UNIVERSITATEA “BABEŞ-BOLYAI” CLUJ-NAPOCAFACULTATEA DE ŞTIINŢE ECONOMICE

ŞI GESTIUNEA AFACERILOR

NOTIŢE DE CURS

MODELE CLASICE DE PREVIZIUNE IN ECONOMIE. ECONOMETRIA SERIILOR DE TIMP

1

Conf. Univ. Dorina Lazar

Descrierea cursuluiCursul îşi propune o introducere în problematica econometriei financiare. Are ca şi obiectiv însuşirea metodelor econometrice utile în modelarea variabilelor din domeniul economic respectiv în testarea unor ipoteze clasice formulate de teoria economica. Tematica disciplinei cuprinde tehnici statistice de analiză şi previziune precum şi metode specifice econometriei seriilor de timp.

Dintre tehnicile clasice de previziune se abordează modelele liniare univariate de tip autoregresiv-medie mobilă respectiv modele de tip Garch. Din econometria seriilor de timp sunt dezbătute tehnici ce îşi găsesc aplicabilitate directă în finanţe, macroeconomie, managementul riscului, in principal in previziune si in modelarea relatiilor in economie, cand baza de date consta in evolutia unor indicatori in timp. Baze de date pentru serii de timp- www.bnr.ro. (In buletinele lunare gasim evolutii lunare a principalilor indicatori macroeconomici si financiari); caiete de studii cu diverse studii econometrice (la publicatii)- Eurostat: http://epp.eurostat.ec.europa.eu/- Institutul Roman de Statistica- http://www.economicswebinstitute.org/ecdata.htm- http://research.eco5.com/index.php?parent=2&subparent=38- http://www.economagic.com/- http://datacentre2.chass.utoronto.ca/pwt/alphacountries.html- http://www1.american.edu/cas/econ/student/datalinks.htm- http://www.bized.co.uk/dataserv/freedata.htm- http://www.federalreserve.gov/econresdata/releases/statisticsdata.htm- http://www.conference-board.org/economics/database.cfm#1- Time series data library http://www-personal.buseco.monash.edu.au/~hyndman/TSDL/- http://www.ceicdata.com/;- http://www.forecasters.org/ - pagina International Institute of Forecasters- http://www-marketing.wharton.upenn.edu/forecast/data.html- http://econdata.net/- evolutie indici bursieri http://finance.yahoo.com/- istoric curs actiuni http://www.tranzactiibursiere.ro/detalii/istoric- www.kmarket.ro; www.insse.ro- http://research.eco5.com/index.php?parent=2&subparent=38

Softuri utile: Eviews, Stata, R (cran.r-project.org/; este free), S-Plus: S-PLUS® 8.0 for Windows Student Editionhttp://elms03.eacademy.com/splus/index.cfm?loc=estore/soft_main&store_id=1&parentID=112).

2

PARTEA I: Metode statistice de netezire. Teste de radacină unitate1. Metode statistice de netezire (filtre). 2. Estimarea tendintei utilizând filtre de netezire si functii netede in timp 3.Componenta sezonieră. Desesonalizarea datelor4. Cicluri economice 5. Metode de netezire exponenţială6. Teste de nestaţionalitate (teste de radacina unitate, „unit roots”)

PARTEA 2: Modelarea si previziunea seriilor financiare prin modele de tip autoregresiv medie mobila ARIMA(p,d, q) respectiv GARCH(p,q)

1. Principalele concepte pe care se fundamentează metodologia Box-Jenkins2. Modelul autoregresiv. Proprietăţile funcţiei de autocorelaţie respectiv de autocorelaţie parţială 3. Modelul medie mobilă. Proprietăţile funcţiei de autocorelaţie respectiv de autocorelaţie parţială 4. Etapele elaborării unui model ARIMA (autoregresiv integrat medie mobilă)5. Elaborarea previziunilor6. Extinderi ale modelelor ARIMA

PARTEA 3: Elaborarea modelor econometrice pentru serii financiare staţionare respectiv nestaţionare. Valoarea la risc

1. Elaborarea unui model econometric, pentru serii staţionare2. Regresii cu serii de timp. Regresii false3. Analiza cauzalităţii dintre variabile4. Modele vector autoregresiv VAR5. Serii cointegrate. Metodologia Engle-Granger (cointegrare într-o singură ecuaţie)6. Cointegrare în sisteme de ecuaţii. Metodologia Johansen

Materiale bibliografice 1. Pecican, E.S., Econometria pentru… economişti, Editura Economică, 2004.2. Harris R., Sollis R., Applied time series modeling and forecasting, John Wiley &

Sons, 2003.3. Makridakis S., Wheelwright S.C., Hyndman R.J., Forecasting. Methods and

Applications, John Wiley & Sons Inc., 1998.4. Mills, T.C., The econometric modelling of financial time series, Cambridge

University Press, 1999. Notite de curs online 1. TimeSeries for Macroeconomics and Finance, Cochrane J. http://faculty.chicagogsb.edu/john.cochrane/research/Papers/time_series_book.pdf

3

2. Econometrie des Series Temporelles (cu exemple rezolvate in Eviews)http://www.univ-orleans.fr/deg/masters/ESA/CH/churlin_E.htm#_Cours_d’Econométrie_des_Séries_Temp3. Time series econometrics http://faculty.washington.edu/ezivot/econ584/584notes.htm4. Cours de series temporelles (si Eviews)http://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TS1.pdfhttp://perso.univ-rennes1.fr/arthur.charpentier/TS2.pdf5. Note Econometrie Financiarahttp://home.tiscalinet.ch/paulsoderlind/Courses/OldCourses/FinEcmtAll.pdf

b) Tutoriale Eviews1. www.dofin.ase.ro/acodirlasu/lect/econmsbank/econometriemsbank2007.pdf2. www.clarku.edu/faculty/mcallan/Common/Guides/ Econ366 _ timeseries _mine.pdf 3. www.staff.city.ac.uk/r.a.batchelor/Eviews2.pdf

PARTEA I

Metode statistice de netezire. Teste de nestationalitate

1. Componentele deterministe ale unei serii de timp

O serie de timp constă într-o secvenţă de observaţii asupra unei variabile , ordonate după parametrul timp. Frecvent, măsurătorile asupra variabilei sunt efectuate la intervale egale de timp, seria cronologică fiind prezentată sub forma:

Seria de timp formată cu valorile observate constituie o realizare a secvenţei de variabile aleatoare , adică a unui proces aleator (proces stochastic) de tip discret. Evoluţia unei variabile în timp este reprezentată printr-un proces aleator.

Proces aleator de tip discret = secvenţă de variabile aleatoare unde , ordonate după parametrul timp. Pentru fiecare moment de timp t, Yt e o variabilă aleatoare şi dispunem de regulă de o singură observaţie relativ la aceasta. În cele ce urmează vom utiliza aceeaşi notaţie respectiv Yt atât pentru variabila aleatoare ataşată momentului t cât şi pentru valoarea observată la acest moment de timp. Scopul analizei seriilor de timp constă în înţelegerea şi modelarea mecanismului de generare a termenilor seriei; odată elaborat, modelul este utilizat pentru obţinerea de previziuni.

Previziune = inferenţă asupra variabilei, în afara perioadei observate. Vom nota prin previziunea variabilei Y efectuată la momentul T pentru un orizontul de timp h.

Baza de date trebuie să fie adecvată cantitativ şi calitativ. În analiza seriilor

cronologice este necesar ca lungimea perioadei observate să fie suficient de lungă pentru

4

a face posibilă estimarea unui model adecvat calitativ, care să surprindă mecanismul real de generare al fenomenului, respectiv să permită identificarea unor componente ale evoluţiei pe termen lung. De regulă se impune utilizarea unor serii cronologice cu cel puţin 15 termeni, respectiv pentru serii sezoniere este de dorit ca perioada observată să acopere cel puţin cinci cicluri sezoniere.

În acelaşi timp datele trebuie să rămână comparabile în timp. Condiţiile în care evoluează fenomenul este necesar să rămână în esenţă aceleaşi. Astfel, nu este indicat a se utiliza în elaborarea de modele, serii cronologice ce acoperă perioade de schimbări economice sau politice majore, război, sau alte evenimente excepţionale; în analiza evoluţiei majorităţii indicatorilor economici pentru ţara noastră este indicat ca datele să înceapă după 1989. Înainte de aplicarea tehnicilor specifice de analiză şi previziune, dacă este necesar, unii indicatori vor fi exprimaţi în preţuri comparabile. Atunci când cronograma indică prezenţa unor valori aberante, corespunzătoare unor greve, calamităţi naturale sau altor evenimente punctuale, acestea vor fi înlocuite cu valorile medii ce ar fi fost înregistrate în circumstanţe normale.

Frecvenţa măsurătorilor este condiţionată şi de practică. Spre exemplu, vânzările unui magazin pot fi înregistrate zilnic, profitul poate fi observat lunar şi / sau anual respectiv indicele bursier la încheierea zilei de cotaţie. În general, acolo unde sunt disponibile, poate fi utilă utilizarea unor date cât mai frecvente. Datele anuale nu fac posibilă observarea caracterului sezonier specific anumitor indicatori respectiv modelarea unor dependenţe în care timpul de reacţie al variabilei efect este scurt.

Atunci când elaborăm previziuni, bazate pe metode statistice, pornim de la ipoteza că fenomenul va continua să aibă acelaşi comportament ca şi în trecut. Este important ca analistul să se întrebe în ce măsură această presupunere este realistă, respectiv să ţină seama de aşteptările sale. Se spune pe bună dreptate că „previziunea rămâne în acelaşi timp ştiinţă şi artă”.

Componentele unei serii de timp. În abordarea tradiţională, fluctuaţiile din seriile de timp sunt privite ca o rezultantă a suprapunerii următoarelor componente: tendinţa T, componenta ciclică C, sezonieră S respectiv componenta reziduu sau eroare :

Primele trei componente sunt considerate deterministe, sistematice, determinate de factori cu acţiune continuă asupra fenomenului, în timp ce componenta reziduală are caracter aleator fiind efectul acţiunii unor factori imprevizibili, accidentali.

Modelul clasic de descompunere a seriilor de timp este de regulă: aditiv: sau multiplicativ: .

Deseori cele doua componente tendinta-ciclu sunt tratate ca si o singura componenta, ce surprinde evolutia pe termen lung, si se noteaza prin T, astfel .În acest context, tehnicile de analiză a seriilor de timp au ca obiective:

separarea fiecărei componente şi modelarea comportamentului său, respectiv

5

previziunea evoluţiei fiecărei componente, iar apoi compunerea acestora în scopul obţinerii de previziuni privind evoluţia fenomenului Y. Principiul de la baza acestei tehnici este “descompune pentru a modela iar apoi recompune”.

Previziunile utilizând modelul de descompunere se obţin prin compunerea previziunilor realizate pentru fiecare componentă deterministă prezentă în serie, ţinând seama de forma modelului, aditiv respectiv multiplicativ:

respectiv .Menţionăm deasemenea că uneori, în principal în econometrie unde variabilele incluse într-un model sunt în prealabil desezonalizate, este necesară eliminarea componentei sezoniere din seria de timp, obţinându-se seria ajustată sezonier d:

.

Tendinţa sau tendinţa generală redă evoluţia fenomenului pe termen lung, având alura unor funcţii neperiodice, lent variabile în timp. Factori cu acţiune permanentă asupra fenomenului (ex. creşterea populaţiei, progresul tehnic, inflaţia) imprimă, pe o perioadă lungă de timp, o tendinţă de regulă crescătoare sau descrescătoare majorităţii indicatorilor economici. Un caz particular il constituie aici seriile de timp ce fluctueaza in jurul unei medii constante (tendinta este orizontala, paralela cu axa OX); spunem ca aceste serii sunt stationare, in medie)

Componenta ciclică este observabilă analizând evoluţia fenomenului pe termen lung, şi se manifestă sub forma unor oscilaţii cu perioadă şi amplitudine ce variază de regulă în timp, un ciclu acoperind câţiva ani de zile. Evoluţiile ciclice apar în principal urmare a ciclurilor economice sau a pulsaţiilor din cererea unui produs, componenta fiind prezentă în evoluţia unor indicatori macroeconomici de rezultate sau din domeniul financiar dar şi în alte domenii.

Componenta sezonieră se evidenţiază sub forma unor cicluri de durată mai mică sau egală cu un an, şi apare în principal datorită ritmului impus de schimbarea anotimpurilor dar şi de activităţi economice respectiv sociale (regularităţi în plata salariilor, sărbători, vacanţe, obiceiuri, tradiţii, etc.).

Componenta aleatoare sau reziduală se manifestă prin fluctuaţii aparent aleatoare în jurul componentelor deterministe, fiind efectul acţiunii unor factori cu acţiune punctuală în timp, de tipul evenimentelor politice sau meteorologice.

2. Estimarea tendintei utilizând mediile mobile

Atunci când cronograma seriei nu oferă indicii foarte clare privind prezenţa respectiv forma tendinţei, este indicat a se utiliza în prealabil o tehnică de netezire ce atenuează amplitudinea fluctuaţiilor aleatoare din serie, scopul fiind evidenţierea (estimarea) tendinţei. Metoda mediilor mobile, netezirea exponenţială dar şi alte filtre de netezire sunt utilizate frecvent în practică. Consideram în acest paragraf că seria prezintă doar tendinţă şi componentă aleatoare, iar modelul de descompunere este unul aditiv:

.Metoda mediilor mobile. Media mobilă se defineşte ca o combinaţie liniară de

puteri pozitive şi negative ale operatorului de întârziere L:

6

cu

unde iar operatorul de întârziere L este definit prin:

O medie mobilă este centrată dacă m1=m2=m. Media mobilă este simetrică dacă este centrată şi coeficientii simetrici sunt egali . O medie mobilă simetrică se notează prin , indicându-se ordinul acesteia respectiv coeficienţii. Transformările utilizate frecvent în practică sunt mediile mobile simetrice:

fiecare valoare observată fiind înlocuită cu o medie ponderată a termenilor adiacenţi.Metoda mediilor mobile, utilizată în acest context, are ca şi obiective conservarea

tendintei T şi reducerea amplitudinii componentei eroare: eliminarea componentei aleatoare respectiv conservarea tendinţei . Pornind de la cele două cerinţe se pune problema determinării adecvate a ordinului

mediei mobile respectiv a coeficienţilor .Se va aborda în continuare problema determinării unor condiţii suficiente pentru ca

media mobilă să conserve o tendinta liniară. În acest sens se cunoaşte următoarea proprietate ce specifică condiţii suficiente pentru ca o medie mobilă să conserve polinoame de un anumit grad.

Proprietate (Gourieroux & Monfort, 1990). O medie mobilă centrata si simetrica conservă polinoame de grad mai mic sau egal cu p dacă λ = 1 este rădăcină de ordin

a ecuaţiei caracteristice:

În ceea ce priveşte transformarea componentei eroare printr-o medie mobilă:

se observă că atunci când constituie o secvenţa de variabile aleatoare necorelate şi de aceeaşi varianţă , noile variabile au media respectiv varianţa:

.

Prin aplicarea unei medii mobile, varianţa componentei eroare este diminuată atunci

când . Raportul de reducere a varianţei erorii se defineşte prin:

şi măsoară capacitatea mediei mobile de a reduce această componentă.

7

Mediile aritmetice centrate. Cele mai simple medii mobile simetrice sunt mediile aritmetice:

;

Mediile aritmetice constituie un caz particular de medie mobilă centrată şi simetrică,

coeficienţii fiind toţi egali cu . Coeficienţii acesteia s-au dedus din

următoarele cerinţe (Gourieroux & Monfort, 1990):

media mobilă lasă invariantă o constantă, condiţie echivalentă cu

respectiv

minimizează raportul de reducere a varianţei componentei eroare .

Se arată că mediile aritmetice lasă invariantă tendinţa liniară, dar nu şi tendinţe polinomiale de grad mai mare sau egal cu doi.

Observaţii. a) Pentru o medie aritmetică, raportul de reducere a varianţei erorii este

egal cu , astfel că secvenţa rezultată în urma aplicării mediilor mobile este cu atât

mai netedă cu cât ordinul mediei mobile este mai mare;b) Tendinţa seriei se estimează prin seria mediilor mobile .

În practică, alegerea ordinului mediei mobile pentru eliminarea componentei aleatoare rămâne în sarcina analistului, fiind indicat un ordin mai mare dacă amplitudinea fluctuaţiilor aleatoare este mai mare. Oricum, oscilaţiile din componenta aleatoare fiind neregulate, eliminarea acesteia se realizează doar parţial. Prin aplicarea unei medii mobile, indiferent de ordinul acesteia, amplitudinea fluctuaţiilor se reduce.

Medii mobile centrate. Mediile aritmetice necesită un numar impar de observaţii, în calculul fiecărei medii. Dacă ordinul mediei mobile MM(p)este un numar par atunci de regula se utilizeaza mediile mobile centrate şi simetrice, definite astfel:

,

În cazul particular p = 4 mediile mobile centrate sunt date de relaţiile:

sau

Rezultă:

8

Astfel, se realizează o corespondenţă între valorile observate şi mediile mobile . Alte tipuri de medii mobile. Deasemenea, în scopul netezirii seriei sunt utilizate

şi alte cazuri particulare de medii mobile, precum mediile lui Henderson (sau filtrul Henderson) de ordin 5, 7, 9, 13, 23 (Makridakis et all, 1998). Acestea sunt medii centrate, simetrice, spre exemplu mediile lui Henderson de ordin 9 au coeficienţii

:

Mediile mobile ponderate acordă o importanţă diferită observaţiilor, de regulă ponderea mai mare corespunde observaţiei corespunzător căreia i se ataşează valoarea netezită; un exemplu de medie mobilă pnderată este şi următoarea:

.

Mediile mobile sunt deasemenea cele mai populare tehnici de netezire utilizate în analiza tehnică. Analiza tehnică este utilizata de către investitorii pe piaţa de capital, în scopul identificării tendinţei Există mai multe tipuri de medii mobile utilizate în acest context. Singura diferenţă semnificativă între diversele tipuri de medie mobile este ponderea acordată datelor recente; acestea sunt de regulă medii asimetrice.

Media mobilă simplă asimetrică MMA(p) asociază ponderi egale tuturor preţurilor şi se calculează însumând preţurile de închidere ale unei acţiuni pentru ultimele p perioade şi împărţind totalul la numărul de perioade ales:

.

