I

A. Di Gerlando – R. Perini

Dispensa di Macchine Elettriche

II

1. INTRODUZIONE. ................................................................................................................................ 1 2. RICHIAMI SUI SISTEMI TRIFASE.................................................................................................... 3

1. Generalità sui sistemi trifase. .............................................................................................................. 3 2. Potenza nei sistemi trifase................................................................................................................... 4 3. Sistemi trifase in regime sinusoidale. ................................................................................................. 5 4. Sistemi trifase a tre fili, simmetrici ed equilibrati. ............................................................................. 7

4.1. Carico equilibrato connesso a stella............................................................................................. 7 4.2. Carico equilibrato connesso a triangolo....................................................................................... 9

5. Studio delle reti trifase a tre fili simmetriche ed equilibrate. ........................................................... 10 6. Sistemi trifase a tre fili simmetrici e squilibrati. .............................................................................. 12 7. Sistemi trifase a quattro fili.............................................................................................................. 12

7.1. Sistemi trifase a quattro fili, con quarto filo di impedenza nulla. ............................................. 13 7.2. Sistemi trifasi a quattro fili, con quarto filo di impedenza non nulla......................................... 15

3. RICHIAMI SUL CAMPO MAGNETICO. .......................................................................................... 18 1. Generalità.......................................................................................................................................... 18 2. Circuiti magnetici. ............................................................................................................................ 18 3. Legge di Hopkinson (o legge di Ohm magnetica). ........................................................................... 21 4. Calcolo di riluttanze e studio dei circuiti magnetici.......................................................................... 22 5. La legge della induzione elettromagnetica........................................................................................ 25 6. Flusso del campo e flusso concatenato. ............................................................................................ 28 7. Induttanza (o autoinduttanza). .......................................................................................................... 29 8. Mutua induttanza. ............................................................................................................................. 31 9. F.e.m. indotte di auto e mutua induzione: sistemi lineari. ................................................................ 35 10. Richiami riguardanti le azioni meccaniche sui sostegni del campo magnetico. ............................. 37

4. CENNI SUI MATERIALI IMPIEGATI NELLE MACCHINE ELETTRICHE. ................................ 42 1. Materiali Conduttori. ........................................................................................................................ 42

Dipendenza della resistività dalla temperatura. ................................................................................ 43 2. Materiali Magnetici........................................................................................................................... 43

Ciclo di isteresi ................................................................................................................................. 44 Perdita per isteresi............................................................................................................................. 48 Perdite per correnti parassite............................................................................................................. 48

3. Materiali Isolanti............................................................................................................................... 50 Rigidità dielettrica............................................................................................................................. 51 Dipendenza dalla temperatura delle proprietà isolanti...................................................................... 51

5. IL TRASFORMATORE....................................................................................................................... 53 1. Generalità.......................................................................................................................................... 53 2. Principi di funzionamento; cenni costruttivi. .................................................................................... 54 3. Studio del trasformatore con le equazioni degli induttori mutuamente accoppiati. .......................... 55 4. Il trasformatore ideale. ...................................................................................................................... 56 5. Il trasformatore reale con nucleo magnetico senza perdite. .............................................................. 59 6. Proprietà elettriche e magnetiche intrinseche del trasformatore ideale............................................. 65 7. Perdite nel materiale magnetico e loro rappresentazione circuitale. ................................................. 66 8. Funzionamento in regime sinusoidale. Circuiti equivalenti semplificati. ......................................... 67 9. Grandezze nominali. ........................................................................................................................ 69 10. Funzionamento a vuoto. Trasformatori di misura voltmetrici (TV). ............................................. 69 11. Funzionamento in corto circuito. Trasformatori di misura amperometrici (TA). .......................... 71 12. Dati di targa. .................................................................................................................................. 74 13. Variazione di tensione nel passaggio da vuoto a carico................................................................. 74 14. Corrente di corto circuito. .............................................................................................................. 77 15. Perdite e rendimento. ...................................................................................................................... 80 16. Autotrasformatore ideale. ............................................................................................................... 82 17. Trasformatore ideale a tre avvolgimenti. ........................................................................................ 84 18. Trasformatori trifase. ...................................................................................................................... 85

6. CAMPO MAGNETICO ROTANTE.................................................................................................... 88 Il campo magnetico monofase. ............................................................................................................. 88 Campo di f.m.m. al traferro prodotto da un avvolgimento trifase percorso da corrente alternata sinusoidale. ........................................................................................................................................... 91

III

Campo di f.m.m. a due poli prodotto da un avvolgimento bifase percorso da corrente alternata sinusoidale. ........................................................................................................................................... 93 Avvolgimenti a più coppie polari. Angolo meccanico e elettrico......................................................... 94 F.m.m. e flusso di un polo. ................................................................................................................... 96 F.e.m. indotta in un avvolgimento da un campo di f.m.m. ................................................................... 97

7. MACCHINA SINCRONA. ................................................................................................................ 100 1. Generalità e caratteristiche costruttive. ........................................................................................... 100 2. Funzionamento con solo induttore percorso da corrente. ............................................................... 102 3. Funzionamento con solo indotto percorso da corrente. .................................................................. 104

3.1. Effetti delle correnti di statore. ................................................................................................ 104 3.2. F.m.m., flussi e f.e.m. di indotto. ............................................................................................. 106 3.3. Diagramma vettoriale delle grandezze nel funzionamento con solo indotto alimentato.......... 107

4. Funzionamento a carico. ................................................................................................................. 107 4.1. Reazione di indotto (o di armatura). ........................................................................................ 107 4.2. Diagramma vettoriale della macchina isotropa e circuito equivalente..................................... 108

5. Energetica delle grandezze meccaniche.......................................................................................... 110 5.1 Stabilità statica. ......................................................................................................................... 112

8. MACCHINA A INDUZIONE (ASINCRONA)................................................................................. 115 1. Cenni costruttivi e generalità. ......................................................................................................... 115 2. Funzionamento con avvolgimento secondario aperto e rotore fermo. ............................................ 117

2.1. Il campo rotante e le f.e.m. indotte. ......................................................................................... 117 2.2. Rappresentazione vettoriale sul piano della macchina............................................................. 119

3. Funzionamento con avvolgimento secondario chiuso e rotore fermo. ........................................... 120 3.1. Effetti delle f.m.m. agenti al traferro. ...................................................................................... 121 3.2. Circuito equivalente a rotore bloccato. .................................................................................... 122

4. Funzionamento con avvolgimento secondario aperto e rotore in movimento. ............................... 123 5. Funzionamento con avvolgimento secondario chiuso e rotore in movimento................................ 124

5.1. Velocità dei campi rotanti. ....................................................................................................... 124 5.2. Circuiti equivalenti e trasformazione di frequenza. ................................................................. 125

6. Circuiti equivalenti per lo studio del funzionamento...................................................................... 127 6.1. Interpretazione magnetica ed energetica della trasformazione di frequenza. .......................... 127 6.2. Potenza e coppia trasmesse al traferro. .................................................................................... 127 6.3. Circuito equivalente semplificato della macchina asincrona. .................................................. 128

7. Significati di scorrimento e modi di funzionamento della macchina asincrona.............................. 129 7.1. Caratteristica meccanica della macchina asincrona trifase. ..................................................... 130 7.2. Funzionamento della macchina asincrona con scorrimento nel campo s > 1 (freno). ............ 133 7.3. Funzionamento della macchina asincrona con scorrimento nel campo s < 0 (generatore). ..... 133

8. Avviamento (“spunto”) dei motori asincroni.................................................................................. 133 9. Inversione del moto. ....................................................................................................................... 135 10. Grandezze nominali. ..................................................................................................................... 135 11. Controllo scalare di una macchina asincrona (regolazione V/f). .................................................. 137

9. MACCHINE CON COLLETTORE A LAMELLE (A CORRENTE CONTINUA). ........................ 142 1. Generalità e caratteristiche costruttive. ........................................................................................... 142

1.1. Principio di funzionamento...................................................................................................... 142 1.2. Struttura della macchina a collettore........................................................................................ 143

2. Funzionamento a vuoto................................................................................................................... 144 3. Funzionamento a carico. ................................................................................................................. 149

3.1. Coppia elettromagnetica ed equazioni di funzionamento. ....................................................... 149 3.2. Reazione di indotto: effetti e rimedi. (*).................................................................................. 152

4. Modi di eccitazione della macchina a c.c.. ..................................................................................... 153 5. Caratteristiche della macchina a c.c. nel funzionamento come generatore.................................... 154 6. Caratteristiche della macchina a c.c. nel funzionamento come motore. ......................................... 155 7. Caratteristica meccanica del motore a c.c. con eccitazione indipendente....................................... 155 8. Regolazione di armatura e campo di un motore in c.c. ad eccitazione separata. ............................ 157 9. Equazioni rappresentative della macchina in c.c. ad eccitazione separata in regime dinamico...... 160 10. Motore a c.c. con eccitazione serie. .............................................................................................. 164

10.1. Caratteristica meccanica in assenza di saturazione. ............................................................... 164 10.2. Caratteristica meccanica in condizioni di saturazione magnetica. ......................................... 165

IV

10. CARATTERIZZAZIONE DINAMICA DI UN SERVOMOTORE IN CORRENTE CONTINUA A MAGNETI PERMANENTI. .................................................................................................................. 168

Costanti di tempo elettrica e meccanica.............................................................................................. 168 Avviamento a carico, potenza transitoria e scelta del rapporto ingranaggi ........................................ 172

1

1. INTRODUZIONE. Si definisce “macchina elettrica” un dispositivo per la conversione dell’energia da:

elettrica elettrica (con diversi valori della tensione e della corrente)

elettrica meccanica basato sulle due seguenti leggi:

1. legge dell’induzione elettromagnetica (di Faraday –Neumann):

dt

tdte c ,

tc : flusso concatenato con una bobina;

e(t): forza elettromotrice indotta nella bobina.

2. Legge delle azioni elettrodinamiche:

BxiF ,

F : forza che agisce su un conduttore, di lunghezza , percorso dalla corrente i e posto in un campo magnetico di induzione B . Il termine “x” indica il prodotto vettoriale. Si consideri un raddrizzatore statico (ponte di Graetz), fig. 01. Esso converte energia elettrica dalla tensione alternata alla tensione continua. Il suo funzionamento non si basa sulle due leggi sopra enunciate, ma sulla proprietà dei diodi di condurre la corrente in modo unidirezionale. NON è quindi una macchina elettrica. Si consideri un elettromagnete (fig. 02). Alimentando l’avvolgimento, si crea un campo magnetico che attira l’ancora mobile verso il nucleo. Il funzionamento si basa sulle leggi prima enunciate. D’altra parte questo dispositivo comporta solo un piccolo spostamento dell’ancora mobile, per poi trattenerla nella posizione finale. Il suo scopo non è una continua conversione di energia elettrica in meccanica e quindi NON può essere definito una macchina elettrica.

Fig. 01. Un convertitore statico NON è una macchina elettrica, poiché non basa il suo funzionamento sulle leggi dell’induzione elettromagnetica e delle azioni

elettrodinamiche.

Fig. 02. Un elettromagnete NON è una in macchina

elettrica, poiché non effettua una CONTINUA CONVERSIONE dell’energia elettrica meccanica, ma

solo un piccolo spostamento dell’ancora mobile, mantenendola poi in posizione.

Le macchine elettriche sono: trasformatore: macchina statica che converte l'energia elettrica con valori diversi di

tensione e corrente;

2

macchine sincrona, asincrona ed in corrente continua: si tratta di macchina rotanti che possono funzionare sia da motore che da generatore.

Premesse. Saranno esposti i seguenti argomenti: il sistema trifase, in quanto la maggioranza delle macchine elettriche è di tipo trifase; alcuni richiami sul campo magnetico e sui concetti di auto–induttanza e mutua–

induttanza; cenni sui materiali impiegati nelle macchine elettriche; il trasformatore; il campo magnetico rotante; la macchina sincrona; la macchina asincrona (ad induzione); la macchina in corrente continua.

Si fa presente che le grandezze costanti sono indicate con la lettera maiuscola (es. V), mentre le grandezze variabili nel tempo con la lettera minuscola (es. v). Per le grandezze sinusoidali, la lettera maiuscola indica il valore efficace; il fasore ed il suo coniugato sono indicati rispettivamente con la sopralineatura (V ) e sottolineatura (V ).

3

2. RICHIAMI SUI SISTEMI TRIFASE. 1. Generalità sui sistemi trifase. Si consideri una linea costituita da tre conduttori (1, 2, 3 in fig. 01): supponendo l'energia fluente da sinistra verso destra, si può immaginare la linea come connessione tra una rete di generazione (G) e una di utilizzazione (U), entrambe collegate alla linea tramite tre morsetti.

Fig. 01. Linea trifase a tre fili che connette una rete di generazione G ad una di utilizzazione U. Se si misurano i valori istantanei contemporanei delle correnti nei tre fili come indicato in fi-gura, si ha (legge di Kirchhoff delle correnti):

0321 iii .

Le correnti che percorrono i fili sono chiamate correnti di linea. Le tensioni misurate fra ciascuna coppia di conduttori (v12, v23, v31), come indicato in fig.01,

sono dette tensioni di linea o tensioni concatenate: si noti che il primo indice individua il verso di misura della tensione (morsetto contrassegnato del voltmetro a valori istantanei). Per la legge di Kirchhoff delle tensioni vale la relazione:

0312312 vvv ;

anche per le tensioni concatenate si può osservare che ciascuna di esse è pari alla somma, cambiata di segno, delle altre due:

312312 vvv ; 311223 vvv ; 231231 vvv .

Oltre alle tensioni di linea, in un sistema trifase si definiscono le tensioni di fase, differenza fra il potenziale di ciascun filo di linea e il potenziale di un punto 0 (v. fig. 01), in generale esterno alla linea trifase: v10, v20, v30 .

Applicando anche in questo caso la legge delle tensioni, si deducono i seguenti legami fra ten-sioni di fase e di linea:

201012 vvv ; 302023 vvv ; 103031 vvv ;

4

2. Potenza nei sistemi trifase. Si consideri un sistema trifase a tre fili: le correnti di linea istantanee contemporanee siano ti1 , ti2 , ti3 e le tensioni concatenate istantanee contemporanee siano tv12 , tv23 , tv31 .

La corrente nel terzo conduttore è interpretabile come la somma, cambiata di segno, delle altre due:

213 iii .

Pertanto, il sistema trifase a tre fili può essere immaginato come costituito da due sistemi monofase aventi come filo di andata i fili 1 e 2 ed il filo 3 come ritorno in comune. Si consideri un generico punto esterno 0 e le tensioni di fase istantanee contemporanee 10v ,

20v , 30v .

La potenza istantanea che transita sulla linea trifase può essere vista come la potenza associata alle due linee monofase di cui si è detto. Essa vale:

223113 ivivtp .

