eiπ10 MATEMÀTIQUES BATXILLERAT · PDF fileMATEMÀTIQUES BATXILLERAT -e iπ10 SUCCESSIONS - 3 - EXEMPLES: 1) És una successió la sèrie de nombres següents?..., 2, 1,0,1, 2,

MATEMÀTIQUES BATXILLERAT -eiπ10 SUCCESSIONS

- 1 -

o SUCCESSIONS

DEFINICIÓ

COM ANOMENEM A UNA SUCCESSIÓ?

TERME GENERAL

CÀLCUL DEL TERME GENERAL

OPERACIONS AMB SUCCESSIONS

SUCCESSIONS RECURRENTS

PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES

PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES

CONCEPTES D’INFINIT, D’INFINITESIMAL I LES SEVES

PROPIETATS

LÍMITS DE SUCCESSIONS I LES SEVES PROPIETATS

SUCCESSIONS CREIXENTS I DECRECIXENTS

SUCCESSIONS CONVERGENTS I DIVERGENTS

SUCCESSIONS INFINITESIMALS, INFINITÈSIM I

INFINITÈSIMS EQUIVALENTS

NÚMERO e

CÀLCUL DE LÍMITS: LES INDETERMINACIONS

PROBLEMES


- 2 -

DEFINICIÓ DE SUCCESSIÓ: successions

Les successions són les funcions que tenen com a domini el conjunt dels

nombres naturals i com a recorregut un subconjunt dels reals. Per això

s’anomenen “funcions reals de variable natural”.

A tots els nombres naturals, els hi fem correspondre algun nombre real. Això és

equivalent a numerar aquest subconjunt de nombres reals: el primer, el segon,

el tercer...

Una successió ens la podem imaginar com una lleixa amb infinites guixetes, on

hi anem posant nombres:

a1, a2, a3, ... , an, ...

El que tenen en comú totes les successions és que tenen un primer terme que

s’anomena a1, i que tenen infinits termes més.

El terme n-èssim representa el nombre real que està en el lloc número “n”.

N R


- 3 -

EXEMPLES:

1) És una successió la sèrie de nombres següents?

... , 2, 1, 0,1, 2, ...

No és una successió perquè no té un primer terme.


2, 4, 6, 8, ...

És una successió perquè té un primer terme que és 1 2a i infinits termes més.

ACTIVITATS PROPOSADES:


... , 4, 4, 0, 2, 4, ...


1, 3, 5, 7, ...


- 4 -

N R

a

COM ANOMENEM A UNA SUCCESSIÓ? successions

A l’hora d’anomenar una successió ho podem fer de diverses maneres, però

dependrà del tipus de successió que tenim.

Una de les maneres, que és comuna a tots els tipus de successió, és

anomenant uns quants termes.

EXEMPLE:

1) , 3, ln 2, 3, ...

2) 2, 4, 6, 8, ...

Els dos exemples són successions ja que tenen un primer terme (el nombre i

el nombre 2 respectivament), i ens les presenten anomenant els quatre primers

termes.

La diferència en aquests dos

exemples és que en el primer cas

no veiem cap pauta o relació entre

els termes, per tant, és una

ordenació de nombres reals

totalment aleatòria. En canvi, en la

segona successió podem veure una

pauta clara entre els termes i en

podem seguir anomenant uns

quants més:

5 6 710, 12, 14, ...a a a

La segona successió la podem anomenar dient: 2na n .

També la podem anomenar “els nombres parells”.

n an


- 5 -


1) Escriu els quatre primers termes de la successió “els nombres senars”.

2) Anomena la successió: 3, 6, 9, 12, ...


- 6 -

TERME GENERAL: successions

El terme general d’una successió és el conjunt d’operacions que hem de fer

amb la “n” per calcular “an”.

Una successió té terme general si hi ha una relació entre el lloc i el nombre que

correspon a aquest lloc.

Alguns exemples d’aplicació del terme general:

1) Calcula els quatre primers termes de la successió: 2 3na n

1

2

3

4

2 3 2 1 3 1

2 2 3 1

2 3 3 3

2 4 3 5

na n a

a

a

a

2) Calcula els quatre primers termes de la successió: 23 2na n n

221

22

23

24

3 2 3 1 2 1 1

3 2 2 2 8

3 3 2 3 21

3 4 2 4 40

na n n a

a

a

a

3) Calcula els quatre primers termes de la successió: 13.(2)nna

1 111

2 12

3 13

4 14

3.(2) 3.(2) 3

3.(2) 6

3.(2) 12

3.(2) 24

nna a

a

a

a

4) Calcula els quatre primers termes de la successió: ( 1)!na n

1

2

3

4

( 1)! 1 1 ! 2

2 1 ! 6

3 1 ! 24

4 1 ! 120

na n a

a

a

a


- 7 -

5) Calcula els quatre primers termes de la successió: 11n

nan

1

1

2

2

3

3

4

4

1 11 1 21

11 2, 252

11 2,373

11 2, 444

n

na an

a

a

a


1) Calcula els quatre primers termes de la successió: 23 2

2 1nn na

n



4) Calcula els quatre primers termes de la successió: ( 3)!n n

nan

5) Calcula els quatre primers termes de la successió: 32 1

2

n

nna

n


- 8 -

CÀLCUL DEL TERME GENERAL: successions

Aquest apartat el desenvoluparem amb exemples numèrics, per tal d’anar

assolint les corresponents estratègies i competències:

1) Calcula el terme general de la successió: 2, 4, 6, 8, ...

1 1

2 2

3 3

4 4

2 2.14 2.26 2.38 2.4 2.n

a aa aa aa a a n

És la successió dels nombres parells.

2) Calcula el terme general de la successió: 4, 6, 8,10, ...

Aquesta successió és com la dels nombres parells però comença amb el 4 que

resulta ser 2+2, per això podem escriure com a terme general:

2 2na n


Aquesta successió és com la dels nombres parells però comença amb l’1, que

resulta ser 2-1, per això podem escriure com a terme general:

2 1na n

Aquesta successió és la del nombres senars.


Aquesta successió és com la dels nombres parells però comença amb el 3, que

resulta ser 2+1, per això podem escriure com a terme general:

2 1na n

És la successió dels nombres senars començant pel 3.


- 9 -

5) Calcula el terme general de la successió: 2, 4, 6, 8, ... successions

1 1

2 2

3 3

4 4

2 2.14 2.26 2.38 2.4 2.n

a aa aa aa a a n

És la successió dels nombres parells en negatiu.


Aquesta successió és com la dels nombres senars però en negatiu i comença

amb el -1, que resulta ser -2+1, per això podem escriure com a terme general:

2 1na n

Aquesta successió és la del nombres senars en negatiu.

7) Calcula el terme general de la successió: 4, 8,12,16, ...

1 1

2 2

3 3

4 4

4 4.18 4.212 4.316 4.4 4.n

a aa aa aa a a n





4) Calcula el terme general de la successió: 5, 7, 9,11,...

5) Calcula el terme general de la successió: 1,1, 3, 5, ...

6) Calcula el terme general de la successió: 3, 1,1, 3, ...


8) Calcula el terme general de la successió: 5,10,15, 20, ...


- 10 -

SUCCESSIÓ DE LES PRIMERES DIFERÈNCIES: successions

Les successions de les primeres diferències són aquelles en què la diferència

entre dos termes consecutius és constant. Són successions on cada terme és

igual a l’anterior, més una certa constant que s’anomena diferència (d).

D’aquestes successions més endavant en direm progressions aritmètiques:

2 1

3 2

4 3

1

...

n n

a a da a da a d

a a d

Per això els seus termes els podem escriure com:

2 1

3 2 1 1

4 3 1 1

1

22 3

...( 1)n

a a da a d a d d a da a d a d d a d

a a n d

Aquesta última expressió es coneix com a terme general d’una progressió

aritmètica.

Si la desenvolupem una mica resulta:

1 1 1( 1) . .n na a n d a n d d a d n a d

Resulta doncs, que el terme general de les successions de les primeres

diferències les podem escriure com a polinomi de primer grau en funció de “n”:

.na A n B

Que comparant amb: 1.na d n a d

Resulta: 1

1

..

n

n

a d n a d A da A n B B a d


- 11 -

EXEMPLES DE SUCCESSIONS DE PRIMERES DIFERÈNCIES: successions

1) Calcula el terme general de la successió: 7,10,13,16, ...

Calculem les diferències i el terme general:

2 1

3 21

4 3 1

10 7 33

13 10 3 37 3 4

16 13 3 7

. 3 4n n

a aA d

a a dB a d

a a a

a A n B a n

Podem comprovar el resultat:

1

2

3

4

3.(1) 4 73.(2) 4 10

3 43.(3) 4 133.(4) 4 16

n

aa

a naa


Calculem les diferències i el terme general:

2 1

3 21

4 3 1

1 3 44

5 ( 1) 4 43 ( 4) 7

9 ( 5) 4 3

. 4 7n n

a aA d

a a dB a d

a a a

a A n B a n

Podem comprovar el resultat:

1

2

3

4

4.(1) 7 34.(2) 7 1

4 74.(3) 7 54.(4) 7 9

n

aa

a naa


- 12 -

ALTRES SUCCESSIONS: successions

1) Calcula el terme general de la successió: 1, 4, 9,16, ...

