DistribuiçãoDistribuiçãoBinomialBinomial

continuaçãocontinuação

Prof. Ivan Balducci

FOSJC / Unesp

O Processo BinomialUm lançamento de moeda segue um processo

que gera dados binomiais. As características de um processo binomial são:

• p é constante de ensaio a ensaio (= 0.5)

• Há dois resultados, “sucesso e fracasso” (sucesso = cara ou coroa)

• Ensaios são independentes (um lançamento não afeta o próximo lançamento)

• Há um número (N) finito de ensaios (por exemplo, o nº de ensaios = 5)

n...,0,1,2,.... x,)1(*)!(!

!)(

xnx

xnx

nxp

n = nº de ensaios (exº: lançamento da moeda)

x = número de sucessos em n ensaios

= probabilidade de “sucessos”

A Distribuição Binomial

A Distribuição Binomial

0 55!0 0.5 1 0.5 0.03125

0! 5!P X

1 45!1 0.5 1 0.5 0.1875

1! 4!P X

P x N Pr (X=x)

0.5 0 5 0.03125

0.5 1 5 0.15625

0.5 2 5 0.3125

0.5 3 5 0.3125

0.5 4 5 0.15625

0.5 5 5 0.03125

x = nº de caras quando se lança 5 moedas

Pr (X=x) = probabilidade de sair x caras em 5 ensaios

Histograma para a Distribuição Binomial

A forma da distribuição binomial

depende do valor do parâmetro

Exemplos:

= 0.5

Simétrica

= 0.9

assimetria negativa

= 0.1

assimetria positiva

Calculando a Probabilidade Binomial

xnxnx )p1(pC)x(p)xX(P xnxnx )p1(pC)x(p)xX(P

Em geral, a distribuição binomial pode ser representada como:

)!xn(!x!n

Cwhere nx

E(X) = = npV(X) = 2 = np(1-p)

Média e Variância da Variável Binomial

E(X) = valor esperado = média

V(X) = variância

A Distribuição Binomial

Notaçãop = p(A) = a probabilidade de A

q = p(B) = a probabilidade de B

p + q = 1.00

Lançando uma moeda:

p (caras) = q (coroas) = .50

A Distribuição Binomial

Os dois resultados não precisam ser igualmente prováveis.

Exemplo: desempenho em teste de múltipla escolha com 4 alternativas (a; b;c;d)

Cada questão representa um ensaio; em cada ensaio há 2 resultados possíveis: Resultado 1: correto p = 0.25 Resultado 2: incorreto q = 0.75

A Distribuição BinomialA binomial é apropriada quando:

1. Há uma série de N ensaios.2. Em cada ensaio, há apenas 2 possíveis

resultados mutuamente exclusivos.3. O resultado em cada ensaio é

independente do resultado que se obtém de outros ensaio.

4. A probabilidade de cada resultado em qualquer ensaio é cohecida, e é constante de um ensaio ao próximo ensaio.

Probabilidade e a Binomial Distribuição

Se houver N ensaio e você quer saber a probabilidade de ter r sucessos:

p(r sucessos) = N! prqN-r

r! (N – r)!

Exemplo: adivinhação de um nº pensado por outro

Digo para 10 pessoas pensar um número entre 1 e 4;

Se eu apenas “chuto”: p = 0.25; q = 0.75 e na fórmula de Prob (r acertos) temos N = 10.

REVISÃO DA CURVA

NORMAL DE

PROBABILIDADES

ContínuaSimétricaUnimodalárea total sob a curva soma a 1, ou 100%.área à direita média é ½ ou 50%.área à esquerda da média é ½ ou 50%.

1/2 1/2

X

Características da NormalREVISÃO

f xx

Where

e

e( )

:

1

2

1

2

2

mean of X

standard deviation of X

= 3.14159 . . .

2.71828 . . .

