Ingeniería civil

1

CURSO: DINAMICA (IC-244)

Solucionario de ejercicios

GRUPO NUMERO 2 (Merian)

ESTUDIANTES: BARRIENTOS FLORES, Fredy

QUISPE QUINO, Wilian QUICAÑO PRADO, Jenner

MARTINEZ CONTRERAS, Jose jhonatan

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN

CRISTOBAL DE HUAMANGA

Facultad de ingeniería de minas geología y

civil Escuela de formación profesional de ingeniería civil

Ingeniería civil

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CINEMÁTICA DE CUERPO RÍGIDO

Ejercicio nº 1

El cilindro de 12Kg montado en los soportes con cojinetes en A y B posee un momento de inercia de

0.080Kg.m2 respecto al eje vertical Z0 que pasa por su centro de masa G. El disco y los soportes tiene un

momento de inercia de 0.06Kg.m2 respecto al eje vertical de rotación z. Si al disco se aplica un par de

momento M=16m.N a través de su árbol y estando inicialmente en reposo, calcular las componentes

horizontales x de las fuerzas que soportan los cojinetes A Y B.

SOLUCION

Iztotal = Izdisco + Izcojinete y cilindro

Iztotal = 0.6 + 0.08 +12(0.2)2

Iztotal = 1.16kg.m2 →

Sabemos que ∑ Z = Iz

M – FN(0.1) -FA(0.3) = Iz

16 – 0.1FB– 0.3FA = 1.16 …………(I)

FR = ma → FB = m(

) ^ FA = m(

)

0.1FB = 0.3FA →

=

0.3FA = 3FA ……………………(II)

(II) en (I)

16 – 0.1(3FA) +0.3FA 1.16

16 = 0.029FA + 0.6FA → FA = 25.44N ^ FR = 16.31N

Ingeniería civil

3

Ejercicio nº 2

para el mecanismo de biela y cigüeñal representado, deducir la expresión de la velocidad del

pistón tomando como positivo hacia la derecha en función de θ para 0 < θ < 180° representar

gráficamente la en función de θ y determinar su valor máximo y el valor correspondiente de θ.

( por simetría prever los resultados los resultados para 180° < θ < 360°.

L

A O

B

w0

y

x

Va=> o

SOLUCION

Realizamos un diagrama de cuerpo libre

Lcos0 rcos0

rL

B

OA

0 0

0

Va

Y

X H

w

Tenemos como datos del problema

ω =

De el grafico podemos obtener

Derivando

…….. (1)

También tenemos:

…………(2)

Entonces

En 1 y 2

√ ………..**

Entonces al derivamos a

Podemos obtener

Ingeniería civil

4

Y evaluamos en ** con los valores ya obtenidos

√

Ejercicio nº 3

La posición angular de unos de los radios de un disco que gira está dada por el ángulo horario

, donde está en radianes y t está en segundos. Calcular el desplazamiento angular del disco

durante el intervalo en que su aceleración angular aumenta de 42 rad/s2 a 66 rad/s2.

SOLUCION:

De la expresión:

Cinética de partículas

Ejercicio nº 4

La esferita de masa ´m´ está unida mediante la cuerda a un pivote O y describe una circunferencia de radio

r sobre el plano liso inclinado un ángulo respecto a la horizontal. Si en la posición mas alta A la esferita

tiene tiene una celeridad u, hallar la tracción T que sufre la cuerda cuando la esferita pasa por las

posiciones B a 90° y C abajo.

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5

SOLUCION:

De la conservación de energía mecánica en A y B

(A) (B)

2 2

2 2

2

2 2

2

0

1(v ) mgrsen 0...(1)

2

donde : a 2 ...(2)

entonces :1y 2

( 2gsen )

, _ :

10 (v u ) mg(2 rsen ) 0...(3)

2

a 4 ...(4)

entre : 3y 4

M M M

B

Bn

n B

M c

n

E E E

m u

v ugsen

r r

uF ma T m

r

conservacion de energia AyC

E m

ugsen

r

2

( 5gsen )c

uT m

r

Ejercicio nº 5

La placa cuadrada se halla en reposo en la posición A en el instante t=0 y después ejecuta un movimiento

de traslación siguiendo una circunferencia vertical de acuerdo con donde k=1rad/s el

desplazamiento de esta en radianes y el tiempo t en segundos. Un pequeño instrumento P de 0,4 kg se

fija temporalmente a la placa con un adhesivo. Representar la fuerza constante F requerida en función del

tiempo t para . Si el adhesivo falla cuando la fuerza cortante F alcanza los 30N, determinar el

instante t y la posición angular en k tiene lugar el fallo.

