Dinâmica Estocástica Aula 3 Agosto de 2015fig.if.usp.br/~ttome/cursos/dinamicaestocastica/Aula_03.pdfAula 3 Agosto de 2015. Função Geratriz. Densidade de probabilidade conjunta,

Dinâmica Estocástica

Aula 3

Agosto de 2015

. Função Geratriz. Densidade de probabilidade conjunta,

condicional e marginal. Variáveis aleatórias independentes:

SomaVariância

Função característicaFunção geratriz

Cumulantes

Passeio aleatório em uma dimensão

Variáveis aleatórias discretas

2

0np

As derivadas da função geratriz estão relacionadas com os momentos da distribuição.

0,1,2,...n

Tânia Tomé IFUSP 2015

Função geratriz

Função Geratriz

0

)(n

n

nzpzG

3

1

0

' ( ) n

n

n

G z n p z

0

' (1) n

n

G n p n


Derivadas da função geratriz

0

)(n

n

nzpzGFunção geratriz

Primeira derivada da função geratriz

Em especial, para z=1, temos um resultado importante:

4

2'' (1)G n n


2

2

)()1()(''

n

n

n

ztpnnzG

)()1()1(''2

tpnnG n

n


0

)(n

n


Segunda derivada da função geratriz

Em particular para z=1 temos: )()( 2

2

tpnn n

n

)()(2

2

tpntpn nn

n

1

0

' ( ) n

n

n

G z n p z

Primeira derivada da função geratriz

5

3 2'''(1) 3 2G n n n

4 3 2'''' (1) 6 11 6G n n n n


2

2

)()1()(''

n

n

n

ztpnnzG


0

)(n

n


3)()2)(1()(''' n

n

n

ztpnnnzG3223 )()22( n

n

n

ztpnnnn

323 )()23()(''' n

n

n

ztpnnnzG

Seguindo o mesmo procedimento podemos obter:

Tânia Tomé IFUSP 2015 6

Solução de equações mestras

Muitas vezes é mais conveniente obter a função geratriz

e em seguida

a distribuição de probabilidades (solução da equação mestra).

Função Geratriz: aplicação importante

7

Exemplo mais simples entre os processos de nascimento e morte:

Equação mestra para o

Processo de decaimento radioativo

ou

Processo de morte pura em dinâmica de populações biológicas

oua reação química

X Y

Processos de “nascimento e morte”

Equação mestra para processos em que o número de elementos envolvidos determina o estado

Tânia Tomé IFUSP

Estudaremos isso em detalhe no tópico equação mestra

Função Geratriz - Exemplo

8

1) Imaginemos uma população de indivíduos que vive em um ambiente isolado

2) Imaginemos também que o ambiente esteja altamente poluído e que istoresulte na não reprodução dos indivíduos.

3) Os indivíduos não interagem entre si.

Processos de “Morte pura”

Tânia Tomé IFUSP

Estudaremos isso em detalhe no tópico equação mestra

Processo de morte pura

Número de pássaros sobreviventes versus tempoDados: Kraak et al (1940 ) in Hutchinson, 1978.

Exemplo

Tânia- Dinâmica estocástica - 2015 9

10

= Probabilidade de indivíduos estarem vivos em t

),()( tnPtPn

n

Tânia Tomé IFUSP

Probabilidade de indivíduos estarem vivos em n t

n é uma variável estocástica


ouDecaimento radioativo

11

Condição inicial:

número de indivíduos no instante é 0n0t

0(0) 1nP 0t 0n n em


Equação mestra para o processo de morte pura

)()()1()( 1 tPntPntPdt

dnnn

Vamos deduzir no tópico equação mestra

12

Encontrar ( )nP t),( tzG

)(),( tPztzG n

n

n

)(tPt

zGt

n

n

n

ntnnnt

n

zeen

ntzG

)(0 0)1(),(



dnnn


Solução

Equação para a evolução temporal de ),( tzG

)(tPn

com

)(),( tPztzG n

n

n



Distribuição de probabilidades (solução da equação mestra)

