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I-1
Scopo del corso
Imparare le nozioni base di elettronica.
Imparare ad usare gli strumenti di misura delle grandezze elettriche.
Imparare ad analizzare i risultati sperimentali, con lo scopo di ricavare la maggior parte di informazioni sui fenomeni e/o le grandezze fisiche che entrano in gioco nellesperimento eseguito.
Perch importante La maggior parte delle
osservabili fisiche si misurano con strumentazione elettronica.
I display luminosi degli strumenti digitali sono comandati da segnali elettrici.
Gli indicatori degli strumenti ad ago (analogici) sono comandati da segnali elettrici.
Gli strumenti devono essere dotati di trasduttori, cio dispositivi che convertono le osservabili fisiche in segnali elettrici, e viceversa.
I-2
Esempi di trasduttori Trasduttori in ingresso (input) 1. Cellula fotovoltaica (energia
luminosa energia elettrica) 2. Termocoppia (differenza di
temperatura differenza di potenziale elettrico)
3. Materiali piezoelettrici (energia meccanica energia elettrica)
4. Celle elettrochimiche (energia chimica energia elettrica)
Trasduttori in uscita (output): trasformano linformazione elettrica in una qualche forma che pu essere visualizzata dallocchio.
Negli strumenti digitali: i display luminosi trasformano il segnale elettrico in un numero.
Negli strumenti analogici: lenergia elettrica comanda il movimento dellindice, che segna il risultato su una scala graduata.
Nei televisori e nelle radio i segnali elettrici sono convertiti in luce e/o suono.
I-3
L energia elettrica pu essere immagazzinata, trasferita, pu produrre calore o movimento. Per questo importante saperla trasferire ed utilizzare al meglio.
Un circuito elettrico un insieme di elementi collegati tra loro allo scopo di trasferire energia elettrica.
Gli elementi fondamentali ideali di un circuito elettrico possono essere
Attivi : quando forniscono energia agli altri elementi (generatori di tensione elettrica, generatori di corrente, batterie etc.) Passivi: quando dissipano o immagazzinano energia: (resistori, condensatori, induttori)
Le grandezze elettriche che, di fatto, si misurano sono:
La differenza di potenziale (d.d.p.), detta anche tensione o voltaggio La corrente elettrica La potenza elettrica
I-4
Gli atomi sono costituiti da un nucleo (formato da protoni e neutroni) e dagli elettroni.
Protoni ed elettroni sono cariche elettriche; gli elettroni e i protoni hanno la stessa carica elettrica ma di segno opposto, gli elettroni hanno carica negativa e i protoni carica positiva. (qe = -e; qp = e) Lunit di carica elettrica il coulomb (C), la carica di un elettrone
1.610-19 C. Cariche dello stesso segno si respingono, cariche di segno opposto si
attraggono.
Gli elettroni sono legati al nucleo proprio a causa della loro attrazione con i protoni.
Negli atomi neutri, il numero di protoni uguale al numero di elettroni, cos la carica netta nulla.
Se, in qualche modo, aggiungiamo (o sottraiamo) qualche elettrone, latomo assume una carica netta negativa (o positiva), e viene detto ione negativo (o positivo).
I-5
Conduttori e Isolanti Dal punto di vista delle loro propriet elettriche, la maggior parte delle
sostanze si possono dividere in conduttori ed isolanti.
Esempi di conduttori sono: il rame, loro, largento (i metalli in genere), lacqua del mare, il corpo umano.
Esempi di isolanti sono: laria, la plastica, il vetro, lacqua chimicamente pura.
La differenza di comportamento di conduttori ed isolanti dovuta alla differente mobilit degli elettroni.
Quando atomi metallici si aggregano per formare un corpo solido, alcuni elettroni (quelli pi esterni) non sono fortemente legati al nucleo, ma sono liberi di muoversi attraverso il materiale (conduttore). Un conduttore quindi formato da ioni positivi (nucleo + elettroni interni) ed elettroni (detti di conduzione) delocalizzati su tutto il materiale.
Al contrario negli isolanti, tutti gli elettroni degli atomi sono fortemente legati al proprio nucleo e non possono muoversi liberamente.
I-6
La corrente elettrica
La corrente la velocit di trasferimento di carica che nasce dal moto ordinato delle cariche elettriche.
Consideriamo un filo metallico lungo cui gli elettroni si muovono, la corrente il flusso di carica che attraversa la sezione del conduttore nellunit di tempo.
Intensit di corrente elettrica:
Lunit di misura della corrente elettrica lAmpere (A); 1 A = 1 C s-1 Nella pratica, sono molto usati i sottomultipli: milliampere, microampere
(1 mA = 10-3 A, 1A = 10-6 A).
dtdqI
I-7
Consideriamo un conduttore isolato: a causa dellagitazione termica, lelettrone urta continuamente contro gli atomi del reticolo cristallino, e viene deviato in una direzione qualsiasi.
il moto medio casuale (browniano) 1/2 ~ 10 4 6 m/s
Se consideriamo una sezione del filo, un ugual numero di elettroni si muovono nelle due direzioni opposte: non c una corrente netta.
I = 0
Conduttore isolato
Affinch ci sia una corrente netta, dobbiamo privilegiare il moto in una direzione: dobbiamo dare energia.
I-8
La Differenza di Potenziale (d.d.p.) La d.d.p. tra due punti A e B di un conduttore lenergia che bisogna fornire (il lavoro che bisogna fare) alla carica unitaria positiva per spostarla da A a B a velocit costante. La d.d.p viene anche detta tensione o voltaggio.
vd ~ 10 4 6 m/s
Lunit di misura della d.d.p il Volt
1 Volt= 1Joule/1coulomb. I0
Poich gli elettroni durante il loro moto perdono energia cinetica, a causa degli urti con gli ioni del reticolo, bisogna usare un dispositivo capace di mantenere una differenza di potenziale tra i due punti del conduttore. Tale dispositivo prende il nome di generatore di tensione o di forza elettromotrice (f.e.m.), p. e. una batteria. Se la d.d.p. viene mantenuta costante, anche la corrente non varier con tempo e viene detta corrente continua (d.c.).
I-9
Potenziale elettrico e Potenziale gravitazionale
Massa Campo gravitazionale Energia gravitazionale Potenziale gravitazionale Una massa tende ad
andare da un punto a potenziale pi alto a uno a potenziale pi basso.
Una massa che si muove in un mezzo viscoso, a regime, si muover con velocit costante.
Carica Campo elettrico Energia elettrica Potenziale elettrico Una carica positiva tende
ad andare da un punto a potenziale pi alto a uno a potenziale pi basso.
Una carica che si muove in un conduttore, a causa di una d.d.p. ai suoi estremi, si muove a velocit costante.
I-10
Legge di Ohm
In un conduttore metallico, la corrente proporzionale alla differenza di potenziale. Questa legge, detta legge di Ohm, si pu esprimere in due modi introducendo due grandezze, la resistenza (R) e la conduttanza (G).
V = I R I = G V Lunit di misura della resistenza lohm () [1 = 1 Volt/1 Ampere], sono molto utili i suoi multipli k = 103 e M = 106 . Lunit di misura della conduttanza il mho (-1)
R = 1/G
La resistenza dipende dalla forma, la dimensione e il materiale da cui costituito il conduttore. Se consideriamo un conduttore cilindrico di sezione S e lunghezza l, si ha R= l/S, dove la cosiddetta resistivit e dipende dal materiale e dalla temperatura. [unit di misura m] Uno dei componenti passivi molto usati nei circuiti elettrici, che obbedisce alla legge di Ohm, il resistore, che si indica con il simbolo
I-11
Oltre ad avere un fissato valore di resistenza, esiste un massimo livello di potenza a cui pu essere sottoposto senza essere danneggiato. Se sottoponiamo il resistore ad una potenza elettrica maggiore di quella massima, dapprima la sua temperatura tende ad aumentare (con conseguente aumento della sua resistenza), superando un certo livello di potenza il resistore si brucia.
I-12
Caratteristiche I - V
Resistore Lampadina
I-13
Altri materiali
Semiconduttori
Materiali molto utili nella tecnologia elettronica (Ge, Si).
Sono solidi isolanti trattati in maniera opportuna in modo da avere conduzione da parte di portatori di carica sia positivi sia negativi e, quindi, mantenere una corrente elettrica se viene applicata una differenza di potenziale.
Superconduttori (SC)
Alcuni metalli o leghe metalliche hanno la propriet di avere resistivit elettrica nulla se raffreddati al di sotto di una certa temperatura, detta temperatura critica, Tc. Valori tipici della Tc sono pochi Kelvin (tranne per i cosiddetti superconduttori ad alta Tc che, comunque, non sono buoni conduttori a temperatura ambiente).
Esempi: Niobio, Stagno, Piombo.
I-14
Valori tipici di resistivit Materiale Resistivit ( m) a T ambiente oro 2.4 10-8 argento 1.6 10-8
rame 1.7 10-8
ferro 9.7 10-8
Niobio (SC) 12.5 10-8 [ a T < 9 K, < 10-24] Piombo (SC) 20.7 10-8 [ a T < 7 K, < 10-24] acqua 2 105
aria 3 1013
II-1
Circuiti elettrici Un circuito elettrico e un insieme di elementi collegati tra loro allo scopo di trasferire energia elettrica.
Gli elementi fondamentali ideali di un circuito elettrico possono essere Attivi : quando forniscono energia agli altri elementi, ad esempio generatori di tensione elettrica, generatori di corrente, batterie.
Passivi: quando dissipano o immagazzinano energia: resistori, condensatori, induttori.
Bench in un conduttore le cariche che si muovono sono gli elettroni, per convenzione, il verso positivo della corrente quello in cui andrebbero le cariche positive (opposto a quello degli elettroni).
conduttore f.e.m. = lavoro che deve fare il generatore per spostare la carica unitaria dal suo polo a potenziale pi basso a quello a potenziale pi alto.
+ e non significano potenziale positivo e negativo. Il + indica il polo a potenziale pi alto e il quello al potenziale pi basso.
II-2
Potenza elettrica
R
V
I
Se si chiude linterruttore, comincia a circolare corrente.
La tensione ai capi di R sar V, si dice che il passaggio di corrente provoca una caduta di tensione.
Dicendo che la tensione ai capi di R V si sta supponendo che i fili che collegano R e il generatore non hanno resistenza.
I = dq/dt
Energia fornita dal generatore dU=dqV = V I dt
Potenza erogata dal generatore P = dU/dt = IV
Unit di misura della potenza: Watt (W) [1 W = 1Volt * 1 A = (1 J/1 C)(1 C/s) = 1 J/s]
Lenergia fornita dal generatore viene dissipata ( si trasforma nel conduttore in energia termica)
Usando la legge di Ohm si ottiene: P = I2 R = V2/R
(attenzione solo nei conduttori Ohmici)
II-3
una sorgente di energia capace di mantenere una differenza di potenziale costante tra due punti A e B, indipendentemente da ci che viene connesso tra quei due punti (carico). Se si connette un circuito elettrico tra quei due punti, il generatore far scorrere corrente nel circuito in modo che VAB sia sempre la stessa, indipendentemente dai componenti del circuito.
