50

Dreapta si planul in spatiu

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative

Aplicatii

Lectia VII

Dreapta si planul

Oana Constantinescu

Oana Constantinescu Lectia VII

Page 2: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative

Aplicatii

Table of Contents

1 Planul. Ecuatii, pozitii relative

2 Dreapta. Ecuatii, pozitii relative

3 Aplicatii

Oana Constantinescu Lectia VII

Page 3: Dreapta si planul in spatiu

Introducere

In lectia aceasta vom invata sa scriem toate tipurile de ecuatii

pentru plan, dreapta, cat si sa determinam analitic pozitiile relative

a doua plane, a doua drepte si a unei drepte fata de un plan.

In primele cursuri am introdus axiomatic dreapta si planul. Am

precizat axiomele de determinare unica a dreptei, respectiv planului,

cat si consecintele axiomelor de incidenta care ofereau date despre

pozitiile relative ale acestor obiecte geometrice.

E timpul sa vedem cum putem aborda aceste probleme din punct

de vedere analitic.

Page 4: Dreapta si planul in spatiu

Introducere

In lectia aceasta vom invata sa scriem toate tipurile de ecuatii

pentru plan, dreapta, cat si sa determinam analitic pozitiile relative

a doua plane, a doua drepte si a unei drepte fata de un plan.

In primele cursuri am introdus axiomatic dreapta si planul. Am

precizat axiomele de determinare unica a dreptei, respectiv planului,

cat si consecintele axiomelor de incidenta care ofereau date despre

pozitiile relative ale acestor obiecte geometrice.

E timpul sa vedem cum putem aborda aceste probleme din punct

de vedere analitic.

Page 5: Dreapta si planul in spatiu

Introducere

In lectia aceasta vom invata sa scriem toate tipurile de ecuatii

pentru plan, dreapta, cat si sa determinam analitic pozitiile relative

a doua plane, a doua drepte si a unei drepte fata de un plan.

In primele cursuri am introdus axiomatic dreapta si planul. Am

precizat axiomele de determinare unica a dreptei, respectiv planului,

cat si consecintele axiomelor de incidenta care ofereau date despre

pozitiile relative ale acestor obiecte geometrice.

E timpul sa vedem cum putem aborda aceste probleme din punct

de vedere analitic.

Page 6: Dreapta si planul in spatiu

Planul

Fie un plan π. Pentru unica sa determinare, vom considera situatiile:

1 Planul π este unic determinat de un punct A al sau si de doi

vectori necoliniari u, v din spatiul sau liniar director −→π :

π = A + [u, v ].

2 Planul π este unic determinat de trei puncte necoliniare ale

sale: π = (ABC ).

3 Planul π este unic determinat de un punct A al sau si de un

vector normal N ⊥ −→π .

Page 7: Dreapta si planul in spatiu

Planul

π = A + [u, v ]

Page 8: Dreapta si planul in spatiu

Planul

Consideram un reper cartezian (ortonormat, pozitiv)

R = {O; i , j , k} in raport cu care vom exprima coordonatele

punctelor, respectiv vectorilor ce intervin.

Un punct P de vector de pozitie r apartine planului π daca si numai

daca−→AP = r − rA este un vector din planul vectorial director −→π :

∃ t, s ∈ R a.i . r − rA = tu + sv .

Astfel se obtine ecuatia vectoriala a planului:

r = rA + tu + sv , t, s ∈ R.

Gandind planul π ca un subspatiu a�n al lui E 3, amintindu-ne si de

operatia de adunare a punctelor cu vectori, putem scrie ecuatia

a�na a planului:

P = A + tu + sv , t, s ∈ R, ∀P ∈ π.

Page 9: Dreapta si planul in spatiu

Planul

Consideram un reper cartezian (ortonormat, pozitiv)

R = {O; i , j , k} in raport cu care vom exprima coordonatele

punctelor, respectiv vectorilor ce intervin.

