2.5. DISTRIBUTIA DE MESE2.5.1 CENTRE DE GREUTATE

2.5.1.1. Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale

La studiul sistemelor de forte paralele, s-a definit central acestora C in care este aplicata rezultanta, vectorul de pozitie al punctului C, fiind dat de expresia:

(2.140)

Se considera acum un sistem de n puncte material Ai, avand masele mi si greutatile: = ; (i =1, 2, , n ), in care , este acceleratia terestra (fig. 2.43). Greutatile , constituie un sistem de forte concurente in centrul Pamantului. Daca insa sistemul de puncte material are dimensiuni neglijabile in raport cu raza Pamantului, se poate considera ca greutatile formeaza un sistem de forte paralele cu directia verticala.

Centrul C al fortelor paralelese numeste centrul de greutate al sistemului de puncte materiale si are vectorul de pozitie: = (2.141)cea de-a doua expresie fiind valabila pentru situatia in care, pentru intrebul sistem, acceleratia gravitational are aceeasi valoare. Aceasta fiind cazul cel mai usual, se va lucra cu expresia respective.

Fig. 2.43. Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale

Proiectand pe axe, rezulta coordonatele centrului de greutate: (2.142)

in care (xi , yi , zi) sunt coordonatele punctelor materiale Ai, iar suma maselor se poate inlocui cu masa totala a sistemului de puncte: M = .

Punctul C, avand vectorul de pozitie (2.141) exprimat cu ajutorul maselor punctelor, se mai numeste si centrul de masa al sistemului de puncte materiale. Centrul de masa este o notiune mai generala decat centrul de greutate care are sens numai in cazul in care sistemul de puncte materiale se afla pe suprafata Pamantului.

Centrul de greutate, fiind centrul unui sistem de forte paralele prezinta toate proprietatile acestuia.

2.5.1.2. Centrul de greutate al unui corp continuu

In cazul unui corp continuu de masa M si volum V care nu poate fi considerat un sistem de puncte materiale distincte, pozitia centrului de greutate se stabileste utilizand relatii de tipul (2.141) dar, in locul maselor discrete considerandu-se masa elementara dm corespunzatoare volumului elementar dV, in locul vectorilor de pozitie distincti , vectorul curent , iar sumele discrete transformandu-se in integrale de volum (fig. 2.44):

Fig. 2.44. Centrul de greutate al unui corp continuu

=

(2.143)

Prin definitie raportul: = fiind densitatea corpului, pentru un corp continuu si omogen se poate scrie: = =

(2.144)

in care, volumul corpului continuu fiind evident: V = Coordonatele centrului de greutate sunt:

= = =

(2.145)Unde (x, y, z) sunt coordonatele elementului de volum dV.

In cazul in care corpul continuu este o placa omogena de grosime constanta h (fig. 2.45), in calculul pozitiei centrului de greutate in locul elementului de volum se poate considera elementul de arie dA:

= =

(2.146)

Fig. 2.45. Centrul de greutate al unei placi omogeneunde: A = reprezinta aria totala a placii. In mod similar relatiilor (2.145), coordonatele centrului de greutate sunt:xc= yc= zc=

(2.147)

Cand corpul continuu este o bara omogena de lungime L (figura 2.46), se va lucre cu elementul de lungime dl, astfel incat vectorul de pozitie al centrului de greutate devine:

=

(2.148)in care, lungimea totala a barei este evident: L = .

Coordonatele centrului de greutate in acest caz:

xc= yc = zc=

(2.149)

FIG. 2.46. CENTRUL DE GREUTATE AL UNEI BARE OMOGENE

Centrul de greutate al unui corp continuu are aceleasi proprietati ca si centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale.

2.5.1.3. Centrul de greutate al unui corp continuu de forma complexa

Se considera un corp continuu de forma complexa care se poate descompune in parti p parti simple (de forma geometrica regulata) de mase Mj si volume Vj cunoscute (fig. 2.47), astfel incat masa totala: M = j , iar volumul corpului V = j . Se cunosc pozitiile centrelor de greutate ale partilor component, adica vectorii lor de pozitie :=

(2.150)

FIG. 2.47. CENTRUL DE GREUTATE AL UNUI CORP DE FORMA COMPLEXAStructura corpului fiind continua, in relatia de calcul de forma (2.143) se poate considera integrala de volum ca o suma de integrale pe volumele partilor componente:

= =

(2.151)Tinand seama de relatia (2.150), expresia (2.151) devine:

=

(2.152)cu proiectiile:

= =

= (2.153)avand formele identice cu (2.141), respectiv (2.142). Astfel, corpul de forma complexa se comporta ca un sistem de p puncte materiale, care sunt chiar centrele de masa Cj ale portiunilor componente, in care se afla concentrate masele Mj ale acestora.Cand corpul de forma complexa este si omogen, masele partiale se scriu de forma: Mj = Vj, iar centrul de greutate C are vectorul de pozitie:

=

(2.154)

Si coordonatele:

xc= yc =

zc =

(2.155)Analog, cand corpul de forma complexa este o placa omogena, coordonatele centrului de masa sunt:

xc=

yc=

zc=

(2.156) aria totala a placii fiind: A = j .

Pentru o bara omogena de forma complexa, se obtine:

xc=

yc=

zc=

(2.157) lungimea totala barei fiind: L = j .

Problema este ceva mai complicata cand corpurile de forma complexa contin si goluri, adica portiuni din care masele lipsesc. Pentru a reduce problema calculului pozitiei centrului de masa la problema precedenta, se completeaza golurile cu material si se divizeaza acest corp nou obtinut in parti pentru care se cunosc masele Mj si pozitiile centrelor de masa j. Se aplica apoi relatiile de calcul (2.153) in care masele Mj ale portiunilor care lipsesc se considera negative. Golurile se completeaza cu material doar pentru a se obtine un corp continuu si deci, masele care au fost adaugate in acest scop, vor fi considerate cu semnul minus astfel ca produsele Mj * j corespunzatoare sa nu afecteze rezultatul final.La fel se procedeaza cand corpul cu goluri este in rest omogen; se completeaza golurile si se aplica relatiile (2.155), (2.156) sau (2.157) in functie de forma corpului, volumele Vj, ariile Aj si respectiv lungimile Lj care se adauga pentru a realize omogenitatea globala, considerandu-se in aceste relatii cu semnul minus.

In Tabelul 2.1. sunt prezentate coordonatele centrelor de greutate pentru corpuri omogene, avand forme geometrice frecvent intalnite.

Tabelul 2.1. Coordonatele centrului de masa

Nr. Crt.Denumirea corpuluiReprezentarea geometrica, sistemul de referintaCoordonatele centrului de masa

1Bara rectilinie

[AB] = l

A(xA, yA, zA)

B(xB, yB, zB)Xc = Yc =

2Contur triunghiular

A(x, h)

B(a, 0)xc = yc =

3Arc de cercRaza R

Unghiul la centru 2

[rad]

Arc de cerc:

Semicerc:

4Placa sector de cercRaza R

Unghiul la centru 2

[rad]Placa sector de cerc:

Placa semicerc:

5Placa semielipsaSemiaxe a, b

6Placa sfert de elipsaSemiaxe a,b

7Con circular dreptRaza bazei R

Inaltimea h

8SemisferaRaza R

9Piramida Inaltimea hPunctul O coincide cu centrul de masa al bazei piramidei, poligonul ABDEFGzc =

Aplicatia A.2.10:Se considera sistemul de placi omogene din figura A.2.10.a. Placa OAB este definite de curba AB de ecuatie z = a - . Sa se determine coordonatele centrului de greutate al sistemului de placi, considerand placile omogene, cu aceeasi grosime si cu aceeasi densitate superficiala.

FIG. A.2.10.a

Rezolvare

Sistemul de placi omogene din figura se descompune in patru elemente (figura A.2.10.b):

1. Placa OAB;

2. Placa triunghiulara OBC

3. Placa patrata OADC

4. Decuparea semicircular de raza a.

Fig.A.2.10.b

Coordonatele centrului de greutate al sistemului de placi omogene din figura, in sistemul de referinta ales, se determina cu relatiile:= =

=

Pentru placa 1, coordonatele centrului de greutate C1 se determina cu relatiile:

xc1 = 0yc1 = yC1 = zc1 = zc1 =

unde suprafata elementara dA se obtine ca in figura A.2.10.c.

Fig. A.2.10.c

Pentru placa triunghiulara 2 se stie ca centrul de greutate este la intersectia medianelor. Coordonatele centrului de greutate C2 , pentru o placa triunghiulara, se obtin cu relatiile:

xC2 = (xO + xB + xC)yC2 = (yO + yB + yC)

zC2 = (zO + zB + zC)

Placa OBC fiind in planul xOy, yc2 = 0.