21 1

22 2

23 3

2 24 4

1 1

4 2

9 3

16 4 n

a a

a a

a a

a a a n


21 1

22 2

23 3

2 24 4

2 1 1

5 2 1

10 3 1

17 4 1 1n

a a

a a

a a

a a a n


21 1

22 2

23 3

2 24 4

3 3 1

12 3 2

27 3 3

48 3 4 3n

a a

a a

a a

a a a n


21 1

22 2

23 3

2 24 4

1 2 1 3(1)

2 2 2 3(2)

9 2 3 3(3)

20 2 4 3(4) 2 3n

a a

a a

a a

a a a n n


- 13 -

SUCCESSIÓ DE LES SEGONES DIFERÈNCIES: successions

Les successions de les segones diferències són aquelles en què la diferència

entre dos termes consecutius genera una altra successió que resulta ser de

primeres diferències. Si calculem la diferència entre dos termes consecutius

d’aquesta segona successió, resulta ser constant.

2 1 1

3 2 2

4 3 3

1 1

...

n n n

a a ba a ba a b

a a b

2 1

3 2

4 3

1 2

...

n n

b b db b db b d

b b d

EXEMPLE:

Calcula el terme general de la successió: 1, 4, 9,16, ...

2 1 1

3 2 2

4 3 3

4 1 39 4 516 9 7

a a ba a ba a b

2 1

3 2

5 3 27 5 2

b b db b d

Com ja hem vist ens ha donat un polinomi de segon grau en funció de “n”, que

en general el podrem escriure com:

2na An Bn C

Per calcular els paràmetres A, B i C podem substituir tres valors coneguts:

21

22

23

1 1 1 1 1

4 4 2 2 4 2 4

9 9 3 3 9 3 9

a A B C A B C

a A B C A B C

a A B C A B C

Resolent el sistema d’equacions resulta:

2 2

1 14 2 4 0 1 0 09 3 9 0

n n

A B C AA B C B a n n a nA B C C


- 14 -

ACTIVITATS PROPOSADES: successions






- 15 -

OPERACIONS AMB SUCCESSIONS: successions

Siguin na i nb dues successions qualssevol amb:

1 2 3, , , ...na a a a

1 2 3, , , ...nb b b b

Podem definir les operacions:

1) SUMA:

1 1 2 2 3 3 1 2 3, , , ... , , , ...n n na b a b a b a b c c c c

2) PRODUCTE PER UN ESCALAR:

1 2 3 1 2 3. . , . , . , ... , , , ...n nk a k a k a k a c c c c

3) RESTA:

1 1 2 2 3 3 1 2 3, , , ... , , , ...n n na b a b a b a b c c c c

4) COMBINACIÓ LINEAL:

1 2 1 1 2 1 1 2 2 2 1 3 2 3 1 2 3, , , ... , , , ...n n nk a k b k a k b k a k b k a k b c c c c

5) PRODUCTE:

1 1 2 2 3 3 1 2 3. . , . , . , ... , , , ...n n na b a b a b a b c c c c

6) DIVISIÓ:

31 21 2 3

1 2 3

, , , ... , , , ...nn

n

a aa a c c c cb b b b

7) POTENCIACIÓ:

1 2 31 2 3 1 2 3, , , ... , , , ...nb b b b

n na a a a c c c c


- 16 -

EXEMPLE: successions

Siguin na i nb dues successions 2, 4, 6, ...na i 1, 3, 5, ...nb , calcula:

a) 2 1, 4 3, 6 5, ... 3, 7,11, ...n n na b c

b) 2. 2.2, 2.4, 2.6, ... 4, 8,12, ...na

c) 2 1, 4 3, 6 5, ... 1,1,1, ...n n na b c

d) 3. 2 3. 2, 4, 6, ... 2. 1, 3, 5, ... 6 2,12 6,18 10, ... 4, 6, 8, ...n na b

e) . 2.1, 4.3, 6.5, ... 2,12, 30, ...n n na b c

f) 2 4 6 4 6, , , ... 2, , , ...1 3 5 3 5

nn

n

a cb

g) 1 3 52 , 4 , 6 , ... 2, 64, 7776, ...nbn na c

Si tenim en compte que 2, 4, 6, ... 2na n i 1, 3, 5, ... 2 1nb n

a) 2 2 1 4 1n na b n n n

b) 2. 2.2 4na n n

c) 2 (2 1) 1n na b n n

d) 3. 2 3.2 2. 2 1 6 4 2 2 2n na b n n n n n

e) 2. 2 .(2 1) 4 2n na b n n n n

f) 22 1

n

n

a nb n

g) 2 12n nbna n


- 17 -

successions


1) Siguin na i nb dues successions 3, 6, 9, ...na i 1, 3, 5, ...nb ,

calcula:

a) n na b

b) 3. na

c) n na b

d) 2. 3n na b

e) .n na b

f) n

n

ab

g) nbna

2) Siguin na i nb dues successions 4 1na n i 2nb n , calcula:

a) n na b

b) 2. na

c) n na b

d) 2. 3n na b

e) .n na b

f) n

n

ab

g) nbna


- 18 -

SUCCESSIONS RECURRENTS: successions

Una successió és recurrent si cada terme depèn d’algun dels termes anteriors.

EXEMPLES:

1) Calcula dos termes més de la successió: 1 22 3n n na a a si 1 3a i 2 5a

3 2 1

4 3 2

2 3 2.(5) 3.(3) 192 3 2.(19) 3.(5) 53

a a aa a a

2) Calcula dos termes més de la successió: 1 23 2n n na a a si 1 1a i 2 2a

3 2 1

4 3 2

3 2 3.( 2) 2.(1) 83 2 3.( 8) 2.( 2) 40

a a aa a a


1) Calcula dos termes més de la successió: 1 22n n na a a si 1 2a i

2 3a .

2) Calcula dos termes més de la successió: 2 12 3n n na a a si 1 1a i

2 2a .


- 19 -

DUES SUCCESSIONS RECURRENTS IMPORTANTS: successions

PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES

PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES


- 20 -

PROGRESSIONS ARITMÈTIQUES (PA) successions_recurrents

DEFINICIÓ

TERME GENERAL

SUMA DELS TERMES EQUIDISTANTS

SUMA DELS n PRIMES TERMES

INTERPOLACIÓ DE MITJOS DIFERENCIALS


- 21 -

DEFINICIÓ (PA): PA

Una progressió aritmètica és una successió recurrent on cada terme ( na )

és igual a l’anterior ( 1na ) més una certa constant (d) que s’anomena

diferència.

Per això podem escriure:

1n nd a a

La manera de determinar si una successió és una progressió aritmètica és fer

la diferència terme a terme, i si resulta ser una mateixa constant podem afirmar

que ho és. Són les anomenades successions de les primeres diferències.

EXEMPLES:

1) Justifica si és o no una progressió aritmètica la successió següent:

2 1

3 2

4 3

2, 4, 6, 8, ...4 2 26 4 2 28 6 2

naa aa a da a

És una progressió aritmètica perquè la diferència entre dos termes consecutius

és constant.


2 1

3 2

4 3

1, 2, 7, 8, ...2 1 15 2 38 7 1

nbb bb b d ctb b no

No és una progressió aritmètica perquè la diferència entre dos termes

consecutius no és constant.


- 22 -



2, 4, 6, 8, ...na


2, 4, 6, 8, ...na


, 2 , 3 , 4 , ...na


1, 2, 4, 8, ...na


- 23 -

TERME GENERAL (PA): PA

El terme general d’una progressió aritmètica resulta ser:

1 ( 1)na a n d

DEMOSTRACIÓ:

Sabem que:

2 1

3 2

4 3

1

...

n n

a a da a da a d

a a d


2 1

3 2 1 1

4 3 1 1

1

22 3

...( 1)n

a a da a d a d d a da a d a d d a d

a a n d

EXEMPLE:

Calcula el terme general de la successió: 2, 4, 6, 8, ...na

2 1

3 2

4 3 1

2, 4, 6, 8, ...4 2 26 4 2 28 6 2 2

naa aa a da a a

1 ( 1) 2 ( 1)2 2 2 2 2

2

n n

n

a a n d a n n n

a n


- 24 -


1) Calcula el terme general d’una progressió aritmètica de primer terme 2

i diferència 3.

2) Calcula el terme general d’una progressió aritmètica de primer terme 5

i diferència - 2.

3) Calcula el terme general d’una progressió aritmètica de primer terme

- 3 i diferència 5.

4) Calcula el terme general d’una progressió aritmètica de primer terme 4 i diferència -7.