Ordinul (lungimea) mediei mobile p trebuie să se potrivească cu ciclul pieţei pe care dorim să îl urmărim. În general, funcţie de ciclului de piaţă ce se doreşte a fi urmat, se alege lungimea mediei mobile: termen foarte scurt implică o lungime a mediei mobile este între 5 -13 zile, termen scurt 14 -25 zile, termen mediu 50-100 zile, termen lung 100-200 zile.

Pe de altă parte, dacă o acţiune are un ciclu de creştere-scădere de 40 de zile, media mobilă ideală se va baza pe 21 de zile de tranzacţionare; practica sugerează următoarea regulă: ordinul mediei mobile = lungimea cilcului bursier/2 +1.

Cea mai simpla strategie sugereaza un semnal de cumpărare atunci când preţul acţiunii creşte peste media sa mobilă (pretul depaseste media mobila de jos in sus, pe o tendinta de crestere), iar semnalul de vânzare este generat de scăderea preţului sub media mobilă (pretul scade sub media mobila pe scadere, de sus in jos, pe o tendinta de scadere). In evolutia cursului de regula se pot observa perioade prelungite de aprecieri sau corectii succesive, inertie explicata uneori prin mecanisme psihologice, reactii

9

partiale ale investitorilor la aparitia unor informatii noi (ceea ce contrazice teoria pietelor eficiente, modificarile de pret nefiind independente). Decizia de a cumpara intervine atunci cand pretul inregistreaza o tendinta de crestere respectiv cea de a vinde atunci cand apar scaderi succesive de pret.

Uneori se compara o medie mobila pe termen scurt cu una pe termen lung (ex. MMA(1) si MMA(200)). Benzile Bollinger sunt de asemenea utilizate in delimitarea semnalelor de vanzare/cumparare si constau în doua linii obţinute adaugând/scăzând la/din media mobila abaterea medie pătratică (deviaţia standard) a preţurilor pe intervalul considerat.

3. Componenta sezonieră. Desesonalizarea prin raportare la mediile mobile

Presupunem în acest paragraf că seria cronologică prezintă tendinţă, sezonalitate şi o componentă aleatoare.

Modelul de descompunere. Pentru alegerea modelului de descompunere este indicat a se analiza cronograma seriei. În general, este adecvat un model aditiv atunci când amplitudinea oscilaţiilor este aproximativ constantă respectiv multiplicativ dacă amplitudinea creşte sau scade în timp. Frecvent în practică este mai adecvat modelul multiplicativ.

Perioada componentei sezoniere, notată cu p, reprezintă numărul unităţilor de timp din cadrul unui ciclu sezonier. Majoritatea seriilor sezoniere din domeniul economic au durata unui ciclu de un an, p fiind egal cu 4 în cazul datelor trimestriale respectiv 12 în cazul datelor lunare. Prin extensie pot fi studiate şi fenomene cu durata unui ciclu mai mică de un an. Cronograma seriei respectiv natura variabilei sugerează de regulă perioada p. Pentru descoperirea unor oscilaţii ascunse se apelează la metode specifice analizei spectrale (Tertişco ş.a., 1985).

Estimarea şi eliminarea componentei sezoniere utilizând mediile mobile. Pentru eliminarea componentei sezoniere (desezonalizarea seriei), în scopul separării ei, se aplică datelor o medie mobilă de ordin p egal cu perioada componentei sezoniere. În acest context mediile mobile sunt transformări liniare f utilizate în scopul desezonalizării seriei respectiv al atenuării amplitudinii fluctuaţiilor aleatoare:

eliminarea componentei sezoniere , eliminarea componentei aleatoare respectiv conservarea tendinţei şi a componentei ciclice .

În cele ce urmează estimarea componentei sezoniere se realizează prin intermediul coeficienţilor sezonalităţii. În vederea determinării coeficienţilor sezonalităţii vom utiliza următoarele notaţii:

i indice pentru ciclu sezonier, variind de la 1 la n;j indice pentru sezon, variind de la 1 la p.

Modelul de descompunere aditiv respectiv multiplicativ are forma: respectiv

Sezonalitatea se manifestă sub forma unor abateri de la componentele evoluţiei pe termen lung (tendinţă şi componenta ciclică). Indicii respectiv coeficienţii sezonalităţii

10

cuantifică aceste abateri de la tendinţă - ciclu, urmare a acţiunii factorilor sezonieri. În funcţie de ipoteza considerată privind componenta tendinţă - ciclu în practică întâlnim în principal două metode de calcul a acestora: metoda comparării cu mediile mobile respectiv metoda comparării cu tendinţa.

Se consideră, în acest context, că seria prezintă componentă pe termen lung tendinţă-ciclu, dar nu se emite o ipoteză privind forma acestora. Componenta evoluţiei pe termen lung tendinţă- ciclu este privită ca o medie curentă a seriei , estimată prin mediile mobile . În cazul modelului multiplicativ

,metoda se întâlneşte în literatură şi sub denumire de metoda raportării la mediile mobile şi constă în următoarele:

calculul mediilor mobile de ordin p egal cu perioada componentei sezoniere; calculul rapoartelor ce cuantifică abaterea datelor observate de la

tendinţă. Dacă fixăm indicele j, aceste rapoarte constituie estimaţii pentru indicele sezonalitaţii aferent sezonului ;

determinarea unui indice mediu pentru fiecare sezon ca o medie a estimaţiilor precedente:

,

aceasta justificându-se prin necesitatea eliminării efectului aleator din . Pentru a nu fi afectaţi de valorile extreme, uneori înainte de calculul mediei, aceste valori se elimină, sau în loc de medie se consideră valoarea mediană a estimaţiilor ;

determinarea componentei sezoniere , etapă ce constă într-o corecţie adusă indicilor medii astfel încât media lor să fie 1:

.

Această cerinţă impusă indicilor sezonalităţii este naturală, variaţiile sezoniere se compensează în medie pe parcursul unui an.

Valorile rezultate se numesc indici ai sezonalităţii şi constituie componenta sezonieră.

În cazul modelului aditiv

determinarea componentei sezoniere decurge analog, dar având în vedere forma aditivă de descompunere, coeficienţii ce intervin se determină astfel:

iar ajustarea coeficienţilor medii , pentru a obţine componenta sezonieră sau coeficienţii sezonalităţii se face astfel încât media lor să fie zero:

11

.

4 . Metode de netezire exponenţială

Tehnicile de netezire sunt utilizate pentru a genera valori netezite (atenuarea fluctuaţiilor aleatoare din date) din care s-a eliminat componenta aleatoare) respectiv pentru obţinerea de previziuni. Valoarea netezita corespunzatoare valorii observate se va nota prin . Deasemenea vom nota prin previziunea variabilei Y efectuată la

momentul t, pe baza datelor disponibile în acest moment , , ..., , pentru un orizontul de timp h. O alta notatie intalnita in literatura de specialitate pentru este

, aceasta fiind de fapt o previziune pentru variabila aleatoare . Previziunea pentru urmatoarea perioada este considerata egala cu valoarea netezita curenta:

Daca seria de timp este generată de un proces staţionar în medie (proces aflat în echilibru în jurul unei constante) atunci, media ultimilor t termeni ai seriei poate fi utilizată pentru generarea previziunii aferente urmatoarei perioade:

.

Deasemenea daca seria contine doar tendinta si componenta aleatoare atunci o medie mobila, de tipul mediei aritmetice simple calculată pentru ultimele k observaţii poate fi considerată previziune pentru urmatoarea perioadă de timp:

.

Gradul de netezire al seriei este mai mare pe masura ce k creste. Observam caci termenii seriei netezite sunt generati de o relatie de recurenta:

unde .

Pentru primii k termeni ai seriei nu pot fi determinate valorile netezite corespunzatoare. În acest caz numărul termenilor din medie rămâne constant, iar observaţiile au toate aceeaşi pondere.

O extensie naturală a acestei abordări (de previziune cu ajutorul mediilor mobile) o constituie previziunea utilizând medii mobile ponderate:

unde .

De regula ponderile alocate observatiilor recente sunt mai mari. În acest capitol vom discuta o clasă de metode ce atribuie termenilor seriei ponderi descrescătoare exponenţial, pe măsură ce observaţiile sunt mai îndepărtate în timp, numite metode de netezire exponenţială.

Metodele din această clasă implică utilizarea unor coeficienţi de netezire, cu valori între 0 şi 1, ce facilitează alocarea unor ponderi inegale termenilor seriei.

12

a) Metoda de netezire exponenţială simplă (pentru serii staţionare)

Acest model este adecvat pentru netezirea şi previziunea seriilor de timp ce fluctuează aleator în jurul unei valori constante (staţionare în medie), nu au tendinţă sau componentă sezonieră):

Se presupune aici caci constanta m ramane relativ stabila pe intervale succesive de timp. Considerăm t momentul prezent. Pentru a previziona următoarea valoare , utilizând datele disponibile până la acest moment , , ..., se utilizează relaţia de recurenţă:

t=1,2,....unde este constanta de netezire. Aceasta metoda poate fi privita ca o metoda de netezire. Relatia de recurenta se aplica succesiv pentru fiecare observatie din seria de timp. Valoarea previzionata pentru următoarea perioadă se calculează ca o medie

ponderata intre observatia curenta (ultima valoare disponibilă) si previziunea precedentă (efectuată la pasul anterior). Cand valorile previzionate sunt egale cu ultima observaţie. Atunci când se utilizează în scopul netezirii, valoarea netezită asociată valorii observate este generată de o relaţie similară:

întrucât previziunea pentru următoarea perioadă este considerată egală cu valoarea netezită curentă:

.

Pentru perioada observată, seria cu valorile previzionate , , ..., , sau echivalent

, , ..., este seria valorilor netezite. Intuitiv, implicaţiile metodei devin mai evidente dacă utilizăm succesiv relaţia de recurenţă anterioară pentru , , ..., :

Astfel, valoarea previzonată se determină ca o media ponderată a tuturor observaţiilor, ponderea fiecărei observaţii descreşte exponenţial pe măsură ce ne îndepărtăm de prezent, ţinând seama de următoarele:

Yt pondere cYt-1 pondere c(1-c)Yt-2 pondere c(1-c)2

………. ................................................

Y1 pondere c(1-c)t-1

Atunci când se utilizează pentru în scopul netezirii, valoarea netezită asociată valorii observate este generată de o relaţie similară:

13

Cea mai mare pondere o are observaţia curentă Yt. Suma ponderilor asociate tuturor observaţiilor tinde spre 1 atunci cand numărul observaţiilor este mare. Atunci când este utilizată în scopul netezirii, metoda produce valori mai netede atunci când c este aproape de zero, ponderile asociate valorilor curente, în relaţia de recurenţă:

fiind mici. Deasemenea, o altă formă a relaţiei de recurenţă este următoarea:

sau

unde este eroarea de previziune, la momentul t. Se poate vedea că previziunea pentru următoarea perioadă este egală cu valoarea curentă ajustată în funcţie de ultima eroare de previziune.

Utilizarea oricăreia din cele trei forme ale relaţiilor ce definesc această metoda necesită:

- o valoare iniţială . De regulă pentru aceasta se consideră prima valoare

observată sau media seriei sau media primilor termeni ai seriei;- o valoare adecvată pentru constanta de netezire c. Cand c are o valoare

apropiată de 1 atunci se acordă o pondere mai mare observaţiilor recente, fiind adecvată pentru serii netede. Atunci când c este aproape de 0 previziunea depinde într-o mai mare măsură de valorile înregistrate în trecut, fiind adecvată pentru serii cu o amplitudine mare a fluctuaţiilor.

De regulă softurile statistice selectează o valoare optimă pentru c, fiind aceea valoare pentru care unul din indicatorii sintetici ai erorilor de previziune (MSE, MAE, MAPE or SSE) este minim. Frecvent se minimizează media pătratelor erorilor de previziune

SSE =

eroarea de previziune fiind:.

Previziunile înafara perioadei observate sunt constante, pentru orice orizont de previziune :

.

b) Metoda Holt de netezire exponenţială (pentru serii cu tendinţă)Metode de netezire exponenţială simplă a fost extinsă de către Holt pentru serii ce prezintă tendinţă (şi componentă aleatoare). Ideea: ajustarea seriei în vecinătatea originii previziunii cu o dreaptă, tendinţa fiind presupusă liniară pe porţiuni:

unde nivelul seriei at (termenul liber din ecuaţia dreptei de ) respectiv panta dreptei b t se modifică conform unor relaţii de recurenţă asemănătoare cu cele din cazul metodei de netezire exponenţiale simple:

14

.

Pentru previziune, panta se înmulţeşte cu orizontul de previziune şi se adună la nivelul seriei . Pentru perioada observată, previziunile se fac pas cu pas, astfel orizontul de previziune este unu. Valoarea previzionată pentru următoarea perioadă:

Atunci când devine disponibilă o nouă observaţie (şi originea previziunii devine t) parametrii dreptei, termenul liber asimilat cu nivelul seriei respectiv panta dreptei se ajustează conform relaţiilor de recurenţă prezentate. Nivelul seriei la momentul t notat prin este o medie ponderată între nivelul său previzionat anterior şi

noua observaţie disponibilă. Panta dreptei la momentul t notată este o medie ponderată între panta estimată prin diferenţa între ultimele valori netezite ale nivelului seriei şi panta estimată la momentul precedent. Utilizarea relaţiilor de recurenţă necesită valori iniţiale pentru respectiv . Variante de iniţializare întâlnite în practică:

- şi - şi sau .

Constantele de netezire sunt determinate de regulă din condiţia minimizării erorilor de previziune, fiind acele valori pentru care unul din indicatorii sintetici ai erorilor de previziune (MSE, MAE, MAPE or SSE) este minim. De regulă aceste constante se determină din condiţia minimizării mediei pătratelor erorilor de previziune este minimă:

MSE =

eroarea de previziune fiind:.

Previziunile înafara perioadei observate, pentru un orizont de timp h, se situează pe dreapta ce are ca şi parametri ultimele estimaţii:

.

c) Metoda Holt-Winters de netezire exponenţială (pentru serii cu tendinţă şi sezonalitate). Metoda Holt-Winters este adecvată seriilor ce prezintă tendinţă şi componentă sezonieră. Metoda implică trei ecuaţii de recurenţă, şi prin urmare trei constante de netezire, una pentru nivelul seriei, una pentru panta dreptei de tendinţă respectiv una pentru coeficienţii sezonalităţii. Notăm cu p perioada componentei sezoniere. Tendinţa seriei este modelată local printr-o dreaptă, în mod similar cu metoda Holt. Ţinând seama de modelul de descompunere a seriei, aditiv sau multiplicativ, există două variante ale metodei. 1) Modelul multiplicativ

15

Previziunile sunt generate în baza unei ecuaţii de forma:

unde nivelul seriei , panta dreptei de tendinţă respectiv componenta sezonieră sunt generate de relaţiile de recurenţă:

.

Componenta sezonieră este reprezentată aici prin indici de tipul indicilor sezonalităţii. Estimaţia pentru componenta sezonieră, la momentul t, este o medie ponderată între indicele sezonalităţii estimat prin raportul între valoarea curentă şi nivelul seriei şi ultima valoare a indicelui generat pentru respectivul sezon (calculat la momentul t-p, unde p este perioada componentei sezoniere). Ecuaţia pentru panta dreptei de tendinţă este identică cu cea din metoda Holt. În ecuaţia pentru nivelul seriei se utilizează valoarea desezonalizată curentă estimată prin valoarea curentă împărţită la cea mai recentă estimaţie a indicelui sezonalităţii pentru respectivul sezon. Ca şi valori iniţiale, necesare în relaţiile de recurenţă, sunt sugerate următoarele:

- media datelor ce acoperă primul ciclu sezonier , fiind astfel

eliminată sezonalitatea din nivelul seriei

- , fiecare termen din sumă fiind o

estimaţie pentru panta dreptei aferentă unui sezon;- indicii sezonalităţii sunt estimaţi prin indicii sezonalităţii determinaţi prin metoda

raportării la mediile mobile, varianta multiplicativă. O altă variantă de lucru este următoarea:

, , ..., .

Cele trei constante de netezire sunt determinate din condiţia de minimizare a erorilor de previziune (MSE, MAPE, SSE). Previziunile înafara perioadei observate, pentru un orizont de timp h, sunt calculate utilizând ultimele estimaţii, pentru , respectiv , determinate din relaţiile de recurenţă:

.

2) Modelul aditivAvând în vedere compunerea aditivă a celor două componente tendinţă şi componentă sezonieră, previziunile sunt generate în baza unei ecuaţii de forma:

16

unde nivelul seriei , panta dreptei de tendinţă respectiv componenta sezonieră sunt generate de relaţiile de recurenţă:

.Pentru iniţializarea coeficienţilor sezonalităţii se poate utiliza metoda raportării la mediile mobile, varianta aditiva sau diferenţele:

, , ..., .Previziunile înafara perioadei observate, pentru un orizont de timp h, sunt calculate ţinând seama de forma aditivă a modelului:

.

5. Teste de nestaţionalitate (teste de radacina unitate, „unit roots”) Concepte de bază Considerăm în continuare o clasă particulară de procese aleatoare, numite procese staţionare. Fie un proces aleator unde . Pentru observaţia aferentă momentului t, variabila aleatoare , se definesc:

- media variabilei

- varianţa

- covarianţa dintre două variabile şi , prin

.

Deoarece dispunem de o singură observaţie pentru fiecare variabilă este imposibil de estimat aceste elemente. Estimarea devine posibilă pentru o clasă particulară de procese aleatoare, numite procese staţionare. Definiţie. Un proces staţionar de ordinul doi dacă verifică următoarele trei condiţii:

(1) media este constantă în timp (staţionalitate în medie)

(2 varianţa este constantă în timp (staţionalitate în varianţă)

(3) unde covarianţa dintre două variabile este funcţie doar de lungimea intervalului de timp ce separă cele 2 variabile. Pentru un proces staţionar, funcţia de autocovarianţă devine:

unde .

Un proces staţionar se află într-o state de echilibru (are proprietatea de a reveni la medie ori de căte ori se îndepărtează prea mult de la aceasta). În cronogramă, o serie staţionară se manifestă sub forma unor fluctuaţii cu amplitudine relativ constantă (varianţă constantă) în jurul unei medii constante,

17

independente de timp (staţionalitate în medie). Nestaţionalitatea în medie este specifică seriilor cu tendinţă, iar nestaţionalitatea în varianţă se observă prin modificarea în timp a amplitudinii fluctuaţiilor. Zgomot alb (white noise). Un caz particular de proces staţionar, este cel de tip zgomot alb (denumire luată din tehnică), acesta fiind o succesiune de variabile aleatoare

independente şi identic repartizate, cu medie zero. Astfel:

-

-

- .

