Distribusi Frekuensi

Embed Size (px)

Citation preview

2.1 Distribusi Frekuensi dan Presentasi Grafik 2.1.1 Distribusi Frekuensi Hasilpengukuranyangkitaperolehdisebutdengandatamentah.Besarnyahasil pengukuranyangkitaperolehbiasanyabervariasi.Apabilakitaperhatikandata mentahtersebut,sangatlahsulitbagikitauntukmenarikkesimpulanyangberarti. Untuk memperoleh gambaran yang baik mengenai data tersebut, data mentah tersebut perlu di olah terlebih dahulu. Pada saat kita dihadapkan pada sekumpulan datayang banyak, seringkalimembantu untukmengaturdanmerangkumdatatersebutdenganmembuattabelyangberisi daftarnilaidatayangmungkinberbeda(baiksecaraindividuatauberdasarkan pengelompokkan) bersama dengan frekuensiyang sesuai,yang mewakili berapa kali nilai-nilai tersebut terjadi. Daftar sebaran nilai data tersebut dinamakan dengan Daftar Frekuensi atau Sebaran Frekuensi (Distribusi Frekuensi). Dengandemikian,distribusifrekuensiadalahdaftarnilaidata(bisanilaiindividual ataunilaidatayangsudahdikelompokkankedalamselangintervaltertentu)yang disertai dengan nilai frekuensi yang sesuai. Pengelompokkandatakedalambeberapakelasdimaksudkanagarciri-ciripenting datatersebutdapatsegeraterlihat.Daftarfrekuensiiniakanmemberikangambaran yangkhastentangbagaimanakeragamandata.Sifatkeragamandatasangatpenting untukdiketahui,karenadalampengujian-pengujianstatistikselanjutnyakitaharus selalumemperhatikansifatdarikeragamandata.Tanpamemperhatikansifat keragaman data, penarikan suatu kesimpulan pada umumnya tidaklah sah. Adabeberapaistilahyangharusdipahamiterlebihdahuludalammenyusundaftar frekuensi. -Range : Selisih antara nilai tertinggi dan terendah.-Batas bawah kelas: Nilai terkecil yang berada pada setiap kelas -Batas atas kelas: Nilai terbesar yang berada pada setiap kelas -Batas nyata kelas (Class boundary): Nilai yang digunakan untuk memisahkan antar kelas, tapi tanpa adanya jarak antara batas atas kelas dengan batas bawah kelasberikutnya.Bataskelasselaludinyatakandenganjumlahdigitsatu desimallebihbanyakdaripadadatapengamatanasalnya.Halinidilakukan untukmenjamintidakadanilaipengamatanyangjatuhtepatpadabatas kelasnya,sehinggamenghindarkankeraguanpadakelasmanadatatersebut harus ditempatkan.-Panjang/lebarkelas(selangkelas):Selisihantarabatasbawahkelasdengan batas atas kelas Biasanya lebar kelas tersebut memiliki lebar yang sama.-Nilaitengahkelas(Classmidpoint/Classmark):Nilaikelasmerupakannilai tengahdarikelasyangbersangkutanyangdiperolehdenganformulaberikut: (batas atas kelas+batas bawah kelas). Nilai ini yang dijadikan pewakil dari selang kelas tertentu untuk perhitungan analisis statistik selanjutnya.-Frekuensikelas:Banyaknyakejadian(nilai)yangmunculpadaselangkelas tertentu 2.1.2 Teknik Pembuatan Tabel Distribusi Frekuensi Distribusi frekuensi dibuat dengan alasan berikut: -kumpulan data yang besar dapat diringkas -kita dapat memperoleh beberapa gambaran mengenai karakteristik data, dan -merupakan dasar dalam pembuatan grafik penting (seperti histogram). Banyaksoftware(teknologikomputasi)yangbisadigunakanuntukmembuattabel distribusi frekuensi secara otomatis. Meskipun demikian, di sini tetap akan diuraikan mengenai prosedur dasar dalam membuat tabel distribusi frekuensi. Langkah-langkah dalam menyusun