30
Edificações Matemática Aplicada Leandro Barbosa Paz Luiz Eduardo Landim Silva Ricardo Ferreira Paraizo 2010 Rio de Janeiro – RJ

edif matematica_1

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: edif matematica_1

EdificaçõesMatemática Aplicada

Leandro Barbosa Paz

Luiz Eduardo Landim Silva

Ricardo Ferreira Paraizo

2010Rio de Janeiro – RJ

Page 2: edif matematica_1

Presidência da República Federativa do Brasil

Ministério da Educação

Secretaria de Educação a Distância

Este caderno foi elaborado em parceria entre o Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia – CE, a Fundação Cecierj/Consórcio CEDERJ e o Sistema Escola Técnica Aberta do Brasil – e-Tec Brasil.

Equipe de ElaboraçãoInstituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia – CE

Coordenação InstitucionalAdolfo Átila Cabral Moreira

Professores-autoresLeandro Barbosa PazLuiz Eduardo Landim SilvaRicardo Ferreira Paraizo

Coordenação de Desenvolvimento InstrucionalCristine Costa BarretoPaulo Vasques de Miranda

Coordenação de ProduçãoTereza Queiroz

Supervisão de Desenvolvimento InstrucionalFlávia Busnardo

Supervisão de ProduçãoCláudia Domingos Silva

Desenvolvimento InstrucionalFabio PeresGustavo TarcsayKathleen S. GonçalvesMaria Clara PontesWagner Meira Beff

Revisão de LinguagemDayse TavaresLúcia Beatriz da Silva AlvesNataniel dos Santos Gomes

Revisão de ProvasElaine BaymaEliana RinaldiPatricia Paula

Projeto GráficoEduardo MenesesFábio Brumana

DiagramaçãoAndreia VillarVerônica ParanhosSanny Reis

IlustraçãoFernado TorellyPablo CarranzaSami Souza

Referências Bibliográficas e catalogação na fonte, de acordo com as normas da ABNT e AACR2.

Copyright © 2010, Fundação Cecierj / Consórcio Cederj

Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, mecânico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, da Fundação.

P348ePaz, Leandro Barbosa.

Edificações: matemática aplicada. / Leandro Barboza Paz, Luiz Eduardo Landim Silva, Ricardo Ferreira Paraizo. – Rio de Janeiro: Fundação CECIERJ, 2010.

464p.; 20,5 x 27,5 cm.

ISBN: 978-85-7648-678-7

1. Matemática. 2. Unidades de medida. 3. Porcentagem. 4. Grandezas proporcionais. 5. Equações de 1º grau. 6. quações de 2º grau. 7. Triângulos. 8. Trigonometria. I. Silva, Luiz Eduardo Landim. II. Paraizo, Ricardo Ferreira. III. Título.

CDD: 510

Page 3: edif matematica_1

Sumário

Aula 1 | Unidades de medida 5

Aula 2 | Razão e porcentagem 31

Aula 3 | Grandezas proporcionais e escalas 61

Aula 4 | Equações de 1° e 2° graus 93

Aula 5 | As equações que pensam 141

Aula 6 | Ângulos 169

Aula 7 | Semelhança de triângulos 209

Aula 8 | Relações métricas no triângulo retângulo 239

Aula 9 | Relações métricas na circunferência 271

Aula 10 | Área de figuras planas 297

Aula 11 | Razões trigonométricas no triângulo retângulo 323

Aula 12 | Trigonometria na circunferência 345

Aula 13 | Lei dos senos e dos cossenos 377

Page 4: edif matematica_1

Aula 14 | Prismas e pirâmides 393

Aula 15 | Cilindros, cones e esferas 411

Aula 16 | Noções de Geometria Analítica 431

Page 5: edif matematica_1

e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 5

Aula 1 | Unidades de medida

Meta da aula

Apresentar as principais unidades de medida de comprimento, •

de superfície, de volume, de massa e de tempo, e as formas de

conversão entre unidades de mesma espécie.

Objetivos da aula

Ao final desta aula, você deverá ser capaz de:

identificar as principais unidades utilizadas em medidas de com-1.

primento, de superfície, de volume, de massa e de tempo;

escrever corretamente as unidades, usando os símbolos quando 2.

necessário;

definir a unidade adequada para diferentes situações;3.

fazer a conversão entre unidades de medida de mesma espécie.4.

O que é medir?Existe uma enorme variedade de coisas que podem ser medidas sob vários

aspectos. Imagine, por exemplo, uma lata de refrigerante. Você pode medir

a sua altura, pode medir quanto ela “pesa” e pode medir quanto líquido ela

pode comportar. Cada um desses aspectos (comprimento, massa, volume)

implica uma grandeza física diferente.

Figura 1.1: Medidas de uma lata de refrigerante.