Pentru placa patrata 3, situandu-se in planul xOy, coordonata zc3 = 0.

Centrul de greutate C2 este la intersectia diagonalelor patratului.

Pentru placa 4, coordonatele centrului de greutate se obtin prin particularizarea relatiilor corespunzatoare sectorului de cerc, conform figurii A.2.10.d

FIG. A.2.10.d

unde:

xC = R yc = 0Coordonatele centrelor de greutate partiale se trec in Tabelul A.2.10.

Coordonatele centrului de greutate al sistemului de placi omogene din figura A.2.10.a sunt:

xC = a ; yC = a ; yC = aTabelul A.2.10

Nr. Crt.xciycizciAixiAiyiAiziAi

10 a a a20a3 a3

2 a0 aa2 a30 a3

3aa04a24a34a30

4a(2-)a0- a2- a2(- a30

--- a2 a3 a3 a3

2.5.2. MOMENTE DE INERTIE

2.5.2.1. Definitii

In studiile de dinamica sistemelor materiale, apar frecvent anumite marimi scalare care, in aceeasi masura ca si centrele de greutate caracterizeaza distributia de mase din sistem si care se numesc moment de inertie mecanice. Aceste marimi se introduce prin definitie si au ca unitate de masura kg m2.Se considera un sistem de puncte materiale Mi avand masele mi si vectorii de pozitie i = xi + yi + zi fata de un sistem de referinta xOyz (figura 2.48).Se defines urmatoarele categorii de momente de indertie mecanice:

Momentul de inertie polar in raport cu originea O a sistemului de referinta, ca suma a produselor dintre masele punctelor din sistem si patratele distantelor de la acestea la originea axelor:Jo = = * = (2.158)

Fig. 2.48. Definirea momentelor de inertie pentru un sistem de puncte materiale Momentele de inertie axiale in raport cu axele sistemului de referinta, ca suma a produselor dintre masele punctelor din sistrem si patratele distantelor de la acestea la axele de coordonate: Jx = Jy =

Jz =

(2.159) Momentele de inertie planare in raport cu planele sistemului de referinta, ca suma a produselor dintre masele punctelor din sistem si patratele distantelor de la acestea la planele sistemului de referinta:

JxOy =

JxOz =

JxOz =

(2.160) Momentele de inertie cetrifugale (produsele de inertie) definite ca sume algebrice ale produselor dintre masele punctelor si cate doua coordonate diferite ale acestora:

Jxy = Jxz = Jyz =

(2.161)

In cazul corpurilor continue, relatiile de definitie ale momentelor de inertie pastreaza aceeasi structura, dar in locul maselor discrete se considera masa elementara dm corespunzatoare volumului elementar dV, in locul vectorilor de pozitie , vectorul current = + + , iar sumele discrete se transforma in integrale de volum (figura 2.49).Astfel, se definesc:

Momentul de inertie polar in raport cu originea O a sistemului de referinta:J0 = (2.162)

Momentele de inertie axiale in raport cu axele sistemului de referinta:

Jx = Jy = Jz =

(2.163)

Fig. 2.49. Definirea momentelor de inertie pentru un corp continuu Momentele de inertie planare in raport cu planele sistemului de referinta:

JxOy = * dm

JxOz = * dm

JyOz = * dm (2.164)

Momentele de inertie centrifugal (produsele de inertie):

Jxy =

Jxz =

Jyz = (2.165)

Din definirea momentelor de inertie rezulta ca cele polare, axiale si planare sunt intotdeauna positive (sau nule), pe rand momentele de inerite cetrifugale pot fi si negative.

2.5.2.2. Relatii intre momentele de inertie

Pe baza relatiior de definite a momentelor de inertie se observa anumite relatii de legatura intre ele, a caror cunoastere conduce uneori la simplificarea calculelor, putandu-se exprima anumite momente cu ajutorul altora.

Astfel:

2 J0 = Jx + Jy + Jz

(2.166)exprima egalitatea dintre suma momentelor de inertie in raport cu trei axe doua cate doua ortogonale si dublu momentului de inertie polar in raport cu punctul de concurenta al axelor.