tabel distribusi frekuensi: -Urutkan data, biasanya diurutkan dari nilai yang paling kecil oTujuannya agar range data diketahui dan mempermudah penghitungan frekuensi tiap kelas -Tentukan range (rentang atau jangkauan) oRange = nilai maksimum nilai minimum -Tentukanbanyakkelasyangdiinginkan.Janganterlalubanyak/sedikit, berkisar antara 5 dan 20, tergantung dari banyak dan sebaran datanya. oAturan Sturges: oBanyak kelas = 1 + 3.3 log n, dimana n = banyaknya data -Tentukan panjang/lebar kelas interval (p) oPanjang kelas (p) = [rentang]/[banyak kelas] -Tentukan nilai ujung bawah kelas interval pertama Pada saat menyusun Tabel Distribusi Frekuensi, pastikan bahwa kelas tidak tumpang tindih sehingga setiap nilai-nilai pengamatan harus masuk tepat ke dalam satu kelas. Pastikanjugabahwatidakakanadadatapengamatanyangtertinggal(tidakdapat dimasukkan ke dalam kelas tertentu).2.1.3 Distribusi Frekuensi Relatif Variasipentingdaridistribusifrekuensidasaradalahdenganmenggunakannilai frekuensirelatifnya,yangdisusundenganmembagifrekuensisetiapkelasdengan totaldarisemuafrekuensi(banyaknyadata).Sebuahdistribusifrekuensirelatif mencakupbatas-bataskelasyangsamasepertiTabelDistribusiFrekuensi,tetapi frekuensiyangdigunakanbukanfrekuensiaktualmelainkanfrekuensirelatif. Frekuensi relatif kadang-kadang dinyatakan sebagai persen. Frekuensi relatif = 2.1.4 Distribusi Frekuensi Kumulatif Variasilaindaridistribusifrekuensistandaradalahfrekuensikumulatif.Frekuensi kumulatifuntuksuatukelasadalahnilaifrekuensiuntukkelastersebutditambah dengan jumlah frekuensi semua kelas sebelumnya. Perhatikanbahwakolomfrekuensiselainlabelheadernyadigantidenganfrekuensi kumulatifkurangdari,batas-bataskelasdigantidengankurangdariekspresiyang menggambarkankisarannilai-nilaibaru.VariasilainadalahFrekuensikumulatif lebih dari. Prinsipnya hampir sama dengan prosedur di atas. 2.1.5Presentasi Grafik Distribusi Frekuensi 2.1.5.1Histogram Histogramadalahmerupakanbagiandarigrafikbatangdimanaskalahorisontal mewakili nilai-nilai data kelas dan skala vertikal mewakili nilai frekuensinya. Tinggi batangsesuaidengannilaifrekuensinya,danbatangsatudenganlainnyasaling berdempetan,tidakadajarak/gapdiantarabatang.Kitadapatmembuathistogram setelah tabel distribusi frekuensi data pengamatan dibuat. 2.1.5.2Poligon Frekuensi PoligonFrekuensimenggunakansegmengarisyangterhubungketitikyangterletak tepatdiatasnilai-nilaititiktengahkelas.Ketinggiandarititik-titiksesuaidengan frekuensi kelas, dan segmen garis diperluas ke kanan dan kiri sehingga grafik dimulai dan berakhir pada sumbu horisontal. 2.1.5.3Ogive Ogiveadalahgrafikgarisyangmenggambarkanfrekuensikumulatif,sepertidaftar distribusi frekuensi kumulatif. Perhatikan bahwabatas-batas kelas dihubungkan oleh segmengarisyangdimulaidaribatasbawahkelaspertamadanberakhirpadabatas atas dari kelas terakhir. Ogive berguna untuk menentukan jumlah nilai di bawah nilai tertentu.Sebagaicontoh,padagambarberikutmenunjukkanbahwa68mahasiswa mendapatkan nilai kurang dari 90.5. 2.1.6 Kurva Frekuensi Kurvahalusyangdiperolehdaripoligonfrekuensiataudisebutpulakurvafrekuensi umumnya digunakan untuk melihat bagaimana bentuk distribusi frekuensi atau model daripopulasiyangdiselidiki.Adaberbagaibentukkurvahalusyangdapatdijumpai di dunia nyata. Beberapa diantaranya adalah : 2.1.6.1 Kurva Simetris Sebuahdistribusidikatakansimetrisjikakurvafrekuensinyabisadilipatsepanjang garisvertikalsehinggasetengahbagiandarikurvabisamenutupsetengahbagian lainnya