Generatore ideale di tensione
RL
V0
IR RL
Ovviamente ci impossibile perch per RL 0, la potenza erogata tenderebbe a infinito (P = V2/R). Nella pratica non esiste un generatore di tensione ideale. .
II-4
una sorgente di energia capace di erogare una corrente I0, indipendentemente da ci che viene connesso ai suoi capi.
Generatore ideale di corrente
RL
I0
IR
0
RL
IR
I0 In questo caso, la potenza tenderebbe ad infinito per RL sufficientemente grande (P = I2 R).
Nella pratica non esiste un generatore di corrente ideale.
II-5
Resistenze in serie
In un circuito elettrico, due o pi resistenze sono collegate in serie quando sono percorse dalla stessa corrente.
R2 R3 R1
I
Req
I
VA VB
VA VB VA
VA VB
VB
V1 = I R1 V2 = I R2 V3 = I R3
VA - VB= V1 + V2 + V3 = I (R1 + R2 + R3) Req = Potenza erogata dal generatore = Potenza dissipata nelle resistenze (conservazione dellenergia) P = VAB I = I2 Req = P1 + P2 + P3 = I 2(R1 + R2 + R3)
3
1iiR
II-6
Se facciamo un grafico della d.d.p. in ogni punto del circuito, misurandola rispetto al punto d, si ottiene.
Req = 692 I = 12/692 A = 17.3 mA
Vab= 6.9 Volts
Vbc= 5.1 Volts
Noi possiamo solo parlare di differenza di potenziale, per questo motivo ci serve fissare un punto di riferimento.
II-7
V
V1
V2 R1
R2
Partitore di tensione
V = I (R1 + R2) = V1 V2 = I R2
I = V / (R1 + R2) V2 = V R2 / (R1 + R2) Se R1= R2 , V2 = V/2
Se R1 = 9 R2 , V2= V/10
Potenziometro
Tre terminali, uno dei quali collegato ad un contatto mobile che permette di regolare in maniera continua la resistenza tra i punti A e C (C e B). Ci permette di variare con continuit la tensione tra il punto C e uno qualunque dei terminali estremi.
A B
C
II-8
R1
R2
R3
R4
R5
Divisore di tensione
V2 V2
V3
V4
V5
V1
V
II-9
Resistenze in parallelo Due resistenze si dicono in parallelo quando sono
collegate tra loro con entrambi gli estremi in comune.
La d.d.p. ai loro estremi la stessa. Se R1 R2, per la legge di Ohm, I1 I2 La corrente che attraversa il generatore si divide
in modo tale che I = I1 + I2 (conservazione della carica).
I1= V/R1 I2= V/R2 I = I1 + I2 V/RT = V/R1 +V/R2
Circuito equivalente
21
111RRRT
21
21RR
RRRT
Se R1= R2 = R, RT = R/2 Se R2 1
RT sempre minore della pi piccola delle resistenze
II-10
Resistenze in parallelo
21
21
211
21
1
11 ;)(//
RRRII
RRRRR
RR
RVRV
II T
T
21
12
2
2 ;RR
RIIRR
II T
Pu essere visto come un divisore di corrente
Corrente pi intensa nella resistenza pi piccola
Potenza erogata P = V I = V2/RT = I2RT Potenza dissipata P1 = V2/R1 P2= V2/R2
Si pu estendere ad un numero qualunque di conduttori in parallelo. Sempre ai capi di ciascuno di essi la stessa d.d.p.
i iT RR
11
II-11
Esercizio
La potenza erogata dal generatore P = VI I = 9V/(4.8 + 5 + 0.5) = 0.874 A P = 7.86 W
II-12
Rete di resistenze
65
6543
65
6543
21
RRRRRR
RRRRRR
RRRT
II-13
Rete di resistenze Una rete qualunque di conduttori pu essere sempre pensata come
costituita da nodi e da maglie.
Un nodo e un punto in cui convergono pi di due conduttori; linsieme di elementi compresi tra due nodi successivi viene detto ramo.
Una maglia il percorso che si ottiene partendo da un nodo e muovendosi lungo i conduttori della rete in modo da tornare al punto di partenza senza percorrere pi di una volta ogni conduttore o elemento.
Nota: tutti gli elementi che stanno nello stesso ramo sono il serie perch sono attraversati dalla stessa corrente; la corrente si divide ai nodi.
III-1
Rete di resistenze Una rete qualunque di conduttori pu essere sempre pensata come
costituita da nodi e da maglie.
Un nodo e un punto in cui convergono pi di due conduttori; linsieme di elementi compresi tra due nodi successivi viene detto ramo.
Una maglia il percorso che si ottiene partendo da un nodo e muovendosi lungo i conduttori della rete in modo da tornare al punto di partenza senza percorrere pi di una volta ogni conduttore o elemento.
III-2
Primo principio di Kirchhoff La somma algebrica delle correnti confluenti in un nodo di un circuito elettrico sempre nulla:
Si intendono positive le correnti entranti e negative quelle uscenti.
k
kI 0
Nasce dal fatto che le cariche non si possono accumulare nei nodi: in qualunque istante di tempo, la carica che entra deve essere uguale a quella che esce.
R4 Nota: solo una schematizzazione, non detto che il verso delle correnti sia quello indicato dalle frecce.
III-3
Secondo principio di Kirchhoff
Percorrendo interamente una maglia di un qualsiasi circuito elettrico, la somma algebrica delle d.d.p. ai capi degli elementi (attivi + passivi) deve essere nulla. Se indichiamo con Vi le d.d.p. ai capi dei generatori (o f.e.m.) e V(Rk) le d.d.p. (cadute di tensione) ai capi delle resistenze Rk, questo principio si pu scrivere:
Le Vi vanno prese positive se il generatore tende a fare scorrere la corrente nel senso di percorrenza della maglia, negative in senso opposto. Le Ik vanno prese positive se concordi col verso di percorrenza della maglia, negative se discordi.
Discende dalla conservazione dellenergia: lenergia fornita dai generatori deve essere uguale a quella dissipata nei conduttori.
i k
kkk
ki RIRVV )(
III-4
Applicazione dei principi di Kirchhoff Vogliamo trovare le correnti I1, I2, I3 Ci sono tre maglie, percorriamole in senso orario
V1 V2 = I1R1 I2R2 V2 = I2R2 + I3R3
V1 = I1R1 + I3R3
Le tre equazioni di maglia non sono indipendenti: la prima si ricava sottraendo la seconda dalla terza; ne scegliamo due e usiamo lequazione di nodo.
I1 + I2 - I3 = 0
Risolvendo questo sistema si trova:
I1= [V1(R2 + R3) - V2R3]/ I2= [V2(R1 + R3) - V1 R3]/ I3= [V1R2 + V2R1]/ dove = R1R2 + R1R3 + R2R3
In generale, si trova: Numero di maglie indipendenti = numero di rami - numero di nodi + 1
III-5
I1= [V1(R2 + R3) - V2R3]/ I2= [V2(R1 + R3) - V1 R3]/ I3= [V1R2 + V2R1]/ dove = R1R2 + R1R3 + R2R3
Si vede che: I3 sicuramente positiva, cio la corrente scorre effettivamente nel verso
che abbiamo indicato. Il segno di I1 e I2 pu venire positivo o negativo (cio concordi o opposti al
verso che abbiamo indicato noi), dipendentemente dai valori delle tensioni ai capi dei generatori e dai valori delle resistenze.
Importante: Per risolvere gli esercizi, qualunque sia la grandezza fisica da calcolare, dobbiamo segnare i versi delle correnti; non importa se corrispondono a quelli veri, ce ne accorgeremo dopo aver risolto lesercizio.
III-6
Metodo di Maxwell (o delle maglie) Si pu usare un altro metodo: Scegliere un numero di maglie uguale a
quello delle maglie indipendenti. Assegnare ad ogni maglia una corrente
fittizia. Scrivere le equazioni di maglia, tenendo
presente che la corrente che scorre in ogni ramo la somma algebrica di quelle fittizie che passano per quel ramo.
IA
IB
V1 = IAR1 + R3(IA + IB) V2 = IBR2 + R3(IA + IB)
Ma ora I1 = IA ; I2 = IB ; I3 = IA + IB
Ovviamente vale sempre I1 + I2 = I3
Risolvendo il sistema si ottiene: IA= [V1(R2 + R3) - V2R3]/ IB= [V2(R1 + R3) - V1 R3]/
Prima avevamo ottenuto I1= [V1(R2 + R3) - V2R3]/ I2= [V2(R1 + R3) - V1 R3]/
III-7
Teorema di Thevenin
Certe volte, ai fini pratici, non necessario conoscere tutti i dettagli di un circuito elettrico, ma piuttosto il suo comportamento tra due suoi punti particolari. In questo caso si possono schematizzare i circuiti usando i teoremi di Thevenin o di Norton. Teorema di Thevenin: il comportamento di una rete comunque complessa, ai fini
dellutilizzazione al suo esterno tra due punti, equivalente a quello di un generatore di tensione V0 in serie ad una resistenza R0, dove: V0 la d.d.p. tra i due punti quando allesterno ce un circuito aperto (RL = ) R0 la resistenza vista tra i due punti quando tutti i generatori di tensione sono cortocircuitati ( = 0) e tutti i generatori di corrente sono aperti.
rete RL V0 R0 RL
Se indichiamo con I0 la corrente di cortocircuito (cio con RL = 0) si ha: R0 = V0/I0
III-8
V0 R0 RL
Applicazione teorema di Thevenin: il partitore (1)
L
LRR
RRR
VI
2
21
R2
R1
A
B RL
I
R2 e RL formano un divisore di corrente
LL
LLLL
LLL
L
L
LLL
RRRRRRRVRRIV
RRRRRRVRI
RRR
RRRRR
VRR
RII
2121
2
2121
2
2
2
2
212
2
V0 tensione per RL =
R0 resistenze tra A e B con V cortocircuitato
I0 corrente con RL = 0
V
21
210 RR
RRR 21
20 RR
VRV
10 R
VI
LLL
RRR
RRRRVR
RRVI
21
2121
2
0
0 1
L
L
L
LL
RRR
RRR
RRVR
RRRVV
21
2121
2
0
0
A
B
III-9
V0 R0 RL
Applicazione teorema di Thevenin: il partitore (2)
21
210 RR
RRR 212
0 RRVRV
10 R
VI Si nota che R0 sarebbe venuta la stessa se avessimo calcolato V0/I0 (spesso tuttavia, ai fini pratici, pi facile calcolare V0 e R0.