Elaborando questa espressione si ottiene:

3302201102130220110

2302013010223113

iviviviiviviv

ivvivvivivtp

,

cioè la potenza trifase è pari alla somma delle potenze di ciascun filo. In definitiva la potenza istantanea di una rete trifase (e le potenze che da essa si deducono) è la somma delle potenze associate a ciascun conduttore, qualunque sia il centro 0 rispetto al quale si valutano le tensioni di fase; in particolare, tale centro può cadere su uno dei tre conduttori. Questo suggerisce una procedura molto vantaggiosa per la misura della potenza trifase, nota come inserzione Aron: la potenza trifase può essere misurata con l'impiego di due soli wattmetri, inseriti come mostrato in fig. 02. Naturalmente tale inserzione è valida per il rilievo non solo della potenza istantanea, ma anche della potenza attiva. Le considerazioni svolte riguardo ad un sistema a tre fili possono essere generalizzate nel caso di una linea ad N fili: preso uno dei fili come conduttore di ritorno comune per i rimanenti (N-1), la potenza trasmessa lungo tale linea è pari alla somma delle potenze delle (N-1) reti monofasi che hanno quel filo come conduttore di ritorno in comune.

Fig. 02. Misura della potenza transitante lungo la linea (inserzione Aron).

5

3. Sistemi trifase in regime sinusoidale. Se il sistema trifase funziona in regime alternato sinusoidale, le grandezze elettriche sono rappresentabili con i corrispondenti vettori (tensioni di linea: 12V , 23V , 31V ; tensioni di fase:

10V , 20V , 30V ; correnti di linea: 1I , 2I , 3I ).

Agli effetti della definizione delle tensioni di linea, verrà nel seguito utilizzata la seguente convenzione per l'assegnazione del nome ai tre fili: identificato ad arbitrio uno qualsiasi dei conduttori con il N°1, si chiama 2 il conduttore tale che la tensione 12V è in anticipo sulla

tensione 23V e questa sulla tensione 31V .

Complessivamente, le relazioni precedentemente considerate per i valori istantanei contemporanei delle tensioni e delle correnti si possono scrivere:

0312312 VVV ;

201012 VVV ; 302023 VVV ; 103031 VVV ;

0321 III .

Pertanto i vettori tensione di linea ed i vettori corrente di linea costituiscono i lati di due triangoli (fig. 03): infatti una poligonale chiusa di vettori concorrenti (in particolare un triangolo) è caratterizzata dall'avere risultante nulla. Se in un sistema trifase a tre fili i vettori tensione di linea formano un triangolo scaleno (V12

V23 V31), si parla di "sistema di tensioni dissimmetriche"; viceversa, se il suddetto triangolo

delle tensioni di linea è equilatero (vettori di uguale modulo e sfasati fra loro di 120°), si parla di "sistema di tensioni simmetriche". Considerato un sistema trifase con tensioni simmetriche, se i vettori correnti di linea formano un triangolo scaleno qualunque, si parla di "sistema trifase di correnti squilibrate"; viceversa, se tale triangolo di correnti è equilatero, si parla di "sistema di correnti equilibrate".

Fig. 03. Triangolo dei vettori delle tensioni concatenate e delle correnti di linea.

Quanto alle possibili scelte del punto 0 per la definizione delle tensioni di fase, si consideri la situazione rappresentata in fig. 04.a. Dai tre fili sono derivate tre impedenze uguali Z , connesse "a stella": detto G il centro stella, la somma delle tensioni di fase misurate rispetto a G può così esprimersi:

0321321321 IIIZIZIZIZVVV GGG .

Dunque le tre tensioni di fase misurate rispetto al centro stella G delle impedenze hanno somma vettoriale nulla. Per quanto riguarda il diagramma vettoriale, si mostra facilmente che il punto

6

"elettrico" G, rispetto al quale le tensioni di fase hanno somma vettoriale nulla, coincide con il baricentro del triangolo delle tensioni concatenate (v. fig. 04.b): tale punto prende il nome di centro teorico del sistema trifase di tensioni.

Fig. 04a – 04b. Costruzione pratica del centro teorico G del sistema trifase di tensioni. Talvolta è consuetudine indicare con un solo indice le tensioni di fase misurate rispetto al centro teorico G ( GVV 11 ; GVV 22 ; GVV 33 ); per tali tensioni vale la relazione:

0321 VVV .

Anche nei sistemi trifase, come per un qualunque circuito in regime sinusoidale, si definiscono la potenza apparente, attiva e reattiva. In generale il vettore potenza apparente trifase tA è così definito:

3

10

3

1 kkk

kkt IVAQjPA .

Anche la potenza apparente trifase gode della proprietà di invarianza rispetto al punto 0 di riferimento delle tensioni di fase. Come punto 0 si può pertanto scegliere un punto posto su uno dei tre fili (misura della potenza secondo Aron):

223113 IVIVAt .

Esprimendo la potenza attiva mediante l'operatore prodotto scalare () fra vettori, si ha:

223113 IVIVPt . [W: watt]

La potenza reattiva può essere espressa attraverso il modulo del prodotto vettoriale (x) fra vettori tensione e corrente (infatti: VIIVIxV sin ).

Nel caso del sistema trifase a tre fili si ha:

223113 || IxVIxVQt [var: volt-ampere reattivi]

(per ogni prodotto vettoriale si deve considerare il modulo con segno positivo se la corrente è in ritardo rispetto alla tensione, altrimenti il segno negativo). Si definisce fattore di potenza di una rete trifase la quantità:

7

t

t

A

Pcos .

Il fattore di potenza cos è una quantità invariante rispetto allo spostamento del punto 0 cui sono riferite le tensioni di fase: infatti, rispetto a tale spostamento non cambiano Pt, Qt, At, e

quindi neanche il cos . 4. Sistemi trifase a tre fili, simmetrici ed equilibrati. Costituiscono una categoria assai ampia nell'insieme dei sistemi trifase oggetto di studio: è infatti evidente l'opportunità pratica che i sistemi trifase impiegati nelle applicazioni siano realizzati in modo costruttivamente simmetrico e fatti funzionare, per quanto possibile, con carichi equilibrati. Un esempio molto semplice di sistema trifase a tre fili, simmetrico nelle tensioni, è rappresentato dalla terna di generatori raffigurata in fig. 05. Tale sistema contiene tre generatori ideali collegati a stella, le cui tensioni:

EE 1 ; 3

2

2

j

eEE ; 3

4

3

j

eEE

costituiscono un sistema simmetrico di vettori: la caratteristica di tale sistema di vettori è quella di essere uguali ed a 120° (2·/3 radianti) l'uno dall'altro. Conseguenza di ciò è che questi tre vettori sono a somma nulla: pertanto, il centro stella di tali generatori coincide con il centro teorico G, cioè con il baricentro del triangolo delle tensioni concatenate. Nel caso di sistema simmetrico di tensioni, il triangolo delle tensioni concatenate è equilatero: anche le tensioni di linea costituiscono tre vettori uguali fra loro e posti a 120° l'uno dall'altro. In questa situazione simmetrica (fig. 06), tra il modulo delle tensioni di linea ed il modulo delle tensioni di fase sussiste la seguente relazione:

fasefaselinea VVV 732.13 .

Infatti (fig. 06):

60sin2 112 E

V

2

3

2 112 E

V da cui la tesi.

Fig. 05. Sistema simmetrico nelle tensioni ed equilibrato

nelle correnti Fig. 06. Diagramma vettoriale delle tensioni e delle

correnti in un sistema trifase simmetrico ed equilibrato.

4.1. Carico equilibrato connesso a stella.

Nel sistema di fig. 05 vi è anche una terna di impedenze uguali, di valore jeZZ ,

collegate a stella. Dette 1V , 2V , 3V le tensioni di fase misurate ai morsetti delle impedenze di carico Z ,

valgono le seguenti leggi delle tensioni:

8

GVEV 011 ; GVEV 022 ; GVEV 033

essendo GV0 la tensione fra il centro stella delle impedenze e quello dei generatori.

D'altra parte, considerata la simmetria delle tensioni dei generatori e l'uguaglianza delle impedenze di carico, è evidente che il punto 0, centro stella delle impedenze di carico connesse a stella, si trova allo stesso potenziale del punto G:

00 GV ;

da ciò si deduce che le tensioni di fase sulle impedenze sono uguali alle corrispondenti tensioni dei generatori. Le correnti, pertanto, sono pari a:

jeZ

E

Z

E

Z

VI 111 ;

3

2

222

je

Z

E

Z

E

Z

VI ;

3

4

333

je

Z

E

Z

E

Z

VI .

Dunque il sistema delle correnti di linea costituisce una terna di correnti equilibrate (vettori uguali in modulo ed a 120° l'uno dall'altro), come mostrato in fig. 06: ciascuna corrente di linea è sfasata dello stesso angolo (angolo caratteristico dell'impedenza Z ) rispetto alla corrispondente tensione di fase. Per quanto riguarda la potenza trifase, dalla definizione generale di vettore potenza apparente trifase si ottiene:

jt eIEIEIEIEA 3332211 .

Dunque in un sistema simmetrico ed equilibrato la potenza apparente trifase è il triplo della potenza apparente di ciascuna fase; il modulo di tA è pari a:

IVIEA lineat 33 .

Le potenze attiva e reattiva valgono rispettivamente:

cos3cos3 IVIEP lineat

sin3sin3 IVIEQ lineat .

Queste espressioni mettono in evidenza una importante caratteristica dei sistemi trifase: se si considerasse di volere trasportare con tre linee monofase una potenza di fase pari a E·I·cos, la linea di trasporto complessiva necessiterebbe di sei conduttori, ciascuno dimensionato per trasportare la corrente di linea I. Viceversa la adozione di una linea trifase consente di dimezzare il numero di conduttori necessari, a pari potenza totale trasportata. Per quanto riguarda la potenza istantanea, nel caso monofase essa è costituita da un valore medio, pari alla potenza attiva P, più una sinusoide potenza istantanea a valore medio nullo, di ampiezza pari alla potenza apparente A, e di frequenza doppia rispetto a quelle di tensione e corrente. Nel caso trifase simmetrico ed equilibrato, la potenza istantanea trifase è la somma delle potenze istantanee di fase:

titvtitvtitvtptptptpt 332211321 ,

9

dove le tensioni di fase sono misurate rispetto al centro teorico. Considerate per tensioni e correnti le seguenti espressioni:

tVtv f cos21 ;

3

2cos22 tVtv f ;

3

4cos23 tVtv f ;

tIti cos21 ;

3

2cos22 tIti ;

3

4cos23 tIti ;

le singole potenze di fase risultano pari a:

tIVIViv ff 2coscos11 ;

3

42coscos22 tIVIViv ff ;

3

22coscos

3

82coscos33 tIVIVtIVIViv ffff ;

Si riconosce facilmente che nella somma delle potenze istantanee di fase le tre sinusoidi si annullano istante per istante (infatti sono di uguale ampiezza e sfasate fra loro di 120°), per cui:

cos3cos3 IVIVtp lineaft ;

pertanto la potenza istantanea trifase di un sistema simmetrico ed equilibrato è costante. Il fatto che la potenza trifase istantanea è costante non è in contraddizione con l'esistenza di

una potenza reattiva trifase, pari a sin3 IVQ lineat : infatti, per ciascuna fase k (k=1,2,3)

la potenza reattiva è il valor massimo della potenza istantanea (pkq) associata alla componente

istantanea di corrente (ikq) in quadratura con la tensione istantanea di fase (vk); pertanto è nulla

la somma di tali potenze istantanee, mentre non è nulla la somma dei loro valori massimi ( sinIV f ). Discorso analogo vale per la tA .

Si noti che, pur esprimendo la tensione di fase Vf in funzione della tensione di linea Vlinea

( 3lineaf VV ), l'angolo è sempre quello di sfasamento fra tensione di fase e corrente di

linea.

4.2. Carico equilibrato connesso a triangolo. Si tratta di una situazione circuitale del tipo di fig. 07: il sistema delle tensioni (sia di fase che di linea) è sempre simmetrico, mentre le impedenze Z , uguali fra loro, sono collegate a triangolo. Data la simmetria delle tensioni concatenate, le correnti nei lati del triangolo costituiscono un sistema equilibrato, il cui valore è pari a:

Z

VI 1212 ;

Z

VI 23

23 ; Z

VI 31

31 .

D'altra parte sussistono le seguenti leggi delle correnti ai nodi:

31121 III ; 12232 III ; 23313 III ;

considerando che anche il sistema delle correnti di linea è equilibrato, si può costruire il diagramma vettoriale di fig. 08, che corrisponde graficamente alle precedenti leggi delle correnti.

10

Fig. 07. Sistema trifase simmetrico ed equilibrato con carico connesso a triangolo.

Fig. 08. Diagramma vettoriale delle correnti del

sistema di fig. 07. Per quanto riguarda il legame fra i moduli di tali correnti si ottiene, analogamente a quanto visto per le tensioni:

trianglinea II 3 .

E' interessante osservare che, se le stesse impedenze di valore Z vengono collegate a stella, le potenze assorbite dalla linea risultano pari ad 1/3 di quelle del collegamento a triangolo. Infatti la potenza apparente trifase nel collegamento a stella vale:

Z

V

Z

VVIVA

ffflineaYftY

2

333

,

mentre la potenza apparente trifase nel caso di collegamento triangolo (indicando con ID la corrente nel

lato del triangolo) vale :

Z

V

Z

VVIVA

fffDlineatD

2

93

333

,

ovvero: tYtD AA 3 .

Visto in termini di correnti di linea, il confronto comporta che:

Z

V

V

AI

f

f

tYlineaY

3;

Z

V

V

AI

f

f

tDlineaD

3

3 ;

pertanto nel caso di collegamento a stella la corrente di linea risulta pari ad 1/3 di quella del collegamento a triangolo. In alcune applicazioni, questo fatto viene sfruttato per limitare la corrente assorbita dalla linea (vedi, ad esempio, la commutazione stella-triangolo durante l'avviamento di un motore asincrono). 5. Studio delle reti trifase a tre fili simmetriche ed equilibrate. Lo studio di una rete trifase simmetrica nelle tensioni ed equilibrata nelle correnti può essere facilmente ricondotto alla risoluzione di una rete monofase equivalente, previa trasformazione degli eventuali carichi trifasi collegati a triangolo negli equivalenti carichi collegati a stella. Considerando il caso di carichi passivi, costituiti da impedenze, si tratta di effettuare la trasformazione rappresentata in fig. 09:

11

DY ZZ 3

1 .

Fig. 09. Trasformazione di un carico da triangolo a stella. Ad esempio, la rete trifase di fig. 10.a può essere trasformata come indicato nella fig. 10.b: in questo modo tutti i carichi (realmente collegati a stella o in connessione a stella equivalente) presentano un centro stella fisico. Data l'ipotesi di simmetria ed equilibrio, tutti i centri stella della rete (i punti G, 0', 0", 0"' nell'esempio di fig. 10.b) risultano fra loro equipotenziali e quindi ogni fase del sistema trifase (ad esempio la fase 1) può essere rappresentata utilizzando il circuito equivalente monofase di fig. 11.

