Eduardo Víctor Gatti Plottier - Espacio Digital · Resolver situaciones problemáticas aplicando conceptos de SIMELA las equivalencias de unidades necesarias Resolver situaciones

Matemática 1° Año

E.P.E.T. N° 9 Eduardo Víctor Gatti

Plottier

Material Básico Prof : Pérez Pertino Juan Pablo

2017

MATEMÁTICA 1º Año - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2017 Señores padres, madres y alumnos y alumnas: El objetivo del presente material es brindar al alumn@ un elemento básico

para desarrollar los contenidos de primer año en forma ordenada. Este apunte básico debe ser complementado con el cuaderno de clase donde cada alumn@ hará la practica que se realice en clase y toda otro material que se vea durante el año.

El material se divide en dos partes : Un material de ambientación para ser utilizado en la primera parte del año; y un material teórico básico que incluye ejercicios tipo de cada tema desarrollado. Es importante mencionar que el nivel de contenidos y ejercitación deberá ser adecuado a las características propias de cada curso, complementándose o ajustándose por cada profesor según sea el caso.

En la primera parte se buscará repasar contenidos vistos en la primaria a través del planteo y resolución de diferentes situaciones. La idea es que las mismas ofrezcan la posibilidad de repasar algoritmos y procedimientos sencillos , y a la vez permitir al alumn@ conocer otros temas, tener la posibilidad de ver su realidad de otra manera ; y poder usar otras habilidades mas allá de las comúnmente utilizadas en el desarrollo de operatorias numéricas abstractas ( que serán vistas con más detalle a lo largo del resto del año). Hace unos años este material se daba bajo la forma de cuadernillo de Ingreso , y debía ser realizado por el alumn@ antes de ingresar a la escuela. Pero se observaba que había mucha dispersión en la forma, prolijidad y orden en que se hacían dichos cuadernillos, y podemos agregar a esos problemas que en realidad la mayoría no lo hacia , o lo hacían a través de profesores particulares. Desde el año 2012 se adopto la metodología de usar el cuadernillo como un elemento que reúna elementos teóricos, ejemplos y ejercitación. Para ello se han previsto los lugares donde el alumn@ pueda desarrollar ejercicios, dibujos o respuestas (ya sea con espacios en blanco o sea utilizando el reverso de las páginas del cuadernillo)

Los alumn@s que conforman nuestros primeros años provienen de muchísimas escuelas primarias y traen previos distintos, como así también maneras de aprender y de mostrar sus conocimientos diferentes. Realizar este cuadernillo en el periodo de ambientación creemos que es una buena manera de fomentar el intercambio de conocimiento, de posibilitar una mas efectiva nivelación y de ofrecer un espacio y tiempo para que el alumn@ se adapte a su nuevo ciclo y ponga en común sus expectativas.

Creemos que los conocimientos acá solicitados son dados en general en el transcurso de la escuela primaria, aunque puede ser que no hayan sido dados en la forma que aquí se presentan. En muchas partes del cuadernillo no hay un listado de temas sino diferentes situaciones. Todas las situaciones se hacen con el manejo básico de números naturales y racionales (fracción y/o su expresión decimal) Se trata también de observar, interpretar, plantear y resolver situaciones problemáticas sencillas.

Consideramos al periodo de ambientación y a la parte de este cuadernillo que le corresponde , importantísimos en la transición que deberá realizar el alumn@ entre la primaria y todo lo “nuevo” que se abre ante él. Es una manera de darnos a todos los actores del proceso educativo (alumn@s, padres y docentes) mayores tiempos, espacios y oportunidades . Pero entonces , el alumn@ no debe ver las tareas o aprendizajes solo como “notas” o “tareas impuestas”. El alumn@ tendra

que anteponer a lo anterior sus ganas de aprender, de acercarse a cada disciplina y en particular a la matemática como una forma de entender la realidad que nos rodea y los problemas cotidianos que se nos plantean. Es fundamental que el alumn@ no genere una actitud de rechazo o presión viendo su estudio como solo una obligación , sino que debe darse la posibilidad de descubrir en la ejecución de cada trabajo sus capacidades y sus limitaciones y así fortalecer su autoestima. Podrá así encontrar satisfacción al resolver un problema, al buscar los datos y las incógnitas, al plantearlo o al confrontar su solución a través de la verificación del mismo o en su interpretación con otros datos o ejemplos de la realidad.

Ganas + esfuerzo + perseverancia son una ecuación casi infalible para llegar adonde queramos. Apliquemos todo para resolver el desafió de aprender matemática en primer año . Para completar estas palabras a continuación les dejamos un breve texto del matemático Adrián Paenza, léanlo por favor antes de empezar a resolver el cuadernillo.

Gracias por su atención

Profesor Pérez Pertino Juan Pablo.- Epet Nº 9

Del libro de Adrián Paenza – “ Matematica … ¿Estas ahí? – Episodio 2”

Las reglas del Juego … Como estudiar:

La primera recomendación es : tomen la practica y traten de resolver los ejercicios. Si se dan por vencidos con uno , o simplemente no saben una definición, lean la teoría y vuelvan a intentar tratando de razonar por analogía. Eviten estudiar primero y enfrentarse después con la práctica.

Traten de entender que significa cada enunciado propuesto, ya sea de un ejercicio o de un resultado teórico

Traten de fabricar ejemplos ustedes mismos… ¡Muchos ejemplos! Es una buena manera de verificar que se ha comprendido el tema

Dediquen una buena dosis de tiempo a pensar… ayuda… y es muy saludable

Programa de MATEMÁTICA - 1º Año - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2017

INTRODUCCION

Elaboración del cuadernillo de ambientación. Diagnostico Inicial

UNIDAD N° 1: NUMEROS ENTEROS

Signos y símbolos matemáticos. Conjunto, definición por extensión y por comprensión; unión e intersección

Números Naturales. Concepto. Representación.

Números Enteros: Concepto, recta numérica. Suma Algebraica. Supresión de llaves, corchetes y paréntesis Multiplicación y división, reglas de signos. Ecuaciones : concepto , resolución.

Ejercicios combinados y ecuaciones con las cuatro operaciones en Z. Problemas

UNIDAD N° 2: NUMEROS RACIONALES

Concepto. Representación. Lectura. Equivalencia y orden. Fracciones: propia, unidad, impropia, aparente. Números primos y compuestos, MCD y mcm.

Operaciones: suma, resta, multiplicación y división, propiedades, reglas de signos. Fracción: decimal, decimal periódico, número mixto, transformaciones. Porcentaje.

Ejercicios combinados y ecuaciones. Inecuaciones de primer grado con una incógnita. Problemas

UNIDAD N° 3: ANGULOS

Entes primitivos: Punto, recta, plano, semiplano, segmento, semirrecta. Posiciones de dos rectas en el plano.

Angulo: Definición y clasificación. Figuras cóncavas y convexas. Sistemas de medición de ángulos. Ángulos consecutivos, complementarios, suplementarios, adyacentes, opuestos por el vértice. Operaciones con ángulos: Suma, resta.

Ángulos formados por dos rectas paralelas cortadas por una transversal. Ejercicios.

UNIDAD N° 4: POTENCIACION Y RADICACION

Potenciación de enteros- racionales con exponente entero. Concepto. Regla de signos. Propiedades. Exponente Negativo

Radicación de enteros -racionales con índice entero. Concepto. Regla de los signos .Propiedades.

Resolución de Ejercicios combinados y ecuaciones con cuatro y seis operaciones con Z y Q.

UNIDAD N° 5: SIMELA

SIMELA: Magnitud, Cantidad. Longitud, masa, capacidad, superficie y volumen. Reducciones y equivalencias. Problemas.

UNIDAD N° 6: FIGURAS PLANAS

Figuras planas: Poligonal. Polígono : definición, clasificación, polígono regular. Circunferencia.

Triángulos: definición; clasificación. Propiedades de los ángulos y los lados, relaciones entre lados y ángulos. Perímetros superficie.

Cuadriláteros: definición; clasificación. Propiedades de los ángulos y los lados. Perímetros superficie

Resolución de problemas sencillos aplicando conceptos de SIMELA y figuras planas.

OBJETIVOS PROMOCIONALES:

Resolver 4 operaciones con Nº Enteros (Z) y con Nº Racionales (Q) (ejercicios combinados y ecuaciones)

Resolver 6 operaciones con números Racionales (Q) (ejercicios combinados y ecuaciones)

Resolver situaciones problemáticas aplicando conceptos ángulos. Calcular ángulos en diferentes configuraciones incluidos ángulos entre paralelas aplicando clasificaciones y propiedades

Resolver situaciones problemáticas aplicando conceptos de SIMELA las equivalencias de unidades necesarias

Resolver situaciones problemáticas aplicando conceptos relativas a figuras planas sencillas. Calcular lados, ángulos y superficie en distintas figuras planas sencillas

Cuaderno y Trabajos Prácticos aprobados.

Bibliografía: Cuaderno de clase

Matemática 8 y 9 EGB ( M. Rodriguez – M. Martinez) (Ed. Mc Graw Hill) Matemática 1 (Amenedo-Carranza y otros) (Ed. Santillana) Matemática 8 y 9 EGB (Varios) (Ed. Puerto Palos) Matemática 8 EGB (Seveso y otros) (Ed. Kapelusz)

Firma Alumno Firma Padre/Madre/Tutor Firma Profesor

IMPORTANTE: El alumno debe tener su cuaderno completo para aprobar la materia.

MATEMÁTICA - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2017

Pautas de trabajo para desarrollar el proceso de enseñanza- aprendizaje

1) El cuaderno es un elemento fundamental para el trabajo en el aula y para el estudio de la materia, por lo tanto debe estar siempre al día ,completo, prolijo y ordenado. El docente la revisará y controlará periódicamente. Al comenzar el año, el alumno/a deberá tener un cuaderno tamaño A4 cuadriculado de 80 a 100 hojas, preferentemente de tapa dura.

2) La primera hoja se destina a carátula (según la consigna del profesor/a , incluyendo por lo menos la siguiente información: Nombre y apellido del alumno/a, Asignatura, Establecimiento, Curso , Año lectivo y Apellido y Nombre del Profesor/a ); en las siguientes hojas se pegaran estas Pautas , el Programa de cursado del año .y los Criterios de Acreditación de la materia , todos firmadas por el alumno/a, padre, madre y profesor/a.

3) Todas las clases, el alumno/a debe:

mantener un ambiente cordial de trabajo; por lo tanto, está prohibido el uso de aparatos electrónicos (teléfono celular, mp3, etc.) en el aula;

respetar las indicaciones del profesor/a; tener los elementos necesarios en clase: lápiz , lapicera , goma, regla y todo otro elemento necesario según los temas

a estudiar; Posibilitar el vinculo entre los padres y el profesor/a. Para ello debe hacer firmar por los padres o el tutor/a toda

comunicación que se realice en el cuaderno de comunicaciones y/o de clase , como asi debe hacer firmar las evaluaciones apenas le son entregadas.

4) En el cuaderno, el alumno/a desarrollará todos los temas vistos en clase y las tareas solicitadas (Si falta, deberá copiar el trabajo desarrollado antes de la siguiente clase, y/o resolver las tareas encomendadas); así podrá estudiar para la siguiente clase, y pedir nueva explicación en caso de ser necesario. El alumno tratará de realizar las tareas encomendadas aun con errores para permitirle mejorar, a partir de la corrección de la ejercitación principal-tipo que se hará en el pizarrón, en la carpeta o en las mismas evaluaciones. De esta manera llegará a la evaluación suficientemente preparado

5) Las evaluaciones escritas serán avisadas con siete días de anticipación como mínimo al igual que las entregas de los trabajos prácticos. Dichas evaluaciones serán sobre temas y ejercicios similares a los dados en clase previéndose distintos tipos de dificultad.

6) Los procesos de enseñanza aprendizaje y los objetivos propios del año son reforzados a través del armado curricular propio del año y de todo el ciclo por lo que el alumno puede tratar de superar sus dificultades retomando los contenidos en forma continua y preguntando cuando sea necesario o participando de las clases de consulta.

7) El alumno no debe faltar a las evaluaciones avisadas. En caso de faltar deberá traer certificado médico dentro de las 24 horas, pudiéndose tomar luego la evaluación en forma oral o escrita.

8) El respeto y la solidaridad por cada uno de los compañeros, por los profesores y la institución forman parte del proceso enseñanza aprendizaje y serán tenidos en cuenta.

9) El alumno debe realizar los esfuerzos necesarios para crecer en forma autónoma, responsable y creativa. Para ello deberá organizar sus tiempos tanto en la casa como en la escuela.

10) La calificación de cada trimestre será el resultado de las evaluaciones, el cumplimiento de las tareas, ,los trabajos prácticos encomendados –ya sea grupal o individualmente- la confección de la carpeta y la actitud frente a la asignatura y el respeto y solidaridad como fuera indicado anteriormente. (Ver criterios acreditación)

11) El alumno cuenta con Clases de Consulta gratuitas, dictadas por la Jefe de Departamento en los siguientes horarios (completar con horarios que brinden los jefes de depto ):

Prof Prof.

( Asistir con el cuaderno de clases y la guía de ejercitación)

Agradecido por su atención y quedando a su disposición. Firma Alumno Firma Padre/ Madre/ Tutor Profesor de Matemática

MATEMÁTICA - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2017

Criterios para Acreditación de la materia:

Aprobará la materia el alumno que tenga todos los objetivos promocionales (incluidos en el programa de cursado) aprobados.(incluye el cuaderno completo)

Para aprobar los objetivos promocionales el alumno deberá aprobar las evaluaciones de cierre de los temas/unidades correspondientes a dicho objetivo. La forma de evaluación será propia de cada curso y tema, y será indicada durante el año. Los objetivos que contengan más de una unidad/tema y cuyos contenidos hayan sido diseñados en forma espiralada, serán aprobados al aprobar el último de los temas/unidades incluidas en los objetivos promocionales. (Las Unidades 1 y 2 funcionan como un contenido integrado com así también las Unidades 5 y 6) No se forzarán integraciones que dificulten los aprendizajes ni se tomará integradora final para aprobar la materia.

Las notas utilizadas durante el trimestre serán : No contesta, Insuficiente/Mal, Regular, Bien Muy Bien y Sobresaliente, correspondiendo solo nota numérica al cierre de los trimestres.

Las notas trimestrales son el resultado del cierre de los objetivos de cada trimestre complementadas por el desempeño y participación en clase, las tareas extra áulicas, todo tipo de trabajo complementario , la carpeta y el comportamiento del alumno. Se tomarán en cuenta, entre otros valores, a la responsabilidad, el esfuerzo, la solidaridad y el respeto del alumno con sus compañeros e institución. Si los tiempos y el nivel de participación lo permiten o ameritan se harán recuperatorios antes del cierre del trimestre. Será condición para poder rendir dichos

recuperatorios tener la carpeta completa. En caso de tener en el trimestre alguna/s unidad aprobada y otra/s

desaprobadas la nota será menor a 7 pero el alumno no deberá los temas aprobados a fin de año.(POEC)

Si el alumno no alcanza (con rendimiento regular) uno o más objetivos promocionales a fin de año , se prevee que pueda recuperar uno de ellos, quedando (en caso de tenerlos) los demás objetivos para recuperar en el POEC. No participan de esta instancia los alumnos que a fin de año tengan desarrollos insuficientes.

Participan del POEC los alumnos que:

Tengan al menos un objetivo aprobado y no tengan insuficiente en el resto de los objetivos.

Forma de evaluación del POEC: Después de la semana de orientación, se tomarán evaluaciones de cada objetivo de manera similar a como fueron

evaluados en el año.

Se reservará un tiempo para una instancia de cierre del examen en forma oral.

Participan de la instancia de evaluación de Febrero: Aquellos alumnos que durante el año no hayan aprobado todos los objetivos promocionales o que tengan insuficiente la

mayoría de ellos.

Criterios de evaluación:

Jerarquización e integración de conceptos y procedimientos relativos a cada objetivo, teniendo en cuenta los temas anteriores relacionados y a través de un ….

…. adecuado y suficiente nivel de operatoria numérica en el campo de los Q de acuerdo al programa del año .

Nivel alcanzado en el desarrollo de la verificación y autocontrol de producciones y/o errores

Integración a través de la interpretación e interacción de los lenguajes numérico, algebraico y gráfico en los temas

pertinentes

Uso calculadora y TIC (tecnologías de la información y comunicación):

Se buscará el mayor desarrollo en los alumnos a través de la aplicación de reglas, procedimientos y algoritmos específicos

para cada tema. Para fomentar ello en las evaluaciones ( a menos que el tema lo requiera indefectiblemente) no se usará

calculadora. Sin embargo, el uso de la misma y de TIC son importantes, y muy útiles en todas las etapas del aprendizaje.

Ya sea para desarrollo de contenidos, verificación de resultado o integración de lenguajes se tratará de mostrar su uso al

alumno. En caso de permitirse estos instrumentos en las evaluaciones, las mismas deberán contemplar efectivamente los

criterios de evaluación, sobre todo en los dos últimos.

Firma Alumno Firma Padre/Madre/Tutor Firma Profesor

MATEMÁTICA - EPET Nº 9 – Plottier – Año 2017 INDICE:

PROLOGO

Presentación cuadernillo

Programa de Cursado de Matemática 1º Año Epet Nº 9

Pautas de trabajo para desarrollar el proceso de enseñanza- aprendizaje

Criterios para Acreditación de la materia

Índice

PRIMERA PARTE : CUADERNILLO de AMBIENTACION

Antes de empezar juguemos al Sudoku 1 a 2

1ª Parte : GRAFICOS y NUMEROS:

o Situación 1: A ver un partido de fútbol con amigos 3

o Situación 2: ¿Qué hacen los alumnos en el tiempo libre? 4

o Situación 3: (Ejemplo) Si tengo muchos datos ¿Cuál será la mejor forma de verlos y entenderlos?

