Ecuaciones e inecuacionesiespravia.com/.../4ESOMap_EcuacionesInecuacionesResumen.pdf• Aplicar las ecuaciones e inecuaciones a la resolución de problemas de la vida real. Autor:

4ºEso Mat aplicadas I.E.S. _____________________

CUADERNO Nº 5 NOMBRE: _________________________ FECHA: / /

Ecuaciones e inecuaciones

Contenidos

1. Ecuaciones Elementos de una ecuación Solución de una ecuación

2. Ecuaciones de primer grado

Solución Aplicaciones

3. Ecuaciones de segundo grado

Solución Incompletas Número de soluciones Aplicaciones

4. Inecuaciones con una incógnita de 1er grado

Objetivos

• Resolver ecuaciones de primer y segundo grado.

• Identificar y resolver inecuaciones de primer con una incógnita.

• Aplicar las ecuaciones e inecuaciones a la resolución de problemas de la vida real. Autor: José Luis Alcón Camas Bajo licencia Creative Commons Si no se indica lo contrario.



2

Recuerda Haz memoria de cómo resolvías las ecuaciones en 3º ESO. Intenta ahora resolver el siguiente problema: encuentra un número tal que el triple de dicho número más 99 sea igual a seis veces el propio número.

1. Ecuaciones 1.a. Elementos de una ecuación CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: RESPUESTAS

¿Qué es una incógnita en una ecuación?

¿Qué es un miembro de una ecuación?

¿Qué es un término de una ecuación?

¿Cuál es el grado de una ecuación? Es el mayor de los exponentes de las incógnitas, una vez realizadas todas las operaciones (reducir términos semejantes).

Distingue los elementos de esta ecuación:

( ) 715151119 3 ++=+− yyyy

Incógnita:

Primer miembro:

Segundo miembro:

Términos:

Grado:

Antes de empezar



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1.b. Solución de una ecuación CONTESTA A ESTAS CUESTIONES: RESPUESTAS

¿Qué es una solución de una ecuación?

¿Cuándo es compatible una ecuación?

¿Cuándo es incompatible una ecuación?

¿Cuándo se dice que dos ecuaciones son equivalentes?

Ejemplos Observa estos dos ejemplos.



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Inventar y comprobar ecuaciones.

2. Ecuaciones de primer grado 2.a. Forma general reducida. Solución para el caso compatible

Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede reducir a la forma (objetivo intermedio):

a·x=b

Será compatible y con solución única si el coeficiente a≠0 (si hay “alguna x”)

Ejemplos: Observa varios ejemplos uno sin y otro con denominadores.

Ecuación de primer grado sin denominadores

EJERCICIOS de Refuerzo

A. Escribe una ecuación de la forma ax = c que sea equivalente a 5x+7=27

B. Escribe una ecuación de la forma x ± b = c que sea equivalente a 3x – 21 = –42

C. Escribe una ecuación de la forma ax+b=c cuya solución sea x = 7 D. Comprueba si x = –5 es solución de la ecuación 7(9x–2) –2x = –8x + 55



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Ecuación de primer grado con denominadores

Resuelve, y comprueba con la calculadora, las 4 ecuaciones que se proponen. Ejercicio 1: Ejercicio 2:

Resuelve la ecuación

13

23

6

47 =+−− xx Resuelve la

ecuación 0

7

75

3

34 =+−−+− xx

Comprobación:

Comprobación:



6

Ejercicio 3: Ejercicio 4:

Resuelve la ecuación

( )8

4

57

9

987 +−−=+− xxx Resuelve la

ecuación ( )

3

164

6

59 −=+− xxx

Comprobación:

Comprobación: N/A

2.b. Aplicaciones. Resolución de problemas El proceso que debes seguir para resolver problemas mediante ecuaciones será:

� Comienza por leer detenidamente el enunciado hasta asegurarte de que comprendes

bien lo que se ha de calcular y los datos que te dan.

� Traduce al lenguaje algebraico las condiciones del enunciado y después resuelve la

ecuación planteada.

� Una vez resuelta la ecuación da la solución al problema y comprueba el resultado.

Ejemplos Resuelve los 4 problemas que se proponen. Para cada uno aparece un enunciado. Debes resolverlo y finalmente comprobar la solución para ver si lo has resuelto correctamente.