Fig. 10.a . Rete trifase simmetrica ed equilibrata con carichi connessi a stella ed a triangolo. Calcolate le grandezze di interesse relative a questo circuito (correnti, potenze attive e reattive della fase 1), le quantità delle altre fasi si ottengono in modo molto semplice: le potenze attive e reattive sono uguali a quelle già calcolate per la fase studiata, mentre le correnti si ottengono da quelle calcolate, con una opportuna rotazione di 120° (fase 2) e di 240° (fase 3). Per quanto riguarda i carichi originariamente connessi a triangolo, le correnti nei lati di tali triangoli si ottengono facilmente con le equazioni ai nodi, ovvero con il diagramma vettoriale mostrato in precedenza. Nel caso di reti monofasi è utile l’impiego del metodo di Boucherot per il calcolo con equazioni scalari delle grandezze tensioni, correnti, potenze. Poiché la potenza attiva, reattiva e apparente di un sistema trifase simmetrico ed equilibrato è pari a tre volte quella del monofase equivalente, anche le reti trifase possono essere studiate con il metodo di Boucherot: si può passare al monofase equivalente e poi da questo alle potenze del trifase moltiplicando per tre i risultati, oppure si può applicare il metodo di Boucherot direttamente alla rete trifase, facendo ovviamente attenzione al tipo di collegamento (per collegamenti a triangolo si devono considerare le tensioni di linea, mentre si impiegano quelle di fase nel caso stella).

12

Fig. 10.b Trasformazione dei carichi a triangolo, di fig. 10.a, negli equivalenti a stella.

Fig. 11. Rete equivalente di una fase del sistema trifase di fig. 10.b . 6. Sistemi trifase a tre fili simmetrici e squilibrati. Normalmente i generatori trifasi sono in grado di fornire un sistema simmetrico di tensioni; tuttavia può avvenire che i carichi non siano equilibrati nelle correnti, per effetto di impedenze di carico diverse sulle tre fasi. Tale condizione si presenta quando lo squilibrio delle correnti di linea non è tale da modificare sensibilmente la simmetria delle tensioni (per effetto delle diverse cadute di tensione sulle impedenze della linea e/o sulle impedenze interne del generatore) . Un esempio di circuito squilibrato è rappresentato in fig. 12; come metodo risolutivo si può adottare uno qualunque dei metodi di impiego generale, ad esempio le equazioni di Kirchhoff:

0

0

0

333222

222111

321

EIZIZE

EIZIZE

III

La risoluzione di questo sistema fornisce le correnti cercate. Quanto alle potenze, valgono le espressioni generali già riportate nella parte finale del Prg. 3. 7. Sistemi trifase a quattro fili. Uno schema di linea trifase a quattro fili, avente la funzione di connettere una zona di generazione della potenza (sottosistema G) ad una zona di utilizzazione (carichi A, B, C, D) è quello rappresentato in fig. 13: il quarto filo, detto “conduttore di neutro” o semplicemente “neutro”, è connesso al centro stella del generatore e viene distribuito insieme ai conduttori delle tre fasi. I sistemi a quattro fili sono molto usati nella distribuzione di energia a bassa tensione in quanto, con un solo sistema trifase, rendono disponibile agli utilizzatori due diversi livelli di tensione:

13

un sistema trifase di tensioni concatenate ad uso degli apparecchi trifasi (utenze industriali);

un sistema trifase di tensioni di fase (minori rispetto a quelle di linea nel rapporto 3 ) per la alimentazione di carichi monofase (tipicamente utenze domestiche).

In altre parole, il sistema di distribuzione in bassa tensione (<1000V) dell’Ente Distributore di Energia (ENEL, società municipalizzate) è a quattro fili alla tensione di 400V/230V. Ogni singola abitazione è connessa tra una fase ed il neutro ( VV fase 230 ). Per equilibrare l’insieme

dei carichi monofase, le diverse abitazioni sono connesse tra il neutro e i diversi (tre) conduttori di fase (carichi A, B, C di fig. 13). Le aziende che richiedono all’Ente Distributore di Energia una potenza elettrica minore di 80 – 100kW sono alimentate con tutti e quattro i conduttori. I tre conduttori di fase (1, 2, 3), tra cui esiste la tensione VVlinea 400 , alimentano i motori, tipicamente trifase. Tra ogni conduttore di

fase ed il neutro ( VV fase 230 ) sono connessi i carichi di minor potenza, quali lampade di

illuminazione, calcolatori, stampanti.

Fig. 12. Sistema trifase a tre fili simmetrico e

squilibrato.

Fig. 13. Schema di un sistema trifase a quattro fili. A, B, C

rappresentano carichi monofase di tipo domestico; D rappresenta una piccola industria.

Le utenze industriali di potenza superiore a 80 – 100 kW sono alimentate da un sistema trifase a tre fili (par. 4) alla tensione: kVVlinea 15 o kVVlinea 23 per potenze fino ad alcuni MW (mega–watt);

tensioni superiori (ad es. kVVlinea 60 o kVVlinea 130 ) per potenze maggiori.

All’interno dell’azienda, dei trasformatori (cap. 5) adattano la tensione ai livelli richiesti dai diversi carichi (ad es. lineaV = 400V, 500V, 690V; 3kV, 6kV), rendendo naturalmente anche

disponibile il conduttore di neutro, se richiesto (praticamente per la sola rete con VVlinea 400 ).

7.1. Sistemi trifase a quattro fili, con quarto filo di impedenza nulla.

Si tratta di sistemi per i quali si può ritenere trascurabile la c.d.t. lungo il quarto filo, per effetto della corrente 0I che lo percorre: questo fatto può essere dovuto all'entità trascurabile

della impedenza di tale filo, e/o al modesto valore della 0I .

Un semplice esempio di circuito con 4° filo di impedenza nulla è rappresentato in fig. 14, nel quale si considerano, in generale, impedenze di fase diverse fra loro: i centri stella G dei gene-ratori ed O delle impedenze sono vincolati allo stesso potenziale dal collegamento di

14

impedenza nulla costituito dal quarto filo. Pertanto le tensioni ai morsetti delle impedenze coincidono con le corrispondenti tensioni dei generatori, da cui:

Z

E

Z

VI 111 ;

Z

E

Z

VI 22

2 ; Z

E

Z

VI 33

3

3210 IIII .

Fig. 14. Sistema trifase simmetrico a quattro fili, con quarto filo di impedenza nulla. Queste relazioni mettono in evidenza che le correnti di ciascuna fase si calcolano semplicemente come dovute alla propria tensione di fase E , indipendentemente dal fatto che le impedenze di carico siano uguali o diverse fra loro. Questo fatto, dovuto alla presenza del quarto filo, costituisce un ulteriore motivo di adozione della distribuzione a quattro fili: infatti in tal modo ciascun carico monofase assorbe una corrente che dipende dal valore della tensione di fase generata E (a meno delle c.d.t. in linea) e dalla propria impedenza. Pertanto lo squilibrio nelle altre fasi non si ripercuote sulla fase considerata, come invece avviene nel caso a tre fili. Inoltre il quarto filo è percorso dalla somma vettoriale delle tre correnti di fase: pertanto se i carichi sono abbastanza equilibrati, la corrente 0I è modesta (al limite nulla per un sistema

perfettamente equilibrato). Per tale ragione si potrebbe adottare, per il quarto filo, una sezione di conduttore inferiore a quella dei conduttori di fase. Infine, si consideri una rete trifase a tre fili con tensione concatenata di valore V1=230 V e

corrente massima ammissibile I. Essa può trasportare una potenza apparente massima ammissibile pari a:

VAIIIVA 40023033 1 .

Elevando la tensione di linea al valore 12 3 VV (cioè a V2=400 V) e distribuendo insieme

alla linea trifase, anche il quarto filo, i carichi monofase hanno ancora a disposizione la tensione V1 (questa volta come tensione di fase). Nell'ipotesi che tali carichi siano disposti in

modo che le impedenze complessive di fase siano praticamente uguali (carichi equilibrati), è possibile trasportare una potenza apparente pari a:

AAIIVA 732.1340033 2'

con la sola aggiunta del quarto conduttore. Pertanto, con un aumento del 33,3% del rame impiegato (nell'ipotesi di adottare per il quarto filo una sezione pari a quella di ogni fase) si ha una aumento della potenza del 73,2% .

15

7.2. Sistemi trifasi a quattro fili, con quarto filo di impedenza non nulla. Si tratta di sistemi per i quali l'ipotesi precedentemente assunta non è quantitativamente sostenibile. Nel seguito è mostrato un esempio dei metodi di studio adottabili per la risoluzione di questi sistemi, con riferimento al circuito rappresentato in fig. 15. La risoluzione di questo circuito può essere fatta applicando i metodi di uso generale per l'analisi delle reti, quali le equazioni di Kirchhoff:

0

0

0

0

00333

00222

00111

0321

IZIZE

IZIZE

IZIZE

IIII

La risoluzione di questo sistema fornisce direttamente le quattro correnti cercate.

Fig. 15. Sistema trifase a quattro fili, con quarto filo di impedenza non nulla.

Esempio 1 Si abbia un sistema trifase simmetrico a tre fili, con tensione nominale Vn = 400V, che alimenta un carico equilibrato connesso a triangolo ed uno connesso a stella, con impedenza rispettivamente di valore:

aaa XjRZ =(30 + j21) bbb XjRZ =(60 + j24)

Il circuito è riportato in fig. 01_es. Le tre tensioni di fase hanno valore efficace:

3321

nVEEE = 230 V.

Si determinino: la corrente e le potenze attiva e reattiva fornita ai singoli carichi; la corrente all’interno del triangolo; la corrente di linea; la potenza attiva e reattiva erogata dal generatore; il fattore di potenza globale.

16

Fig. 01_es. Rete elettrica dell’esempio.

Si ricorda che, quando si parla della tensione di una rete trifase o di una macchina elettrica trifase, ci si riferisce sempre alla tensione concatenata. Nei calcoli invece, poiché si fa uso del circuito equivalente monofase, compare la tensione di fase. Si applica il metodo esposto al par. 5. In primo luogo si trasforma il carico a triangolo nella stella equivalente:

3a

aYZ

Z =(10 + j7.0)

Si hanno ora due carichi trifase a stella equilibrati. I centri stella sono allo stesso potenziale del centro stella teorico G (centro stella del generatore di f.e.m.). E’ quindi possibile ottenere il circuito equivalente monofase di fig. 02_es: Si consideri il fasore 1E sull’asse reale: 11 EE .

La corrente fornita al primo carico vale:

aja

aYa eI

Z

EI 1 = (15.4 – j10.8) A = 18.8 e – j35.0° A

Le potenze attiva e reattiva fornite al carico a valgono:

aanaaa IVIEP cos3cos3 1 = 10.6 kW;

aanaaa IVIEQ sin3sin3 1 = 7.46 kvar (potenza reattiva induttiva).

Fig. 02_es. Circuito equivalente monofase della rete di fig. 01_es.

17

Il fattore di potenza vale cos(a) = 0.819 R (R: ritardo). Analogamente per il secondo carico:

bb Z

EI 1 = (3.30 – j1.32) A = 3.56 e – j21.8° A

Le potenze attiva e reattiva fornite al carico b valgono:

Pb = 2.28 kW Qb = 0.912 kvar (potenza reattiva induttiva). Il fattore di potenza vale cos(b) = 0.928 R . La corrente all’interno del triangolo ha valore efficace minore della corrente di linea del carico stesso:

3aI

I = 10.9 A .

Il collegamento a triangolo ha il vantaggio di ridurre la corrente all’interno del triangolo di 1.73 volte rispetto alla corrente di linea: in tal modo si possono utilizzare conduttori di sezione minore. La tensione applicata alla singola impedenza è però quella concatenata (400V) e non quella di fase (230V). La corrente di linea (fornita dal generatore) vale:

bag III = (18.7 – j12.1) A = 22.3 e – j32.9° A

La conservazione delle potenze attiva e reattiva consente di valutare algebricamente la potenza erogata dal generatore:

Pg = Pa + Pb = 12.9 kW Qg = Qa + Qb = 8.37 kvar (potenza reattiva induttiva)

22ggg QPA = 15.4 kVA

Il fattore di potenza globale è pari a:

g

gg A

P )cos( = 0.840 R

Tale valore è minore di 0.90, per cui l’insieme dei carichi richiede di essere rifasato tramite una batteria di condensatori, posta in parallelo.

18

3. RICHIAMI SUL CAMPO MAGNETICO.

1. Generalità. Si definisce campo magnetico una regione di spazio dove un pezzo di magnetite (FeOFe2O3) è sottoposto a delle forze. Nel corso di Fisica, si è visto che il campo magnetico è definito localmente da due grandezze:

vettore induzione magnetica B , la cui unità di misura è il tesla (T); vettore forza magnetica (o intensità del campo magnetico) H , la cui unità di misura è

ampere/metro (A/m). Tra questi due vettori esiste la relazione:

HB ,

dove è la permeabilità magnetica del mezzo in cui si svolge il campo. L'unità di misura della permeabilità magnetica è henry/metro (H/m). E' diffuso esprimere la permeabilità come:

r 0 ,

dove: 0 è la permeabilità del vuoto (0 = 410-7 H/m); r è la permeabilità relativa del materiale rispetto a quella del vuoto. E' una grandezza adimensionale. Per lo studio delle macchine elettriche, si distinguono: materiali caratterizzati da permeabilità costante e praticamente pari a quella del vuoto

0; materiali (detti ferromagnetici) la cui permeabilità magnetica dipende dai valori di B o

H. La permeabilità relativa assume valori molto maggiori dell'unità (r 103 104). Di essi si parlerà più avanti.

2. Circuiti magnetici. Si faccia riferimento al nucleo toroidale avvolto di fig. 01. Si tratta di un nucleo magnetico toroidale, caratterizzato da un diametro interno Di e da un

diametro medio di sezione Dm (si supponga che la differenza fra i due diametri sia piccola

rispetto al valore di ciascuno: nucleo sottile); sia A la sezione retta del nucleo, il cui materiale magnetico costitutivo sia di tipo lineare ed isotropo (le sue proprietà intrinseche non cambiano al variare dell'intensità del campo magnetico e della direzione considerata). Attorno al nucleo sia avvolto un conduttore, a costituire un solenoide di N spire; queste siano uniformemente distribuite e percorse da corrente continua di valore I. Con tale disposizione il campo magnetico risulta confinato all'interno del nucleo, in ogni punto è diretto parallelamente alla tangente alla linea media (di diametro Dm) ed ha il verso indicato

in figura; inoltre, l'induzione magnetica B risulta uniforme in tutti i punti della sezione A. La quantità mm D rappresenta la lunghezza media del nucleo magnetico.

