

'{

(-)

(:)^

A.,. ri l= oJ. ) . .P;i 'q.. Pu.,. q;

iq

rT

l l ( 'hatru l0, l l

lL. r i i

Page 119: dinamica constructiilor

tv

Sealege l r :Z,z I ; \ :2,2i vs:1,65; !a:S,10.

Din tabelul 10.3 se scot valorile funclii.lor c(v), s(v), r(v), r,(,t)c(vJ

- 3,9090; c(v") :2,5146.s(vr) :2,189; s(v") :2,459,2. r , (v") : _g,g1525./(vJ : 6,1564 ; 106) : O,g20O .

r'(ys) : *0,60776

t rz:r lz:2,588>0

Se alc,.tuieste matricea R(v)

[ 2,827 0R(r: l o 2,62s

L-0,344 _0,31ISe anuleazS. elementele pe coloana I

I l l o _0,1211R',(") : l0-i*r;66--:a;r" l, \z : tia :2,62s > o[o i _o,stl 0,047) -'.-:" -

Se anuleazd elementele pe coloana a fl-a

I l x i 'c fR"("): l1___l_i_-*9.r_!gl; r, : r0,0r0 > 0

l0 0 i +0,0101

r* 3l:r""*l1t,3i:tftL1f,,-"lricei.R sint pozitive, prirea rui v; i; :2Fl

ii este siauit'-"1i;t?;;:'d3 "T"T'f i'i:"":

c(v1) : 9,2996. c(vb) : 2,g506.s(yt) : 2,2102 . s(v5) : 2,5102 .

/(vr) : 5,6096. r(,tu) : _9,7756.Se alcituiegte matricea R(v)

[ 2,810 0 _0,341x(v):l 0 2,s88 -0,s04

L_0,341 _0,304 0,0531Se anuleazi. elementele pe coloana I

l I | 0 -n tqr r| ;-l---:--------*-:'-:---.:- |fi (v, : l0 i 2,588 -0,304 | :t0 | _0,304 +0,01r8J

-0,344 I-0,311 f j t :7r , :2,827 >O

0,0895J

] , u: zrr :2,810 > o

ljc anuleazd, elcmcntclc pc coloana a II_a

r r - l i l r '

Deoarece I, < 0 pentru v :2,3, echilibrul este nestabil 9i clcci

2,2 <' t " , <2'3 '

Va.loarea exacte a parametrului critic este :"1:2:23 gi,poatc Ii olrli

-:^.^-.-A nacrrl rie "t..t"ru

li parametrukii v 9i relietind opcraliilopcrt l i ih '

de valori proPrii

orta'Jl"ioii"J-1".U ai, cregtere.al pararnetrului v 9inin5. la obtinerea lui v,' cu preclzla doftla' .

-,' - Vaiorile proprii trr, )r, ' ' , l" ale, m-atflcel Il(P'"' j;:i;"J'."i.#*"^,,-^.1'...,-i"-"r" -^t'icei

R(v) se p.! d"l:L'lll:::l$ p; l";";;;;i"i;tri' 1$'e te) consideriredu-se urmetoarea Pror)r(rrr:r

ordine descrescetoare

tn(v) - r l lz :0 '

R(v)z : Iz'

Prin iterare matriceall valorile proprii vor

(10.e2)

(10.e3)

fi oblinute succesiv itr

(10.e4)

(10.e8)

(10.ee)

(r0. l (x))

( l ( ) , l ( ) l

II

t . ) t - . ) . . . ) L l I r '

Cum practic, in problemele cle stabilitate' intereseazS ntmai valoarctr

otoorie cea mai mice r,r, p"olio "

se evita cumularea erorilor de rotun-

ii;"'-il il;-i"^*t "Jr'oiii ;;;p;ii ti"i-"' ca 9i consumul nejustificat'fi"tiilo--"""riJtl- pentru det6rminarea tuturor valorilor proprii'. se poatc

obtine numai valoarea ptopti" i" cu - ajutorul .urmltorului

artificiu: st'

"Gi" oo numi.r mare g care sl satisfaci condlFa

I >- ^,

(10'95)

9i se formeazb matricea

R'(v) : n(v) - gI, (10 96)

pcnttu care se consideri problema cle valori proprii

tR'(u) - r'Ilz : 0' (10 97)

lntre valorile proprii rj ale matricei R'('r) 9i valorile proprii )" rrft'

metricei R(vi existt relatia evidenta

Cum g ) ).., rezultl cFr toate valorilc proprii r'i sint-negativc' 9i orrftr

ort" iopl i"i.ii "

i.t algebrice fonneazl tirul crescetor'

r i<r i<. < r l - r < r ' l '

lrr ce velori tbsolutc, ordinea cste invers[

l r i l> l r i l

urih,;"[ln:rt'iilrn,'iiiil;i'TL''#liiirillflriiti'rlll'irr[ l (v) vr t l rBr l I i r r

Page 120: dinamica constructiilor

evitinalu-se astfel operaliile cle calcul necesare determinirii tuturor valori-lor proprii ale matricei R(v).

ln acest fel, prin incerciri succesive, utilizlnd tn algoritm analogcelui prezentat in figura 10.26, dindu-se valori cresc5.toare parametruluiv, se poate glsi v : v", corespunzitor condiliei ).. : O.

10.8. FORMULAREA MAIiICEATA A METODEI DEPLASARITORIN CAICULUT tA SIABIIITATEA SIRUCTURILOR FOiMATE DIN EARE DREPIE

10.8.1. Prerenloreo metodei

in scooul reahzarii automate la calculator a ooeratiilor de verifi-care la stibilitate a structurilor planc din barc (cadre plane), metodadeplasirilor prezentath ln paragraful precedent se re{ormuleazd. intr-o vari-anti matricealb, in limitele aceloragi ipoteze de calcul.

10.8.1.1. Diseretizarea strueturii. Coordonatc de element. Coordonatcrle sistem. Structura date (fig. 10.24, a) se consid.erE alcituiti din baredrepte prismatice, de secliune constante. Neglijindu-se deformafiile axialeale -barelor produse de foirfele axiale, starea de efort gi deformilie a uneibare se poate exprima prin patru pararuetri: deplasirile unghiulare q,qi 4, ale capetelor barei gi deplaslrile tran5versale q", q, ale aceloragi sec-fiuiri, considerate cu semnul lor pozitiv in figura 10.28, b. Acegti parametrireprezintl cooldonatclt d'e eletnent sa't locale.

Pentru structure starea de efort gi deforrnalie se poate exprima cuajutorul parametrilor zr, rotirile nodurilor (zt gi z, in figura l0.2IJ, a) ;ideplaslri liniare ale acestora (zr) pe <lirecfiile gradelor de libertate alestructurii, considerate cu semnele lor pozitive in figurl. Parametrii a,reprezintd cooldonaltlc d.c sistem sa:o globale ale structurii.

10.8.1.2. Matricea dc rigiditato a unei barc. DacI se considerS. acliuneatrnui sistem de forle exterioare F1, Fr, F", aplicate pe direcfiile coordona-

' ' l t tz - ro.

q,'1,?.F+lL=fqr - - - - - r - - - - - - -a\-| lit \a| 4 i lqr

/ " \ l l l

''l ilr9I l t t , 'I l t l

o{*,

b.

# rN39:V

[.f,',r"r,l ,lv,o'l*,Fls, '10.20,

( ,1, ' r (v) ' , ' ' / , | ' {u) ' , ' ' / , I

Fig. 10.29.

teror de ̂sistern ( f ie : - P :? :, 1 ),:::Tl"l*,::"t1"?"* a? :T[ii"oHi]i';,,; :.noteazl Qt' Q2 - mo.mentete

;;i;#; c'u scnsurile pozitive in figuri'

Pentru o bard oarecare e' iotre iorturite secfionale Q'' Q"' Q'' "ti Qn

* a"pf"tatif" h, Qz, 8s' qn existi relalia

Fr

(10. 102)

llu, cu notaliiltr calculului rnatriceal

Qk) : l1k) qt') ,

Itt ctrc k(' l

i;;; '.: ti;"- ,""-. d" Jectele

-forferor :l* 9*-::i";."::fiilll:cstc nlatricca de rigiditate a barei e'

:*'l#liil}: l"l; *+Il]"*a,:il;lll*:";i!td:' * ractorii de co'l n I' r'l

i ittnc ai'barclor au fost paragraful 10.4

l ().8. 1 .rr. sistomrr l uxrrtlonuto'lor -di, -l':"u^*"rlTt ],ii3Jf *iill*i-;lc"r.,,iliilril,l,;lilil"il';;i'""'i;'t"r"'-tt:"'-" -**il'i;,?.ll'11"1fr ,miliill;:ll;rrfixl;, iti:"ti;t'Titi :t'j':: :'T",:: ::, : :,;li,*,1i,:, *:t;i:,Ii3;';ll ;iiil;i:'i,9,'J,'"0,:.li,Ji ;l,l'."1i':"lll:l

lal : \r: r:[: fr1l,lfr](10.103)

b.t,",1ll' ;1,'i ;;;i':.'"iir.."tlb.t rle rigid-itatc (i"",'ii",'"1ir' rlt'rltts. irt \ l{} 1 sc gitscsc

10.1031, l iu int l seatt t "

Qr - o(") ' , ' 1, I *(,) //,/, I { '; j t,tt,) t .,(u) l} '/ ' t ' ,1 l..{") t .{u)lv'

( t { ) , l { l l )

| , /I ' I t , ( r ) t ' (u) l I ' t , '

' , . ' ' t " ) | *(v) l .1rI " I

Page 121: dinamica constructiilor

c' : f ["t"](r' - +)+'(") {c, - l;t.)]

o.:f ['t"t lr,-+)+ '(")(c, - t'l]]qi notind

s,:q,-bf i 0z:42-c-- l !

relaliile (10.104) se mai pot scrie sub forma:

?,: f t r {u)0,}s(v)o, l

a":7[s(v)o, fc(v)0, ]

, 10.8.1.5. Relafiile ds transformare -htre ooordonatele dc elenrtlrl 1l0oordonatele ile sistom. Conclitiile de conectivitate ale barelor ln strttr'-turl obligl rleplaslrile de capit ale barelor (qr, qr, q", q') si fie corrrplllbile cu deformatiile z, ale structurii. Astfel, penttu exemplul consitlt'rttlln {igura 10.28 din condi}ia <le compatibilitate dintre deplasirile q{"1 ,11,'barelor qi deformaliile z rezult5. relaliile

Cei doipentru bar6,de ecualiile (

0, gi 0, constituie sistemul coordonatelor de baziie de transformare dintre coordonatele q gi 0 dateDot scrie sub formi matriceall

bazi. Relatiile (10.106) expriml lcgn.tura dintre mornentclc de caplt (rrliQr gi coordorratclc dr: baz?t 01 ;;i 0,,,dc undc sc dcducc t'xrrrcsio ruatrit 'r,rdc rigiditatc pcntru <i bnrh oorr.crrr,,r r i t r s istc ' t r tu l coorrkrrrrr l<, lor dc hrrr i r

tfrl :tru:l[fr],:[t;t][fr],:[ir:]

In general, pentru o bari oarecare a

q(,) : Bc)z, (10.1l l ),cu B{') s-a notat matricea de transformare.l'e de alti parte, finindu-se seama <Ie relaliile de transformare (l0.l0t|),r sistemul coordonatelor de baz6.0k) si coorrlonatele ile siste l z sc

relatiile

t;,1:

,,lr - 1:, [,[;:i

(10.104)

(10.10s)

(10.106)

(10, l l0)

[i:F-, ('I. "'|')l , , fl : : l : "^ '

( ror I r")

Iril:"," (,0,,,,,,)

il tru:l

I i : ]* ' , '

parametri 0iar relatiile

(10.105) se I

[ r o -+ +l fc, ll l l l : l : : l l : "1 ( ,0,07)re2r

[o ' -; +J l 'r:]sau, in general, pentru o bar5. e oatecare

0k): Ak)qk) (10.10u)

unde matricea de transformare A(") are forma :

[ r ' - ; ; lo'" ' : lo '

- r r l ( ro1or))

l - L t l

Semnificafia geometricS. a coordonatelor de bazE rezulti imediat din relrrliile (10.105), 0, qi 0, reprezentind rotirile de capAt ale barei raportat('la axa deplasati a acesteia (fig. 10.30).

10.8.1.4. Matrieea dc rigidilate a barei in sistemul eoordonetelor rlr

_1Jr

_1tL

- :tr

_ll r

0

l rI

0(U:A(t)B(r)z:10

: [ '

loL

[ " Il :: l: '" '

6,r , , ,1,oj ,o" . , [ l

0

I

() l

' i ( " t r ,0o

rtil1,19, 10,!0,

l l l i r l A(i l l l ( i l l t -

0l0l

tloll$

Page 122: dinamica constructiilor

coordonatele de sistem dup[ cum rrmeazE

Q('): k!')0' :k$tgvtr.Considerindu-se, in ordine, momentele de capd.t ale tururor

structurii acestea pot fi exprimate pentru exeriplul considerat

sau, in general, cu notaliile matriceale

Q : Kupz,

coordonatelor de baz|,

exterioaro a

de sistem. ln

IPentru

| 0i'r tt - l

" a: lno' , -lF, ' l

10.8.1.6. Relatiile dintre morlqrntele de eap{t ale barelor gi coordo_e de sistem. Avlndu-se in vedete apl^ti^ l'l(f 11r.\ m^6an+ata ,:rd ^--:+natele de sistem. Avlndu-se in vedere relatia (10:ll2), *"-*t.t"' a"

-"""it

{e gnei.b3re,, da.t9 de .ertrr-resiite (10.106) de pot exprima in {uncaie'tieF" : Qll)+ q!') : -

[#] :[;' ;!'' ;,,] f#]

ay +o!]l s? + Bt)

ln lormi matriceall ecualiile (10.116) se mai pot scrie

0i')QI'Q\")

Qt"'gi')Q!:'

10

I

00

0I

Nrt l i r t r l r " t t K .

l l ln l t [ , , t rh ' r ig l t l i tot t ' l t Ft l l lc t r l r i i(10, I l f l ' ) i t tb fotrnrt

N3-

i;+iid:l[;:](10.113)

barelorastfel :

(10. l r4)

coord.onatelol

[;i=[1001

00

00

z1

z2

z3

(10.114' , )ln care : Q este vectorul format cu momentele de capi.t ale tuturor barelor,

Ku - rnatrice cvasidiagonalS., elementele -d.e pe diasoaala orin_cwasidiagonal4,- eleme-ntele -de pe diagonala prin-rdlrrrs uvil'srur4Buljara,, cle[lenrete qe pe dlaqonala DrlD_

cipall fiind matricele de rigiditate ale barelor" in sist'emrrl

- matricea formate cu matricele de trans{ormare E(,).exemplul considerat, in formd expliciti matricea f, este

1 -'i- r l_l

l,

I0

0I

00 (10.115)

_1t1

1; l

10.8. 1.7. ,Itelafiile ,dinlT,o- mome-ntele de eapil ale barelor gi forlctcexterioare aplicate pe diregtiile coordonatelor de -sistem. ln generil, stn,.turile. sint .inclrcate cu forle aplicate sau nu pe direcfiile-coord.onatelo: aplicate sau nu pe directiile coordonatclor

stabilitate toate incircirile'se consideri. auliplul ales (v. fis. 10.28) fortele cxterioarc i;,.

totr cu notatii matriceale

F - ce -tl-! l--i-- lf;;l[o oi tT+i ' rJ laJ

(10. l 17')

Sc res5.seste f:rra dilicultate comparind matrice,a C -cu

matricca p

ddl'd'" il"O:ii3j- pi.pii"i"i". .unoscuta din calculul de ordinul I potrivit

olreia C _ gr,

$tft'l lncit exPrcsia (lo l l7'1 sc mai poate scric

-o,Q-ll+i#"-j[- I10.8.1.8. (lriterirrl rlc slabilitate. Exprimigd pc Q prin (10 114) 9i obscr-

vtu,f '

"i' f"ii"l"

"*1"r" l, din bare in^funclie de parametrul P al inciLr-

Sltli cxtcrioarc au fotma

l' -, (FrKoF)z 1- ( 10.1 l t t ' )

10

00

01

00

(10.1 17)

(10.118)

( 10. I le)rlin ccttrrl irt

( il ), l'r{ l)

tcuol io ( l0 l l8) sc urai Poate

de sistem. In problemele de stabilitate toate inctrcirile -se consideri. aplcate-in noduri..Pentru exe.mplul ales (v. fig. 10.28) forlele cxterioarc 7;F,,.

"F" acliolilrd pe direcfiit;

"ooiao".ltlfoi a;';ffi';o" reprezenr.iil

in figura 10.29, a.

..Iixprimind condilii le.de egbilibru dintre forfelc cxtcrioarc .1i cforturil,.stcliolllc de capiLt, pe direclii le coordonatelor dc sistcrn, lirrindu_sc scarrr,rdc. cchilibrr.rl pc schcrna deformatE a barci (v. fig. 10.29) sc obliu unn?ll.orrrdr '< 'cual i i

tt | , -, Q\') "1- Q\''t ,

0?Ko0ryi prtnirrd nl doilt'rt 1r'rrrrlrt

ii I [,il:,1/,, .- pll) 1. rtf't, (10 l l ( i ) -'lii

Page 123: dinamica constructiilor

sau in. g.ellefal, sspqdnd. vectorul . z, parametrii rotiri de noduri ze deparametrii z. - deplasdri liniare ale nodurilor

": l :r llzL I

ecualia (10.118') se scrie intr-un caz oarecare,

n : Ir - I-o-i--g-llt-"-s-l .r '+ [o i [ ; l l [ ; j (10 12r)

. Deoarece in problemele de stabititate F:0, criteriul echilibruluicritic se exprimi. prin condilia ca ecualia

r r-o-j.--q-ll l"kl - f-q.llK+| .o i K. l lLz, l lo I

rI admitl solufii nebanale, adicd. determinantul sistemului sl

I iOi0tl" + [ o-ix;]

(r0.122)

fie nul

(10.123)

Rezolvarea ecualiei de stabi.litate (10.123) se poate Iace la calculator urilizind unul din algoritmele prezentate in piragriful t0.7.

10.8.2. Colculul motricei 'Kp

. Ifatricea K, care ia in considerare influenla deplasi.rilor laterale al,:ba-relor asupra rigiditetii structurii se poate ditermina {ie ditect, penlrrr:tlu.cturr, rectangulare, dupi. cum s-a_ arb.tat in exemplul prezentai, fie,pentru structuri cu forme mai complicate, determinin? din considerentc

geometrice deplasirile trans-versale relative A ale fiecb.rcibare, ata dupi cum se aratirln contlnuare.' Se considere structuradin {igura 10.31 carc are douigrade de libertate de deplasare liniarS. a nodurilor /z-,. :,1.

Sc dau succcsiv diiias"rile z. ;i zo pc dirccfiilc cck,rdourl gradc dc libcrfotc clasticn (fig. 10.31, D qi c) ti dirrcotrsidcr('ntc cinclraticc s(dt'tcrrrrirril dclrlnsllrilc trntrnvcrsukr rt'zlrltcrrtc r(,lntivl Al.)lx ,ntnr l (x l l r ' l rnrck, l t t r rct r rr l i , Apl icf t r r l tcornrrrr r l r r r r .I lq, l0,J l , fi l 'lifil ',tn1 - l'Kpa,

in triunghiul CC'Ct ditt figura 10.31, b, rezultS. urmdtoarele cx-

6au,

AP):(C1C')4_(CC',)"

A(3):(CC') ._(C,C')u

A(a) : zE

I

cos d!:

"i"1"3 *, 'n . i"1", 1 t"r (r0.124',)

cos dl _ cos dr -

sin(dr + d') ' sir(a' ]- aJ -

0-

sin(c' * a,) sir (cr + dJ

cos Gr _ cos d1

sin (dl + a,) si'1(dr + dJ

01

tl cu notarii matriceale

L, : Xrzz.

, Pe de alte patte, vectorul forfelor exterioareDc dircctiile deplashrilor A('r se exprimh in funcliedltt secliunile de capet ale barelor prin relalia

Fe:CQe'

exemplul

tl

t r . al .r)

considerat

fJ,, P

tr'l [ ' lLzsJ

(r0.124")

(10.125)

(10.12€i)

( | (,, | 'Jfr)

(r0.124)

F, aplicate in notluride forlele transversale

t1

0

It l t, cu Iolrt] i i nratricc0k'

Qi. ' / ' l iA,

l l l r ' t t r , t t t r t l r lc t 'n l l t 's tc o t t t r t l l icc t l i r tgotrr t l i tl l t lnr l l l r l r l t ' lx t r t ' r r t t r r l r r i t r ru l t ' ) , i t t r ' / '

' l ' l t r i t t r l x . r t t t r r t t | . ' r 'x1t t ' r ' r i t t ( l t ) .124) 1i( l l l l ' . lb) nt , pf lnt '41, '

(10 'r27],

dc ordinul /,.x y', (y' rcPrczcntirrdlnirrrm(,trul irrcrlrcllrii cxtcrioart'.I r r l rx ' r r inr l pt ' ( l t ) ,127) l t r cct t t t l i r t

I,

0 trlllt!

0 -" 't.

Page 124: dinamica constructiilor

in care s-a notat

K. : 66gr

I lu, l0, t t

(10.129)11. STABILITATEA ARCETOR

I t,1. CONSIDERATII GENERALE

Arcele siut elemente de construclie in care sub acliuneir trr.,t,

Pentru alte tipuri de incirciri, deforrnaliile se dezvolti c()rrtirrtrrlirc ii, de reguI5., in aceste cazuri rezolvarea corecte a.probl tttr l,trtabiiitate se poate face numai in teoria geometric neliniari.

ln cele ce ttmeazd se va prezenta numai problema flalttba.ittlrri rrrlor in teoria liniar5..

11.2. ECUATTA DIFERENTIATA A INCOVOIERII PTANEA EAREI CURBE CU CONSIDERAREA DEFORMATIILOR

11.2.1. Ecualiile de echilibru

rnatricea care exprimS. irrflueula deplaslrilor transversale ale capetelor debar5. asupra rigidititii structurii- Ordinul acestei matrice este eqal cunumlrul gradelor de libertate cotespunzetoare deplasi.rilor linia-re alenodurilor structurii.