Funcţia de autocorelaţie (AC)Considerăm un proces staţionar. Funcţia de autocorelaţie se defineşte prin:

,

şi măsoară corelaţia liniară dintre două variabile Yt şi Yt-k separate de k unităţi de timp.Pentru k=1 respectiv k=2 coeficientul de autocorelaţie devine

Observaţii:

1. → regăsim coeficientul de corelaţie liniară dintre Yt şi Yt-k

2.

3.

4. funcţia de autocorelaţie este o funcţie pară. Pentru un proces de tip zgomot alb, funcţia de autocorelaţie devine:

.variabille fiind necorelate. Estimarea funcţiei de autocorelaţie este o etapă importantă în faza de identificare a unui model de tip ARIMA modelului. Graficul funcţiei de autocorelaţie se numeşte corelogramă şi oferă informaţii importane privind comportamentul seriei. Estimarea funcţiei revine la calculul unor coeficienţi de autocorelaţie (corelaţie liniară) pentru fiecare cuplu (Yt, Yt-k):

k = 1 (Yt, Yt-1).

18

k = 2 (Yt, Yt-2)..................................................................k = M (Yt, Yt-M)

Prezintă importanţa calculul primelor T/4 autocorelaţii (spre exemplu, dacă lungimea seriei este T=80 M = 80/4 = 20).

Estimarea coeficienţilor de autocorelaţie In practică dispun de o serie cronologică Y1, …, YT (eşantion finit în timp, şi o

singură observaţie pentru fiecare variabila aleatoare ). In ipoteza staţionalităţii, media şi varianţa procesului pot fi estimate utilizând această singură realizare, prin media

respectiv varianţa de eşantionare:

.

Coeficientul de autocorelaţie se estimează prin:

respectiv

dacă lungimea seriei este suficient de mare (şi astfel T-k nu diferă foarte mult de T). Testarea semnificativităţii coeficieţilor de autocorelaţie Testarea semnificativităţii coeficientului de autocorelaţie :

H0 : (nu diferă semnificativ de zero) H1 :

se realizează utilizând un statistica Student

converge asimtotic (când ) la legea normală

Pentru varianţa estimatorului coeficientului de autocorelaţie Bartlett a furnizat următoarea expresie (vezi curs C. Hurlin):

19

.

Decizia: pentru un nivel de semnificaţie , ipoteza nulă H0 nu se respinge dacă

sau echivalent .

Observaţie. Uneori pentru varianţa estimatorului se utilizează expresia (expresie adecvată de fapt doar atunci când seria este de tip zgomt alb).

Astfel pentru T suficient de mare (pentru a putea aproxima legea ştudent prin legea normală), o valoare absolută pentru coeficientul de autocorelaţie mai mare decât

(nivelul de semnificaţie fiind fixat la 5%) indică faptul ca acesta diferă semnificativ de zero.

Funcţia de autocorelaţie parţială (PAC)Deseori corelaţia intre doua variabile este determinată de faptul că ambele sunt corelate cu o a treia variabilă. In acest context o mare parte din corelaţia intre două variable Y t şi Yt-k poate apare urmare a unui efect indirect, de corelare a ambelor variabile cu variabilele intermediare . Pentru a se evita acest fapt se utilizează coeficientul de autocorelaţie parţială, acesta măsurând efecul direct al lui Y t-k asupra variabilei Yt (se izolează influenţa variabilei Yt-k). Definitia acestuia este similară cu a coeficientului de corelaţie parţială din econometrie. Coeficientul de autocorelaţie partială între două variabile separate de k unităţi de timp notat prin este coeficientul de regresie a variabilei în modelul autoregresiv AR(k):

şi măsoară informaţia adiţională adusă de variabila în exoplicarea comportamentului prezent (cu câte unităţi se modifică dacă creşte cu o unitate iar celelalte variabile rămân nemodificate). Astfel, coeficientul de autocorelaţie parţială măsoară corelaţia între şi , în condiţiile în care celelalte variabile sunt menţinute constante (se izolează influenţa variabilei

). Astfel, coeficientul de autocorelaţie parţială între şi , adică , este egal cu coeficientul de autocorelaţie dacă şi sunt ambele necorelate cu . Funcţia de autocorelaţie parţială constă în setul de coeficienţi , unde k=1, 2, 3, ..... Pentru k=1 coeficientul de autocorelaţie şi coeficientul de autocorelaţie parţială coincid

. Coeficienţii de autocorelaţie parţială înregistrează valori între -1 şi 1.

Estimarea coeficienţilor de autocorelaţie parţială O estimare directă a coeficienţilor de autocorelaţie parţială constă în estimarea coeficienţilor de regresii pentru mai multe regresii. Astfel, se estimează cu coeficientul de regresie a variabilei în modelul autoregresiv AR(1):

este coeficientul de regresie a variabilei în modelul autoregresiv AR(2):

20

este coeficientul de regresie a variabilei în modelul autoregresiv AR(3):

............................................................. este coeficientul de regresie a variabilei în modelul autoregresiv AR(k):

. In practică (inclusiv în algoritmii de calcul implementaţi în softurile de statistică) aceştia nu sunt de regulă calculaţi în acest mod, ci se utilizează ecuaţiile Yule-Walker, ce redau relaţiile dintre coeficienţii de autocorelaţie şi coeficienţii de autocorelaţie parţială.

Testarea semnificativităţii coeficineţilor de autocorelaţie parţială Testarea semnificativităţii coeficientului de autocorelaţie parţială :

H0 : (nu diferă semnificativ de zero) H1 :

se realizează utilizând statistica Student

converge asimtotic (când ) la legea normală .

Pentru varianţa estimatorului coeficientului de autocorelaţie parţială se următoarea expresie:

.

Decizia: pentru un nivel de semnificaţie , ipoteza nulă H0 nu se respinge dacă sau echivalent .

Procese nestaţionare Un proces este nestaţionar dacă nu verifică una sau mai multe din cerinţele din definitia procesului staţionar. În economie majoritatea seriilor sunt nestaţionare, media respectiv varianţa acestora nefiind constantă în timp. Detectarea nestaţionarităţii:

- din cronogramă şi corelogramă respectiv - utilizarea unor teste de staţionaritate (numite şi teste de rădăcină unitate); acestea

vor fi discutate în capitolul următor.Din cronogramă:

- seria este nestaţionară în medie dacă media nu este constantă în timp. O serie ce prezintă spre exemplu o tendinţă deterministă (ce poate fi modelată prin funcţii elementare) este nestaţionară;

- seria este nestaţionară în varianţă dacă varianţa nu este constantă în timp. In acest paragraf avem în vedere un proces (serie) nestationar în medie. Există două tipuri de procese (serii) nestaţionare:

21

a) serii nestaţionare dar staţionare relativ la o tendinţă deterministă TS („time stationary”). Exemplu: o serie ce fluctuează staţionar în jurul unei tendinţe deterministe liniare:

unde este un proces staţionar; b) serii nestaţionare generate de un proces pentru care polinomul autoregresiv din reprezentarea autoregresivă AR(p) are rădăcini unitare (are radacini unitate „unit root”, sau pe cercul unitate). Spunem că seria este staţionară prin diferenţiere DS („differency stationary”) sau că are tendinţă stochastică (seria „hoinăreşte”); seria are radacină unitate. Exemplul tipic aici este mersul aleator . Polinomul in L asociat părţii autoregresive din modelulul AR(p):

unde

il are pe unu ca şi rădăcină. Multe serii din economie au un comportament de mers aleator; este nestaţionară dar devine stationară. Dacă este necesar a se

diferenţia seria de d ori până devine staţionară, fiind staţionară, polinomul autoreresiv îl are pe 1 ca şi rădăcină multipla de ordin d si spunem că seria este integrată de ordin d, notând I(d).

Din corelogramă (graficul funcţiei de autocorelaţie): autocorelaţiile unei serii staţionare se apropie rapid de zero, odată ce k creşte (tind exponenţial spre zero). Pentru o serie nestaţionară autocorelaţiile sunt mari şi pozitive pentru un numar mare de valori ale lui k. Pentru a testa dacă o serie este nestaţionară cu tendinţă stochastică (are rădăcină unitară) se pot utiliza testele Dickey-Fuller ADF.

5.2. Teste de tip Dickey-Fuller (DF) . Testele dezvoltate în continuare sunt destinate detectării nestaţionalităţii de tip DF, adică a detectării rădăcinii unitate în reprezentarea procesului. Testele Dickey-Fuller sunt utile:

– pentru a testa dacă o serie este staţionară (relativ la medie sau relativ la o tendintă deterministă);

– pentru a identifica natura tendinţei seriei (seria poate avea tendintă deterministă sau/şi tendintă stochastică) respectiv pentru a determina ordinul de integrare.

Dacă are o radăcină unitate atunci în ecuaţia de regresie:

ne aşteptăm ca să fie aproape de 1, sau echivalent ne aşteptăm ca să fie aproape de zero în regresia:

(V1)

(obţinută scăzând din ambii membri, în ecuaţia anterioară). Pornind de la această idee, iniţial testul Dickey-Fuller, (pentru detectarea unei rădăcini unitate) a fost dezvoltat pentru testarea ipotezei:

22

în modelul autoregresiv de ordinul unu:

unde erorile sunt presupuse independente şi identic distribuite, cu medie 0 şi varianţă

. Astfel, testul facilitează alegerea între un proces de tip mers aleator (proces nestaţionar) şi un proces autoregresiv de ordinul unu (proces staţionar). Dacă ipoteza nulă este adevarată seria conţine o rădăcină unitate, în caz contrar seria fiind staţionară de tip AR(1). Varianta corespunde unor procese explozive, ce nu-şi găsesc aplicabilitate.

Ipoteza nulă din testul Dickey-Fuller este o ipoteză privind semnificativitatea coeficientului termenului  :

în ecuaţia de regresie , unde . “Raportul Student” aferent coeficientului , utilizat în mod obişnuit pentru testarea unei ipoteze relativ la un coeficient de regresie, nu urmează legea Student. Distribuţia asimptotică a acestei variabile a fost studiată de către Dickey (1975) şi Fuller (1976), iar mai recent MacKinnon (1991) obţine prin simulare valori critice mai precise. Pentru un nivel de semnificaţie de 5% spre exemplu, valoarea critică rezultată este –1.95:

.Menţionăm că valoarea critică, pentru acest nivel de semnificaţie, este de –1.64 în cazul legii normale , astfel că utilizarea testului z sau t în testarea ipotezei

conduce prea frecvent la respingerea ipotezei nule.Distribuţia asimptotică a statisticii t de tip Student diferă după cum se include sau nu

o constantă în regresie. In cazul prezenţei unei constante în forma autoregresivă:

testul privind semnificativitatea coeficientului se realizează în ecuaţie (V2)

Deasemenea o altă variantă interesantă a testului faciliteaza alegerea între un process nestaţionar cu tendinţă stochastică (proces integrat) şi unul cu tendinţă deterministă. Aceasta se realizează prin testarea ipotezei de rădăcină unitate:

pentru un proces de tipul:.

Testarea ipotezei anterioare este echivalentă şi aici cu o ipoteză privind semnificativitatea coeficientului lui în ecuaţia de regresie:

(V3)

23

Fuller (1976) a studiat comportamentul asimptotic al statisticii t şi în acest caz obţinând, prin simulare, valorile critice corespunzătoare acestei variante a testului. Spre exemplu la un nivel de semnificaţie de 5% valoarea critică obţinută este de –3.41:

.Acest test facilitează selecţia între două procese nestaţionare de tipul:

, respectiv, cu .

Procesul generat de prima ecuaţie conţine o rădăcină unitate ( , seria are tendinţă stochastică. Cel de-al doilea proces aleator, pentru care , nu are rădăcină unitate şi este obţinut prin însumarea dintre o tendinţă deterministă liniară şi un proces staţionar de tip autoregresiv AR(1); seria este astfel staţionară în jurul unei tendinţe deterministe liniare. Distribuţiile asimtotice anterioare sunt valabile în ipoteza în care este de tip zgomot alb. Altfel este necesară o abordare ce ţine seama şi de autocorelaţiile reziduurilor din ecuaţia de regresie în care se testează semnificativitatea coeficientului lui .Un proces AR(1) cu erori autocorelate de ordin p-1 poate fi pus într-o reprezentare AR(p) cu erori de tip zgomot alb. Se ţine seama apoi de reprezentarea de tip Sims-Stock-Watson (1990) a unui model AR(p), scrisă utilizând diferenţele de ordinul unu, din care se obţine forma generală a ecuaţiei de regresie utilizate în forma generală a testului. În forma generală, testul Dickey-Fuller îmbunătăţit ADF (Augmented Dickey-Fuller) se efectuează relativ la coeficientul termenului :

în ecuaţia de regresie următoare:

.

Distribuţia asimptotică a raportului t asociat coeficientului este aceeaşi cu cea din cazul AR(1), astfel că se utilizează aceleaşi valori critice. La aplicarea testului, p este selectat astfel încât reziduurile din ecuaţia de regresie să rămână necorelate. Au fost dezvoltate trei variante ale testului DF, aferente respectiv regresiilor:

(V1)

(V2)

(V3)

Distribuţiile asimtotice şi deci valorile critice sunt specifice fiecărei variante. Valorile critice nu depind însă de numărul de întărzieri p.Decizia asupra ipotezei nule, un anumit nivel de semnificaţie:

24

tcalc < t*tab H0 se respinge seria nu are rădăcină unitate (este staţionară relativ la medie în V1 şi V2, sau staţionară

relativ la o tendinţă deterministă în varuianta V3)

tcalc > t*tab H0 se acceptă seria are o rădăcină unitate (este nestaţionară, cu tendinţă stochastică).

Testul ADF este de test de nestaţionalitate stochastică (dacă H0 este adevărată, seria este nestaţionară de tip DF).

Alegerea între cele trei variante rămâne totuşi o problemă. O soluţie logică pare a fi efectuarea testului în varianta generală (V3), dar includerea unor regresori cu coeficienţi nesemnificativi reduce puterea testului; astfel, testul poate indica prezenţa unei rădăcini unitate când în realitate seria nu o conţine. Principiul general constă în a alege o variantă conformă cu datele:

- dacă seria prezintă o tendinţă (deterministă sau stochastică) se aplică varianta generală (V3);

- dacă seria nu are o tendinţă vizibilă şi are medie diferită de zero, se aplică varianta (V2) respectiv

- dacă seria fluctuează în jurul lui zero se aplica testul în varianta (V1).După aplicarea testului este indicat a se examina şi semnificativitatea coeficienţilor

de regresie (din ecuaţia de regresie aferentă testului aplicat) în principal atunci când nu suntem siguri asupra variantei adecvate respectiv asupra valorii lui p. Dacă se consideră necesar, se poate aplica din nou testul cu o altă specificare pentru ecuaţia de regresie. Pentru alegerea odinului p se poate utiliza de asemenea criteriile de informaţie (AIC, SC,...) Dacă ipoteza nulă nu este respinsă atunci se aplica în continuare testul DF pentru detectarea rădăcinii unitate în diferenţele de ordin unu. Pentru determinarea ordinului de integrare se aplică testul succesiv pentru datele iniţiale, diferenţele de ordin unu şi eventual doi; seriile din domeniul economic necesită de regulă o singură diferenţiere. Dacă pentru datele iniţiale H0 se acceptă, iar pentru datele diferenţiate ipoteza nulă H0 se respinge Yt e nestaţionar dar diferenţele de ordin 1 sunt staţionare Yt este integrată de ordin 1 sau Dacă ipoteza nulă H0 se acceptă atât pentru datele iniţiale Yt cât şi pentru cele difererenţiate dar se respenge pentru datele de două ori

dioferenţiate seria este integrată de ordinul doi sau

Tendinţă deterministă versus tendinţă stochastică. O serie poate avea tendintă deterministă sau/şi tendinţă stochastică; o serie ce are atât tendinţă deterministă cât şi tendinţă stochastică se comportă ca şi o serie cu tendinţă stochastică. Graficul de mai jos redă comparativ două serii de timp nestaţionare cu şi respectiv fără rădăcină unitate (prima serie are atât tendinţă deterministă cât şi tendinţă stochastică):

, unde , şi, unde

obţinute prin simulare. Pentru eroarea au fost generate 200 de valori aleatoare. În cazul seriei staţionare relativ la o tendinţă deterministă valorile fluctuează

25

staţionar în jurul tendinţei, în timp ce seria cu rădăcină unitate se îndepărtează de la tendinţa deterministă iar amplitudinea fluctuaţiilor creşte sau descreşte în timp.

Observaţie. Varianţa erorii în cazul seriei staţionare relativ la tendinţa deterministă liniară rămâne constantă în timp.

Diferenţele de ordin unu pentru ambele tipuri de procese:, ;

, , cu ,sunt staţionare:

, respectiv.

Prin urmare, prin analiza seriilor diferenţiate nu se poate face distincţie între cele două tipuri de nestaţionalitate. Există o diferenţă esenţială între cele două serii de timp:- dacă seria conţine rădăcini unitate atunci şocurile ( ) asupra seriei sunt permanente, deoarece (Johnston şi DiNardo, 1994): . Dacă o serie macroeconomică este de tip DS atunci impactul şocurilor conjuncturale are un efect permanent asupra nivelului seriei. Originea nestaţionalităţii unui mers aleator constă în acumularea de şocuri aleatoare, deoarece: ;- în cazul seriilor staţionare relativ la tendinţă influenţa şocurilor asupra următoarelor abateri de la tendinţa deterministă se diminuează în timp: .

Pentru a detectarea naturii tendinţei unei serii nestaţionare se poate utiliza varianta V3 a testului ADF:

(V3)

H0 : H1 :

26

Dacă H0 se acceptă seria are rădăcină unitate seria are tendinţa stochastică. Dacă H0 se respinge seria nu are rădăcină unitate, prin urmare nu are tendinţă stochastică. Pentru a detecta prezenţă unei tendinţei deterministe se va testa semnificativitatea coeficientului de regresie în ecuaţia de regresie aferentă testului aplicat V3, utilizând testul Student clasic. De asemenea dacă se estimează tendinţa deterministă iar reziduul este staţionar atunci seria este stationară relativ la tendinţă.

Existenţa sau nu a unei rădăcini unitate într-o serie nestaţionară determină natura tendinţei. Cunoaşterea naturii tendinţei unei variabile nestaţionare este importantă în previziune respectiv în modelarea econometrică. Staţionalitatea/nestaţionalitatea respectiv detectarea naturii nestaţionalităţii determină tipul de modelare şi proprietăţile asimtotice ale metodelor econometrice de estimare.

