Dinamička analiza struktura

STRUKTURNA ANALIZA KONSTRUKCIJA – MAŠINSKI FAKULTET NIŠ 1

Predavanje 10.

Generacija 2010/2011

Dinamička analiza struktura 1.0 DINAMIČKE JEDNAČINE STRUKTURE

Metoda konačnih elemenata se koristi za dinamičku analizu struktura. Vrednost metode je u činjenici

da analitički postupci sadrže ozbiljne prepreke u proceduri matematičke realizacije analize. Osnovna

jednačina ravnoteže, izvedena je primenom Hamilton-ovog varijacionog principa. Ovaj princip polazi

od kinetičke energije EK, potencijalne energije unutrašnjih i spoljašnjih sila i rada

nekonzervativnih sila W (koji uključuje i sile prigušenja). Polazna osnova je funkcional Lagrange-a

L (1.01). Hamilton-ov princip pokazuje da mehanički sistem pri kretanju zauzima one položaje u

kojima Lagrange-ov funkcional ima stacionarnu vrednost, (1.02):

L = EK - + W (1.01)

2

1

2

1

2

1

t

t

0dtW

t

t

dtKE

t

t

dtL (1.02)

Uz pretpostavku da egzistira rešenje, ova jednačina se može svesti na Lagrange-ovu jednačinu

druge vrste u obliku (1.03), gde je Qi generalisana sila a t1t2 vremenski interval kretanja.

iQiqiq

kE

iq

kE

dt

d

(1.03)

Pri tome je kinetička energija definisana izrazom (1.04), gde je u brzina kretanja a gustina

materijala. Potencijalna energija sistema je zbir spoljašnjih površinskih p i zapreminskih sila F,

(1.05):

dvu

v

Tu21

kE (1.04)

dsp

s

Tudv

v

FTuvdD

v

T21 (1.05)

Pomeranja i brzine uu, se mogu izraziti preko interpolacione matrica N, a deformacije , preko

matrica B. Smenom energije EK i potencijalne energije u Lagrange-ovu jednačinu kretanja, uz sile

prigušenja Fp i generalisane sile Qp , dolazi se do osnovne dinamičke jednačine konačnog elementa

(1.06):

eQeqkeqceqm

(1.06)

U ovoj jednačini su definisane sledeće matrice:

matrica mase elementa vdN

v

TN=m (1.07-a)

2 10. PREDAVANJE - DINAMIČKA ANALIZA STRUKTURA

matrica prigušenja elementa vdNc

v

TN=c (1.07-b)

matrica krutosti elementa vdBD

v

TBk (1.07-c)

vektor generalisanih sila dsp

s

TNdv

v

FTNeQ (1.07-d)

Dinamička jednačina strukture dobija se proširenjem dinamičke jednačine konačnog elementa

na celu strukturu – kontinuum, (1.08):

(1.08)

U osnovnoj dinamičkoj jednačini metode konačnih elemenata, sa M, C i K su označene

matrice masa, prigušenja i krutosti sistema - konstrukcije. Q je generalisani vektor spoljašnjih sila u

čvorovima konačnih elemenata. Ova jednačina je osnov analize mehaničkih sistema.

Primena metoda direktne integracije svodi se na numeričko integraljenje diferencijalnih

jednačina, step-by-step procedurama. Termin "direktan" potiče od činjenice da se procedura ne odvija

uzastopnim transformacijama već direktno-integracijom. Numerička integracija se izvodi često

Newton-Cotes-ovim ili Gauss-Legendre-ovim postupkom.

2.0 NORMALNA MODALNA ANALIZA

Jednačine kretanja neprigušenog sistema, izražene u matričnoj notaciji izražene su u formi (1). Za linearne

sisteme, slobodne oscilacije biće harmonijske u formi (2):

,0qKqM

(1)

,tcosq i

i

(2)

U normalnoj modalnoj analizi odreĎujemo sopstvene vrednosti i sopstvenevektore za model analize. Svakoj

sopstvenoj vrednosti, koja je is proporcionalna prirodnoj frekvenciji, postoji odgovarajući sopstveni vektor, ili

oblik oscilovanja - mod. Normalna modalna analiza odreĎena za neprigušeno slobodno oscilovanje daje

sopstvene frekvencije prema relaciji (3):

,0MK 2

(3)

U jednačinama (3) [M] je matrica mase, [K] matrica krutosti strukture, ωi - ith

prirodne (kružne)

cirkularne frekvencije (radiana u jedinici vremena) i {Φ}i reprezentativni sopstveni vektori modova oscilovanja

ith

prirodne frekvencije.