10,8,2. Algoritm pentru determinoreo incdredriicritice lo colculotor

Pentru determinarea automate h calculator a incircS.rii critice utili-zind procedeul matriceal prezentat mai sus, se da in continuare schemalogici a algoritmului de calcul (Iig. 10.321.

Se consideri un element de arc, avind dupir dcformarccutlltrra in secliunea,4 egall cu

(f i r . I

( l

i t t i f ia l i r gtorrrct l ica y i - l - - cr t rbt t t r t st t l ' l i t r r , r r tp

dc incovoicrc prodttsc dc incLrcarca t 'xtcriortt i i .

1l, l

urtr l , . l .cstc curbura

dltorittr dc[orma]iilor

t9" '

\/f\

Flt , I l , l ,

Crtr.eo sr hpdrrreo dotela

ColcuLul loclorilq

^ r,.rft;6-" ' ' GV t l "

Colcu{u( motflcn l ip.

Cotcuteozd \otooreol [ ' Kpl

n=to.( ' -1)A)

l rU l l r "

Page 125: dinamica constructiilor

lnclt rotirea g a secliunii transversale r{

q -Y+ 1'(ls P

Pe de alti parte, curbura suplimeutar6

& lncovoiere ale arcului este egalE cuI do d1d&,

'1P' dt ds\ ds PJ

11.2.3. Ecuqtio diferenlicl6 o orei deformote o orcului

Relalia de leglturl intre curbura -1

produsi

t

este egall cu

' (11.e)

proclus[ Prin cleforma]iilc

(11.10)

prin tleformalii1e dc

secliune este, in limitaFig. 1t .g

-^*Echilibrul elementului deformat de arc conduce la urmdtoarele treiecuaFl

H_.* *8, :o

H* ry*{ r q*:o

' Y:ros

ale barei si momentul incovoietor lnliniare elditice a materiaiului, egali cu

' (r1.2)

(1r.3)

( l1.4)

( r 1.s)

(r | ,( i)

( t | ,7)

(1r.1 1)

(11.12)

L:_M,p' Er

linind seama cte relafia (11.10)

d ldu ' o1 Maslas' p l Er

ln care, considerlnd ipoteza micilor deformafii, s_au acceptat aproximafiiler!l&!ia (11.1) se ajunge la urmStoarea ecualie dilerenliai4:

.i [' #,{"'i)l * I *(o1) - f ter,) * {r : 0.

Evident, in functie de parametrul ales drept funclie necunoscutl'

,ttr (11.13) se poatc exprima in diferite forme'

cos ilO g l,

sin tlO : c10gi s-au neglijat inJinitii mici de ordin superior.

1 1.2.2. Relofii geometrice

g:9r -F gr.Din observalii gcometricc elcm<,rrtarc rczulfit (fig, t I. ll, ,r, ,)

tlrl9r

Uf

I r.!, tcuAIlA DIFEiENTIAIA A SrABlLlrATll ARCETOR

:1-'-l 1- N. ' l- ,/n - o,d. 0o

(11.13)

-- 9"P g"ttg","p ln_circdrii exterioare, prin deformarea elementului dc arcpunctul I suferi o deplasare cate se poate exprima prin doud compoucntc :una radialt u: AA'- s. alta tangeniiall , : ii,," t{is.'ii:b,;^;i";)..,,"

"u oljiio?""""[

deplalare, secliu-ued ;;;';u.;l; *'o?.riui ..r se rorcst,.

Acccptlnd ipoteza nricilor deformalii, problema. flambajului arcelor;iil;;;;;"ff$;-il ilffi liniar6, aitiel i se e'lPrrmr -echilibnrl

<Iintreilil-;;ffi;;il ;t-etorturite secgiouale No, Mi, rs din arc, ueglijlnd

( l 1.15)

( l r , r6)g{r -

I'c,

Page 126: dinamica constructiilor

. ll m-o1nentu1 atingerii incircirii critice, dup6 pierderea stabilitdtiiprin flambaj, prin trecErea arcutui intr-o ".ira "5*ii"ilji.;";;iiffi[:':urbura ln secliune se moclifici cu cantitatea f, devenind egalE cu

11.4.1. Ecuotio lui Boussinesq

ln cazul arcului circular de sec}iune constente (E.I : colrst) rLvittr|

cufbura geometdci constantSl:1- coust' problema detenninitli i irr

circ6rii critice se simplificl. '"ln 'acest caz, neglijlnd micile delor't*liir 1,1

- - - f - . ,PPoP'

(11.18)

ri=+J

lorma

,*r '

dN, t t l I I . . Ir__f _. l f lo_:u,ds ' iP" ' P'J ' - ' t

r r r , I , 1. l , r , I d?. ,/Yr l_ t _. l t lvo_, _F __:_: t t ,tpo p ' ) -p ' ds

aM, : Tt .alr

Respectlnd ipoteza secliunilor plane

1:_i t?, EI,

cele patru ecuaJi i (11.t9), ( .20), (11.2t)mlnarea succeslve a necunoscutelor la oI de urmS.toarea form5 :

- * [ru, 1. p) + I [p -e" I'rr ill a 1 9 f6rll + r" ] : 0. 1 r.,r:r)ds( -p"/ ds[ ' avI p 'J l ' p ost-- p ' ) ' 'oc ' - ' \ - " -" '

. Sistemul de ecual i i ( l l . l t , . ( l l . l9) , (11.20), . ( l l .2 l ) , (11.22) pi ( l l . : . t i r1oferi ?osibilitatea studie;ii flaindajului' aicelor"i,i t"oiiu'li,,iori,'d.r,.,,,,i'narca inclrclrii critice conducintl ji in accst caz, Ia o problcrrrll tlc val.rilroorii.

I I.4. FLAMEAJUI ARCUIUI CIRCULAN

, l r t ,ct lc cc l t r t l r .azl l h! l , rcziut i yrroblr . r r r r r f l r r r r r l r r r ju l t t i , l l l l l t r r r r l , l ,

Q( j . rcelr | l r t ' ( { rnr t$I t i l rub rc l l l t r f l t r t t r l l t r ( l l rc l l t l r rd i r r l , . r r r r l torrrr r l l r l r lI ru il r..

iar conrliliile de eclilibru ale elernentului deformat d.e arc conduc la ecualiile(11,2), (11.3) ei ( l l -a).

".'"ul:'i'i;u":"1i""thJXhitr*T:larc' produse prin trecerea arc.rui irr

Nr: N - No; I r :T-Toi Mt: M - Mo.

( l 1. l e)

(11.20)

(11.2r)

(r1 .22)

9i. (11.22) pot coudrrce pr i r r r . l i .slngur,. ecuatie diferenfialiL irr

tr: f,(# * "^l: *"(#,* j{)

" : < ls ' -ds : L 6, -zdo): I f*- r ) : o,

' d" ds ' R l i to t

unde*:uo

il0

ccualia (1f.22) se mai poate scrie sub {orma

Y** *: - ! ' M,,

diierenfialtr cuuoscuti sub numele de ecuatia lui Bousstrresq'

11,4,2. Cor:ul incdrc6rii rodiole uni{orme

I lglEllll llclJi:rur rrr4!4 s! !!r"'

iomirtorlun" (M, * To = 0) cgale cu

<ls : R d0 ( l l .? ' , | )

<lati rle expresia (11.10) se poate punt sttlr

( l l .2s)

( l I .2( t

(n .27)

( l l .2n)

( l l .2e)

Ns--gR. ( l l . i l l l )

( f ig, I l . { ) , t t t t t t t t t t t "

(- l

;i curbura supllmentala -

Scizind din ecuatiite (11.2), (il.S) 9i (11.4),. ecua]iile (11.14), (1t.lS)i1,! 1:1.91 1" obliue uimltorul jistern de'ecualii't" -"rritoi

" seclionale su_DUmentare J AcceDtind ipoteza inextensibilitelii axei- arculgi ln con{igurafi a- dcio r'

L"ta'tria ^ii*d"i"" .t"rititagii prin ilambaj, tlin figura 11'3 rezultd:

r : r lgr+ul : - \ ,o, nr[au / EI

Fcntrr to lnclrcsreradial [uni forml, lacarccorcspundecl t lorr t l i rdei i ; ; i i ; t ;1; i-circular, qt:s:const ' r i +,v;-{) ' in ' '1 ' '

l1t c.t t l r '

ili-itifffil-ftat-frrntot['d" tf:StttbtJ''-; h"'"'ottlt ttttttrai 'frtrtttti itxi'

,, lrls trcccrcr ltrili hcovolrtorrcfitt eplc cu

. - / ' ''Hr- N - . -NL - 9 l ! t , ( l l , l l l )

trl. lutroduolttd crPro'\. i.Ir||r.lrl ,Ie$d'

\'

Page 127: dinamica constructiilor

*

\

q' .

r )

"(i

\

,rl

/,/

const. nesq (11.29) se oblined't!

.10,sau

Valoarea cea maicazulri q:0 (ec.critici a inelrclrii(11 34) rezulti

3EI .",t,,:

# (formula lui Levy)

11.4.3, Arcul circulor cu legdturi elostice

lo copete

Se consideri arcul circular de razi R, cu sec-

tiunca constante, inchrcat cu o forll radial-iirrriforml q $is.. 11.7\. Arcul este incastrat elastrclrr rragteri,.cbJicientirl de..rigiditate la rotire alrtt'tiunilor de la natterl tllnd

(11.36)

mici, v: 1, coresPunde11.34). ln 'acest fe.l valoarease obtine pentru v :2. Din

r '?Ri

EI

Ji- 'J ] - v,

EI(11.32)

( l1.33)

(11.34)

pentru arcul

0

42.,:_ + y2u:0,d0!

in care s-a ficut notatia

" - aRtF;9. I 1.5.

. ExeTplul 11.1. Sise determine incdrcarea radiald critica""*ixi"f*I" ":#;#'.J:f-;,1h?,ftnf t: iif t#]%: Ct s in v0 f C, cos vg. (11.95)

ff;;a nericuloasi. de pierdere a stabitterii este cea antisimetdci., adicd.

0:0, u:0 , i Cr:0.

..^',--i.^o-,-"lp"t"l" A Si B ale arcului condiliile de rezemare articulatb. sescnu pentru

0: !a, u:Ogi introducind in (11.35) rezultb

C, sin vc : 0.

. ..Coudilia Cr : 0 (solulia bar:ald) corespurde configuraliei inifiale d"echilibru (z : 0). Coniieuiatt*tl ..i i.fi"rta io;;",i;""'",t

oerormate cxisti daci C' + 0, adiie dac;

sin va : 0,care rcprezinti. ecuafia de stabilitate pentru acest caz, cu rid5.cinile

Perttru nt, : I se obline valoarea minimi.cireia ii corespunde incb.rcarea critici (relalia

t r . ; r t , .z i t t t i l l l ( ) l l lc l l t t t l i t t t :ovoic l :or coresPunzir tor arcului dt t l l l t r : t r l r '

l | l I

M'i ""t'

r' ' ' li:*ill-(l ' '-- t'Pl'+ (l/

^ s i r r d

l r .p l lz i t t l i r t t tot t t r ' t t1t I I t t t t ' t tv t t i t ' l t t t t [ l t lo l l t l I t toI t I t t t l t ' | t l t r l ' i l t t r r '

, , l , int i , , t , l i , ' r r . r ' I i t t r r i I r l r ' l r t t r r t l l . r ik r r rcrr l r r i ( [ i11 ] l7) '

I | | I | ( x | | t ( i I | ( I ( r l ) l (1, i r I I | | ( ) I I I t ! I I t t I t t i i t t |ovoi t l ot- / l ' / , i r ILrrrr t i r r l t t i I

r l t t ln,g, t , r ' o l r l i r r , , r r r r r l i r r r I i Icr ' t r I i I t I i

lA : lB: r '

I)npi pi.erderea stabilitllii, inrlr,lirrrndtb de echilibru momentulhf crllculeaze cu relalia

configuratiaincovoietor intr-o

Fig. 11. /

seCf lnnt oiu cr ' : r

r l r r i - - , , -*.q^ r_,1 _

11.34)

, \ EI

)R"

I l c i t t , . '

Ma: Mi + Mi

I'l i - q ltu

' l ' r ' I vr i r ( r ; i r r l l ,

I I u" '

( l

( l

" . l lxemplut _11.2. Pt . r r t r t r i r rc lu l c i rcrr l : t r , l i r r

r lgura l l .b acl tonat dc rr i r r t . i r t . l r r . r r r r l i : r l i r r | l i_lorme 4 si. sc dctcrminc vlLlrort, ir <.r.i1ici.

Cond- i l ia dc rnargi l rc sc t .xpl . i r r r i p l i t r th, l r l r rrurca radirr l i / / r 'u:r l i l , ( . r t l ur v,r l , , r i l , . l r , , . i t j II -7t t I l t , l1r . r ' sr . , . l r r r , . r .or t r i r l r . t i r r ( l , , i , , r t tL l . , r

nr . l r ! ( i , l , f i , . r r l , r , . r r : . | : r I r i I i t . r I r i ( t i1 i t t r il l l v l | l l ' . r 1 , r , r 1 ' r r r . I i I i i , l r , 1, , . r r r r r l l r r l , r l , , r

l l |n, l l i ' r I r r l ' I I r r r r r I t I i r r . , r i / | | l l , l r l i r , . r l r , l( l l l l l ' ) , , , r ! l r , l ! I | . , r i i r r , r v, t l ' ' t t l I r . r l \ , , t | | t r . , l [ lI , r l r a

I t t ' " '

Page 128: dinamica constructiilor

tl

^ r@Rt

l_:+.EI si! a

(rr.42)Solulid ecualiei di{eren}iale neomogeue (11.40) este

u: Acos v0f Bsin v0f -J-s i16. (11.4A)vr- l

^^- 9:":!l+"t: de^integrare ,4, {;i C se determiul clin condifiile de capit,care rn acest caz sint urm5.toarele:

_- condilia de cleformare antisimetricd., peutru 0 : O, u :0 de unclerezult5. :

A :0, ( l1.44)

o ; cond4ia^de deplasare ragi-ali null in secfiunile de la na;teri, pentru

o : t 4, N4 : U de unde rezulti ecualia

B sin u * *;i;.io o, : 0, (il.45)

- condilia.ca rotirea 91 in. secliunile de la nagteri si fie.egali cug, adici, pentru

Dezvoltlnd tleterminantul se obline umAtoarea ecualie ale stdbilitntc

tgvcr:. {vr * l)Er

Rbctlcina cea mal micA a ecuatiei traflscendente (11.51) vt : v,' cor('s-uude fucercerii critice pentru arcul considerat,

(1 l .s l )

(11.s2)

o: t c, *q:* * : *Din expresia (11.42)

' ,Rr

du C. .iil siu o.

d0 ,R'

Exemplul 11.3. Se se determine incdrcarea critici pentru. aicul circu-tlublu incastrat.ln acest caz /: o qi ecualia tle stabittate ate forma

ctg a. tg v a. : 't (1 I .53)

tc rezolve prio iacetcbri. Astfel, spre exemplu pentru 2a : 60', ctg. c :ctg 30" : 1,73 9i ecualia ile stabilitate devine

1,73tgva:v

admite ca redAcinl minimi valoarea v : 8,625 9i prin urmare

q,,: l8,62sz - t)Y : n,ez!,.

Pentru acelagi arc, tlublu articulat, valoarea inclrclrii critice estc

o--: [ t - r l I I : [ " ' - r l 'J :ssuJ.['. ) R' [('/o)' ] n' Rr

Exemplul 11.4. Se se glseasci incdrcarea criticl pentru arcul cilcularflgura I L8.

Elrr

; (rr.46)

(11.47)

( 11.48)

(11.49)

,?Sriylid,il raport cu^0 qi linind seama de condilia (11.44), introducindconollla (tl.4dJ pentru 0: + c se obfine ecuatia

Bcos va4 c cos n: t ' tu"C,

t t - I rR

Cele. trei. ecuafii (11.44), (ll.a5) gi (11.49) formeazl un sistem dt,ecualu,algebrrce, llnlare tl omogene in raport cu cotstantele A, B si C.

. ..Solufia banall, A -

B : C:0 cores-punde configurajiei iolg.fli a..cchi l ibru (zr :0) .

. ..solufii ncbiualr (a * 0) corespunziroare configurafiei defonnatc dt.c-chlnoru cstc posrbllar numai cu condilia ca deterrnihantul sistcrnulni celorcloui i ccunl i i (11.45) f i (11,49) sI f ic nul , adic i t

. shr asln vd

vr l

/ tor . d / r / r ln a,v cos 4l- . . - - ltvr I r l l I

( :_,Er:zctl

I

corrdlflc curc r,xI)rlurI erltcrlul ochllibnrlul crltlc,

d0, ( l l .sr))

f lg, l l , l ,

Page 129: dinamica constructiilor

11.8,0):

xP: l$+(R-4F

de unce

R: 14,5 n,

s in o, : 10 :0.69

14,5

d : $"30' : 0,241lr :0,758 ratliani ; ctg a - 1,055.

Coeficientul cle rigiditate / este egal cu (fig. 11.8, c)

t :2EIt : EI .

Ecualia de stabilitate (11.51) devine petrtrll acest caz

tg 0,758 v :(v' - l)EI

1.055 - '14,5 Er

tg 0,758t,125 - 0,069vr

Rezolvind prin'incerciri se glsesc :

vl : !.' : 6,58

P.: (ui - 1)# - (6,s8s - 1)gl: 42,sH.

dln forte conseryative.la aceste conclifii, starea de efort gi de deformalie a structurii se po.rt('

lrprima printr-un numir finit tle parametri indepentlenfi, coordonatcl,pnera lizate ale structurii.I Modelui de calcul adoptat va fi cel al unui sistem conservativ cu urrtusnr finit de grade de libertate.p Conttilia de-stabilitate a echilibruftd .unui asenenea siste.n este.expli-

fl

Raza arcului se gdsegte dia considerente geometrice elenentare (fig. - se neglijeazl deformaliile ".iale protluse tle forfele axiale din btrt,,se considirS. cleformatiile pe direclia axei barelor datorate incovoit'rii

- lnclrcarea exterioari se aplici in notlurile structurii gi este forrrrrtl ri

de teorema lui Dirichlet : ,,Echilibrul unui sistem conservativ cstc

81 tr / :0, (12.1)

caracterul echilibrului - stabil, nestabil sau indiferent - y3 fi deterl ti-prin aolal;za varialiei de ordinul al Il-lea a energiei potentiale totalc,

llume, clnal

, (r2.2)

( i2.3)

(r2.4)

.II.E. CRTERIUT DE STABITITATE

'IT{TTU SISTEME CU NUMAR FINII

DI OTADE DE LIEERIAIE

88 l , '>0

sistemului este stabil, cinil

8' i / <0sistemului este nestabil, ti cind

a2 I ' - n

dllbnrl sistemului este iudiferent, conditie care exprimi criteriul energetic

, r&llibru critic al sistemului.

12. CALCUTUL IA STABIIITATE At STRUCTURILORPTANE DIN BARE. CRITERIUT ENERGETIC

12.1. CONSTDERATI GENERATF

ln cele ce urmeazl se dau formularea 9i rezolvarea problemei flarnbn-jului structurilor plaae alcltuite din bare drepte prismaticc de sectiulrr.constanttr, utilizlnd teoremele energetice ale Mecanicii construcfiilor, fitlloitele aceloragi ipoteze de calcul folosite lu capitolele precedcnte, 9i anunrc :

- inaiute gi in rnorneutul pierdcrii stabililltii structuro arc o comporterc liniar clasticl (instabilitotc clasticll) ;

- co[ligura]ia dclofluat[ dc cchilibrn a structurii dup[ pictdcrcc ntrrbiltt[fti ac gitscltc fir inrcdiato vccin[totc o pozltici hli]iolc dc cchlllbrrr(lpotczr rulcllor dcfornratll tl dcplsrlrl), lpoiczI cc pcrnlltc lonllularrrDEoDlGlErt t! teorlr lhitrl ;

Dmtru un llltem conservativ cu a srade de libertate elastice, in con-ffll lnlltrtl dc echilibru, euergia p;otefl]ialI totald a sistemului cstc

pltrstlcl dc coordoneteleialC generalizate h U: 1,2, ..., n)

| - | (9,, ql - t' (,i. (r2.s)

di rchlllbru gl arrrnlnltrclu-le verlntlr cacrglcl potenllalr totalc

Crnetrrul ochlllbrulul tu cortfigurollo consldcrct[ de cchilibru sc ono'Inpunlndu.rl rlrtontulul o dcplriere virtuolI ln vcclndtatia poziricl

LY -V(ct lq)- | (0) - t , r - t - i r r ' - t -0(rr) , (12, f i )

Page 130: dinamica constructiilor

ln expresia (12.6) 811/ este varialia de ordinul I a ene{iei potenliale

5'1, : ) - -28q,:DqaAri oqi

8qr: [8q, 89, . . . 8q"]

iar 8!F este varialia tle ordinul a1 Il-lea a energiei potenliale

8,t' :DD 3!- v,tq,: tqrEtq' t' oqioqi " "

in care H este matricea hessiani

av a,v4q,Aq, 0q,0qz

av &vAq,aqr aqraq'

a,v avAqnAh AqnAq2

V

ti s-au notat

9i

H: oq"oqn

aq"oc"

LV :0 (r2.12)

( i :1,2, . . . , t t1. (r2.12'l

Echilibrul sistemului va fi stabil dac6 8! I/ > 0, ceea ce implicd con-

(12.13)

in siirqit, echilibrul sistemului este critic,ient nestabil, cincl 82r.i:0, aclicE. matricea

este pozitiv semi<lQfiniti, valoarea determi-rtului ei fiind zerol

rEr: l^al I :0,I oqioqi I

v:u-L. .

u: |ql,; i ,vr: |"r^,

IV : :- zTIAz - zTF.

r, | | | | rr t l | |$r ( la r l fkl l tAtc l l o rtructMll

| l - t r ,

| 'atldlrnlll rh rllklttAtc /it rht.grll "utv

"r- 66tI cl.tl o lr|.'D'rlrrr rnrtlrllol oo.alol llllor d. rhtrlltrt.,

lr2.r7)

o furctle ptrtratic! tle coottlotratel€ z. Cu R s-4 notst !1etdcea lormati cu coeficieltil

/ii ai stlucturii,Lucrul mecanic el fo4elot extetiode Z, egal cu

L. : 2f i.i - ,IF

., fructic liniarl tle coorilonatele z.Itllcrgla p( tenlield totaltr a slstemulut se poate scrie

(12. l8)

(12.7)

(12.8)

(12.e)

(12.10)

(12.1s)

energetice,un sistem

grade deFig- 12.1.

tr csteegal cu

(12.16)

Aga ile eremplu, alacb se consltl€f,2i stauctura di'l ligrra l2.l lncirceti cn sistemul forte-

lxtelloare Ir : {F, J?r, Fs}, pe dite4 le cootdolatelot geleralizste z: {2\, z', ,'1!, enat'

Itrterio4th de ilefottuelie elastic{

IAV av AVA/ : { -

| 0c, ac" dc*

Obsemdrii: ln calculul l.iula. elastlc al stluctudlor, energia potenllalb totaliqr suttra alhtre eoetgia de il€formatie U 9t Irotetltielul fo+lot extedoaie

mecatric Z, al scestors luat ct1 semn schimbet:

a,vaq,0q"

a,v :t+h\' (',')

iar 0 (8s) :0 sint termgnii de ordinul trei sau mai mari din dezvoltalea(12.6),'eiali cu zero in cazul unui sistem conservativ, deoarece energiaiotcriliatE / este o functie pdtraticl de coordonatele generalizate qr.