6. Aplicatii

a) Testarea ipotezei de mers aleator a cursului pietelor de capital . In ipoteza de eficienţă informaţională în formă slabă (ipoteza de mers aleator) a pietei de capital, cursul oricarui titlu este un proces de tip mers aleator. Cursul unui titlu, notat prin urmează un model de mers aleatoriu, cu constanta, dacă cu independente si identic repartizate (iid) şi de speranţă finită. Mersul aleator este un proces nestaţionar, insa diferenţele de ordinul întâi sunt stationare; notand ,

procesul este staţionar.

Daca se considera rentabilitatile logaritmice , atunci

in termeni de rentabilitati, ipoteza de mers aleator devine:

unde este o secventa de variabile aleatoare independente si identic repartizate, iar o constanta.

În testarea ipotezei de mers aleator se parcurg trei etape (Todea, 2005):1. Studiul staţionarităţii seriilor de rentabilităţi;2. Testarea ipotezei de non-corelaţie liniară a rentabilităţilor;3. Testarea existenţei unor corelatii neliniare în seria rentabilităţilor.Pentru a testa dacă seriile de rentabilităţi sunt staţionare se utilizeaza teste clasice de

radacina unitate, precum testele ADF, testul KPSS, s.a.. Dacă se respinge ipoteza nulă de nestaţionaritate, se trece la etapa 2, iar dacă aceasta se accepta, este respinsă din start ipoteza de mers aleator şi astfel eficienţa informaţională în forma slabă. Existenta unor tendinte in evolutia cursurilor bursiere, efecte sezoniere (ex. efectul lunii ianuarie, efectul de talie, s.a.) neaga ipoteza eficientei informationale a pietelor bursiere. Acestea dispar partial odata cu maturizarea pietei.

In ultima perioada teoria pietei eficiente a pierdut din importanta, tot mai multi specialiti sustinand ca preturile sunt predictibile. In ultima perioada teoria pietei eficiente a pierdut din importanta, tot mai multi specialisti sustinand ca preturile sunt

27

predictibile. Teoria pietelor adaptive pare a fi deseori validata empiric, rentabilitatile bursiere inregistrand un comportament episodic, perioade mai lungi de eficienta urmate de perioade in care se manifesta corelari liniare dar mai cu seama neliniare.

b) Aspecte statistice specifice ratei rentabilitatilor 1) Riscul unui activ financiar este caracterizat prin dispersia rentabilităţilor sale

de la valoarea medie. Măsurile statistice cel mai frecvent utilizate sunt varianţa respectiv abaterea medie pătratică. Riscul unui activ financiar, pe un orizont de T perioade, se poate estima prin abaterea medie patratica:

, unde reprezintă rentabilitatea activului în perioada

t; reprezintă media rentabilităţilor activului pe orizontul de calcul.Literatura de specialitate apreciază că o bună estimare a riscului se poate obţine

utilizând rentabilităţi lunare pe o perioadă de trei ani. 2) Distributia empirica a rentabilitatilor. Asimilarea conceptelor de rentabilitatea şi

risc cuplului medie-varianţă presupune că distribuţia ratelor de rentabilitate să urmeze o lege normală. O astfel de lege are o serie de proprietăţi utile, cum ar fi: depinde doar de medie şi varianţă, este simetrică, 95% dintre observaţii sunt cuprinse între .

Identificarea legii de probabilitate este o problemă deosebit de importantă în teoria modernă a portofoliilor. De natura acestei legi depinde modul în care se măsoară riscul activului financiar. Distribuţiile empirice ale rentabilităţilor sunt insa de regula mai ascuţite decât cele ale legii normale şi prezintă cozi (frecventa cu care se inregistreaza variatiile extreme sunt mai mari decat in cazul legii normale); legea Pareto este mai abecvata decat cea normala.

Coeficientul de asimetrie respectiv de boltire şi analiza histogramei oferă o primă imagine asupra formei distribuţiei rentabilitatilor. Coeficienţii de asimetrie respectiv boltire sunt calculaţi în baza momentelor centrate:

;

unde este momentul centrat de ordin j.

Pentru testarea normalităţii se recomandă, în literatura de specialitate, utilizarea testului Jarque-Bera (1981), bazat pe coeficienţii de asimetrie şi boltire. Valoarea calculată a acestei statistici este furnizată implicit de majoritatea softurilor odată cu alte statistici descriptive. Dacă un eşantion de T observaţii provine dintr-o distribuţie normală atunci coeficientul de asimetrie calculat în baza observaţiilor urmează asimptotic legea normală N(0, 6/T) iar coeficientul boltirii legea N(3,24/T). Jarque şi Bera obţin prin însumarea celor două variabile normale independente statistica:

,

ce urmeaza legea . Valoarea critică corespunzătoare nivelului de semnificaţie se determină din tabelul de distribuţie a legii 2, numărul gradelor de libertate fiind 2. Zona critică este .

28

PARTEA 2Modelarea si previziunea seriilor financiare prin modele de tip

autoregresiv medie mobila ARIMA(p,d, q) respectiv GARCH(p,q)

Obiectivele modulului:- Identificarea unui model de tip ARIMA(p,d, q) - Aplicarea modelelor de tip ARIMA în previziunea seriilor financiare respectiv

filtrarea corelaţiilor liniare din seria de timp- Modelarea seriilor financiare prin modele de tip GARCH(p,q) Se recomandă studiul problematicii modulului în ordinea numerotării paragrafelor din conţinutul informaţional al acestuia.

Conţinutul informaţional al modulului

1. M odele de tip autoregresiv medie mobilă ARIMA(p,d, q) Box & Jenkins (1970) au propus o metodologie de previziune a unei variabile,

utilizând ca şi bază de date doar trecutul şi prezentul acesteia. Aceste modele se bucură de o largă popularitate datorită:

- calităţii previziunilor generate;- flexibilităţii modelelor;- rigurozităţii privind fundamentarea matematică a modelului;- este o metodă adecvată şi pentru previziunea unor variabile cu o evoluţie

neregulată.Observaţie: s-au introdus într-o perioadă în care modelele econometrice clasice, în principal cele macroeconomice cu mai multe ecuaţii au condus frecvent la previziuni mai slabe decât metodele simple univariante. Un model de tip autoregresiv-medie mobilă ARMA(p,q) are o componentă de tip autoregresiv respectiv o componentă de tip medie mobilă:

unde p este ordinul părţii autoregresive, q ordinul mediei mobile iar este un proces de tip zgomot alb (acesta fiind o succesiune de variabile aleatoare independente şi identic repartizate, cu medie zero). Atunci când q=0 se obtine modelul autoregresiv de ordin p, notat AR(p):

iar pentru p=0, se obtine modelul medie mobilă de ordin q:.

La baza elaborării unor astfel de modele stau următoarele considerente: - evoluţia fenomenelor economice se află sub impulsul resurselor existente, a capacităţilor deja create, a experienţei acumulate, a tradiţiei, obişnuinţei (spre exemplu

29

în consum). Variabilele din economie au caracter inerţial, fiind prezentă o puternică componentă autoregresivă (în prinipal în evoluţia indicatorilor macroeconomici). Ar fi imposibil de imaginat sore exemplu o economie în care datele din seria de timp ce redă evoluţia preţului unui produs sunt extrase aleator dintr-o urnă. Partea autoregresiva surprinde mecanismele interne de generare ale procesului;- componentă de tip medie mobilă este efectul unor evenimente nepredictibile, asupra variabilei, efecte asimilate treptat în timp. Această componentă este justificată prin intervenţia unor schimbări bruşte, neaşteptate în rândul factorilor exteriori corelaţi cu variabila (ex.greve, diverse ştiri, schimbarea bruscă a vremii → pentru varibile din agricultură). Spre exemplu efectul unei ştiri importante, dar neaşteptate, privind activitatea unei societăţi se va repercuta asupra cursului actiunilor sale la bursă în următoarele săptămâni. Partea medie modilă surprinde asimilarea treptată a şocurilor (abaterilor accidentale) din afara sistemului.

Modelele ARMA sunt adecvate seriilor staţionare. Acestea au fost generalizate pentru serii nestationare ce devin staţionare prin diferenţiere, modelele rezultate fiind denumite modele autoregresive-integrate-medie mobilă ARIMA(p, d, q) unde d este ordinul de diferenţiere necesar pentru staţionalizarea seriei. Considerăm un proces aleator cu medie zero. Vom indica modul de scriere a modelelor utilizând operatorul de întârziere . ARMA(p,q):

sau

unde iar sunt polinoame de gradul p respectiv q în L. Cât de generale sunt aceste modele? Teorema de reprezentare a lui World arată că orice proces staţionar poate fi scris ca şi un proces de tip medie mobila cu un număr infinit (mare) de termeni. Dacă seria este nestaţionară şi devine stationară după d diferenţieri, Xt ARIMA(p,d,q) (adică ARMA(p,q)) foma restrânsă este:

.Caz particular: mersul aleator ARIMA(0,1,0). Există două modalităţi de generare a unor serii nestaţionare. a) Seriile nestaţionare în medie cu tendinţă deterministă polinomială devin staţionare dacă sunt diferenţiate de un număr de ori egal cu gradul polinomului de tendinţă.. De regulă seriile din economie devin taţionare după una sau două diferenţieri (astfel d=1 sau d=2). Spre exemplu daca seria are o tendinţă deterministă liniară atunci seria devine staţionară după o singură diferenţiere:

unde este un proces staţionar (prin urmare şi ). In acest caz valorile fluctuează în jurul unei drepte, sunt staţionare relativ la dreapta de tendinţă. Dacă seria are o tendinţă polinomiala de gradul 2 atunci sunt necesare două diferenţieri pentru ca seria să devină

30

staţionară. Dacă seria este staţionară relativ la o tendinţă deterministă se spune ca seria este staţionară relativ la tendinţă. O alta modalitate de transformare a acestora în serii staţionare constă în extragerea tendinţei deterministe din date (dupa estimarea ei prin functii elemenare). b) Un alt tip de proces nestaţionar este generat de de o ecuaţie de tipul AR(1) unde coficientul variabilei este unu:

sau fiind zgomot alb. Acesta se numeşte mers aleator şi în evoluţia acestuia se observă

periade cu aparente tendinţe de creştere sau descreştere care apoi îşi schimbă brusc, nepredictibil direcţia. Spunem că un astfel de proces are tendinţă stochastică, fiind rezultatul acumulării unor socuri aleatoare ce nu au o baza sistematică. Aceste evoluţii sunt specifice variabilelor financiare şi în principal seriilor ce redau evoluţia cursului unor acţiuni. Varianţa unui proces de tip mers aleator fară termen liber nu este constantă şi creşte odată cu t iar pentru forma cu termen liber atât media cât şi varianţa variază în timp (cresc odată cu t). Spre exemplu daca valoarea de pornire la momentul t=0 este atunci:

iar varianţa creşte odată cu t, deoarece . Mersul aleator constituie un prototip pentru o clasă de proces nestaţionare numite procese integrate; trebuie evidentiată şi importanţa practica a acestui model, fiind întâlnit specific mai ales seriilor din dmeniul financiar. Observăm că şi in acest caz după o singură diferenţiere seria devine staţionară:

respectiv .Polinomul in L asociat părţii autoregresive din modelulul AR(p):

are o singură rădăcină pe cercul unitate (în modul egală cu 1). Seria este staţionară prin diferenţiere sau este integrată de ordinul 1 (sau are o radăcină unitate, „unit root”) , şi se notează prin I(1). Rădăcinile unitate, adică rădăcinile polinomului autoregresiv ce se află pe cercul unitate se referă doar la comonenta stochastică a seriei. Majoritatea seriilor din economie sunt nestaţionare în medie dar diferenţa de ordin întâi

devine staţionară. Dacă sunt necesare două diferenţieri succesive pentru ca seria să devină staţionară:

spunem că seria este integrată de ordin doi I(2). In general, un proces (serie) este integrat de ordin d, notat prin I(d), dacă este necesar a fi diferenţiat de d ori până devine staţionară; este staţionară. Modelele de tip ARIMA acoperă o clasă largă de procese nestaţionare. Atât seriile cu tendinţă deterministă polinomiala cât şi cele cu tendinţă stochastică pot fi transformate în serii staţionare prin diferenţiere.

31

2. Modelul autoregresiv. Proprietăţile funcţiei de autocorelaţie respectiv de autocorelaţie parţială a) Funcţia de autocorelaţieConsiderăm un model autoregresiv de ordinul unu AR(1) sau ARIMA(1,0,0): unde

iar este zgomot alb cu media E şi varianţa . Procesul este staţionar

dacă coeficientul . Observaţii. a) Dacă procesul este nestaţionar, şi are o evoluţie explozivă, exponenţială. Un asemenea comportament este rar întâlnit în practică (creştere exponenţiala, pe termen nelimitat). b) Dacă regăsim mersul aleator. c) Pentru procesul este de tip zgomot alb de medie .Fără a restrânge generalitatea considerăm un model autoregresiv de ordinul unu AR(1) cu medie zero (dacă media procesului este diferită de zero se realizează substituţia

) : unde . Proprietate. Dacă atunci procesul AR(1)este staţionar. Funcţia de autocorelaţie a unui proces autoregresiv de ordinul unu AR(1) are expresia:

.

Demonstraţie.

Astfel: E(Yt) = 0 (erorile au media zero), deci independentă de t

= .

Covarianţa devine:

Dacă atunci independentă de t.

32

fiind independentă de t. Observatie. In cazul regasim varianţa unui proces nestaţionar de tip mers aleator.

Prin urmare, funcţia de autocorelaţie este independentă de t şi are expresia:

.

Observatie. Atunci când a1 > 0 funcţia de autocorelaţie descreşte exponenţial, iar pentru a1 < 0 descreşte sinusoidal (dinţi de ferăstrău, valorile negative alternează cu cele pozitive). Un proces AR(1) în care apare şi constanta:

are media egală cu respectiv varianţa .

Astfel, dacă seria fluctuează în jurulunei valori diferită de zero, media fiind nenulă, în ecuaţia modelului se va introduce şi termenul constant. Utilizând scrierea cu operatorul L, un model AR(1) devine

iar condiţia de staţionalitate este echivalentă cu cerinţa ca radăcina polinomului de gradul unu , notata cu x să aibă modulul mai mare decât unu:

=0 rezultă , adicăOperatorul L face posibila scrierean succintă a unui filtru cu un număr infinit de termeni. Spre exemplu pentru AR(1) rezultă:

iar condiţia de stabilitate a procesului revine la condiţia de convergenţă a seriei formată

cu coeficienţii filtrului ; regăsim aceeaşi condiţie de stabilitate, seria fiind

convergentă atunci când . Redăm, fără demonstratie, următoarea proprietate, ce indică condiţiile ce trebuie verificate de coeficienţii unui model AR(p) pentru ca acesta să fie staţionar. Proprietate. Un model AR(p):

este staţionar atunci când rădăcinile polinomului ( rădăcini reale sau complexe) sunt în modul mai mari decât unu (se mai spune ca sunt in exteriorul cercului unitate) .

b) Funcţia de autocorelatie partială

33

Din definiţia funcţiei de autocorelaţie parţială rezultă căci coeficienţii de autocorelaţie parţiala a unui model AR(p) sunt egali cu zero, pentru k mai mare decât p (ordinul modelului).

Spre exemplu este coeficientul de regresie a variabilei în modelul autoregresiv AR(p+1):

.ori acesta este nul deoarece pentru un model AR(p) coeficientul =0. 3. Modelul medie mobilă. Proprietăţile funcţiei de autocorelaţie respectiv de autocorelaţie parţială Intr-un model de tip medie mobilă sunt utilizate erorile înregistrate în trecut ca şi variabile explicative:

. a) Funcţia de autocorelaţieConsiderăm un model medie mobilă de ordinul unu MA(1) sau ARIMA(0,0,1) cu medie zero:

Proprietate. Un model de tipul MA(1) este staţionar iar funcţia sa de autocorelaţie se anulează pentru . Demonstraţie. Media procesului este nulă: Varianţa procesului:

deoarece:

rezultă

Covarianţa:

rezultă funcţia de autocorelatie:

Semnul coeficientului de autocorelatie este invers semnului lui . Proprietate. Funcţia de autocorelaţie a unui model de tipul MA(q) se anulează pentru

.Demonstraţie.

34

Media este nulă: Varianţa procesului:

.

Covarianţa:

rezultă funcţia de autocorelatie:

Funcţia de autocorelatie parţială a unui model medie mobilă se comportă in mod similar cu funcţia de autocorelaţie a modelelor autoregresive. Dacă procesul are medie nenulă atunci modelul include şi un termen liber, acesta fiind egal cu media:

deoarece .

4. Etapele elaborării unui model ARIMA (autoregresiv integrat medie mobilă)

Etapele (metodologia) de elaborare a unui model ARIMA (p,d,q) 1. Identificarea modelului → se precizează valorile adecvate pentru p, d respectiv2. Estimarea parametrilor modelului → estimarea coeficienţilor ai, bi, 3. Testarea validităţii modelului şi respecificarea acestuia. Daca modelul nu este

valid atunci se respecifica modelul (alte valori plauzibile pentru p,d,q) şi se reiau etapele anterioare.

4. Utilizarea modelului in generarea de peviziuni (odată ce a trecut testele devalidare).

Modelarea ARIMA presupune în esenţă urmatoarele:- verificarea staţionalităţii. Dacă se constată că seria este nestaţionară atunci se diferenţiază până când devine staţionară, rezultând ordinul de diferenţiere d (de regulă d = 1, 2);- ţinând seama de forma funcţiei de autorelaţie şi de autocorelaţie parţială (estimate) şi pentru seria diferenţiată se stabilesc valori plauzibile pentru p respectiv q adecvate;- se estimează modelul selectat;- se testează validitatea modelului. Aici avem doua grupe de teste:

- este de tip zgomot alb? → teste privind comportamentul reziduurilor- teste privind semnificaţia coeficienţilor ai, bi;

- generarea previziunilor, în baza modelului estimat.

