IEMS-DM

Diskrete Methoden

Schedulingalgorithmen

Prof. Dr. Th. Ottmann

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Lernziele

Welche Bedeutung spielt Scheduling für eingebettete Systeme?

Welche Arten von Schedulingproblemen gibt es?

Wie kann man auszuführende Aktivitäten (Tasks) effizient mit einem passenden Schedulingalgorithmus einplanen?

Beispiele für Scheduling Verfahren:

EDD (Earliest Due Date)

EDF (Earliest Deadline First)

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Bedeutung von Scheduling für eingebettete Systeme

Eingebettete Systeme als Echtzeitsysteme:

Häufig wird von eingebetteten Systemen verlangt, dass sie in fest definierten Zeitschranken arbeiten und mit der Außenwelt kommunizieren, sie sind sogenannte Echtzeit-Computersysteme.

Beispiele für Anwendungen:

Kontrolle von Produktionsprozessen,

Verkehrsleitsysteme,

Telekommunikation,

Robotersteuerung, …

In Echtzeit Systemen unterscheidet man:

harte Tasks: Verpassen der Deadline kann katastrophale Folgen haben

weiche Tasks: Einhalten der Deadline ist erwünscht, aber nicht zwingend

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Bedeutung von Scheduling für eingebettete Systeme

Ausführungszeiten der Tasks müssen bekannt sein.

Problem: Ausführungszeiten schwierig zu bestimmen oder unbekannt

Lösung: Schätze sichere obere Schranken für das Ausführungsende (WCET)

Die jeweils anstehenden Aufgaben (Aktivitäten, Jobs, Tasks) müssen zeiteffizient mit einem Schedulingverfahren eingeplant werden.

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Klassifkation u. Definitionen von Schedulingverfahren

Periodische (vs. aperiodische) TasksTasks, die alle p Zeiteinheiten ausgeführt werden müssen. p ist

die Periode. Jede Ausführung eines periodischen Tasks heißt Job.

Präemptives (vs. nicht-präemptives) Schedulingpräemptiv bedeutet, dass ein Task unterbrochen werden kann und später fortgesetzt werden kann. Ermöglicht u.a. Reaktion auf

externe Ereignisse.

Dynamisches (vs. statisches) Scheduling

Einplanung / Umplanung zur Laufzeit

Harte (vs. weiche) Zeitbedingungen Zeitschranken dürfen nicht überschritten werden

Tasks-Beschreibungsliste (TDL)Ausführung durch Dispatcher in zeitgesteuerten Betriebssystemen

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Statisches vs. dynamisches Scheduling

Statisches (Offline-)Scheduling:

Die Startzeiten aller Tasks werden vorab berechnet, in einer Tabelle niedergelegt (Task-Beschreibungs-Liste, TDL) und an einen zeitgesteuerten Dispatcher weitergeleitet.

Dynamisches (Online-)Scheduling:

Entscheidungen über Prozessorzuweisungen (Scheduling) erfolgen zur Laufzeit. Die Entscheidungen werden aufgrund von Informationen über bisher angekommene Tasks getroffen

Annahme: Ein-Prozessorsystem

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Beispiel Taskbeschreibungsliste

Taskbeschreibungslisten (TDL) werden vom Dispatcher interpretiert und die entsprechenden Tasks angestoßen und überwacht

Der Dispatcher arbeitet taktgesteuert (synchron)

Beispiel:ZEIT Aktion WCET

10 starte T1 16

15 sende M5

26 stoppe T1

33 starte T2 37

... ...

...

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Beispiel eines Schedules von drei Tasks

Scheduling auf einem Prozessor

t4t3t2t1

J1 J2 J3

(t)

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Beispiel eines präemptiven Schedules

Scheduling auf einem Prozessor

t6t3t2t1

J1 J2 J3

t4 t5

J2 J1

(t)

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Zeitgesteuerte Systeme

… pre-run-time scheduling is often the only practical means of providing predictability in a complex system. [Xu, Parnas].

Vorteil:

Es ist einfach, zu prüfen, ob die Zeitbedingen erfüllt sind.

Nachteil:

Antwortzeiten auf seltene Ereignisse können lang sein.

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necessary

Schedulability

Eine Menge von Tasks heißt schedulable bzgl. einer gegebenen Menge von Bedingungen, wenn für die Menge ein Schedule existiert, der die Bedingungen erfüllt.

Exakte Tests sind häufig NP-hard.

Sufficiency Test: Prüft hinreichende Bedingungen für die Existenz eines Schedules.

