Ecuaciones Diferenciales - Isabel Carmona Jover-222

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ECUACIONES DIFERENCIALES

QA 371996 ISABEL CARMONA JOVER ECUACIONES DIFERENCIALES 1111111l1li1 IlIiI 11111 11111 111111111111111 11111 11111 1111 IUI

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ECUACIONES DIFERENCIALES

Isabel Carmona Jover

Departamento de Matemticas Instituto Tecnolgico y de

Estudios Superiores de Monterrey

PEARSON

Educacin

Mxico Argentina Brasil Colombia Costa Rica Chile Ecuador Espaa Guatemala Panam Per Puerto Rico Uruguay Venezuela

CUARTA EDICiN, 1992 Primera reimpresin, 1994 Segunda reimpresin , 1996 Tercera reimpresin, 1997 Cuarta reimpresin, 1998

Longman de Mxico Editores, SA de C.V.

D.R. 1998 por Addison Wesley Longman de M'lico, S.A. de C.v. Atlacomulco Nm. 500-5 Piso Col. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico

CNIEM 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, ninguna forma o por nungn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes.

ISBN 968-444-150-9

Impreso en Mxico. Printed in Mexico.

Para mis padres ISABEL y JESS

"Cuando cojo este libro, sbitamente se me pone limpio el corazn, lo mismo que un pomo cristalino. -M e da luz en mi espritu, luz pasada por mirtos vespertinos, sin ver yo sol alguno ... -

Qu rico me lo siento! Como un nio que no ha gastado nada de su vivo tesoro, y an lo espera todo de sus lirios -la muerte es siempre para los vecinos-todo lo que es sol: gloria, aurora, amor, domingo."

Juan Ramn Jimnez

As te lo deseo, lector amIgo.

Prlogo El mundo es, en todas sus partes, una arit-mtica viviente en su desarrollo, y una geo-metra realizada en su reposo.

Platn: Timeo.

Desde tiempo inmemorial, la matemtica ha ejercido una fascinacin especial sobre la mente humana. Casi todo ser que se enfrenta a ella, toma partido a favor o en contra; a favor, por lo sugerente de su eficacia y la hermosura de su constitucin; en contra, por sentirse, quiz, ante una tarea superior a las pro-pias fuerzas.

Voy a decir algo a aquellas personas que piensan .que la matemtica no es para ellas: el cerebro del hombre trabaja exactamente como una estructura matemtica, pues obtiene conclusiones acerca de hechos o suposiciones lgicas, compara, infiere, calcula, acopia datos, proyecta, mide, la mayor parte de las veces usando las leyes lgicas, algebraicas, topolgicas y otras que constituyen la base de esta formidable ciencia. La matemtica posee a su vez tal armona, tal proporcin, exactitud y belleza que se identifica con la "msica de las esfe-ras", citando libremente a Pigoras.

El libro que est en sus manos en este momento pretende presentarle una introduccin, a nivel elemental y bsico, de una parte de la matemtica suma-mente til y ap li cable a casi todas las ramas del saber: las ecuaciones diferen-ciales.

El texto contiene la exposicin y desarrollo de las ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden, enfatizando las aplicaciones de las primeras. Tambin se estudian ecuaciones de orden superior a dos y se desarrollan los mtodos de series y transformadas de Laplace.

El libro contiene problemas resueltos y ejercicios para que el estudiante ponga a prueba su aptitud, y cuando resuelva los de opcin mltiple podr aquilatar la precisin del resultado evitando caer en errores bastante comunes. Cada captulo contiene un resumen y un examen de auto evaluacin, este ltimo con un nivel de conocimiento medio, suficiente para detectar una clara comprensin del texto.

Se ha procurado rodear a cada captulo de un ambiente humans!ico, me-diante biografas, comentarios, curiosidades y pasatiempos.

El requisito para leer este libro es conocer el clculo diferencial e integ!':ll.

[9]

"

10 PRLOGO

Este libro naci, creci y sali a la luz gracias a la colaboracin de mis maestros, colegas y alumnos, de mis amigos y de mi familia, cada uno de ellos aport lo que a su rea competa. Especialmente agradezco al Lic. Juan Manuel Silva Ochoa, maestro, colega y amigo, su apoyo en todo momento y al Lic. Christian Garrigoux Michel su participacin en la redaccin de las biografas.

Espero del amable lector todas las sugerencias que mejoren esta obra que deseo disfrute y le sea til en su formacin profesional y en su trabajo.

PRLOGO

n de misno de ellosan Manuely al Lic.biografas.obra quejo.

Estructura lgica de los captulos

1Ecuaciones diferencialesen general

...

2 3Ecuaciones diferencialesH Aplicaciones de lasde primer orden ecuaciones diferenciales

de primer orden

...r4 5Ecuaciones lineales Aplicaciones de lasde segundo orden ecuaciones diferenciales

lineales de segundo orden

...r6 7Solucin mediante Transformadas deseries de potencias Laplace

'r8 9Series de Fourier Mtodos numricos

[11]

Gottfried Wilhelm, Barn von Leibniz (1646-1716)

[13]

Gottfried-Wilhelm, Barn von Leibniz "Este sabio gemetra empez donde los de-ms haban acabado. Su clculo lo llev a pases hasta entonces desconocidos donde hizo descubrimientos que son una sorpresa para los matemticos ms hbiles de Eu-ropa" .

G. de L'Hpital

Gottfried-Whilhelm Leibniz naci el 21 de junio de 1646 en Leipzig, en la actual AIemania del Este, donde su padre fue profesor en la universidad. En 1663 obtuvo su bachillerato y luego su maestra en filosofa y jurisprudencia en 1664. A los 20 aos fue doctor en leyes, despus de superar algunas difi-cultades administrativas debidas a su edad.

Empez entonces a trabajar como diplomtico, lo que le permiti trabajar en Europa e indirectamente lo llev a la creacin del clculo. En efecto, durante una estancia en Pars conoci al gran cientfico holands Huygens quien lo inici seriamente en el conocimiento de las matemticas .

. En 1676, despus de varios aos de estudio autodidctico, invent un nuevo mtodo matemtico que public en 1684 bajo el ttulo: Un m todo nuevo para mximos, mnimos y tangentes. Esta publicacin desat la ms famosa contro~ versia en cuanto a la prioridad de la Grea-Gin de una obra oientfca, puesto que Newton, si bien no lo haba manifestado pblicamente, era ya poseedor del clculo. Hoy en da, se considera que Newton se adelant a Leibniz, pero que ste ltimo invent independientemente el clculo y us un simbolismo ms apropiado, de hecho vigente hasta la fecha.

A la clsica comparacin entre ellos, a favor de la mente ms rigurosa y profunda de Newton, cabe agregar la universalidad del genio de Leibniz quien fue, adems, uno de los mayores filsofos de su siglo, as como un pionero en el estudio sistemtico de las leng>ua~.

A pesar de que no logr satisfacer su deseo de crear una lgica simblica se adelant a su poca ms de un siglo y con su muerte, acaecida en 1716, desapareci probablemente el ltimo de los sabios con conocimientos univer-sales.

[14]

,

Indice Pgina

Prlogo o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 9 Estructura lgica de los captulos o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 11 Leibniz o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 13 Simbologa o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o 20

Qu son las ecuaciones diferenciales? Cmo resolver una ecuacin diferencial? o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Definiciones bsicas o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Clasificacin dp. las ecuaciones diferenciales o o o o o o o o o o o ' Solucin de una ecuacin diferencial ... ..... o o SoluCin general, solucin particular .... . ..... o o o o o Solucin singular o o o o o o o o o o o .. ... .. .. .. o ... . ... . Interpretacin geomtrica . . .. . .. . o o o o o o o o o o o o o o o o Campo direccional . . o o o o o o o o o o o Isoclinas ." o o o o o o o o o o o o o Ortogonalidad .... . o o o o o o o o o o o o Trayectorias ortogonales '" o o o o o o o o o o o o o o Existencia y unicidad de las soluciones o o o o o o o o o o o o o Resumen o o o o o o" o o o o' o o o o o . o. Autoevaluacin 1 .. o o o o o o o o o o o o o o o o o Riemann Comentarios

2 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Variables separables o o o o o o o o o o o o o o Homogneas . . , o o o o o o o o o o o o o o o Exactas .. ' o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Factores integrantes .. o o o o o o o o o o o o o o o Lineales o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Resumen o. o o o o o. o o o o o o o ' o o o o . o " o o o o' o o' o . o Autoevaluacin 2 " o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o o Cauchy . o o. o o . o o. o' o o ' o o o o o o o o o ' . o o o o .' o. o . o o o o" o o o o' o o " o o. o Comentarios

3 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de primer orden

21 23 23 25 25 29 35 36 37 43 45 49 53 54 59 61

67 75 82 94

103 116 118 124 lZ

Geometra . .. ... o o o o o o o o o o , 129 Ecuacin de Bernoulli o o o o o o o o o o o o o o o o 150

[15]

16 NDICE

Pgina Ecuacin de Lagrange . . .. . .. .. .. .. .. ........ . . . ......... . . . ... . . . . 152 Ecuacin de Clairaut . . . . .. ... . ................. . .. .. ... . ... . . . . . . . 156 Qumica ... . .. . ... .. ..... . . ....... . . . ..... . ... . ... . . .. . .. . .... . .... 159 Biologa . . . .. . ... . ... . . .. . . . . . ..... . . . . . .... .. ... .. .... .. .. .. .. . ... 166 Fsica . . ......... .. ....... . .. . .. . . .. . ... . .. . . .......... . ...... . .... 171 Otras aplicaciones . . . .... . .. . . . ....... . . . .. . . ... . . .. . .... . ... . . . . ... 182 Familia Bernoulli .. . .. . . . ......... .. .... . ...... . .. . .. ... . . . ..... . . . . 185 Comentarios . . ..... . .. . . ... . .. . . . . ... . ........ . ... . . . ...... . .... . .. 187

4 Ecuaciones diferenciales de orden superior Ecuaciones reducibles a primer orden .. ... . .. . .... . ........... .. ... . Ecuaciones lineales .. . ............. ' .. . ... .. . . . , .... . ... ... ... .. . . .. . Principio de superposicin o linealidad . .. , . . . . . .. . . .. ... . ...... . . .. . Dependencia e independencia lineal . .... . .. . .. . . .... , . ........ . ... . . Wronskiano .. . .............. , .... . ........................... . . . .. . Ecuaciones lineales homogneas . ..... ... .. .... , .... ... ... . .. . .. .... .

Ecuaciones con coeficientes constantes ... ..... ... ... . . . . . . . . ...... . Ecuacin de Cauchy-Euler . .. ... , ..... . .. . .... . . .. . .. . . .. .. . . . .. . Ecuaciones de orden arbitrario con coeficientes constantes ' . .. ..... .

Ecuaciones lineales no homogneas de segundo orden . ..... ..... ..... . Mtodo de coeficientes indeterminados ... ....... ... . . . . . .. . .. . . . . . Mtodo de variacin de parmetros ... . .. .. .. .. ... . .. . .. .. .. . . . . . .

Resumen ... . ... . ... . .. . .. .. . , . . . .. ... . .... . .. , ............ . . . . ... , Autoevaluacin 4 ....... .. ..... . .. ... . .. . . .. ... ......... .... ....... . Euler Comentarios

5 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo order Geomtrica:. . . . . . .. . . . .... .. . .. . . . . ..... , . ..... . . .. .. . ...... , .. ... . Osciladores .. . ............. . . ', . . .......... . .. , .. . ...... . , ... . . . .. . Cada libre y leyes del movimiento . .. , .. . ... . ... ' . .. . . . .. .. .. .. . .. . . Circuitos elctricos ..... . ...... . : . .. . ........... , . . .... ... . . .. .. .... . Flexin de vigas .............. . . . . . .. . .. .... . ....... . ... ... . , ..... . Otras aplicaciones , . . . ....... . ...... , .... . . .. . . .. ...... .. .. . ... . . . . . Gauss . . . ..... . ...... . ..... .. . ... , ... .. . . . ... . ... . .. . ... . .... . . . . . , Comentarios

6 Resolucin de ecuaciones diferenciales mediante series Pruebas de convergencia de series . ... .. . ..... . .... . ... .... . . . . .... . Series de potendas ... . .... .. . . . .......... . . . .. , . .. . . ... .. .. .