Normalnom modalnom analizom računamo prirodne frekvencije i oblike oscilovanja structure - modove.

Prirodne frekvencije su frekvencije kojima struktura teži da osciluje ako je izvedemo iz ravnotežnog položaja i

oslobodimo daljeg prinudnog uticaja. Oblik deformacije structure je specifičan za prirodne frekvencije nazvan

modalnim oblicima. Analiza normalnih modova oscilovanja još se naziva analizom realnih sopstvenih vrednosti

(real eigenvalue analysis).

Analiza normalnih oblika oscilovanja je osnova pravog razumevanja dinamičkih karakteristika strukture.

Analiza normalnih oblika oscilovanja omogućuje uspostavljanje korelacija izmeĎu eksperimentalnih i

analitičkih rezultata. TakoĎe, analiza normalnih oblika oscilovanja (modalna analiza) je osnova za odreĎivanje

integracionih vremenskih koraka u analizi tranzijentnog odgovora ili analizi frekventnog odgovora.

QqKqCqM


Sopstvena vrednost i kružna frekvencija oscilovanja imaju meĎusobnu vezu:

OdreĎivanje sopstvenih vrednosti oscilovanja vrši se Lanczos metodom, modifikovanom Givens

metodom kao i Sturm modifikovanom inverznom metodom - power metoda za odreĎivanje sopstvenih

vrednosti. Lanczos metoda je najbolja metoda za robusne zadatke, mada se i druge metode (kao što je

modifikovana Givens metoda i Sturm modifikovana inverzna power metoda) mogu primeniti u pojedinačnim

slučajevima.

PRIMER: ODLAGAČ RBB Bor: 2011.

Naredna tabela daje pregled dobijenih frekvencija obrtnog dela (platforme, strele, tornja) odlagača.

Postolje nije tretirano modelom jer nije predmet analize. Dominantnih 15 sopstvenih frekvencija

oscilovanja tela strele su:

Modalna analiza 19.MOD

Output Set 01 - Mode 1, ω= 0.0199211 Hz

Set MAX/MIN Summary Table Set ID Value

T1 Translation Minimum 101 1068 -0.00028391

Maximum 101 1008 0.00028391


Maximum 101 1005 0.0013422


Maximum 101 170 0.008734

R1 Rotation Minimum 101 1150 0.00051951

Maximum 101 1149 0.00055493

R2 Rotation Minimum 101 1150 -0.00018757

Maximum 101 1152 -0.000040145

R3 Rotation Minimum 101 1147 -1.2894E-6

Maximum 101 1150 0.0000012896

Mod 1, Frekvencija 0.0199211 Hz (bočno kladenje celine oko uzdužne ose strele) Output Set 47 - Mode 47, ω= 2.687841 Hz Set MAX/MIN Summary Table Set ID Value


Maximum 147 215 0.0010408


Maximum 147 472 0.0048171

(4)

Tabela VII Mod-1 Mod-28 Mod-31 Mod-47 Mod-56 Mod-57 Mod-58 Mod-68

Ω [Hz] 0.0199211 0.921305 0.986803 2.687841 3.997874 4.569916 5.079411 8.762432



Maximum 147 234 0.00053636


Maximum 147 1097 0.00068772


Maximum 147 1038 0.00029156


Maximum 147 318 0.0023072

Mod 47, Frekvencija 2.6878 Hz (poskakivanje krajeva)

Output Set 57 - Mode 57, ω= 4.569916 Hz Set MAX/MIN Summary Table Set ID Value


Maximum 157 177 0.0034287


Maximum 157 773 0.0085222


Maximum 157 832 0.00032159


Maximum 157 393 0.00062351


Maximum 157 530 0.00024034


Maximum 157 318 0.0022708

Mod 57, Frekvencija 4.56991 Hz (vertikalni sinusni talas glavnog nosača strele)


3.0 TRANZIJENTNA ANALIZA DISKRETNIH

MEHANIČKIH SISTEMA

Seizmička analiza

Diskretni sistemi velikih (visokih) objekata kao što su dizalice, tornjevi, stubovi, podležu

dinamičkim proverama. Dinamički uticaji mogu biti izazvani pogonskim aktuatorima (motorni, hidro

pogoni), različitim havarijskim dogadjajima (naletanje na prepreku, sudar, pad tereta) i seizmičkim

uticajima. Seizmička analiza je obavezna kod odgovornih investicionih objekata i može se izvesti:

A. Dinamičkom analizom za snimljeni seizmički uticaj u posmatranom području,

B. Stohastičkom analizom konstrukcije za verovatnosni raspored sinusnih talasa,

C. Spektralnom analizom strukture na skup mogućih frekventnih uticaja.

Kako je seizmički uticaj po karakteru neizvestan i ima slučajnu prirodu, proračun visokih mašina izvodi

se spektrom očekivanog frekventnog uticaja. Ovom analizom se odredjuju unutrašnje sile mehaničkog sistema

u karakterističnim delovima strukture. Te sile su merodavne za proveru čvrstoće strukture. Posmatrani

mehanički sistem – konstrukcija, je nekonzervativan, karakterisan disipacijom energije. Otporne sile

prigušenja su različitog karaktera i nastaju usled viskoznog trenja na mestima prigušivača (prigušenje

proporcionalno brzini), kulonovog (Coulomb) suvog trenja (na stazi kretanja) i strukturnog prigušenja u

materijalu i vezama spojenih elemenata (konstruktivno trenje).

Analiza se za diskretni materijalni sistem, može izveti jednako analitički ili numerički

(metodom konačnih elemenata). Prvi zadatak kod traženja frekventnog odgovora na proizvoljnu

spoljašnju pobudu, je nalaženje sopstvenih vrednosti mehaničkog sistema (frekvencije i sopstveni

vektori oscilovanja – modovi). Polazna diferencijalna jednačina kretanja diskretnog mehaničkog

sistema pod dejstvom seizmičkog totalnog ubrzanja )t(w je oblika 3.01. Članovi m, c, k su

matrice mase, prigušenja i krutosti sistema. Iz ovog sistema jednačina, može se preći na

diferencijalne jednačine normalnih koordinata, r-tog oblika oscilovanja, oblika 3.21:

)t(w1mwkwcwm (3.01)

)t(PKCM )r()r()r()r()r()r()r( (3.02)

U jednačini 3.02, (r) su normalne koordinate kretanja, M(r),C(r),K(r), generalisana masa,

generalisano prigušenje i generalisana krutost za r-ti ton. Generalisana sila usled seizmičkog uticaja

P(r)(t), odredjuje se prema relaciji:

)t(w)r()t()r(P (3.03)

Gde je (r) faktor participacije kojim r-ti ton učestvuje u superpoziciji totalnog opterećenja silama.

Frekventni odgovor za sistem sa n stepeni slobode kretanja, pri oscilovanju u r-tom tonu:

)t(VM

)t( )r(

)r()r(

)r()r(

(3.04)

Gde je V(r) integral zemljotresnog odgovora za r-ti ton dok su (r) sopstvene frekvencije sistema.

Ovaj integral je dinamički faktor oscilovanja sistema r-tom frekvencijom (r-tim tonom).


d)t(sine)(w)t(V

t

0)r(

)t()r()r()r(

(3.05)

Relativno prigušenje r-tog tona (r) 1, u jednačini 3.05, može se uzeti prema relaciji 3.06, na bazi

prigušenja c, jednovremeno proporcionalnog matrici masa m i matrici krutosti strukture k, 3.07:

KR)r( c

c (3.06)

mk2,km2c KRc (3.07)

U ovim jednačinama i su koeficijenti proporcionalnosti a cKR kritično prigušenje.

Elastična sila u s-tom posmatranom članu - zakon promene sile pri oscilovanju:

)t()r(V)r()r(M

)r(m)t(SF

(3.08)

i su sopstveni oblici - vektori pomeranja i-te tačke strukture u r-tom tonu.

Kod analize mehaničkih sistema pri seizmičkom uticaju, kao garancija utvrdjivanja najvećih sila merodavnih

za proveru, koriste se pojedinačne maksimalne vrednosti unutrašnjih elastičnih sila, nastale pri spoljašnjim

pobudama sopstvenim frekvencijama sistema. Frekventni odgovori koji daju amplitude oscilovanja pri

sopstvenim frekvencijama, poznati kao spektri odgovora (response spectra).

POJAM: Spektri odgovora omogućuju odredjivanje najizrazitijih dinamičkih pojava -

MAKSIMALNIH DINAMIČKIH SILA. Ova analiza se naziva spectralna analiza.

