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Roberto Vezzani - Imagelab – Università di Modena e Reggio Emilia

Image ProcessingDispense del corso di Elaborazione di Immagini e Audio Digitali

http://imagelab.ing.unimo.it

Prof. Roberto Vezzani


Immagini digitali

• IMMAGINE e’ una funzione 2D acquisita con opportuni sensori visuali da una scena

• IMMAGINE DIGITALE e’ una matrice limitata di (N,M) valori: ognuno dei quali èdetto PIXEL (picture elements);

solitamente il pixel rappresenta una quantità campionata e quantizzata del valore misuratodal sensore (per telecamere della funzione di luminosità f(x,y)) ma può essere anchecreato graficamente e in modo sintetico

• VIDEO DIGITALE è una sequenza temporale di immagini (frame), normalmentecampionata o trasmessa con intervallo di campionamento ∆t costante (frame rate).

M x N=640 x 480


Risoluzione

RISOLUZIONE SPAZIALE (N,M), numero di campionamenti nel piano immagine;

N,M (righe e colonne) dipendono dalla applicazione e dal sistema di acquisizione; esempi:

• character recognition 64 x 64

• automatic inspection 128 x 128, 256 x 256….

• biomedical images; surveillance 512 x 512, 1024 x 1024

• satellite images 4096 x 4096

• RISOLUZIONE TEMPORALE nei video e’ la frequenza di campionamento (frame rate)

• RISOLUZIONE A LIVELLI DI GRIGIO (quantizzazione o risoluzione radiometrica) il numero di livelli di grigio distinguibili

k n. di bit per rappresentare i livelli di grigio (es. 256 con k=8)


Immagini digitali

Immagini di intensita’ (o brillantezza):

• ogni pixel corrisponde alla brillantezza del punto della scena 3D proiettato nello spazio 2D (con proiezione prospettica non lineare o con proiezione ortografica, lineare); dipende dalla luminosita’ dell’oggetto, dalla illuminazione….

• Fotometria studia la misurazione della brillantezza

• La brillantezza non dipende dalla lunghezza d’onda ma dipende dalla distribuzione dell’energia della sorgente di luminosita’ e dalla sensibilita’ spettrale dei sensori.

• Immagini monocromatiche hanno solo informazioni di brillantezza

Immagini a colori o multispettrali:

• sono composte da piu’ componenti spettrali (di solito RGB)

• N immagini nelle dimensioni dello spazio colore

• M immagini nella dimensione della multispettralita’

• Colorimetria studia l’emissione e la riflessione della luce in funzione della sua lunghezza d’onda


Immagini digitali

Immagini di trasmissione: quando la luce passa attraverso gli oggetti– raggi X, CAT scanner, mammografie…– in cui il pixel e’ tanto piu’ scuro quanto piu’ e’ denso l’oggetto

immagini sonore: prodotte dalla riflessione di onde sonore da parte di un oggetto– immagini mediche ad ultrasuoni, ecografie

immagini radar:– immagini radar con synthetic aperture radar, immagini satellitari e spaziali

immagini di pressione: prodotti da matrici di sensori di pressione– es; le immagini prese in gare d’atletica

immagini range (di profondita’) prodotte da sonar o da laser finder o da scanners– ogni pixel ha l’informazione della terza dimensione, ossia della distanza

dall’osservatore


Istogramma• L’istogramma di un’immagine a livelli di

grigio è un vettore con un numero di elementi pari al numero dei livelli di grigio; il valore di ciascun elemento è dato dal numero di pixel che nell’immagine assumono uno specifico livello di grigio.

• Calcolo dell’istogramma:

for (n = 0; n < NLIV; n++)hist[n] = 0;

for (i = 0; i < NROW; i++)for (j = 0; j < NCOL; j++)hist [img [i][j]] ++;

• L’istogramma fornisce informazioni utili per varie operazioni sulle immagini, tra cui il miglioramento del contrasto e la binarizzazione tramite soglia


Istogramma

• L’istogramma puo’ essere visto come una approssimazione ad una distribuzione di probabilità pdf (se i dati fossero in numero grande rispetto alla variabilità del modello e fossero i.i.d).