SOLUCION:

2

2...( )

kt

t

1 /

0,4

k rad s

m kg

22 2(2 t)

2

n

va r r

r

t

También de la dinámica:

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6

2

2 2

cos (2 t)

3,9cos(t ) 2,4 t ...(1)

n n

n

n

F ma

F mg m r

F

También de las fuerzas tangenciales:

2

2

2 2 2 2 2 4

(t ) m(r )

3,9 (t ) 1,2...(2)

16,84 18,8 t cost t 5,76 t

t t t

t

n t

F ma F mgsen

F sen

F F F sen

Por métodos numéricos

Si: 30 3,4F t s

Entonces en ( )

2 2t (3,4) 11,56 66.3rad

Ejercicio nº 6

El collarín A se desliza libremente a lo largo del eje liso B montado en el bastidor. El plano de este es

vertical. Hallar la aceleración a del bastidor necesaria para que el collarín se mantenga en una

posición fija respecto al eje.

SOLUCION:

Aplicamos la 2da ley de newton:

∑

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∑

CINÉTICA DE VARIAS PARTÍCULAS

Ejercicio nº 7

La masa del cohete en el lanzamiento es de 8,5Mg/s. El consumo de combustible es 200kg/s con una

velocidad de descarga en tobera de 760m/s. Calcular la aceleración inicial a del cohete en la rampa y

hallar el Angulo que forma con la horizontal la aceleración del centro de masa un instante después de

que el cohete abandone la rampa.

SOLUCION:

Por la segunda ley de newton:

3 3

2

60

200*760 8,5*10 (9.81)sen 60 8,5*10

9,39 /

xF ma

E mgsen ma

a

a m s

Después que abandona la rampa:

(mgcos60 )cos (mgsen 60 )sen

sen

Tsen

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8

3

3

(mgcos60 )cos (mgsen 60 )sen

sen (T mgsen 60 ) mgcos60 cos

cos60tan

60

8,5*10 *9,81*cos60tan

152000 8,5*10 *9,81* 60

27.59

Tsen

mg

T mgsen

sen

Ejercicio nº 8

Dos bolas de acero, de masa m cada una, están soldadas a una varilla liviana de longitud L e

inicialmente reposan sobre una superficie horizontal lisa. Repentinamente se aplica a la varilla, tal

como se indica una fuerza horizontal de módulo F. Hallar (a) la aceleración instantánea a del centro

de masa G y (b) la correspondiente variación por unidad de tiempo de la velocidad angular del

conjunto alrededor del centro de masa G.

SOLUCION:

Del gráfico obtenemos:

Para la aceleración instantánea del centro de masa

∑

Para la variación de , alrededor del centro de masa G

Derivamos:

Luego del impulso angular:

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9

CINETICA DE CUERPO RIGIDO

Ejercicio nº 9

bajo la acción de la fuerza de 80N, el bastidor AC de 6kg y la barra delgada uniforme AB de 4kg

y longitud L se deslizan sin rozamiento a lo largo de la varilla horizontal fija. Calcular la

tracción T que sufre el cable BC y las componente x e y

De la fuerza que ejerce sobre la barra el pasador A. El movimiento tiene lugar en el plano

vertical.

L

80N

A

B

60 60

SOLUCION:

Realizamos un diagrama de cuerpo libre

Tcos6O

ma

mg

Ay

Ax

T

Tsen60

60 60

A C

B ∑ …………..(1)

∑

(

)

Remplazando y evaluado obtenemos

………..(2)

2 Remplazamos en 1

También calculamos cuando el carro se esta desliando

∑

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Ejercicio nº 10

El contenedor cargado tiene una masa de 80Mg y puede asimilarse a un bloque homogéneo macizo. En la

posición inicial representada, el cilindro hidráulico aplica una fuerza de 300kn al contenedor. Calcular la

aceleración inicial del contenedor (a) si el camión no se mueve y (b) si el camión posee una aceleración

así delante de 3m/s2.

SOLUCION:

1tan

2

300

80

4,08A

F kN

m Mg

I m

Cuando el camión no se mueve:

2

(sen )1 mg(1,5) 4,08m

1300000( ) 80000(9,81)(1,5) 4,08(80000)

5

134,164 1177,2 326,4

3,196 /

M I

F

rad s

Cuando el camión acelera a 3m/s

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2

1341,64 1177,2 362,4 80(3)(1,5)

1043,036 360 326,4

2,093rad/ s

A AM I mad

Ejercicio nº 11

Hallar el valor de la fuerza P que iniciara el vuelco del armario. ¿Qué coeficiente de rozamiento

estático hace falta para que el vuelco no vaya acompañado de deslizamiento?

Solución

Analizando la gráfica:

∑

∑

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TRABAJO Y ENERGIA

Ejercicio nº 12

La biela y la manivela tienen una masa de2kg y un radio de giro centroidal de 60mm cada

uno. La corredera B tiene una masa de 3kg y se mueve libremente por la gia vertical. el

resorte tiene una constante de 6kN/m. Si a la manivela OA se aplica un par de fuerzas

constante de momento M=20m.N, atraves de O, y apartir de reposo con θ= 45° , hallar la

velocidad angular ω de OA cuando θ= 0° .