196 202 205 206 208 218 219 222 234 241 242 255 267 270 277 279

283 287 293 298 302 31? 316 318

322 32b

NDICE 17

Pgina Desarrollo de una funcin en series .. . . . . ................. . ......... 339 Funcin analtica en un punto . . ............. . .......... . .. . . . ... . ... 346 Operaciones con series de potencias .. . . . .. . ... . . . . . .. . . .. .. ....... .. . 347 Puntos notables .. . ....... . ... . ... . .... .. ... . . .... ......... ...... . . .. 352

Punto ordinario ..... ... . .. . . ...... ..... . ............ . . ....... .. . 352 Punto singular ................. . . . .... . ... . .......... . ... . . ... . . 353 Punto singular regular ............ ...... ....... . ....... . ......... 354

Solucin de ecuac iones diferenciales alrededor de puntos ordinarios, me-diante series de potencias . ........ .. . .. . . . ........ ....... ... . . . . .. 3.::;8

Solucin de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares .. . . 372 Ecuacin de Bessel .. ........... . .. . ... ....... .... . . .... . ...... . .. . . 401

Ecuaciones reducibles a la ecuacin de Bessel .. . ..... . .... . .. .. .. 401 Funcin Gamma . .. ... .. . . ... . ..... . . .. ........... . .. . ... . .... . . 402

Resumen ... ... ... . . ...... .. ..... . . . .. . ..... .. . . ... .. ... . .... . .. .. . 412 Autoevaluacin 6 . .. ... . ..... . ........... . ... . . . . .... . ... . .. . . .. . . .. 417 Bessel ... ..... .. . .. .. .. . . . . ... ......... . .. .. . ....... . .. . ........... 423 Comentarios 425

7 Transformadas de Laplace Definicin . . . ... .. .... . .... .. . . ............ . . . . . . . . .. .. . . .... . .. . .. 430 Transformada inversa de Laplace . .. .. .. ... . . .. . ....... . ... . .... .... . 436 Traslacin sobre el eje s ... . .. .. .. ... . .. ..... .. . . ..... . .. . . .. ...... . 437 Existencia de la transformada . . . .... ..... . ..... .. .. .. . .. . .. . . .. .. ... 442 Propiedades de la transformada de Laplace ... .. . .. ... . ... ...... ... .. 451 Resolucin de ecuaciones mediante transformadas ...... ... .. . ......... 463

Factores lineales no repetidos ... .. ... . . .. . . .. . . . .. . .. . .. . ....... . 463 Factores con:plejos no repetidos . ...... . ........ . . . ... .. ... . ... .. 467 Factores lineales repetidos .. . ... . .. .. .... . . . . . .. . .. . .. . . . . . . . .... 470 Factores complejos repetidos .. .... . . .... .... ... . . . ..... . .. . .... .. 474

Derivacin de las transformadas ... . ..... .. . ... . . . .. . . . .. . ...... . .. . . 477 Integracin de las transformadas .. . .. ... .. . ... .. .... . .... . . ...... ... 479 Funcin escaln unitario . .. ... . .. .. . ...... . .. . . . ... . ..... . . . .. . ..... 491 Traslacin sobre el eje t .. . . . .. ... .. ... ... .. ...... . ... ... . . ...... . .. 496 Funciones peridicas .. . .. ... . .. . ..... . . .. . . . . ......... . . . . .. .... . .. 514 Convolucin . ............. . . . .. . .. . . . . .. . . ... . . . ..... .. . ... .. . . .. .. 518 Aplicaciones de la transformada de Laplace ... . .. . . .... . . .... .. . . .. .. 527 Resumen . . .. . ...... . . .. ... ... . ..... . ..... . . . .. .. . .. . . .. . . ....... . . 531 Autoevaluacin 7 ... .. ..... . . . .. . ..... . . . . . . . . . ... . . .. . .. .... . .. . .. . 536 Laplace .. . .. ....... . .. . . . ..... . . ..... . .. . . . .............. . . . . . . ... 541 Comentarios . .. . . .. . . .... ... .. . . ....... ... . .... . . ..... .. . .. .. . . ... .. 543

18 NDICE

Pgina 8 Series de F ourier Series trigonomtricas y funciones peridicas ... . .................. . .. 548 Frmulas de Euler ...... . ........... . ... .. ... ,... . . . .. . .. . ...... . .. 560 Convergencia . .. . .......... . . .. ............. ,.. ..................... 572 Funciones pares e impares . . ...... : .............. . ..... . . . .. . . ~ ... " 587 Series de Fourier para las funciones pares e impares ..... . ............ 594 Funciones de periodo arbitrario ................ . ... . .... . ........... 605 Desarrollo de funciones no peridicas en series de Fourier . . .......... 615 Resumen . ..... .. ............. ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 625 Autoevaluacin 8 .. . ...... . ..... . .... . .... . ...... . ......... . ..... . .. 627 F ourier .. . .............. .. ..... . .............. . .................... 633 Comentarios ........................ . ............ .. ................ 635

9 Mtodos numricos para resolver Ecuaciones diferenciales Mtodo de Euler .. .... .. ... . . . ....... . ... .. . ... .. . .. . . . ......... 639 Mtodo de Euler mejorado ................ . . . .. .. ............. .. . 642 Mtodo de TayJor .. ..................... .. ... . .. ... ....... . ..... . 643 Mtodo de Runge-Kutta ... . .. . ..... . ..... . ... . . . .............. . . 645

Resumen ... .. ........ . . . ..... . . . ....... .. ........... . . .. ....... . . . 650 Autoevaluacin 9 .... .. .. . .... .. .... . ... . ......... ... ....... . .. . . . . 651 Abel ...... . .................. .. ...... . ........... ~ ........... ..... 653 Comentarios .. . .. . ........................... . .................. . .. 655 Bibliografa ... . .................................................... 659 Indice anaIitico ......................................... . ........... 6,61 Soluciones de los crucigramas ................ . ................... . ... 663

Simbologa

R Conjunto de nmeros reales.

C Conjunto de nmeros complejos.

E Elemento de .

(a, b) Intervalo abierto (no contiene a los extremos del mismo).

[a, b] Intervalo cerrado.

(a, b] Intervalo semiabierto por la izquierda.

[a, b) Intervalo semiabierto por la derecha.

o "Qued demostrado" .

. ~ Es el smbolo de implicacin usado en el texto, las ms de las veces, como entonces.

Doble implicacin, se lee "si y slo si".

Equivalencia o idnticamente igual.

Semejante o aproximadamente igual.

Por lo tanto, en conclusin.

fx Significa derivada parcial de la funcin f(x) con respecto a x.

[19]

1 Qu son

las ecuaciones diferenciales?

Lo que precede, en Morse, es la frase que tarde o temprano decimos y la que todos queremos or. Es un lenguaje.

Para representar la realidad en movimiento usamos tambin una clave espe-cial, una simbologa sinttica que nos informa acerca de una velocidad, de un descenso de temperatura, de un aumento de poblacin, de un monto de inte-reses, hasta del menor cambio, en cualquier aspecto, de nuestro planeta. Las realidades cambiantes, antes mencionadas, tienen en comn que son variaciones a travs del tiempo, esa dimensin inmutable (en el sentido de una cuarta dimensin) en la cual se mueven la materia y la conciencia.

As pues, en matemticas usamos el lenguaje de las ecuaciones diferenciales para los hechos y los datos cambiantes.

Cmo resolver una ecuacin diferencial?

Hay dos maneras de aprender a patinar sobre ruelo. Primera: En una librera se compra uno los siguientes manuales: Cmo dominar el patinaje en 15 leccio-nes, Patinar y rascar, todo es empezar, Historia del patinaje sobre hielo en el

[21 ]

22 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?

Paleoltico y sus repercusiones en el mundo moderno, Agarre su patn, El patn, su constitucin, ,desarrollo y reforzamiento, con bibliografa e ilustraciones a todo coloT; se va uno a su casa, se instala en su lugar favorito y se sumerge en la lectura, sin olvidar tomar apuntes, hacer anlisis comparativos y aplicar el clculo de probabilidades hasta agotar todos los aspectos del tema. Llegar un momento en el que ya est uno totalmente capacitado para estrenar los patines - regalo de la abuelita-, momento, repito, en el que quiz ya sufri uno su primer reuma. Segunda: Se toma el par de patines y amparndose en el instin-to de conservacin se lanza uno a la pista helada con los consiguientes riesgos y posibles huesos ro,l:os.

As se aprenden muchas cosas : hacindolas. Para resolver una ecuacin diferencial lo mejor es arriesgarse : intentemos

integrarla, y si eso no resulta un procedimiento inmediato, apliquemos cambios de variable o transformaciones que lleven a integrales ms o menos familiares.

Si tenemos

la llamamos ecuacin diferencial de segundo orden. Integrando:

dy x! -- = - + Cl dx 2

Si volvemos a integrar :

obtenemos un1\ funcin-solucin que podemos comprobar al instante :

derivando:

derivando de nuevo con respecto a x:

el resultado nos convence de la exactitud del mtodo empleado. As, en este captulo se exponen las nociones generales acerca de las ecuaciones diferen-ciales y el mtodo geomtrico para obtener soluciones.

CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL? 23

Definiciones bsicas

Definicin 1.1. Una ecuacin ,diferencial es aquella ecuacin que contiene derivadas o diferenciales.

Definicin 1.2. Orden de una ecuacin diferencial es el de la derivada ms alta contenida en ella.

Definicin 1.3. Grado de una ecuacin diferencial es la potencia a la que est elevada la derivada ms alta, siempre y cuando la ecuacin diferen-cial est dada en forma polinomial.

CLASIFICACIN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

Ordinarias

Tipo

Parciales

Primer orden Segundo orden

Orden Tercer orden

Orden n

J neales

Grado

No lineales

La ecuacin diferencial contiene de-rivadas de una o ms variables depen-dientes con respecto a una sola va-riable independiente.

La ecuacin diferencial contiene de-rivadas parciales de una o ms varia-bles dependieiites con respecto a dos o ms variables independientes.

F(x, y, y') = O F(x, y, y', y") = O F(x, y, y', y", y"') = O

F(x, y, y', ... , yen)) = O

a) La variable dependimte y y todas sus derivadas son de 1er. grado. b) Cada coeficiente de y y sus deri-vadas depende solamente de la va-

. riable independiente x (puede ser constante) .

{Las ~ue no cumplen las propiedades antenores.


Ejemplo de ecuaciones diferenciales:

Tipo Orden Grado Lineal

dy = 2e-x Ordinaria 1 1 Sdx

oy ox 0Y. ,-- = -- + kx - -- Parcial 1 1 SIot ot Osx2y" + xy' + y = O Ordinaria 2 1 S

uv" + ry = x Ordinaria 2 1 No(porque el coef.de y" no dependede x exclusiva-

mente)oy 02y-- + -- =: C Parcial 2 1 Sot OS2

d2y dyx2 -- + x-- + (r-v2)y = O Ordinaria 2 1 Sdr dx04V (02m) 2-4- = kv -2- Parcial 4 1 Noot on

(yVl- y'" + y" - y2 = O Ordinaria 5 3 No

y' + y = x/y Ordinaria lINosen y' + y = O Ordinaria 1? NoEjercicios 1.1

Escoger la opcin que da la clasificacin correcta de las siguientes ecuacionesdiferenciales:

1. y" + xyy' = sen xA. Ordinaria, orden 2, grado 1, lineal.B. Parcial, orden 2, grado 1, lineal.C. Ordinaria, orden 2, grado 1, no

lineal.D. Ordinaria, orden 3, grado - 1, no

lineal.

05X 02y2. e' __ + -- = cte.

ot5 or2

A. Ordinaria, orden 2, grado 2, lineal.B. Parcial, orden 5, grado 1, lineal.C. Parcial, orden 2, grado 2, no

lineal.D. Parcial, orden 2, grado 1, lineal.

CMO R

3. x3yy'"

A.

B.

C.O.

4.A.

B. Parcia

lineal.

