관계와 - elearning.kocw.netelearning.kocw.net/KOCW/document/2016/cup/weonsumghyun/5.pdf · 교수-학생 관계 등을 말함 • 컴퓨터 시스템에서의 관계 • 하드웨어를

소프트웨어학과 원성현 교수 1

5장 관계


1. 관계와 이항관계

• 일상생활에서의 관계 • 주로 인간과 인간의 관계로 가족 관계, 친구 관계, 직장 동료 관계, 교수-학생 관계 등을 말함

• 컴퓨터 시스템에서의 관계 • 하드웨어를 구성하는 각 파트의 관계, 데이터와 데이터 간의 관계 등을 말함 • 데이터와 데이터 간의 관계 예

• 아래에 있는 교수정보 테이블과 학생 정보 테이블은 각각 교수 및 학생에 대한 정보를 갖고 있고, 이 두 테이블에 속한 데이터들이 일정한 관계를 맺으면서 새로운 관계인 수강신청 정보라는 테이블을 생성함

관계

교수 정보

학번 학생명 학과

학생 정보

학번 학생명 학과 과목코드 과목명 교수명

수강 신청 정보

교번 교수명 학과



• 관계(relation)의 정의 • 서로 다른 두 집합이 A, B가 있을 때, A에서 B로의 관계 R은 그 두 집합의 원소 a와 b의 순서쌍들의 모임으로 정의함 • 예 : A={철수, 영희, 기훈, 미정, 소희}, B={남자, 여자}일 때 관계 R을 사람과 성별의 관계로 정의한다면 R={(철수,남자), (영희,여자), (기훈,남자), (미정,여자), (소희,여자)}임 • 일반적으로 관계라고 하면 이항(2항)관계(binary relation)라고 보면 됨

• 이항이 넘는 경우에는 3항(3-ary)관계, n항(n-ary)관계로 명확히 명시해야 함

• 이항관계는 두 집합의 원소 a, b가 관계 있을 때 aRb로 쓰고, 관계가 없다면 a℟b로 표기함

• aRb⇔(a,b)∈R, a℟b⇔(a,b)∉R • 이항관계를 표현하는 순서쌍에서 먼저 나오는 것을 정의역(domain), 뒤에 나오는 것을 치역(range)이라고 말함

• 정의역 : Dom(R)={a｜(a,b)∈R}⊆A • 치역 : Ran(R)={b｜(a,b)∈R}⊆B



• 이항관계 예 • 예 1

• 두 집합 A, B에서 A={0, 1, 2}이고, B={1, 2, 3}이라고 하자. 집합 A의 원소 x, 집합 B의 원소 y에 대해 x가 y보다 작은 관계의 집합을 구하라.

• 0<1이므로 0R1 • 0<2이므로 0R2 • 0<3이므로 0R3 • 1≮1이므로 1℟1

• 1<2이므로 1R2 • 1<3이므로 1R3 • 2≮1이므로 2℟1 • 2≮2이므로 2℟2

• 2<3이므로 2R3 • 따라서 집합 A와 B의 곱집합의 원소 9개 중에서 주어진 관계를 만족하는 집합 R={(0,1), (0,2), (0,3), (1,2), (1,3), (2,3)}임



• 예 2 • 두 집합 A={1, 2}, B={1, 2, 3}이라고 할 때, 이항관계 R이 (a,b)∈AⅹB, (a,b)∈R⇔‘a-b는 짝수’라고 하자. • AⅹB의 순서쌍과 관계 R의 순서쌍을 구하라.

• AⅹB의 순서쌍은 {(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), 2,3)} • 관계 R의 순서쌍은 {(1,1), (1,3), (2,2)}

• 1R3, 2R3, 2R2가 성립하는가? • 1-3은 짝수이므로 1R3 • 2-3은 홀수이므로 2℟3 • 2-2는 짝수이므로 2R2

• Dom(R)과 Ran(R)을 구하라. • Dom(R)={1, 2} • Ran(R)={1, 2, 3}

• 이항관계에서의 주의사항 • 이항관계에서의 순서쌍은 순서가 있기 때문에 xRy≠yRx임을 유의해야 함



• 3항관계의 예 • 세 집합 A, B, C에서 A={1, 2}이고, B={x, y, z}, C={3, 4}라고 하자. 집합 A, B, C의 곱집합 AⅹBⅹC를 구하라.