(Repasamos regla de tres, porcentaje , ángulos y aprendemos a hacer gráficos de barras y circulares)

5 a 8

o Situación 4: Confeccionamos un gráfico con datos que elegimos 9 a 10

o Situación 5: Leemos e interpretamos gráficos de diarios o revistas 10

2ª Parte : Para recordar y practicar, ejercicios con operaciones en naturales 11 a 12

3ª Parte: Para seguir veamos algunos problemas ( y que los problemas no sean problema , a perder el miedo a esa palabra)

13 a 15

4ª Parte : Otros problemas para seguir pensando 15 a 17

SEGUNDA PARTE : MATERIAL TEORICO de REFERENCIA

NUMEROS ENTEROS (Z):

o Signos y Símbolos Matemáticos. Conjuntos 18 a 19

o Números Naturales (N): Definición, representación, propiedades de N. Adición y sustracción con N , propiedades de la suma y resta en N

20 a 21

o Números Enteros (Z): Introducción, definición, propiedades de Z. Representación. Valor Absoluto, opuesto de un número, orden en Z

22 a 25

o Suma Algebraica, regla para la suma de Z. Operaciones con paréntesis corchetes y llaves

25 a 26

o Multiplicación en Z . División en Z: División exacta, División Entera. Comportamiento del cero en la división. Reglas de los signos para multiplicación y división en Z . Propiedades para la multiplicación y división en Z . Propiedad distributiva

o Lenguaje simbólico. Ecuaciones : definición. Reducción y cancelación de términos. Resolución de ecuaciones: método de transposición ( o método de la balanza). Reglas prácticas para la resolución de una ecuación

27 a 30

31 a 36

NUMEROS RACIONALES (Q)

o Introducción. Distintos significados de un número racional. Conjunto de los números racionales (Q) . Definición, términos de una fracción. Representación. Fracciones equivalentes. Expresiones decimales. Orden en Q

o Divisibilidad: números primos y compuestos. Criterios de divisibilidad. Máximo común divisor (MCD), mínimo común múltiplo (mcm). Mínimo Común denominador (mcd)

o Operaciones con Q: Suma algebraica de Q , multiplicación de Q, División de Q, Operaciones combinadas

o Ecuaciones con Q – Ejercitacion

o Domino de fracciones

37 a 44

44 a 45

46 a 47

48 a 49

50

GEOMETRIA: ANGULOS

o Introducción : ¿Qué es la matemática?

o Repasemos : Punto, Recta, Plano, semirecta, segmento. Posiciones de 2 rectas en el plano

o Ángulos : Clasificación, Ángulos complementarios y suplementarios. Ángulos adyacentes y opuestos por el vértice. Sistema Sexagesimal.

51

52 a 53

54 a 55

o Ángulos determinados por dos rectas y una transversal. Ángulos entre paralelas

o Ejercitación básica (no incluye ejercitación con ángulos entre paralelas ni ecuaciones)

56

57 a 61

POTENCIACION y RADICACION

o Potenciación : definición , casos especiales , Regla de los signos para potenciación. Propiedades de la Potenciación. Potencia de exponente negativo. Notación científica

o Radicación: Definición, regla de los signos para radicación. Propiedad distributiva

62 a 65

65 a 68

SIMELA

o Simela : Medir , Magnitud, Cantidad, Unidad

o Longitud, Superficie, Volumen, Capacidad , Masa/Peso

o Relación entre las unidades de Volumen, capacidad y Masa/Peso

o Sistema Agrario . Sistema Horario, Sistema Ingles

o Ejercitación básica

69 a 70

71 a 72

72

73

74

Bibliografía

Matemática 8 EGB (Puerto de Palos – Varios)

Matemática 1 y 2 (Ed. Santillana- Amenedo y otros)

Matemática 8 (Ed Mc Graw Hill – Martinez y Rodriguez)

Matemática 8 y 9 EGB (Ed. Kapeluz-Seveso y otros )

Matemática 8 EGB.. (Ed. A. Z.Semino-Englebert-Pedemonti)

Matemática 8 EGB. (Ed. Aique Bindstein-Handfeing)

Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Período Ambientación - Prof : Pérez Pertino , J. Pablo

1

Antes de empezar juguemos al Sudoku El Sudoku es un juego que esta de moda y aparece en la sección de entretenimientos de muchas revistas. Seguro que lo has visto y por ahí pensaste que son muchos números, y como los números son matemática , y como la matemática es difícil quizás habrás pensado : mejor lo dejo de lado, no lo entiendo, no es para mi, demasiado esfuerzo, no sirve para nada.

Queremos proponerte aprenderlo a jugar. En clase, todos juntos. El profesor explicara las reglas. Vas a ver que son fáciles de aprender. Podemos compartir una clase , y darnos la oportunidad de ver que se puede.

Quizás de esta manera aprendamos un poco mas todos entre nosotros, del profesor , de nuestro compañeros, de nosotros mismos.

Quizás jugando nos demos cuenta que los números o las formas , que la matemática es mas sencilla cuando se va de lo sencillo a lo mas complicado , que todos tenemos tiempos y modos distintos.

Ojala nos demos la oportunidad de jugar un rato y aprender un poco

Empecemos con Sudokus chicos y fáciles

1 3 4 4

4 2 2 1

4 1 3 2 4

3 4 1 2

Ahora pasemos a uno de 9 x 9 , Ese es el tamaño tradicional. Es mas grande pero no es mas complicado. Faltan pocos números y seguro los sacas rápido

5 9 6 2 7 3 4

8 3 6 9 1 5 2 7

4 7 5 3 8 1

1 5 7 6 4 8 3

6 2 4 8 5 1 7 9

3 7 1 9 2 6

7 6 8 5 4 9 3 2

2 4 8 9 1 3 6 5

5 9 3 7 6 8 1


2

Ahora que aprendimos las reglas , hagamos uno donde tengamos que buscar y pensar un poco mas los números que faltan.

3 8 1 2 9 4

5 6 9 3 8 4 1

2 5 9 3 6

9 2 6 5 3 8 4 1

1 5 8 4 9 2 3

3 7 1 9 5

2 7 4 6 8

6 4 8 5 1 9

8 1 2 6 4 3 7 Para terminar intentemos el Sudoku que esta debajo . Muchos casilleros grises ¿no? ¿Faltan muchos números? Anímate. Veras que no es tan difícil. Si cuando estas llegando al final se repite un numero en fila , columna o casa, has cometido un error. Momento de aprender , que se puede empezar de nuevo. Perseverar, esforzarse, darse cuenta de los errores son aprendizajes interesantes para tenerlos en cuenta durante el año.

1 8 5 2

2 4 7 3

3 5 4 9

5 6 2 4 1 3

3 1 6

7 9 3 5 8 2

2 3 8 5

5 7 4 1

3 4 6 1 Ahora vamos a empezar a repasar muchos de los contenidos que viste en la primaria , pero agrupándolos en otro tema : Gráficos. Vamos de nuevo; de a poco , con esfuerzo , cada vez un poco mas y siempre teniendo en cuenta lo anterior


3

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240

Tiempo (minutos)

Es

pa

cio

(M

etr

os

)

1ª Parte : GRÁFICOS y NÚMEROS: Situación 1: A ver un partido de fútbol con amigos

Antonio fue el domingo a ver un partido de fútbol con sus amigos. Salio de su casa y tuvo que esperar a los amigos en una plaza donde se juntaron. De allí fueron a la cancha , y después del partido Antonio volvió a su casa , pero antes pararon a tomar un helado.

La que se muestra a continuación es la gráfica del recorrido .

a. ¿Qué distancia hay entre la casa de Antonio y la plaza? ¿Y entre la casa y la cancha de fútbol?

b. ¿Cuánto tiempo esta esperando a los amigos? ¿Cuánto tardan en tomar el helado?

c. ¿Cuánto tiempo están en la cancha?

d. ¿Que distancia recorrió Antonio desde que salio de la casa hasta que volvió?

Consideremos ahora que los amigos entran a la cancha a las cuatro de la tarde

e. ¿A que hora se encontró Antonio con sus amigos?

f. ¿A que hora sale de la casa? ¿A que hora vuelve?

g. ¿Dónde se encuentra a las 6 horas 12 minutos?

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240

Tiempo (minutos)

Es

pa

cio

(M

etr

os

)


4

Cine

5%Deportes

30%

Lectura

10%Juegos

15%

Television

40%

Situación 2: ¿Qué hacen los alumnos en el tiempo libre?

En el siguiente diagrama se indica el porcentaje de tiempo que los alumnos de una escuela dedican a actividades recreativas según una encuesta realizada entre ellos. Observa el diagrama y luego responde a las preguntas indicadas :

a. ¿Cuál es la actividad más popular ?

…………………………………………………….

b. ¿Cuál es la actividad menos popular?

…………………………………………………

c. Indicar los porcentajes del gráfico como fracciones. (Simplifica si se puede)

d. ¿Cuánto daría la suma de todas las actividades? (expresar en todas las formas posibles)

e. Si la escuela tiene 750 alumnos , podrías indicar cuantos alumnos prefieren la actividad indicada como juegos.

f. ¿Cuál es la parte de los alumnos que prefieren deportes y televisión?

g. ¿Cuál es la parte que prefieren juegos y cine?


5

Situación 3: (Ejemplo) Si tengo muchos datos ¿Cuál será la mejor forma de verlos y entenderlos?

En una escuela los alumnos de un primer año tienen las edades indicadas en el siguiente cuadro.

Edad Nº Alumnos

12 Años 15

13 Años 10

14 Años 6

15 Años 1

Total 32

Graficamos los datos en un diagrama de barras

1º Año - Edad alumnos

15

10

6

1

0

2

4

6

8

10

12

14

16

12 Años 13 Años 14 Años 15 Años

Edad

Nº A

lum

no

s

Ahora graficamos los mismos datos en un grafico circular. Para ello trabajaremos con los datos en la siguiente tabla:

Para hallar el valor del ángulo de cada sector hacemos la regla de tres correspondiente a cada categoría considerando que los 360º corresponden al total de alumnos. Repasemos algo de la “famosa” regla de tres Regla de tres simple:

La regla de tres es un procedimiento para resolver situaciones en las que intervienen cantidades directas o inversamente proporcionales. Se conocen tres valores y hay que hallar el cuarto valor para que formar una proporción y de esa manera poder calcular el valor que falta.

De acuerdo a que tipo de relación a que respondan las magnitudes tendremos la regla de tres directa o inversa. Nos quedamos acá con la regla de tres Directa


6

Problema: 6 Kg. de manzanas cuestan 3 $ , cuanto cuestan 8 kg. de manzanas

Puedo plantear: 6 Kg. Cuestan 3 $

8 Kg. Cuestan x $

Donde x representa el costo de los 8 kg de manzanas Para plantear la regla de tres simple las cantidades deben estar encolumnadas según la magnitud a que correspondan y en forma general para halla el valor de la incógnita podemos plantear: En nuestro problema : x= 3 $ . 8Kg = 4 $ 6 kg Por lo tanto en nuestra situación los grados de cada categoría serían:

Edad Nº Alumnos Grados

12 Años 15 169 º

13 Años 10 113 º

14 Años 6 68 º

15 Años 1 11 º

Total 32 361 º

12 Años: 32 alumnos 360 º

15 alumnos º169º75,16832

15º360

alum

alumx


10 alumnos º113º5,11232

10º360

alum

alumx


6 alumnos º68º5,6732

6º360

alum

alumx


1 alumnos º11º25,1132

1º360

alum

alumx

Todos los ángulos se redondearon al número entero correspondiente. El grado excedente ha resultado de dichos redondeos. Se deberá restar en el ángulo de mayor amplitud. En caso de tener otro ejemplo con redondeo en defecto se deberá entonces completar el ángulo mayor también.

Pero en el gráfico no se indican la amplitud del ángulo sino que generalmente se indica el porcentaje que representa dicho ángulo. Repasemos entonces al “famoso” porcentaje.

A B C X donde x= C . B A


7

Porcentaje

En la vida cotidiana es común escuchar expresiones como :

“ El treinta por ciento de los alumnos desaprobaron matemática”

“Compre una remera y me hicieron el 15 % de descuento”

“El equipo RBR saco el 43 por ciento de los puntoss”

“El precio del televisor es de 520 $ mas el 21 % de IVA”

Quedémonos con el primer ejemplo . Ahí el 30 % significa que desaprobaron 30 de cada 100 alumnos. El porcentaje es entonces una razón , una fracción cuyo denominador es 100 . ( Aca serìa

100

30 )

Si el curso tuviese 37 alumnos ¿Cuántos alumnos desaprobaron la materia?.

Para resolver esto debemos tener en cuenta que el porcentaje de desaprobados esta en relación con el total de alumnos que significa a su vez el 100 %. Podemos plantear entonces el problema a través de una regla de tres directa donde el 100 % representa al total de alumnos y la incógnita son el numero de alumnos que reprobaron.

100 % 37 alumnos 30 % x = x= 30 % . 37 alumnos = 11 alumnos 100 %

Otra situación que podría plantearse es averiguar el porcentaje. Por ejemplo en otro curso de 24 alumnos desaprobaron 8 alumnos. ¿En que curso hay menor rendimiento. Comparamos los porcentajes de desaprobados.

Para el segundo curso planteamos entonces

24 alumnos 100 % 8 alumnos x % = x= 100 % . 8 alumnos = 33,3 % 24 alumnos

Ahora si podemos hacer todas las cuentas necesarias considerando que el 100 % son los 32 alumnos, llenar nuestra tabla y después hacer el gráfico circular. 12 Años: 32 alumnos 100 %

15 alumnos %47%875,4632

15%100

alum

alumx

13 Años: 32 alumnos 100 %

10 alumnos %31%25,3132

10%100

alum

alumx


6 alumnos %19%75,1832

6%100

alum

alumx


1 alumnos %3%125,332

1%100

alum

alumx


8

Edad Nº Alumnos Grados Porcentaje

12 Años 15 169 º 47 %

13 Años 10 113 º 31 %

14 Años 6 68 º 19 %

15 Años 1 11 º 3 %

Total 32 361 º 100 %

1º Año Edad Alumnos

12 Años

47%

13 Años

31%

14 Años

19%

15 Años

3%

Observación: Los ángulos sirven para dibujar los sectores, pero su valor no debe indicarse en el grafico

a. ¿Qué edad tienen la mayor parte de los alumnos?

b. ¿Cuántos alumnos tiene mas de doce años ¿ ¿Qué porcentaje representan?

c. ¿Cuál es la parte del curso que tienen entre 13 y 14 años?


9

Situación 4: Confeccionamos un gráfico con datos que elegimos El docente junto a los alumnos propondrán una situación (música preferida, equipo que simpatizan , deporte que practican , ect…) De acuerdo a los datos que consideren confeccionaran los siguientes puntos:

a. Tabla Nº

Otros

Total

Observación: En caso de tener mas categorías que las filas de la tabla agrupar las categorías con menos incidencia en la categoría de otros.

b. Diagrama de barras:

c. Diagrama Circular o de sectores: Observación: Para hacer las cuentas auxiliares que son necesarias en las reglas de tres utilizar el

reverso de la hoja anterior , de manera de poder revisarlas

Nº Porcentaje (%) Grados (º)

Otros

Total


10

Situación 5: Leemos e interpretamos gráficos de diarios o revistas

El alumno deberá conseguir de diarios o revistas gráficos de barras y circulares

sencillos (uno de cada tipo) :Pegara estos gráficos en el reverso de esta hoja u otra anterior y llenar las tablas que se dan a continuación con los datos que saque de los mismos.

Nº

Otros

Total


11

2ª Parte : Para recordar y practicar, ejercicios con operaciones en naturales : El alumno debe resolver estos ejercicios de repaso de la operatoria básica de la

primaria en el cuaderno definitivo que usara para la materia como tarea , siendo luego corregidos en clase Se recuerda que dicho cuaderno debe ser con hoja A4, de mas de 80 hojas. En la primer hoja se confeccionara una carátula y luego se pegaran las pautas de trabajo, programa de la materia y criterios de acreditación . Estos tres elementos deberán estar firmados por el padre/madre/tutor y por el alumno y luego firmara el profesor.

1) 101243221715

2) 312153728

3) )183(451215

4) )102715(8)1223(

5) 214.63:2714

6) 12)1419.(3)32(:105

7) 5:)4.223()2.22(:2418

8) 3.4.6)13.210(:)2015(

9) 3:37

10) 14:215

11) 100.52,320

12) 93,4.01,0

13) 55702,128,3

14) 67,65,3.7,4

15) 7

5

7

9

7

3

16) 5

73

5

2


12

17) 24

5

3

7

18) 2

3

9

53

6

1

19) 10:8

20) 4

7.

3

8

21) 4

7:

3

8

22) 3

2:

5

1

23) 3

4:

8

9

24) 10

1

25

310.

5

3

5

12:4

25) 3

7

8

1:

4

33

15

3.

4

5

26)

4

13:12

27) 25 % de 300 = 50 % de 200 =

150 % de 400 = 25 % de 400 =

El 25 % de un número es la ..... parte de ese número.

El 50 % de un número es ...... de ese número.

La cuarta parte de los días de este mes llovió. El .... % de los días de este mes llovió. La mitad de los juguetes están rotos. El .... % de los juguetes están rotos.

Las tres cuartas partes de los alumnos están presentes. El .... % de los alumnos están presentes.


13

3ª Parte: Para seguir veamos algunos problemas ( y a perder el miedo a esa palabra): Estos problemas serán resueltos también en el cuaderno de clase. De acuerdo al tiempo que se disponga en la ambientación puede completarse el planteo y resolución de estos problemas en clase con los alumnos, o dejarlos para introducir y repasar previos al comienzo de la unidad de números racionales.

1) En una plantación de árboles frutales se cosecharon 1.200 kg de manzanas. El trabajo fue realizado por 5 personas y cada una recolectó:

Pedro 1/ 6 Pablo 1 / 5 José 1 / 6 Luis 1 / 5 Juan 4 /15

a) ¿Cuántos kilogramos recolectó cada uno?

b) ¿Quién recolectó más fruta?

c) El dueño de la plantación decide repartir, como recompensa, $ 1.500 entre los trabajadores, además de pagarle su salario. Si el reparto se hace en forma proporcional a la cantidad de fruta que recogió cada uno, ¿Cuánto dinero extra recibe cada trabajador?

2) Jorge, que le había pedido prestado dinero a un amigo, se lo fue devolviendo de la siguiente manera: El primer mes le devolvió 1/5 del dinero prestado; el segundo mes 3/10; el tercer mes 1/3, y el cuarto mes 1/6. ¿Saldó Jorge su deuda?.

3) Un hombre que poseía una gran fortuna decidió repartir, entre 3 parientes, parte de lo que tenía en una cuenta bancaria haciendo la distribución de esta manera: 1/3 a uno de los parientes, 1/4 a otro y 1/6 al tercero. ¿Qué parte de lo que tenía en el banco le quedó?

4) Carlos dijo: “Tengo 40 años y viví las 3/5 partes de mi vida en Neuquén y la cuarta parte de ése tiempo trabajé en la Municipalidad”. ¿Cuánto tiempo trabajó Carlos en la Municipalidad?

5) Completar según corresponda: 25 es la cuarta parte de............

20 es la 2/5 partes de ................

150 es la 3/4 partes de ...............

300 es la tercera parte de ……….


14

6) Calcular mentalmente y escribir en cada caso:

La fracción que indica: Cuántos tercios hay en un entero: 1 = .........

Cuántos sextos hay en 3 enteros: 3 = .........

Cuántos quintos hay en 4 enteros: 4 = .........