Distribuição de probabilidades conjunta

Sejam variáveis aleatórias:1 2 3, , ,..., Nx x x x

1 2( , ,..., )Nx x x

1 2 1 2( , ,..., ) ... 1N Nx x x dx dx dx

Densidade de probabilidade conjunta de

Propriedades

14

1 2( , ,..., ) 0Nx x x

1 2 3, , ,..., Nx x x x

N


15

Densidade de probabilidade marginal

1 1 1 2 2( ) ( , ,..., ) ...N Nx x x x dx dx É uma possível densidadede probabilidademarginal

É uma outra possível densidade de probabilidademarginal


NN dxdxxxxxx ...)...,,,(),( 32121

16

zyzyxx dpdpmpppmp )2/)(exp()2/()(2223

Densidade de probabilidade marginal

3

2 2 2( , , ) exp( ( ) / 2 )2

x y z x y zp p p p p p mm

Exemplo: Distribuição de velocidades de Maxwell


Essa é uma possível densidade de probabilidade

marginal de ),,( zyx ppp

17

)()()(),,( zyxzyx pppppp

zxzyxy dpdpmpppmp )2/)(exp()2/()(2223

Da mesma maneira também são densidades de probabilidade marginais:

As variáveis zyx ppp ,, são independentes. Portanto, temos:

)2/exp()2/()(2

mpmp zz

)2/exp()2/()(2

mpmp yy

Exemplo: Distribuição de velocidades de Maxwell


e

yxzyxz dpdpmpppmp )2/)(exp()2/()(2223

18

Densidade de Probabilidade Condicional

),..,...,,,()...,|()...,,,( 3232121 MsMM xxxxxxxxxxx

)...,|( 321 Mxxxx

Probabilidade de que assuma um determinado valor dado que as

variáveis restantes assumiram certos valores

1x

Mxxx ...,,, 32

1 21 2 3

2 3

( , ,..., )( | , ... )

( , ,.., )

MM

M

x x xx x x x

x x x

Densidade de probabilidade conjunta e densidade de probabilidade condicional

Densidade deprobabilidade condicional


Notação:

19

Variáveis aleatórias independentes

1 2 3, ,x x x

)()()(),,( 321321 xxxxxx

2x

3x1x

3x

1x

Se Nxxxx ,...,,, 321 são variáveis aleatórias independentes então:

Se são variáveis aleatórias mutuamente independentes entre si de modo que

2x

é estatisticamente independente de é estatisticamente independente deé estatisticamente independente de

Então

)(...)()()()...,,,,( 321321 NN xxxxxxxx


20

Soma de variáveis aleatórias X

NxxxxX ....321

Conjunto de variáveis aleatórias:

MxxxxX ....321

também é uma variável aleatória.

Nxxxx ....,,,, 321

Propriedade válida para qualquer conjunto de variáveis aleatórias!

Valor médio de X


Nxxx ...21

21

Se

Variância da distribuição associada à

variáveis aleatórias independentes

NxxxxX ....321

X

= soma de variáveis aleatórias independentes

Então


Variância da soma de variáveis aleatórias

Nxxxx ....,,,, 321

É igual à soma das variâncias de cada variável aleatória

22

222 XX

N2

22

122 ....

222 jjj xx

Nj ....,,2,1



variância da soma de variáveis aleatórias independentes

soma das variâncias de cadavariável aleatória

variância de variável aleatória jx

NxxxxX ....321

23

)....)(....( 2121

2

MM xxxxxxX

Demonstração

........ 22

121122 xxxxxxX M

Pois, 2121 xxxx são variáveis aleatórias independentes)

M2

22

122 ....