- 25 -

SUMA DELS TERMES EQUIDISTANTS (PA): PA

Les progressions aritmètiques tenen una propietat que diu:

“La suma dels termes equidistants als extrems és igual a la suma dels extrems”.

Cal tenir en compte que una progressió aritmètica, igual que qualsevol

successió, té infinits termes. El que vol dir aquesta propietat és que si

considerem una progressió aritmètica fins un terme qualsevol (n-èssim),

tindrem un començament i un final; i per això la suma dels termes equidistants

als extrems coincideix amb la suma dels extrems.

EXEMPLE:

Si considerem la progressió aritmètica “els nombres parells” i agafem els cinc

primers termes: 2, 4, 6, 8, 10.

Com podem veure es compleix que:

1 5

2 4

3 3

2, 4, 6, 8,10 ...2 10 124 8 126 6 12

naa aa aa a

Si considerem els set primers termes: 2, 4, 6, 8, 10, 12 es compleix que:

1 6

2 5

3 4

2, 4, 6, 8,10,12 ...2 12 142 12 142 12 14

naa aa aa a

El valor ha canviat però continua essent constant.


- 26 -


1) Calcula la suma dels termes equidistants als extrems dels quatre

primers termes de la progressió aritmètica: 2 1na n .

2) Calcula la suma dels termes equidistants als extrems dels cinc

primers termes de la progressió aritmètica: 3 1na n .

3) Calcula la suma dels termes equidistants als extrems dels set primers

termes de la progressió aritmètica: 2 5na n .

4) Calcula la suma dels termes equidistants als extrems dels vuit primers

termes de la progressió aritmètica: 5 4na n .


- 27 -

SUMA DELS n PRIMES TERMES (PA): PA

Podem calcular la suma dels “n” primers termes d’una progressió aritmètica

amb la fórmula següent:

1 .2

nn

a aS n

DEMOSTRACIÓ:

La suma dels “n” primers termes és:

1 2 3 1...n n nS a a a a a

Aquesta suma també la podem calcular del revés:

1 3 2 1...n n nS a a a a a

Si sumem les dues expressions resulta:

( )1 2 1 1 2 12 ... ...n

n n n n nS a a a a a a a a

Tots els “n” termes entre parèntesis resulten ser iguals a la suma dels extrems:

1 n i ja a a a

I com que tenim “n” ho podem escriure com:

12 .n nS a a n

Aïllant la suma resulta:

1 .2

nn

a aS n

cvd.


- 28 -

EXEMPLE:

Calcula la suma dels 25 primers de la successió: 6, 2, 2, 6, ...

Primer hem de comprovar si és progressió aritmètica:

2 1

3 2

4 3

6, 2, 2, 6, ...2 6 42 2 4

6 ( 2) 4

naa a

a aa a

Efectivament, és una progressió aritmètica amb diferència d=4 i primer terme

a1=6.

Ara podem calcular el seu terme general:

1 ( 1)na a n d

6 ( 1) 4 6 4 4

4 10

n

n

a n n

a n

Amb el terme general podem calcular el vint-i-cinquè terme:

254 10 4 25 10 90na n a

I, finalment, podem calcular la suma dels vint-i-cinc primers termes:

1 .2

nn

a aS n

1 2525

6 90.25 .25 1050

2 2a aS


- 29 -


1) Calcula la suma dels quinze primers termes de la progressió

aritmètica: 2 1na n .

2) Calcula la suma dels vint primers termes de la progressió aritmètica:

3 1na n .

3) Calcula la suma dels seixanta primers termes de la progressió

aritmètica: 2 5na n .

4) Calcula la suma dels cent primers termes de la progressió aritmètica:

5 4na n .


- 30 -

INTERPOLACIÓ DE MITJOS DIFERENCIALS (PA): PA

“Interpolar” vol dir “afegir entremig de”. Per això, amb la interpolació dels

mitjos diferencials el que es pretén és afegir “k” termes entre uns termes “a” i

“b”, de tal manera que acabin formant una progressió aritmètica:

1 2, , ,..., ,ka x x x b

Amb això el que obtenim són 2k termes, on:

1

2 1

3 2

1

...

n k

n

a aa xa x

a xa b

Cal calcular la diferència, i per això apliquem l’expressió del terme general:

1 ( 1) 2 1na a n d b a k d

I d’aquí resulta:

1b adk

Finalment, per calcular el “k” termes a interpolar:

1

2 1

1

...

k k

x a dx x d

x x d


- 31 -

EXEMPLE:

Calcula la interpolació de mitjos diferencials de tres termes entre el 5 i el

25.

Si afegim tres termes tindrem:

1 2 3, , , ,a x x x b

I al ser 5a i 25b , podrem escriure:

1 2 35, , , , 25x x x

Calculem la diferència perquè sigui una progressió aritmètica:

1b adk

25 5 20 53 1 4

d

I, finalment, podrem calcular els tres termes:

1

2

3

5 5 1010 5 1515 5 20

xxx


1) Calcula la interpolació de mitjos diferencials de quatre termes entre el

10 i el 60.

2) Calcula la interpolació de mitjos diferencials de cinc termes entre el 0 i el 30.

3) Calcula la interpolació de mitjos diferencials de tres termes entre el 7 i

el 112.

4) Calcula la interpolació de mitjos diferencials de sis termes entre el 50 i el 400.


- 32 -

PROGRESSIONS GEOMÈTRIQUES (PG) successions_recurrents

DEFINICIÓ

TERME GENERAL

PRODUCTE DELS TERMES EQUIDISTANTS

PRODUCTE DELS n PRIMERS TERMES

SUMA DELS n PRIMERS TERMES

SUMA DELS INFINITS TERMES (SÈRIES)

INTERPOLACIÓ DE MITJOS PROPORCIONALS

INTERÈS COMPOST


- 33 -

DEFINICIÓ (PG): PG

Una progressió geomètrica és una successió recurrent on cada terme na

és igual a l’anterior 1na per una certa constant (r) que s’anomena raó.

Podem escriure:

1

n

n

ara

Per això, si volem saber si una successió és una progressió geomètrica el que

hem de fer és el quocient terme a terme. Si dóna el mateix, resultarà ser la raó,

i podrem assegurar que és un progressió geomètrica.

EXEMPLE:

Demostra que la successió 3, 6, 12, 24, ... és una progressió geomètrica.

Calculem el quocient entre termes consecutius:

2

1

3

2

4

3

6 2312 2624 212

aaaaaa

Els quocients són tots iguals. És una progressió geomètrica de raó 2.


1) Demostra que la successió -3, -6, -12, -24, ... és una progressió

geomètrica.

2) Demostra que la successió 1, 2, 4, 8, ... és una progressió geomètrica.

3) Demostra que la successió 1, -2, 4, -8, ... és una progressió geomètrica.


- 34 -

TERME GENERAL (PG): PG

El terme general d’una progressió geomètrica resulta ser:

11

nna a r

DEMOSTRACIÓ:

Sabem que:

32 4

1 2 3 1

; ; ; ... n

n

a aa ar r r ra a a a


2 1

23 2 1 1

2 34 3 1 1

11

.. . . .. . . .

...n

n

a a ra a r a r r a ra a r a r r a r

a a r

EXEMPLE:

Calcula el terme general de la successió: 3, 6,12, 24, ...na

2

1

3

21

4

3

3, 6,12, 24, ...

6 23

12 2 26

324 212

na

aaa ra

aaa

1 11 3 2n n

n na a r a


- 35 -


1) Calcula el terme general d’una progressió geomètrica de primer terme

2 i raó 3.


5 i raó - 2.


- 3 i raó 5.

4) Calcula el terme general d’una progressió geomètrica de primer terme 4 i raó -7.


- 36 -

PRODUCTE DELS TERMES EQUIDISTANTS (PG): PG

“El producte dels termes equidistants als extrems és igual al producte

dels extrems”.

EXEMPLE:

Considerem els quatre primers termes d’una progressió geomètrica:

2, 4, 8, 16.

És una progressió geomètrica ja que:

2

1

3

2

4

3

4 228 24

16 28

aaaaaa

Doncs la propietat el que diu és:

1 4

2 3

. 2.16 32. 4.8 32

a aa a

Que com podem veure donen el mateix.

Si considerem els cinc primers termes: 2, 4, 8, 16, 32

Resulta:

1 5

2 4

3 3

. 2.32 64. 4.16 64. 8.8 64

a aa aa a

Si agafem més termes de la successió dóna un altre resultat, però el producte

continua essent constant.


- 37 -


1) Calcula el producte dels termes equidistants als extrems dels cinc

primers termes de la progressió geomètrica: 12nna .

2) Calcula el producte dels termes equidistants als extrems dels tres


3) Calcula el producte dels termes equidistants als extrems dels sis

primers termes de la progressió geomètrica: 13.(2)nna .