Un punct P de vector de pozitie r apartine planului π daca si numai

daca−→AP = r − rA este un vector din planul vectorial director −→π :

∃ t, s ∈ R a.i . r − rA = tu + sv .

Astfel se obtine ecuatia vectoriala a planului:

r = rA + tu + sv , t, s ∈ R.

Gandind planul π ca un subspatiu a�n al lui E 3, amintindu-ne si de

operatia de adunare a punctelor cu vectori, putem scrie ecuatia

a�na a planului:

P = A + tu + sv , t, s ∈ R, ∀P ∈ π.

Page 10: Dreapta si planul in spatiu

Planul

Consideram un reper cartezian (ortonormat, pozitiv)

R = {O; i , j , k} in raport cu care vom exprima coordonatele

punctelor, respectiv vectorilor ce intervin.

Un punct P de vector de pozitie r apartine planului π daca si numai

daca−→AP = r − rA este un vector din planul vectorial director −→π :

∃ t, s ∈ R a.i . r − rA = tu + sv .

Astfel se obtine ecuatia vectoriala a planului:

r = rA + tu + sv , t, s ∈ R.

Gandind planul π ca un subspatiu a�n al lui E 3, amintindu-ne si de

operatia de adunare a punctelor cu vectori, putem scrie ecuatia

a�na a planului:

P = A + tu + sv , t, s ∈ R, ∀P ∈ π.

Page 11: Dreapta si planul in spatiu

Planul

Exprimand vectorii din ecuatia precedenta in raport cu baza

reperului ales, adica presupunand ca

r = xi + y j + zk ,

rA = x0i + y0j + z0k ,

u = u1i + u2j + u3k ,

v = v1i + v2j + v3k ,

folosind faptul ca i , j , k sunt liniar independenti, se obtin ecuatiile

parametrice ale planului π :x = x0 + tu1 + sv1,y = y0 + tu2 + sv2,z = z0 + tu3 + sv3,

s, t ∈ R.

Page 12: Dreapta si planul in spatiu

Planul

Amintim ca trei vectori sunt coplanari daca si numai daca produsul

lor mixt se anuleaza. Deci vectorii−→AP = r − rA, u, v sunt coplanari

daca si numai daca

(r − rA, u, v) = 0.

Folosind formula de calcul pentru produsul mixt se obtine ecuatia

planului sub forma de determinant:∣∣∣∣∣∣x − x0 y − y0 z − z0u1 u2 u3v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Dezvoltand determinantul se obtine o ecuatie de tipul:

ax + by + cz + d = 0, a2 + b2 + c2 6= 0,

numita ecuatia generala a planului, sau ecuatia canonica a planului.

Page 13: Dreapta si planul in spatiu

Planul

π = (ABC )

Acest caz se reduce la cel precedent considerand de exemplu

u =−→AB = rB − rA, v =

−→AC = rC − rA. Se obtin astfel, pentru

planul π, ecuatia vectoriala:

r = rA + t (rB − rA) + s (rC − rA) , s, t ∈ R ⇔r = (1− t − s)rA + trB + srC , s, t ∈ R,

ecuatiile parametrice:x = xA + t (xB − xA) + s (xC − xA) ,y = yA + t(yB − yA) + s (yC − yA) ,z = zA + t (zB − zA) + s (zC − zA, )

t, s ∈ R

cat si ecuatia sub forma de determinant:∣∣∣∣∣∣x − xA y − yA z − zAxB − xA yB − yA zB − zAxC − xA yC − yA zC − zA

∣∣∣∣∣∣ = 0.

Page 14: Dreapta si planul in spatiu

Planul

Ultima ecuatie se poate scrie si in forma:∣∣∣∣∣∣∣∣x y z 1

xA yA zA 1

xB yB zB 1

xC yC zC 1

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0.