35

Identificare model

Estimarea parametrilor modelului

Teste de validitate NU

DA Previziuni

stabilire valori p,q,d

ai, bi = ? -rez. zgomot alb- semnif. coef.

a) Identificarea (specificarea) modeluluiEste etapa cea mai importantă dar şi cea mai dificilă. Sunt utile funcţiile de autocorelaţie şi de autocorelaţie parţială estimate. Forma acestora indică modele posibile (teoretice), adică cele mai plauzibile valori pentru p, q şi d. Comparând funcţiile estimate cu cele teoretice specifice fiecărui model şi se vor alege unu sau mai multe modele teoretice ce par adecvate.

a1) Stabilirea ordinului de diferenţiere. Dacă o serie este nestaţionară în medie (media nu este constantă în timp) se vor calcula diferenţele de ordin 1 eventual 2, în scopul stabilirii ordinului de diferenţiere d.

Observaţie. Dacă seria este uşor nestaţionară şi în varianţă este indicat, inainte de modelare, a se logaritma datele iniţiale, reducând astfel amplitudinea fluctuaţiilor seriei. Se va lucra în continuare cu datele logaritmate. De regulă seriile din domeniul financiar au un astfel de comportament.

a2) Stabilirea valorilor plauzibile pentru p respectiv q. După eventuale diferenţieri şi alte transormări aplicate datelor iniţiale (exemplu logaritmare), în scopul staţionarizării seriei, se trece la stabilirea unui model adecvat, de tip autoregresiv medie mobilă ARMA(p,q), pentru datele obţinute în urma diferenţierii (care sunt staţionare). Dacă nu pare adecvat un model AR(p) sau MA(q) cu număr mic de paramarametri ( p respectiv q 4) atunci se va încerca un model mixt ARMA ce combină ambele părţi.

Se au în vedere următoarele proprietăţi ale funcţiile de autocorelaţie şi de autocorelaţie parţială, expuse pentru cele mai frecvente modele.

Model Funcţia de autocorelaţie Funcţia de autocorelaţie

parţială ck

AR(1) - descreşte exponenţial dacă a1 > 0- descreşte sinusoidal, dacă a1 < 0

- c1 semnificativ (> 0 dacă a1 > 0 şi <0 dacă a1 < 0); - ck = 0, k 2

AR(2) descreşte exponenţial sau sinusoidal. Forma exactă

- c1 şi c2 semnificativi- ck = 0, k 3

36

depinde de semnul şi valoarea coeficienţilor a1 şi a2

AR(p) descreşte exponenţial sau sinusoidal. Forma funcţiei depinde de semnul şi valoarea coeficienţilor a1, …, ap

-c1, …, cp – semnificativi-ck = 0, k p+1

MA(1) semnificativ (> 0 dacă b1< 0şi dacă b1 > 0); rk = 0, k 2

exponenţial dacă b1 > 0sinusoidal dacă b1 < 0

MA(2) semnificativrk = 0, k 3

descreşte exponenţial sau sinusoidal. Forma exactă depinde de semnul şi valoarea coeficienţilor b1, b2

MA(q) semnificativirk = 0, k p+1

descreşte exponenţial sau sinusoidal. Forma funcţiei depinde de semnul şi valoarea coeficienţilor b1, …, bq

ARMA(1,1) descreşte exponenţial. Semnul lui depinde de cel al diferenţei a1–b1

descreşte exponenţial dacă b1 > 0 respectiv sinudoidal dacă b1 < 0

ARMA (p,q) descreşte exponenţial sau sinusoidal începând cu k=q-p

descreşte exponenţial sau sinusoidal începând cu k=q-p

În practică dispunem doar de estimaţii pentru funcţia de autocorelaţie respectiv autocorelaţie parţială. Prin urmare, vom căuta:

- cea mai mică valoare a lui k începând de la care funcţia de autocorelaţie parţială nu diferă semnificativ de zero (începând de la care ipoteza nulă H0 : nu se respinge). Obţinem astfel valoarea plauzibilă pentru p ordinul modelului autoregresiv AR(p);

- cea mai mică valoare a lui k începând de la care funcţia de autocorelaţie nu diferă semnificativ de zero (începând de la care ipoteza nulă H0 : nu se respinge). Obţinem astfel valoarea plauzibilă pentru q, ordinul modelului medie mobila MA(q).

În principiu nu este dificil să distingem între un model AR(p) şi un model MA(q), în schimb determinarea ordinelor p, q pentru un model mixt este un proces relativ incert. Există şi posibilitatea selectării modelului ce minimizeaza diferite criterii construite utilizând funcţia de verosimilitate (ex: criteriul Akaike AIC, criteriul Schwarz SC).

37

AR(p) este adecvat variabilelor dependente exclusiv de trecutul lor, cu pronunţat caracter inerţial (exemplu: consumul de bunuri de strictă necesitate unde se creează obişnuinţă). MA(q) e adecvat variabilelor „sensibile” la modificări ale variabilelor exogene, determinând abateri accidentale de la evoluţia medie. In economie, undele ambele efecte sunt prezente, modelele mixte s-au dovedit a fi deseori adecvate. Observaţie. Dacă există mai multe modele ce par a fi adecvate atunci se va reţine cel cu numar minim de coeficienţi.

b) Estimarea parametrilor modeluluiForma restrânsă a unui model ARMA(p,q) cu medie zero este:

respectiv a unui model ARIMA(p,q):

. Considerăm un model :

Metoda clasică a celor mai mici pătrate min conduce la estimatori, pentru

parametrii , ,..., , regăsind ecuaţiile Yule-Walker; acestea sunt relaţii între coeficienţii de autocorelaţie şi parametrii coeficienţii modelului. Considerăm un model cu medie zero:

Inmulţim această relaţie cu şi trecem la medie. Se obţine:

sau

deoarece . Impărţind relaţia anterioară la varianţa procesului , rezultă:

.Analog, dacă se înmulţeşte relaţia cu rezultă

Astfel, dacă în prealabil s-au calculat estimaţii pentru coeficienţii de autocorelaţie, din sistemul de ecuaţii

putem obţine estimaţii pentru coeficienţii modelului . In mod similar, pentru un model AR(p) rezultă sistemul de ecuaţii ce fac legătura între coeficienţii de autocorelaţie şi coeficienţii modelului, numite ecuaţiile Yule-Walker:

pentru i=1,2,...,p, respectiv, i=1,2,...,p

38

unde . Dacă în prealabil s-au calculat estimaţii pentru coeficienţii de autocorelaţie , , ..., , din acest sistem de ecuaţii rezultă estimaţii pentru coeficienţii modelului

.

Metoda clasică a celor mai mici pătrate min respectiv ecuaţiile Yule-Walker

conduc la estimatori ce nu sunt eficienţi deoarece există coliniaritate între variabilele explicative din model . Dacă modelul include şi o componentă medie mobilă, fiind MA(q) sau ARMA(p,q)

atunci apare o neliniaritate în raport cu parametrii (având în vedere relaţia .

De regulă se utilizează metoda verosimilităţii maxime; se recurge aici la utilizarea unor olgoritmi de optimizare neliniară (ex. algoritmul Newton-Raphson), aceştia fiind metode iterative specifice rezolvării modelelor neliniare în raport cu parametrii. Se presupune că erorile din model sunt o succesiune de variabile aleatoare independente, identic repartizate, cu medie zero şi normal distribuite. Ipoteza normalităţii erorilor

este necesară pentru a putea specifica o formă funcţională a funcţiei de verosimilitate. Funcţia de verosimilitate asociată seriei observaţiilor Y=(Y1, …, YT ) este:

Maximizarea acesteia conduce la valori pentru coeficienţii ce asigură cea mai mare probabilitate de apariţie a observaţiilor Y1, …, YT.

c) Teste de validitate şi respecificarea modeluluiPentru a vedea dacă modelul estimat surprinde adecvat modul de generare a datelor (caracterul inerţial respectiv cel de asimilare a şocurilor) este utilă în prealabil o analiza comparativă a funcţiei de autocorelaţie respectiv de autocorelaţie parţială estimate, pentru seria iniţială Yt respectiv pentru seria generată de model . O asemănare între corelogramele acestora indică faptul că model surprinde adecvat mecanismul de generare a datelor. Deasemenea se pot analiza radacinile unitate ale polinoamelor autoregresive respectiv medie mobilă. Se parcurg aici două grupe de teste: teste de semnificativitate a coeficienţilor modelului respectiv teste referitoare la reziduuri (pentru a vedea dacă sunt de tip zgomot alb). c1) Teste privind semnificativitatea si stabilitatea coeficienţilor Considerăm un model staţionar ARMA(p,q) cu medie diferită de zero:

Pornind de la matricea de varianţă-covarianţă a estimatorilor obţinuţi prin metoda verosimilităţii maxime (estimatori ce sunt convergenţi) se pot construi statistici de tip Student, pentru a testa semnificativitatea coeficienţilor respectiv . Distribuţia asimtotică a acestor statistici este dată de legea normală. Se testează dacă (sau ) diferă semnificativ de zero:

39

utilizând statistica ce urmează asimtotic legea normală N(0,1).

Pentru un nivel de semnificaţie , daca atunci ipoteza nulă H0

nu se respinge. Prin urmare variabila corespunzătoare se eliminină din model, şi se respecifică respectiv reestimează modelul. Pentru teste asupra coeficienţilor se pot utiliza aici şi alte teste precum testul Wald, sau teste de tip LM (Multiplicatorul lui Lagrange) pentru omisiunea unor variabile, teste de stabilitate a coeficienţilor.

Testul Chow este utilizat pentru testarea stabilităţii parametrilor unei regresii, adică pentru a afla dacă parametrii pot fi utilizaţi şi în afara eşantiotinului de date. Utilizarea acestui test impune ca seriile cronologice pentru care se aplică să fie staţionare. Ipoteza nulă este constanţa parametrilor.

Fie n volumul eşationului. Acesta se împarte în două : n1 şi n2, (n2 = n-n1). Nu există regulă strictă referitoare la această împărţire. De obicei, n2 se ia 10%, 15% sau 20% din n. Se va prezenta testul, în forma generală, pentru regresia econometrică multiplă, în cazul seriilor cronologice aplicându-se analog. Mai întâi se estimează prin metoda celor mai mici pătrate, pe baza a n1, estimatorul :

Unde este matricea variabilelor exogene, iar Y : , vectorul

coloană a variabilei endogene. Prin împărţirea eşantionului în n1 şi n2, se vor împărţii şi X şi Y în două. În continuare, se va utiliza şi se va calcula o predicţie pentru Y, utilizându-se de data aceasta cele n2 observaţii. Se obţine . În final se obţine

vectorul erorilor de previziune şi se analizează distribuţia acestuia.

Procedura practică de realizare a testului constă în următoarele :

1. Folosind cele n1 observaţii, se realizează regresia Y1 şi X1. Se obţin reziduurile restricţionate .

2. Se realizează regresia lui Y în raport cu X pe toate cele observaţii,

obţinându-se reziduurile nerestricţionate .

40

3. Se construieşte statistica .

La un nivel de semnificaţie ales, dacă este respinsă constanţa parametrilor.

c2) Teste privind reziduurileDacă modelul este bine specificat, atunci reziduurile din modelul estimat sunt generate de un proces de tip zgomot alb (succesiune de variabile aleatoare independente, identic repartizate), cu medie zero şi normal distribuit. Autocorelarea reziduurilor. Pentru detectarea unor dependenţe în seria reziduurilor se examinează funcţia de autocorelaţie şi de autocorelaţie parţială a reziduurilor. Dacă reziduurile sunt necorelate, atunci aceşti coeficienţi nu trebuie să fie semnificativ diferiţi de zero.

Se utilizează statistica student ce converge asimtotic la legea normală

, cu varianţa estimatorului coeficientului de autocorelaţie estimat prin

. Pentru un nivel de semnificaţie , ipoteza necorelării reziduurilor nu

se respinge dacă sau echivalent . Identic decurge şi testarea semnificativităţii autocorelaţiilor parţiale ale reziduurilor. Se utilizează aici şi teste mai puternice de autocorelaţie, fiind teste globale de semnificativitate a coeficienţilor de autocorelaţie a reziduurilor, testându-se o ipoteza de forma:

pentru care

Testul Ljung-Box sau statistica Q:

Dacă atunci se respinge ipoteza nulă, fiind necesară respecificarea modelului. Atunci când Q nu diferă semnificativ de zero, primele M autocorelaţii sunt nesemnificative. In practica M se consideră arbitrar, sugerându-se valori între 10 şi 20.

Un alt test ce se bucură de popularitate este testul LM. Testul LM pentru erori de tipul AR(p) and MA(q) (testul Breusch-Godfrey). Considerăm un model cu erori corelate de tip AR(p):

unde este un proces de tip zgomot alb. Ipoteza nula (nu există autocorelaţie până la ordnul p) respectiv alternativa sunt:

41

Seria reziduurilor este obţinută în urma estimării ecuaţiei de regresie, prin metoda celor mai mici pătrate. Utilizând aceste reziduuri se estimează regresia auxiliară:

t=p+1,...,TAtunci când ipoteza nulă este adevărată, statistica:

urmează legea , unde este coeficientul de determinaţie din regresia auxiliară. Ipoteza nulă se respinge atunci când LM depăşeşte valoarea critică, pentru un anumit nivel de semnificaţie . Testul LM rămâne acelaşi şi atunci când erorile sunt de tip MA(q).

Investigarea normalităţii reziduurilor. Pentru testarea normalităţii erorilor se recomandă, în literatura de specialitate, utilizarea testului Jarque-Bera (1981), bazat pe coeficienţii de asimetrie şi boltire:

.

Investigarea heteroscedasticităţii reziduurilor. Testul multiplicatorilor lui Lagrange pentru heteroscedasticitate de tip ARCH(p) presupune:

- estimarea reziduurilor din ecuaţia ce defineşte modelul;- estimarea regresiei auxiliare (ce fundamentează testul):

;- testarea ipotezei nule în ecuaţia de regresie auxiliară:

(nu există efect ARCH).

Dacă ipoteza nulă este adevarată, statistica LM definită prin: ,

unde este coeficientul de determinaţie aferent regresiei auxiliare iar T este lungimea seiei de timp, urmează asimptotic legea . Ipoteza omoscedasticităţii (varianţă constantă în timp) se respinge dacă LM calculat este superior valorii critice.

5. Elaborarea previziunilorOdată elaborat şi validat, modelul ARIMA este utilizat pentru generarea de previziuni. Se elaborează:

a) previziuni punctuale b) intervale de previziune.

a) Previziuni punctuale Pentru un orizont de previziune h, ataşăm momentului T+h, unde T este originea efectuării previziunii, variabila aleatoare . O previziune punctuală, notată este

dată de media (sau speranţa matematică) variabilei , această medie fiind condiţionată de istoricul variabilei. In general

42

Previziunile se obţin în baza informaţiilor disponibile până la momentul T. Previziunile punctuale se obţin pas cu pas, pentru calculul unei previziuni fiind necesare valorile previzionate aferente perioadelor anterioare pentru termenii autoregresivi dar şi pentru erorile . Reguli de urmat:

- termenii autoregresivi pentru (adică se substituie cu previziunile obţinute la paşii anteriori;

- termenii autoregresivi pentru se înlocuiesc cu valorile înregistate, aici fiind cunoscuţi termenii seriei ( , , ...);

- termenii eroare pentru (adică ) se înlocuiesc cu zero,

(se înlocuiesc cu media acestora , deoarece erorile sunt de tip zgomot alb, cu media 0; previziunile optime sunt date de media acestora).

- termenii eroare pentru (adică ) se înlocuiesc cu reziduurile estimate din model (spre exemplu , pentru .

Exemplu. Se consideră modelul ARMA(1,1):

lungimea seriei fiind T=70 iar iar reziduul aferent ultimei observaţii este . Previziuni punctuale:

h = 1;

h=2; .

Dacă seria a fost diferenţiată / logaritmată în prealabil atunci se va ţine seama ca acest aspect în elaborarea previziunii (de regulă se aplică operaţia inversă transformării). In general este utilă scrierea concentrată a modelului, utilizând operatorul de diferenţiere L.

b) Determinarea intervalului de previziuneEroarea de previziune:

.

Presupunem că erorile modelului sunt normal distribuite . Eroarea de previziune urmează de asemenea legea normală:

rezultă

.

Din distribuţia legii normale de probabilitate, pentru o probabilitate P fixată se determină k astfel încât:

43

rezultă intervalul de previziune:

Calculul varianţei erorii de preziune necesită punerea modelului sub forma mediei mobile cu un numar infinir de termeni (orice model ARMA poate fi pus în această formă):

sau

unde este polinomul coeficienţilor.

Din forma redusă a modelui ARMA rezultă , astfel

coeficienţii polinomului C se obţine egalând coeficienţii termenilor de forma Lj , j=1,2,… în egalitatea . Utilizând forma medie mobilă:

rezultă

.

Pentru dispersia erorii de previziune se utilizează estimaţia sa . Observaţie. Calitatea modelului de a genera previziuni adecvate poate fi verificată pe baza unor previziuni „de probă”, utilizând ultimele observaţii disponibile ca şi secvenţă „martor” de observaţii. În etapa elaborării modelului se are în vedere seria cronologică ce nu conţine această secvenţă martor şi se măsoară acurateţea previziunii printr-un indicator sintetic de tip MSE, MAPE sau RMSE (ce trebuie să fie minim).

6. Corelatii neliniareIdentificarea dinamicilor nonliniare, este deosebit de importantă spre exemplu in

testarea eficientei pietei de capital, deoarece lipsa dependenţelor liniare nu implică neapărat faptul că rentabilităţile au o evoluţie aleatoare. Formele de dependenţă mai complexe nu pot fi detectate şi modelate prin modele liniare clasice. Prin modelara nonliniară se rezolvă acele paradigme de care a fost dominată decenii întregi literatura financiară, crezându-se că seriile finaciare urmează modele liniare.

Existenţa dinamicilor nonliniare a fost pusă în evidenţă atât pe pieţele emergente cât şi pe pieţele mature. Posibilii factori care contribuie la formarea dependenţelor nonliniare în seria rentabilităţilor titlurilor de pe pieţe mature ar fi : comportamentul iraţional al investitorilor, dificultăţi în realizarea de arbitraje, eterogenitatea obiectivelor investitorilor şi diversitatea percepţiilor actorilor pieţei. Nonliniaritatea rentabilităţilor titlurilor de pe pieţele emergente are mai multe cauze printre care: prezenţa unor investitori mai puţin sofisticaţi, lichiditate scăzută, volatilitate ridicată, un comportament

44

nu tocmai raţional al investitorilor. În general, investitorii sunt mai sensibili la înregistrarea unor pierderi decât la câştiguri, au aversiune faţă de pierderi. Cei care au avut pierderi în perioade anterioare, ar putea adopta o atitudine de atracţie faţă de risc pentru a putea recupera pierderile. Acest comportament duce la o încorporare neliniară a informaţiei în curs. De asemenea unii investitori, asteaptă reacţiile celorlalţi participanţi deoarece nu au capacitatea sau suficiente resurse de a analiza noua informaţie.