El número que indica cuántos enteros hay en:

16 cuartos: 16/4 =.............

24 tercios: 24/3 = .............

9 novenos: 9/9 = .............

La fracción que indica:

Cuántos quintos hay en 2 enteros y tres quintos: 2 3/5 = ..............

Cuántos medios hay en 4 enteros y un medio: 4 1/2 = ..............

Cuántos tercios hay en 1 entero y dos tercios: 1 2/3 = ...............

7) Ordenar de mayor a menor los siguientes números:

8) Manolo salió a vender las remeras que había confeccionado. En el primer negocio vendió 1/8 del total de las remeras que tenia; en el 2do negocio vendió 1/3 del total; en el tercer negocio que visitó, vendió tanto como la suma de lo que había vendido en el primero y en el segundo juntos; y en el cuarto vendió las remeras que le quedaban.

a. ¿Qué parte de las remeras vendió en el tercer negocio?

b. ¿Qué parte de las remeras vendió en el cuarto negocio?

c. ¿En qué negocio vendió menos?

9) En el Hospital Municipal de una ciudad están llevando a cabo una estadística acerca de la procedencia de los pacientes que legan a la guardia. Las 2/3 partes de los 36 pacientes que llegaron a la guardia el último domingo provenían de esa ciudad, la cuarta parte de los restantes provenía de municipios vecinos y los demás de otros municipios.

Calcular el porcentaje de pacientes que llegaron a la guardia ese domingo que provenían de:

a. La ciudad donde se encontraba el Hospital Municipal

b. De los municipios vecinos

c. De otros municipios.

d. Aproximar por redondeo esos porcentajes a la parte entera.

e. ¿Cuántos pacientes provenían e esa ciudad? ¿y de las vecinas? ¿y de otras?

10

3 ;

6

1 ; 0,1 ;

4

1 ; 0,23 ; 0,7 ;

5

1 ; 1,4 ; 2,1 ;

54

32


15

10) El precio de una camisa es de $30 y nos hacen un 15% de descuento. ¿Cuánto tenemos que pagar?

11) Los 40 chicos de 5º grado hicieron una votación para elegir en qué lugar festejarán el día de la primavera. De ellos, 14 prefieren ir a una chacra; 8 eligen el parque de diversiones y el resto quiere ir a algún club. ¿Qué porcentaje del total eligió cada lugar?

12) De 40 puntos disputados en un campeonato de fútbol un equipo obtiene 25. ¿Qué porcentaje del total de puntos obtuvo?

13) Ingresaron a 1° año 180 alumnos, y pasaron a 2° año 120 alumnos; ¿qué porcentaje no aprobó 1° año?

4ª Parte: Algunos problemas diferentes para seguir pensando:

Primero veamos la adaptación de un problema planteado por Adrián Paenza en su libro “Matemática … estas ahí 2”

Monedas en carretilla

¿Cuántas veces por día uno estima algo y no necesariamente se da cuenta de que lo hace?

En realidad, uno vive estimando todo el día, todo el tiempo. Pensemos sino…..

Cuando alguien sale de su casa, estima cuánto dinero tiene que llevar, pensando en el día que tendrá por delante. (Claro, eso si tiene dinero para llevar, y si tiene algún lugar adonde ir.)

Además, estima cuánto tiempo antes debe salir de su casa para llegar adonde debe ir. Estima si le conviene esperar el ascensor que está tardando más de la cuenta, o si le conviene bajar por la escalera. Y estima si le conviene ir en colectivo o en taxi, de acuerdo con el tiempo disponible. Y estima al cruzar la calle, si vienen autos, el tiempo que tardarán en llegar hasta él. Y decide entonces si cruza o no. Sin saberlo, estará estimando la velocidad del auto que viene a su izquierda, y la estará comparando con su propia velocidad para cruzar. Si va manejando un auto, estima cuándo tiene que apretar el freno y cuándo acelerar. O estima si llegará a cruzar el semáforo en verde o en amarillo, o si no cruzará. También estima cuánto va a engordar con lo que comerá, estima a qué función del cine va a llegar…

Estima, estima... y luego decide.

Creo que estarán de acuerdo conmigo en que uno vive estimando, aunque no lo sepa. Estamos entrenados para hacer las cosas en piloto automático, pero cuando a uno lo corren un poquito de las estimaciones cotidianas, trastabilla. No siempre, claro, pero a nadie le gusta que lo muevan de la zona en la que se siente confortable.

Por ejemplo: supongamos que está parado en la vereda cerca de un edificio muy alto, digamos de 100 pisos. (si estimamos que la altura de cada piso son aproximadamente 3 m el edifico medirá 300 m ¡3 cuadras!) Supongamos también que le digo que camiones blindados, de esos que transportan caudales, depositaron en la vereda suficientes monedas de un peso como para que las empiece a apilar en la base del edificio con la idea de llegar con ellas hasta la terraza. Ahora, la parte importante: en la vereda solo tenemos una carretilla como las que usan los albañiles. Vamos a


16

suponer que la misma mide 50 cm de ancho, por setenta cm de largo, y tiene una profundidad uniforme de 35 cm. (Se la imaginan no? )

Y ahora la pregunta : ¿Cuántos viajes tendrá que hacer con la carretilla llena de monedas, para levantar una pila o columna de monedas de un peso y llegar hasta la terraza del edificio?

Se trata de estimar cuántos viajes se necesitan. No hace falta hacer un cálculo exacto, sino dar una respuesta estimativa.

En una primera instancia leamos de vuelta el problema y luego en forma casi intuitiva de acuerdo a lo que nos parezca, anotemos en una hoja de papel cuantas carretillas se necesitan.

Ahora detente a pensar el problema, estudia los datos de que dispones, estima los que te faltan y trata de decidirte por una de las respuestas indicadas abajo:

Menos de una carretilla

Entre una y dos carretillas

Entre dos y cinco carretillas

Entre cinco y diez carretillas

Entre diez y cien carretillas

Entre cien y mil carretillas

Mas de mil carretillas

Para terminar este problema pongamos en común las repuestas y tratemos de elaborar entre todos una solución a este problema

Veamos otros problemas planteados por el mismo Adrián Paenza en su libro “Matemática … estas ahí 3,14”. Son cortos pero interesantes. Solo hay que animarse:

Problema de los seis fósforos

Se tienen seis fósforos iguales. ¿Es posible construir con ellos cuatro triángulos equiláteros cuyos lados sean iguales al largo del fósforo?

Nota 1: No conteste rápido si no se le ocurre la solución. Piense.

Nota 2: Triángulo equilátero quiere decir que tiene los tres lados iguales. De hecho, “equi” = “igual”, “látero” = lado. En este caso, lados iguales y, además, de igual longitud que la del fósforo

Las cuatro mujeres y el puente

El problema que sigue se inscribe entre los llamados de “pensamiento lateral”. En realidad, son problemas sencillos de enunciar, pero cuya solución aparece como resbaladiza. Lo curioso es que no bien uno la encuentra no puede entender cómo no se le ocurrió antes. Y la dificultad consiste en que uno “empuja” para ir en una dirección (aunque no lo advierte) que luego resulta equivocada (cosa que uno “tampoco” advierte). Créame que vale la pena pensarlo

El problema que sigue requiere planificar una estrategia. No es difícil, pero tampoco trivial. Eso sí: no tiene trampas. Es un ejercicio muy conocido en el mundo de


17

los que juegan a planificar e inventar caminos donde, en apariencia, no los hay. Y tiene el atractivo extra de que permite entrenar al cerebro. Acá va:

Hay cuatro mujeres que necesitan cruzar un puente. Las cuatro empiezan del mismo lado del puente. Sólo tienen 17 (diecisiete) minutos para llegar al otro lado. Es de noche y sólo tienen una linterna. No pueden cruzar más de dos de ellas al mismo tiempo, y cada vez que hay una (o dos) que cruzan el puente, necesitan llevar la linterna. Siempre la linterna tiene que ser transportada por cada grupo que cruza en cualquier dirección. No se puede “arrojar” de una costa hasta la otra. Eso sí: como las mujeres caminan a velocidades diferentes, cuando dos de ellas viajan juntas por el puente, lo hacen a la velocidad de la que va más lento.

Los datos que faltan son los siguientes:

Mujer 1: tarda 1 (un) minuto en cruzar

Mujer 2: tarda 2 (dos) minutos en cruzar

Mujer 3: tarda 5 (cinco) minutos en cruzar

Mujer 4: tarda 10 (diez) minutos en cruzar

Por ejemplo, si las mujeres 1 y 3 cruzaran de un lado al otro, tardarían 5 minutos en hacer el recorrido. Luego, si la mujer 3 retorna con la linterna, en total habrán usado 10 minutos en cubrir el trayecto.

Con estos elementos, ¿qué estrategia tienen que usar las mujeres para poder pasar todas –en 17 minutos–de un lado del río al otro?

Problema de las 10 monedas

Se tienen 10 monedas arriba de una mesa.

¿Es posible distribuirlas en cinco segmentos, de manera tal que queden exactamente cuatro en cada uno de ellos?

Para terminar dos problemas del libro “Mate Max – La matemática en todas partes” de Alicia Dickenstein:

3 Topos : Si 3 topos cavan 3 metros de túnel en tres horas ¿Cuántos topos son necesarios para cavar 50 metros de túnel en 50 horas?

Alambrado : Para alambrar un campo cuadrado de 100 m² se gastan 100 $ de material ¿Cuánto se gastará de material para alambrar (con el mismo tipo de alambre) un campo cuadrado de 400 m² de superficie?

Olvidaba decir que estos problemas están incluidos en el capítulo del libro llamado “Cazabobos” ¿Por qué será el título?

Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Números ENTEROS - Prof : Pérez Pertino , J. Pablo

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Signos y símbolos Matemáticos:

= igual ≠ No es igual a; distinto

> mayor que < menor que

no es mayor que no es menor que

≥ mayor o igual que ≤ menor o igual que

pertenece a no pertenece a

^ y o en sentido inclusivo

o en sentido exclusivo

/ tal que para todo

en consecuencia, por lo tanto ≡ determinan

unión o reunión Intersección

existe por lo menos uno Φ conjunto vacío

→ Implica, es condición necesaria ↔ implica doblemente,

∞ Infinito Si y solo si.

Es condición necesaria y suficiente

Alfabeto Griego:

α alfa β beta γ gamma

δ delta ε epsilon ζ zeta

η eta θ theta ι iota

κ kappa λ lambda μ mu

ν nu ξ xi ο omicron

π pi ρ ro σ sigma

τ tau υ ípsilon φ phi

χ ji o chi ψ psi ω omega

CONJUNTO:

Llamamos conjunto a toda agrupación o colección de objetos de cualquier naturaleza

Ejemplos: Conjunto de los jugadores de futbol de un equipo

Conjunto de los alumnos del curso ….

Conjunto de las letras del abecedario

Conjunto de los muebles de una casa

Un conjunto se denomina con letras mayúsculas.

Un conjunto esta definido por extensión si enumeramos todos los elementos que lo forman.

Un conjunto esta definido por compresión si establecemos una propiedad que caracteriza a todos los elementos del conjunto y solo a ellos.


19

Ejemplo: El Conjunto de los días de la semana

Por extensión: godosabadoviernesjuevesmiercolesmarteslunesA min,,,,,,

Por compresión: semanadediaesxxA /

Ejemplo: El Conjunto de los números naturales

Por extensión: ,.....4,3,2,1N

Por compresión: naturalnúúmeresxxN /

Representación gráfica de conjuntos:

Se usa el diagrama de Venn (curvas o polígonos cerrados dentro de las cuales se indican mediante puntos los elementos que pertenecen al conjunto)

Ejemplo: El Conjunto de las notas musicales

Por extensión: silasolfamiredoB ,,,,,,

Por compresión: musicalnotaesxxB /

Unión de conjuntos:

Dados dos conjuntos A y B denominamos A unión B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B

BxAxxBA /

Ej: racimopalabraladeletraesxxR /

remitopalabraladeletraesxxS /

etomicarSR ,,,,,,,

Intersección de conjuntos:

Dados dos conjuntos A y B denominamos A intersección B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B

BxAxxBA /

Ej: racimopalabraladeletraesxxR /

remitopalabraladeletraesxxS /

omirSR ,,,


20

NUMEROS NATURALES :

Llamamos Números Naturales a aquellos que se usan para contar , y que son los primeros en aprenderse y usarse (hasta en forma intuitiva o natural). Esos son los números 1, 2, 3, 4, 5, …..

,.......5,4,3,2,1N

naturalnúúmeresxxN /

NxxN /

Naturales : N : [ 1,2,3, 4 , 5,.........]

0 N0

En forma de diagrama de conjuntos tendríamos:

Representación del conjunto N0 en la Recta numérica:

Resulta práctico y demostrativo en muchos casos representar al conjunto de los números naturales (N) y el cero (0) que forman el conjunto de N0 en una recta a la que denominamos recta numérica. En una semirrecta se toma un segmento arbitrario , que llamamos unidad y trasladándolo a partir del 0 sobre la semirrecta determinamos los números naturales.

En general podemos decir que en la recta numérica un número es mayor que cualquier otro que este ubicado a su izquierda , y es menor que cualquier otro número que se se encuentre a su derecha.

Propiedades del conjunto de los número naturales:

El conjunto Z es infinito

Tiene primer elemento y no tiene último elemento

Todo número Z tienen un sucesor

2 es sucesor de 1

28 es sucesor de 27

Todo numero natural tiene un antecesor menos el 1. En caso de considerarse el conjunto N0 el antecesor del 1 es el cero

Entre dos números naturales existe un número finito de números naturales . Por esto el conjunto de los número naturales (N) es discreto

Entre el 2 y el 9 hay 6 números naturales : 3, 4, 5, 6, 7 y 8


21

Adición de números Naturales

Se llama suma de dos números a y b al número s cuyos elementos están formados por los a y b elementos del primer y segundo conjunto

a + b = s 6 + 4 = 10

La operación mediante la cual se obtiene la suma de dos o mas números se llama adición o suma , y cada numero de la suma se llama sumando o termino.

Sustracción de números Naturales

Restar de un número p un número q es encontrar un número r tal que sumado a q de por resultado p

p - q = r → r + q = p La operación se llama sustracción o resta

27 - 12 = 15 → 15 + 12 = 27 El número p se llama minuendo

El número q se llama sustraendo

El número r se llama resta o diferencia

Propiedades de la suma y resta

SUMA RESTA

Ley de Cierre Cumple.

La suma de dos N es otro N

No cumple

La resta de dos N no es siempre otro N

4 -7 = -3 -3 N

Elemento Neutro a + 0 = 0 + a = a

8 + 0 = 0 + 8 = 8

Es el cero

a – 0 0 – a

7 – 0 0 – 7

7 - 7

Es el cero pero solo a la derecha

Conmutativa a + b = b + a

2 + 9 = 9 + 2

11 = 11

Se cumple

a - b b - a

7 -3 3 - 7

4 -4

No se cumple

Asociativa ( a + b ) + c = a + ( b + c )

( 3 + 6 ) + 5 = 3 + ( 6 + 5 )

9 + 5 = 3 + 11

14 = 14

Se cumple

( a - b ) - c a - ( b - c )

( 9 - 5 ) - 3 9 - ( 5 - 3 )

4 - 3 9 - 2

1 7

No se cumple

Propiedad Uniforme a = b

c = d

a + c = b + d

8 = 3 + 5

1 + 6 = 7

8 + 1 + 6 = 3 + 5 + 7

15 = 15

a = b

c = d

a - c = b - d

9 = 2 + 7

2 + 3 = 5

9 – ( 2 + 3 ) =( 2 + 7) - 5

4 = 4

Propiedad uniforme : sumando o restando miembro a miembro dos igualdades se obtiene otra igualdad


22

NUMERO ENTEROS :

Introducción:

ACTIVIDAD : En el dibujo indicar con líneas horizontales alturas separadas entre si 1 cm que representen cada una dos metros (Tanto sobre el nivel del mar , como debajo) . Luego ubicar a cinco personas realizando diferentes actividades . Indica en un cuadro adjunto la diferencia de altura entre cada una de ellas:

El hombre común conoce los números naturales desde el momento en que tuvo necesidad de contar. Pero estos

números no le alcanzaron cuando tuvo que expresar situaciones donde debía bienes en un intercambio comercial . Es muy probable entonces que la idea de números negativos ya se tuviese desde la antigüedad , aunque la conceptualización de los mismos (y la creación como conjunto numérico) se hiciese muchísimos años después..

La utilización del número natural en la sustracción exigió preguntarse por aquellos casos en que la diferencia del dos números no era natural.

Debemos tener en cuenta que palabras relacionadas con la posición o suceso de algo, tales como: arriba, - abajo

antes – después derecha - izquierda ;

o las palabras como : debe – falta , sobra - excede , supera

nos dicen que hay una referencia establecida , y que respecto de ella consideramos las situaciones , sucesos o cosas . En la realidad fijamos un punto de referencia ( nivel del mar, la P.B. de un edificio , el kilometro cero de una ruta y

respecto de esta referencia suponemos valores positivos y negativos para indicarnos la posición o situación. Para indicar todas esas situaciones conformamos los números enteros, con los positivos, los negativos y el cero.

Persona Actividad Persona

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

Resolver


23

Definición:

Naturales ( N ) : [ 1,2,3, 4 , 5,.........]

0 Z (Enteros) Negativos ( Z- ) : [ -1, -2, -3 ,-4 , ......]

En forma de diagrama de conjuntos tendríamos:

Expresar cada una de las siguientes situaciones con el número entero correspondiente:

Alejandro Magno murió en el año 323 a.C El ascensor se encuentra en el quinto subsuelo

El Aconcagua esta a 6959 metros sobre el nivel del mar

En la antartida se registran temperaturas de hasta 60 º C bajo cero

La empresa tiene una perdida de 5430 $ El alcohol se solidifica a 110 º bajo cero

Un buzo esta a 230 metros de profundidad. Tengo 14 pesos en la billetera

Una empresa posee un capital de 15.000 $ Debo 25 pesos al almacén

El conjunto de los números enteros está formado por los números naturales o enteros positivos , el cero (que no es positivo ,ni negativo) y los enteros negativos.

IMPORTANTE : A medida que se desarrollen los temas este

cuadernillo incluirá algunos ejercicios y ejemplos para que el alumno pueda descubrir , interpretar y elaborar cada apartado. Según las indicaciones del profesor estos ejercicios y ejemplos pueden ser incluidos en los espacios libres de este material teórico, en el reverso de las hojas del mismo o formar parte de la práctica que el alumno lleva en su cuadernos de clase. Además cada profesor de acuerdo a las características del curso agregara la ejercitación que crea conveniente.