Conclilia de echilibru 12.1 se exprimi pentru un sistem couservativ

"u un t orner finit de grade de libertate piin ecualia inatric'ealb

qdhivalenti cu urmitorul sistem de ecualii algebrice gi liniare in coordona-tele generalizate

( l2. re)

(r : .20)

av:ooqi

lu cozul problcurclor de stobllltate, pe lltrg[ lo4ele F, dctioueazl ti sisterrul de forl(j

rflloatc Itr [odutllc sl.ructurll 9t dldjate alup! axele betelo!.

Tldt|dl|.io scomo dc efectclc for].lor axlole P; asupra tlgtditd]ii structruii, trlatricc.r (lc

ll tc r,xprlnl co o lutrcllc do v cote depircle de pdrsmetlul hcdlcdrll extcri{'rte.r lo ar l l l | l ru ct l t lc 8t/ . 0 corduce ln ocest caz lo ecuotlo { le strbl l l tntc ln I ", 0.

dilia ca matricea hessiand (l2.ff) se fie pozitiv definitI, adicl valoarctdetcrninantldui matricei H sl fie oozitivl

tnr : l ih l , oIlchllibrul va ii ucntobil docA brl'(0, adicl tnrtriceo ll crtc rtcgrtiv

delinit[ 9l prirr urrnorc, valoarca dctcrurinantulul rnetrlccl ll crtc negetlvil

r ' I t , . l ' r lL l ( l ' . ] .15) rr .znl t l t o l t t | lotr lcc| l l lcrs l lnr ' r l I o s i$tcnrt l l ! r i couj i i , lcrx l (s le

care exprim6, ln form5.echilibrului critic pentruiv cu un numlr finit de

(12, l . l ){r2,2r)

Page 131: dinamica constructiilor

.12.3. ENERGTA POTENIIATA tOTAtA A BARET DREPTE ,l

Pentru o structure elastigi, energia potenliali totali T' se compune,tlin energia de deformafie U gi en&gia potenliali a forlelor exterioareconservatlve, egale cu lucrul mecanic al acestor forfe luat cu semn schim-bat, arlicl

In cazul unei bare incovoiate cu compresiune, dacd. se neglijeazddeform-afii.le adale produse de forla axial6, s?area de efort gi def6niraliepoate fi .-e.xpr1Tlte prin patru parametri, coordonatele de element qr, qr,q" 9i qn gig. 12.2).

Daci se considerS. configuraiia de echilibru corespunz5toare incdrciriib,arei cu . forlele Qr, Qr, Qs- li Qa aplicate pe direclia coordonatelor deelgp^g+t 9i lorta axiali N din figura 12.3 energia potenfiali total6. a barei(12.22) poate fi scrisi sub Joma

I - :U-L, .

v:u-L*-Lo,

(r2.22)

(r2.23)

(12.21)

deforrnaliile dc

(12.2s1

(12.2( i )

ln caret

U:1 [ El lu"(x l lz f l 'o

este energia de deformalie a barei (considerind numailncovolere ) ,

lu'(x)12 dxI

Z.: NA : I (_ ot

o

r-eprezinti lucrul mecanic al forlelor exterioare Q; prin deplasirilc 1x,direcfiiJe coordonatelor de element q,.Energia potenliall totali a barei's-a exprimat considednd bara crt

un contlnuum material omoqen, confieuratia deformatd a barei fiind <lt.scrisi de funclia deplasirilor lransversa-le a(*), o funcfie cbutinud de pirlrrnretrul r.

este.lucrul mecanic al forlei axiale N prin deplasarea pe direcfia axr i!31ei _A nroduse prin defoimalia de incoioiere i barei- d'ata de i"prc.i.,(v. /.) tl

Lo:DQ,q'

01

^

q3 aql

t ' lu rt\Qr ,+\

\/ ^\rJr7

N .IG--t-ar l \ -J

f lq, 12,1.t lu, l,r, ' /,

I

d- . , . - .^-- . , . - . . E

Aplicarea teorerirelor energetice ale Mecanicii constructiilor cstc lirrritaie la structurile cer pot fi leprezentate ca sisteme conservativcr t.rr rrrrnumir finit de gratle de fibertatle. Acest lucru se poate realiza cxlrrirrrirr,llproximativ funclia deplasiilor u(x) cu ajutorul unui numirr liuit rl.parametri alegi convenabil, astfel incit energia potenliall totall i dcvirr<.o funclie petratice de aceqti parametri.

Aceaste idee std la baza mai multor orocedee de calcul. Dintre accstca, se prezinte in cele ce urmeaza uoa diot.. cele mai eficiente metodcde calcul nttlizatd in Mecanica construcliilor gi anume metocla Rayleigh-Ritz.

i2.4. MEIODA RAYIEIGH-RIIZ

Ideea metoilei aplicate sistemelor de bare este urmitoarea : funcliadeplasirilor transversile a(.r) se exprimi aproximativ sub forma unei sumcliaite de termeni

g[de ai sint z parametri constanii, iar func]iile Fr(*) reprezinti un sistcmdc functii astfel alese incit s6 satisfacl cel pulin conditiile cinematice(lh deplasare) de Ia capetele barelor.' Introducind expresia (12.27) in (12.24) Si (12.25) eneryia potentialiWalA $2.24) va fi exp mate printr-o funclie pitraticl de parametrii!o nrodelul de calcul fiincl corespunzitor unui sistem cu un numlr finit

\ - \ - , .*lx) : 2J ai.t ilx) 'j - l

(r2.27)

grade de libertate pentru care se pot aplica teoremele eaergetice. Ast-conditia de echilibru se va exprima prin ecualia matricealb

w:l t tu] :o (12.%)

(r2.2s)

(12.30)

stabilitatc

aohlvftlcnti cu sistemul cle ecualii liniare lu parametrii ct

! : o t t : t , 2, . . . , , ' ) ,oai

hr critcriul cchilibrului critic se scde sub forma

1u1: l j i l :0.I oaidai I

Itltt r[:zvoltrrct dctcrntiuautuluiI ltarci t'nrt' 1x'rtttitc allarca in-fltt '11tii crit.i<','.

l i rorrr l r f r r f 1! ,1. Sl th i l i l a lcul/;nt ,r -rru;uttc rlrsliu inlu-|rtdiut, St' t 'otttltlt 'r 'ft burn pris-i l l lk ' t t crr r r totr tct t l rh: i r rcr l i r 'lo l | | ldI t svl [ ( l lA j r t t t t l l tnt t 'nlxr , l r l rh ' t l l l rn toAzcr l c lu-l lo l t t l r , t t r r l r l l r t d, , r lgkl l t r r t r ' /c0lr , 12.) ,

lIIl se ajungc la ecuatia dc

I lg, l?.4.

Page 132: dinamica constructiilor

)

" ' r /

'\. Aplicind metoda Rayleigh-Ritz funclia u(x) se gkprimd aproximativast{el I

,_- tu(x) : a, sin

7 * a2sit::= 'li

Se observl cl funclii le Fr(*):5;q "i;itf r@) - sin 2T" satisfac

fiecare condiliile de rezemare ale barei astfel idcit pentru

x : 0, u(0) : o, u'(0) + 9 ;i w" (0) : o,

x : l, u(l) : O, u'(l) * O 9i u" (l) : O,

qi

. :* , " (* l : , , tc:a, .

ln starea inifiall de ecbilibru (nedeformatL) ar: sr:O ti energiapotenliali totali

'este nula Z(0) :0. in starea deforma1a de echitb;u,varialia energiei potenliale totale

LV : l (at, a") - l: (0) : I/ (ab az)

se calculeaz{ ast{el :

- energia de deformalie el,astdcdT'

u: Tt lu"(x l12dx:+ ( t -a,{51111 - o"!r iozJr l 'a*:2t ' , - t l

00

' - ! !h? + l6al) .4 t3 ' -

- lucrul tnecanic al forlei, axiale N

T'r Nf Nft i f t ! 2n 2nx2,Ln:7 \ Lulx))"dx:- \ ld l :cosj : *ar lcos:1 dr:z J z )L t t t I I00

N ![ ! "?

+zosl .2t12' -1 '

- lucrwl mecanic al, fogei Q

Lo : - !Oo, : - !o u" : - ! no?.2' ' z

-Condifia de echilibru se scrie

^+^:Tio ' - rvtn '+ho' :o 'a-Y- : "oI-' n" -- 2Nt a, : o,0a, l' '

critcriui echilibr ultri c:itic devine

[Ert_w{+r l\2 t" 2t J

o tTF-,';)stabilitate. Rezolvind, se oblin dou6. vrrkrti

\ ,

a,v a'vAa,1a, 0a'0a,

a,v a,v)ar1ar 4a"Aao

reprezinti ecualia den lncErcarea critici:

-. Prin urmare varialia energiei potenliale totalc prin trcccrca barr.i

dln starea initiald in starea dcformatE de echilibru

Al. ' : | (ar, at) : U - Ln - Lo

crtc o furrcflc pltretlcl dc prroruetrl c, ;l a,,

,, ft2EI , 2hlf \1a:-- f --1.

formei simetrice de pierdere a stabilitilii (a, * O, a2="'o)'

4#EI! \1" ' : -

formei antisimetrice tle pierdere a stabilit5lii (at ' tt'

* 0).De observat cl prima valoare N1,, crette cu

- rigitlitatea h a rcma-,

,f"l l"ilrrt.Jirt, - a["e*"a infiniti c'ind r6azemul iitermediar eslg 1i.g!11

- oo;,

"""u ce presupune c3 forma sirnetrica de. pigr{9,re.1 **ilillri:tn'acesf caz. Prin urmare, forma simetricl de pierdclc rt

este oosibill pentru valori ale lui ft pentru care

Nr- ( Nr, ' .

Din conditia lirnitl Nr., : Nz", rcztsltl. valoarea ry1xrml 1 rigidititli

pentnr cars bara igi picrde stabilitatea printr-o dctormata slrnctrlct

p : tao! ! .Ir

Pcntru vnlori 4 ;' l1!Z 16166 clc piertlcrc a stabilitllii cstc ontisirncI .

tn rcclrrl mod rc pot tlcteimlnr htcArclrllc ctltlcc pcrrtru dllcrltrructtlrl clt., llot rver ci:nodcl dc cllcul bcrn cu rcnzcruc

"iolt]::,t]t'-"-lfiilffi; :;d';; it'i.fii'.i. o. giliri, pllont lxlntrr entcoc dc redlo rat|rhvlrlunr rtc, (llr' 12,6),

Page 133: dinamica constructiilor

Condilia de echilibru se scrre; t*a pl

:1 : EIa. : - - + r a.-da; ' 2 l ' 2

iar condifia de instabilitate devinc

:0

*:u ' - ! + 9! - 1t ' - f :0,na: ' - i t3 '2 2l

dc unde rezultd valoarea criticir a forlei N

nuu _ n!l' l {;r I P,. Lt \ t t :

t , l . i2arEt I

carc depinde de rigiditatea liniari p a mediului eiastic.Peitru a se d"etermina forrna de pierdere a stabilitnlii in funclic dr'

valorile rigiditllii liniare p se considerisitualiile limitl.in.care dou[ forrtcconsecutiv-e de lierdere a stabilitl]ii sint simultan posibile. Astfel pcntrtt

Nli) .- Nj?' rezulte Pr : tF ,

l)qntruNg' : Nf) rezulte Pr: 1944,

l)cntrulj?' : lujl rezultl p3 :l44Tjrl 9.a.*.<1.

Prin unnare formele de pierdere a stabilitllii vor fi date de exprcsil(rr) irr care i ia valorile, dupl cum arrneazd

pentru p ( p1,

peutruPt<P<9r,

pcntr tpr<P(9.,

Ol)su|)ulit. Ci1ld tllncli.L deplasirtilor se exPrinli sub forma (r) dcpittzinrt dc urr sirrlirrr

lrrtnnrr.tru, inc:rrcrrcr ctiticil sc l)oite obtinc dirr condilia

t : I . | i I IQ,

I n| l ' , \ l , r i I r i i ( r ' i ter in l , l , f ( l r i l i l , r r er i l i . I r , ' l ' r rs r lc S l ' . T i rno$clrk( , .

r: , ' , . APIICAREA METOD RAYIEIOH-RlIz l l ' l CALCULUL

I,A SIAIIITTIATE A STRUCTURILOR DIN BARE DREPIE.

MTIODA II.EM{.NITJTOR TINITE

Irr , ,1, , . , r r r r r r , r tz i , r r t r ' lor l r t r ' l t t r rctr l t lot l i r r i tc , t r l i l iz t l i i i r r c:r lct l l t l l l l r

r tn l r i l i l r r l , r r l r ' l t t t , l t t t i l r r t l , l r r r r l r l i t t l r r t r l r l t r ' l r1r ' r lc st t l i t t r rc crr t l r ; l l t t t l i i r ; r ' i t t '

l r t l r r r ' l | r r r i i , r t o l , l r t t t | r r 1,rr t I i | t t I I t r i i r lc r r1 ' l icr t t r ' : t . t t r r ' l r r rh i l ( r r1 ' | i1 i l r l i i lz '

I r r I , t ,z, I I I r r I l r t r r r . lor l r i r l r ' ( i l l t l l l , vor l i lo lo: ; i l ' r r r r ' lc r l ' r l t r " r i ' ; i

, ,1, ' , , rvrr l r r I ' r r t t l . t t r r r r | r to l r r l 5, i r r t r t ' r r r ' l r " l r r l l ' t t r ' t t l ' l . t l i r r i l ' ; r l " l

' t l , l l I r l , | l | r , , r l , t t l t t l , l t t t , r t r r t , r t l . l I t t , l t r r i l l | I , l i t t l r r t t ' .

| , i | | r r | | r I r | I | I l , r ' ,1 ' l i l l r ' I r l r r t , l l l l l l l l r l ' l r ' , t r ' l r r t r t , l i l ro l r ' ' r | t t l t l t r i r l ' '

I t t , , r l , r r l r t l l r r ' ,1 , r l r t l t l r t l , t t r I r r l r t l l t l r l r r t r r r l r t r l r

N '-: a,2t '

^^* -_{-r9m.plql 1 2.2. s t ab i /.it ar e a

:'j r j

_, o r, ep s t i 9. p econsideri bara::u'li-"tfuTi"t'f$::,t1,tr:';;t :.f ";;,:;:ii{"3"ia{i'Jf;.tis"1

;giait.l* irii.rr""Tih""!1jr.l?aserilor transver sale u(x) se aproximeazi printr_o funcrie

u(x) : a.silfl (i : I, 2, . . ., n) @)satis{ncind condifiite de captrt ale barei.r"r.ti'""iT,"3t tHt':'i"T:Ti6Ti%de echilibru (o, : o),cnergia potenliari*r" '""gil*"? deformatl a" 'e"liliito

energia potenriala totde a barei

i-n(a,) : 61_ : (Ji _ Lyi _ LotIin care u, :T I

Lu"(x,1126, : T\.:y,r,,T u* :" i ,r#,

--1\n

f t t

i : 3 t.a.nr.d.

. , , l: ;1f , ' t " l la" : l i

:\2I

II l i , r / r r r l ,

o7"#cor"Ta*:

\ ' / r , r r r l l

.., a;

sl

r - r (x)

2'ta

Page 134: dinamica constructiilor

fry-'12.5.1. Discretizored structurii

Structura se considere ca _fiind Slcntuiti rti,n !2r" drepte, elementeleconst-rtutive ale structurii, cuprin-se i"t.e a";;i;";;;Je.l caracteristice.r\umarul nodurilor se alege aopa

"""".ita1it!*al fii"i.ji" "r"

calculului.

2 (.!.t

'3

Fis. 12.7.

lygttl"d-:1-]lr-rr mai mare.sau mai mic de etemeute. .rr4.t, a penttlu cele patru t](:f t"T,iJ,ff?",,?,,d"r1ljiir#1xl'#Ti#,,,#ji..Hf12.5.2. Coordonoto de sistem.soordonqte de element

Starea de tensiuue si deformafie, intr_o- structure se exprimi. priu-tr-un_:islem de parametri, roi1-q" noduri gi deplasiri liniare arc acestora!1'5;"i"'li"'lri"i ftX.z'' "I'

care reprezints. "o?,.al,rui"i"-a" sisrem sau

-, _ l:otuo o bari, element constitutiv al structurii, in .::':l-:*';mylffi ,T1.'X*Sitii;'; ji;;'T;:'#i:i:'i:"1?;';"i

S'. $ ']/

I l r l l , ' l l

97

(r2.3(i)

Urmintl itleea metodei Rayleigh-Ritz. funclia deplaslrilor ?'-(:r) lx rrl r tt

6 barl deformata se poate expriml cu ajutorul coordonatelor dc elcntcrrlgub forma

"@) :D q,@,(r) : o(t)<1.

12.5.3. Funcf,i de formd

(12.31 )

la care

(r2.u)

(12.33)

$olufia generali a acestei ecualii diferenliale 5-a g6sit de fonna (10 8)

1,.:;i; "@)

: Cr I Czx * Ce sin nx I C. cos nx'n'

(r2.3s)

Exprimarea exacte a functiei *(z) prin expresia ( 12'31)- necesitl detcr-

rnlo"r-"f -i"""fiifoi

de forme 'O,(z)' ioirsideriid solulia (12 34) .a ecualit'i

Iii"r*ti"i" lt'Z.gZ), constantele'ile integrare rezultind ca funclii nelirtiarc

de valoarea elortului axial din bar6.Obisnuit, in metoda elementelor finite, exprimarea apro,ximativi :t

lunctici deplasirilor u(x\ se face utilizind funcliile de,formS detcrrnrnat(

il"iJ,;r; i";;t" i" "dgii1""ra

influenla forlei aiiale N asupra delormattri

btrtii l lrin iutcgrarea ecualiei difcrenliale

Semnificalia funcliilor (D,(r), numite. ftt'nclii . de. Jormd, rezultir tlitt

cxpt"ti. iii.gi). Astfel, spre ex?niplu, o,(r) reprezinti ecualia axei dcfor

m-it" "

t"tC,' produsi ?e deplaiarea i, - I atunci cind toate celclall'

deplasdr iqt :O( j+i) :- Cind se tine seama de efectui forlei axiale N din bar6, asupra defot-

matei de lncovoiere a acesteia, ecualia diftrenliall a axei. deformate pclr

iru carul cind forlele exterioare sint aplicate in secliunile de capit a)'''barei este (vezi ec. 10.7).

* q r '9:0,dza d.t/

n2:NEI

(r2.34)

d.r_n

trrultind cxprcsiilc {uuc}iilor de formi dcduse in paragraful 5 2 1 2'

CUDI l r ru lcozi i :

o,(r) .- - .( , - i )"

o'(") - iU-- l

rp.(x) .r I ,_ J',,, | 21,,,

,1r,1.1 - /1l t . "1

dtrpir

Page 135: dinamica constructiilor

ln acest fel, solulia obfin-uti pentru .probremere de stabilitate va fi1t:-r:-"ti1", ap.roximagia fiir:d cu alit nai'lunn cu .nifo""1iif" de formiapro)smeaze mai corect deolasd.rile reaie a{z). rreciiiiJ" -pdt. ,_}-uiltTfi9i prin i:mulgirea. numerirlui d.e . elemente' ale .iiu"tuiiii'p" seama unulconsum de memorie_calculator gi de tirrp tri-r"r.rj.i.i". problemei.

12.5.4. Motrice de rigiditote pi mctrice de stobilitotepentlu boro dreoptd

Qxprimindu-se .pto"i-"rl:^f11"Ia--deplastrritor a(*) in totr:ta (t2.Bt)energa potentiali toble Z a unei bare se 6ompune aii i"it"ou :t ,

r : + i Er tu,(r)tztu: ; p t t ( u oi@)a.@)d1l wi :0,

:tD+0,*,0,:isogcare reprezinti energia de ng-9rS"fjg elastic5 a barei, in care Fij sintcoeficieulii de rigiditite ai barei in dirt"_,rl

"ooraonJJ6, q

0,,: #,: \; ro!1x)oi@)tu.

0

fntroducind expresiile 112.36) ale funcfiilor de formd gi calculind coe_Ii::"Jt d" risidit;te ,b,r, matriiea a9

-rigrdilqie -fT-tj*i

rezutt5 subrorma cunoscuti din calcfuul de ordinul f 1-_: Oj' - - *

N *!1i1t

(12.37)

(12.38)

(12.3e)

(t2.40)

4 simetric6t2l l ,612 12tt" t ,

,lV este egal cu-Lucrul mecanic al

rD calc

l4l2

EIIr | - -

t :t ;

forlei axialet

- tz": i [ [u,(r)126*: I l : - ' " " '' i '

-r il \ -V oi(x)oi (x)dxlq'q1 :

0

I ^sr s:: ; u" 4 4 su?iQt: -: r,tqrs q

J2

r{i( r2.d r)

ti s-a qotat

st :

, Calculintt coeficienlii s,i','ih forml se obliue matricea

t

\ = Q!(x\6i&)dx.)120

introclucind expresiiles egale cu

(12.,r:.r )

(12.36) ale funclii lor

(12.43)

(r2.441

(12.4s)

t

l5

_l30

I

simetric

zlc

16

l0 , 10, 5r'

116101 10 t srt 5tl

'utmild mabicc ile stabil'dtote s tr ffiabice geometrdcd a barci,

ln sfirs,it, expresia lucrului mecanic al forlelor Q este

' La: iQ,q, : q 'Q

utlel ilcit, energia potenliali totali a barei are expresia

I ' :1qr ln- i tntn-ntQ.