Folge: Es können Schedules existieren, obwohl die Bedingungen nicht gelten.

Necessary Test: Prüft notwendige Bedingungen für die Existenz eines Schedules.

Wird meistens benutzt zum Nachweis, dass kein Schedule existiert.

schedulablesufficient

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Charakteristika von Tasks und Schedules

Task Ji wird charakterisiert durch:

Ankunftszeit ai

Ausführungszeit Ci

Deadline di

Start Zeit si

Endzeit fi

Optimierungsziele: Minimiere

Durchschnittliche Antwortzeit tr = 1/n ∑i=1n (fi – ai)

Maximale Verspätung (maximum lateness): Lmax = maxi (fi – di)

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Maximale Verspätung

Def.: Maximale Verspätung (Maximum lateness) = maxall tasks (completion time – deadline)

Maximale Verspätung ist < 0, wenn alle Tasks vor ihren jeweiligen Deadlines beendet sind.

t

T1

T2Max. lateness

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Schedulingverfahren von Jackson

Scheduling auf einem Prozessor. Alle n Tasks sind unabhängig voneinander und können zur gleichen Zeit begonnen werden (zum Zeitpunkt 0).

EDD: Earliest Due Date (Jackson, 1955)

Jeder Algorithmus, der die Tasks in der Reihenfolge nicht abnehmender Deadlines ausführt, ist optimal bzgl. der Minimierung der maximalen Verspätung

Bew. (Butazzo, 2002): Sei A ein Algorithmus, der verschieden von EDD ist. Dann gibt es zwei Tasks Ja und Jb in dem von A erzeugten Schedule σ, so dass in σ Jb unmittelbar vor Ja steht, aber da db ist:

Jb Ja

da db

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Optimalität von EDD

Sei ein Schedule, der von einem Algorithmus A erzeugt wird.

Wenn A EDD Ja, Jb, da ≤ db, Jb geht Ja in unmittelbar

voraus. Die maximale Verspätung für Ja und Jb in ist Lmax(a,b) = fa-da

Jb Ja

da db

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Jackson´s Algorithmus (1)

Idee: Vertausche in σ Ja und Jb und zeige, dass die maximale Verspätung höchstens abnimmt.

Fall 1: L´a = f´a – d´a ≥ f´b – d´b = L´b

L'max(a,b) = f'a – da < fa – da = Lmax(a,b)

weil Ja im Schedule ´ eher startet als in .

Jb Ja

f´a fb

Ja Jb

da dbfa

σ

σ´

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Jackson´s Algorithmus (2)

Idee: Vertausche in σ Ja und Jb und zeige, dass die maximale Verspätung höchstens abnimmt.

Fall 2: L´a = f´a – d´a f´b – d´b= L´b

L'max(a,b) = f'b – db = fa – db ≤ fa – da = Lmax(a,b),

weil fa=f'b und da ≤ db

Also ist in jedem Fall L'max(a,b) ≤ Lmax(a,b)

Jb Ja

f´a fb

Ja Jb

da dbfa

σ

σ´

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EDD ist optimal

Jeder Schedule mit Verspätung L kann transformiert werden in einen EDD Schedule n mit Verspätung Ln ≤ L; dieser muss also minimale Verspätung haben.

EDD ist optimal (q.e.d.)

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Jackson´s Algorithmus (3)

EDD-Algorithmus:

Sortiere die n Tasks J1, …, Jn nach aufsteigenden Deadlines d1, …, dn und führe sie in dieser Reihenfolge aus!

Ausführungszeit (für Berechnung eines optimalen Schedules):

O(n log n)

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Schedulingverfahren von Horn (EDF)

Scheduling auf einem Prozessor. Tasks können zu verschiedenen Zeitpunkten ankommen (ausführungsbereit sein) und unterbrochen ausgeführt werden (preemption erlaubt).

EDF: Earliest Deadline First (Horn, 1975)Jeder Algorithmus, der zu jedem Zeitpunkt diejenige ausführungsbereite Task mit der frühesten absoluten Deadline ausführt, ist optimal bzgl. der Minimierung der maximalen Verspätung.

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Schedulingverfahren von Horn (EDF)

Jede ankommende ausführbare Task wird entsprechend ihrer absoluten Deadline in die Warteschleife der ausführbaren Tasks eingereiht

Wird eine neu ankommende Task als erstes Element in die Warteschlange eingefügt, muss gerade ausgeführte Task unterbrochen werden

Effizienz von EDF hängt von Priority Queue Implementation ab!