A

B50mm

200mm

200mm

400mm

0

X

y

SOLUCION:

Diagrama de cuerpo libre

45

0.20.1

0.20.12

2

0.05m

m

m

NR Energia cinetica

( )

Energia potencial gravitatoria

( √ ) ( √ )

Energía potencial elástica

Entonces el trabajo neto

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Ejercicio nº 13

En la figura se representa la sección transversal de una puerta de garaje formada por un papel

rectangular uniforme de 2.4x2.4m cuya masa es 100Kg. La puerta está dotada de dos dispositivos de

resorte tiene una constante de 700N/m cada uno y está sin alargar cuando la puerta se encuentra en la

posición abierta representada. Si la puerta se suelta desde el reposo en tal posición, calcular la velocidad

del borde A cuando llega al suelo del garaje.

SOLUCION:

Datos:

m = 100Kg , g = 9.81m/s2

K = 700N/m

La deformación para cada resorte:

2T = mg ……………………………..(1)

4T = 2KX ………………………………(2)

Donde T, es la tensión de la cuerda.

De (1) y (2): Dividiendo miembro a miembro

Mg = KX ; Reemplazando

100(9.81) = 700X → X = 1.40m

∆EPE = 2(

) ; Reemplazando

∆EPE = 2[

] = 1372J

∆EP = -981(2.7 – 1.2) = - 1471.5J

W = ∆Ec + ∆EP + ∆EPE

W =

– 1471.5 + 1372 = 0

V2 = 1.99 → V = 1.41m/s

Ingeniería civil

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Ejercicio nº 14

La caja de carga del camión de alimentos para servicio de aeronaves tiene una masa en carga m y se eleva

por la aplicación de un par de momentos M al extremo inferior de la barra articulada al bastidor del

camión. Las ranuras horizontales permiten abrirse al sistema articulado para elevar la caja de carga.

Determinar la aceleración ascendente de la caja en función de h para un valor dado de M. Despreciar la

masa de las barras.

SOLUCION:

dU’ = dEC + dEPG ^ dU’ = Mdϴ

dEC = madh = mad(2senϴ)

dEC = 2mbacosϴdϴ

dEp = mgdh = 2mbgcosϴdϴ

Así Mdϴ = 2mbcosϴ(a+g)dϴ

a + g =

Del gráfico:

cosϴ = √ /2b = √

Finalmente el resultado:

a =

√

Ejercicio nº 15

Ingeniería civil

15

4)El bloque de piedra uniforme con b=1.2 m y h=0.9 m se suelta en reposo desde la posición en que su

centro de masa G se halla casi en la vertical de la esquina sobre la que se apoya. Hallar la velocidad

angular ω entorno a A inmediatamente después del impacto suponiendo que A permanezca en

contacto con el suelo. Se supone también que el contacto tiene lugar únicamente en las esquinas y

que no hay deslizamiento. ¿ Que fracción ⁄ de la energía se pierde en el impacto.

Solución

Pero necesitamos el momento de inercia respecto al punto B para lo cual usaremos el teorema de

Steiner

(√

)

(

√

)

Ahora aplicamos la fórmula de variación de energía (trabajo total)

Tenemos la energía potencial gravitatoria y energía cinética

(

) (

)

……………**

Remplazamos los valores en **

G

B

A

B

A G

DATOS DEL PROBLEMA

b=1.2m

h=0.9m

El momento de inercia del bloque de piedra

en su centro de gravedad √𝑏

Ingeniería civil

16

|

|

( ) [ (

)

]

|

|

[ ]

|

|

[ ]

|

|

Ejercicio nº 16

El robot de la figura tiene cinco grados de libertad de rotación. Los ejes x,y,z están fijos al anillo de la base,

que gira en torno al eje z a la velocidad ω1. El brazo O1O2 gira en torno al eje x al velocidad ω2 = . El

brazo de mando O2A gira en torno al eje O1-O2 a la velocidad ω3 y a la velocidad ω4= en torno a un eje

perpendicular que pasa por O2 y que esta momentáneamente paralelo al eje x. Finalmente, la garra gira

en torno al eje O2-A a la velocidad ω5. Los módulos de estas velocidades angulares son todo constante.

Para la configuración representada, hallar el módulo ω de la velocidad angular total de las garras

para = 60 y , si ω1=2rad/s. =1.5rad/s y ω3= ω4= ω5=0. Expresar vectorialmente la aceleración

angular del brazo O1-O2.

Solución

La figura muestra un robot que tiene 5 grados de libertad. Para un determinado instante se tiene la

siguiente información.

3=ω4=ω5=0 ; ω1 = 2rad/s ; ω2= 1.5rad/s

Hallamos la velocidad angular total de las garras.

= 1 + 2 = 2 +1.5 rad/s

= √ = 2.5 rad/s

Como 2 cambia de dirección girando en torno al eje z; entonces, la aceleración angular del brazo O1O2 es:

= 1x 2 = (2 x(1.5 = 3 rad/s2

= = 3 rad/s2