4) Calcula el producte dels termes equidistants als extrems dels vuit



- 38 -

PRODUCTE DELS n PRIMERS TERMES (PG): PG

El producte dels “n” primers termes d’una progressió geomètrica el podem

calcular amb l’expressió:

1.n

n nP a a

DEMOSTRACIÓ:

El producte dels “n” primers termes el podem calcular:

1 2 1. . ... . .n n nP a a a a

Aquesta mateixa expressió la podem escriure del revés:

1 2 1. . ... . .n n nP a a a a

Multiplicant terme a terme les dues expressions resulta:

21 2 1 2 1 1. . . . ... . . . .n n n n nP a a a a a a a a

Cada un dels termes entre parèntesiS resulten ser iguals al producte dels

extrems: 1. .n i ja a a a


21.

nn nP a a 1.

nn nP a a cvd

EXEMPLE:

Calcula el producte dels deu primers termes de la successió: 14, 2,1, ,...2

És una progressió geomètrica amb 1 4a i 12

r amb un terme general:

1 10 1

1 31 10

1 14 4 9,81.102 2

nn

n na a r a a

1010 3 81 10 1. . 4.9,81.10 2,98.10n

n n nP a a P a a


- 39 -


1) Calcula el producte dels cinc primers termes de la progressió

geomètrica: 12nna .

2) Calcula el producte dels tres primers termes de la progressió


3) Calcula el producte dels sis primers termes de la progressió

geomètrica: 13.(2)nna .

4) Calcula el producte dels vuit primers termes de la progressió



- 40 -

SUMA DELS n PRIMERS TERMES (PG): PG

La suma dels “n” primers termes d’una progressió geomètrica la podem calcular

amb l’expressió: 1 .1

nn

a a rSr

On, si tenim en compte l’expressió del terme general: 11

nna a r

Podem transformar-la amb:

111 1 1 11

1..1 1 1 1

nn nn

n n n

a ra a r r a a ra a rS S Sr r r r

Que també es pot expressar com: 11

1 1

n

n

a raSr r

DEMOSTRACIÓ:

La suma dels “n” primers termes: 1 2 1...n n nS a a a a

Si multipliquem per “r” resulta: 1 2 1

2 3

. . . ... . .... .

n n n

n n

r S r a r a r a r aa a a r a

Si restem les dues expressions:

1 2 1

1 2 3 1 2 3 1

11 1

. . . ... . .... ... .

.. . 1 .1

n n n n

n n n n n

nn n n n n n

S r S r a r a r a r aa a a a a a a a a r a

a r aS r S a r a S r a r a Sr

EXEMPLE:

Calcula la suma dels deu primers termes de la successió: 14, 2,1, ,...2


r , la suma resulta ser:

10

1 110

14 42 7,9911 12

n

na a r

S Sr


- 41 -


1) Calcula la suma dels cinc primers termes de la progressió geomètrica: 12n

na .

2) Calcula la suma dels tres primers termes de la progressió geomètrica: 13n

na .

3) Calcula la suma dels sis primers termes de la progressió geomètrica: 13.(2)n

na .

4) Calcula la suma dels vuit primers termes de la progressió geomètrica: 45n

na .


- 42 -

SUMA DELS INFINITS TERMES (SÈRIES) (PG): PG

Si la progressió geomètrica té una raó entre -1 i 1:

1 1r

El terme nr s’apropa a zero ràpidament i podem calcular la suma de tots els

infinits termes, resultant l’expressió:

1

1aS

r

DEMOSTRACIÓ:

La suma dels “n” primers termes d’una progressió geomètrica la podem calcular

amb:

1 11 1

1 1 1 1

n n

n n

a r a ra aS Sr r r r

1

11 1

naS

rr

EXEMPLE:

Calcula la suma de tots els termes de la successió: 14, 2,1, ,...2


r , i al tenir 1 1r podem

aplicar l’expressió:

1

1aS

r

Que en aquest cas resulta:

1 4 811 12

aSr


- 43 -


1) Calcula la suma dels infinits termes de la progressió geomètrica: 11

2

n

na

.

2) Calcula la suma dels tres primers termes de la progressió geomètrica: 11

3

n

na

.

3) Calcula la suma dels sis primers termes de la progressió geomètrica: 113.

4

n

na

.

4) Calcula la suma dels vuit primers termes de la progressió geomètrica: 41

5

n

na

.


- 44 -

INTERPOLACIÓ DE MITJOS PROPORCIONALS: PG

“Interpolar” vol dir “afegir entremig de”. Per això, amb la interpolació del

mitjos proporcionals el que es pretén és afegir “k” termes entre un terme “a” i

“b”, de tal manera que acabin formant una progressió geomètrica:

1 2, , ,..., ,ka x x x b

Amb això el que obtenim són 2k termes, on:

1

2 1

3 2

1

...

n k

n

a aa xa x

a xa b

Cal calcular la raó, i per això apliquem l’expressió del terme general:

1 2 11

n kna a r b a r


1kbra

Finalment, per calcular el “k” termes a interpolar:

1

2 1

1

..

....k k

x a rx x r

x x r


- 45 -

EXEMPLE:

Calcula la interpolació de tres mitjos proporcionals entre 5 i 80.

Si afegim tres termes tindrem:

1 2 3, , , ,a x x x b

I al ser 5a i 80b , podrem escriure:

1 2 35, , , , 80x x x

Calculem la diferència perquè sigui una progressió aritmètica:

1kbra

41 3 180 16 25

kbra

I, finalment, podrem calcular els tres termes:

1

2

3

5.2 1010.2 2020.2 40

xxx


1) Calcula la interpolació de dos mitjos proporcionals entre 10 i 50.

2) Calcula la interpolació de quatre mitjos proporcionals entre 2 i 120.

3) Calcula la interpolació de tres mitjos proporcionals entre 3 i 48.

4) Calcula la interpolació de cinc mitjos proporcionals entre 4 i 200.


- 46 -

INTERÈS COMPOST: PG

L’interès compost és un cas particular de progressió geomètrica ja que és

l’interès d'un capital que va creixent per l'acumulació dels seus rèdits.

Els conceptes bàsics són:

o INTERÈS ( I ) (rèdit, rendiment) : guany que dóna a algú un capital que ha

prestat o que li deuen. Sempre es pot calcular amb:

OCCI

o TEMPS (t): durada de l’operació financera (normalment són anys)

o TAXA D'INTERÈS ( %R r ): percentatge que hom rep o paga en relació

amb el capital invertit o manllevat, per un determinat període de temps.

rRR 100

%

o PERÍODES DE CAPITALITZACIÓ (conversió): període de temps que

s'estableix perquè els interessos produïts s'acumulin al capital inicial.

o FREQÜÈNCIA DE CAPITALITZACIÓ (k): nombre de períodes de

capitalització que es produeixen en un any.

o TAXA NOMINAL: és la taxa d'interès expressada en tant per cent anual.

o CAPITAL INICIAL (Co): quantitat de diners que s'inverteixen inicialment.

o CAPITAL FINAL (C): quantitat de diners que s'obtenen al final del període

impositiu. En el cas de l’interès compost es pot calcular amb l’expressió:

.

1k t

OrC Ck


- 47 -

DEMOSTRACIÓ: PG

Capital final amb interès compost: .

1k t

t OrC Ck

Suposem que disposem d’un capital inicial 0C que invertim amb un interès

compost de taxa anual r , amb una freqüència de capitalització n .

En el primer període de capitalització tindrem:

1 0 0 0 1r rC C C Ck k

En el segon període:

2

2 1 0 01 1 1 1r r r rC C C Ck k k k

I així successivament:

2 3

3 2 0 01 1 1 1r r r rC C C Ck k k k

3 4

4 3 0 01 1 1 1r r r rC C C Ck k k k

Després de “n” períodes de capitalització obtindrem:

1

1 0 01 1 1 1n n

n nr r r rC C C Ck k k k

Si volem expressar aquest resultat en anys, cal tenir en compte que:

.nk n k tt

Resultant finalment: .

1k t

t OrC Ck

cvd


- 48 -

EXEMPLE: PG

Calcula el capital final que obtindrem si invertim 3.000€ durant 6 anys, a

un interès compost nominal del 2,5% i un període de capitalització trimestral.

De l’enunciat del problema deduïm:

- El capital inicial és: 0 3.000C

- La taxa d’interès anual és: 2,5 0,025100

r

- La freqüència de capitalització és: 12 43

k

- Temps: 6t

Com que és un interès compost:

.(1 )k tt O

rC Ck

Que en aquest cas resulta ser:

.

.6 4.66

(1 )

0,025(1 ) 3.000(1 ) 3.483,884

k tt O

kO

rC CkrC Ck

El capital final, després dels 6 anys, resulta ser de 3.483,88€.

Aquesta inversió ha aportat uns interessos de:

0 3.483,88 3.000 483,88I C C €


- 49 -


1) Calcula el capital final que obtindrem si invertim 5.000€ durant 3 anys,

a un interès compost nominal del 3,5% i un període de capitalització semestral.