C. Ordin

lineal.

---Definicino contituir laidentida----

Definicique conintegrae----Definiciein eu------EJEMP

La fune

Porque

en otra

NCIALES?

ineal

S

S

S

Noel coef.

o dependeexclusiva-ente)

S

S

No

NoNoNo

cuaciones

o 2, lineal.1, lineal.

do 2, no

1, lineal.

CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL?

3. ryy'" _ x2yy" + y = OA. Ordinaria, orden 2, grado 1, no

lineal.B. P.arcial, orden 2, grado - 1, no

lineal.C. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal.D. Parcial, orden 1, grado 1, lineal.

4. y" + 2x3y' - (x - 1)y = xy3/2A. Ordinaria, orden 2, grado 1, no

lineal.

B. Parcial, orden 2, grado 32' nolineal.

Ordinaria, orden 3,3C. grado -, no2

lineal.

D. Parcial, orden 3, grado 1, lineal.. Ordinaria, orden 3, grado 1, lineal.

A. Ordinaria, orden 2, grado 2, nolineal.

B. Parcial, orden 1, grado 2, lineal.C. Ordinaria, orden 1, grado 2, lineal.D. Parcial, orden 2, grado 1, no

lineal.

Respuestas. 1. C; 2. B; 3. C; 4. A;5. D.

Definicin 1.4. Solucin de una ecuacin diferencial es una funcin queno contiene derivadas y que satisface a dicha ecuacin; es decir, al susti-tuir la funcin y sus derivadas en la ecuacin diferencial resulta unaidentidad.

Definicin 1.5. Solucin general de una ecuacin diferencial es la funcinque contiene una o ms constantes arbitrarias (obtenidas de las sucesivasintegraciones) .

Definicin 1.6. Solucin particular de una ecuacin diferencial es la fun-cin cuyas constantes arbitrarias toman un valor especfico.

25

EJEMPLO 1

La funcin x + y2 = C es la solucin general de la ecuacin diferencial:

dyPorque derivndola implcitamente tenemos: 1 + 2y -- = O, o expresadonx

dy

dx

en otra forma:

1----

2y

2yy' =-1


Sustituyendo y y y' obtenemos una identidad:

2.yc=x(- 1 J=-1 :.-1=-1; 2-/c-x}

donde y = -vc=x.

EJEMPLO 2

La funcin y = e-X + 8 es solucin particular de la ecuacin diferencial y' + e-X = O, porque derivando la solucin y sustituyndola en la ecua-cin dada, obtenemos:

EJEMPLO 3

y' = _ e-X _ e-x + e-X = O :. O = O

La funcin y = 3:x! + CX + C2 es solucin general de la ecuacin diferen-cial y" = 6, porque:

y' = 6x + C y y" = 6 :.6 = 6

EJEMPLO 4

La funcin t = 2xy2 + 3:x!y + g(y) + f(x.) es la solucin general de la ecuacin diferencial parcial:

(it - -=4y +6x oy ox .

Porque: ~ = 2y2 + 6xy + f(x) ox

02t y -~-- = 4y + 6x; sustituyendo: 4y + 6x = 4y + 6x.

ay ox

EJEMPLO 5

La funcin y = ce- x + C2eX + C3e-2X + C4e2X es solucin general de la ecuacin diferencial:

y/V _ 5y" + 4y = O


Porque:

Sustituyendo:

EJEMPLO 6

y' = - cle- X + C2eX - 2c3e-2X + 2c4e2X

y" = + cle- x + C2eX + 4c3e-2X + 4c4e2X

--------------y/v

- 5cle-X - 5C2ex - 20c3e-2X - 20c4e2X ---- -.............. -

- 5y"

+ 4cle-x + 4c2ex + 4c3e-2X + 4c4e2x = O '-~----.. -----~-----.. _--

+ 4y

:. O = O

La funcin y = eX(3 cos 2x + sen 2x) es solucin particular de la ecuacin diferencial: y" - 2y' + 5y = O, porque:

y' = eX( - 6 sen 2x + 2 cas 2x) + eX(3 cas 2x + sen 2x) y" = eX( _ 12 cas 2x - 4 sen 2x) + e:r(_ 6 sen 2x + 2 cas 2x) +

eX(_ 6 sen 2x + 2 cos 2x) + eX(3 cas 2x + sen 2x);

Sustituyendo:

eX( _ 12 cas 2x - 4 sen 2x) + 2eX(_ 6 sen 2x + 2 cos 2x) + eX (3 cas 2x + sen 2x) + eX(12 sen 2x - 4 cas 2x) + eX(_ 6 oas 2x - 2 sen 2x) + eX (15 'cas 2x + 5 sen 2x) = eX [- 12 cas 2x - 4 sen 2x - 12 sen 2x + 4 cas 2x + 3 cas 2x + sen 2x +

12 sen 2x - 4 cas 2x - 6 cas 2x _ 2 sen 2x + 5 sen 2x +

15 cos 2x] = eX(O) = O. :.0=0.

27


Ejercicios 1.2

Averiguar si las siguientes funciones son solucin de la correspondiente ecua-cin diferencial.

l. Y = GeX de y' - y = O

1 2. Y = 2e - 2x + - eX de y' ~- 2y = pX 3

3. Y = B In x + G de y' = / 64x V x3 4. y = G,e - x + G2e2X de y" - y' - 2!J = O

5. y = BeX + xeX de y" - 2y' + Y = O

'6. sen x Y - -- de xy ' + y = Gas x - 3x

1 7. y - -- = O de y' - y tan x = O

Gas x

3 8. y = - de y' = 3y2 3x + 2

9. y = 1 + G .j 1 - X2 de (1 - X2)y' + xy = x 10. y = 2x VT=7' de yy' = 4x - RX3

1 11. y = e-X Gas - x 2

1 12. y = e-X Gas -X 2

x = Gas t} 13. y = et

x 14. y= --Gas x

x = Gas t } 15. y=.2 sen t

_1 16. y = esen 2x

de 4y" + By' + 5y = O

d '" 1 e y + y = e-x Gas - x 2

d ' y O ey + ~= 1 - X2

de xy' - y = r tan x seG x

de yy ' + 4x = O

de xy' - y tan in y = O

CMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL!'

Respuestas: S son solucin, excepto las de los ejercicios 6, 8 Y 12.

NOTA. Usando este tringulo:

~~SiX cos t sen t x

y la regla de la cadena, se pueden verificar algunas soluciones anteriores.

Definicin 1.7. Solucin singular de una ecuaClOn diferencial es una fun-cin cuya tangente a su grfica en cualquier punto (X, Yo) coincide con la tangente de otra solucin, pero ya no coincide con esta ltima tangente en ninguna vecindad del punto (xo, Yo), por pequea que sta sea.

29

Estas soluciones no se obtienen a partir de la solucin general. Un mtodo para encontrar dichas soluciones es derivar la ecuacin diferencial dada con respecto a y', con lo cual formamos un sistema de ecuaciones:

F(x, y, y') = oF(x, y, y') -----=0,

oy'

del cual, eliminando y', se obtienen una o ms soluciones singulares.

EJEMPLO

Hallar las soluciones singulares, si las hay, de la ecuacin diferencial:

y'2 = 16x2

Derivando con respecto a y', tenemos:

:?y' = De donde y' = O; sustituyendo en la ecuacin, obtenemos x = 0, que es l a solucin singular. En efecto, las soluciones generales de dicha ecuacin son:

y = 2 X2 + c, Y = - 2x2" + c,

y para el punto (0,0) su grfica es y = 2 X2

30 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? y

------~E----------..... x

Figura 1.1

I

Y X = es el punto de contacto con las pendientes de y = + 2r en el punto (0,0).

Definicin 1.8. Problema con valor inicial es la ecuacin diferencial acom-paada de condiciones iniciales.

EJEMPLO 1

Resolver la ecuacin diferencial:

Para la condicin inicial:

y' -4xy = 1

Y = - cuando x = 0, o bien, brevemente: 5

1 y(O) = -

5

La ecuacin puede escribirse como: dy

dy = 4xy dx o -- = 4x dx, y

integrando ambos lados de la igualdad, tenemos: -In y = 2X2 + c

2 Y = ce2x .

C6MO RESOLVER UNA ECUACI6N DIFERENCIAL?

111 Sustituyendo los valores del punto (O, - ), tenemos que: - = ce'l ~ C = -.

555 Entonces la solucin particular es:

EJEMPLO 2

1 2 y =_ e2X 5

Resolver la siguiente ecuacin diferencial:

y" = x, para y(-2) = 4 y'(O) = 1

Integrando ambos lados de la ecuacin tenemos:

, r y =- + Cl 2

Volviendo a integrar:

X3 Y = - + C1X + C2 es solucin general.

6

Aplicando las condiciones iniciales dadas:

para y'

para y

1 = O + Cl ~ Cl = 1 -8

4 = -- - 2Cl + C2 6

-4 4 = 3 - 2(1) + C2

22 C2 =--

3

X3 22 . '. y = 6' + x + 3' es solucin particular.

Comprobacin : derivando la solucin particular y sustituyndola en la ecuacin, debe satisfacerla:

y' = r + 1 2

y" = x.

31


OBSERVACIN. Se necesita igual nmero de condiciones iniciales que el del orden de la ecuacin diferencial.

EJEMPLO 3

Dada la siguiente funcin:

como solucin (la forma de obtenerla se estudiar ms adelante) de la ecuacin diferencial:

y'" - 4y" + y' -i- 6y = O

Encontraremos la solucin particular para las siguientes condiciones ini-ciales:

y(O) =4, y'(O) = -1, y"(O)=O

y"(O) = 4c l + C2 + 9C3 .~ 4c l + C2 + 9C3 = O

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

Cl + C2 + C3 = 4

Obtenemos: Cl = 10/ 3, C2 = 29/ 12, C3 = -7/4 . 10 29 7 .,. . .

y = - e 2x + _ e-x _ - e 3x es la soluclOn particular para las condIcIones 3 12 4

dadas.

FERENCIALES?

les que e del

ante) de la

diciones ini-

condiciones


Ejercicios 1.3

Dada la ecuacin diferencial, su solucin y las condiciones iniciales, determinarel valor de las constantes arbitrarias.

1. yy' + 6x = O

2. y2y' - 4x = O

3. y' = 1 + y2 y = tan(x + e)tan x + e1-e tan x

4. y' = 1 _ y2 tanh-ly = x + eDonde - 1 < y < 1

5. yy' = e2X + 1 y2 = e2x + 2x + e

6. 2y" + y' - y = O

7. y" + y = eos x + 4

. Escoger la opcin correcta.

8. Ecuacin

y(O) = 41

y(-) = O2

Respuestas:

e = 163

e=--2

1te=Oy(-) = 1

4

y(O) = O e=O

1 3y(O) =- e=--

2 4

{ y(O) =O2

el=-3

y'(O) = 1 2e2=--3

{"(O) = 4 el = 1y'(~) = 1 e2 = 4

2

y' = 12x y(.j2) =-1Condicin inicial

Solucin general

A. 24y = r + eB. y = 6x2 + ec. y = r + e

1D. x = - .,,:=c6

Valor de las constantes

e = -22e = -13e= -3

e =-4


9. Ecuacin xy' = 7

Solucin general A. y = 7 In x + C

7 B. y=-r+c

2 C. y = In x + C D. y = In cx7

10. Ecuacin y" = 2x + 1

Solucin general A. 6y = 2X3 + 3r + Clx + C2

1 1 B. y=-x3 +-r+cx+c 3 2 1 2

C. Y = r + CIX + C2

1 1 D. y=-r+-x+cl X+C2 3 2

11. Ecuaoin

Solucin general A. y = eX + clx + C2

C. y = Cl + c2x + e2x

D. y = eX + clx + C2

Condicin inicial y(l) = 7

Valor de las constantes c=7

7 c=-

2 c=7

Condicin inicial y(O) = 1 y'(l)=- Z


{ Cl = 1 . C2 = - 12

{~~ =;- 3 {

CI = - 3 C2 = 1

13 6

Condiciones iniciales y(O) = In 2 y'(ln 2) = O


{CI = In 2 - 1 C2 = - 2 + (In 2) (ln 2 - 1)

{CI = O C2 = In 2

{ CI = In 2 C2 = O

-1

{CI = - 2 C2 = In 2 - 1

ENCIALES?