L
LL RR
RVV 00
Una cosa che importante notare dalla
che VL sempre minore di V0, circa uguali quando R0 molto pi piccola di RL
Luso dellequivalente di Thevenin ci permette solo di studiare gli effetti sul carico e non di studiare in dettaglio il circuito. Per esempio, se calcoliamo la potenza totale erogata dal circuito e dal suo equivalente di Thevenin vengono diverse; infatti:
L
LRR
RRR
VVIW
2
21
2
LL RRRRRV
RRVW
12
12
20
0
20
0
III-10
A
B
R1 R2
R3 R4
R5
V
Trovare la condizione per cui I5 = 0 Ci interessa solo la corrente tra A e B
V0 la tensione quando R5 infinita R1 e R2 sono in serie e anche R3 e R4
VA = V - I1 R1, VB = V I3 R3
I1 = V/(R1 + R2), I3 = V/(R3 + R4)
V0 R0
A
B
V
R1
R2
R3
R4
A B
211
43
30 RR
RRR
RVVVV BA
R5
Applicazione teorema di Thevenin: il ponte di Wheastone (1)
III-11
Applicazione teorema di Thevenin: il ponte di Wheastone (2)
R0 la resistenza tra A e B quando V cortocircuitato; in questo caso, R1 e R2 sono in parallelo e anche R3 e R4 (Req = serie di due paralleli)
A
B
R1 R2
R3 R4
43
43
21
210 RR
RRRR
RRR
V0 R0
211
43
30 RR
RRR
RVVVV BA
05
43
43
21
21
21
1
43
3
5
RRR
RRRR
RRRR
RRR
RVI
4123
431213 )()(RRRR
RRRRRR
A
B
R5
50
05 RR
VI
III-12
Teorema di Norton Teorema di Norton: il comportamento di una rete comunque complessa, ai fini dellutilizzazione al suo esterno tra due punti, equivalente a quello di un generatore di corrente I0 in parallelo ad una resistenza R0, dove: R0 la resistenza vista tra i due punti quando tutti i generatori di tensione sono cortocircuitati ( = 0) e tutti i generatori di corrente sono aperti. I0R0 = V0 , con V0 introdotta dal teorema di Thevenin, cio a carico infinito I0 la corrente di cortocircuito (RL = 0), introdotta dal teorema di Thevenin
RL
rete RL
A
B
Il circuito equivalente di Norton con la resistenza di carico formano un partitore di corrente, pertanto:
LLL RR
VRR
RII 00
0
00L
LLLL RR
RVRIV 00
III-13
Equivalenza tra il teorema di Thevenin e il teorema di Norton
Consideriamo le due schematizzazioni di Thevenin e di Norton di una rete qualsiasi.
RL
RL
V0 R0
A
B
Dallequivalente di Thevenin troviamo che e L
LL RR
RVV 00
LL RR
VI 00
Dallequivalente di Norton abbiamo appena trovato che
LLL RR
VRR
RII 00
0
00L
LLLL RR
RVRIV 00
I risultati che otteniamo, per quanto riguarda leffetto della rete su RL, sono identici: quindi possiamo utilizzare a scelta una qualunque delle due schematizzazioni (dipende dalle informazioni che abbiamo a disposizione)
IV-1
una sorgente di energia capace di mantenere una differenza di potenziale costante tra due punti A e B, indipendentemente da ci che viene connesso tra quei due punti (che chiameremo carico da ora in poi). Se si connette un circuito elettrico tra quei due punti, il generatore far scorrere corrente nel circuito in modo che VAB sia sempre la stessa, indipendentemente dai componenti del circuito.
Generatore ideale di tensione
RL
V0
IR RL
Ovviamente ci impossibile perch per RL 0, la potenza erogata tenderebbe a infinito (P = V2/R) .
IV-2
Generatore di tensione reale
VL
I V/
)/(11
LL
LL R
VR
RVV
dIdVIVV LL
Un generatore reale di tensione, comunque sia fatto, contiene al suo interno qualche elemento che offre una resistenza al passaggio della corrente, la cosiddetta resistenza interna, . Un generatore reale di tensione pu essere schematizzato come: un generatore ideale di tensione con una resistenza in serie (equivalente di Thevenin del generatore reale).
V
V RL
Per RL=, VL=V/2
Il comportamento reale si avvicina a quello ideale quando
IV-3
una sorgente di energia capace di erogare una corrente I0, indipendentemente da ci che viene connesso ai suoi capi.
Generatore ideale di corrente
RL
I0
IR
0
RL
IR
I0 In questo caso, la potenza tenderebbe ad infinito per RL sufficientemente grande (P = I2 R).
IV-4
Generatore di corrente reale Un generatore reale di corrente pu essere schematizzato come: un generatore ideale di corrente con una resistenza in parallelo (equivalente di Norton del generatore reale):
RL
)/(11
LLL R
IR
II
1
L
LLL dV
dIVIIII
IL
I
VL I
IL/I Per RL=, IL=I/2
Il comportamento reale si avvicina a quello ideale quando >>RL
IV-5
Precisazioni sulle schematizzazioni Per discutere le propriet dei generatori reali abbiamo fatto delle schematizzazioni: per il generatore di tensione abbiamo usato lequivalente di Thevenin e per il generatore di corrente lequivalente di Norton. Noi tuttavia abbiamo dimostrato lequivalenza tra il teorema di Thevenin e di Norton. Le differenti schematizzazioni le abbiamo fatte per comodit. Considerando lequivalente di Norton del generatore di corrente, abbiamo trovato che la corrente sul carico dipende poco dal carico se questultimo molto minore della resistenza interna. Se avessimo usato lequivalente di Thevenin cosa sarebbe venuto? Vediamo.
V RL Se calcoliamo IL otteniamo: L
L RVI
Ma se >> RL, RL a denominatore si pu trascurare rispetto a e, quindi IL diventa comunque indipendente dal carico, come si addice a un buon generatore di corrente.
Se prendiamo una pila di tensione V, ci mettiamo in serie una resistenza non troppo piccola (R) e a seguire una resistenza di carico, RL
IV-6
Generatori reali: considerazioni (1) A causa del fatto che i generatori reali hanno una resistenza interna, la potenza erogata dal generatore non viene tutta trasferita al carico; una parte di essa viene dissipata dalla resistenza interna.
Consideriamo il generatore di tensione
La potenza totale erogata dal generatore (P=IV)
La differenza tra le due dissipata dalla resistenza interna
Se si deriva PL rispetto a RL si trova che essa massima per RL = , in questo caso si ha
la potenza in RL met di quella totale laltra met dissipata dalla resistenza interna.
2
LLLLLL
LL R
VRPR
VIIR
RVV
LRVP
2
2422 VPVPL
IV-7
Generatori reali: considerazioni (2)
Considerazioni simili possono essere fatte anche per i generatori di corrente Si trova sempre che la potenza sul carico massima quando R=.
Riepilogando Un generatore ideale di tensione dovrebbe avere resistenza interna nulla
Un generatore ideale di corrente dovrebbe avere resistenza interna infinita
Il comportamento allesterno di un generatore reale dipende dal carico:
Per RL >> si ha un buon generatore di tensione
Per RL
IV-8
Alimentatori di tensione stabilizzati
I generatori di tensione DC sono abbastanza complicati, noi abbiamo usato le loro schematizzazioni.
La pila ha una resistenza interna che varia nel tempo: quando la pila si scarica la sua resistenza interna aumenta ed essa non fornisce pi la tensione voluta proprio per questo motivo.
Gli alimentatori che si usano nella pratica sono costituiti da circuiti complicati che garantiscono una alta stabilit di tensione: sono detti alimentatori stabilizzati Devono garantire una stabilit rispetto a variazioni del carico, ma anche rispetto a
variazioni di tensione della rete elettrica da cui essi stessi sono alimentati. Esistono quelli a tensione fissa e quelli a tensione variabile (che si pu regolare). Sono caratterizzati da un valore massimo della tensione, da un valore massimo della
corrente (la cosiddeta corrente di corto circuito, cio con RL= 0) e, quindi, da un valore massimo della potenza erogabile.
IV-9
Un esempio di regolazione della tensione
Consideriamo un generatore reale e aggiungiamo in serie una resistenza variabile;
come se avessimo un generatore con resistenza interna = 0 + v . La tensione ai capi di RL sar:
V0
0
RL
v
L
L
LL
R
VR
RVV 1
100
Se al variare di RL si varia v in maniera tale da mantenere costante il valore di /RL avremo un generatore di tensione stabilizzato il cui valore massimo V0.
Negli alimentatori stabilizzati questo tipo di regolazione viene effettuata da un comparatore, che confronta la tensione di uscita con un segnale di riferimento Vr e cambia automaticamente la resistenza di un elemento posto in serie al generatore.
generatore non stabilizzato comparatore
RL Vr
V-1
Caratteristiche degli strumenti di misura
Intervallo di funzionamento intervallo tra il valore massimo, detto portata, ed il valore minimo, detto soglia, che lo strumento in grado di misurare.
Prontezza rapidit con cui lo strumento in grado di misurare la grandezza in esame o di seguirne le variazioni. Lo strumento ha un tempo caratteristico (tempo di risposta) che dipende dalle caratteristiche costruttive. Variazioni che avvengono in un tempo pi breve del tempo di risposta dello strumento non possono essere misurate.
Sensibilit pi piccola variazione della grandezza che lo strumento pu misurare. Negli strumenti analogici, dipende dal valore corrispondente alla pi piccola divisione delle scala graduata. Negli strumenti digitali dal numero di cifre significative con cui il risultato di una misura viene espresso.
Grado di precisione legato allerrore relativo che il suo uso comporta; quanto pi piccolo questo errore tanto pi preciso lo strumento. Dipende dalle caratteristiche costruttive e dal grado di efficienza dello strumento. Comporta un errore che non pu essere eliminato. La precisione con cui una misura pu essere ottenuta viene comunemente riportata nel libretto distruzione dello strumento (in genere lerrore di precisione individuato come una certa percentuale del valore misurato).
V-2
Amperometro Lamperometro uno strumento che misura corrente. Deve essere inserito in serie al ramo del circuito in cui si vuole misurare la corrente, in questo modo la corrente che lo attraversa la stessa di quella che scorre nel ramo di interesse. Come tutti i dispositivi, ha una sua resistenza interna (RA).