J0 = JxOy + JxOz + JyOz

(2.167)

exprima egalitatea dintre suma momentelor de inertie in raport cu trei plane doua cate doua ortogonale si momentul de inertie polar in raport cu punctul de concurenta al planelor.

J0 = Jx + JyOz ; J0 = Jy + JxOz ; J0 = Jz + JxOy

(2.168)

exprima faptul ca prin insumarea dintre un moment de inertie fata de o axa si un moment de inertie polar in raport cu un plan perpendicular pe axa se obtine momentul de inertie polar in raport cu punctual lor de concurenta.

Jx = JxOy + JxOz ; Jy = JxOy + JyOz ; Jz = JxOz + JyOz(2.169)exprima egalitatea dintre suma momentelor de inertie in raport cu doua plane ortogonale si momentul de inertie axial fata de dreapta lor de concurenta.

Toate aceste relatii de legatura sunt valabile pentru sistemele materiale plasate in acelasi sistem triortogonal, in cazurile cand intereseaza doar momentele de inertie fata de elementele caracteristice acestuia. In realitate insa, se poate pune problema stabilirii unor relatii, fie intre moment de inertie definite in raport cu sisteme triortogonale diferite, fie intre momente definite fata de axe sau plane cu orientari oarecare. In aceste conditii este necesar sa se tina seama de modul in care se poate realize o transformare generala de la un sistem de referinta la altul, ceea ce implica, intr-o prima faza, trecerea dintr-o origine in alta prin deplasarea axelor de coordonate paralele cu o directive data si, intr-o faza ulterioara, alinierea axelor la alte directii cu care au devenit concurente prin suprapunerea originilor.

2.5.2.3. Variatia momentelor de inertie in raport cu axe paralele

Se considera un corp de masa M avand centrul de greutate in C pentru care se cunosc toate momentele de inertie in raport cu sistemul de referinta cu originea in centrul sau de greutate: Jc, Jx, Jy, Jz, JxCy, JxCz, JyCz, Jxy, Jxz, Jyz. Se urmareste determinarea momentelor de inertie in raport cu sistemul de coordinate x1O1y1z1 avand axele paralele cu primul (figura 2.50)

Elementul de masa dm este apreciat fata de originea C prin vectorul de pozitie = + + , iar fata de originea O1 prin vectorul de pozitie =x1 + y1 + z1, versorii fiind aceeasi daca axele sunt paralele. In conditiile in care vectorul de pozitei al centrului de masa fata de sistemul xCyz este nul ( = 0), legatura intre cei doi vectori de pozitie si este asigurata prin vectorul = x1C + y1C + z1C ce precizeaza centrul de masa C fata de sistemul de referinta x1O1y1z1: = +

(2.170)Proiectand pe axe relatia (2.170) se obtin:

x1 = x1C + x y1 = y1C + y z1 = z1C + z

(2.171)

Vectorul de pozitie al centrului de greutate al sistemului de puncte materiale in raport cu sistemul de referinta xCyz este dat de relatia: =

(2.172)

Fig.2.50. Variatia momentelor de inertie in raport cu axe paralele

Cum , rezulta din (2.172):

(2.173)

Se poate calcula, pe baza acestor consideratii, oricare dintre momentele de inertie in raport cu sistemul x1O1y1z1. Astfel, momentul de inertie planar Jx1O1y1z1 este:

Jx1O1y1 = dm = 2 dm =

(2.174)

in care, conform relatiilor (2.173) ultimul termen se anuleaza. Al doilea termen reprezinta chiar momentul de inertie fata de planul xCy, iar in primul termen, calculul integralei conduce la valoarea masei corpului. Astfel, relatia (2.174) obtine forma finala:Jx1O1y1 = JxCy + M *

(2.175)

Similar: Jx1O1z1 = JxCz + M * Jy1O1z1 = JyCz + M *

Deci momentul de inertie planar, in raport cu un plan oarecare este legal cu momentul de inertie in raport cu un plan paralel, care contine centrul de greutate al corpului, la care se aduna produsul dintre masa corpului si patratul distantei dintre cele doua plane.

Procedand analog se deduc relatiile valabile pentru momentele de inertie axiale:

Jx1 = Jx + M ( + )

Jy1 = Jy + M ( + )

Jz1 = Jz + M ( + )

(2.176)

avand aceeasi semnificatie: in raport cu o axa oarecare, momentul de inertie al unui corp este egal cu momentul de inertie in raport cu o axa paralela, care trece prin centrul de greutate al corpului, la care se aduna produsul dintre masa corpului si patratul distantei dintre cele doua axe.