........ 22

121122 xxxxxxX M

1x 2xe(

(1)



A variância da soma de variáveis aleatórias independentes X

Soma das variâncias de cadavariável aleatória

24

Por outro lado 2

21

2 )....( MxxxX

.......... 121

22

2

2

1

2 MM xxxxxxxX

pois são variáveis aleatória independentes

Portanto, subtraindo membro a membro as Eqs. (1) e (2) obtemos:

...}{}{ 2

2222

112222 xxxxXX

2121 xxxx21, xx

(2)



........ 22

121122 xxxxxxX M

(1)

12 2

2

25

( ) exp( ) ( )G k ikX X dX

21 xxX

Vamos tomar apenas duas variáveis aleatórias independentes e .

)()()( 21 kgkgkG

Função característica – soma de variáveis independentes

são variáveis aleatórias independentes então podemos mostrar que:1x 2xe

1x 2x

Função característica associada à soma devariáveis independentes X

Soma:

1 1 1 1 1( ) exp( ) ( )g k ikx x dx 2 2 2 2 2( ) exp( ) ( )g k ikx x dx

em que


26

Exercício

Mostrar que a função característica associada à soma

de N variáveis aleatórias mutuamente independentes

pode ser escrita como:1 2 3( ) ( ) ( ) ( )... ( )NG k g k g k g k g k

( ) exp( ) ( )j j j j jg k ikx x dx

em que

1 2 ... NX x x x

1 2, ,...., Nx x x

1 2 1 2 1 2( ) ( ( ... )) ( , ,..., ) ....N N NX X x x x x x x dx dx dx

( ) exp( ) ( )G k ikX X dX 1,2,...,j N

Sugestão. Utilizar a transformação de variáveis:


Exercício 3 da primeira lista

27

Cumulantes de: variáveis aleatórias independentes

21 xxX 21, xx

)()()( 21 kgkgkG

Pois:

(2))!

)(exp()(

)1(

11

1 11

1

nn

n

n

ikkg

)!

)(exp()(

)2(

122

22

2

nn

n

n

ikkg

1

( )( ) exp( )

!

n

nn

ikG k

n

Comparando termo a termo em k do produto das expressões (2) e (3) com a expressão (4) obtemos o resultado :

(1)

(3)

(4)

nnn

)2()1(

nnn

)2()1(

Cumulantes da soma de variáveis independentes


28

Função característica da soma de variáveis aleatoriamente independentes gaussianas

2 2

1( ) exp( / 2)g k k

2 2

1 1 12

1( ) exp( /2 )

2x x

21 xxX

2 2

2 2 22

1( ) exp( /2 )

2x x

2 2 2 2 2 2

1 2( ) ( ) ( ) exp( / 2).exp( / 2) exp( )G k g k g k k k k

2 2

2( ) exp( / 2)g k k

)(exp()exp()()exp()( 21 xxikikXdXXikXkG

A função característica associada à soma é uma gaussiana também!

1 2( ) ( ) ( )G k g k g k


)exp()( 22kkG

são variáveis aleatórias independentese gaussianas

Funções características associadasàs variáveis gaussianas

21, xx

Função característica associada à soma X das variáveis gaussianas independentes

21, xx

21, xx

1 0 3 4 5 ... 0

29

1

( )( ) exp{ }

!

n

n

n

ikG k

n

2 2

1 2( ) ( ) ( ) exp( )G k g k g k k

2 3

1 2 3

( ) ( ) ( )( ) exp{ ... ....}

1 2 3!

ik ik ikG k

Comparando as expressões (2) e (3) temos:

Definição da função característica em termos dos cumulantes

2 2

2

1( ) exp( /4 )

2 2X X

Função característica da soma de duas variáveis gaussianas independentes


Distribuição da soma de variáveis aleatoriamente independentes gaussianas

A partir da Eq. (1) temos,

n(1)

(2)

(3)

2

2 2

A distribuição da soma de duas variáveis gaussianas independentes de variância é uma gaussiana cuja variância é

22

2

30

2

22

1( ) exp( )

2(2 )2 2

XX

ResumindoSe:

2 2

1 1 12

1( ) exp( /2 )

2x x

2 2

2 2 22

1( ) exp( /2 )

2x x

Então à soma 21 xxX

1x 2xe são variáveis aleatórias independentes com distribuições gaussianas:


é associada a distribuição gaussiana:

31

GenericamenteSe:

2 2

2

1( ) exp( /2 ) ,

2j j jx x

Nxxx ...,,, 21 são N variáveis aleatórias mutuamente independentes com distribuições gaussianas,

2

22

1( ) exp( )

22

XX

NN

Então a distribuição associada à soma1 2 ... NX x x x

2 2X N

é dada por:


Distribuição da soma de variáveis aleatoriamente independentes gaussianas

Nj ...,,2,1

Variância de

22 jx

)(X

Variância de )( jj x

33

1) Imaginemos uma população de indivíduos que vive em um ambiente isolado

2) Imaginemos também que o ambiente esteja altamente poluído e que istoresulte na não reprodução dos indivíduos.

3) Os indivíduos não interagem entre si.

Processo de “Morte pura” – mais detalhes

Tânia Tomé IFUSP


Processo de decaimento radioativo

Descrever o processo de decaimento radioativo em termos de um processo markoviano a tempo contínuo (equação mestra)

Exemplo mais simples:

Objetivo: caracterizar a evolução temporal de um conjunto de núcleos radioativos

Obter a distribuição de probabilidades de termos n núcleos “sobreviventes” em um instante de tempo t

Processo de decaimento

35

= Probabilidade de indivíduos estarem vivos em t

),()( tnPtPn

n

Tânia Tomé IFUSP

Probabilidade de indivíduos estarem vivos em n t

n é uma variável estocástica


ouDecaimento radioativo

36

Formulação do problema

Probabilidade de transição de um estado m para um estado n em um certointervalo de tempo curto : t

( , ) 0T n m

( , )T n m m t

para

para

n m

1n m

( , )m t

W n mt

( , ) ( , 1)W n m m n m

Ou seja,

n m

Delta de Kronecker

Tânia Tomé IFUSP

taxa de morte

nm

taxa de transição

37

Condição inicial:

número de indivíduos no instante é 0n0t

0(0) 1nP 0t 0n n em




dnnn


38

1( ) ( 1) ( ) ( )n n n

dP t n P t n P t

dt

Utilizar a função geratriz

Função geratriz

Encontrar ( )nP t


)(),( tPztzG n

n

n

)()(1

tntpnGz

n

nz

)(2

1

tnGz

zz

z


39

Encontrar ( )nP t),( tzG

)(),( tPztzG n

n

n

)(tPt

zGt

n

n

n

)()1(1

tPznzz

Gt

n

n

n

)(1 tPznGz

n

n

n

)(tPznG

zz n

n

n

ntnnnt

n

zeen

ntzG

)(0 0)1(),(00

( ) (1 )1

nt

n nt

n t

n eP t e

en

Gz

zGt

)1( 0})1{(),(

ntt ezetzG



dnnn

40

Função geratriz – exemplo – processo de morte pura

2 2

0 0 0( ) ( 1) t tn t n n e n e

0})1{(),(ntt ezetzG

)(),( tPztzG n

n

n

t

z

entnGz

0

1

)(

)(2

1

tnGz

zz

z

Variância

2 2( )n t n 2

0 0

t tn e n e

Para grande t 2 2

0( ) tn t n n e n

2 2( )n t n n



//

//

n n

n n

n

0n

0

t0

///

Tânia Tomé IFUSP 2015 41

Valor médio <n> do número de indivíduos sobreviventesversus tempo t

FIM

Documents

Dinâmica Estocástica Aula 3 Agosto de 2015fig.if.usp.br/~ttome/cursos/dinamicaestocastica/Aula_03.pdfAula 3 Agosto de 2015. Função Geratriz. Densidade de probabilidade conjunta,