• Per probabilità si assume quindi l’istogramma normalizzato (l’istogramma a meno di un fattore di normalizzazione)

• L’istogramma permette analisi del contenuto dell’immagine e informazioni statistiche molto utili per il miglioramento della qualità dell’immagine

• Istogramma per immagini a colori: – Istogramma 4-dimensionale– 3 istogrammi separati (uno per canale)– Istogramma su spazio colore ridotto

1)(0∑=

=J

jF jP


Algoritmi: modelli computazionali

• Puntuali: il valore I(x,y) della nuova immagine dipende solo dal valore della vecchia immagine nello stesso punto. Tipica applicazione è l’esaltazione del contrasto (contrast stretching) o la binarizzazione che trasforma l’informazione associata ad un pixel da n bit ad un solo bit. O (N xM)

• Locali (con finestra ristretta): il valore della nuova immagine in un punto dipende dai valori della vecchia immagine in un intorno ristretto k×k dello stesso (normalmente 3×3). Queste operazioni sono utilizzate per realizzare semplici filtri o per la determinazione del gradiente di un’immagine, utile per l’estrazione dei contorni (algoritmi near-neighbour). O ( N×M×K2)

• Locali (con finestra allargata): in questo caso la finestra con cui si esamina l’immagine può assumere dimensioni non trascurabili rispetto all’immagine complessiva (ad esempio una finestra 32×32 in un’immagine 512×512). Tali operazioni possono essere applicate per la ricerca di un particolare oggetto in un’immagine (template matching) o per lo studio della struttura interna alle varie regioni (texture analysis).

• Globali, ove ogni punto dell’immagine risultato dipende da tutti i punti dell’immagine di partenza. Un esempio tipico è rappresentato dal calcolo della trasformata di Fourier.


Operatori puntuali

• Operazioni sui livelli di grigio, indipendentemente dalla posizione del pixel sull’immagine

• Trasformazioni sui livelli di grigio sono usati normalmente per interfaccia con operatore umano per migliorare il contrasto e rendere l’immagine piu’ interpretabile I’(p) = F(I(p))

1) trasformazioni con LOOK-UP TABLE

• ogni colore o livello di grigio e’ memorizzato in una tabella con il colore o il livello di grigio corrispondente

• usato per pseudo-colori: ad esempio una LUT di 64 livelli

Immagine 100 x100 a 256 livelli di grigiomappata in una LUT a 64 livelli


Operatori lineari

• Operatori puntuali lineari se la trasformazione F puo’ essere scritta nella forma

I’(p)=F(I(p))= S I(p) + K

• S fattore di scala e K costante di offset

• Aritmetica saturata: condizioni di saturazione– I’(p)=0 if S I(p) + K < 0

– I’(p)=maxrange if S I(p) + K > maxrange

– Maxrange a livelli di grigio=255

• Aritmetica intera: è necessario approssimare i valori


Contrast-stretching

2) Contrast stretching Operazione di espansione dei livelli di grigio; serve per modificare in modo dinamico (non statico come le LUT) l’istogramma

Per ogni pixel dell’immagine p viene calcolato I’(p):

FattoreDiScala= (max1-min1)/(max-min)

if (I(p)<=min) I’(p)=min1;if (I(p)>=max) I’(p)= max1; if ((I(p)>min)&(f(i,j)<max))

I’(p)= I(p)-min)* FattoreDiScala +min1;

0 min1 max1

0 min max

I(p)

I’(p)


Esempi


Variazione di luminosita’

• Variare la luminosità (brightness) significa soltanto spostare l’istogramma verso il valore massimo o il valore minimo

• aumento del 10%+ e del 10%-


Operatore quadratico

• Operatore non lineare di contrast stretching: migliora gli istogrammi tendenzialmente bimodali