Resolver


24

Resolver

Completar el siguiente cuadro referido a las distintas personas que usan un ascensor:

Sube en el piso Viaja en el ascensor Baja en el piso

-2 7 pisos hacia arriba

4 6 pisos hacia abajo

5 pisos hacia arriba 3

8 pisos hacia abajo -2

9 0

-3 7

Propiedades del conjunto de los número enteros:

El conjunto Z es infinito

No tiene primer elemento ni último elemento

Todo número Z tienen un sucesor y un antecesor

Entre dos números enteros existe un número finito de números enteros . Por esto el conjunto de los número enteros (Z) es discreto

Representación en la Recta numérica:

Resulta práctico y demostrativo representar al conjunto de los números enteros (incluidos naturales , el cero y los enteros negativos) en una recta a la que denominamos recta numérica.

En general podemos decir que en la recta numérica un número es mayor que cualquier otro que este ubicado a su izquierda , y es menor que cualquier otro número que se se encuentre a su derecha.

Resolver las siguientes situaciones. Dibujar rectas numéricas para ayuda:

1. Una persona esta en el sótano y baja dos pisos ¿En que piso se encuentra ahora?

2. Gabriel pierde cinco pesos primero , y luego pierde siete pesos más ¿Cuánto perdió en total?

3. En el ejemplo anterior Gabriel recupera tres pesos ¿Qué sucede entonces?

4. Carlos avanza diez pasos y retrocede 14 ¿Dónde esta Carlos?

5. En una ciudad la temperatura al mediodía es de 18°C y a las seis de la tarde 14ºC ¿Cuál es la diferencia de temperatura?

6. Cleopatra nació en el año 68 a.C y vivió 38 años ¿En que año murió?

Valor absoluto ( o Módulo)

Simbólicamente : a = a ( se lee valor absoluto de a ) Ejemplo: La distancia entre el 6 y 0 es 6

La distancia entre el –6 y el 0 es 6 Por lo tanto la separación es igual por lo que podemos decir 6 = - 6 = 6

La distancia entre cualquier número entero (positivo o negativo) y el cero se denomina valor absoluto o módulo del número.

Resolver


25

Resolver

5061514

609199

10430186

11820131

783116

115763

Resolver

Opuesto de un número :

8 es el número opuesto de - 8

-3 es el número opuesto de 3

Completar el cuadro con los valores correspondientes:

Número Opuesto Módulo Siguiente Anterior

8

6

-14

3

Orden de los números enteros:

Todo entero negativo es menor que cualquier entero positivo.

Todo entero positivo es mayor que cualquier entero negativo.

El cero es mayor que cualquier entero negativo y menor que cualquier entero positivo.

Entre dos número enteros el mayor es el de mayor valor absoluto. (el que esta más lejos del cero en la recta numérica)

Entre dos números enteros negativos el mayor es el de menor valor absoluto ( el que esta más cerca del cero en la recta numérica)

Suma Algebraica:

Ejemplo : - 3 + 8 – 6 + 10 = 9

Regla para la suma de enteros:

Observación : En clase se explicarán algoritmos usados usualmente en la primaria (suma número a número, o agrupamiento entre () de sumandos y sustraendos. Luego mostrar el algoritmo con cuanta auxiliar teniendo en cuenta la regla para suma de enteros . Es importante que el alumno vea que este procedimiento puede ser usado con todas las operaciones , dificultades y diferentes clases de números que se verán después

Resolver las siguientes sumas algebraicas:

Los números que tienen igual valor absoluto y diferente signo se llaman opuestos. La posición de estos números es simétrica respecto del cero en la recta numérica.

Una suma algebraica es una combinación de términos aditivos y sustractivos (sumas y restas)

Si los dos números son de igual signo; se suman y se pone el signo de dichos números :

5 + 3 = + 8 - 6 - 4 = - 10

Si los dos números son de distinto signo se restan y se coloca el signo del numero mayor valor absoluto :

10 - 3 = + 7 4 - 12 = - 8


26

57421110312851

473234156

163913810810134

216532754123

64722341

4367126

7158135

111010998

4265543

18426129

Resolver

Operación con paréntesis , corchetes y llaves ( ) ; [ ] ; { } Analicemos la siguiente situación:

“Clara va a hacer compras. Sale con 400 $ . Primero va al supermercado donde gasta 156 $ , luego a una tienda donde compra para ella gastando 45 $ y además compra un regalo para su madre de 102 $. Antes de ir a pagar la luz , cuya boleta tiene un importe de 65 $ , pasa por el banco para sacar 200 $ ¿Cuánta plata le queda después de pagar la luz? ¿Cómo podríamos plantear el problema? Hay diferentes maneras de pensarlo y es interesante plantearlas , resolverlas y ver que nos darán lo mismo. (Actividad para plantear y resolver en clase) Vemos entonces que en muchos problemas podemos plantear operaciones donde aparezcan restas y sumas combinadas , con o sin el uso de paréntesis. Para operar en forma sencilla hacemos:

Resolver la operación en el interior del ( ) ; [ ] ; { }

Suprimir luego el ( ) ; [ ] ; { } Para suprimir un ( ) ; [ ] ; { } debemos tener en cuenta el signo que precede a dicho ( ) ; [ ] ; { }

Ejemplos:

Resolver los siguientes ejercicios de sumas algebraicas en enteros (Usar reglas para supresión de

paréntesis , corchetes y llaves :

Regla para la supresión de ( ) ; [ ] ; { }

Si delante de un ( ) ; [ ] o una { } hay un signo menos (-) se cambian los signos de los términos

encerrados en él.

Si delante de un ( ) ; [ ] o una { } hay un signo mas (+) se conservan los signos de los

términos encerrados en él.

( + ) CONSERVA ( - ) CAMBIA


27

Multiplicación Ejemplo: 3 .2 = 3 + 3 = 6 o 2 + 2 + 2 = 6 ( Dos veces 3 o tres veces 2 ) En general podemos decir a , b se llaman factores

p se llama producto Ejemplos:

División

División Exacta :

Ejemplo : 8 : 4 = 2 2 . 4 = 8 En forma general podemos decir : D se llama dividendo

d se llama divisor ( 0) c se llama cociente

D , d , c Z

Para que la división sea entera el Dividendo debe ser múltiplo del divisor (dicho de otra manera el dividendo debe ser divisible por el divisor) en caso de no cumplirse esto tenemos la :

Ejemplos:

División Entera:

Ejemplo: 65 : 6 = 10 + resto (5) 6 x 10 + 5 = 65 En forma general podemos decir : D , d , c significan lo mismo que en la división entera , r se llama resto.

Comportamiento del cero en la división:

El cero como dividendo : 0 : n = 0 ( 0 : 4 es 0 porque 0 . 4 = 0 )

El cero como divisor : n : 0 = indeterminado ( no hay número que por cero de n)

El cero como dividendo y divisor 0 : 0 = indeterminado

La multiplicación es una operación que se origina en la suma reiterada de un mismo número.

a. b = p

Dividir un numero entero por otro es hallar un tercer número tal que multiplicando a este por el segundo nos de por resultado el primero

D : d = c c . d = D

En este caso al realizar la división tenemos un resto

D : d = c con resto 0 c . d + r = D


28

El producto o cociente de 2 números enteros de igual signo es positivo :

+ . + = + + : + = + igual signo +

- . - = + - : - = + El producto o el cociente de 2 números enteros de distinto signo es negativo:

+ . - = - + : - = - distinto signo -

- . + = - - : + = -

Resolver

Resolver

Resolver

Regla de los signos para la multiplicación y división de números enteros:

Se realizarán en clase ejercicios para representar la multiplicación o división de Z en las rectas numéricas como sumas reiteradas pudiendo descubrir y poder enunciar luego la regla para multiplicación y división de enteros :

Resolver los siguientes problemas:

1. Un obrero gana 40 $ por día ¿Cuánto dinero ganará en 8 días?

2. Cinco amigos van a un boliche y les cobran 6 $ a cada uno ¿Cuánto gastaron entre todos ellos?

3. El nivel de agua en un pozo ha disminuido 63 cm en una semana . Si el descenso diario es el mismo ¿Cuánto ha bajado cada día?

4. Cuatro amigos van al cine todos los domingos. Pero un domingo deciden no ir para ahorrar dinero para las vacaciones . Si la entrada del cine cuesta 8 $ , ¿Cuánto ahorraron?

5. El nivel del agua de una presa ha descendido 13 cm diarios durante 6 días y luego asciende , debido a las lluvias 7 cm diarios durante 3 días ¿Cuál ha sido el desnivel total del agua de la presa?

Colocar en cada casillero un número entero de tal forma que sea igual al producto de los números contenidos en los casilleros que se encuentran debajo de él:

-15 6 -12

5 -1

-54 -48

9 8

3

Resolver los siguientes ejercicios con cuatro operaciones en enteros:

1. 82.54:1224

2. 134:21023:15

3. 8.9552:830

4. 3:92.3:43.232

5. 6487:23.32

6. 3.4:23:18.32:12

7. 2.313:7:3218

8. 2:1583:865


29

Resolver

Propiedades de la multiplicación y división de números enteros:

MULTIPLICACION DIVISION

Elemento Neutro a . 1 = 1 . a = a

8 . 1 = 1 . 8 = 8

Es el uno

a : 1 = a 1: a a

7 : 1 = 7 1: 6 6

Es el uno pero solo como divisor

Elemento Absorbente a . 0 = 0 . a = 0

7 . 0 = 0 . 7 = 0

Es el cero

0 : a = 0 a : 0 a

0 : 9 = 0 5: 0 5 (indeterminado)

Es el cero pero solo como dividendo

Conmutativa a . b = b . a

2 . 9 = 9 . 2

18 = 18 (Se cumple)

a : b b : a

-9 :3 3 : (-9)

-3 -1/3 (No se cumple )

Asociativa ( a . b ) . c = a . ( b . c )

( 3 . 6 ) . 5 = 3 . ( 6 . 5 )

18 . 5 = 3 . 30

90 = 90 Se cumple

( a : b ) : c a : ( b : c )

( 24 : 4 ) : 2 24 : ( 4 : 2 )

6 : 2 24 : 2

3 12 No se cumple

Distributiva a derecha Suma p . ( a b) = p . a p . b

6 . ( 2 + 3) = 6 . 2 + 6 . 3

6 . 5 = 12 +18

30 = 30

p : ( a b) p : a p : b

60 : ( 15 + 5) 60 : 15 + 60 : 5

60 : 20 4 + 12

3 16

Resta (-2) . ( 8 - 5) = (-2). 8 – (-2) .5

(-2) . 3 = -16 +10

-6 = -6

(-120) : ( 20 - 8) (-120): 20 – (-120) : 8

(-120) : 12 -6 +15

-10 9

Distributiva a izquierda Suma ( a b). p = a . p b . p

( 6 + 2) . 4 = 6 . 4 + 2 . 4

8 . 4 = 24 + 8

32 = 32

( a b): p = a : p b : p

( 36 + 6) : 3 = 36 : 3 + 6 : 3

42 : 3 = 12 + 2

14 = 14

Resta ( 3 -5 ) . (-3) = 3 . (-3.) -5 .(-3)

(-2) . (-3) = -9 + 15

6 = 6

( 48 -12 ) : (-4) = 48 : (-4.) -12 :(-4)

(36) : (-4) = -12 + 3

-9 = -9

CONCLUSION DISTRIBUTIVA La multiplicación es distributiva en la suma y en la resta , tanto a derecha como

a izquierda

La división solo es distributiva en la suma y en la resta cuando la suma algebraica esta como

dividendo , o sea a la izquierda

Completar los siguientes casilleros indicando = o según corresponda

m . ( t + h) m . t + m. h ( v – j ) . k v . k – j . k

g : ( r + c) g : r + g : c ( b + c) : w b: w + c : w

a : ( d - z) a : d - a : z q . ( p – x ) q . p – q . x

( s – f) : e s: e – f : e ( l + a ) . t l . t + a . t


30

ResolverResolver

r

ResolverResolver

r

MULTIPLICACION

Siendo a , b y c pertenecientes a los números enteros resolver los productos indicados

Ejercicio Nº 1 Ejercicio Nº 2 Ejercicio Nº 3

a b c a b c a b c

5 3 2 8 -3 5 -4 -9 3

1 a . b

2 b . a

3 a . 1

4 b . 1

5 a . 0

6 0 . a

7 (a . b) . c

8 a . ( b . c)

9 a . ( b + c )

10 a . b + a . c

11 ( a + b ) . c

12 a. c + b . c

13 a . ( b - c )

14 a . b - a . c

15 ( a - b ) . c

16 a. c - b . c

DIVISION

Siendo a , b y c pertenecientes a los números enteros resolver los cocientes indicados

Ejercicio Nº 1 Ejercicio Nº 2 Ejercicio Nº 3

a b c a b c a b c

36 9 3 48 -8 4 20 -10 -2

1 a : b

2 b : a

3 a : 1

4 b : 1

5 a : 0

6 0 : a

7 (a : b) : c

8 a : ( b : c)

9 a : ( b + c )

10 a : b + a : c

11 ( a + b ) : c

12 a: c + b : c

13 a : ( b - c )

14 a : b - a : c

15 ( a - b ) : c

16 a : c - b : c


31

ResolverResolver

r

El Lenguaje de la Matemática: Introducción Para trabajar en clase:

Matemática 1 - De Guzmán – Colera – Ed Anaya 1987 Capitulo 5

Un mago adivina las cartas

Hay un mago que tiene en sus manos un mazo de cartas espa-ñolas, como las que sirven para jugar a la escoba de quince o al truco. Por lo tanto, están excluidos los números 8 y los números 9. De hecho, el número 12 (el rey) vale 10 puntos, el número 11 (el caballo) vale 9 puntos y el número 10 (la sota) vale 8 puntos. El resto de las cartas tienen el valor que indica su número. Y, por último, para fijar las ideas, los cuatro palos de las cartas son oro, espada, copa y basto.

El mago, entonces, le ofrece a una persona que elija una carta cualquiera, sin que él (el mago) la pueda ver. Le pide entonces que haga las siguientes operaciones:

• Multiplique por 2 el número de la carta. • Al resultado, súmele 1. • A lo que obtiene, lo multiplica por 5. • Por último, si la carta que había elegido es de oro, súmele 4. Si es de espada, súmele 3. Si es de basto, súmele 2, y si es de copa, súmele 1.

Con esos datos, el mago le pide a la persona que le diga qué número le dio. La respuesta que obtiene es, digamos, 39.

El mago piensa un instante y replica: “Entonces, la carta que usted eligió originalmente era el 3 de oro”. ¿Cómo hizo?

Matematica estas ahí- 6 - ¿Cómo, esto también es Matematica? – Adrían Paenza


32

ResolverResolver

r

Para expresar enunciados o nociones matemáticos se puede utilizar el lenguaje coloquial o el simbólico Veamos algunos ejemplos:

Lenguaje Coloquial Lenguaje Simbólico

El doble de cuatro disminuido en tres 2 . 4 - 3

El siguiente de un número x + 1

Cualquier número mayor que 4 x > 4

El lenguaje simbólico es de utilidad para expresar fórmulas , simplificar o acortar expresiones.

Muchos problemas se pueden resolver traduciendo los enunciados al lenguaje simbólico.

Ejemplos:

.

Traduzcan al lenguaje simbólico y resuelvan:

1. El siguiente de tres menos el anterior de dos : 2. La mitad de treinta : 3. Diez veces la suma de dos y siete : 4. El doble de cuatro :

5. El doble de la suma entre tres y cuatro 6. El opuesto de seis mas dos:

7. El triple de nueve aumentado en ocho 8. La cuarta parte de ocho menos tres:

Unan con una flecha cada enunciado con la expresión simbólica correspondiente:

1. El siguiente de un número Y< x 2. El anterior a un número X²

3. El doble de un número X+1

4. El cuadrado de un número 2x

5. Un número menor que otro X-1

Escriban cada uno de los siguientes enunciados en el lenguaje simbólico:

1. Dos es mayor que uno 2. Nueve es distinto de tres por cuatro

3. Siete es mayor que cuatro y menor que diez

4. Cualquier número mayor o igual a tres y menor que once

Para ir a la escuela Roberto recorre una cierta distancia solo , y luego el doble de esa distancia la recorre con su amigo Ezequiel. Si desde la casa de Roberto a la escuela hay 12 cuadras ¿Cuántas cuadras recorre solo?

Si analizamos el problema veremos que los números son sencillos y podríamos realizar tanteos hasta encontrar la solución. Sino llamamos d a la distancia que Roberto camina solo. Entonces la distancia que camina solo sería d , mientras que con Ezequiel camina 2d .Además sabemos que la suma de las dos distancias son 12 cuadras. Podemos plantear toda la información a través de una igualdad donde d sería la incógnita. (d + 2d = 12) .

Pedro , Juan y Cristian son tres amigos que deciden salir al cine. Pedro paga su entrada y la de Juan y cuando termina la película invita a todos a tomar un helado gastando 12 $ mas. Cristian, por su parte paga su entrada y compra golosinas y gaseosas gastando 20 $ en total que es lo mismo que gasto Pedro ¿Cuánto cuesta la entrada?

Acá la incógnita es el valor de la entrada y la llamamos e . Por lo tanto Pedro gasto su entrada ( e) mas la entrada de Juan ( e) mas 12 $ . El gasto de Pedro sería : e + e + 12. Este gasto es igual a lo que pago Cristian que es su entrada ( e) mas 20 $, por lo que el gasto de Cristian sería : e + 20 . Como ambos gastos son iguales podemos plantear una igualdad donde e sería la incognita ( e + e + 12 = e + 20)


33

Ecuaciones :

Ejemplos: Las siguientes expresiones son ecuaciones que por si mismas pueden parecer incompletas :

3 b = 21 L² = 4 p + 2,8 = 5 x3 = 27 2x + 2y = 10

Pero podrían responder a los siguientes enunciados :

El costo de tres lapiceras es 21 $ ( donde la incógnita sería b = el valor de cada lapicera)

El área de un cuadrado de lado L es igual a 4 ( donde la incógnita es L = el valor del lado )

Se ha pagado un kg de peras con 5 $ y el vuelto fueron 2,8 $ ( donde la incógnita sería p = el precio del kg de peras)

El volumen de un cubo es igual a 27 cm3 (donde la incógnita sería x = el valor de la arista del cubo)

El perímetro de un rectángulo es igual a 10 cm ( donde las incógnitas serían x e y = los lados del rectángulo)

Podemos ver que en todos los casos se pueden obtener los valores de las incógnitas ( o la solución de la ecuación) a través de cálculos mentales sencillos. (en el caso del rectángulo pueden haber más de una solución) . Pero no siempre es tan fácil resolver mentalmente las situaciones que se nos plantean .

Reducción y cancelación de términos

En toda igualdad tenemos dos miembros: 4323574253

primer miembro segundo miembro

Resolución de una ecuación de primer grado con una incógnita.