Corrente se non ci fosse lamperometro:
RRVI 0
0
Corrente quando c lamperometro: I
RRRVI
Amis 0
0
Linserimento dellamperometro comporta un errore sistematico legato al valore della sua resistenza interna; affinch il suo inserimento non perturbi molto il sistema dovrebbe essere RA
V-3
Voltmetro Il voltmetro uno strumento che misura la d.d.p.. Deve essere inserito in parallelo al dispositivo ai capi del quale si vuole misurare la d.d.p., in questo modo la d.d.p. ai suoi capi la stessa di quella ai capi del dispositivo di interesse. Come tutti i dispositivi, ha una sua resistenza interna (RV).
R0
R V0
RV
Tensione se non ci fosse il voltmetro:
RR
VRRRVVR
0
0
0
0
1
tensione quando c il voltmetro:
con
||0
0
1RR
VVm RRRRR
V
V||
Linserimento del voltmetro comporta un errore sistematico legato al valore della sua resistenza interna; affinch il suo inserimento non perturbi molto il sistema dovrebbe essere R|| R, cio RV >> R.
V-4
Principio di funzionamento del galvanometro o amperometro a bobina mobile
i
i i
i i B
d
a
c
b
Consideriamo una spira rettangolare, di superficie S, immersa in un campo magnetico B uniforme perpendicolare a due suoi lati (in figura a e c); supponiamo che la spira possa ruotare attorno al suo asse parallelo a questi suoi lati. Su ogni lato, l, agir una forza (Forza di Lorentz):
Sui lati b e d si ha:
Le due forze hanno la stessa retta di azione (parallela allasse di rotazione); se la spira rigida queste due forze non avranno nessun effetto
BliF
Sui lati a e c le due forze sono sempre uguali ed opposte, |Fa| = |Fc|= i a B perch la corrente scorre in direzione opposta, ma non hanno la stessa retta di azione: formano una coppia che far ruotare la spira attorno al suo asse.
Il galvanometro (o amperometro a bobina mobile) si basa su questo effetto.
db FBbiF
V-5
Amperometro a bobina mobile Una bobina formata da un certo numero di spire arrotolata attorno ad un cilindro di ferro, immerso in un campo magnetico. Il campo magnetico generato da un magnete permanente in maniera tale da essere radiale (perpendicolare alla superficie laterale del cilindro) e, quindi, perpendicolare ai lati verticali della bobina. La bobina sostenuta lungo lasse verticale da due molle a spirale, che si oppongono al movimento di torsione della spira. Sullasse del cilindro, che anche lasse verticale della bobina, attaccato un ago che pu muoversi su una scala graduata.
La corrente che si deve misurare passa dalla bobina. Quando nella bobina non passa corrente: le molle non sono deformate, lago sulla scala graduata segner lo zero. Quando passa corrente: la bobina ruota sotto lazione della coppia formata dalle forze di Lorentz, le molle si deformano, lago si ferma in una posizione stabile quando i momenti delle forze (dovute al campo magnetico e alla molla) si equilibrano.
V-6
Sui lati, di ciascuna spira, paralleli al campo magnetico (sul piano del foglio), la forza di Lorentz nulla.
Il campo magnetico perpendicolare ai due lati verticali, di lunghezza l, il modulo delle due forze di Lorentz f = l I B.
Il braccio della coppia formata dalle due forze di Lorentz segnate in figura uguale alla lunghezza dei lati della spira paralleli al campo magnetico, che indichiamo con a.
Il momento meccanico di questa coppia sar M = a l I B = S I B, dove S la superficie della spira.
Se la bobina formata da n spire, il momento totale dovuto a B MB = n S I B.
Non appena la bobina ruota di un certo angolo , le molle si deformano e agiscono con un momento torcente di richiamo Mm = - k (k dipende dalle caratteristiche costruttive delle molle).
Lago si fermer in una certa posizione stabile quando MB + Mm = 0 cio n S I B = k
Langolo di deflessione proporzionale alla corrente.
nBS
kI
V-7
Caratteristiche dellamperometro Sensibilit: S = d/dI = n S B / k poich S non dipenda da I, la sensibilit costante in tutto il range di I misurabile. Pi grande il numero di spire e maggiore la sensibilit. Portata: corrisponde alla massima deviazione visualizzabile nella scala graduata. Tuttavia vedremo che pu essere variata. Tempo di risposta: legato allinerzia del sistema mobile; pu essere dellordine di 1-2 secondi. Errore di lettura: dipende dalle tacche della scale graduata e, siccome la scale lineare, costante in tutto il range di valori misurabili; conviene leggere in corrispondenza dei valori pi alti della scala per ridurre lerrore relativo. Resistenza interna: la resistenza del filo da cui costituita la bobina; per aumentare la sensibilit necessario aumentare il numero di spire e, conseguentemente, usare filo sottile; tutti e due questi accorgimenti fanno si che la resistenza interna non molto piccola (~1k).
V-8
Variazione della portata Per potere misurare correnti pi grandi di quelle corrispondenti alla massima deviazione dellago sulla scala graduata si pu usare un divisore di corrente. Si pone in parallelo allamperometro una resistenza, detta resistenza di shunt, in maniera tale che la corrente da misurare si divide, una parte passa attraverso la bobina e una parte sulla resistenza di shunt.
RA
Rs
I t
Im Is
1;;
1se n
RRn
IInRR
RRR
RII AstmsA
s
sA
stm
Si pu usare la stessa scala e moltiplicare il valore misurato per n
Negli amperometri commerciali si ha la possibilit di cambiare la portata (il fondo scala) di differenti fattori, basta premere un tasto che sposta il contatto da una resistenza di shunt ad unaltra.
RA I t
1 kA
sn
RR
Linserimento di una resistenza di shunt fa diminuire la resistenza interna dellamperometro. Se aumentiamo il fondo scala di un fattore n, la resistenza interna diminuisce dello stesso fattore:
AAAi Rn
Rn
RR 111
V-9
Amperometro a bobina mobile usato come Voltmetro Poich lamperometro ha una sua resistenza interna costante, se lo poniamo tra due punti in cui c una d.d.p. la corrente che lo attraverser sar V/RA; se si conosce RA, si pu avere una misura di V, basta tarare una scala opportuna. La tensione massima misurabile sar Vmax = ImaxRA, dove Imax fissata dalla portata dellamperometro che determina anche la portata del volmetro. Si pu aumentare la portata del voltmetro inserendo una resistenza in serie, Rn, scelta opportunamente: ora la tensione si ripartisce tra RA e Rn e Vmax cambier
RA
V Rn = (n-1)RA Vmax = Imax (Rn + RA) = n RAImax.
In genere, con un semplice tasto si sceglie la Rn opportuna.
La resistenza interna del voltmetro sar RV = n RA Allaumentare delle portata aumenta RV
V-10
Amperometro a bobina mobile usato come Ohmmetro Usando un amperometro, una batteria e una serie di resistenze si pu ottenere uno strumento che misura resistenze. In questo caso, lamperometro va alimentato.
RA Rv
Rx
Cortocircuitiamo Rx , circoler una certa corrente che si pu leggere sulla scala graduata. Variamo Rv finch lago non arriva al fondo scala che, in questo caso, corrisponde a Rx = 0. Ci avverr quando V=Imax (RA + RV)
Quando inseriamo Rx, si avr xxA
VA
xA RRRI
RRRRRI
RRRVI
max
v
max
v
)(
1maxmaxI
IRI
IRRIRx La lancetta si sposter verso correnti pi basse che corrispondono a resistenze pi alte. La scala questa volta non lineare perch varia come 1/I.
La lettura della resistenza va da a 0 quando la corrente va da 0 a Imax ; come conseguenza, valori molto pi grandi di R risultano molto vicini tra loro nella scala (vicino a ) e non facili da leggere e valori molto pi bassi di R risultano vicino allo 0 e indistinguibili. Di fatto, il circuito un poco pi complicato per potere effettuare cambiamenti di scala anche per le resistenze, sfruttando differenti fondo scala della corrente, tuttavia il principio di funzionamento questo.
V-11
Misure di resistenza col metodo volt-amperometrico Un metodo molto semplice, in linea di principio, per misurare una resistenza quello di misurare contemporaneamente la corrente che la attraversa e la d.d.p. ai suoi capi. Questo metodo, se eseguito in modo opportuno, permette di avere una misura molto accurata della resistenza. Inoltre, se si vuole verificare che un conduttore obbedisce alla legge di Ohm, basta determinare la caratteristica I-V e vedere se si ottiene una legge lineare.
RA
RV
La d.d.p. misurata quella ai capi della resistenza, ma la corrente misurata dallamperometro non quella che passa dalla resistenza, ma la somma di quella che va al voltmetro e quella che passa dalla resistenza. Lerrore che si commette piccolo se RV>>Rx.
Rx RA
RV
Rx
La corrente misurata quella che attraversa la resistenza, ma la d.d.p. misurata la somma di quella ai capi dellamperometro e di quella ai capi della resistenza. Lerrore che si commette piccolo se RA
VI_1
Il multimetro digitale Caratteristiche generali
Il risultato viene visualizzato in forma numerica. Tutte le operazioni vengono effettuate automaticamente, loperatore tuttal
pi deve impostare la portata mediante un tasto. Ha una elevata resistenza interna (tipicamente 10-20 M). Misura la tensione incognita a intervalli regolari (campionamento), che
possono andare dal ms. al s.. Dopo avere eseguito una misura (un campionamento), si riporta rapidamente nelle condizioni per eseguirne unaltra. Variazioni che avvengono in un tempo minore del tempo di campionamento non possono essere visualizzate.
Al fine di poter visualizzare il risultato, la tensione analogica deve essere trasformata in un cosiddetto segnale digitale (serie di bit nella numerazione binaria).
necessario interpretare (decodificare) il segnale al fine di visualizzare il numero.
Luscita numerica pu essere inviata ad una stampante, o ad una scheda che pu essere letta da un computer.
VI_2
Esempi di segnali digitali
Il numero non altro che il numero degli impulsi.
La presenza (o lassenza) di un impulso indica 1 (o 0) in ciascuna posizione (bit), che corrisponde a potenze di 2.
La lampadina accesa o spenta indica il livello 1 o 0.
In elettronica, i livelli 1- 0 (alto-basso; on-off), detti livelli logici, sono livelli di tensione. Nella famiglia logica pi comunemente usata, lo 0 corrisponde a tensioni comprese tra 0 e +0.4 V, l1 corrisponde a tensioni comprese tra +2.4 a +4.5.
10110101
0110 1001 0111
VI_3
Display numerico: ogni cifra viene visualizzata in un display a 7 segmenti.
Il decodificatore, legge in numero binario, composto da 4 bit, e manda un segnale che fa accendere i segmenti necessari a visualizzare il numero decimale corrispondente.
Il numero di cifre significative che sono visualizzate dipende da quanti display a 7 segmenti possono essere comandati.