In cazul particular in care A(a, 0, 0), B(0, b, 0) si C (0, 0, c)reprezinta punctele de intersectie ale planului cu axele de

coordonate, se obtine ecuatia planului prin taieturi:

x

a+

y

b+

z

c− 1 = 0.

Page 15: Dreapta si planul in spatiu

Planul

A ∈ π, N ⊥ −→π

Page 16: Dreapta si planul in spatiu

Planul

In aceasta situatie P(r) ∈ π ⇔ N ⊥−→AP ⇔ ecuatia vectoriala a

planului:

< r − rA,N >= 0.

Daca N are coordonatele l ,m, n in raport cu R si

P(x , y , z), A(x0, y0, z0), atunci ecuatia precedenta devine:

l(x − x0) + m(y − y0) + n(z − z0)= 0 ⇔l x + my + nz + p = 0.

Reobtinem astfel ecuatia generala a planului.

Sa remarcam ca in ecuatia generala a unui plan, coe�cientii lui

x , y , z sunt coordonatele vectorului normal planului.

Page 17: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Exemple

Planele de coordonate:(xOy) : z = 0

(yOz) : x = 0

(zOx) : y = 0

Plane paralele cu planele de coordonate:π q (xOy) : z = c

π q (yOz) : x = a

π q (zOx) : y = b

a, b, c ∈ R

Plane perpendiculare pe planele de coordonate:π⊥ (xOy) : ax + by + d = 0

π⊥ (yOz) : by + cz + d = 0

π⊥ (zOx) : ax + cz + d = 0

Page 18: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Exemple

Planele de coordonate:(xOy) : z = 0

(yOz) : x = 0

(zOx) : y = 0

Plane paralele cu planele de coordonate:π q (xOy) : z = c

π q (yOz) : x = a

π q (zOx) : y = b

a, b, c ∈ R

Plane perpendiculare pe planele de coordonate:π⊥ (xOy) : ax + by + d = 0

π⊥ (yOz) : by + cz + d = 0

π⊥ (zOx) : ax + cz + d = 0

Page 19: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Exemple

Planele de coordonate:(xOy) : z = 0

(yOz) : x = 0

(zOx) : y = 0

Plane paralele cu planele de coordonate:π q (xOy) : z = c

π q (yOz) : x = a

π q (zOx) : y = b

a, b, c ∈ R

Plane perpendiculare pe planele de coordonate:π⊥ (xOy) : ax + by + d = 0

π⊥ (yOz) : by + cz + d = 0

π⊥ (zOx) : ax + cz + d = 0

Page 20: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Exemple

Plane ce conµin axele de coordonate:π 3 Oz : ax + by = 0

π 3 Ox : by + cz = 0

π 3 Oy : ax + cz = 0

Plan prin origine:

π 3 O : ax + by + cz = 0.

Page 21: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Exemple

Plane ce conµin axele de coordonate:π 3 Oz : ax + by = 0

π 3 Ox : by + cz = 0

π 3 Oy : ax + cz = 0

Plan prin origine:

π 3 O : ax + by + cz = 0.

Page 22: Dreapta si planul in spatiu

Pozitiile relative ale planelor

Fie doua plane de ecuatii generale

(π1) :A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

(π2) :A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Intersectia lor poate �:

1 o dreapta (atunci cand sistemul format din cele doua ecuatii

este compatibil simplu nedeterminat)

⇔ rang

(A1 B1 C1

A2 B2 C2

)= 2;

2 un plan (cele doua plane coincid) ⇔ A2

A1= B2

B1= C2

C1= D2

D1;

3 multimea vida (planele sunt paralele deci au normalele

paralele) ⇔ A2

A1= B2

B1= C2

C16= D2

D1.

Page 23: Dreapta si planul in spatiu

Aplicatie

Sa se determine unghiul dintre planele

(π1) :A1x + B1y + C1z + D1 = 0,

(π2) :A2x + B2y + C2z + D2 = 0.