Definición: Llamamos ecuación a las igualdades en las que aparecen elementos desconocidos que llamamos INCOGNITAS. Las incógnitas se expresan mediante símbolos arbitrarios o letras tales como x, y , z , hasta tanto

se pueda determinar el número con el que se verifica la igualdad.

Reducir términos significa eliminar en un mismo miembro de una igualdad dos números de igual valor absoluto pero signo contrario

En nuestro ejemplo se pueden suprimir en el segundo miembro el +3 y el –3 y la igualdad no varía

Cancelar términos significa eliminar en distintos miembros de una igualdad dos números de igual valor absoluto y de igual signo (ley cancelativa) En nuestro ejemplo se pueden cancelar el +5 presente en ambos miembros y la igualdad no varía

Se llaman de primer grado porque las incógnitas están elevadas al exponente 1 Ej.: 2x +4 En cambio 2x² -3 =4 es una ecuación de segundo grado

Se llaman con una incógnita porque solo uno de los valores es desconocido. (En el ejemplo anterior solo desconocemos a la x)

En cambio 2x + 4y =50 tiene dos incógnitas que son x e y

Resolver una ecuación significa encontrar el (los)valor(es) de la (las) incógnita(s) que hacen verdadera la igualdad, es decir que permiten verificar dicha igualdad. Tales valores se llaman soluciones o raíces de la ecuación.

Todas las ecuaciones, una vez resueltas deben ser verificadas, permitiendo que quien las resuelva, realice las operaciones de autocontrol implicadas


34

Método de transposición ( o método de la balanza) Pensemos en la ecuación como una balanza en equilibrio. Cualquier modificación que hagamos a uno de los platillos (que son los miembros de la ecuación) la desequilibrara (no será más una igualdad) y tendremos que compensarla para que vuelva a equilibrarse (volverla a convertir en una igualdad) matemáticamente usaremos la ley uniforme vista anteriormente Por ejemplo queremos resolver 7 x + 1 = 5 x + 9 (Dibujar en clase la balanza y la posición que toma en cada caso)

Pasos a seguir

Balanza 7x + 1 5x +9

Expresión algebraica

7x + 1 = 5x +9

Sacamos 5x en el lado derecho. (la balanza se desequilibrara)

7x + 1 9

7x + 1 5x +9 –5x

Para equilibrar la balanza sacamos 5x en el plato izquierdo

2x + 1 9

7x + 1- 5x = 5x +9 –5x Queda

2 x + 1 = 9

Sacamos 1 en el lado izquierdo (la balanza se desequilibrara)

2x 9

2x + 1 – 1 9

Sacamos uno del lado derecho para que la balanza se equilibre

2x 8

2x + 1 -1 = 9 – 1 Queda 2x =8

Seguimos despejando. Para ello dividimos por dos en el lado izquierdo. (la balanza se desequilibrara)

x 8 2x : 2 8

Dividimos por dos en el lado derecho para equilibrar la balanza y obtenemos la solución

x 4 2x : 2 = 8 : 2 Se obtiene

X = 4

Verifiquemos la igualdad en la ecuación: 7 . 4 + 1 = 5 . 4 + 9

28 +1 = 20 +9

29 = 29

Volvamos ahora a dos ejemplos planteados al principio

En el primer ejemplo teníamos : d + 2d = 12

Por lo tanto 3d = 12

3d/3 = 12/3

d = 4 Verificamos: 4 + 2 . 4 = 12

4 + 8 = 12

12 = 12

En el segundo ejemplo teníamos: e + e + 12 = e + 20

2 e + 12 = e + 20

Reducimos e en el segundo miembro 2 e + 12 –e = e – e + 20

Quedando e + 12 = 20

Reducimos 12 en el primer miembro e + 12 – 12 = 20 – 12

Quedando e = 8 Verificamos: 8 + 8 + 12 = 8 + 20 20 = 20


35

Reglas prácticas para la resolución de una ecuación (A estas reglas se deberán agregar algunos pasos cuando trabajemos con número racionales para contemplar las particularidades de estos números, pero el procedimiento será el mismo)

Separar en términos

Operar en cada miembro ( siempre que sea posible reduciendo y cancelando términos)

Aplicar la propiedad distributiva si fuera necesario. Es necesario cuando hay dos o mas x , encontrándose alguna de ellas dentro de un ( ) ; [ ] o una { }

Reducir y cancelar todos los términos posibles

Asociar en un mismo miembro todos los términos con la incógnita y en el otro miembro los términos independientes (las x con las x, los números con los números) operando luego en cada miembro.

Para realizar el paso anterior y despejar la incógnita, se transponen (pasan) primero los términos y por último los factores y divisores. Los términos pasan realizando la operación inversa a la que están realizando, es decir que si están sumando pasan restando y si están restando pasan sumando. En cambio los factores que acompañan a la incógnita pasan como divisores, y los divisores pasan como factores. En el caso de factores y divisores pasan haciendo la operación inversa pero CON SU SIGNO.

Ejemplos:

2x + 4 = 10 Resuelvo: 2x = 10 -4 Ejemplo sin distributiva

2x = 6

x = 6 :: 2

x = 3

Con este valor reemplazo en la ecuación original y verifico la igualdad: 2. 3 + 4 = 10

6 +4 = 10

10 = 10

5. (x + 4) = 3x + 31 – 3 Ejemplo con distributiva – Dos x y una de ellas esta entre ( )

5 .x + 5 .4 = 3x + 28

5x + 20 = 3x + 28

5x – 3x = 28 – 20

2x = 8

x = 8 : 2

x = 4

Con este valor reemplazo en la ecuación original y verifico la igualdad: 5 .( 4 + 4) = 3 . 4 +31 -3

5 . 8 = 12 +31 – 3

40 = 40

Para resolver problemas (enunciados coloquialmente) a través del planteo y resolución de ecuaciones debemos:

Leer atentamente el enunciado

Identificar la incógnita y los datos

Escribir los datos en función de la incógnita

Plantear la ecuación (igualdad)

Operar para expresar la ecuación en forma más sencilla posible

Hallar la solución para la ecuación

Comprobar que la solución hallada cumple las condiciones del problema (verificar)

Resolver siguiendo los pasos enunciados anteriormente el siguiente ejemplo:

Diego le dice a un amigo “ El doble de la edad que tengo más la edad que tendré dentro de tres años es 48 ¿Cuántos años tengo?”


36

ResolverResolver

r

ResolverResolver

r

Resolver las siguientes ecuaciones en enteros

1. 1512 x

2. 2026 x

3. xx 10285

4. 82393 xx

5. xx 6.465

6. 166.29 xx

7. 452.33 xxx

8. 3.4112.3 xx

9. 0324.31 xx

10. 335:2010 xx

11. 72:3 x

12. 842

3

x

13. 12159:34 x

Traduzcan al lenguaje simbólico y resuelvan

1. Pablo llevo en sus vacaciones 1.700 $. Esa cantidad representa 5 veces su ganancia semanal, mas 120 que tenía ahorrados ¡¿Cuánto gana Pablo por semana?

2. Si a la mitad de un número le quito ocho, obtengo -12 ¿De que número se trata?

3. Dos amigos ganaron 7.460 $ con un billete de lotería y lo repartieron de forma proporcional al dinero que cada uno aporto para comprarlo. Si uno de ello puso el cuádruplo del otro ¿Cuánto gano cada uno?

4. La suma de tres números consecutivos es iguala 126 ¿Cuáles son los números?

5. Un señor recibe un pedido de 12 sillas iguales. En total paga $ 820, de los cuales $ 40 corresponden a los gastos de transporte. ¿Cuál es el precio de cada silla?

6. ¿Cuál es el número cuyo doble más ocho nos da veinticuatro?

7. Si triplicamos la suma entre un número y seis, obtenemos 21. Calcular el número.

8. El triple de un número es igual al doble de su consecutivo más seis. ¿Cuál es el número?

9. Si a mi edad le sumo el triple de la edad que tenía hace seis años obtengo el doble de mi edad actual. ¿Cuántos años tengo?

10. El cuádruplo de la edad que tenía María hace dos años es igual al doble de la que tendrá dentro de 10 años ¿Que edad tiene María?

11. La edad de Miguel es tres veces la edad de Natalia, y la suma de ambas edades es 24 ¿Cuántos años tiene cada uno?

Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Números RACIONALES - Prof : Pérez Pertino , J. Pablo

37

Introducción: Para trabajar en clase: Leamos atentamente el siguiente cuento y tratemos de entender como el protagonista

sabía que la solución propuesta por él , era tanto favorable para todas las partes como para él mismo también. Singular aventura acerca de 35 camellos que debían ser repartidos entre tres árabes. Beremís Samir efectúa una división que parecía imposible, conformando plenamente a los tres querellantes. La ganancia inesperada que obtuvimos con la transacción.

Hacía pocas horas que viajábamos sin interrupción, cuando nos ocurrió una aventura digna de ser referida, en la cual mi compañero Beremís puso en práctica, con gran talento, sus habilidades de eximio algebrista.

Encontramos, cerca de una antigua posada medio abandonada, tres hombres que discutían acaloradamente al lado de un lote de camellos.

Furiosos se gritaban improperios y deseaban plagas:

- ¡No puede ser!

-¡Esto es un robo!

- ¡No acepto!

El inteligente Beremís trató de informarse de que se trataba.

- Somos hermanos –dijo el más viejo- y recibimos, como herencia, esos 35 camellos. Según la expresa voluntad de nuestro padre, debo yo recibir la mitad, mi hermano Hamed Namir una tercera parte, y Harim, el más joven, una novena parte. No sabemos sin embargo, como dividir de esa manera 35 camellos, y a cada división que uno propone protestan los otros dos, pues la mitad de 35 es 17 y medio. ¿Cómo hallar la tercera parte y la novena parte de 35, si tampoco son exactas las divisiones?

- Es muy simple –respondió el “Hombre que calculaba”-. Me encargaré de hacer con justicia esa división si me permitís que junte a los 35 camellos de la herencia, este hermoso animal que hasta aquí nos trajo en buena hora.

Traté en ese momento de intervenir en la conversación:

- ¡No puedo consentir semejante locura! ¿Cómo podríamos dar término a nuestro viaje si nos quedáramos sin nuestro camello?

- No te preocupes del resultado “bagdalí” –replicó en voz baja Beremís-. Se muy bien lo que estoy haciendo. Dame tu camello y verás, al fin, a que conclusión quiero llegar.

Fue tal la fe y la seguridad con que me habló, que no dudé más y le entregué mi hermoso “jamal”, que inmediatamente juntó con los 35 camellos que allí estaban para ser repartidos entre los tres herederos.

- Voy, amigos míos –dijo dirigiéndose a los tres hermanos- a hacer una división exacta de los camellos, que ahora son 36.

Y volviéndose al más viejo de los hermanos, así le habló:

- Debías recibir, amigo mío, la mitad de 35, o sea 17 y medio. Recibirás en cambio la mitad de 36, o sea, 18. Nada tienes que reclamar, pues es bien claro que sales ganando con esta división.

Dirigiéndose al segundo heredero continuó:

- Tú, Hamed Namir, debías recibir un tercio de 35, o sea, 11 camellos y pico. Vas a recibir un tercio de 36, o sea 12. No podrás protestar, porque también es evidente que ganas en el cambio.

Y dijo, por fin, al más joven:

- A ti, joven Harim Namir, que según voluntad de tu padre debías recibir una novena parte de 35, o sea, 3 camellos y parte de otro, te daré una novena parte de 36, es decir, 4, y tu ganancia será también evidente, por lo cual sólo te resta agradecerme el resultado.

Luego continuó diciendo:

- Por esta ventajosa división que ha favorecido a todos vosotros, tocarán 18 camellos al primero, 12 al segundo y 4 al tercero, lo que da un resultado (18 + 12 + 4) de 34 camellos.

De los 36 camellos sobran, por lo tanto, dos. Uno pertenece, como saben, a mi amigo el “bagdalí” y el otro me toca a mí, por derecho, y por haber resuelto a satisfacción de todos, el difícil problema de la herencia.

- ¡Sois inteligente, extranjero! – exclamó el más viejo de los tres hermanos-. Aceptamos vuestro reparto en la seguridad de que fue hecho con justicia y equidad.

El astuto beremís –el “Hombre que calculaba”- tomó luego posesión de uno de los más hermosos “jamales” del grupo y me dijo, entregándome por la rienda el animal que me pertenecía:

- Podrás ahora, amigo, continuar tu viaje en tu manso y seguro camello. Tengo ahora yo, uno solamente para mí.

Y continuamos nuestra jornada hacia Bagdad.

(capitulo III de el libro “El hombre que calculaba” de Malba Tahan )


38

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r

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r

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r

Volvamos a lo visto en la primera parte de ambientación donde trabajamos con los números racionales en varias de

sus expresiones (fracciones, decimales , porcentaje) Volvamos ahora entonces sobre estos

Distintos significados , maneras de entender y usar una fracción antes de comenzar a trabajar con las mismas

1. Fracción como cociente

8/5 no da un resultado exacto .No es un número entero , sino que si hacemos el cociente nos da 1,6 8/5 es un número racional que nos expresa el cociente de 8 dividido 5.

¿Cuánto nos da el cociente de 9

4

15

31

6

1

5

17

8

25

3

5

16

9

3

2

1000

23

2

1

4

3 ?

Recordemos entonces que si tenemos en forma general una fracción rdenominadollamaseb

numeradorllamasea

b

a

2. Fracción como parte de un todo

La fracción indica partes iguales de un todo : Decimos que 3 partes de 4 de una torta es 3 / 4 de torta

¿Qué fracción representa en cada caso la parte sombreada? :

Considerando a cada rectangulo como unidad indicar que parte de la unidad representa cada zona .

3. Fracción como operador

Por ejemplo : 3/4 del electorado voto por el candidato 1. Si el total de los votantes fueron 1000 ¿Cuantos votaron por el Candidato 1 ?

3 x 1000 = 750 votantes 4

Si un teatro vende la mitad de sus 320 localidades ¿cuantas son las entradas vendidas?

Si una persona compra 2/5 kg de nueces ¿Cuantos gramos de nueces compro?

Si una persona gasta 3/8 de su sueldo de 500 $ en comida ¿Cuánto gasto en comida? ¿Qué parte le quedo?

Un caminante hizo la tercera parte de un camino de 4,5 km ¿Cuántos metros recorrió?

En una clase de 40 minutos el preceptor uso la quinta parte para dar informaciones generales ¿Qué tiempo utilizo?


39

El 4 se puede obtener 3 veces sobre 36 : 3 36 El 7 se puede obtener de 6 maneras : 6 = 1 36 6

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r

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r

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r

4. Fracción como indicadora de probabilidad.

La probabilidad de que un equipo gane el campeonato de primera división es pequeña (cual sería la probabilidad si es un campeonato con 20 equipos)

Si tiro un dado , la probabilidad de que salga el 1 en 150 tiros es 1 = 25

6 150

Si tiro dos dados ¿Cuáles son las sumas que se pueden obtener? ¿Cuál es la suma más fácil de obtener? ¿Porque? Ayúdate con el siguiente cuadro

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

¿Cuál es la probabilidad de sacar un numero determinado en la ruleta? ¿Y de sacar negro o rojo?

Se tiene un cajon con treinta camisetas de las cuales 6 son azules y las demás blancas . Si se extrae una camiseta ¿Cuál es la más probable de sacar? Cual es la probabilidad? Si se sacaron diez camisetas blancas ¿Cuál es la probabilidad de sacar otra blanca?

5. Como porcentaje

Una persona gasta la mitad del dinero que tiene. ¿Qué porcentaje gasto?

Veamos otro ejemplo : Si hay 34 alumnos en un curso y 25 son varones ¿Qué fracción representa a los varones y cual a las mujeres? ¿Qué porcentaje de varones y mujeres hay? ¿Cuánto suman las dos fracciones que representan varones y mujeres?¿Cuánto suman los dos porcentajes?

6. Fracción como razón ( para proporcionalidad)

El kiosquero de la esquina vende 3 revistas por 5 $ ¿Cuantas se pueden Compra por 10 $? ¿Cuanta plata necesito para 18 revistas?

3 revistas = 3 Relación entre cantidades de diferente tipo que sirve 5 $ 5 para calcular el resto de los datos.

Si dos kg de papas cuestan 90 centavos ¿Cuánto cuestan 7 kg?


40

Conjunto de los números Racionales (Q)

Se llama número racional a todo aquel que puede expresarse como el cociente entre dos números.

Ej: 5

136,2

5

5010

8

3375,0

9

00

2

15,0

3

93

El conjunto de los números enteros unido al conjunto de los números fraccionarios , forma el conjunto de los números racionales.

O sea : Z U F = Q

N (naturales) 0 Z (Enteros)

Z – (Negativos) Q (Racionales)

F (Fracciones) Ejemplos : - 7 Z - 7 Q

¾ F ¾ Q

6 N 6 Z 6 Q

Términos de una Fracción

Los números fraccionarios son de la forma Q

P donde P y Q son números enteros distintos de cero . P y Q se llaman

numerador de la fracción y denominador de ella respectivamente. El denominador indica la cantidad de partes iguales en que se divide el entero , y el numerador cuantas de esas partes debemos considerar.

4

3 3

5 3

3

Clasificación de fracciones

Propias: Son aquellas donde el numerador es menor que el denominador, y representan un número menor que 1

Ejemplo: 1

7

5

Impropias: Son aquellas donde el numerador es mayor que el denominador, y representan un número mayor que 1

Ejemplo: 1

8

11

Estás fracciones pueden expresarse también como números mixtos. Ejemplo: 3

153:16

3

16

Aparentes: Son aquellas donde el numerador es múltiplo del denominador, y representan un número entero Ejemplo:

24

8

También atendiendo a su denominador podemos mencionar a las fracciones decimales que son las que tienen el

denominador formador por el uno seguido de ceros. ( Ejemplos: 1000

471;

10

145;

100

3;

10

7


41

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r

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r

Representación Geómetrica de números racionales :

Dada una recta R donde están ya representados los números enteros como hemos visto anteriormente para

representar cada número fraccionario Q

P se divide en Q partes iguales cada unidad, y se cuentan P divisiones a partir del

cero en el sentido que indique el signo de la fracción Q

P . Otra manera de representarlos es usando la expresión decimal de

cada fracción.

Representar cada uno de los siguientes números gráficamente de dos formas: En la recta numérica tomando como unidad un circulo

3 ; 2 ; - 3 ; 7 ; 2 ; - 11 ; 11 4 3 2 5 3 6

Ordenar de mayor a menor los siguientes números:

Fracciones Equivalentes:

Son aquellas que representan la misma cantidad.