(A)(B) (C) (D)(E) DalamGambardiataskurvaA,B,C,D,danEadalahkurvasimetris.KurvaA,B, dan C sendiri adalah bentuk umum dari apa yang disebut distribusi normal. Ketiganya hanyaberbedapadaketinggianataukemerataandaripuncakkurva.Kurvanormal seperti yang ditunjukkan oleh kurva A merupakan kurva unik yang hanya bisa diplot secara tepat berdasarkan pendekatan matematis. Distribusinormalinimemegangperananpentingdalamanalisisstatistikalanjutan, karenabanyakanalisisyangmengharuskandatayangdikumpulkanharusmengikuti distribusi ini. 2.1.6.2 Kurva Non-Simetris Pada prakteknya tidak semua data di dunia ini yang mengikuti distribusi normal. Ada jugadatayangsedikitmenyimpangdaridistribusinormalsepertiyangditunjukkan olehkurvaFdanG.Sebuahdistribusidikatakanmiringkekiriataunegatifjika puncakkurvaberadadisebelahkananataulandainyaagakmemanjangkearahkiri (kurva F) dan miring ke kanan atau positif jika puncaknya berada disebelah kiri atau landainyaagakmemanjangkearahkanan(kurvaG).Dalamprakteknyabanyak fenomena ekonomi atau biologi yang memperlihatkan bentuk distribusi seperti ini.

(F) (G)

Bentuk lain yang cukup sering dijumpai adalah apa yang disebut kurva J atau kurva J-terbalik.

Kurva JKurva J terbalik Kurva J misalnya memperlihatkan fenomena tingkat pendapat di negara-negara kaya dimanakurvamenunjukkanpeningkatanpadajumlahpenghasilanyangtinggi, sedangkankurvaJterbalikadalahfenomenapendapatanmasyarakatdinegara miskin. 2.2Ukuran Pemusatan (Central Tendency) Salahsatuaspekyangpalingpentinguntukmenggambarkandistribusidataadalah nilaipusatdatapengamatan(tendensisentral).Setiappengukuranaritmatikayang ditujukanuntukmenggambarkansuatunilaiyangmewakilinilaipusatataunilai sentral dari suatu gugus data (himpunan pengamatan) dikenal sebagai ukuran tendensi sentral. Terdapat tiga ukuran tendensi sentral yang sering digunakan, yaitu: -Mean (Rata-rata hitung/rata-rata aritmetika) -Median -Modus 2.2.1Mean (Arithmetic Mean) Rata-ratahitungatauarithmeticmeanatauseringdisebutdenganistilahmeansaja merupakanmetodeyangpalingbanyakdigunakanuntukmenggambarkanukuran tendensisentral.Meandihitungdenganmenjumlahkansemuanilaidatapengamatan kemudian dibagi dengan banyaknya data. Definisi tersebut dapat di nyatakan dengan persamaan berikut: Sampel: Populasi: Keterangan: = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan n = banyaknya sampel data N = banyaknya data populasi = nilai rata-rata sampel = nilai rata-rata populasi Meandilambangkandengan(dibacax-bar)jikakumpulandatainimerupakan contoh (sampel) dari populasi, sedangkan jika semua data berasal dari populasi, mean dilambangkan dengan (huruf kecil Yunani mu). SampelstatistikbiasanyadilambangkandenganhurufInggris,,sementara parameter-parameterpopulasibiasanyadilambangkandenganhurufYunani, misalnya 2.2.1.1 Rata-rata Hitung (Mean) Untuk Data Tunggal Nilairata-ratadaridatayangsudahdikelompokkanbisadihitungdengan menggunakan formula berikut: Keterangan: = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan fi = frekuensi data ke-i n = banyaknya sampel data = nilai rata-rata sampel 2.2.1.2 Mean Data Distribusi Frekuensi atau Gabungan Rata-rata hitung dari data yang sudah disusun dalam bentuk tabel distribusi frekuensi dapatditentukandenganmenggunakanformulayangsamadenganformulauntuk menghitung nilai rata-rata dari data yang sudah dikelompokkan, yaitu: Keterangan: = lambang penjumlahan semua gugus data pengamatan fi = frekuensi data ke-i = nilai rata-rata sampel Catatan:Pendekatanperhitungannilairata-ratahitungdenganmenggunakan distribusifrekuensikurangakuratdibandingkandengancaraperhitunganrata-rata hitungdenganmenggunakandataaktualnya.Pendekataniniseharusnyahanya digunakan apabila tidakmemungkinkan untuk menghitung nilai rata-ratahitung dari sumber data aslinya. 2.2.1.2.1 Rata-rata Gabungan atau Rata-rata Terboboti (Weighted Mean) Rata-ratagabungan(disebutjugagrandmean,pooledmean,ataurata-rataumum) adalah cara yang tepat untuk menggabungkan rata-rata hitung dari beberapa sampel. 2.2.2Median Mediandarinpengukuranataupengamatanx1,x2,,xnadalahnilaipengamatan yang terletak di tengah gugus data setelah data tersebut diurutkan. Apabila banyaknya pengamatan(n)ganjil,medianterletaktepatditengahgugusdata,sedangkanbilan genap,mediandiperolehdengancarainterpolasiyaiturata-ratadariduadatayang beradaditengahgugusdata.Dengandemikian,medianmembagihimpunan pengamatanmenjadiduabagianyangsamabesar,50%daripengamatanterletakdi bawah median dan 50% lagi terletak di atas median. Medianseringdilambangkandengan(dibacax-tilde)apabilasumberdatanya berasaldarisampel(dibaca-tilde)untukmedianpopulasi.Mediantidak dipengaruhi oleh nilai-nilai aktual dari pengamatan melainkan pada posisi mereka. Proseduruntukmenentukannilaimedian,pertamaurutkandataterlebihdahulu, kemudian ikuti salah satu prosedur berikut ini: -Banyak dataganjil mediannya adalah nilaiyang berada tepat di tengah gugus data -Banyak data genap mediannya adalah rata-rata dari dua nilai data yang berada di tengah gugus data 2.2.2.1 Median Data Tunggal Untukmenentukanmediandaridatatunggal,terlebihdulukitaharusmengetahui letak/posisimediantersebut.Posisimediandapatditentukandenganmenggunakan formula berikut: dimana n = banyaknya data pengamatan. 2.2.2.2 Median Dalam Distribusi Frekuensi Formulauntukmenentukanmediandaritabeldistribusifrekuensiadalahsebagai berikut: Keterangan: b = batas bawah kelas median dari kelas selang yang mengandung unsur atau memuat nilai median p = panjang kelas median n = ukuran sampel/banyak data f = frekuensi kelas median F = Jumlah semua frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari kelas median (fi) 2.2.2.3Modus Modusadalahdatayangpalingseringmuncul/terjadi.Untukmenentukanmodus, pertamasusundatadalamurutanmeningkatatausebaliknya,kemudianhitung frekuensinya.Nilaiyangfrekuensinyapalingbesar(seringmuncul)adalahmodus. Modus digunakan baik untuk tipe data numerik atau pun data kategoris. Modus tidak dipengaruhi oleh nilai ekstrem. Beberapa kemungkinan tentang modus suatu gugus data: -Apabilapadasekumpulandataterdapatduamode,makagugusdatatersebut dikatakan bimodal. -Apabilapadasekumpulandataterdapatlebihdariduamode,makagugusdata tersebut dikatakan multimodal. -Apabilapadasekumpulandatatidakterdapatmode,makagugusdatatersebut dikatakan