Si definisce "circuito magnetico" un tubo di flusso del vettore induzione magnetica, ad esempio il nucleo toroidale di fig. 01. La legge di Ampere o della circuitazione comporta che:

INlH m ,

19

il primo membro di questa relazione (H·lm) può essere interpretato come risultato della

circuitazione del vettore H lungo la linea media lm, linea chiusa di integrazione;

il secondo membro della suddetta relazione (N·I) è la corrente totale concatenata con il circuito magnetico costituito dal nucleo toroidale.

La quantità (N·I), che costituisce la corrente di eccitazione del campo magnetico, è detta forza–magneto–motrice (f.m.m.) ed è usualmente indicata col simbolo M (unità di misura ampere–spire [A]).

Fig. 01. Nucleo magnetico toroidale: esempio di

circuito magnetico. Fig. 02. Solenoide costituito da N spire, percorse dalla

corrente I. Nel caso generale di un campo magnetico non uniforme, la suddetta relazione si generalizza nella seguente forma:

INldH ;

dove N·I è la corrente totale concatenata con la linea di integrazione. Questa relazione, nota con il nome di legge della circuitazione di Ampère, si enuncia così: "la circuitazione del vettore forza magnetica H lungo una linea chiusa è pari alla totale corrente concatenata con tale linea (f.m.m. complessiva)". Il valore della f.m.m. agente lungo una linea è dato dalla corrente totale con cui la linea è concatenata; un caso tipico è quello di avvolgimenti a forma di solenoide, nei quali tutte le spire sono percorse dalla medesima corrente (v.fig. 02). Se N è il numero di spire dell'avvolgimento e I è la corrente che lo percorre, la sua f.m.m. è espressa da:

M = N·I . Il senso della corrente e quello della corrispondente f.m.m. sono legati dalla regola della vite destrorsa: disponendo la vite col suo asse nella direzione della corrente e facendola ruotare, il senso di rotazione e quello di avanzamento individuano rispettivamente i sensi corrispondenti della corrente e della f.m.m.. Correlativamente, disponendo la vite col suo asse nel senso d'azione della f.m.m. e facendola ruotare in senso destrorso, il senso d'avanzamento individua appunto il senso della f.m.m. e la rotazione d'anello della corrente. Nella fig. 02 il verso delle grandezze dirette normalmente al piano del disegno è rappresentato con un punto o con una croce a seconda che la grandezza sia rivolta verso l'osservatore o in senso contrario. Si ricorda, infine, che il senso di una f.m.m. si indica anche per mezzo della sua polarità, collocando il Nord nel verso dove essa esce dall'avvolgimento che la produce e il Sud nel verso dove vi entra. Si consideri ora un circuito magnetico, costituito da tubi di flusso variamente collegati fra di loro: attorno ad alcuni di questi tubi siano disposti degli avvolgimenti, costituiti da spire percorse da correnti continue.

20

In tale sistema la legge di Ampère (che può essere scritta per un qualsiasi cammino chiuso) risulta di utile impiego quando venga applicata alla linea media delle maglie magnetiche (vedi fig. 03); conviene in tal caso spezzare l'integrale di linea di H in tanti contributi quanti sono i "p" tronchi di tubo di flusso contenuti nella maglia. Se vi sono "q" f.m.m. agenti lungo la maglia considerata, si ha:

p

k

q

hl

MdlHk1 1

.

Quando poi la forza magnetica H sia costante lungo ciascun tronco di lunghezza lk, la relazione

scritta si semplifica come segue:

p

k

q

hkk MlH1 1

.

Fig. 03 Esempio di circuito magnetico. Si consideri vera la circostanza (frequente in molte applicazioni e comunque sempre verificata per strutture magnetiche del tipo di fig. 03) che la linea chiusa l passi per punti caratterizzati da assenza di correnti; in altre parole si faccia l'ipotesi che tali correnti siano, al più, concatenate con la linea considerata, ma questa si sviluppi lungo punti dello spazio non interessati da correnti: pertanto lungo la linea l il vettore H è irrotazionale. Allora è possibile definire una funzione scalare potenziale magnetico U, in perfetta analogia a quanto avviene per il campo di conduzione (con V potenziale elettrico). In base a questa osservazione, si chiama tensione magnetica o differenza di potenziale magnetico (d.d.p.m.) la quantità:

B

AABBA lHdltHUUU .

In tal modo la legge di Ampère assume il seguente aspetto:

p

k

q

hk MU1 1

.

Tale relazione è formalmente identica a quella relativa alle maglie elettriche, già nota sotto il nome di legge di Kirchhoff delle tensioni, e si enuncia così: "la somma delle tensioni magnetiche misurate ordinatamente lungo i lati di una maglia magnetica uguaglia la somma delle f.m.m. agenti".

21

Ad esempio, con riferimento alla maglia di fig. 03, assunto il verso orario come verso di percorrenza della maglia, si può scrivere:

2211

8

1

ININlHk

kk

.

Il segno meno davanti alla f.m.m. del tronco 2 si giustifica osservando che, in base alla regola della vite destrorsa, il senso di tale f.m.m. è opposto al verso di percorrenza della maglia. Se ora si pone l'ulteriore ipotesi di campo uniforme in ciascuna sezione di ogni tronco di circuito magnetico, la tensione magnetica ai "capi" di tale tronco può essere espressa come segue:

kkk

kkkk

kkkk A

lABl

BlHU

k : flusso nel generico tronco k-esimo, misurato in weber [Wb];

k : riluttanza del generico tronco k-esimo, misurata in henry-1 [H-1].

Pertanto la legge delle tensioni per i circuiti magnetici può essere scritta come segue:

p

k

q

hkk M1 1

.

3. Legge di Hopkinson (o legge di Ohm magnetica). Con riferimento ai circuiti elettrici, nella sua forma più generale la legge di Ohm si applica ad un tronco di un circuito nel quale circola corrente e nel quale agiscono eventualmente una o più forze elettromotrici. Si assume come direzione convenzionale positiva per la corrente quella che va da A a B; una f.e.m. o una d.d.p. positive tendono a far circolare una corrente positiva. Detta V = VA – VB (v. fig. 04), la legge di Ohm si scrive: V + E = R·I.

In modo analogo la legge di Hopkinson (v. fig. 05): in un tronco di circuito magnetico, interessato dal flusso , nel quale agisca eventualmente una f.m.m. M (o più f.m.m. di valore risultante M) ed ai capi del quale esista una d.d.p.m. U, vale la seguente relazione:

MU .

Fig. 04. Legge di Ohm per un tronco di circuito

elettrico. Fig. 05. Legge di Hopkinson per un tronco di circuito

magnetico. In essa si è indicata con la riluttanza del tronco di circuito, dipendente dalla sezione, dalla lunghezza lAB e dal materiale magnetico di cui è costituito. Per i segni vale la convenzione

analoga a quella illustrata per la legge di Ohm. Il termine rappresenta la caduta di tensione magnetica (c.d.t.m.) sulla riluttanza . D.d.p.m., f.m.m., c.d.t.m. sono grandezze omogenee (tensioni magnetiche), la cui unità di misura è [A].

22

Dei tre casi particolari per la legge di Ohm dei circuiti elettrici, il primo (quello di I=0) non ha riscontro nel caso del tronco di circuito magnetico, dato che in natura non esistono materiali isolanti magnetici, capaci di opporre al passaggio del flusso una riluttanza praticamente infinita. Di conseguenza non può esistere una f.m.m. a circuito aperto: un circuito nel quale agisca una f.m.m. è sempre interessato da flusso. Il secondo e terzo caso si verificano invece anche nei circuiti magnetici: circuito chiuso (U = 0). Risulta: M cioè la risultante delle f.m.m. agenti uguaglia

la totale c.d.t.m. nel circuito; tronco di circuito senza f.m.m. (M = 0). Risulta: U cioè la d.d.p.m. ai morsetti

uguaglia la c.d.t.m. nel tronco. Si usa spesso anche l'espressione reciproca: U , nella quale lA 1 è la

permeanza del circuito. 4. Calcolo di riluttanze e studio dei circuiti magnetici. Il calcolo di una permeanza o di una riluttanza è generalmente piuttosto complesso e incerto, per le seguenti ragioni: tolti pochi casi semplici, il campo non ha configurazione uniforme; i tubi risultano di

sezione variabile e difficili da determinare in modo rigoroso; la permeabilità dei materiali magnetici è fortemente variabile al variare dello stato di

magnetizzazione. Esistono pochi casi nei quali è possibile studiare il campo magnetico con metodo analitico. Tuttavia, nella maggior parte delle situazioni possono essere sufficienti metodi grafici per il tracciamento delle linee di flusso ed equipotenziali; diversamente, è necessario studiare il problema in forma numerica, con l'uso del calcolatore. Dalle considerazioni precedenti, in numerose occasioni è già emersa l'analogia formale tra leggi, grandezze e proprietà dei campi e dei circuiti elettrici e magnetici: in base a tale proprietà, un sistema magnetico può essere studiato con le stesse metodologie utilizzate per studiare un sistema elettrico. A tale scopo è sufficiente tenere presente le grandezze che si corrispondono nella analogia, come riportato nel seguente schema:

Grandezze elettriche Grandezze magnetiche f.e.m. [V] E f.m.-m. [A] M Tensione (o c.d.t.) [V] V Tensione magnet. (o c.d.t.m.) [A] U Corrente [A] I Flusso [Wb] Densità di corrente [A/mm2] S Induzione magn. (densità di flusso)

[Wb/m2 =T] B

Forza elettrica [V/m] K Forza magnetica [A/m] H Conduttività[S/m] Permeabilità [H/m] Resistività [m] Riluttività [H-1m] 1

Resistenza [] R Riluttanza [H-1]

Conduttanza [S] G Permeanza [H] 1H = 1s (henry); 1Wb = 1Vs (weber); 1Wb/m2 = 1T (tesla)

L'osservazione di questa tabella suggerisce un utile metodo per risolvere i circuiti magnetici: il dispositivo magnetico da studiare viene schematizzato con una rete a parametri concentrati nella quale, in forza della analogia elettrico-magnetica, le f.m.m. vengono rappresentate con bipoli generatori di "tensione magnetica" M ed i tronchi in materiale magnetico, costituenti i tubi di flusso, vengono raffigurati con riluttanze. Al fine di una più efficace visualizzazione, si possono anche adottare gli stessi simboli circuitali dei circuiti elettrici (simbolo di generatore di f.e.m. per la f.m.m. e quello di resistenza

23

per la riluttanza), purché si ricordi che i fenomeni rappresentati rimangono fisicamente diversi, pur se trattati in modo analogo. I metodi di analisi delle reti magnetiche sono simili a quelli impiegati per risolvere le reti elettriche; ad esempio, impiegando le equazioni di Kirchhoff, si opera nel seguente modo: lungo i diversi "lati magnetici" della rete si indicano le convenzioni di misura dei flussi

, come fossero delle correnti; si scrivono tante equazioni dei flussi ai nodi quanti sono i nodi (n) della rete meno uno:

01

nl

kk (n–1 equazioni) ;

si scrivono tante equazioni delle tensioni magnetiche quante sono le maglie magnetiche

indipendenti (l-n+1) della rete:

01

ml

kkU (l–n+1 equazioni) ;

si scrive una equazione di Hopkinson (Ohm magnetica) per ogni lato della rete:

MU .

Più semplicemente, si applica il metodo di analisi alle maglie studiato per i circuiti elettrici. Esempio 1. Si consideri il nucleo in ferro di fig. 01_es, in cui la colonna centrale presenta un traferro di spessore . La lunghezza dei diversi tronchi sia d e la sezione sia A. Il nucleo in ferro abbia permeabilità magnetica relativa costante e pari a r. Due avvolgimenti, di N1 e N2 spire, siano avvolti sulla prima e terza colonna. Essi siano alimentati dalle tensioni V1 e V2 e percorsi dalle correnti I1 e I2.

Si faccia inoltre l'ipotesi che tutto il flusso sia confinato nei soli tronchi del nucleo magnetico, senza dispersioni (tutte le spire di ogni bobina concatenano lo stesso flusso). Ricavare la rete elettrica equivalente al circuito magnetico (più brevemente, il circuito magnetico equivalente), le espressioni ed i valori delle riluttanze dei diversi tronchi ed il flusso al traferro. d=50 mm; =1 mm; A=100 mm2; N1=1000; N2=100; I1=1 A; I2=2 A; 0=4 10-7 H/m: permeabilità magnetica del vuoto; r=5000: permeabilità relativa;

Fig. 01_es. Nucleo in ferro avvolto da due bobine. Fig. 02_es. Rete elettrica equivalente al circuito

magnetico (circuito magnetico equivalente). La rete elettrica equivalente al circuito magnetico è riportata in fig. 02_es. Si calcolano ora le riluttanze dei singoli tronchi del circuito magnetico (fisico), le cui lunghezze medie vanno valutate con riferimento ai nodi magnetici h e k:

24

A

d

r

31

021 = 2.39 105 H-1 ;

A

0

1= 79.6 105 H-1

A

d

rba

21

033 = 0.390 105 H-1 [1 H = 1 s , henry]

Si noti che >> 3a = 3b. Seppur di spessore molto minore della lunghezza dei tronchi in ferro, la riluttanza del traferro è maggiore di quella dei tronchi ferromagnetici; ciò è dovuto all’alta permeabilità magnetica del ferro. Sia: ba 333 = 80.4 105 H-1 .

Le permeanze magnetiche risultano pari a:

121

1

= 4.19 10-6 H

1 = 0.126 10-6 H 3

Le f.m.m. sono pari a: 111 INM = 1000 A; 222 INM = 200 A.

Applicando la legge di Kirchhoff delle tensioni magnetiche alla prima e seconda maglia e la legge dei flussi ad uno dei due nodi, il sistema di equazioni risolvente è:

0321

33222

33111

M

M

da cui:

323121

231321

MM= 2.54 10-3 Wb

323121

231132

MM= 2.49 10-3 Wb

323121

21123

MM = 0.0491 10-3 Wb [1 Wb = 1 V s , weber]

Dato l’alto valore della riluttanza 3, il flusso nella colonna centrale è molto minore del flusso nelle due colonne laterali. Se il traferro in aria non esistesse ( = 0), si avrebbe:

A

0

1= 0

A

d

rba

21

033 = 0.398 105 H-1 ba 333 = 0.796 105 H-1.

Inoltre: 213 3

1

3

1 . Sostituendo, si ha:

3

211 15

4

MM

= 3.52 10-3 Wb 3

212 15

4

MM

= 1.51 10-3 Wb

3

213 5

MM = 2.01 10-3 Wb

25

5. La legge della induzione elettromagnetica. Si consideri una spira immersa in un campo magnetico. La causa di tale campo può essere qualunque: in particolare, possono verificarsi una o più fra le seguenti condizioni:

il campo può essere generato dalla corrente circolante nella spira stessa (che quindi deve essere chiusa);

il campo magnetico può essere generato da una sorgente esterna, quale una o più correnti circolanti in altri avvolgimenti nelle vicinanze, magneti permanenti o simili.