Testul BDS (1987) este un test non-parametric, de “portmanteau” având ca şi ipoteză nulă H0 : seria este i.i.d. cu alternativa nespecificată. Aceasta poate fi una dintre variantele: seria este nestaţionară, prezintă dependenţe liniare, sau prezintă dependenţe non-liniare. Denumirea testului provine de la iniţialele autorilor săi Brock, Dechert şi Scheinkman.

În spatele testului stă următoarea metodologie. Mai întâi se alege o distanţă, fie aceasta ε şi o pereche de puncte. Probabilitatea ca pentru orice perechi de puncte, distanţa dintre acestea să fie mai mică sau egală cu ε, va fi constantă dacă observaţiile seriei sunt i.i.d. Notăm această probabilitate cu c1(ε).

Se formează în continuare mulţimea perechilor de puncte, alegând pe rând observaţiile consecutive din eşantion:

{{Xk, Xl}, {Xk+1, Xl+1}, {Xk+2, Xl+2}, … , {Xk+m-1, Xl+m-1}}

Unde m este numărul de puncte consecutive din mulţime. Se va nota cu cm(ε) probabilitatea ca fiecare pereche de puncte să satisfacă condiţia de mai sus. Dacă observaţiile sunt independente, probabilitatea cm(ε) va fi produsul probabilităţilor individuale ale fiecărei perechi de puncte.

Probabilităţile şi sunt estimate prin şi. Sub ipoteza nulă, statistica BDS este distibuită asimptotic după o lege normală standardizată şi este definită ca:

Numărătorul este estimatorul varianţei termenului .

Trebuie menţionat că testul este sensibil la alegerea valorilor lui m şi r. În practică se ia m– numărul de dimensiuni sau numărul de observaţii-puncte ce se includ în test cuprins între 2 şi 6, iar pentru r, valorile abaterii medii pătratice se iau între 0,5 şi 1,5.

7. Extinderi ale modelelor ARIMA

a) Modele de tip autoregresiv medie mobilă pentru evoluţii sezoniere SARIMA

45

Notăm prin s perioada componentei sezoniere. Dacă seria este nestaţionară relativ la componenta sezonieră (amplitudinea oscilaţiilor creşte sau scade în timp) atunci se determină diferenţele sezoniere de ordin 1:

In general se norează cu D numărul de diferenţieri sezoniere necesare pentru a staţionaliza componenta sezonieră (de regulă D=1). Etapa de identificare:

1. se identifică o combinaţie de valori plauzibile pentru d şi D care staţionalizează seria;

2. din graficele funcţiilor de autocorelaţie respectiv autocorelaţie parţială a seriei diferenţiate (care este staţionară) se identifică valori plauzibile pentru gradele polinomului autoregresiv p, polinomului medie mobilă q respectiv pentru gradele polinomului autoregresiv sezonier P şi a polinomului medie mobilă sezonier Q:

iar . Notaţia generală SARIMA(p,d,q)(P,D,Q). Ordinele polinoamelor sezoniere P, Q sunt identificate în mod similar cu p, q analizând funtiile

de autocorelaţie respectiv de autocorelaţie parţială pentru k=s, 2s, ....

b) Modele de tip GARCHIn abordarea tradiţională de tip Box-Jenkins previziunile sunt bazate pe media condiţionată a variabilei . Abordarea de tip ARCH ia în considerare, în elaborarea previziunilor, şi informaţiile conţinute în varianţa condiţionată a procesului (momentul condiţionat de ordinul doi). Este specific seriilor cu varianţă variabilă în timp (nestaţionare relativ la varianţă). Erorile nu au aceeaşi varianţă (adică nu verifică condiţia de homoscedasticitate) intervale de timp cu erori de preziune mari (în perioade de instabilitate economicâ) fiind urmate de intervale cu valori mici. Engle (1982) a introdus pentru prima dată acest tip de modele, considerând că varianţa erorii depinde de termeni de tipul şi .

Avem aici două tipuri de ecuaţii: ecuaţia mediei condiţionate ce poate include şi variabile exogene respectiv ecuaţia varianţei condiţionate.

Analiza evoluţiei pe termen lung a variabilelor financiare sau economice, relevă deseori faptul ca varianţa acestora variază în timp. Modelele de tip ARCH sunt o clasă de modele populare în domeniul financiar (evoluţia ratei inflaţiei, ratei dobânzii, ratei rentabilităţii activelor ş.a.). Volatilitatea ridicată apare deseori în perioade cu turbulenţe politice sau economice sau ca răspuns la anumite evenimente punctuale.

Dependenţa de timp a varianţei empirice în seria ratei rentabilităţii acţiunilor a fost observată pentru prima dată de Kendall (1953), seria de timp disponibilă atunci fiind împărţită în două subeşantioane de date, în scopul analizei omogenităţii varianţei în timp. Autorul observa: “este o situaţie neobişnuită pentru o serie de timp: media rămâne constantă dar varianţa pare a creşte în timp”. În consecinţă spre exemplu în modelul de

46

tip mers aleator, pentru logaritmul indicelui preţului acţiunilor , erorile, egale cu ratele rentabilităţii ( ) nu au mai fost considerate identic distribuite:

,

Primul pas în direcţia modelării varianţei condiţionate a fost făcut de Engle în 1982, care a propus un model de tip ARCH, specificat prin intermediul primelor două momente condiţionate:

,

,

unde .

Iniţial, varianţa condiţionată a fost exprimată ca o medie ponderată a pătratului erorilor , adică în funcţie de şocurile trecute, aceasta fiind forma ARCH(p):

, .

Studiile empirice au arătat însă că o reprezentare adecvată necesită un p destul de mare. Pentru evitarea numărului mare de parametri necesar a fi estimaţi, Bollerslev (1986) a propus o formă mixtă analoagă cu cea din procesele autregresive – medie mobilă (notaţia consacrată GARCH):

.

Modelele GARCH găsesc suport empiric în domeniul financiar, specificarea pentru cel mai simplu model din această clasă GARCH(1,1) sugerând intuitiv următorul comportament:

- dacă rentabilitatea activului a fost mult mai mare sau mult mai mică decât cea aşteptată atunci şi varianţa estimată pentru următoarea perioadă va fi mai mare, incertitudinea privind nivelul ratei în următoarea perioadă crescând (termenii medie mobilă );

- de asemenea deviaţiile mari ale rentabilităţii tind a fi urmate de abateri mari (termenii autoregresivi ).

O serie de alte forme sunt propuse în literatură pentru modelarea varianţei, cele mai uzuale includ şi alte variabile explicative în ecuaţia varianţei condiţionate sau impun anumite restricţii privind parametrii din această ecuaţie.

Un proces heteroscedastic presupune specificarea unui model pentru media condiţionată ca o funcţie de variabile exogene şi termenul eroare , respectiv a unui model pentru varianţa erorii. Forma generală a unei ecuaţii de tip GARCH(p,q) pentru varianţa erorii este:

47

unde p este ordinul părţii medie mobilă ARCH (unde intervin pătratele reziduurilor din ecuaţia mediei) iar q ordinul parţii autoregresive GARCH. Varianţa condiţionată este varianţa erorii , din ecuaţia mediei, condiţionată de informaţiile disponibile:

Astfel, este necesar aici a se specifica două grupe de ecuaţii: ecuaţia mediei condiţionate respectiv ecuaţia varianţei condiţionate. Exemplele clasice sunt modelul ARMA(p,q) cu erori heteroscedastice GARCH:

sau regresia cu erori heteroscedastice GARCH (scriere matricială):

În specificarea unei forme GARCH pentru varianţă sunt utile instrumentele utilizate pentru identificarea ordinului părţii autoregresive p respectiv medie mobilă q relativ la modelele ARMA(p,q). Variabila pentru care dorim specificarea unui model de această formă este în acest context pătratul reziduurilor .

PARTEA 3Elaborarea modelor econometrice pentru serii financiare staţionare

respectiv nestaţionare. Valoarea la risc

1. Elaborarea unui model econometric, pentru serii staţionare

Atunci când seriile de timp ce intervin sunt staţionare, pentru elaborarea modelului pot fi utilizate tehnicile din econometria clasică. a) Influente instantanee. Un model econometric liniar multiplu explică comportamentul variabilei dependente Y funcţie de mai mulţi factori de influenţă :

.sau în formă matricială:

48

unde T este numărul observaţiilor, k numărul variabilelor explicative, X matricea observaţiilor relativ la variabilele explicative (prima coloană este 1, şi corespunde coeficientului ), iar a este vectorul coeficienţilor de estimat.

Estimarea coeficienţilor modelului se realizează prin metoda celor mai mici pătrate, minimizând suma patratelor erorilor:

.

Pentru minimizarea expresiei S derivăm în raport cu a şi rezultă:

Teste de validitate şi respecificarea modelului. Se utilizeaza aici testele de validitate prezentate la modelele ARMA. Se aplică două grupe de teste: teste de semnificativitate a coeficienţilor modelului respectiv teste referitoare la reziduuri. Dacă modelul este valid, reziduurile sunt de tip zgomot alb.

a) Teste privind semnificativitatea coeficienţilor. Presupunem că erorile sunt distribuite dupa legea normală. Se testează dacă diferă semnificativ de zero:

utilizând statistica ce urmează legea Student cu T-k-1 grade de libertate.

Pentru un nivel de semnificaţie , daca atunci ipoteza nulă H0

nu se respinge. Prin urmare variabila corespunzătoare se eliminină din model, şi se respecifică respectiv reestimează modelul. Pentru teste asupra coeficienţilor se pot utiliza aici şi alte teste precum testul Wald, sau teste de tip LM (Multiplicatorul lui Lagrange) pentru omisiunea unor variabile. Testul Chow este utilizat pentru testarea stabilităţii parametrilor unei regresii, adică pentru a afla dacă parametrii pot fi utilizaţi şi

b) Teste privind reziduurile. Dacă modelul este bine specificat, atunci reziduurile din modelul estimat sunt generate de un proces de tip zgomot alb (succesiune de variabile aleatoare independente, identic repartizate), cu medie zero şi normal distribuit. Se aplică aici testele prezentate la validarea unui model de tip ARMA, privind:

- autocorelarea reziduurilor (testul Ljung-Box Q, testul LM privind corelaţia serială)- normalitatea erorilor (testul Jarque-Bera)- investigarea heteroscedasticităţii reziduurilor (testul LM pentru heteroscedasticitate de tip ARCH).

b)Influente esalonate in timp. In urma estimarii unui model cu influente instantanee, erorile raman corelate. Se includ si variabile cu intarzieri esalonate: trecutul variabilei dependente + prezentul si trecutul variabilelor explicative exogene, rezultand

49

modele de tip ADL (autoregresive distributed lag). In cazul unei singure variabile explicative exogene, modelul ADL(p, q) se scrie:

Modelul se estimeaza si valideaza utilizand testele discutate (privind semnificativitatea coeficientilor respectiv testele privind reziduurile).

Specificarea dinamică a unui model include specificarea efectului întârziat a variabilelor explicative (strucura dinamică a părţii sistematice din model) dar şi specificarea dinamică a termenului eroare (partea nesistemaţică din model). Considerăm un model liniar clasic de regresie, cu o singură ecuaţie:

t=1,2, ...,Tunde este vectorul celor K variabile explicative (de dimensiune 1xK), iar este vectorul coeficienţilor modelului (de dimensiune Kx1) . Atunci când erorile din model sunt corelate, fiind generate spre exemplu de un proces ARMA, estimatorii obţinuţi pentru coeficienţi prin metoda celor mai mici pătrate respectiv prin metoda verosimilităţii maxime rămân nedeplasaţi dar sunt ineficienţi. De asemenea estimatorul matricii de varianţă-covarianţă a estimatorului este deplasat, astfel toate testele bazate pe matricea de varianţă-covarianţă estimată devin ineficienţi (ex. testul t, testul F, testele bazate pe ....). Un model greşit speficat conduce la previziuni inadecvate, iar pentru generarea unor previziuni eficiente este necesar a se ţine seama şi de informaţiile conţinute în reziduuri (faptul că reziduurile precedente ajută la previziunea reziduurilor curente). De asemenea dacă apar variabile de tip autoregresiv ca şi variabile explicative atunci estimatorii obţinuţi prin metoda celor mai mici pătrate sunt deplasaţi. Printre cauzele autocorelării erorilor se află şi specificarea greşită a dinamicii părţii sistematice din model. Pentru detectarea autocorelaţiei erorilor sunt utile testul Durbin-Watson, corelograma rezidurilor, testul Ljung-Box, testul LM. Atunci când erorile din modelul de regresie sunt corelate, este necesară respecificarea modelului, soluţiile clasice fiind respecificarea variabilelor explicative sau a formei modelului dar şi respecificarea părţii nesistematice, adică a erorii. Această ultimă soluţie se are în vedere în cele ce urmează. Există implementate în softurile statistice proceduri de estimare adecvate pentru estimarea unor modele de regresie cu erori de tip ARMA. Metoda celor mai mici pătrate în două etape notată TSLS în EViews este adecvată pentru estimarea unui model de regresie cu erori autocorelate sau a unor modele în care există corelaţii între variabilele explicative şi termenul eroare. Ca şi variabile explicative pot figura aici şi termeni de tip autoregresiv pentru variabila dependentă. Această metodă se bazează pe metoda variabilelor instrumentale; se caută aici alte variabile explicative care să fie corelate cu variabilele explicative iniţiale dar necorelate cu eroarea. Atunci când se estimează modele cu erori ARMA in Eviews sunt incluse automat ca şi variabile instrumentale termenii de tip autoregresiv pentru variabila

50

dependentă respectiv pentru variabilele independente, corespunzători ordinului speficat pentru eroare.

In Eviews este de asemenea implementata procedura Newey-West, adecvata pentru estimarea modelului atunci cand erorile sunt heteroscedastice respectiv autocorelate.

8. Aplicatie. Modelul de piataRelaţia dintre rentabilitatea unui titlu şi rentabilitatea pieţei poate fi evidenţiată prin

intermediul modelului de piaţă. Variaţiile cursului oricărui titlu sunt, mai mult sau mai putin, legate de variaţiile pietei în ansamblul ei. Anumite titluri sunt mai volatile, mai sensibile decât altele la mişcările pieţei. Cursul unui titlu poate varia sub influenţa unor factori care afectează piaţa în ansamblul ei (factori macroeconomici, politici, legislativi, externi), caz în care vorbim despre riscul de piaţă. Dar riscul titlului poate varia şi datorită unor factori strict legaţi de societate, acesta fiind riscul specific. Relaţia dintre rentabilitatea unui titlu şi rentabilitatea pieţei poate fi evidenţiată prin intermediul modelului de piaţă:

unde - rata de rentabilitate a actiunii în perioada t, - rata de rentabiliate a pieţei, în perioada t, β - parametru propriu fiecărei acţiuni, se mai numeşte coeficient de volatilitate sau simplu beta.

Conform teoriei moderne a portofoliilor, β este elementul central pentru că el măsoară riscul sistematic al acelui titlu sau portofoliu. În funcţie de valoarea pe care acesta o ia, acţiunile sau portofoliile se pot împărţi în:

acţiuni cu volatilitate unitara: variaza in acelasi sens si in aceeasi proportie cu piata. Achiziţionarea unei astfel de acţiuni presupune expunerea investitorului exact la riscul pieţei;

actiuni cu volabilitate subunitara: variaza in acelasi sens dar intr-o proportie mai mica decat piata. Expunerea la riscul pieţei este mai mică, ele fiind acţiunile “defensive”;

actiuni cu volatilitate supraunitara: variaza in acelasi sens,intr-o proportie mai mare decat piata. Sunt acţiunile “ofensive” ce amplifică variaţia pieţei şi sunt atractive când se anticipează o tendinţă ascendentă a pieţei.

Mişcările cursului unui titlu cu beta supraunitar vor amplifica mişcarea pieţei în ansamblul ei; al unui titlu cu beta cuprins între 0 şi 1 vor amortiza mişcările pieţei iar un titlu cu beta negativ va reprezenta o valoare de refugiu în raport cu indicele.Distincţia dintre risc sistematic şi risc specific poate fi evidenţiată pornind de la modelul de piaţă, prin aplicarea varianţei, astfel:

adică (Riscul total)2 = (Risc sistematic)2 + (Risc specific)2. Riscul sistematic este egal cu beta înmulţit cu abaterea medie pătratică a rentabilitatii pieţei: . Riscul specific este egal cu abaterea medie pătratică a reziduului , aceasta fiind măsura variabilităţii proprii a titlului.

Un portofoliu este cu atât mai riscant cu cât titlurile care îl conţin vor avea un beta mai mare. Gradul de independenţă a variaţiilor de curs între ele au o mare importanţă în reducerea riscului portofoliului. În general, două acţiuni nu vor varia de o manieră total

51

independentă; covarianţa lor este în general mai mare decât 0. În acest caz, reducerea riscului nu este aşa de mare ca şi în cazul în care cele două acţiuni variază independent. Componenta de piaţă a unui portofoliu va varia de o manieră sistematică dată de incertitudinile pieţei. Este imposibil să se elimine acest risc şi orice investitor şi-l va asuma mai mult sau mai puţin. Componenta indepndentă a portofoliului, dată de factorii specifici societăţilor cotate, poate fi eliminată prin diversificarea portofoliului.

În cadrul modelului de piaţă, prezintă importanţă testarea semnificaţiei lui . În cazul în care acesta nu diferă semnificativ de 0, piaţa nu va avea o influenţă semnificativă asupra rentabilităţii titlului respectiv, titlul nu este expus riscului de piaţă.

Estimarea si validarea modelului se realizeaza prin tehnicile specifice econometriei clasice, ratele rentabilităţilor fiind de regulă staţionare. Ipotezele ale modelului de piaţă sunt, în fapt ipotezele econometrice clasice ale unui model econometric liniar simplu.

Critici aduse lui beta: este instabil, efect de interval. Beta reflectă riscul de piaţă al societăţii emitente. În funcţie de deciziile pe care societatea le ia, variază şi risul de piaţă. Astfel, creşterea ratei de îndatorare a societăţii va creşte riscul financiar şi implicit riscul de piaţă, măsurat prin beta. Adoptarea unor proiecte de activitate riscante de către societate, va duce la creşterea riscului acestora.