• {(1,x,3), (1,x,4), (1,y,3), (1,y,4), (1,z,3), (1,z,4), (2,x,3), (2,x,4), (2,y,3), (2,y,4), (2,z,3), (2,z,4)}

• 교과목의 학점 집합 A, 교과목 집합 B, 학생의 이름 집합 C에서 A={1, 2, 3}, B={이산수학, C언어프로그래밍}, C={홍길동, 이순신, 김유신}라고 하자. 집합 A, B, C의 곱집합 AⅹBⅹC를 구하라.

• 역관계(inverse relation) • 집합 A에서 집합 B로의 관계 R에 대한 역관계 R-1은 집합 B에서 집합 A로의 관계를 나타내며 관계 R의 순서쌍 내의 순서를 바꾸는 것으로 손쉽게 표현할 수 있음 • 예

• 두 집합 A, B에서 A={1, 2, 3}, B={3, 4}일 때 관계 R={(1,3), (2,3), (2,4), (3,4)}이라고 하자. 관계 R의 역관계 R-1을 구하라. • R-1={(3,1), (3,2), (4,2), (4,3)}


2. 관계의 표현

• 화살표 도표(arrow diagram) • 집합 A의 원소 a와 집합 B의 원소 b가 관계가 있을 때, a에서 b로 화살표를 연결함으로써 관계를 표현하는 기법 • 집합 A={1, 2, 3, 4}, 집합 B={a, b, c}일 때, 그들 사이에 다음과 같은 관계 R={(1,a), (1,c), (2,b), (3,a), (3,c), (4,b)}이 형성되어 있다면 화살표 도표로는 다음과 같이 표현할 수 있음

관계를 나타내는 다양한 표현

1 2 3 4

a b c


2. 관계의 표현

• 좌표 도표(coordinate diagram) • 집합 A의 원소 a와 집합 B의 원소 b가 관계가 있을 때, a를 x 좌표로, b를 y 좌표로 지정하여 x, y 좌표가 만나는 곳에 점으로 표현하는 기법 • 집합 A={1, 2, 3, 4, 5}, 집합 B={2, 3, 4}일 때, 그들 사이에 다음과 같은 관계 R={(1,2), (1,4), (2,3), (4,2), (4,4), (5,2), (5,3)}이 형성되어 있다면 좌표 도표로는 다음과 같이 표현할 수 있음

B

O A 1 2 3 4 5

1

2

3

4


2. 관계의 표현

• 방향 그래프(directed graph) • 관계 R이 두 집합 A, B에서 발생한 것이 아니라 자신(즉, A와 A 또는 B와 B)과의 관계일 때 주로 사용하는 표기법으로, 집합 A의 각 원소를 정점(vertex), (a,b)∈R인 경우 a에서 b를 연결하는 간선(edge)으로 표현하는 기법 • 집합 A={a, b, c, d}이고 관계 R={(a,b), (b,a), (a,d), (d,c), (c,c), (c,a)}이라면 방향 그래프로는 다음과 같이 표현할 수 있음

a b

d c


2. 관계의 표현

• 관계 행렬(relation matrix) • 관계를 나타내는 정보를 행렬을 이용하여 표현하는 방법으로 두 집합 A, B에서 A의 원소는 행(row), B의 원소는 열(column)에 표기하고, 원소 간에 관계가 있으면 행렬의 값을 1, 관계가 없으면 0으로 표현하는 기법

• M[i,j] ╔ 1 if (ai,bj)∈R ╘ 0 if (ai,bj) ∉R 단, i=1,2,…,n, j=1,2,…,m

• 집합 A={1, 2, 3}, B={2, 4, 6}이고 관계 R={(1,2), (1,4), (2,2), (3,4), (3,6)}이라면 관계 행렬로는 다음과 같이 표현할 수 있음

1 1 0

1 0 0

0 1 1

1

2

3

2 4 6


2. 관계의 표현

• 관계를 표현하는 예 • 집합 A={1, 2, 3, 4}, B={x, y, z}일 때, 이 둘의 관계 R={(1,y), (1,z), (3,y), (4,x), (4,z)}라 하자. • 관계 R을 화살표 도표, 좌표 도표, 관계 행렬로 표현하라.