Page 6: edif matematica_1

Edificaçõese-Tec Brasil 6

Sistema Internacional de Unidades (SI)Conjunto de definições utilizado em quase todo o mundo moderno que visa a uniformizar e a facilitar as medições.

GlossárioMedir é comparar uma grandeza com uma outra de mesma natureza, ado-

tada como padrão. Esses padrões são as unidades de medida. Atualmente,

o Brasil e muitos outros países utilizam as unidades de medida do Sistema

Internacional de Unidades (SI).

O ato de medir envolve esses padrões, que são as referências usadas na me-

dição. Envolve também a existência de instrumentos de medição que, gra-

duados de acordo com a unidade de medida em questão, fornecem variados

graus de precisão à medida desejada.

Grandezas e suas unidades

Para utilizarmos uma linguagem mais técnica, vamos definir grandeza como

toda característica que, para ser expressa corretamente, utiliza-se de núme-

ros, como, por exemplo:

a distância entre duas cidades;1.

a altura de uma pessoa;2.

a temperatura corpórea de uma pessoa;3.

a capacidade de uma caixa-d’água;4.

a quantidade de pessoas numa reunião;5.

o intervalo de tempo de uma partida de futebol.6.

O Sistema Internacional de Unidades (SI) define como grandezas básicas o

comprimento, a massa, o tempo, a corrente elétrica, a temperatura, a quan-

tidade de substância e a intensidade luminosa. As unidades adotadas pelo SI

para essas grandezas são denominadas unidades básicas, a partir das quais

todas as outras são derivadas.

Page 7: edif matematica_1

e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 7

Tabela 1.1: Grandezas básicas e unidades adotadas pelo SI

Grandezas básicas Unidades básicas

comprimento Metro

massa Quilograma

tempo Segundo

corrente elétrica Ampère

temperatura Kelvin

quantidade de matéria Mol

intensidade luminosa Candela

São inúmeras as grandezas com as quais você terá contato ao longo do

curso. Nesta aula, iremos abordar apenas as unidades de medida de compri-

mento, de superfície, de volume, de massa e de tempo.

Nem sempre as unidades de medida foram precisas e adotadas mundialmen-

te como ocorre hoje. Na Europa, durante a Idade Média, as unidades eram

derivadas das medidas dos corpos dos reis; por isso, o nome de algumas

unidades eram pés, polegadas, braça, etc. Isso acarretava problemas de co-

municação entre as nações e obrigava a confecção de novos instrumentos

de medida quando da morte de um monarca.

Figura 1.2: Importância da padronização de unidades.

Page 8: edif matematica_1

Edificaçõese-Tec Brasil 8

O uso de símbolos na escrita de medidas

Ao expressar a medida de uma grandeza, vamos utilizar um valor numérico

seguido de um símbolo que indica a unidade de medida utilizada na medi-

ção. O valor numérico indica quantas vezes a grandeza medida é maior do

que a unidade utilizada.

Toda vez que você se refere a um valor numérico ligado a uma unidade de

medir, significa que, de alguma maneira, você realizou uma medição. O que

você expressa é o resultado da sua medição, conforme a figura a seguir:

Fonte: www.ipem.sp.gov.br

Figura 1.3: Resultado de uma medição.

Os símbolos são entidades matemáticas e não abreviaturas. Por isso, não são

seguidos por um ponto (exceto no final de uma sentença) nem por um “s”,

para formar o plural.

Tabela 1.2: Símbolo não é abreviatura

Unidades de medida Símbolo correto Símbolo errado

segundo s s.; seg.

metro m m.; mt.; mtr.

quilograma kg kg.; kgr.

hora h h.; hr.

Fonte: www.ipem.sp.gov.br

Tabela 1.3: Símbolo não tem plural

Exemplo de medidas Símbolo correto Símbolo errado

oito metros 8 m 8 ms

três quilogramas 3 kg 3 kgs

duas horas 2 h 2 hs

Fonte: www.ipem.sp.gov.br

Embora sejam adotadas as unidades de medida do Sistema Internacional,

existem diversas unidades de medida para cada grandeza. Uma unidade

considerada ideal para uma grandeza numa determinada situação pode não

Page 9: edif matematica_1

e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 9

ser a melhor em outra. Por exemplo: Se quisermos medir as dimensões de

uma sala é aconselhável usarmos o metro, mas para medir a distância entre

duas cidades é usual a adoção do quilômetro.

Perceba, no exemplo, que o quilômetro (km) é uma unidade originada do

metro pelo acréscimo de um prefixo. Desta forma, as unidades adotadas

pelo Sistema Internacional podem dar origem a outras unidades pela utiliza-

ção de prefixos, formando, assim, unidades múltiplas e submúltiplas destas.