Si definisce flusso concatenato, e si indica con c, il flusso che attraversa la spira considerata: tenuto

conto che la spira costituisce un cammino chiuso e che tutti i tubi di flusso, comunque generati, sono pure chiusi, il flusso attraversante l'area racchiusa dalla spira risulta con essa concatenato, al pari degli anelli di una catena (di qui il nome di flusso concatenato). Supponiamo che il flusso concatenato c sia variabile nel tempo: tcc .

La causa di tale variazione può essere qualunque, potendosi verificare una o più fra le condizioni seguenti:

il campo magnetico cui c è associato può variare nel tempo, perchè ad esempio variano nel

tempo le correnti (o la corrente) che lo producono, restando invariata nel tempo la configurazione geometrica del sistema (costituito dall'insieme della spira e dei dispositivi di sostegno del campo);

il campo magnetico non varia nel tempo, ma vi è moto relativo tra la spira ed il sostegno del campo, con conseguente variazione del flusso c concatenato con la spira;

la spira è soggetta a deformazione meccanica, con conseguente modifica dell'area da essa abbracciata e del corrispondente flusso concatenato c.

In corrispondenza di una qualunque di queste cause di variazione di flusso concatenato nel tempo, si verifica sperimentalmente (legge di Faraday) che nella spira viene indotta una f.e.m. (e) di valore, in modulo:

td

de c

Per poter precisare il segno nella espressione scritta, è necessario indicare le modalità di misura. In fig. 06.a, 06.b sono precisate tali modalità: per ragioni di maggior comprensibilità, si è schematizzato il tubo di flusso concatenato con la spira come costituito da un tronco fisico di circuito magnetico. Tuttavia quanto segue vale in generale, anche per una spira disposta in aria. In fig.06.a il flusso concatenato perfora la spira dal basso verso l'alto: se, in termini di convenzioni di misura, si decide di legare il verso della f.e.m. indotta (e) al verso del flusso c

con la regola della vite destrorsa (già adottata per le f.m.m.), la f.e.m. risulta agente lungo la spira con il verso indicato. A tale senso d'azione della f.e.m. corrisponde, per la misura della f.e.m. ai morsetti della spira per mezzo di un voltmetro ideale a valori istantanei, la inserzione rappresentata. Con tali convenzioni di misura, l'esperienza mostra il seguente risultato, in tutti i possibili casi: se il flusso concatenato c sta crescendo nel tempo (cioè dc/dt > 0), il voltmetro a valori

istantanei evidenzia valori negativi e viceversa. Perciò con queste modalità di misura la legge dell'induzione si scrive:

td

de c .

26

Se, invece, si conviene di legare il verso della f.e.m. a quello del flusso con la regola opposta a quella della vite destrorsa, allora nella precedente espressione compare il segno positivo (fig. 06.b):

td

de c .

Fig. 06.a Convezione di misura della f.e.m. indotta con la regola della vite destrorsa.

Fig. 06.b Convezione di misura della f.e.m. indotta con

la regola della vite sinistrorsa. La presenza del segno negativo associato alla prima modalità di misura illustrata ha un preciso significato fisico, tanto da aver meritato di essere ricordata come legge di Lenz: tale significato, valido in generale, si può facilmente illustrare nel caso in cui il campo magnetico sia prodotto da una corrente che percorre la spira stessa. Si supponga (v. fig. 07) che la spira sia di resistenza R e sia chiusa su un generatore di tensione costante E. In assenza di una qualunque perturbazione, la corrente i che percorre la spira è pari a i=(E/R)=costante, per cui è pure costante il flusso concatenato c, diretto come mostrato

in figura, in base al verso della corrente ed alla regola della vite destrorsa relativa alle f.m.m.. Ipotizziamo ora che, a causa di una perturbazione di natura qualsiasi, la corrente subisca un incremento infinitesimo pari a di: a tale incremento segue un aumento della f.m.m. e quindi del flusso concatenato. Se fisicamente la f.e.m. e (misurata come legata a c con la regola della vite destrorsa) fosse pari a

e=dc/dt, essa agirebbe concordemente con la f.e.m. E del generatore; quindi condurrebbe ad un

ulteriore incremento di corrente, cioè di f.m.m., con conseguente aumento di flusso concatenato, e così via, fino a valori infiniti di corrente e di flusso. Il sistema sarebbe perciò fisicamente instabile, circostanza del tutto contraddetta dall'esperienza. In modo perfettamente analogo si riconosce che, ad una iniziale perturbazione che porti ad una riduzione della corrente, conseguirebbe un progressivo incremento della corrente e del flusso, con versi opposti ai precedenti e con evoluzione ugualmente instabile. Pertanto le convenzioni di misura scelte per indicare il verso della f.e.m. indotta devono rendere conto della stabilità di ogni circuito elettrico, non tanto con l'uso o meno del segno meno nella formula, quanto con la coerenza intrinseca di tali convenzioni al suddetto principio di stabilità: il segno meno è necessario se si assume la f.e.m. agente nella spira legandone il verso a quello del flusso con la regola della vite destrorsa; tale segno non deve essere impiegato se si adotta la convenzione di misura opposta.

Fig. 07. F.e.m. indotta in una bobina dalla variazione della corrente in essa circolante.

27

Si consideri ora una bobina costituita da N spire, immersa in un campo magnetico variabile nel tempo. La generica spira k della bobina risulta concatenata con un flusso ck, in generale di valore diverso da

spira a spira; per effetto di tale flusso concatenato, nella spira k viene indotta una f.e.m. di valore:

dt

de

kck

La f.e.m. complessiva (e), indotta in tutta la bobina di N spire e misurabile con un voltmetro ideale ai morsetti della bobina stessa, è dunque pari a:

k kkc

kc

kk dt

d

dt

dee .

Si definisce flusso totale concatenato con la bobina la quantità:

k

kcc

pari alla somma dei flussi concatenati con ciascuna spira costituente la bobina. Nel caso particolare in cui le N spire della bobina concatenino lo stesso flusso (si pensi ad esempio al nucleo di fig. 06a,b, attorno al quale sia posta non una sola spira ma una bobina di N spire e nel quale risulta confinato tutto il flusso del campo), si può scrivere la seguente relazione:

Nk

kcc

cioè il flusso totale concatenato con l'avvolgimento è pari al numero di spire moltiplicato per il flusso concatenato da ciascuna spira. La legge della induzione nella formulazione finora considerata (e = – dc/dt) viene

usualmente denominata legge generale della induzione elettromagnetica: essa, infatti, si applica in tutte le possibili situazioni descritte inizialmente ed è dunque di validità del tutto generale. Vi sono tuttavia dei casi in cui è possibile fare uso di formulazioni specifiche della legge della induzione: particolarmente significativa è quella nota sotto il nome di "legge elementare della induzione elettromagnetica". La legge elementare della induzione non è di impiego generale, ma richiede che il campo magnetico che interessa la spira abbia le seguenti caratteristiche: il vettore induzione B può essere uniforme o disuniforme nello spazio, ma non deve variare nel tempo; il campo magnetico deve perciò essere stazionario. E' evidente che tale condizione è compatibile con l'insorgere di f.e.m. indotte solo nel caso di moto relativo (o deformazione) della spira (o di una parte di essa) rispetto ai sostegni del campo. Detto l il cammino chiuso coincidente con il percorso lungo la spira, si può dimostrare che la f.e.m. indotta nella spira (misurata agente nella spira legandone il verso a quello del flusso con la regola della vite destrorsa) è pari a:

ldBxve

dove: v è il vettore velocità (rispetto ai sostegni del campo) dell'elemento ld di spira

(elemento orientato, il cui versore è concorde con il verso in cui si misura la f.e.m.); il simbolo x indica il prodotto vettoriale fra vettori;

28

B è il vettore induzione magnetica in corrispondenza dell'elemento ld considerato;

il simbolo indica il prodotto scalare fra vettori. La qualifica di "elementare" attribuita alla precedente formulazione della legge della induzione è legata precisamente al fatto che la f.e.m. viene calcolata come sommatoria integrale delle f.e.m. infinitesime indotte in ogni elemento di spira. Si ricordi, però, che fisicamente la f.e.m. è sempre indotta in una spira chiusa (perchè legata al flusso con essa concatenato) ed ha significato solamente come valore complessivo; la sua valutazione frazionata, con l'attribuzione di contributi associati a singoli segmenti di spira, costituisce solo un metodo di calcolo, talvolta molto utile nelle applicazioni. L'osservazione dell'espressione della f.e.m. in forma elementare rende ragione del perché, per consentirne l'uso, il campo debba essere stazionario: secondo tale formula, a generare la f.e.m. è solo l'effetto del taglio relativo tra conduttore e campo, dovuto al moto relativo fra spira (o segmenti di spira) e sostegni del campo. Poiché l'integrale è di linea, nessun contributo alla f.e.m. può venire dai punti interni all'area della spira, in corrispondenza dei quali è quindi necessario che il campo non cambi nel tempo. L'espressione integrale mostrata si semplifica se la spira è composta da segmenti rettilinei e si osserva che i prodotti fra vettori conducono ad un risultato equivalente a quello ottenibile considerando le componenti normali reciproche di tali vettori: componente di velocità normale al campo e proiezione del vettore Bxv sul tratto di conduttore considerato.

Se poi i tre vettori lBv ,, sono tra loro perpendicolari, la f.e.m. indotta nel segmento di spira

di lunghezza l vale: vlBe .

Per quanto riguarda il verso, si applica la "regola della mano destra": disponendo il pollice nel senso del moto del conduttore rispetto ai sostegni del campo e l'indice nel senso del vettore induzione B , il medio dà il verso della f.e.m. lungo il segmento considerato. 6. Flusso del campo e flusso concatenato. Le considerazioni relative alla legge della induzione elettromagnetica suggeriscono di analizzare in maggiore dettaglio le questioni relative ai tubi di flusso del campo magnetico ed al loro concatenamento rispetto ad avvolgimenti immersi in tale campo. Il flusso del campo è quello che interessa il complesso dei tubi del campo magnetico; indicando con d il flusso di un tubo elementare, il flusso del campo è espresso da:

d

dove l'integrale è esteso a tutto il volume nel quale si sviluppa il campo. In questo modo, tutti i flussi infinitesimi d vengono sommati, indipendentemente dal loro concatenamento, eventualmente diverso, con le spire costituenti l'avvolgimento (fig. 08). Sia dato un circuito magnetico in cui tutte le linee di forza del vettore B concatenino in ugual modo i conduttori della bobina percorsa da corrente che sostiene il campo (Fig. 09). E' il caso tipico in cui il campo magnetico si svolge praticamente nei circuiti ferromagnetici. Si parla quindi di flusso mediamente concatenato. Si consideri il generico tubo di flusso elementare d; se I è la corrente nell'avvolgimento di N spire, la f.m.m. che sostiene il tubo di flusso d è pari a M = N I.

dMd

dove d è la permeanza del circuito magnetico elementare.

29

Il flusso totale concatenato (o, più semplicemente, flusso concatenato) con l'avvolgimento è l'integrale dei flussi concatenati elementari, dc:

cc d

Fig. 08. Linee dei forza del campo magnetico prodotto da una bobina in aria. d è il tubo di flusso elementare di un generico tubo di flusso

(indicato in tratteggio)

Fig. 09. Circuito magnetico in un materiale ferromagnetico. Le linee di forza del campo

magnetico concatenano le spire in ugual modo.

Il flusso dc è pari al flusso del tubo elementare (d), moltiplicato per il numero di spire N con

il quale tale tubo è concatenato. Pertanto l'espressione del flusso concatenato con la bobina è la seguente:

dNIdINdNd cc22 ,

cioè:

cc NI 2 con dc .

In effetti, nella formula per il calcolo del flusso concatenato c, il numero di concatenamenti

figura al quadrato. Ciò dipende dal fatto che le spire dell'avvolgimento intervengono due volte nel fenomeno: in primo luogo a produrre la f.m.m. che eccita il flusso del campo; in secondo luogo a costituire il numero dei concatenamenti fra flusso del campo ed avvolgimento. In definitiva si può dire che: il flusso di ciascun tubo del campo rende conto della situazione prodotta dalla corrente

I che circola nelle N spire della bobina (cioè della f.m.m. N·I che sostiene il flusso di tale tubo);

il flusso del medesimo tubo, moltiplicato per il suo grado di concatenamento, rende ragione dell'interazione avvolgimento–campo: il flusso totale concatenato, infatti, è la grandezza da cui dipende la f.e.m. indotta nella bobina.

7. Induttanza (o autoinduttanza). L'induttanza L di un circuito è un parametro che serve a studiare le relazioni fra la corrente che percorre il circuito, il flusso prodotto da detta corrente (e concatenato col circuito) e la f.e.m. indotta in esso dalla variazione di tale flusso: L è un parametro dipendente dalle caratteristiche geometriche e fisiche del circuito magnetico concatenato con l'avvolgimento considerato. L'induttanza è definita dalla relazione:

IL c ,

30

dove I è la corrente che percorre il circuito e c è il flusso totale concatenato col circuito

(prodotto dalla sola corrente che lo percorre); ricordando le precedenti relazioni, l'induttanza di un avvolgimento si può esprimere in funzione del suo numero di spire N e della permeanza c:

cNL 2 .

Si deve sottolineare il fatto che il parametro autoinduttanza, essendo definito come rapporto fra flusso concatenato autogenerato e corrente che lo genera, deve essere calcolato considerando il solo flusso prodotto dalla bobina considerata: eventuali altri avvolgimenti concatenati con lo stesso circuito magnetico devono essere neutralizzati, cioè si devono considerare aperti. La nozione di induttanza è particolarmente utile quando il circuito magnetico si svolge in un mezzo a permeabilità costante; in tal caso, infatti, tale parametro risulta costante, in particolare è indipendente dal valore della corrente che percorre il circuito. Esempio 2 Si riprenda la struttura dell’esempio 1 (fig. 01_es) e si supponga aperto l’avvolgimento 2. Si mostra il calcolo dell'induttanza dell'avvolgimento di N1 spire appartenente alla struttura magnetica di fig. 03_es:

Fig. 03_es. Struttura magnetica

Fig. 04_es. Circuito magnetico equivalente (cioè, rete elettrica equivalente al circuito magnetico).

Facendo uso della analogia elettrica, la struttura magnetica di fig. 03_es può essere studiata mediante il circuito magnetico di fig. 04_es, nel quale la bobina di N1 spire percorsa da corrente è rappresentata da una f.m.m. M1=N1·I1 e le riluttanze dei tronchi magnetici sono state ricavate nell’esempio 1. La risoluzione di questo circuito fornisce per il flusso 1 circolante nel tronco avvolto l'espressione:

tot

M

1

1 dove 32

321

tot

L'induttanza della bobina vale:

tot

c N

I

N

IL

21

1

11

1

11 .

