Docente: Marco Gaviano (e-mail:[email protected]) Corso di ......(e-mail:[email protected]) 2 Analisi Numerica 1 mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1 Scopo dell’Analisi Numerica? ‘trovare

1

Corso di Laurea in Matematica

Analisi Numerica (2 moduli, 12 crediti, 96 ore, a.a. 2014-2015)

Docente: Marco Gaviano

(e-mail:[email protected])

2

Analisi Numerica 1° mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1

Scopo dell’Analisi Numerica?

‘trovare gli algoritmi che risolvono un

problema matematico’

nel minor tempo possibile

e

la massima accuratezza

3


definizione

del

problema reale

costruzione

del

modello

verifica che la

soluzione trovata

risolve il problema reale

analisi

della

soluzione trovata

formulazione

del

problema matematico

risoluzione

del

problema matematico

Analisi numerica

4

Quanto impiego

per raggiungere in auto

Sassari da Cagliari?

Ipotesi:

Distanza: S=km 220

velocità media: vm=km 80 h

verifica che la

soluzione trovata

risolve il problema reale

T=2,75 h

T=2 ore, 45 minuti

Spazio=velocità*tempo

s=vm*t

L’incognita è il tempo T

T=S/vm

Analisi numerica


5

Obiettivo del corso

Dati i problemi:

•risolvere un sistema di equazioni lineari

•approssimare una funzione reale

•calcolo di un integrale definito

•risoluzione di sistemi di equazioni non lineari

•calcolo di autovalori ed auto vettori

•risoluzione di equazioni differenziali


6

Obiettivo del corso

Lo studente dovrà essere in grado di

•conoscere i risultati teorici

•conoscere i metodi per la loro soluzione.

•scrivere ed implementare gli algoritmi conseguenti

• trovare le soluzioni numeriche

•valutare l’affidabilità delle soluzioni


7

Il modo di operare

•Presentazione dei risultati teorici (esistenza e

unicità della soluzione)

•Studio dei metodi che possono risolvere i

problemi (spesso iterativi).


8

•Traduzione dei metodi in algoritmi ovvero in una

successione finita di passi o istruzioni (in cui ogni

operazione è eseguibile e definita in modo non

ambiguo).

•Studio della convergenza nel caso in cui tutti i

calcoli vengono eseguiti esattamente.


9

•Analisi del comportamento degli algoritmi in presenza di

errori di arrotondamento (Ciò accade usualmente allorché

un algoritmo è implementato su di un calcolatore).

•Presentazione del software commerciale più diffuso per

la risoluzione di problemi numerici.

•Apprendimento di un linguaggio di programmazione


10

Il corso consiste in

• 48 ore di lezioni teoriche

• 48 ore di attività di laboratorio (in cui allo

studente sono assegnati dei problemi da

risolvere o con programmi già disponibili

o con codici da mettere a punto.


11

Programma del corso 1° modulo

•Richiami e nozioni preliminari.

Spazi metrici e normati.

Norme in Rn e norme di matrici.

Spazi a dimensione infinita.

Trasformazioni e operatori.


12

•Classificazione problemi computazionali.

•Analisi degli errori.

Sorgenti di errore.

Rappresentazione dei numeri sul calcolatore.

Propagazione degli errori.

•Complessità computazionale.


13

•Sistemi lineari

Metodi diretti

Metodi iterativi

•Approssimazione di funzioni

Interpolazione

Migliore approssimazione


14

Principale testo di riferimento

V.Comincioli, Analisi Numerica, metodi

modelli applicazioni, McGraw-Hill

Libri Italia, srl, Milano 1998.


15

Altri testi di riferimento

F.Fontanella, A. Pasquali, Calcolo Numerico,

Metodi ed Algoritmi, Ed. Pitagora, Bologna.

J.Stoer, R. Burlisch, Introduzione all'Analisi

Numerica, Ed. Zanichelli.

E.Isaacson, H.B.Keller, Analysis of Numerical

Methods, John Wiley, New York.

G. Rodriguez, Algoritmi Numerici, Pitagora Ed.

Bologna.


16

Testi di riferimento per il laboratorio

W.J Palm III, Matlab 6, Mc Graw-Hill.

W.H. Press et alii., Numerical Recipes, The art of

Scientific Computing, Cambridge Press.


17

Modalità dell’esame del 1° modulo

prove scritte

1 prova

prova orale

1 prova finale per la verifica dell’attività di

laboratorio e della parte teorica.


18

Informazioni utili

Gli schemi delle lezioni e i problemi

assegnati nel laboratorio saranno disponibili

nel sito del Corso di Laurea.


19

Corso di Laurea in Matematica

Analisi Numerica (1° mod., 6 crediti, 48 ore, a.a. 2014-2015, lez.2)

Docente: Marco Gaviano

(e-mail:[email protected])

20

Spazio lineare (definizione)

Per gli insiemi

X={x,y,… } e K={a,b,... },

X insieme di elementi di natura qualsiasi, K un

campo di scalari siano definite le operazioni

somma: x+y, x, yX

prodotto: a*x, aK

Analisi Numerica 1° mod. a.a. 2014-2015, Lezione n.2

21

(proprietà)

1) xX, yX x+y X

2) xX, aK axX

3) x+y=y+x

4) (x+y)+z=x+(y+z)

5) esiste un elemento 0X, tale che

x+0=x xX


22

6) xX esiste l’opposto –x tale che x+(-x)=0

7) a(bx)=(ab)x

8) a(x+y)=ax+ay

9) (a+b)x=ax+bx

10) 1x=x

Allora X è detto uno spazio lineare su K


23

In Analisi Numerica usualmente K è

l’insieme dei numeri reali e X è detto

Spazio Lineare Reale


24

Perché questa definizione?