12.5.5. Criteriul echilibrului critic

Condilia de echilibru aJ barei (12.12) devine

AV:kq-v2sq-Q:0

lau

Q:(k_vrs)q,

Itr clictriul cchilibrului critic se exprimI prin condifia (12 15)

t I I l : l j .L l : tk - v ls l : o,I aqtaql I

(12.46)

(12.{( i )

(12.47)

ctrt.turducc l:r rczolvarca unei problcrne dc valori proprii iu carc matri-crlc k 1i E sillt cotlstalrtc

l)ctcrrrrinarca valorilor ,;i vcctorilor proprii sc poatc lacc iu accst crtz.gtln itcrtrc rrrutrltr:ullt, h fcl co ln calculul dinanric u,l strLrctrrrikrr, itrtcrt'-ilrrd Irrsrl, trurrtrri vLrlourcrt propric tuinirult vr € v., c[rr:iLu ii coresprtrrrlr'vslrrrrr.n crlticrl rr forfci nxlalt.

ii t;t ' (r2.4fr)

-

Page 136: dinamica constructiilor

j

12.5.6. Unele obsenofii releritoore la mqtriceode rigiditote gi motriceo de stobilitote o borei

, in cazul in care s-a considerat ecuafia diferenliald ,,exacti.,, a axei*1".,t^11:,

a, barei..(12.821,. finindu-se seama de electul io4ei ."i.f"- ii,coertclenFl c.e rtgrdttate A,j(v) au rezultat ca funclii neliniar-e de factoruide compresiune v al barei.

".. - ^P,lryy:r"9 aproximativ f^unclia . deplas5r il..or u(x) a barei cu ajutoruirunctrlor de rorma Ar(.r), coelicienlii de rigiditate Aa(v) au rezultat egali

c11

h$o):#h:ftr-ffi;: Aq(o) - v'?sa,

l*-t^1_1*^f_"t l,*f liZ,Jt? +Sl poate. fi.privitt ca expresia aproximativia coeficienlilor de

al barei, dezvoltare in'care s-'aur.rrel , , qezvoltare r-n care s_au pdstrat numai primii doi termeii.

Anar:9, -matrrcea

de rigiditate ,,exactl,, k(v) se poate exprimarnativ sub formaexprima aproxi-

k(v): t<19;-uzt (12.s0

12.5.7. Aplicoreo metodei elementelor finite in colculullo stobilitote o structurilor olcdtuite din bare

Odati determinate matricele de rigiditate kk)(0) 9i de stabilitatL: sr'oentru fiecare element e al structurii, in sistemul coordonatelor qr'), ' 'iot srabili din contlitiile de compatibilitate ale deplasirilor fiecirrri tl'inent e cu deforinatiile structurii, matricele de transformare p" dirrlr'coordonatele de element qk) si coordonatele de sistem z,

,k\ : F.z. (12.s r)

( 12.5s)

(r2.5( j )

(12.4s)in acest fel, energia potenliale totali a elementului d se Poatc ('x

prima in sistemul coordonatelor globalc z prin termenii urmAtori:

- energia de deform.al,ie elast'icd

Uk): ! lqk)1ryk){0)qk): I zr f0.r1k)(0)p,l 2:!2,gttv, (12.5'.lr

ln careKk' : p,rkk)(O)F, (12.53)

este matricea de rigiclitate a elementului a in sistemul coordonatelor z;

- lucrul mecanic aL for,tei axiale N ,

7.(,j) : 1 u1 ;qr,rp5r")qk) : 1 urrr ["2 pr5r,rg,-lz : l rirrs,nr, (12.r1.r)' ' 2 -" ' ' 2 lv!--

' - l 2

in care cu A;r(0) s-au notat coeficienlii de rigiditate ai barei corespunzi-tori unei forli aiiale ouie (" : o), i*'rli;;;e;il; "*ftllnpi care intro_duc .efectul forlji axiale in . exfiesia

"'o"fiii""1il i a" ;eidit.t" ai barei.rn rlgura rz.y se dd o int€rpretare Iizici a coeficien-1ilor s;;, ca ele_rnente de coreclie in erpresiile -coeficieolifoi

d"- ,igi;it.[", p.io ""r"

,"fine.seama de efectul forlei axiale Ir asripra d;i";d;l;;-1" iucovoiere abarei.

Cu / s-a Dotat deformata barei din inclrcarea 4, : I cind: 9t: O si N : 0. oentru care corespund "r"ti.l"rf;i a" ,i-frjitiiJliOLCs 2 s-a notat defor-mata barei ca uimare a actiuJii fortei axiale lg. Inacest caz, coeficieufii sir au semni{icafia unor'eforturi 'suplimentare pedirecfiile coordonatelor q. necesare pentiu a menline baia ii

"o"figuofi,de echilibru notati cu 7.

a- coeficienlilor de rigiditate ,,eiacfi,, ob-finute prin feivoltarea in sericY'""1".Tti:_.:?."ji:i::-t1-": i1(v) in'rapord

", r"[t.r"r--a-" compresiune v i^

" : r"y;Gste Iactorul de compresiune de refednll al structurii, gi

Sk) : !i 0lsk)p,

!!!11ita prin dezvoltarea..in serie a matricei k(v) din care s-au pastrat,de asemenea, numai primii doi termeni.Evident, in acesC fel, cunoscind rnatricea de rigiditate ,,exacti,, k(v)

:: l^"_tl" _gbli"."..o aproximalie mai.bund. pri" "o*ia1-r"a

in dezvoltarijrn sele tr a attor termeni de ordin superior.

crtc nratricea dc stabilitate a elcmentului a in sistemul coordonatelor glo-lc z;

- lucrul urcanic al lorlelor Q,

,t_li, : ;qt"tpg : zl'pIq. ( r2.s0)Astlcl, r'n, r'git lxrtt'rr!irlir. totaltr. a clcrucntului z itr sistctttttl coordottit-

t f lor 11lobnl , ' z sc cr t lc t t l r ' : tz i pr i t t t xprcsi t

| (,) I trt - Lt'i . Lt,A (12.s7)

l , i , r rcr ; ' , i r r lxr l l t r l i r r l r i l i i r r , l o rr i r t i t t tc r td i t ivr l , cncrgin lxr tct t l i r r l i l to l r t l i rI r tntr ' l l r i i | , r ' r t I i r .grr l r ' i ( l ls l r rn { l ( ' tHi i l t r lx l tct t f in lct l t ' t t t l t t t t t t t ' l t ' t t t t ' t tlp l l t

| ) ' I ra . I l r r ro , / . r i ) t . 'J ' l -

t.r,

/q,=1 z ' / '

-;75( s'.1

l : ls. 12,9.

- ra*-dJ;*gltlttr *,.J"*r[;rr.n':t'Dilo lltln

Page 137: dinamica constructiilor

Colculul motncer de flgrdrtotepentru un etement

k rer

Tronsformoreo rnoiflcet de flor-itote in coordonoteie de sde;

fL qJ("',q"

oepunereo in motrceo de rigt-drtote o Struclur|

[ =t [ ' " '

Trcnstormoreo moirrcii de stobr-lrlote in coordonoie @ sastem

<rel ^T - le jo, EJ' gE

Depunereo in molrrceo de sto-bititol" o strucluri i

! = ts ' " '

Rezolvd probtemode vglofl proprl

lb-v l l=0sr determrn6' ) , - 1",

l i r1. l l , . l0.

s&ll

in care

(12.s l ) )

(12. (n ) 1

(12.( i l )

V:L 7rg, - L yrrr1, - r'g.9

K: DK(,)

'este matricea de rigiditate a structurii 9i

s: Dsk)

este matricea de stabilitate a structurii.B"Uililt"f pentru irtreaga structure se exprimi prin condifia (12 1?)

^v: l ' l l : r { rz* uz57-Q:o

IasJsau

Q:(K-v 'zS)2,

iar criteriul echitilibrului cdtic devire

, ' t : l r* , ! ! l : lK - v ' !Sl :0.

Ecuatia (12.64) reprezintS. ecualia de stabilitate pentru problenta curr-siderath. ir{atricele'K ii S stnt matrice constante ;i prin urmare valoliluronrii v2 ale problemli se pot determina prin iterare matricealb"' 'Pata*etnjl critic al incdrchrii corespunzetor valorii proprii tnirrrrr"vr : v" , va l i

P",:LEIo.

Operatiile rnatriceale prezertate mai sus sint u;or programabilc LrcrLl, ulator pentru rezolvar& automatl a problemei.

ln finira li.lO sc prezintl schema logic)" pentru calculul incircirriitril ice a inei structuri din bare ttil izind metoda elementelor finite.

(12.6',i)

(12.63)

(12,6.1)

(12.65)

13, VOATAREA PIACIIOR PLANE

I I I CONSIDERATII GENERALE

l, l , r , l l r . l ) l i t ' r , . i r l r r i in rr | , r r1t t i tcrr r l i l i t i l r ' lot cot t r ;1 t t t t l . i i r ' : r r ' l t t t t l t l l l t l r '

r r , r , i , , t r r l , r , l i i t t r l ' , r r l , t t ru l r r r ,o l i | i l , i r i t l i r r i t r . i i t ( . r i t i 1t : r t t : rvctrrr t l | I , r i / r r r t l t t r r t t l i

l l t t1. r r l , l i t t t t r l 1r l , l r t t . ' \ t | r .1r ' rLr l i t r t t r r r l i ' r -1xt l t r I t t t I t t t t I I t l r ' t t r r t I r | t t | rk 'vol t l l l t '

x l '1, , t f i { l r l i i : l I ; , 1, , ' , , ' , ' , r r . t t r r t lo l ' . l l I t I t t | , i t j t t I t t i l r rLt , lot , r ' ' r ' r r cf i r t r i l i l i r " rt | l , i r . , r t l , r l , r r , , r l , r r l r t l t t i I r r r ' I r r I r i I i I r t | , . r l 1,1; ' ic i l r ; , l r r r r , l i l r r " | ' I r : ' ' I I i t ' i t t " ' r

r f t ' , , r , , t t l l r ' r r , l , ' r , l r , |1, . t t t 1 ' . r ' t t | ' r t r l , 1r i , t l I r r ' ; r ' , I r I I r r I i I i i I i I I r i t t l l r t t t t l r r t1 ' r

l | l [ r t l t l , l r l l t , | | . ' | i r t r l r , , . I ' r , r , l , r r , r { I r t l . r l r t l , " r l r | | r l r ' , I ' l . r l l l t l l l , l

t { l r , l l r i l r i r i l |1, l r r l l l t ( | I | | i t ! I | | | | | l r r , , i r r , r l l , '

l l r l ' r l '

r r r , r ' t r ' l l5 l l r ' i / r i \ l i l l r ' l

Page 138: dinamica constructiilor

t t t l lt t t p{ ,

Fis. 13.1.

de iorma cclci reprezentate in figura 13.2, fiind necesari cunoaiterca c()rn.I)ortirii postcritice a pl5cilor. Descricrea acestor' {enomelre cstc posil)il,-rllulnai in teoria neliniari..

iu ceie ce :utmeazh. se vor aualiza in teoria linia: i prcbicmelc flarrrbajului plicilor plane in limitele ipotezelor de calcul foroiite in teoria d<incovoi t re a pl lc i lor p lane, gi anumc:

- grosimea lt, a pli,cii este mice in comparafie cu raza de curbrrrirninimir a suprafetei mediane deformate (ipoteza de irlacir sublire) ;

- sc considerS. numai d.eformatiile de incovoiere ale llairului ruediarral plncii, neglijindu-se deformaliile extensionale (ipoteza incrtensibilitiLliiplanuiui rnedian) ;

- depiasS.rile transversale zz sint mici in cornparatie cu grosiurea lia pllcii (ipoteza miciJor deplasiri);

- placa sc considere, inainte gi dupl flambaj, elastici, omogenir ;iizotropl (instabilitate elasticl) ;

- incircarea plicii se rcalizeazd, pdn forte conservative aplicatc l),contur in planul plircii.

13,2. ELEMENTE DE IEORIA INCOVOIERII PIACILOR PLANE DREPTUNGHIUIARE

13.2.1. Ecuofiile constitutive ole pl6cilor plone

Se considerd. placa dreptunghiularl de lungime a, lilirne 6, 9i grL,,rrrre I raportati la un sistem cartezian triortogonal x, y, z, pland coordouiltelor .{, .,r fiind situat in planul median al pllcii (fig. 13.3). Deplasiril,

<_ <_

i 'u4

l r { r I I L

, l i

l ) l l l l ( l ( lot st t l r ra lc l , i n l ( ( l i i l r ( i r I t t t t l ' , r r l iLr | l l ' t . \ , . \ , r ; s( ' r ro l | r rzr i r r r ; r . ,11 tu'.

Interscct ind suptala!a r icdiauiL <k. forrrr t t iL l p l i tc i i l r r r r r I , l r r r r i ' . r r r l , IJa l , lanul . { , ?, nccci) t in( l ' i1- 'otcza nr ic iJor r lcplasi i r i , s l o)r l i r r , .o rrrr l , rplarti. Ungbiul dc rotat:ic l icut de ti irrgcrrta la crrl lr-r (1r ir\:r , ( I,(lie. 13.3)

0, : ! ! . | : r | )

Aualog, pcntru intersecl ia cr l un plan part le l Ia plaurr l , , , r . , s{ r ' t ,

( l : i ' i

Curbura sccfiunii sc consideri pozitivir daci cerltrLll r l(. r 'rrrlrrrr,r ,afld situat in sensul pozitiv al a..iei z. Astfcl, cnrburilc in scr"l iurri l t p rr.rl,. l ,la plannl . 'r, z l i ..,, : sir:t e{ale respcctiv cu

ba' l ' ' t t t. l - : - -ai ()x'

e0" i rr.,/ - ; - - - -

(:t r ),.

Prirr varialia coordonatei J, i l l gcuerlrl, rotirca 0, sc rnodificr' ' ,; i ,.rr.I l i .sura acestci variali i c-stc dati dc torsiunca suprafclci rnt,t l ianc 7_ r'1'rrlrret t

atJ, { : .0 ' bet t7'-- -

, ; : - ; : -

t "ar '( I l i r ; )

. ln teor ia tehnic i i r l , l i rc j lor- l lanc se acce|t iL iPotczclr ' l r l i I ( i lc l r l r ( ,11.f l a l rume:

- Nomraleic la 1r lanr l1 rrrccl iarr ncclcfonuat r inr in ( l r ' ( l )1( , l lor l | r . r l ( ' : i iirrextensibile in timprrl dcforrr[ri i plici i, astlcl i::cit dclorrraJ.i i l t, lrrrrr,vt 'rsale si de lulecarc lrot l i nc'gli jatc: i l rela!i i lc cirrcrutl icc alc yrl i ici i

' - - ' fcnsir tu i lc t raurs\ ' ( rsalc noruralc E" s int r r r ic i in corrr l rLral ic cr t Lt l ,l r t l te cotr t l rour.r t tc rr , r i r r i t l t .s i pot f i ncgl i iatr . in rc la! i i l t . tc t ts iLr t r i r lc [ ' r r r r r r ! i irLL'pl i .c i i .

in plrrs, r t i r r r r i r i t ind c i r dt l i l rual i i le cxtctrs iot ta lc : r er ' ' ' r ' , i onlc sul . r r"r l i lc i rnct l i r r r l s( l ( r l i icr lz i i , dclorma] i i lc e, ; i c" ak t r t t is t t l r r r r l , t ,s i l l r ) l i - r l r ! r l is l l r r l , r r ' r l t 1, l :ut t r l r r t t 'd iat t s i t t l - t 'galc cu

' , , : : / . , ,

: ' / . , ,

r . r r r | , Ior r r r r r I i r r r l l l r t t r , c:r r ,

'; . ' /

\ ' ' . l l r r l , l , r r r r r , r l r r l r ( r ) r , , . l r l l r l I , r r ' , i t t t t t | , | | r | | r | | , | | | , | , . , , l( l r1 ' l l l l )

( r : t : r )

( r : r . r )

( l l l ( i )

( l : t / )

( l : l s)

| , r r r11 rr I i . r l ,

Page 139: dinamica constructiilor

Fis. 13.4.

I,egea gtineralizati a lui Ifooke pentru componenteleE,, ;" gi 1 intr-un mediu continuu tridimensional aie forma

" , : ) O,- u(o, + 4).1.

4: :Lo,_vG,+4)1,E-'

- 20+v)-^t :___,,

unde v este coeficientul lui Poisson.Ca o c.o.nsecinfl a celei de a doua aproximalii menlionati. mai sus.te neglijabil in cornparalie cu 6" si 6- astfef incit din relatiile (13.916, este neglijabil in cornparalie cu

", 9i 6ri astfel'iucit relalii1e (13.9)

. _ Valorile acestor mb.rimi se exprimi in funclie degi i prin relaliile

nt , h2 -Z

^ t - -e, : \ idz; O,: I idz:I':, ' ),-? 'z

*L ' t'2

A,: \a,zaz; M,: l ;aar:J) '

bh-T - i

+|

M,,:M", : \ " ra,

-'+htroducind e-rprcsiile (l3.ll) in relafiile (13.12) pi integrind

tul" : D(a, I vxo); M,: D(y, I vy;) ,M,y: Mt, : D( l f v)1,

in care s-a notat

tensirrni l r . , , , ,

( r : r . r :

ur_- le! i_

1' : -Ylz(1 +v) '

deformaliilor

(13.e)

(13.10)

(,) , ( ) , | ' . r , l r . : r r r , \ r " , .11. , ' ' r ,

se g5.sesc rclrr

(13. r3

( l i l . r4

plicilor in ipo

( r3. rs)

n tn"12(1 - !s)

rezultd rigiditatea cilindricd a plicii.

. Relalii le (13.13) re!rezintd ecualiilc constitutivc aleteza suprafelei medianc inextensibile.

13.2.2. Ecuotiile liniore de echilibru,Ecuolio diferenfiold o incovoierii pldcii

. Valorilc forlclor gi momentelor aplicatc clclrcntulni dc placiL variazir*:.:-.,,

t::q:ll]l!.:lii ctcmentutti, senrniricalia ,,,,to1iitoi-rori,rii., 'in riguo ili.iil l l I lCl l l r l t r toalca :

sau introducind relafiile (13.6, 13.7 9i 13.8)

' \ / '1 | ' l "v l

'

ov :- (7" I - vY-, .

i : , . - ' / . .

(13. | )

l r r I igrr f t r l i l .5 s- | r r r r ( .1)r( .2( . l l l for l ( ' lc 1 i I r r I r r r I r . r r I , . I r . i t r l r . r ior r . , r .or | ,I t l l t lz i tor l r ( ' t t r r i t i l l i i rk. l r r r rg i r r r r , , r r ( . l ior i11( l 11i . r r r r r t r r r r r l r r r r r r i r , l r . r r r , . r r l r r , , l ,lof l I r t ( l ( . p lur . i t rk. r l i r r l , . r i i i r r r r i r l r ' , t ly .

^r,1, nr,,, I ,,,11",.,r, ,n,,.

( ' r , r r r ' i r l . r i r r r l . r ' l r i l i l r r r r l r r r r r i r . l r . r r r r . r r r r r r . , l , l , r r r r r r r r { l ( . I , l r r . i r l r ( , . rnr o,r( . i i l( ' r r r ' r ' r r l . r l i r r l i r ' r r i l l l i t r i r l , . i r r r , r r ' , i r r r r , / ' , r r , ,1 ' l i j i r r r l i i r r i r r i l i i r r r i . i r l r . . r r l i r rn l l l r , I r , r , r r , , r l r l i r r , , , r r r r l i i l , .

",ii , "ii,' r''. ' o, ( ril ril)

Page 140: dinamica constructiilor

Dyaa : P

in care cu Vt: VrV, s-a notat operatorul dublu I,aplaciau.

13,3. ECUAT TE NELTN|ARE DE ECHIUBRU.ECUAIIA SIAB|UTAT ptACttOR prANE

rn proeste nule,

in problemele de fiambaj ale pld.cilor plane, inc6rcarea transversali

n[U +2 a' ' +ty l : tLAr. Ax2Ay, Arr l

este nule, 1 :0, forfele exterioare fiiacl aplicate in planul rnedian alplecii (fig 13.6) astfel _ lncit. in situalia i"ilial6 de echilibru, tensiunile gideformaliile de incovoiere sint nule, in placi existind nurrai o stare dedeformaliile de incovoiere sirt nule, in placi existind nurnai o stare dctensiune pro<Ius[ de eforturile din planul pllcii N", N", N- : N,,,.

Dup6- pierderea stabilit5jii prin flambaij, placa"i;i !a""fi" " f<iim5 deDup6 pierderea stabfitatr pin llambaJ, placa i;i gesette o formi de

echilibru deformati, in care un element al suprafelei mediane se va gi.si

artro +aMy _ O" : O,

0z Ay

ai), I aQt - Aa,- ur : - P'

De unde, elirninind pe 0, ti Q, se gisegte

a'Mx ,6arMav a\ \ r I

Aaz 0fi1 Ar,

se gesette ecuatiaIntroducind

-relafii le (13.13), (13.3), (13.4) 5i (13.5) in ecualia (13.19)

eseste ecuatia diferentiali cu derivate oartiale a incovoir.iii ni;cil.'iplane

enliali cu derivate parfiale a incovoierii pl5.cilor

in echilibru sub acliunea eforturiloi de incovoiere reprezentate in figura13.5 qi a efortudlor extensiorule reprezertate in figura 13.7.

Considerind echilibrul elementului defornat de placi, ecuafiile dcmomente vor fi identice cu cele oblinute iu cazul in-care s-au neglijatdeformaliile elementului (ecuafiile 13.16 gi 13.17), iar din condifia dr.