Indicatii:

Page 24: Dreapta si planul in spatiu

Aplicatie

Notam cu ϕ masura unghiului diedru al celor doua plane.

Construind ca in �gura unghiul diedru si normalele la �ecare plan in

puncte convenabil alese, observam ca ϕ este suplementul unghiului

dintre normalele la plane.

Dar vectorii normali planelor sunt N1(A1,B1,C1) si N2(A2,B2,C2).In acest caz unghiul dintre normale se calculeaza prin

cosψ =A1A2 + B1B2 + C1C2√

A2

1+ B2

1+ C 2

1

√A2

2+ B2

2+ C 2

2

si ϕ = π − ψ.In particular, cele doua plane sunt perpendiculare daca si numai

daca

A1A2 + B1B2 + C1C2 = 0.

Page 25: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative

Aplicatii

Toate tipurile de ecuatii ale dreptei

O dreapta d este unic determinata de:

1 un punct al sau A ∈ d si un vector director a ∈−→d , a 6= 0;

2 doua puncte A 6= B ale sale;

3 doua plane distincte care o contin: π1 ∩ π2 = d ;

4 un punct al sau A ∈ d si o directie planara normala dreptei:−→π = [u, v ] ⊥

−→d .

Vom determina toate tipurile de ecuatii pentru dreapta d in cele

patru situatii de mai sus: ecuatia vectoriala, ecuatiile parametrice,

ecuatiile canonice si ecuatiile generale.

Oana Constantinescu Lectia VII

Page 26: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative

Aplicatii

Toate tipurile de ecuatii ale dreptei

O dreapta d este unic determinata de:

1 un punct al sau A ∈ d si un vector director a ∈−→d , a 6= 0;

2 doua puncte A 6= B ale sale;

3 doua plane distincte care o contin: π1 ∩ π2 = d ;

4 un punct al sau A ∈ d si o directie planara normala dreptei:−→π = [u, v ] ⊥

−→d .

Vom determina toate tipurile de ecuatii pentru dreapta d in cele

patru situatii de mai sus: ecuatia vectoriala, ecuatiile parametrice,

ecuatiile canonice si ecuatiile generale.

Oana Constantinescu Lectia VII

Page 27: Dreapta si planul in spatiu

Dreapta

d = A + [a]

P(r) ∈ d ⇔−→AP ∈

−→d ⇔ r − rA = ta, t ∈ R. Am obtinut ecuatia

vectoriala a dreptei:

r = rA + ta, t ∈ R.

Ecuatia a�na a dreptei este:

P = A + ta, t ∈ R.

Page 28: Dreapta si planul in spatiu

Dreapta

Daca presupunem ca in raport cu un reper ales avem

P(x , y , z)⇔ r = xi + y j + zk , A(x0, y0, z0) si a(l ,m, n), atunciecuatia vectoriala determina urmatoarele ecuatii parametrice ale

dreptei d : x = x0 + tl

y = y0 + tm

z = z0 + tn

, t ∈ R.

Exprimand parametrul t din toate cele trei ecuatii si egaland

rezultatele, obtinem ecuatiile canonice:

x − x0l

=y − y0m

=z − z0

n(= t) .

Eliminand parametrul t din ecuatiile parametrice, ori considerand

sistemul format din cate doua ecuatii canonice, dreapta apare ca

intersectie de doua planuri:{mx − ly + (ly0 −mx0) = 0,

ny −mz + (mz0 − ny0) = 0.

Page 29: Dreapta si planul in spatiu

Dreapta

d = AB, A 6= B

In toate ecuatiile precedente consideram vectorul director al dreptei

a =−→AB = rB − rA si obtinem:

ecuatia vectoriala:

r = (1− t)rA + trB , t ∈ R;

ecuatiile parametrice:x = (1− t)xA + txB ,y = (1− t)yA + tyB ,z = (1− t)zA + tzB ,

t ∈ R;

ecuatiile canonice:

x − xAxB − xA

=y − yAyB − yA

=z − zAzB − zA

.