tidak mempunyai modus. Meskipunsuatugugusdatamungkinsajatidakmemilikimodus,namunpadasuatu distribusi data kontinyu, modus dapat ditentukan secara analitis. -Untukgugusdatayangdistribusinyasimetris,nilaimean,mediandanmodus semuanya sama. -Untuk distribusi miring ke kiri (negatively skewed): mean < median < modus -Untuk distribusi miring ke kanan (positively skewed): terjadi hal yang sebaliknya, yaitu mean > median > modus. Hubunganantaraketigaukurantendensisentraluntukdatayangtidakberdistribusi normal,namunhampirsimetrisdapatdidekatidenganmenggunakanrumusempiris berikut: Mean Modus = 3 (Mean Median) 2.2.3.1 Modus Dalam Distribusi Frekuensi Keterangan: Mo = modal = kelas yang memuat modus b = batas bawah kelas modal p = panjang kelas modal b1= bmo bmo-1 = frekuensi kelas modal frekuensi kelas sebelumnya b2 = bmo bmo+1 = frekuensi kelas modal frekuensi kelas sesudahnya Selaintigaukurantendensisentraldiatas(mean,median,danmodus),terdapat ukurantendensisentrallainnya,yaiturata-rataukur(GeometricMean)danrata-rata harmonis (Harmonic Mean) 2.2.4 Rata-rata Ukur (Geometric Mean) Untuk gugus data positif x1, x2, , xn, rata-rata geometrik adalah akar ke-n dari hasil perkalianunsur-unsurdatanya.Secaramatematisdapatdinyatakandenganformula berikut: Keterangan: U = rata-rata ukur (rata-rata geometrik) n = banyaknya sampel = Huruf kapital (pi) yang menyatakan jumlah dari hasil kali unsur-unsur data. Rata-ratageometrikseringdigunakandalambisnisdanekonomiuntukmenghitung rata-ratatingkatperubahan,rata-ratatingkatpertumbuhan,ataurasiorata-ratauntuk databerurutantetapatauhampirtetapatauuntukrata-ratakenaikandalambentuk persentase. 2.2.4.1 Rata-rata Untuk Data Tunggal atau: 2.2.4.2 Rata-rata Untuk Distribusi Frekuensi Keterangan: xi = tanda kelas (nilai tengah) fi = frekuensi yang sesuai dengan xi 2.2.5 Rata-rata Harmonik (H) Rata-rata harmonik dari suatu kumpulan data x1, x2, , xn adalah kebalikan dari nilai rata-rata hitung (aritmetik mean). Secara matematis dapat dinyatakan dengan formula berikut: Secaraumum,rata-rataharmonicjarangdigunakan.Rata-ratainihanyadigunakan untukdatayangbersifatkhusus.Misalnya,rata-rataharmonikseringdigunakan sebagai ukuran tendensi sentral untuk kumpulan data yang menunjukkan adanya laju perubahan, seperti kecepatan. 2.2.5.1 Rata-rata Harmonik Untuk Data Tunggal 2.2.5.1 Rata-rata Harmonik Distribusi Frekuensi 2.2.6Kuantil: Kuartil, Desil dan Persentil Kuantiladalahnilaiyangmembagisuatujajarandata(dataarray)menjadibagian-bagianyangsama.Sebagaicontoh,kuantilyangmembagijajarandatamenjadidua bagianadalahmedian.Kuantilyangmembagijajarandatamenjadiempatbagian disebutkuartil(Q1,Q2,Q3),menjadisepuluhbagiandisebutdesil(D1,D2,D3 ...D9), menjadi seratus bagian disebut persentil (P1 , P2 , P3...P99). Dengan pengertian diatas,maka:median=Q2 =D5=P10.Untukmenentukankuantildatatak terkelompok,dapatdigunakanprosedursepertidalammenentukanmedian. Sedangkanuntukdataterkelompok,kitadapatmenggunakanprinsipinterpolasi, dengan rumus kuantil ke-i : Keterangan: Lki : Batas Bawah interval kuantil ke-i F:Nomorurutdatatertinggisebelumintervalkuantilke-i(Jumlahfrekuensi interval Interval sebelum interval kuantil ke-i) n : Banyaknya data fki : frekuensi Interval kuantil ke-i c: lebar interval