1 2 3 4

x y z

B

O A 1 2 3 4

x

y

z

0 1 1

0 0 0

0 1 0

1 0 1

1

2

3

x y z

4

화살표 도표 좌표 도표 관계 행렬

소프트웨어학과 원성현 교수

3. 합성 관계

• 합성 관계(composite relation) • 세 집합 A, B, C에서 R1을 집합 A에서 집합 B로의 관계, R2를 집합 B에서 집합 C로의 관계라고 한다면 집합 A에서 집합 C로의 관계를 합성 관계라고 하고, R1·R2 또는 R1R2로 표기함

• R1·R2={(a,c)｜a∈A, c∈C, (a,b)∈R1이고, (b,c)∈R2}

• 예를 들어, 세 집합 A, B, C는 A={1, 2, 3, 4}, B={a, b, c}, C={x, y, z}이고, 집합 A에서 집합 B로의 관계 R, 집합 B에서 집합 C로의 관계 S가 다음과 같을 때 R·S를 구하라.

• R={(1,a), (1,b), (2,b), (3,a), (4,b), (4,c)} • S={(a,x), (b,y), (c,x), (c,z)}

합성 관계

1 2 3 4

a b c

x y z

1 2 3 4

x y z

12

관계 R 관계 S 관계 R·S

집합 A 집합 B 집합 C 집합 A 집합 C


3. 합성 관계

• 합성 관계의 관계 행렬 표현 예 • 세 집합 A, B, C는 A={1, 2, 3, 4}, B={a, b, c}, C={x, y, z}이고, 집합 A에서 집합 B로의 관계 R, 집합 B에서 집합 C로의 관계 S가 다음과 같을 때 R·S를 구하라.

• R={(1,a), (1,b), (2,b), (3,a), (4,b), (4,c)} • S={(a,x), (b,y), (c,x), (c,z)}

1 1 0

0 1 0

1 0 0

0 1 1

1

2

3

a b c

4

1 0 0

0 1 0

1 0 1

a

b

c

x y z 1 1 0

0 1 0

1 0 0

0 1 1

1

2

3

x y z

4



3. 합성 관계

• 합성 관계의 화살표 도표 표현 예 • 세 집합 A, B, C는 A={1, 2, 3, 4}, B={a, b, c, d}, C={x, y, z}이고, 집합 A에서 집합 B로의 관계 R, 집합 B에서 집합 C로의 관계 S가 다음과 같을 때 R·S를 구하라.

• R={(1,a), (2,d), (3,a), (3,b), 3,d)} • S={(b,x), (b,z), (c,y), (d,z)}

1 2 3 4

a b c d

x y z

1 2 3 4

x y z


집합 A 집합 B 집합 C 집합 A 집합 C


3. 합성 관계

• 항등 관계(identity relation) • 다음 조건을 만족하는 경우 IA를 집합 A에 대한 항등 관계라고 말함

• IA={(a,a)｜a∈A} • 곱셈의 항등원(1), 덧셈의 항등원(0)이 연산 결과에 영향을 주지 않듯이 항등 관계와 어떤 관계를 합성하든 결과 값에는 변화가 없음

• IA R=RIB=R • 예

• 집합 A={1, 2, 3, 4}, 집합 B={1, 2, 3}, 집합 A에서 집합 B로의 관계 R={(1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (4,2)}라고 하자. • IA ={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} • IB ={(1,1), (2,2), (3,3)} • IA R={(1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (4,2)} • IB R={(1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (4,2)} • RIA ={(1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (4,2)} • RIB ={(1,2), (1,3), (2,2), (3,1), (4,2)}


4. 관계의 성질

• 반사 관계(reflexive relation) • 집합 A의 모든 원소 x에 대하여 xRx이면, 즉 (x,x)∈R일 때 관계 R을 반사 관계라고 말함. 예를 들어, 집합 A={1, 2, 3, 4}일 때, 다음 관계는 모두 반사 관계임

• R1={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (3,4), (4,4)} • R2={(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} • R3={(3,2), (3,3), (4,4), (4,1), (2,3), (1,1), (2,2), (1,3)}

• 비반사 관계(irreflexive relation) • 집합 A의 모든 원소 x에 대하여 (x,x)∉R인 경우에 비반사 관계라고 말함. 예를 들어, 집합 A={1, 2, 3, 4}일 때, 다음 관계는 비반사 관계임

• R4={(1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,2)} • 예를 들어, 집합 A={1, 2, 3, 4}일 때, R5={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,2), (3,4), (4,2)}라면 R5는 반사 관계도 아니고, 비반사 관계도 아님

관계에 대한 여러 가지 성질

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4. 관계의 성질

• 대칭 관계(symmetric relation) • 집합 A의 임의의 원소 x, y에 대하여 (x,y)∈R일 때 (y,x)∈R이면 관계 R을 대칭 관계라고 말함. 예를 들어, 집합 A={1, 2, 3, 4}일 때, 다음 관계 R1은 대칭 관계임

• R1={(1,1), (1,2), (2,1), (3,3), (3,4), (4,3)} • 대칭 관계 예

• x, y가 자연수의 집합 N의 원소일 때 다음 관계가 대칭 관계인지 구분해보자.