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Problema 1: Tenemos 876 piedras y queremos hacer dos montones, de forma que uno tenga el triple de piedras que el otro.¿Cuántas piedras tendrá cada montón?

Problema 2: ¿Qué edad tengo ahora si hace 7 años tenía la tercera parte de la edad que tendré dentro de 11 años?

Problema 3: Un ciclista sale de una ciudad a una velocidad de 30 km/h y 6 horas más tarde, sale un coche de la misma ciudad a 120 km/h. ¿Cuánto tiempo tardará el coche en alcanzar al ciclista?



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Problema 4: Una parcela de forma rectangular tiene un perímetro de 540 m. Si el ancho mide 10 m más que el largo, ¿cuáles son las dimensiones de la parcela?

EJERCICIOS 1. Resuelve las siguientes ecuaciones:

a) 2x (x 1) 5x 2

4 6− + +=

b) 3x 7(x 1) 2x 1

26 3

− + −= −

c) 2x 5 2x 8

x3 7− − +− =

d) 6x (x 8) 2x 17

x6 3

− − − −= +

2. La edad de un padre es el triple que la de su hijo, si entre los dos suman 56 años ¿Cuál es la edad de cada uno?

3. El precio de un anillo y su estuche es de 920€ y el anillo vale 880 € más que el estuche. ¿Cuál es el precio de cada artículo?



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3. Ecuaciones de segundo grado 3.a. Definición. Tipos. Resolución

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede reducir a la forma:

ax2 + bx + c = 0

siendo los coeficientes a, b y c números reales y a≠0. El c se llama término independiente

Si b≠0 y c≠0, se dice que la ecuación es completa. Si b=0 ó c=0 la ecuación es incompleta Para obtener las soluciones utilizamos la fórmula del cuadro de abajo

Fórmula

a

Db

a

cabbx

22

42 ±−=⋅⋅−±−=

Ejemplo:

Resuelve las 2 ecuaciones que se proponen en los recuadros siguientes. Primero resuélvelas y después comprueba la solución para ver si lo has entendido bien.



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Ejercicio 1: Ejercicio 2:

Resuelve la ecuación 036123 2 =++− xx Resuelve la ecuación 0366 2 =++ xx

Comprobación:

Comprobación: N/A

3.b. Incompletas La ecuación de segundo grado del tipo ax2+bx=0, se resuelve sacando factor común x e igualando a cero cada factor. Una solución será siempre x=0 y la otra un número NO nulo. Ejemplo:

La ecuación de segundo grado del tipo ax2+c=0, se resuelve despejando la x2 y extrayendo, si es posible, la raíz cuadrada con ambos signos. Ejemplo:



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Resuelve las 2 ecuaciones incompletas que se proponen (una de cada tipo). Después comprueba la solución. Ejercicio 1: Ejercicio 2:

Resuelve la ecuación 062 =+ xx Resuelve la ecuación 0164 2 =+− x

3.c. Discriminante. Número de soluciones

Se llama discriminante de una ecuación de segundo grado ax2+bx+c=0, a la expresión:

cabD ⋅⋅−=∆= 42

Suele designarse con la letra D o con la letra griega ∆, delta, y es el número que hay dentro de la √

Según sea el signo del discriminante ∆, la ecuación tendrá, o no, solución:

( )

⇒−⇒

⇒+

soluciónSINnteDiscrimina

soluciónunanteDiscrimina

distintassolucionesdosnteDiscrimina

repetida0

Ejemplos:

Ecuación:

Ecuación:



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3.d. Aplicaciones. Problemas Veamos de nuevo, con ejemplos, el proceso que debes seguir para resolver problemas mediante ecuaciones, en este caso de 2º grado. En la escena de la derecha puedes ver ejemplos de tres tipos de problemas (CAMINOS, GEOMETRÍA y NÚMEROS). Ejemplos

En un parque nacional hay casetas forestales unidas todas por senderos. Si el número de senderos es 91. ¿Cuántas casetas forestales hay?

Resolución:

Para construir una caja cúbica se han empleado 150 dm2 de cartón. Determina la longitud de las aristas de la caja.

Resolución:

Descompón 32 en la suma de dos números de manera que el producto de esos dos números sea 240.