Page 30: Dreapta si planul in spatiu

Dreapta

d = π1 ∩ π2

Daca (π1) : A1x +B1y +C1z +D1 = 0, (A1)2 +(B1)

2 +(C1)2 6= 0

si (π2) : A2x + B2y + C2z + D2 = 0, (A2)2 + (B2)

2 + (C2)2 6= 0,

sistemul {A1x + B1y + C1z + D1 = 0

A2x + B2y + C2z + D2 = 0

determina o dreapta daca si numai daca

Page 31: Dreapta si planul in spatiu

Dreapta

rang

(A1 B1 C1

A2 B2 C2

)= 2.

Observam ca directia dreptei este N1 × N2, unde N1(A1,B1,C1) si

N2(A2,B2,C2) sunt vectorii normali celor doua plane.

Pentru a determina ecuatiile parametrice ale dreptei d se rezolva

efectiv sistemul de ecuatii liniare de mai sus, parametrul dreptei

ne�ind decat necunoscuta secundara a sistemului. Din ecuatiile

parametrice se obtin pe calea uzuala cele canonice.

De exemplu, axele de coordonate au ecuatiile:

Ox :

{y = 0

z = 0, Oy :

{z = 0

x = 0, Oz :

{x = 0

y = 0.

Page 32: Dreapta si planul in spatiu

Dreapta

rang

(A1 B1 C1

A2 B2 C2

)= 2.

Observam ca directia dreptei este N1 × N2, unde N1(A1,B1,C1) si

N2(A2,B2,C2) sunt vectorii normali celor doua plane.

Pentru a determina ecuatiile parametrice ale dreptei d se rezolva

efectiv sistemul de ecuatii liniare de mai sus, parametrul dreptei

ne�ind decat necunoscuta secundara a sistemului. Din ecuatiile

parametrice se obtin pe calea uzuala cele canonice.

De exemplu, axele de coordonate au ecuatiile:

Ox :

{y = 0

z = 0, Oy :

{z = 0

x = 0, Oz :

{x = 0

y = 0.

Page 33: Dreapta si planul in spatiu

Dreapta

rang

(A1 B1 C1

A2 B2 C2

)= 2.

Observam ca directia dreptei este N1 × N2, unde N1(A1,B1,C1) si

N2(A2,B2,C2) sunt vectorii normali celor doua plane.

Pentru a determina ecuatiile parametrice ale dreptei d se rezolva

efectiv sistemul de ecuatii liniare de mai sus, parametrul dreptei

ne�ind decat necunoscuta secundara a sistemului. Din ecuatiile

parametrice se obtin pe calea uzuala cele canonice.

De exemplu, axele de coordonate au ecuatiile:

Ox :

{y = 0

z = 0, Oy :

{z = 0

x = 0, Oz :

{x = 0

y = 0.

Page 34: Dreapta si planul in spatiu

Aplicatie

Sa se determine ecuaµiile canonice ale dreptei

d :

{2x − 3y − 3z − 9 = 0

x − 2y + z + 3 = 0.

Rezolvare: Rezolvand sistemul obtinem ecuatiile parametrice

d :

x = 9t,y = 5t,z = t − 3,

t ∈ R si de aici imediat ecuatiile canonice

d : x9

= y5

= z+3

1.

Page 35: Dreapta si planul in spatiu

Dreapta

A ∈ d si −→π = [u, v ] ⊥−→d

Ecuatiile dreptei se obtin ca in primul caz, stiind un punct al ei A si

vectorul director u × v .

Page 36: Dreapta si planul in spatiu

Aplicatie

Sa se scrie ecuatiile dreptei d ′ care trece prin punctul A(2,−5, 3) si

este:

a) paralela cu axa Oz ;

b) paralela cu dreapta d : x−14

= y−2−6 = z+3

9;

c) paralela cu dreapta d :

{2x − y + 3z + 1 = 0

5x + 4y − z − 7 = 0.