• R2={(x,y)｜x∈N, y∈N, x+y=20} : x와 y의 합이 늘 20이어야 하므로 대칭 관계이다. • R3={(x,y)｜x∈N, y∈N, x≢y} : x=1, y=2일 때는 성립하지만, x=2, y=1일 때는 성립하지 않으므로 대칭 관계가 아니다.

• 반대칭 관계(anti symmetric relation) • 집합 A의 모든 원소 x, y에 대하여 (x,y)∈R이고, (y,x)∈R일 때 x=y이면 관계 R을 반대칭 관계라고 말함

• x와 y가 같지 않다면 (x,y)와 (y,x) 둘 중 하나만 R에 속함

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4. 관계의 성질

• 추이 관계(transitive relation) • 집합 A의 원소 x, y, z에 대하여 (x,y)∈R이고, (y,z)∈R이면 (x,z)∈R인 관계 R을 추이 관계라고 말함. 예를 들어, 집합 A={1, 2, 3}일 때, 다음 관계 R은 추이 관계가 아니고, S는 추이 관계임

• R={(1,1), (1,2), (2,2), (2,3)} : (1,2)와 (2,3)은 R의 원소이지만 (1,3)은 R의 원소가 아니기 때문임 • S={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3)}

• 추이 관계의 예 • 집합 A={a, b, c, d}일 때 다음 관계가 추이 관계인지 판별하시오. • R1={(a,a), (a,d), (b,c), (c,c), (c,a), (d,b), (d,d)} : (a,d)와 (d,b)는 R1의 원소지만, (a,b)는 R1의 원소가 아니기 때문에 추이 관계가 아님 • R2={(a,a), (b,b), (c,c), (d,b), (d,d)} : 추이 관계임 • R3={(a,a), (d,d)} : 추이 관계임 • R4={(a,d), (b,c), (d,a), (d,b)} : (a,d)와 (d,a)는 R4의 원소지만 (a,a)는 R4의 원소가 아니기 때문에 추이 관계가 아님

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4. 관계의 성질

• 방향 그래프로 표현된 추이 관계 성립 예

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a

b c

1 4

2 3

R1

R2

• (a,a)와 (a,b) 모두 R1의 원소이고, (a,b)도 R1의 원소임 • (a,a)와 (a,c) 모두 R1의 원소이고, (a,c)도 R1의 원소임 • (a,b)와 (b,b) 모두 R1의 원소이고, (a,b)도 R1의 원소임 • (a,b)와 (b,c) 모두 R1의 원소이고, (a,c)도 R1의 원소임 • 따라서, 추이 관계임

• (1,3)과 (3,4) 모두 R2의 원소이고, (1,4)도 R2의 원소임 • (2,1)과 (1,4) 모두 R2의 원소이지만, (2,4)는 R2의 원소

가 아님 • 따라서, 추이 관계가 아님


4. 관계의 성질

• 폐포(closure) • 집합 A에 대한 관계 R이 있고, 관계 R이 가질 수 있는 성질을 P 라고 할 때, 집합 A에 대한 관계 S가 관계 R을 포함하면서 성질 P를 갖는다면 관계 S를 관계 R에 대한 P의 폐포라고 함. 산술 연산에서는 통상 ‘닫혀있다’라고 함

• 반사 폐포(reflexive closure) • 집합 A에 대해 관계 R을 포함하면서 반사 관계를 갖는 S 즉, S=R∪{(a,a)｜a∈A}

• 즉, R을 그대로 갖고 있으면서 반사 관계도 성립해야 함 • 반사 폐포의 예

• 집합 A={1, 2, 3}이고, 관계 R={(1,1), (1,3), (2,1), (3,2)}라면 S={(1,1), (1,3), (2,1), (2,2), (3,2), (3,3)}은 반사 폐포임 • 대각선의 원소의 값을 모두 1로 만들어주면 손쉽게 반사 폐포를 만들 수 있음