Resolución:



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Ejemplos Resuelve los 3 problemas que se proponen. Para cada uno aparece un enunciado. Debes resolverlo y finalmente comprobar la solución para ver si lo has resuelto correctamente. Problema 1: El producto de un número positivo por el cuádruple de ese mismo número es 3364. ¿Qué número es?

Problema 2: El producto de las edades de Pedro y su hermano que tiene 4 años más que él es 837 años. ¿Cuántos años tienen ambos?

Problema 3: La diagonal de un rectángulo mide 26 cm. Halla sus dimensiones si un cateto mide 14 cm menos que el otro.



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4. Inecuaciones con una incógnita 5.a. Definición. Propiedades

Dos expresiones algebraicas separadas por los signos ≠, <, >, ≤, ≥ forman una inecuación.

La solución de una inecuación la forman todos los puntos que cumplen la desigualdad; en general, va a ser un conjunto de puntos, un intervalo, una semirrecta o unión los anteriores.

Propiedades.

• Al sumar o restar la misma cantidad a los dos miembros de una inecuación la desigualdad no varía.

• Al multiplicar o dividir los dos miembros de una inecuación por un mismo número positivo, la desigualdad no varía.

• Al multiplicar o dividir los dos miembros de una inecuación por un mismo número negativo, el sentido de la desigualdad cambia de sentido.

EJERCICIOS

4. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado completas:

a) 2x 7x 10 0− + =

b) 23x 17x 20 0+ + =

5. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) 2x 6x 0− =

b) 2x 27x 0+ =

6. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:

a) 2x 36 0− =

b) 24x 9 0− =

7. Indica sin resolver cuántas soluciones tiene la ecuación: 2x 7x 11 0+ − =

8. Para construir una caja cúbica se han empleado 96 cm2 de cartón. Determina la longitud de las aristas de la caja.

9. El producto de las edades de Fran y su hermano que tiene 7 años más que él es 588 años. ¿Cuántos años tienen ambos?

10. Para vallar una finca rectangular de 14 m² se utilizan 18 m de cerca. Calcula las dimensiones de la cerca.



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5.b. Inecuaciones de primer grado Son las que veremos este curso. Para resolver una inecuación de primer grado, aplicamos las propiedades de las inecuaciones hasta obtener una inecuación de la forma reducida. Esta desigualdad reducida la representaremos y obtendremos la solución en forma de semirrecta:

Inecuación Solución

x ≠ a Sol: (-∞,a) U (a,+∞)

x < a Sol: (-∞,a)

x ≤ a Sol: (-∞,a]

x > a Sol: (a,+∞)

x ≥ a Sol: [a,+∞)

Ejemplos:

Resuelve las 2 inecuaciones que se proponen. Representa la solución Ejercicio 1: Ejercicio 2:

Inecuación ( ) ( )85778 +≥++− xxx Inecuación ( ) ( ) ( )143842473 +−≠+−+−−− xxx



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Para practicar más

1. Obtén la solución de las siguientes ecuaciones:

a) x 1 x 3

12 3− +− =

b) x 3

3(x 2) 202− − + = −

c) 2 2(x 3) x 4

32 4

− − +− =

d) 4(x 1) x 3

x 5 3(x 2)2 3+ ++ − = + −

2. Resuelve las ecuaciones:

a) -6x2 – 7x + 155 = -8x

b) 3x2 + 8x + 14 = -5x

c) (x-6)(x-10)=60

d) (x+10)(x-9)=-78


a) x4 – 24x2 + 144 = 0

b) x4 + 14x2 – 72 = 0

c) x4 – 81 = 0

d) (x2 – 8)(x2 – 1) = 8


a) (x 3)(2x 5) 0+ − =

b) (5x 3)(2x 8) 0+ − =

c) (x–2)(2–3x)(4+x) = 0

d) x(x+3)(2x+1) = 0

5. Resuelve las inecuaciones:

a) 3(x–1)+2x < x+1 b) 2 – 2(x–3) ≠ 3(x–3) – 8

c) 2(x+3)+3(x+1) > 24

d) 3x ≤ 12 – 2(x+1)

e) ( ) 202

323 ≤−−+ x

x

6. Resuelve las inecuaciones:

a) x2 – 5x + 6 < 0

b) –2x2 + 18x – 36 > 0

c) x2 + 2x – 8 ≥ 0

d) 3x2 – 18x + 15 ≤ 0

7. Encuentra dos números consecutivos que sumen 71.

8. Encuentra un número tal que sumado con su triple sea igual a 100.

9. ¿Qué edad tengo ahora si dentro de 12 años tendré el triple de la edad que tenía hace 8 años?