3. Analiza cauzalităţii dintre variabile

Înainte de specificarea unui model actuarial pentru investiţii este important de testat natura relaţiilor existente între variabile. Ne vom referi în continuare, pentru simplitatea expunerii, la două variabile Y respectiv X.

În sensul abordării propuse de Granger (1969) X este cauza pentru Y, sau X explică pe Y, dacă X ajută la predicţia lui Y. Procedura presupune a se cuantifica cât din nivelul current al variabilei Y poate fi explicat prin valorile sale istorice iar apoi a se vedea dacă adăugând variabile de tipul variaţia explicată creşte.

Testul Granger identifica daca variabila X aduce informatii aditionale (pe langa trecutul lui Y) ce pot fi utile in previziunea lui X. Se au in vedere informatiile continute in trecutul lui X. Se presupune ca cele doua variabile sunt stationare.

Analiza cauzalităţii între două variabile presupune parcurgerea etapelor de mai jos.

1) Pentru a testa dacă X este cauză pentru Y, în sens Granger, se estimează ecuaţia de regresie:

, (u)

unde k este fixat astfel încât erorile să fie zgomot alb. Relativ la această ecuaţie, ipoteza nulă respectiv alternativa sunt:

, X nu este cauză pentru Y,.

Testarea ipotezei precedente se realizează utilizând un test de tip Fisher-Snedecor construit astfel:

52

,

unde şi reprezintă suma pătratelor reziduurilor respectiv coeficientul de

determinaţie în ecuaţia fără restricţii (u) iar şi sunt aceleaşi elemente dar în

ecuaţia de regresie cu restricţii (r) ce include doar termenii de tip :

. (r)

Se respinge ipoteza nulă dacă valoarea calculată pentru statistica F este mai mare decât valoarea critică.

2) Analog, se testează dacă Y este cauză pentru X pornind de la regresia:

, (u)

Ipoteza nulă respectiv alternativa sunt:, Y nu este cauză pentru X

.

Testul F are aceeaşi formă:

,

şi referindu-se la ecuaţia de regresie cu restricţii (r):

. (r)

3) În urma aplicării celor două teste sunt posibile patru concluzii:

i) cauzalitate unidirecţională: X este cauză pentru Y (X Y) dacă ipoteza nulă se respinge la 1) şi se acceptă la 2);

ii) cauzalitate unidirecţională: Y este cauză pentru X (Y X) dacă ipoteza nulă se respinge la 2) şi se acceptă la 1);

iii) cauzalitate bidirecţională: X Y dacă ipoteza nulă se respinge atât la 1) cât şi la 2).

iv) cele două variabile sunt independente dacă ipoteza nulă se acceptă la 1) şi la 2).

4. Modele vector autoregresiv VAR

Reprezentarea autoregresivă AR(p) este extinsă pentru un vector de variabile dependente VAR(p). In scrierea matriciala, pentru două variabile, un model VAR(1) are forma:

53

sau unde este vectorul variabilelor dependente (2x1), B vectorul termenilor liberi (2x1), A matricea coeficienţilor (2x2) iar vectorul erorilor (perturbaţiilor). Prezentul variabilelor este dependent de propriul trecut.

Un sistem econometric cu ecuaţii simultane poate fi pus în forma VAR. Aceste modele sunt destinate previziunii (avantaj: nu sunt necesare previziuni ale variabilelor, înafara sistemului) şi se utilizează deasemenea pentru a analiza impactul unor perturbaţii (şocuri) aleatoare asupra variabilelor sistemului.

Fiecare variabilă este exprimată funcţie de trecutul celorlalte variabile din sistem. Forma generală VAR(p) este redată prin ecuaţia vectorială:

unde este vectorul variabilelor dependente (kx1), (kxk) matrici ale coeficienţilor iar este vectorul (kx1) inovaţiilor (erorilor); adică transpusa

vectorului. Se presupune ca inovaţiile sunt necorelate cu trecutul acestora respectiv cu variabilele din partea dreapta a ecuaţiei. Pentru estimarea coeficienţilor se utilizează metoda celor mai mici pătrate pentru fiecare ecuaţie în parte, fără a se pierde din eficientă.

Se utilizează atunci când ne interesează interacţiunea dintre variabile. Se definesc şi aici condiţii de stabilitate, staţionalitate a modelului. In operatorul intarziere modelul se scrie:

unde , prin fiind notată matricea unitate. Modelul VAR(p) este stabil dacă rădăcinile ecuaţiei

sunt înafara cercului unitate (au modulul mai mare decât unu). Un model stabil este staţionar, respectiv mediile, varianţele şi autocovarianţele fiind independente de timp.

Inainte de elaborarea unui model se recomandă eliminarea tendinţei şi a sezonalităţii din date, dacă există; o metodă alternativă constă în introducerea unui termen t în ecuaţia vectorială pentru a extrage tendinţa deterministă. Pentru validare se aplică teste specifice, similare cu cele din cazul unui model autoregresiv cu o singură ecuaţie: erorile trebuie să fie necorelate, să aibă aceeaşi varianţă (constantă în timp), iar pentru elaborarea de previziuni este necesară şi normalitatea erorilor.

Testul Granger de cauzalitate, numit şi test de exogeneitate slabă, ne indică dacă o variabilă endogenă poate fi tratată ca exogenă. Intr-un model VAR cu 2 variabile, nu este cauză de tip Granger pentru dacă toate matricile coeficienţilor sunt triunghiulare, cu 0 deasupra diagonalei principale.

54

5. Serii cointegrate . Meto dologia Engle-Granger (cointegrare într-o singură ecuaţie)

Regresii false!!!Regresii false = regresii cu variabile nestationare cu radacina unitate, ce nu sunt cointegrate.Noţiunea de cointegrare este strâns legată de cea de „regresii false” cu serii de timp. Atunci când se estimează regresii cu serii de timp în economie deseori din R2 este mare (R 1) iar statistica Durbin-Watson este mică DW 0 (erorile sunt corelate). In general, R 1, DWcalc 0 şi R2 > DWcalc poate fi un semnal ca regresia este falsă; dependenţa este exagerată iar estimatorii sunt suspecţi. Aceasta se întâmplă deoarece variabilele din economie sunt deseori nestaţionare şi se comportă ca şi un proces de tip mers aleator (au rădăcină unitate). Dacă două serii sunt I(1) atunci deseori se respinge ipoteza inexistenţei unei relaţii între ele chiar când aceasta un există. Generând două serii de tip mers aleator independente şi estimând ecuaţia de regresie dintre ele, Engle şi ranger au observat că ipoteza conform căreia panta dreptei de regresie este nesemnificativă s-a respins în 76% din cazuri, utilizând testul t; au sugerat ca regresia să fie estimată pentru seriile diferenţiate.

Pentru a exista o relaţie pe termen lung între variabile, acestea trebuie să fie cointegrate. Un test de cointegrare poate fi aplicat, pentru a se evita regresiile false. Engle şi Granger (1987) au observat faptul că o combinaţie liniară a două sau mai multe serii nestaţionare poate fi staţionară.

Definiţie. Două serii integrate de acelaşi ordin I(d) sunt cointegrate de ordin CI(d,b) daca există o combinatie liniara ce are un ordin mai mic de integrare I(d-b).

Consideram in continuare doua variabile integrate de ordinul unu I(1). Daca exista relatie de cointegrare intre ele atunci metoda celor mai mici patrate

o identifica. Astfel, două serii nestaţionare Y şi X, integrate de ordinul 1, adică I(1), pentru care reziduul din MMP:

este staţionar I(0) sunt cointegrate. Vectorul (1, ) se numeşte vector de cointegrare. Astfel diferenţa rămâne stabilă în jurul unei medii fixe (media lui este zero). Dacă constanta este zero, relaţia ce le menţine legate pe termen lung este una de proporţionalitate . Variabilele rămân legate pe termen lung prin relaţia de echilibru iar deviaţiile de la aceasta au loc doar pe termen scurt; această relaţie de echilibru poate fi interpretată ca o relaţie echilibru pe termen lung, „deranjată” doar de şocuri aleatoare ( ) cu efect pe termen scurt. Relaţia

se numeşte relaţie de cointegrare între cele două variabile. Relatia de echilibru pe termen lung este înţeleasă în sensul de stabilitate a relaţiei de dependentă.

Două serii cointegrate au o tendinţă stochastică comună (tendinţe de evoluţie similare), adică „hoinăresc” împreună (analogie în evoluţie). Relaţia de dependenţă dintre ele este stabilă.

55

Exemple. Posibile relaţii de cointegrare sugerate de teoria economică, variabilele fiind de regulă considerate în formă logaritmată:

- între venit PIB şi consum C. Raportul C/PIB este constant pe termen lung, astfel ln(C)-ln(PIB) este staţionar iar ln(C) şi ln(PIB) sunt cointegrate. In mod similar PIB şi învestiţiile;

- cererea de monedă, preţuri, venit- între cursul valutar, preţurile domestice respectiv preţurile din ţara străină, cursul real având comportament staţionar (conform teoriei parităţii de cumpărare);- cusul diferitelor acţiuni;- rentabilitatea activelor şi rata inflaţiei, diferenţa acestora adică rata reală a

rentabilităţii, ce are comportament staţionar;- ratele dobânzii pentru diferite maturităţi, diferenţa faţă de rata activului fără risc

(rata pe termen scurt) reflectând prima de risc a investitorilor;- logaritmul indicelui preţului acţiunilor respectiv al dividendelor diferenţa

reprezentând logaritmul randamentului .- logaritmul indicelui preţurilor respectiv al salariului , diferenţa

reprezentând logaritmul indicelui salariului real;- cursurile acţiunilor (de regulă în formă logaritmată) etc.

Aceste posibile relaţii de cointegrare trebuie confirmate şi de datele empirice.La nivel macroeconomic, de regulă se manifestă relaţii bidimensionale de cauzalitate

între variabilele macroeconomice (în principal cele monetare sau financiare) şi evoluţia pieţei financiare. Pieţa bursieră este privită ca un barometru al economiei. Evoluţiile pozitive din economie se reflectă de regulă în evoluţia cursului acţiunilor. Studiile empirice relevă corelaţii inverse între rentabilităţi şi rata înflaţiei respectiv masa monetară. Alte variabile a căror influenţă asupra rentabilităţilor a fost analizată: rata de creştere a producţiei industriale, rata dobânzii, rata şomajului şi câştigul salarial.

Abordări în teoria cointegrării: - abordari bazate pe o singură ecuaţie, cea mai cunoscută fiind metoda în două

etape propusă de Engle şi Granger;

- abordarea multivariată de tip VAR respectiv VECM; în acest caz ne asteptăm la existenţa mai multor relaţii de cointegrare. În cazul general dat fiind un grup de mai multe variabile nestaţionare suntem interesaţi dacă acestea sunt cointegrate, şi dacă sunt, care este relaţia de echilibru pe termen lung dintre ele. Pentru analiza cointegrării între mai multe procese nestaţionare, cu rădăcină unitate, se apelează la metodologia dezvoltată de Johansen şi Juseliu (1990), implementată în softurile de statistică.

Metodologia Engle-Granger :Etapa 1. Testarea existenţei unei relaţii de cointegrare între două variabile:

a) se testează dacă ambele variabile sunt integrate de ordin 1, utilizând teste de tip unit root, precum testul ADF

b) se estimează regresia liniară prin MMP pentru a obţine o estimatie a relaţiei (vectorului) de cointegrare. Interesant este că estimatorii obţinuţi pentru şi sunt superconsistenţi (în acest caz, când ambele variabile sunt I(1)), chiar

56

dacă erorile sunt corelate. Erorile standard nu sunt însă de încredere, astfel nu se pot realiza inferenţe privind modelul pe termen lung. Dacă există o relaţie de cointegrare atunci MMP o va depista, iar dacă nu există atunci regresia este falsă. Se extrag apoi estimaţiile pentru reziduuri ;

c) se testează dacă reziduurile sunt staţionare. Dacă ipoteza existenţei rădăcinii unitate în seria reziduurilor este respinsă, atunci între cele două procese există relaţia de cointegrare. Dacă reziduurile sunt staţionare cele două serii sunt cointegrate, relaţia de cointegrare fiind cea estimată iar relaţia de echilibru pe termen lung este .

După estimarea coeficienţilor de regresie şi prin urmare a reziduurilor , se aplică testul ADF au un alt test de tip unit root pentru detectarea nestaţionalităţii reziduurilor (detectarea rădăcinii unitate). Valorile critice însă nu sunt cele clasice deoarece seria reziduurilor a rezultat prin estimare. Valorile adecvate testului ADF de cointegrare au fost obţinute de către MacKinnon de asemenea prin simulare şi pot fi găsite în Johnston şi DiNardo (1994). Exemple de valori critice pentru ADF pentru cointegrare,

T – lunginea seriei ADF (p=4) 50 -3,29100 -3,17200 -3,25

Dacă tcalc < H0 se respinge sunt staţionare Xt, Yt cointegrate (există o relaţie de dependenţă stabilă între ele numită relaţie de cointegrare.

De asemenea se poate utiliza testul Durbin-Watson pentru cointegrare (CRDW) propus de Bhargava si Sargan. Se calculeaza statistica Durbin-Watson iar daca d calc >

Xt, Yt sunt cointegrate; valorile tabelate sunt: 0.386 pentru =5%, 0.322 pentru =1%. Observatie: d=2(1- ), fiind coeficientul de autocorelatie a reziduurilor de

ordinul 1.

Etapa 2. Elaborarea unui model de tip ECM

Două serii cu tendinţe stochastice ce sunt cointegrate evoluează împreună în timp, acest echilibru pe termen lung fiind "deranjat" doar de şocuri aleatoare cu efect pe termen scurt. Dacă există, relaţiile de echilibru pe termen lung dintre variabile este necesar a fi încoporate în modelul dinamic, destinat previziunii. Astfel, ne asigurăm că modelul va genera, atunci când este utilizat în simulare, pentru variabilele cointegrate serii ce vor evolua împreună. Dacă se ignoră existenţa cointegrării şi se modelează diferenţele de ordin întâi ca şi variabile staţionare, atunci cele două serii vor evolua independent, fiecare după tendinţa sa stochastică, şi prin urmare neconform cu datele istorice.

Relaţia pe termen scurt dintre două variabile cointegrate, cu relaţia de cointegrare , poate fi descrisă printr-un model de corecţie a erorilor (“error

correction model”), forma simplă a acestuia fiind:

57

, sau.

Reziduurile din ecuaţia de cointegrare (ce surprind dezechilibrele pe termen lung) sunt luate în considerare în modelul dinamic, fiind introduse ca un factor. Astfel, modificările variabilei Y pe termen scurt depind de cele ale variabilei Xşi de abaterea lui Y de la valoarea sa de echilibru pe termen lung din perioada precedentă.

Dezechilibrul dintr-o perioada este corectat in perioada imediat urmatoare; spre exemplu un dezechilibru intre cerere si oferta din perioada anterioara determina o modificare a pretului (dezechilibrul a determinat o corectie a pretului in perioada curenta). Coeficientul indica in ce proportie un dezechilibru aparut in evolutia celor doua variabile (abatere de la relatia de cointegrare), se regaseste intr-o corectie a variabilei Y in perioada imediat urmatoare.

Observăm că în acest model coeficienţii de regresie sunt coeficienţi ai unor variabile staţionare, fiind aplicabile tehnicile clasice de estimare şi validare.

Observaţie. Forma ecuaţiei ECM rezultă din modelul dinamic:

unde este zgomot alb. Rezultă forma ECM:

unde şi . Cele două ecuaţii sunt echivalente, dar forma ECM are avantajul de a încorpora şi dezechilibrele pe ermen lung, de la ecuaţia de cointegrare (atunci când variabilele sunt cointegrate) iar coeficientul oferă informaţii privind viteza de ajustare. Ecuaţia anterioară poate include şi un termen determinist în t, respectiv alţi termeni de tipul sau :

.

astfel încât termenul eroare să fie de tip zgomot alb. Forma finală a modelului rezultă utilizând procedurile obişnuite de validare şi estimare. Coeficientul măsoară viteza de ajustare la dezechilibrele pe termen lung.

O altă modalitate de a detecta existenta unei relaţii de cointegrare constă în testarea semnificativităţii coeficientului (cu alternativa mai mic decât zero) în modelul ECM; dacă acesta este nesemnificativ atunci nu există o relaţie de cointegrare între variabile.

Deşi se estimează o relaţie de echilibru pe termen lung între două variabile cointegrate, este important de considerat şi relaţia pe termen scurt dintre acestea, deoarece sistemul poate să nu fie întotdeauna în echilibru.

Metodologia nu este aplicabilă pentru studiul cointegrării între mai multe vriabile.

În concluzie, relativ la estimarea regresiei între două variabile relativ la care baza de date este formată din serii de timp sunt utile reperele următoare:

58

Dacă variabilele nu au radacina unitate, adica sunt staţionare relativ la o constanta sau staţionare relativ la tendinţă (deterministă) modelul este specificat pentru variabilele observate. Forma generală a modelului dinamic adecvate în acest scop este:

.

Termenul se include doar dacă una din variabile este staţionară relativ la tendinţă. In acest caz testele clasice din regresie, bazate pe metoda c.m.mici pătrate sunt asimptotic valide (dacă numărul datelor e suficient de mare).

Dacă variabilele au o singura radacina unitate adica sunt nestaţionare dar devin stationare după o singură diferenţiere şi nu sunt cointegrate, atunci, regresia se va estima pentru diferenţe. Modelul dinamic are forma:

.

Dacă variabilele au o singura radacina unitate adica sunt nestaţionare dar devin stationare după o singură diferenţiere şi nu sunt cointegrate, atunci regresia:

furnizează un estimator (super)consistent pentru relaţia de cointegrare pe termen lung dintre variabile (Johnston şi DiNardo, 1994). Relaţia, pe termen scurt, dintre variabile este modelată estimată utilizând un model dinamic de tip corecţie a erorilor:

unde

Această ecuaţie încorporează atât dinamica pe termen scurt cât şi cea pe termen lung.

6. Cointegrare în sisteme de ecuaţii. Metodologia Johansen

In general, abordarea Engle-Granger este adecvată doar pentru două variabile. Dacă avem n variabile şi n-1 dintre ele nu sunt (slab) exogene, şi/sau există mai multe relaţii de cointegrare între variabile atunci abordarea prin intermediul unei singure ecuaţii nu este adecvată (Harris and Sollis, 2003).