1)


12. Ecuacin Condicin inicial

yy I = Gas x 1ty(-) = 3

2

Solucin general Valor de las constantes

A. y2 = 2 Gas x + G G=9B. In y = Gas x + G G= In 3

C.y2

G= 7/2-= sen x + G2

D. In y = sen x + G G= In 3 -1Respuestas:8. B, Sol. particular y = 6x2 - 139, A, Sol. particular y = 7 ln x + 7

1 110. B, Sol. particular y = - x3 + - x2 - 3x + 1. 3 211. D, Sol. particular y = eX - 2x + In 2 - 1

1/ 712. C, Sol. particular - = sen x + -2 2

o 1/ = 2 sen x+-7Geomtricamente, la solucin general representa una familia de curvas.

As: r + y2 = G2 representa una familia de circunferencias (figura 1.2).y y

y = Xl -4x------~--~~-7----------X

Figura 1.2 Figura 1.3


La solucin general y = x2 + c es una familia de parbolas (figura 1.3). Lasolucin particular es una de las curvas de la familia, precisamente la que seobtiene cuando las constantes arbitrarias toman un valor especfico a causade las condiciones iniciales. As, en las figuras 1.2 y 1.3 la forma que tienela solucin particular para c = 1 Y e = - 4, es r + if = 1 Y Y = x2 - 4, res-pectivamente.

Definicin 1.9. La terna (x, y, y') determina la direccin de una recta quepasa por el punto (x,y). El conjunto de los segmentos de estas rectas esla representacin geomtrica del campo direccional;

Se puede resolver una ecuacin diferencial trazando el campo direccional,en donde, para cada curva de la familia solucin, la tangente en cada uno desus puntos tiene la misma direccin que el campo en ese punto.

EJEMPLO tEl campo direccional de la ecuacin diferencial:

y' = (y -1)xPodemos dibujarlo dando valores enteros para x y y y calcular las pendien-tes correspondientes:

~-3 -2 -,1 O 1 2 3 4

-3 12 8 4 O -4 -8 - 12 -16-2 9 6 3 O -3 -6 - 9 - 12-1 6 4 (2) O 8) -4 - 6 - 8

O 3 0 1 O -1 E-~ - 3 - 41 O O O O O O O O

@ 0- 0) G)2 -3 -1 O 1

3 -6 -4 @ O 0 G) 6 84 -9 -6 -3 O (3) 6 9 12

Figura 1.4

CMO

El co'con unapropieda

Definites id'

As, vfamilia d

y dando

Si y' = ko bien:

para k =

k=

k=

---_._-_._--------------- ----


El conjunto de los trazos ese! campo direccional (figura 1.5). Cruzando con una curva los segmentos de igual pendiente, se obtienen curvas con la propiedad de atravesar segmentos con idntica pendiente; entonces :

Definicin 1.10. Isoclinas son curvas que atraviesan segmentos de pendien-tes idnticas.

Figura 1.5

As, vemos que las isoclinas de la ecuacin diferencial y' = (y - I)x son una familia de hiprbolas. Para obtener las isoclinas, se iguala y' a una constante,

y' = k,

y dando valores a k se pueden graficar.

Si y' = k ~ (y - l)x = k o bien:

para k = 0,

k = 1,

k=-l

k y = - + 1 es la familia de hiprbolas,

x

y = 1, asntota horizontal

1 y=-+ 1 x

1 Y = - - + 1, etc.

x


Observamos que en los cuadrantes 1 y 3, y' > O (las soluciones crecen) yen los cuadrantes 2 y 4, y' < O (las soluciones decrecen). Ya podemos trazaraproximadamente las curvas solucin: una familia de parbolas.

Figura 1.6

EJEMPLO 2

Obtener la solucin aproximada de la ecuacin diferencial: y' = x, por elmtodo de las isoclinas

y' = k o seak = O y' = O

k = 1 y' = 1k=-l y'=-l

k = 2 y' = 2

x=k

donde y' > O para X> O

y y' < O para x < O

etc.

Las isoclinas son rectas paralelas al eje y y las curvas solucin formanuna familia de parbolas.

CMO

EjercicioIdentifica

'-1. Y -2. y' =3. y' =4. y' =5. y' =

6. y' =

7. y' =

8. y' =

9. y' =

10. y' =

NCIALES?

crecen) yos trazar

, por el

o

o

forman


k=-1 y k = 1

x

Figura 1.7

Ejercicios 1.4

Identificar las isoclinas de las siguientes ecuaciones diferenciales.

Familia de isoclinas:

l. Y,=x-y

2. y,=x+33. y,=y+x4. y,= yeX5. y' = y_ x36. , xy - ---

y

7. y , = y(x + 2)8. y,= 2y(x + y)9. ,

1Y -- -

Y10. Y

,= GOS (x - y)

y=x-kx=k-3y =k- xy = ke="y=k+X3

xy=--k

ky=x+2

k = y2 +- xy1

y=-k

{k=1k = - 1 x = (2n + 1)7t(n = 0, 1, 2, 3, ... )

x = Znr:


11. y' = y2 -r 12. y'=-JX2 +y2

13. y' = -J X2 + 2x + 1 + y2

14. y' = -J X2 + 11 - 4x - 6y + 13

15. y' = 1 - yx

16. y' = y + r

Figura 1.8

Familia de isoclinas:

y2=k+r

r + y2 = k2

k2 = (x + 1l + y2 k2 = (x - 2l + (y - 3l

1-k y=--

x

En los siguientes ejercicios, trazar el campo direccional y algunas curvas solucin.

17. y' = ~ y


18 ' y - x . y = --y+x

Figura 1.9

Figura 1.10

41

k =-%

x

42

19. y' = xy

20. y' = 3x-y

QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?

Respuesta: El campo direccional es semejante al de la figura 1.6 obser-var que la asntota horizontal est en y = o.

x

Figura 1.11

Adems del mtodo de isoclinas para obtener soluciones de las ecuaciones diferenciales, tambin existen otros: el de Euler y el de aproximaciones suce-sivas, aparte de los mtodos numricos iterativos tan ' rpidamente elaborados por una computadora.

cMO RESOLVER UNA ECUACIN DIFERENCIAL?

Definicin 1.11. Dos curvas son ortogonales en un punto ~ sus tangentes son perpendiculares en el punto de interseccin.

y

x

Figura 1.12

43

Recordamos que las pendientes de estas tangentes son recprocas y de signo contrario, excepto en el caso en que las tangentes sean paralelas a los ejes de coordenadas.

EJEMPLo 1 1

Dadas las funciones y = - y x

los puntos de interseccin.

1 Y = "'3 x3, averiguar si son ortogonales en

x =

1 Y - --- ~ los puntos de interseccin en los reales son :

- -if3

Derivando las fu nciones para obtener su pendiente, tenemos:

dy 1 ml= --=-

dx r dy

m2 = -- = X2 dx

1

44 QU SON LAS ECUACIONES DIFERENCIALES? C

y1

m(PI) = - -J3

1m(P2) = - -J3

mlPI) = ..j3

toma:

1En ambos puntos se cumple que mI = - --o

m2y

1Y =_x3

3

mI = .s

1Y=3

m2(P2) = ..J3

De'forF(ell

x1rna = - .,,s

Figura 1.13

P

EJEMPLO 2 ~m

Sean las funciones y = e" y y = e-x, su punto de interseccin es (0,1).y

y = e-X \I I I ---

EJ

mI I Ha

Su

Endie

I Ix

m2Figura 1.14 I I Qu


dy m=--=ex

dx dy

m2=--=-e-X dx

m(O) = 1 mz(O) =-1 1

..m=-

Definicin 1.12. Trayectorias ortogonales son las curvas que se intersectan formando ngulo recto. Si una familia de curvas tiene la ecuacin F(x, y, y') = O, la ecuacin diferencial de las trayectorias ortogonales a ella, es otra familia de la forma:

1 F(x, y, - -, )=0

y

45

Para obtener las trayectorias ortogonales de una ecuacin diferencial, se

dy toma: m = -d = f(x, y), y como m2 =

.x

1

dy 1 -+ m2 = -- = - da la trayectoria ortogonal a la primera ecuacin

dx f(x,y)

EJEMPLO 1

Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de rectas y = ex.

. ~ ~ y Su pendIente es: m = - - = e; o sea: --=-dx dx x

Entonces una familia ortogonal a estas rectas ser la que tenga como pen-diente:

dy 1 m2 = -- =

dx e

Que tambin se puede expresar como:

o sea dy dx

x

y


ydy = - xdx

y2 x2Integrando: -- = - -- + c, o bien: y2 + x2 = c2 2

yy=x

1111 ~ II11 .x-1

y=-x2

y=-x

Figura 1.15

La familia de circunferencias con centro en el origen y la familia derectas que pasan por el origen son mutuamente trayectorias ortogonales.

EJEMPLO 2

Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de parbolas y = ex',dy

Ootenemos: m, = - = 2cx y como e = y/rdx

dy~ - = 2(y/x2)x

dxdy = 2y/xdx

dy -xBuscamos: m2 = - = -- o bien: 2y dy = - x dx, integrando:

dx 2y

CMO

o

Ejcrcici

Obtener

1. Y =

2. y=

3. y =

4. y2_

5. y3_

6. yln

7. y=

Trayectorias ortogonales:

1. y=er 2y2 + r = e

2.4

4y + 7x = ey =7x + e=ct.

83. y = (X2 + ef - y3j2 + ln x = e

3

4. y2 _ x2 = e xy = e5. y. - 6x2 = e y (lnx + e) = 46. y ln ex = 3 2y3 _9x2 = e7. y = ce" y2 + 2x = e

ENCIALES?

milia degonales.

----------------------------------------------


y

Figura 1.16

Observamos que es una familia de elipses.

Ejercicios 1.5

Obtener las trayectorias ortogonales de las siguientes familias de curvas.


8. y = vx+ e

9. r = ceas 28 Referencia: (Ver Cap. 3, pg. 131)

10. r = e(l -- eas 8) Referencia : (Ver Cap. 3, pg. 131)

11. r = e - sen 8 Referencia : (Ver Cap. 3, pg. 131)

12. Y = e eas x

14. y2 = 2ex + 4

15. Y = e eash x

16. Y = e ln Ixl 17. sen y = ee - X

2 18. Y = ee X

19. eX eas y = e

20. 2y = X-JX2 - 1- ln(x + -Jr -1) + e

21. X2 + b2y2 = 1

22. Para la familia X2 = 2(y - e), determinar q~l curva de las trayectorias ortogo-nales pasa por el punto (l, 2).

23. Para la familia y2 = 2ax (parbolas que pasan por el origen) , determinar qu curva de las trayectorias ortogo-nales pasa por el punb (2, 4).

4 Y = - _ X3/ 2 + e

3

r = esen2 8

r = e(1 + eas 8)

e r = l/(ln )

see 8 + tanB

y2 = 2ln(e sen x)

y = ex

y2 = 2ln(e eseh x)

2y2 = _ 2r ln Ixl + r + e eas y = ee - X

eX sen y = e

y = - eash -IX + e

y2 + r = 21nex

Respuesta: y + ln x = 2

Respuesta: y2 + 2X2 = 24, elipse con centro en el origen .

COMO RESOLVER UNA ECUACION DIFERENCIAL? 49

y

----~------~E-------_+--__.x

Figura 1.17

Existencia y unicidad de las soluciones

En lgebra lineal nos encontramos con tres tipos de sistemas de ecuaciones en el plano:

{ 2y + 3x = O

2 3 -- y--x = O

5 5 {

y - x = 5

y - x = 2

Figura 1.18

{2Y + 3x = O

y = x+5


Estos sistemas tienen: un nmero infinito de soluciones (cada punto de las rectas en el plano satisface ambas ecuaciones), ninguna solucin (ningn punto del plano es comn a las dos ecuaciones) y una sola solucin (las dos ecuacio-nes tienen uno y slo un punto en comn), respectivamente.