I matematici costruiscono teorie il più

generale possibile che siano valide per il

maggior numero di situazioni

(teorie astratte o generali)


25

Esempio 1

insieme di tutte le coppie di numeri reali

R2={ (x1,x2) | x1,x2 R}

insieme di tutte le terne di numeri reali

R3={ (x1,x2, x3) | x1,x2, x3 R}

insieme di tutte le n-ple di numeri reali

Rn={ (x1,…, xn) | x1,…, xn R}


26

Esempio 2

Insieme di tutte le matrici 22, M22

Insieme di tutte le matrici nn, Mn n

2,21,2

2,11,1

aa

aaM

nnn

n

aa

aa

M

,1,

,11,1

...

.........

...


27

Esempio 3

Insieme di tutti i polinomi di grado 2

P2(x) = a0+a1x+a2x2

Insieme di tutti i polinomi di grado n

Pn(x) = a0+a1x+…+anxn


28

Esempio 4

Insieme di tutte le funzioni continue nell’intervallo [a,b]

C[a,b]

Insieme di tutte le funzioni con derivata 1a continua

nell’intervallo [a,b]

C(1) [a,b]

Insieme di tutte le funzioni con derivate continue fino ad

m nell’intervallo [a,b]

C(m)[a,b]


29

Esempio 5

Insieme L1(a,b) di tutte le funzioni reali

per cui esiste l’integrale

b

a

dxxf |)(|


30

Esempio 6

Insieme Lp(a,b) di tutte le funzioni reali

per cui esiste l’integrale

b

a

pp dxxf /1)|)(|(


31

(definizione)

Dati gli elementi x1, x2,…,xn dello spazio lineare X

la somma a1x1+ a2 x2,…,+ anxn

con a1,a2,…, anR si chiama

combinazione lineare di x1, x2,…,xn


32

(definizione)

Dati gli elementi x1, x2,…,xn dello spazio lineare) se

a1,a2,…, anR vale l’implicazione

a1x1+ a2 x2,…,+ anxn =0

implica

a1a2=…, =an0

allora x1, x2,…,xn sono detti

linearmente indipendenti


33

(definizione)

Dati gli elementi x1, x2,…,xn dello spazio lineare) se

non sono linearmente indipendenti essi sono detti

linearmente dipendenti


34

(definizione)

Se in uno spazio lineare esistono n elementi

linearmente indipendenti e ogni insieme di n+1

elementi è linearmente dipendente, si dice che

X ha dimensione n


35

(definizione)

Se in uno spazio lineare esistono n elementi

x1, x2,…,xn linearmente indipendenti tali che

ogni elemento y di X può essere espresso come

loro combinazione, cioè

ya1x1+ a2 x2,…,+ anxn

con opportuni a1, a2,…, anR, allora si dice che

gli elementi x1, x2,…,xn costituiscono una

base di X


36

Esempio 1

I vettori x1= (1,0) e x2=(0,1) costituiscono una

base per R2. Infatti, ogni copia (a1,a2) può

essere espressa come

(a1,a2)= a1* (1,0) + a2*(0,1)


37

Esempio 2

I vettori x1= (1,0,0) e x2=(0,1,0) e x3=(0,0,1)

costituiscono una base per R3. Infatti, ogni tripletta

(a1,a2, a3) può essere espressa come

(a1,a2 ,a3)= a1(1,0,0) + a2(0,1,0) +a3(0,0,1)


38

Esempio 3

I vettori x1= (1,0,…,0), x2= (0,1,…,0), …, xn=(0,…,1)

costituiscono una base per Rn. Infatti, ogni elemento

(a1,a2, …,an) può essere espressa come

(a1,a2 ,…,an)= a1(1,0,…0) + a2(0,1,…,0),…, an(0,0,…,1)


39

Esempio 4

sono una base per qualsiasi matrice dello

spazio M22

00

102M

01

003M

10

004M

00

011M

2,21,2

2,11,1

aa

aaM


40

Esempio 5

I polinomi p0(x)=1 e p1(x)= x

sono una base per tutti i polinomi del tipo

P(x)=a0+a1x


41

Esempio 6

I polinomi

p0(x)=1, p1(x)= x e p2(x)=x2


P(x)=a0+a1x+ a2x2


42

Esempio 7

I polinomi

p0(x)=1, p1(x)= x, …,pn(x)=xn


P(x)=a0+a1x+ a2x2+… anxn


43

Esempio 8

L’insieme di tutte le funzioni continue

nell’intervallo [a,b] indicato da

C[a,b]

è uno spazio di dimensione infinita.

(Non esiste un insieme finito di funzioni la cui

combinazione lineare produce una qualsiasi

funzione)


Documents

Docente: Marco Gaviano (e-mail:[email protected]) Corso di ......(e-mail:[email protected]) 2 Analisi Numerica 1 mod, a.a. 2014-2015, Lezione, n.1 Scopo dell’Analisi Numerica? ‘trovare