As novas unidades, apesar de não serem as adotadas pelo Sistema Interna-

cional, são igualmente importantes.

Tabela 1.4. Principais prefixos utilizados em unidades

Prefixos das unidades SI

Nome Símbolo Fator de multiplicação da unidade

yotta Y 1024 = 1 000 000 000 000 000 000 000 000

23 Z 1021 = 1 000 000 000 000 000 000 000

exa E 1018 = 1 000 000 000 000 000 000

peta P 1015 = 1 000 000 000 000 000

tera T 1012 = 1 000 000 000 000

giga G 109 = 1 000 000 000

mega M 106 = 1 000 000

quilo k 10³ = 1 000

hecto h 10² = 100

deca da 10

deci d 10-1 = 0,1

centi c 10-2 = 0,01

mili m 10-3 = 0,001

micro m 10-6 = 0,000 001

nano n 10-9 = 0,000 000 001

pico p 10-12 = 0,000 000 000 001

femto f 10-15 = 0,000 000 000 000 001

atto a 10-18 = 0,000 000 000 000 000 001

zepto z 10-21 = 0,000 000 000 000 000 000 001

yocto y 10-24 = 0,000 000 000 000 000 000 000 001

Fonte: www.inmetro.gov.br/consumidor/unidLegaisMed.asp

Page 10: edif matematica_1

Edificaçõese-Tec Brasil 10

Saiba mais...

Apesar de termos contato com diversas unidades de medida nas

embalagens de produtos, nas receitas de alimentos, nos jornais e

nas revistas, nas contas de água e de luz e em diversas outras si-

tuações do cotidiano, muitas pessoas ainda não dão a devida im-

portância ao seu uso. Um sinal disso é que, há alguns anos, fabri-

cantes de diversos produtos utilizaram-se dessa “não importância

ao uso das unidades” para realizarem uma prática ilícita denomina-

da maquiagem: os produtos tinham suas quantidades diminuídas,

mas continuavam com a mesma embalagem e o mesmo preço.

Um exemplo dessa prática ocorreu com os rolos de papel higiêni-

co, que tiveram sua metragem reduzida de 40m para 30m, sem

redução no preço. Como a maioria dos consumidores se limitava a

contar os rolos, apenas, isso passou despercebido.

Conversão de unidades

Em muitos momentos, é necessário realizar a conversão de unidades quando

se mede uma grandeza. Para isso, existem técnicas que serão mostradas ain-

da nesta aula. Em todas as conversões será utilizado um princípio que pode

ser enunciado da seguinte forma: Caso a unidade seja diminuída, o valor numérico da medida deve aumentar, de modo a representar uma medida equivalente e vice-versa.

Esse princípio pode ser justificado por meio de exemplos. Imagine que se

queira medir a largura de uma sala, utilizando, num primeiro momento, o

centímetro como unidade e, num segundo momento, o metro como uni-

dade. É evidente que, em virtude de o centímetro ser uma unidade menor, caberão muitos centímetros na largura da sala. Já no segundo caso, como o

metro é uma unidade maior, caberão poucos metros na largura da sala.

Agora que já percebemos a importância das unidades de medida em diver-

sas situações, que tal conhecermos melhor essas unidades e como realizar as

conversões de uma unidade para outra?

Page 11: edif matematica_1

e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 11

Unidades de comprimento

A unidade padrão para comprimento é o metro, indicada pelo símbolo m.

Com o uso de alguns prefixos e radicais, foram criados seus múltiplos e sub-

múltiplos decimais.

Caso você precise converter uma medida de comprimento de uma unidade

para outra, o fator de conversão será uma potência de 10, cujo expoente

será dado pelo número de casas a percorrer, conforme a Tabela 1.5.

Tabela 1.5: Múltiplos e submúltiplos do metro

Múltiplos Padrão Submúltiplos

quilômetro hectômetro decâmetro. metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm

Veja os dois exemplos a seguir:

Exemplo 1.1:

Expresse em cm a medida 50dam

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm

Figura 1.4: Conversão de dam para cm.

Como a unidade será diminuída, o valor numérico será aumentado por uma

multiplicação por 103 (três casas para irmos do dam ao cm). Logo:

50dam = 50 × (103)cm

50dam = 50 × (10 × 10 × 10)cm

50dam = 50 × 1.000cm

50dam = 50.000cm

Exemplo 1.2:

Expresse em hm a medida 1.200mm

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm

Figura 1.5: Conversão de mm para hm.

MetroComprimento do trajeto percorrido pela luz no vácuo, durante um intervalo de tempo de 1/299 792 458 de segundo, definição adotada na 17ª Conferência Geral de Pesos e Medidas (CGPM).