Los dos primeros sistemas no nos ayudan mucho para obtener respuestas congruentes. Las soluciones de las ecuaciones diferenciales que nos interesan son aquellas que tienen una sola forma y un nico valor para ciertas condiciones iniciales. Bajo qu condiciones se puede garantizar que una ecuacin dife-rencial de primer orden tenga una y slo una solucin?

Teorema 1. Existencia y unicidad

Dada una ecuacin diferencial

y' = f(x, y) donde f(x, y) est definida en una regin rectangular R que contiene al punto (xo, Yo).

y

Yo

Figura 1.19

Dicho de otra manera:

x

Si f(x, y) satisface las condiciones: a) f(x, y) es continua en R,

b) !L. es continua en R, ay .~ existe un intervalo 1 con centro en Xo y existe una y slo una funcin y = g(x) definida en el intervalo 1 que satisface la condicin inicial y(xo) = Yo

Condiciones para la existencia de soluciones:

Continuidad de f(x, y) en R. Acotamiento de f(x, y) por R.


Condiciones para la unicidad:

5f Continuidad de f(x, y) y 5Y en R. . 5f

Acotamiento de f(x, y) y -- por R. 5y

51

Estas condiciones son suficientes pero no necesarias, porque puede existir una solucin nica que satisface y(xo) = Yo, pero que no cumple la condicin a), o la condicin b), o ninguna de las dos .

EJEMPLO 1

S ' 3 ea Y =2" Y

3 '~f(x, y) = -, 1,2 y

5f 5y

En todos los puntos del eje x no se cumplen las condiciones a) y b) porque

f(x, y) y 5f son discontinuas en Y = O; sin embargo, por cada punto del 5y

eje x pasa una sola curva solucin. Y = 19x + c o bien Y = .J 9( x - xo)

y

x

Figura 1.20


EJEMPLO 2

Hallar la regin del plano xy en la cual la ecuacin diferencial :

y' = xy

tiene una solucin nica en un punto (xo, Yo) de esa regin. 01

Entonces I(x, y) = xy, oy = x;

ambas son continuas en todos los puntos del plano xy, y por cualquier 2

punto (xo, Yo) en el plano pasa una y slo una solucin y = eeX /2, o bien, 2

Yo = ce'" / 2 de donde :

EJEMPLO 3

Yo e = --2- '

e("'o) 12

Dada la siguiente ecuacin diferencial

y'=W Averiguar en qu regin:

a) Tiene ms de una solucin. b) Tiene solamente una solucin .

Solucin:

01 oy

2 3 -lfY

I es continua en todo el plano xy .

01 d" l ' - es Iscontmua en e eJe x. oy

) E l h d . l" O (x + el d a n e eje x ayos ecuacIOnes so UClOn y = y y = --- que an 27

origen a un nmero infinito de parbolas cbicas.

RESUMEN

b) En todo el plano excepto en el eje x dy

Porque -- = dx, y2/3

Resumen

Definiciones

(x + el y = 27

y

3ylJ = X + e,

Figura 1.21

x

ECUACIN DIFERENCIAL: la que contiene derivadas o diferenciales. ORDEN: el de la derivada ms alta.

GRADO: el exponente de la derivada ms alta.

SOLUCIN: funcin sin derivadas que satisface a la ecuacin. SOLUCIN GENERAL: con constantes arbitrarias.

SOLUCIN PARTICULAR: las constantes toman un valor determinado.

53

SOLUCIN SINGULAR: su pendiente tiene un punto en comn con la pendiente de otra solucin.

PROBLEMA CON VALOR INICIAL: ecuacin diferencial + condiciones iniciales.

CAMPO DIRECCIONAL: conjunto de segmentos de la terna (x.. y, y'). ISOCLINAS: curvas que satisfacen: y' = f (x, y) = k.


CURVAS ORTOGONALES: SUS pendientes son perpendiculares en el punto de inter-seccin.

TRAYECTORIAS ORTOGONALES: familias de curvas cuyas pendientes son perpen-diculares entre s.

Clasificacin:

{ordinarias: una sola variable independiente

Tipo parciales: dos o ms variables independientes

Lineales {a)

b) Cada coeficiente depende slo de x y , y', y", .. . y (n ), son de ler. grado

Grado

No lineales {No cumplen lo anterior

Teorema: Existencia y unicidad de las soluciones. Continuidad y acota-

miento de f(x,y) y ~ en la regin R. oy

Autoevaluacin 1 1. Definir: isoclinas.

2. Definir: campo direccional.

3. Enunciar el teorema de existencia y unicidad de las soluciones.

4. Escoger la opcin que contiene la definicin correcta de: trayectorias ortogonales.

A. Familias de curvas paralelas entre s. B. Familias de curvas cuyas pendientes las cortan en ngulo recto.

1 C. Dos familias de curvas de la forma F(x, y, - - ,-) = O.

y

D. Familias de curvas que se intersectan formando ngulo recto.

IALES?

inter-

erpen-

o

x

acota-

ctarias

AUTOEVALUACI6N 1 55

5. Clasificar las siguientes ecuaciones por su tipo, orden y grado:

a) (oy) 2 + 02Z =~ et\ox of y

b) (x-1)y" + y(y'/-x = O

6. Escoger la opcin que contiene la clasificacin correcta de la siguiente

ecuacin diferencial: x(r -1 )y'" + (xy'yz =~.x

A. Ordinaria, orden 3, grado 2, lineal.

B. Ordinaria, orden 3, grado 1, no lineal.

C. Ordinaria, orden 4, grado 2, lineal.

D. Parcial, orden 4, grado 1, no lineal.

7. Verificar si la funcin e" = cx(y + 2)2 es solucin de la ecuacin dife-rencial: xyy' = y + 2.

8. Elegir la opcin que da la solucin general de la ecuacin diferencialcorrespondien te:

A. 2 de ,= 2xy = OY = e-X + e yB. r + y = e de yy ,=-xC. r + e-y2 = e de ' 2yy = xe"D. y = ceCOSX de y , -y sen x = O

9. Sustituir la funcin y = sen _1 2x en la siguiente ecuacin diferencial paraver si la satisface: y' = 2 sec y.

10. Elegir la opcin que contiene la correcta solucin particular de la si-guiente ecuacin diferencial: (x + I)y' = xy, para y(O) = l.A. y = ln (x + 1)B. y = e" - xC. y = e'( + 1)D. y(x + 1) = e".


11. Resolver el problema con va}or inicial y(O) = 7, y'(O) = O, y" = 6x - 12.

12. Seleccionar la opcin que contiene la solucin particular correcta del problema con valor inicial.

Ecuacin diferencial A. xy" = y'

B. yy" = (y' y c. yy' = y' + 2xy

Condicin inicial

y(O) = 1, y'(l) = 4 y(O) = 1, y'(O) = 3 y(O) = 1 y(O) = 12

Respuestas:

y = 2:r + 1

y = In y +:r + e

y = tan X2

13. Encontrar las trayectorias ortogonales de :la familia de curvas:

y = e (tan x + sec x).

14. Seleccionar la opcin que contiene la familia de trayectorias ortogo-nales de: y' = 2xy

c. y = ln:r + e

D. y = In ex

15. Sealar la regin donde la siguiente ecuacin diferencial tiene solucin nica: y' = -5x/y.

Respuestas de la autoevaluacin 1

1, 2 y 3, ver el texto.

4. D. La A es falsa, porque la condicin es la perpendicularidad, no el paralelismo. La B es falsa, porque una pendiente es tangente y nunca corta a la curva. La C es falsa, porque est incompleta, debe ser: una familia de la

1 forma F(x, y, y') con otra familia de la forma F(x, y, - -,- J.

Y

5. a) Parcial, orden 2, grado 1, no lineal. b) Ordinaria, orden 2, grado 1, no lineal.

- --- ----- ------- ---------- ---

AUTOEVALUACI6N 1 57

6. B. La A es falsa porque el grado de la ecuacin es el exponente de y"' o sea 1. La e es falsa porque el orden no es la suma de los rdenes de las derivadas que existan en la ecuacin; el grado es 1, no es lineal porque y' est al cuadrado. La D es falsa porque la ecuacin es ordinaria, slo hay una

" . "' d3y , dy vanable mdependlente y = -- y y = __ o el orden es 3.

dx3 dx '

7. S lo es. Derivando implcitamente:

dy dy eY - = 2cx(y + 2)-- + c(y + 21

dx dx eY , dy

Sustituyendo c = ---~ y tomando factor comun --~+~ dx dy 2eY eY -(eY - --)=-dx y+2 x

Dividiendo entre eY y simplificando

dy y 1 -(-)=-dx y+2 x

xyy' = y + 2. O

8. C. La solucin de la opcin A debe ser y = ce-x!, aplicando correc-tamente las leyes exponenciales. La solucin de la opcin B es y2 + r = C. La solucin de la opcin D es y = cecosx.

9. S.

dy 2 Derivando -- = ----~==:=?

dx VI-4r Si Y = sen- l 2x ~ 2x = sen y y ..J 1 - 4r = cos y Derivando 2x = sen y

dy 2 , --=--~y =2secy. dx cos y

2X~

10. D. Solucin general y(x + 1) = cex para y(O) = 1 ~ e = l. Por lo tanto la solucin particular es: y(x + 1) = ,r.

11. Y = x3 - 6r + 7.


12. A. La opclOn B tiene intercambiados los valores de las condiciones ini-cial es y le falta el coeficiente 3 para satisfacer dicho cambio. En la opcin e no se aplic la condicin inicial. Por error en la opcin D se tom y(O) = O.

13. Derivando:

dy Y -- = c(sec2x + sec x tan x), sustituyendo c = ------dx tan x + sec x

dy -- = ysec x .dx

oos x dy dx

- --~ ydy == - Gas x ,dx, if + 2 sen x = c . y

14. B. La solucin de A contiene la solucin de la ecuacin dada. Las solu-ciones e y D empl ean funcin logaritmo en vez de funcin exponencial.

5x of 5x 15. Tomamos f(x, y) = - - y - = -; f es discontinua en y = O, o sea, en

y oy y2

el eje x; en el eje x se infringe la condicin b) del teorema de existencia y unicidad, de hecho la solucin es y2 + 5x! = c; en y = O no hay soluciones. En qu parte del plano existe una y slo una solucin, en cada punto del mismo? En todo el p lano xy, excepto en el eje x.

BIOGRAFA 59

Georg Friedrich Riemann (1826-1866)


Georg Friedrich Riemann

Ejemplo vivo de la timidez y de la fragilidad fsica, Riemann impact, sin embargo, el mundo de las matemticas como pocos lo han hecho en la historia. Hijo del pastor de un pequeo pueblo en Alemania, recibi no obstante una buena educacin que lo llev a presentar su tesis doctoral delante de Gauss en Gottingen.

Este ltimo, reconocido como difcil de sorprender, qued entusiasmado por el desarrollo que hizo Riemann sobre la teora de la funcin de una variable compleja. Este episodio se recuerda como la nica vez en la que Gauss haya expresado admiracin por un trabajo ajeno.

Ah aparecen las famosas superficies de Riemann, las cuales generaran el enfoque topolgico del anlisis . Un poco ms tarde clarific la nocin de inte-gral mediante una nueva definicin conocida como la "Integral de Riemann" . Sus trabajos sobre los fundamentos de la geometra le permitieron generalizar la nocin de espacio y son precursores de las teoras del siglo XX sobre los espacios abstractos.

Pero su complexin dbil lo hizo presa de la tuberculosis, un mal entonces incurable, y Riemann muri en 1866 a los 40 aos. Sus obras, que caben en pocas pginas, son de una densidad tal que dejan trabajo e ideas incluso para los matemticos de hoy en da.

COMENTARIOS 61

Comentarios

" ... Estos acertijos, en cierto modo, ms que ninguna otra rama de las matemticas, reflejan el . espritu siempre joven, inquisi-tivo e intacto, de esta ciencia. Cuando un hombre deja de maravillarse, de preguntar y jugar, est acabado".