S,ill,'.',.il.$

flr, ll, t,lltr ll,l,

Nr

(13.17)

(13.18)

(13.1e)

(13.20)

(rs.2o')

proiectu trule pe axa z se obtine ecuatia

(0,*Y u.)u, - a,6t + fa, +fi at)a" - Qd" +

+N,+dt-n, [?+?(4 + U a*l dy - N.P ax - N"[9! +Al0* 02, t ' '0y ' \A ay'"[9y +A ayl a, +' \&y ayr - l

+ woUrdy - *,(Yr+#d,)dy +

+ w,,? dr - N,,[+ a $ ay'| a, : oo, I o, otoy J

de unde rezulti

& +& - y -t' - zx * 9- rv.43 - o.0* Ay 'At " AtA ' 0!,

(13.21)

Elimintnil intre ecualiile (13.16), (13.17) 9i (13.21) forfele transversalcQ-, Q, i finincl seama cle relafiile (13.13) 9i (13.3, 13,4 9i 13.5) rezulti ecualiadiferentiall

o lu# + 2 #; + T,). f '# + zw,,#+ *,**) : o o3.22)

Dv'w * X,?+ 2Nd++ N,?:O,ot. otqy oy'

care reprezint4 ecualia diferenliali liniarl a stabilitltii plicii plane.Fuictia deplaslrilor transversale ro (*, y), solulie a icuiliei diierenlialc

(13.22) trebuie s6 satisfaci, de asemenea, gi condiliile pe contur ale pl6cii.Maryine rezenald. arliculal. Dac5, de exemplu, marginea r : 0 este

rezemati articulat, condiliile de margine au forma

u:o

u,: -o(4*,+ "a*) : o.

DacE este satisflcuti condiJia ra :0 pe margrnea , : 0, aturrciZ3 = 0 si conclitia (10.24) devine

U:0,Ar.

(t3.24')

M arginaa x*0, tncastratil. ln acest caz corrditiilc dc rrrarginc slrrt

u *Oi

U -0,l lr

(13.22',)

(13.23)

(r3.24)

( 13.2s)

(m,20)

Page 141: dinamica constructiilor

M argi,nea x :0, tiberd. (pc marginea liberd se *or;fg**i,

de momeut 9i forli tiietoare null

(M.:0)( f f i+, f f i ) : o;(n.: o) Q. + ry : -, [# + p _ r ffi]: 0.

13.4. Apt"tCAT AtE ECUAI|E| DE 5IAB|L|TAIE

13.4.1. Plqco simplu rezemotd pe conlur

,_ _Se co''sider5. placa clrepturrghiular5 simp-lu Jez,emate pe contur supusata compresiune uniformd. oicoost.ritl .ar,--1t!li6:sT "'

dlrectra t produsS' de o for]i de intensiiaie

n'i":a"T'$J1:fi;fi'?rffiiff1;;i tl"- t, : 0 ei ecualia diferenliari

DVn- + w.A -o-' ar,

lru toate valotTe a, b cea maialcl yaloare proprie este oblinuti xDlntru ?,: I gi deci

t r.^.- [ t:f ol[ *)' + I1)' 1 .l * t t t . / ' taJl '

m-r ,2,3, . . . (13.34)Notlnd

n: (! + 1)' (r3.ss)\ a mbJ

viloorea N,,, se poate pune sublorma nL- rlt

*,-:u+. (18.36)12365

o/ l)Fis. 13.9.

Coeficientul A este o funclie de raportul alb Si de parametrul ,n reptc-tcltlnd uumlryl !.e se'niunde pe direclia lungl' z a pla6ii. Valoarea minirrr?tI coeficientului ft rezulte Dentru

: . : rn (rn:1,2,3, . . . )-b

gaEtfu care h : 4. Yaloarea criticS. a tensiunii o--- : tI1 s.1.

" ," , :* :o#

,,",:ffi" (L)' =s,aa (L)'

cu condifiile pe contur

(r3.27)

(13.28)

(13.2e)

(13.30)

t - Y,:0, Pentru x : o, e

. -U :0, pentru ! :0,b

""""ffitt"T;::*'fl:r (:t

3?}ftTT"""."#31* diferenliala cu coeficieuli

w - C, s inl lLsinIL, pn, n: l , 2, B, . . . ) (r3.31)

ii*j1:,"^":gt ":"ai1a dif,elgnfiare (r3.!s),.9i^t5! coldifiile pe contu (r3.s0).

"'"":?:&;'J" aceasti solulie in eiuagia''(13./e) ei;i';r"i;"dtlia c, t0

,[fff +,(')'(T)'+(Tn - N.(y:"), :o^-

fir.{igura.l3.9 s-au reprezentat valorile coeficientului F in func}ie dcllPortlul olb ol laturilor pllcii, considerindu-se succesiv un numlr intrcglf 6c rcrnlundc pc direclia luugtr a pl[cii (m : l, Z, g, ...\.

19,4.2. Altr condifii dc morgine

_. . Irrnrtl nlrupllt (13.31) t solutit.i ccuolit.i tlif<,rcnfialc (13.22) corcspuurlc!Ulnrl.rltuotlel lrr carc pllca cslrl sirupld rczr.lratd. !rt. crjntur. Pt,rrtrir alte!9lFtlll 4S urrrginc clc pltlcll allnrcrr solulici ccuafitii difcrcrrtlalc a stnblll_l l t l t l r l l t l l dcvkrc rnsl colrpl lcnt l l . Aqn dc cxcrrrplr i , < lncfr rrrnir i r r i lc *-0. a+r Dllcll rlrt nlrrrl u rclcrrrntc, lnr ruurglrrlle.y - 0, b avlud'nlte crrrrdilllgr lc l6nrtrF' r 'cr rrrnl r rr lc[ l r rcdrcare cr l t lc l l vtr corcnDUrrt lc cvlrk.rr t c l rzUltr llll tlrro nrgrllttlle .y -

0, I rlrrL llbcrc. lrr Ar,:crt cnr irllcs m colux]rUt cac brrl coulprltrrrtl dn lAflrrro 0 I clrol rlgldltnti lr tucovuhio lil re

(r3.32)

prin urmare valorile lui try'- oen_

ilX#'i,#"at' (13.2e) are soruiii'ne_

w.: (!f o[[r)' + 11)1,. (13,33)\ r r r t L(aJ tDr l

, ,, lnclrcarce. critlcll corcrpundc vc-loru l)rol)rll uriulrrrc n probtciucl, l,rrr.

(13.37)

(13.38)

(13.38',)

f 10. I3,0,

I

6

rrltI-\-

t{n" at

{ iI,, m=4{i,

Page 142: dinamica constructiilor

lnlocuiegte cu rigiditatea cilindricd D, iar lncircarea criticd va fi egali cuttr-*"#, (rg.sg)

va.loarea. minjml obfinindu-se pentru rrr: l.

dir.':"T:il St:"TA"t"T"nTriare pe marginea t :0, b solulia ecualiei

. :JU) " io!1,

(m: r , 2, S, . . . ) . (13.40)

rr{n"lt":,t3"",i:ri}J,?flIf,_""#;1"'{r"",""1i'i;""rfi'J,?!",l.if fl :tra necunoscutS. f(y), cu coeficienli coistanli, qi,aou-_"-'

f, -, ff)' # * [ff f - "* ff)lr :'

ti

Ecualia caracteristici asociatl ecuafiei diferenfiale (13.41) este

rres8ifr if :fl JJ.ff""i*1u,,'u{i",hl,",iy:",::ugi}Lf #:','"3,i:,r"1iii"';n, > (rz)"n

rezult6. ci ridicinile l, gi ln slnt imaginare. Notlncl

(r3.44)

(13.4s)

(18.46)

Vxrddicinile ecuafiei caracteristice (13.42) se mai pot scrie sub forma

lr : o( j trr : _a i Ia : iF; rr : _ig. (15.47)Cu aceste notalii, solufia ecualiei diferenliale (l3.4l) poate fi scrisi astfel

l(y) : C, ch ay f C,sh uy f C, cos gy + C.ia gy. (1g.48). .Daci se-.consideri., spre exemplu, cazul marginilor y : O, b lncastra_te, din condiliile de maigine

l (Yl : o ut #:0, pentru r :0,6sc obfin urrni.toarele ccuafii algebrice in constantele Cr, Cr,

Cr+Cs:0; c C1 f g Ct_O;C,(ch aD - cos B6) -l- C,(sh aD _

{ ain pD) : tt;

(,',(ntr at l" F rdl pn) J_ C,( ch c, __ 96, pr) -

0.

^'-'lT)" " *[ef -* (T)"]: o 0s.42)

l ; l t ;

-(T)"*TV "4,

" :Vt I

a - I /Y- l lT

(r3.41)

(13.4e)

C. 9i C.

(13.50)

I Solulia nebanall se obline dinconditia ca determinantul sistemuluis6. fie nul, care reprezintd ecualia destabilitate a problemei, de unde prinrezolvare se poate determina inci.r-carea critic6.

ln acest fel, in literatura de spe-cialitate, se dau pentru placa drept-unghiularl divers rezematb pe con-tur, v alorile lncircirii critice pentruciteva cazuri mai simple de incircare. z

Pentru plici cu ilte forme geo-metrice sau cazlari, mai, comolicatede inci.rcare se recomande r;zolve-rile numerice, dintre care in conti-nuare se prezint4. metoda elemente-lor finite 9i metoda fiqiilor finite.

13.5, FIAMEAJUL PTACILOR PIANE.cnrientul ENERGEnc

II t . \

13.5.1. Energio de delormotie elosticd o pldcii

ln condiliile in care placa este incircatS. in planul ei pe corrtttr,fig. 13.10), in starea inifiali planl de echilibru, tensiunile 9i deforrnaJiil,'

de lncovoiere slnt nule,Prin trecerea in configuralia tleformatl cle echilibru lucrul mecalic al

tensiurilor interioare d,L, -pendru un element de placi tle dimensiuni dr,dt cste efectuat numai de momentele aplicate pe conturul elementului prirrvarialia corespunzetoare a curburilor 8X: I - Xo : X, (Xo :0 in starcoplanl de echilibru).

Acceptind ipoteza inextensibilitifii suprafelei med.iane, forfele,,inplan" efectueazl un lucru mecanic nul. Cum energia de defonnalic elasticila t.lcrrrcntului de placl d.U : -d,Li, rez'ith,

(13.s l )

( r3.51')

l l l cnrc vcctorul M cstc, dacl se Jinc seama de rela]ii lc (13.13) cgal cu

,, 1 *lj ;il[,i'l:,,,ul( lc i . l ro l r r t cu l f rnntr iccrr crx. f i r . icnt . ikrr . c l tst ic i n i pLicrr

d,u: _dLt: (M,x,_f M v*2M,r7)d.xdy,cult sc mai poate scrie sub Iormi, tnatricealE

I x'ldU : Mrx dx dy : lM,M,M,,ll rul u ay.

lzx I

N..

f f .- t ihl

l r ( l t t )

v0

I ()

, . I yt ,

,J

( r:r.s2)

tztttr oPr:

( r3,53)

I

0

@

Page 143: dinamica constructiilor

F TVcctorul curburilor 1 este egal cu

, : I -#., _ #, _,#l ( ,3s4)p" ,3ff'*,if;f.dffoittfi'n"""" place se obline integrind expresia (13.5r)

u : r J! au : iJ [ *" dx dy : -), [i r'D r d" a1,. (rs.ss)is) lsl - i,i

,r+t"'i'i,il#:;""0.*'. T.p:E*"- ( 13 3), ( 13'a) . ei (13.5) ale curburiror in

expiimat! p;# ;;1":; (i;.;ii"l-";#: a unui element dilerenlial tle ptaca

au: n[(u o "', i ' l#"*(*u-,,n "2-,,)(rry,)*"tt- "){ffi)"la.ar(13.56)

integrarc pe intrcaga

+2(r - u) / t ' ' . | ' l

a.ou\u ayJ I

sau (13.57)

u : io l \ l ( ' , :*?"i-r1r - "1[4r ' : ! - tsy) ' l ldxdv. (r3.57,r- lsl t\ox' ay' t ' La* ay" la,ayJ 11

care reprezinti expresia energiei cle deformalie a plicii.

13.5.2. lucrul meconic ol forfelor exterioore,,in plon" N,NrN*,

Dezvoltlnd in serie binomiali expresia (13.581 9i plstrind primii tt rrrrcttidin dezvoltare

a,, : [ r +a! + ! l1- t . l '+ l la+j ' l da l i r : , r ryl - 'a" '2 la ' ) 2taxl l

Pentru deplasarea corespunzltoare iegirii pllcii din pozilia planri 'l''cchilibru in cia cleforma ta, (a!l'este neglijabil fafE" de termenu, (:+)' ',

iucit, deforrualia specifici o. are cxpresia

ds, - dr 2u I lAuf

"" : T: a"- 2\al

Analog se g{se;ic

ar | ( au\z

^-a'- ' la l 'l rI

r l3.(n ))

(13.( j r )

( l

(13.( i2)

(13.( i . r )

( r3 (is)

( l l , . ( i ( i )

i t t . r ' r r

[,#" *, #)(',t_) * t?, +, i;i:y)

de deformalie a pldcii se obline prin

- r '9u-0"I OX

w' 9w dx- ox

Accsptind ipoteza inexteusibilitl]ii suprafe]ei mediane a pl5.cii, e, : e"

si deci

a" : _ t -pJ! t" s i a: : _!p.) ,ax z 'a, l ' ay 2\oyl

ln acest fel varialia distanlei pe direcfia axei z dintre laturilc

Si x : a ale pl6cii, daioriti deformaliei de incovoiere este egal6 ctl

^, - 1 (u u- : i i['+1" u" (rr (ir)z J ax 2 ) \ax )

Aualog, varialia distanlei pe direclia axei y dintre laturile 1 : 0 ;i y '' 1l

va [i

^, ' \ 'su, , ' ( l ry l "o,' 2 ' i ) - 2JlAl l

00

[.ucnrl rrtccanic efcctuat dc forfa exterioarir N, clistribuitl pc )ttttgi-rrrlrr I dc lrllLciL prin dcplasarca A, cste egal cu

Prin trecerea plicii in configuralia deformatb de echilibru, forlclccxlcrioare fi-, ff"."i N,r aplicate pe_-contur efectueazi un rucru mccanr(.lrriu_deptasirile iunctei6r i", a" ipri""ii""A;^d, il: ""Ir)lcmentul de placi dzdy se

"depiase "ri' 1tig.1i. t t;, a"Iorrniuou_.,.astfel incit latiri en:dr paraleli l,raxa r ajunge in pozilia A,R, _! 4s,.

.^-- ! . , rg i - . ,1 ds, a.c lc: l<,rr l Lr l r r i drrpi r l r ,_lorr l rarc va l i ( f ig. l l ] , l l )

i ld ' , " ' ( t r ' t i " , l r l ' l ( t : t \ l i )| ; r r / 1, , l l

I

I

I l l { l i l ' r r i I

N.<l .v A,

Attrt lotrg st' l ,giisr';tt '

. ; : . , , , , ' i '^ , r ' . i " , ,/ . . \ r l . \ , ' r \ ' \ , -1J." ' t , , , .

1 ' , ""i r , , ,

l l r l r l , r [ ,1 ' r i ' r | ! ' ' r i l l l t l t t t t l t t i t t tcr ' t t t t i r '

' l ' ' ( l t l r l l r l r ' . l i r r l r ' l r '

r l , t l r r r r l r rd l r r rut t l i r l t r t l r l l t i r l t t t r t l i r r t t t :g l t l t t l r t t r i g lo l r l l r i A, , , Pr 'n l l ' t i l l r l r , t l t l l l l r , ( r t t r ' r l r l l t t l r r t r l l ;4t t t r r l l r l i r t l l in l i l t t l r I r ' I r r t t r r , r I 11

lCf . , t ihu\2, ,. . \ | lY, l ' l n. t r r \ ' .

sau

r r r , , r , l r t ' r : l r ( ; ,J '

Page 144: dinamica constructiilor

r

defonnatb ln imecliata vecinitate a celei inifiale. ln figura 13.12 s-a coo-siilerat un element de p1ac6" dxdy ti s-a reprezentat tleformalia unghiularly' a elementului corespunzltoare rleplasirilor ,,i:r plan" a gi u, de unde:

ln ligura i3.13 s-a reprezentat deformalia unghiulari 1" a elementuluide placl corespunzitoare deplaslrii ra. Din triunghiul O'A"8", corside-rind in ipoteza micilor deformalii egalitatea aproximativi c.s(f - f"j :

: sin y" : y", se poate scrie

A"B" :fu* * (Y*u.)"

-,1tu+ff. i l6+W*.[;- r"JI+ (,s68)sau, ueglijindu-se infinilii mici de ordiu superior

e"a" :la*[t + (et*)']+dr'[r + (YrF]-2.1"a*ay]i. 1rs oa,1Din. triunghiul" dreptunghic B"A'A" (fig. 13.13) aceeagi distdntS. se maiDoate scrle sub lorma

A" n" : lG*, + dy\ + lirb - uY.* a*)" 1i :

. (13.6e): {a,, [t * (Y*Y]+ ar, [r * erfl - z 4* P, a*atl"-

Comparlnd relaliile (13.68') 9i (13.69) se deduce ci,, 0u 0u

'atA ( i3.70)

De{ormafia u.ghiularA totalS a elementului diferen}ial ile placi este:

,0u,0oY:-- t - - !

oy o,(13.67)

,, 0* Av Au AuY:Y-1-T:;+:-- l - ; - '

iJ! Az Az A

Cum suprafala mediantr a plicii se consider5. inextensibili, y:0 ti deci

+ dy, +(Uurq)" -

(13.71)

(13.72)0u 0wY:-T :- : - : - '

ox ot

l l0 lJ 12,

#0,

t l ! , lJ , l :1,

9-,u-.r,OX

Lucrulegal

ln care

t*,:\\ ** P*?ru,,*.

ln acest fel, lucrul mecanic dectuat cle forfele exterioare N,, N''.

(13.7, t)

ln formtr matricealA expresia lucrului mecanic exterior se poate scrir':

L-: !( ( e"Nodrdv," r ! !

oo

mecanic efectuat de forlele N- aplicate pe conturul plicii v:r ll

(1J.7: l )

(13.7s)

(1s.7( '

(13,7!))

la.l0to: l -louLu

N: [1.' T:l g3.771[N', N" I

Energia potenliate totaJe a pHcii I/ se poate, prin urmale, scrie.b ab

\ vrDvd'xdv -+ | toaNodzdY (13.78)| -u- r" :z l l . . 2 J J00 00

13.5.3. Metodo Royleigh-Ritz

Ca 9i in cazul barelor, energia potenfiali totale a plScii (l3.7ii) s,'poate exprima ca o funclie de un num5.r finit de parametri, aplicir:d rrrr'ioda nayleign-nitz. Fuirclia deplaslrilor transversa.le z se aproxirnt'azitprln suma finit[

w(x, y): D f,a;io,(r)Q1y1.. t

tu corc c,r sint paramctri constanfi ncdctcrminafi, iar funclii lc O,(r) r;iO1b) rc dlcg srltisf[ciud, ccl pufin, condilii lc cinematicc dc tttargi tr, rtl,of lc l l r re latur i lc * :0, a, rcsDcct iv v:0, b,' Inlroduclrrd rclatic (13.79i lrr eiprcsia (13'78) a cttcrgit' i lxrttrtlirrh'tottlc I pllcll tl electuilld irttcgrolclc, crrergie potcrrtiolI totulil rt 'zLrllit trto functlc- t r[ trrilcll dc lnrurrrctii i 4.r' trr(xl('lttl dc crtlcul fiind ct'l colcs;,ttrtr t tor i r r r t i l r l l tet t t cot t icrvst lv ct t i r t r t t tnr t l l r I i I t i t dc grudc dc l i l . r t r t , r l ,

Corrdl l ln dl r t l r l l lbrrr u pl lc l i nc cxpr int l l pr l l t r ix lct t t t t l t lc t l t t r r l l i

i t_v- _ 0 ( i "< l ,2, ' . ' ,n l

t . t t U-1,2, , , , , t i l l(13 H0)

Page 145: dinamica constructiilor

iar conditia de echilibru critic se scrie in acest caz sub forma

tsr:l#:l: o (rs.8r)I oaiiaap/ |

13,6. MEIODA EI.EMENTETOR FTNITE

,... Aplicarea procedeului Rayleigh_Rrlz priutr_o tehnicd particdare con_duce ta procedeul numeric de ialcul d;;;

"if*'i-ri"r" de metodaelementelor finite, care va fi prezentati in cal;lui; -nl-lnU";

"t pU"ito,plane in limitele aceloragi ipoteze de calcul.

13.6. 1, Discrctizoreq structurii,Loordonote de element

Placa se partilioneaza intr_un numir finit dc elemente dreptuughiulare,triu_nghiulare sau in formE de. paralelogram. i" }i!"r.-iSlf4 se considerio placi dreptunghiulard alcituiii ..dil tZ ae-e"t" &"ptunlhiutare. Coordo-natele de element se aleg deplasdrite noa"t" 619. t-di;, ?) ---.'--

astfel in-cit pentru un element de placi e cere 12 coorcloaate de elementformeazi vectorul q(.) egal cu

qr.r : {q{a qr,) qj4 qt4}. (r3.83)

tlt :{,,** -';l $: t, 2, s, 4),

le\e) : dt * azx * a1y { a4x. -l a"x! * a.yz + qxs +

* qex,! I d..x!z + q.ny * utf! * aurcls : A(x, y)a.

(13.82)

(13.8.r)

,^__-Fii"th deplasirilor transversale rr,, _Il:ntru elementul de placi consi_

$:ill "l

nff&f-%?-i, "31?Xil1?ll" i;'Jlffi;,iq,;i3*t,t: *Blde exemplu, sub fornra

--'v21\/ / .e

I ls , lJ , l4

calculrncru-se derivatele 4 rt 4 in nodurile elementurui r , r,,ot oy

J:h $:1,2,3,4), vectorul coordonatelor de element Q( ' ) sc l l . , , r l , 'exprima tn funclie de parametrii a, sub forma:

q{r) : f,"c, (t 3.85)

in care matricea C, se erpriml ln fuacfie de coordonatele *,, 1'r, (r: l, 2, 3,4) ale notlurilor elementului cousiderat.