X

Curva Normal REVISÃO

20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

5 5

10

Curva Normal: diferentes médias e dp

REVISÃO

Uma distribuição com Média = 0, e DP = 1

Fórmula Z Padroniza qualquer

distribuição normal

Escore Z calculada pela Fórmula

Z O nº de DPs distante da

média

ZX

1

0

Curva Normal PadronizadaREVISÃO

Second Decimal Place in Z Z 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.00 0.0000 0.0040 0.0080 0.0120 0.0160 0.0199 0.0239 0.0279 0.0319 0.03590.10 0.0398 0.0438 0.0478 0.0517 0.0557 0.0596 0.0636 0.0675 0.0714 0.07530.20 0.0793 0.0832 0.0871 0.0910 0.0948 0.0987 0.1026 0.1064 0.1103 0.11410.30 0.1179 0.1217 0.1255 0.1293 0.1331 0.1368 0.1406 0.1443 0.1480 0.1517

0.90 0.3159 0.3186 0.3212 0.3238 0.3264 0.3289 0.3315 0.3340 0.3365 0.33891.00 0.3413 0.3438 0.3461 0.3485 0.3508 0.3531 0.3554 0.3577 0.3599 0.36211.10 0.3643 0.3665 0.3686 0.3708 0.3729 0.3749 0.3770 0.3790 0.3810 0.38301.20 0.3849 0.3869 0.3888 0.3907 0.3925 0.3944 0.3962 0.3980 0.3997 0.4015

2.00 0.4772 0.4778 0.4783 0.4788 0.4793 0.4798 0.4803 0.4808 0.4812 0.4817

3.00 0.4987 0.4987 0.4987 0.4988 0.4988 0.4989 0.4989 0.4989 0.4990 0.49903.40 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.4997 0.49983.50 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998 0.4998

Tabela Z padronizadaREVISÃO

-3 -2 -1 0 1 2 3

P Z( ) .0 1 0 3413

Z 0.00 0.01 0.02

0.00 0.0000 0.0040 0.00800.10 0.0398 0.0438 0.04780.20 0.0793 0.0832 0.0871

1.00 0.3413 0.3438 0.3461

1.10 0.3643 0.3665 0.36861.20 0.3849 0.3869 0.3888

Exemplo de uso da

Tabela Z

REVISÃO

X is normally distributed with = 485, and = 105 P X P Z( ) ( . ) .485 600 0 1 10 3643

For X = 485,

Z =X -

485 485

1050

For X = 600,

Z =X -

600 485

1051 10.

Z 0.00 0.01 0.02

0.00 0.0000 0.0040 0.00800.10 0.0398 0.0438 0.0478

1.00 0.3413 0.3438 0.3461

1.10 0.3643 0.3665 0.3686

1.20 0.3849 0.3869 0.3888

Exemplo numérico – NormalREVISÃO

Uso da Normal para resolver problemas de Binomial

A distribuição normal pode ser usada em problemas da distribuição binomial que envolvem grandes valores de n.

Para resolver um problema binomial pela distribuição normal realizamos uma conversion do n e p da binomial para o µ e σ da normal.

Equações de Conversão

Conversion example:

n p

n p q

Given that X has a binomial distribution, find

and P X n p

n p

n p q

( | . ).

( )(. )

( )(. )(. ) .

25 60 30

60 30 18

60 30 70 3 55

Aproximação para a Normal

EXEMPLO ALFA

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30

Gráfico

EXEMPLO ALFA

252627282930313233

Total

0.01670.00960.00520.00260.00120.00050.00020.00010.00000.0361

X P(X)

The normal approximation,

P(X 24.5| and

18 355

24 5 18

355

183

5 0 183

5 4664

0336

. )

.

.

( . )

. .

. .

.

P Z

P Z

P Z

Binomial vs Aproximação Normal

Pela Fórmula da Binomial Obs: “Não foi necessário calcular até 60”

EXEMPLO ALFA

Exemplo BETA

Aproxime a probabilidade binomial P(x=10) quando n = 20

e p = .5

Os parâmetros da distribuição normal usados para a aproximação da binomial são:

= np; 2 = np(1 - p) = npq

Aproximação Normal para a Binomial

Correção de ContinuidadeUsamos a tabela normal para determinar a probabilidade de r (exº., respostas corretas).

Mas, distribuições normais representam dados contínuos, e as variáveis binomiais são discretas.