E. Kasner y J. R. Newman.

Averiguacin

La funcin y = aX es hija de ---________ y vio la luz en 1679. a) Descartes b) Leibniz c) Euler

Demostracin de la falacia: n = n + 1

Sabemos que (n + 1/ = n2 + 2n + 1 (n + Il - (2n + 1) = n2;

restando de ambos miembros 2n2 + n:

(n + 1/- 2n - 1 - 2n2 - n = n2 - 2n2 - n; sacaooo factor comn:

(n + Il - (n + 1) (2n + 1) = n2 - n(2n + 1); sumando (2n + 1//4 a ambos miembros: (n + zy- (n + 1)(2n + 1) + (2n + Il/4 = n2 - n(2n + 1) + (2n + Il/4; o sea:

[(n + 1) - (2n + I)/2l = [n - (2n -i- 1)/2F,

elevando a la potencia 1/ 2

n + 1 - (2n + 1)/ 2 = n- (2n + 1)/ 2 n+l=nD

Dnde se gener el error?


Pensamiento

"La escala de la sabidura tiene sus pelda-os hechos de nmeros".

Blavatsky.

Propiedades metafisicas del nmero 1

Representa el principio de unicidad, de lo indivisible e ilimitado: Dios. Pitgoras dice que es el padre, creador de todas las cosas; el pensamiento, creador de todas las ideas; la memoria, el fundamento del conocimiento. Como nmero, representa al hombre, el nico animal que camina erecto.

Elles lo determinado, la iniciacin, lo que insta para que las cosas sean, la voluntad. Es la identidad, la igualdad, la existencia y la persistencia. Repre-senta lo espiritual, la luz, la inteligencia y la aptitud para proponer, considerar y resolver. Es meditacin, reflexin y decisin, obrando como trabajo en la mano de obra y como volicin en el pensamiento .

Remontndonos a los orgenes: Sistema de numeracin del Antiguo Egipto, (posiblemente 3000 A.C.)

1 6 10 23 100 1000 10000 100000

COMENT ARIOS

HORIZONTALES

1. Curvas con pendiente constante. Nota musical.

2. Mil. Cierto tipo de ecuaciones diferen-ciales.

3. Artculo masculino singular. Entre-guen. Exponente de la derivada de mayor orden en una ecuacin diferencial. Vocal.

4. Pronombre relativo. Pasar la vista por lo escrito. (Al revs.) Ser supremo.

5. Smbolo de "unin" en la teora de

63

6. El que profesa la ingeniera. 7. Descripcin, cuento, relato. 8. Piedra sagrada del altar. Smbolo qU-

mico del azufre. Bonita, agradable. 9. Participio del verbo ser. Signo muy

usado en las ecuaciones matemticas. 10. Artculo. (Al revs.) Descanso, paro

de! tra,bajo. Corriente caudalosa de agua. 11. Tipo de queso. Smbolo qumico del

aluminio.

conjuntps. Letra que se usa para designar CRUCIGRAMA la constante de integracin. Conjuncin co-pulativa que indica negacin. Examin, investigu, estudi. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

6. Dos. Lengua provenzal o lemosn. 1 Abreviatura de licenciado. Nombre de varn.

7. Vocales. Pieza herldica en forma de paja estrecha. Las 3 primeras letras de Einstein. Especie de toro salvaje.

8. Smbolo qumico del Radn. Uno en nmeros romanos. Recubro con oro. Otorga. Vocales.

9. Perpendicular. Terminacin propia de los alcoholes.

VERTICALES

1. Ingeniero mecnico electricista. Amo. 2. Funcin sin derivadas que satisface a

una ecuacin diferencial. Consonante. 3. Lo da la derivada ms alta de la ecua-

cin diferencial. (Al revs.) Clase, muestra. 4. Cien. Fino, exquisito. 5. f;cuacin diferencial donde la y y sus

derivadas son de primer grado y cada coefi-ciente depende solamente de x. Logaritmo decimal.

2

3

4

5 6

7 8 9

2

Ecuaciones diferenciales

ordinarias ~e primer orden

En el mundo de las bacterias se desat impensadamente un conflicto. Cuatro de entre las ms jvenes decidieron intervenir en la dimensin de los huma-nos, con el firme propsito de sumergirse en su sangre y mediante una rapid-sima proliferacin segregar una sustancia alrededor del corazn que lo inmu-nizara del mal, de la mentira y de la fealdad.

A pesar de la oposicin de la colonia bacteriana, las cuatro amigas estudia-ron su plan. Vieron que si su rapidez de crecimiento era proporcional a la cantidad de bacterias presente en cada momento, en corto tiempo llegaran a recubrir un corazn humano con la sustancia que llamaron biverbe. Observaron que se duplicaban al cabo de 5 minutos y su pregunta siguiente fue qu can-tidad de bacterias deba tener la nueva y revolucionaria colonia para que en 20 minutos hasta el corazn ms renuente fuera recubierto de biverbe.

Aqu es donde acudimos a nuestro lenguaje simblico para resolver a nues-tras amigas su problema.

Sea x la cantidad de bacterias presente en cada momento del proceso, en-

tonces, la proporcionalidad observada viene dada por la relacin ~: IX x [65]

66 ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

Para . establecer una igualdad, usamos una constante k, llamada constante de proporcionalidad y as obtenemos la siguiente ecuacin diferencial:

dx - -=kx, dt

la cual se resuelve por integracin inmediata:

de donde ln x = kt + c x= cekl

Esta funcin exponencial convenci a las bacterias de que su crecimiento iba a ser rpido, pero esta solucin general les result ambigua porque haba demasiadas incgnitas. Utilizando las condiciones iniciales de su experimento, se encontraron los valores de c y k de la siguiente manera: para t = O, que fue el momento inicial, haba x = 4 bacterias. Sustituyendo en la solucin :

4 = ceo . c = 4 x = 4e k t, y para t = 5 minutos el nmero de bacterias se duplic: x = 2(4). Volviendo a sustituir estos nuevos datos:

k =~ 5

As la solucin general, tiene la forma: x = 4 e(ln 2/5)t = (4)2 t/ 5

Y la respuesta a la ltima pregunta quedara: para t = 20 minutos, x = ?; entonces: x = (4)220/ 5; X = 64 bacterias.

Por tanto, slo 64 bacterias en un lapso de 20 minutos pueden inmunizar un corazn humano. Entonces las bacterias se desparramaron, comenzaron su trabajo y .. .

En este captulo trataremos especialmente las ecuaciones diferenciales ordi-narias de primer orden: variables separables; homogneas (reducibles a varia-bles separables) ; exactas; con factores integrantes (reducibles a exactas), y lineales.

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES

Ecuaciones diferenciales de variables separables

Definicin 2.1. La ecuacin di ferenc-ial de variables separables es de la for-ma siguiente : f(x) dx + g(y ) dy = O, donde cada diferencial tiene como coeficiente una funcin de su propia variable, o una constante.

Mtodo de solucin : integracin directa.

f(X) dx + f g(y) dy = O

67

Cuando no pueden separarse las variables de una ecuaClOn y no pueden agruparse en trminos, en cada uno de los cuales estn las mismas variables, habr que usar otros mtodos para encontrar la solucin.

EJEMPLO 1

Resolver eX+Y y' = x, con las condiciones iniciales y = ln 2 cuando x = O.

1) Separar las variables usando las propiedades de las funciones involu-cradas y los artificios algebraicos necesarios:

dy eX eY - - = x; eY dy = x e-X dx.

dx

2) Integrar cada miembro de la ecuacin:

f eY dy = f x e -x dx eY = - x e-x - e-x + c, solucin general en la forma implcita porque no est despejada la variable dependiente y, pero: y = ln I e - X (- x - 1) + c , solucin general en la forma explcita: y = f(x).

3) Aplicar las condiciones iniciales: y(O) = ln 2 en la solucin general, ya sea en su forma explcita o implcita.


En la implcita: e1n 2 = - O - 1 + e

2=-1+e

e=3 .. eY = - x e-x - e-x + 3, solucin particular.

En la explcita : In 2 = In 11(0 - 1) + e 1; aplicando exponencial, tenemos:

2=-1+e e=3

:. y = In 1 e-X (- x - 1) + 31

EJEMPLO 2

Resolver xyy' = 1 + y2, para y = 3 cuando x = 1 o bien y(l) = 3. 1) Separar variables:

dy xy--= 1 + y2 dx

y dy = dx 1 + y2 X

1 2) Integrar: 2 In 11 + y2 1 = In 1 x I + ln I e I

Observacin . La constante de integracin no pierde su arbitrariedad, su carcter de cualquier nmero, si est afectada por funciones. As , ln lel = e porque el logaritmo natural de una constante es tambin una constante; del mismo modo se puede usar eC, e2, sen e, eosh e, etc. Usando las propiedades de los logaritmos (por eso introdujimos "In lel"):

In 1 1 + y2 1 'h = In 1 ex 1

Aplicando exponencial: I 1 + y2 1 'h = 1 ex 1

Elevando al uadrado: 1 + y2 = ex2

CX2 _ y2 = 1, solucin general implcita.


3) Aplicar las condiciones iniciales y( 1) = 3

EJEMPLO 3

e(l) - 9 = 1 e = 10

1Ox! - y2 = 1, solucin particular.

Resolver: sen x ea~y dx - eas x sen y dy = O

1) Separar variables: sen x sen y d --dx --- y = O eas x eas2y

2) Integrar trmino a trmino:

1 - ln leos xl - --= e

eas y

ln leos xl + see y = e, solucin general.

En este caso que no nos dieron condiciones iniciales, vamos a comprobar la solucin. Derivando implcitamente:

o

EJEMPLO 4

Resolver:

sen x - - - dx + see y tan y dy = O

easx

sen x 1 sen y ---dx+----dy=O

eas x eas y eas y

- sen x cas2y dx + eas x sen y dy = O sen x eos2y dx - eas x sen y dy = O O

1 e-x + y' = + 6x para y(O) = e

-..;xr+l

69


1) Separar variables:

ECUACI

dy

dx

1..Jr + 1 + 6x - e-X cin,

punto

A. y ,

B. Y,

C. y,

D. y ,

SoluciopcinLa opconstanla absc

l

Ejercicios

Hallar la

1. y' =2. y' =3. y' =84. y' =x

5. y' =

6. y' = (

7. y' = e

dy _ ( 1 )..JX2+1 + 6x - e-X dx

2) Integrar: y = senh=' x + 3r + e-X + e, solucin general explcita.

3) Aplicar condiciones iniciales: e = e + 1.:. y = senh :' x + 3r + e-x + e + 1 solucin particular.

EJEMPLO 5

'Hallar una curva que pase por el punto (O, -6), de tal forma que la pen-diente de la tangente en cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenadadel punto ms 7 unidades.Solucin: la primera derivada se representa geomtricamente por la pen-diente de la tangente; aprovechando esta identificacin, podemos plantearla ecuacin diferencial que cumple con la condicin pedida:

dydx = Y + 7

Separando variables e integrando:

dy--=dxy+7

In Iy + 71 = x + eAplicando la condicin de que la curva debe pasar por el punto (O, - 6):

In 1-6 + 71= e, e = O;:. In Iy + 71 = x,

o bien:

y = e" - 7.

1. Yr =4x--6

2. y' = 1- 7r

3. y' = 8 + 2x - 3x2

4. ' 5 JY =x --+xX2

(O,-6): 5. ,9r - 6

y -- r

6. y' = (4 + 3xl

7. y' = e=:" + 2x

R ORDEN

'cita.

la pen-denada

la pen-plantear


EJEMPLO 6

Escoger la opcin que contiene la ecuacin diferencial, junto con su solu-cin, de la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquierpunto es proporcional a la abscisa de dicho punto.

A. y' = ky, Y = ce'"

B' x!. y =x, y =- + e2

rc. y' = kx, y = k - + e2

D. y' =~, y = k ln [x] + ex

Solucin: la opcin correcta es la e, el resultado es una parbola. Laopcin A plante el problema con respecto a la ordenada y no a, la abscisa.La opcin B no expresa correctamente el enunciado porque le falta laconstante de proporcionalidad. La opcin D considera el recproco dela abscisa en vez de la abscisa que pide ve] enunciado del problema.