Rezovare a) d ′ :

{x − 2 = 0,y + 5 = 0,

sau d ′ : x−20

= y+5

0= z−3

1.

b) d ′ : x−24

= y+5

−6 = z−39.

c) Avem nevoie de un vector director pentru dreapta d ′. Acestaeste produsul vectorilor N1(2,−1, 3) si N2(5, 4,−1), vectoriinormali planelor ce determina dreapta data. Se obtine

N1 × N2 = −11i + 17j + 13k , deci: d ′ : x−2−11 = y+5

17= z−3

13.

Page 37: Dreapta si planul in spatiu

Pozitiile relative a doua drepte in spatiu

Fie d1 = A1 + [a1] si d2 = A2 + [a2] doua drepte in spatiu.

Dreptele d1si d2 sunt coplanare daca si numai daca vectorii

a1, a2,−−−→A1A2 sunt coplanari ⇔ (a1, a2,

−−−→A1A2) = 0.

Pentru a veri�ca daca dreptele sunt paralele sau nu, se determina

daca vectorii a1 si a2 sunt sau nu coliniari, calculand produsul lor

vectorial. Iar pentru a distinge intre cazurile drepte paralele si

drepte confundate se veri�ca si coliniaritatea vectorilor a1,−−−→A1A2.

Obtinem astfel:

Page 38: Dreapta si planul in spatiu

Pozitiile relative a doua drepte in spatiu

Theorem

Dreptele d1 si d2 sunt:

1) necoplanare ⇔ (a1, a2, rA2− rA1

) 6= 0

2) concurente ⇔

{(a1, a2, rA2

− rA1) = 0 (coplanare)

a1 × a2 6= 0 (neparalele)

3) paralele ⇔

{a1 × a2 = 0

a1 × (rA2− rA1

) 6= 0 (distincte)

4) confundate ⇔

{a1 × a2 = 0

a1 × (rA2− rA1

) = 0

Page 39: Dreapta si planul in spatiu

Pozitiile relative ale unei drepte fata de un plan

Fie drepta d = A + [a] si planul π = B +−→π , cu N ⊥ −→π .

Atunci:

d ‖ π ⇔< a,N >= 0 si <−→AB,N >6= 0;

d ⊂ π ⇔<−→AB,N >= 0;

d ∩ π = {P} ⇔< a,N >6= 0.

Page 40: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative

Aplicatii

Aplicatii

Example

1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul

π : 4x + 3y − z + 5 = 0.

Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu

vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiilex−34

= y+2

3= z−5−1 .

Example

2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta

d : x−13

= y−2 = z+1

4.

Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia

dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica

B(7729,−32

29, 3529

). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d

si conditia−→AB ⊥

−→d .Oana Constantinescu Lectia VII

Page 41: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative

Aplicatii

Aplicatii

Example

1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul

π : 4x + 3y − z + 5 = 0.

Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu

vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiilex−34

= y+2

3= z−5−1 .

Example

2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta

d : x−13

= y−2 = z+1

4.

Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia

dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica

B(7729,−32

29, 3529

). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d

si conditia−→AB ⊥

−→d .Oana Constantinescu Lectia VII

Page 42: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative

Aplicatii

Aplicatii

Example

1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul

π : 4x + 3y − z + 5 = 0.

Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu

vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiilex−34

= y+2

3= z−5−1 .

Example

2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta

d : x−13

= y−2 = z+1

4.

Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia

dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica

B(7729,−32

29, 3529

). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d

si conditia−→AB ⊥

−→d .Oana Constantinescu Lectia VII

Page 43: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative

Aplicatii

Aplicatii

Example

1) Scrieti ecuatiile perpendicularei duse din A(3,-2,5) pe planul

π : 4x + 3y − z + 5 = 0.