10. Juan tiene 12 años menos que María, dentro de 4 años María tendrá el triple de la edad de Juan ¿cuántos años tienen ahora?

11. Para vallar una parcela rectangular de 240 m2 se emplean 62 m de cerca. ¿Qué dimensiones tiene la parcela?

12. La diferencia de los cuadrados de dos números naturales consecutivos es 25, ¿cuáles son?

13. Al sumar una fracción de denominador 3 con su inversa se obtiene 109/30, ¿cuál es la fracción?

14. El cuadrado de un número más 6 es igual a 5 veces el propio número, ¿qué número es?

15. Busca un número positivo tal que 6 veces su cuarta potencia más 7 veces su cuadrado sea igual a 124.

17 � MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

Recuerdalo más importante

Ecuaciones

Inecuaciones

Otras ecuaciones:

� Bicuadradas: ax4+bx2+c =0

x2 = t

x= 1t� x= 2t� donde t1 y t2

son las soluciones de at2+bt+c=0

� Factorizadas: (x–a)·(x–b)·…=0

Soluciones: x=a

X=b

… etc

Ecuaciones e Inecuaciones

Primer miembro Segundo miembro

7x + x3 = 2x – 5

Términos

Incógnita: xGrado: 3

Ecuaciones de segundo grado

Completas: ax2+bx+c=0

Se resuelven con la fórmula:

a2

ac4bbx

2 −�−=

Si b2 – 4ac <0 sin solución.

Si b2 – 4ac =0 una solución doble.

Si b2 – 4ac >0 dos soluciones.

Incompletas: ax2+c=0

Se despejaa

cx −�=

Incompletas: ax2+bx=0

Dos soluciones: x=0, x=-b/a

Primer miembro Segundo miembro

3x + x2 2x – 6

Términos

Incógnita: xGrado: 2

Ecuaciones de primer grado

Se reducen al tipo ax = b

Solución: x=a

b

Inecuaciones de primer grado

x < a (- �, a)

x � a (- �, a]

x > a(a, + �)

x � a [a, + �)

MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO � 18

Autoevaluación

1. Resuelve la inecuación: 7x 8( 4x 5) 5x 210− + − − < − −

2. Resuelve la ecuación: x 26

x 9(x 8)2

−− = −

3. Encuentra un número sabiendo que si le sumo 8 veces el consecutivo el resultado es 359

4. Encuentra dos números positivos consecutivos de forma que su producto sea 272.

5. Resuelve la ecuación: 3x2 + 15x =0

6. Resuelve la ecuación: 3x2 - 768 =0

7. Encuentra dos números naturales consecutivos tales que la suma de sus cuadrados sea 1105.

8. Resuelve la ecuación : x4 – 2937x2 + 100=0

9. Resuelve la ecuación: x2 – 6x+8 =0

10. Resuelve la ecuación: (x-9)(4x-8)=0.


19 � MATEMÁTICAS Orientadas a las Enseñanzas Aplicadas 4º ESO

Soluciones de los ejercicios para practicar

1. a) x=15 b) x=5c) x=0 d) x=6

2. a) x=5, x=-31/6

b) x=-2, x=-7/3

c) x=16, x=0

d) x=21, x=1

3. a) x= 12� b) x=�2

c) x=�3 d) x=0, x=�3

4. a) x=-3 x=5/2

b) x=-3/5 x=4

c) x=2 x=3/2 x=-4

e) x=0 x=-3 x=-1/2

5. a) (-�, 1)

b) (-�, 5]

c) (17/5, +�)

d) (-�, 2]

6. a) (2, 3)

b) (3, 6)

c) (-�, -4] � [2, +�)

d) [1, 5]

7. 35 y 36

8. 25

9. 18

10. Juan 2, María 14 años

11. 15 m x 16 m

12. 13 y12

13. 10/3

14. 3 y 2

15. 2

16. 22 y -22


Soluciones AUTOEVALUACIÓN

1. (5, )+�

2. x 10=

3. 39

4. 16 y 17

5. x=-5 x=0

6. x=1 x-16

7. 23 y 24

8. x 2 x 8= � = �

9. x=4 x=2

10. x=9 x=2

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