Ejercicios 2.1

Hallar la solucin general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

Solucin general

y = 2r - 6x+ e7

y=x--x3+c3

y = 8x + x2 - x! + ex6 1 x2

y=-+-+-+c6 x 2

6Y =9x + - + e

x

1Y= -(4+3xy + e

15

1Y = - - e-3x + x2 + e

3

71

72

8. y' = 2 cos 5x

ds9.--dt - - sen 3t

ds10. - = lnt + 4dt t

ds11. --2-~

d- yS, t

12. dy _ Vx+xdx - ...y-y

13. y' = 3r..Ji6+ y2Y

X3~

14. y' = y3x_y15. y' = e

4 X+Y16. y' = e

y17. y' = 1 + x2

y28 '- ~1y_

y1_

X

cos' x19. y' = -y

Y20. y' = .,.;-T+7

ECUACIONES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

2y = -sen 5x + e

5

1s = -cas 3t + c

3

s = t ln t - t + 2t2 + e

s = (t + cY

4y3/2 _ 3y2 = 4xJ/2 + 3x2 + e

.J 16 + y2 = x3 + c2

y4 = _ (x4 _ 1f/2 + e" 3

eY = e" + e4ex + e-Y = e

ln y = tan _1 x + e1- + sen=! x = cy

1y2 = X + - sen 2x + c

2

In y = senh_1 x + e

En los ejercicios siguientes, hallar la solucin particular correspondiente alas condiciones iniciales dadas.

21. y' = 4 - 9x2 - 6x522. y' = 4 - 9x2 _ 6x5

23 ' _ 6x -12 Y -x2

y(I) = 2y(I) = O

y(I) = 20

Solucin particular

y = 4x - 3x3 - x6 + 2Y = 4x - 3x3 - x6

12Y = 6lnx + - + 8

x

24. y ,

dr25. di

dr26. di

27. y' =

28. y' ~i

29. y' =

30. y' =

31. y' =

32. y' =

33. y' =

34. y' =

35. y' =

Escogcin dife

36. y' =

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES 73

24. y' = e4X _ 5 sen x

dr 1 1 25. - = - Gas -t

dt 2 2 dr 26. - = 2 sen t - e- t dt

27. y' = ..:. y

xVX2 - 1 28. y'= ----

Y 29. y' = ln x - 9X2

30. y' = eX cas2 y

e - X 31. y' = --

sen y y2

32. y'=---1 + X2

33. y' = e3x+ 2Y

, Gas2 x . 34. y = --y2

35. y' = Y 1 2 - x

y(O) = 5

r(7t) = O

reO) = 4

y(1) = O

y(- 1) = 1

y(1) = 7 7t

y(O) =-4

y(I) = O

4 y(I) = - -

7t

y(O) = O

y(7t) = - 1

y(O) = 1

1 1 Y = - x + 5 Gas x - -

4 4

1 r = sen -t-1

2

r = - 2 Gas t + e- t + 5

y = x 1n x - x - 3x3 + 11

tan y = eX

1 Gas y = e-X + 1 - -

e

1 - = - tan- I x y

2e3x + 3e- 2Y = 5

4y 3 = 6x + 3 sen 2x - 4 - 67t

1n y = tanh- I x

Escoger la opcin que contiene la solucin general o particular de la ecua-cin diferencial dada :

1 2 A. eY = - eX , solucin general

2 1 2

B. eY = - eX + 4, solucin particular 2 1 2

C. eY = - eX, solucin particular 2

1 2 l ' l D . eY = - eX + G, so ucion genera 2


37. 10 xy y' = 1 _ y2

38. y ln y y' - ln x = O

39. dx = XVX2 -16 dy

40. (1 - ln x) dx + (1 - ln y) dy = O

~------- - - -

A. 1 - y2 = ex - l / 5, solucin general

B. 1 - y2 = X - l / 5 + e, solucin gene-ral

C. ln 11 - y2 1 _ 5 = X + e, solucin general

D . 1 - y2 = X- l / 5, solucin general

para y(l) = 1 y2

A. - ln y = x ln x - x + 1 2

y2 1 B. -ln y - - y2 = x ln x - x + e

2 4

if 1 3 C. - ln y - - y2 = x ln x - x + -244

D. y ln y - y = x ln x - x

para y(4) = O

A. x = 4 see 4y + e

B. x = 4see 4y

C. x = 4eos4y

y2 D. ln(x + VX2 - 16) = - + ln4

. 2

para y(e) = e

A. x ln x + y ln y = 2e

B. x(2 - ln x) + y(2 - In y) = 2e

C. x - x ln x + y - y ln y = O

D. 2x - x ln x + 2y - y ln y = O

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGNEAS

41. y' + 3y + 5 = O A. (ce - X - 5)/ 3 B. (ce - 3X - 5)/3

C. (e - 3X + e - 5)/3 D. (e- X + c - 5)/ 3

Respuestas:

36. D 37. A 38. e 39. B 40. B 41. B

Ecuaciones diferenciales homogneas

Definicin 2.2. Polnomios homogneos son aquellos en los que todos los trminos son del mismo grado.

EJEMPLO 1 X2 Y + 8xy2 _ x3 + y3

La suma de los exponentes del primer trmino es 2 + 1 = 3, lo mismo para el segundo 1 + 2 = 3, por tanto los cuatro trminos son de grado 3.

EJEMPLO 2 x Y Z2 - r y2

es un polinomio homogneo de grado 4.

Definicin 2.3. La ecuacin diferencial homognea es de la forma: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0, donde M y N tienen la propiedad de que para toda t > 0, la sustitucin de x por tx y la de y por ty hace que M y N sean del mismo grado n.

M(tx, ty) = tn M(x, y) N(tx, ty) = tn N(x, y), n r:: R

Por ello, este tipo de ecuaciones puede reducirse a ecuaciones de variables separables mediante sustituciones apropiadas.

75


EJEMPLO 3

Determinar si la funcin f (x, y) = 2 VxY + x es homognea, si lo es, in-dicar su grado:

f(tx, ty) = 2V (tx) (ty) + tx = 2tVXij + tx = t[2yxy + x]

como f(tx, ty) = tn f(x, y), n E R, -? la funcin es homognea y de grado 1.

EJEMPLO 4 Sea la funcin f(x, y) = -vx+1.i; averiguar si es homognea y su grado. f(tx, ty) = 'tx + ty = yt(x + y) = t 1/2 -vx+1.i

1 como f(tx, ty) = t1/ 2 f( x, y) , la funcin es homognea y de grado - .

2

EJEMPLO 5 Sea la funcin f(x, y ) = x3 + x2y + y; vamos a ver si es homognea y su grado.

f(tx, ty) = (txl + (txY (ty) + ty = t3x3 + t3x2y + ty =F ef(x, y); la funcin no es homognea.

EJEMPLO 6 X2 + y2

De terminar el grado de la sigu iente ecuacin: y' = ---xy

Sean M(x, y) = X2 + y" y N(x, y) = xy entonces M(tx, ty) = (Lx? + (tyj2 = t2 (X2 + y2) es de 20. grado y N(tx, ty) = (tx) (ty) = t2 xy es de 20. grado; la ecuacin es homognea de

. orden 1.


Definicin 2.4. Las ecuaciones diferenciales homogneas tambin tienen la siguiente forma:

dy - + g(u) = O donde u = f(x, y). dx

77

Mtodo de solucin: usando sustituciones algebraicas apropiadas, se con-vierten en ecuaciones de variables separables. Una de las ms comunes es:

EJEMPLO 7

y - = v ~ y = vx x

Resolvemos la ecuacin diferencial (X2 + y2) dx - xy dy = O

Usando y = vx y dy = vdx + xdv

Dividiendo entre r

Separando variables:

Integrando:

(X2 + dr)dx = vr(vdx + xdv)

(1 + 'l} ) dx = v(vdx + xdv)

(1 + v2 - v 2 ) dx = v x dv dx -- = vdv

x

v 2 ln !x! = - + c 2

y 1 y2 Como v = - .~ ln !x! = _. - + c

:r 2 X2

Entonces: y2

ln !x! = - . + c. 2X2


EJEMPLO 8

Resolver (x + y) dx + (x + y - 4) dy = Opara y = O cuando x = - 1Usando v = x + y -+ y = v - x y dy = dv - dx

vdx + (v - 4) (dv - dx) = Ovdx + (v - 4) dv - (v - 4) dx = O

Separando variables:

(v-4)dv=-4dx

Integrando:

v2-- 4v = - 4x + e2

v2 - Bv = - Bx + eCom~: v = x + y .-+ (x + yf - B(x + y) = - Bx + e

:. (x + y f - By = e

Aplicando condiciones iniciales:

(- 1f - O= e -+ e = 1 . (x + y f - By = 1.

ECUACI

6. (y

7. x(x

8. xy ,

9. xy ,

10. (y

11. (7x

12. (3y2

13. (2xy

+ (y14. (2xy

+ (2

15. y' =

16. r-dy

17. -dx

18 dydx

19. (r +20. (r +

Encondadas:

21. (3xy2para

22. (3xy2para

Ejercicios 2.2

Hallar la solucin general de las siguientes ecuaciones diferenciales:

Solucin general:

1. x y' = y - x y = xln~x

2. xy' = y + x3. (x - y) dx + (x - y + 1) dy = O

y = x ln e x2 (x + y) = ln e (2x - 2y + 1)

4. y' = y2 + r2xy

5 dy x. d=-+~x y x

y2 _ x2 = ex2

Y = 2ln Ixl + ex2


6. (y + -J r + y2) dx = x dy

7. x (x + y) dy = (r + y2) dx

8. xy' - y = rex

9. xy' = X2 sen x + y

10. (y + x) y' = x - y 11. (7x + 2y)y' = -2x -7y 12. (3y2 + r)y' + 2xy + 3X2 = O 13. (2xy + X2 + 3y2) y-'

+ (y2 + 2xy + 3x2) = O 14. (2xy + 2y2 + X2 + y2) y'

+ (2x2 + 2xy + X2 + y2) = O

15. , -3y - 4x

y - - 2y - 3x

16. r - y2 = xy y'

17. dy = y - x + 1 dx y - x -6

dy 18.

dx x+y +2 x+y - 4

19. (r + 2xy) y' = - 3X2 - y2 - 2xy 20. (X2 + 2xy) y' = - 2y2 - 3xy

ln x = senh _1 !!..- + c x

y y - - = ln c x (J - -y

x x

y = - x cas x + c x

y2 + 7xy + r = c

(y + x) (y2 + r) = oC

(y - x) (y - 2x) = c

(y - xl - 12y - 2x = c

y = 3 ln I x + y - 1 I + x + c

X3 + x2y + xy2 = C

x2y2 + X3y = C

79

Encontrar la solucin particular correspondiente a las condiciones iniciales dadas:

21. (3xy2 + x3) y' = 3y3 + x2y para y(J) = 2

22. (3xy2 - x3) y' = 3y3 _ x2y para y(l) = O

Respuestas:

y = 2x y3 + x2y = JOx3

y=O


23., y-x+8

y =----y-x-l

para y(l) = -2

Respuestas:

(y - xy - 2 (y - x) = 18x - 3

(y - xy + 14y + 4x = 9

y eX/Y = 1

x eX/Y = e

1tY = - eCOS Y/X2

para y(l) = Oln (x + y) + x - 2y = 1

xsen~ = 1x

Y 1tY sen-=-

x 2

Escoger la opcin que contiene la solucin particular de la ecuacin dife-rencial dada:

24.y-x-2

y' = y - x + 71 1

para y("2) ="2

para y(1) = O

25. (y - x)y' + y = Opara y(O) = 1

26. ry' = y2 + xypara y(l) = 1

27. (X2+ xy sen ~)y' = y2 sen.!!....x x

para y(l) =~2

28. {1 - 2 (x + y)] y' + x + y + 1 = OSugerencia: v = x + y

29 y, Y Y x Gas - y = y Gas - - x seri -x x x

para y( 1) = 1t/2

30. (xYGas~ + x2sen~)y' = y2Gas~x x x

para y(l) =~2

31. x (eY/x - 1) y' ~ eY/X (y - x)

A. Y = e1J/X + 1

B.

C.

D. No se

32. x esen Y1

A.

B.

C.

D.