kelas kuantil N : konstanta (untuk kuartil N = 4, desil N = 10, persentil N = 100) 2.3 Ukuran Penyebaran (Measures of Dispersion) Ukurantendensisentral(mean,median,modus)merupakannilaipewakildarisuatu distribusifrekuensi,tetapiukurantersebuttidakmemberikangambaraninformasi yanglengkapmengenaibagaimanapenyebarandatapengamatanterhadapnilai sentralnya.Padacontohtersebut,jelasbahwaukurantendensisentralsajatidakcukupuntuk menggambarkandistribusifrekuensi.Selainitukitaharusmemilikiukuran persebaran data pengamatan. Ukuran penyebaran atau ukuran keragaman pengamatan darinilairata-ratanyadisebutsimpangan(deviation/dispersi).Terdapatbeberapa ukuranuntukmenentukandispersidatapengamatan,sepertijangkauan/rentang (range), simpangan kuartil (quartile deviation), simpangan rata-rata (mean deviation), dan simpangan baku (standard deviation). 2.3.1Jangkauan (Range) UkuranpenyebaranyangpalingsederhanaadalahRange(Jangkauan/Rentang, terkadangdibeberapaliteraturditerjemahkandenganistilahwilayah).Rangedari suatukelompokdatapengamatanadalahselisihantaranilaiminimumdan maksimum. Rangehanyamemperhitungkanduanilai,yaitunilaimaksimumdannilaiminimum dan tidak memperhitungkan semua nilai, sehingga sangat tidak stabil atau tidak dapat diandalkansebagaiindikatordariukuranpenyebaran.Haliniterjadikarenarange sangat dipengaruhi oleh nilai-nilai ekstrim.2.3.2Simpangan kuartil (Quartile Deviation) Simpangan kuartil dihitung dengan cara menghapus nilai-nilai yang terletak di bawah kuartil pertama dan nilai-nilai di atas kuartil ketiga, sehingga nilai-nilai ekstrem, baik yang berada di bawah ataupun di atas distribusi data, dihilangkan. Simpangankuartildidapatkandengancaramenghitungnilairata-ratadarikedua kuartil tersebut, Q1 dan Q3. Simpangan kuartil lebih stabil dibandingkan dengan Range karena tidak dipengaruhi olehnilaiekstrem.Nilai-nilaiekstrimsudahdihapus.Meskipundemikian,sama sepertiRange,simpangankuartiljugatetaptidakmemperhatikandan memperhitungkanpenyimpangansemuagugusdatanya.Simpangankuartilhanya memperhitungkan nilai pada kuartil pertama dan kuartil ketiga saja. 2.3.3Simpangan Rata-rata (Mean Deviation) Simpanganrata-ratamerupakanpenyimpangannilai-nilaiindividudarinilairata-ratanya. Rata-rata bisa berupa mean atau median. Untuk data mentah simpangan rata-ratadarimediancukupkecilsehinggasimpanganinidianggappalingsesuaiuntuk datamentah.Namunpadaumumnya,simpanganrata-ratayangdihitungdarimean yang sering digunakan untuk nilai simpangan rata-rata. Simpangan rata-rata dihitung dengan formula berikut: Formula tersebut tentumemenuhi dua kriteria sebelumnya, dihitung dari semua data dan menunjukkan dispersi rata-rata dari mean, tetapi tidak memenuhi kriteria ketiga. Bagaimanapundispersidaridata,semuaperhitungandenganrumusiniakanselalu menghasilkannilainol.Halinikarenapembilangdarirumusdiatas menunjukkan bahwa hasil penjumlahannya akan selalu sama dengan nol. Terdapatduacarauntukmengantisipasimasalahini,keduanyaakanmenghilangkan tanda-tanda negatif dari perhitungan. Sampel: Populasi: Untuk data yang sudah disusun dalam bentuk tabel frekuensi: 2.3.3.1 Simpangan Rata-rata Data Tunggal 2.3.3.1 Simpangan Rata-rata Data Kelompok Simpangan rata-rata yang dihitung dari distribusi frekuensi data yang