Glossário

Page 12: edif matematica_1

Edificaçõese-Tec Brasil 12

Como a unidade será aumentada, o valor numérico será diminuído por uma

divisão por 105 (cinco casas para irmos do mm ao hm). Logo:

1.200mm = 1.200/(105)hm

1.200mm = 1.200/(10 × 10 × 10 × 10 × 10)hm

1.200mm = 1.200/100.000hm

1.200mm = 0,012hm

Saiba mais...

Existem outras unidades de comprimento que ainda são usadas

no Brasil:

a polegada, presente nas medidas de diâmetro de canos, dia-a)

gonal da tela de televisores e diâmetro de parafusos;

o pé, usada em profundidades oceânicas e altitude de voos;b)

a légua, utilizada por pessoas mais idosas do interior do estado c)

do Ceará para expressar distâncias entre localidades.

1 polegada (in) = 2,54cm

1 pé (ft) = 12 in = 30,48cm

1 légua ≅ 6km

Atividade 1

Atende ao Objetivo 4

Para cercar uma propriedade quadrada de 5hm de lado, temos 20 rolos

de 100m de arame farpado. Sabendo que a cerca deve apresentar quatro

Page 13: edif matematica_1

e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 13

fileiras de arame, quantos rolos de 200m de arame o proprietário deverá

comprar de modo a cercar completamente a propriedade?

Unidades de superfície

A unidade padrão para superfície é o metro quadrado, indicada pelo sím-

bolo m2, que expressa o espaço existente dentro de um quadrado de lado

1m. Utilizamos os mesmos prefixos e radicais para indicar seus múltiplos e

submúltiplos decimais, conforme mostra a Tabela 1.6:

Tabela 1.6: Múltiplos e submúltiplos do metro quadrado

Múltiplos Padrão Submúltiplos

quilômetroquadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado.

metro quadrado

decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

O termo quadrado deve-se ao fato de que a área de uma superfície é dada

pelo produto de duas dimensões. Assim, temos m x m = m2.

Caso você precise converter uma medida de superfície de uma unidade para

outra, o fator de conversão será uma potência de 10, cujo expoente será

dado pelo dobro do número de casas a percorrer na tabela anterior. Observe

os dois exemplos a seguir:

Page 14: edif matematica_1

Edificaçõese-Tec Brasil 14

Exemplo 1.3:

Expresse em mm2 a medida 5m2

quilômetroquadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado.

metro quadrado

decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Figura 1.6: Conversão de mm2 para m2.

Como a unidade será diminuída, o valor numérico será aumentado pela mul-

tiplicação por 106 (três casas para irmos do m2 ao mm2). Logo:

5m2 = 5 × (102) × (102) × (102)mm2

5m2 = 5 × (10 ×10) × (10 × 10) × (10 × 10)mm2

5m2 = 5 × 100 × 100 × 100mm2

5m2 = 5 × 1.000.000mm2

5m2 = 5.000.000mm2

Exemplo 1.4:

Expresse em m2 a medida 142dm2

quilômetroquadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado.

metro quadrado

decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

Figura 1.7: Conversão de m2 para dm2.

Como a unidade será aumentada, o valor numérico será diminuído pela di-

visão por 102 (uma casa para irmos do dm2 ao m2). Logo:

142dm2 = 142/(102)m2

142dm2 = 142/(10 × 10)m2

142dm2 = 142/100m2

142dm2 = 1,42m2

Page 15: edif matematica_1

e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 15

Saiba mais...

Para se estimar o número de pessoas presentes em eventos de

grandes proporções, calcula-se aproximadamente a área ocupada

pela multidão e multiplica-se por 6, considerando que cabem seis

pessoas por metro quadrado.

Outra unidade de superfície é o hectare (ha), usada, em algumas

regiões do Brasil, para medir a extensão de fazendas.

1 hectare (ha) = 10.000m2

Atividade 2

Atende ao Objetivo 4

Vamos revestir o piso retangular de uma sala com cerâmicas quadradas de

1dm2. Se as dimensões da sala são de 8m por 10m, quantas cerâmicas serão

necessárias?

Page 16: edif matematica_1

Edificaçõese-Tec Brasil 16

Unidades de volume

Normalmente, os livros didáticos fazem distinção entre as unidades de vo-

lume e as unidades de capacidade. As primeiras seriam originadas das uni-

dades de comprimento e serviriam para expressar o espaço tridimensional

ocupado por um objeto. Já as segundas teriam como unidades de medida o

litro, com seus múltiplos e submúltiplos, e serviriam para expressar a capaci-

dade de recipientes.

Creio ser mais coerente falar em unidades de volume, lembrando que, em

caso de recipientes, estamos indicando o volume necessário para enchê-los

com certo líquido.

Na Tabela 1.7, mostramos algumas unidades de volume.