Pentru momentul de inertie polar se obtine:

JO1 = JC + M( + ) (2.177)

iar, pentru cele centrifugale:Jx1y1 = Jxy + M * * Jx1z1 = Jxz + M * * Jx1z1 = Jyz + M * *

(2.178)

Relatiile de variatie a momentelor de inertie in raport cu axe paralele sunt cunoscute sub denumirea de formulele lui Steiner, fiind utile in calculul momentelor de inertie la corpurile de forme complexe, la care se utilizeaza aceeasi metoda de descompunere in forme geometrice simple care s-a utilizat la calculul centrelor de greutate.

2.5.2.4. Variatia momentelor de inertie in raport cu axe concurente

Se considera un corp de masa M pentru care se cunosc toate momentele de inertie (polar, axiale, planare si centrifugale) in raport cu originea, axele si planele de coordonate ale unui sistem de referinta cartezian xOyz (fig. 2.51).

Se urmareste determinarea momentului de inertie al corpului in raport cu o axa oarecare () de versor , care trece prin originea O a sistemului de referinta (concurenta cu toate axele) si face cu axele sistemului unghiurile , , .

Momentul de inertie al corpului in raport cu axa () este conform definitiei:

J = * dm

(2.179)

reprezentand distant pana la axa (), de la elemental de masa dm, de vector de pozitie = x + y + z

Fig. 2.51. Variatia momentelor de inertie in raport cu axe concurente

Se observa din figura 2.51, ca:

= ()2

(2.180)

in care: = cos + cos + cos

Inlocuind in expresia (2.180), expresiile vectorului de pozitie si al versorului dreptei, rezulta:

= () (x cos + y cos + z cos )2

(2.181)

Tinand seama de relatia evident intre cosinusurile directoare ale versorului: cos2 + cos2 + cos2 = 1, relatia (2.181) devine:

= (cos2 + cos2 ) + y2 (cos2 + cos2 ) + z2 (cos2 + cos2 ) - 2x * y * cos * cos 2x * z * cos * cos 2y * z * cos * cos

(2.182)cu care momentul de inertie (2.179) devine:

J = *dm

(2.183)Luand in considerare relatiile de definitie ale momentelor de inertie axiale (2.163) si centrifugale (2.165), rezulta:

J = Jx cos2 + Jy cos2 + Jz cos2 2Jxy cos * cos 2Jxy cos * cos - 2Jxy cos * cos

(2.184)

Cu ajutorul relatiei (2.184) se pot calcula momentele de inertie in raport cu orice axa () care trece prin O si se poate studia modul in care variaza momentul de inertie axial cand pozitia axei () se modifica in raport cu axele sistemului cartezian.

2.5.2.5. Directii principale de inertieAnalizand relatia (2.184) se observa ca momentul de inertie axial J se modifica prin modificartea directiei exprimata prin cosinusurile directoare ale dreptei. Se pune astfel problema posibilitatii existentei anumitor directii in spatiu in raport cu care momentul de inertie axial sa aiba valori extreme.

Pentru rezolvarea acestei problem se utilizeaza metoda multiplicatorilor lui Lagrange, concepand o functie:

J = J + *

(2.185)

in care: = 0, iar functia = 1 cos2 + cos2 + cos2 nu modifica cu nimic functia studiata J, deoarece valoarea sa este intotdeauna nula. Inlocuind in (2.185) expresia (2.184), se calculeaza extremele functiei J prin anularea derivatelor sale partiale in raport cu cosinusurile directoare variabile:

(2.186)

S-a obtinut astfel un sistem de 3 ecuatii omogene cu necunoscutele: cos , cos , cos a carui solutie este cu siguranta nenula, daca se tine seama de relatia existent intre cosinusurile directoare: cos2 + cos2 + cos2 = 1 .