2) Calcula el capital final que obtindrem si invertim 15.000€ durant 10

anys, a un interès compost nominal del 1,5% i un període de

capitalització mensual.

3) Calcula el capital final que obtindrem si invertim 500€ durant 20 anys, a un interès compost nominal del 4,5% i un període de capitalització

quadrimestral.


- 50 -

CONCEPTES D’INFINIT, D’INFINITESIMAL I LES SEVES

PROPIETATS: successions

Definició d’infinit:

Segons el Diccionari Manual de la Llengua Catalana, de l’Institut d’Estudis

Catalans:

- “Que no té fi en el temps o l’espai”.

En una versió més intuïtiva podem dir:

- “És allò que està més enllà del nombre més gran possible”.

En una successió la variable independent “n” són els nombres naturals, que

comencen amb 1 i no s’acaben mai: 1, 2,3,... , ,...N n

Quan la “n” és molt i molt gran ho expressem com: n

I es llegeix com “n apropant-se a infinit”.

Propietats de l’infinit:

Considerem n N i k R

1)

2) k

3) 0

.0

si kk

si k

4) 1 0

5) n

6) 1 0nn

7) n

8) 1 1 0nn n

9) 1

0 0 10

si kk si k

NTS si k

10)0 1

0 10

si kk si k

NTS si k

11) n

12) 2n NTS

13) 2 1n

14)

15) 0 0


- 51 -


Considerem n N i k R . Calcula:

1)

2) 2

3) 3.

4) 2

5) 3

6) 3

7) 4

8) 3

9) 2

10) 12

11) 4

12) 3

13)

14) 0


- 52 -

Definició d’infinitesimal: successions

Segons el Diccionari Manual de la Llengua Catalana, de l’Institut d’Estudis

Catalans:

- “Que és molt petit”.

En una versió més intuïtiva podem dir:

- “És un nombre que pot ser tant petit com vulguem”

En una successió del tipus 1na

n , si n , na

Propietats de l’infinitesimal:

Considerem n N i k R i l’infinitesimal.

1)

2) k k

3) 0

.0

si kk

si k

4) 1

5) n

6) 1 1nn

7) 1n

8) 1n

9) 1 0k si k

10) 1 0k si k

11) n

12) 2n NTS


- 53 -

13) 2 1n


- 54 -


Considerem n N i k R i l’infinitesimal, calcula:

1)

2) 2

3) 4.

4) 2

5) 3

6) 3

7) 4

8) 5

9) 43

10) 2

11) 3

12) 4

13) 3


- 55 -

successions

LÍMITS DE SUCCESSIONS I LES SEVES PROPIETATS:

Calcular el límit d’una successió és fer una valoració del comportament de la

successió per a valors grans de la variable independent “n”. Quan la variable

independent “n” assoleix valors grans és quan diem que “n” s’apropa a infinit:

n

La nomenclatura que es fa servir per dir que anem a calcular el límit d’una

successió na és:

lim nna

Amb successions, la “n” només es pot apropar a infinit, podem simplificar la

nomenclatura posant:

lim limn nna a

I ja es sobreentén que és per a “n” apropant-se a infinit.

Un límit d’una successió pot donar quatre tipus de solucions:

lim n

L

a

NTS

On:

L és un nombre real,

NTS : vol dir que “no té solució”, i és quan diem que el límit “no té límit”.


- 56 -

EXEMPLES: successions

Calcula el comportament de la successió per a valor grans de “n”:

1) 2 11n

nan

Fem una taula de valors:

n a(n) 1 0,5

10 1,727273 100 1,970297

1000 1,997003 10000 1,9997

100000 1,99997

Amb aquesta taula de resultats veiem que per a valors grans de “n” la

successió s’apropa a 2, cosa que podem escriure com:

2 1lim lim 21n

nan

2) 22 1

1nnan


n a(n) 1 0,5

10 18,09091 100 198,0099

1000 1998,001 10000 19998

100000 199998


successió resulta ser cada vegada més gran, cosa que podem escriure com:

22 1lim lim1n

nan


- 57 -

3) 22 1

1nnan

successions


n a(n) 1 -1

10 -19,9 100 -199,99

1000 -2000 10000 -20000

100000 -200000


successió resulta ser cada vegada més gran en valor absolut, cosa que podem

escriure com:

22 1lim lim1n

nan

4) 2 nna


n a(n) 1 -2

10 1024 101 -2,5.1030

1000 1,1.10301 1001 -2.10301 1010 1,1.10304


successió va alternant el signe en funció de si la potència és parell o senar, i

per tant ens és impossible saber el resultat, i hem de concloure que no té

solució, cosa que podem escriure com:

lim lim 2 nna NTS


- 58 -

PROPIETATS DELS LÍMITS DE SUCCESSIONS: successions

Considerem dues successions na i nb tals que:

lim na a

lim nb b

Amb aquestes condicions es compleixen les propietats següents:

1) El límit de la successió suma és la suma dels límits:

lim lim limn n n na b a b a b

2) El límit de la successió resta és la resta dels límits:

lim lim limn n n na b a b a b

3) El límit de la successió producte és el producte dels límits:

lim . lim .lim .n n n na b a b a b

4) El límit de la successió quocient és el quocient dels límits:

limlimlim

n n

n n

a a ab b b

5) El límit de la successió potència és la potència dels límits:

limlim limn nb b bn na a a

6) El límit de l’arrel quadrada d’una successió és l’arrel quadrada del límit:

lim limn na a a

7) El logaritme d’un límit d’una successió és el límit del logaritme:

log lim lim log logc n c n ca a a

8) El producte d’una successió infinitesimal per una successió acotada és

també infinitesimal.

9) Tota successió monòtona creixent i acotada superiorment és també

convergent.


- 59 -

10) Tota successió convergent és acotada, però no totes les successions

acotades són convergents.

11) Si tots els termes d’una successió nb estan compresos entre els respectius

termes de dues successions na i nc convergents i del mateix límit L , llavors la

successió nb és convergent i té el mateix límit L .


Si lim 4na i lim 5nb calcula:

1) lim n na b

2) lim n na b

3) lim .n na b

4) lim n

n

ab

5) lim nbna

6) lim na


- 60 -

SUCCESSIONS CREIXENTS I DECREIXENTS: successions

- SUCCESSIÓ CREIXENT:

Diem que una successió na és creixent si 1n na a .

EXEMPLE:

Demostra que la successió 2na n és creixent.

12 ??2 2( 1)2 2 22 2 2

0 2

n n na n a an nn nn n

si

És creixent.

- SUCCESSIÓ DECREIXENT:

Diem que una successió na és decreixent si 1n na a .

EXEMPLE:

Demostra que la successió 2na

n és decreixent.

12 ??

2 21

2 2 01

2 2 2 0( 1)2 0

( 1)

n n na a an

n n

n nn nn n

sin n

És decreixent.


- 61 -

SUCCESSIONS CONVERGENTS I DIVERGENTS: successions

- SUCCESSIÓ CONVERGENT:

Diem que una successió na és convergent si el seu límit és finit:

lim na L .

EXEMPLE:

Demostra que la successió 2 11n

nan

és convergent.

2 1lim lim 21n

nan

És convergent.

- SUCCESSIÓ DIVERGENT:

Diem que una successió na és divergent si el seu límit és infinit (positiu o

negatiu):

lim limn na o a

EXEMPLES:

Demostra que la successió 22 1

1nnan

és divergent.

22 1lim lim1n

nan

és divergent.

Demostra que la successió 22 1

1nnan

és divergent.

22 1lim lim1n

nan

és divergent.


- 62 -

SUCCESSIONS INFINITESIMALS, INFINITÈSIM I INFINITÈSIMS EQUIVALENTS: successions

SUCCESSIÓ INFINITESIMAL:

Una successió infinitesimal és un cas particular de successió convergent, en

la qual el límit resulta ser zero: lim 0na .

INFINITÈSIM:

Un infinitèsim és una successió infinitesimal i no nul·la (successió convergent

de límit zero i diferent de la successió 0,0,0,... .

INFINITÈSIMS COMPARABLES:

Dues successions na i nb són dos infinitèsims comparables si:

lim 0n

n

a kb

INFINITÈSIMS EQUIVALENTS:

Dues successions na i nb són dos infinitèsims equivalents si:

lim 1n

n

ab

TAULA D’INFINITÈSIMS EQUIVALENTS:

Si na és un infinitèsim: na , podem escriure:

1) sin( )

2) 2

1 cos( )2

3) tan( )

4) 1 .ln( ) 0b b b

5) 1e

6) ln( 1)


- 63 -

NÚMERO e: successions

INTRODUCCIÓ:

Donada la successió:

11n

nan

Si calculem el comportament per a valors grans de “n”:

n a(n) 1 2,000000000000000

10 2,593742460100000 100 2,704813829421530

1000 2,716923932235520 10000 2,718145926824360

100000 2,718268237197530 1000000 2,718280469156430

10000000 2,718281693980370 100000000 2,718281786395800 1000000000 2,718282030814510

10000000000 2,718282053234790 Com es pot veure en la taula de valors, a mesura que anem augmentant el

valor de “n” cada vegada van coincidint més decimals:

2,

2,7

2,71

2,718

2,7182

2,71828

I així successivament.

