Dinâmica Estocástica Aula 7 Ifusp, setembro de 2016fge.if.usp.br/~ttome/cursos/dinamicaestocastica/de_aula7.pdf · Aula 7 Ifusp, setembro de 2016 Tânia - Din ... E seguir o mesmo

Dinâmica Estocástica

Aula 7

Ifusp, setembro de 2016

Tânia - Din Estoc - 2016 1


. Discretização da equação de Langevin

. Obtenção da equação de Fokker-Planck

3Tânia - Din Estoc - 2016

Discretização da equação de Langevin

A forma discretizada da equação de Langevin propicia a: simulação a equação de Langevin

e

a obtenção a equação de Fokker-Planck

mtF

mv

dt

dv ),(

1

0)( tF

)()()( ttm

BtFtF

Equação de Langevin


)(tvdt

dv

0)( t

)()()( tttt



(1)

(2)

(3)

A equação de Langevin acima pode ser aproximada por:

variável estocástica discreta tal que:

)(tvdt

dv

Equação de Langevin discretizada


(1)

0 n

',' nnnn

n

delta de Kronecker

nnnn vvv 1

(4)

(5)

(6)

Equação de Langevindiscretizada

Equação de Langevin - Discretização


12 n

',' nnnn

'0' nnnn

Delta de Kronecker ',nn

1', nn se 'nn

0', nn se 'nn

nt

nn vv

dt

dv 1

)(tvvn

tais que:

)(1 tvvn

Discretizamos o tempo em intervalos iguais



Justificativa / expressão (4)


nnnn vvv 1(4)

nn

nn vvv

1

ou seja,

Equação de Langevin & discretização



nn

nn vvv

1

)(tvdt

dv

t

nt discreto

discreto

discreto



)(t

nt tais que:Discretizar o tempo em intervalos iguais

t

Fazendo a correspondência entre os termos das duas últimas expressões e lembrando que estamos tomandot discreto (como acima definido) temos que se relaciona com por meio de: n

nt

)(

')'( nt

discreta

')'()( nntt

e

discreta



nt tais que:Discretizar o tempo em intervalos iguais

t

discreta')'()( nntt

')'()()',( nnttttf

Seja a função

',' nnnn

',nn

discreta


t

discreta

',)'()()',( nnttttf

Seja a função )'( tt

'' nt

nt 't

)',()',( ttfdtttfn

',nn

n

0


discreta



)',()',( ttfdtttfn

',nn

n

Por outro lado, no limite em que temos (ou seja, quando consideramos variáveis contínuas) 0

)'()',( ttttf

dtttdtttf )'()',(

= 1

fim da justificativa

1n n n nv v v



(4)

A partir da expressão (4) complementada pelas expressões (5) e (6) pode-se encontrar a distribuição de probabilidades da variável como está no livro “Dinâmica Estocástica e Irreversibilidade” e como é pedido no exercício 1 da lista 2A.

nv

variável estocástica discreta tal que:

0 n

',' nnnn

n

(5)

(6)


Equação de Langevin – variável x

Equação de Langevin para a variável x :

0)( t

)()()( tttt

Equação de Langevin – variável x


(7)

(8)

(9)

)()( txfdt

dx

18Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Equação de Langenvin – Partíula sujeita à força externa e movimento superamortecido

)()(2

2

tFxFdt

dx

dt

xdm ext

x

)(t

posição da partícula

)'()'()( tttt 0)( t

m

)()( txfdt

dx

Equação de Langevin para o movimento browniano superamortecido

= massa desprezível o termo em m é desprezado

)()( tFxFdt

dxext

/)( extFxf

extF força externa atuando sobre a partícula

caso especial:

Exemplo

é tal que

n

pode ser aproximada por:

1 ( ) ,n n n nx x f x

variável estocástica discreta



(7)

(10)

(11)

)()( txfdt

dx

0 n

(12)',' nnnn

delta de Kronecker

Equação deLangevindiscretizada

( ) ( )dx

f x tdt

nt

1n nx xdx

dt

( )nx x t

tal que:

1 ( )nx x t

Discretizar o tempo em intervalos iguais

Equação de Langevin & Discretização


(7)

nt tal queDiscretizar o tempo em intervalos iguais



(10)nnnn xfxx )(1


Justificativa

E seguir o mesmo procedimento desenvolvido nos slides anteriores (quando justificamos a discretizaçãoda equação de Langevin (1), isto é, a expressão (4))

(11)0 n

(12)',' nnnn

Equação de Langevin & Simulação de um movimento aleatório

0 1 2, , , sequência de números aleatórias

1 2 3, , ...x x xSequência de pontos

Trajetória da partícula

0xdado

L número de trajetórias geradas


0 n 12 n

nnnn fxx 1)( nn xff

estimativa da posição média da partículano instante nt

0)( t )()()( tttt )()( txfdt

dx

xcaso em que é a posição

(13))(

1

1 i

n

L

i

n xL

x

)(i

nx posição da partícula no instante na i-ésima trajetória nt


Equação de Fokker-Planck

Obtenção da equação de Fokker-Planck a partir da equação de Langevin discretizada

24

Dinâmica Estocástica e Irreversibilidade, TT e MJO, Cap. 3 (e Cap. 4)

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Bibliografia básica

The Fokker-Planck Equation, H. Risken, Springer, 1996

25

),(2

),()(),(2

2

txPx

txPxfx

txPt

(14)

Equação de Fokker-PlanckEquação para a evolução temporal de P(x,t)

A essa equação está associada a equação de Langevin

)()( txfdt

dx


(7)

Vamos obter

26

)()( txfdt

dx

0)( t

)()()( tttt

(7)

(8)