관계의 폐포

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4. 관계의 성질

• 대칭 폐포(symmetric closure) • 집합 A에 대해 관계 R을 포함하면서 반사 관계를 갖는 S 즉, S=R∪{(b,a)∈AⅹA｜(a,b)∈R}=R∪R-1

• 즉, R을 그대로 갖고 있으면서 대칭 관계도 성립해야 함 • 대칭 폐포의 예

• 집합 A={1, 2, 3}이고, 관계 R={(1,1), (1,3), (2,1), (3,2)}라면 S={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,3), (3,1), (3,2)}임 • 대칭이 되는 원소의 값을 모두 1로 만들어주면 손쉽게 대칭 폐포를 만들 수 있음

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a

b c

R

d a

b c

R의 반사 폐포

d a

b c

R의 대칭 폐포

d


4. 관계의 성질

• 추이 폐포(transitive closure) • 집합 A에 대해 관계 R을 포함하면서 추이 관계를 갖는 S 즉, S=R∪{(a,c)∈AⅹA｜(a,b)∈R∧(b,c)∈R} • 추이 폐포의 예

• 집합 A={a, b, c, d}이고, 관계 R={(a,b), (b,b), (b,c), (c,a)}일 때 관계 R의 추이 폐포 S를 구하라. • (a,b)∈R이고, (b,b)∈R인데 (a,b)∈R이므로 OK! • (a,b)∈R이고, (b,c)∈R인데 (a,c)∉R이므로 (a,c) 추가! • (b,b)∈R이고, (b,c)∈R인데 (b,c)∈R이므로 OK! • (b,c)∈R이고, (c,a)∈R인데 (b,a)∉R이므로 (b,a) 추가! • (c,a)∈R이고, (a,b)∈R인데 (c,b)∉R이므로 (c,b) 추가! • 기존의 R={(a,b), (b,b), (b,c), (c,a)}에 (a,c), (b,a), (c,b)를 추가함 • 새로 추가된 (a,c), (b,a), (c,b)에 대해서도 추이 폐포가 성립되어야 하므로 2차로 (a,a), (c,c)를 추가해서 최종적으로 S={(a,b), (b,b), (b,c), (c,a), (a,c), (b,a), (c,b), (a,a), (c,c)}가 됨

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5. 동치 관계와 분할

• 동치 관계(equivalence relation) • 관계 R이 반사 관계, 대칭 관계, 추이 관계일 때 R을 동치 관계라고 말함 • 동치 관계의 예

• 집합 A={1, 2, 3, 4}이고, 관계 R={(1,1), (1,3), (2,2), (2,4), (3,1), (3,3), (4,2), (4,4)}가 있을 때 동치 관계임을 확인하라. • (1,1)∈R, (2,2)∈R, (3,3)∈R, (4,4)∈R이므로 반사 관계 성립 • (1,3)∈R, (3,1)∈R이므로 대칭 관계 성립 • (1,1)∈R이고, (1,3)∈R인데 (1,3)∈R이고, • (1,3)∈R이고, (3,1)∈R인데 (1,1)∈R이고, • (1,3)∈R이고, (3,3)∈R인데 (1,3)∈R이고, • (2,2)∈R이고, (2,4)∈R인데 (2,4)∈R이고, • (2,4)∈R이고, (4,2)∈R인데 (2,2)∈R이고, 그 외 모든 x,y에 대해 성립하여 추이 관계까지 성립하므로 동치 관계 성립

동치 관계와 분할

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• 동치류 또는 동치 클래스(equivalence class) • 집합 A에 대한 동치 관계를 R이라 할 때, A의 각 원소 x에 대하여 [x]를 R에 대한 x의 동치류라고 하고, [x]={y｜(x,y)∈R}로 표기함

• 몫집합(quotient set)

• 집합 A에 대한 동치 관계를 R이라 할 때, A의 각 원소 x에 대하

여 [x]를 R에 대한 x의 동치류라고 하면, 집합 A의 동치류의 모임

을 A의 몫집합이라 하고, ={[x]｜x∈A}로 표기함

• 분할(partition) • 공집합이 아닌 집합 A의 분할은 다음 조건을 만족하는 A의 부분집합의 모임 S={A1, A2, …, An}을 말함

• Ai≠ Ø, 1≢i≢n

• S=∪Ai

• Ai∩Aj=Ø, i≠j

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A━ R

i=1

n



• 동치류와 분할의 예 • 집합 A={1, 2, 3, 4}에 대한 동치 관계 R={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (3,4), (4,3), (4,4)}이라 할 때, 각 원소에 대한 동치류를 구하라.