El resultat d’aquest límit rep el nom de “nombre e”:

1lim 1 2,71828...n

en

El nombre “e” és un nombre irracional perquè té infinits decimals diferents, i és

el resultat d’una successió convergent.


- 64 -

DEFINICIÓ DEL NOMBRE “e”: successions

Hi ha moltes successions en què el seu límit ens proporciona el nombre “e”:

EXEMPLES:

a) 2 21 11 lim 1

2 2

n n

na en n

b) 2 2

2 2

1 11 lim 1n n

na en n

c) 2 23 3

2 2

1 11 lim 13 3

n n

na en n

d)

2 21 12 1 2 1

2 21 11 lim 1

1 12 1 2 1

n nn n

na en nn n

Com es pot veure en aquests exemples:

1lim 1

lim

nb

n

n

eb

si b


- 65 -

CÀLCUL DE LÍMITS: LES INDETERMINACIONS. successions

El primer que cal fer per calcular un límit és substituir la “n” per infinit i fer una

valoració. Com ja hem comentat, pot donar quatre tipus de solucions:

lim n

L

a

NTS

On L és un nombre real, i NTS : vol dir que “no té solució”, i és quan diem que

el límit “no té límit”.

Si ens dóna això ja hem acabat el càlcul del límit.

EXEMPLES:

1. 2lim(3 4 2)n n

El primer que fem és substituir l’infinit:

22lim(3 4 2) 3 4 2n n

Per saber què dóna, traiem factor comú a la potència més alta:

22 22

4 2 4lim(3 4 2) lim (3 ) (3n n nn n

2

2

)

2. 3 2lim( 3 4 2 )n n n

El primer que fem és substituir l’infinit:

3 23 2lim( 3 4 2 ) 3 4 2n n n

Per saber què dóna, traiem factor comú a la potència més alta:

33 2 32

4 2 4lim( 3 4 2 ) lim ( 3 ) ( 3n n n nn n

2

2

)

Com es pot veure en els exemples, si la successió té un terme general del tipus

polinòmic ens hem de quedar amb el monomi de potència més alta. És com dir

que n és molt més gran que 1n (infinitament més gran).


- 66 -

INDETERMINACIONS: successions

Una indeterminació és un resultat d’un límit del qual “a priori” desconeixem el

seu valor, perquè depèn de l’ordre de l’infinit o infinitèsim.

Quan arribem a una indeterminació no vol dir que “no té solució”, sinó que el

que hem de fer és resoldre la indeterminació per veure el resultat del límit.

Una indeterminació és com un “carreró sense sortida” que hem de mirar

d’esquivar.

TIPUS D’INDETERMINACIONS:

Les indeterminacions són set:

1)

2) 00

3) 0.

4)

5) 1

6) 00

7) 0

Qualsevol nombre elevat a zero dóna 1, però ni el zero ni l’infinit són

qualsevol nombre: el zero és res i l’infinit no és cap nombre.

Recorda que 0 no és cap indeterminació i dóna zero.


- 67 -

RESOLUCIÓ D’INDETERMINACIONS: successions

1)

2) 00

3) 0.

4)

5) 1

6) 00

7) 0


- 68 -

1) RESOLUCIÓ DE

resolució_indeterminacions

Posem uns quants exemples:

1) 24 3lim

5 4n nn

El primer que fem és substituir la “n” per un valor molt gran que en diem

infinit:

22 4 34 3lim5 4 5 4n nn

Arribem a la primera indeterminació.

La podem resoldre si dividim a dalt i a baix per la potència més alta de baix:

2

24 3

4 3 4 3lim lim lim5 4 45 4 5

n nn n nn n

nnn n n

Tornem a substituir per infinit:

24 3 4 3lim lim4 5 5 45

n n nn

n

2) 24 3lim

5 4n n

n

22

2

2

4 34 3lim5 4 5 4

4 34 3 4 3lim lim lim5 4 45 4 55

n n indn

n nn n nn n

nnn n n


- 69 -

3) 2

3

4 3lim4

n nn n

2

3

2

2 3 3 2

33

23 3

4 3lim .4

4 3 4 34 3 0lim lim lim 0444 11

n n indn n

n nn n n n n n

n nn nnn n

4) 3 2

3

4 3lim3 2n nn n

3 2

3

3 2

3 2 3 3

33

23 3

4 3lim .3 2

4 3 344 3 4 4lim lim lim 23 23 2 3 33

n n indn n

n nn n n n n

n nn nnn n

Podem resoldre aquests tipus d’indeterminació si mirem els monomis de les

potències més altes de dalt i de baix:

1

2

...lim

...

n

naxbx

a) Si la potència més alta és a dalt dóna infinit o menys infinit, segons els

signes dels coeficients.

b) Si la potència més alta és a baix, dóna zero.

c) Si la potència més alta és a dalt i a baix, dóna el quocient dels coeficients.

1

2

1

2

1 2

1 2

1 2

...lim

...( ) ( )( ) ( )

...lim 0

...

n

n

n

n

axbx

signe a signe bn n

signe a signe bax n nbx

an nb


- 70 -

Aquest criteri també el podem aplicar en límits del tipus:

5) 3 2

3

3lim4 2n nn n

3 2 3 2

3 3

3 2

3

3 3lim lim4 2 4 2

3 1 1lim4 2 4 2

n n n nn n n n

n nn n

6) 3 22 3lim7 2

n nn

3 2 3 2

3 2

2 3 2 3lim lim7 2 7 2

2 3lim7 2

n n n nn n

n nn

NTS

7) 3 2

3 3

25 3lim9 2n nn n

3 2

33 3

3 33 2

3 333 33 3

2 2

3 12 2

31 3 3

2 2

25 3lim lim9 2

3 325 2525 3lim lim lim

2 29 2 9 9

3 325 2525lim lim

92 29 9

n nn n

n nn nn n

n n n nn n

n nn n

nn n


- 71 -


1) Calcula: 3 2

3

3 3lim2 2n nn n

2) Calcula: 2

3

3lim3nn n

3) Calcula: 3

3lim2

nn

4) Calcula: 3 2

3

4 3lim25 2

n nn n

5) Calcula: 3 23lim3 2

n nn

6) Calcula: 2 3lim

5 2n n

n

7) Calcula: 3 2

33

8 3lim27 2n n

n n

8) Calcula: 3 2

3 3

4 3lim3 2n nn n

9) Calcula: 5 4 2

3

2lim3 2

n nn n

10) Calcula: 3 2

3

4lim3 2n n

n n

11) Calcula: 3 3 2

5 5

8 3lim32 2n n

n n

12) Calcula: 4 24

6 3

4 3lim2

n nn n


- 72 -

2) RESOLUCIÓ DE 00

resolució_indeterminacions


1) 2

11lim

2

nn

n

2 2

2

2 2

2

2

2

1 1 1lim 02 1 2 1lim0lim

3 2 3 21

1 3 22 1lim lim : lim2 1 3 2 2

3 23 2 3lim2 2

n nn n

n n

n nnn n n n n

nnn n

2)

2

11lim

2

nn

n

2

22 2

2

2 2

2 3 2

2

3 2

1 10 01lim

002

11 2 1 21lim lim lim

1 12

1 2 2lim lim2 1 2

2lim lim2

0 0

nn

n

n nnn n n nn

n

n nn n n n n n

nn n n


- 73 -


1) Calcula: 2

13 5lim 32 4

nn

n

2) Calcula: 2

2

11lim 32

nn

n

3) Calcula: 2

2

1

lim 57 3

nn n

nn

4) Calcula:

2

32 1lim

43 2

nn

n

5) Calcula: 3

2

1lim2

5

nn

nn

6) Calcula: 3

2

51lim

22

nn

n

7) Calcula: 2

2

31lim 5

2

nn

nn


- 74 -

3) RESOLUCIÓ DE 0. resolució_indeterminacions


1) 22 3lim .1

nn n

2

2 2

2

2

2

2 3 2lim . . 0.1

2 3 6lim . lim16 6lim 6

1

nn n

n nn n n n

nn n

2) 22 3lim .1

nn n

2

22 2 2

3 2

2

3 2

2 3 2lim . . 0. 0.1

2 3 2 3 12lim . lim lim1 1

12lim 0 0

nn n

n n nn n n n n n

nn n

Com es pot veure en els exemples, per resoldre la indeterminació 0. cal

operar; aleshores es transforma en una altra indeterminació del tipus

, que

aplicant el criteri de la potència més alta podem acabar de resoldre amb

comoditat.