Rezolvare: vectorul director al perpendicularei este coliniar cu

vectorul normal planului dat, astfel se obtin ecuatiilex−34

= y+2

3= z−5−1 .

Example

2) Scrieti ecuatiile perpendicularei din A(3,1,2) pe dreapta

d : x−13

= y−2 = z+1

4.

Rezolvare: Piciorul perpendicularei din A pe d este intersectia

dintre planul prin A perpendicular pe d si dreapta d, adica

B(7729,−32

29, 3529

). Sau se folosesc ecuatiile parametrice ale dreptei d

si conditia−→AB ⊥

−→d .Oana Constantinescu Lectia VII

Page 44: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative

Aplicatii

Aplicatii

Example

3) Sa se determine proiectia dreptei d pe planul π, dacad : x

4= y−4

3= z+1

−2 , π : x − y + 3z + 8 = 0.

Rezolvare: Se veri�ca faptul ca dreapta d nu este perpendiculara

pe planul π (in caz contrar proiectia ar consta dintr-un singur

punct, proiectia oricarui punct al dreptei pe planul dat). Proiectia

dreptei se obtine ca intersectia dintre planul ce contine dreapa d,

perpendicular pe planul π (numit plan proiector al dreptei d) si

planul π. Planul proiector este unic determinat de un punct al

dreptei, de vectorul director al dreptei si de vectorul normal planului

π. Se obtin ecuatiile: {x − 2y − z + 8 = 0,

x − y + 3z + 8 = 0.Oana Constantinescu Lectia VII

Page 45: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative

Aplicatii

Aplicatii

Example

3) Sa se determine proiectia dreptei d pe planul π, dacad : x

4= y−4

3= z+1

−2 , π : x − y + 3z + 8 = 0.

Rezolvare: Se veri�ca faptul ca dreapta d nu este perpendiculara

pe planul π (in caz contrar proiectia ar consta dintr-un singur

punct, proiectia oricarui punct al dreptei pe planul dat). Proiectia

dreptei se obtine ca intersectia dintre planul ce contine dreapa d,

perpendicular pe planul π (numit plan proiector al dreptei d) si

planul π. Planul proiector este unic determinat de un punct al

dreptei, de vectorul director al dreptei si de vectorul normal planului

π. Se obtin ecuatiile: {x − 2y − z + 8 = 0,

x − y + 3z + 8 = 0.Oana Constantinescu Lectia VII

Page 46: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative

Aplicatii

Aplicatii

Example

4) A�ati coordonatele simetricelor punctului A fata de planul π,respectiv dreapta d, in cazurile urmatoare: a) A(-1,2,0),

π : x + 2y − z = 0; b) A(-1,2,0), d : x+2

1= y+1

0= z−1−1 ; c)

A(3,1,2) si d : x−22

= y2

= z+1

1; d) A(1,2,3) si

π : 2x + y + z − 1 = 0.

Rezolvare: Se determina mai intai coordonatele lui A0, piciorulperpendicularei din A pe plan, respectiv dreapta, iar coordonatele

simetricului A′ se calculeaza din conditia ca A0 este mijlocul

segmentului (AA′). a) (−7

3,−2

3, 43); b) (−1,−4, 0); c)

(379, 199,−22

9); d) (-3,0,1).

Oana Constantinescu Lectia VII

Page 47: Dreapta si planul in spatiu

Planul. Ecuatii, pozitii relativeDreapta. Ecuatii, pozitii relative

Aplicatii

Aplicatii

Example

4) A�ati coordonatele simetricelor punctului A fata de planul π,respectiv dreapta d, in cazurile urmatoare: a) A(-1,2,0),

π : x + 2y − z = 0; b) A(-1,2,0), d : x+2

1= y+1

0= z−1−1 ; c)

A(3,1,2) si d : x−22

= y2

= z+1

1; d) A(1,2,3) si

π : 2x + y + z − 1 = 0.