Esempio di codifica binario-decimale
VI_4
Circuito di controllo Campionamento
Attenuatore o amplificatore
Ingresso analogico
Vx Rettificatore e controllo del segno
Convertitore A/D
Display numerico
Lattenuatore o amplificatore regola il livello del segnale dingresso, cambia la portata e posiziona la virgola sul display luminoso.
Il sistema di rettificazione necessario per misurare tensioni alternate; in questo caso, il rettificatore fornisce una tensione DC positiva uguale al valore quadratico medio della tensione alternata. Per segnali DC, questo sistema controlla il segno della d.d.p. rispetto a un punto di riferimento e se negativa la inverte e comanda laccensione del segno meno sul display.
Il circuito di controllo indispensabile per il funzionamento del convertitore.
Schema di principio del multimetro digitale
VI_5
Come avviene il campionamento
Il circuito di controllo e campionamento la parte fondamentale del multimetro digitale; esso formato da vari dispositivi, che servono a far iniziare la misura, a farla completare e a dare il comando per far ripartire il successivo campionamento . In pratica i multimetri digitali effettuano, di fatto, la misura di un tempo che proporzionale alla tensione da misurare. Loperazione fondamentale di un tipo particolare di multimetro (detto a rampa semplice) schematizzata nella seguente figura.
Vx
Vi
t t1 t2
T
Vx/T = tg Vi una tensione generata allinterno dello strumento, che dipende linearmente dal tempo con una pendenza nota. Questo tipo di segnale viene detto rampa.
Vx la tensione da misurare
Quando il segnale Vi assume lo stesso valore di Vx, un dispositivo fa partire il campionamento mettendo in funzione un contatore, che in pratica funziona come un orologio. Quando Vi attraversa lo zero, un altro dispositivo spegne il contatore e manda un segnale per far ripartire unaltra rampa e, quindi, unaltra misura. Conoscendo la pendenza della rampa e il tempo T, si ricava Vx. Tutto viene fatto automaticamente dai circuiti interni.
VI_6
Multimetro che si basa sulla misura digitale del tempo
Il sample rate fa partire la rampa di tensione allinizio del campionamento e azzera il contatore quando la misura stata completata, per poi farne partire unaltra.
Lintervallo di tempo T proporzionale al numero di impulsi al secondo e, una volta nota la pendenza della rampa, alla tensione da misurare.
V/T = tg
VI_7
VI_8
Come si ottiene un elevata resistenza interna
Lattenuatore in ingresso regola la portata per mezzo di un divisore di tensione. La resistenza vista tra i due terminali di ingresso comunque la resistenza equivalente della serie (10 M).
Blocco di conversione e campionamento
Display
1 k 9 k
90 k 900 k 9 M
Vx
VI_9
Multimetro digitale come amperometro e ohmetro Il multimetro digitale pu essere utilizzato anche come amperometro e ohmetro; tuttavia, poich legge sempre tensioni, deve utilizzare un qualche circuito interno che gli permette di convertire la corrente (o la resistenza) in tensione.
Ix Come Amperometro: La corrente passa attraverso una resistenza nota con unalta precisione, causando una caduta di potenziale che viene letta dal multimetro. Differenti resistenze vengono connesse per cambiare il fondo scala.
MD
MD I
Rx
Come Ohmetro: La corrente viene generata da una sorgente di corrente stabile rispetto a variazioni di carico (interna al multimetro) e passa attraverso la resistenza incognita; la caduta di potenziale V=I Rx viene letta dal multimetro.
I
VII-1
Il condensatore
Il condensatore un elemento passivo costituito da due conduttori separati da un isolante. caratterizzato dalla capacit elettrica (C). Se i due conduttori sono carichi con carica +q e q vale la relazione C=q/V simbolo
Consideriamo due lastre piane conduttrici separate da un isolante; supponiamo che inizialmente siano scariche. Se trasferiamo una certo numero di elettroni da uno dei due conduttori allaltro, il primo si caricher positivamente il secondo negativamente, tra i due conduttori ci sar una d.d.p. che corrisponde al lavoro fatto per caricare i due conduttori (creare la separazione di carica). La tensione tra i due conduttori proporzionale alla carica trasferita, V=k q; C1/k.
Unit di misura: Farad (F) 1F = 1C/1V
Si usano i sottomultipli 1F = 10-6F, 1nF = 10-9F, 1pF = 10-12F.
La capacit di un condensatore direttamente proporzionale allarea dei due conduttori, inversamente proporzionale alla distanza che li separa e dipende dalla natura dellisolante interposto.
VII-2
Dalla V = q/C si ottiene
00')'(1)(;;1 VdttI
CtV
dtdVCI
dtdq
CdtdV t
Un condensatore pu essere caricato connettendolo ai morsetti di un generatore di tensione. Non appena linterruttore viene chiuso, gli elettroni del piatto A tendono ad andare verso il polo positivo del generatore; il piatto A si carica positivamente. Viceversa, dal polo negativo del generatore elettroni si spostano verso il piatto B, che si carica negativamente. Questo moto di elettroni equivalente ad una corrente che circola in senso orario. Man mano che i piatti si caricano la d.d.p. ai capi del condensatore aumenta; il processo di carica si arresta quando la d.d.p. ai capi del condensatore uguale a V. Lenergia erogata dal generatore durante il tempo di carica immagazzinata nel condensatore, come energia elettrostatica.
V
A B
In condizioni stazionarie (dopo il transitorio) Vc= V, I = 0. Quindi, se applichiamo una d.d.p. DC, dopo un certo tempo, non circoler pi corrente, come se a posto del condensatore ci fosse un circuito aperto.
VII-3
Regime transitorio in un circuito RC (1) Supponiamo che inizialmente il condensatore sia scarico, q(0)=0. Connettiamo il generatore, chiudendo linterruttore sul punto 1.
Percorrendo la maglia in senso orario:
CqIRV 0
dtdqI qCV
dtdqRC 0 RC
dtqCV
dq 0Poniamo x= V0C q.
t
RCt
x
dx0 RC
txtx
RCt
x t )0(ln)(ln;ln 0
RCteCV
tqCVRCt
qCVtqCV /
0
0
0
0 )(;)0()(ln
RCteCVtq /0 1)( La carica del condensatore aumenta col tempo seguendo una legge esponenziale, con un tempo caratteristico, detto costante di tempo, = RC.
Sostituendo e moltiplicando per C
1
2 V0
VII-4
Regime transitorio in un circuito RC (2)
RCteCVtq /0 1)(
Questa espressione ci permette di trovare la corrente e le d.d.p. ai capi del condensatore e della resistenza
RCteRV
dttdq
ti /0)()(
RCtC eVCtqtV /0 1)()( RCt
R eVRtitV/
0)()(
t 2 3
q V0C
0.63 V0C
0.63 V0
0.37 V0
V0
Per t >> q V0C, i 0, VC V0, VR 0
VII-5
Bilancio energetico durante il processo di carica La potenza erogata dal generatore, durante il processo di carica, in parte viene dissipata per effetto Joule dalla resistenza, in parte viene accumulata nel condensatore.
0 202
0/2
00 0 )( CVRCR
VdteR
VdttiVP RCtgen
0 202
0/22
20
02
21
2)( CVRC
RVdteR
RVdttiRP RCtR
CVPC2
021
Esattamente la met della potenza erogata dal generatore, serve per aumentare lenergia elettrostatica del condensatore.
VII-6
Transitorio nel processo di scarica Supponiamo che il condensatore sia stato caricato e la sua carica a t = t0 sia q0=V0C. Commutiamo linterruttore sul punto 2. 2 C
R
V0
1
dt
qdq
RCq
dtdq
CqR
dtdqViR C ;;;0
0
0
)(ln ttq
tq ora a t = t0 , q0 =V0C
/)(0
0)( tteqtq /)(
00)( ttC eVtV
/)(0 0)( tteRV
ti /)(
00)( ttR eVtV
VC
V0
VR V0
-V0
t0 > 4
Lenergia inizialmente accumulata nel condensatore, viene utilizzata per far circolare corrente e si dissipa sulla resistenza. Quando tutta lenergia a disposizione si esaurisce, non scorre pi corrente (il condensatore agisce da circuito aperto).
VII-7
Carica e scarica periodica di un condensatore Supponiamo di commutare periodicamente dal punto 1 al punto 2 aspettando ogni volta un periodo di tempo molto maggiore di .
1
2
equivalente ad alimentare il circuito con una tensione variabile nel tempo come:
V0
R
C V0
Se invece non aspettiamo un tempo sufficiente (il periodo caratteristico della tensione dingresso troppo piccolo), il condensatore non riesce a caricarsi completamente e otteniamo:
In questo caso il periodo pi piccolo di
VR V0
-V0
t
t
VIII_1
Linduttore Linduttore ideale un componente passivo caratterizzato dal cosiddetto coefficiente di autoinduzione o induttanza, indicato con L.
simbolo Si basa sul fenomeno legato alla variazione del flusso del campo magnetico attraverso una spira o una bobina conduttrice.
Un campo magnetico che varia nel tempo induce una f.e.m. che si oppone al cambiamento del flusso concatenato con la spira. (f.e.m.i.= - d/dt)
Supponiamo che nellinduttore circoli una corrente I. La corrente che circola in ciascuna spira genera un campo magnetico che passa attraverso le spire vicine. Se la corrente varia nel tempo, il flusso del campo magnetico, generato dalla stessa corrente, cambia e induce una f.e.m che viene detta autoindotta. Per una spira indeformabile, la costante di proporzionalit tra la variazione della corrente e la f.e.m. viene detta induttanza (L).
VIII_2
L dipende linearmente dal numero di spire e dalla loro superficie.
Unit di misura: henry (H) 1H = 1V/(1A/s)
Si usa spesso il sottomultiplo 1mH = 10-3 H
In un induttore di 1 H si induce una f.e.m di 1 V quando la corrente varia alla velocit di 1A/s
a
b
Caduta di potenziale ai capi dellinduttanza Se i aumenta, L si oppone allaumento (agisce come una pila che tende a far scorrere la corrente al contrario): VL=Va-Vb > 0; Se i diminuisce si ha il contrario.
Tutto ci si esprime scrivendo dtdiLVL
In condizioni stazionarie linduttanza agisce come un corto circuito.
Se induciamo una corrente, dal momento in cui si chiude linterruttore avr inizio un transitorio in cui VL 0; dopo il transitorio di/dt = 0, VL = 0.
VIII_3
Transitorio in un circuito RL (1) R
Chiudendo il circuito, se non ci fosse linduttanza si istaurerebbe in un tempo brevissimo una corrente i = V0/R; ma linduttanza si oppone alla crescita della corrente.
00 dtdiLiRV Dividiamo per R
RV
dtdi
RLi 0
analoga allequazione differenziale che abbiamo scritto per la carica nel circuito RC, con le seguenti sostituzioni: q i; RC L/R; V0C V0/R.
