DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Definisi Persamaan Differensial Persamaan Diferensial Parsial Adalah persamaan differensial yang didalamnya terdapat lebih dari satu variabel

DTH1B3 - MATEMATIKA

TELEKOMUNIKASI I

Persamaan Differensial

By : Dwi Andi Nurmantris

Capaian Pembelajaran

Mampu memahami dan menyelesaikan Persamaan Diferensial

Materi Pembelajaran

1. Definisi Persamaan Diferensial 2. Bentuk Penulisan persamaan diferensial 3. Solusi Persamaan Diferensial

Definisi Persamaan Differensial

Persamaan Diferensial adalah suatu pesamaan yang memuat derivatif atau diferensial

0,...),,,(2

2

dx

yd

dx

dyyxF


Contoh:

1. 2dy

xdx

2

22. 5 6 0

d y dy

dxdx

3. ' 6xy y

24. ''' 2( '') ' cosy y y x

5. '' ' siny y x

6. ' 2'

yyy x

y

7.z z

z xx y

2 22

2 28.

z zx y

x y


Persamaan Diferensial Biasa

Adalah persamaan differensial yang didalamnya terdapat satu variabel bebas dan satu variabel tak bebas

32 xdx

dy

032

2

aydx

dy

dx

yd

36

4

3

3

y

dx

dy

dx

yd

Contoh :

y adalah variabel tak bebas and x adalah variabel bebas,

1.

2.

3.


Persamaan Diferensial Parsial

Adalah persamaan differensial yang didalamnya terdapat lebih dari satu variabel bebas dan satu variabel tak bebas

Contoh :

04

4

4

4

t

u

x

u

t

u

t

u

x

u

2

2

2

2

u adalah variabel tak bebas dan x and t adalah variabel

bebas

1.

2.


Tingkat (Order)

Contoh :

Tingkat (order) dari PD ditentukan oleh tingkat derivatif tertinggi dalam PD tersebut

Differential Equation ORDER

32 xdx

dy

0932

2

ydx

dy

dx

yd

36

4

3

3

y

dx

dy

dx

yd

1

2

3


Pangkat (derajad)

Contoh :

Pangkat (derajad, degree) dari PD adalah pangkat dari derivatif tingkat tertinggi setelah PD tersebut ditulis dalam bentuk polynomial dalam derivatif

032

2

aydx

dy

dx

yd

36

4

3

3

y

dx

dy

dx

yd

03

53

2

2

dx

dy

dx

yd

1

1

3

Differential Equation Degree


Persamaan Diferensial Linear

Contoh :

A differential equation is linear, if :

1. dependent variable and its derivatives are of degree one,

2. coefficients of a term does not depend upon dependent variable.

Differential Equation Linear/Non-Linear

.0932

2

ydx

dy

dx

ydlinear.

36

4

3

3

y

dx

dy

dx

yd non - linear (because in 2nd term is not of degree one)

3

2

22 x

dx

dyy

dx

ydx

non - linear because in 2nd term coefficient depends on y.

Latihan Soal

Bentuk Penulisan Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial Biasa Orde 1

0),,( dx

dyyxf

yxfdx

dy,

xgyxadx

dyxa 01

xgyxayxa 01 '

0,, dyyxNdxyxM

Bentuk Umum

Bentuk Turunan/ Derivative

Bentuk Diferensial

Bentuk Penulisan Persamaan Diferensial

Persamaan Diferensial Biasa Orde 2

0),,,(2

2

dx

yd

dx

dyyxf

dx

dyyxf

dx

yd,,

2

2

xgyxadx

dyxa

dx

ydxa 012

2

2

xgyxayxayxa 012 '"

Bentuk Umum

Bentuk Turunan/ Derivative

Solusi Persamaan Diferensial Orde 1

1. PD variabel Terpisah 2. PD yang Homogen 3. PD Eksak 4. PD Linear 5. PD Bernoulli


PD dikatakan PD variabel terpisah jika

bisa dibentuk dalam :

0,, dyyxNdxyxM

01221 dyygxfdxygxf

02

1

2

1 dyyg

ygdx

xf

xfSolusinya :

Dengan Cara Diintegralkan

dikedua ruas

0

2

1

2

1 dyyg

ygdx

xf

xf

cdyyg

ygdx

xf

xf

2

1

2

1



Solusinya :

Contoh :

342 xdx

dyx

23

4242

xxx

x

dx

dy

dxxx

dy

24

2

dxx

xdy 24

2

cxxy 3

3

4ln2

Selesaikan persamaan :



Solusinya :

Contoh :

325 xdx

dy

5

3

5

2

5

32

x

x

dx

dy

Selesaikan persamaan

dengan batasan y = 7/5 ketika x = 2

dxxdy

5

3

5

2

dxxdy

5

3

5

2

cxxcxxy

5

3

5

1

5

3

25

2 22

Dengan memasukkan nilai batas:

Diperoleh C=1 c )2(5

3)2(

5

1

5

7 2

15

3

5

1 2 xxySehingga :



Solusinya :

Contoh :

14 2 ydx

dyxy

11

42

dx

dy

y

xy


dxx

dyy

y 1

1

42

dxx

dyy

y 1

1

42

dx

xdy

y

y 1

1

42

21

2 ln1ln2 cxcy

12

2 ln1ln2 ccxy

c

x

y

22 1ln

cex

y

ln

122



PD dikatakan PD Homogen jika

0,, dyyxNdxyxM

),(dan ),( yxNyxMdenganMerupakan fungsi homogen yang berderajat sama.

2derajat homogen 2),(

2derajat homogen ),(

0 2 )(

22

22

xyyxN

yxyxM

dyxydxyx

:Contoh

),(),( yxfkkykxf n

fungsi homogen

n disebut derajad kehomogenan



1derajat homogen )3(

3),(

3),(

1

1

yxk

kykxkykxf

yxyxf

:Contoh

2derajat homogen )2(

2

)(2)(),(

2),(

2

222

22222

22

22

yxyxk

ykxykxk

kykxkykxkykxf

yxyxyxf

:Contoh

homogen fungsibukan)1375(

1375),(

1375),(

3

yxk

kykxkykxf

yxyxf

:Contoh

n



Solusinya :



Contoh :

Selesaikan persamaan:

Solusinya :


LATIHAN SOAL

)3(

4.1

yx

y

dx

dy


dyxydxxdy 24.2

0 2 )(.3 22 dyxydxyx

Documents

DTH1B3 - MATEMATIKA TELEKOMUNIKASI I · Definisi Persamaan Differensial Persamaan Diferensial Parsial Adalah persamaan differensial yang didalamnya terdapat lebih dari satu variabel