- 75 -


1) Calcula: 3

2

2 3lim .3 1

nn n

2) Calcula: 4

2 3

2 3lim .4 4

n nn n

3) Calcula: 22 3lim .1

nnn

4) Calcula: 2

2

2lim .1 1

n nn n

5) Calcula: 2

3

2 1 3lim .2

n nn n

6) Calcula: 22lim .1

nnn


- 76 -

4) RESOLUCIÓ DE resolució_indeterminacions


1) 3 22 3lim1 1

n nn n

3 2 3 2

3 2

3 23 2

4 3 3 2 4 3 2

2 2

4 3 2

2 3 2 3lim lim lim1 1 1 1

2 3lim lim1 1

2 1 3 12 3lim lim1 1 1 1

2 2 3 3 2 5 3lim lim1 1

2 5 3lim

n n n nn n n n

n n indn n

n n n nn nn n n n

n n n n n n nn n

n n n

2 1n

2) lim 2 1 3 1n n

2 2

lim 2 1 3 1

2 1 3 12 1 3 1lim 2 1 3 1 lim2 1 3 1 2 1 3 1

2 1 3 1 2lim lim2 1 3 1 2 1 3 1

2lim2 1 3 1

n n ind

n nn nn nn n n n

n n n indn n n n

nn n

Com podem veure en els exemples, la indeterminació pot estar

originada, bàsicament, per una resta de funcions racionals (exemple 37) i una

resta de funcions irracionals (exemple 38). En el primer cas, el que cal fer és

mínim comú múltiple i operar; així arribem a una altra indeterminació del tipus

,que podem resoldre pel mètode ràpid de la potència més alta. En el segon

cas, cal multiplicar a dalt i a baix pel conjugat; així també arribem a una altra

indeterminació del tipus

.


- 77 -


1) Calcula: 3 2

2

3 1lim1 1

n nn n

2) Calcula: 4 2

3

2lim1

n nn n n

3) Calcula: 3 32 3 3 2lim

1 1n nn n

4) Calcula: 7 2

5lim9 1

n nn n

5) Calcula: lim 2 1n n

6) Calcula: 2 2lim 16 1 4 1n n

7) Calcula: 3 3lim 2 3 1n n n

8) Calcula: 2 22lim

2 1 3 1n nn n


- 78 -

5) RESOLUCIÓ DE 1 resolució_indeterminacions


1) 1lim 12

n

n

1 1. lim .2 22 2

1 1lim2 2

1lim 1 12

1 1 1lim 1 lim 1 lim 12 2 2

n

n nn n nn n

indn

n n n

e e e

2) 3lim 12

n

n

3 3. lim .2 22 23 3

3 3lim 32 2

3lim 1 12

3 1 1lim 1 lim 1 lim 12 223 3

n

n nn nn n

n

indn

n nn

e e e

3) 5lim 12

n

n

5 5. lim .2 22 25 5

5 5lim2 2

5

5lim 1 12

5 1 1lim 1 lim 1 lim 12 225 5

1

n

n nn nn n

n

indn

n nn

e ee


- 79 -

4) 57lim 1

3

n

n

5

7.53 37

5

35lim .3 37

35 35lim3 3

3 35

7lim 1 13

7 1lim 1 lim 1 337

1lim 1 37

1

n

nn n

n

nn n

indn

nn

n

e ee

5) 5 12 4lim

2

nnn

5 1

5 1 5 1 5 1

2 10 2.(5 1) lim

2 2

10 2 10lim 101

2 4lim 12

2 4 2 4 2lim lim lim 12 2 2

1 1lim 1 lim 1

2 2

n

n n n

nnn nn n

nn

n indn

n nn n n n

n n

e e e


- 80 -

6)

24 313lim

3 2

nnn

n

2

2 2

2

2

2

4 31

4 3 4 31 1

4 31

2 4.3 2 3 224 3

1

3lim 13 2

3 3lim lim 1 13 2 3 2

3 3 2lim 13 2

2 1lim 1 lim 1 3 23 22

nn

n nn n

nn

nn n

nn

n indn

n nn n

n nn

nn

2

2

2

2

31

8 6lim3 2 3 5 22

8 6 8lim 3 83 5 2 3

1lim 1 3 22

n

nn n n

nn n

n

e e e


- 81 -


1) Calcula: 2 19lim 1

4

n

n

2) Calcula: 4 2

2

3lim 12

nnn n

3) Calcula:

252 111lim 1

13

nn

n

4) Calcula:

3

25

3 6 3 1

4 3

7 2lim 13 3

nn nn n

n n

5) Calcula: 5 1

2 7

2

5 3lim5

n

nn

6) Calcula:

4

25 1

3 2 3

3

2 4 2 3lim2 5

nnn n n

n n

7) Calcula:

24 313lim

3 2

nnn

n

8) Calcula:

24 313lim

3 2

nnn

n


- 82 -



1) 1

1limn

n

1 1

0

1

1 1

1 1lim 0

1lim

1 1ln ln lim lim ln

1 1lim ln 0.ln 0 0.( )

1 1 ln1 ln lnln lim ln lim lim

n

n

n n

indn

yn

yn n

indn n

n ny indn n n n

El terme ln n es comporta com si fos una potència de grau inferior si el

comparem amb qualsevol polinomi. És com si tinguéssim la potència de grau

superior a baix, i conseqüentment:

0lnlim 0 ln 0 1n y y en

1

1lim 1n

n


- 83 -

2) 22

3

2lim1

nnn

n

2

2

2 2

23 0

2

23

2

2 23 3

2 2

2 2

lim 01

lim1

ln ln lim lim ln1 1

2lim ln ln 0.ln 0 0.( )3 1

nn

nn

n nn n

n indn

nyn

n nyn n

n n indn n

Aplicant els infinitèsims equivalents: 2 2ln 11 1

n nn n

resulta:

2 2 2 2

2 3 2

2 2 4 2

2 2ln lim ln lim 13 1 3 1

2 1 2 2 2lim lim3 1 4 3

n n n nyn n n n

n n n n n nn n n n

Quan tenim la potència més alta a baix:

3 2

4 2

2 2 2lim 04 3

n n nn n

0ln 0 1y y e

Conseqüentment:

22

3

2lim 11

nnn

n


- 84 -


1) Calcula: 1

31lim3 1

n

n

2) Calcula: 32

1

2

3lim2 4

nn nn

n


- 85 -



1) 1

lim nn

1 0

1

1 1

lim

lim

ln ln lim lim ln

1 1lim ln ln 0.ln 0.

lnln lim

n

n

n n

n ind

y n

y n n

n indn

ny

n

El terme ln n es comporta com si fos una potència de grau inferior si el

comparem amb qualsevol polinomi. És com si tinguéssim la potència de grau

superior a baix, i conseqüentment:

lnln lim 0

ny

n

0ln 0 1y y e

1

lim 1nn


1) Calcula: 1

3lim 3 nn

2) Calcula: 213lim 4 2

nnn


- 86 -

PROBLEMES: successions SUCCESSIONS

1) Troba el terme general de la successió: ,...54,

43,

32,

21

2) Troba el terme general de la successió: ,...5

14,4

11,38,

25,2

3) Troba el terme general de la successió: 1, –1, 1, –1, 1, –1, 1, –1, ......


814,

273,

92,

31

5) Troba el terme general de la successió: -2, 5, -10, 17, -26, 37, ...


14,4

11,38,

25,2

7) Troba el terme general de la successió: 1, 3, 5, 7, 9, ...


141,

91,

41


171,

101,

51,

21


250,5

50,4

10,32

11) Troba el terme general de la successió: 10, –12, 14, –16, 18, –20, ....

12) Troba el terme general de la successió: 6, 11, 18, 27, 38, 51, ...


81,

61,

41,

21


45,

34,

23,2

15) Troba el terme general de la successió: 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...


- 87 -

16) Troba el terme general de la successió: –1,2,–4, 8,–16, 32,–64,128, ...


111,

91,

71,

51


1116,

68,

34


203,

122,

61


111,

91,

71,

51

21) Escriu els quatre primers termes de la successió: ( 1)2

nn

nan

22) Troba la llei de recurrència de la successió: –1, 4, –5, 9, –14, 23, ...

23) Troba la llei de recurrència de la successió: 1, 3, 2, 2’5, 2’25, 2’375, ...

24) Construeix una successió que tingui com a llei de recurrència

1 2n na a n amb 1 2a .

25) Calcula el terme que ocupa el lloc 100 d’una progressió aritmètica, el

primer terme de la qual és 10 i la diferència és 4.

26) Troba el primer terme d’una progressió aritmètica i la diferència

sabent que el tercer terme val 20 i el cinquè 140.

27) Els nombres 1, 3, 5, 7, ... formen una progressió aritmètica. Quant

sumen els 75 primers termes? I els “n” primers termes?

28) Demostra que la suma dels “n” primers termes d'una progressió

aritmètica de primer terme a1 i últim terme an és: 1

2n

na aS n

.