RL
eRV
ti t con,1)( /0
/0 1)( tR eVRtiV al passare del tempo aumenta tendendo a V0. /
0/0 1 tt
L eVeRVL
dtdiLV al passare del tempo diminuisce tendendo a 0.
Dopo il transitorio, i = V0/R, linduttanza in condizioni stazionarie un cortocircuito.
V0
VIII_4
Transitorio in un circuito RL (2)
/0 1 tR eVV
L/0 1)( RteR
Vti
V0/R
0.63 V0/R
2 3
i(t)
Allinizio la corrente non pu cambiare bruscamente perch linduttanza si oppone alla sua crescita.
Maggiore linduttanza pi tempo necessario affinch si stabilisca la condizione stazionaria per la corrente. In realt, poich linduttanza ha una sua resistenza propria, la corrente tende al valore V0/(R+Rind)
/0
tL eVV
VR
VL
= L/R
VIII_5
Bilancio energetico durante il processo
dtdiLiRV 0Consideriamo lequazione della maglia
La potenza erogata dal generatore quando la corrente i data da dtdiiLRiiV 20
Il lavoro fatto nel tempo dt sar diiLdtRidtiV 20Il generatore, oltre a fornire lenergia per far circolare corrente nella resistenza, deve fornire energia per controbilanciare la f.e.m. di autoinduzione che ostacola laumento della corrente. Questa energia data dal termine L i di, che corrisponde al lavoro necessario per fare aumentare la corrente da i a i + di.
In generale, lenergia per far andare la corrente da zero ad i, iL iLdiiLU 0 221
Alla fine del processo, quando la corrente assume il suo valore stazionario V0/R, nellinduttanza si immagazzinata unenergia 20
21
RVL
unenergia magnetica: la corrente che scorre nellinduttore genera un campo magnetico.
VIII_6
Se apriamo il circuito, in serie allinduttanza c ora una resistenza R molto grande, non c pi il generatore che fornisce lenergia necessaria per far circolare la corrente, lunica fonte di energia la forza elettromotrice dellinduttanza; la corrente va a zero esponenzialmente, ma con una costante di tempo molto piccola (L/R).
1 R
V0
Durante questo processo, lenergia immagazzinata nellinduttanza viene dissipata sotto forma di calore nella resistenza in un tempo brevissimo.
0dtdiLiR
Dopo che si istaurato il regime stazionario e la correte i0 = V0/R (perch dopo il transitorio linduttanza agisce come un cortocircuito), portiamo a zero la tensione di alimentazione
2
dtdt
LR
idi
Ancora una volta, lequazione differenziale la stessa di quella che abbiamo scritto per descrivere la scarica del condensatore nel circuito RC, con i al posto di q e L/R al posto di RC.
La soluzione : t
LR
eiti 0)(
VIII_7
Risposta di un circuito RL in regime impulsivo
1
2
V0
R
V0
VL V0
-V0
t
t
Tutte le equazioni differenziali che servono a descrivere il processo transitorio durante il tempo in cui la corrente passa da zero a suo valore massimo, e viceversa (dal valore stazionario a zero), sono analoghe a quelle che abbiamo scritto per il circuito RC, con le dovute sostituzioni.
Circuito RC Circuito RL
q(t) i(t) VR VL
VC VR
= RC = L/R
VR
Vin
IX-1
Segnale sinusoidale
Lo studio della risposta di un qualunque dispositivo in regime sinusoidale particolarmente importante. Infatti si pu dimostrare che un qualsiasi segnale periodico la somma di una serie di segnali sinusoidali di differente frequenza e ampiezza (espansione in serie di Fourier). In particolare, un segnale periodico costituito da una combinazione di segnali sinusoidali, di cui uno oscillante alla frequenza del segnale stesso (frequenza fondamentale) e altri oscillanti a frequenze multiple della fondamentale (armoniche). Studiando la risposta di un dispositivo ad un segnale sinusoidale al variare della frequenza si pu calcolare quella ad un qualunque segnale periodico.
In figura mostrato un esempio di segnale sinusoidale; esso caratterizzato da:
Ampiezza: valore che assume al suo massimo (tensione o corrente di picco), VP o IP. Intervallo di ripetizione, o periodo (T), (quanto dura un ciclo). lintervallo di tempo tra due massimi (o due minimi) consecutivi, ma anche tra tre zeri sempre consecutivi.
t
un periodo un ciclo
Linverso del periodo il numero di cicli per secondo e identifica la frequenza, che si misura in hertz (1Hz=1ciclo/s) e si indica con f o . Possiamo anche definire lampiezza picco-picco (App), che la differenza tra il valore massimo e il valore minimo (App = 2Ap)
IX-2
Un onda sinusoidale pu essere pensata come generata da un vettore di modulo AP che ruota in senso antiorario con una velocit angolare costante , come mostrato in figura.
La proiezione del vettore lungo lasse delle x generer una funzione APcos (t). La proiezione del vettore lungo lasse delle ordinate generer una funzione AP sen (t). Il ciclo dellonda generato ogni volta che il vettore ruota di 360 (2). Poich = 2/T, se indichiamo con f la frequenza espressa in Hz, si avr = 2 f (radianti al secondo).
t AP
Due segnali oscillanti alla stessa frequenza sono sfasati luno rispetto allaltro quando attraversano lo zero a tempi diversi. La differenza di fase viene espressa tramite un angolo. In figura la differenza di fase /2; v2 in ritardo rispetto a v1.
Un segnale rappresentato dalla funzione v =VP sen (t + ) sfasato di un angolo rispetto ad un segnale sinusoidale di riferimento, che nullo a t = 0. A questo sfasamento corrisponde un intervallo di tempo, t0, che una frazione di periodo; langolo di fase si pu calcolare come = 2 t0 /T.
90
v1 v2
/2
t0
IX-3
Il valore medio in un periodo di una funzione periodica si pu calcolare come:
dttFT
FFT0
)(1 A causa della simmetria di un segnale sinusoidale, il suo valore medio in un periodo nullo e, quindi, non d informazioni. Una caratteristica importante per un segnale sinusoidale invece il cosiddetto valore efficace (Aeff o Arms) definito come la radice quadrata della media in un periodo del quadrati dei valori istantanei.
2)()(
21)(1
22
0
22
0
222 PP
T
PeffA
tdtsenAdttsenAT
A
PP
eff AAA 707.0
2
Perch si chiama valore efficace: Supponiamo che il segnale di figura a) sia la corrente che scorre in una resistenza R; in figura b) riportata la potenza dissipata da R. La potenza media dissipata in un ciclo IP2 R/2; essa uguale alla potenza che si dissiperebbe se sulla resistenza scorresse una corrente DC data da IDC = Ieff . Lo stesso discorso vale se consideriamo la d.d.p.
IP
-IP
IP2R =I2eff R
1/2 IP2R
I multimetri digitali, e alcuni di quelli analogici, misurano la tensione e/o la corrente efficace, ma solo in un ristretto range di frequenze.
a)
b)
IX-4
Esempi di segnali periodici
Onda quadra: si utilizza per studiare i processi transitori. Se la tensione in ingresso varia repentinamente, il dispositivo risponde con un tempo caratteristico; misurando la tensione e/o la corrente in uscita si pu determinare il tempo di risposta del sistema.
Vi
t t
Dente di sega: viene usato negli oscilloscopi analogici, che sono strumenti che permettono di visualizzare, e misurare, segnali variabili ciclicamente col tempo.
V
t
I due segnali rappresentati sopra hanno la stessa frequenza, ma differente ampiezza (valore massimo); anche per essi si pu definire lampiezza picco picco. Per il dente di sega Vp= Vpp .
Londa quadra, come i segnali sinusoidali, ha valore medio in un periodo uguale a zero, mentre il valore medio in un periodo del dente di sega di figura diverso da zero. Per segnali che hanno valore medio in un periodo diverso da zero, si dice che hanno una componente DC.
Vp
Vp
Vpp
IX-5
Relazione tra tensione e corrente negli elementi passivi ideali in regime sinusoidale
V = I R
)(senv 0 tV )(sen0 t
RVi In un resistore la corrente e la
tensione sono in fase
Supponiamo di applicare una tensione
)2/(sen)(cosv 00 tVCtVCdtdC
dtdqi C
v
i
In un condensatore in regime sinusoidale la corrente e la tensione sono sfasate di /2; in particolare, la corrente precede la tensione di /2 ( in anticipo). Il rapporto tra la tensione di picco e la corrente di picco (I0) dipende dalla frequenza. Tale rapporto definisce la cosiddetta reattanza, che si indica con X. La reattanza capacitiva data da:
diminuisce allaumentare della frequenza. X, essendo un rapporto tra V e I, si misura in Ohm.
CIVXC
10
0
R v
C v
t
IX-6
)(senv 0 tV dtdiLdtdiLL v;v
)2/(sen)(cos)(sen 000 tLV
tL
VdttL
Vi
In un induttore in regime sinusoidale la corrente segue la tensione di /2 ( in ritardo). Il rapporto tra la tensione di picco e la corrente di picco (I0) dipende dalla frequenza. La reattanza induttiva data da: aumenta allaumentare della frequenza.
LIVX L
0
0
v
i
Potenza in C e L La potenza istantanea sempre i(t) v(t)
)sen(22
)sen()cos()(2
02
0 tL
Vtt
LV
tPL
)sen(22
)sen()cos()(2
020 t
CVttCVtPC
Per entrambi = 0
v(t) PC(t) PL(t)
Sono tutte normalizzate al valore massimo, non guardate lampiezza
IX-7
Notazione esponenziale Le relazioni tra tensione e corrente che abbiamo trovato per R, C ed L possono essere ricavate usando la cosiddetta notazione complessa. Se poniamo
La parte reale d la funzione cos t, la parte immaginaria la funzione sen t. Nel piano complesso, cos t e sen t sono rispettivamente le componenti sullasse reale e immaginario.
Consideriamo, per esempio, un condensatore e scriviamo le tensione ai suoi capi in notazione complessa:
infatti
)sen(cospoich;v 000 tjtVeVeV tjtj
)2/(0
2/00
tjjtjtjC eVCeeVCeVCjdt
dvCi
jje j 2
sen2
cos2/
Abbiamo trovato la corrente, scritta in notazione complessa, di ampiezza CV0 e sfasata di /2 rispetto alla tensione, come abbiamo trovato precedentemente.
IX-8
Quando abbiamo ricavato la relazione tra la corrente e la tensione nei vari elementi passivi, abbiamo visto che: per un qualsiasi elemento passivo, le ampiezze della tensione e della corrente sono proporzionali; v e i hanno la stessa frequenza ma differiscono per la fase. lo sfasamento, cos come la costante di proporzionalit tra le ampiezze della corrente e della tensione, dipendono dal particolare componente che abbiamo considerato.