Din relafia (13.85') se poate determina vectorul parametrilor cr irrfunctie <le coordonatele de element q{'), gi anume

.: : C; 'qk),

astfel inclt functia tleplasirilor transversa.le u,(') (13.84) pelltru, se poate exprima ln funclie cle coordonatele cle element qk)

p@ : [(5, ]) C,-Iqt.t.

13.6.2. Energio de deformofie o unui element,Motricec de rigiditote elosticd o elementului de ploci

( l3. t i ( i )

e lerrrcrr t r r I

( l3.r.i7 )

ud): +\ \xIn,x"axar(s1

(l3.rlri)

C,-' qt,t-31a, r,;11.-'qt,t (llt.89)

( l3.r) r )

i r r l i r

( | rr,1,'-r)

tn care

- fittt", t)l- fitNn tti-

-z!yt1x, y11oy 4,

qi D, cste matricea coeficienfilor elastici peutru elementul c (13.53) ;iltrln ttrnrare, energia de deformalie pcntru elemcntul dc Placi'r sc rrrrripor,tc pune sub {oma

rrr,r =- I lqr,ryl{ l{r,; ').n.tr, yln,I(x,y)t:) rd;r:r l .v] rrr"r .(s"

I

' - ' . It1{'r lr Kt't qt't '

l l l r r r , K( ' ) cr i r . r lu l r icc l r lc r ig i r l i l r (c rr c l<,rrr t , r r l r r l r r i r ' dr ' I l rx ' r il . ' l t l l r \x l r lo l l i r ' lo l t1, ogul f l crr

T," -

_ Au(,

_ Arul')Ay'

o A'uv)iz?y.

hr ' r I i ( t : , ' ) , t t r ( r . , r , ) D,f l ( r , . r , ) | : , r r t r r t r , .. r l

Page 146: dinamica constructiilor

13.6.3. Lucrul meconic ol forfelor N,, N, N,r.Motriceo de stobilitote c elementului de ploci

Lucrul rnecanic efectuat de forlele N,, Nr, N", corespunzltoare unuielement de placA se poate calcula cu expresia (13.75), 9i anume

tl9 : ; ll [oo]r Nc) eo d, dr',(s1

ln care

(13.e3)

(13.94)

(13.e5)

(13.e6)

(13.e8)

ry] f9tat, ,yr l""'..1:f: lc;' q(4 : ck) q('),tl ltrtt'''ttl

Ng) Nyllr ' r ' l

. . | :1' f , [r ,r ,N,:1, Nlt,!1r pl

a, : !t ;cr,rr frr,r 6r,1 6,6".(s1

in care cu G{4 s-a notat matricea 2x12 datl de expresia

| ! tta, yltlG' : l": lc.-"

lktnt , ' r t t ]9i

*':fffi ilil1:"iar 1 este parametrul ales al locircirii exterioare, consiclerlnd cL toateforlele exterioare cresc in acceagi proporfie in timp.

In acest fel, lucrul mecanic al -forfelor

N,, lV, N," corespunzitoarcunrri element se mai poate scrie sub forma

Zio : 1 lzgqr,ry[ [[ JCr.,1.gr.rc(.)drdrlqr"r : I 1"1qr,rir5r,rqr,r, (13.oz)'

- " I J ' ' - l '(s')

in care S(,) este matricea de stabilitate a elementului de placi, egalb. cu

13.6.4. Energio potcnfiold totold o pldcii

lincrgia potcnfial[ totall pentru clementul a dc placir se pootc scrir.

l t t : Ut.t - Lg : l. J,rr.t 1,r 1ir,r {{nr -

l- trr [o(,) l?' St.t o(.t .^

2 - ' ' 2

, r. 1qr,r ;r I rr,r p s(,)l rlh) , (r3 lxD

oorlale qr (i: l,2,3, ..., N), uncle N este numdrul total de nodrrriale pltrcii, atunci vectorul coordonatelor ile sistem z are fotma

z: { f t Qz {g " 'iar relalia ile leglturi lntre coordonatelesistem se poate scrie sub forma

qtt) :p.z,

{"} , (13. r(xDde element gi coordonatek. ,1,'

(13.101)

unde matricea p, este o matrice booleani avintl numai elemente I qi 0cu ajutorul cdteia se introtluc condilii1e de deplas6ri pe conturul plicii,in funclie de contliliile de rezemare ale acesteia.

Cu transformarea de coordonate (13.101) matricea de rigiditate a lic-cErui element in sistemul coordonatelor de sistem z va fi

Daci clrept coordonate de sistem (globale) z se aleg tot deplasiLrik'

*9 : OI t<n p"

9i anaiog, matricea de stabilitate a elementului , in coordonatele

sf) : p," st t p,iar energia potentiali (13.99) a elementului de placi se scrie

Vat : L zr Jf!') - re Sj4lz

pnergia potentiali fiind o mirime aditivl, energia potenfiall totalipentru intreaga plac5. se va obline sumlnd energiile poteuliale ale tuturoralementelor de plac5.

v :D1'k): i r l (F r l" ,) - r ,(?sf , t ] , : ! . ,rK - r,slz, (13.10s)

uude

K:IKl4: IJP,rxt ' tP,1

atte matricea de rigiditate elastici a intregii plici 9i

s : ls14 : )l lpl sr,rp,1

lltc uotdcea de stabilitate a intregii pllci.

13.6.5. Aplicorco critcriului echilibrului critic

Corrdltlo dc cchilibru (12.12) sc t.xprirrril tcurrr pclttru phcrl iu lorttraal '*,

1l i . rrs)r. , , o,a)t

l l r l r l tnr l t r l cchl l l l r r r r l r r l cr l t lc (12. 15) r l r .v i r rc

r t l r - l / " ' ' l - rx -) . tsr-0I lt,t lt,t I

(13.102)

globalc

(13.103)

(13.104)

(13.106)

(r3.107)

(13. l0n)

(r ir , l0r l)

Page 147: dinamica constructiilor

care conduce la o probleml de valoripropru, incercarea criticS. corespunzlad

. valorii proprii minime ?r, : )r,,.-De ob-Ir servat c5. matricele K si S fiiud con_stante, pentru tleterminaria valorilor sivectorilor proprii ai problemei

"" po.te

apJica procedeul iterdrii matriceaie, larel ca g1 in cazul problemelor de calcr:Idinamic.

Fs 13 15 13.7. MEIoDA Ftstt|.oR FrNrrE

Pentru determinarea matricei de rigirtitate K gi a matricei de stabili-F!9, S ?. plicii este, Jn mrilte situafii, ftai u"a"t"jo"in

-.pUcarea metod.ei

t lor rtDrte,. atit sub raportul elabordrii programului de calcul, cit si al:ol:lmur,ur de memorle_calculator ri timp-calculator pentru rezolviareaproDlemelor.

,^. ft:gq.." considerd. un ansamblu cle figii, paralele cu ura alin laturi(fig. -13.15). Liniilor de frontieri. dintre fipfi ii'"" *l"i.re un numlr d.e

:::j9::"1.- 9" = Slemgnt 9; cu semnificalia o"o, a"pi"raii g"o-"r"ti""tl"i-t [nclra del)tasdrr]or transversale w, pentr.u o figie de-plac6 e-se alege d.eforma

*", : *Ll,o, o,rafe,tyt, (13.110)

(13.1 | t )

Ou(r) , rP,111,

(13 | t : t )

( r ir, I lr)

unde. .O,(zJ sint funclii polinomiale d.eterminate astfel incit si satisfac5condifiile de continuitire ia liniile de frontieia aioti" Gii]'o""d. se urmE-rettc asigurar.ea _nur"ai a condiliiJor geometrice lcinemalG) pe directia x.arurlcl runct le (Di(#) se pot alege tocmai funcfiile de fornil determinatepT^,.':^

"b:,.^.^_ 9-'fptd .112-.a01 -iu"p-?ragrafut 5.t.I.t,^L';;; lungimea I a:#"itfitffi"ie

cu latimea 6, a figiei considerate' ln acest ca, -ln expre-

, Funcliilc {r(l) .se aleg satisficind condifiile d.e rezemare ale oliciipe rarurne rn drrectla y. sub forma funcliilor formelor proprii de vibralir.ale barei drepte (iab. 4.1).Cu aceste precizdri. exoresia deplasirii tranr.versale u, (l3.ll0) irrforml matriceali, se poate s'crie astfel'

0k): IAF- OF,. . . OF"]

O cste format cu funcfiilc dc forrtril O,(r),

O ,{r1, , ( r ) qrr( : r ) { )n(x) { I \ ( r ) l

nlr l

ill==.'.,undc vectorulo,(r) (12.36)

qi

ttft * l,tti) 'tN) ,tlil ,lti)|,

S{i} 91 W fiind deplasarea gi respectiv rotirea generalizati asociati lirrilinodale ,,1a stlnga" figiei, lat {il 9i gtl) - deplasarea gi respecuv rorrr,.irgeneralizatl asociati liniei nodale ,,la dieapta', figiei e de placi considcrrrlir.

, ..flafrigea .de rigiditate .pentru" o figie e se poate obline cu l,r,.ci,,.ildorrta, in.tunctre de. numdrul z de funclii F; considerate (i : l, 2, . . .. tt)in expresia (l3.ll1) a deplasirii rz(.), istfei

Kg . . . Kl?IKy) ... KnKk)

-

Ki'i

IKyl

Kfi

ln care submatricele KljJ, (4 x 4) sint egale cu

K9 . . . Kl?

(13. l r4)

(13.1 l5)

(13.1 r6)

obl i r rc,

(r3. u7)

(13. l l e)

Bp dxdy,ai t r : l l(s,)

B,:{- fi"tor,t -frwn,t

sfl s[?

sn sfl

e|:1fr1ot,,1I toarl.oyl

Unde cu B;, s-a notat vectorul

-z3ronr l .o.xoy ' " )

Tot astfel matricea de stabilitate pentru.o figie de placl secu precizia doriti, sub forma

sfl sl? ... sl?sk) - . . . sr?

... sr",l

si3 : J I [G,!') pryr.r6,{'t6r6, (13. l ln)

unde s-a nota! cu Gj') vcctorul

. Mntrlcelc dc rigirlitnte K gi dc stabilitatc S ale pldcii sc obfirr sirnplullrltt mrrrblurco cort'rpurrzrltourc n rrrotricclor lik) ti S(,) olt' fi;j i lor tlcpl6e11,

- l l t l l l r l l rd l r r r r r . r | r . l l l lp l lkr l l i l l l r . ?rr tn lx. l r r l l l l , l ; r . r l r r r prrrrrrrr r , l r i iI t rcArtAt l l cr l t l ( . " 1r , . . / f i r r , r i l r l l r r r r l i t r r l lT l l r . r r t r r r l r l ren I rhtrnl , i 1 i rurrr l r r tC,; l l l lht l tc lncl lc[r l po ( 'orr tur p l t lpur l dr r l lu ' r r r l r r . ,

Page 148: dinamica constructiilor

-o

o

a

o

-,P-o

' :6"F'o

) 'O5o

8.,AC

rd('(t

I;1o

l{ .lr: r lli ,l

'o . ' t8:: i l

II

(o

ot -

ot@(oc\l

oo>

O

t\

o)

c.

F-@c,

o oO<)\'

a\r|\

c) ot(tcJ

F.,O)

@(o

\'

(O

Oi

(Oaq) o

c., o,\'

t'.c!

o

c-Oa

ol

ao)o)

o)tOO

\o

N

ja\(o

N

o

R

o a

o

D-o,

F.(o

\'

t-

@

@

t-' o

(ooqt o

.D a\'

\ - i*..];l

\\ \t-qn

oO

o

o)o)o

o)t-- o)

oa

rr)(o

(o.J:o)(O

O

o(O

O

Oc|rf- f-

Oo

o)O()

COo a

\-t

(fo)

o

Qa-(oLO

.n l .o

. . ; -_- l -

o l -- l -: i ,o'-^ I ,o-

(O

F.

qi a

O

o

c.t-.

c)

c)

.:r

t \o CJ F.

t_-.'

o)

.- Lt I I i' , f l1 ln lmln;nlmIr ' i i l * - , .1 - . 1 - l - - - . - i - - . - - . ,

14. CAtCUtUt GEOMETRIC NETINIAR

14.1. INTRODUCERE

ln esenli flambajul consti. in cretterea acceutuati. a deplasitrilrrstructurilor in contliliile unor cregteri mici ale iucS.rcb.rilor exterioarc, ;iapartine prin natura lui mecanicii neliniare a corpului deformabil. TratttciLfenomenului in teoria liniari se face in limitele unor ipoteze simplifica-toare 5i furnizeazL inlormafli parlia1e a1e comportdrii structutilor, pernri-lind de regul6, numai aflarea valorii lnclrcd.rii critice de flambaj.

Comportiri dintre cele mai diverse ale corpului deformabil aparfirrdomeniuliri mecanicii neliniare. Neliniaritatea foate surveni <lin cauzamodului de comportare al matrerialului sub inc6rcare gi poate fi sau nuindependenti tle timp; din cauza deplasirilor mari produse de acliuuiexteiioare care morlifiii configuralia gdometrici a struclurilor gi determinirmodificlri in starea tle solicitare qi deforma]ie a structurii. Neliniaritatcapoate fi modetatb. sau severi; problemele neliniare pot fi statice sauhiaamice. ln aceste condilii este firesc si se coosemoeze aparifia, indeo-sebi ln ultimul deceniu, a numeroase metoile de calcul neliniar, flri insiLca vreuna sE reuEeasci si acopere ln mod satisflcetor toate tipurile dcprobleme neliniare.

ln prezentul capitol se vor trata unele probleme ale calculului geomc-tric neiiniar, prezentlhdu-se metodele de ca1cu1 care gi-au gesit o mai largilrecunoattere in literatura de spedalitate, considerindu-se, daci nu se speci-fici altfel, ci deplasirile sint finite, deformatiile mici, materialul se com-port5. liniar-elastic, deci relaliile tensiune-deformalii sint liniare, iar acliu-nile exterioare sint statice.

Aspectul principal a1 unei probleme geometric neliniare il constituicfaptul ci ecuaiiile de echilibru se scriu pe schema deformate, care nu estccunoscute in prealabil. Riguros, ecualiile de echilibru corespunzitoarccorrfiguraliei delormate a1e unei structuri ar trebui nlilizate in toate problc-luclc. Cu toate acestea, in multe cazuri, modificirile geometrice ale struc-turii nu produc schimbiri sensibile lu starea ei d.e tensiune gi deforrnatic;l problema se poate rezolva cu succes in teoria liniar6, considerindu-sccchilibrul in con{iguralia inilial5 nedeformatl.

lixisti iusi cel pufin doul irnprejurlri in care calculul gcornctricnclirriar cstc necesar, gi anume:

- Aturrci ciud condilii le dc cedare ale structurii nn sint condij.ionrtcdltr.ct dc picrdcrca stabilitnlii priu {lambaj, fi ind ncccsarir culloattcr( ilcorrrlxrrliu'ii post.critict: a accstcizr. Este, sprc excmplu, cazul pli.cilor' plrtn,clrc l,irsttcrrzit rczcLvc tlc rcz,istculii dulrit atingerca irrcirrcirli i dc Ilatrrlrti.

l)s llsurlell(.t, colrllx)rtru(it postcritic[ ttttti cstccutir l)ell1.fu t sc l)ul.(' ir tl)r('(' irr scnsibilitatca uttciI t t t1x ' r l i ,c l i r r r r ikrr i r r i l i t l , ' .

trcccsar sri l ie cttttos-stnlctr l r i la i t r l luert l rL

u nttr t-T lTl I r i 'r lr*r l | I .-1 lr-rt r / IL- l l l j - ,1 lL-J l lL, l | |

r r , l r t l t l r t r r l r r it r t , ' ' ' . I t tl t , lo lvr t tor

r ' r rz l l gr . r rct i r l , r ' i r r r l p i r . t r l r , r r , r t strLl r i l i t i l ! i i l l )nt( : r t t pr i t t l : i f t t rctLt t ' r r ,c i pr i r r r r , l i t tgr . tct t tnt t i pt t t tc l : l i r r r i t i t n l ct t l l tc i , , i r tc iLr t ' i t t t ' - t l t p l i t -

Ixr .nr |0( . r t t r rz r i i r rcr l rcrr |1 ' I t cr i t ic i r l tc l l t t ic r l t t .ct | l t i t t t r t i i l r t i t t, , r rut i i lot n( . l in i r r ' . r l r , r r ' l t i l i l t t u,

l ' r , l l r l r r rc, r 'v l r [ , r t l ln l , r t t l ( r l l r r l l t l l l l ( ' ( 'n lct t l t t l t t ig l t t t t tc l t l t ' t t r ' l i r r in l Pr 'r lc$l l , lu ! l t t tp l t l r rs crr t t rk lutA l t t r , '0t t l l t t t t t t tc r l l t l ( ' t l l l | r l i r t l t t r t tA r l l t t tkr t t r l

Page 149: dinamica constructiilor

J

5r L-I t i' ' I

---- l.

p:2N sin g.Din considerente ueometrice, deformalia specifici. E a unelpoate scrie sub forma-:

$:""flnll': ;nl::lfu ;",,ril'er' 14' 1'. cu I -s-a notat lungimea i'aiute*',t';"".Trxi,gf"i::1"J"'""H*#rTJ1'""-'#1i,.3::il# jiftq#{t-t

detcrnrini aparilia unor eforturi dcintindcre in cele doud. bare. 'lrecereabrusci dintr-o pozilie de echilibru sta-bili in alti pozifie de echilibru prindeplasiri mari poarti utmeTe r\e saltulechiI i-brulu i ([cnomenul .,snap-through").

Trebuie observat oricrrm, ca iac,iN+ > 1, adicii, N > nzElll2 barele vorflamba (pierderea locali a stabilitlliipr in {l ambaj).

ln teoria liniar6, considerindu-sc:echilibrul pc schema nedefonnati segirsc;te

P,. : ' "1 ' I2sin B. : *" ' .?" n+])' I ' I r t

sau Fis.

.1: Cgqr 1.1.3 se arati varialia iuci.rcdrii critice T)errtru st rr, lconsiderati. irr fuuclie de parametrul kll. per,Ltn:, /r/l urai uuc (t(.(.rr tlccdarea stflrcturi i are loc prin Ieuomenul de ,,snap-throrrgh ' (r rrrl,.iu f igura 14.3). Pentru valori mai mari ale raportuJui lr// irreirt.rLr.,.,r , r icste reprezentatS. prin curba indicatd. cu @. pentru comparalit: s rL r,.zeDtat punctat inc5.rcarea critici determinatd in teoria lirriaiiL <.:rr,. r,lirta cum.se poate constata, o bunit aproximafie peltru valori rrrrriraporiu\ri hll.

14.2. CALCULUL GEOMETRIC NEI.INIAR UIILIZINDFTJNCT LE DE SIAB -|TATE

Irr cazul iu care lnci.rcarea exterioari este aplicati st1[ct l i i ir 1rrr r( s(.irtoare nrici, astfel incit dephsiri le corcspulzitoart. f iccirt i lr,r l , . i r rc i r rcarc s i r r t rn ic i , s iugurul cfect cc t rebuie considtrat t ,s l t , r r r r r r l i l i , . :r i l i i<lit ir l i i structuri i datorit[ f i .rrfclor axialc. lrr accasti! sit lrrl i(. 1,,,1rrrr ; r r r r r r i t r r iv . l a l i r rc i i rc i r r i i cxtcr ioarc nratr ict .a dt . r is i ( l i l r r t ( , . r l r r , Ir , r . .1xrr l t , cxl ) r i lu i ! i l l . fuucl ic . r lc : lorJ.c lc axi l lc d in ] r : r l i i , , . r r : r ju l ( ] r r l I ll i i l , ' r r l t . s l r r l r i l i l t l t ck l i r r i tc r^rr c lp. 10, prrrrr l l i r l r r l lO.. l , i r r r r r r l l , r l , . l ,l iz . r t , i r r crr lc l l r r l I i r r i r r r 1xr1 l i r r r I r r111rr I l t . ; L I t . r r I r r I r r i r r , . l i r r i r r r

I r r r r rc lor l . , l , , r l r r l ic i i I i r r i : r r t sc rr l r l ic i l r r i r r<. i1r i r r l sr l r l r lxv. i t i r . i , 1,rrrr ,, . r r ' , . l r . r1, l i r . r l r i l i r r 1 , r r r I r | , . r r ' , , I r . 11 or r r r . l r i r . r rc l i r r i : r r , . r r r r r r l r i , i r , , , i r , l r l r .

l l , r r l ) r r t r ( , r ( : r , l , r '1r ' lor r : i s t , l : t r ' ; i l r ' r r l r r r o rrr t r r r r r i l r vrr l r r r r , . r , r r . , l . r r r j, lo i l r t l i ) r : r r r ,LI , , r . r I r r : , t r I r . r i r I r . r r r , I r ' I r | r r r I r r r l r , r l , , r r l t r r r r t l , . r l r , . r r or r l r r l, r r l ' r . r l , r r r r l ) i . r r r r ' ; t . l ) ' l l l l l t , r

"" l , r r l , . r r r r1r l i , . r l , r i r r , . i1, i r r l , . l r l , r . r l r | | t r ,l ' l , ' r . , t , . t l t t t l , n, r r v l l r r , r t ( i t r , l ( ) r l l l r i l r ) t ; r r i . r l , r r r l r . r r , . t , , r , r r r r r t r r r, , r . r r l , l , . r r r r r r r r , t , r r , . r r l , , , r l r r i l , r r , . , , i r l , . lorrrr , r l i r . l r r r , | | t i r , | | | , I I | . I r1. . ,l t l ' r r1 | , l I t , l r r r r r ror , , | | | | | | / . | | r | , I I i r r i r , , I r t I I t t r r r . , l r r r r l r r r r r , r r l r r , r l . r l ,1,r t l , ' r . r ' t , r l ,

l l , r , , ,1, 111111t, , , r I r , ; r r r l , r r r r , ' | | | | I | | ILI | , . I r I , , , I r r | ,1, , r l , l t ( ,1, , r t r l, l r l , r r l ' t l t , r l l l l t , r r , l r , , r l , r r l r r l l r , r t l i l l , r r , l t r r r , r r ( , , r l , l l , r , , , t , l l t ,, l l t l r , r )

l "t

'fiO| 4.3.

