Distribuciones Binomial y Normal

Distribución binomial o de Bernoulli

Un experimento sigue el modelo de la distribución binomial o de Bernoulli si:

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A (éxito)

y su contrario .

2.Laprobabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a otra. Se representa por p.

3.Elresultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos anteriormente.

Variable aleatoria binomial

La variable aleatoria binomial, X, expresa el número de éxitos obtenidos en cada prueba del experimento.

La variable binomial es una variable aleatoria discreta, sólo puede tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, ..., n suponiendo que se han realizado n pruebas.

Ejemplo: k = 6, al lanzar una moneda 10 veces y obtener 6 caras.

Distribución binomial

La distribución binomial se suele representar por B(n, p).

n es el número de pruebas de que consta el experimento.

p es la probabilidad de éxito.

La probabilidad de es 1− p, y la representamos por q.

Función de probabilidad de la distribución binomial

La función de probabilidad de la distribución binomial, también denominada función de la distribución de Bernoulli, es:

n es el número de pruebas,k es el número de éxitos.

p es la probabilidad de éxito,q es la probabilidad de fracaso.Elnúmero combinatorio

Ejemplo: La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:

1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?

n = 4p = 0.8q = 0.2B(4, 0.8)

2.¿Y cómo máximo 2?

Media y varianza de la distribución binomial

Media

Varianza

Desviación típica

Ejemplo: La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el númeroesperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.

Distribución normal

Variable aleatoria de la distribución normal

Una variable aleatoria continua, X,que sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ)tiene la siguiente curva:

El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).

Es simétrica respecto a la media µ.

Tiene un máximo en la media µ.

Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.

En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.

El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

El área del recinto determinado por la función y el eje de abscisas es igual a la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva.

p(μ - σ < X ≤ μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %

p(μ - 2σ < X ≤ μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %

p(μ - 3σ < X ≤ μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %

Ejemplo:posible distribucion del peso de un gran conjunto de paquetes de azucar de 1 kg

Distribución normal estándar N(0, 1)

La distribución normal estándar, o tipificada o reducida, es aquella que tiene por media el valor cero, μ = 0, y por desviación típica la unidad, σ =1.

Su gráfica es:

La probabilidad de la variable X dependerá del área del recinto sombreado en la figura. Y para calcularla utilizaremos una tabla.

Tipificación de la variable

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una

distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1).

Ejemplo:

Tabla de la distribución normal N(0,1)

La tabla nos da las probabilidades de P(z ≤ k), siendo z la variable tipificada.

Búsqueda en la tabla de valor de k: Unidades y décimas en la columna de la izquierda y las céntesimas en la fila de arriba.

P(Z ≤ a) P(Z ≤ 1.47) = 0.9292

P(Z > a) = 1 - P(Z ≤ a)

P(Z > 1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708

P(Z ≤ −a) = 1 − P(Z ≤ a)

P(Z ≤ −1.47) = 1 − P(Z ≤ 1.47) = 1 − 0.9292 = 0.0708

P(Z > −a) = P(Z ≤ a)

p(Z > −1.47) = p(Z ≤ 1.47) = 0.9292

P(a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − P(Z ≤ a)

P( 0.45 <Z ≤ 1.47) = P(Z ≤ 1.47) − P(Z ≤ 0.45) = 0.9292 − 0.6736 = 0.2556

P(−b < Z ≤ −a ) = P(a < Z ≤ b )

P(−1.47 <Z ≤ − 0.45) = P( 0.45 <Z ≤ 1.47) =

= P(Z ≤ 1.47) − P(Z ≤ 0.45) = 0.9292 − 0.6736 = 0.2556

P(−a < Z ≤ b ) = P(Z ≤ b) − [ 1 − P(Z ≤ a)]

P(-1.47 < Z ≤ 0.45) = P(Z ≤ 0.45) − [ 1 − P(Z ≤ 1.47)]=

= 0.6736 − (1 − 0.9292) = 0.6028

p = K

Nos encontramos con el caso inverso a los anteriores, conocemos el valor de la probabilidad y se trata de hallar el valor de la abscisa. Ahora tenemos que buscar en la tabla el valor que más se aproxime a K.