dikelompokkan menggunakannilaidataperkiraan,bukandataaslinya.Datapewakiltersebut disimbolkandenganm.Untukmembuatperhitungandaridatayangsudah dikelompokkan kita harus menganggap, bahwa semua nilai dalam sebuah kelas, sama dengan nilai pewakilnya (tanda kelasnya, mi). Selanjutnya, nilai perkiraan simpangan rata-rata dapat dihitung dengan menggunakan rumus: Pada formula di atas, pembilangnya akan selalu bernilai positif, karena yang diambil adalah nilai mutlaknya, perhatikan tanda modulus || yang berarti baik hasilnya negatif ataupun positif akan selalu diperlakukan sebagai data positif. 2.3.4Ragam (Varians) dan Standar Deviasi Ukuran penyebaran dengan menggunakan perhitungan simpangan rata-rata diperoleh dengan mengabaikan tanda-tanda penyimpangan. Secara matematis hal tersebut tidak benar. Cara kedua, yaitu dengan mengkuadratkan nilaisimpangansehingganilainegatifberubahmenjadipositif.Carainilebihtepat. Rata-ratadarijumlahnilaisimpangandikenaldenganragam(varians).Setelahnilai ragamdiperoleh,selanjutnyanilairagamtersebutdiakarkanuntukmendapatkan kembalisatuanasaldarivariabeltersebut(bukankg2/petak2,tapikg/petak).Cara pengukuran keragaman seperti ini dikenal dengan Standar deviasi. Secara matematis, standar deviasi dapat dihitung dengan menggunakan formula: Standardeviasipopulasidisimbolkandengandanstandardeviasisampel disimbolkandengans.Standardeviasisampelyangbaikseharusnyamerupakan ukuranyangtidakbiasaterhadapstandardeviasipopulasinya,karenakita menggunakanukuranstandardeviasisampeluntukmemperkirakannilaistandar deviasi populasi. Untuk itu, nilai n pada formula di atas diganti dengan n 1 sehingga formula untuk standar deviasi sampel adalah sebagai berikut: 2.3.4.1 Standar Deviasi Data Tunggal 2.3.4.2 Standar Deviasi Data Kelompok Sama seperti pada perhitungan simpanganrata-rata. Standar deviasi danragamyang dihitung dari distribusi frekuensi data yang sudah dikelompokkan menggunakan nilai dataperkiraan,bukandataaslinya.Datapewakiltersebutdisimbolkandenganm. Untukmembuatperhitungandaridatayangsudahdikelompokkankitaharus menganggap,bahwasemuanilaidalamsebuahkelas,samadengannilaipewakilnya (tandakelasnya,mi).Selanjutnya,nilaiperkiraanstandardeviasidapatdihitung dengan menggunakan rumus: Nilaikuadratdaristandardeviasidikenaldenganragam(variance).Padateknik analisisvarian,dikenaldenganJumlahKuadrat(SumofSquare),dan ragam(varian)dikenaldenganistilahKuadratTengah/Rata-rataJumlahKuadrat (Mean Square). Standar deviasi merupakan ukuran penyebaran yang paling banyak digunakan. Semua gugusdatadipertimbangkansehinggalebihstabildibandingkandenganukuran lainnya.Namun,apabiladalamgugusdatatersebutterdapatnilaiekstrem,standar deviasi menjadi tidak sensitif lagi, sama halnya seperti mean. StandarDeviasimemilikibeberapakarakteristikkhususlainnya.StandarDeviasi tidakberubahapabilasetiapunsurpadagugusdatanyaditambahkanatau dikurangkandengannilaikonstantertentu.StandarDeviasiberubahapabilasetiap unsurpadagugusdatanyadikali/dibagidengannilaikonstantertentu.Biladikalikan dengannilaikonstan,standardeviasiyangdihasilkanakansetaradenganhasilkali dari nilai standar deviasi aktual dengan konstan. 