Rezulta ca determinantul sistemului trebuie sa fie nul:

= 0

(2.187)

ce reprezinta o ecuatie de gradul 3 in , cu radacini reale si distincte: 1, 2, 3. Daca se inlocuiesc pe rand aceste radacini in sistemul (2.186) si se rezolva acest sistem, se obtin trei seturi distinct de solutii: (cos 1, cos 1, cos 1), (cos 2, cos 2, cos 2), (cos 3, cos 3, cos 3), ce reprezinta, in punctual O, trei directii () de versori 1, 2, 3 in raport cu care momentele de inertie axiale au valori extreme. Aceste directii se numesc directii principale de inertie in punctul O oarecare considerat. Ele se pot define in raport cu orice punct. Daca directiile principale de inertie se definesc in centrul de greutate al unui corp se numesc directii principale central de inertie ale corpului respectiv.

Se poate arata ca:

Radacinile 1, 2, 3 sunt chiar valorile extreme ale momentelor de inertie axiale Cele trei directii principale de inertie, date de seturile independente de cosinusuri directoare, formeaza un sistem triortogonal.

Intr-adevar, daca se inlocuiesc, spre exemplu, 1 si cosinusurile directoare corespunzatoare in sistemul (2.186) si se inmultesc pe rand identitatile obtinute cu cosinusurile directoare, se obtine:

(2.188)

Efectuand inmultirile si adunand rezulta:

J1 = 1; J2 = 2; J3 = 3

Cele trei valori distincte ale momentelor de inertie axiale J1, J2, J3 sunt: una minima, una maxima si una intermediara (mini-max). Ele se numesc momente principale de inertie.

Faptul ca directiile principale de inertie sunt doua cate doua perpendiculare se demonstreaza simplu inlocuind cate doua valori ale radacinilor si cosinusurilor directoare corespunzatoare in sistemul (2.186) si inmultind fiecare sistem de identitati cu cosinusurile din celalalt set de valori:

(2.192)respectiv:

(2.193)

Dupa efectuarea produselor, se aduna identitatile din sistemele (2.192) si (2.193) si in final se scad cele doua sume astfel obinute. Se obtine:(2 1) * (cos 1 * cos 2 + cos 1 * cos 2 + cos 1 * cos 2 ) = 0

(2.194)

Cele doua radacini fiind distinct, este evident ca 2 1 0 si deci, doar paranteza: (cos 1 * cos 2 + cos 1 * cos 2 + cos 1 * cos 2) poate fi nula. Aceasta expresie reprezinta produsul scalar al versorilor primelor doua directii principale de inertie. Se procedeaza la fel pentru celelalte doua perechi de cosinusuri directoare si in final se conclude:

1 * 2 = 01 * 3 = 0

2 * 3 = 0

(2.195)

relatii ce atesta triortogonalitatea directiilor principale de inertie in orice punct.

2.5.2.6. Elipsoidul de inertie

Se considera pe axa () un punct Q (figura 2.51) astfel incat distant OQ sa se exprime prin relatia:

OQ =

(2.196)

unde: H este o constanta pozitiva, iar J momentul de inertie in raport cu axa ().

Se urmareste determinarea locului geometric al punctelor Q cand dreapta este variabila in jurul punctului oarecare O. Coordonatele punctului curent Q vor fi:

x = OQ cos = cos

y = OQ cos = cos

(2.197)

z = OQ cos = cos

Axa () fiind variabila in jurul lui O, unghiurile , , , sunt parametrii variabili. Pentru determinarea locului geometric, se elimina parametrii variabili , , , din expresia (2.184), introducand expresiile cosinusurilor directoare obtinute din relatiile (2.197):

cos = cos = cos = (2.198)

Se obtine:

Jxx2 + Jyy2 + Jzz2 2 Jxyxy - 2 Jxzxz - 2 Jyzyz = H2

(2.199)care reprezinta ecuatia locului geometric al punctelor Q. Fiind o ecuatie de gradul doi in coordonatele curente x, y, z, ea reprezinta o cuadrica.

Momentul de inertie J fiind diferit de zero, rezulta ca segmental OQ nu poate devein niciodata infinit de mare si deci cuadrica nu poate avea puncte la infinit. Singura cuadrica care nu are puncte la infinit este elipsoidul. In concluzie, locul geometric cautat este un elipsod care poarta numele de elipsod de inertie.

Din ecuatia (2.199) rezulta ca daca punctual Q(x, y, z) se afla pe elipsod, atunci si punctul Q (x, y, z), simetricul lui Q in raport cu originea O, se afla de asemenea pe elipsod, deci centrul elipsodului este punctul O (figura 2.52).