Tabela 1.7: Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

Múltiplos Padrão Submúltiplos

quilômetrocúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico

metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

O termo cúbico deve-se ao fato de que os objetos são tridimensionais e no

cálculo de seu volume ocorrerá o produto dessas três dimensões. Assim,

temos: m x m x m = m3.

Um metro cúbico corresponde ao espaço ocupado por um cubo de aresta

1m. As conversões de unidades nesta tabela se dão de forma análoga ao

que mencionamos em unidades de área e comprimento, mas o fator de

conversão será uma potência de 10, cujo expoente é o triplo de casas que

devemos percorrer, conforme mostrou a Tabela 1.7.

Outras unidades de volume são mostradas a seguir:

Page 17: edif matematica_1

e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 17

Tabela 1.8: Múltiplos e submúltiplos do litro

Múltiplos Padrão Submúltiplos

quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro

kl hl dal l dl cl ml

Nesse caso, a conversão se dará como ocorre nas unidades de comprimento,

ou seja, o fator de conversão será uma potência de 10, cujo expoente será

dado pelo número de casas a percorrer, conforme a Tabela 1.8.

Dentre essas unidades, podemos citar como mais utilizadas o litro, o mililitro

e o metro cúbico. Essa última é a unidade utilizada pela Companhia de Água

ao indicar o consumo mensal de água em cada residência.

Caso você queira converter medidas da Tabela 1.7 para a Tabela 1.8 basta usar:

1l = 1dm3 ou 1m3 = 1.000 l

Veja o exemplo a seguir:

Exemplo 1.5:

Expresse em m3 a medida 40.000cm3.

quilômetrocúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico.

metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

Como a unidade aumenta, o valor numérico da medida será diminuído pela

divisão por 106 (duas casas para irmos de cm3 a m3). Logo:

40.000cm3 = 40.000/(106)m3

40.000cm3 = 40.000/(10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10)m3

40.000cm3 = 40.000/1.000.000m3

40.000cm3 = 0,04m3

Page 18: edif matematica_1

Edificaçõese-Tec Brasil 18

Saiba mais...

Consumo diário de água nas construções, dependendo do tipo de atividade (tabela retirada de um livro: CREDER, Hélio. Instalações hidráulicas e sanitárias. Ed. LTC, 5ª ed., 1993, p. 10).

Prédios Consumo em litros

Casas populares ou rurais (casas de pequeno porte) 120 por pessoa

Residências (casas de médio/grande porte) 150 por pessoa

Apartamentos 200 por pessoa

Hotéis 120 por hóspede

Hospitais 250 por leito

Escolas – internatos 150 por pessoa

Escolas – externatos 50 por pessoa

Edifícios comerciais ou escritórios 50 por pessoa

Templos (igrejas) 2 por lugar disponível para os frequentadores

Atividade 3

Atende ao Objetivo 4

Uma indústria embala sua produção de óleo vegetal em latas de 500cm3.

Quantas destas latas são necessárias para embalar uma produção de 9.000

litros de óleo vegetal?

Page 19: edif matematica_1

e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 19

Unidades de massa

A grandeza massa, vulgarmente chamada de peso, indica a quantidade de

matéria de um corpo.

Apesar de a unidade de uma massa adotada no Sistema Internacional de Uni-

dades ser o quilograma, indicaremos como unidade padrão o grama, já que

os demais são múltiplos ou submúltiplos deste, como mostraremos a seguir:

Tabela 1.9: Múltiplos e submúltiplos do grama

Múltiplos Padrão Submúltiplos

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

kg hg dag g dg cg mg

Saiba mais...

Inicialmente, definiu-se como unidade de massa a massa de um

litro de água desmineralizada a 15°C. Essa massa foi chamada de

um quilograma (1kg). Mais tarde, percebeu-se o inconveniente

desta definição, já que o volume da água varia de acordo com

a pureza da mesma. Passou-se, então, a adotar como padrão de

massa um certo objeto chamado “padrão internacional de mas-

sa”. A massa desse objeto é de 1kg. Dentro do possível, fez-se

com que a massa deste padrão fosse igual à massa de 1 litro de

água destilada a 15 °C.

Dessas unidades citadas, as mais utilizadas são o quilograma, o grama e o

miligrama. Utilizamos o quilograma ao citarmos o nosso “peso”; a massa de

alimentos embalados normalmente é feita em gramas; já a quantidade de

substância química em um remédio é dada em miligramas.

Na conversão de uma unidade de massa para outra, o fator de conversão

será uma potência de 10, cujo expoente será dado pelo número de casas a

percorrer, conforme a Tabela 1.9. Observe o exemplo a seguir:

QuilogramaMassa equivalente a um padrão cilíndrico composto por irídio e platina armazenado no Museu Internacional de Pesos e Medidas na cidade de Sèvres, França.