Sorted queue

Executing task

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Earliest Deadline First (EDF): Beispiel

spätere Deadline no preemption

frühere Deadline preemption

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Optimalität von of EDF (1)

Zu zeigen: EDF minimiert die maximale Verspätung.

Beweis (Buttazzo, 2002): Sei ein Schedule, der von einem Verfahren A erzeugt wird. Sei EDF ein von EDF erzeugter Schedule.

Präemption sei erlaubt: Tasks werden in disjunkten Zeitintervallen ausgeführt

wird in Zeitscheiben der Einheitslänge 1 unterteilt Zeitscheiben werden mit [t, t+1) bezeichnet Sei (t) die in [t, t+1) ausgeführte Tasks. Sei E(t) die Tasks, die zum Zeitpunkt t die früheste deadline hat. Sei tE(t) die Zeit (t) zu der die nächste Zeitscheibe der Tasks E(t)

im Schedule ausgeführt wird.

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Optimalität von EDF (2) Wenn EDF, dann gibt es eine Zeit t: (t) E(t)

Idee: vertausche (t) und E(t) ohne die max. lateness zu vergrößern

Wenn (t) zur Zeit t=0 startet und D=maxi{di }, dann kann EDF aus mit höchstens D Vertauschungen erzeugt werden.

2 4 6 8 10 12 14 160

T1

T3

T2

T4

(t)=4; (tE)=2

2 4 6 8 10 12 14 160

T1

T3

T2

T4

(t)=2; (tE)=4

t

t

t

t

t

t

t

t

[Buttazzo, 2002]

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Optimalität von EDF (3)

Algorithmus interchange:

{ for (t=0 to D -1) {

if ((t) E(t)) {

(tE) = (t);

(t) = E(t); }}}

Mit Hilfe eines analogen Arguments wie beim Jackson Algorithmus kann man zeigen, dass die maximale Verspätung nicht zunehmen kann;also ist EDF optimal.

Konserviert interchange Schedulability?1. Task E(t) wird vorgezogen: Deadline im neuen Schedule wird

eingehalten, wenn Deadline in eingehalten wird.

2. Task (t) wird verzögert: Wenn (t) ausführbar ist, dann ist (tE+1) ≤ dE, wobei dE die früheste Deadline ist. Weil dE ≤ di für jedes i, folgt tE+1 ≤ di, das garantiert Schedulability der verzögerten Task (Zeitscheibe). q.e.d.

[Buttazzo, 2002]

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Scheduling von abhängigen Tasks

Task Graph und ein möglicher Schedule

Schedule kann in Tabelle gespeichert werden.

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Gleichzeitig ankommende Tasks: LDF

The Latest Deadline First (LDF) Algorithm [Lawler, 1973]: LDF liest den Task Graph und legt von allen Tasks ohne Nachfolger jeweils den mit spätester Deadline in einem Stapel ab. Das wird für alle verbleibenden Tasks wiederholt.

Zur Laufzeit werden die Tasks in der so erzeugten Reihenfolge ausgeführt.

LDF ist nicht-präemptiv und is optimal für Ein-Prozessorsysteme.

Wenn es nur eine globale Deadline gibt, führt LDFeine topologische Sortierung der Tasks durch.

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Asynchron ankommende Tasks: mEDF

Dieser Fall kann mit einer Modifikation des EDF Algorithmus behandelt werden: mEDF-Algorithmus

Idee: Verwandle das Scheduling Problem für die Menge abhängiger Tasks in ein Scheduling Problem für unabhängige Tasks mit geeignet gewählten Zeitparametern [Chetto90].

Dieser Algorithmus ist optimal für Ein-Prozessor Systeme.

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Zusammenfassung

Worst case execution times (WCET) Definition von Begriffen im Scheduling:

Harte vs. weiche Deadlines Statisches vs. dynamisches Scheduling Schedulability

Scheduling Verfahren Aperiodische Tasks

ohne Abhängigkeiten alle Tasks gleichzeitig verfügbar (EDD) asynchrone Ankunftszeiten (EDF)

Abhängigkeiten (Precedences) alle Tasks gleichzeitig verfügbar ( LDF) asynchrone Ankunftszeiten ( mEDF)

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Literatur

P. Marwedel: Eingebettete Systeme, Springer-Verlag, Berlin u.a., 2007

G.C. Buttazzo: Hard Real-Time Computing Systems, Predictable Scheduling Algorithms and Applications, Kluwer Academic Publishers, Boston u.a., 2002

P. Brucker: Scheduling Algorithms, 5th ed., Springer-Verlag, Berlin u.a., 2007