eiπ10 MATEMÀTIQUES BATXILLERAT .MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -e iπ10 SUCCESSIONS - 3 - EXEMPLES: 1) És una successió la sèrie de nombres següents?..., 2, 1,0,1, 2,

  • View
    220

  • Download
    0

Embed Size (px)

Text of eiπ10 MATEMÀTIQUES BATXILLERAT .MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -e iπ10 SUCCESSIONS - 3 - EXEMPLES: 1)...

  • MATEMTIQUES BATXILLERAT -ei10 SUCCESSIONS

    - 1 -

    o SUCCESSIONS

    DEFINICI

    COM ANOMENEM A UNA SUCCESSI?

    TERME GENERAL

    CLCUL DEL TERME GENERAL

    OPERACIONS AMB SUCCESSIONS

    SUCCESSIONS RECURRENTS

    PROGRESSIONS ARITMTIQUES

    PROGRESSIONS GEOMTRIQUES

    CONCEPTES DINFINIT, DINFINITESIMAL I LES SEVES

    PROPIETATS

    LMITS DE SUCCESSIONS I LES SEVES PROPIETATS

    SUCCESSIONS CREIXENTS I DECRECIXENTS

    SUCCESSIONS CONVERGENTS I DIVERGENTS

    SUCCESSIONS INFINITESIMALS, INFINITSIM I

    INFINITSIMS EQUIVALENTS

    NMERO e

    CLCUL DE LMITS: LES INDETERMINACIONS

    PROBLEMES

  • MATEMTIQUES BATXILLERAT -ei10 SUCCESSIONS

    - 2 -

    DEFINICI DE SUCCESSI: successions

    Les successions sn les funcions que tenen com a domini el conjunt dels

    nombres naturals i com a recorregut un subconjunt dels reals. Per aix

    sanomenen funcions reals de variable natural.

    A tots els nombres naturals, els hi fem correspondre algun nombre real. Aix s

    equivalent a numerar aquest subconjunt de nombres reals: el primer, el segon,

    el tercer...

    Una successi ens la podem imaginar com una lleixa amb infinites guixetes, on

    hi anem posant nombres:

    a1, a2, a3, ... , an, ...

    El que tenen en com totes les successions s que tenen un primer terme que

    sanomena a1, i que tenen infinits termes ms.

    El terme n-ssim representa el nombre real que est en el lloc nmero n.

    N R

  • MATEMTIQUES BATXILLERAT -ei10 SUCCESSIONS

    - 3 -

    EXEMPLES:

    1) s una successi la srie de nombres segents?

    ... , 2, 1, 0,1, 2, ...

    No s una successi perqu no t un primer terme.

    2) s una successi la srie de nombres segents?

    2, 4, 6, 8, ...

    s una successi perqu t un primer terme que s 1 2a i infinits termes ms.

    ACTIVITATS PROPOSADES:

    1) s una successi la srie de nombres segents?

    ... , 4, 4, 0, 2, 4, ...

    2) s una successi la srie de nombres segents?

    1, 3, 5, 7, ...

  • MATEMTIQUES BATXILLERAT -ei10 SUCCESSIONS

    - 4 -

    N R

    a

    COM ANOMENEM A UNA SUCCESSI? successions

    A lhora danomenar una successi ho podem fer de diverses maneres, per

    dependr del tipus de successi que tenim.

    Una de les maneres, que s comuna a tots els tipus de successi, s

    anomenant uns quants termes.

    EXEMPLE:

    1) , 3, ln 2, 3, ...

    2) 2, 4, 6, 8, ...

    Els dos exemples sn successions ja que tenen un primer terme (el nombre i

    el nombre 2 respectivament), i ens les presenten anomenant els quatre primers

    termes.

    La diferncia en aquests dos

    exemples s que en el primer cas

    no veiem cap pauta o relaci entre

    els termes, per tant, s una

    ordenaci de nombres reals

    totalment aleatria. En canvi, en la

    segona successi podem veure una

    pauta clara entre els termes i en

    podem seguir anomenant uns

    quants ms:

    5 6 710, 12, 14, ...a a a

    La segona successi la podem anomenar dient: 2na n .

    Tamb la podem anomenar els nombres parells.

    n an

  • MATEMTIQUES BATXILLERAT -ei10 SUCCESSIONS

    - 5 -

    ACTIVITATS PROPOSADES:

    1) Escriu els quatre primers termes de la successi els nombres senars.

    2) Anomena la successi: 3, 6, 9, 12, ...

  • MATEMTIQUES BATXILLERAT -ei10 SUCCESSIONS

    - 6 -

    TERME GENERAL: successions

    El terme general duna successi s el conjunt doperacions que hem de fer

    amb la n per calcular an.

    Una successi t terme general si hi ha una relaci entre el lloc i el nombre que

    correspon a aquest lloc.