Portanto temos de considerar r como o ponto Portanto temos de considerar r como o ponto médiomédio entre os limites reais de uma faixa de pontos (por exº: r - .5 to r + .5)

Antes de resolver o Exemplo BETA

Correção de Continuidade

Aproximação Normal Binomial

P x

P x

P x

P x

P x

( )

( )

( )

( )

( )

5

5

5

5

5

Antes de resolver o Exemplo BETA

Correção de Continuidade

Aproximação Normal para a Binomial

P x

P x

P x

P x

P x

( )

( )

( )

( )

( )

5

5

5

5

5

P x

P x

P x

P x

P x

( . . )

( . )

( . )

( . )

( . )

4 5 55

4 5

55

55

4 5

Enunciado da binomial Resolução via Normal

Antes de resolver o Exemplo BETA

109.5 10.5

P(XBinomial = 10) =

~= P(9.5<Y<10.5)

= np = 20(.5) = 10; 2 = np(1 - p) = 20(.5)(1 - .5) = 5 = 51/2 = 2.24

1742.)24.2

105.10Z

24.2105.9

(P

0.176

Traçamos uma distribuição normal para aproximr a binomial P(X = 10).

P(9.5<YNormal<10.5)A aproximação

Agora, sim, resolvendo o Exemplo BETA

Com a aproximação da normal = 0.1742

Com a fórmula da Binomial

= 0.176

44.5

1413.5

P(X P(X 14) 14)

P(Y< 4.5)P(Y< 4.5)

P(Y > 13.5)P(Y > 13.5)

P(X P(X 4) 4)

Correção de continuidadeAproximação Normal para a Binomial

Outros exemplos

Condições para a aproximação

A Binomial aproxima a Normal quando:

1. np > 10

2. nq > 10

Média: = np

DP = SQRT(npq)

z = (X –np) /SQRT(npq)

SQRT é a raiz quadrada

Em um teste com 48 questões, qual a probabilidade de se obter 14 respostas certas?

p = ¼q = ¾N = 48r = 14

z1= X – pn = 13.5 – 12 = 1.5/3 = .50 SQRT(npq) 3

Exemplo GAMA

npq = 48(0.25)(0.75) = 9

Exemplo GAMA

zx = 14.5 – 12 = 2.5/3 = .83

3

Observe a área acima do z-escore:

Área acima z = .50 é .3085

Área acima z = .83 é .2033

Calculando a área entre os dois z-scores:

.3085 - .2033 = .1052

Binomial vs Normal

Esta é uma probabilidade aproximada. Compare (0.1052 via aprox. normal) com a probabilidade da binomial = 0.1015

Elas são muito próximas, mas não exatamente a mesma.

Exemplo GAMA

Exemplo DELTA

177083661.)6.0()4.0(!7)!715(

!15 7157

Para n=15, p=0.4.

Calcule P(X=7).

Usando a fórmula binomial

Binomial Distribution with n=15 and p=0.4

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

X Success out of 15 trials

Pro

ba

bil

ity

Exemplo DELTA

bin(7; n =15;p = 0.4)

Usando a aproximação normal. Obtemos npe npq.

.1826 .79)zP(.264

)897.1

65.7

897.1

65.6()5.75.6()7(

zPxPxP

Exemplo DELTA

Com a Binomial obtivemos o valor de p = 0.1770

Exemplo ÉPSILON

Solução VIA NORMAL

0102.0)32.2(

)2500)(76.0)(24.0(

)2500)(24.0(5.649()650(

zP

zPxP

No Canadá, como resultado de um levantamento, 24% das pessoas têm telefone com secretária

eletrônica. Se uma campanha de telemarketing envolve 2500 pessoas, qual a probabilidade de, pelo menos, 650 terem secretária eletrônica?

A Distribuição BinomialNão esqueçam

Uma variável aleatória X é o número de sucessos obtidos em n ensaios

A probabilidade de cada sucesso é constante e igual a

A probabilidade de X = x sucessos em n ensaios de um experimento binomial define a distribuição binomial

A Distribuição Binomial

A distribuição binomial é dada por sua função densidade de probabilidade:

p(x) xnx

x

n

)1(

xnx

xnx

n

)1()!(!

!

Não esqueçam

Distribuição Binomial

Provas de Bernoulli

Aproximação a Normal

Termos que devem ser familiares