Glossário

Page 20: edif matematica_1

Edificaçõese-Tec Brasil 20

Exemplo 1.6:

Expresse em g a medida 400mg

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

kg hg dag g dg cg mg

Como a unidade está sendo aumentada, o valor numérico será obtido pela

divisão de 400 por 1.000. Logo:

400 mg = 400/(103)g

400 mg = 400/(10 × 10 × 10)g

400 mg = 400/1.000g

400 mg = 0,4g

Saiba mais...

Outra unidade utilizada para expressar uma medida de massa é a

tonelada (t), que equivale a 1.000 kg. Esta unidade é muito utiliza-

da em cargas transportadas por caminhões e navios.

Unidades de tempo

A unidade de tempo adotada pelo Sistema Internacional de Unidades é o

segundo. Entretanto, a utilização dessa unidade é conveniente em peque-

nos intervalos de tempo. Por isso, são também utilizadas medidas de tempo

expressas em horas e/ou em minutos.

Tabela 1.10: Medidas de tempo

hora minutos segundos

h min s

Essas unidades não são formadas pela utilização de prefixo como acontece

nos casos anteriormente citados.

SegundoDe acordo com a definição atual, a duração de 9 192 631 770 períodos da radiação correspondente à transição entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133.

Glossário

Page 21: edif matematica_1

e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 21

A conversão entre essas unidades será feita utilizando-se um fator de conver-

são 60 ao passarmos de uma casa para a seguinte, mas continuaremos com o

princípio utilizado nos casos anteriores. A seguir, apresentamos um exemplo:

Exemplo 1.7:

Expresse em h a medida 360s

hora minutos segundos

h min s

Como a unidade de tempo será aumentada, o valor numérico será diminuído

pela divisão por 602. Logo:

360s = 360/(602)h

360s = 360/(60 × 60)h

360s = 360/3.600h

360s = 0,1h

Atividade 4

Atende aos Objetivos 1 e 3

Associe cada grandeza (1ª coluna) à unidade (2ª coluna) mais conveniente

para expressar sua medida.

(1) Largura de uma sala de aula

(2) Período diário de sono recomendado a uma pessoa

(3) Tempo de queda de um objeto solto do 2º andar

(4) Massa de uma substância num remédio líquido

(5) Capacidade de uma caixa d’água residencial

(6) Área do piso de uma garagem

( ) hora

( ) centímetro

( ) segundo

( ) metro cúbico

( ) metro

( ) litro

Page 22: edif matematica_1

Edificaçõese-Tec Brasil 22

(7) Consumo mensal de água por pessoa

(8) Tamanho de corte cirúrgico

(9) Área manchada por uma gota de tinta caída

ao chão

( ) centímetro quadrado

( ) miligrama

( ) metro quadrado

Atividade 5

Atende aos Objetivos 1 e 2

Mesmo ao pronunciar as unidades, muitas pessoas as empregam de forma

incorreta. Analise cada frase a seguir e, caso identifique algum erro no uso

da unidade de medida, reescreva-a corretamente.

“Eu comprei seis quilos de carne.”1.

“A minha altura é um e setenta e dois.”2.

“O horário de almoço começas às 12:00hs.”3.

“Neste mês, o consumo residencial marcado pelo hidrômetro foi de quinze 4.

metros de água.”

“Comprei um refrigerante de 600mg.”5.

Page 23: edif matematica_1

e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 23

Atividade 6

Atende ao Objetivo 4

Expresse as medidas a seguir nas unidades indicadas entre parênteses.

a) 12m3 (cm3) b) 13hm (cm) c) 10dm2 (dam2)

d) 150mm (m) e) 500cm2 (km2) f) 15l (mm3)

g) 15in (m) h) 2ha (m2)

Resumo

A necessidade de medir é muito antiga e remonta à origem das civiliza-•

ções. Medir é comparar uma grandeza com uma outra, de mesma natu-

reza, adotada como padrão. Esses padrões são as unidades de medida

e, atualmente, muitos países utilizam as unidades de medida do Sistema

Internacional de Unidades (SI).

Ao escrever a medida de uma grandeza, vamos utilizar um valor numé-•

rico seguido de um símbolo que indica a unidade de medida usada na

medição. O valor numérico indica quantas vezes a grandeza medida é

maior que a unidade utilizada.

Page 24: edif matematica_1

Edificaçõese-Tec Brasil 24

Em vários momentos, é preciso fazer a conversão de unidades numa me-•

dida de uma grandeza. Em todas as conversões foi utilizado um princípio

que pode ser enunciado da seguinte forma: Caso a unidade seja dimi-nuída, o valor numérico da medida deve aumentar de modo a represen-tar uma medida equivalente e vice-versa.