• [1]=[2]={1, 2} • [3]=[4]={3, 4}

• 위와 같은 상황에서 이 동치류의 집합이 분할임을 보여라. • 동치류의 집합 {1, 2}를 A1, {3, 4}를 A2라고 하자. A1과A2

모두 공집합이 아니므로 분할이 되기 위한 첫 번째 조건이 성립한다. A1∪A2={1, 2, 3, 4}이므로 분할이 되기 위한 두 번째 조건도 성립한다. A1∩A2=Ø이므로 분할이 되기 위한 세 번째 조건도 성립한다. 따라서, 두 동치류 {1, 2}와 {3, 4}는 집합 A의 분할이다.

• 합동(congruence) • x≡y(mod m)와 같은 mod 합동이란 x와 y를 각각 m으로 나눴을 때 나머지가 같은 집합을 말하고, 예를 들어, 5일, 12일, 19일, 26일은 요일로서 mod 7에 대해 합동이라고 말함

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6. 부분 순서 관계

• 부분 순서 관계(partially ordered relation) • 집합 A에 대한 관계 R이 반사 관계, 반대칭 관계, 추이 관계일 때 R을 부분 순서 관계라고 말함 • 부분 순서 관계의 예

• 자연수의 집합 N이 관계 ≢에 대해 부분 순서 관계임을 확인하라. • 임의의 자연수 x에 대해 x≢x이므로 반사 관계이다. • x,y∈N일 때, x≢y이고 y≢x이면 x=y이므로 반대칭 관계이다. • x,y,z∈N일 때, x≢y이고 y≢z이면 x≢z이므로 추이 관계이다. • 따라서, 관계 ≢은 부분 순서 관계라고 말할 수 있다.

• 부분 순서 관계는 통상 ‘≲’로 표기함. 즉, 집합 A의 두 원소 x,y에 대하여 x,y∈R을 x≲y로 표기하고, ‘x가 y를 선행한다’고 읽음 • 관계 R이 집합 A에 대한 부분 순서 관계이면 순서쌍 (A,R)을 부분 순서 집합(partially ordered set : POSET)이라고 말함

부분 순서 관계

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• 비교 가능(comparable)과 비교 불가능(non comparable) • 부분 순서 집합 A의 두 원소 x,y가 x≲y 또는 y≲x이면 x와 y를 비교 가능하다고 말함 • 부분 순서 집합 A의 두 원소 x,y가 x≴y 또는 y≴x이면 x와 y를 비교 불가능하다고 말함 • 비교 가능과 비교 불가능의 예

• 자연수의 집합 N에 대해 관계 R={(a,b)∈NⅹN｜a｜b}(단, a｜b는 b가 a로 나누어 떨어지는 관계)라고 했을 때, a=2, b=4라면 2와 4는 비교 가능, a=2, b=5 라면 2와 5는 비교 불가능임

• 집합 A의 모든 두 원소가 비교 가능하면 집합 A를 선형 순서 집합(linearly ordered set)이라고 말함

• 선형 순서(linear order) • 관계 R이 부분 순서이고, a∈A, b∈A라면 aRb, bRa 또는 a=b 중 하나가 성립한다. • 이럴 경우 관계 ≲를 선형 순서 또는 선형 순서 관계(linearly ordered relation)라고 말함

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• 하세 도표(Hasse diagram) • 부분 순서 집합 (A,≲)를 그림으로 표현하고자 할 때 주로 쓰는 방식 • 다음과 같은 몇 가지 조건을 충족시키는 방향 그래프의 일종

• 방향 그래프지만 방향성은 제거함 • 모든 연결선은 트리와 같이 아래 방향으로 향하도록 그림 • 순환은 표시하지 않고 집합 A의 원소 x, y, z에서 x≲y이고 y≲z을 만족하는 y가 존재하지 않을 경우에만 x에서 z로의 연결을 그림

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1 3

2 4

4

2 3

1

반사 관계 제거

추이 관계가 있는 경우 화살표 제거

방향성 제거

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관계와 - elearning.kocw.netelearning.kocw.net/KOCW/document/2016/cup/weonsumghyun/5.pdf · 교수-학생 관계 등을 말함 • 컴퓨터 시스템에서의 관계 • 하드웨어를