Rezolvare: Se determina mai intai coordonatele lui A0, piciorulperpendicularei din A pe plan, respectiv dreapta, iar coordonatele

simetricului A′ se calculeaza din conditia ca A0 este mijlocul

segmentului (AA′). a) (−7

3,−2

3, 43); b) (−1,−4, 0); c)

(379, 199,−22

9); d) (-3,0,1).

Oana Constantinescu Lectia VII

Page 48: Dreapta si planul in spatiu

Aplicatii

Example

5) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor

(d1)x−71

= y−32

= z−9−1 si (d2)

x−3−7 = y−1

2= z−1

3.

Rezolvare: Veri�cam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare.

Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind

ecuatiile parametrice ale celor doua drepte. Fie PQ perpendiculara

comuna, P ∈ d1 si Q ∈ d2 ⇒ P(t + 7, 2t + 3,−t + 9) si

Q(−7s + 3, 2s + 1, 3s + 1). Impunand ca vectorul director−→PQ sa

�e perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date

se determina t, s si se obtine−→PQ(2, 1, 4). Apoi se scriu ecuatiile

dreptei prin P, de directie−→PQ.

Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre

doua plane π1 si π2, π1 �ind planul proiector al dreptei (d1) pe

planul ce contine (d2) si este paralel cu (d1), iar π2 este planul

proiector al dreptei (d2) pe planul ce contine (d1) si este paralel cu

(d2). Se obtin ecuatiile: x−12

= y1

= z+3

4.

Page 49: Dreapta si planul in spatiu

Aplicatii

Example

5) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor

(d1)x−71

= y−32

= z−9−1 si (d2)

x−3−7 = y−1

2= z−1

3.

Rezolvare: Veri�cam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare.

Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind

ecuatiile parametrice ale celor doua drepte. Fie PQ perpendiculara

comuna, P ∈ d1 si Q ∈ d2 ⇒ P(t + 7, 2t + 3,−t + 9) si

Q(−7s + 3, 2s + 1, 3s + 1). Impunand ca vectorul director−→PQ sa

�e perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date

se determina t, s si se obtine−→PQ(2, 1, 4). Apoi se scriu ecuatiile

dreptei prin P, de directie−→PQ.

Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre

doua plane π1 si π2, π1 �ind planul proiector al dreptei (d1) pe

planul ce contine (d2) si este paralel cu (d1), iar π2 este planul

proiector al dreptei (d2) pe planul ce contine (d1) si este paralel cu

(d2). Se obtin ecuatiile: x−12

= y1

= z+3

4.

Page 50: Dreapta si planul in spatiu

Aplicatii

Example

5) Scrieti ecuatiile perpendicularei comune a dreptelor

(d1)x−71

= y−32

= z−9−1 si (d2)

x−3−7 = y−1

2= z−1

3.

Rezolvare: Veri�cam initial ca cele doua drepte sunt necoplanare.

Metoda 1: Determinam picioarele perpendicularei comune folosind

ecuatiile parametrice ale celor doua drepte. Fie PQ perpendiculara

comuna, P ∈ d1 si Q ∈ d2 ⇒ P(t + 7, 2t + 3,−t + 9) si

Q(−7s + 3, 2s + 1, 3s + 1). Impunand ca vectorul director−→PQ sa

�e perpendicular pe ambii vectori directori ai celor doua drepte date

se determina t, s si se obtine−→PQ(2, 1, 4). Apoi se scriu ecuatiile

dreptei prin P, de directie−→PQ.

Metoda 2: Perpendiculara comuna se obtine ca intersectia dintre

doua plane π1 si π2, π1 �ind planul proiector al dreptei (d1) pe

planul ce contine (d2) si este paralel cu (d1), iar π2 este planul

proiector al dreptei (d2) pe planul ce contine (d1) si este paralel cu

(d2). Se obtin ecuatiile: x−12

= y1

= z+3

4.