Para obtener fracciones equivalentes se debe multiplicar o dividir el numerador y denominador de la fracción por un mismo numero distinto de cero.

Cuando se multiplica se esta amplificando la fracción: 15

6

3.5

3.2

5

2

Cuando se divide se esta simplificando la fracción: 6

1

2:12

2:2

12

2

6:72

6:12

72

12

Cuando simplificamos encontramos una fracción equivalente a la dada tal que sus términos son menores que los de la fracción original. Cuando los términos ya son primos entre sí las dos fracciones no pueden simplificarse más y se dice que la fracción es Irreductible o Irreducible

Gráficamente podemos ver por ejemplo: 6

3

8

4

4

2

2

1

10

3 ;

6

1 ; 0,1 ;

4

1 ; 0,23 ; 0,7 ;

5

1 ; 1,4 ; 2,1 ;

54

32

; 2 ; 5

9 - ;

9

5 ; 0,15 ;

8

3 ;

2

12 - ;

5

20 ;

3

5 - ; 4,1 ;

4

3 ; 0,76 ;

2

1


42

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r

Toda fracción tiene una cantidad infinita de fracciones equivalentes:

0 1 2

0 1 2 3 4 2 2 2 2 2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 4 4 4 4 4 4 4 4 4

1. Simplifica hasta obtener una fracción irreductible

a)24

6 b)

45

20 c)

360

72 d)

33

121 e)

100

250 f)

90

36 g)

34

17

Expresiones decimales:

Si se efectúa la división entre el numerador y el denominador de una fracción el cociente de dicha división es la expresión decimal de dicha fracción

CLASIFICACIÓN de las EXPRESIONES DECIMALES

EX

PR

ES

ION

ES

DE

CIM

ALE

S

Pasaje de fracción a decimal (se efectúa el cociente entre numerador y

denominador)

Pasaje de decimal a fracción (Ver reglas de pasaje aparte)

(falta realizar la simplificación final donde correspondiera)

EXACTAS ( En “algún” momento el

resto se hace 0)

2,15:6

5

6

10

188,1

023,01000:231000

23

10

3277,32

5,110:1510

15

100

505,0

PERIÓDICAS

( El resto “nunca” se hace 0)

PURAS

6,0....6666,03:23

2

9

33,0

5,1....5555,19:149

14

9

16

9

1177,1

85,0....858585,099:8599

85

99

225

99

222727,2

IMPURAS o MIXTAS

32,1...2333,130:3730

37

90

215

90

2323838,2

365,0...653333,075:4975

49

900

732

900

81813813,0

258,0...25858,0495:128495

128

990

1225

990

121237237,1

Pasaje de decimal exacto a fracción: Se escribe el numero completo en forma entera en el numerador, y en el denominador se

coloca el uno seguido de tantos ceros como cifras decimales tenga el número.

Pasaje de decimal periódico a fracción: En el numerador se escribe el número completo en forma entera y se le resta la parte no periódica ( entera y decimal) expresada también en forma entera. En el denominador se coloca tantos nueves como cifras periódicas tenga el número seguido de tantos ceros como cifras decimales no periódicas tenga el número.


43

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r

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r

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r

Transforma en fracción:

7,0)5005,5)407,0)33,1)24,0)1

6,1)1015,4)95,2)818,0)73,0)6

Transforma en decimal:

16

8)6

2

7)5

3

5)4

4

1)3

5

12)2

2

8)1

8

5)12

15

7)11

100

25)10

4

3)9

9

3)8

11

5)7

Reconocimiento del orden de los números racionales:

La relación de orden en Q nos permite establecer cuando una fracción es mayor , menor o igual que otra.

A) Igualdad en Q : Dos números racionales son iguales cuando lo son sus productos cruzados. cbdad

c

b

a..

Dados 7 y 35 son iguales ya que 7 . 25 = 5 . 35 5 25 175 = 175

B) Desigualdad en Q : Dos números racionales son desiguales cuando sus productos cruzados no son iguales

cbdad

c

b

a.. cbda

d

c

b

a..

3 4 pues 3 . 5 7 . 4 pues 15 28 7 5

21 7 pues 21 . 2 5 . 7 pues 42 35 5 2

-10 -23 pues (-10 ) . 20 7 . ( -23) pues -200 -161 7 20

-1 25 pues ( -1) . 3 2 . 25 pues - 3 50 2 3

Coloca > ; < o = según corresponda. y representa todos las fracciones sobre la recta numérica:

3 1 7 1 -1 3 5 10 4 2 2 5 2 5 10 8 6 -7 5 -5 -3 4 -2 9 7 12 8 4 2 3 5

Calcular:

Un tercio de hora Dos tercios de día Tres cuartos de año

Un quinto de minuto Cinco sextos de mes Cinco octavos de día

El 25 % de 80 Los dos quintos de 140 El 30 % de 240

Los cuatro tercios de 420 El 200 % de 175 Dos séptimos de 280


44

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r

Completa el cuadro

Expresión decimal 0,75 0,6 -1,8 0,05

Fracción Irreducible 3 / 4 7 / 4 3 /8 2/3

Porcentaje 75 % 30 % 115 %

DIVISIBILIDAD: Repasemos a continuación algunos conceptos vistos en la primaria acerca de divisibilidad.

Números Primos: Son aquellos que tienen solo dos divisores : el uno y si mismo. Ej: 7 , 5 , 13 , 31

Números Compuestos: Son aquellos que admiten otros divisores además del uno y de si mismo. ( Ej: 6 pues sus divisores son el 6 y el 1 , pero además el 2 y el 3)

El número 0 no es ni primo ni compuesto pues no tiene un número finito de divisores

El número 1 no es ni primo ni compuesto porque no tiene dos divisores distintos

Los números que multiplican se llaman factores , y los que dividen divisores.

Los divisores deben ser distintos de 0 ( sino la división da indeterminada)

El uno es divisor de todos los números

El cero es múltiplo de todos los números.

Los múltiplos de un número son divisibles por ese número.

Es equivalente decir “ES MÚLTIPLO DE” o “ ES DIVISIBLE POR”

Criterios de divisibilidad:

Un número es divisible por 2 si y solo si termina en 0 , 2 , 4, 6, u 8

Un número es divisible por tres si y solo si la suma de sus cifras es múltiplo de 3

Un número es divisible por 4 si y solo si sus últimas dos cifras son múltiplos de 4

Un número es divisible por 5 si y solo si termina en 5 o 0

Un número es divisible por 6 si y solo si es divisible por 2 y por 3 a la vez

Un número es divisible por 9 si y solo si la suma de sus cifras es múltiplo de 9

Un número es divisible por 10 si y solo si su última cifra es 0

Un número es divisible por 11 si y solo si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan un lugar par y la suma de las cifras que ocupan un lugar impar ( o viceversa) es múltiplo de 11 o 0)

ejemplo: 62678 es múltiplo de 11 porque ( 6 + 6 + 8) – ( 2 + 7) = 20 – 9 = 11


45

Descomposición de un número en sus factores primos:

Todo número puede descomponerse de una sola manera en sus factores primos. Para ello se efectuan divisiones comenzando por el número primo más chico posible (2)

120 2 48 2 108 2 72 2 60 2 24 2 54 2 36 2 30 2 12 2 27 3 18 2 15 3 6 2 9 3 9 3 5 5 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1

120=23 . 3 . 5 48=24 . 3 108=22 . 33 72=23 . 32

Máximo común Divisor (MCD):

El máximo común divisor de dos o más números distintos de 0 , es el mayor de los divisores comunes de los números dados.

Para hallar el máximo común divisor de dos o más números se descomponen estos en sus factores primos y el MCD es el producto de los factores comunes a todas las descomposiciones elevados al menor exponente. En nuestro ejemplo el MDC

(120,48,108,72) = 22 . 3 = 12

Mínimo común múltiplo (mcm):

El mínimo común múltiplo de dos o más números , es el menor de los múltiplos distintos de 0 comunes de los números dados.

Para hallar el mínimo común múltiplo de dos o más números se descomponen estos en sus factores primos y el mcm es el producto de los factores comunes y no comunes a todas las descomposiciones elevados a su mayor exponente. En nuestro ejemplo el mcm (120,48,108,72) = 24 . 33 . 5 = 2160

Reducción de fracciones a MINIMO COMUN DENOMINADOR (mcd) :

Reducir varias fracciones a MINIMO COMUN DENOMINADOR (mcd) significa encontrar otras tantas fracciones equivalentes a las dadas, tales que el denominador sea el mínimo común múltiplo de los denominadores dados.

Metódo Práctico:

Dados dos o más fracciones , para reducirlas a mínimo común denominador en forma práctica utilizaremos el siguiente método :

1) Se elige el denominador de mayor valor absoluto = n

2) Verificamos si es múltiplo ( o sea si es divisible ) de todos los otros denominadores .En caso de serlo dicho denominador es el mínimo común denominador.

3) En caso de que no sea múltiplo se multiplica dicho denominador por 2 , 3 , 4 y así sucesivamente hasta encontrar un denominador que sea múltiplo de todos los restantes, siendo este el mínimo común denominador.

4) Una vez encontrado el mínimo común denominador , lo dividimos por todos y cada uno de los denominadores dados y lo multiplicamos a este cociente por el numerador correspondiente de cada una y todas las fracciones dadas.

Ejemplo : Averigua el m.c.d. de 1 , 2 , 5 8 5 2

1) El denominador de mayor valor absoluto es = 8 2) 8 No es divisible por 5 3) Calculamos 8 . 2 = 16 . 16 No es divisible por 5

Calculamos 8 . 3 = 24 . 24 no es divisible por 5. Luego 40 es el Calculamos 8 . 4 = 32 . 32 no es divisible por 5. mínimo común denominador Calculamos 8 . 5 = 40 . Siendo 40 divisible por todos los denominadores .

4) Para hallar las fracciones equivalentes con el mínimo común denominador hacemos :

40 : 8 = 5 5 . 1 = 5 1 = 5 8 40

40 : 5 = 8 8 . 2 = 16 2 = 16 4 40

40 : 2 = 20 20 .5 = 100 5 = 100 2 40


46

OPERACIONES DE NÚMEROS RACIONALES

Suma algebraica de Números Racionales

Para sumar o restar fracciones se deben buscar fracciones equivalentes a las dadas cuyos denominadores sean el mínimo común múltiplo de los denominadores ( es decir el mínimo común denominador – mcd) Luego se hallan los numeradores de las fracciones equivalentes , se opera algebraicamente con ellos y de ser posible se simplifica al final.

Ej: 12

29

12

1469

6

7

2

1

4

3

Observación : Si hay decimales , se deben pasar primero a fracción y simplificar de ser posible

Ej: 40

33

8

34046

8

35

2

1

4

3

1000

3755

2

1

100

75375,05

2

175,0

Multiplicación de Números Racionales

Ejemplo : 7 . 5 = 7 . 5 = 35

2 3 2 . 3 6

64

15.

5

12.

3

2

9

2

18

4

9

22.

24

10.

11

3.

5

4

Elemento Inverso : Dado q

p su elemento inverso es p

q

Ejemplos: El inverso de –9 es 9

1 , el inverso de 3

2 es 2

3

Para la multiplicación de fracciones, primero , si se puede, se debe simplificar cualquier numerador con cualquier denominador de las distintas fracciones. Luego se multiplican los numeradores y los denominadores entre si , teniendo en cuenta el signo de cada fracción y aplicando la regla de los signos.

Dados a y h Definimos a . h = a . h

b p b p b . p


47

División de Números racionales La división es la operación inversa de la multiplicación , por ello :

Ejemplo : 5 : 2 = 5 . 3 = 15 4 3 4 . 2 8

Para facilitar la división de fracciones en relación con las reglas antedichas para multiplicación podemos decir en forma práctica que para dividir fracciones debemos:

Ejemplo: 2

3

15

4:

5

2

20

312:

5

9 2

2

4

8

14:

2

7

Operaciones combinadas :

Para resolver un cálculo combinado con números racionales debe respetarse el orden de resolución de operaciones que fuera visto en números enteros. Si existiesen decimales previamente a la resolución deben pasarse a fracciones y simplificarse de ser posible. Cuando se realicen las multiplicaciones o divisiones se debe simplificar previamente de ser posible. Esto permitirá manejar fracciones equivalentes cuyos términos sean menores y por ende más fáciles de operar.

Ej:

6

5

10

3:

15

1210

6

5

10

3:

5

4

3

2

6

5

10

3:

10

8

3

2

6

5

10

3:8,0

3

2

18

7

18

158

6

5

9

4

6

5

10

3:

15

2

Dados a y h Definimos a : h = a . p b p b p b . h

Invertimos el divisor transformando a la división en multiplicación

Primero, si se puede, se debe simplificar en forma horizontal los numeradores o los denominadores de las distintas fracciones. Luego se multiplica cruzado , es decir , el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda y ese producto se coloca en el numerador de la fracción resultado. Luego se multiplica el denominador de la primera con el numerador de la segunda y ese producto se coloca en el denominador del resultado

Regla resumen: Multiplicación Q : Multiplica derecho / Simplifica cruzado

División Q: Multiplica cruzado / Simplifica derecho


48

Resolución de Ecuaciones con Q:

Usaremos la misma regla práctica vista para enteros , pero luego de separar en términos y antes de aplicar distributiva si fuera necesario o asociar las x , en el caso de existir decimales deben pasarse a fracciones y simplificarse de ser posible. También debe tenerse en cuenta al aplicar la distributiva las reglas prácticas vistas para multiplicación o división de racionales.

Ejemplo con distributiva y números racionales: Verificamos:

5

35

5

10

5

312

5

1

123.5

1

5

1

123.5

1

123.10

2

123.2,0

xx

xx

xx

xx

xx

xx

9

5

9

5

9

94

9

25.

5

1

19

4

9

272.

5

1

19

2.23

9

2.

5

1

9

2

5

9:

5

2

5

2

5

9

x

x

x

Ejemplo de ecuación con distributiva y/o despeje en números racionales:

3

1

6

5

3

2.

4

53

x

Distributiva Despeje


49

ResolverResolver

r

ResolverResolver

r

Ejercicios combinados Ecuaciones

2

1

3

2

8

7

4

1

8

7

4

1x

5

33

9

5

3

24,0

8

3

4

5

2

1x

5,124

78,1

5

325,0

6

1

3

16,1 x

6

12

2

3:2

2

5.

5

1

2

1 43

3

2 xx

75,09,0:5

34,0.

8

1

5

1

6

5

2

7

3

7

4

5 xx

3

2:18,0.

8

152:

2

1

4

3 275,06,0 xxx

3

2

2

1

5

1:1

2

1 xx

2

1)5(.4,0

4

3

3

1:2:6,0

2

1

142.6,0 xx

5

25,2:2:1,03,1

xx 25.3)

2

1(.2

8

5

4

3.13,2:

10

18,0

xx

7

24:25

3,0

34

15.

5

41:2:08,12,0

8

15

5

1:)

8

3( x

1) Se tienen 54 lápices de colores, 1/9 son de color rojo, 1/3 de color azul, 1/2 de color verde y el resto de color amarillo. Se desea saber la cantidad de lápices amarillos que se tienen.

2) Se quiere hacer la marcación de un tramo de ruta de 60 km, primero se marcan 1/3 de ruta y luego 1/4 del resto ¿ Cuántos km quedan por marcar aún ?

3) Florencia compro un jugo de naranja de 1 /4 litro, su hermano se tomo la tercera parte de la botella y ella la quinta parte ¿Qué parte del jugo queda en la botella?

4) Pedro leyó ayer 1/5 de las páginas de un libro . Si hoy ha leído la mitad de lo que le quedaba , y todavía le quedan 80 paginas ¿Cuantas paginas tiene el libro?

5) El segundo número de una combinación para abrir una caja fuerte es el doble del primero, y el tercer número es un cuarto del segundo . Si la suma de los tres números es 42 ¿Cuál es la combinación?

6) Si a la mitad de cierto número se le aumenta en 8 unidades el resultado es 3. Calcular dicho número

7) Si al duplo de un numero le quito 2/5 , obtengo el resultado del producto entre 2/5 y 4 disminuido en 3/4.Calcular de que numero se trata.

8) Si a la suma entre un número y 4 la multiplicamos por 1/2 , obtenemos el triplo de ese número más 3,5. ¿ De qué número se trata ?

9) ¿Qué número debe restarse a 17/3 para obtenerse el triplo de ese número más 4?

10) La mitad de la suma de un número y 2 es igual al triplo de dicho número más 8/5. ¿ Cuál es número ?


50

Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – ANGULOS - Prof : Pérez Pertino , J. Pablo

51

Introducción:

Esta introducción la podríamos haber hecho al comenzar el año , pero la dejamos para este momento. Después de transitar varios meses por la materia quizás sea este el tiempo de preguntarnos:

¿Que es la matemática?¿Como podemos definir a la matemática?

Podemos encontrar muchas definiciones , y vamos a ver que todas coinciden en que es una ciencia ( ¿Qué es una ciencia? Pregunta interesante para buscar información y pensar en ella. )

Podríamos encontrar una definición como esta:

Ciencia que estudia mediante el uso de números y símbolos las cantidades y formas ,sus propiedades y

relaciones. La matemática emplea el método lógico ,plantea una serie de supuestos (axiomas y postulados)

de los cuales se deducen proporciones que expresan una relación (teorema). Las matemáticas elementales

estudian los números y el espacio y sus proporciones tienen una relación directa con la experiencia física,

las matemáticas puras o abstractas pueden basarse en supuestos que no tengan nada que ver con el mundo

material. Sus principales divisiones son : Aritmética, Algebra, Geometría. Trigonometría , Cálculo

infinitesimal y análisis matemático (Fuente : Diccionario enciclopedico Marred)

Definición larga y con muchas palabras que no conocemos.¿no?