• operatore non lineare I’(p)= I2 (p)

per ogni i,j

g(i,j)=p(i,j) • p(i,j) / 255

0200400600800

1000120014001600

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

500

1000

1500


Correzione gamma

• Operatore non lineare I’(p)= C Iγ (p)

• C costante positiva spesso a 1 o usata per normalizzare in un range voluto

• γ costante positiva – se minore di 1 ha gli stessi effetti di una trasformazione logaritmica

– se maggiore di 1 variazione dinamica che tende a saturare


Inversione

• Può essere ottenuta usando la trasformazione lineare seguente: – I’(p) = (-1) I(p) + maxval


Sogliatura

• L’operazione di sogliatura permette di ottenere una immagine a due soli livelli (bianco/nero)

• Fissato un valore di soglia globale Th, si ha:– I’(p) = 255 se I(p)>=Th

– I’(p) = 0 se I(p)<Th

• Il valore della soglia di norma è unico per tutta l’immagine

• Può essere impostato manualmente oppure calcolato in modo automatico in base all’istogramma (es.: metodo di Otsu)


Obiettivo: individuare automaticamente la soglia ottimale per separare in due gruppi i livelli di luminosità

Metodo di Otsu (1979):- minimizzare la varianza nei gruppi:

per ogni soglia t si definiscono due gruppi “minori” e “maggiori” di t di cui si puo’ conoscere la varianza;lo scopo è di rendere omogenei tali gruppi;

siano:•q1(t), e q2(t) le probabilità che un pixel appartenga ad uno dei due gruppi•P(i) la probabilità che un pixel abbia livello i con i=1…L•n (NxN) numero di pixel nell’immagine

∑=

=t

iiPtq

11 )()(

21

( ) ( )L

i tq t P i

= +

= ∑

Ricerca della soglia ottimale


Ricerca della soglia ottimale

)()()()()( 222

211

2 ttqttqtW σσσ +=

∑+=

=L

titqiiPt

122 )(/)()(µ∑

=

=t

itqiiPt

111 )(/)()(µ

∑=

−=t

itqiPtit

11

21

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∑+=

−=L

titqiPtit

12

22

22 )(/)()]([)( µσ

siano

I valori medi per ogni gruppo (di istogramma) e

le varianze;allora

Processo di minimizzazione:

la varianza intra-gruppo e’ la somma pesata da minimizzare ossia bisogna valutare

quale tra le possibili t minimizza la somma pesata delle varianze

La soglia migliore può essere cercata anche per tentativi (t = 1..L)

E’ la varianza intra-gruppo,(within-group variance) tanto piu’ e’ piccola tanto piu’ i due gruppi sono raggruppati “vicino” ai valori medi


Esempi

Immagine originale Soglia di Otsu (89)

Soglia manuale (128) Soglia manuale (64)


Altri metodi• Per vedere e confrontare altri metodi si veda

Metodo di Kittler e Illingworth (1985):

• minimizzare la distanza di Kullback fra l’istogramma e una distribuzione f(i), e utilizzare la distribuzione per individuare la soglia ottima t

• Metodo ITERATIVO approssimato (Ridler e Carvard 78), che funziona bene quando l’immagine ha due valori di grigio dominanti (esempio un foglio stampato)

• Consideriamo T0 una soglia iniziale che divide l’istogramma in due parti e l’immagine in due gruppi 1,2 che possono essere associati al background e agli oggetti (B,O) consideriamo i valori medi di grigio alla iterazione t; usiamo il valore medio tra i gruppi come nuova soglia; stop se converge o dopo n passi

∑=

=

L

i ifiPiPJ

1 )()(log)(


Esercizi

• Impiegando l’ambiente Imagelab e le immagini a livello di grigio a disposizione

• Operatori puntuali

• Eseguire istogramma dell’immagine

• Implementare gli operatori puntuali di– LUT nello spazio colore

– Contrast stretching

– Variazione di luminosità

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