In modelele multivariate toate variabilele sunt abordate simultan, şi se urmăreşte explicarea comportamentului unei variabile funcţie de trecutul său şi a celorlalte variabile. Pentru un vector (kx1) de k potenţiale variabile endogene specificăm un model autoregresiv VAR(p):

Atunci când ecuaţia

59

are rădăcini în interiorul cercului unitate, unele sau toate variabile din vectorul sunt nestaţionare I(1), iar între ele pot exista relaţii de cointegrare.

Definiţie. Un vector de variabile integrate de acelaşi ordin I(d) este cointegrat CI(d,b) cu vectorul de cointegrare dacă este integrat de ordin mai mic I(d-b). Astfel, există anumite combinaţii liniare ale variabilelor din vector ce sunt integrate de un ordin mai mic.

Observaţie. Pentru un vector ce conţine două variabile integrate I(1) =(pentru care reziduul din regresia este staţionar I(0), vectorul de cointegrare

este ; adică reziduul este staţionar.

Dacă toate variabilele din vectorul =( sunt staţionare I(0), atunci se aplică metodologia clasică VAR, pentru elaborarea acestui model. Dacă cel puţin una din variabile este nestaţionară I(1) atunci există două posibilităţi: (1) nu există nici o relaţie de echilibru (sau de cointegrare) între elementele lui caz în care pentru evitarea unor regresii false in sistem se va estima un model VAR pentru diferente, respectiv (2) există una sau mai multe relaţii de echilibru (sau de cointegrare) între elementele lui , când se are în vedere reprezentarea VECM a modelui (aceasta fiind o reprezentare VAR cu restricţii, ce include si reziduurile din ecuatiile de cointegrare).

Presupunem in continuare caci sunt I(1).Abordarea Johansen constă în identificarea a r combinaţii liniare de cointegrare,

printre cele k variabile integrate, şi încorporarea lor într-un model dinamic. Cum pot fi identificate aceste relaţii de cointegrare?Dacă sunt cointegrate atunci reprezentarea VAR pentru diferente nu este prea

adecvată pentru analiză deoarece relaţiile de cointegrare nu apar explicit. Relaţiile de cointegrare devin vizibile în reprezentarea VECM, reprezentare echivalentă cu VAR, aceasta fiind:

unde iar .

Justificare. Considerăm k=2.

Este mai convenabil să apară pentru a putea evidenţia eventual reziduul din perioada anterioară, astfel:

sau

unde iar .Această reprezentare echivalentă are mai multe avantaje (Juselius, 2003): se reduce

efectul multicoliniarităţii, informaţiile pe termen lung sunt sintetizate în matricea ,

60

avem o interpretare mai intuitivă a coeficienţilor (surprind efetul pe termen lung respectiv scurt), este o reprezentare adcvată atunci când ne interesează modificările faţă de perioada anterioară.

Legătura între rangul matricii şi numărul relaţiilor de cointegrare Coeficienţii conţin informaţii despre ajustarea pe termen scurt, iar pentru a identifica eventuale relaţii de echilibru pe termen lung între elementele vectorului ne concentrăm asupra matricii . Rangul matricii indică numărul relaţiilor de cointegrare prezente între cele k variabile din vectorul .

Cum sunt I(1) rezultă staţionare, astfel rangul matricii, notat cu r, trebuie să fie mai mic decât numărul variabilelor r=rang( )<k (altfel în partea stângă avem o variabilă nestaţionară iar în partea dreaptă una nestaţionară); dacă spre exemplu atunci membrul stâng al ecuaţiilor este o variabilă staţionară iar în cel drept avem o variabilă nestaţionară plus variabile staţionare ( respectiv reziduul). Astfel

sau rang( )<k. Rangul matricii este egal cu numărul de linii (sau coloane) liniar independente. Avem rang( )=k doar atunci când toate variabilele sunt staţionare; în acest caz nu se pune problema cointegrării.

În cazul nestaţionalităţii de tip I(1), forma VECM are sens doar atunci când defineşte combinaţii liniare staţionare, adică între variabile există relaţii de cointegrare.

Atunci când matricea (kxk) are rang redus aceasta poate fi descompusă în două matrici (kxr) şi (kxr) fiecare cu rangul r:

.Astfel în ipoteza unor variabile I(1) reprezentarea VECM(p-1) a unui vector cointegrat cu r relaţii de cointegrare este:

sau

unde este staţionar I(0) fiind vectorul rx1 relaţiilor de cointegrare, (kxr) este matricea vectorilor de cointegrare (r vectori de cointegrare, fiecare coloană reprezentând coeficienţii unui vector de cointegrare); aceştia formează o bază în spaţiul vectorilor de cointegrare, orice combinaţie liniară a vectorilor din bază fiind de asemenea un vector de cointegrare. Avem în această reprezentare un VAR(p-1) în care toate variabilele sunt staţionare. Matricea coeficienţilor de ajustare din reprezintă viteza cu care se ajustează la dezechilibre in relaţia de cointegrare.

Descomunerea nu este unică deoarece pentru orice matrice M(rxr) nesingulară avem unde iar

. Pentru a obţine valori unice sunt necesare anumite restricţii, precum normalizarea (se împart toţi coeficienţii vectorului de cointegrare la unul dintre ei) sau restricţii sugerate de teoria economică.

Prin urmare, avem următoarele cazuri:1) r=rang( )=k, caz în care sunt staţionare (relativ la medie sau la o

tendinta determinista) şi se va elabora un model VAR pentru variabilele

61

observate (ce poate contine si o tendinta determinista t), utilizând inferenţele standard;

2) când există r combinaţii liniare a variabilelor ce sunt staţionare prin urmare r relaţii de cointegrare, fiind cointegrate. Reprezentarea VECM este validă, toate variabilele ce intervin fiind staţionare. Reprezentarea VAR în este consistentă dar ineficientă, iar reprezentarea VAR pentru diferenţe este greşită (Cochran, 2005);

3) r=0 când nu există combinaţii liniare staţionare şi se va elabora un model VAR pentru diferenţe (acestea fiind staţionare).

Testarea numărului relaţiilor de cointegrare şi estimarea acestoraJohansen (1988) a obţinut estimaţii pentru (kxr) şi (kxr) utilizând pocedura cunoscută ca şi regresia rangului redus. Estimatorii de maximă verosimilitate ML pentru sunt obţinuţi ca şi vectori proprii corespunzători celor mai mari r valori proprii.

Testele sunt bazate pe estimarea reprezentării VECM:

şi se definesc utilizând cele mai mari valori proprii ale matricii . In scopul stabilirii numărului relaţiilor de cointegrare sunt estimate valorile proprii (sau rădăcinile caracteristice) ale matricii : . Aceste valori proprii sunt deasemenea

egale cu patratul corelaţiei canonice între şi corectată de diferenţele , astfel că iau valori între 0 şi 1. Numărul valorilor proprii semnificativ diferite de zero indică numărul relaţiilor de cointegrare. Rangul matricii este egal cu numărul valorilor proprii diferite de zero.

Următoarele două teste, de tip LR(“likelihood ratio”), sunt utilizate pentru determinarea numărului r de valori proprii semnificativ diferite de zero, adică a numărului relaţiilor de cointegrare:

1. testul sau statistica “trace”

Se testează succesiv, pentru r=0,1, ...,k-1 următoarele ipoteze:cel mult r relaţii de cointegrare (rangul matricii este cel mult r)

până la primul r pentru care ipoteza nulă se acceptă. Când ipoteza nulă se acceptă valoarea statisticii LR este aproape de zero, adică ultimele k- valori proprii sunt nesemnificative . Ipoteza nulă se respinge atunci când valoarea calculată este mai mare decât cea critică.

2. testul „maximum eigenvalue”sau

Ipoteza nulă respectiv alternativa sunt:r relaţii de cointegrare (rangul matricii este cel mult r)r+1 relaţii de cointegrare

62

pentru r=0,1, ...,k-1.Valorile critice sunt determinate de mai mulţi autori, printre care Johansen and

Juselius (1990), MacKinnon-Haug-Michelis (1999). Valorile critice diferă după cum se seriile au constantă şi/sau tendinţă deterministă respectiv ecuaţiile de cointegrare conţin constantă şi/sau tendinţă deterministă. Forma generală a modelului:

poate include şi tendinţe deterministe, de tip t, prin vectorul variabilelor deterministe . Pentru selecţia numărului de întârzieri, în analizele de tip VECM sau VAR, se pot

utilize criteriile AIC (Akaike Information Criterion), SIC (Schwarz Information Criterion), sau HQ (Hannan-Quinn Information Criterion). Se alege aceea valoare pentru p ce minimezează valoarea acestor funcţii, în modelul VAR.

Acestă abordare facilitează testarea unor restricţii, utilizând teste de tip LR distribuite după legea , restricţii eventual sugerate de teoria economică, asupra elementelor matricii vectorilor de cointegrare sau a matricii coeficienţilor de ajustare ; regăsim aici şi testele de exogeneitate (slabă sau tare).

Modelul dinamic VECM poate fi utilizat pentru generarea de previziuni respectiv pentru a analiza impactul unor perturbaţii (şocuri) aleatoare asupra variabilelor sistemului.

Tendinţe stochastice comune. Conceptele de cointegrare şi de tendinţa stochactică comună sunt echivalente. Ambele reprezentari sunt insa convenabile, admitand interpretari intuitive diferite. Fie un vector de n variabile integrate de ordinul 1.

Cointegrarea înseamnă că exista anumite combinatii liniare a celor n variabile ce sunt stationare; aceste combinatii ţin elementele vectorului impreuna, fiind relaţii înspre care sistemul se ajustează pe termen lung. Pe de alta parte un vector de n serii de timp ce sunt cointegrate, cu rangul de cointegrare r, poate fi scris ca o combinatie liniara de tendinţe comune de tip mers aleator plus o componenta staţionară:

unde un proces staţionar, matricea A(nxk) are rangul k, iar este un mers aleator nultivariat de dimensiune kx1. Tendinţele comune sunt forţe ce conduc sistemul.

7. Valoarea la riscEvaluarea riscului investiţional poate fi realizată prin: indicatori agregaţi de tip Value-at-risk (VaR), modele din teoria financiară respectiv modele statistice. VaR indică pierderea maximă potenţială pe un portofoliu de instrumente financiare, la o probabilitate fixată a priori şi pentru un anumit orizont de timp:

unde este funcţia de repartiţie asociată distribuţiei pierdere. Este un concept utilizat pe scară largă de către asigurători, bănci, societăţi de investiţii, pentru a măsura riscul de piaţă al portofoliului de active deţinute. Este o măsură statistică a riscului. Metodele statistice utilizate pentru estimarea VaR sunt: metoda varianţă-covarianţă ce are la bază distribuţia normală de probabilitate, simularea istorică respectiv simularea Monte Carlo.

63

Value-at-Risk (VaR) este o metodologie de gestiune a riscului, care a cunoscut în ultimii ani o amplă atenţie atât din partea cercetătorilor din mediul academic cât şi a practicienilor. VaR oferă o cuantificare statistică a diferitelor componente ale riscului intr-un singur indicator cantitativ. Noţiunea de value at risk a apărut în anii 1980, când pe pieţele financiare s-a înregistrat o volatilitate ridicată, marile companii financiare având nevoie de o metodă nouă pentru a măsura riscul portofoliilor deţinute.

In ultimele două decenii, metodologia VaR a fost adoptată, de către entităţi financiare, bănci, fonduri de investiţii, societati de asigurare, ca un instrument uzual in evaluarea riscului de piata. Recomandările Acordului de la Basel1, privind utilizarea modelelor VaR în determinarea capitalului necesar băncilor pentru acoperirea riscului de piaţă, a confirmat importanţa acestei metodologii. Utilizarea metodologiei VaR este de asemenea recomandata în lucrarea “Derivatives: Practices and Principles”, publicată în 1993, de către Group of Thirty (G30).

În anul 1989, preşedintele băncii de investiţii J.P. Morgan, a cerut angajaţilor să dezvolte o tehnică financiară capabilă să-i ofere în fiecare zi, o expresie cantitativă exactă a nivelului riscurilor cu care se confruntă banca. În acest fel, în 1994, a apărut în cadrul J.P. Morgan departamentul RiskMetrics, specializat numai pe studiul şi analiza riscului, iar măsura de risc pe care departamentul a lansat-o a fost value-at-risk, prin produsul RiskMetricsError: Reference source not found. Conceptul de VaR a devenit o componentă cheie a unui management de risc performant.

Conceptul Value at Risk. În economie şi finanţe, VaR reprezintă pierderea maximă probabilă, exprimată în unităţi monetare, ce poate fi înregistrată pe un portofoliu, pentru o anumită perioadă de timp şi pentru un anumit nivel de încredere.

Exemplu. Avem un portofoliu tranzacţionabil. Îi cunoaştem valoarea de piaţă astăzi, dar nu putem şti ce valoare va avea a doua zi. VaR-ul portofoliului este de 10 milioane euro, calculat la un nivel de încredere de 95%, pentru un interval de timp de 1 zi. Astfel, în condiţii normale de tranzacţionare, deţinătorul portofoliului, poate avea o încredere de 95% că valoarea portofoliului nu poate scădea cu mai mult de 10 milioane euro, într-o zi.

Pentru calculul VaR trebuie fixaţi următorii parametri: orizontul de timp (h) pentru care se estimeazã riscul, ce poate fi zile, săptămâni,

luni, trimestre, ani etc. nivelul de încredere (α), care este de regulă peste 90%.Definiţie2. Fiind dat un nivel de încredere α (0,1), VaR-ul unui portofoliu la

nivelul de încredere α, este definit ca fiind cel mai mic număr l, astfel încât probabilitatea ca pierderea L să depăşească valoare l nu este mai mare decât (1 – α):

1 Basel Committee on Banking Supervision (2005). Amendment to the Capital Accord to incorporate market risks, noiembrie, www.bis.org.2 McNeil, A.I., Frey, R. and Embrechts, P. (2005), Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools, Princeton University Press.

64

.

În termeni probabilistici, VaR este o cuantilă a distribuţiei pierdere. De asemenea se defineşte conceptul de VaR incremental, în contextul descompunerii unui portofoliu pe elemente constitutive3.

Metode de estimare a VaR. Din literatura de specialitate se desprind cinci metode principale pentru estimarea VaR:

metoda parametrică, ce presupune cunoscuta legea de probabilitate a rentabilitatilor; este cunoscută şi sub denumirea de metoda delta-normală sau metoda varianţă-covarianţă, atunci cand se lucreaza cu distributia normala de probabilitate

metoda simulărilor istorice

metoda simulărilor Monte Carlo

metoda delta-gama

metoda testării condiţiilor extreme (sau a analizei scenariilor).

primele trei metode de calcul fiind cele mai utilizate.

Metoda varianţă-covarianţă are la bază ipoteza conform căreia rentabilitatile instrumentelor din portofoliu sunt normal distribuite. Astfel, cum rentabilitatea portofoliului este o combinaţie liniară de variabile normal distribuite rezultă că şi acesta urmează o distribuţie normală. O altă condiţie necesară pentru implementarea aceastei metode presupune menţinerea constantă a ponderilor instrumentelor în portofoliu până la orizontul de risc. Expresia de calcul pentru VaR în ipoteza distribuţiei normale a rentabilitaţii portofoliului, cu media si abaterea standard , este:

unde este valoarea iniţială a portofoliului, iar c este quantila distribuţiei normale de probabilitate aferentă nivelului de risc (ex. c=-1.65 pentru =5%).

Metoda simulărilor istorice presupune că rentabilitatile viitoare pot fi estimate pornind de la valorile înregistrate în trecut. Distribuţia rentabilitatii portofoliului înregistrată în trecut este utilizată pentru estimarea VaR-ului potenţial al portofoliului. Metoda simulărilor Monte Carlo este una din cele mai eficiente metode de estimare a VaR. Această metodă implică specificarea unui model de proces stochastic ce generează evoluţia preţului instrumentelor financiare. Pentru a obţine rezultate valide, trebuie ales un model care să caracterizeze cel mai bine evoluţia rentabilitatii instrumentelor. Odată stabilit modelul ce guvernează evoluţia preţului, prin simulare se obţin un număr mare

3 Kevin, D.(2003), Beyond Value at Risk, John Wiley & Sons Inc

65

de posibile evoluţii ale cursului. In studiul empiric din paragraful următor, preţul unei acţiuni se considera a fi generat de un model de tip mers aleator:

unde μ şi σ sunt media şi deviaţia standard calculate pentru orizontul de timp stabilit, ε este variabila aleatoare ce urmează legea normala de probabilitate .

Parametrii modelului sunt estimaţi pe baza datelor istorice disponibile. Se generează scenarii pentru variabila aleatoare ε, utilizând generatoare de numere pseudo-aleatoare. La finalul fiecărui scenariu vom obţine o posibilă valoare a preţului la orizontul de timp ales. Cu aceste valori simulate se construieşte o distribuţie empirica a rentabilitatii, din care este calculat VaR-ul.

Pentru estimarea VaR prin metoda simulărilor Monte Carlo, pentru un singur instrument din portofoliu, se au in vedere doar rentabilitatea medie şi volatilitatea instrumentului, şi variabila aleatoare ε. Când se genereaza scenarii pentru mai multe titluri din portofoliu, în scopul estimării VaR-ului portofoliului, trebuie luat în calcul şi corelaţiile ce există între instrumentele din portofoliu. Pentru a obţine rezultate de încredere, trebuie generat un număr cât mai mare de scenarii.

Baze de date pentru serii de timp- www.bnr.ro. (In buletinele lunare gasim evolutii lunare a principalilor indicatori macroeconomici si financiari); caiete de studii cu diverse studii econometrice (la publicatii)- Eurostat: http://epp.eurostat.ec.europa.eu/- Institutul Roman de Statistica- http://research.eco5.com/index.php?parent=2&subparent=38- http://www.economagic.com/- http://datacentre2.chass.utoronto.ca/pwt/alphacountries.html- http://www1.american.edu/cas/econ/student/datalinks.htm- http://www.bized.co.uk/dataserv/freedata.htm- http://www.federalreserve.gov/econresdata/releases/statisticsdata.htm- http://www.conference-board.org/economics/database.cfm#1- Time series data library http://www-personal.buseco.monash.edu.au/~hyndman/TSDL/- http://www.ceicdata.com/;- http://www.forecasters.org/ - pagina International Institute of Forecasters- http://www-marketing.wharton.upenn.edu/forecast/data.html- http://econdata.net/evolutie indici bursieri http://finance.yahoo.com/- istoric curs actiuni http://www.tranzactiibursiere.ro/detalii/istoric- www.kmarket.ro; www.insse.ro- http://research.eco5.com/index.php?parent=2&subparent=38

66