Busquemos otra definición más corta y sin tantas palabras difíciles:

Es una ciencia que engloba a través del razonamiento y la logica el estudio de los entes abstractos tales

como los números ,las figuras geométricas , la filosofía y operaciones que conectan los diferentes

conceptos entre sí. (Hispanico enciclopedia – Macropedia Vol 9 – Ed: Enciclopedia Britanica

Publishmers – Autor Rand –Mc Nally Sigue siendo difícil . Una definición parecida a la anterior pero mas corta podría ser:

Es la ciencia que estudia por razonamiento deductivo las propiedades de los seres abstractos (

números , figuras geométricas , ect) y las relaciones que tienen entre si (Diccionario enciclopedico

Laurousse)

No hay una única definición. Podrán encontrar muchas, algunas con un tono casi filosófico:

Conjunto de conocimientos en constante evolución y que sirven para responder a necesidades reales del

ser humano. (EGB 9 – Margarita Rodriguez –Miguel Martinez)

Así planteada la matemática podría ser también muchas otras ciencias. Veamos otra definición corta pero no por ello menos sustanciosas:

Conjunto de las ciencias que trata de la cantidad ,el tamaño y el orden como entes abstractos, y de sus

relaciones ( Diccionario Basico Aique) Y volvamos para terminar a una de las definiciones largas :

La matemática para los antiguos griegos representaba la ciencia dedicada al estudio de las propiedades

generales de los números (aritmética) y las figuras (geometría)Mas tarde adquirieron carácter autónomo

otras ramas: el álgebra , el análisis, las varias derivaciones de la geometría, la teoría de conjuntos , la

topología , el cálculo de probabilidades , ect.. Desde la antigüedad las matemáticas han tenido una función

fundamental en las ciencias de la naturaleza ya que proporcionan un lenguaje riguroso y sintético para

expresar los hechos de la naturaleza y para hallar los vínculos en la máxima economía de pensamiento, y

son un material inextinguible para crear nuevos modelos de interpretación de los fenómenos revelados or

la experiencia. (pequeña enciclopedia temática Larousse en color IV – Ramon García –Pelayo y Gross- ed

Laurosse)

Ahora tratemos de armar una definición sencilla usando las palabras que consideramos mas importantes de todas las

definiciones anteriores. Usemos palabras simples que conocemos y tratemos de darles forma a través de una definición que nos sea clara y útil.

Trabajo en clase : Puesta en común y elaboración de “la definición de matemática”


52

Veamos la definición que hemos armado , en ella seguramente aparecieron las palabras forma y/o figura Estas palabras se relacionan con la palabra GEOMETRIA y esa es la parte de la matemática que nos interesa

empezar a ver ahora

Geometría : Repasemos lo que sabemos de Ángulos

Desde los griegos en matemática se parten de ciertos conceptos primitivos que no tienen definición. A partir de ellos se establecen axiomas (o postulados) que no tienen definición , que se consideran verdaderos y no se demuestran; y desde allí se comienza la construcción de propiedades.

En geometría comenzaremos con la idea de algunos conceptos geométricos que usamos habitualmente y que nos permiten definir todos los elementos que usaremos tanto en los temas siguientes como en todos los temas de geometría en general. Ellos son el punto, la recta y el plano-espacio. PUNTO: Es toda marca que deja un objeto punzante sobre una superficie cualquiera.

Por ejemplo una aguja en un papel, la tiza en el pizarrón. Se los denomina con una letra minúscula.

RECTA: es una sucesión infinita de puntos alineados que no tiene

principio ni fin. Se las nombra con letras de imprenta mayúscula.

PLANO : es un conjunto infinito de puntos que forman una superficie. Se

los nombra con letras griegas. Por ejemplo la pared, el pizarrón, etc.

AXIOMAS:

1. Por un punto pasan infinitas rectas.

2. Por una recta pasan infinitos planos

3. Dos puntos distintos determinan una recta a la cual pertenecen.

4. Tres puntos no alineados determinan un plano al cual pertenecen


53

SEMIRRECTA: es una sucesión infinita de puntos alineados que tiene

principio pero no tiene fin. Se nombra el origen (donde comienza) y un punto cualquiera por donde pasa, con una flecha sobre ellos.

SEMIRRECTAS OPUESTAS : son aquellas que tienen el mismo origen pero van en sentido contrario. a m p

ma y mp son semirrectas opuestas SEGMENTO : es una sucesión infinita de puntos alineados que tiene principio y fin.

Se nombra los puntos origen y extremo con letras minúsculas, y con una rayita sobre ellos.

SEMIPLANO : es una porción de plano limitada por una recta

El plano se divide en dos semiplanos Spl ( R, a ) Spl ( R, b )

SEGMENTOS CONSECUTIVOS : son aquellos que el origen de uno coincide con el extremo del otro. segmentos consecutivos no alineados segmentos consecutivos, alineados pues no están en la misma recta. , pues pertenecen a la misma recta

POSICIONES RELATIVAS de 2 RECTAS en el PLANO: Las rectas incluidas en un mismo plano se llaman coplanares y pueden ser incidentes ( si tienen un punto en común) o paralelas ( si no tienen ningún punto en común) Incidentes oblicuas Incidentes Perpendiculares Paralelas


54

^

^ ^

^ ^

ANGULO : Un ángulo es la región del plano determinada por dos

semirectas cuyo origen es el mismo punto.

Elementos : Lado ba y bc ( Semirectas)

Vértice b ( punto)

Amplitud abc ( ángulo en grados ) En el ejemplo mencionado tenemos dos ángulos, el cóncavo y el convexo, por lo que otra manera de definir los ángulos es mediante la intersección de semiplanos que contengan a los diferentes puntos.

Clasificación de ángulos:

ÁNGULOS CONSECUTIVOS : Son aquellos que tienen el vértice y un lado en común

Si ob es semirecta en común Entonces los ángulos aob y boc son consecutivos

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS :

Dos ángulos se llaman así cuando la suma de sus amplitudes es igual a 90°.

abc + def = 90°

Clase Amplitud Clasificación

Cóncavo 180 º < < 360 º Cóncavo

Convexo

= 180 º Llano

90 º < <180 º Obtuso

= 90 º Recto

0 º < < 90 º Agudo

=0 º Nulo


55

^ ^

^ ^

^

^

^

^

^ ^

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Dos ángulos son suplementarios cuando la suma de sus amplitudes es igual a 180° abc + def = 180° Tanto los ángulos complementarios como los suplementarios pueden ser ángulos consecutivos ( es decir que tienen un lado en común y el mismo vértice) o no consecutivos ( estar “separados” pero sumar 90º o 180 º ) ÁNGULOS ADYACENTES :

Son aquellos que tienen un par de semirectas opuestas y un lado en común.

boa y aod oa semirecta en común

ob y od son semirectas opuestas Propiedad : Los ángulos adyacentes son suplementarios

boa + aod = 180° ÁNGULOS OPUESTOS por el VÉRTICE :

Se llaman así cuando los lados de uno son semirectas opuestas a los lados del otro.

boa oa es opuesta a oc

doc ob es opuesta a od

Propiedad : Los ángulos opuestos por el vértice son congruentes boa = doc SISTEMA SEXAGESIMAL: Para la medición de ángulos, se utiliza varios sistemas de medición ( centesimal, radianes) y siendo el mas usual el sistema sexagesimal, en el cual un giro completo esta dividido en 360 partes iguales ( grados ) , cada grado esta dividido en 60 partes iguales ( minuto ) y cada minuto en otras 60 partes iguales ( segundo ). Hagamos un ejemplo de cómo realizar sumas y restas en el sistema sexagesimal:

Suma de ángulos

Resta de ángulos

95 º 35 ´ 54 “ 94 º 95 ´ + 12 º 58 ´ 36 “

107 º 93 ´ 90 “ 95 º 35 ´ 54 “ + 1 º + 1 ´ - 60 “ - 12 º 58 ´ 36 “

108 º 94 ´ 30 “ 82 º 37 ´ 18 “ - 60 ´ 34 ´

95 º 35 ´ 54” + 12 º 58 ´36 “ = 108º 34 ´ 30 “

95 º 35 ´ 54 “ – 12 º 58 ´ 36 “ = 82 º 37 ´ 18 “


56

ANGULOS DETERMINADOS por DOS RECTAS y una TRANSVERSAL (para el siguiente tema denominar ángulos en los dibujos del apunte con los alumnos y luego descubrir nombres , significados y propiedades)

Si tenemos dos rectas B y C cortadas por una tercera A , llamada transversal se forman 8 ángulos. Los mismos se clasifican en :

Ángulos alternos:

Internos: 1 y 4 2 y 3

Externos: 5 y 8 6 y 7 Ángulos Conjugados:

Internos: 1 y 3 2 y 4

Externos: 5 y 7 6 y 8 Ángulos Correspondientes: Son los pares de ángulos que están en el mismo semiplano respecto de la transversal , pero no es interno y el otro es externo , y no son adyacentes.

ANGULOS entre PARALELAS En el caso particular donde las dos rectas M y N son paralelas y estan cortadas por la transversal R los ocho ángulos determinados entre ellas cumples las siguientes relaciones o propiedades. Ángulos alternos:

Propiedad : Son IGUALES

Internos c = f

d = e

Externos a = h

b = g

Ángulos Conjugados:

Propiedad : Son SUPLEMENTARIOS

Internos c + e = 180º

d + f = 180º

Externos a + g = 180º

b +h = 180º

Ângulos Correspondientes:

Propiedad : SON IGUALES a = e c = g b = f d = h

1 y 7 6 y 4

2 y 8 5 y 3


57

^ ^ ^

^ ^ ^

ResolverResolver

r

Ejercitación (básica a ampliar según el curso y objetivos propuestos, no incluye angulos entre paralelas ni ejercicios que incluyan la resolución de ecuaciones de primer grado con una incognita) :

Dibujar en una hoja aparte los siguientes ángulos indicando la clasificación de cada uno:

1 = 67 º 2 = 0 º 3 = 123º

4 = 180 º 5 = 45 º 6 = 255º Medir y clasificar los ángulos interiores en las siguientes figuras:


58

Marca con una cruz la respuesta correcta

A veces Siempre Nunca

Dos ángulos consecutivos son Adyacentes

Dos ángulos adyacentes son Suplementarios

Dos ángulos opuestos por el vértice son Congruentes

Dos ángulos rectos son Suplementarios

Dos ángulos opuestos por el vértice son Adyacentes

Dos ángulos opuestos por el vértice son Complementarios

Dos ángulos agudos son Complementarios

Dos ángulos adyacentes son Consecutivos

Dos ángulos obtusos son Suplementarios

Dos ángulos opuestos por el vértice son Suplementarios

Dos ángulos adyacentes son Opuestos p/ el vertice

Dos ángulos rectos son Complementarios

Dos ángulos suplementarios son Adyacentes

Teniendo en cuenta el concepto de complemento y suplemento , completar

El suplemento de un ángulo agudo es ....................... El suplemento de un ángulo nulo es ..........................

El suplemento de un ángulo obtuso es ...................... El complemento de un ángulo agudo es .......................

El suplemento de un ángulo recto es ........................ El complemento de un ángulo nulo es .......................

El suplemento de un ángulo llano es ......................... El complemento de un ángulo recto es.......................

Si un ángulo es congruente con su complemento =

Si un ángulo es congruente con su suplemento =

Si dos ángulos y tienen el mismo complementos y son

Si dos ángulos y tienen el mismo suplementos y son

Marca con una cruz en Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda

Verdadero Falso

Dos ángulos adyacentes son consecutivos

Dos ángulos adyacentes son complementarios

Dos ángulos adyacentes son suplementarios

Dos ángulos consecutivos son adyacentes

Dos ángulos suplementarios son adyacentes

Dos ángulos opuestos por el vértice son congruentes


59

Halla el valor de cada ángulo indicado en los dibujos siguientes: (Justificar en cada caso)

Resolver cada una de las siguientes operaciones:

47º 52´ 39“ + 85º 24´ 45“ = 95º 12´ 21” - 53º 50´ 28” =

26º 14´ 30“ + 57º 50´ 9“ = 126º 14´ 30” - 57º 50´ 9” =

Hallar el valor de cada uno de los siguientes ángulos. (Justificar en cada caso)


60


61

Observando el plano adjunto de nuestra ciudad responde las siguientes preguntas:

Nombra dos calles que sean paralelas ………………………………………………………………..

Nombra dos calles que sean perpendiculares …………………………………………………….

Nombra dos calles que sean paralelas y estén separadas entre si seis cuadras

……………………………………………………………………………………………………………………………….

Nombra dos calles que forman un ángulo agudo entre si. Mídelo.

…………………………………………………………………………………………………………………………………

Nombra dos calles que formen un ángulo obtuso entre ellas. Mídelo …………………………………………………………………………………………………………………………………

¿Qué ángulo forma la calle Libertad con la ruta 22? …………………………………….

¿Qué ángulo forma la calle Santa Fe y la Avenida Riavitz? …………………………..

¿Qué ángulo forma la calle Corrientes con la horizontal? (Dirección Este-Oeste) ………….

Marca la ubicación de la escuela. Traza una línea entre el centro de la plaza y la escuela. Que ángulo forma dicha línea con el Norte. …………………………………………………..

Indica las calles que limitarían un rectángulo cuya superficie fuera aproximadamente 8 cuadras …………………………………………………………………………………………………………………………

¿Qué calles delimitarían una forma aproximada a un paralelogramo? ……………….……………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………

¿Qué calles encerrarían una figura que se aproxime a un trapecio rectángulo? ……………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………

Marca el perímetro delimitado por las calles Zabaleta , San Juan, Nacimiento y Mendoza. ¿Qué figura se forma? Mide los ángulos interiores . Verifica su suma.

……………………………………………………………………………………………………………………………………

……………………………………………………………………………………………………………………………………

Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – Potenciación y Radicación - Prof : Pérez Pertino , J. Pablo

62

POTENCIACIÓN: Es la operación que indica la multiplicación sucesiva de un mismo número b (llamado base), tantas

veces como lo indique un número e ( llamado exponente)

p = bn bn = b . b . b . . . . . . . . . . . . .b = p

n veces

Ejemplos: (3)4 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81 (0,2)3 = (0,2) . (0,2) . (0,2) =0,008

16

25

4

5

4

5

4

52

125

8

5

2

5

2

5

2

5

23

CASOS ESPECIALES:

1) El uno como exponente : a 1 = a Ej: 5 1 = 5 El resultado es la base

2) El uno como base : 1 n = 1 Ej: 1 6 = 1 Pues : 1.1.1.1.1.1= 1 El resultado es 1

3) El uno como base y exponente : 1 1 = 1 Por cumplimiento de las condiciones 1) y 2)

4) El cero como exponente : a 0 = 1 Ej: 7 0 = 1 El resultado es siempre 1 Demostración : Tomando la propedad de Cociente de potencias de igual base ( Ver punto siguiente) a 5 – 5 = a 0 = a 5 = a. a .a . a . a = Simplificando = 1

a 5 a .a . a . a .a

5) El cero como base 0 n = 0 Ej: 0 3 = 0 Pues : 0.0.0 = 0 El resultado es siempre 0

6) El cero como base y exponente : 0 0 = indeterminado Como base daría : 0 0 = 0 Como exponente daría: 0 0 = 1

Como se ve ambos resultados son distintos.

REGLA DE LOS SIGNOS:

1) Base positiva : Exponente par : El resultado es positivo ( + 8) 2 = + 64

Exponente impar : El resultado es positivo ( + 5) 3 = + 125

2) Base negativa : Exponente par : El resultado es positivo ( - 3) 2 = + 9

Exponente impar : El resultado es negativo ( -2 ) 5 = - 32 El único caso en que la potencia es negativa es cuando la base es negativa y el exponente impar.

n= exponente

b=base p= potencia o resultado


63

ResolverResolver

r

ResolverResolver

r

Calcular el valor de las siguientes potencias :

1. 33 2. 42 3.

28,0 4. 21,1 5.

045

6. 33 7.

151 8. 100 9. 41 10.

064,0

11. 33 12. 1125,0 13.

375,0 14. 22,1 15.

264,0

16. 3

2

1

17.

3

2

1

18.

27,0

19. 225,1 20.

36,1

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN:

1)Producto de potencias de igual base: Se suman los exponentes mnmn xxx .

Ej: a 3 . a 2 = a 3 + 2 = a 5

2 3 . 2 . 2 0 . 2 5 = 2 3 + 1 + 0 + 5 = 2 9

(- 3) -1 . ( -3) 0 . (-3) 4= ( -3 ) - 1 + 0 + 4 = ( -3 ) 3

2)Cociente de potencias de igual base: Se restan los exponentes mnmn xxx :

Ej: a 5 : a 2 = a 5 - 2 = a 3

5 3 : 5 -1 = 5 3 –(-1) = 5 4

(- 7) 5 : ( -7) 2 = ( -7 ) 5 - 2 = ( -7 ) 3

3)Potencia de otra potencia: Se multiplican los exponentes mnmn xx .

Ej: 1025 aa 25644 632 1333 00.1.4

014

Aplicar propiedades de la potenciación

1) 35 10:10 2) 323 3) 18157 118:3.3

4) 47

2

1:

2

1

5) 1

3

3

2

6) 209101.1.1

7) 4

6

8,0:5

4

8) 58

75,0:4

3

9) bb .4

10) 25 : xx 11) ppp .. 02 12) 34 :.. hhhh

13) m

m4

14) 3

26

2

.

p

pp

15) 2654 : rr


64

ResolverResolver

r

ResolverResolver

r

4) Propiedad distributiva:

SE CUMPLE NO SE CUMPLE

Respecto al producto nnnbaba ..

Ej: ( 3 . 5 ) 2 = 3 2 . 5 2

15 2 = 9 . 25

225 = 225

Respecto a la suma nnnbaba

Ej: ( 4 + 6 ) 2 4 2 + 6 2

10 2 16 + 36

100 52

Respecto al cociente nnnbaba ::

Ej: ( 16 : 8 ) 2 = 16 2 : 8 2

2 2 = 256 : 64

4 = 4

Respecto a la resta nnnbaba

Ej: ( 7 - 3 ) 2 7 2 - 3 2

4 2 49 - 9

16 40

CONCLUSIÓN : La potencia es distributiva respecto del producto y el cociente , y no lo es respecto de la suma y la resta.

Aplicar la propiedad distributiva ( o su reciproca : asociativa ) de la potencia cuando sea posible :

1.

2

12

3

2. 1

2

4.4

1

3.

22

9

5.

4

3

4. 3108 5. 22.4 6. 372

7. 323:2 8. 24

51:5

9. 32

5:3

POTENCIA CON EXPONENTE NEGATIVO:

Por ejemplo :

27

1

3

1

333

1

33333333

33333

3

3333:3

38

538585 quedandoSimplifica

8

27

2

3

3

233

16

1

4

14

2

2

125

27

5

3

3

533

Calcular el valor de las siguientes potencias con exponente negativo :

1) 34 2) 3

4

3) 275,0

4) 32,1

5) 3

2

6) 2

4

1

7) 1

5

3

8)

2

5

3

9)

2

8

1

10)

23,2

Toda potencia con exponente negativo es igual a otra potencia con la base

invertida y el mismo exponente pero positivo. Se conserva el signo de la base r

r

r

bbb

11


65

ResolverResolver

r

NOTACIÓN CIENTÍFICA:

Las potencias de 10 tienen especial importancia , tanto en Matemática como en otras ciencias , ya que nos permiten escribir números muy grandes o muy pequeños en forma sencilla.

Por ejemplo la masa de un protón es 1,67 . 10 –27 kg. , y la masa de la Tierra es 5,98 . 10 24 kg.