Ejemplo:p = 0.75Z ≤ 0.68

Para calcular la variable X nos vamos a la fórmula de la tipificación.

(X - μ)/σ = 0.68 X = μ + 0.68 σ

Intervalo característico en una N(0,1)

Ejemplo:

Distribución normal y binomial

Aproximación de la binomial por la normal: Teorema de Moivre

Si : n·p ≥ 5 yn·q ≥ 5 .

La distr ibuc ión b inomial B(n , p) se puede ap rox imar med ian te unadistr ibuc ión norma l :

Ejemplo: En una c iudad una de cada t res fam i l i as posee t e l é fono . S i see l i gen a l aza r 90 fam i l i a s , ca lcu la r l a p robab i l idad de que ent re e l l a s haya po r lomenos 30 t engan te l é fono .

Ejercicios de distribución binomial

1-.Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras quecruces.

2-. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan debuena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condicionesviva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

a) Las cinco personas.b)Al menos tres personas.c)Exactamente dos personas.

3-.Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco estácomunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfonoelegidos al azar, sólo comuniquen dos?

4-.La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es laprobabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de queacierte por lo menos en una ocasión?

5-.En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si esroja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviacióntípica.

6-. En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controladosdan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan puesto elcinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes.

Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número deconductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractoresno varía al hacer la selección.

a) Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna delas dos infracciones.

b) Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados hayacometido alguna de las dos infracciones.

7-.Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 decada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes alos que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?

a) Ningún paciente tenga efectos secundarios.

b)Al menos dos tengan efectos secundarios.

c)¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundariossi elige 100 pacientes al azar?

Ejercicios de distribución Normal

1-.Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar:p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

2-.En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:

P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934

3-.En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

4-.La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que lospesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

a)Entre 60 kg y 75 kg.b)Más de 90 kg.c)Menos de 64 kg.d)64 kg.e)64 kg o menos.

5-.Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36. Sepide:

a)¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

b)Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de lapuntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes queobtuvieron las puntuaciones más bajas).

c)Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea,de hecho, superior a 84?

6-.Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribuciónN(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable,de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en eltercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

7-.Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.

a) Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

b)¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

c)En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

8-.En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad deque entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.

9 - . E n u n e x a m e n t i p o t e s t d e 2 0 0 p r e g u n t a s d e e l e c c i ó n m ú l t i p l e , c a d a p r e g u n t a t i e n e u n a r e s p u e s t a c o r r e c t a y u n a i nc o r r e c t a . S e a p r u e ba s i s e c o n t e s t a a má s d e 1 1 0 r e s p u e s t a s c o r r e c t a s . S u p o n i e n d o q u e s e c o n t e s t a a l a za r , c a l c u l a r l a p r o b a b i l i d a d d e a p r o b a r e l ex a m e n .

1 0 - . U n e s t u d i o h a m o s t r a d o q u e , e n u n c i e r t o b a r r i o , e l 6 0 % d e l o s h o g a r e s t i e n e n a l m e n o s d o s t e l e v i s o re s S e e l i g e a l a z a r u n a m u e s t r a d e 5 0 h o g a r e s e n e l c i t a d o b a r r i o . S e p i d e :

a ) ¿ C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e a l me n o s 2 0 d e l o s c i t a d o s h o g a r e s t e n g a n c u a n d o m e n o s d o s t e l e v i s o re s ?

b ) ¿ C u á l e s l a p r o b a b i l i d a d d e q u e e n t r e 3 5 y 4 0 h o g a r e s t e n g a n c ua n d o m e n o s d o s t e l e v i s o r e s?

Ejercicios resueltos de distribución binomial

1Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

B(4, 0.5) p = 0.5q = 0.5

2Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, laprobabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

a. Las cinco personas.

B(5, 2/3) p = 2/3 q = 1/3

b.Al menos tres personas.

c.Exactamente dos personas.

3Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, sólo comuniquen dos?