33. y' =

A. x-y

B. x-y

C. x-y

D. x-y

A. xy2 + ~y2

B. -= lnx2

y2C. -= in

x2

D. y2 + xy

35. (2x + 3A. 3y' + 4xB. No pue

gnea.

ER ORDEN

18x - 3

=1

cuacin die-

o


B. y = x eY/x - 1C. No puede usarse cambio de variable.

D. No se puede integrar por los mtodos directos.

32. x ese" y/x GOs!!.... y' = r -/-y ese" y/x GOs!!...-x x

para y(l) = O

A. x = ese" y/x -/- 1B. x = e,eny/x - 2

C. x = ese" y/xD. x = e,eny/x - 1

33. y' = y - 2x -/- 1Y -2x-J para y(O) = 2

A. x - y - 2In 13 - y -/- 2x 1= -2B. x - y-/-2 In 1 y - 2x - 1 1 = - 2C. x - y-/-2 In 1 3 - y -/- 2x 1 = G

D. x - y-/-2 In 1 y - 2x - 1 1 = G

34. (x -/- 2y) y' = - y - 2x para y(-2) = 2A. xy2 -/- ry -/- x' = G

y2 GrB. -=ln

x2 2y -/- X

y2 4rC. -=ln

x2 2y -/- x

D. y2 -/- xy -/- x2 = 4

35. (2x -/- 3y) y' = 2 (x - y) para y(-l) = -/-1A. 3y2 -/- 4xy - 2X2 -/- 5 = OB. No puede aplicarse la sustitucin y = vx porque la ecuacin no es homo-

gnea.

81


C. No puede aplicarse la sustitucin x - y = v porque la ecuacin no es ho-mognea.

D. 3y2 + 4xu - 2X2 = -3.

Respuestas:

31. B. La opcin A no consider la constante de integracin. La opcin e niega el hecho de que s puede usarse el cambio de variable y = vx.

eV

_ 1 d dx d . . d La D opina que v = - - no pue e llltegrarse, Sien o que ya v -ev x

es de variables separables y la integracin es inmediata. 32. C. En las opciones A, B y D se aplicaron mal las condiciones iniciales.

33. A. La opcin B no tom la integral correspondiente al diferencial de v. En la opcin e no se aplicaron las condiciones iniciales. La opcin D contiene los errores de las opciones B y C.

34. D. En la opcin A faltan las condiciones iniciales. En las opciones B y e hay error en la integracin de la variable v.

35. D. En la opcin A estn mal aplicadas las condiciones iniciales. La op-cin B ignora que la ecuacin s es homognea y permite el uso de y = vx. La opcin e contempla una sustitucin no apropiada.

Ecuaciones diferenciales exactas

Definicin 2.5. Dada la funcin z = f(x , y), se dice que la expresin dz = f x dx + f y dy es su diferencial total.

Donde fx y fy son las derivadas parciales de la funcin f (x, y), con respecto a cada una de las dos variables independientes; adems, suponemos que estas derivadas parciales son continuas en una regin R del plano xy.

EJEMPLO 1

Sea z = 4ry - 2xy3 + 3x

-+ dz = (8xy - 2y3 + 3) dx + (4r - 6xy2) dy es el dif.erencial total de la funcin z.

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 83

EJEMPLO 2

Sea z = eX / Y + xy 1 \ X ~ dz = (- exflJ + y) dx - (- eX / Y - x) dy y y2

es el diferencial total.

Si tomamos el lado derecho de la expresin y lo igualamos a cero, entonces :

Definicin 2.6. La igualdad M(x, y) dx + N(x, y) dy = O es una ecuacin diferencial exacta ~ el primer miembro es una diferencial total.

Es decir: Si df = fx dx +fy dy ~ f"dx + fydy = O es ecuaClOn diferencial exacta y fr = M (x, y), fy = N (x, y). Encontrar la solucin de una ecuacin dife-rencial exacta es hallar una funcin f (x, y) tal que su diferencial total sea exac-tamente la ecuacin diferencial dada. Usando la notacin de la diferenciacin parcial, tenemos:

,

of M=--, ox

N=~ oy

Si volvemos a derivar estas igualdades, pero cada una con respecto a la otra var.iable: .

oN ox

Por el clculo sabemos que si las derivadas parciales son continuas entonces: ,

Esto significa que: oM oy

oN ox

Por tanto, si la ecuacin es exacta se cumple esta condicin. Por f so esta-bleceremos el siguiente teorema.


Teorema 1. La condicin necesaria y suficiente para que la ecuacin dife-rencial M (x, y) dx + N (x, y) dy = O sea exacta es que:

oMoy

oNox

ECUA'CIONES

As, en est

el teorema

La explicacin anterior demuestra el teorema. Para ver si una ecuacindiferencial es exacta lo aplicamos inmediatamente.

EJEMPLO 3

Sea la ecuacin diferencial: x sen y dx + y cos x dy = O. Es exacta?Sean M = x sen y y N= Y cos x

oM.~-- = x cos y,oy oN = _ y senxox

Mtodo de s1) Dada la e

2) Aplicamosfx = M(x,

3) Integramo

f= fMd

4) Al resultacon respec

ot,=- foy

5) Igualamos

6) Integramos

Como x cos y *- -y sen x, no es exacta.

fx= M(

EJEMPLO 4

Averiguar si la ecuacin diferencial

e" dx +x eY dy = Oes exactaM N

oM _ eY---- - ,oy

oN _ e"-- ,oxEJEMPLO

Resolver la

(6xy - 2y2)

1) M = 6xyM; =6x

Es exact

Como My = Nx = e", s es exacta.

2) Existircin; to

EJEMPLO 5

Dada la eouacin diferencial x dy - y dx = O, aplicar el teorema para pro-bar que no es exacta.

Mx= 1, Ny = -1, Mx*- N

Si intercambia.nos los diferenciales, las derivadas parciales deben obtenersecon respecto a la variable independiente que no est multiplicando a lafuncin.

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

A ' M N d oM oN . di SI, en este caso = x, = - y, en vez e tomar - - y -- como In ca

oM oN el teorema, tomamos -- y --o

ox oy

Mtodo de solucin 1) Dada la ecuacin diferencial vemos si es exacta.

2) Aplicamos la definicin : fx = M(x, y) o

3) Integramos con respecto a x o con respecto a y f= fMdx

4) Al resultado lo derivamos con respecto a y

o fy = oy f M dx

o

o

5) Igualamos el nuevo resultado a N o a M.

6) Integramos por ltima vez la ecuacin .

EJEMPLO 6 Resolver la siguiente ecuacin diferencial

(6xy - 2y2) dx + (3X2 - 4xy) dy = 0, si es exacta. 1) M = 6xy - 2y2, N = 3X2 - 4xy,

M y =6x-4y, Nx =6x - 4y.

Es exacta porque M y = N:r

oy ox

fy = N(x, y)

f = f Ndy

con respecto a x

o fx=- f N dy ox

2) Existir una funcin f tal que fx ~ M(x, y) y fy = N(x, y), por defini-cin; tomamos cualquiera de las dos igualdades, por e je mplo : fx=M(x,y) ~ fx=6xy-2y2

85


3) Integrando con respecto a x J f x = J (6xy - 2y2) dx

f = 3ry - 2Xy2 + f(y) La constante arbitraria de integracin ser una funcin de y, puesto que y funge como constante en esta integral.

4) Derivando con respecto a y: fy = 3r - 4xy + rey)

5) Sabemos que fy = N(x, y) por definicin, entonces: fy = 3r -4xy

Como dos cosas iguales a una tercera son iguales entre s :

3X2 - 4xy + rey) = 3;(1 - 4xy ~ rey) = O

6) Integrando: f(y) =c . . :. La solucin es: f(x, y) = 3ry - 2xy2 + c o 3ry - 2xy2 + c = O o bien 3x2y - 2xy2 = c.

La comprobacin se reduce a encontrar el diferencial total de la fun-cin solucin. Obtenemos el mismo resultado, si en vez de tomar la ecuacin

fa: = M(x, y), tomamos fy = N(x, y).

EJEMPLO 7

Verificar la solucin del problema del ejemplo 6, tomando fy = N(x, y):

1) Vimos que M y = Nx

3) Integrando con respecto a y: Jfy= J(3X2-4xy)dy

t = 3x2y - 2xy2 + f(x)

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS

4) Derivando con respecto a x: fx = 6xy - 2y2 + f'(X)

5) fx = 6xy - 2y2 + f(x) = 6xy - 2y2 ,~f'(x) = O

6) Integrando: f(x) = e ... 3~y - 2xy2 = e es la misma solucin obtenida anteriormente.

EJEMPLO 8

Resolver la siguiente ecuacin diferencial, si es exacta:

(2y - 2xy3 + 4x + 6) dx + (2x - 3~y2 - 1) dy = O para y( - 1) = O

1) M y = 2 - 6xy2 = N x , s es exacta

2) fx = M(x, y) por definicin, entonces: f x = 2y - 2xy3 + 4x + 6

3) Integrando con respecto a x: f = 2xy - ~y3 + 2~ + 6x + f( y)

4) Derivando con respecto a y: fy = 2x - 3xV + f(y)

5) fy = N(x, y) 2x-3xV+f(y)=2x-3xV-l ~f(y)=-l

6) Integrando: f(y) = - y + e ... la solucin es:

87


2xy - ry3 + 2X2 + 6x - y = e; para y( -1) = O2(- q + 6(- 1)= cc=-4

2xy - ry3 + 2X2 + 6x - y + 4 = O, es la solucin particular.

EJEMPLO 9

Resolver (2x + 6ry) dx + (3x3 - 2xy) dy = O

1) M = 2x + 6ry N = 3x3 -2xyNx= 9r-2yM = 6x2

My*Nx .'. No es exacta

Observando la ecuacin, vemos que puede dividirse entre x *O Yqueda:

(2+ 6xy) dx + (3r - 2y) dy = O

~ My = 6x = N ya es exacta

2) i;= M(x, y)fx = 2 + 6xy

3) Integrando con respecto a x: f = 2x + 3ry + f(y)

4) Derivando con respecto a y: i,= 3r + rey)

5) fy- N(x, y)3x2 + f(y) = 3r - 2y ~ f'(y) = - 2y

6) Integrando: f(y) = - y2 + c.". 2x + 3x2y _ y2 = c.

Solucin que satisface a las dos ecuaciones diferenciales.

Ejerci

ECUAC

Deterresolve

1.

2.

Re

4. (-

Re

5. (eXRe

6. (y

Re

7. (1

Re

8. (1

Res,

9. y(l

Re

10.

Re

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 89

Ejercicios 2.3 Determinar si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas; si lo son, resolverlas.

1. (2x - 5y + 2) dx + (1 - 6y - 5x) dy = O Respuesta: x: + 2x - 3y2 + Y - 5xy = G

2. (2xy3 - 4y + 4x - 3) dx + (3xV - 4x) dy = O Respuesta: X2y3 - 4xy + 2x: - 3x = G

3. (16xy - 3x2) dx + (BX2 + 2y) dy = O Respuesta: Bx:y - x3 + y2 = G

4. (- 20xy2 + 6x) dx + (3y2 - 20X:y) dy = O

5. (eX + y) dx + (eY + x) dy = O Respuesta: eX + xy + eY = G

y 1 6. (y - -eIlIX)dx + (x + -eIlIX)dy =0

X2 x

Respuesta: xy + eYIX = G

y 1 7. (1 - -; eYIX) dx + (1 + _ . el/IX) dy = O

X' x

Respuesta: el/Ix + y + x = G

8. (1 - -~ el/IX) dx + el/Ix dy = O x

Respuesta: xe"" = e ecuacin diferencial no exacta.

9. y(l + GOS xy) dx + x(l + GOS xy) dy = O Respuesta: xy + sen xy = G

10. (6xy3 + y sen xy + 1) dx + (9xV + xsenxy) dy = O Respuesta: 3X2y3 - GOS xy + X = e


11. (3x! + Y Gas xy) dx + (3y2 + X Gas xy) dy = O Respuesta: x3 + sen xy + y3 = e

12. (4x3 - 4xy2 + y) dx + (4y3 - 4x2y + x) dy = O Respuesta: (X2 - y2

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Ecuaciones Diferenciales - Isabel Carmona Jover-222