Para fazer a conversão de unidades, devemos utilizar as tabelas apresenta-•

das, deslocando-se da unidade em que a medida se encontra para a unida-

de em que se deseja expressá-la. Depois, é só utilizar o fator de conversão

adequado para cada grandeza: fator 10 para medidas de comprimentos;

fator 102 para medidas de superfície; fator 103 para medidas de volume;

fator 60 para medidas de tempo e fator 10 para medidas de massa.

Informações sobre a próxima aula

Na próxima aula, vamos estudar razão e porcentagem, abordando algumas

situações do cotidiano em que esses assuntos aparecem com maior frequência.

Até lá.

Respostas das atividades

Atividade 1

Perceba que, no problema, há medidas de comprimento em unidades di-

ferentes. Enquanto o comprimento de arame é dado em metros, a medida

do lado da propriedade é dada em hectômetros. Devemos, então, converter

uma dessas medidas para a unidade que queremos trabalhar. Como se de-

seja saber quanto ainda devemos comprar de arame, trabalharemos com a

unidade metro, que é a mais comum e aquela em que o comprimento do

arame já está expresso.Vejamos como se dará essa conversão:

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro

km hm dam m dm cm mm

(Fator de conversão: 10)

Desejamos expressar uma medida dada em hm por uma unidade menor

(m). Por isso, o valor numérico será aumentado pela multiplicação do valor

Page 25: edif matematica_1

e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 25

numérico da medida, pelo fator de conversão duas vezes, já que aconteceu

um deslocamento de duas casas na tabela anterior.

5hm = 5 x 10 x 10m ⇒ 5hm = 500m

A propriedade que se deseja cercar tem formato quadrado. Assim, a distân-

cia total a ser cercada será de 4 x 500m = 2.000m. Como se deseja que na

cerca haja 4 fileiras de arame, serão necessários 4 x 2.000m = 8.000m de

arame.

Dispõe-se de 20 rolos de 100m de arame, ou seja, 20 x 100m = 2.000m.

Portanto, é necessário adquirir outros 6.000m de arame que, se comprados

em rolos de 200m, resultarão em 6.000m/200m = 30 rolos.

Atividade 2

Esse problema é bastante comum em construções, sendo necessária a con-

versão de unidades de superfície. No nosso problema específico, as dimen-

sões da sala estão em metros. Calculada sua área, esta será expressa em

metros quadrados. Já a área das cerâmicas é dada em decímetro quadrado.

Calculemos, então, a área da superfície que se deseja revestir. Como o forma-

to do piso é retangular, basta multiplicarmos a largura pelo comprimento:

APISO = 8m x 10m ⇒ APISO = 80m2

Devemos comparar a medida de superfície do piso com a medida de su-

perfície de uma cerâmica. Estas devem estar expressas na mesma unidade.

Vejamos como converter, então, a medida calculada anteriormente de forma

que seja expressa em decímetros quadrados.

quilômetroquadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado.

metro quadrado

decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

(Fator de conversão: 102)

Desejamos expressar uma medida dada em m2 por meio de unidade menor

(dm2). Por isso, o valor numérico será aumentado pela multiplicação do valor

Page 26: edif matematica_1

Edificaçõese-Tec Brasil 26

numérico da medida, pelo fator de conversão uma vez, já que houve um

deslocamento de uma casa na tabela anterior.

80m2 = 80 x 102dm2 ⇒ 80m2 = 8.000dm2

Como cada cerâmica ocupa apenas 1dm2, precisaremos de 8.000 cerâmicas

para revestir o piso.

Atividade 3

Nesse problema, temos que determinar o número de recipientes necessá-

rios para serem embalados num determinado volume de produção de óleo.

Estaremos, então, relacionando medidas de volume que foram dadas em

unidades diferentes. Para isso, adotaremos o cm3, que é a unidade menor

nesse problema para expressar nossas medidas.

Para fazer a conversão de unidades na medida de volume de óleo produzido,

vale lembrar que um litro é equivalente a um decímetro cúbico. Com isso,

devemos expressar 9.000 dm3 em cm3.

quilômetrocúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico

metro cúbico

decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

(Fator de conversão: 103)

Queremos expressar os 9.000 dm3 de óleo em uma unidade menor (cm3).

Esse valor numérico será aumentado pela multiplicação pelo fator de conver-são uma vez, já que o deslocamento na tabela anterior foi de uma casa.

9.000dm3 = 9.000 x 103cm3 ⇒ 9.000dm3 = 9.000.000cm3

Para sabermos a quantidade de latas necessárias para embalar a produção,

basta vermos quantas vezes essa medida é maior do que a capacidade de

uma lata.

9 000 000500

. . cmcm

3

3 = 18.000 latas

Page 27: edif matematica_1

e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 27

Atividade 4

(1) A largura de uma sala é normalmente dada em metros.