2h

I

a:t- t ' : l - l ' :l t

i cos pn

cos B

A

(14.1)

bare se

(14.2)

(r1 3)

(r4.4)

forrr r ri

( r4.s)

(14.( j )

Notind

p _t tEI .- E- - ; ,

tip*- P

tE

relalia intre deplasarea relativdparametricA in funcfie de B,

6-: $nI

o*- 2. - ;

8/l gi incircarea p* se obline sub

po - cos go tg p,

sin P Il - cos B") .I cos 13 ./

r - r blt)z

nr

Introducind di-feriiele valori ale lui p irr cxprcsiil,.pr,ig*f$ir'r,i;,:$?:?iii"i:tr1;'i*lil :1 ; jitr,r; (ii '1,:: |I1 i::

drlcntc, aDrbcle avjnd hll : Itnr cea dc ; -d l f , ; ; : t ; ; t i l ' ' ; .

o^" l ' r11r ' r t l ' t i r r r ' r P : j ' ' l ( ' r , i r r r 1" t r

. , , . . ,1111, i crr ( r ' ( t1( . r , . : r i r r i r<. i i l i i lx l r . r iorrrc r i r i i r I i I I r I , , r r i r l , " / , r i i r l r , : r . r , . ,1,

Ii,,',',1i,','1.'Jl','ii"1i:,,1;;:':J,';l"l;:1,:','1,i,,,11,',,,,)11 l]iii,1:l(, ,11:';,.,i::;,i;';llil i r t i t ' i r " ) ( ' , r r ' : r r r r r rz,rrrrr , r , , ' r , , r r . ; r r , , r r , r r , ; ; ; , , , ; : ' . ; ; , ' i r , , l i ' ,1, , i , , , r r r , r . r . r r . lr , , l r i t r l , , r l , t r r : . , rorr I r1,rrrrr I I r r r l , I r l l l t l , t l . r , , .1 l r I l t , t l l r r r t r . l r t , r , . ,1,rr , , , r r , , / , t

Fig. 14.1.Fi l . 14.2,

Page 150: dinamica constructiilor

14.2.1. Aplicoreo metodei deplosdrilor./' in colculul de ordinul ol ll-l io ,

.Succesiunea operaliilor de calcul, pentru treapta I de incercare esteurmetoarea :. 1'. Se. efectleaze tn calcul de orclilul I prin care se determini valorileforlelor axiate N!, din barele structurii Si ;;;p;'i;;lactorii de com_presiune

^ v, - l" 4NW.

Zr l"'tu"iti" 6l"f.jctorii de- compresiune v, se calculeaz5 coeficienriide. rigiditate Ajjloe. ngldltate. Ai, pentru fiecar-e bard, apoi coeficienfii /j, cu care se alce_tulette matricea R a structurii, la fel 6a pentru o'robt?-ete da <rrhili_tate (cap. 10).

ca pentru problemele de stabili_(cap. 10).31,9..::t9"-t1ld,:-1e acliunile__exterioare aplicate structurii, se deter-

X,1i:u-1"'l*::l^"*rlc^q qe olain3r rJ i$.-ioll-;,il"ii"ri ri?+"r" pe direc_uuua prlnrr-un catcu.l de ordinul II ($ 10.5)trile gradelor de libertate ale structurii, carrcare reprezintd vectoiul t6rmenilorIiberi ro in ecualia matriceali de eclilibru:

Rz+ro:0.

ElI

. Cu z s-a notat vectorul deplasErilor pe direcliile gradelor de libertateelastice ale structurii.4'. Rezolvind ecuafia matricealn (14.g) se gisesc deplasdrile z cores-punzdtoare unei conJieuratii5,iGJJ*"r.i"il"'-ft ?tH.i,t";i?i:?;;,"Niyl;"H';"1"1',|1"iili""."'-

"f"rr;ril#":l;i""tffirn"ili# realizate pini aici s-a considerat ci valorile

ilf if ,}f:t#ii'Jil*r".i,-,:,.;bi"##{it$di"'iTi:-FtiJ*lXl";:t'""ifl ";*ii1:'Jt"i::1,*1#l"ati;"i"t"''a"'alp"'u1;isuccesive

ffi rff 4""*,::,::i:"""'"""1i#A*'**mli.liil,*1j1":?'f a:;"l':i,lii,"?,n"""1T#""x"T$:":'i,"j,*1"'iff U*:it"xiffilirfi"il;"*"li:ll"r, i",?""""X"#'riiid"d";Sit!i"::, Jf,Hl? *ffi l":l5:lt',"-,ft ;il*::il?

l lu r4,4,tl lu, l { ,1

de tncircare, la fiecare ciclt de iteralie se formeazl' o nou6 matricc tlr', rieiditate care se inverseaze pentru determinarea deplasirilor z cor(sl)ltrt

zi"toare. De aceea, procedeul se poate- aplica,pentru structuri simplehale parter - in p?obleme cu giad de ueliniaritate nu prea ridicat, irrcare ientru o anu-mite treaptb de incS.rcare numlrul necesar de itcraliieste iric. ln continuare, procedeul de calcul se exemplifici pe structurisimple considertndu-se o singuri treaptd cle 1nc6.rcare.

(14.e)

Exemplul 14'1. Se se calculeze diagtama momentelor lncovoietoarcpentru str-uctura diu ligura 14.5. Se dau:

P:100kN; q:20 kN/m; h:8,0l ; r . , l :4,0 t rL, EI t :9 l5kNtt t ' ;

EI z : 2,37 xl08 kN m2 ; EIrlEIr : 2,58'

a) Calcu1u1 de ordinul I. rrrzl: R1s

,- :T + 4E-!: at,p,s * 2,58) :3,99 67.

R," : f :20'4": 26,7 kNm-' 12 12

26,7 8,65

3,08Ert Er,

b) Diagramele lv(o) $i M(0) se dau in figurile 14 6, a 9i b'ci Calcfuul de ordinul al doilea

Nlo) : 191,6 kN; Nlo) :0,8 kN :: 0.

v2:0;

Din tabelul 10.3 se c(vr) :2,5808' s(v') : 1,2136

,,,:T "F,) ++: E/,l1Tg + 2,58) : 2;s075 EI,

o*: t r :T#: 26,7 kNm

"': s !ff: a'oa'

r, , , 26,7 9,202.-- :

^ , , , 2,9015"D1' 1:I l

l)ingrnrucle r't[(t) r;i i!{r)obtlrrutc pritttr-ntt colcul dcrrrdirrrrl nl IIleR s-Ittl trasotlrr ffgrrrn 14,7, lt t1i c.

Sc olrlct vll 1'11 1t.l(r) 3 l 'I(i ')p l l r t l t t t t t t t tut t ' l )ct t l t l t l t ' ( ' t t l r lot ' t t tn l t lc t t r t [ ( ln l t t t '11l( ' r r l t ' ( ' t r lgt l l l r r , l rot te opt l nk ' | , | 10, 1,1,6,

Page 151: dinamica constructiilor

Fig, 14.-1.

Exemplul 14,2. Si se trasezc diagramele M, T si N pentru structoradru ligura 14.8 printr-un calcul de orfunul al ll lea.'

^ Se dau: P : 500 kN; 11 : 10 kN; EI : l8x8x 103 kN rn, , i : .

:8,0 m; l :4,0 m.a) Printr-ul calcul de ordinul I se gisesc diagramele tl,I(o) si N(0) rc-

prezenta,te in {igurile 14.8, D gi r.b) Calculul de ordinul al doilea:

N1 : 491 kN; Nr : 5 kN; N" : 491 kN.

\ :Bv- le l - :1,s0 vr :o; ":s/ f f i : r ,so_ finindrr-se seama de proprietilile de sirnetrie alc structurii sc consi-dere, la fel ca.;i in cazul problemelor de stabilitate, deplaslrile sime-trice z, qi antisimetrice ?, 9i lz, (fig. 14.9 a, b gi c). Coelicienlii /i, sint

urmetorii :

^ t Ft ' 3El l : 281 ( : 3,769G + 0,5) - l ,er2- l / /r , , , :z lE c(vr l i ; , \6 ,

^tr : t , , ' i r l l _ . )Er l !g,7696 + l ,5 l : g,sno t , ; t, , , _ z ln c(vr/ + _r I 18 )

r . , - 2 tz( ' , ) ' : ?sc68+ : 0 '0388 El

-Er ,.,,_r -r stv.) | : - 29! s.a2g2: -0,182 / /fzt - f t t : * t

* Lc(vl , r | ' \ ' ! / r 8! '

l tz : lz t : / t r : / r r : 0

1i16 : Rro : Q; R"o : 1 '

EcualiiJc de echilibru se scriu

rrrz, : 0

/2222+rz$s:O

\izz + /s?4: I

l)iu prima ecuatie rezulta z1 :0'

inlocuind coeficienlii /ri, celelalte doui ecualii sint:

3,9422 - 0'1822': Q

-0,1822,*0,03882": l '

tk, rtucle, r'<'zolvind sistemul:| 525 33

' L ' r :

' t : l t '

( .rr i rccslc vir lOIi Sc calcrr l t lz- i"r l t tol t lctt t<' lc i trcovoict lr i rrc, lortcl t l i i i t '

lorrrr ' 1 i lor l t l t ' axial t , r tpr t 'zcr t t l tc in I i l l r t r . rL l4 l0 '

$ i i r r :Lccsl . t i rzNt( ' ) : ' :Nlr) \ i l r l i l l l l r l r r t l t t . .c ' r t l ( l i l i i l 'd t ' t r ' l r i l i l t t ' r r r r i r r lr , , r l i : . l r i rct t l , ' t t t ' t t t l t i l i i t t r l l l ( ( ( i iL l ,L r" f i l " r t l t r ' t l ' t t l t lot 1r ' t t l t t t l t t i tPl iL <l t i t tc i t l

r i r I t . t r rs i r l r ' t l r l l i .

I

IIJ

tl,1,,1

i l l

,l

Page 152: dinamica constructiilor

Pentru a se aprecia efectele tle ordinul al II-1ea se consid.erb raportulalintre -1141) gi Mtot iu _secfiunile cele mai solicitate ale structurii. A9i spreexemplu, in secliunea de incastrare a stilpilor 11 : IVttt) lll[lol : 2.6112.1i :: 1,21, ceea ce corespunde unei nelinialitdli 'geometrice moderate.'

14.2.2. Formuloreo motricedli o metodei deplosdrilorin colculul de ordinul ol doileo

Procedeul matriceal de calcul prezentat in cap. l0 pentru rezolvareaproblemelor de {lambaj ale structurilor din bare ioate ii utilizat in cal-cttlul de or<linul a1 Il-lea considerindu-se trepte succesive de aplicare alelncircirii exterioare, urmind succesiunea opelaliilor de ca1cul lrezentatein paragraful precedent.

. .. O econorr"ie d3 tiqp de calculator irt rezoTvarea problemelor se poateobfine considerind c5. in cursul operaliilor cle iterare matricea K r6mineneschimbati. pentru o treaptd. <le incbrcare, pentru fiecare iteralie modifi-cindu-se numai matricea Ko care depinde de- deplasirile laterale- ale struc-turii. Iteralia continud. pinb cind peitru doui Gralii succesive deplasirilestructurii sint practic egale. ln ac6ast6 situalie se d.etermin5. forfel'e axialedin bare, se ca.lculeaz5. corespunzitor acestor iorle matricea K ;i-.se repetloperaliile pentru o noue treapte de incbrcare.

14.2.3. Aplicorco metodei Crossin colculul de ordinul ol ll-leo

. ln limitele aceloraqi ipoteze consid.erate in aplicarea metoclei deplasiri-lor se poate realiza un calcul de ordinul a1 Il-lea pe scherna metodei Cross.

Pentru o treapti de incS.rcare succesiunea operaliilor este urmetoarea:1" Se determinb. printr-un calcul de ordinul I eforturile axiale N!o)

din barele structurii gi se calculeazi factorii de compresiune \:l.JNt:\EI.pentru fiecare bard comprimatl, considerindu-se eforturile Nrot cbuitintipe toate durata procesului de iterafie.

2o Se calculeazl coeficientii cte rigiditate hfr), p'ant gi ,tff linindu-seseama de forlele axiale din bare (cap. 10).

*!i l3' Se calculeazS. coeficienlii de dis-

tribulie ai barelor (fig. 14.11)

* i i i r tv i j l

" >kt : l t >. t ' l : ' x / i , . (v i j ) . t : i i r . . , ( , , r , 'ih ik

(14.10)irl ctr( s ir l1{)tat

' ; t i i Io" i t :

- ,I t t l l

; i i rx. l ic i t ' r r l i i r l r . I r r r rnrrr i r i r .

r / ' j i / ) - ' ( " , ' t' , , , , \1,

' , i " , ,1 (14.1 ' l )

uril)

l i r14l l | /11 1/1 l : r ,

4" Se calculeazi momentele de lncastrare pqrf6gf[ din incirrr.ir r,.lexterioare pe forma de bazd a structurii, considerindu-se efectele lorlr.loraxiale de compresiune din bare (cap. 10).

5' Se efectueazi o echilibrare Cioss etapa I, ileterminindu-se morr(.utele .4fi,9) 1a caPetele barelor.

6' Se consideri succesiv deplasdrile unitare a1e formei de bazit 1r,'directiile cite unui singur grad de libertat€ de deplasare liniarh. z structttrii,calculindu-se momentele de incastrare perfecti de la capetele barelor. S,aplicd pe rind cite o echilibrare Cross obfinindu-se succesiv morncttt.l,

W) b:1,2, ..., s), s fiind egal cu numerul graclelor de libertatc rl,.de;la;;re liniard ale structurii.-

7' Se exprimd. condilia de lucru mecanic virtual nul a1 forfelor t'.xtcrioare 9i momentelor de nocl - aplicintl principittl suprapunerii efectckrt'si considerinti succesiv deplasirile pe direcfiile gadelor de libertate cirrc-inaticd ale structurii:

Dr,:D-(lwli '+lzli ' j)tii)

f\\ | l'tlhl | ^tltl\

A{r]1 }, | \t (') rlL1J - \tut ij -T !/r ji I uij J trt -r oL.xt - \'

tii)nll) r \-

( r :1,2, . . . , s)

ln care I se extind.e asupra tuturor balelol structurii.

( r4.13)

tii)

De observat ci, deoarece deplasirile 0$l se dau din configuralia dcfor-mat5. de echilibru, forlele exterioare Pr aplicate inilial dupi direcfiik:barelor, vor efectua un lucru mecanic virtual egal cu (fig. 14.12):

8ZP. : PiA, : Pc ( (14.14)

ln acest fe1, spre deosebire de calculul de ortlinul I, expresia 31-liia lucrului mecanic virtual al forlelor exterioare va conline paranctriinecunoscuri xr.

8' Rezolvindu-se sistemul de ecualii (14.13) se determini paranrctriiXr. Momentele lncovoietoare la capetele barelor se vor obline suprapttuitttlek't tele

Mtj : Ml j+LMlf)xp

;i irr acr:lairi fcl sc dctcrminb celelalte cforturi

(14.1s)

\xoo!l)t,,0$).p

sccliortlc 7',y qi ly'r;.VrLlori lc N,1 obfinute astfcl se coruparL cu

ct.k, trrrrsirlcrrtc irri l i t l , N$), gi dach difercnlc1crrrr s i l r t in l i r r r i tc lc t l t : l l r roxiruarc dor i tc, sc rc-p(.1.r iutrqg cic lu l r lc opcrul i i c t r noi l r .v iL lor i N,y,plr t i l l r t r r t i t t11 t t . r r 1,r ' r 'c i r ic i r lc crLlcrr l c l , r i t<. ,

{ )1r ' t r r l i i l r . r l t . crLl t ' r t l $c l .1x. t I i t r r rct . l ry i r r ror l

lx | | t r ' | | l r ( r l l , l . t t t t t t t i r Io i t tc tk cr t l tu l gr i t t i r l r t vu-lor t t ,

' t r lc r .x l r l tnr l r t r r . t ?r tc i l r ' r ' i1r i i r .xtr . t , i r t r t tc sr t t r

l r l t r i r l r t r r l i t r l . l t l r i t l ' i ln i r i i l t i l i t t . r r r r r , r i l r t t r tz i l 'lor l , l r i r , t r l r . t i i r l r r l r i l i l r l l i i pr i r r r l l l i r t r r r ruc cotr-l l t t r t i r , r r totrrr , r l ln (ur, pr in ' ( , t l l l r lc l l r , tu:r . r l r -v l l r r l lv l tqr . t r l ,

Page 153: dinamica constructiilor

Echilibrarea Cross a acestor momente se face ln ufmetorul tab('l

Fig. I4.13.

_ De observat c6 in compara-fre cu calculul de orclinul fprinconsiderarea efecteior fort'eluraxiale din bare in determinarcar,rgtditetil.or barelor, coeficienliide distribufie qi de transmisieau valori care conduc la micgo_rarea convergenlei procesului'delf,erat1e_

Exemplul I4.3. Sd se calcu-leze momentele incovoietoare

Datele probremei slnt icrentice "" "",. 1:l;""XtJl$ffitdinrigura14

13.

jenty c1l9u.lul coeficienlilor. de rlistribulie qi transmisie se atcetuie;teurmitorul tabell(I. : I; lo: k)

iJ a|.J;i) s(lri) r(rd)+s(vri) d;io(t;1)

7 -2 1,0 1,30 3,7696 2,0596 5,8292 3,7696 0,54

2-38,06,02,04,00,02,0

0,50

3-4 r,30 3,76S6 2,0596 5,4292 3,7696 0.54 Condilia cle lucru mecaaic virtual nu1 (14.13) se scrie

Dr(,) : - f t raso+ r30oy 1 ;2]a,+ r0+2 x 50f x r : 0Coeficienlii de distribulie se calculeazi cu expresia (14.10)

dsz : dzs:.,^"*= : o,OA

dn - du:' '* jT* : o,az

Monentele de lncastrare perfecti diu d.eplasarea unitarabazl (fig. 14.19, ,) sint

&Ul :- $1t1,1)- ffl'l - sllf : # fc(v) + s(v)l =

;,;U x S,tt2f)z -, liil kN nr,

sau

de unde

x,: + =" o,o17s572.5

Voloril(. rrrornentclor lncovoietoare la capetcle barelor s-au irrscris itrtt l t irr:n l iuic a tabclului; i clc coincid practic cu cele gE site ln cxerrplul l4.2.

I4,3, API"ICAREA METODEI ETEMENTEI.OR FINITEIN CALCUI,UT OEOMETR1C NEI.INIAR AT SIRUCIURILOI DIN BARE

14,. | .1. Nol iunl In lroduct l r r

l l l l l l rnr ' r r l l I r ' r I I r r Iorr I , , l r r r , l l ' l ro l i r ' t ' t lo rrrnlc lnprt t ' i1 l1, , f i t cnlct t l t t l

-697 ,'Xa + 125X1+ 10 : 0,

Nodul 1 2 3

Bara 2- l 3-2 3-4

0,32 0,68 0,68 o,32

0,54 0,50 0,50 0,54

*t, +17 r1 + 1711 +17t l +17t1

- 297,0 - 550,0 -1161,0 - 580,5

- 345,0 - 770,0 - 360,5 * 195,0

+ 66,5 123,0 + 262,0 + 131,0

- 44,5 - 89,0 - 42,0

+ 7,7 + 30,3 r 14t

- 10,3 - 2,6

+ 0,9 + 1,7 + 3,5 + 1,8

- 0,6 - 0,6 - 0,3

M#) , + 1490 + 1300 -1300 -1300 +1300 + 1490

x,ul.ll + 28,2 + 22,8 + 22,4

a forrnei dc

, r r t l r l t t t r ' l l lh ' t r r l t t t ; r r t r t t t+. l r r r ln r . lutrr t t l r , l r r t l i t t i l r , u l t r l r r r i r r l { , gr , lFrr t lrh *tnllrl l rlrueturllot, ratlsl lnott p[ terolvltlla prrrblcurehrr uellrrlnro

Page 154: dinamica constructiilor

slnt formulate ln aceast6 conceplie in majoritatea lucrlrilor mai recenteconsacrate acestui subiect.

- ..,,, ̂ }"^r:j:g:: probtemelor neliniare, utilizlnd metoda elementelor finite,aprlca obltnurt unul dintre urmitoarele tipuri de procedee dc calcul:

- procedee incrementale sau pas cu- oa..- procedee iterative, avind. de reguli-la Lazi metoda Newton_Raph-

son de rezolvare a ecuafiilor neliniare;

,- '-.-,!lo":dg: mixte, prin care se combini cele dou6 procedee, adic5,

i3 :t-1-9it" treapta de incercare rezultatele se corecteaza apfidind un piocedeultefatlv-

. , lt ":1" ce urmeazh se prezintb pe scurt elementele de bazh ale acestorren,1[c1 de catcut. -Pentru simplificare se consideri ecualia matriceal6 deecnulDtu pentru un slngur elemett

ff Hnft "e'""ff$*x"'i1T;lr,,1ffj.:"?ff #**:":""o"1"*:T;"'""',kq:Q,

k: k(q)

0:Q,+i^Q,,cdreia ii corespunde deplasarea totale q egali. cu

q: qo + i^q, .Deoarece se porneste in calcul cousiderind structura in starea inifiall

119"{"t,u1ld, o}i$yui!,.Q0 pi qo sini nuli, "*.ti"irttnjfti'iorcspunzirdu-imatrreca lirriarS. elastici. k^-

. l)crrtru a se calcula incrcrncntclc dcplaslrii Aq, sc utilizcazrl, l)crrtllrtrtl lrl 'ta dc inctrrcarc considcrattr, matriico dc ,iglititnt..' it;-i ' ,,,,,,it,,,,i,I,rlt'l.r'r.irrrtir i' t'c^rtr ,r,'c"tlurtil .1.- i ,a.'i.; ";'?;ili:i'1,,;it

' .,,,,,,iii,, ,iilt r : l r i l i l r r r r r i t ' scr i r , str i r l i r i r r rn

(14.16)

(r4.17)

(14.18)

(14.1e)

14.3.1.1. Procedee incrementale. ln principal, in aceste procedee, inc6rca_rea totali Q se lmparte in lncd.rciri p.?rglit".*l& l[,, oUiq""li "gur" "a

valoare,fdrd ca aceasti iondilie si Iie oougarorre.