2.3.5Ukuran sebaran relatif (Measures of Relative Dispersion) TerdapatbeberapaukuranpenyebaranrelatifuntukRange,SimpanganKuartil, SimpanganRata-rata,danStandardeviasi.KoefisienKeragaman(coefficientof variation) yang paling penting dan sering digunakan adalah ukuran penyebaran relatif dari Standar Deviasi. Koefisien Keragaman Standar deviasi dihitung dengan formula berikut: KoefisienKeragamanmerupakanukuranyangbebassatuandanselaludinyatakan dalam bentuk persentase. Nilai KK yang kecil menunjukkan bahwa data tidak terlalu beragam dan di katakan lebih konsisten. KK tidak dapat diandalkan apabila nilai rata-rata hampir sama dengan 0 (nol). KK juga tidak stabil apabila skala pengukuran data yang digunakan bukan skala rasio. 2.4 Momen, Skewness, dan Kurtosis 2.4.1Momen2.4.1.1 Momen Data Tidak Terkelompok Misalkan X1, X2, . . . , Xn merupakan nilai dari variabel X. Kuantitas: disebut moment ke r dari X. Untuk r =1, menjadi rerata aritmatika. Momen ke r disekitar rerata didefisikan sebagai: Diperhatikan m1=0 dan m2= s2variansi. MomenkersimpanganterhadapsembaranfasalAdidefinisikansebagai: dimana adalah deviasi X thd A 2.4.1.2 Momen Data Terkelompok Misalkan X1, X2, . . . ,Xn terjadi dengan frekuensi f1, f2, . . . , fn. 2.4.1.3 Hubungan antar momen Misalkanmr,xmomentdisekitartitiksebarangdanmr,xmomentdisekitarrerata maka berlaku hubungan: Perlu dicatat bahwa m1, x = - A 2.4.1.4 Metode pengkodean Keterangan: fi = frekuensi atau jumlah pengamatan dalam sebuah interval kelas ui = kode untuk suatu interval kelas 2.4.2Skewness Kemiringan(skewness)berartiukuranketidaksimetrisan(kemencengan)distribusi. Distribusi yang ekor kurvanya lebih panjang kekanan disebut menceng kekanan atau positiveskewness.Begitujugasebaliknya.Sebuahdistribusidikatakansimetris apabila nilai-nilainya tersebar merata disekitar nilai rata-ratanya. Pada distribusi data yang simetris, mean, median dan modus bernilai sama. Beberapa langkah-langkah perhitungan digunakan untuk menyatakan arah dan tingkat kemiringan dari sebaran data. Langkah-langkah tersebut diperkenalkan oleh Pearson. Koefisien kemiringan (Coefficient of Skewness): atau Diperhatikan bila distribusinya normal maka koefisien skewness bernilai nol. Koefisien kemiringan lainnya: koef. kuartil skewness: koef. skewness 10-90% persentil: -koef.momen skewness: 2.4.3Kurtosis Kurtosis merupakan ukuran untuk mengukur keruncingan distribusi data. Distribusi pada gambar di atas semuanya simetris terhadap nilai rata-ratanya. Namun bentuk ketiganya tidak sama. Kurva berwarna biru dikenal sebagai mesokurtik (kurva normal), kurva berwarna merah dikenal sebagai leptokurtik (kurva runcing) dan kurva berwarna hijau dikenal sebagai platikurtik (kurva datar). Macam-macam ukuran kurtosis: -koef. momen kurtosis: -kurtosis terhdap kuartil dan persentil: -pada excel: -kurtosis positif distribusi lancip-kurtosis negatif distribusi tumpul ) 3 )( 2 () 1 ( 3) 3 )( 2 )( 1 () 1 (24 )`|.|

\| +n nnsx xn n nn niReferensi:-Mario Triola. 2004. Elementary Statistics. 9th Edition. Pearson Education. -Stephen Bernstein and Ruth Bernstein. 1999. Elements of Statistics I: Descriptive Statistics and Probability. The McGraw-Hill Companies, Inc -Web:oStatistical dispersion: http://en.wikipedia.org/wiki/Statistical_dispersion oIndian Agricultural Statistics Research Institute: http://www.iasri.res.in/