Escribir un número en notación científica es expresarlo como el producto de una potencia de 10 por otro número , cuyo valor absoluto es mayor o igual que 1 y menor que 10

647,25 tiene 3 cifras enteras , por lo tanto tenemos que desplazar la coma hacia la izquierda dos lugares . Entonces queda 647,25 = 6,4725 . 10 2

0,00000894 tiene una cifra entera nula , por lo tanto tenemos que desplazar la coma hacia la derecha hasta la primer cifra decimal no nula, es decir seis lugares. . Luego 0,00000894 = 8,94 . 10-6

Los cálculos con números muy grandes o muy pequeños se realizan fácilmente al trabajar con notación científica:

67568

5

68

10.810.8,010.6,3

2,1.4,2

10.6,3

10.2,1.10.4,2

000036,0

0000012,0.240000000

Expresar en notación científica:

324000000= 0,000574= 1500000= 0,00000000045=

98 . 107 = 52,4 . 10-11 = 0,27 . 10-13= 0,00037 . 10-2

El radio de un protón que mide 0,00000000005 m

La distancia recorrida por la luz en un año (siendo la velocidad de la luz 300 000 km/seg)

La distancia de la estrella más cercana a la tierra que se encuentra a 4 300 años luz

El tiempo que tardaría un cohete que viaja a 9 500 km/h en llegar a dicha estrella.

El tamaño del virus del resfrío común que mide 0,0000000022 m

Una micra ( milésima de milímetro) en metros.

Distancia de la Tierra a la Luna 400 000 km

Distancia de la Tierra al Sol: 150 000 000 km

RADICACIÓN: Es la operación inversa de la potenciación. (Así como la división lo es de la multiplicación y la resta de la suma)

Se llama raíz enésima de un número a al número b tal que b elevado al exponente n de por resultado el número a

n n

a = b a = b

Observación: En este curso trabajaremos con raíces cuyo resultado sean racionales (exactas).

n= índice b= raiz o resultado

= Signo radical a= Radicando


66

ResolverResolver

r

Ejemplos:

49

23

49

23

2

3

4

92

2

Pues

125

27

5

3

5

3

125

273

3

Pues 273327

33 Pues

REGLA DE LOS SIGNOS:

Índice par Radicando positivo : La raíz es doble tomando valores opuestos

255525

255525

2

2

Radicando negativo : No existe Solución en los números racionales

49497

49497

49

2

2

queya

RenExisteNo

Índice impar Radicando positivo : El resultado es positivo 8228

33

Radicando negativo El resultado es negativo 27332733

CONCLUSION: Si el índice es impar la raíz tiene el mismo signo del radicando

Calcular las siguientes raices ( Cuando sea posible )

1. 121 2. 3 27 3. 4 4.

3 8

5. 100

81 6. 81

25 7. 3

1258 8. 21,1

9. 09,0 10. 3125 11. 16,0 12. 3 9

13. 3 875,01

14. 4 216

49 15.

2

3

64

1

16. 25,0

2

1

17. 100000 18. 5 32 19. 625 20. 3 64

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA

SE CUMPLE NO SE CUMPLE

Respecto al producto nnn baba ..

1010

5.21000

125.8125.8

3

333

Respecto a la suma nnn baba

75

4325

169916

Respecto al cociente nnn baba ::

22

3:64

9:369:36

Respecto a la resta nnn baba

24

3516

925925


67

ResolverResolver

r

ResolverResolver

r

ResolverResolver

r

ResolverResolver

r

PROPIEDAD ASOCIATIVA ( Reciproca de la DISTRIBUTIVA)

Respecto al producto nnn baba ..

1212

17283.4

27.6427.643

333

Respecto a la suma nnn baba

1723

289815

6422564225

Respecto al cociente nnn baba ::

1010

1002:20

4:4004:400

Respecto a la resta nnn baba

51

251213

144169144169

CONCLUSIÓN : La radicación es distributiva respecto del producto y del cociente , y no lo es respecto de la suma y la resta.

Aplicar la propiedad distributiva ( o su reciproca : asociativa ) de la radicación cuando sea posible :

1) 16

36:

9

25 2) 3

1000

27.

8

1

3)

3

64

125:

8

27

4) 33

4

1.

16

1 5)

22

2

3

2

5

6) 25

1.36.

9

1

7) 5,1.375,0 8) 3 364m 9) 44

227:6,2

Hallar el valor numérico de las siguientes expresiones:

1.

10

123 xx Para x = -1/2

2. xx10

3

5

32

Para x = 5/2

Plantear y resolver las siguientes ecuaciones : (Lenguaje coloquial)

Halla un número sabiendo que su triplo mas su cuarta parte es la segunda potencia de 1, 5

Si al cuadrado de un número lo disminuimos en 10 unidades obtenemos 90 ¿ Cual es el número ?

El cubo del doble de un número disminuido en la raíz cuadrada de 64 es equivalente al opuesto de -19 ¿Cual es el número?

La base y la altura de un rectángulo miden 5x y 3x respectivamente. Si la superficie es de 60 cm² ¿Cuánto miden la base y la altura del rectángulo?

Despejar la incógnita solicitada en las siguientes ecuaciones:

adespejaramF . cdespejarcba 222

xdespejarfdcbxa .

ddespejar

qdespejar

d

qqkF

2

2

2.1.


68

ResolverResolver

r

Ejercicios combinados Ecuaciones

333 6831:27 523 2 x

8.2125.545 330 142:32 x

12111233 543:39.3 712 x

2.2312.72:8 2 2154 x

2

3:423:75,0

1 202,0:45 x

2

25,0

5

15,14,2.1,0

27

371

3

1

2

33

x

2

3

27

86,01.375,01

25,015,075,0 x

320182

3

1:

3

1.

3

11

5

3 12

21,15,17,0.4 x

1

2

2

5

495.

25

4

5

3

40

13

5

43,0 3 x

224

3 6,012

1:

8

71

2,0136,0²4 x

3

10.3,0

2

14:

10

36,0 12

2

55,1

4

3 24 x

12

4,02:5

33,1

12

1.

3

1

11,02

1

11

16

5

3 2 x

Para mejor comprensión de los conceptos y algoritmos usados en las ecuaciones las mismas antes de su resolución deben expresarse en forma simbólica permitiendo el despeje de la incógnita.

Ejemplo 27

371

3

1

2

33

x puede expresarse como dcbax

3

Y entonces : abcdx :3

Matemática 1º Año – Epet Nº 9 – SIMELA - Prof : Pérez Pertino , J. Pablo

69

SIMELA (un tema que nos permite ver muchos temas anteriores desde otra óptica )

Introducción:

El hombre desde las civilizaciones más antiguas necesito construir casas, delimitar tierras para cultivo , comerciar con los vecinos , o conocer el movimiento de los astros.

Para ello fue necesario MEDIR : Medir longitudes , áreas , volúmenes , pesos y tiempos , como así también establecer un sistema monetario ( que permitió dejar atrás el trueque)

El problema a lo largo de la historia fue la diferencia de criterios adoptados para medir , es decir la diferencia de unidades con que podía ser comparado algo, mas si tomamos en cuenta que los sistemas en la antigüedad se basaban en partes del cuerpo humano (pie, pulgada, codo , palmo , ect..)

La gran diversidad de unidades y el incremento del comercio y las comunicaciones hizo cada vez más evidente la necesidad de unificar las unidades de medida.

SIMELA:

Durante la Revolución Francesa , mediante una ley (7/4/1795) se creo el Sistema Métrico Decimal . En 1840 fue obligatorio para toda Francia. En nuestro país se adopto por ley en 1863. El 7 de marzo de 1972 se creo por ley en nuestro país el SIMELA (Sistema Métrico Legal Argentino) basado en el Sistema Métrico Decimal Internacional (SI)

EL VALOR DE ESTE SISTEMA NO RESIDE EN EL TAMAÑO DE SUS UNIDADES SINO EN SU LOGICA , que permite a partir de unidades fundamentales (tomadas arbitrariamente) obtener mediante simples conversiones los múltiplos y submúltiplos de cada magnitud utilizada.

MAGNITUD: Cualidad de un cuerpo o fenómeno que referida a una unidad de la misma especie puede medirse.

En forma simple podemos decir que Magnitud es todo aquello que puede medirse

MAGNITUDES FÍSICAS:

Son las propiedades de los cuerpos y de los procesos naturales que pueden medirse.

Medir una magnitud física es COMPARAR dicha cantidad con un patrón o cantidad de la misma magnitud previamente definida como unidad , determinando el número de veces que lo contiene y expresando el resultado como un número seguido de

la correspondiente unidad.

CANTIDAD : es el resultado de la medición expresada en las unidades elegidas.

6 m Número (6) Unidad (m) Cantidad (6 m) ( de la magnitud llamada longitud)

Las cantidades pueden compararse y operarse entre si cuando son homogéneas , para ello deben llevarse las distintas cantidades medidas a una sola unidad (Reducción)

MEDIR: Es comparar con una unidad


70

UNIDAD:

Es la cantidad elegida como término de comparación para medir las demás cantidades de la misma especie

Para indicar los múltiplos y submúltiplos de cualquier unidad en el sistema Internacional se usan los siguientes prefijos:

Las magnitudes pueden dividirse en Fundamentales y Derivadas. Las primeras no pueden definirse en función de ninguna otra (Ej: Longitud , masa , tiempo) En cambio las segundas se definen a partir de las fundamentales como una combinación de ellas.(Ej: Superficie ,Volumen , Densidad, Velocidad , ect..)

PREFIJO Abreviatura Equivalencia respecto a la Unidad

Expresión Científica

Tera T 1.000.000.000.000 1012

Giga G 1.000.000.000 10 9

Mega M 1.000.000 10 6

Kilo K 1.000 10 3

Hecto H 100 10 2

Deca Da 10 10 1

UNIDAD 1

Deci d 0,1 10-1

Centi c 0,01 10-2

Mili m 0,001 10-3

Micro 0,000001 10-6


71

LONGITUD :

Es la magnitud que indica la extensión de un cuerpo en una dimensión. (Ej : el largo del pizarrón , el ancho de una hoja , la altura de un edificio) Sus unidades varían de 10 en 10

Múltiplos Unidad Submúltiplos

Nombre Kilómetro Hectómetro Decámetro Metro Decímetro Centímetro Milímetro

Símbolo Km Hm Dam m dm Cm mm

Equivalencia 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Observación: Para hacer las reducciones mostradas en los ejemplos se debe tener en cuenta:

Colocar la unidad del número en la unidad de la magnitud correspondiente

Completar el numero a izquierda y derecha

Ejemplos Km Hm Dam m dm cm mm

147,5 dam a cm 1 4 7 5 0 0 147,5 dam = 147.500 cm

0,047 m a Hm 0, 0 0 0 4 7 0,047 m = 0,00047 Hm

SUPERFICIE :

Es la magnitud que indica la extensión de un cuerpo en dos dimensiones. (Ej : la extensión del pizarrón o de una hoja de papel) Sus unidades varían de 100 en 100


Nombre Kilómetro cuadrado

Hectómetro

cuadrado

Decámetro

cuadrado

Metro

Cuadrado

Decímetro

cuadrado

Centímetro

Cuadrado

Milímetro

Cuadrado

Símbolo Km² Hm² Dam² m² dm² cm² Mm²

Equivalencia 1.000.000 10.000 100 1 0,01 0,0001 0,000001

Ejemplos Km² _ Hm² _ Dam² _ m² _ dm² _ cm² _ mm²

0,00505 Hm² a m² 0 0 0 5 0, 5 0,00505 Hm² = 50,5 m²

43,25 dm² a dam² 0, 0 0 4 3 2 5 43,25 dm² = 0,004325 dam²

VOLUMEN :

Es la magnitud que indica el espacio ocupado por un cuerpo. (Ej : El lugar que ocupa la yerba , el azucar en un paquete cerrado) Sus unidades varían de 1.000 en 1.000


Nombre Kilómetro cúbico Hectómetro

Cúbico

Decámetro

cúbico

Metro

cúbico

Decímetro

Cúbico

Centímetro

Cúbico

Milímetro

Cúbico

Símbolo Km3 Hm3 Dam3 m3 dm3 cm3 Mm3

Equivalencia 1.000.000.000 1.000.000 1000 1 0,001 0,000001 0,000000001


72

Ejemplos Km3 _ _ Hm3 _ _ Dam3 _ _ m3 _ _ dm3 _ _ cm3 _ _ mm3

0,0187 Hm3 a dm3 0 0 1 8 7 0 0 0 0 0 0,0187 Hm3 =18.700.000 dm3

72,8 m3 a dam3 0, 0 7 2 8 72,8 m3 = 0,0728 dam3

CAPACIDAD :

Es la magnitud que indica el espacio libre de un cuerpo. (Ej : el lugar vacío en una botella ) Sus unidades varían de 10 en 10

MASA :

Es la magnitud que indica la cantidad de materia que forma un cuerpo. ( El peso de un cuerpo esta en relación con su masa y es lo que medimos con una balanza) Sus unidades varían de 10 en 10


Nombre Kilogramo Hectogramo Decagramo Gramo Decigramo Centigramo Miligramo

Símbolo Kg Hg Dag g dg cg mg

Equivalencia 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Ejemplos Kg Hg Dag g dg cg mg

240 cg a kg 0, 0 0 2 4 0 240 cg = 0,00240 kg

3,25 dag a dg 3 2 5 3,25 dag = 325 dg

Relaciones entre las unidades de volumen , capacidad y masa/peso :

La equivalencia básica esta dada por la definición de que 1 litro corresponde a 1 dm3 y que para agua destilada en condiciones particulares de presión y temperatura corresponde a 1 kg

VOLUMEN m3 dm3 cm3

CAPACIDAD Kl l (litro) ml

MASA /PESO T (Tonelada) Kg g (gramo)

Ejemplo: Pasar 140 dg a dm3

Para hacer esta reducción debemos pasar los 140 dg a kg que es la unidad que coincide con el dm3

Así tendríamos que 140 dg = 0,0140 kg = 0,0140 dm3


Nombre Kilolitro Hectolitro Decalitro Litro Decilitro Centilitro Mililitro

Símbolo Kl Hl Dal l dl cl Ml

Equivalencia 1.000 100 10 1 0,1 0,01 0,001

Ejemplos Kl Hl Dal l dl cl ml

88,005 Hl a dl 8 8 0 0 5 88,005 Hl = 88.005 dl

53.4 cl a l 0, 5 3 4 53,4 cl = 0,534 l


73

Sistema agrario:

Para medir la superficie de campos la unidad m² resulta muy pequeña , por lo que se adoptan las llamadas medidas agrarias. (esta palabra proviene del latín agro que significa campo) La unidad elegida es el área que coincide con el decámetro cuadrado. Hay un solo múltiplo y un solo submúltiplo.

Múltiplo Unidad Submúltiplo

Nombre Hectárea área Centiárea

Símbolo Ha a ca

Equivalencia en superficie

Hm² dam² m²

Valor en m² 10.000 100 1

Ha a ca

Ejemplos Hm² Dam² m²

14,45 dam² a Ha 0, 1 4 4 5 14,45 dam² = 0,1445 Ha

2326 ca a a 2 3, 2 6 2326 ca = 23,26 a

Sistema Horario

Para la medición del tiempo usamos un sistema sexagesimal (la unidad se divide en 60 partes no en 10 como en el

sistema decimal)

Segundo= 1 s

Minuto= 1 min = 60 s

Hora= 1 h = 60 min = 3600 s

Día= 1 d = 24 h = 1440 min 86400 s

Sistema Inglés

Solo mencionaremos algunas de las unidades más frecuentes:

LONGITUD Nombre

Simbolo Equivalencia en sistema ingles

Valor aprox. En cm

Pulgada in 2,54 cm

Pie ft 12 in 30,48 cm

Yarda yd 3 ft 91,44 cm

1 milla terrestre equivale a 1609, 32 m ( aproximadamente 1.600 metros) 1 milla marina equivale a 1.853,15 m ( aproximadamente 1.850 metros)

Unidades de superficie: yarda cuadrada , pie cuadrado y pulgada cuadrada

Unidades de volumen : Yarda cúbica , pie cúbico y pulgada cúbica

Unidades de peso/masa :

1 libra = 16 onzas ( equivale a 453,593 g – aproximad. 450 g)

1 onza equivale a 28,344 g – aproximadamente 28 g)


74

ResolverResolver

r

Ejercitación (básica a ampliar según el curso y objetivos propuestos) 1. Completar el siguiente cuadro

25,3 m dm 2530 Dam

42,05 Hm 42050 4,205 mm

4,81 cm m 0,000481 dm

423 mm Dam Hm 0 ,423

0,0055 Km cm 5500 Hm

249,001 Dam mm 24900,1 m

842,8 m² mm² 0,08428 dm²

0,007 Hm² 0,7 7000 m ²

327 cm² m² 0,000327 Dam²

0,725 dm² Hm² 0,00725 72500

2. Pasa a la unidad indicada y ordena en forma creciente:

Pasar a dm : 432 cm ; 5/2 m ; 5000 mm ; 3/40 dam

Pasar a kg : 5.9 hg ; 599 g ; 15.000 dg ; 7/5 dg

Pasar a m² : 75.000 cm² 0,751 dm² 72/1000 dam² 751.400 mm²

3. Expresar en metros :

3,25 km – 1,13 dam

5,26 Hm +0,28 dam + 5 m

2,5 dm+ ¾ dam + ½ Hm

4. Expresar en m² 32,3 dam² -0,1508 Hm²

4/5 Hm² -1708 m² +450,7 dm²

7/2 dm² +150 cm²

5. ¿ Cuantos vasos de 5 dl podrán llenarse con una docena de botellas de ¾ litro ?

6. Si una persona da pasos de 85 cm ¿Cuántos pasos debe dar para recorrer 45,3 Dam?

7. ¿Cuantas latas de gaseosa de 355 cm3 son necesarias para llenar una botella de 2 litros ¼ ? ¿ Cuantos dl sobran de la última lata ? ¿Qué porcentaje representa del volumen de una lata?

8. Para obtener 1,35 kg ¿Cuántos dg se deben agregar a 50.000 cg?

9. En un camino de 25 km se habilita ¼ parte del mismo y un mes después se habilitan 3/5 más de su longitud ¿Cuántos Dam faltan habilitar?

10. Se plantaron las 2/3 parte de un campo rectangular cuyas dimensiones son 3,5 Hm por 450 m ¿Qué superficie libre queda? ¿Qué porcentaje queda libre del terreno y que porcentaje se planto?

11. Con una botella de gaseosa de 1,5 litros se llenaron 2 vasos de 2 dl cada uno .Indicar el porcentaje que queda de líquido en la botella

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Eduardo Víctor Gatti Plottier - Espacio Digital · Resolver situaciones problemáticas aplicando conceptos de SIMELA las equivalencias de unidades necesarias Resolver situaciones