_, _Pe1tlu o treapte de. incd.rcare, ecualiile de echilibru se consideri liniare.rrecarlll lncrement al incercerii fi corespunde o matrice k de rigiditatell":t^t"ll.9{"t_tle

pentru fiecare treapti'cte incercare. -Sotu1fit"

""?.giif"i::-:-Tl1p^rl p-entru tlecare treaptb- de incdrcare sint incrementele Ari al"

l^"1^1X.11:l-19*spunzatoare treptei de incErcare considerate. Deplas'area"9.1u :"- oblme sumind incremeutele deplasd.rilor obtrinute succesiv'in d.ife_rrrere^ sran d.e tncarcare pini. Ia atingerca incdrcb.rii -totale.

. .In prineipiu, procedeele incrementale aproximeazd. problema neliniaripriutr-o serie de probleme linrare.It:circ.area totale Q se divide in N mici incremente A e. (; : 1,2,. . .,N)considerind o incd.rcare iniliali eo astfel incit

f r1 1 Ar1, - A(.1/ (d * . t ,2, , , . , N), (14,!0)

ln care

k;-r : k;- , (Q'- , ) . (14.21\

Procedeul incremental este schema-tic prezentat in figura 14.141

ln expdmarea matricelor de rigiili-tate kj se ttiTizeazE modulul cle elastici-tate tangent corespunzdtor nivelulti deincircare considerat, motiv pentru carematricea de rigiclitate k, din ecualia(14.20) se mai numegte gi matrice de

Q,-r Q, q

Fis, 14,14.rigiditate tangentE.

Metoda incrementali este analoagl cu metoda numericl a lti litrlcrpentru integrarea sistemelor de ecualii diferenfiale neliniare.

Acuratelea rezultatelor poate fi imbunlttrliti ptir micgoarea incrcnr.rr-telor incercerii exterioare, dar cum pentru fiecare treapti de incircare st.calculeazE. o matrice de rigiditate a structurii, aceasta se obline cu prcj:rrlunui consum suplimentar de timp calculator.

14,3.1.2. Proeedee iterativc. ln procedeele iterative se considerl irr.circarea tota16 aplicatb structurii, dir in etape succesive de calcul, lra-tricea de dgiditate a structurii se exprimS. aproximativ, astfel incit, irretapele intermediare ale iteraJiei condiliile de echilibru nu sint in nrotlnecesar satisfdcute.

$i in acest caz, obignuit, se considerS. in starea iniliald de echilibrLrstructura nede{ormati (qo ti 0o nuli) gi se pornette ln procesul de ite:-aliccu rnatricea de rigiditate liniarl ko.

Se calculeazS. din ecualia cle echilibru

dcplasirile totale ql corespunzb.toare matricei de rigiditate ko. Corespunzir-tor deplaslrilor Qr : ko' Q se calculeazi matricea de rigiditate k, (q,)qi forlele Q,r nccesare pentru a se mcnline echilibrul structlrii in configir-rafia deformat5. qt.

Forlelc necchilibrate Q - Q,1 se aplic[ structurii, ecuatia de cchilibrrrcorcspuuzhtoare fiind

koQr:Q (t4.22)

k'Aq,:Q-g"t (14.23)

dc tttttlc sc <l<'tcnninir crcirtcrca Aq, a dcplastrtilor corcsprlnzltoarc forlclort t t ' r .chi l i l r l t t r . Q - 0, , .

I)t pltsitrr.;r 1ottli i <lrr1rh rccastd, cchilibrart' va fi

rh , { r -1. A ( l ! (t.N.241

; l r r r t l l l r l r rzfr lor r r r , r ,s l r . i vrr lot l sc cnlctr lctz l t r r rnt t iccrL t lc l lg i r l i t rL l t . l t r , r ' r ' -l r r l l t t r l r . l r ' , r1, , r r r { i i l r . r l r . r r r r r i rur .' l r t gcrr ' . i , r l . opr.r ' r r l l l l r . rh. ur l t .u l vor I ' l cxpr i r r r r r l r . l r i r r cr : r rn l l i lc

k,At l r r r -Q l l r ,

l la - hr tli

( r4,25)(1,1,2(t)

soLulo rrcreflfitlr rlr I

=!, ' ,1u,

Page 155: dinamica constructiilor

l$gl g & .9:!rFis. 14.15. Fig. 14.16.

q,:qi- l +Aq,:DAq,,

reprezentarea graficd. a acestor operalii fiind dati in figura 14.15.In procedeul iterativ prezentat mai sus, matricea k, este matricea de

rigiditate tangenti corespunzetoare ciclului i iterativ preccdent, adic5. ma-tricea corespuuzS.toare vectorilor Q;-r gi Qr-t.

Procedeul descris este analog cu metoda Newton-Raphson pentrtlrezolvarea sistemelor de ecuatil neliniare.

Deoarece, determinarea pentru fiecare ciclu a1 iterafiei, a rnatricei dcrigiclitate k, necesiti un efort de calcul costisitor, procedeul de calculprezentat mai sus se poate modifica utilizind pentru toate ciclurile iteralicimatricea de rigiditate liniard ko, fiind insl uecesar un numir sporit cle itc-ralii (fig. 14.16). Acest procedeu este cunoscut sub numele de metoda Neu-ton-Raphson modificatl.

14.3.1.3. Procedec mixtc. Procedeele mixte folosesc o combinatie a celordou5. procedee, incremental 9i iterativ. ln acest caz inclrcarea este apli-cati incremental gi pentru fiecare treapt5. de incS.rcare se aplicl o coreclita rezultatului printr-un ciclu de iteralii. Schematic operaliile de calcul

sint prezentate in figura 14.17.

9.,.r

l r ! 14 l / ,

' \

f l l, l l, lt,

de calculator necesar pentru rezolvarea proble-melor. De asemenea, este greu de apreciat apri-ori mS.rimea treptelor de incS.rcare pentru a seobline o aproximare satisficltoare a rezultatelorgi acol o unde nu existi. date experimeutale estediJicil de aprcciat acuratetea rezultatelor.

l{etoda iterativi este mai simplu de pro-grarnat gi neccsitd un consum mai redus de timppentru rezolvare decit procedeul incremental.Principalul dezavantaj al metodei iterative i1constituie faptul ci nu existd. certitudinea ci.procesul este convergent spre solutia ceutate.

lv

( l

( t4.27)

A;a spre exerrplu, p^entru o structuri a c6rei curbd. caracteristicir e rleste ca iD figura 14.18, considerindu-se incdrcarea Q, procesul itcrativ ,.sl,iconvergent citre punctul B al curbei, in timp ce pierderea stabilitiLlii prildeforrnare continul a structurii corespunzb.toare ounctului limitir ..1 ;rr,loc pentru o incircare Q,, < Qu.

ln plus, procedeul iterativ nu este aplicabil, iu general, pentru plolrtr,mele neconservative. De asemenea, considerlndu-se actiunea incircirrii lotale, prin aplicarea metodelor iterative nu se oblin nici un fel de iufolrrrrrliiprivind comportarea structurii pentru valori mai mici ale incdrcirii.

- Procedeul mixt urmiregte sl combine avantajele celor doul proct.rlr,,,

gi si minimizeze dezavantajele 1or, justificind astfel efortul de calcirl srr1,li.mentar cerut prin aplicarea acestui procedeu.

14.3.2. Formuloreo colculului geometric nelinior

14.3.2.1. Transformlri de eoordonate, O bar5, element constitutiv rrlunci structuri plane, este raportati la trei sisteme de coordonate: sistcrrrrrlcoordonatelor de bazE ale elementului corespunzEtor deformaliilor 0 =- I0r,0r, i)] 9i forlelor S: {0r, Q", Po} 6ig. 14. 19, a), sistemul coordonatelor' rl.t,lerrrent^(locale) corespunzi.tor deplaslrii nodale q : {q\q2qaq4q6q6} qi IorJt.lornodalc.Q : {Q"Q*..., 9.} p" direc}ia coordonatelor de elemeiii-(fig. l4. lu,/,) qi sistenrrl coordonatelor de sistcrn (globale) corespunzhtor diplasirril,rri, Di Iorrelor |r pe direclii le coordonatclo-r glob;le (fig: 14. l9).

Fi9. 14. l8

. ,ef i $-rt ,

Analiziudu-se comparativ cele trei pro-cedee rezultE cA avantajul principal a1 pro-cedeului incremental constl atit in qenr,-ralitatea sa, cit gi in laptul <;r olcri o drscriere complctir a cornportirrii structuriisub actiunca inciLrcirrilor .xtcriortrc. l ')lpoatc I i rqr l icat pcrt t r t t or i r . r ' l , r ' ( ,1) lculr i r li in iar i 1 i pcrr t ru- I iccnre l r t r r1 i l , ' r de i r rc i r r 'curc sc obf i t r i t r lorurt f i i t t t . i l ' l r t iv i t t tu l r ' l r rr .orrr port t r t i t s t r t tct t t l i i ,

l r r r rc l l t r r l i l : i t t t l r , r t r , lor l r t i t t l t l t r t r . t t I r r I i1cntc rk ' regrrhl urr l t 'oxt l r i i l urr r r . l r r l I t l tu l r l l

Page 156: dinamica constructiilor

Relaliile de traasformare intre aceste sisteme cle coordonate sint:- de Ia sistemul coordonatelor cle bazi la sistemul coorclonatelor locale.

9i- de la sistemul coorclouatelor globale la sistemul cooralonatelor locale.ln cazul <leplasirilor finite relaliile de transformare dintre coordouatele

de baz6 ti coord.onatele locale slnt neliniare gi nu se pot exprima in formimatriceali,

0r:gr* arctgJ! : - ! l - ,,+\%_Q

0z: {z i arctg;l!r . | \h-Qa)

91

Pentru deplasiri mici relaliile de trans{ormare dintre cele doui. sistemede eoordonate devin liniare

' 0r: q.--l q+'. I

0z:4a+r ' :0", (14.29)

g : Is_ gs,

sau, in formi matriceali

(14.29')

ti qr notatiile simbolice matriceale

0:Aq. (r4.29")Transformarea dintre coordonatele elobale si cele locale este liniari

gi ln cazul deplasirilor finite gi se expriml printrlo relafie liniard

gi diferenliind relaliile (14.28) in raport cu a gi z se obfil

A0, : t rq, +-: *Ou-JJLA,w0+8F ( '+ 8P

A0r: A{, + ---@ 4 u- . - l l l -Lu(, + 8F (' -t- 3Fsi

AD: / -"4 * q -3- 6qe

t+8 ,+6

astfel incit, in form5 matriceall relaliile (14.32) se mai pot scric(14.28)

(14.30)

w

( r+8x_ t+u

(r+ 8Fl+u tl?l

[ r o[^0,1 |l^o, l : o It^8 | i

00

0+8xI +*l+8

(l + 8)3

I '1- D

sau cu notafiile simbolice matriceale

A0: A .Aq, (14.rln care matricea de trans{ormare A este exprimatl in functie de Darerrrtu,wgi8.

_ Sistemului de deplaslri 4: {q, q, z zz} ii corespunde sistemul de frQ: {Q, Q" R S} in care

R:?o-0u Di S:Qt-Qs ( r4

unde matricea d.e transformare B este independenti. de coordonatele elo-DAte z-

Relafiile neliniare de transformate (14.28) se pot exprima ln fornrhmatriceal6 consialedntl valorile incrementile ali defoimafiit?rr 0, adicd A0,,l0rtiA8, datoriti varialiil or Agr, Lqr, ,.. ., Lq" ale deplas[riloi uodalc ni"bare1.

Notind

14.3.2.2. Matricea de rigiditate seeanti $i tangetrtl a unei bare lu rirtorooordonatelor de bazi. Matricea de rigiditate a barei se poate obtiuc crmludu-se energia de deformafie U a acesteia in funclie de dbformn'01, 0, 9i I (fig.-la. 19) care pentru o bari. prismaticb cu secliunea conlto

' trre forma

h c_ar9 1, este deformalia specificl longitudinal[ a barci, care, tn func]lFrdul dc prccizic al calculclor se alege, obignuit, fie de forma

",: !3 + iff, i - #r,fh rub forrno.

r- , 4r + .1. l ' ' !) '- .!. lul -. o\ ' , ^,' i , " ' r l r l + i l ; l - ' t^Y (14

[ l r r rAtfutd klccn l rctor lc l r lctn.ut f lor f l r r l tc chrrLrrr l dclorrrrct l l lor l r;l rle lrrr,ovolero rf erl)rhnl rprorlutctlv prlu crprirll pollrronrlrh, Arl

l^_UI

:0I

0-1

0

1

l { ' llq" l[ { "1lcr lLi:1

- . AE( " .U:- lE' ,dt

0

(14

(14l :Bz'

u:%-(a ; \ w-qr-q, ( l { , i r l )

Page 157: dinamica constructiilor

daci se admite ci cleformalia axialh. un vaiazl.liniar, iar cimpul deplasiri-lor transversale ,, se aproximeazE printr-un polinom de gradul trei seoblin expresiile

(14.38)

*r : ;8 '

, : [ ' -2t+41 o, - { l - { t 0" .' l . t t , ) ' r , rzt -

Introducindu-se relaliile (14.38) in expresia (14.36) a deformaliei spe-cifice e, 9i calculindu-se energia de deformalie U (14.35), neglijlndu-setermeuii de gradul al lVlea rezultd dupi []

U:ZD'+- s(20i- 0,0,* ze1)+ ?e!p?+ 010,+ 0;) . (14.39),J '30 1 '

Forfele pe direcliile cootdonatelor-0 se oblin calculind gradientulenergiei de deformalie U

+

^ 40, - 0"u - 30

^ 40, -0r

30

40" - 0,U

60

sau cu notaliile simbolice,(14.40)

(14.40',)s : Koo,

1EI 2EIt t

2EI lEIt l

00

AU00r

9v00,trl 0

EAI

0

0

40r - 0,60

t*l9tAE

in care k.6 : (kr-*krz)r"r esle rnalricea de rigiditate secahtd a barei in sis-temul codidooltllbr ii6'b'aza gi este formatl din doul matrice: kr, matriceade rigiditate liniari a barei corespunzltoare calculului de ortlinul I gi k"7.care ionline efectele neliniaritilii leometrice. Matricea secanti de rigiditate\6 este dupl cum rezultS. din expresia (14. 40) nesimetricE-

Diferenliin<l expresia (14.40') in raport cu deformaliilc 01, 0, 9i 3 scobline

^s :

^k.oo * k"oAo : [fiur * r{"o]

^e : k,o^0, (14.4 r)

in care k,6 esle matricea taigantd' t barei in sistcrnul coordonatelor de btzrigi are forma explicitd

4EI zEI ^- - uI I

2EI 4EI ^

t t

_40r-0130

.( 0r -- 0,

40, . - or ,-,r" l;-ao,

t#ilou,o Jl'

ar

(14,

^':[rl]:J- D ./l

15 3{)

_! !030 I5

^^L'4UU_I

. (kr. . l. k6)1rnyA0

ft,, rt' tr rrrr,ptt: uutbicc goomoltictlirr cnrc tttnt ricr.rt

4"')

l'r. mod ana]og, considerindt-se alte expresii pentru defornrafiilc l, r1iz, ca gi pentru deformalia specifici 0,, dupd cum se pistreazd. sau rrrr li,litermer:ii de ordin superior in expresia energiei de deformalie U, sc p,itobline alte expresii pentru matricea tangent5 9i secantl a barci, cu,ir'r.,.explic6. formele diferite in carc aceste matrice pot fi glsite in diferitc'lrrcrriri

14.3.2.3. Formularea matrieeal:i a caleulului. Tinindu-se seama dr: ( | .l.il | )relalia de transformare dintre deplasirile q;i q se scrie sub lorma

c, i ,1 o o o o ol l l ' l

' : r i ' l : t l ; ; : : : l l i i l : ' , , , , : ,l . ' lo o-r r o ol l l ' l

It

8o

intre coordonatele de element q gi cele de sistem z existS relafia linirrrrrde transformare (14.30)

1: Bz'

astfel incit relalia (14.43) se mai poate scrie

7l : CBz : Tz, (r4.4.tt

in care uratricea de tranformare T : CB este o matrice constante.Diferentiind expresia (14.44) se obline

Aq : Ta"

r<:lafia (14.32"j devine

^e: aA[: a .Tar.

l 'c de altb. parte din (14.41) rezulti

' aS : kroaO : k/oA . TAz.

Irrtrc .r'cctorii Q 9i S cxist5 relalia dc transforrnarc

0:Ar.s

( l 4. 'rs)

(14.4( i )

( t1.47] '

( l,1.4rJ)

ilt cnrr, ]l1 (stc transpusa matricci de transforurart, n (1,1. A2,).

Itttr-udr:viLr, considcrilclu-sc sistcnrrrl dc forlc Q gi tlr.lrlrsr'rrilc virtrrrrlr.cor'(,sllr r nz.ht oar(. 0q ;i sistcrrrrrl de tirrlc S ;i dcplaslrilc viituolc corcsprrrr-r, l,rtrr. d0, irrtrucit lucrul rrrccanic virinal tjstc rriclasi irrdiii.rcut dr: sisttir'ulrlr. <rxrrrklrrtc iu carc sc t'xplirnli, s(, Ix)tt(' scrie i.gtlitatctr

; i l r r r r r l l r r (14,32") t tO

r l r , t r t r l , '

6( l /0 ,6015

;16r1 st ' o l r l i r r l

0rlt Q - ltq? A, S,

l , ' A 'H,

Page 158: dinamica constructiilor

darA0:ArAS+dArS

dAr: "5Aa +;:^-d, .

Efectuind operatiile de dedvare a1e matricei Ar in raport ca rr,5i wlinindu.se_ seanra de ex1rr.:sia matricci -1 dat,i irr rclafia (14.-32'). se gnsegtedupi unele transformiri

Diferenliind relalia (14.48) se gisegte

AQ:ATAS+DAq

in care natricca D este

fo0on: lg g q

lu v ( t t

L0 0 d,,

d11 : #.{-

wz (t -l u) R I 12

(1L , iq\

(14 50)

(14.51)

(r4.s2)

(14.53)

(14.5.1)

(r 4. s5)

BtB O0 [ A l

Par l .a l . l r l rnr ' ,1, n , , ,0l0l, lor, Id"" J

( l lu) , l u.r lwSj

drt : dt t : ( I - ; f - usR - ( t { a)3sl

d"2: -:- {(l I u)lQ + u)z + 2w2l R - (t I u),utS}- - r , +8){"

unde 1l qi S sint forle1e corespunzitoare deplasirilor u;iu (14.88);i (14.3.1).Cum insE, analog cu ([4.48) se poate areta ce

cu (14.51) se gdsegteAF: TrA0

AIr : Tr [a"AS + DA(l]

aF:Tr[Ark,o[+D]TAZ. (1.1.5( i j

. ln locuind in (14.55) expresia (14.47) a lu i AS si ( t l . {5) a lu i Aq . , .obline ecualia de Lchilibru in"remeirtale in sistemul coordonatelor global,.

l . l f uz( l r r , {an, Ch., D; nnica lu" l r l r t t , t t ,

:1. I f r l r l ' , \1 , / l t lx l i : t t d inal) t i .d t l t rnt t r ) ' l , t t

: t . a . , N umtn fcntru l , /o i . tht ' t ' t nt t t , t . r

. r l t r t ( l t , agroxoobhni . . S; i r l I r t , tnh l ' l t l

, f . ( l ' , f r l i l r , l i . W., I 'cnziof l , .1. l )yt tnt t , \ , l

6. ( 1, ' r11 l r , l t . W., l i Ing, l . l ' . , \V| | r , , t r .

l t i l l i , tKi .1. of lhe Slrr . l . l , lv . i ; l :1, I

t f . l ' l z l , l l l l ' , ' r Ic( 'k l , l .5. , IhLrry r l xtnht\

l9{itt.

7. f { f r l ' I n s t e i r f , t \1. l t . , Stht t tu/nl Syst t ht \ " t r

I l r l l lnc. l l )70.

rr I " , 1f , 1, f i . 4. . I , f .ck l \ ' , l t . A, t lnt ' t t l l . th ' ,

l | | ( . l l r l ; :1.

! r l l r r r l l , ( ' . I '1. . ( ' r | I . , ( ' L I i . { ra l ) . i ; , ! ! , ,

l i , l . ' l \ .h| |h i l lhr ' r t . t l l . l l r l is

f f l I f 11 | x, ' f f . r i l \ f . , ( t t ! l . ' ; t t l t t l t tnt / t t : t I t ' r tn

f f f r n '

: l t r ' r .

r : N I i r ' r ,4,rr , t t \ l rht l t t t t .n I l , l ,Ntr l r ' , , r , l l r / |

f : ' , l , l l l l r r r r r r r . A l l l \ t t t t t i t t t ta xt \natn^n\ t r l

f f i , r ' l l f t ' N f i . / ' , r , r r f , t , at \hu' l t t l ,a l t , ,

f f f l f , \ ' t i r r . / | t r "" t r t t . . l r l , ! l l ' r t r t l i l l . l t r t r

fn f , l r , , ' I r f l r f , r A | . , ln l ' , t r ' , l t l i l t lnt , t t t I ,

l l r r , r r i 1r l l ! r / l

! ' l I f , , f f f l r { , l l I l ' ! l r r t r I I ' l t t r t r t t , , t , , ,q\

f , r l f r " 'nr t r i t t L i t tnra. l , , l ,4t l t , \a, l l r rn

fn N' , . , ' l t , l t t . t . , r .44, ' l l r , " rF, lhrr . , ,1 t l r ' t l

l l , . ' . l , ' r rhr .h, t , ' l . larrr lnx. I l " .s 4- ' r ' ^

Ecualia (14.56) poate {i util izati in calculul geourctric ucliniar ll strrr,tlrilor. cotr-siderind o cregtere AF a incircd.rii cxtlriocre pe dirrr.li ift. r.,,,,rdonatelor de sis.tem z gi _prin rczolvare se oblin cregterite cor(.sl)Irrz:-rt,, rr,Az a.le deplasirilor nodalc pe direclii le coordonatelor d,. :,istt.rrr.

I