(2) É recomendável, para um restabelecimento do corpo, um período de 8

horas de sono.

(3) A gravidade faz com que um objeto solto do 2º andar chegue ao chão

em questão de segundos.

(4) A massa de uma substância contida num remédio é muito pequena sen-

do normalmente expressa em miligramas.

(5) Embora possamos expressar a capacidade de uma caixa-d’água residencial

em metros cúbicos ou em litros, é mais comum utilizar o litro para essa

medida.

(6) Como as dimensões de uma garagem são expressas normalmente em

metros, a área desta deve ser dada em metros quadrados.

(7) Devido ao período ser relativamente longo (30 dias), o volume de água

consumido por uma pessoa será de milhares de litros. Sugere-se, então,

expressar essa medida de volume em metros cúbicos (1m3 = 1.000 l)

(8) Normalmente, os cortes cirúrgicos possuem comprimento de poucos

centímetros.

(9) Uma gota de tinta, ao cair no chão, espalha-se e deve ocupar cerca de

um centímetro quadrado.

A sequência numérica na segunda coluna é (de cima para baixo) 2, 8, 3, 7,

1, 5, 9, 4, 6.

Atividade 5

Frase 1: “Eu comprei seis quilos de carne.”

Nesta frase, ocorre um erro ao utilizar-se o termo “quilo”, em vez da uni-

dade quilograma para expressar a massa de carne comprada. Deve-se dizer:

“Eu comprei seis quilogramas de carne.”

Page 28: edif matematica_1

Edificaçõese-Tec Brasil 28

Frase 2: “A minha altura é um e setenta e dois”.

Embora seja comum mencionarmos a altura sem expressar a unidade, isso

é um erro. Deve-se dizer: “A minha altura é um metro e setenta e dois cen-

tímetros.”

Frase 3: “O horário de almoço começa às 12:00hs”.

Como foi dito, a unidade é um símbolo e não deve ser pluralizada. Desta

forma, a frase correta é “O horário de almoço começa às 12:00h”.

Frase 4: “Neste mês, o consumo residencial marcado pelo hidrômetro foi de

quinze metros de água.”

Metro é uma unidade de comprimento. O que se deseja expressar é o volu-

me de água consumido durante um mês numa residência. Assim, o correto

é: “Neste mês, o consumo residencial marcado pelo hidrômetro foi de quin-

ze metros cúbicos de água.”

Frase 5: “Comprei um refrigerante de 600mg”.

Embora seja possível existir um refrigerante de 600mg, o comum é que estes

sejam vendidos a partir do volume. Dessa forma, o mais provável é que a

pessoa tenha utilizado indevidamente o símbolo. Corrigindo o erro, teremos:

“Comprei um refrigerante de 600ml”.

Atividade 6

Agora que você já está mais acostumado com a conversão de unidades,

resolveremos essa atividade de forma mais sucinta.

a) 12m3 (cm3)

12m3 = 12 x 103 x 103cm3 x 10

12m3 = 12 x 106cm3

12m 3 = 12.000.000cm3

Page 29: edif matematica_1

e-Tec BrasilAula 1 | Unidades de medida 29

b) 13hm (cm)

13hm = 13 x 10 x 10 x 10

13hm = 13.000cm

c) 10dm2 (dam2)

10dm2 = 10/(102 x 102)dam2

10dm2 = 10/104dam2

10dm2 = 1/103dam2

10dm2 = 10-3dam2

10dm2 = 0,001dam2

d) 150mm (m)

150mm = 150/(10 x 10 x 10)m

150mm = 150/1.000m

150mm = 0,15m

e) 500cm2 (km2)

500cm2 = 500/(102 x 102 x 102 x 102 x 102)

500cm2 = 500/1010

500cm2 = 5/108

500cm2 = 5 x 10-8km2

f) 15l (mm3)

15l = 15dm3

15l = 15dm3 = 15 x 103 x 103mm3

15l = 15 x 106mm3

15l = 15.000.000mm3

g) 15in (m)

15in = 15 x 2,54cm

15in = 38,1cm

15in = 38,1cm = 38,1/(10 x 10)m

15in = 0,381m

Page 30: edif matematica_1

Edificaçõese-Tec Brasil 30

h) 2ha (m2)

2ha = 2 x 10.000m2

2ha = 20.000m2

Sites consultados

BRASIL. Ministério do Desenvolvimento, Indústria e Comércio Exterior. Instituto de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial. Disponível em: www.inmetro.gov.br. Acesso em: 22 jul. 2008.

São Paulo (Estado). Instituto de Pesos e Medidas. Disponível em: www.ipem.sp.gov.br. Acesso em: 22 jul. 2008.