Per tenere conto di questi risultati, si definisce la cosiddetta impedenza complessa Z, tale che valga la cosiddetta legge di Ohm generalizzata: V = I Z dove sottointeso che la tensione e la corrente sono espresse utilizzando la notazione complessa.
Z deve avere lespressione adeguata per i vari componenti, in maniera tale da portare al giusto rapporto tra la tensione e la corrente di picco e il giusto sfasamento tra i e v. In generale Z dipende dalla frequenza e, quindi, lespressione pi corretta per esprimere la legge di Ohm generalizzata :
Impedenza complessa (1)
)()()( ZIV
IX-9
Impedenza complessa (2)
Un componente (o un insieme di componenti) pu essere caratterizzato da unimpedenza complessa Z = R + j X, che contiene una parte reale e una parte immaginaria. R tiene conto della dissipazione di energia, X responsabile dello sfasamento tra V e I. Se consideriamo il piano complesso, Z pu essere pensato come un vettore, con componenti R, sullasse reale, e X, sullasse immaginario. Si pu scrivere Z =Z ei con Z = (R2 + X2) e = arctg X/R I condensatori e gli induttori ideali sono componenti in cui il modulo dellimpedenza coincide con la loro reattanza.
Condensatore:
CjeCeVCeVZ jtj
tj
11
2/)2/(
Induttore:
Lje
L
eL
VeVZ j
tj
tj
2/)2/(
Resistore:
La corrente e la tensione sono in fase Z = R
Per 0, Z circuito aperto, allaumentare della frequenza Z diminuisce
Per 0, Z 0 cortocircuito, allaumentare della frequenza Z aumenta
IX-10
Estensione delle leggi e/o teoremi da DC ad AC (1) Le Leggi di Kirchhoff sono ancora valide istante per istante:
In un nodo 0)(;0)( )( n
jn
n
tjn
n
nnn eIeIti
In una maglia 0)(;0)( )( n
jn
n
tjn
n
nnn eVeVtv
In un ramo contenente pi di un elemento: considerando la legge di Ohm generalizzata si pu trovare limpedenza complessa dellintero ramo facendo il rapporto tra lampiezza complessa della tensione ai capi dellintero ramo e quella della corrente che vi scorre.
Impedenze in serie: sono percorse dalla stessa corrente V = Vn= I Zn = I ZT ZT = Zn (somma di numeri complessi)
Impedenze in parallelo: stessa d.d.p. I = In= V/Zn = V/ ZT (ZT)-1 = (Zi)-1
IX-11
Estensione delle leggi e/o teoremi da DC ad AC (2) Teorema di Thevenin
Vale sempre, ma si devono considerare V e I variabili nel tempo (esprimibili in notazione complessa e Z0 (che dipende dalla frequenza) al posto di R0
Rete AC
Z0
Lo stesso per il teorema di Norton.
Generatori reali di tensione e corrente variabili col tempo: Sono caratterizzati da una certa impedenza interna che, a differenza del caso DC, dipendono dalla frequenza. Il confronta tra limpedenza di carico e limpedenza interna deve essere fatto per ogni frequenza del segnale che si vuole utilizzare.
IX-12
La funzione di trasferimento di un quadrupolo
Circuito visto come quadrupolo in regime sinusoidale
V1() V1cos( t + 1) V2() V2 cos( t + 2)
Definiamo la funzione di trasferimento Av, come il rapporto tra la tensione duscita e quella dingresso; essa caratterizza la risposta in frequenza di un circuito qualunque.
AV = V2()/V1() .
Av caratterizzata da unampiezza e una fase; in notazione esponenziale Av = |Av| e j.
I segnali dingresso e di uscita hanno la stessa frequenza. Lampiezza del segnale di uscita dipende da quella del segnale di ingresso e dal circuito in esame, dipender dalla frequenza. I due segnali possono essere sfasati e anche lo sfasamento dipender dalla frequenza ( = 2- 1).
X-1
Circuito RC serie in regime sinusoidale (1)
Analisi qualitativa: Limpedenza della resistenza non dipende dalla frequenza, mentre quella del condensatore diminuisce allaumentare della frequenza. La tensione dingresso si divide sulle due impedenze.
A basse frequenze, cio quando R > 1/C, la maggior parte della tensione cade su R.
Se prendiamo la tensione ai capi di C: il circuito si comporta come un filtro passa basso. Se in ingresso presente un segnale composto da varie componenti oscillanti a differente frequenze, quelle oscillanti a frequenze alte vengono fortemente attenuate (tagliate). Se prendiamo la tensione ai capi di R: il circuito si comporta come filtro passa alto; taglia le basse frequenze.
Vi() = VR() + VC ()
Vi R
C
X-2
Effetto di un filtro passa alto e passa basso
Come si trasforma alluscita di un filtro passa basso (attenua fortemente la componente ad alta frequenza e poco quella a bassa frequenza).
Come si trasforma alluscita di un filtro passa alto.
X-3
Circuito RC serie in regime sinusoidale (2)
Tensione ai capi di C
La corrente che circola nel circuito
CjCRj
CjRZZVI T
T
i
11)(con;)(
)()(
CRjCjVI i
1)()(
CRjV
CjCRjCjVZIV iiCC
1)(1
1)()()(
RCtgarcRC
eVeRC
VVj
ij
iC
con;)1()(
)1()()( 2/12222/1222
j
i
cV eV
VA )()(
X-4
Circuito RC serie in regime sinusoidale (3)
2/1222 )1(1|/|||
RCVVA iCVC
RCtgarcVCA
Se poniamo 1/RC = 0 otteniamo 0
20 )/(1
1|| tgarcA VCAVC
Per > 0 |AVC| 0/ Av = 90
|AVC| Av
/0 /0
X-5
Funzione di trasferimento di un circuito RC con luscita ai capi di C in scala logaritmica
Per > 0 |AVC| 0/ log |AVC| = log 0/ = log 0 log
/0
In un grafico log-log: Per < 0, landamento lineare con pendenza
nulla. Anche per > 0, |AVC| varia linearmente con e la
pendenza della retta -1; per esempio a = 10 0 , |AVC| = 0.1. Le due rette si incontrano per = 0.. Solo in prossimit di
0 landamento non rettilineo. Da notare che la differenza di fase tra i segnali di ingresso e di uscita comincia a variare una decade prima di 0.
0 viene detta frequenza di taglio, o di cutoff.
|AVC|
X-6
Circuito RC serie in regime sinusoidale (4) Tensione ai capi di R
CRjCRjVRIV iR
1)()()(
)2/(2/1222
2/0 ||)1(
/
jVR
jj
VR eAeRCeA
CRjCRj
VVA RRV
1)(
)()(1
con
02
02
0
0
2;
1)/(1
)/(1/||
tgarcAVRAVR
Per > 0 |AVC| 1 Av = 0
La fase di AVR uguale a quella di AVC + /2
X-7
Circuito RC serie in regime sinusoidale (5) |AVR| Av
Riepilogando: 1. Un circuito RC pu essere usato come filtro passa basso quando la tensione prelevata
ai capi di C, o come un filtro passa alto quando la tensione prelevata ai capi di R. 2. I segnali ai capi di C e di R sono sfasati di /2. 3. La frequenza di taglio (inferiore o superiore) si pu misurare facilmente usando una
rappresentazione grafica in una scala log-log. 4. 0 linverso del tempo caratteristico del circuito RC.
/0 = /0 =
X-8
Circuito RL serie in regime sinusoidale (1)
R
L A basse frequenze, cio quando R >> L, la maggior parte della tensione dingresso cade su R. Ad alte frequenze, quando R
X-9
Circuito RL serie in regime sinusoidale (2)
2/120)2/(
02/12
0
2/0
0
0
)/(1/)(
)/(1/)()(
/1/)()()()(
jij
j
iL
iiL
eVe
eVV
jjV
LjRLjVLjIV
R
L
02
02
0
0
2;
1)/(1
)/(1/||
tgarcAVLAVL
In un circuito RL : La funzione di trasferimento che si ottiene prelevando la tensione ai capi di R analoga a quella che abbiamo ottenuto nel circuito RC ai capi di C.
La funzione di trasferimento che si ottiene prelevando la tensione ai capi di L analoga a quella che abbiamo ottenuto nel circuito RC ai capi di R.
Ma ora 0 =R/L cio linverso del tempo caratteristico della risposta di un circuito RL in regime impulsivo.
X-10
Circuito RL serie in regime sinusoidale (3)
Ai capi di R
Ai capi di L
| AV| AV
/0 = /0 = = L/R
X-11
RC parallelo (1) Consideriamo un circuito formato da una resistenza e una capacit in parallelo e supponiamo di connetterlo ad un generatore di corrente sinusoidale. La corrente si divider sui due rami: A basse frequenze, cio quando R > 1/C, la maggior parte della corrente scorrer su C. Si pu utilizzare come filtro per la corrente.
i(t)
Per calcolare la corrente nei due rami possiamo usare lespressione che conosciamo per il divisore di corrente sostituendo alle resistenze le impedenze.
)2/(2/12
0
2/120
0
])/(1[1)()(
])/(1[/)(
1)(1)()(
jC
jC
eII
ejI
CRjRCjI
CjRRII
con = arctg /0
CR
RC ZZ
ZII )()( Dove con I() abbiamo indicato la corrente erogata dal generatore, e comprende la variazione temporale.
Per >> 0 IC() I() perch ZC
X-12
RC parallelo (2) La stessa cosa possiamo fare per calcolare la corrente che circola nella resistenza
CR
CR ZZ
ZII )()( i(t)
jR eICRjI
CjRCjII
2/120 ])/(1[
1)(1
1)(111)()(
Per
X-13
RL parallelo A basse frequenze, cio quando R >> L, la maggior parte della corrente passer su L. Ad alte frequenze, quando R
XI-1
Oscilloscopio Loscilloscopio uno strumento che ha uno schermo in cui viene visualizzato il segnale da misurare. Lo schermo ha una griglia graduata, generalmente costituita da 10 x 10 quadratini (divisioni); a loro volta, ogni divisione ha 5 tacchette sia lungo X (asse dei tempi) sia lungo Y (asse delle tensioni). Una serie di manopole permettono di selezionare la scala adatta a visualizzare segnali pi o meno intensi e di differente frequenza.
Oscilloscopio a raggi catodici (analogico) Il filamento F si riscalda per effetto Joule e porta a temperatura elevata il catodo C che emette elettroni per effetto termoelettrico. Gli elettroni, emessi in direzione random, passano attraverso degli elettrodi ad alta tensione che servono ad accelerare gli elettroni e a collimare il fascio elettronico al centro dello schermo.
Lo schermo ricoperto da un materiale fosforescente che, colpito dagli elettroni, si illumina.