(9)


em que,

e


27

Equação de Fokker-Planck - Caso especial

)(tdt

dx

x

0)( xf

)(t posição da partícularuído

Movimento browniano de uma partícula livre em uma dimensão

Movimento browniano superamortecido

),(2

),(2

2

txPx

txPt


(16)


(15)

Vamos obter

(caso especial)



Equação de Fokker-Planck - Obtenção Equação de Langevin discretizada

(10)

Função característica

)exp()( 11 nn ikxkg dxxPe n

ikxn )(11

função característica associada a 1nx

nnnn xfxx )(1

(17)

0 n

',' nnnn

(11)

(12)

29

nnxComo e são variáveis estocásticas independentes, temos:


Equação de Fokker-Planck - Obtenção

)exp()( 11 nn ikxkg

))((

1 )( nnn xfxik

n ekg

nnnn xfxx )(1

nnn ikxfxik

n eekg ))((

1 )(

(18)

(10)

Mas,

(20)

Portanto,

(19)

30

média sobre a distribuição de

média sobre a distribuição de n



nnn ikxfxik

n eekg ))((

1 )(

))(( nn xfxik

e ... nx

nik

e

...

(20)

(21)

(22)

31

Expansão em da equação



nnn ikxfxik

n eekg ))((

1 )(

))(( nn xfxik

e

(20)

(21)

Passamos agora a analisar cada uma das médias no lado direito da equação (20).

Primeiramente a média:

(1)

(2)

E em seguida a média:

nik

e

(22)

32

Expansão em da expressão:

Expansão em da expressão (23)



(23)

)())(( nnnn xfikikxxfxik

eee

)()(1)(

oxfike n

xfik n

))()(1())((

oxfikee n

ikxxfxik nnn

))(1())((

n

ikxxfxikxfikee nnn (25)

))(( nn xfxik

e (21)

A expressão (21) pode ser escrita como:

(24)



Expansão em do termo (22)


)(2

1

22

o

kike n

n

ik n

(27)

21

22n

n

ik kike n

nik

e

(26)

Considerando a expansão até termos lineares em temos:




(27)

21

22n

n

ik kike n

nn

ik kike n 2

2

21

Mas, a partir das equações (11) e (12) temos: . . Portanto, a equação (28) pode ser reescrita como:

0 n 12 ne

21

2

ke nik

Ou,

(28)

(29)



Expansão em da equação

nnn ikxfxik

n eekg ))((

1 )( (20)

))(1())((

n

ikxxfxikxfikee nnn

(25)

21

2

ke nik (29)

)2

1()(1()(2

1

kxfikekg n

ikx

nn (30)

A partir das Eqs. (25) e (29) obtemos a seguinte expressão para definida na Eq. (20): )(1 kgn



)2

1()(1()(2

1

kxfikekg n

ikx

nn

)2

1()()(2

1

kexfikekg nn ikx

n

ikx

n

nnn ikx

n

ikxikx

n exfikk

eekg )(2

)(2

1

(30)

(31)



nnn ikx

n

ikxikx

n exfikk

eekg )(2

)(2

1

(31)

nnn ikx

n

ikxikx

n exfikk

eekg )(2

)(2

1

nn ikx

n

ikx

nn exfikk

ekgkg )(2

)()(2

1 (32)

Expansão até 1ª ordem em de )(1 xgn

Ou



nn ikx

n

ikx

nn exfikk

ekgkg )(2

)()(2

1

(32)

)()()(1 kg

dt

dkgkg nn

ikxikx ek

exfikkgdt

d

2)()(

2

nn ikxikx

nnn e

kexfik

kgkg

2)(

)()( 2

1

Limite 0

(33)

Ou



ikxikx ek

exfikkgdt

d

2)()(

2

(33)

ikxikx edx

dxfexfik )()(

dx

dx

dexPxfe

dx

dxf

ikxikx )()()( (34)

Análise do 1º termo do lado direito da equação (33):



(35)

dx

dx

dexPxfe

dx

dxf

ikxikx )()()(

(34)

dxxPxf

dx

dedx

dx

dexPxf ikx

ikx

)()()()(

Pois, calculada nos limites de integração superior e inferior é nula. ikxexPxf )()(

P

dxxPdx

dee

dx

dek ikxikxikx )(

2

2

2

22

O segundo termo envolve a média:(36)

Novamente foi utilizado que a probabilidade se anula nas bordas. Também foi usado que se anula nas bordas.

P

Mas,

De fato a probabilidade é tal que se anula nas bordas (se anula no limites inferior e superior de integração).

dxdP /

Análise do 2º termo do lado direito da equação (33):



(35)

dxxPxf

dx

dedx

dx

dexPxf ikx

ikx

)()()()(

ikxikx ek

exfikkgdt

d

2)()(

2

(33)

dxxPdx

dee

dx

dek ikxikxikx )(

2

2

2

22

(36)

dxxPdx

dedxxPxf

dx

dekg

dt

d ikxikx )(2

))()(()(2

2

(37)



dxxPdx

dedxxPxf

dx

dekg

dt

d ikxikx )(2

))()(()(2

2

(37)

dxxPdx

dedxxPxf

dx

dedxxPe

dt

d ikxikxikx )(2

))()(()(2

2

dxtxPx

edxtxPxfx

edxtxPt

e ikxikxikx ),(2

)),()((),(2

2

),( txPA probabilidade depende de x e de t e, portanto, escrevemos:

ou,

(38)

(39)



dxtxPx

edxtxPxfx

edxtxPt

e ikxikxikx ),(2

),()(),(2

2

),(2

),()(),(2

2

txPx

txPxfx

txPt

(40)

Equação de Fokker-Planck Equação de evolução temporal de P(x,t)

Portanto,

(39)


FIM

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