Maksimalna dinamička sila pri zadatoj tektonskoj pobudi je suma pojedinačnih frekventnih odgovora

pri sopstvenim tonovima. Maksimalna sila se može izraziti:

21

2MAXSn

2MAX2S

2MAX1SS FFFF MAX , (i=1-r), (3.09)

Dinamički faktor 3.05, odnosno elastična sila u s-tom članu, jednačina 3.08, zavise od modalnog

prigušenja (r) odnosno od unutrašnjeg trenja u materijalu strukture. Parametri prigušenja se

eksperimentalno odredjuju u zavisnosti od oblika gradje konstrukcija i složenosti preseka. Takodje

su za tipične podloge i objekte napravljeni osnovni frekventni uticaji – spektri. Dva tipa spektara

pobude, namenjenih dizalicama, pokazuje slika 3.01.

Slika 3.01 Spektralna ubrzanja u strukturnoj analizi dizalica

1 Kritičnom prigušenju od 2%, 5%, odgovaraju parametri modalnog prigušenja 1 =0.02, 2=0.05.


Primer: ANALIZA P-O DIZALICE PRI SEIZMIČKOJ POBUDI

Portalno-obrtne dizalice za brodogradnju su transportne mašine osetljive na seizmičke uticaje

iz dva razloga: Proporcionalno su male osnove u odnosu na visinu i locirane su na mestima prelaza

kopna u more gde su statistički najčešći seizmički uticaji. Trenje i prigušenje u ovom slučaju igra

aktivnu (korisnu) ulogu u smanjenju amplituda oscilovanja i smirenju dizalice kao celine.

Za analizu je izabrana metoda konačnih elemenata, pogodna za modeliranje kontakta tla (staze)

i dizalice, topološki opis noseće strukture, modeliranje svojstava tla (heterogenost staze i tla).

Proračun je izveden metodom superponiranja oblika oscilovanja, (modova) za visoke objekte 73.

Analizirana je dizalica za brodogradnju, nosivosti 10/50/80 t, dohvata 32/25/16 m sa

sistemom za promenu dohvata u obliku zglavkastog četvorougla, slika 3.02. Diskretni model je

izveden sa 14 tačkasto rasporedjenih redukovanih masa, prema istraživanjima 75,76. Struktura

dizalice je opisana sa 55 konačnih elemenata tipa grede i 6 stepeni slobode u čvoru. Proračun je

izveden pod predpostavkom potpunog prenosa uticaja tla na dizalicu i elastične veze sa tlom.

Analizom je posebno posmatran pogonski sistem promene dohvata kao komponenta odgovorna za

sigurnost i stabilnost cele dizalice. Proračun je izveden programom ALGOR.

Seizmički uticaj je uveden prema realnom akcelerogramu 71, zapisanom 1979. u Ulcinju (YU).

Ubrzanja u vertikalnom pravcu i W-E zemljinom pravcu, pokazuju dijagrami na slici 3.03. Primenjena su

dva tipična relativna prigušenja (r)=2% i 5%, kao svojstvo trenja u materijalu - strukturi, koja su dala dva

paralelna rešenja. Rešenja frekventnog dinamičkog odgovora strukture na mestu pogonskog člana za

promenu dohvata, prikazuje slika 3.04 uporedno za ova dva prigušenja. Unutrašnja dinamička sila u

pogonskom sistemu za promenu dohvata, kao posledica zadate seizmičke pobude, umanji se 25% posle

7.00 sec od početka pobude, odnosno 50% posle 14 sekundi.

Slika 3.02 Portalno-obrtna dizalica i njen dinamički model za analizu


Slika 3.03 Akcelerogrami ubrzanja zemljinog tla IIE55-IIE68 ULCINJ (YU) 1979-04-15,06-20

Slika 3.04 Frekventni odgovor dizalice seizmičkoj pobudi na pogonu mehanizma za promenu dohvata

(Između mase M9 i M10 na slici 4.35 b)

0 5 10 15 20-3

-2

-1

0

1

2

3

Pravac: W-E

UBRZANJE TLA (m/sec**2)

VREME (sec)

0 5 10 15 20

-400

-200

0

200

400

600

TERET Q=10 (t)

(2% PRIGUŠENJE) (5% PRIGUŠENJE)

DINAMIČKA SILA NA POGONSKOM CLANU (AMLITUDA) (KN)

VREME (sec)

0 5 10 15 20

-2

-1

0

1

2

3

Akcelerogram ubrzanja tla u vertikalnom pravcu

IIE55-IIE68 ULCINJ (YU) 1979-04-15,06-20

Pravac: VERTIKALAN

UBRZANJE TLA (m/s**2)

VREME (sec)

Documents

Dinamička analiza struktura