Con traferro pari a =1 mm, L1 = 2.125 H; per = 0, L1 = 3.35 H. Si consideri il circuito di fig. 03_es e si supponga che sia alimentato con una tensione variabile nel tempo v1(t) (fig. 10). La corrente variabile nel tempo i1(t) produce il flusso magnetico 1(t); questo induce nella bobina una f.e.m. che si oppone alla causa che l'ha generata (legge di Lenz):

31

td

idL

td

de c 1

11

1

(regola della vite sinistrorsa)

(Si ricorda che le lettere minuscole rappresentano grandezze variabili nel tempo: tee 11 . )

In fig. 10 si vede intuitivamente come la f.e.m. e1 si opponga al passaggio della corrente i1. Inoltre, nella formula la f.e.m. e1 è stata espressa mediante il parametro induttanza L1. In altre parole, l'induttanza L1 è un parametro che rende ragione dell'interazione tra la bobina, percorsa da corrente, ed il campo magnetico da essa prodotto. Tale interazione si manifesta come f.e.m. indotta nella bobina, che si oppone alla causa che l'ha generata (legge di Lenz). La legge di Ohm per la bobina è:

01111 eiRv td

idLiRv 1

1111

Tale equazione viene rappresentata dal circuito equivalente di fig. 11.

Fig. 10. Rete elettrica (fisica) in regime variabile. Essa crea un campo magnetico che induce una f.e.m. nella bobina. La f.e.m.

indotta si oppone alla corrente che l’ha determinata (regola di misura della vite sinistrorsa).

Fig. 11. Circuito elettrico equivalente della

struttura di fig. 10.

8. Mutua induttanza. Si consideri un nucleo in ferro, di permeabilità magnetica infinita, su cui sono avvolte due bobine (Fig. 12): la bobina 1, di N1 spire, è percorsa dalla corrente i1, mentre la bobina 2, di N2

spire, non è percorsa da corrente. Il campo magnetico, prodotto dalla sola bobina 1, è costituito da linee di flusso che si sviluppano nel nucleo ferromagnetico. E' evidente che tutte le linee di flusso devono avere un concatenamento con la bobina alimentata, perchè devono essere tutte sostenute da una f.m.m. . Solo una parte di esse concatena la bobina 2. Le mutue induttanze sono parametri analoghi alle auto-induttanze: esse servono a rendere ragione degli effetti, su un circuito, delle correnti circolanti in un altro circuito. Si consideri alimentato il solo avvolgimento 1, essendo la bobina 2 a morsetti aperti: si vuole valutare il flusso concatenato con la bobina 2 per effetto della corrente i1 circolante

nell'avvolgimento 1. Il flusso 2, sostenuto dalla bobina 1 e concatenato con la bobina 2, è pari

a:

1112323121

113

32

321

1

32

31

32

32 iN

iNm

.

32

Fig. 12.a. Parte del flusso prodotto dalla corrente i1 concatena

l’avvolgimento 2 e vi induce la f.e.m e2.

Fig. 12.b. Circuito elettrico equivalente del

circuito magnetico.

Esso concatena le N2 spire della bobina 2. Si definisce flusso totalmente concatenato con la

bobina 2, sostenuto dalla bobina 1, la quantità:

112122212 iNNNc .

Si definisce mutua induttanza dell'avvolgimento 2 rispetto all'avvolgimento 1 alimentato la quantità:

1

1212 i

Lc

.

Inserendo in questa relazione di definizione l'espressione del flusso c12 si ottiene:

122112 NNL .

Lasciando inalterate le bobine e la loro posizione reciproca, si immagini ora di alimentare solamente la bobina 2, essendo la 1 a morsetti aperti: è evidente che valgono tutti i discorsi fatti in precedenza, pur di scambiare il pedice 1 con 2 e viceversa. Si può definire anche in questa situazione un parametro di mutua induttanza, pari a:

2

2121 i

Lc

; 212121 NNL .

L'esperienza mostra che le due mutue induttanze sono uguali fra loro (principio di reciprocità), cioè:

L12 = L21 .

Questa uguaglianza è d'altra parte dimostrabile in base a considerazioni teoriche che indicano come l'eguaglianza delle mutue induttanze è verificata alla sola condizione che l'intero fenomeno si svolga in un mezzo esente da fenomeni dissipativi, ma non necessariamente normale. Si può dunque definire una unica mutua induttanza, indicandola con Lm. La mutua induttanza rende ragione dell'interazione tra il campo magnetico, sostenuto dalla bobina 1, con la bobina 2. tale interazione si manifesta come f.e.m. indotta nella bobina 2:

dt

diL

dt

de m

c 1122

.

33

Grazie a questo fenomeno è possibile trasferire potenza elettrica dalla bobina 1 alla 2. Osservando il circuito magnetico di fig. 12.a, 12.b, si nota come, del flusso magnetico 1

prodotto dalla bobina 1, solo una parte si concateni con la seconda bobina (2). La rimanente

quota (3) viene definita flusso disperso perché non ha alcun effetto utile, relativo al

trasferimento di potenza dalla bobina 1 alla 2. Mentre l'autoinduttanza non può che essere positiva, la mutua induttanza può essere positiva o negativa: infatti, quando si consideri un solo avvolgimento alimentato, il flusso con esso concatenato può avere, rispetto a tale avvolgimento, un unico verso, definito dalla regola della vite destrorsa. Viceversa, quando si consideri il concatenamento con un avvolgimento diverso da quello alimentato, il verso del flusso non è più prefissato a priori: pertanto, per definire il segno della mutua induttanza è necessario conoscere il senso di avvolgimento delle bobine attorno al circuito magnetico e conoscere i versi delle correnti circolanti. Contrassegnato un morsetto di ciascun avvolgimento (la scelta è a piacere), si deve confrontare il verso dei flussi concatenati, valutati nelle due seguenti, distinte condizioni di funzionamento:

è alimentato il solo avvolgimento 1, con una corrente i1 di verso positivo (ad esempio entrante

dal morsetto contrassegnato): si osserva il verso del flusso che concatena l'avvolgimento 2; ora è alimentato il solo avvolgimento 2, con una corrente i2 di verso positivo (ad esempio

entrante dal morsetto contrassegnato): se il verso del flusso prodotto da 2 e con esso concatenato è concorde con quello che in esso circolava quando era prodotto da 1, la mutua induttanza è positiva; se i versi dei due flussi sono discordi, la mutua induttanza è negativa.

Il confronto può essere effettuato anche con riferimento ai versi delle rispettive f.m.m., verificando che tali f.m.m., pensate agenti separatamente e successivamente, siano cospiranti (cioè producano flussi concordi, in uno dei due avvolgimenti, scelto a piacere): poiché per ciascuna bobina vi sono due morsetti, e l'avvolgimento può essere avvolto in modo destrorso o sinistrorso attorno al circuito magnetico, sono possibili i quattro casi illustrati in fig. 13.

Fig. 13. Segno del coefficiente di mutua induttanza. Esempio 3 Come esempio di applicazione dei coefficienti di auto e mutua induttanza si consideri la struttura magnetica di fig. 12.a riportata in fig. 14.a, costituita da un nucleo magnetico a tre colonne di cui sono noti il materiale (con µ=costante) e le dimensioni: due bobine, avvolte come in figura, siano percorse da due correnti, i1 e i2, entrambe funzioni del tempo con legge assegnata.

34

L'equivalente circuito magnetico è rappresentato in fig. 14.b, nella quale sono messe in evidenza le f.m.m. m1=N1·i1 ed m2=N2·i2 e le convenzioni di misura dei flussi.

La soluzione completa di questo circuito magnetico è stata ricavata nell’esempio 1 e viene qui riportata:

23

132

1 mD

mD

231

13

2 mD

mD

21

12

3 mD

mD

323121 D

Fig. 14.a Fig. 14.b Calcolando i flussi concatenati con i due avvolgimenti e mettendo in evidenza le correnti si ottiene:

23

211322

1111 iD

NNiD

NNc

2312

213

21222 iD

NiD

NNNc

.

L’autoinduttanza della seconda bobina vale:

323121

3122

31222

N

DNL .

La mutua induttanza Lm è pari a:

323121

321

321 NN

DNNLm

Il segno è positivo.

E’ possibile definire il coefficiente di mutuo accoppiamento k tra le due bobine:

21 LL

Lk m

Con i dati di cui all’esempio 1 si ricava:

[mm] L1 [H] L2 [H] Lm [H] k

0 3.35 0.0335 0.0838 0.250

1 2.13 0.0213 0.206 0.971

Il coefficiente di accoppiamento k tra le due bobine risulta essere tanto più elevato quanto minore è il flusso nella colonna centrale, cioè il flusso “disperso”, così detto perchè non concatena le due bobine.

35

Nella situazione di ambedue gli avvolgimenti alimentati, i flussi concatenati risultano funzione lineare di entrambe le correnti. Considerate le caratteristiche di linearità del sistema (originate dall'avere assunto µ=costante), la soluzione completa può essere ottenuta con il principio di sovrapposizione degli effetti: l'impiego di tale principio per il calcolo dei flussi concatenati corrisponde esattamente ad applicare le definizioni di auto e mutua induttanza. Si consideri, infatti, la fig. 15, nella quale si studia il funzionamento della rete magnetica di fig. 14 con il metodo di sovrapposizione degli effetti; dall'analisi di ciascuna situazione si ottiene:

1

'11

1 i

NL

2

"22

2 i

NL

2

"11

211

'22

12 i

NL

i

NL

.

Sviluppando i calcoli definiti da questi rapporti si ottengono i coefficienti delle correnti mostrati nelle espressioni complessive precedenti, da cui:

2212

2111

iLiL

iLiL

mc

mc .

Fig. 15.a Fig. 15.b 9. F.e.m. indotte di auto e mutua induzione: sistemi lineari. Si consideri una bobina, idealmente di resistenza nulla, percorsa da corrente ed avvolta attorno ad un nucleo magnetico come raffigurato in fig. 16 (l'avvolgimento è qui rappresentato come costituito di una sola spira, per maggiore semplicità): nell'ipotesi che tale bobina sia l'unica ad essere percorsa da corrente (fra le altre eventualmente presenti ed avvolte attorno al medesimo nucleo), il flusso e la f.e.m. (considerata agente nella spira legandola al verso del flusso con la regola della vite sinistrorsa) sono diretti come in figura. Il valore della f.e.m. è pari a:

td

de c

Fig. 16. Convenzione della vite sinistrorsa per la f.e.m. .

36

D'altra parte, essendo l'avvolgimento un bipolo utilizzatore, è spontanea per la misura delle grandezze elettriche ai morsetti la adozione della convenzione degli utilizzatori: vale pertanto, per l'avvolgimento la seguente legge delle tensioni:

0 ev dt

dev c .

Se il circuito magnetico è lineare e la configurazione geometrica del sistema non cambia nel tempo (sistema lineare tempo-invariante), si ha (L = costante):

td

idL

td

iLd

td

dev c

Questa espressione definisce il legame funzionale fra tensione e corrente ai morsetti di un induttore ideale avente un valore di induttanza L (v. fig. 17.a): pertanto tale relazione può dirsi legge di Ohm dell'induttore. Si consideri ora la presenza di due avvolgimenti mutuamente accoppiati; si è già visto che i flussi totali con essi concatenati si possono esprimere in funzione delle correnti secondo le relazioni:

2212

2111

iLiL

iLiL

mc

mc ,

nelle quali l'eventuale segno negativo della mutua induttanza è da considerarsi intrinseco. Se si adotta, per la misura delle tensioni ai morsetti, la stessa convenzione impiegata nel caso della bobina singola, si ha:

dt

dv c1

1

dt

dv c2

2

.

Se il circuito magnetico è lineare e la configurazione geometrica del sistema non cambia nel tempo (sistema lineare tempo-invariante), si ha:

dt

diL

dt

diLv m

2111

dt

diL

dt

diLv m

22

12 .

L'insieme di queste due espressioni, in quanto definiscono il legame funzionale tra tensioni e correnti, costituisce la legge di Ohm di due induttori ideali mutuamente accoppiati (v. fig.17.b).

Fig. 17.a Fig. 17.b

37

10. Richiami riguardanti le azioni meccaniche sui sostegni del campo magnetico. Il procedimento più consigliabile per calcolare il valore di tali azioni meccaniche (forze, coppie, sforzi) consiste nel ricorrere al principio dei lavori virtuali: si valuta cioè l'energia accumulata nel campo magnetico nelle condizioni che si vogliono studiare e se ne calcola la variazione conseguente ad uno spostamento infinitesimo applicato alla parte di struttura magnetica sulla quale interessa conoscere la forza agente. Tale variazione misura il lavoro virtuale della forza, agente nella direzione dello spostamento considerato. Allo scopo di ricavare le espressioni per il calcolo di queste azioni meccaniche si faccia riferimento, a titolo di esempio, alla struttura di fig.18, tipica di un elettromagnete: si tratta di un nucleo di sezione A, costituito da un tronco a C fisso ed un altro tronco a C libero di muoversi ed affacciato al precedente tramite due traferri di spessore x. Attorno al circuito magnetico è disposto un avvolgimento di N spire, alimentato da un generatore di tensione vg.

Fig.18 – Caso di esempio per il calcolo delle azioni meccaniche.

Si vuole calcolare la forza Fx che si esercita fra i due tronchi magnetici, nella direzione delle x

crescenti. A tal fine si deve considerare il seguente bilancio di energia:

dxFdWdLdL xmjg

che esprime il lavoro compiuto dal generatore (dLg), trasformato nella somma del lavoro

perduto nella resistenza per effetto Joule (dLJ), dell’incremento di energia magnetica

accumulata (dWm) e del lavoro meccanico (Fx·dx).

Esplicitando ciascun termine di questo bilancio si ottiene:

2g m xv i dt R i dt dW F dx

D'altra parte, in base alla legge delle tensioni si ha:

dt

diReiRv c

g

sostituendo questa relazione in quella di bilancio energetico si giunge a:

dxFdWdi xmc

Se ora si immagina di effettuare lo spostamento virtuale mantenendo costante il flusso

c cost, si ricava:

c

mx

cost

WF

x

38

il segno meno significa che la forza, assunta come forza di allontanamento fra i due tronchi di circuito magnetico, è in realtà, attrattiva (coerentemente a quanto ci si deve attendere dall'analogia fra linee di campo ed elastici in tensione). Si può mostrare che l'espressione ricavata per la forza è di validità del tutto generale, anche nel caso di strutture magnetiche con diversa configurazione, concatenate con più avvolgimenti alimentati ed eventualmente caratterizzate da non linearità nel legame fra le grandezze magnetiche. La forza può essere calcolata anche attraverso un'altra espressione. Infatti, si indichi con Wm' la

co-energia magnetica, definita come:

mcm WiW '

Calcolando il differenziale di tale quantità,

mccm dWdididW '

e sostituendo in quest'ultima espressione la relazione di bilancio energetico

dxFdWdi xmc

si ricava:

didxFdW cxm '

Operando ora lo spostamento virtuale a corrente costante (i = cost) si ottiene:

tix

WF m

x

cos

'

Anche questa espressione della forza è di validità del tutto generale. Peraltro, nella ipotesi che la struttura magnetica sia costituita da materiale con permeabilità costante, tale espressione può essere trasformata come indicato nel seguito. Infatti, l'energia magnetica nel caso lineare è pari a:

2

2

1iLWm

D'altra parte si ha:

mmcm WiLiLWiW 22'

2

1 ;

cioè nel caso lineare energia e co-energia magnetica sono numericamente uguali. Pertanto la forza può essere così calcolata:

21

2i cost

mx

W dLF i

x dx

Con riferimento alla struttura di fig.1, il circuito magnetico ha una riluttanza equivalente pari a:

nxeq 2

Con: A

x

ox riluttanza di un traferro, n

n A

riluttanza del nucleo.