XI-2
Oscilloscopio analogico Se gli elettroni, lungo il loro moto, passano attraverso delle zone in cui c un campo elettrico la loro traiettoria pu essere deviata in maniera tale che il fascio colpisca lo schermo in punti differenti. Per questo motivo ci sono due coppie di condensatori a cui applicata una tensione per deviare il moto degli elettroni.
Se applichiamo la tensione da misurare alle placche di deflessione verticale, laltezza raggiunta dal punto sullo schermo sar proporzionale al nostro segnale. Il punto sullo schermo si muover verticalmente con la stessa velocit con cui il segnale cambia col tempo.
Se, contemporaneamente, si applica una tensione che varia linearmente col tempo alle placche di deflessione orizzontale, si pu, con qualche accorgimento, visualizzare correttamente il segnale da misurare sullo schermo.
Il segnale da misurare passa prima attraverso un amplificatore, una manopola permette di cambiare lamplificazione e fissa la scala Y sullo schermo.
XI-3
VY 2) Ma la traccia sullo schermo persiste per un breve tempo; pertanto, per visualizzare il segnale necessario che il fascio passi ripetutamente per gli stessi punti. Nelle condizioni di figura 1 e 2, ci non succede; la traccia non sar stabile. Se invece ritardiamo la partenza delle varie rampe del dente di sega opportunamente (Fig. 3), sullo schermo si visualizzer sempre la stessa porzione di segnale e la traccia sar stabile. Questa operazione viene fatta dal cosiddetto circuito di trigger. Si possono visualizzare solo segnali periodici.
Per deflettere orizzontalmente il fascio di elettroni si usa un dente di sega; in un periodo del dente di sega il fascio si sposta dallestremit sinistra dello schermo a quella destra.
VX Se applichiamo alle placche i due segnali di figura 1 e 2, durante il primo periodo del dente di sega il fascio elettronico traccia sullo schermo la prima porzione di segnale tratteggiata in fig. 2
Sincronizzazione (trigger)
1)
VX 3)
Una manopola permette di cambiare la scala dei tempi; essa agisce sul periodo del dente di sega. Variando questa manopola, si visualizzano porzioni diverse del segnale sinusoidale.
T
I T
II T III T
XI-4
Oscilloscopio digitale (1) Principio di funzionamento Schermo A A/D
Acquisizione Formattazione
Il segnale viene inviato a un amplificatore, che regola la sua ampiezza. Viene trasformato in segnale digitale e misurato a intervalli regolari di tempo (campionato). I valori della tensione misurati vengono immagazzinati, analizzati da un microprocessore, formattati per essere visualizzati nel display, che mostra un grafico della tensione in funzione del tempo.
V(t)
XI-5
Banda Passante: frequenza massima del segnale che pu essere visualizzato correttamente. Questa limitazione legata in parte alla frequenza di campionamento, in parte al fatto che il segnale, prima di essere campionato, attraversa vari circuiti elettrici che possono alterarne lampiezza e la fase. Gli oscilloscopi in laboratorio hanno una banda passante di 60 MHz.
Oscilloscopio digitale (2)
La risoluzione dipende dal numero di bit con cui il segnale analogico viene convertito dal convertitore A/D. Nei nostri oscilloscopi n = 8
XI-6
Il trigger nelloscilloscopio digitale Anche nelloscilloscopio digitale c il problema della sincronizzazione: questa volta la sincronizzazione legata al tempo in cui parte il campionamento del segnale.
T refresh un intervallo di tempo caratteristico dello strumento, dopo tale tempo pu ricominciare a campionare; di fatto il tempo di campionamento.
Loperazione di sincronizzazione viene fatta dal circuito di trigger: un circuito elettrico che fa partire il campionamento quando il segnale analogico dingresso ha le caratteristiche da noi richieste. Bisogna, con dei tasti, indicare:
Level : valore della tensione al tempo in cui vogliamo far partire il campionamento. Slope : la pendenza (positiva o negativa) di V(t). Source: quale segnale deve confrontare con la tensione di riferimento del trigger.
Display non triggerato
Bisogna fare in modo che ricominci a campionare quando il segnale da visualizzare ha le stesse caratteristiche di livello e pendenza del primo campionamento.
XI-7
Effetto dellimpostazione del trigger
Level: 0
Slope: salita Slope: discesa
V1 Level: V1 Slope: salita
Loscilloscopio che abbiamo in laboratorio ha due canali: d la possibilit di visualizzare contemporaneamente due segnali e ci vi permette di misurare lo sfasamento tra i due segnali. Il circuito di trigger uno solo: affinch i due segnali si possano triggerare contemporaneamente, devono avere esattamente la stessa frequenza. La source pu essere uno dei due segnali o anche un segnale esterno della stessa frequenza.
I simboli con le frecce compaiono sotto le schermo e indicano come settata la slope.
XI-8
Impedenza dingresso scale incertezza modo di funzionamento Impedenza dingresso: una resistenza di 1 M con in parallelo una capacit di 20 pF.
Scale: agendo su delle manopole si pu cambiare la scala lungo Y (V) e lungo X (t), che vengono indicate rispettivamente con Volts/DIV e Sec/DIV. La manopola che regola la scala Y agisce sul guadagno dellamplificatore dingresso. La manopola che regola lasse dei tempi cambia il tempo di campionamento. Incertezze: Di lettura: met della pi piccola tacchetta (1/10 della divisione sia in V sia in t.) Sistematico: su V praticamente lerrore sul guadagno dellamplificatore, circa 3%; su t circa 0.01% molto pi piccolo di quello di lettura (si pu trascurare). Modo di funzionamento: DC: visualizza tutto il segnale compresa una eventuale componente DC.
AC: visualizza solo la componente AC; inserisce in ingresso un condensatore che in serie con la resistenza dingresso delloscilloscopio forma un filtro bassa alto; la frequenza di taglio molto bassa (1-2 Hz) in maniera da tagliare solo la continua. E fondamentale usare questo modo quando: 1) la componente AC molto pi piccola di quella DC 2) bisogna fare misure di fase (anche una piccola componente DC falsa il passaggio dallo zero).
XI-9
XI-10
XII-1
RLC - regime transitorio (1)
0CqIR
dtdIL
022
CI
dtdIR
dtIdL
Supponiamo che a t = 0 la carica nella capacit sia q0 A t = 0, I = 0; chiudiamo linterruttore Poich non c nessun generatore, Vtot = 0
Derivando rispetto a t si ha Ci aspettiamo che cominci a circolare corrente perch ce energia immagazzinata nel condensatore, ma che, col passare del tempo, la I decada perch non c un generatore che continua a fornire energia. Assumiamo una soluzione del tipo A e t.
LCLRconL
RLCLRL
RC
RL 12,2
122
;01 2222
R
L
C
La soluzione generale dellequazione sar: tttLRtt eBeAeBeAetI 221)(
Dalla condizione iniziale I = 0; A = - B
A si pu trovare integrando I e imponendo che per t = 0 sia q = q0 si ottiene: LCqA
20
XII-2
RLC - regime transitorio (2)
R
L
C
tttLR eeAeI 2 LCLR 12 2 LC
qA2
0Poniamo R/2L = a
tata eeAI )()( Landamento temporale di I dipende fortemente dal valore di , che pu essere reale, nullo o immaginario a seconda che sia:
LCLR
LCLR
LCLR
12)3
12)2
12)1
2
2
2
reale (caso sovrasmorzato)
nullo (caso criticamente smorzato)
immaginario soluzione oscillante con ampiezza decrescente nel tempo
ponendo LC1
0
2
200qA
XII-3
RLC - regime transitorio (3)
LCLR 12)1 2 LCLR 12)2 2 tata eeAI )()(
1) Somma di due esponenziali decrescenti (a > ) 2) La soluzione non si pu ricavare dalla (*) ma data dalla curva in figura.
In ogni caso, il decadimento si ha perch si dissipa energia per effetto Joule nella resistenza.
a=R/2L 2022 LR
LCLR 12)3 2
2
200qA
122
022
0 )())(1( jaja tseneAeeAeI tatjtjta 111
Se R molto piccola (a
XII-4
RLC in regime sinusoidale (1)
limpedenza reale (ZT = R), da notare che f0= 0/2 la frequenza naturale di oscillazione del sistema in assenza di dissipazione e viene detta frequenza di risonanza. Il circuito detto essere in risonanza e lampiezza della corrente massima (perch limpedenza minima).
C
LjRZeIZVI T
jT
i
1)(con;)()()()( 0
22
01
)(
CLR
VI i
RC
Larctg
1
0;1Per 0 LC
)/1()1(1 220 RLCL
Rtg
Per 0, tg , /2 Per , tg - , -/2
curva di risonanza
XII-5
RLC in regime sinusoidale (2) Studiamo la tensione ai capi di R che, a meno di una costante, equivalente a studiare la corrente.
jT
iR eZ
RVV |)(|)()(
Alla risonanza VR(0) = Vi(0), AVR= 1; la tensione dingresso cade tutta sulla resistenza, le d.d.p. ai capi dellinduttanza e del condensatore sono istante per istante uguali ed opposte.
2
2
20
2
2222 11
1)(
RL
eV
CLR
eRVVj
ij
iR )/1( 220 R
Ltg
Ponendo si ha R
LQ 02
0
20
221
1||
Q
ARV
0
20
2Qtg
Q viene detto fattore di merito o di qualit del circuito e determina la larghezza della curva di risonanza e lintervallo di frequenze in cui si ha linversione di fase. Il circuito si comporta come un filtro passa banda (o selettivo), attenua i segnali di frequenza pi bassa e pi alta di quella di risonanza e lascia invariati quelli oscillanti a frequenze prossime alla risonanza. Tanto pi alto il Q, tanto pi piccola la banda passante.
XII-6
RLC in regime sinusoidale (3) Vediamo quando la tensione si riduce di 1/2.
2
0
20
221
1||
Q
ARV
020
2
0
20
22
0
20
22 ;
1;1
QQQQ
QQQQ
24
;020
22002
002 le soluzioni positive sono:
LR
QQQ 012
20
2200
2,1 ;24 f
fQ 00
Attenzione: la tensione ai capi di R alla risonanza uguale alla tensione dingresso solo se la resistenza dellinduttanza (o dei fili o dei contatti) nulla, in realt non lo mai. In generale si ha: alla risonanza ZT = R + RL.
In questo caso alla risonanza
C
LjRRZ LT 1)(
LV
L
iR RR
RARRRVV
R ;Si pu sempre determinare il Q misurando la frequenza in cui VR massima e le frequenze in cui VR si riduce di 1/2 rispetto al valore massimo.
![[ASM] Lab2](https://img.pdfslide.net/doc/110x75/588121881a28abb9388b7069/asm-lab2.jpg)