B(10, 1/5)p = 1/5q = 4/5

4La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4. Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones? ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?

B(10, 1/4) p = 1/4q = 3/4

5En una urna hay 30 bolas, 10 rojas y el resto blancas. Se elige una bola al azar y se anota si es roja; el proceso se repite, devolviendo la bola, 10 veces. Calcular la media y la desviación típica.

B(10, 1/3) p = 1/3q = 2/3

6En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5% de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10% de los conductores controlados no llevan puesto el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes.

Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.

a. Determinar la probabilidad de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones.

b. Determine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones.

7Un laboratorio afirma que una droga causa efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga. ¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?

a. Ningún paciente tenga efectos secundarios.

B(100, 0.03) p = 0.03 q = 0.97

b.Al menos dos tengan efectos secundarios.

c.¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?

Ejercicios resueltos de distribución Normal

1Si X es una variable aleatoria de una distribución N(µ, σ), hallar:

p(µ−3σ ≤ X ≤ µ+3σ)

Es decir, que aproximadamente el 99.74% de los valores de X están a menos de tres desviaciones típicas de la media.

2En una distribución normal de media 4 y desviación típica 2, calcular el valor de a para que:P(4−a ≤ x ≤ 4+a) = 0.5934

3En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio sigue una distribución normal, con media 23° y desviación típica 5°. Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21° y 27°.

4La media de los pesos de 500 estudiantes de un colegio es 70 kg y la desviación típica 3 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente, hallar cuántos estudiantes pesan:

a. Entre 60 kg y 75 kg.

b.Más de 90 kg.

c.Menos de 64 kg.

d.64 kg.

e.64 kg o menos.

5Se supone que los resultados de un examen siguen una distribución normal con media 78 y desviación típica 36. Se pide:

a. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se presenta el examen obtenga una calificación superior a 72?

b.Calcular la proporción de estudiantes que tienen puntuaciones que exceden por lo menos en cinco puntos de la puntuación que marca la frontera entre el Apto y el No-Apto (son declarados No-Aptos el 25% de los estudiantes que obtuvieron las puntuaciones más bajas).

c.Si se sabe que la calificación de un estudiante es mayor que 72 ¿cuál es la probabilidad de que su calificación sea, de hecho, superior a 84?

6Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución N(65, 18). Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que hay en el primero un 20% la población, un 65% el segundo y un 15% en el tercero. ¿Cuáles han de ser las puntuaciones que marcan el paso de un grupo al otro?

Baja cultura hasta 49 puntos.

Cultura aceptable entre 50 y 83.

Excelente cultura a partir de 84 puntos.

7Varios test de inteligencia dieron una puntuación que sigue una ley normal con media 100 y desviación típica 15.

a. Determinar el porcentaje de población que obtendría un coeficiente entre 95 y 110.

b. ¿Qué intervalo centrado en 100 contiene al 50% de la población?

c. En una población de 2500 individuos ¿cuántos individuos se esperan que tengan un coeficiente superior a 125?

8En una ciudad una de cada tres familias posee teléfono. Si se eligen al azar 90 familias, calcular la probabilidad de que entre ellas haya por lo menos 30 tengan teléfono.

9En un examen t ipo test de 200 preguntas de e lecc ión múlt ip le , cada pregunta t iene una respuesta correcta y una incorrecta . Se aprueba s i se contesta a más de 110 respuestas correctas . Suponiendo que se contesta a l azar , ca lcu lar la probabi l idad de aprobar e l examen.

10Un es tud io ha most rado que , en un c i e r t o ba r r i o , e l 60% de l o s hogarest i enen a l menos dos t e l ev i so res Se e l i ge a l aza r una muest ra de 50 hogaresen e l c i t ado bar r i o . Se p ide :

a. ¿Cuá l es l a p robab i l i dad de que a l menos 20 de lo s c i t ados hogarestengan cuando menos dos te l ev i so res?

b. ¿Cuá l e s l a p robab i l i dad de que ent re 35 y 40 hogares tengancuando menos dos t e l ev i so res?

Tabla de la distribución normal N(0,1)