Considerato che la permeabilità del nucleo è molto più elevata di quella del traferro ( µ » µo),

la riluttanza del nucleo può essere trascurata rispetto a quella del traferro:

xeq 2 .

Essendo 2eqL N , si ottiene:

39

x

AN

dx

di

dx

dLi

x

WF o

ti

mx 22

1

2

1 222

cos ,

da cui:

2

2

1i

x

LFx ;

questa espressione mostra che la forza è attrattiva (segno meno). Tramite le relazioni fra grandezze magnetiche la precedente espressione si trasforma come segue:

AB

ANABN

LxF

oo

cx

22

12

2

1

2

1 2

22

2 ;

la forza Fx è quella complessiva che si esercita in entrambi i traferri; si noti che tale forza non

dipende dal valore del traferro x, ma solo dall'induzione e dalla sezione A delle aree affacciate. La forza di un solo traferro è, per ragioni di simmetria, pari a:

AB

Fo

x

2

1 2

1 ;

da questa relazione si deduce che la forza per unità di area è pari all'energia accumulata nel campo magnetico per unità di volume (B²/(2·µ)); in generale si può affermare che tale energia è tanto più elevata (a pari induzione B) quanto più bassa è la permeabilità µ. Pertanto in un circuito magnetico dotato di traferri, l'energia magnetica è, prevalentemente, accumulata nel solo volume dei traferri (i tronchi in materiale magnetico, avendo , hanno energia

accumulata praticamente nulla). Questa osservazione suggerisce un metodo semplice per il calcolo della forza di attrazione, anche quando il circuito magnetico sia costituito da più tronchi di circuito magnetico; si consideri, ad esempio, la struttura di fig.19: in essa la forza di attrazione fra i due nuclei può essere calcolata nel modo seguente: si studia il circuito magnetico equivalente calcolando i flussi nei traferri, e le induzioni

corrispondenti:

kk

k AB con k = 1, 2 , 3;

la forza F di attrazione fra le due strutture è data dalla somma delle forze di ciascun traferro, calcolabile come prodotto della energia immagazzinata per unità di volume, moltiplicata per la corrispondente sezione:

23 3

1 1 2k

k kok k

BF F A

.

Fig. 19 – Caso di esempio per il calcolo semplificato della forza sviluppata tra parti

ferromagnetiche di nucleo con più traferri.

40

E' significativo operare un confronto tra le forze ottenibili dal campo magnetico rispetto alle corrispondenti del campo dielettrico. A tale scopo si consideri, in entrambi i casi, la forza per unità di area (energia per unità di volume) nell'ipotesi di campo uniforme (caso di un condensatore piano per il campo dielettrico; caso di un traferro piano per il campo magnetico); il mezzo considerato sia, in entrambi i casi, l'aria. Poiché sia la permeabilità che la costante dielettrica p.u. dell’aria sono unitarie, si fa riferimento ai parametri o e o rispettivamente.

Esprimendo l'energia magnetica specifica come B²/(2·µo) e quella dielettrica specifica come 2 2o K , il loro rapporto è pari a:

2221K

BcKB

W

W

oodv

mv

essendo ooc 12 la velocità della luce nel vuoto al quadrato (c ≈ 300000 km/s).

Poiché nei traferri dei circuiti magnetici si ottengono agevolmente induzioni dell'ordine di B ≈ 1 T, mentre un valore massimo ragionevole della forza elettrica è K ≈ 1 kV/mm (rigidità dielettrica dell'aria secca: Kr ≈ 2 kV/mm), con B = 1,05 T, K =1 kV/mm, si ricava:

510mv dvW W ;

dunque le forze ottenibili dal campo magnetico sono enormemente più elevate delle corrispondenti ottenibili dal campo dielettrico: è quindi evidente la ragione per la quale esistono trasduttori elettromagnetici di energia, mentre non si usano trasduttori basati sull'energia del campo dielettrico (se non su scala micro- e nano-metrica). Il principio dei lavori virtuali consente di valutare anche le azioni meccaniche globali e specifiche che il campo magnetico esercita sullo stesso avvolgimento che lo produce. Si consideri, ad esempio, un solenoide di N spire, raggio R ed altezza h, immerso in aria e percorso da corrente (v. fig. 20): si vuole determinare la forza in senso assiale e la pressione radiale che il campo esercita sul solenoide.

Fig. 20 – Caso di esempio per il calcolo delle azioni meccaniche interne al dispositivo

Trascurando gli effetti di bordo, l'induttanza del solenoide è pari a:

h

RNL o

22

Per valutare la forza in senso assiale si consideri una incremento virtuale dh della altezza h (la forza Fh è quindi pensata come forza agente nel senso di un allungamento del solenoide).

Calcolando la forza come derivata della energia magnetica rispetto alla deformazione virtuale dh imposta si ricava:

2 22 2

2

1 1

2 2m o

hi cost

W N RdLF i i

h dh h

;

41

il segno meno indica che la forza assiale agisce, in realtà, nel senso di comprimere il solenoide (tale comportamento è qualitativamente conforme a quanto deducibile dall'analogia tra linee di campo ed elastici in tensione). Per calcolare l'azione meccanica in senso radiale è opportuno osservare che, per ragioni di simmetria cilindrica, tale azione è diretta radialmente: essa ha dunque risultante nulla, mentre la grandezza di interesse è la pressione che si esercita sulle pareti del solenoide (forza per unità di superficie): per calcolare tale pressione (p

R) si consideri una deformazione in senso radiale (dR)

del solenoide (con tale deformazione la pressione viene pertanto considerata agente nel senso di dilatare il solenoide). Detta Alat l'area laterale del solenoide, si ottiene:

2 22

2

1 1 1

2 2 2m

R olat i cost

W i dL Np i

A R R h dR h

;

questa espressione mostra che la pressione radiale agisce effettivamente nel senso di dilatare il solenoide, come del resto prevedibile in base alla citata analogia. Un ultimo esempio mostra l'applicazione del metodo al calcolo di una coppia. Si considerino i due avvolgimenti di fig.21, immersi in aria: l'avvolgimento N° 1 è fisso mentre quello N°2 può ruotare attorno ad un perno come raffigurato in figura; quando l'angolo indicato è nullo i due avvolgimenti sono allineati assialmente; si assume che, in base al verso delle correnti e al senso di avvolgimento delle bobine, la mutua induttanza tra esse per = 0 è massima positiva.

Fig. 21 – Caso di esempio per il calcolo della coppia tra bobine percorse da corrente.

L'espressione della energia magnetica è, come noto:

2 21 1 2 2 1 2

1 1

2 2mW L i L i M i i ;

l'azione meccanica che si esercita fra i due avvolgimenti è una coppia, il cui valore si può così calcolare con il principio dei lavori virtuali:

1 2

1 2m

i ,i cost

dMWC i i

d

;

assumendo poi per M() la seguente relazione:

1 2max m.maxM M cos N N cos

dove N1 e N2 sono il No spire delle due bobine e m.max la permeanza mutua massima, si ottiene:

1 2 1 2max m.maxC M i i sen m m sen

Pertanto la coppia è proporzionale alla f.m.m. m1 = N1i1 e m2 = N2i2 dei due avvolgimenti e agisce nel senso di un loro riallineamento: essa dunque permane finché è diverso da zero l'angolo fra gli assi magnetici dei due avvolgimenti; questo è un principio di carattere generale, tipico di tutti i trasduttori elettromeccanici basati sui circuiti mutuamente accoppiati.

42

4. CENNI SUI MATERIALI IMPIEGATI NELLE MACCHINE ELETTRICHE.

1. Materiali Conduttori.

Per i conduttori vale la relazione

SK , o la sua duale

KS , che fornisce il legame tra forza elettrica K e densità di corrente S , essendo e rispettivamente la resistività e la conducibilità del materiale. In definitiva, queste espressioni affermano che un conduttore è sempre interessato da densità di corrente non nulla quando sia interessato da forza elettrica non nulla e viceversa.

Per la resistenza vale dunque la seguente espressione: A

R

,

dove è detta resistività, si misura in [·mm2/m] (nella pratica in [µ·m]), ed è un parametro fisico caratteristico del materiale. Talvolta si fa riferimento al suo inverso, detto conducibilità, misurato in siemens/metro [S/m]. I materiali più comunemente usati nelle applicazioni elettriche sono il rame e l'alluminio, i cui valori orientativi di resistività (a 20°C) sono indicati nella seguente tabella:

Materiale Resistività [ m] a 20°C Resistività [ m] a 75°C

Rame 0.0170 0.0178 0.0207 0.0217 Alluminio 0.0280 0.0300 0.0340 0.0366

E' interessante elaborare l'espressione della potenza perduta per effetto Joule in un conduttore filiforme di resistenza R: considerata l'omogeneità del materiale, la corrente I risulta uniformemente distribuita in tutta la sezione A del conduttore. Si può dunque definire densità di corrente S [A/mm²] la quantità:

A

IS .

Mediante questa relazione e l'espressione della resistenza R, si ottiene:

VolumeSASA

IRPR 2222 .

Il prodotto 2Spv della resistività per il quadrato della densità di corrente rappresenta quindi la

perdita per unità di volume di materiale conduttore; indicata con la densità [kg/m3], la perdita per unità di massa risulta pari a:

2Spm

.

Per il rame = 8960 kg/m3; misurando la densità di corrente in A/mm2 ed assumendo la temperatura di

75°C, si ricava: pm = 2.34 S2 [W/kg].

La densità di corrente delle macchine elettriche è generalmente S = 24 A/mm2; quindi la potenza specifica persa pm varia tra 1040 W/kg. Per le piccole macchine (<100 W) si può avere anche S = 7–9

A/mm2 .

43

Dipendenza della resistività dalla temperatura. La dipendenza del parametro resistività dalla temperatura per metalli puri è di tipo lineare, per un buon intervallo di temperatura (da –100 +200 °C), corrispondente a quello di normale impiego dei materiali: si osserva perciò un andamento del tipo di fig. 01. Estrapolando tale andamento lineare anche per temperature inferiori a quelle di impiego corrente, si ottiene un’intercetta con l'asse delle temperature in corrispondenza alla temperatura c (comunque si noti che tale valore, in generale, non corrisponde al reale comportamento del materiale in tale zona).

Fig. 01. Dipendenza della resistività di un materiale conduttore dalla temperatura . Si può scrivere la seguente relazione:

c

c

R

R

1

2

1

2

1

2 ,

dove c vale –235°C per il rame, –225°C per l'alluminio; si osservi inoltre che il rapporto delle resistività risulta uguale a quello delle resistenze, considerando trascurabili le variazioni dimensionali con la temperatura. La formula può essere scritta anche in funzione della differenza di temperatura 12 :

111

2

1

2 11cR

R ;

il coefficiente c

1

11

[°C-1] prende il nome di coefficiente di temperatura. Per

C 40201 , esso vale circa 1 0.4% °C-1 . Durante il funzionamento la macchina si scalda,

raggiungendo temperature pari a 70120 °C nei punti interni più caldi. Assumendo la temperatura dell’aria ambiente pari a 40°C (per convenzione), un incremento della temperatura di 3080°C comporta un incremento della resistività del 1232%.

2. Materiali Magnetici. I materiali magnetici impiegati nelle applicazioni sono quelli detti comunemente ferromagnetici: la loro composizione può essere molto varia, includendo in ogni caso almeno uno fra i seguenti metalli: ferro, nickel e cobalto.

44

Per tali materiali la caratteristica funzionale di maggiore interesse è la relazione fra il campo magnetico H e l'induzione B che essa produce. I materiali magnetici sono caratterizzati dal possedere una permeabilità apparente, rapporto tra induzione e intensità del campo magnetico (µ=B/H), che dipende principalmente dall'ampiezza del campo magnetico stesso e in certi casi anche dalla sua direzione (materiali con comportamento anisotropo). La permeabilità apparente dei materiali ferromagnetici può raggiungere valori molto elevati (fino a 103÷104 volte la µ0 e oltre); se però essi vengono riscaldati oltre un certo valore di

temperatura, detto temperatura di Curie, perdono tale proprietà e diventano paramagnetici (µ lievissimamente superiore a µ0).

Peraltro, la temperatura di Curie è sensibilmente al di sopra dei valori raggiungibili nelle comuni applicazioni elettriche dei materiali magnetici; precisamente si ha:

Materiale Temperatura di Curie [°C] Ferro 774 Nickel 372

Cobalto 749 Ciclo di isteresi Per definire facilmente le condizioni atte a caratterizzare il comportamento dei materiali ferromagnetici, si riprenda in considerazione la configurazione sperimentale di nucleo toroidale uniformemente avvolto: infatti, poiché in tal caso il campo risulta uniforme in ogni sezione del nucleo, è agevole dedurre il legame fra le grandezze locali (B e H) dal corrispondente legame fra le grandezze globali (e M=N·I). In realtà, per maggior semplicità realizzativa i rilievi sperimentali normalizzati impiegano nuclei quadrati a quattro colonne, con sezione quadrata (prova Epstein, vedi Norme CEI). Se si considera un nucleo costituito da un materiale precedentemente mai magnetizzato, al crescere del campo H (imposto dall'esterno perchè proporzionale alla corrente dell'avvolgimento a solenoide), la induzione B cresce secondo un andamento sul tipo di fig. 02: tale andamento prende il nome di curva di prima magnetizzazione.

Fig. 02. Curva di prima magnetizzazione (tratto ascendente) e di successiva smagnetizzazione.

Con la imposizione di un campo H*, si supponga di avere raggiunto un valore B* su tale curva: se a partire da questa condizione si riduce progressivamente H, l'esperienza mostra che non viene più ripercorsa la curva precedente, ma un tratto di curva ad essa superiore. In particolare, all'annullarsi di H (cioè della corrente nell'avvolgimento) l'induzione B non si annulla: il valore di magnetizzazione residua che si verifica in tale situazione viene detto induzione residua (Br), e la sua entità dipende dal tipo di

materiale considerato.

45

Per annullare la induzione B è necessario invertire il verso del campo H applicato (invertendo il verso della corrente): il valore di campo H per il quale l'induzione si annulla durante il processo di smagnetizzazione si chiama forza coercitiva (Hc).