    Alguns exemples daplicaci del terme general:

    1) Calcula els quatre primers termes de la successi: 2 3na n

    1

    2

    3

    4

    2 3 2 1 3 1

    2 2 3 1

    2 3 3 3

    2 4 3 5

    na n a

    a

    a

    a

    2) Calcula els quatre primers termes de la successi: 23 2na n n

    221

    22

    23

    24

    3 2 3 1 2 1 1

    3 2 2 2 8

    3 3 2 3 21

    3 4 2 4 40

    na n n a

    a

    a

    a

    3) Calcula els quatre primers termes de la successi: 13.(2)nna

    1 111

    2 12

    3 13

    4 14

    3.(2) 3.(2) 3

    3.(2) 6

    3.(2) 12

    3.(2) 24

    nna a

    a

    a

    a

    4) Calcula els quatre primers termes de la successi: ( 1)!na n

    1

    2

    3

    4

    ( 1)! 1 1 ! 2

    2 1 ! 6

    3 1 ! 24

    4 1 ! 120

    na n a

    a

    a

    a

  • MATEMTIQUES BATXILLERAT -ei10 SUCCESSIONS

    - 7 -

    5) Calcula els quatre primers termes de la successi: 11n

    na n

    1

    1

    2

    2

    3

    3

    4

    4

    1 11 1 21

    11 2, 252

    11 2,373

    11 2, 444

    n

    na an

    a

    a

    a

    ACTIVITATS PROPOSADES:

    1) Calcula els quatre primers termes de la successi: 23 2

    2 1nn na

    n

    2) Calcula els quatre primers termes de la successi: 4 2na n

    3) Calcula els quatre primers termes de la successi: 3 1na n

    4) Calcula els quatre primers termes de la successi: ( 3)!n nna

    n

    5) Calcula els quatre primers termes de la successi: 32 1

    2

    n

    nna

    n

  • MATEMTIQUES BATXILLERAT -ei10 SUCCESSIONS

    - 8 -

    CLCUL DEL TERME GENERAL: successions

    Aquest apartat el desenvoluparem amb exemples numrics, per tal danar

    assolint les corresponents estratgies i competncies:

    1) Calcula el terme general de la successi: 2, 4, 6, 8, ...

    1 1

    2 2

    3 3

    4 4

    2 2.14 2.26 2.38 2.4 2.n

    a aa aa aa a a n

    s la successi dels nombres parells.

    2) Calcula el terme general de la successi: 4, 6, 8,10, ...

    Aquesta successi s com la dels nombres parells per comena amb el 4 que

    resulta ser 2+2, per aix podem escriure com a terme general:

    2 2na n

    3) Calcula el terme general de la successi: 1, 3, 5, 7, ...

    Aquesta successi s com la dels nombres parells per comena amb l1, que

    resulta ser 2-1, per aix podem escriure com a terme general:

    2 1na n

    Aquesta successi s la del nombres senars.

    4) Calcula el terme general de la successi: 3, 5, 7, 9, ...

    Aquesta successi s com la dels nombres parells per comena amb el 3, que

    resulta ser 2+1, per aix podem escriure com a terme general:

    2 1na n

    s la successi dels nombres senars comenant pel 3.

  • MATEMTIQUES BATXILLERAT -ei10 SUCCESSIONS

    - 9 -

    5) Calcula el terme general de la successi: 2, 4, 6, 8, ... successions

    1 1

    2 2

    3 3

    4 4

    2 2.14 2.26 2.38 2.4 2.n

    a aa aa aa a a n

    s la successi dels nombres parells en negatiu.

    6) Calcula el terme general de la successi: 1, 3, 5, 7, ...

    Aquesta successi s com la dels nombres senars per en negatiu i comena

    amb el -1, que resulta ser -2+1, per aix podem escriure com a terme general:

    2 1na n

    Aquesta successi s la del nombres senars en negatiu.

    7) Calcula el terme general de la successi: 4, 8,12,16, ...

    1 1

    2 2

    3 3

    4 4

    4 4.18 4.212 4.316 4.4 4.n

    a aa aa aa a a n

    ACTIVITATS PROPOSADES:

    1) Calcula el terme general de la successi: 6, 8,10,12, ...

    2) Calcula el terme general de la successi: 0, 2, 4, 6, ...

    3) Calcula el terme general de la successi: 2, 0, 2, 4, ...

    4) Calcula el terme general de la successi: 5, 7, 9,11,...

    5) Calcula el terme general de la successi: 1,1, 3, 5, ...

    6) Calcula el terme general de la successi: 3, 1,1, 3, ...

    7) Calcula el terme general de la successi: 4, 6, 8, 10, ...

    8) Calcula el terme general de la successi: 5,10,15, 20, ...

  • MATEMTIQUES BATXILLERAT -ei10 SUCCESSIONS

    - 10 -

    SUCCESSI DE LES PRIMERES DIFERNCIES: successions

    Les successions de les primeres diferncies sn aquelles en qu la diferncia

    entre dos termes consecutius s constant. Sn successions on cada terme s

    igual a lanterior, ms una certa constant que sanomena diferncia (d).

    Daquestes successions ms endavant en direm progressions aritmtiques:

    2 1

    3 2

    4 3

    1

    ...

    n n

    a a da a da a d

    a a d

    Per aix els seus termes els podem escriure com:

    2 1

    3 2 1 1

    4 3 1 1

    1

    22 3

    ...( 1)n

    a a da a d a d d a da a d a d d a d

    a a n d

    Aquesta ltima expressi es coneix com a terme general duna progressi

    aritmtica.

    Si la desenvolupem una mica resulta:

    1 1 1( 1) . .n na a n d a n d d a d n a d

    Resulta doncs, que el terme general de les successions de les primeres

    diferncies les podem escriure com a polinomi de primer grau en funci de n:

    .na A n B

    Que comparant amb: 1.na d n a d

    Resulta: 11

    ..

    n

    n

    a d n a d A da A n B B a d

  • MATEMTIQUES BATXILLERAT -ei10 SUCCESSIONS

    - 11 -

    EXEMPLES DE SUCCESSIONS DE PRIMERES DIFERNCIES: successions

    1)