Axele de simetrie ale elipsodului, Ox1, Oy1, Oz1 sunt axele principale de inertie ale corpului studiat, in punctul O.

Ecuatia elipsoidului de inertie in raport cu axele principale de inertie x1Oy1z1 are forma canonica:

Jx1 + Jy1 + Jz1 = H2

(2.200)semiaxale elipsoidului de inertie avand valorile:

a = ; b = ; c = (2.201)

Fig. 2.52. Elipsoidul de inertie

Comparand aceste relatii cu relatia (2.196) se observa ca marimile a, b, c, reprezinta valori extreme pentru segmental OQ, deci momentele de inertie Jx1, Jy1, Jz1 reprezinta valorile extreme ale lui J, adica sunt momentele principale de inertie.

Din compararea relatiilor (2.199) si (2.200) rezulta ca, in raport cu axele principale de inertie, momentele de inertie centrifugale sunt nule.

Jx1y1 = 0Jy1z1 = 0Jx1z1 = 0

(2.202)

Daca punctul O coincide cu centrul de greutate al corpului, elipsoidul de inertie poarta denumirea de ellipsoid central de inertie.Aplicatia A.2.11:

Placa plana, omogena, din figura A.2.11 are masa M si dimensiunile indicate in figura. Sa se determine momentele de inertie in raport cu axele sistemului de referinta xOyz reprezentat in figura.

Fig. A.2.11

Rezolvare

Se procedeaza la fel ca in cazul determinarii pozitiei centrului de greutate. Placa de masa M este considerata ca fiind obtinuta dintr-o placa dreptunghiulara de masa M1 din care se elimina o placa circular de masa M2.

Masa M a placii se poate scrie:

M = M1 M2 , unde: M1 = A1 = * 4ab si M2 = A2 = * r2

Densitatea superficial a placii omogene rezulta = Iar, M1 = si M2 = Momentul de inertie al placii in raport cu una din axele sistemului de referinta este diferenta dintre momentul de inertie al placii dreptunghiulare si momentul de inertie al placii circulare:

Jx = - Jy = - Jz = - Se calculeaza momentele de inertie pentru placa dreptunghiulara:

= M1 (2b)2 = M1 b2 = M1 (2a)2 = M1 a2 = + = M1 (a2 + b2)

Analog se calculeaza momentele de inertie pentru placa circulara:

= + M2 2 = M2r2 = M2r2 + M2 2

Se observa ca pentru calculul momentului de inertie al placii circulare in raport cu axa Oy a sistemului de referinta se aplica legea de variatie a momentelor de inertie in raport cu axe paralele (formula lui Steiner).

= + M2e2 = M2r2

= M2r2 + M2e2 = + = + = M2r2 + M2 (e2 + f2)

Rezulta astfel momentele de inertie axiale cerute:

Jy = M1b2 - M2r2 - M2f2

Jz = M1a2 - M1r2 - M2e2

Jx = M1 (a2 + b2) - M2r2 M2 (e2 + f2)

Jy = M1b2 - M2r2 M2f2Jz = M1a2 - M2r2 M2e2

Jx = M1 (a2 + b2) - M2r2 M2 (e2 + f2)

Pentru determinarea momentelor de inertie au fost folosite specializate care contin expresiile momentelor de inertie geometrice si masice. Expresiile din tabele au fost adaptate la geometria si la sistemul de referinta in care se lucreaza problema.

Placa dreptunghiulara:

Jxc = Mb2 Jx = Mb2

Jyc = Ma2 Jy = Ma2

Paca circulara: Jx = Jy = MR2

JO = MR2

J = MR2

In Tabelul 2.2. sunt prezentate momentele de inertie pentru corpuri omogene, avand forme geometrice frecvent intalnite.

Tabelul 2.2. Momente de inertie

CorpulReprezentarea geometrica a corpuluiElementul geometricMomentul de inertie masic

Bara rectilinie(1) ml2

(2) ml2

(3) ml2 sin2

Placa drept unghiularaOx mb2

Oy ma2

Cx mb2

Cy ma2

Placa circularaPolul O mR2

Ox

Oy mR2

() mR2 + md2

Placa sector circularPolul O m(a2 + b2)

Ox mb2

Oy ma2

ParalelipedCx m (b2 +c2)

Cy m (a2 +c2)

Cz m (a2 +b2)

CilindruCx

Cy m (3R2 +h2)

Cz mR2

() mR2