Il fenomeno per cui il legame B-H non costituisce un curva ad un sol valore, ma dipende dalle precedenti condizioni di magnetizzazione del materiale prende il nome di isteresi magnetica. Se ora si considera di sottoporre il materiale a magnetizzazione alternata, con valori di forza magnetica compresi fra due estremi simmetrici ed opposti (+H, –H), dopo un certo numero di magnetizzazioni di assestamento il funzionamento si stabilizza lungo un ciclo, detto ciclo di isteresi: il tratto inferiore di tale ciclo costituisce il segmento ascendente (forza magnetica variabile da –H a +H), mentre quello superiore è il segmento discendente. Come esempio, in fig. 03 sono raffigurati tre cicli di isteresi: essi sono detti cicli di isteresi simmetrici perchè, grazie alla variazione simmetrica del campo H imposto, presentano una simmetria rispetto all'origine del piano B-H. Per un dato materiale, ogni ciclo di isteresi simmetrico è completamente definito se sono noti i suoi vertici (±Hmax, ±Bmax): il luogo dei vertici dei cicli di isteresi simmetrici viene detto curva di

magnetizzazione normale. L'esperienza mostra che l'andamento di tale curva si discosta poco da quello della curva di prima magnetizzazione. In fig. 04 è rappresentata una curva di magnetizzazione normale B(H), insieme alla curva di permeabilità µ(H) ad essa associata. Si può osservare come µ abbia un massimo approssimativamente in corrispondenza del punto di tangenza della retta spiccata dall'origine alla curva B(H): dopo tale massimo, la permeabilità decresce all'aumentare del campo magnetico, evolvendo verso una condizione che viene definita saturazione del materiale. La permeabilità in un punto qualsiasi della curva di magnetizzazione normale, per esempio P' nella fig. 04, è proporzionale alla tangente dell'angolo formato dalla retta congiungente il punto con l'origine e l'asse delle ascisse; la pendenza della tangente alla curva in un punto qualsiasi (per esempio la pendenza (tg) della tangente alla curva B(H) in P" di fig. 04) è detta permeabilità differenziale (µd); quando tale

permeabilità eguaglia quella del vuoto (µ0) si ha la saturazione del materiale.

Fig. 03. Cicli di isteresi di un materiale ferromagnetico.

46

Fig. 04. Curva di magnetizzazione normale (B(H)) e corrispondente permeabilità magnetica .

In una prima classificazione, i materiali ferromagnetici si possono suddividere in due categorie principali: materiali teneri: sono caratterizzati da cicli di isteresi molto stretti, per cui si possono

facilmente magnetizzare e smagnetizzare; sono prevalentemente costituiti da acciaio a basso contenuto di carbonio o da leghe ferro-silicio, nelle quali però il ferro è largamente preponderante. Vengono impiegati per la realizzazione dei circuiti magnetici nei dispositivi elettromagnetici statici (trasformatori e induttori) e rotanti (generatori e motori elettrici a corrente continua e corrente alternata);

materiali duri: presentano un'elevata isteresi magnetica e perciò si prestano a formare magneti permanenti.

Quando la macchina elettrica è alimentata non a bassa frequenza (come quella “industriale”: 50 Hz) ma a frequenza molto più elevata (> 10 kHz), si utilizza la ferrite. Si tratta di ossido di ferro combinato con uno o più metalli, quali rame, nickel, manganese, zinco; l’ossido viene polverizzato e successivamente sinterizzato. Un impiego è nei trasformatori ad impulso, usati ad esempio negli alimentatori switching. La ferrite presenta il vantaggio di avere un’alta resistività elettrica e quindi non ha perdite per correnti parassite (vedi oltre). Per contro, la ferrite si satura per valori di induzione molto bassi. In fig. 05 sono riportate le curve di magnetizzazione normale (B(H)) e la corrispondente permeabilità magnetica relativa r = /0 per un materiale tenero, l’acciaio con sigla 3050. E’ un acciaio con cifra di perdita (vedi oltre) di 0.30 W/kg e lamierino di spessore 0.50mm. In fig. 06 sono indicate per confronto la caratteristica di magnetizzazione dell’acciaio 3050 e di una tipica ferrite.

47

104 105 100 103 10

H [A/m]

0

0.5

1.5

1.0

B [T]

2.0

B

r

4000

2000

6000

0

r

Fig. 05. Curva di magnetizzazione normale (B(H)) e corrispondente permeabilità magnetica relativa r

per il materiale 3050 (cifra di perdita: 0.30W/kg; spessore lamierino: 0.50mm).

B [T]

3050

ferrite

100 103 104 10 105 0

1.5

0.5

2.0

1.0

H [A/m]

Fig. 06. Curva di magnetizzazione normale (B(H)) per il materiale 3050 e per una ferrite.

48

Dal punto di vista energetico il ciclo di isteresi ha un preciso significato. Perdita per isteresi Nel corso di Fisica, si è visto come la quantità:

2

1

B

Bmv dBHW

rappresenti l'energia magnetica per unità di volume assorbita (nel caso che B1<B2) o ceduta (nel

caso che B1>B2) dal materiale, rispettivamente durante il processo di magnetizzazione o di

smagnetizzazione. In fig. 07 è mostrato schematicamente un ciclo di isteresi: limitandosi, per semplicità, al solo semipiano delle H positive, si può osservare quanto segue: l'area del triangolo mistilineo 412 rappresenta l'energia specifica ceduta dal generatore

di alimentazione al materiale magnetico durante la fase di magnetizzazione del materiale (H crescente);

l'area del triangolo mistilineo 213 è l'energia restituita dal materiale al generatore durante la fase di smagnetizzazione (H decrescente).

Pertanto, l'area del ciclo di isteresi (il triangolo mistilineo 413 ne racchiude la metà) rappresenta l'energia persa durante un ciclo, per unità di volume di materiale. Per le applicazioni nelle quali vengono impiegati materiali teneri, è evidente l'importanza di usare materiali con cicli di isteresi stretti.

Fig. 07. L’area racchiusa da un ciclo di isteresi rappresenta l’energia persa in un ciclo, per unità di volume. Perdite per correnti parassite Lo studio delle perdite nei materiali ferromagnetici in condizioni comunque variabili è estremamente complesso e va al di là degli scopi di questa trattazione: verrà pertanto considerato il solo comportamento in regime di magnetizzazione alternata sinusoidale. Oltre alle perdite per isteresi vi sono anche le perdite per correnti parassite, dette anche correnti di Foucault.

49

Qualitativamente il meccanismo è il seguente: nella massa di un materiale ferromagnetico sottoposto a magnetizzazione variabile si inducono delle f.e.m.; d'altra parte il materiale è caratterizzato da un valore non infinito di resistività elettrica. Pertanto nella massa del materiale, in corrispondenza dei percorsi lungo i quali sono indotte le f.e.m., si possono pensare delle spire ideali, chiuse in corto circuito: in queste spire circolano delle correnti parassite, con conseguenti perdite per effetto Joule, del tipo E²/R. Se il materiale magnetico fosse massiccio, il suo comportamento alle frequenze industriali sarebbe del tutto insoddisfacente: infatti le perdite sarebbero molto elevate e l'induzione B sarebbe, in confronto al funzionamento in regime stazionario, notevolmente ridotta e fortemente disuniforme nella sezione normale alla direzione del flusso. Per tale ragione il circuito magnetico si realizza con una struttura laminata: si tratta di lamierini di spessore (tipicamente 0.35 o 0.5 mm), isolati fra loro. Allo scopo di studiare quantitativamente il fenomeno, si consideri un lamierino di spessore , larghezza a e profondità . Esso sia investito nel senso della laminazione da un campo magnetico con distribuzione uniforme: tale campo sia caratterizzato da un valore di induzione B (valore efficace) e da una direzione perpendicolare alle dimensioni ed a di fig. 08. Sia per costruzione

a .

Fig. 08. Lamierino immerso in un campo magnetico (indicato dalle croci) alternato, con induzione di valore efficace B e frequenza f.

Si divida idealmente la lastra magnetica in due parti, ciascuna di spessore /2. Essa può essere vista come una spira ideale, con due lati di lunghezza a, due lati di lunghezza trascurabile /2 e sezione 2 . La f.e.m. E indotta in tale spira vale (valore efficace in regime sinusoidale, legge della vite sinistrorsa):

; aBE c

dove c è il valore efficace del flusso concatenato con la spira. La resistenza R della spira vale:

aaa

R fefefe4

2

2

2

22

,

fe : resistività del ferro.

La potenza persa per correnti parassite è (valor medio in un periodo):

50

aB

faaBf

R

EP

fefe

cp22

22

22

42

.

E’ importante determinare la perdita specifica, per unità di massa. Sia fe la densità del ferro. La perdita specifica è pari a:

222

2_

B

fP

fefemcp .

Quest'ultima espressione mostra che le perdite per correnti parassite sono proporzionali al quadrato della frequenza f, della induzione B e dello spessore , mentre sono inversamente proporzionali alla resistività fe del materiale magnetico costituente il lamierino. I

provvedimenti costruttivi che consentono di ridurre le perdite per correnti parassite sono la riduzione dello spessore (compatibilmente con le esigenze tecnologiche: =0.35–0.50 mm) e l'aumento della resistività (adozione di leghe al silicio: 3 – 4 % di Si). In definitiva le perdite specifiche nel ferro (per unità di massa e per un dato lamierino) si possono così scrivere:

22___ BfBfPPP mcpmistmfe

dove si è assunto un esponente n=2 nelle perdite per isteresi, avendo inoltre inglobato nel

coefficiente il fattore che lega BM a B ( BBM 2 ). Si definisce cifra di perdita di un materiale la potenza persa per unità di massa per correnti parassite ed isteresi, alla induzione magnetica massima e alla frequenza di riferimento (solitamente BM=1T, f=50Hz). Ad esempio il lamierino di sigla 3050 presenta una cifra di

perdita di 0.30W/kg (prime due cifre della sigla) ed ha spessore =0.50mm (ultime due cifre della sigla). La resistività di un normale acciaio è fe 0.1 m, mentre la resistività di una ferrite

(impiegata per alte frequenze) è pari a fe 1010 m: si capisce quindi come le perdite per

correnti parassite nella ferrite siano trascurabili, anche per frequenze molto alte.

3. Materiali Isolanti.

Per i conduttori si è visto che vale la relazione

SK ,

che fornisce il legame tra forza elettrica K e densità di corrente S , essendo la resistività del materiale: un conduttore è sempre interessato da densità di corrente non nulla quando sia interessato da forza elettrica non nulla e viceversa. In modo diverso si comporta un materiale isolante: sottoposto ad un campo elettrico K , in tale materiale non si sviluppa un campo di correnti di conduzione (rappresentato dal vettore S ), ma si verifica un fenomeno fisico diverso, noto come polarizzazione di cariche elettriche. Si dice isolante (o dielettrico) un materiale contraddistinto da una resistività enormemente maggiore di quella dei conduttori, idealmente infinita. In realtà, come ordine di grandezza si

può dire che, mentre i conduttori hanno resistività (a temperatura ambiente) di 10-6 ÷ 10-8 m, per i dielettrici i valori salgono a 1016 ÷ 1018 m.

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Inoltre, mentre per i conduttori la resistività è l'unica grandezza elettrica caratterizzante il materiale, per i dielettrici interessano soprattutto i parametri rigidità dielettrica e la dipendenza dalla temperatura. Rigidità dielettrica. L'esperienza evidenzia che i dielettrici reali hanno il seguente comportamento: se tra i due elettrodi (armature) si applica una tensione continua V di piccolo valore, il circuito elettrico non è interessato a regime da corrente apprezzabile (idealmente tale corrente è nulla). Peraltro sulle due armature risultano accumulate delle cariche elettriche, +Q e -Q rispettivamente. Se ora si aumenta gradualmente il valore di tensione, il comportamento del sistema resterà immutato, almeno fino al raggiungimento di un certo valore (Vlim) della tensione: vi saranno da

un lato assorbimento di corrente praticamente nulla a regime e dall'altro accumulo crescente di cariche sulle armature, in misura proporzionale alla tensione applicata. Se si incrementa ulteriormente la tensione tra i due elettrodi, avverrà una scarica: essa prende il nome di scarica disruttiva e, a causa di tale evento, il dielettrico perderà le sue qualità isolanti. Ciò che qualifica il comportamento non è però la massima tensione sopportata ma la forza elettrica: a tale proposito si definisce "rigidità dielettrica" (Kr) la massima forza elettrica

sopportata dall'isolante, al limite della perforazione. La rigidità dielettrica Kr (pari al più alto valore del gradiente elettrico che il materiale può

sopportare senza dar luogo a scarica) si misura formalmente in (V/m), in pratica in (kV/mm); si tratta della rigidità di massa (campo lungo lo spessore del materiale). (*) Kr è influenzata soprattutto dai seguenti elementi:

forma degli elettrodi; temperatura: nei liquidi Kr cresce e nei solidi decresce con la temperatura;

umidità: riduce drasticamente Kr;

spessore: per i solidi omogenei Kr decresce all'aumentare dello spessore; per gli stratificati cresce, a pari

spessore, all'aumentare del numero degli strati; durata di applicazione della sollecitazione: Kr cresce al decrescere della durata, con incrementi importanti

per durate dell'ordine dei microsecondi; frequenza: Kr diminuisce con l'aumentare della frequenza (nel campo delle frequenze industriali).

I valori per i materiali usuali sono:

Materiali Kr [kV/mm]

Aria secca 2 3 Mica 40 180 Olii minerali 12 20 Resine termoindurenti 10 40

Dipendenza dalla temperatura delle proprietà isolanti. La durata di vita di una macchina elettrica è praticamente legata a quella dei suoi isolanti. Il fattore di invecchiamento più importante per un isolante è la temperatura di funzionamento. Sperimentalmente si ricavano delle curve che legano la durata di vita alla temperatura di funzionamento (fig. 09). Esse mostrano che un aumento di 10°C della temperatura di funzionamento dimezza la vita dell’isolante.

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Fig. 09. Curva della durata di vita di un isolante.

Gli isolanti sono divisi in classi di isolamento, individuate da una data temperatura . Il criterio di assegnamento alle diverse classi è l’indice di temperatura a 20.000 h. Si valuta qual è la temperatura alla quale il materiale presenta una perdita percentuale di alcune proprietà, quali:

il dimezzamento della resistenza a flessione; il dimezzamento della rigidità dielettrica.

Le diverse classi sono:

Classi di isolamento

Temperatura [°C]

Materiali

Y 90 Carta, cotone, seta A 105 Materiali organici della classe Y impregnati o

immersi in olio E 120 Smalti per fili B 130 Fibre e tessuti di vetro, agglomerati di mica F 155 Materiali della classe B impregnati con sostanze di

elevata stabilità termica (resine siliconiche ed epossidiche)

H 180 200 200 220 220 250 250