29) Quin és el terme seixantè de la progressió aritmètica 3,7,11,…..?

30) Quants termes de la progressió aritmètica 24,22,20,… sumen 150?


- 88 -

31) Troba tres números que formin progressió aritmètica de forma que el

tercer i el primer sumin 12 i que el producte del primer i el segon valgui

24.

32) Calcula la suma de tots els nombres parells entre 15 i 101.

33) Sabem que una progressió aritmètica té un nombre imparell de

termes; que la suma dels que ocupen un lloc parell és 30 i la suma dels

que ocupen un lloc imparell és 45. Trobeu el terme central i el nombre

de termes de la progressió.

34) Troba la suma dels nombres enters que van del 30 al 205.

35) Una progressió aritmètica té de primer terme 5 i de vintè 9. Quin és el

terme quinzè?

36) Tres nombres formen progressió aritmètica. La suma és 36 i el

producte val –3072. Quins són aquests números?

37) Interpoleu 5 termes aritmètics entre el 5 i el 8.

38) Determineu la progressió aritmètica en la qual la suma dels n primers

termes és n2 + 2n.

39) Trobeu tres números en progressió aritmètica que sumin 21 i que el

producte valgui 280.

40) En una progressió aritmètica es sap que a5 = 6 i a10 = 10. Calcula

a1, an i la diferència.

41) El producte dels tres termes d’una progressió aritmètica és 1155, i la

suma del primer i l’últim és 22. Quins són aquests nombres?

42) Un dipòsit conté aigua i sal. La quantitat inicial de sal és 18 Kg. Hi

traiem un 10% del contingut i hi afegim aigua pura. Repetim l'operació 8 vegades. Quina quantitat de sal queda al final?

43) Quant de temps es tarda en retornar un deute de 880000 € pagant

25000 € el primer mes, 27000 el segon, 29000 el tercer, etc.?


- 89 -

44) En una botiga rebaixen els articles successivament un 10% cada

setmana. Quant costarà d’aquí a cinc setmanes un article pel qual

hauríem de pagar 330’56 € aquesta setmana?

45) La suma dels 18 termes d’una progressió aritmètica és 549 i el producte dels termes extrems és 280. Troba a1 i an.

46) Calcula la suma de tots els múltiples de 13 compresos entre 500 i

7800.

47) Troba els dos termes centrals d’una progressió aritmètica de 8 termes

en la que l’últim terme és el quàdruple del primer i la suma de tots dos és 140.

48) En una progressió geomètrica, a2 = 31/2 i a6= 33/2. Calcula a10 i a13.

49) El primer terme d’una progressió geomètrica és –5 i el cinquè, –125.

Troba’n la raó i indica si es tracta d’una successió decreixent o alternada.

50) Determina el terme central d’una progressió geomètrica d’onze termes

si P11 = 2048.

51) Dedueix una expressió que permeti calcular la suma 1 + r + r2 + ... + rn.

52) Sabent que 1 + 2 + 22 + ... + 2n = 2047, indica el valor de “n” utilitzant

l’expressió obtinguda en l’exercici anterior.

53) La suma de tres nombres naturals és 35 i el seu producte, 1000. Troba aquests nombres sabent que són tres termes consecutius d’una

progressió geomètrica.

54) La suma d’una progressió geomètrica il·limitada decreixent és 10 i la

diferència entre el primer i el segon terme és 5/2. Determina’n el primer terme i la raó.

55) Fa molts anys un negociant va proposar a un ramader el tracte

següent: “Li venc aquest cavall amb la condició que em pagui un


- 90 -

cèntim d’euro pel primer clau de la seva ferradura, dos cèntims pel

segon clau, quatre pel tercer i així successivament, fins a arribar al

clau número 32, que és l’últim.” A quin preu pretenia vendre-li el

cavall?

56) La successió 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ... és la successió de

Fibonacci. Aquesta successió té una regla recurrent que permet, a

partir d’un cert valor de “n”, determinar-ne qualsevol terme si es

coneixen els anteriors. Escriu cinc termes més i indica la recurrència

enunciada.

57) En una progressió geomètrica: a1 = 1/3 i r = 3. Troba’n els termes

cinquè i dotzè.

58) Troba el terme general i la raó de la progressió geomètrica en què

a1 = 3 i a11 = 81.

59) Troba el producte de les sis primeres potències naturals de base 2.

60) Calcula la suma de les deu primeres potències naturals de base 10.

61) Calcula la suma n2...2121

41

.

62) Determina tres nombres en progressió geomètrica la suma dels quals

sigui 42 i el seu producte 512.

63) Demostra que el terme an d'una progressió geomètrica de raó “r” i de

primer terme a1 és : an=a1rn-1

64) Calcula la suma dels vuit primers termes de la progressió geomètrica 4,8,16,32,…

65) Calcula el terme setè i la suma dels set primers termes de la

progressió geomètrica següent: 9, -3, 1,….

66) Busca tres números en progressió geomètrica que sumin 26 i que el

producte sigui 216.


- 91 -

67) Demostra que la suma dels termes d'una progressió geomètrica és:

1)1(1

rraS

n

68) A quin valor tendeix la suma 1 1 112 4 8

?

69) Trobeu la suma del termes d’una progressió geomètrica de 10

elements, de raó 1,25, sabent que el primer val 2.

70) La suma de tres termes consecutius d’una progressió geomètrica és 42 i el seu producte val 1728. Quin valors tenen aquests termes?

71) Interpoleu 5 termes en una progressió geomètrica de primer terme 2 i

setè terme 6.

72) Trobeu el límit de la suma dels termes d’una progressió geomètrica de primer terme 4 i de raó 3/4.


- 92 -

LÍMITS

73) Calcula el límit de: ,...1111,

89,

57,

25

74) Calcula: 2

2n

nlimn

75) Calcula:

242154

3

23

nnnnlim

n

76) Calcula:

242154

3

23

nnnnlim

n

77) Calcula:

32132

2

3

nnnnlim

n

78) Calcula:

2323

123

2

nnnnnlim

n

79) Calcula:

3214

nnlim

n

80) Calcula:

n

nlimn 31

19 2

81) Calcula:

nn

nlim 3

16

5

82) Calcula:

13

2

2 2

2

32135 n

nn

n nnnnlim

83) Calcula:

121212

2

2

nnnlim

n

84) Calcula:

nnlimn

1

85) Calcula:

nnlimn

212


- 93 -

86) Calcula:

32

2n

nnlimn

87) Calcula:

nnnlim

n 323

88) Calcula:

nnn

nlimn

89) Calcula:

nnnlimn

12

90) Calcula:

1214 2 nnlimn

91) Calcula:

1

211nlim

n

92) Calcula:

nnnlimn

1.

93) Troba el límit: ,...396,

285,

194,

123,

72,

41

94) Calcula:

n

n nlim

2

111

95) Calcula:

n

n nlim

321

96) Calcula:

1

321

n

n nlim

97) Calcula:

2

131

n

n nlim

98) Calcula:

1

2

11n

n nlim


- 94 -

99) Calcula:

551n

n nlim

100) Calcula:

n

n nnlim

3

212

101) Calcula:

n

n nnlim

11

102) Calcula:

1

2

2

123

n

n nnnlim

103) Calcula:

1

1212 n

n nnlim

104) Calcula: 2

2 2lim 1n n n

105) Calcula: 3 2

2 1 4lim2n

nn n

106) Calcula: 2

2

2 4 3lim1n

n nn

107) Calcula: 13lim 2

n

n n

108) Calcula: 2

1 2limn n n

109) Calcula:

35

121lim2

nn

n

110) Calcula: 3lim1n

nn

111) Calcula: 2

1 2 3 4 ...limn

nn


- 95 -

112) 3lim

1

n

n

nn

113) Calcula: 23

3

3lim4 4 12

n

n

nn n

114) Calcula: lim 2n

n n

115) Calcula: limn

n n n n

116) Calcula: 32

2lim3 6 4n

nn n

117) Calcula: 3lim 2n

nn

118) Calcula: 3lim4 1n

nn

119) Calcula: 23 2 1lim10 1n

n nn

120) Calcula: 3lim4 1

n

n

nn

121) Calcula: 3lim 2n n

122) Calcula: 2limn

nn

123) Calcula: 2

2

2 4 3lim1n

n nn

124) Calcula:

110123lim

2

nnn

n


- 96 -

125) Calcula:

nn

n 3231lim

126) Calcula: 2 22lim1 2 4n

n nn n

127) Calcula: 2 2lim 2 1 3n

n n n n

128) Calcula: 2lim 2n

n n

129) Calcula: 41lim 1

2

n

n n

Documents

eiπ10 MATEMÀTIQUES BATXILLERAT · PDF fileMATEMÀTIQUES BATXILLERAT -e iπ10 SUCCESSIONS - 3 - EXEMPLES: 1) És una successió la sèrie de nombres següents?..., 2, 1,0,1, 2,